arq. hugo durán canelas geometría descriptiva

7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva

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UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO __________________________________________CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

HUGO DURAN CANELAS BANEGAS

1


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C) 2008Hugo Durn Canelas Banegas

Derechos reservados de autorDepito Legal N 81!1""#

Impreso en Bolivia A mis hios Li!ien" #imena $

H%&oPrin'e( in Bolivia

$rohi%ida la reproduccin total o parcial sin autori&acin por escrito del autor

2


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AGRADECIMIENTOS

'i agradeci(iento alos colegas dedocencia de laa(ilia 'oreniana*sin cu+o apo+o no

hu%iera sido posi%lela reali&acin delpresente tra%a,o- no.uiero (encionarno(%res por no pecarde in,usto anteposi%le o(isin

/


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$L

3na ve& (s .uiero aparecer a la lu& p4%lica ante (is alu(nos +colegas* esta ve& en (i condicin de 5u%ilado* para (ostras unnuevo tra%a,o revisado + au(entado con e6periencias en el ca(poprctico* a o%,eto de %rindar nueva(ente un aporte al procesoense7an&a aprendi&a,e en nuestra .uerida acultad de ecnolog9a +3niversidad a%riel en: 'oreno;

Con :ste* son +a veintiocho a7os cu(plidos en la ense7a(&aininterru(pida de esta her(osa pero dir.uitectura*disciplilnas a(%as en la .ue (e sigo dese(pe7ando co(o docente;

'e he es


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I N D I C E

UNIDAD No) *PRO+ECCIONES

1; ipos de pro+eccionesA 1;1; Cnica

1;2; Cil9ndrica1;/; =nclinada1;#; rtogonal

2; %,eto iste(as de epresentacinA2;1; Convenios + notaciones2;2; eglas para el di%u,o

UNIDAD No) ,SISTEMA DIEDRICO O MONGE

1; epresentacin del puntoA

1;1; Diversas posicones

2; epresentacin de la rectaA2;1; $untos nota%les

2;2; $artes vistas + ocultas 2;/; $osiciones particulares

/; epresentacin del planoA /;1; ecta situada en un plano

/;1;1; Hori&ontales +


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---

>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

@;1; 3na recta con un plano dado por dos rectas .ue se cortan

@;2; 3na recta .ue corta a otras tres

@;/; ecta .ue corta a otras dos + es paralela a un plano

@;#; ecta .ue corta a otras dos + es paralela a otra recta

UNIDAD No) /

PARALELISMO + PERPENDICULARIDAD

1; ectas paralelasA

1;1; $aralelis(o entre rectas de per


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


DISTANCIAS" ABATIMIENTOS + ANGULOS

1; DistanciaA

1;1; ?ntre dos puntos 1;2; De un punto a un plano

1;/; De un punto a una recta 1;#; ?ntre rectas paralelas

1;@; ?ntre planos paralelos 1;!; '9ni(a distancia entre dos rectas .ue se cru&an

2; >%ati(ientosA

2;1; eneralidades 2;2; De un punto 2;/; De una recta 2;#; De un plano

2;@; De una


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


CAMBIOS DE PLANOS + GIROS

1; Ca(%ios de planosA

1;1; eneralidades 1;2; $ro+ecciones de un punto en el ca(%io de plano 1;/; De dos planos de pro+eccin 1;#; La recta en los ca(%ios de plano 1;@; Nuevas tra&as del plano

2; irosA2;1; eneralidades

2;2; De un punto 2;/; De una recta 2;#; De un plano

UNIDAD No) 2SUPER3ICIES

1; Clasi


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


#;2; eccin plana

#;2;1; $or un plano vertical

#;/; =nterseccin de recta + pir(ide

@; ConoA

@;1; epresentacin @;2; $ro+ecciones de un punto @;/; $lano tangente al cono

@;/;2; Fue pase por un punto e6terior@;/;2; $aralelo a una recta@;/;/; > dos del (is(o v:rtice + %ases coplanares

@;#; ecciones planasA

@;#;1; $or un plano de canto

@;@; =nterseccin de recta + cono

!; CilindroA

!;1; epresentacin !;2; $ro+ecciones de un punto !;/; $lano tangente al cilindro !;#; ecciones planas

!;#;1; $or un plano de canto

!;@; =nterseccin de recta + cilindro

G; ?s


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


G;/;1; $or planos paralelos a los pro+eccinG;/;2; $or un plano vertical

G;#; =nterseccin de recta + es


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


PRIMERA UNIDADPRO+ECCION6SUS CLASES6

La pro+eccin de un punto > del espacio* so%re un plano " desde otro punto odel espacio e6terior a :l es la interseccin del ra$opro$e7'an'e AB con el plano ; ?l punto o* se lla(a 7en'ro (e pro$e77i8n" + el plano so%re el .ue se pro+ecta* plano (e pro$e77i9n;

odos los puntos del ra+o pro+ectante AB*co(o > I


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


>

B

C

Dc

d

>

B

a

%

t

C

r

s

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C c


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


r

s

B

s

>

a %

D

d

C

c

>

B

C

a

c

%


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


O:e'o (e la Geome'r;a Des7rip'iva6?l o%,etivo de la (ateria es proporcionar al t:cnico la (anera de representar so%re el plano* lasdiversas


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


ectas* visi%les* en tra&o cont9nuoA a %

ectas invisi%les* seg(entadasA a %

%J

%

vJ

v

hJ

h


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a

L9neas au6iliares* con tra&o


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DIEDRICO O MONGE

GENERALIDADES6Los ele(entos


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


H

L

===

=== =

L


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


===

>

aJ1

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h

B

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h

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a

%

%J

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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


perpendicular a L I */? POSICIONES DEL PUNTO6 ?n las


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


>parte de los consa%idos planos de pro+eccin* vertical + hori&ontal* se crea en este siste(a de pro+ecciones* otro ,uego de planosta(%i:n ortogonales entre s9* pero girados #@K respecto de los originales* previ:ndose para ellos una parte de los consa%idos planos de pro+eccin* vertical + hori&ontal* se crea en este siste(a de pro+ecciones* otro ,uego de planosta(%i:n ortogonales entre s9* pero girados #@K respecto de los originales* previ:ndose para ellos una


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


==

dJ1

dJ

%J

cJ

=

CcJ1

d

c

%


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


@) Las partes o7%l'as* de tra&os o l9neas discont9nuas* para distinguirlas de las vis'as* o situadas en el pri(er cuadrante;

!) Las partes vistas + ocultas* a+udan (ucho a ver en el espacio* lo pro+ectado;

G) No %ien se va+a di%u,ando o reali&ando tra&os en la resolucin de pro%le(as* se de%er ir colocando sus respectivos no(%res ose7ales* a


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


REPRESENTACION DE LA RECTA6$ara hallar la prou+eccin de una recta* %asta hallar las pro+ecciones ho(ni(as de dos de suspuntos;

?n la aJ1

a

aJ

B

%J %

%J1

Nn

(

nJ

rr

rJ1

H

'(J1


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


La pro+eccin hori&ontal r* es la interseccin o tra&a con el plano hori&ontal del plano deter(inado por las pro+ectantes Aa + B: del planopro+ectante hori&ontal de la recta; Del (is(o (odo* la pro+eccin vertical r "es el a%ati(iento de la tra&a r *del plano pro+ectante vertical dela recta R;

No connloga(ente* para la tra&a vertical* se deduce la siguiente reglaA

Para hallar la 'ra!a ver'i7al v F v (e %na re7'a" se prolon&a s% pro$e77i8n hori!on'al has'a s% in'erse77i8n v 7on LT" $ por ese p%n'o selevan'a %na perpen(i7%lar a LT has'a s% in'erse77i8n v 7on la o'ra pro$e77i8n)

$ara a(%as tra&as ver la D>B=?L ?N?'?N


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


%2%J2h

hJ

v

vJ

%J1

%1

>

B

H

C

D

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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Las tra&as hori&ontal + vertical de una recta se deno(inan h . h< + v . v


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3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---


hJs

hJ

h

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r

%J1

%1

vJ

v

%J2 %J

= C

= C

== C

i&),,

30

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


29/334


sJ

vJ

s

v

h

hJ

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


30/334


tJ

t

hJ

h

vJ

v

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


31/334


i

iJ

h

hJv

vJ

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


32/334


tt JsJ

r J

r

st

t JrJ sJ

Bs

0r


33/334


0? ecta paralela a la l9nea de tierraA Se 7ara7'eri!a es'a re7'a" por 'ener s%s (os pro$e77iones paralelas a la l;nea(e 'ierra" 7omo s%7e(e 7on la re7'a (e las i&%ras ,1 $ ,2)

odas las rectas situadas en el plano hori&ontal oparalelas a :l* se caracteri&an por pro+ectarse hori&ontal(ente enverdadera (agnitud;

@) Re7'a si'%a(a en el plano ver'i7al6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


34/334


G) Re7'a ver'i7al o perpen(i7%lar al plano hori!on'al6?s el caso de la recta Ten las


35/334


Co(o todas las rectas del plano de per


36/334

$ara considerar lo dicho* v:ase lo e6plicado en la


37/334

>

B

aJ

a

%J

%

aJ

%J

a

%

CvJ

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>

B

aJ

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Hh

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Hh

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B

h1a1 %1

i&) /* i&) /,

i&)// i&)/0

39

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



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B %J

%

vJJ

aJ >

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B

>

C

%1 c1 a1

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Ci&)/1 Ci&) /2

aJ>

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%J B

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40

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



39/334

rJ

r

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hhJ

rJ

r

i&) /5


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>aJ1

rJ1

rJ ra

rJ

r

aJ1

vvJ

hhJ

tJ

t

d

d

i&) 0 i&) 0*

e procede co(o se sa%e de acuerdo a los e,e(plos anterioresA se a%ate de B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



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") Re7'a =%e pasa por la l;nea (e 'ierra6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


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vJ

v hJ

h

rJ

r

tJ

t

rJ

sJ

s

r

i&) 00 i&) 01

11) Re7'a si'%a(a en el se&%n(o :ise7'or6 I


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1#) Re7'as =%e se 7or'an6 I


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Eer7i7ios61) Deter(inar en una recta todos los ele(entos .ue la co(ponen* co(o ser* tra&as* cuadrantes .ue cru&a* partes visi%les +ocultas* intersecciones I tra&as ) con los %isectoresA


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% J2 %2

h

h J

===

C

==C

v J

r J

v

r

% J 1

% 1

=

C

i&) 05

1@) eniendo una recta deter(inada por un punto en el hori&ontal anterior + otro en el vertical superior* u%icar un tercer punto .ue seencuentre en el pri(er cuadrante;

1!) ra&ar una recta vertical* con tra&a hori&ontal en el hori&ontal posterior;

1G) Di%u,ar espacial(ente* + en el depurado* una recta paralela a la l9nea de tierra* cu+a pro+eccin hori&ontal esta (s cerca a ella* .ue

al vertical; I


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1") epresentar una recta de punta* se7alando su tra&a con el pri(er %isector;

20) Di%u,ar una recta hori&ontal de cota 0;

21) ?n una recta .ue tenga su tra&a vertical* en el vertical superior* + la hori&ontal* en el hori&ontal anterior* se7alar su punto .ueest en el segundo cuadrante + segundo %isector;

22) Dada una recta AB* de per


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B

A

V . vC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


50/334

>a

H

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r%rJ

NnJ

'(J

nJ

(J

n

(

B%J

i&) 1/ i&) 10

No olvide(os s9 .ue una pro+eccin est sie(pre en la l9nea de tierra* de ah9 .ue para representar un punto del plano* se hace co(o en el casode los puntos a . a< + : . :


51/334

las tra&as de la recta C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


52/334

aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


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rJ

r

v

vJ h

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hJ1

sJ

s

v1

vJ1h1

i&) 1

56

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



55/334

Por (os re7'as =%e se 7or'an6 ?s el caso presentado en la


56/334

aJ

rJ

r

a

h

hJ

vJ

v

vJ1

v1

hJ1

h1i&) 2

sJ

s

De ah9 .ue se dice .ue la pro+eccin hori&ontal de esta recta de%e ser paralela a la tra&a hori&ontal del plano; $or eso la reglaA

To(a hori!on'al (e %n plano 'iene s% pro$e77i8n hori!on'al paralela a la 'ra!a hom8nima (el mismo nom:re (el plano" $ s%pro$e77i8n ver'i7al" paralela a la l;nea (e 'ierra) I


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R

rB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



58/334

R

r C> E ?CNL=>


59/334

V *

V

H

R

r

hhC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

?stas dos rectas .ue se aca%an de ver* de


61/334

pe d e e de u p a o* de%e e e a p o+ecc o o a * pe pe d cu a a su a a o o a - po a o o* po a a a o o a de a ec a*h* se tra&ar * perpendicular a dicha pro+eccin; Co(o la recta de%e pertenecer al plano* donde corte a la l9nea de tierra* se de%er unircon v< o tra&a vertical de la recta* I


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e a I g !8 ) s e p a o es ade s p o+ec a e o o a * po co s gu e e

To(os los p%n'os si'%a(os en l" se pro$e7'an hori!on'almen'e so:re s% 'ra!a hori!on'al * co(o se co(prue%a en elpunto a O a- lo (is(o ocurre con la recta r O r I


63/334

representarn perpendiculares a la l9nea de tierra + ade(s con


64/334

i&) 40 i&) 41

@) Plano ron'al o paralelo al ver'i7al6 >nloga(ente al anterior* no tiene tra&a vertical* siendo la hori&ontal* paralela a la l9nea detierra* pudiendo encontrarse de%a,o de ella si est delante* + enci(a* si detrs; I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



65/334

i&)42

!) Plano paralelo a la l;nea (e 'ierra6 >l ha%lar de la recta* se dio a entender .ue no ha+ ninguna .ue sea perpendicular a la ve&* alos dos planos de pro+eccin* pero s9 a su interseccin I L )* .ue es el caso de la recta de perD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



66/334

i&) 44 i&) 45

?n este caso las tra&as del plano no cortarn a la l9nea de tierra; Las (os 'ra!as < $ (el plano" son por 'an'o paralelas a la

l;nea (e 'ierra)odas las rectas hori&ontales + B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



67/334

i&) 4 i&) 5

Plano =%e pasa por la l;nea (e 'ierra6 ?ste es el 4nico caso en .ue el plano no .ueda deter(inado* por tener sus tra&as con


68/334

aJ

ai&) 5* i&) 5,

8) Plano perpen(i7%lar a los :ise7'oresA $ara una (e,or co(prensin del presente caso* e6a(inar atenta(ente la


69/334

>

D

N

'

B

C

i&) 5/

i&) 50

De ah9 .ueA To(o plano perpen(i7%lar al primer :ise7'or" 'iene s%s 'ra!as sim'ri7as respe7'o (e la LT* co(o sucede con el enel .ue se ve .ue a(%as tra&as s9 ocurre con el plano I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



70/334

d

d

i&) 51

?n caso de .ue el plano


71/334

aJ %J

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vJ

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d

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h

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v

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c

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aJhJhJ1

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i&) 52

i&) 54

E#ERCICIOS6

1; Deter(inar las tra&as de un plano del cual se conocen una recta paralela a la l9nea de tierra* + el punto C I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Nos da(os un punto D* en la recta AB* el .ue unido a C* deter(ina la recta CD* con lo .ue al cortarse en D* con la recta AB* nos deter(inar elplano %uscado; De ah9* por las tra&as de CD* pasare(os


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%Jd

%dJ

aJc

acJ

e

eJ

hJ2 v2

h2vJ2

vJ1v1

vJv

hhJ

h1hJ1

aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


75/334

: N

Ci&) /

V

H

B

I

Ci&) 0

80

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


$areciera un contrasentido todos estos ca(inos a(pulosos para deter(inar lo .ue a pri(era vista es si(ple- pero no es as9 por.ue los


79/334

$areciera un contrasentido todos estos ca(inos a(pulosos para deter(inar lo .ue a pri(era vista es si(ple- pero no es as9* por.ue losplanos au6iliares .ue se to(an* o estn dados* o son


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:C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

v E ?CNL=>

Plano pro$e7'an'e 7on o'ro (a(o por (os re7'as6 I


86/334

vJ

v hJ

h

iJ

i

vJiJ

v

i

1

1

1

1i&) */

i&) *0

88

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


ecta R con * da 7 . 7C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>


119/334

aJ

aJ

sJ

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rJ

hJ

h

v

vJ

>

B

C

i&) *00 i&) *01

121

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.--->C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

T

R A


120/334

'

R

r

A

T

C

B R.r

i&) *02 i&) *04

Re7'a perpen(i7%lar a %n plano6 I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


i %na re7'a R es perpen(i7%lar a %n plano " la pro$e77i8n or'o&onal r (e la re7'a so:re %n se&%n(o plano " esperpen(i7%lar a la 'ra!a ' (e 7on (i7ho plano )

>hora %ien* si es el plano hori&ontal de pro+eccin* resulta .ue si R es perpendicular a * su pro+eccin hori&ontal r ha deser perpendicular a la tra&a hori&ontal ' del plano; ?l (is(o ra&ona(iento se dar para el plano vertical de pro+eccin; De ah9 la reglaA


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t

r

rJ

r

%J

%

vJ

vhJ

h

B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Para =%e %na re7'a sea perpen(i7%lar a %n plano es pre7iso =%e las pro$e77iones (e la re7'a sean perpen(i7%lares a lashom8nimas (el plano)

i se .uiere tra&ar una recta r . r


122/334

perpendicular a las pro+ecciones verticales de las


123/334

s< a< vB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


rJ

vJ1

iJ


124/334

r

v

vJ

h

hJv1

hJ1

h1

iJ

iaJ

a

i&) *1,

?n el depuradoA < . es el plano* I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


A* es la interseccin entre R e I* coincidente con su tra&a hori&ontal; I


125/334

3no de los (uchos planos podr9a ser el pro+ectante ; i el plano ade(s de ser perpendicular a * de%iera pasar por unarecta S" I


126/334

B

C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

rJ

sJ

vJaJ

vJ1

iJ1


127/334

r

vJ2

v2

h2

hJ2

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i

a

v1

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h1

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hJ/

vJ/

v/

a1

aJ1

i1

%J

%

i&) *15

Primer pro7e(imien'o6 ean R + S las rectas .ue se cur&anI D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


?n el depuradoA I


128/334

@K $or la recta S* pasar un pro+ectante * .ue al cortarse con * nos per(ite encontrar el punto A*;

!K $or aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

R SR

B

N


129/334

C

E B

D

T

N

CR,

M

A S

R*

i&) *1 i&) *2

Sol%7i8n en el (ep%ra(o6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

s


130/334

rC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

#K La interseccin de + da la recta T" pro+eccin de S so%re ;

@K Desde C perpendicular a * hasta cortar T en el punto D;

!K $or Dparalela a R* hasta encontrar S* deter(inando el punto A;

GK Desde A* paralela a CD* hasta encontrar deter(inando; La recta ABes la solucin;


131/334

Ter7er pro7e(imien'o6 I


132/334

r

s

aJ

ar1

hJ

h

v

vJ

hJ1

h1

v1

%

% vJ2

v2

h2

hJ2

c

cJ

rJ2

r2(

(J

ni&) *2,

>plicando el segundo procedi(iento* el plano es el vertical de pro+eccin + la pro+eccin ' de s" es la recta ' . '< conD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


ra&a(os la perpendicular 7< (< . 7(* a ' . '< + por el punto de interseccin de a(%as* ( . (


133/334

s

r

t d

tJ

rJ cJ %J

c

%

i&) *2/

135

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



134/334

136

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


CUARTA UNIDAD


135/334

*). DISTANCIAS

Dis'an7ia en're (os p%n'os6Co(o se sa%e* la distancia entre dos puntos es la recta .ue los une;

$ro+ecta(os AB so%re en a:; I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

B

AC

:C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

rJ

sJ

vJ1

vJaJ


140/334

>

D B

i&) *4 r

s

v

v1 v

h1

h

hJ1hJ1

a

%J

%

i&) *4*

Dis'an7ia en're planos paralelos6 I


141/334

A B

D

i&) *4,

r

r

v1hJ

h

aJ

a

vJ1

vJ

hJ1

h1

%J

%

i&) *4/

M;nima (is'an7ia en're (os re7'as =%e se 7r%!an6I


142/334

M

R,

C

A

R,

i&) *40

E#ERCICIOS

*). Dis'an7ia (e %n p%n'o =%e se en7%en're en el primer 7%a(ran'e" a %na re7'a) > i&) (* ?

ea la recta I r r )* con tra&as v + h;

144

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


e trata de encontrar la distancia .ue ha+ entre el punto > I a a ) + dicha recta;

La distancia .ue ha+ entre dos ele(entos cuales.uiera* es la perpendicular .ue separa a a(%os; ?s decir .ue setrata de encontrar la recta .ue desde el punto >* sea perpendicular a ;

Co(o entre rectas no ha+ relacin directa de perpendicularidad* Ien el depurado)* ha+ .ue acudir a una de las rectasau6iliares* en este caso una hori&ontal* cu+a pro+eccin no paralela a la l9nea de tierra* sea perpendicular desde a* a r*pasando por a la pro+eccin vertical r; La tra&a vertical de esta recta es la v1;

>hora s9 podre(os pasar el plano perpendicular a la recta * + .ue pase por el punto >* .ue es desde donde se podr >hora s9 podre(os pasar el plano perpendicular a la recta * + .ue pase por el punto >* .ue es desde donde se podrtra&ar la perpendicular o distancia pedida en el presente e,ercicio- este plano es eltra&ar la perpendicular o distancia pedida en el presente e,ercicio- este plano es el . . * cu+a tra&a vertical* cu+a tra&a verticalpasar por vpasar por v11* tra&a vertical de la recta au6iliar .ue pasa por el punto >* perpendicular a r* desde cu+a interseccin* tra&a vertical de la recta au6iliar .ue pasa por el punto >* perpendicular a r* desde cu+a interseccin


143/334

p pp p * . p p p * p p * +. p p p p p +con la l9nea de tierra* se pasar la tra&a hori&ontal* perpendicular a la pro+eccin hori&ontal r de la recta;con la l9nea de tierra* se pasar la tra&a hori&ontal* perpendicular a la pro+eccin hori&ontal r de la recta;

eguida(ente d:%ese encontrar la interseccin de la recta con el plano* para lo .ue nos au6ilia(os de un plano eguida(ente d:%ese encontrar la interseccin de la recta con el plano* para lo .ue nos au6ilia(os de un planopro+ectante vertical .ue pase por la recta* procedi(iento este .ue nos per(ite encontrar el punto B* donde la rectapro+ectante vertical .ue pase por la recta* procedi(iento este .ue nos per(ite encontrar el punto B* donde la rectacorta al plano;corta al plano;

La unin de los puntos > + B* nos dar la distancia pedida; La unin de los puntos > + B* nos dar la distancia pedida;

$ara encontrar la verdadera (agnitud de esta distancia* se procede por los (:todos aplica%les al e


144/334

r

v

vhJ

aJ

a

vJ1

v1

vJ2

v2

h2

hJ2

%J

%

p

. i&) (, ?

146

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Los procedi(ientos a seguir son los (is(os .ue en el e,ercicio anterior* con la salvedad de .ue para encontrar el punto B I % % )*al no cortarse las tra&as hori&ontales + " de%e(os acudir al au6ilio de un plano


145/334

%

%J

sJ

s

D


146/334

a

aJ

t

v hJ

h

h1

hJ1h2

hJ2

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v2

%J

%

u

uJ

iJ i

a% T d

aJ%J T dJp

.

D

IB)

BD T distancia

* .ue ser una B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


vJ

h

rJ


147/334

a

aJ

v

hJ


148/334

$or los procedi(ientos enunciados en el e,ercicio anterior* Iutili&ando la recta au6iliar hori&ontal* < < * encontra(os .ue la distanciaes el seg(ento deter(inado por los puntos D + B;

1). En7on'rar la (is'an7ia (e %n p%n'o en el 7%ar'o 7%a(ran'e" a %na re7'a 7on 'ra!as v . h" $ =%e va (el primer 7%a(ran'e al'er7ero" pasan(o por el se&%n(o) > i&) (1 ?

$or ser un e,ercicio si(ilar al anterior* pero con distintos datos* los procedi(ientos para su solucin* son los (is(os* por lotanto %asta seguir los (is(os pasos .ue se utili&aron en a.u:l;

,).ABATIMIENTOS

>%atir es girar un plano so%re otro alrededor de su tra&a E con hasta hacerlo coincidir con :l; ?l e,e se lla(a7harnela) I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


N

R

B

A

(


149/334

M

R,C

A

R,

i&) *40

a

mJ >

i&) *41

A:a'imien'o (e %n p%n'o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


uponiendo pues .ue es el hori&ontal de pro+eccin se deduce la reglaA

Para a:a'ir %n p%n'o A so:re el plano hori!on'al " se 'ra!a (es(e s% pro$e77i8n hori!on'al a" laperpen(i7%lar am $ la paralela am< a la 'ra!a hori!on'al (el plano o 7harnela) So:re la paralela" a par'ir (e a" se lleva %nse&men'o i&%al a la 7o'a (el p%n'o > am< @ Aa ? $ se 'ra!a 7on 7en'ro en la in'erse77i8n m (e la perpen(i7%lar 7on la 'ra!a$ ra(io mm


150/334

a la 'ra!a hori!on'al (el plano =%e 7on'iene al p%n'o so:re la paralela" $ a par'ir (e a" se lleva %n se&men'o i&%al a la (is'an7ia (es(ela o'ra pro$e77i8n a la l;nea (e 'ierra $ 7on 7en'ro en el p%n'o (e in'erse77i8n (e la perpen(i7%lar 7on la 'ra!a" $ ra(io" la (is'an7ia(e es'e l'imo al eJ'remo (el se&men'o" se 'ra!a %n ar7o =%e 7or'ar a la perpen(i7%lar 7i'a(a en (os p%n'os =%e son losa:a'imien'os pe(i(os)

> veces no se usan los planos de pro+eccin para a%atir* sino otro paralelo a ellos* por e,e(plo el hori&ontal; ?s el caso de la


151/334

radJ

>

>1

hJ

h

d

i&) *42

153


152/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


?so pasa con la recta a: . a


153/334

a

a

c

%

r

v oo

BC

i&) *45

?n la (is(a


154/334

h2r

B


155/334

v

v hJ

hH

rJ

r

>

C

B

D

aJoJ

%J

a

d

%

h1H1

hJ1

c

cJ

dJ

i&) *5

O:'en7i8n (e las pro$e77iones (e %na i&%ra a:a'i(a (a(a6 I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


DatoA 3n ro(%o situado en el plano de (odo .ue su diagonal (a+or sea igual a l+ la (enor* a ';

?n el plano * u%ica(os la recta o%l9cua con tra&as + H;

$or la pro+eccin hori&ontal v* de la tra&a vertical de la recta* tra&a(os la perpendicular a la charnela * hasta cortar la curva tra&adacon centro el punto de la interseccin de las dos tra&as del plano* + radio el punto v* .ue es donde estar la tra&a vertical a%atida + .ue es pordonde pasar la tra&a vertical a%atida )

. La 'ra!a hori!on'al (e es'a re7'a" por es'ar en la 7harnela" es ia $ 'en(r 7omo nom:re h.H" =%e %ni(a a la 'ra!a

ver'i7al a:a'i(a men7iona(a l;neas arri:a" nos (ar la re7'a a:a'i(a HV)

. En es'a re7'a %:i7amos los p%n'os A" O" $ B" (es(e (on(e 'ra!amos perpen(i7%lares a la 7harnela has'a en7on'rar lapro$e77i8n hori!on'al (e la re7'a men7iona(a" en7on'ran(o a" o $ :)


156/334

. Des(e (i7hos p%n'os 'ra!amos perpen(i7%lares a la l;nea (e 'ierra has'a la pro$e77i8n ver'i7al (e la re7'a" %:i7an(o a" o$ :)

. Para en7on'rar las pro$e77iones (e los p%n'os C $ D" prolon&amos s'a has'a la 7harnela" %:i7an(o h*.H*" =%e ser s%'ra!a hori!on'al)

. Como es'a (ia&onal menor (el rom:o pasa por O" =%e $a es' a:a'i(o" (es(e h* $ h*" 'ra!amos l;neas =%e se %nan 7on

o $ o respe7'ivamen'e" hallan(o (e es'a manera s%s (os pro$e77iones). Des(e las pro$e77iones hori!on'ales 7 $ (" lan!amos perpen(i7%lares a la 7harnela has'a la pro$e77i8n hori!on'al h* . o"

hallan(o 7 $ (" (es(e (on(e levan'amos perpen(i7%lares a la l;nea (e 'ierra has'a en7on'rar la pro$e77i8n ver'i7al h*.o" %:i7an(o as;las pro$e77iones ver'i7ales 7 $ ()

. 3inalmen'e %nimos en're s; 'an'o las pro$e77iones hori!on'ales 7omo las ver'i7ales" (einin(ose (e es'a manera laspro$e77iones a:7( $ a:7( (el rom:o)

/). ANGULOS

?l ngulo


157/334

B

a

r

i&) *5* i&) *5,

i una recta


158/334

B A

D C B

C

A

i&) *5/i&) *50

An&%lo (e (os re7'as6ID >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


i es uno de los planos de pro+eccin* + B+ C son las tra&aUs de las rectas con el plano* a%ati(os so%re a el plano %ati(os entonces A so%re A + se (ide el ngulo ; I


159/334

r

t

s

s

hJ1v

v1ahJ

h1> B%

i&) *51

u solucin en el depurado es as9 I%ati(os A so%re )

161

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


# Las uniones de B + C con >* nos dan las rectas a%atidas + por lo tanto el ngulo de ellas;

:? Las re7'as se 7r%!an6

i en el caso anterior las rectas


160/334

A

B

C

RS

T

i&) *52

1K e halla la interseccin > con el plano (ediante un au6iliar pro+ectante vertical por la recta R;

2K $ro+ecta(os un punto cual.uiera B de R so%re el plano dado* por la recta + halla(os su interseccin con el plano* para locual por se pasa un pro+ectante hori&ontal *.ue se corta con KK seg4n la recta 1H1; La interseccin de v1h1 con s nos da el

punto C %uscado; La pro+eccin de R so%re es pues la unin de > + Cen a7 . a


161/334

r

h

%

s

c

h#

vJ#

a

th1

h/

i&) *541

la %ni8n (e h, F h/ F h0" 'ra!as ver'i7ales $ hori!on'ales respe7'ivamen'e (e las re7'as R" S" $ T)

#K o%re la charnela* a%atir el punto a . aBC I entre las rectas + Ipro+eccin de so%re?)

163

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


An&%lo (e (os planos6 I


162/334

>l igual .ue el caso anterior* va(os a solucionar el pro%le(a paso a paso;

1K Hallar la recta de interseccin de a(%os planos* .ue es la =* u%icando sus tra&as h . h< . v . vB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


R es la recta; $ara (edir su ngulo con el hori&ontal de pro+eccin* %asta a%atir su pro+ectante hori&ontal;

vJh

rJ a

JvJ1

rJ

vJ1

H


163/334

v hJ

r

a

v1

>

%B

Cc i&) *5

rJv hJ

r h

H

i&) *I

vJ

vhJ

h

rJ

r

H

i&) *I*

?l punto h est en la charnela- %asta a%atir su tra&a vert ical en W1 + (edir ;

Del (is(o (odo para ver su ngulo con el vertical de pro+eccin* un pro+ectante vertical ; v es D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a(%i:n se puede girar directa(ente so%re su e,e vertical I


164/334

vhJ

h

v 1

v1hJ1

h1

H

i&) *I,

%s:rvese .ue los lados del rectil9neo del diedro son precisa(ente la recta de (6i(a pendiente AB* con lo .ue el caso se

reduce al anterior* es decir %uscar el ngulo .ue


165/334

167

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



166/334

XUINTA UNIDAD

168

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


*). CAMBIO DE PLANOS

?l ca(%io de planos es un su%ter


167/334

H + Vson los planos de pro+eccin; 3n punto A del espacio se pro+ecta so%re a(%os en a +a


168/334

L

T

aa1

aJ1

HH1

L*

T*

aa1

L


169/334

i el ca(%io


170/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


La regla a seguir para esta conversin esA

Para hallar las n%evas 'ra!as (e %n plano < . al ha7er %n 7am:io (e plano ver'i7al" se 7olo7a a la 'ra!a hori!on'al =%e no var;a" s% n%eva le'ra *" $ se hallan las n%evas pro$e77iones o* . o


171/334

173

L aJ

aa1

%%1

LJ1

8J1

%J%J2

aJ1aJ2

L2

i&) *II

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


V

OoJoJ1

V*

8J1

oJ

oJ1


172/334

?ste procedi(iento no puede aplicarse en los casos en .ue no se corten las l9neas de tierra en el di%u,o;

2K Las l;neas (e 'ierra no se 7or'an en el (i:%o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


1

oJoJ1

1

rJ

vJ rJ

h

1

rJ1


173/334

HH1

1

LJ18J1

oo1

v1

vJ1h h

r

rJ1

rr1

L

LJ1

8J1v

rr1

h

hvJ1

v1

i&) ,, i&) ,/

Para hallar las n%evas 'ra!as (e %n plano al ee7'%arse %n 7am:io (e plano ver'i7al" se 7olo7a a la 'ra!a hori!on'al

=%e no var;a" s% n%eva le'ra * " $ se 'ra!a %na hori!on'al 7%al=%iera r . r< (el plano (a(o se halla l%e&o las n%evas

175

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


pro$e77iones r* . r


174/334

L1o

o1

1

i&) ,0


175/334

?sta ve& las pro+ecciones verticales .uedan D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


hJ

vJ1

vJ

hJ1v1L

8J1

oJ

o

oJ1

1

%J

cJaJ

%%1

%J1%J2

L2

%2IB)


176/334

h

h1

LJ1

1

cc1

aa1cJ1cJ2

aJ1aJ2

L2

a2I>)

c2IC)

i&) ,2

178

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


,). GIROS

i un punto gira alrededor de un e,e E* descri%e una circun


177/334

c) cunto gira

odos los giros se e


178/334

>

e

a/

a1a2 ai&) ,4

i&) ,5

> (edida .ue el punto gira* va deter(inando una circun


179/334

e

h

rs

h1

e

a

r

c

a1

%

%1

c1

r1

i&) ,i&) ,*

181

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


1K La re7'a 7or'a al ee6 I


180/334

#K $ara hallar la pro+eccin vertical* to(ar un punto cual.uiera : . :< + la gira(os hasta u%icar :

eJ

< J


181/334

ei&) ,** h2

h

c

1

c1

a1

%1

c2 C

a2 A

%2 Bi&) ,*,

1K $or un e,e vertical e . e


182/334

T* hori&ontal .ue contiene los puntos E + 3;

U*


183/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


vJ1

vJ

v1v oJ

o

hJ1

a

aJ

p

pJ

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v2

e


184/334

h1

1

B

> ? C

D

=

$

pc2 d

gi

i&) ,*0

- Levanta(os la recta .ue contiene los puntos A + C* .ue por pasar por P* %asta con levantar su tra&a vertical V*B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


hJv

vJ1

v1 hJ 2

tJ

rJsJ

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L

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1

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< J1

8J1

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c2IC)

d2ID)


185/334

1

hvJ

h2 t

s

r

dd1

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Las pro+ecciones de la


186/334

$or perpendiculares a LC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

vhJ

vJ

rJ

sJ vJ1

v1

aJ

%J

%

cJ

c

dJ

d

hJ2

h2

tJ

t

< J

g

J

g C

?

D


189/334

Desde cada una de las pro+ecciones hori&ontales a* %* c* d* e* .ue sern coincidentes con a1* %1* c1* d1* e1* se tra&anperpendiculares a L1 1* hasta alcan&ar 1* encontrando en ella a1* %1* c1* d1* e1;

e hace un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* paralelo a 1* la L2 2;

?l plano se convirti en hori&ontal* paralelo a 2* coincidente con 1;

Desde las pro+ecciones a1* %1* c1* d1* e1* se tra&an perpendiculares a la nueva l9nea de tierra L2 2* llevando a :stas losale,a(ientos .ue ten9an a1* %1* c1* d1* e1* respecto de su l9nea de tierra L1 1;

?stos puntos as9 o%tenidos* sern los puntos >2* B2* C2* D2* ?2* v:rtices de la D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


oJeJ

%JcJ

hJ1

hJ

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sJ

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18

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82

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190/334

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c2C

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i&) ,*5

192

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


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191/334

Ci&),*

h1

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1


192/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---



193/334

195


194/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


o7'ae(ro I8 caras)

(o(e7ae(ro I12 caras)

i7osae(ro I20 caras)

Las radiales se dividen en cnicas I pir(ide + cono )* + cil9ndricas I cilindro + pris(a );

?l grupo de las super


195/334

Plano normal6 e dice .ue una recta es nor(al a una super


196/334

i&) ,,6 Es7o7ia i&) ,,*6 Comp%es'a i&) ,,,

198

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


>

C

HD

?

?

>

D

C

B


197/334

Bi&) ,,/

B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


i& ,,2 i& ,,4 i& ,,5


198/334

i&) ,,2 i&) ,,4 i&) ,,5

Polie(ros6 ?s un cuerpo li(itado po r superB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Los poliedros regulares son cincoA I tienen todas sus caras + ngulos iguales ) 'e'rae(ro" eJae(ro" o7'ae(ro" (o(e7ae(ro" ei7osae(ro) odos ellos pueden ser circunscritos en una es


199/334

S

Co(o sus caras son paralelas* las pro+ecciones de sus lados opuestos de%ern ser paralelas* al igual .ue las %ases + aristas; I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a

%

%1

aJ eJ%J

dJ cJ

aJ1 eJ1 %J1dJ1cJ1

v J

hJ

v

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v1

s

v J1

t J

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t

hJ2

h2

r

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eJ

< J

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e


200/334

c

de a1

%1

c1

d1e1i&) ,,

h

h2%

c d

6

e1

i&) ,/

2K $ara hallar las pro+ecciones del pris(a* tra&a(os tres rectasA una o%l9cua r F r" =%e 7on'iene los p%n'os ( F e" la

hori&ontal s F s *con los puntos % O e* + la D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


#K irar luego e . J alrededor de un e,e vertical .ue pasa por e F e* hasta convertirla en


201/334

h

vJr

>

B

C

D

a

%

h1

d

c

6

61

611

%1

a1

c1

d1

i&) ,/ a

Cons'r%ir %n eJae(ro >7%:o? (e la(o l" el mismo =%e se en7%en'ra apo$a(o en %n plano o:l;7%o

?s un caso id:ntico al e,ercicio anterior* slo .ue ha+ .ue tener en cuenta .ue al colocar la verdadera (agnitud de la altura* :sta serigual al lado del cuadrado de la %ase* por ser todas las aristas iguales por ser un poliedro regular; ID >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma por %n plano =%e lo 7or'e6

$ara hallar la interseccin de un plano con un pris(a* %asta hallar la interseccin con sus aristas; I


202/334

2K $or la arista 7 . (* prolongando hasta la tra&a * se u%ica H* .ue unido con * . * * nos da 2. , ;

/K $rolongando ( . e* u%ica(os el punto H2 + con :l* / . /


203/334

B

2

/

#

d e

R

i&) ,/*

S

T

d

e

a1

%1

c1

d1e1

1

h HH1

2H2

H/

/

H2

1

1

2

#

@

i&) ,/,

Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma o:l;7%o por %n plano (e 7an'o6

Co(o el caso es el de un pro+ectante vertical* sus intersecciones con la tra&a vert ical son las cotas con cada arista* .ue luegose reB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a %

c

d

e

aJ eJ %JcJ dJ

aJ1eJ1%J1 cJ1 dJ1

1

c1%1

1J2J /J

#J @J

1

#

/a

e

d

%

aJ %J

e

J cJ

dJ


204/334

a1

e1

d1

1

2

@

i&) ,//

c%

i&) ,/0

Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma re7'o por %n plano (e 7an'o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a

>

%

B

J

H

'

(J

a% c

aJ eJ %J dJ cJ

aJ1eJ1%J1 dJ1 cJ1

rJ

hJhJ1

h1

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6JJ

6J +J

1J

2J

sJ


205/334


206/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


e trata de un pris(a o%l9cuo cortado por la recta r . r


207/334

?n el plano * (ediante rectas hori&ontales hace(os contener la %ase de una pir(ide a : 7 ( . a< :< 7< (C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

v J

h J v

C

N B

c

%

c J %J

h1

hJ1

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nJ

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d J

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6 J

61

6J1'

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aJ1aJ

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r

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a

% 1

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v1

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hJ2

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dJ

6J

6J1

61

oJ21oJ2

oJ11 oJ1

o21o11

o1

o2


208/334

hC

D 6i&) ,0

h

o1

o2

C D

6

i&) ,0*

@K $ara u%icar el cuarto v:rtice* levanta(os la altura desde o . oB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Cons'r%77i8n (e %n o7'ae(ro" 7%$a :ase 7%(ra(a es' 7on'eni(a en el plano I trav:s de los procedi(ientos aplicados en re%ati(ientos* pri(ero deter(ina(os la %ase cuadrada del octaedro* apo+ada en elplano hori&ontal;

3na ve& a%atido el plano* deter(ina(os el centro Odel cuadrado* en la diagonal so%re la re7ta B F V*" + luego laconstruccin de dicho cuadrado

por la aplicacin


209/334

misma =%e so:re %n ee ima&inario ver'i7al" (es(e o F o" la &iramos has'a 7onver'irla en ron'al" es'an(o en O[ la al'%ra en ver(a(erama&ni'%()

La altura en verdadera (agnitud del octaedro* se ve so%re la pro+eccin hori&ontal > AD" o BC ?; $ara ello* esteseg(ento es llevado a O[* deter(in(ando o* @ o," los (is(os .ue por giro inverso* lleva(os a las pro+ecciones de la recta O[*encontrando o* $ o,* pro+ecciones de las c4spides opuestas* las (is(as .ue per(itirn ver la pro+eccin de la B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


hJv

vJ

d

dJ

(

e

eJ

c o%

a

cJ

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v

vJ

a

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210/334

h

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pi&) ,0,

%i&) ,0/

vc

d e


211/334

CONO

uper


212/334

% H

i&) ,01

a

d

e

vr

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


CJ

C

D

a n

d

(%

c o

cJ aJ%JoJnJ(J

dJ

vJ

v i&) ,05


213/334

D (%

i&) ,04

Represen'a7i8n (el 7onoA I


214/334

' . ' a la %ase del cono;

2K ?l plano tangente es el deter(inado por la generatri& v : . v< :B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


rJ vJ cJ

c

v

r

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%

%J t J

t

aJ

a

i&) ,0

cn

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(

aJ

a

i&) ,1

vJcJ

c

vJ

o%

%JhJ

h

r

rJ

oJaJ

a

i&) ,1*


215/334

#K ?l plano tangente est deter(inado por la tangente h : . h< :


216/334

i&) ,1/

Se77iones planas (el 7ono6 I


217/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


1

2/

#

o

MJ

aJ

M a

HJ

vJ

v

%J

%

< J


218/334

@ !c

i&) ,10i&) ,11

In'erse77i8n (e re7'a $ 7ono6 I


219/334

vr

h i&) ,12

CILINDRO

iene a ser un cono cu+o v:rtice se encuentra en el inD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Represen'a7i8n6

upong(oslo apo+ado en el plano hori&ontal; I


220/334

Plano 'an&en'e6 I


221/334

( d

a n

cMM1i&) ,14

Apli7a7i8n al sis'ema (i(ri7o en el (ep%ra(o6 I


222/334

%a

h


223/334


224/334


225/334


226/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


ea o . o< el centro de la es


227/334

a (c o

d

%

n

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


i la pro+eccin vertical 7< de un punto de la es


228/334

r i&) ,21 r ( n

i conoce(os la pro+eccin hori&ontal (" situada en la circun


229/334

tra&ado de :sta* siguiendo el procedi(iento indicado en la


230/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


por la arista d d- a(%os planos al cortarse* nos dan una recta de interseccin v h* .ue deter(ina el punto 1 en la interseccin de :stacon la arista d;

> partir del punto 1 o%tenido en el paso anterior* se procede a %uscar el segundo 2* para lo .ue prolonga(os la arista d e hasta latra&a hori&ontal " en donde (arca(os el punto I tra&a hori&ontal de dicha recta )* el (is(o .ue unido al punto 1 de la arista d* nosper(ite encontrar el 2 en la arista e;

i(ilar procedi(iento hace(os con la arista de la %ase e


231/334

la interseccin de las tra&as del plano con la l9nea de tierra* hasta cortar la perpendicular (encionada* .ue es por dondeto(ar la direccin la tra&a vertical a%atida del plano desde la interseccin antes (enciolnada;

Co(o las tra&as hori&ontales de las rectas .ue deter(inaron la


232/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Co(o pri(era (edida* de%ido a .ue el pris(a es de las (is(as caracter9sticas .ue las del e,ercicio anterior* aplicando la le+ deal ser el ca(%io de plano* hori&ontal* son las pro+ecciones verticales las .ue no ca(%ian de no(%re Islo de su%9ndice)* por lo .uedesde ellas se tra&an perpendiculares a la nueva l9nea de tierra* hasta cortar a la nueva tra&a hori&ontal ** en donde se encontrarnlas nuevas pro+ecciones verticales de la seccin resultante en el corte del pris(a por el plano o%licuo;

'ediante un segundo ca(%io de plano I verticalA L2 2 )* paralelo a la tra&a hori&ontal ** o%tendre(os las pro+ecciones


233/334

Co(o en los dos e,ercicios anteriores* pri(ero conseguire(os la seccin deter(inada en el pris(a por el plano secante . * la(is(a .ue est deter(inada por los v:rtices encontrados + deno(inados por los n4(eros 1 1* 2 2* / /* # #* @ @ + ! !;

'ediante un pri(er giro* converti(os al plano en pro+ectante vertical* para lo .ue utili&are(os un e,e vertical e2 e2* .ue se cortarpara el eB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


/J


234/334

e1

D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


0

o

h

%

1

e

2

/< B

@

!

d

c


235/334

e1

%1

a1


236/334

La prolongacin de la arista c d* de la %ase* corta a la tra&a hori&ontal * del plano* en el punto * .ue unido con el punto 1 de laarista levantada por c* deter(inar el segundo punto* el 2;

$rolongando la arista d e hasta la tra&a hori&ontal del plano* encontra(os $* .ue unido con 2* deter(inar el tercer punto de laseccin* el /;

La prolongacin de la arista a e de la %ase* encuentra a la tra&a hori&ontal del plano* en el punto * desde donde uni(os con el /*prolongando hasta la arista .ue pasa por a* hallando as9 el cuarto punto * el #;

238

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


a

aJ

%

%J

c

cJ

d

dJ

e

eJ

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o

vJ

v

hJ

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1

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2

$

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/

#J

#

@J

@

/

0

1


237/334

h

* ,

C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

?l .uinto punto de la interseccin se encuentra a partir de la prolongacin de la arista a %* hasta la tra&a hori&ontal en el punto *desde donde uniendo con el punto #* de la (is(a


238/334

deter(inando de esta B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


'ediante un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* coloca(os la nueva l9nea de tierra L2 2* paralela a la tra&a 'ediante un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* coloca(os la nueva l9nea de tierra L2 2* paralela a la tra&averticalvertical ** tra&ando perpendiculares desde los puntos alineados so%re esta tra&a vertical* + llevando a ellas el ale,a(iento deltra&ando perpendiculares desde los puntos alineados so%re esta tra&a vertical* + llevando a ellas el ale,a(iento delsegundo estado* encontrare(os so%re L2 2* la verdadera (agnitud de la seccinsegundo estado* encontrare(os so%re L2 2* la verdadera (agnitud de la seccin *" ," /" 0" 1)*" ," /" 0" 1)

2). En7on'rar la ver(a(era ma&ni'%( (e la se77i8n (e %na pirmi(e heJa&onal" apo$a(a so:re el plano hori!on'al" 7or'a(a por%n plano o:li7%o" %'ili!an(o el pro7e(imien'o (e &iros) > i&) VM2 ?

$ri(ero .ue nada* al igual .ue en los e,ercicios precedentes* tendre(os .ue encontrar la seccin producida en la pir(ide por el

plano o%licuo . * utili&ando para ello la le+ de a


239/334

Desde estas 4lti(as* %a,a(os perpendiculares a la l9nea de tierra* hasta encontrar las paralelas a la l9nea de tierra tra&adas desde laspro+ecciones hori&ontales giradas en el paso anterior;

?n estas intersecciones estarn las posiciones de la seccin de la pir(ide vista en verdadera (agnitud* * . , . / . 0 . 1 . 2)

241

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


vJ


240/334

L

*

1

,

0

/

242

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


$


241/334

L

oo

J

INTERSECCION DE SUPER3ICIES

243

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


$ara poder encontrar la interseccin de dos super


242/334

?n el e,e(plo presentado* un cilindro corta parcial(ente a un pris(a* vi:ndose .ue algunas generatrices I la del arco [+\ )* sone6teriores al pris(a* + viceversa; La curva de interseccin [PN+\MG[* est C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>

( 6

+n

i&) ,25


243/334

La R*.ue es tangente a C*en la %ase* en D* corta a la %ase en 4+ ** + la R0 .ue es tangente a C** en 0* corta a la %ase C= en > + N;inal(ente la R1* tangente a la %ase del C** en O* .ue es e6terior a la %ase del C*;

$or D* tra&a(os una arista del C** la .ue se cortar con las aristas tra&adas por * + 4 de C,* en D* + D4;

$or C + E* de C** se reali&ar la (is(a operacin* cortando en C2 . C,* + E2 . E,* a las aristas levantadas por 2 + ,"de C,;

245


244/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


D

?

'

N

1 2

/

#

@

!G

D1

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/

N#

C2 B

/

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B@

>#

C!DG

?!


245/334

1

2

/

#

@

>BC

D

247

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


B

C

D ?

'

F

$

N


246/334

,). Pene'ra7i8n

e entiende por penetracin el hecho de .ue un cuerpo atrviesa co(pleta(ente a otro* B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Eemplo (e apli7a7i8n N *6 I


247/334

La recta R/corta en / + 4 a la %ase del C, + en 3 + O a la del C*)

Las paralelas por ellos a sus respectivas aristas* lo hacen en 3/* O/* + en 34 + O4)

?n G0* P0* + G2* P2* encontra(os las intersecciones de las paralelas a sus respectivas aristas;

inal(ente R1 .ue es la tangente a la %ase del C,* corta a la del C* en H+X;

?stos puntos se reD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


12

/#

@

C1C2

12/

#@

!

G8

'N$

F H?

D

D1 ?2

/#

H@!

G?8

'1N2/$#

F@$!G

N8

i&) ,4,


248/334

D*.E,.3/.G0.34.E5* ser la curva de penetracin del cilindro C,* en el cilindro C*;

M*.N,.O/.P0.X1.P2.O4.H5* ser la curva de salida del cilindro C,en el C1;

250

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


Eemplo (e apli7a7i8n N ,6 I

B

CD

?

1

2

/

@

!

G

1

2

?/

D#C#

B@

>!

G

!

?@

B/

>2


249/334

#

i&) ,4/

ene(os el caso de un pris(a triangular* .ue m%er(ea otro trape&oidal* .ue presenta si(ilitud con el caso anterior* + .ue por

tanto* se sigue en :l los (is(os pasos La recta R** corta a la %ase del P, en los puntos * + 4* + es tangente a la %ase del pris(a ** en el puntoG;

251

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


$asando por el punto*paralelas a sus aristas laterales* se corta a la arista .ue arranca en Gdel pris(a** en los puntos G* + G4)

Haciendo lo (is(o con la recta R,* por los puntos,+2* se corta a las aristas porA* en A,+ A2* + a la paralela por 3 a sus aristaslaterales* en3, + 32;

=de( por R/* encontra(os B/" B1* +E/" E1;

$or 4lti(o con la R0* encontra(osC0+ D0;

inal(ente uniendo ordenada(ente los puntos* se o%tiene la seccin G* . A, . B/ . C0. B1 . A2 . G4 . 32 . E1 . D0 . E/. 3, . G*;

/). Pene'ra7i8n 'an&en7ial

?s el caso en el .ue las rectas au6iliares de los tra&os au6iliares* son tangentes a una de las super


250/334

Las rectesR,+ R1* tangentes a la %ase del cono* se encuentran en[;

. La con,uncin de las generatrices del cono I* a 5)* se encuentra en O** .ue al unirse con [* es paralela a las aristas del cilindro;

252


251/334


252/334

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


La unin sucesiva de los puntos de interseccin da la seccin E1 . 32 . G4 . H5 . +* . H, . G/ . 30 . E1 . D2 . C4 . B5 . A*

. B, . C/ . D0 . E1)

0). Pene'ra7i8n mJima6 I


253/334

De la (is(a (anera con la recta R0* encontra(os D1 . D + H0 F H;

Con R1* a trav:s de ! + 8* se encuentran E2 F E5 + G1 . G;

R2 al cortar a la %ase del O* en 4* + a la del O, en 3* deter(inan los puntos Gen las elipses seccin;

La unin sucesiva de los puntos deter(inados* nos per(ite encontrar las dos elipses seccinA A* . B** . C* . D F E5 F 34 FG2 . H2 . H1 . M0 . N/ . A, " por un lado* +A A, F B/ F C0 F D1 FE2 F 34 F G5 F H F M* . N** . A** por otro;

255

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


$

>

D

C

B

?

d


254/334

i&) ,42

256

3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---


1

2

/

@

2

/

arq. hugo durán canelas geometría descriptiva

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