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1. Apuntes de Teora de la Medida por Jos Antonio Belinchn ltima actualizacin Agosto 2008 2. II 3. ndice general Prlogo. III 1. Integral de Lebesgue 1 1.1. Espacio de Medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Integracin de funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Integracin para una funcin medible arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Sobre las funciones simples y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1. Sobre lgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.2. Sobre medidas y cojuntos medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Sobre funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.4. Sobre integracin y teoremas de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Espacios de Medida 35 2.1. Espacios de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Ejemplos de medida de Lebesgue-Stieljes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Medidas de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Medidas regulares en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5. Dos resulatados sobre la medida e integral de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6.2. Medidas de Lebesgue-Stieltjes (L-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. Los teoremas del cambio de variable y de Fubini. 55 I 4. II NDICE GENERAL 3.1. Propiedades de la -lgebra y de la medida de Lebesgue en Rn. . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Medidas inducidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Medidas producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.1. Aplicaciones del teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4. Medidas y derivadas. 73 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. Diferenciacin de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. Prlogo La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo de resumen (personal) es la de tener a mano un recordatorio de por donde iban los tiros. Slo se demuestran los teoremas fundamentales y se acompoa el texto con una serie de ejercios ms o menos trabajados. En modo alguno pretenden sustituir (porque es implosible) los manuales clsicos o las notas de clase de un profesor. Es decir, estas notas estan confeccionadas a modo de refrito entre las notas de clase (ver el libro de G. B. Folland) y de distintos libros clsicos como los siguientes: 1. G. B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications. Jonh Wiley & Sons. 1999 2. M. Capinski and E. Kopp. Mesure, Integral and Probability. SUMS. Springer. 2005. 3. E.M. Stein and R. Shakarchi. Real Analisys. Mesure Theory, Integration and Hilbert Spaces. Princeton. 2005 4. C.D. Aliprantis and O. Burkinshaw. Principles of Real Analysis. Edward Arnold. 1981. 5. C.D. Aliprantis and O. Burkinshaw. Problems in Real Analysis. Academic Press 1990. 6. A. N. Kolgomorov, S.V. Fomin. Elementos de la Teora de las Funciones y del Anlisis Funcional. MIR 1978. todo ello aderezado (como he indicado antes) con una serie de ejemplos (ejercicios donde se aplica de forma inmediata los conceptos tericos expuestos) desarrollados (eso espero) al nal de cada capitulillo (todos ellos muy sencillos). ADVERTENCIA: No estn concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas. Toda observacin en este sentido es bien recibida. III 6. IV NDICE GENERAL 7. Captulo 1 Integral de Lebesgue 1.1. Espacio de Medida. Denicin 1.1.1 Sea X un conjunto, se dice que A P(X) es lgebra si verica: 1. X A, 2. A es cerrada por complementacin i.e. A A = Ac A, 3. A es cerrada por uniones numerables, nitas o no, i.e. An A = n1 An A. Observacin 1.1.1 A = P(X), es siempre lgebra. Lema 1.1.1 Si {A}D es una coleccin arbitraria de lgebras, entonces D A es lgebra. Denicin 1.1.2 lgebra de Borel. En R se dene la lgebra de Borel, BR como aquella generada por los intervalos abiertos BR = {(a, b) : a, b R, a < b} . La denicin de BR tambin funciona con intervalos cerrados, semi abiertos o incluso innitos como [a, ) . Denicin 1.1.3 Funcin medible. Diremos que f : X R, es Amedible si a R se tiene f 1 ((a, )) = {x X : f (x) > a} A. Ejemplo 1.1.1 Veamos unos cuantos ejemplos. 1 8. 2 CAPTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 1. f (x) = const. = c. f 1 ((a, )) = R si a < c resto . 2. Las funciones continuas son medibles. Observar que (a, ) R es un intervalo abierto y por lo tanto f 1 ((a, )) es otro abierto al ser f cont. y como sabemos tales conjuntos son medibles. 3. La funcin indicatriz A (x) = 1, x A, 0, x / A, vindose que, A A A (x) es medible, 1 A ((a, )) = R si a < 0 A a [0, 1) a 1 . Lema 1.1.2 Dada f : X R, Amedible, la familia Mf = B R : f 1 (B) A es una lgebra en R. Por lo tanto contiene a BR ya que (a, ) Mf , a R por denicin. Observacin 1.1.2 La denicin de funcin medible es equivalente a pedir que: {x X : f (x) < b} A, b, {x X : f (x) a} A, a, {x X : f (x) b} A, b, {x X : a < f (x) < b} A, a, b. Observacin 1.1.3 El conjunto de funciones medibles tiene estructura de espacio vectorial. Si dos funciones, f y g son medibles entonces su suma tambin lo es i.e. f + g tambin es medible y lo mismo ocurre con el producto, i.e. f g es medible. Si f : X R, es medible, entonces se puede escribir f = f + f , con f +, f funciones medibles positivas denidas por f + = f (x) si f (x) 0 0 si f (x) < 0 , f = 0 si f (x) > 0 f (x) si f (x) 0 . Ntese que f + = max (f, 0) y f = mn (f, 0) . Si f : X R, es medible, entonces |f | es medible, al revs no tiene porqu. El paso al lmite no perturba la propiedadde ser medible i.e. si {fn} es una sucesin de funciones medibles entonces tambin lo son max fn, mn fn, sup fn, inf fn, lm sup fn, lm inf fn. 9. 1.1. ESPACIO DE MEDIDA. 3 De igual forma se comprueba que si {fn} es una sucesin de funciones medibles entonces {fn} f convergencia puntual o en casi todo punto, entonces f es medible. Denicin 1.1.4 Medida. Dada una lgebra A en X, se dice que : A [0, ] es una medida sobre A si se verican: 1. () = 0, 2. Para toda familia numerable Aj j1 de A cuyos elementos son disjuntos dos a dos se tiene j1 Aj = j1 Aj . Denicin 1.1.5 Espacio de Medida. Llamaremos espacio de medida a toda terna (X, A, ). Diremos que la medida sobre A es nita si (X) < , y nita si podemos escribir X = n1Xn, con Xn A y (Xn) < . Ejemplo 1.1.2 Veamos algunos ejemplos de medidas 1. En R, A = P(R), jamos x0 R, denimos para A R x0 (A) = 1 x0 A 0 resto comocida como la Delta de Dirac. 2. En R, A = P(R), (A) = card(A) si card(A) < en caso contrario . 3. En Z, A = P(Z), (A) = 1 1 + |n| . Antes de terminar esta seccin enunciaremos una proposicin (necesaria para el teorema de conver- gencia montona) sobre monotona de conjuntos. Proposicin 1.1.1 Sea una medida sobre la lgebra A, entonces: 10. 4 CAPTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 1. Si A, B A, tal que A B, entonces (A) (B) . Adems si (B) < , se tiene que (BA) = (B) (A) . 2. Si A1 A2 .... An An+1 ..., An A, n, entonces j=1 Aj = lm j Aj . 3. Si A1 A2 .... An An+1 ..., An A, n, y (A1) < , entonces j=1 Aj = lm j Aj . 1.2. Integracin de funciones medibles. Denicin 1.2.1 Funcin indicatriz. Dado un conjunto A, se dene la funcin indictriz de A como A = 1, x A, 0, x / A, . Denicin 1.2.2 Funcin simple. Dado un espacio de medida (X, A, ) se dice que s : X R, es una funcin simple si se puede escribir como una combinacin lineal nita de funciones caractersticas de conjuntos de A, i.e. s = n j=1 cjAj , con cj R, Aj A. Observacin 1.2.1 Podemos suponer que los Aj son disjuntos, si no fuese as es fcil reordenarlos y formar un sistema de conjuntos disjuntos. Denicin 1.2.3 Integral. 1. Para funciones simples tenemos X sd = n j=1 cj Aj , donde estamos suponiendo que Aj < . 2. Para una funcin medible y positiva X f d = sup X sd : 0 s f donde el supremo puede valer . 11. 1.2. INTEGRACIN DE FUNCIONES MEDIBLES. 5 Observacin 1.2.2 Se observa trivialmente que: 1. si f, g son simples entonces (f + g) d = f d + gd. 2. si f, g son medibles tales que 0 f g, entonces f d gd. 3. f 0, entonces f = 0 f d = 0. Ejemplo 1.2.1 Sea Q(x) = 1 si x Q 0 resto, vemos que R Q(x)d = 1 (Q) + 0 (RQ) = 0, ya que (Q) = 0, al ser un conjunto numerable. Observndose que esta funcin no es Riemann integrable. De igual forma se puede ver que R C(x)d = 0, donde C representa la funcin indicatriz del conjunto de Cantor. Teorema 1.2.1 Convergencia Montona (TCM). Si (fi) i=1 es una sucesin montona creciente de funciones medibles positivas tal que lmi fi = f, entonces X lm i fi d = X f d = lm i X fid . Corolario 1.2.1 Sea (gn) n=1 una sucesin de funciones medibles y positivas, entonces X n=1 gn d = n=1 X gnd