apuntes teoria de juegos

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Libro guía para la solución de problemas en teoría de juegos.

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  • Teora de los juegos y de lasdecisiones

    Guillaume Haeringer

    Guillaume.Haeringer@uab.es

    Curso academico: 20032004

  • ii

  • Contenido

    1 Introduccion 21.1 Para que sirven estos apuntes? . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Errores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1 Juegos en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Juegos en forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Juegos Estaticos con informacion completa 72.1 Elementos y definicion de un juego . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Juegos en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2.1 Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Algunas cosas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3 Estrategias estrictamente dominadas . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Estrategias dominadas pero no estrictamente . . . . . . 112.3.2 Estrategias dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.4 El equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Ejemplo: competicion electoral . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Estrategias puras/mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.4 Calcular los equilibrios de Nash en estrategias mixtas . 212.4.5 Dibujar los equilibrios de Nash . . . . . . . . . . . . . 22

    2.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.1 El dilema de los prisioneros . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 La batalla de los sexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.3 El juego de las monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.4 El dupolio de Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3 Juegos secuenciales 373.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.1.1 Nodos de decisiones y estrategias . . . . . . . . . . . . 383.1.2 El equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  • CONTENIDO iv

    3.2 La induccion hacia atras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Ejemplo: El duopolio de Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Equilibrio perfecto en subjuegos . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.5.1 El juego del ciempies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5.2 Un juego con mas de un equilibrio perfecto en subjue-

    gos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Equivalencia entre juegos en forma normal y juegos secuenciales 593.7 Informacion imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4 Juegos repetidos 694.1 Juegos repetidos finitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.1.1 Ejemplo: el dilema de los prisioneros repetido 2 veces . 704.1.2 Juegos con suma cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.3 El min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.4 El max-min y los juegos repetidos . . . . . . . . . . . . 774.1.5 Ejemplo: la batalla de los sexos repetido 2 veces . . . . 784.1.6 El equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.7 El equilibrio perfecto en subjuegos . . . . . . . . . . . 83

    4.2 Juegos repetidos infinitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Ganancia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.3 Ganancia factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.4 Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

  • Captulo 1

    Introduccion

    1.1 Para que sirven estos apuntes?

    Espero que estos apuntes os ayudaran para aprender y entender los elementosde la teora de juegos que se estudiaran durante este curso. Es importante desaber que estos apuntes no reemplazan las clases. Aqu he puesto definiciones,teoremas y algunos ejemplos. Por cierto, es muy probable que en la clasesvoy a contar mas que lo que esta en estos apuntes. Ademas, muchos de losejemplos que hemos visto, o que vamos a ver en la clase no estan en losapuntes.

    1.2 Errores comunes

    He intentado en estos apuntes de explicar con mucho cuidado ciertos concep-tos. Sin embargo, en el examen hay errores muy frecuentes. Aqu he listadounas de ellas.

    1.2.1 Juegos en forma normal

    Cuando se calcula las probabilidades de un equilibrio de Nash en es-trategias mixtas, si encuentras probabilidades negativas o mayor que1, has hecho algo malo en los calculos. Un error comun es el siguiente:

    uj(a) = uj(b)

    . . . 2q + 3 3q = 1 5q = 2 q = 5

    2.

  • 3 1.2 Errores comunes

    El error esta en el ultimo paso. De 5q = 2 se tiene que deducir q = 2/5,y no q = 5/2.

    Cuando tienes que hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras ymixtas por un lado, y dar una representacion grafica de los equilibrios(es decir, dibujar las funciones de mejor respuesta) teneis que tener elmismo numero de equilibrios.

    Por ejemplo, si en un juego ves que hay 3 equilibrios de Nash (2 enestrategias puras y uno en estrategias mixtas) cuando haces los calculos,en el grafico debes encontrar tres puntos en los que las funciones demejor respuesta se cruzan.

    Otro ejemplo: si no hay equilibrio en estrategias puras y solo hay unoen estrategias mixtas, en el grafico las funciones de mejor respuesta secruzan solo una vez (y no 3 veces como unos estudiantes a veces lohacen).

    Tambien, cuando se dibujan las funciones de mejor respuesta muchosestudiantes olvidan que si las funciones se tocan en las esquinas los puntos de coordinadas (0, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1) eso quieredecir que se cruzan. Por ejemplo, en la Figura 2.8 en la pagina 29las funciones se tocan y por tanto se cruzan, en las esquinas (0, 0) y(1, 1).

    El hecho de que una estrategia domina a otra estrategia es distinto(aunque relacionado) del hecho que una estrategia es una mejor re-spuesta. La dominacion de una estrategia no se refiere a las estrategiasutilizadas por los demas jugadores. Pero el concepto de mejor re-spuesta siempre se refiere a las estrategias utilizadas por los demasjugadores.

    Un resultado deseable no es necesariamente un equilibrio. Vease porejemplo el dilema de los prisioneros: Hablar para los dos jugadores esun resultado deseable pero el equilibrio es que los dos eligen Callarse.

    Otro manera de ver un equilibrio de Nash. Cogemos un juegocon dos jugadores, i y j. Para que el perfil (si, sj) sea un equilibriotenemos que tener eso:

    (i) Cogemos si y buscamos una (o la) mejor respuesta de j. Si noobtenemos sj, entonces (si, sj) no puede ser un equilibrio de Nash.

  • Introduccion 4

    Pero el echo de obtener sj tampoco significa que tenemos un equi-librio de Nash. Para que sea un equilibrio de Nash, tenemos queobtener eso:

    (ii) Cogemos sj y buscamos una (o la) mejor respuesta de i. Si noobtenemos sj, entonces (si, sj) no puede ser un equilibrio de Nash.En el caso contrario, (si, sj) es un equilibrio de Nash (porque yahemos verificado que (i) esta cierto).

    1.2.2 Juegos en forma extensiva

    Una accion de un jugador es lo que hace en un nodo. Una estrategiaes una lista de acciones para cada nodo de decision.

    Un conjunto de informacion puede contener 2, 3 (o mas) nodos dedecision. Si en un nodo de un conjunto de informacion un jugador eligeuna accion, deber ser el caso que elige la misma accion en los otrosnodos de decision del mismo conjunto de informacion.

    Cuando tienes que trabajar con un juego secuencial, hacer la lista delos conjuntos de informacion / nodos de decision de los jugadores puedeayudar a entender las estructura de las estrategias de los jugadores.

    Por ejemplo, si un jugador tiene 4 nodos de decision, cualquier estrate-gia de este jugador contiene 4 elementos: cada elemento describe unaaccion para cada nodo.

    1.3 Libros

    Aqu hay una lista de libros que pueden ayudar. Sin embargo, todo esta hechopara que estos apuntes y una presencia regular en la clase son suficientes parapreparar el examen.

    Binmore, K.G., Teora de Juegos,, Mc Graw Hill 1994. Dixit, A., Nalebuff, B., Pensar Estrategicamente, A. Bosch ed. 1992. Gibbons, R., Un Primer Curso de Teora de Juegos , A. Bosch ed.1993.

    Kreps, D.M., Curso de Teora Microeconomica, McGraw-Hill 1995. Rasmusen, E., Juegos e informacion. Introduccion a la Teora de Jue-gos, McGraw Hill 1995.

  • 5 1.3 Libros

    Vega Redondo F., Economa y juegos, teora y aplicaciones, A. Bosched. 1999.

    Los libros de Vega Redondo y de Gibbons son los mas adaptados paraesta asignatura.

  • Introduccion 6

  • Captulo 2

    Juegos Estaticos coninformacion completa

    Un juego estatico con informacion completa se llama un juego en formanormal. En los juegos en forma normal los jugadores eligen sus estrategiasde manera simultanea, de forma que cada jugador elige su estrategia sin saberque estrategias han elegido los demas jugadores.

    En los captulos 3 y 4 vamos a estudiar juegos en los que los jugadorespueden elegir sus acciones sabiendo las estrategias elegidas por los demas.

    2.1 Elementos y definicion de un juego

    Un juego esta definido por los elementos siguientes:

    Un conjunto de jugadores N = {i, j, k . . . , n}; Para cada jugador i N un conjunto de estrategias Si;, Para cada perfil de estrategias, es decir, para cada coleccion posiblede estrategias de manera que especificamos una estrategia para cadajugador, una funcion que especfica la ganancia de cada jugador.

    2.2 Juegos en forma normal

    En general representamos un juego en forma normal con una matriz. Porejemplo, podemos tener el juego siguiente:

    c da 3, 1 100