1

Asignatura: Investigación de Operaciones

Trabajo Práctico N° 1

Curso: 7º año 1ª división - Especialidad: Computación

Profesora: María Ester Martínez

Se exige la lectura del material teórico para la comprensión de lo propuesto en las actividades a resolver

Todo debe quedar registrado por escrito en la carpeta con birome y letra clara.

Cuando se realice el envío al docente, que la foto sea lo más clara posible y que no haya nada escrito con lápiz, porque no se ve en la foto.

En la hoja de carpeta y en el archivo enviado debe estar escrito el nombre y apellido del alumno y el curso al que pertenece.

Los trabajos se envían al correo mestermar@gmail.com

Introducción a la Programación Lineal

Semiplanos

La resolución de problemas en programación lineal involucra contenidos matemáticos como la lectura de inecuaciones o desigualdades lineales, y la representación gráfica de semiplanos que se forman al resolver una inecuación lineal.

Por eso, primeramente repasaremos sobre estos temas.

La ecuación de una recta está dada por la fórmula y=mx+b donde m es la pendiente o inclinación que tiene la recta respecto de la horizontal (eje x) y b es la ordenada al origen (refiriéndose al punto de contacto de la gráfica con el eje y). Los ejes x-y se refieren a los ejes cartesianos o, como le decimos comúnmente, a la representación del plano en dos dimensiones

Por ej, = + 2 cuya representación es:

2

Como es una igualdad, la representación de la función es una línea continua.

A partir de esta representación, podemos comprender como es la representación de cada tipo de desigualdad:

Ej 1: ≤ + 2 , la gráfica incluye a la función lineal y al semiplano por debajo de dicha función

Ej 2: < + 2 , la gráfica no incluye a la función lineal (por eso va con línea punteada) y considera el semiplano por debajo de la función

3

Ej 3: ≥ + 2 , la gráfica es la función lineal y el semiplano por arriba de la recta considerada

Ej 4: > + 2 , la gráfica no incluye a la función lineal (por eso va línea punteada) y se pinta el semiplano superior a la recta considerada

Esos son los tipos de semiplanos que se nos pueden presentar según la ecuación o el tipo de desigualdad que tengamos.

Tener en cuenta que si en la desigualdad intervienen las dos variables x-y, siempre es conveniente considerar y en función de x, esto es y≤ mx+b

4

Si la desigualdad que nos presentan es del tipo: 3x – 4 y + 2 < 0 , se llama fórmula implícita y debemos hacer “pasaje de términos” para despejar la variable y sola y positiva, para poder luego representar el semiplano. Lo resolvemos:

Siempre es conveniente despejar la letra y. Representamos:

Semiplanos Verticales:

Se obtienen cuando la desigualdad sólo contiene la variable x.

Por ejemplo: ≤ 3, es el semiplano que se encuentra “a la izquierda” de la recta x=3 y considera todos los puntos de dicha recta (por eso debe ir con línea continua)

5

Otro ejemplo: x>5, el semiplano se encuentra “a la derecha” de la recta x=5 pero debe dibujarse con línea punteada porque los puntos de la recta no forman parte de la región del semiplano

Semiplanos horizontales:

Se obtienen cuando en la desigualdad sólo figura la variable y.

Por ejemplo: y < -3, es el semiplano que se encuentra “por debajo” de la recta y=-3 en el que los puntos de la recta no forman parte de la región de dicho semiplano

Otro ejemplo: ≥ −1, es el semiplano que se ubica “por arriba” de la recta y=-1 e incluye a los puntos de la recta considerada (por eso debe dibujarse con línea continua)

6

Desigualdades con módulo o valor absoluto:

Para comprender esto, debemos recordar la definición de módulo de un número.

Propiedades de las desigualdades con módulo:

1) |x|< n° es equivalente a –n° < x < n° y su representación genera 2 semiplanos, por ejemplo, si |x|<2 es equivalente a -2<x<2, su gráfica es

7

2) |x|≤ n° es equivalente a –n° ≤x≤ n°, por ejemplo si |x|≤2 es equivalente a -2≤x≤2, su gráfica es

3) |x|> n° es equivalente a x<-n° o x>n°, por ejemplo |x|>2 es equivalente a x<-2 o x>2 y su gráfica es

4) |x|≥ n° es equivalente a x≤-n° o x≥n°, por ejemplo |x|≥2 es equivalente a x≤-2 o x≥2 y su gráfica es

Si la variable que interviene en la desigualdad fuera la letra y, los semiplanos serían representaciones horizontales. Ej |y|≤2

8

Resolución de desigualdades con módulo:

Como se muestra en el ejemplo, el procedimiento es aplicar la propiedad de valor absoluto y luego usar el pasaje de términos para dejar a x sola y positiva, y detrás de cada signo estarían los posibles valores de x. Gráficamente es:

9

Actividades para resolver en la carpeta:

a) Representar los siguientes semiplanos despejando la variable en caso de ser necesario: 1) < + 3

2) ≥ − − 2 3) 3x+y-6 > 0 4) 2x-4y+5 > 0 5) 4x+5y-20 ≥ 0 6) 6x-y-5 > 0 y 4x+3y-7 > 0 considerar las dos desigualdades en el mismo sistema de ejes cartesianos

y observar la región en común que tienen entre sí. 7) |x|≥5 8) |x|< 3

Hasta aquí, entregar al 13 de mayo del corriente, via mail a mestermar@gmail.com

Nota: graficar solo los ejercicios 13; 16 y 20

Ejercicios 11 al 20 se entregarán al día 20 de mayo del corriente.

10

Nota: graficar los ejercicios 75; 78; 83; 86.

Los ejercicios 73 a 88 se entregarán al día 27 de mayo del corriente.

Cualquier duda o consulta me escriben a mi correo!