ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN

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Fluidos Arrastre y sustentación

INTRODUCCIÓN

Siempre llaman la atención los coches deportivos. Es una combinación de lujo y

excentricidad, de robustez con un toque de elegancia. Sinuosas formas, colores

deslumbrantes, ruidos enervantes, rines grandes, llantas anchas, techos bajos…

Si pensamos en el motor, generalmente se sobre entiende que deberán llevar un

motor grande. Pero todas esas curvas, la altura disminuida, ¿por qué?

De acuerdo a los estudios que se han hecho sobre los fluidos, se ha descubierto

que un móvil inmerso en un fluido experimentará una fuerza de oposición que le impedirá

moverse a menos que venza esta energía. A esta oposición se le llama arrastre.

Fuera del ejemplo del auto deportivo, vemos como los diversos medios de

transporte recurren a ciertas formas específicas, como los aviones que presentan narices

o frentes con ciertas curvaturas o puntas, los barcos manejan variaciones en su ancho y

también utilizan como base de modelado una curva. Los trenes ultramodernos describen

siluetas estilizadas y extravagantes. Todos estos artilugios se utilizan para disminuir los

efectos de esa fuerza, y son resultado de diversos estudios y de años de progresos en

diseño.

Pero, ¿cómo se calculan estas fuerzas?, ¿qué se considera en los análisis? Es lo que

se verá a continuación.

1.- ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN

Un cuerpo en movimiento inmerso en un fluido experimenta fuerzas ocasionadas

por la acción del fluido. Si se consideran todas las fuerzas y todos los efectos, los cálculos

resultan muy complejos. Para fines de los mismos, sólo se consideran dos fuerzas

resultantes de mayor importancia: el arrastre y la sustentación. Ambas son iguales, sin

importar si es el cuerpo el que se mueve a través del fluido, o si el fluido se mueve

alrededor del cuerpo.

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Fluidos Arrastre y sustentación

El arrastre es la fuerza

ejercida por el fluido en

dirección contraria a la fuerza

que ejerce el cuerpo en

movimiento. Es decir, es una

fuerza que el fluido opone,

contrarrestando el movimiento

de un cuerpo. Este fenómeno

puede ser observado

cotidianamente en cualquier

medio de transporte, dado que éstos se desplazan inmersos en fluidos. La fuerza de

arrastre debe contrarrestarse con una fuerza de propulsión que vaya en dirección opuesta

al arrastre. Para obtener esta fuerza, se requiere el empleo de cierta energía, por lo que

siempre se busca disminuir el arrastre.

Sustentación es la fuerza ocasionada por el fluido en dirección perpendicular a la

dirección del movimiento del cuerpo. Su aplicación más importante se encuentra en el

diseño de partes de aviones y aeronaves, particularmente en las alas, llamadas

aeroplanos. En base al análisis de fuerzas, se obtiene cierta geometría que permite que

exista fuerza de sustentación tanto encima como por debajo del aeroplano. A la vez, se

debe considerar que la fuerza de sustentación debe ser al menos igual que el peso de la

aeronave para que esta vuele.

Al estudio de las fuerzas en cuerpos en movimiento inmersos en aire y otros gases

se la llama aerodinámica. En cambio, al análisis de desempeño de cuerpos inmersos en

agua se le llama hidrodinámica. Dentro del estudio de la sustentación y el arrastre se

pueden considerar muchos conceptos como similares entre sí, despreciando la naturaleza

líquida o gaseosa del fluido. Sin embargo, en casos particulares como altas velocidades no

es así, debido a que los gases tienen a comprimirse en estas condiciones. En el estudio del

arrastre y la sustentación, los líquidos se consideran incompresibles, aunque se ha

demostrado que pueden llegar a comprimirse.

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El arrastre se considera al diseñar móviles, como aviones.

Fluidos Arrastre y sustentación

Las fuerzas de arrastre se pueden calcular, y se expresan matemáticamente mediante la

fórmula:

FD=Arrastre=CD( ρv22 )ADonde:

CD es el coeficiente de arrastre. Es un número adimensional que depende de la

forma del objeto y su posición con respecto al flujo.

ρ es la densidad del fluido. Se debe considerar que en general las densidades de

los líquidos son mayores que las de los gases, por lo que la magnitud de la fuerza

de arrastre siempre será mayor en un líquido que en un gas. Además, la

compresibilidad del aire afecta un poco su densidad.

v es la velocidad de la corriente de fluido en relación al objeto. En general no

importa si lo que se mueve es el fluido o el objeto.

A es un área característica del cuerpo. Lo más común es considerar al área

transversal como el área característica o área proyectada. Sin embargo, en cuerpos

de diseño muy característico, como vagones de trenes de pasajeros o dirigibles, se

puede utilizar el área de la superficie. Cuando se emplea un área transversal, se

habla de un arrastre de forma o de presión. Cuando se utiliza el área de la

superficie, se estudia un arrastre de fricción.

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Fluidos Arrastre y sustentación

ρv2

2 es la presión dinámica, que se entiende como una energía cinética en forma

de presión. Está definición se obtiene a partir de un análisis por medio de la

ecuación de Bernoulli en el que se relaciona la presión del fluido en el punto s (Ps)

de una esfera sumergida en un fluido en movimiento con la presión de la corriente

no perturbada P1. En este punto s, la corriente de flujo está estancada. La ecuación

Bernoulli relacionando ambas presiones es:

P1γ

+v12

2g=Psγ

Despejando Ps:

Ps=P1+γv12

2g

Pero ρ=γg , entonces:

Ps=P1+ρ v1

2

2

Ps es más grande que la presión P1 debido a la magnitud de la presión dinámica.

La fuerza de arrastre no sólo se debe a la presión en el punto de estancamiento,

sino también a la presión en el lado trasero del cuerpo. Debido a la complejidad de

predecir la verdadera variación en la presión en el punto trasero, se recurre al uso del

coeficiente de arrastre.

El arrastre total de debe a dos componentes:

1. Arrastre de presión: También llamado arrastre de forma, debida a los disturbios

que causa el paso del objeto, lo que crea una estela turbulenta. Las características

de estos disturbios dependen de la forma del cuerpo e incluso a veces del número

de Reynolds del fluido y el coeficiente de rugosidad de la superficie de contacto.

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Fluidos Arrastre y sustentación

2. Arrastre de fricción: Son las fuerzas cortantes que actúan en la capa de fluido que

cubre a la superficie de contacto del cuerpo, la cual recibe el nombre de capa

límite.

1.1.- ARRASTRE DE PRESIÓN

Cuando un cuerpo es sumergido en un fluido en movimiento, éste se mueve

alrededor del objeto y tiende a adherirse en la longitud del cuerpo. En algún punto de la

longitud, esta capa delgada se separa de la superficie y forma una estela turbulenta. La

presión en este punto es mucho menor que la presión en el punto de estancamiento en el

frente del objeto. Podemos decir entonces que se genera una fuerza neta que actúa en

dirección contraria al movimiento del cuerpo. A esta fuerza se le conoce como arrastre de

presión. Si se logra que el punto en el que la capa límite se separa ocurra en un punto

lejano de la parte posterior del cuerpo, entonces se podrá disminuir el arrastre, debido a

la disminución de la estela turbulenta.

Este es el principal

objetivo en el diseño de

móviles. Se buscan formas

aerodinámicas, es decir, que

permitan disminuir el arrastre

de presión simplemente por la

forma que tienen. Sin embargo,

para el caso del aire, se debe considerar que su comportamiento es muy disparejo, dado

que los cambios de temperatura varían drásticamente sus valores de densidad, a la vez

que la altitud con respecto al nivel del mar la disminuye.

La magnitud del coeficiente de arrastre depende de varios factores, como la

rugosidad de la superficie del cuerpo, el número de Reynolds del fluido, la forma del

objeto y cuerpos externos o superficies cercanas.

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Fluidos Arrastre y sustentación

De acuerdo al gráfico de al lado

(coeficientes de arrastre de

esferas y cilindros), podemos

concluir que para valores altos del

número de Reynolds, se obtienen

valores bajos de coeficiente de

arrastre.

Para cuerpos cilíndricos y

esféricos lisos, el número de

Reynolds se calcula:

N R=ρvD❑ = vD❑

Para números de Reynolds muy pequeños (N R < 1.0, aprox.), el arrastre se debe

casi por completo a la fricción.

Es posible disminuir el número de Reynolds, ya sea con una superficie más rugosa

o con el aumento de la turbulencia de la corriente.

El cálculo del número de Reynolds para las formas de la siguiente tabla,

utiliza la longitud del cuerpo paralelo al flujo como dimensión característica del objeto. La

fórmula es:

N R=ρvL❑ = vL❑

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Fluidos Arrastre y sustentación

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Fluidos Arrastre y sustentación

1.2.- ARRASTRE DE FRICCIÓN

Son las fuerzas cortantes que actúan en la capa de fluido que cubre a la superficie

de contacto del cuerpo, la cual recibe el nombre de capa límite. Se emplea un análisis

especial para calcular el arrastre de fricción para esferas en movimiento a velocidades

bajas en un fluido viscoso, lo que da como resultado números de Reynolds muy bajos,

demostrando así un arrastre por fricción.

George G. Stokes encontró una relación entre el número de Reynolds cuando es

menor a 1.0 y el coeficiente de arrastre, dada por CD=24N R

. A partir de esto, es posible

desarrollar ecuaciones de fuerza de arrastre especiales para un cuerpo específico. Se toma

la ecuación de la fuerza:

FD=CD( ρv22 )A

Se designa CD=24N R

y N R=ρvD❑ , y se obtiene:

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Fluidos Arrastre y sustentación

CD=24N R

= 24vDρ

Entonces la fuerza de arrastre se convierte en:

FD=24vDρ ( ρv22 )A=12vA

D

Como se mencionó antes, el arrastre es importante considerarlo al momento de

diseñar vehículos, debido a que al momento de ponerlos en funcionamiento, deberán

vencer esa fuerza, y por tanto debemos saber qué energía requerirán con tal fin y qué

modificaciones podríamos hacer para disminuir la fuerza de arrastre. A la fuerza para

vencer al arrastre se le conoce como Potencia:

PD=FD v

En automóviles, camiones, trenes, aeronaves y barcos se coincide en el hecho de

que la forma será factor determinante en la magnitud de la fuerza de arrastre. Sin

embargo, en lo automóviles se consideran las discontinuidades en las llantas y en los

elementos de utilidad. En los camiones, la longitud del mismo interfiere. Además, los

camiones de carga con elemento recipiente de forma cuadrada presentarán un arrastre

mayor. Generalmente, los camiones manejan coeficientes de arrastre del orden de 0.55 a

0.75. Igualmente en los trenes, la longitud general que la fricción superficial sea

significativa. En los aviones, debido a las altas velocidad, la punta o nariz varía de acuerdo

al aumento en la velocidad pretendida. Así, los aviones supersónicos presentan narices

más puntiagudas, a fin de reducir el efecto de la onda de choque.

En vehículos destinados a ser movidos en medios acuosos, se debe considerar un

fenómeno llamado cavitación, que ocurre cuando la presión estática en el fluido

disminuye, después del paso del vehículo, a tal grado que se forman burbujas debido a la

evaporación del líquido. Debido a que la región de presión baja es muy pequeña, las

burbujas explotan al dejar esa región. Si éstas estallan cerca de la superficie de contacto,

pueden causar erosión. Además, si estallan cerca de las paletas de dirección, se reduce la

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Fluidos Arrastre y sustentación

fuerza que el timón ejerce sobre ellas, además de disminuir el empuje y el rendimiento de

las propelas.

CONCLUSIONES

El arrastre es una fuerza reacción al movimiento de un móvil, por lo que siempre va

en dirección contraria a este. Esta fuerza depende de diversos factores, tales como la

forma, la longitud, las superficies de contacto y la rugosidad del material del cuerpo en

estudio, así como la viscosidad del fluido, el número de Reynolds del mismo, el punto de

rompimiento de la capa límite, la presión y la densidad. Sabiendo esto, de puede partir a

llevar a cabo diseños conforme a las necesidades establecidas, buscando siempre

disminuir el arrastre debido a que será necesario el empleo de cierta energía para vencer

esta resistencia.

Hay dos clases de arrastre: el de presión, generado por los efectos del movimiento

del objeto en el fluido, y el de fricción, compuesto por las fuerzas que actúan en la capa

límite que se genera en el móvil.

También se puede establecer la potencia que requiere un móvil para contrarrestar

el arrastre. En la búsqueda de aprovechar al máximo la energía empleada en un móvil,

constantemente se hacen estudios sobre la forma más conveniente que debe tener el

cuerpo, dado que es una de las formas más viables para contrarrestar el arrastre. Lo que

se busca es disminuir la magnitud del coeficiente de arrastre.

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TEORÍA DE CAPA LÍMITE

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Fluidos Teoría de capa límite

INTRODUCCIÓN

En el tema anterior, al momento de mencionar el arrastre de fricción generado en

la superficie de los móviles en estudio, después de un breve análisis, se hizo mención de

una capa fina que rodea al objeto en su superficie. En general, no se tomaba en

consideración debido a que mayoritariamente se analizan cuerpos inmersos en agua o

aire, fluidos de baja viscosidad, con poca influencia en el arrastre debido a su tendencia de

formar capas muy delgadas, despreciables en el cálculo debido a su reducida magnitud y a

que generalmente la propia forma de los móviles reduce aún más el espesor de esta capa.

En estos casos que se estudiarán a continuación, serán consideradas tanto las

fuerzas de arrastre de presión como las fuerzas de fricción generadas por la capa

generada en las superficies, lo cual dificulta los cálculos, debido a la complejidad del

análisis para capas delgadas, dado que éstas varían su espesor conforme se recorre la

longitud del objeto en estudio, por lo que también existirá un cambio en la fuerza

actuante y en las velocidades obtenidas. Incluso en el tipo de flujo, dado que a bajas

velocidades, capas delgadas y previo al contacto con la superficie se tienen más bien flujos

laminares; en cambio, después de un recorrido superficial, variación en las velocidades

manejadas, rugosidad, etcétera, comienzan a presentarse flujos turbulentos.

Se pretende lograr un breve pero sustancioso acercamiento a este tema.

2.- TEORÍA DE CAPA LÍMITE

La capa límite o capa fronteriza de un

fluido es la zona donde el movimiento de éste

es perturbado por la presencia de un sólido

con el que está en contacto. La capa límite

puede ser laminar o turbulenta; aunque

también pueden coexistir en ella zonas de

flujo laminar y de flujo turbulento. En

ocasiones es de utilidad que la capa límite sea

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Fluidos Teoría de capa límite

turbulenta. La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona

de contacto entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que se

desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia de la

viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Ésta es la causante de que el

obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de corriente más

próximas a él. La variación de velocidades, como indica el principio de Bernoulli, conlleva

una variación de presiones en el fluido, que pueden dar lugar a efectos como las fuerzas

de sustentación y de resistencia aerodinámica.

La dificultad en la teoría de capa límite se comprende rápidamente cuando se

recuerda que en flujos irrotacionales e incompresibles se eliminó por completo la fricción

y sólo se tuvieron en cuenta los efectos inerciales del fluido. En el caso presente, al igual

que en los flujos generales viscosos, se tienen tanto efectos friccionales como efectos

inerciales importantes y, por consiguiente, se presenta una situación más difícil. Así,

puede existir flujo laminar o turbulento en la capa, y el espesor y el perfil de ésta

cambiarán a lo largo de la dirección del flujo. En general, se enfocará buena parte del

análisis a un flujo permanente e incompresible sobre una placa plana con ángulo de

ataque cero.

Al examinar ahora la figura 13.1

se considerará en forma

cualitativa el flujo en la capa

límite sobre una placa plana.

Nótese que una región laminar

empieza en el borde de ataque y

aumenta su espesor, como se

muestra en el diagrama. Luego

se alcanza una región de

transición laminar-a-turbulento donde el flujo cambia de laminar a turbulento, con

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Fluidos Teoría de capa límite

engrosamiento consiguiente de la capa límite. La transición ocurre en el rango

3×105≤N R≤106.

A pesar de que la capa límite es muy delgada, tiene un papel importante en

dinámica de fluidos. El arrastre sobre buques y misiles, la eficiencia de compresores y

turbinas en motores a reacción, la efectividad de tomas para turborreactores y

estatorreactores, son consideraciones esenciales que dependen del comportamiento de la

capa límite y sus efectos sobre el flujo principal.

2.1.- ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE

Como se señaló, el perfil de velocidad se fusiona suavemente con el perfil de la

corriente principal, de tal forma que no existe forma sencilla de medir el grosor de la capa.

Sin embargo, existen definiciones que nos permitirán calcularlo. Una de ellas es la que nos

dice que el espesor de la capa límite es la distancia desde la superficie de contacto hasta

donde se observa el 99% de la velocidad de la corriente libre.

Otra definición es el espesor de desplazamiento *, definido como la distancia que

la frontera tendría que ser desplazada si todo el flujo se supusiera sin fricción y se

mantuviera el mismo flujo de masa en cualquier sección. Luego, considerando un ancho

unitario a lo largo de z a través de una placa plana infinita con un ángulo de ataque cero,

para flujo incompresible se tiene:

∫0

∞

udy=q= ∫δ∗¿ ¿

∞U dy

Cambiando el límite inferior de la

segunda integral:

∫0

∞

udy=∫0

∞

U dy−Uδ∗¿¿

Despejando δ∗¿, se obtiene:

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Fluidos Teoría de capa límite

δ∗¿∫0

∞

(1− uU )dy

El motivo para calcular el espesor de desplazamiento es permitir el uso de un

cuerpo “desplazado” en lugar del cuerpo real, de manera que el flujo de masa sin fricción

alrededor del cuerpo desplazado sea

el mismo que el flujo de masa real

alrededor del cuerpo real. Se hace

uso del espesor de desplazamiento

en el diseño de túneles de viento, en

las tomas de aire para motores a

reacción, etc.

Otra medida es el espesor de

momentum . Éste se define como la distancia desde la frontera real, de manera que la

tasa de flujo de momentum lineal de la velocidad uniforme U a través de una sección de

altura es igual a la tasa de flujo de momentum sobre toda la sección para la cual se usa

el perfil real u( y ) para el flujo de masa, pero se usa el déficit de velocidad [U - u] para la

velocidad al calcular este flujo de momentum. Es decir:

ρU 2θ=∫0

∞

(U−u ) (ρudy )

Cancelando ρ se obtiene

θ=∫0

∞ uU (1− u

U )dy

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Fluidos Teoría de capa límite

2.2.- ECUACIÓN INTEGRAL DE VON KÁRMÁN

En el perfil de velocidad de la figura, se observa que la velocidad va desde

u=0.99U ∞ con y=δ hasta u=0 con y=0 en una muy corta distancia (el espesor de la

capa límite. Por consiguiente no sorprende que se pueda aproximar el perfil de velocidad,

tanto para flujo laminar como turbulento, con mucha precisión. Si el perfil de velocidad se

supone conocido, las ecuaciones integrales de continuidad y cantidad de movimiento

permiten suponer el espesor de la capa límite y el cortante en la pared, y por lo tanto el

retardo.

Considérese un volumen de control de espesor unitario y longitud dx con una

altura correspondiente al espesor de la capa límite. Se considera la ecuación de

momentum lineal en la dirección x para este volumen de control en el caso de un flujo

permanente. Las fuerzas sobre la superficie de control en la dirección x se muestran en la.

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Fluidos Teoría de capa límite

Debido a que el flujo es casi flujo paralelo, puede suponerse, como en flujo en tuberías,

que la presión es uniforme en la sección si se ignora la presión hidrostática. Asimismo,

debido a que la capa límite es delgada, esta presión en x es igual a la presión en el flujo de

la corriente principal en la posición x, inmediatamente afuera de la capa límite.

La fuerza en la dirección x puede escribirse como:

df x=pδ−(p+ dpdx dx) (δ+dδ )+( p+ 12 dpdx )dδ−τ pdxDonde τ p es el esfuerzo cortante en la pared. Cancelando términos y dejando de lado las

expresiones de segundo orden, se obtiene:

df x=−(δ dpdx +τ p)dxLuego, se considera el flujo de salida de momentum lineal a través del volumen de control

en la dirección x. En el lado vertical del volumen de control x se tiene:

−∫0

δ

ρ u2dy

Y en la otra sección vertical en ( x+dx ) puede expresarse el flujo de salida de momentum

lineal como una serie de Taylor con dos términos:

∫0

δ

ρu2dy+ ddx (∫0

δ

ρu2dy )dx

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Fluidos Teoría de capa límite

Con esto se concluye que el flujo de momentum lineal varía en forma continua a lo largo

de la dirección X. En la superficie superior del volumen de control con um y vm como

componentes de la velocidad de la corriente principal, hay una tasa de flujo de masa hacia

afuera ρV ∙dA dada en este caso como ρ (um i+vm j ) ∙ (−dδ i+dx j ), de manera que la

componente x del momentum que sale del volumen de control a través de la superficie

superior es ρ umvmdx−ρum2 dδ .

Haciendo las sustituciones adecuadas, se llega a la fórmula:

−δ dpdx

−τ p=ddx (∫

0

δ

ρ u2dy)−um ddx (∫0

δ

ρu dy)2.3.- CONCLUSIONES

En este extenso capítulo se ha avanzado

bastante y es conveniente resumir todo lo que

se ha hecho. Al hacer esto, debe tenerse

presente en forma clara las similitudes y las

diferencias entre el flujo en la capa límite y el

flujo en tuberías.

Después de describir el crecimiento

general y el desarrollo de la capa límite a lo largo de una placa plana, se presentó la

ecuación integral de momentum de Von Kármán para estimar el espesor de la capa límite.

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Fluidos Teoría de capa límite

Con el simple hecho de observar las fórmulas, podemos comprobar la complejidad

de los cálculos de flujo de capa límite, debido principalmente al comportamiento tan

desigual que muestran, con cambios repentinos de grosor e incluso de tipo de flujo, por lo

que es necesario recurrir al empleo del cálculo infinitesimal, buscando las aproximaciones

más apropiadas.

El área de aplicación más conocida de estos conocimientos radica en el diseño de

elementos aerodinámicos, principalmente alas de aviones, debido a que éstas son las

encargadas de mantener el equilibrio el avión. Durante muchos años de desarrollo de

estos estudios se han ido perfeccionando los diseños de elementos aerodinámicos, en pro

de la humanidad.

REFERENCIAS:

Mott, Robert L. “Mecánica de fluidos”. Sexta Edición. Pearson Educación. México

2006.

Shames, Irving H. “Mecánica de fluidos”. Tercera Edición. McGraw-Hill

Interamericana. Colombia 1999.

Potter, Wiggert. “Mecánica de fluidos”. Tercera Edición. Thomson. México 2002.

http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/conceptosbasicosmfluidos/

capalimite/capalimite.html

http://macul.ciencias.uchile.cl/~rferrer/aerotot/node26.html

http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/interesantes/aeronautica/

aeronautica.htm

http://fisicaeingenieria.es/resources/arrastre.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Capa_l%C3%ADmite

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