asmm portal by hafiz
DESCRIPTION
this is for help to solve your problem about portal problemTRANSCRIPT
B C P
EI
EI L
L/2 L/2
A A
B C
1
2
DOF = 2
0
1 1 2
3.4 Elemen Portal 2 Dimensi
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen portal 2 dimensi
dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 5 Analisa struktur pada portal dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan mengabaikan deformasi aksial.
Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja, deformasi aksial
diabaikan :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
K1 = LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
[ K1 ] =
= +
0
=
0 0
0
0 0
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
LEI 4
K2 = LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 4
P
Untuk contoh di atas, maka :
0
0
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4
EIL
2 . 2 - 4 . 81
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ = 8 2-2- 4
EI 28
L⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 8 2-2- 4
EI 28
L⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
L P 81
− L P 81
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
L P 81
−
L P 81
L P 81
−
L P 81
U11
U1
2
0
U21
U2
2
P
Us = EI 28
L
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
0
0
22 L q 61 - L q
31
−
22 L q 64 L q
61
+
EIL P
1123 2
−
EIL P
1125 2
Rotasi di joint B
Rotasi di joint C
EIL P
1123 2
−
EIL P
1123 2
−
EIL P
1125 2
L P 81
−L P 81
0
0
0
P1 = +
P1 =
P2 = +
Hasil perhitungan hanya momen saja
0
PR1 =
0
PR2 =
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
L P 81
−
L P 81
EIL P
1123 2
−
L P 566
−
L P 563
−
EIL P
1125 2
L P 81
−
L P 81
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
EIL P
1123 2
−LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
P 0
- -
+
Dihitung lagi
Dihitung lagi
P2 = =
0 0
Hasil perhitungan hanya momen saja
+
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang M :
P 569
L P 566
P 2817 P
2811
L P 566
L P 563
L P 5611
2L q 566 2L q
283
P 569
P 569
P 569
P 2817
P 2817
L P 566
L P 563
-
+
-
-
-
Bidang D :
Bidang N :
P 2817
P 569
P 2811
P
P 2817
P 569
B C P
EI
EI L
L/2 L/2
A A
B C
1
2
DOF = 3
2
4 1 2
3
1
A
B C
1
2
DOF = 3
0
2 2 3
1
0
Contoh 6 Analisa struktur pada portal dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan mengabaikan deformasi aksial.
Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 3 x 3
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja, deformasi aksial
diabaikan.
[ K1 ] =
Elemen 1
0 0 1 2
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 0
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -− 1
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 2
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 1 2 }T
2 x 2
Elemen 2
2 3
2
2 x 2 3
Matriks Tujuan { T2 } = { 2 3 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
K2 = LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
K1 =
23 LEI 6-
LEI 12
LEI 4
LEI 6- 2
= + =
P
0
1 2 2 3
[ Ks ] 3 x 3
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
0
0
Ps =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 2
LEI 8
LEI 62−
0 LEI 6-
LEI 12
23
L P 81
− L P 81
L P 81
−
L P 81
23 LEI 6-
LEI 12
LEI 4
LEI 6- 2
LEI 4
LEI 2 0
U11
U1
2
U1
3 U1
4
0 0
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ]-1 =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 =
EIL 12 -
EIL 24
EIL 28 223
L P 81
−
L P 81
EIL P
1283 3
−
EIL P
12810 2
− Rotasi di joint B
Rotasi di joint C
EIL P
1283 3
−
EIL 24 -
EIL 48
EIL 24 2
EI60L
EIL 24-
EIL 12 2
−
EIL 12 -
EIL 24
EIL 28 223
EIL 24 -
EIL 48
EIL 24 2
EI60L
EIL 24-
EIL 12 2
−
0
EIL P
1287 2
Dilatasi di joint B
EIL P
1286 2
−
U21
U2
2
P
0 0 0 0
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
0
0
PR1 =
PR2 =
EIL P
1286 2
−
EIL P
1287 2
L P 81
−L P 81
L P 81
−
L P 81
P2 = +
P2 = =
0 0
Hasil perhitungan hanya momen saja
0 0
+
0 0 0 0
0
0
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
P1 =
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
EIL P
1287 2
L P 81
−
L P 81
EIL P
1286 2
−LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
L P 128
6 2L q 643
P1 =
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -−
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22
EIL P
1283 3
−
EIL P
1286 2
−
L P 643
L P 643
−
P 0
-
-+
Dihitung lagi
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang M :
L P 643
P 6435 P
6429
L P 643
L P 12829
P 6435
P 6435
L P 643
L P 643
L P 643
-
+
-
Bidang D :
Bidang N :
P 6435
P 6429
P
P 6435
P
Contoh 7 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan perletakan pegas (spring). Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
A 1 B
(pegas)
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ]
Membuat matrik kekakuan elemen :
Elemen 1
0 0 1 2
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 0
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -− 1
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 2
A B
1
4 2
3
1
A B
0 1
1 0 2
K1 =
LEI 3k 3=
[ K1 ] = [ KS ] =
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 1 2 }T
2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
0
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
LEI 4-
LEI 62−
23 LEI 6-
LEI 12
LEI 4
LEI 62−
23 LEI 6 -
LEI 12
k Us' - P−
LEI 4-
LEI 62−
23 LEI 6-
LEI 12
EIL 12
EIL 6 2
EIL 6
EIL 4 23
121
Us1
Us2
Us1
Us2
0 0
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
=
0
= - ( P + k Us’ )
Us1 = - ( P + k Us’ ) =
Us1 = defleksi vertikal di B
Us2 = - ( P + k Us’ ) =
Us2 = rotasi di B
Jadi deformasi pada masing-masing ujung :
U1 =
EIL 12
EIL 6 2
EIL 6
EIL 4 23
121 k Us' - P−
3EIL3
2EIL2
3EIL3
UsEI3Lk -
EI3L P 1
33
−
EI 3L
LEI 3 1 EI 3
L P - Us EI 3L P - Us
EI 3Lk 1
3
3
3 1
31
3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
6EI
L P 3
−
2EIL2
UsEI3Lk -
EI2L P 2
32
−
EI 3L
LEI 3 1 EI 2
L P - Us EI 2L P - Us
EI 3Lk 1
3
3
2 2
22
3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
4EI
L P 2
−
4EI
L P 2
−
6EI
L P 3
−
0 0
0
0 P 0
0
P
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
P1 = +
P1 =
Free Body Diagram :
A 1 B
(pegas)
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -−
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22
P 2 1
6EI
L P 3
−
4EI
L P 2
−
L P 2 1
P 2 1
LEI 3k 3=
P 2 1
P 2 1
L P 2 1 0
- -+
-
+ +
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
L q 283 L q
283
L q 2816
L q 2812
2L q 282
2L q 281
