Aritmatika Biner&

Rangkaian Kombinasi(Adder, Subtractor)

By Muzakki

PenjumlahanAturan dasar penjumlahan pada sistem bilangan biner :

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0, simpan (carry) 1

103

(1000)102

(100)101

(10)100

(1)83

23

38

Simpan (carry) 1 1

Jumlah 1 1 6 1

Penjumlahan Desimal

25

3224

1623

822

421

220 1

11

11

00

01

11

Simpan (carry) 1 1 1 1

Jumlah 1 1 0 1 0 0

Penjumlahan Biner

Kelemahan Unsigned Integer

• Hanya dapat menyatakan bilangan positif saja

• Sistem ini tidak bisa digunakan untuk menyatakan integer negatif

Bit BertandaBit 0 menyatakan bilangan positifBit 1 menyatakan bilangan negatif

A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0

0 1 1 0 1 0 0 = + 52

B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0

1 1 1 0 1 0 0 = - 52

Bit Tanda

Bit Tanda

Magnitude

Magnitude

Kelemahan Representasi Nilai Tanda

• Adanya representasi ganda pada nilai 0– -000000002 = - 0

– 100000002 = + 0

• Masalah pada operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan yang membutuhkan pertimbangan tanda maupun nilai bilangan

Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2’s complement form)

Komplemen ke 2

Komplemen ke 1Biner 0 diubah menjadi 1Biner 1 diubah menjadi 0

1 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1

Misal

Biner Awal

Komplemen pertama

Membuat Komplemen ke 21. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB)

1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 0

10 1 0 0 1 1

Misal

Biner Awal = 45

Komplemen 1

Tambah 1 pada LSB

Komplemen 2

Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 21. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan

dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB.

2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB

0 1 0 1 1 0 1 Biner = + 45

1 0 1 0 0 1 1 Biner = - 45

Bit Tanda

Bit Tanda Biner asli

Komplemen ke 2

NegasiOperasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya.Hal tersebut dilakukan dengan meng-komplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendakiMisal : negasi dari + 9 adalah – 9

+ 9 = 01001 Biner awal- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2)+ 9 = 01001 Di negasi lagi

Dua bilangan positifDilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4

Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2

+9 0 1 0 0 1

+4 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih kecilMisal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari komplemen ke dua dari +4

+9 0 1 0 0 1

-4 1 1 1 0 0

0 0 1 0 11

Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)

Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih BesarMisal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari komplemen ke dua dari +9

-9 1 0 1 1 1

+4 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

Dua Bilangan NegatifMisal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing – masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4

-9 1 0 1 1 1

-4 1 1 1 0 0

1 0 0 1 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

1

Carry diabaikan

Operasi PenguranganAturan Umum

0 – 0 = 01 – 0 = 11 – 1 = 00 – 1 =1 , pinjam 1

1 1 1 0

1 0 1 1

1 1 Pinjam

0 0 1 1 Hasil

Misal

Operasi PenguranganOperasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada

dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak berbeda dengan contoh – contoh operasi penjumlahan sebelumnya.

Prosedur pengurangan 1. Negasikan pengurang.2. Tambahkan pada yang dikurangi3. Hasil penjumlahan merupakan selisih antara

pengurang dan yang dikurangi

Misal : +9 dikurangi +4+9 01001+4 00100 -

Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama dengan operasi+9 01001-4 11100 +

+9 0 1 0 0 1

-4 1 1 1 0 0

0 0 1 0 11

Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)

1 0 0 1 91 0 1 1 111 0 0 1

1 0 0 10 0 0 0

1 0 0 11 1 0 0 0 1 1 99

Perkalian BinerPerkalian biner dilakukan sebagaimana perkalian desimal

Rangkaian Kombinasi

Rangkaian kombinasi terdiri dari gerbang – gerbang logika dimana keluaran (output) pada waktu t dtk ditentukan secara langsung oleh kombinasi masukannya (input) juga pada waktu t dtk, tanpa memperhatikan masukan sebelumnya (t-1) dtk.

Adder (penjumlah)Half AdderHalf Adder adalah rangkaian logika yang keluarannya merupakan jumlahan dari 2 bit. Input terdiri dari input X dan Y, dan keluarannya berupa S (jumlahan) dan C (Carry).

Tabel Kebenarannya :

X Y C S

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

0 1

0 0 1

1 1 0

XY 0 1

0 0 0

1 0 1

XY

Notasi Boolean :S = x’y + xy’C = xy

Full AdderRangkaian Full Adder merupakan rangkaian kombinasi yang membentuk penjumlahan aritmatika dari 3 bit input. Terdiri dari 3 bit input ( x, y, z) dan 2 bit output ( S dan C). X dan Y menyatakan dua bit yang akan dijumlahkan dan z menyatakan carry dari keadaan sebelumnya. Tabel Kebenaran

X Y Z C S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Skema Full Adder

00 01 11 10

0 1 1

1 1 1

yzx

00 01 11 10

0 1

1 1 1 1

yzx

S = x’y’z + x’yz’ + xy’z’ + xyz

C = xy + xz + yz

Pengurang (Subtractor)Half SubtractorMerupakan rangkaian kombinasi yang digunakan untuk mendapatkan selisih dari dua bit input (masukkannya). Input terdiri dari x dan y, an keluaran terdiri dari B (Borrow) dan D (Difference).Tabel Kebenaran X Y B D

0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

D = x’y + xy’ B = x’yTampak notasi boolean untuk D mempunyai notasi yang sama dengan notasi bolean S

Full SubtractorMerupakan rangkaian kombinasi yang membentuk pengurangan antara 2 bit dengan memperhitungkan 1 yang dipinjam dari posisi sebelumnya. Rangkaian Full Subtractor memiliki 3 input (x,y,z) dan dua output (B dan D).Tabel Kebenaran dari Full SubtractorX Y Z B D0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

D = x’y’z + x’yz’ +xy’z’ + xyzB = x’y + x’z + yz

THANK