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  • TEORIA DE GRUPOS

    Jorge Espinoza Espinoza

    Marzo 2008

    (Apunte en construccion)

  • En teora, entre la teora y la practica no hayninguna diferencia, pero en la practica si la hay

    En el principio era el Verbo(S. JUAN, 1,1 )

  • Indice general

    Introduccion V

    Simbologa VII

    1. Grupos y Subgrupos 11.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2. Grupos Generados y Grupos Cclicos 192.1. Grupos Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3. Subgrupos Notables 313.1. Normalizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Centralizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4. Clases Laterales y Subgrupos Normales 434.1. Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.2.1. Biografa de J.L. Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  • IV INDICE GENERAL

    4.2.2. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6. Producto Directo Interno y Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.6.1. Producto Directo Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6.2. Producto Directo Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5. Homomorfismos 675.1. Conceptos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Breve estudio del Grupo Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Teoremas del Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.6. Automorfismo Interior de un Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.7. Como mostrar que dos Grupos no son Isomorfos . . . . . . . . . . 1015.8. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6. Accion de un Grupo sobre un Conjunto 1076.1. Accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2. Acciones destacables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3. Orbita y Estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    7. Ejercicios de Catedras 1197.1. Catedra 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2. Catedra 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3. Catedra 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4. Examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    Bibliografa 143

  • Introduccion

    Primero que todo, quiero dejar claro que este apunte fue construidos a base deextracciones de varios textos, los cuales estan mencionado en la bibliografa, y quepor lo personal, creo que son unos textos grandiosos y muy completos en cuantoa estructuras algebraicas, de las cuales destacan; los Grupos, Anillos y Cuerpos.La motivacion que me llevo a escribir a cerca de Grupos, resalta en entregar unmaterial visto del lado estudiantil y transmitir a mis pares, que el pensamientoabstracto podemos llevarlo acabo si tenemos una mejor explicacion de conceptosmnimos requeridos en este curso, y porque no? auto-exigirse e idealizarse res-puestas para cada problema que nos parezcan imposibles de realizar, ya queaunque sea el esfuerzo que vamos a emplear para entender una definicion o unteorema, va a ser valorizado tal vez, para resolver problemas de menor dificul-tad, pero los cuales seran los que nos abriran el acceso para resolver los ejerciciosmonstruos que se presentan en este curso.

    Principalmente, el objetivo de este apunte es mostrar detalladamente y con expli-caciones precisas las nociones basicas de cada contenido del curso y por supuestomostrar concretamente con ejemplos, de que trata cada tema del curso de Teorade Grupos. Trate de ser lo mas practico posible (aunque fue un poco difcil), enlas demostraciones de teoremas y algunos ejercicios resueltos que incorpore conel fin de guiarlos en la solucion de problemas similares que se presentan en laseccion de ejercicios propuestos. A proposito, los ejercicios que deje para que uste-des resuelvan, los extraje de la coleccion de libros mencionados en la bibliografasalvo de algunos que rescate de pruebas del profesor Daniel Jimenez y otros queencontre en el internet que me parecieron interesantes.

    Una de las secciones que incorpore al apunte, es la del verdadero o falso?, la cuales inspirada por el libro [7], y que por lo personal, creo que es una muy buenaidea para la retencion de propiedades basicas, las cuales ayudan bastantes para laresolucion de problemas.

    Ahora solo me queda invitarlos a leer el apunte y a resolver los ejercicios incorpo-rados los cuales complementan la gua proporcionada por el profesor. Tambien mequeda desearles mucha suerte y reiterarles que para aprobar este curso se requiere

  • VI 0. Introduccion

    de un gran esfuerzo y constancia de ejercitacion.

    Si encuentra algunos errores, o si tiene algun tipo de observacion quequiera comentar, por favor, enve un correo a;

    j.espinoza uvalpo@hotmail.com.

  • Tabla de Simbologa

    Smbolo Significado

    Para todo. Existe. No existe. o

    {p | q} {p tal que q}. y. Conjunto vaco. Implica. Si y solo si. Contenido.:= Se define. Pertenece.6 No pertenece. Por lo tanto.N Numeros Naturales.Z Numeros Enteros.Q Numeros Racionales.R Numeros Reales.C Numeros Complejos.

    GL2(K) Grupo General Lineal.SL2(K) Grupo Especial Lineal

    e Elemento neutro o identidad de un grupo abstracto.f : G H Transformacion de G a H .

    P(S) Conjunto potencia de S, donde S es no vaco.m \ n m divide a n.

    M.C.D.(n,m) Maximo comun divisor entre m y n.M.C.M.(n,m) Mnimo comun multiplo entre m y n.

    G H G intersectado con H .G H G unido con H .

    i I

    Hi Union disjunta de conjuntos Hi con i I.

  • Smbolos Significado

    ni=0

    xi Suma de n elementos arbitrarios.

    H G H es un Subgrupo de G.< S > Grupo generado por el conjunto S.|A | Orden del Grupo A.

    G =< g > G es un Grupo cclico generado por g, donde g G.GH Producto directo externo de G con H .GH Suma directa externa de G con H . Relacion de equivalencia.

    G/H Conjunto de clases laterales izquierdas de G respecto deH .

    H \G Conjunto de clases laterales derechas de G respecto deH .

    [G : H ] Numero de clases laterales(izquierdas o derechas) de Gcon respecto a H .

    H E G H es un Subgrupo normal de G.G H Correspondencia biunvoca entre G y H .

    ni=1

    Gi Producto Directo Externo de una familia finita de Gru-pos.

    ni=1

    Gi Suma directa de una familia finita de Grupos.

    g h o g 7 h g lo enva a h.H G H incluido en G.G = H G es Isomorfo con H .G 6= H G no es Isomorfo con H .g x g actuando en x.Ox Orbita de x.Gx Estabilizador de x.

  • Captulo 1

    Grupos y Subgrupos

    1.1. Grupos

    Los Grupos son conjuntos no vacos, los cuales estan dotados con una operacionbinaria y que ademas cumplen con; asociatividad, existencia de elemento neutro yexistencia de inverso para cada elemento del conjunto. A continuacion veremos enque consta cada una de estas propiedades y veremos que el conjunto evolucionaa medida que adquiere una de las propiedades ya mencionadas.

    1.1.1. Conceptos Basicos

    Sea G un conjunto no vaco.

    1. Diremos que G es un Grupoide (o que G cumple la clausura) si lo dotamosde una funcion : G G G, donde (a, b) se denota como a b, paracada par (a, b) GG. Esta funcion es llamada, por lo general, operacionbinaria o sencillamente producto.

    Denotaremos por (G, ) la adjuncion de la operacion a G.

    2. Diremos que G es un Semigrupo si cumple con:

    i) (G, ) es un Grupoide.

    ii) ( a, b, c G) ((a b) c = a (b c))

    O sea, () es una operacion Asociativa.

  • 2 1. Grupos y Subgrupos

    3. Diremos que G es un Monoide si cumple con:

    i) (G, ) es un Semigrupo.ii) ( e G) (a G) (e a = a e = a)

    Donde e es llamado elemento neutro o identidad de (G, ).