apuntes teoria electomagnética_nov2011 (1)

APUNTES DE

TEORIA ELECTROMAGNTICA

Trayecto III Lapso: VIII semestre

Prof. Juan Bosco Gonzlez O.

Acarigua, noviembre de 2011

TEORA ELECTROMAGNTICA

- 2 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.

UNIDAD I: ANLISIS VECTORIAL

1.1 Introduccin

1.2 Gradiente de una funcin escalar

1.3 Operador del (nabla)

1.4 Divergencia

1.5 Rotacional

1.6 Relaciones constitutivas



UNIDAD II: CAMPOS ELCTRICOS Y MAGNTICOS

2.1 Relaciones circuitos-campos

2.2 Ley de tensiones y ley de corrientes de Kirchhoff

2.3 Ley de Gauss

2.4 Ley de Faraday

2.5 Ecuaciones de Maxwell



El electromagnetismo es el estudio de fenmenos elctricos y magnticos causados por

cagas elctricas en reposo o en movimiento.

Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas. Ambos tipos de cargas son fuentes de un

campo elctrico.

Un campo es la distribucin espacial de una cantidad, la cual puede o no ser funcin del

tiempo. Un campo elctrico variable con el tiempo est acompaado por un campo

magntico, y viceversa. En otras palabras, los campos elctricos y magnticos variables

con el tiempo estn acoplados, produciendo un campo electromagntico. En

determinadas condiciones, los campos electromagnticos variables con el tiempo

producen odas que radian de la fuente.

Las cantidades bsicas del modelo electromagntico pueden dividirse en dos categoras

generales: cantidades de fuente y cantidades de campo. La fuente de un campo

electromagntico siempre consiste en cargas elctricas en reposo o en movimiento. Sin

embargo, un campo electromagntico puede ocasionar una redistribucin de las cargas, lo

cual a su vez modificara el campo; por esto no siempre es muy clara la separacin entre la

causa y el efecto.

Carga elctrica: Usaremos el smbolo q (en ocasiones Q) para denotar la carga elctrica. La

carga elctrica es una propiedad fundamental de la materia y nicamente existe en

mltiplos enteros positivos o negativos de la carga del electrn, -e.

El principio de la conservacin de la carga elctrica, es un postulado fundamental o ley de

la fsica. Establece que la carga elctrica se conserva; es decir, no se crea ni se destruye. Es

una ley de la naturaleza y no puede derivarse de otros principios o relaciones.

Las cargas elctricas pueden moverse de un lugar a otro y redistribuirse bajo la influencia

de un campo electromagntico, pero la suma algebraica de las cargas negativas y positivas



en un sistema cerrado (aislado) no cambia. El principio de conservacin de la carga

elctrica debe satisfacerse en cada momento y en todas las circunstancias.

Aunque en el sentido microscpico la carga elctrica existe o no existe en un punto de

manera discreta, estas variaciones abruptas a escala atmica no tienen importancia al

considerar el efecto electromagntico de grandes conjuntos de cargas. Al construir una

teora electromagntica macroscpica o gran escala, se obtienen muy buenos resultados

al usar la densidad media alisada.

Sabemos por la ley de Coulomb que la fuerza ejercida sobre una carga q1 viene dada por la

ecuacin: , donde es el vector dirigido de q2 a q1.

INTENSIDAD DEL CAMPO ELCTRICO:

La fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2, establecida por la ley de Coulomb podra

entenderse que se debe a la interaccin entre una carga q1 y el campo producido por q2, o

viceversa. En ese sentido, se define la intensidad de campo elctrico E como la fuerza por

unidad de carga ejercida sobre una carga de prueba colocada en el campo. Segn esto, la

intensidad del campo elctrico producido por una carga puntual q1 es:

DISTRIBUCIN DE CARGA:

Carga volumtrica:

Se define la densidad volumtrica de carga, , como una cantidad fuente, de la siguiente

manera: , donde q es la cantidad de carga en un volumen muy

pequeo v. v debe ser lo suficientemente pequeo para representar una variacin

precisa de , pero lo suficientemente grande como para contener un gran nmero de

cargas discretas.



Cuando una carga est distribuida a travs de un volumen dado, cada elemento de carga

contribuye al campo elctrico en un punto externo; de all que para obtener el campo

elctrico, se requiere un proceso de integracin. Adems es til considerar distribuciones

continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una densidad de carga por:

, y de la expresin (1) para el campo elctrico se tiene que:

; y

Carga laminar (superficial):

En el caso de que una carga laminar est distribuida sobre una superficie o una lmina.

Entonces, cada carga diferencial dQ que est sobre la lmina produce un campo elctrico

diferencial en el punto P (fuera de la lmina):

Si la densidad de carga superficial s (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la

regin, entonces el campo elctrico total en P es:

Carga lineal:

Si la carga est distribuida sobre una lnea, cada elemento diferencial de carga a lo lago de

la lnea produce un campo elctrico diferencial en P: . Y si la densidad lineal



de carga es l (C/m) y no existe ninguna carga en la regin, entonces el campo elctrico

total en P es:

NOTA: Para las tres distribuciones de carga referidas y en sus correspondientes integrales para E,

el vector unitario es variable y depende de las coordenadas del elemento de carga dQ. As

pues, no puede ser sacado del integrando.

Excepto en algunas situaciones especiales, las densidades de carga varan de un punto a

otro; por consiguiente, son, en trminos generales, funciones puntuales de las

coordenadas espaciales.

La corriente es la razn de carga de cambio de la carga con respecto al tiempo, es decir,

, don de la propia I tambin puede depender del tiempo. La unidad de

corriente es el coulomb por segundo (C/s), lo cual equivale a un ampere (A). Una corriente

debe fluir a travs de un rea finita (por ejemplo, un alambre conductor con rea

transversal finita), por tanto, no se trata de una funcin puntual. En el electromagnetismo

se define una funcin puntual vectorial densidad de corriente, , que mide la cantidad de

corriente que fluye por un rea unidad normal a la direccin del flujo de la corriente. La

densidad de corriente, , es un vector cuya magnitud es la corriente por unidad de rea

(A/m2) y su direccin es la del flujo de corriente.

En el electromagnetismo hay cuatro cantidades de campo vectoriales fundamentales: la

intensidad de campo elctrico , densidad de flujo elctrico (o desplazamiento elctrico)

, densidad de flujo magntico e intensidad de campo magntico .

La intensidad de campo elctrico es el nico vector necesario al analizar la electrosttica

(los efectos de cargas elctricas estacionarias) en el espacio libre; se define como la fuerza

elctrica por unidad de carga de prueba. El vector desplazamiento elctrico , es til en el



estudio de campos elctricos en medios materiales. La densidad de flujo magntico , es

el nico vector necesario al analizar la magnetosttica (los efectos de corrientes elctricas

estacionarias) en el espacio libre, y se relaciona con la fuerza magntica que acta sobre

una carga que se mueve con determinada velocidad. El vector densidad de flujo

magntico es til en el estudio de campos magnticos en medios materiales.

En la tabla N1 siguiente se presentan las cuatro cantidades fundamentales del campo

elctrico, as como sus unidades. Si no hay variacin temporal (como en los casos estticos

o estacionarios), las cantidades de campo elctrico y y las cantidades de campo

magntico y forman dos pares vectoriales separados. Sin embargo, en los casos

dependientes del tiempo, las cantidades campos elctricos y magnticos estn acoplados;

es decir, si y son variables con el tiempo producirn y , y viceversa. Las cuatro

cantidades son funciones puntuales. Las propiedades de los materiales (o medios)

determinan las relaciones entre y y entre y . Estas relaciones se denominan

relaciones constitutivas de un medio.

Tabla N1. Cantidades fundamentales del campo electromagntico

Smbolos y unidades para las cantidades del campo

Cantidad de campo Smbolo Unidad

Elctrico

Intensidad de campo elctrico E V/m

Densidad de flujo elctrico (desplazamiento elctrico)

D C/m2

Magntico

Densidad de flujo magntico B T (V.s/m

2)

Intensidad de campo magntico H A/m



Unidades en el SI y constantes universales.

Tabla N2. Unidades del SI Fundamentales

Cantidad Unidad Abreviatura

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente ampere A

Todas las otras unidades usadas en el electromagnetismo, incluyendo las que aparecen en

la tablaN2, son unidades derivadas que se expresan en funcin de metros, kilogramos,

segundos y amperes. Por ejemplo, la unidad de carga, coulomb (C), es ampere-segundo

(A.S); la unidad de intensidad de campo elctrico (V/m) es kg.m/A.s3; la unidad de

densidad de flujo magntico, tesla (T), es kg/A.s2.

En el modelo electromagntico hay tres constantes universales, adems de las cantidades

de campo de la tabla 1. Estas constantes se relacionan con las propiedades del espacio

libre (vacio) y son: velocidad de la onda electromagntica (incluyendo la luz) en el espacio

libre c,; permitividad del espacio libre ,; y permeabilidad del espacio libre, . La

velocidad de la luz en el espacio libre, para los fines prcticos es , hasta

varias cifras decimales1.

Las otras dos contantes, y , se relacionan con los fenmenos elctricos y magnticos,

respectivamente; es la constante de proporcionalidad entre la densidad de lujo

elctrico D y la intensidad de campo elctrico E en el espacio libre, de manera que

(en el espacio libre).

1 .



es la constante de proporcionalidad entre la densidad de flujo magntico B y la

intensidad de flujo de campo magntico H en el espacio libre, de manera que .

Los valores de y se determinan de acuerdo con el sistema de unidades elegido y no

son independientes. En el sistema SI, adoptado de manera casi universal para el trabajo

electromagntico, se elige la permeabilidad del espacio libre como

. Donde H/m representa Henry por metro.

Con los valores de c y establecidos en las ecuaciones, el valor de la permitividad del

espacio libre se obtiene de las siguientes relaciones2:

, o sea, .

Donde F/m es la abreviatura de farad por metro. En la tabla N3 se resumen las tres

constantes universales y sus valores.

NOTA: El ampere se define como aquella corriente contante que fluye en direcciones opuestas en

dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, seccin transversal despreciable y separados

por una distancia de un metro en el vaco y que produzca una fuerza repulsiva de

por cada metro de longitud entre los dos conductores. Se sabe que la

fuerza entre dos conductores paralelos es,

Y, por consiguiente, .

Es evidente que la definicin de ampere se ha formulado de tal manera que quede asignado un

sencillo valor numrico exacto a la permeabilidad del espacio libre.

2 es la velocidad con la cual una onda electromagntica se propaga en el espacio libre. Es

evidente que el valor numrico de depende del valor definido para la velocidad de la luz en el vaco.



Tabla N3. Contantes Universales en Unidades del SI.

Constantes Universales

Smbolo Valor Unidad

Velocidad de la luz en el espacio libre

Permeabilidad del espacio libre

Permitividad del espacio libre

CAMPOS ELCTRICOS ESTTICOS.

La electrosttica es el estudio de los efectos de las cargas elctricas en reposo y de los campos

elctricos que no cambian con el tiempo.

Postulados Fundamentales de la Electrosttica en el espacio libre.

Para la electrosttica en el espacio libre se deben considerar slo una de las cuatros cantidades de

campo vectoriales fundamentales del modelo electromagntico (tabla N1), especficamente, la

intensidad de campo elctrico E. Asimismo, en la formulacin slo entra la permitividad en el

espacio libre, , de las tres contantes universales mencionadas en la tabla N 3.

Intensidad de campo elctrico.

Se define como la fuerza por unidad de carga que experimenta una carga de prueba estacionaria

muy pequea al colocarse en una regin donde existe un campo elctrico. Es decir,

La intensidad de campo elctrico E es entonces proporcional a la fuerza F y tiene su misma

direccin. Si F se mide en newton (N) y la carga q en coulomb (C), E tiene unidades de newton por

coulomb (N/C), lo cual equivale a voltio por metro (V/m).



La carga de prueba q no puede ser cero en la prctica; de hecho, no puede ser menor que la carga

de un electrn. Sin embargo, el carcter finito de la carga de prueba no har que el campo E

medido difiera notablemente de su valor calculado si la carga de prueba es lo suficientemente

pequea como para no perturbar la distribucin de carga de la fuente. Una relacin inversa de la

ecuacin (1) da la fuerza F sobre una carga estacionaria q en un campo elctrico E:

Los dos postulados fundamentales de la electrosttica en el espacio libre especifican la divergencia

y el rotacional de E. stos son:

Divergencia de un campo electrosttico E en el espacio libre:

Esta ecuacin implica que un campo elctrico esttico no es solenoidal a menos que .

NOTA:

Si la divergencia de un campo vectorial es nula, entonces el campo vectorial es solenoidal y

puede expresarse como el rotacional de otro campo vectorial. Sea B un campo vectorial. Este

enunciado alternativo establece que si , se puede definir un campo vectorial A tal que

.

Rotacional de un campo electrosttico E es nulo:

Esta ecuacin establece que los campos elctricos estticos son irrotacionales.

Si el rotacional de un campo vectorial es nulo, entonces, el campo vectorial puede expresarse

como el gradiente de un campo escalar. Sea E un campo vectorial. Entonces, si , se

puede definir un campo escalar V tal que: . .

Los postulados [3] y [4] son concisos, sencillos e independientes del sistema de

coordenadas, adems, pueden usarse para derivar otras relaciones, leyes y teoremas de la



electrosttica. Por otra parte, estas ecuaciones son relaciones puntuales; es decir, se

aplican a todos los puntos del espacio. Se conocen como la forma diferencial de los

postulados de la electrosttica, ya que las operaciones de divergencia y rotacional

implican derivadas espaciales.

El campo total debido a un conjunto o una distribucin de cargas puede obtenerse de

manera ms conveniente con una forma integral de la ecuacin [3]. Para ello, se toma el

volumen en ambos lados de la ecuacin [3] para un volumen arbitrario V, se tiene:

Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia, la ecuacin [5] se convierte en:

Donde Q es la carga total contenida en el volumen V limitado por la superficie S. La

ecuacin [6] es una forma de la ley de Gauss, una de las relaciones ms importante de la

electrosttica.

Tambin puede obtenerse una forma integral de la relacin del rotacional de la ecuacin

[4], integrando sobre una superficie abierta e invocando el teorema de Stokes. Se

tiene entonces en el espacio libre que:

LEY DEL VOLTAJE DE KIRCHHOFF

La integral de lnea se aplica a un contorno cerrado arbitrario C. La ecuacin [7] establece

que la integral de lnea escalar (o circulacin) de la intensidad de campo elctrico

esttico a lo largo de una trayectoria cerrada es nula. El producto escalar



integrando a lo largo de cualquier trayectoria es el voltaje entre los extremos de dicha

trayectoria. Por consiguiente, la ecuacin [7] es una expresin de la ley del voltaje de

Kirchhoff de la teora de circuitos, que indica que la suma algebraica de las cadas de

voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero.

La ecuacin [7] tambin implica que la integral de lnea escalar del campo irrotacional E a

lo largo de cualquier trayectoria de un punto (digamos P1) a otro (digamos P2) es

cancelada por la de P2 a P1 a lo largo de cualquier otra trayectoria, es decir, la integral de

lnea de un campo elctrico esttico depende nicamente de los puntos inicial y final.

La integral de lnea de E del punto P1 a P2 representa el trabajo realizado por E al mover

una unidad de carga P1 a P2. Por lo tanto, la ecuacin [7] nos dice que el trabajo efectuado

al mover una unidad de carga a lo largo de una trayectoria cerrada de un campo

electrosttico es cero. Es un enunciado de la conservacin del trabajo a la energa en un

campo electrosttico. Es por esta razn que se puede afirmar que un campo irrotacional

es un campo conservativo.

Tabla N 4. Postulados de la electrosttica en el espacio libre.

Forma diferencia Forma integral



LEY DE COULOMB

Experimentalmente se encuentra que las fuerzas entre dos

cargas elctricas fijas puntuales : a) acta segn la

lnea que une las posiciones de ambas cargas; b) es

proporcional al producto , y c) es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia r de separacin de

las mismas.

Si las cargas no son puntuales se presenta la complicacin de

carecer de un sentido definido la distancia entre las cargas.

Adems, la presencia de puede modificar la distribucin de

cargas en , y viceversa, lo que nos conduce a una complicada

variacin de la fuerza con la distancia.

Se tiene que para cargas puntuales estacionarias: , donde es la

fuerza que ejerce sobre , es una constante de

proporcionalidad3, y es el vector unitario en la

direccin de a . Las fuerza es repulsiva si las

cargas son del mismo signo y atractiva en caso

contrario.

Cuando se coloca una carga puntual q2 en el

campo creado por otra carga puntual q1, q2

experimenta una fuerza debida a la intensidad

3 , donde la nueva constante se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud de

; obsrvese que , si se

usa el valor aproximado , entonces, .



de campo elctrico de q1 en q2. Al combinar las ecuaciones [2] y [9] se tiene,

.

La ecuacin [13] es una forma matemtica de la ley de Coulomb. Establece que la fuerza

entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

En la ecuacin [13] se observa que es una fuerza de repulsin cuando q1 y q2 son

ambas positivas o negativas (la direccin de es de q1 a q2 y el producto q1q2 es

positivo) y una fuerza de atraccin cuando q1 y q2 tienen signos opuestos (el producto q1q2

es negativo).

Ejemplo N1.

Dos cargas , ubicadas en el vaco en

. Encontrar la fuerza que ejerce en .

Solucin

Sea el vector la fuerza sobre y un vector unitario en la direccin de a , es

decir, , por tanto,

Empelando la ecuacin [13] se tiene que:



La magnitud de la fuerza es de 30N y su direccin la especifica el vector unitario que se ha

puesto entre parntesis para resaltar la magnitud de la fuerza. La fuerza sobre tambin

puede considerase como la suma de las tres componentes de fuerzas,

La fuerza expresada por la ley de Coulomb es una fuerza mutua, pues cada una de las dos

cargas experimentan una fuerza de la misma magnitud, aunque en direccin opuesta. De

igual modo se pudo haber escrito

Supngase que se desea hallar la intensidad de

campo elctrico creado por una sola carga q, en

reposo en el espacio libre ilimitado. Para ello, se

dibuja una superficie esfrica de radio arbitrario R con

centro en q; es decir, una superficie cerrada hipo-

ttica (una superficie gaussiana) alrededor de la

fuente, a la cual se le aplica la ley de Gauss para

determinar el campo. Puesto que una carga puntual

no tiene direcciones preferentes, su campo elctrico debe ser radial y tener la misma

intensidad en todos los pun tos de la superficie esfrica.

Al aplicar la ecuacin [6] a la figura N1(a) se tiene:

, o sea, , por lo tanto:

(INTENSIDAD DE CAMPO ELETRICO DE UNA CARGA PUNTUAL AISLADA SITUADA EN EL ORIGEN)



La ecuacin [8] nos indica que la intensidad de campo elctrico de una carga puntual

positiva tiene direccin radial hacia afuera y magnitud proporcional a la carga e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la carga. Esta frmula bsica es

muy importante en la electrosttica.

Si la carga q no est situada en el origen del

sistema de coordenadas elegido, se deben

efectuar los cambios apropiados al vector unitario

y determinar la distancia R para reflejar la

posicin de la carga y el punto donde se

determinar .

Sea el vector de posicin de q y el punto del campo P, como se ilustra en la fig.1(b),

Entonces, a partir de la ecuacin [8], , donde es el vector

unitario trazado de q a P. Puesto que , se tiene que:

(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL AISLADA EN UNA POSICIN

ARBITRARIA).

CAMPO ELCTRICO DEBIDO A UN SISTEMA DE CARGAS DISCRETAS

Suponga que un grupo de n cargas puntuales discretas situadas en diferentes posiciones

crea un campo electrosttico. Puesto que la intensidad de campo elctrico es una funcin



lineal de (proporcional a) , es aplicable el principio de superposicin, y el campo

total en un punto es la suma vectorial de los campos causados por todas las cargas

individuales. Denotemos las posiciones de las cargas (puntos fuentes) con los

vectores posicin , y la posicin del punto campo donde se calcular la

intensidad elctrica, con 4. A partir de la ecuacin [11] se puede escribir:

(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES DISCRETAS)

Aunque la ecuacin [14] es una expresin concisa, es complicada de usar porque muchas

veces es necesario sumar vectores con diferentes magnitudes y direcciones. Una

estrategia ms sencilla sera encontrar a partir del potencial elctrico.

CAMPO ELCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIN CONTINUA DE CARGA.

Se puede obtener el campo elctrico creado por una distribucin de carga continua

integrando (superponiendo) la contribucin de un elemento de carga a toda la

distribucin de carga. En la Fig.2 se presenta una distribucin de carga de volumen. La

densidad volumtrica de carga es, en trminos generales, una funcin de las

coordenadas. Ya que un elemento diferencia de carga se comporta como una carga

puntual, la contribucin a la intensidad de campo elctrico en el punto fuente P de la

4 Cuando sea necesario distinguir la notacin de la posicin de un punto fuente de la de un punto campo, se

seguir el convenio aceptado de usar coordenadas con prima para la fuente y coordenadas sin prima para el campo.



carga en un elemento de volumen diferencial es , se tiene

entonces que:

(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN VOLUMTRICA).

Si la carga est distribuida sobre una superficie con densidad superficial de carga

, se expresa:

(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN SUPERFICIAL DE CARGA).

Para una carga lineal se tiene:

Donde es la densidad de una lnea de carga y L es la lnea (no necesariamente

recta) por la cual se distribuye la carga.

(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN LINEAL DE CARGA).



LEY DE GAUSS Y APLICACIONES

La ley de Gauss relaciona el flujo de a travs de una superficie cerrada con la carga total

contenida en su interior. Se obtiene directamente del postulado de la divergencia de la

electrosttica , recordemos (ver pgina 12) que si se toma la integral de

volumen a ambos lados de esta ecuacin para un volumen arbitrario V, se tiene

y que al aplicar el teorema de la divergencia, esta ecuacin se

convierte en .

La ley de Gauss [19] establece que el flujo de salida total del campo a travs de

cualquier superficie cerrada en el espacio libre es igual a la carga total encerrada en la

superficie, dividida por .

Debe tenerse en cuenta que la superficie S puede ser cualquier superficie cerrada

hipottica (matemtica) elegida por conveniencia; no tiene que ser una superficie fsica.

Cundo usar la ley de Gauss?

a) La ley de Gauss es til para determinar el campo de distribuciones de carga con

ciertas condiciones de simetra, tal como que la componente normal de la

intensidad de campo elctrico sea constante sobre una superficie cerrada. En estos

casos la integral de superficie del lado izquierdo de la ecuacin [19] sera muy fcil

de calcular y la ley de Gauss sera una forma mucho ms eficiente de determinar la

intensidad del campo elctrico que las ecuaciones [16] a [18].

b) La ley de Gauss no es muy til cuando no existen condiciones de simetra. Los

puntos cruciales para la aplicacin de la ley de Gauss son, primero, la identificacin

de las condiciones de simetra y, segundo, la eleccin de una superficie apropiada



donde la componente normal de debida a la distribucin de carga dada sea

constante. Tal superficie se conoce como superficie gaussiana.

EJEMPLO N1. Use la ley de Gauss para determinar la intensidad de campo elctrico de

una lnea de carga recta, infinitamente larga, con densidad uniforme en el aire.

Solucin: Este problema tambin puede resolverse

empleando la ecuacin [18].

Como la lnea de carga es infinitamente larga, el campo

resultante debe ser radial y perpendicular a la lnea de

carga y no puede existir una componente de

a lo largo de la lnea. Aprovechando la simetra radial,

se construye una superficie gaussiana cilndrica de radio

y longitud arbitraria L con la lnea de carga como eje,

tal como se muestra en la figura.

En coordenadas cilndricas la posicin de cualquier

punto P en el espacio se especifica por las

coordenadas , la coordenada es la distancia

al eje ; es el ngulo acimutal del plano que

contiene al punto P y el eje , medido desde el plano

en el sentido de rotacin a derechas; y es la

distancia al plano 5.

es constante en esta superficie y . De la ecuacin [19] se tiene:

5 Es comn usar para la variable radial de las coordenadas cilndricas y r para la variable radial (diferente)

de las coordenadas esfricas. Tambin se acostumbra llamar a a la variable angular de las coordenadas

cilndricas dedo que se usa para un ngulo distinto en coordenadas esfricas. El ngulo es el mismo tanto en coordenadas esfricas como en las cilndricas.



No hay contribucin de la cara superior e inferior del cilindro porque en la cara superior

, pero no tiene componente en , de manera que . Sucede lo

mismo en la cara inferior. La carga total encerrada por el cilindro es . Sustituyendo

en la ecuacin [19] se obtiene:

Obsrvese que la longitud L de la superficie gaussiana cilndrica no aparece en la expresin

final, por lo cual se pudo haber elegido un cilindro de longitud igual a la unidad.

Nota: Por qu esta superficie gaussiana cilndrica no funcionar si la lnea de carga es de

longitud finita?



Ejercicios Propuestos.

1. Compruebe que el campo de la ecuacin [8] satisface la ecuacin [4] y

que por lo tanto es conservativo.

2. Determine la intensidad de campo elctrico en P (0.2, 0, 2.3) debida a una carga

puntual de +5 nC en Q (0.2, 0.1, 2.5) en el aire. Todas las dimensiones estn en

metros.

Respuesta: 214,5 .

3. Dadas dos cargas puntuales, q1=10 C en (2, 0, 4) y q2= -60 C en (0, 1, 2),

determine:

a. La intensidad de campo elctrico en q1 debido a q2 y

b. La magnitud de la fuerza experimentada por q1.

Todas las dimensiones se dan en metros.

Respuesta: (a) 20 [kV/m], (b) 0,6 [N], atraccin.

4. Determine la intensidad de campo elctrico de una lnea de carga recta,

infinitamente larga, con densidad uniforme en el aire.

Respuesta:

5. Suponga una lnea de carga infinitamente larga de 50 pC/m paralela al eje y en

x=2 m y z=1 m; obtenga la intensidad elctrica en el punto (1, 5, 3).

Respuesta:

6. Obtngase una frmula para la intensidad de campo elctrico en el eje de un disco

circular de radio b que tiene una densidad de carga superficial de carga uniforme .

Respuesta:



UNIDAD III: MATERIALES ELCTRICOS Y MAGNTICOS

3.1 Materiales dielctricos

3.1.1 Permitividad

3.1.2 El dipolo elctrico

3.1.3 Polarizacin

3.2 Materiales magnticos

3.2.1 Dipolo magntico

3.2.2 Relaciones de frontera

3.2.3 Fuerzas magnticas



APENDICES

A.1 Mltiplos y submltiplos de unidades

Factor por el cual se multiplica la unidad Prefijo Smbolo

1000 000 000 000 000 000 =1018

exa E

1000 000 000 000 000= 1015

peta P

1000 000 000 000= 1012

tera T

1000 000 000=109 giga G

1000 000=106 mega M

1000=103 kilo k

100=102 hecto* h

10=101 deca* da

0,1=10-1

deci* d

0,01=10-2

centi* c

0,001=10-3

mili m

0,000 001=10-6

micro

0,000 000 001=10-9

nano n

0,000 000 000 001=10-12

pico p

0,000 000 000 000 001=10-15

femto f

0,000 000 000 000 000 001=10-18

atto a

*Estos prefijos por lo general slo se utilizan para medidas de longitud, rea y volumen.

A.2 Magnitudes Bsicas

Magnitud Smbolo Unidad S.I. Abreviatura

Longitud L, l metro m

Masa M, m kilogramo kg

Tiempo T, t segundo s

Intensidad de corriente I, i amperio a



A.3 Magnitudes elctricas y sus smbolos usados normalmente en el anlisis de circuitos elctricos.

Magnitud Smbolo Unidad S.I. Abreviatura

Carga elctrica Q, q culombio C

Potencial elctrico V, v voltio V

Resistencia R ohmio

Conductancia G siemens S

Inductancia L henrio H

Capacitancia (capacidad) C faradio F

Frecuencia f hertz Hz

Fuerza F newton N

Energa, trabajo W, w julio J

Potencia P, p vatio W

flujo magntico weber Wb

Densidad de flujo magntico B tesla T

Unidades derivadas empleadas en estos apuntes

Cantidad Unidad Smbolo SI Frmula

Cantidad de electricidad Coulomb C

Capacitancia elctrica Faradio F

Diferencia de potencial elctrico

Voltio V

Energa Joule J

Fuerza newton N

Inductancia elctrica Henry H

Intensidad del campo Voltio por metro E



elctrico

Intensidad del campo magntico

Ampere por metro H

Permitividad (capacitividad) del espacio libre

Faradio por metro

Permeabilidad del espacio libre

Henry por metro

Potencia vatio W

Resistencia elctrica ohm

Trabajo Joule J

Voltaje Voltio V



BIBLIOGRAFA

Cheng, David K, Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera, Addison Wesley

Iberoamericana, S.A. Mxico, 1997.

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apuntes teoria electomagnética_nov2011 (1)

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