Tema8. Valoracin de opciones por el mtodo binomial8.1 Valoracin de opciones call europeas mediante rboles binomiales de un paso 8.2 Valoracin de opciones call europeas mediante rboles binomiales de dos pasos 8.3 Valoracin de opciones put americanas por el mtodo binomial

8.1 Valoracin de opciones call europeas mediante rboles binomiales de un paso

Consideremos una opcin call europea sobre una accin que no paga dividendos durante la vida de la opcin.

El valor actual de la accin es S = 20 $ La opcin vence dentro de 3 meses El precio de ejercicio es X = 21 $ El tipo de inters sin riesgo a 3 meses es el 12% anual continuo.

Se sabe que al cabo de 3 meses la accin slo puede valer 22 $ bien 18 $.

t=0

t = T = 3/12 aos ST = 22 cT = 1

S = 20 c =? ST = 18 cT = 0

Si al cabo de 3 meses la accin vale ST = 22 $, la opcin ser ejercida y valdr ST - X = 22 - 21 = 1 $. Si al cabo de 3 meses la accin vale ST = 18 $, la opcin no ser ejercida y valdr cero. Por tanto, el valor de la opcin en los nudos finales del rbol se calcula como : max(ST - X, 0).

El objetivo es calcular el valor de la opcin en el nudo inicial del rbol.

Es posible encontrar un mtodo sencillo para calcular ese valor inicial de la opcin.

Consideremos una cartera consistente en posiciones largas en ( acciones y una posicin corta en una opcin de compra. El valor actual de la cartera es: (S - c = 20( - c Si al cabo de los 3 meses la accin vale 22 $, entonces la cartera valdr 22( - 1

Si, por el contrario, al cabo de los 3 meses la accin vale 18 $, entonces la cartera valdr 18(

Vamos a elegir el valor de ( (el nmero de acciones a comprar) de forma que la cartera no tenga riesgo, es decir, que ofrezca siempre los mismos pagos: 22( - 1 = 18( ( = 0,25 acciones

Es cierto que en la prctica no es posible comprar 0,25 acciones. Sin embargo, la estrategia seguira siendo vlida comprando 0,25 x 4 = 1 accin y vendiendo 1 x 4 = 4 opciones.

Como hemos formado una cartera libre de riesgo, su rentabilidad debe ser la del tipo de inters sin riesgo, ya que de lo contrario existiran oportunidades de arbitraje.

Valor final de la cartera = (Valor inicial de la cartera) x e0,12x3/12 18( = 22( - 1 = 18 x 0,25 = 4,5 = (0,25 x 20 - c) x e0,12x3/12 c = 0,633 $

El ejemplo considerado es muy sencillo, pero muy irrealista, ya que supone que la accin slo puede tomar dos valores en el momento del vencimiento, cuando en la prctica puede tomar cualquier valor entre cero e infinito.

Para aproximarnos ms a la realidad, vamos a aumentar el nmero de nudos finales del rbol, aumentando el nmero de pasos.

8.2 Valoracin de opciones call europeas mediante rboles binomiales de dos pasos

Consideremos una opcin call europea sobre una accin que no paga dividendos durante la vida de la opcin.

El valor actual de la accin es S = 20 $ La opcin vence dentro de 6 meses, que dividimos en dos subperiodos de 3 meses cada uno.

El tipo de inters sin riesgo es el 12% anual continuo, para todos los vencimientos.

El precio de ejercicio es X = 21 $ Al final de cada subperiodo el precio de la accin puede subir o bajar un 10%.

D S = 24,2 B S = 22 A S=20 C S = 18 F E

S = 19,8

S = 16,2

El objetivo es encontrar el valor de la opcin en el nudo inicial del rbol.

El valor de la opcin en los nudos finales es:

cD = max(24,2 - 21, 0) = 3,2 cE = max(19,8 - 21, 0) = 0 cF = max(16,2 - 21, 0) = 0

Para calcular el valor de la opcin en el nudo B nos fijaremos en la parte del rbol que comienza en dicho nudo.

t = 3/12 aos

t = T = 6/12 aos SD = 24,2 cD = 3,2

SB = 22 CB = ? SE = 19,8 cE = 0

Tenemos un rbol de un solo paso. Por tanto, procederamos como en el apartado anterior y hallaramos: cB = 2,0257 $

De forma anloga procederamos en el nudo C. Sin embargo, el nudo C conduce nicamente a los nudos E y F, donde la opcin siempre vale cero.

Por tanto: cc = 0 $

Por tanto, slo quedara hallar el valor de la opcin en el nudo inicial del rbol.

Para ello, nos fijamos en el siguiente rbol de un solo paso.

t = 0 aos

t = T = 3/12 aos SB = 22 cB = 2,0257

SA = 20 cA = ? SC = 18 cC = 0

Procediendo como en el apartado anterior (formando una cartera libre de riesgo e igualando su rentabilidad a la del activo seguro), obtenemos el valor de la opcin en A: cB = 1,2823 $

8.3 Valoracin de una put americana por el mtodo binomial

Consideremos una opcin americana de venta a dos aos, con un precio de ejercicio de X = 52 $, sobre unas acciones cuyo precio inicial es S = 50 $.

Dividiremos la vida de la opcin en dos subperiodos de un ao cada uno.

Al final de cada subperiodo el precio de la accin puede subir o bajar un 20%.

El tipo de inters sin riesgo es el 5% anual continuo para todos los vencimientos.

D SD = 72 B SB = 60 A SA =50 E

SE = 48C SC = 40 F

PA = ?

SF = 32

El valor de la opcin en los nudos finales se calcula como: Max(X - ST, 0)

Por tanto:

PD = max(52 - 72, 0) = 0 PE = max(52 - 48, 0) = 4 PF = max(52 - 32, 0) = 20

Ahora nos situamos en el nudo B. Si la opcin fuese europea, procediendo como anteriormente, obtendramos que su valor es 1,4147 $.

Sin embargo, como la opcin es americana, cabe la posibilidad de ejercer en el nudo B, obtenindose: Max(52 - 60, 0) = 0

Como el resultado de ejercer es menor que el valor de la opcin si no se ejerciese, la opcin no ser ejercida en el nudo B y, por tanto, valdr 1,4147 $ en B

Es decir, cuando la opcin es americana, debemos comparar el resultado de ejercer con el valor que se obtendra si no se ejerciera y tomar el mayor de ambos.

Situmonos ahora en el nudo C. Si la opcin fuese europea, obtendramos que su valor sera 9.4636 $.

Si ejerciramos la opcin en el nudo C, obtendramos: Max(52 - 40, 0) = 12

Como el resultado de ejercer inmediatamente es mayor que el valor de la opcin si no se ejerciese, se preferira ejercer en el nudo C.

Por tanto, el valor de la opcin en C es: 12 $

Ahora slo nos falta calcular el valor de la opcin en el nudo A.

Procediendo como si fuese europea, obtendramos un valor de: 5,0894 $

Si la opcin se ejerciese en el nudo A, obtendramos: max(52 - 50, 0) = 2 $

Como el resultado de ejercer es menor que el de no ejercer, la opcin valdra en el nudo A: SA = 5,0894 $

En la prctica se usan rboles binomiales para valorar opciones, pero considerando un gran nmero de pasos, de forma que se obtenga un abanico suficientemente amplio de valores finales de la opcin.

El nmero de pasos considerados debe ser, al menos, tan grande como el nmero de das que faltan para el vencimiento de la opcin.

Lgicamente, en estos casos el valor de la opcin debe calcularse con la ayuda de ordenadores.