article: a hierarchical location model for public facility planning_ apresentação

Mestrado em Planeamento e Operação de Transportes

1º Semestre 2013/14

Regiões e Redes

Artigo: A hierarchical location model for public facility planning

João C. Teixeira, António P. Antunes

Docentes

Prof. Luís Martinez

Prof. João Abreu e SIlva

Alunos

Duarte Amorim da Cunha – nº 50982

João Vieira – nº 47104

Luís Neto – nº 74776

Rui Couchinho – nº 76756

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A hierarchical location model for public facility planning


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IntroduçãoModelos de Localização para Planeamento de Equipamentos Públicos

Processos de Planeamento Complexos devido aos

mecanismos de participação envolvidos

Stakeholders com pontos de interesse distintos

concordância depende da

transparência e da racionalidade do processo de planeamento

Numero de soluções possíveis de planeamento é elevado - Indispensável o uso de Modelos de Otimização com recurso a ferramentas de Tomada de Decisão

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Localizados em qualquer lugar do Plano

Modelos Classificados

Contínuos

DiscretosLocalizados em determinado ponto do Plano especificado antecipadamente

Objetivo do Modelo

Determinar Localizações mais eficientes para o tipo de equipamentos

De acordo com:

* Minimização de Custos* Maximização de Acessibilidade* Outros

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Modelo desenvolvido para a Carta Educacional do Município de Coimbra – 2006 / 2015

Auxilio na tomada de decisão do redesenho da rede de escolas primárias do município.

Stakeholders envolvidos na decisão: Representantes da administração local;

Ministério da Educação; Proprietários de Escolas Privadas; Administração das EscolasPúblicas; Sindicato dos Professores; Associações de Pais dos Estudantes.

PROBLEMADiversos Níveis de ProcuraDistintos Tipos de Equipamentos

Utilização do Modelo Adaptado de p-MedianAplicado para problemas de localização de Equipamentoscomo objetivo de maximizar a acessibilidade aos utilizadoresdos referidos equipamentos.

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P-Median Model

𝑖∈𝐼

𝑗∈𝐽

𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗

Demand CentersI = {1,…,n}

SitesJ = {1,…,m}

cij - custo de viagem cij= dij ui

dij - distância entre i e j / ui - Procura de i

Variáveis de decisão:xij - fracção da procura do centro i servida pelo site jyi - Variável binária de atribuição do equipamento

Minimizar

Sujeito a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼

(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

(3) 𝑗∈𝐽 𝑦𝑗 = 𝑝

(4) 0 ≤ 𝑥𝑖𝑗≤ 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 , 𝑗 ∈ 𝐽

Garantir satisfação da Procura

Atribuição a site com equipamento

Limitar a p equipamentos

Limitar fracção da procura

Variável binária de atribuição de equipamento a j

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Capacitated Median Model

𝑖∈𝐼

𝑗∈𝐽

𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗Minimizar

Sujeito a:

(1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼

(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

(6) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑗𝑦𝑗 , ∀𝑗 ∈ 𝐽

(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 ,∀𝑗 ∈ 𝐽

(7) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝐵𝑗𝑦𝑗 , ∀𝑗 ∈ 𝐽

(8) 𝑥𝑖𝑗 ∈ 0,1 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

(9) 𝑘∈𝑃𝑖𝑗 𝑥𝑘𝑗 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

(10) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑘∈𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑘𝑗 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽

Garantir satisfação da Procura

Atribuição a site com equipamento

Restrições de capacidade do equipamento:B – capacidade máxima / b – capacidade mínima

Atribuição “Tudo ou nada”

Variável binária de atribuição de equipamento a j

Pij é o subset de centros k que estão “perto” do caminho mais curto entre i e j

Aij é o subset de centros k que estão no caminho mais curto entre i e j

Demand CentersI = {1,…,n}

SitesJ = {1,…,m}

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Rede e Procura Modelo P-Median Modelo CM sem restrições

Modelo CM restrição de atribuição única e de caminho

Modelo CM restrição de atribuição única

Modelo CM restrição de atribuição única e mais próximo

100% 138% 146%

91%83%

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Hierarchical Capacitated Median Model

𝑖∈𝐼

𝑗∈𝐽

𝑠∈𝑆

𝑑𝑖𝑗𝑢𝑖𝑠𝑥𝑖𝑗𝑠Demand Centers

I = {1,…,n}

SitesJ = {1,…,m}Minimizar

S. a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑠 ∈ 𝑆

(2) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ≤ 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑦𝑗𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆

HierarquiaS = {1,…,v}

(3) 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑧𝑗𝑠𝑡 = 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖𝑠𝑥𝑖𝑗𝑠 , ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆

(4) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 𝑏𝑗𝑡𝑦𝑗𝑡, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆

(5) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≤ 𝐵𝑗𝑡𝑦𝑗𝑡, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆

(6) 𝑘∈𝐽|𝑑𝑖𝑘≤𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑘𝑠 ≥ 𝑦𝑗𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽,

𝑠 ∈ 𝑆, ∀𝑡 ∈ 𝑆|𝑡 ≥ 𝑠

(7) 𝑗∈𝐽\𝐽0𝑦𝑗𝑠 ≥ 𝐽𝑠0 − 𝑞𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆

(8) 𝑗∈𝐽\𝐽0𝑦𝑗𝑠 ≤ 𝑝𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆

(9) 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 0,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆|𝑑𝑖𝑗 > 𝐷𝑠

(10) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ∈ 0,1 ,𝑦𝑗𝑠 ∈ 0,1 , 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 0,

∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑆

(11) 𝑘∈𝑃𝑖𝑗𝑥𝑘𝑗𝑠 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗𝑠 , ∀𝑖 ∈ 𝐼,

𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆

𝑖∈𝐼

𝑗∈𝐽

𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗

dij - distância entre i e juis - Procura de i de nível sJo – Conjunto inicial de equipamentosq/p – nº máx de equipamentos a fechar/abrirZjst – Cap ocup s equip nível t em j Variáveis de decisão:xijs - fracção da procura do centro i servida pelo site j de hierarquia syis - Variável binária de atribuição do equipamento no site j de nível s

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Case Study (I)Reorganização da rede de ensino primário de Coimbra (objetivos):

Ajustar a capacidade à procura; A acessibilidade dos estudantes à escola deverá ser maximizada; As alterações deverão ser pequenas, por orçamentos diminutos e evitar reacções

públicas contra.

Cenário 1

Cenário 2

Cenário 3

Ocupação mínima de escolas de EB1 e EB12, 40 a120 estudantes

Ocupação mínima de escolas de EB1, 80 estudantese 75% (120 estudantes) para escolas EB12

Igual ao Cenário 2, permitindo uma nova EB12, c/capacidade entre 360 e 600 estudantes(Os cenários 2 e 3 tinham como objectivo encontrar a melhormaneira de ajustar a capacidade existente para a previsão deprocura, mantendo a boa ocupação)

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Case Study (II)O cálculo dos dados para estes constrangimentos foi feito em dois passos :1. Foram criados Buffers em torno de cada centro com um raio de metade da distância

ao vizinho mais próximo, truncado para um máximo de 1 km, medidos ao longo darede rodoviária;

2. Todos os centros, cuja reserva é cortada pelo caminho mais curto (na rederodoviária) de i para j foram adicionados para definir Pij. O que significa que se ocentro de 38 é atribuído à escola 8, então o centro 36 deve ser atribuído à mesmaescola.

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Case Study (III)

Cenário 3

Cenário 2Cenário 1

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Conclusões

As principais caraterísticas do modelo são:

Objetivo da maximização da acessibilidade;

Vários níveis de procura;

Vários tipos (ou níveis) de equipamentos;

Uma hierarquia de equipamentos (um equipamento de um determinado nível

pode servir a procura de níveis iguais e inferiores);

Constrangimentos de capacidade máxima e mínima (ou ocupação);

Restrições de atribuição de utilizador para equipamento.

Permite encontrar soluções fáceis de interpretar e com maior aceitabilidade pública

OBRIGADO!

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mpot rr

joo abreu

capacitated median model

equipamentos limitarfraco

equipamentos de acordo

referidos equipamentos