arapski matematicari (skribda), nikola carević

7/22/2019 Arapski matematicari (skribda), Nikola Carevi

1/22

Univerzitet u Beogradu

MATEMATIKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD

Arapski matematiari:GEOMETRIJSKA ALGEBRA

Nikola CareviMM 196/94.

Beograd 1999.


2/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 2

S a d r a j

I. SREDNJOVEKOVNA ARAPSKA CIVILIZACIJA 3

KRATAK ISTORIJSKI PRESEK 3

PREVODIOCI I NASTAVLJAI 4

AL-HOREZMI 4

II. ALGEBROM KROZ GEOMETRIJU 5

PRISTUP 5

GRKI UZORI 5

JEDNAINE DRUGOG STEPENA 7

Traktat al-Horezmija 7

Negativnost i iracionalnost 8

Tipovi kvadratnih jednaina 8

Dva primera 9

Broj 11Abu-Kamil 12

JEDNAINE TREEG STEPENA 12

Omar al-Hajam 12

Parabola i kubni koren 12

Tipovi kubnih jednaina 14

Prvi tip kubnih jednaina 15

Kardanovi obrasci 15

III. POGLED UNAZAD 17

DAVID NJ. HENDERSON: OSVRT 17

VREDNOST ARAPSKIH DOSTIGNUA 18

IV. LITERATURA 19


3/22


Srednjovekovna arapska civilizacija

KRATAK ISTORIJSKI PRESEK

U savremenom svetu Arapi su poznati po naftnim bogatstvimai ratovima koji se vode oko njih. Meutim, malo je poznat velikiudeo Arapa u ouvanju kulturne batine i drevnih znanja Starogaveka, to je od posebnog znaaja u matematici i filozofiji. Dabismo objasnili odakle se pojavila ova sjajna srednjovekovnacivilizacija, moramo se upoznati sa osnovnim injenicama izarapske istorije i sa njihovim teritorijalnim osvajanjima1 .

Arabljanska plemena poluostrva Arabije dugo su tavorila usklopu svog plemenskog mnogoboakog ustrojstva - na rubu svihstarovekovnih dogaaja. Osim minimalnog trgovakog doprinosa,uglavnom su bili izolovani od drugih razvijenih naroda, alikoliko sputani, toliko i zatieni negostoljubivom klimom

Arabije.Munjeviti uspon arapske civilizacije poinje zapravopojavom Muhameda u VII veku. On je sebe obznanio za proroka novevere islama i preveo Arabljane u monoteizam koji je samzasnovao. To je ubrzo dovelo do velikih pomeranja i osvajanja,pa su Arabljani poeli da provaljuju u plodne krajeve Sirije,Palestine i Mesopotamije. Osvojene su nove teritorije u Iraku,Persiji, Egiptu, Libiji, a kasnija proirenja odnosila su se napodruje od panije i Sicilije do doline Ganga u Indiji. Na ovomogromnom prostoru arapski kolonizatori susreli su se sa raznimautohtonim kulturama, a doli su u dodir i sa Francima,Vizantijom, raznim helenistikim dravicama Istoka, kao i sabogatom kulturom Indije i Persije.

Opti kulturni i nauni napredak Arapskog carstva zapoeoje u doba svetovne dinastije Umajada (661-750) ija jeprestonica bio Damask u Siriji. Ovi vladari ratovali su saVizantijom, osvojili severnu Afriku i paniju, severnu i zapadnuIndiju i prodrli do Turana u Srednjoj Aziji. U to vreme arapskije jezik dobio gramatiku i preovladao je u celom Carstvu.Ostvareni su prvi vaniji kontakti sa evropskom civilizacijom, ajedan od najvanijih posrednika bio je hrianski apologeta Sv.

Jovan Damatanski (Joannes Damascenus) koji je upoznavao arapskeuenjake sa hrianskom verom, grkom filozofijom i vizantijskomumetnou. Naime, vei deo dananje zapadne Evrope tada jeodisao varvarskim nazorima, pa je Vizantija bila usmerena nasvoje nove june susede.

Jo vei zamah napretka usledio je u vreme teokratskedinastije Abasida kada je centar drave premeten u Bagdad iosnovan Bagdadski halifat. Ova dinastija vladala je sa manjimprekidima od 750. do 1258. god. kada su je unitili Mongoli. Toje bio period u kome je Arapsko carstvo preraslo u Islamskihalifat, jer je preteno arapski i sekularni karakter Umajadskogcarstva pretvoren u opti islamski, internacionalni karakter.

1 Prema: Philip K. Hitti - ISTORIJA ARAPA; Deo I, II i III


4/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 4Rase i nacije koje su prihvatile islam imale su punopravnouee u svim sferama dravnog i drutvenog ivota, a to seodnosilo i na nauku.

Helenizam je ostvario najvei strani uticaj na arapskiivot; gradovi kao to su Edesa, Haran, Antiohija i Aleksandrijabili su centri odakle se (i posredstvom Arapa) helenizam irio usvim pravcima. Od posebnog znaaja za sakupljanje naunih

saznanja bio je rad arapskih prevodilaca sa grkog jezika.

PREVODIOCI I NASTAVLJAI

Smatra se da je poetkom IX veka prevedeno Ptolomejevo deloLJuadri partitum. Prema al-Masudiju, arapskom Herodotu, otprilike uisto vreme prevedeni su Euklidovi Elementi i Ptolomejev Almagest

(arap. al-Majisti, od gr. = najvea) - osnovna dela geometrijei astronomije kroz mnoge vekove, a to je najverovatnije uinio

Haranac ibn-Matara (al-Hajjaj ibn-Yusuf ibn-Matara, 786-833)2. Izgledada je upravo on pripremio i druga dva prevoda Elemenata, onaj zaibn-Raida i za al-Mamuna, velikog astronoma, i to pre nego to

je Hunein (Hunayn) pripremio svoj prevod.Kao jo jednog vanog prethodnika arapske autohtone

matematike potrebno je da navedemo al-Fazarija (Muhammad ibn-Ibrahim al-Fazari). Naime, nauno prouavanje astronomije u islamuzapoeto je 771. god. kada je u Bagdad doneseno indijsko delo

Siddhanta, arap. Sindhind, koje je al-Fazari preveo. Na osnovu togaal-Mamunovi astronomi izvrili su jednu od najteih operacija -merenje duine jednog stepena geografske irine, podpretpostavkom da je Zemlja okrugla. Al-Fazarijeva je zaslugauvoenje indijske aritmetike u arapsku nauku, pre svega, oznakeza nulu.3

Sve ovo je dovelo do laganog, ali uspenog napretka arapskematematike i pojave veeg broja naunika. Pored onih o kojima e

vie biti rei kasnije, pomenimo al-Nasavija (Ahmad al-Nasanji, umrooko 1040) u ijem se delu al-Muljnifi al-Hisab al-Hindi (Dokazivainduskog rauna) objanjava deljenje razlomaka i raunanjekvadratnog i kubnog korena, uz korienje indijskih brojki, asve to na skoro savremen nain4. NJegov prethodnik u ovakvompristupu bio je poznati arapski matematiar al-Horezmi. Mada namto ovde nije od veeg znaaja, pomenimo kao vaan deo arapskog

doprinosa matematici i delo Kitab al-Hayah autora ibn-Aflaha (Jabiribn-Aflah) u kome se nalazi veoma vano poglavlje o trigonometrijiravni i prostora. Vrlo je verovatno da je oko dva i po stolea

pre ibn-Aflaha Sabejac al-Batani (al-Battani, umro 929) prvipronaao pojmove i oznake analogne dananjim trigonometrijskimodnosima.5

Bez obzira to je prevoenje indijskih dela na arapskiprethodilo prevoenju grkih matematikih dela, njihov uticaj je

2 Philip K. Hitti: ISTORIJA ARAPA, str. 288-292.3 Isto, str. 340-344.4 Isto, str. 345.5 Isto, str. 516.


5/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 5bio obrnut - u arapskoj matematici i nauci uopte najjae seoseaju grki uticaji.

AL-HOREZMI

Glavna linost u ranom razvoju arapske matematike bio je

ve pomenuti al-Horezmi (Muhammad ibn-Musa al-Khnjarizmi, 780-850).

Pored toga to je sastavio najstarije astronomske tablice, al-Horezmi je napisao najstarije poznato delo o aritmetici sauvanosamo u prevodu, a isti je sluaj i sa njegovim najpoznatijim

algebarskim delom Hisab al-Jabr njal-Muljabalah. Ovo delo sadri vieod 800 primera, od kojih se samo neki javljaju ranije kod

Neovavilonaca. Hisab al-Jabr preveo je na latinski u XII vekuGerardo iz Kremone i sve do XVI veka upotrebljavano je kaoglavni matematiki uxbenik na evropskim univerzitetima.Najpoznatiji nastavljai al-Horezmija bili su Omar al-Hajam,

Leonardo Fibonai (Fibonacci) iz Pize i Jakov iz Firence6.

Algebrom kroz geometriju

PRISTUP

U dananjem razvijenom obliku matematiki jezik i pismoslue nam ne samo da se lake izrazimo, ve i da nam olakajudalja usavravanja teorija. Poznato je da je to proizvod 25-vekovnog razvoja, ali najplodniji period za nastanak tog jezikabila su poslednja dva stolea. U vreme o kojem ovde govorimo, ato je po evropskoj hronologiji rani Srednji vek, mnogi termini ioznake nisu jo bili uoblieni, a iskazivanje matematikihteorija bilo je u velikoj meri deskriptivno. Naneizdiferenciranost pojedinih matematikih oblasti uticala je inerazvijenost tog jezika, a mnoge od njih, poput matematikeanalize, tada jo nisu ni postojale.

Vrlo je zanimljivo razmotriti kako se raalo jedno monomatematiko sredstvo - algebra - koja u to vreme nije bila nitadrugo do pokuaj sinteze euklidosvke geometrije i pitagorejskearitmetike. Naime, elementarna geometrija razvila se nekihhiljadu godina ranije i bavila se prostornim odnosima isvojstvima figura, pre svega simetrinih. Antika grka misaonije razdvajala strogo ak ni ovakve oblasti od filozofije iestetike, a isto se odnosilo na broj i aritmetiku. U svemu jetraena harmonija, proporcija i simetrija, a to je uobliavano u

aristotelovske sisteme dedukcije i optije logike zakonitosti.Razmotriemo ovom prilikom neke nepoznatije puteve

reavanja algebarskih problema, pre svega jednaina drugog itreeg stepena. Mada su se arapski matematiari vrlo uspenobavili i mnogo sloenijim problemima, i ovo e biti dovoljno dashvatimo genijalnost njihovih ideja i postupaka, s obzirom da je

6 Isto, str. 345.


6/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 6na Dekartovu analitiku geometriju trebalo ekati bezmalomilenijum. Ideja je, dakle, sledea: za konkretne probleme utrgovini, nasleivanju i raznim proraunima trebalo je pronainajefikasnije naine reavanja koristei se pri tomegeometrijom, novouvedenom terminologijom i podesnim indijskimbrojkama, kao i bitno drugaijim pristupom dotadanjojgeometriji - onim to bismo danas mogli nazvati algebrom kroz

geometriju (tj. algebrom postavljenom i iskazanom geometrijski,gde su rezultati bili aritmetiki) ili, krae i manje precizno,geometrijskom algebrom.

GRKI UZORI

Bilo bi pretenciozno rei da su Arapi izmisliligeometrijski pristup algebri. NJihova prednost bila je veepoklanjanje panje broju i aritmetici uopte, to kod Grka nijebilo preterano na ceni ukoliko izuzmemo Pitagoru. Pored svega,Grci su brojeve zapisivali grkim slovima koristei njihovupoziciju u alfabetskom poretku - tzv. tri eneade, za jedinice,desetice i stotine, pri emu znak za nulu nije bio poznat.

U Euklidovim Elementima () moemo pronai niztvrenja tog tipa7. Algebarsko pravilo za kvadrat binoma

222 b2ababa

ima svoju interpretaciju u II knjizi Elemenata:

II.4: Ako se data du proizvoljnopodeli, kvadrat nad celom dui jednakje zbiru kvadrata nad odsecima idvostrukog pravougaonika obuhvaenog

odsecima.Prema Plutarhovim reima,

pitagorejci su se bavili sledeimfundamentalnim problemom grkegeometrije:

Konstruisati pravolinijski lik sliandatom pravolinijskom liku i jednakdrugom datom pravolinijskom liku.

Ovde je zapravo re o tome da se na datoj dui konstruieparalelogram koji je (po povrini) jednak datom pravolinijskom

liku i slian datom paralelogramu. Konstrukcija ovakvogparalelograma ne podrazumeva da e cela du predstavljati stranuparalelograma, ve razlikujemo tri sluaja:

data du AB moe biti jednaka strani paralelograma AN, tj.AB =AN,

AB >AN; tada paralelogram nad preostalim delom NB dui nazivamomanjak,

7 Plazini} Vera: PITAGOREJSKA [KOLA (seminarski rad), str. 17.


7/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 7 AB < AN; tada paralelogram nad dodatkom BN dui AB nazivamo

viak.

S obzirom na vanost i znaaj koji su arapski matematiari

pridavali Euklidovim tvrenjima II.5, II.6 i II.14, razmotriemo jednood njih8:

II.5: Ako se data du ABpodeli dvema takama (C i D respektivno) ina jednake (taka C) i na nejednake (taka D) delove, zbirpravougaonika obuhvaenog nejednakim delovima cele dui ikvadrata nad dui izmeu deonih taaka bie jednak kvadratu nad

polovinom dui.

Ovo tvrenje moemo iskazati ovako:

22CBCDDBAD .

Ukoliko povrinu gnomona NOPoznaimo sa P, a povrinu

pravougaonika sa dijagonalom AH sa, iz prethodne jednakosti sledie:

PDOADBMAD .

Ako stavimo AB = a, BM=x, odnosno AD = a -x, i ako bi povrinagnomona NOPbila dat broj (npr. b 2), tada, budui da je mogueprema Euklidovim stavovima I.45 i II.14 konstruisati kvadrat jednakdatom pravolinijskom liku, prethodna jednaina postaje:

2bxxa

U smislu pomenutog Plutarhovog iskaza, to znai da na

datoj dui a treba konstruisati pravougaonik koji e biti jednak

datom kvadratu b 2i to sa manjkom u obliku kvadrata (x2 = DHMB).

Poslednji zakljuak navodi nas na potrebu da odredimo x,odnosno poloaj take D na pravoj AB, a to emo sprovestiuobiajnim savremenim nainom reavanja kvadratne jednaine:

.bxaa

b

aa

xb

aa

x

baaxbaxxbxxa

2

22

2

22

2

2

22222

22

2222

2

4

20

8 Plazini} Vera: PITAGOREJSKA [KOLA (seminarski rad), str. 18-19.


8/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 8Poslednja jednakost veoma podsea na primenu Pitagorine

teoreme, tj. na pravougli trougao ija je hipotenuza2

a, a

katete xa

2i b. To znai da se x moe dobiti konstruktivno

konstrukcijom take D iz navedenog trougla.

O ve pomenutom ugledanju na Euklida i ostale grkematematiare najbolje svedoe rei samog Omara al-Hajama:

Ko god misli da algebra podrazumeva vetinu u radu sanepoznatim veliinama, u zabludi je. Ne treba obraati panju nainjenicu da su algebra i geometrija razliite u svojoj pojavi.Algebre (jabr, muljabalah) predstavljaju geometrijske injenice toje pokazano tvrenjima pet i est druge knjige (Euklidovih)Elemenata Omar Khayyam, a paper - A: Khayyam (1963)9.

Budui da smo uglavnom naznaili pravce razmiljanja kojimje arapske matematiare odvela grka misao, kao i najvanije

konkretne uzore, prei emo sada na detaljniji opis arapskihdostignua u geometrijskoj algebri, pre svega kod al-Horezmija ial-Hajama.

JEDNAINE DRUGOG STEPENA

TRAKTAT AL-HOREZMIJA. Pomenuli smo ve al-Horezmijevalgebarski traktat iji je pun naziv Al-LJitab al-Muhtasar fi Hisab al-Jabrnjal-Muljabalah. Tano znaenje rei al-jabr i al-muljabalah emo uskororazjasniti. Ovaj traktakt se sastoji od tri dela: algebarskogdela (sa malom glavom o prostom trojnom pravilu), manjeggeometrijskog dela o merenjima i opirne knjige o zavetanjima10.Najvaniji latinski prevodi ovog dela su seviljski prevod

Roberta iz estera (1145) i toledski prevod Gerarda iz Kremone(1114-1187).

Da bismo mogli uspeno da pratimo osnove izlaganja okvadratnim jednainama, moramo da razjasnimo najpre al-Horezmijevu terminologiju. On kae da ljudi u aritmetici rade sa

prostim brojevima - dirhem (od gr. , novana jedinica).Meutim, u algebri se razmatraju tri vrste brojeva: dirhem, jizr(xizr = koren) ili shay (aj = stvar) i mal (novana suma,imovina)11. Prema al-Horezmijevom tumaenju, xizr bi bionepoznata ili koren, a mal kvadrat.

NEGATIVNOST I IRACIONALNOST. Pre nego to razmotrimotipove kvadratnih jednaina kod al-Horezmija, moramo objasnitikako su se on i njegovi nastavljai odnosili prema negativnim i

9 D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 126.10 Prema: A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 191.11 Isto, str. 192.


9/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 9iracionalnim brojevima. Do pre nekoliko vekova12 korienje

negativnih brojeva se uglavnom izbegavalo. U XVI veku evropskimatematiari ove brojeve nazivali su numeri fictici. Razloge za tosasvim dobro je obrazloio Augustus de Morgan 1831. godine:

Imaginarni izraz a i negativan izraz b su slini u tome

to se oba pojavljuju kao reenja zadataka koji naznauju nekunekonzistentnost ili apsurd. to se njihovog realnog smislatie, oba su podjednako imaginarna jer je a0 isto tako

nepojmljivo kao i a .

Al-Horezmijevo izlaganje nije simboliko, ve vrlodeskriptivno i razvueno, pa on ukazuje na postojanje brojevnih

kvadratnih iracionalnosti i naziva ih jizr asam, tj. nemi iligluvi koren13. To je najverovatnije prevod grke rei ijeje znaenje ovde neizgovorljiv, neizraziv, u smislu da nepostoji odnos izmeu rei i pojma, tj. da se ona ne odnosi ni na

ta. Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta resauvala se do XVIII veka paralelno sa reju irrationalis.

Negativni koeficijenti su dosledno izbegavani, to je idovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje est osnovnih tipovakvadratnih jednaina umesto jednog jedinog - onog koji danas

nazivamo kanonskim oblikom 02 cbxax . Pored toga, uoavamodoslednost u izjednaavanju koeficijenta uz kvadrat sajedinicom. tavie, i iracionalne veliine al-Horezmi veomaretko koristi; one se javljaju samo u nekoliko jednaina tipa

qx 2 i kod jedne potpune kvadratne jednaine 21010 xx , odnosno

xx 301002 , sa korenom 5515x .

TIPOVI KVADRATNIH JEDNAINA. Iz razloga koje smo naveli u

prethodnoj taki, al-Horezmijeva klasifikacija jednaina bila jeovakva14:

1) bxax 2 - kvadrati su jednaki korenima (mal = xizr),

2) cax 2 - kvadrati su jednaki broju (mal = dirhem),

3) cax - koreni su jednaki broju (xizr = dirhem),

4) cbxax 2 - kvadrati i koreni su jednaki broju (mal + xizr= dirhem),

5) bxcax 2 - kvadrati i brojevi su jednaki korenu (mal +dirhem = xizr),

6) 2axcbx - koreni i brojevi su jednaki kvadratu (xizr +dirhem = mal).

Za reavanje bilo koje drugaije jednaine potrebno je daona bude svedena na neki od navedenih tipova. Ukoliko se pojaveumanjioci, njih eliminiemo operacijom al-xabr, tj.

12 Prema: D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 127-128.13 Prema: A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 197.14 Isto, str. 192.


10/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 10dopunjavanjem. To podrazumeva da se obema stranama jednakostidodaju lanovi jednaki umanjiocima (bilo da su oni tipa dirhem,xizr ili mal). Sve istovrsne lanove zatim svodimo na jedanjedini operacijom al-mukabala, tj. sravnjivanjem. Primetna jetendencija da se vodei koeficijenat kvadratne jednaine svedena jedinicu zato to su pravila reavanja jednaina tipa 4-6.formulisana za takav sluaj. Navedene operacije nale su mesto,

kao to smo se uverili, u samom nazivu traktata.

Razmotriemo jedan primer15 primene navedenog metodasvoenja na tip. Neka imamo uslov koji u savremenoj notacijimoemo zapisati u obliku

5810 22 xx , odnosno 58201002 2 xx .

Al-Horezmi postupno transformie ovu jednainu:

xx 20581002 2 (al-xabr),

zatim je deli sa 2 i svodi na jednainu petog tipa:

xx 10212 (al-mukabala).

Zapadni Arapi, pre svega oni u paniji, izgovarali su glasxim ne kao x, ve kao g, pa i re al-xabrkao al-gabr. U ovomobliku re algebra ula je u sve evropske jezike, a videli smoda je njeno prvobitno znaenje bilo dopunjavanje. Potrebno jenapomenuti dve okolnosti u vezi navedenih tipova. Kod prvog tipa

al-Horezmi jednainu bxax 2 smatra linearnom i ne uzima u obzirreenje 0 koje nije interesantno u primenama. U drugom tipu

jednaina ( cax 2

) nepoznata se ne javlja samo kao koren, ve ikao kvadrat, pa al-Horezmi naglaava koje je njeno reenje po

korenu, a koje po kvadratu. Tako za jednainu xx 52 navodi

koren 5x , ali dodaje da je kvadrat te jednaine 252 x ( jer

255 2 xx ).

DVA PRIMERA16. Konano, razmotrimo metod reavanja nekihtipskih jednaina. Najee al-Horezmi nalazi reenja pomou dverazliite konstrukcije koje obe odgovaraju dopuni do kvadrata.Posmatrajmo jednainu

39102

xx .

Al-Horezmi podie traeni

kvadrat 2x i nad njegovimivicama konstruie etiri

15 A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 193.16 Isto, str. 194-196.


11/22


pravougaonika visine4

10, pa se u uglovima velikog kvadrata

dobijaju etiri kvadrata ija je ivica jednaka visinipravougaonika. Odatle sledi da je povrina velikog kvadrata

644

10439

2

, a ivica 84

102 x . Jasno je da je cilj reavanja

i bio da se dobije ivica (xizr iz mala), pa iz poslednjeg sledida je reenje polazne kvadratne jednaine:

34

1028 xx .

Uopte, za jednaine etvrtog tipa

qpxx 2

algebarske transformacije koje odgovaraju geometrijskim susledee:

22

2

44

44

44

p

qp

xp

x ,

22

44

42

p

qp

x ,

2

44

42

p

qp

x ,

22

2pp

qx

.

Drugi nain dopune do kvadrata u istomprimeru postaje nam jasan ako paljivorazmotrimo sliku; ovde je re o sledeimalgebarskim transformacijama:

22

2

2222

p

qp

xp

x

jer 10p , 39q i22

2

2

1039

2

10

2

102

xx ,

odnosno: 391025392552 22 xxxx .

Razmotrimo sada drugi primer i jednainu petog tipa

pxqx 2 .

Al-Horezmiju je bilo poznato da ovakve jednaine imaju ili dva(pozitivna) korena, ili jedan (dvostruki) ili nijedan (obaimaginarna). Pravilo za ovaj tip ilustrovano je reavanjem

jednaine iji su koreni 31x i 72x :


12/22


xx 10212 .

Uputstva su, naravno, deskriptivna: ...prepolovi koren, bie 5;i pomnoi to samim sobom, bie 25; i oduzmi od toga 21, koje jedodatak kvadratu, ostaje 4; izvuci iz toga koren, bie 2; ioduzmi to od polovine korena, tj. 5, ostaje 3 ; to e i bitikoren kvadrata koji ti trai, a kvadrat je 9. A ako hoe,dopuni to polovinom korena, bie 7 ; i to je - koren kvadratakoji trai, a kvadrat je 49. Ako se sretne sa zadatkomnavedenim u ovoj glavi, proveri njegovu ispravnost pomou

sabiranja; ako nije tako, reenje se sigurno dobija pomouoduzimanja. Znaj takoe, da kad god prepolovljava korene imnoi samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatogkvadratu, zadatak je nemogu, a ako je jednak dirhemu, korenkvadrata jednak je polovini korena bez dodavanja i

oduzimanja...

Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva sluaja,tj. na korene:

qpp

x

2

122

i qpp

x

2

222

.

Detaljno emo razmotriti sluaj

x1, dok je za drugi sluaj uoksfordskom arapskom rukopisureeno samo to da se koren

dobija ako dui DH dodamo JH.Mogue je da je al-Horezmi znao

da konstruie reenje togsluaja, ali je problem nastaokod prepisivaa i prevodilaca.Vratimo se prvom korenu:

Pravougaonik GCDEima ivice GC= p i CD = x, a ine ga kvadratABCD = x 2 i njemu dodati pravougaonik GBAE = qxxp . Uz

prtpostavku2

px , u taki F koja je sredite dui GC

konstruiemo vertikalu FH, a nju jo produimo za AH= HK= xp

2.

Treba da dopunimo kvadrate GFKM =2

2

pi JHKL =

2

2

x

p. Po

konstrukciji jednaki su meu sobom pravougaonici EJLMi FBAH, paje zbog toga kvadrat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i sumepravougaonika GFHE i EJLM:

JHKL = GFKM - (GFHE + EJLM)

qp

xp

22

22.

Odatle je ivica


13/22


JH=AH= qp

2

2,

a traena ivica

x =AD = HD -HA = qpp

2

22.

BROJ . Kroz ove primere naznaili smo ukratko velikuumenost al-Horezmija u reavanju kvadratnih jednaina.NJegovo delo, meutim, obuhvata i mnoge druge probleme s kojimase ovom prilikom ne moemo detaljnije upoznati. U vezi sa

iracionalnostima navodimo njegovo shvatanje broja .On je za odnos duine obima prema preniku kruga predloio

tri znaenja17:7

13 , 10 i

20000

62832. Tvrdi da je povrina kruga

jednaka polovini prenika pomnoenim polovinom obima:

22

2

222r

rr

Or

OdP , zato to je za povrinu pravilnog

mnogougla: 2

OP ( je radijus upisanog kruga).

ABU-KAMIL. Abu-LJamil (850-930) je egipatski arapski nauniki jedan od najuspenijih nastavljaa dela al-Horezmija. NJegovaje algebra ograniena na kvadratne jednaine18 kao i kod al-Horezmija, a svoj traktat zapoinje reenjima kanonskih tipova.Analogno, njegova reenja su geometrijske prirode.

Mnogi postupci abu-Kamila slini su al-Horezmijevim, alije kod njega od svih staroarapskih matematiara najizraenijaravnopravnost korena jednaine i kvadrat tog korena. Novost je u

tome to abu-Kamil ne predstavlja obavezno mal kvadratom ilixizr preko dui, ve kod njega kvadrat moe biti predstavljenpreko dui i sl, to omoguava upotrebu veih stepena (npr. mal-mal , tj. kvadrat kvadrata ili etvrti stepen itd).

Glavne zasluge abu-Kamila su te to se u izlaganju njegovealgebre mogu zapaziti unapreenje teorijskog nivoa (odvajanje odkonkretnih primena) i jaka tendencija ka aritmetizaciji, bezobzira na korienje geometrije u dokazima. On sasvim otvorenoiskazuje opte algebarske identinosti i redovno skree panjuitaocu na njihov znaaj. U primerima koje izlae, kvadratneiracionalnosti tretirane su uvek kao brojevi, odnosno kaoobjekti isto aritmetike prirode - bilo kao koreni jednaina,bilo kao koeficijenti.

JEDNAINE TREEG STEPENA

OMAR AL-HAJAM. Omar al-Khayyam19 (oko 1040-1123) jePersijanac iji se veliki rezultati u matematici pre svega

17 A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 206.18 A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 208-217.19 Prema: D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE,str. 126.


14/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 14odnose na izuavanje kvadratnih jednaina, konusnih preseka ikorena kubnih jednaina. NJegov postupak reavanja kubnihjednaina moe se koristiti za nalaenje svih realnih korena

jednaina treeg stepena, a opisan je u delu Al-Jabr njal-Muljabalah.Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je ire poznat

na Zapadu po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat.Uspeno je reavao kvadratne jednaine geometrijskim

metodom - dopunom kvadrata, u emu mnogo podsea na al-Horezmija. Klasifikacija sadri tk. est kanonskih tipovajednaina drugog stepena, a u nekim konstrukcijama al-Hajam se

poziva direktno na Euklida i tvrenja kao to je II.14 drugeknjige Elemenata. Naravno da i al-Hajam izbegava direktno dapominje upotrebu negativnih korena kvadratnih jednaina, ali tu

moramo imati na umu sledee injenice20 : neka je -r (r > 0)

negativan koren jednaine cbxx 2 . Tada je crbr 2 ,

odnosno cbrr 2 , to znai da je r pozitivan koren jednaine

cbxx 2 . Dakle, apsolutna vrednost negativnog korena prvejednaine je pozitivan koren druge jednaine i obratno.

Budui da smo o osnovnim idejama reavanja jednainadrugog stepena dosta detaljno govorili i u vezi sa traktatom al-Horezmija, obratiemo sada vie panje na ono ime se al-Horezminije bavio - jednaine treeg stepena.

PARABOLA I KUBNI KOREN. Kada se suoimo sa jednainamatreeg stepena, nastaju mnogo vei problemi nego to je tosluaj sa kvadratnim jednainama. Jasno je da nikakvim dopunamado kvadrata ne moemo nai korene kubnih jednaina, pa je zatoneophodno da pribegnemo drugaijim reenjima. Izlaz za ovajproblem nude nam konusni preseci kao to su parabola i(pravougaona) hiperbola21. Kao dovoljno ilustrativan primerkonstrukcije konusnog preseka, konstruisaemo parabolu, a zatimkubni koren.

Konstrukcija kubnog korena zasniva se na osobini koju suuoili jo grki matematiari: 22

bacb

c

b

d

d

c

c

a

b

d

d

c

c

a 232

,

gde u specijalnom sluaju 1a dobijamo bc 3 ukoliko pronaemo c

idtakve da je ddadc 12 i bcd 2 . Ako su ci dpromenljive, ab konstanta, tada ove dve jednaine

.constbbcddc 22

20 Isto, str. 130.21 Isto, str. 131-133.22

Prema: D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 131.


15/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 15moemo smatrati jednainama dveju parabola ije su ose normalne,a teme im je u istoj taki. Na ove injenice treba dobroobratiti panju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korena.

Al-Hajam je prihvatio grki postupak

konstruisanja parabole. Naime, ako je ABdu, tada je parabola sa temenom B iparametrom AB takva kriva p za koju,ukoliko taka C pripada krivoj p, zapravougaonik CDBE vai

BDABBE 2 .

S obzirom da su Dekartove koordinate

take C zaista (BE, BD), ova je jednakost vrlo bliska danas

uobiajnoj kanonskoj jednaini parabole: pxy 22 . Konstrukcijuparabole, dakle, koristimo za konstrukciju kubnog korena, a zakonstrukciju taaka parabole konstrukciju kvadratnog korena.

Sada moemo da razmortimo samu konstrukciju

kubnog korena ( bc 3 ) 23. Neka je b proizvoljanpozitivan broj ili duina dui i oznaimo ga b= AB. Konstruiimo taku C takvu da je CBnormala na AB u taki B i CB = 1. Premanavedenoj konstrukciji, konstruiimo parabolu

sa temenom B i parametrom AB, kao i parabolu saistim temenom i parametrom CB. Oznaimo sa Epresek tih dveju krivih i konstruiimo

pravougaonik BFEG. Tada je:

BGCBGEBFABFE 22 .

Oznaimo li c= GE= BF i d= BG =FE, imamo tada

001 33422 cbccbcbccdcbcd .

Inae, grki matematiari su vrlo temeljito izuili osobinekonusnih preseka, to je kulminiralo Apolonijevim delom Konikeiz 200. g. pre Hrista.

TIPOVI KUBNIH JEDNAINA. Izbegavanje negativnihkoeficijenata ponovo je razlog zato se kod al-Hajama javljaju

tipovi kubnih jednaina. Na sasvim slian nain na koji je on (apre njega al-Horezmi) postupio sa kvadratnim jednainama,izvedeno je devetnaest tipova kubnih jednaina24 koje su iskazanekorienjem iskljuivo pozitivnih koeficijenata.

23

Prema: Isto, str. 132.24 Prema: D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 134.


16/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 16Meu navedenih devetnaest, pet tipova mogu da se svedu na

kvadratne jednaine, dok preostalih etrnaest al-Hajam reavapomou konusnih preseka. Na taj nain mogue je pronai sve

pozitivne korene svakog tipa. Umesto razmatranja svakog tipa

ponaosob, D.NJ. Henderson predlae vrlo prosta svoenja ovihetrnaest tipova na samo tri, pored onih tipova koji su ve

reeni ranijim konstrukcijama (npr. bx 3 ), a zatim daje al-Hajamova reenja za te tipove25. Uvedimo smenu u kubnu jednainuiji je vodei koeficijenat 1:

Rr,q,prqypyy 023 3

pxy

0333

23

rp

xqp

xpp

x

0333

2

rpq

qxpp

xp

x

0

33

2

93

2 2

2r

pqqx

px

px

px

0327

2

9

4

3

2

93

2 32

22

23r

pqqx

px

px

px

px

px

027

2792

3

3 32

3 rpqpxpq

x

27

2792

3

30

323 rpqp

t,pq

stsxx .

Sveli smo, dakle, kubnu jednainu na oblik u kome se nepojavljuje kvadratni, ve samo kubni, linearni i slobodni lan.Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim

pozitivnim koeficijentima, pa umesto etrnaest, sada imamo samoetiri tipa koja nisu prethodno reena:

(1) baxx 3 , (2) axbx 3 , (3) baxx 3 i (4)

03 baxx .

Jasno je da ovakvo svoenje al-Hajam nije mogao da izvedezbog nepostojanja prikladne matematike simbolike, ali nama jeovom prilikom korisno da skratimo postupak u cilju izbegavanjamogunosti da nam zbog velikog broja tipova kubnih jednainaizmaknu najvanije al-Hajamove ideje i metodi.

Pokazuje se da je za nalaenje svih korena svih kubnih

jednaina potrebno pronai postupak za reavanje tipova 1 - 3,to je dovoljno da bi se reio i navedeni tip 4. Pre nego torazmotrimo reenje prvog od ovih tipova, pomenimo samo da je al-Hajam gajio nadu da e budue genaracije matematiara moda bitiu stanju da reavaju jednaine stepena veih od tri.

25 Isto, str. 134.


17/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 17PRVI TIP KUBNIH JEDNAINA. Primetili smo ve da su al-

Hajamova reenja kubnih jednaina podrazumevala konstrukcijuparabole i pravougaone hiperbole. Budui da se za reavanjedrugog i treeg tipa koristi pravougaona hiperbola, a da smo seovom prilikom zadovoljili konstrukcijom parabole, razmotriemosamo tip za ije je reenje neophodna upravo parabola.

Reimo kubnu jednainu prvog tipa26 (kub i koren su jednaki

broju):

baxx 3 .

Neka je du AB ivica kvadrata takva da

je aAB 2 . Konstruiimo telo ija jepovrina baze jednaka povrini

kvadrata nad AB, a zapremina datombroju b (konstrukcija je opisana uknjizi D.NJ. Henderson-a). Neka BC budevisina tog tela (koja je normalna na

AB ), tj. BCaBCABb 2 . Konstruiimoparabolu sa parametrom AB i temenom utaki B, pa e tada BCbiti tangenta nageometrijsko mesto taaka te konike

(kroz take B iD ) u taki B. Opiimo polukrug nad BCkoji morada see koniku u taki D. Iz ove take konstruiimo dve normaleDZi DEna BZ i BE respektivno. Traeni koren je tada EB.

Koristei savremenu simboliku, al-Hajamov dokaz sastoji seu tome to iz osobina parabole i kruga (a parabolu smodetaljnije razmotrili), sledi

EBCEBZEDBZABEBDZ 2222

BZEBCEABCEABBZCEEBBZEB 22

CEABABCEABABBZEBEB 23

bBCABEBCEABEBABCEABEBaEB 22223

33 bEBbEB .

Ovim smo, uz vrlo paljivo razmatranje, dokazali da je EB zaista

koren jednaine prvog tipa baxx 3 . Poto se sa porastom

vrednosti promenljive x poveava i vrednost izraza axx 2 ,postoji samo ovaj jedinstveni koren.

KARDANOVI OBRASCI 27. Posle pregleda najvanijih dostignua

u arapskoj algebarskoj koli, moe izgledati da se sadaudaljujemo od teme. Meutim, rezultati italijanskog matematiara

irolama Kardana (Girolamo Cardano, XVI vek) jasno se nastavljaju naal-Hajamove metode reavanja kubnih jednaina i pokazuju kako jeu arapskoj matematici indirektno utemeljena teorija kompleksnihbrojeva.

26 D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 135-136.27 Prema: Isto, str. 137-139.


18/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 18Mada se veina istorijskih izvora slae da al-Hajam nije

otkrio negativne korene kubnih jednaina (to se pripisujeKardanu), ti izvori zanemaruju injenicu da su njegovi postupcisasvim dovoljni za nalaenje tih korena. Kardanovi algebarski

obrasci objavljeni su u delu Artis Magnae 1545. godine i smatrajuse prvim optim reenjem kubnih jednaina.

Ne iznenauje to to je Kardano koristio samo pozitivnekoeficijente i to njegova klasifikacija kubnih jednainaobuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajui

jednaine svodljive na kvadratne, kao i onu cx 3 . Uz to, zasvaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze.

Razjasnili smo kako se dolazi do jednaine 03 baxx , pri emuemo sada dopustiti da a i b budu negativni ili pozitivni.

Kardanova je smena, meutim, oblika 33 utx , odakle zamenom usvedenu kubnu jednainu dobijamo

030

333333333 utautbutbutaut .

Ovo stepenovanje i uproavanje je izveo geometrijskim putem

zamiljajui kubove kao ivice duine 33 ut . Dakle, 33 utx

jeste koren ako je but i3

33 aut . Daljim reavanjem

nalazimo da su t i u koreni kvadratne jednaine 03

3

2

a

bzz

koju je Kardano reio takoe geometrijskim putem. Odavdedobijamo

32

322

abbt i

32

322

abbu .

Konano, traeni koren polazne kubne jednaine nalazimo u obliku

3 2

32

3 2

32

33

322322

abbabb

utx .

Upravo je ovo Kardanov obrazac za kubnu jednainu.

Meutim, kako kae D.NJ. Henderson, dogodila se vrlo neobina

stvar. Kardano je primetio da jednaina 4153 xx ima pozitivan

realan koren 4x , pri emu je u tom sluaju 415 b,a , tozamenom u obrazac povlai da je koren ove jednaine jednak

3312121212 x .

Budui da u to vreme nije bila izgraena teorijakompleksnih brojeva, Kardanov zakljuak je bio da navedeni

postupak nije prikladan za ovu jednainu, kao i sve one iji jekub jedne treine koeficijenta uz x vei od kvadrata jedne


19/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 19polovine konstante u jednaini. Danas znamo da svaki kompleksanbroj ima tri kubna korena, pa je poslednja jednakost vieznana.Vana je injenica da su Kardano i drugi matematiari togvremena poeli da ispituju mogui smisao kompleksnih brojeva, paje time zapoeta izgradnja teorije kompleksnih brojeva.

Pogled unazad

DAVID NJ. HENDERSON: OSVRT

O istoriji razvoja matematike misli malo se govori usavremenom obrazovnom procesu. Matematika u svom sadanjem vrlorazvijenom, ali i razuenom obliku, poseduje sredstva koja jojomoguavaju jo vei zamah. To nije uvek pristupano mnogimmladim talentovanim ljudima jer ih sputava u smislu intuitivnogi kreativnog razmiljanja, a usmerava ih na uenje za njih dotada nepoznatog i novog - matematikog - jezika. Upravo jematematika primer nauke koja bi trebalo da se kloni bilo kakvogablona i ustaljenih naina miljenja. Takve sheme mogu da seotklanjaju, izmeu ostalog, i stalnim pogledima unazad - u delanaih daljih i bliih prethodnika jer upravo su oni temelji kojidre dananje matematiko zdanje.

Moemo se sloiti sa Henderson-om28 da je od velike vanostipoklanjanje panje znaenju pojmova u matematici. Ta znaenja netreba uzimati onakvima kakva su po sebi, ve treba vrlo paljivo

oslukivati i na kreativan nain razjanjavati krije li se utom pojmu jo neto ega nismo svesni. Primer za takve naporeimamo u trenucima kada al-Horezmi nasluuje negativne brojeve

kroz termin nemi koren (jizr asam) ili kada Kardano zalazi uteoriju kompleksnih brojeva nedoumicama o nepodesnosti svogobrasca za reavanje kubnih jednaina. Drugi nain zaispitivanje znaenja pojmova bilo bi prouavanje matematiara izstarine i stalno postavljanje pitanja: Zato su to oni takouradili? ili Zato to nisu tako uradili? Na primer, zato surani algebristi toliko insistrirali na geometrijskim dokazima?Izgleda ponekad da su matematiari minulih vekova bili mnogosvesniji kompaktnosti i celovitosti sveukupne matematike neko

to smo mi to danas.Tako je u modernoj matematici data prednost analitikimnad starim geometrijskim dokazima, bez obzira to su analitikidokazi zasnovani na 150 godina starim Koijevim predstavama i naaksiomi potpunosti. Jasno je, naravno, da je za veinumatematiara intuitivno shvatanje realnih brojeva zasnovano na

28 D.NJ.Henderson: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE AND SPHERE, str. 139-140.


20/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 20geometrijskoj realnoj pravoj. Henderson ovde postavlja vrloprosto i zanimljivo pitanje - kako da shvatimo npr. mnoenje,

ba ? Odmah je jasna geometrijska interpretacija preko povrinepravougaonika, dok u uhodanom analitikom razumevanju moemoimati dosta problema ako mnoimo dva beskonana neperiodina

decimalna razlomka, kao npr. u sluaju 2 .

Ponekad u primenama treba, kako svedoi Henderson, datiprednost geometrijskim dokazima. Razlog tome moe biti npr. torezultat tog metoda nije broj, ve slikovit fiziki objekat, zaije nalaenje koristimo svoje ideje, a ne puku tehnikuraunanja. Zbog toga geometrijski metod moe da bude srazmernobri od numerikog. Poto je reenje fizike prirode, ne moramoda brinemo o stepenu tanosti reenja, a i neupuenima u problemmetodoloki je mnogo lake objasniti kako se do reenja dolo.

VREDNOST ARAPSKIH DOSTIGNUA

Vratimo se jo jednom al-Horezmiju i delima svih arapskihnaunika koji su zaduili svetsku matematiku. Bez sumnje,iznedrili su velianstveno delo, bilo da je re o njihovimtraktatima, spisima, metodama ili hrabrosti da se upuste uoblasti za koje tada nije bila izgraena ni elementarnasimbolika niti terminologija.

Prema obavetenjima koja nam prua A.P. kevi29, ostajenepoznato da li samo al-Horezmiju pripadaju algebarski rezultati

navedeni u traktatuHisab al-Jabr njal-Muljabalah. Al-Horezmi tu navodi

da jedna vrsta uenih ljudi ima prvenstvo u otkriima, drugi pakrazjanjavaju teka mesta u delima svojih prethodnika iolakavaju njihovo tumaenje, dok trei sistematizuju i dovode ured ve postojea znanja, ispravljajui netanosti i

upotpunjujui ideje svojih prethodnika, ali bez doprinosa njimai bez ponosa u dui. Nije sasvim jasno u koju je grupu al-Horezmi sam sebe ubrajao jer je u njegovoj aritmeticinedvosmisleno primenjen indijski obrazac. Meutim, algebra mu seodlikuje nizom osobenosti: u indijskoj algebri ne nailazimo nageometrijske dokaze pravila za reavanje kvadratnih jednaina,kao ni na operacije nad algebarskim izrazima. Nasuprot tome,bagdadski uenjaci ne upotrebljavaju negativne brojeve i posebnusimboliku, ve je njihov stil deskriptivan. U Indiji su

definisana pravila reavanja kvadratnih jednaina s proizvoljnimkoeficijentom uz kvadrat, tako da ve Indijac Brahmagupta nijerazlikovao tipove 4 - 6. koje navodi al-Horezmi, a kasnije i al-Hajam.

Grkoj algebri al-Horezmija pribliava geometrijskakonstrukcija korena kvadratne jednaine. Slinost sa Euklidovim

29 A.P. {kevi~: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA, str. 199-200.


21/22

Arapski matemati~ari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA 21Elementima moemo da primetimo samo pri drugoj konstrukcijireenja za jednainu etvrtog tipa, kao i u reenici slinojonoj iz druge knjige Elemenata u vezi sa kvadratom binoma.Meutim, ve pri prvoj konstrukciji vezanoj za taj identitetnemogue je pronai prototip u grkoj matematici. Uz jo nekerazlike, navedimo da al-Horezmijeva konstrukcija reenja zaesti tip kvadratne jednaine uopte nema analogon kod Euklida,

a i primetna je razlika u stilu i cilju izlaganja izmeu njihdvojice.

Sve ovo to je reeno za al-Horezmija moglo bi serazmatrati i kod ostalih arapskih matematiara. No bez obzira naovakve rezerve, neosporna je njihova genijalnost u pristupumateriji, kao i neprolazan karakter njihovih ideja i napora uouvanju antikih znanja i izgraivanju srednjovekovnematematike. Oni imaju veliki udeo u pripremi evropskih mislilacaod XVI do XIX veka za nauni i misaoni proboj koji je u tomperiodu postignut.

Literatura

1 A.P. KEVI: ISTORI MATEMATIKI V SREDNIE VEKA,

Poglavlje III - Matematika v stranah islama ;

Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko-matamatieskoy

literatur,

Moskva, 1961. godine

2 David NJ. HENDERSON: EXPERIENCING GEOMETRY OF PLANE &

SPHERE,

Poglavlje 14 - Geometric Solutions of LJuadratic and Cubic Eljuations ;

Cornell University, Prentice Hall Inc.,


22/22

arapski matematicari (skribda), nikola carević

Documents