apuntes mecanica iei

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA FACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES ASIGNATURA MECANICA

INGENIERIA DE EJECUCION INDUSTRIAL

PROFESOR: RAUL ROSAS LOZANO 2006

Autor: Ral Rosas Lozano

INDICEPg. I Introduccin 1.1 Qu es la Mecnica? 1.2 Principios y conceptos fundamentales El principio de transmisibilidad La ley del paralelogramo para la suma de fuerzas Primera ley de Newton Segunda ley de Newton Tercera ley de Newton La ley de la gravitacin de Newton II Fuerza y Momento 2.1 Fuerza como vector 2.1.1 Componentes rectangulares de una fuerza Vector unitario Vectores unitarios cartesianos Representacin vectorial cartesiana Producto punto Producto cruz 2.2 Momento de una fuerza Par 2.3 Resultantes de sistemas de fuerzas III Equilibrio 3.1 Introduccin 3.2 Condiciones de equilibrio IV Estructuras y vigas 4.1 Armaduras Mtodo de los nudos Mtodo de las secciones 1 1 2 3 3 4 4 4 5 6 6 8 8 9 9 25 31 33 41 45 51 51 56 63 63 66 71


4.2 Marcos y entramados 4.3 Vigas Vigas con cargas concentradas Vigas con cargas distribuidas V Centroides y momentos de inercia 5.1 Centro de gravedad 5.2 Centroides 5.2.1 Centroide de reas compuestas 5.3 Momentos de inercia Radio de giro de una superficie 5.3.1 Cambio de ejes 5.3.2 Momento de inercia de superficies compuestas

76 80 81 86 97 97 99 107 111 112 116 119


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I INTRODUCCIN

1.1 QUE ES LA MECANICA? La mecnica se puede definir como aquella ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas. Esta se divide en tres partes: la mecnica de los cuerpos rgidos, la mecnica de los cuerpos deformables y la mecnica de fluidos. La mecnica de los cuerpos rgidos se subdivide en esttica y dinmica; la primera trata sobre los cuerpos en reposo y la segunda sobre los cuerpos en movimiento. En esta parte del estudio de la mecnica se supone que los cuerpos son perfectamente rgidos. Sin embargo, las estructuras y las mquinas reales nunca son completamente rgidas y se deforman bajo la accin de las cargas a las cuales estn sometidas. A pesar de esto, a menudo dichas deformaciones son pequeas y no afectan en forma apreciable l as condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideracin Pero, estas deformaciones son importantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de la estructura y se estudia en la resistencia de materiales, la cual forma parte de la mecnica de los cuerpos deformables. La tercera divisin de la mecnica, la mecnica de fluidos, se subdivide en el estudio de lo fluidos incompresibles y de los fluidos compresibles. Una subdivisin importante del estudio de los fluidos incompresibles es la hidrulica, la cual trata con problemas que involucran al agua. La mecnica es una ciencia fsica, puesto que trata con el estudio de fenmenos fsicos. Sin embarga, algunos la asocian con las matemticas, mientras que muchos la consideran como un tema de la ingeniera. Estos dos puntos de vista estn parcialmente justificados. La mecnica constituye la base de la mayora de las ciencias ingenieriles y es un prerrequisito indispensable para su estudio. A pesar de ello, la mecnica no tiene el empirismo encontrado en algunas ciencias ingenieriles, esto es, no depende nicamente de la experiencia o de la observacin; por su rigor y el nfasis que pone en el razonamiento deductivo se asemeja a las matemticas.


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Pero, nuevamente, la mecnica no es una ciencia abstracta ni tampoco es una ciencia pura, la mecnica es una ciencia aplicada. El propsito de la mecnica es el de explicar y predecir los fenmenos fsicos y, por ende, establecer los fundamentos para las aplicaciones ingenieriles.

1.2 PRINCIPIOS Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES Los conceptos bsicos usados en la mecnica son espacio, tiempo, masa y fuerza. Estos conceptos no pueden ser definidos realmente, deben ser aceptados con base en nuestra experiencia e intuicin y ser utilizados como un marco mental de referencia para el estudio de la mecnica. El concepto de espacio esta asociado con la nocin de la posicin de un punto P. La posicin de P puede ser definida por medio de tres medidas de longitud a partir de un cierto punto de referencia, u origen, en tres direcciones dadas. Estas longitudes se conocen como las coordenadas de P. Para definir un evento, no es suficiente con indicar su posicin en el espacio. El tiempo del evento tambin debe ser especificado. El concepto de masa se usa para caracterizar y comparar a los cuerpos en trminos de ciertos experimentos fundamentales de la mecnica. Por ejemplo, dos cuerpos que poseen la misma masa sern atrados por la Tierra de la misma forma; estos tambin ofrecern la misma resistencia a un cambio en su movimiento de traslacin. Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro. Esta puede ser ejercida a travs de un contacto directo o a distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y las fuerzas magnticas. Una fuerza est caracterizada por su punto de aplicacin, su magnitud, su direccin y su sentido, y se representa por medio de un vector. El estudio de la mecnica elemental descansa sobre seis principios fundamentales:


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El principio de transmisibilidad. Este principio establece que la condicin de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido permanecer inalterada si una fuerza que acta en un punto dado del mismo se reemplaza por una fuerza igual, pero que acta en un punto distinto, siempre y cuando ambas fuerzas tengan la misma lnea de accin. As se puede ver en la figura 1, que la fuerza P que acta sobre el cuerpo, puede considerarse aplicada en A o en B, no cambiando el efecto exterior sobre dicho cuerpo. Figura 1

La ley del paralelogramo para la suma de fuerzas. Esta ley establece que dos fuerzas que actan sobre una partcula pueden ser reemplazadas por una sola fuerza, llamada la resultante, que se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas dadas. Si se tiene dos fuerzas concurrentes F1 y F2 pueden sumar mediante la regla del paralelogramo para obtener su suma o resultante R segn se indica en la

figura 2(a). Si las dos fuerzas son coplanarias, pero estn aplicadas a dos puntos diferentes, como en la figura 2(b), por el principio de transmisibilidad se pueden deslizar a lo largo de sus lneas de accin y obtener su suma R en el punto de concurrencia. La resultante R podr sustituir a F1 y F2 sin alterar los efectos exteriores ejercidos sobre el cuerpo. Tambin podr utilizarse la regla del tringulo para obtener R , pero ello exige el desplazamiento de la lnea de accin de una de las fuerzas en la forma indicada en la figura 2(c). En la figura 2(d) se han sumado las mismas fuerzas, y aun cuando se obtienen el mdulo y direccin correctas de R , se ha perdido su lnea de accin. Por tanto, se debe evitar este tipo de construccin. Matemticamente, la suma de las dos fuerzas puede escribirse mediante la ecuacin vectorial


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F1 + F2 = R

(a)

(b) Figura 2

(c)

(d)

Primera ley de Newton. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposo (si originalmente lo estaba) y se mover con velocidad constante en una lnea recta (si originalmente lo haca). Segunda ley de Newton. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero, la partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y en la misma direccin y sentido que esta ltima. Esta ley puede enunciarse como F = ma Donde F, m y a representan, respectivamente, la fuerza resultante que acta sobre la partcula, la masa de la partcula y la aceleracin de la partcula, expresadas en un sistema consistente de unidades. Tercera ley de Newton. Las fuerzas de accin y reaccin entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos. La ley de la gravitacin de Newton. Esta ley establece que dos partculas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F cuya


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magnitud est dada por la frmula F = GMm/r2 Donde r es la distancia entre las dos partculas G es una constante universal llamada la constante de gravitacin. Por ahora, la primera y la tercera ley de Newton, la ley del paralelogramo para la suma de vectores y el principio de transmisibilidad, proporcionarn las bases requeridas para el estudio de la esttica de partculas, la esttica de los cuerpos rgidos y la esttica de los sistemas constituidos por cuerpos rgidos.

II FUERZA Y MOMENTO 2.1 FUERZA COMO VECTOR


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Las fuerzas son cantidades vectoriales, caracterizadas por un punto de aplicacin, una magnitud, una direccin y un sentido y pueden sumarse de acuerdo con la ley del paralelogramo. La magnitud, direccin y sentido de la resultante R de dos fuerzas P y Q pueden determinarse grficamente o por medio de la trigonometra, empleando consecutivamente la ley de los cosenos y la ley de los senos. Ejercicio N 1. Las dos fuerzas P y Q, actan sobre el perno A, como se muestra en la figura 3(a). Determinar su resultante.

Figura 3 Solucin(a) (b) (c)

Se construye un paralelogramo con lados iguales a P y Q, la diagonal de este paralelogramo a partir del punto A es la resultante R pedida (figura 3b). Utilizando uno de los tringulos que componen el paralelogramo, como se muestra en la figura 3(c) y aplicando la ley de los cosenos se obtiene: R 2 = ( 40 ) + ( 60 ) 2( 40 )( 60 ) cos 1552 2

R = 97,73 N

Ahora, aplicando la ley de los senos, se puede escribir sen A sen155 = 60 97,73 Ejercicio N 2. Determinar las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 900 N representada en la figura 4(a). A = 15,04 luego

= 20 + 15,04 = 35,04


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Figura 4 Solucin En la figura 4(b) se puede ver el mdulo, direccin y sentido de la fuerza de 900(a) (b) N. Las componentes Fu y Fv , segn los ejes u y v se pueden determinar tra-

zando rectas paralelas a estos ejes por el extremo y el origen del vector que representa la fuerza de 900 N. Al paralelogramo as construido se le puede aplicar el teorema del seno para determinar la magnitud de las fuerzas Fu y Fv ya que se conocen los ngulos de los dos tringulos que forman el paralelogramo. As pues, Fu sen 45 de donde se obtiene que Fu = 900 sen 45 Fu = 677,23 N sen110 Fv = 900 sen 25 Fv = 404,77 N sen110 = Fv sen 25 = 900 sen110

2.1.1 Componentes Rectangulares de una Fuerza En la solucin de la mayora de los problemas tcnicos prcticos no es comn la utilizacin de componentes oblicuas de fuerzas. En cambio, s es muy corriente el empleo de componentes ortogonales (rectangulares) entre s. El proceso de obtencin de componentes rectangulares es ms sencillo ya que el paralelogramo que se utilice para representar la fuerza y sus componentes es un rectngulo y el teorema del coseno que se utiliza para hallar los valores numricos de las componentes se reduce entonces al teorema de Pitgoras.


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Vector Unitario Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud igual a 1. Si A es un vector cuya magnitud es A distinta de 0, entonces un vector unitario que tenga la misma direccin y sentido que A se representa como A uA = A Rescribiendo esta ecuacin, se tiene que: A = AuA (2)

(1)

Puesto que el vector A es de cierto tipo, por ejemplo un vector fuerza, ste tendr unidades de fuerza apropiadas para su descripcin. La magnitud A tambin tendr estas unidades; de aqu que de la ecuacin (1) se infiere que el vector unitario no tiene unidades. La ecuacin (2) por lo tanto indica que el vector A puede expresarse en trminos tanto de su magnitud como de su direccin y sentido en forma separada, es decir, A (un escalar positivo) define la magnitud de A y A (un vector adimensional) define la direccin y el sentido de A , como se indica en la figura (5)

Figura 5 Vectores unitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores j unitarios cartesianos: i , y k , , se utiliza para designar las direcciones de los ejes x, y, z respectivamente, el sentido (o punta de la flecha) de estos vectores se describir analticamente por un signo ms o por un signo menos, dependiendo de si stos apuntan a lo largo del eje positivo o negativo de losAutor: Ral Rosas Lozano

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ejes x, y y z. De esta forma, los vectores positivos unitarios se muestran en la figura 6.

Figura 6 Representacin vectorial cartesiana. Una fuerza F que se encuentra actuando en el plano x-y se puede descomponer en una componente rectangular Fx dirigida segn el eje x y otra componente rectangular Fy dirigida segn el eje y, como se indica en la figura 7(a). Las fuerzas Fx y Fy son las componentes vectoriales de la fuerza F . Los ejes x e y suelen tomarse horizontal y vertical, como se indica en la figura 7(a); no obstante, se pueden tomar en dos direcciones perpendiculares cualesquiera. Estas direcciones suelen venir indicadas por la geometra del problema.

y

y

Fy (a)

F Fx

Fy j j

F Fx i (b)

x

x

i


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Figura 7 La fuerza F y sus componentes vectoriales bidimensionales Fx y Fy se pue j den escribir en forma vectorial cartesiana utilizando los vectores unitarios i , dirigidos segn los sentidos positivos de los ejes x e y, como se indica en la figura 7(b). Luego,

F = Fx + Fy = Fx i + Fy j

(3)

donde los escalares Fx y Fy son las componentes escalares x e y de la fuerza F . Las componentes escalares Fx y Fy estn relacionadas con el mdulo F = F y con el ngulo de inclinacin (direccin) de la fuerza F a travs de las expresiones siguientes: Fx = F cos Fy = F sen F = tg 1 y F x

F = Fx2 + Fy2

(4)

Las componentes escalares Fx y Fy , de la fuerza F pueden ser positivas o negativas, segn cul sea el sentido de las componentes vectoriales Fx y Fy . La componente escalar ser positiva si la componente vectorial correspondiente tiene el mismo sentido que el vector unitario asociado y negativa en caso contrario. Anlogamente, en los problemas en que sea necesario un anlisis tridimen sional, una fuerza F en el espacio se puede descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente ortogonales Fx , Fy y Fz , dirigidas segn los ejes de coordenadas x, y, z, tal como se indica en la figura 8. La fuerza F y sus componentes vectoriales tridimensionales Fx , Fy y Fz . se pueden tambin escribir en forma vectorial cartesiana utilizando los vectores j unitarios i , , k dirigidos en los sentidos positivos de los ejes de coordenados x, y, z. As,Autor: Ral Rosas Lozano

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F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy + Fz k = F cos x i + F cos y + F cos z k j j

(5)

z

Fz

zx x

F y

Fyy

Fx

Figura 8 De esta manera, las componentes escalares Fx , Fy y Fz estn relacionadas con el mdulo F y con la direccin y sentido de la fuerza mediante las expresiones siguientes: Fx = F cos x Fx = F cos y F y = cos 1 y F F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Fx = F cos z

x = cos 1 Fx F

z = cos 1 Fz F

(6)


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Los ngulos x, y y z son los ngulos 0 180 o que forma la fuerza F con los semiejes de coordenadas positivos. Los cosenos de estos ngulos, se denominan cosenos directores. Si un ngulo es mayor que 90, su coseno es negativo, lo que indica que el sentido de la componente es opuesto al sentido positivo del eje de coordenadas correspondiente. Luego entonces, las ecuaciones (6) dan el signo y la magnitud de las componentes escalares de la fuerza y son vlidas para todo valor del ngulo. Si se relaciona la ecuacin (2) con la ltima igualdad de la ecuacin (5), se puede obtener que el vector formado por los cosenos directores de un vector cualquiera, es su vector unitario, es decir, cos x i + cos y + cos z k = u j Considerando que la magnitud de cualquier vector unitario es 1, entonces cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 (8) (7)

(

)

Cuando una fuerza F se define en el espacio por su magnitud F y por las coordenadas de dos puntos, M (x1, y1, z1) y N (x2, y2, z2) localizados a lo largo de su lnea de accin, como se indica en la figura 9, sta se puede escribir en forma vectorial de la siguiente manera:

Figura 9


16

Primero, se expresa el vector d que une a los puntos M y N en trminos de sus componentes d x , d y y d z ; de esta forma se escribe d = d x i + d y + d z k = ( x 2 x1 ) i + ( y 2 y1 ) + ( z 2 z1 ) k j j (9)

Despus se determina el vector unitario u a lo largo de la lnea de accin de F dividiendo d por su magnitud MN = d d u= = d d xi + d y + d z k j d

(10)

Recordando que F es igual al producto de F y u , se tiene que d xi + d y + d z k j F = Fu = F d A partir de esta expresin se determina que las componentes escalares de F son: d Fx = F x d dy Fy = F d d Fz = F z d

Ejercicio N 3 Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante que acta en el anillo de la figura 10(a).

Autor: Ral Rosas Lozano (a) (b)

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Figura 10

Solucin Como cada fuerza est representada en forma vectorial cartesiana, la fuerza resultante mostrada en la figura 10(b), se obtuvo a partir de: FR = F1 + F2 =

(60 j + 80 k) + (50 i 100 j + 100 k)

FR = 50 i 40 + 180 k lb j

La magnitud de la fuerza resultante se obtiene de las ecuaciones (6), es decir, FR = 50 2 + 40 2 + 180 2 FR = 191 lb

Los ngulos directores coordenados se determinan de las componentes del vector unitario de la fuerza resultante FR FR = F 50 40 180 i j+ k 191 191 191 = 0,2617 i 0.2094 + 0,9422 k j

u FR

=

u FR

De tal forma que cos x cos y cos z = 0,2617 = 0,2094 = 0,9422

xy

= 74,8 = 102 = 19,6

z

Estos ngulos se muestran en la figura 10(b).


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Ejercicio N 4 Exprese la fuerza F mostrada en la figura 11 como un vector cartesiano.

Figura 11 Solucin Como slo se indican dos ngulos directores coordenados, el tercer ngulo se puede determinar a partir de la ecuacin (8), esto es, cos 2 + cos 2 60 + cos 2 45 = 1 De aqu que = 120 cos = 0,5

= 60

o

De la figura 11, se deduce claramente que es necesario que el valor de sea de 60, puesto que la componente en x de la fuerza debe ser positiva, es decir, actuar en el sentido +x. Utilizando la ecuacin (5), con F = 200 N, se tiene

F = 200 cos 60 i + 200 cos 60 + 200 cos 45 k j F = 100 i + 100 + 141,4 k N j Ejercicio N 5 Exprese la fuerza F mostrada en la figura 12(a) como un vector cartesiano.


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(a) Figura 12 Solucin

(b)

En este ejercicio los ngulos de 60 y 30 que definen la direccin de F no son ngulos directores coordenados. Sin embargo, aplicando la regla del paralelogramo dos veces, F puede ser descompuesta en sus componentes rectangulares cartesianas como se muestra en la figura 12(b). Del tringulo de color gris claro se tiene F ' = 4 cos 30 = 3,46 y Fz = 4 sen 30 = 2

Luego, utilizando F y el tringulo de color gris oscuro se tiene Fx = 3,46 cos 60 = 1,73 y Fy = 3,46 sen 60 = 3

Finalmente F = 1,73 i + 3 + 2 k kN j

Ejercicio N 6


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El tirante de una torre est anclado por medio de un perno en A. La tensin en dicho cable es de 2500 N. Determine: a) las componentes Fx , Fy y Fz de la fuerza que acta sobre el perno y b) los ngulos directores que definen la direccin de dicha fuerza.

Figura 13 Solucin a) La lnea de accin de la fuerza F que acta sobre el perno pasa por los puntos A y B y est dirigida desde A hacia B como se indica en la figura 13(b). (c) (a) Las componentes del vector AB = d , (b) cual tiene la misma direccin y el el mismo sentido que la fuerza, estn dadas por d x = 40 La distancia total desde A hasta B es AB = d = 40 2 + 80 2 + 30 2 = 94,3 d y = 80 d z = 30

Considerando los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, se tiene AB = d = 40 i + 80 + 30 k j


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Calculando el vector unitario u AB se obtiene

d , se puede escribir = F = F u AB de lo que d

40 i + 80 + 30 k j F = 2500 94,3

F = 1060 i + 2120 + 795 k j

Por lo tanto las componentes de F son: Fx = 1060 N Fy = 2120 N Fz = 795 N

b) Usando las ecuaciones (6), se determina que cos x = 1060 2500 2120 2500 795 2500

x

= 115,1

cos y

=

y

= 32

cos z

=

z

= 71,5

Ejercicio N 7 Determinar el mdulo R de la resultante de las cuatro fuerzas representadas en la figura 14(a) y el ngulo x que forma su recta soporte con el eje x.

Figura 14


(a)

(b)

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Solucin El mdulo R de la resultante se determinar utilizando las componentes rectangulares Fx y Fy de cada una de las fuerzas. As, F1x = 80 cos 140 = - 61,28 N F1y = 80 sen 140 = + 51,42 N

F2x = 60 cos 110 = - 20,52 N F2y = 60 sen 110 = + 56,38 N F3x = 75 cos 45 = + 53,03 N F3y = 75 sen 45 = + 53,03 N F4x = 90 cos 17 = + 86,07 N F4y = 90 sen 17 = + 26,31 N Una vez conocidas las componentes rectangulares de las fuerzas, se obtienen las componentes Rx y Ry de la resultante mediante las expresiones Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + F4x = - 61,28 - 20,52 + 53,03 + 86,07 Rx = + 57,3 N Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + F4y = + 51,42 + 56,38 + 53,03 + 26,31 Ry = + 187,14 N El mdulo R de la resultante es R =2 R x2 + R y

=

57,3 2 + 187,14 2

R = 195,7 N

El ngulo x se obtiene a partir de la expresin Ry 187,14 = tg 1 = tg 1 R 57,3 x

x

x

= 73


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La resultante R de las cuatro fuerzas de la figura 14(a) est representada en la figura 14(b).

Ejercicio N 8 Determinar el mdulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura 15 y los ngulos x, y y z que forma la recta soporte de la resultante con los semiejes positivos de coordenadas x, y, z.

Figura 15 Solucin Primero se determinar el mdulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura 15 y los ngulos x, y y z, que forma su recta soporte con los ejes x, y, z. As, F1x = 25 cos 26 cos 120 = 11,235 F2 x = 10 cos 60 cos ( 60 ) = 2,5 F3 x = 15 cos 16 cos 50 = 9,268 F1 y = 25 cos 26 cos 30 = 19,459 F2 y = 10 cos 60 sen ( 60 ) = 4,33 F3 y = 15 cos 16 sen 50 = 11,046 F1z = 25 cos 64 = 10,959 F2 z = 10 sen 60 = 8,66 F3 z = 15 sen16 = 4,135

Una vez conocidas las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas, se obtienen las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante mediante las


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expresiones Rx = Fx = F1x + F2x + F3x = -11,235 + 2,5 + 9,268 Rx = 0,533 kN Ry = Fy = F1y + F2y + F3y = 19,459 4,33 + 11,046 Ry = 26,175 kN Rz = Fz = F1z + F2z + F3z = 10,959 + 8,66 + 4,135 Rz = 23,754 kN El mdulo R de la resultante es R =2 R x2 + R y + R z2

=

0,533 2 + 26,175 2 + 23,754 2

R = 35,35 kN

Los ngulos x, y y z se obtienen mediante las expresiones

x

0,533 R = cos 1 x = cos 1 R 35,35 Ry 26,175 = cos 1 = cos 1 R 35,35 23,754 R = cos 1 z = cos 1 R 35,35

x

= 89,14

y

y

= 42,23

z

z

= 47,78

Ejercicio N 9 Determinar el mdulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura 16 y los ngulos x, y y z que forma la recta soporte de la resultante con los semiejes positivos de coordenadas x, y, z.


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Figura 16 Solucin Como se observa en la figura 16 adems de por el origen de coordenadas, las rectas soporte de las fuerzas F1, F2 y F3 pasan por los puntos de coordenadas (3, -2,5, 3,5), (-3, -4,5, 3,5) y (3, 5, 4) respectivamente. Como se conocen las coordenadas de estos tres puntos del espacio, se puede determinar fcilmente los vectores unitarios asociados a las fuerzas mencionadas usando las ecuaciones (9) y (10).

u1

=

3 i 2,5 + 3,5 k j 3 + 2,5 + 3,52 2 2

= 0,572 i 0,4767 + 0,6674 k j

u2

=

3 i 4,5 + 3,5 k j 3 + 4,5 + 3,52 2 2

= 0,4657 i 0,6985 + 0,5433 k j

u3

=

3i + 5 + 4 k j 3 +5 +42 2 2

= 0,4243 i + 0,7071 + 0,5657 k j

Ahora, utilizando la ecuacin (2) se puede expresar en forma vectorial cartesiana cada una de las tres fuerzas F1 = F1 u1 = 20 0,572 i 0,4767 + 0,6674 k j

(

)

F1 = 11,44 i 9,534 + 13,348 k j


26

F = 13,971 i 20,955 + 16,299 k F2 = F2 u 2 = 30 0,4657 i 0,6985 + 0,5433 k j j 2 F = 16,972 i + 28,284 + 22,628 k F3 = F3 u 3 = 40 0,4243 i + 0,7071 + 0,5657 k j j 3

( (

)

)

La resultante R de las tres fuerzas es R = F1 + F2 + F3 = R x i + R y + R z k j donde

Rx = Fx = F1x + F2x + F3x = 11,44 13,971 + 16,972 Rx = 14,441 kN Ry = Fy = F1y + F2y + F3y = -9,534 20,955 + 28,284 Ry = -2,205 kN Rz = Fz = F1z + F2z + F3z = 13,348 + 16,299 + 22,628 Rz = 52,275 kN Luego R = 14,441 i 2,205 + 52,275 k kN j El mdulo R de la resultante es R =2 R x2 + R y + R z2

=

14,4412 + 2,205 2 + 52,275 2

R = 54,27 kN

Los ngulos x, y y z se obtienen mediante las expresiones

x

14,441 R = cos 1 x = cos 1 R 54,27 Ry 2,205 = cos 1 = cos 1 R 54,27

x

= 74,57

y

y

= 92,33


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z

52,275 R = cos 1 z = cos 1 R 54,27

z

= 15,58

Producto Punto En ocasiones, en esttica se tiene que determinar el ngulo entre dos lneas, o las componentes de una fuerza paralela o perpendicular a una lnea. En el caso bidimensional, esto puede resolverse fcilmente por trigonometra. En el caso tridimensional, es algo ms complicado y generalmente se debe utilizar mtodos vectoriales para encontrar la solucin. El trmino producto punto se refiere a un mtodo particular para multiplicar dos vectores y se utiliza para resolver los problemas antes mencionados. El producto punto de los vectores A y B que se expresa como A B , y se lee como A punto B, se define como el producto de las magnitudes de A y B , y el coseno del ngulo entre sus colas; como se muestra en la figura17. Expresado en forma de ecuacin se tiene:


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A B =

A B cos

(11)

donde 0 180 . El producto punto se llama frecuentemente producto escalar de vectores, puesto que el resultado es un escalar y no un vector.

A

B

Figura 17 El producto punto cumple con las siguientes leyes de operacin: Ley conmutativa: A B = B A

Multiplicacin por un escalar A B

(

)

=

( A) B

=

A B

( )

=

( A B)

Ley distributiva A B + D

(

)

=

( A B) + ( A D)

Si los vectores A y B estn expresados en forma vectorial cartesiana, entonces el producto punto entre ellos es A B = Ax i + Ay + Az k B x i + B y + B z k j j

(

) (

)

Luego de llevar a cabo las operaciones del producto punto y considerando que


29

i i =1 j i =0 el resultado final es A B =

=1 j j i k =0

k k =1 j k =0

Ax B x + Ay B y + Az B z

(12)

En mecnica el producto punto tiene dos aplicaciones importantes

El ngulo formado entre dos vectores o lneas de interseccin. El ngulo entre las colas de los vectores A y B en la figura 17 puede determinarse de la ecuacin (11) y expresarse como: A B = cos AB 1

0

180

Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una lnea. La componente de un vector A paralelo o colineal a la lnea a a ' en la figura 18 se define por All donde All = A cos . Esta componente con frecuencia es conocida como la proyeccin de A sobre la lnea puesto que se forma un ngulo recto en la figura. Si la direccin de la lnea se especifica por el vector unitario u , entonces se puede determinar All directamente del producto punto, es decir, All = A cos = A u

Aa

A

Figura 18

Aii

u

a'


30

De aqu que, la proyeccin escalar de A a lo largo de una lnea se determina a partir del producto punto de A y el vector unitario u , el cual define la direccin de la lnea. Si ste resultado es positivo, entonces All tiene el mismo sentido de u , mientras que si es negativo, entonces su sentido es opuesto al de u . La componente All representada como un vector es, por lo tanto:

All = A cos u = A u u

(

)

(13)

Ejercicio N 10 La estructura mostrada en la figura 19(a) se encuentra bajo la influencia de una fuerza horizontal F = 300 N que acta en una esquina. Determine la magnitud j de las componentes perpendicular y paralela al miembro AB de esta fuerza.

Figura 19 Solucin La magnitud de la componente de F a lo largo de AB es igual al producto punto de F y el vector unitario u B , que define la direccin de AB, figura 19(b). Puesto queAutor: Ral Rosas Lozano

31

rB 2i + 6 + 3k j uB = = = 0,2857 i + 0,8571 + 0,4286 k j 2 2 2 rB 2 +6 +3

Entonces FAB = F u B = 300 0,2857 i + 0,8571 + 0,4286 k j j

(

)

FAB = 257,13 N

Como el resultado es positivo, FAB tiene el mismo sentido que u B , figura 19(b). Expresando FAB en forma vectorial cartesiana, se tiene: FAB = FAB u B = 257,13 0,2857 i + 0,8571 + 0,4286 k j FAB = 73,46 i + 220,39 + 110,2 k j

(

)

La componente perpendicular F , figura 19(b), es por lo tanto F = F FAB = 300 73,46 i + 220,39 + 110,2 k j j F = 73,46 i + 79,61 110,2 k N j Su magnitud se puede determinar tanto con este vector como a partir del teorema de Pitgoras,

(

)

F = 73,46 2 + 79,612 + 110,2 2

F = 154,5 N

2 F = F 2 FAB = 300 2 257,13 2

F = 154,5 N

Ejercicio N 11


32

La tubera mostrada en la figura 20(a) se encuentra bajo la influencia de una fuerza F = 80 lb en su extremo B. Determine el ngulo entre F y el segmento de tubera BA, y las magnitudes de las componentes de F , que son paralelas y perpendiculares a BA.

(a) Figura 20

(b)

Solucin ngulo . Primero se establecen vectores de posicin desde B hacia A y desde B hasta C, para luego determinar el ngulo entre las colas de estos dos vectores. rBA = 2 i 2 + 1 k j De esta forma rBA rBC ( 2 )( 0 ) + ( 2)( 3) + (1)(1) cos = = = 0,7379 rBA rBC 3 10 rBC = 3 + 1 k j

= 42,45

Componentes de F . La fuerza F se descompone en sus componentes como


33

se muestra en la figura 20(b). Puesto que FBA = F u BA , se debe expresar los vectores unitarios a lo largo de BA y la fuerza F como vectores cartesianos.

u BA

rBA 2 i 2 + 1 k j 2 2 1 = = = i + k j rBA 3 3 3 2 2 + 2 2 + 12

r F = 80 BC r BC Luego

3 + 1k j = 75,89 + 25,29 k = 80 j 10

2 2 j 1 FBA = 75,89 + 25,29 k i + k j 3 3 3

(

)

FBA = 59 lb

2 F = F 2 FAB = 80 2 59 2

F = 54 lb

Producto Cruz La segunda manera de multiplicar dos vectores se conoce con el nombre de producto cruz o tambin llamado producto vectorial. Para los vectores P y Q de la figura 20 dicho producto se escribe en la forma P Q y se define como un vector cuyo mdulo es igual al producto de los mdulos de P y Q multiplicado por el seno del ngulo (menor que 180) que forman. La direccin de P Q es normal al plano definido por P y Q , y el sentido de P Q es el de avance de un tornillo de hilo derecho al girar de manera que lleve P sobre Q a travs del menor de los dos ngulos que determinan. Si es n un vector cuya direccin y sentido sean los de P Q , el producto vectorial podr escribirse en la forma


34

P Q = P Q sen n

(14)

Utilizando la regla de la mano derecha e invirtiendo el orden de la multiplicacin vectorial, de la figura 21 se puede ver que P Q = Q P . Por tanto, el producto vectorial no es conmutativo.

Figura 21

S cumple con la propiedad distributiva. Por tanto, se cumple que P Q + R = PQ + PR De la definicin de producto vectorial resultan las siguientes relaciones entre los vectores unitarios cartesianos j i =k i = k j i i = k =i j j k = i j k i = i k = j

(

)

= kk = 0 j j


35

Con ayuda de estas igualdades y de la propiedad distributiva, el producto cruz de dos vectores P y Q escritos en funcin de sus componentes cartesianas es P Q = Px i + Py + Pz k Q x i + Q y + Q z k j j

(

) (

)

P Q = ( Py Q z Pz Q y ) i ( Px Q z Pz Q x ) + ( Px Q y Py Q x ) k j Tras reagrupar trminos. Esta expresin puede escribirse de manera compacta en forma de determinante i Px Qx j Py Qy k Pz Qz

PQ =

(15)

2.2 MOMENTO DE UNA FUERZA Una fuerza tiene, adems de la tendencia a mover en su direccin y sentido al cuerpo a que se aplica, otra tendencia a hacerlo girar alrededor de todo eje que no corte a la recta soporte de la fuerza ni sea paralelo a ella. A esta tendencia se le llama momento M de la fuerza respecto al eje o punto dado. En la figura 22(a) puede verse un cuerpo al que se ha aplicado una fuerza R en uno de sus puntos A. El eje O-O es una recta cualquiera en el cuerpo que no corta a la recta soporte de R . La fuerza R puede descomponerse en dos componentes, una P , paralela a O-O, que no tiene tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de O-O, y F contenida en un plano a normal al eje O-O y que


36

tendr tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de O-O. La magnitud de esta tendencia es proporcional tanto a la magnitud F como al brazo de momento, d , perpendicular. La magnitud escalar del momento es, pues, M = Fd (16)

El sentido del momento depende del sentido en el cual tienda F a hacer girar el cuerpo. Para identificar aquel sentido puede emplearse la regla de la mano derecha (fig. 22(b)) y el momento de F respecto a O-O podr representarse por un vector dirigido en el sentido indicado por el pulgar cuando se curvan los dems dedos en el sentido de la tendencia a la rotacin. El momento M cumple todas las reglas de composicin de vectores y puede considerarse como vector deslizante cuya recta soporte coincida con el eje de momentos. Las unidades de momento son m-kp o m-N y suelen escribirse en este orden para distinguir un momento de una energa que pudiera darse en kp-m o en Nm (J).

(a) Figura 22

(b)

Al tratar fuerzas coplanarias, se suele hablar de momento respecto a un punto. En realidad, queda implcito el momento respecto a un eje normal al plano y que pasa por un punto. As, el momento de la fuerza F respecto al punto O, en la figura 23, es M o = F d y estara dirigido en el sentido de avance de un tornillo de hilo derecho que girase en sentido contrario a las agujas del reloj. LaAutor: Ral Rosas Lozano

37

representacin vectorial de los momentos para fuerzas coplanarias no es conveniente, ya que los vectores saldran del papel (sentido directo) o penetraran en l (sentido inverso). Como la adicin de vectores libres paralelos se puede efectuar escalarmente, se debern tener en cuenta los sentidos de los momentos, asignando el signo ms (+) a los momentos correspondientes a giros contrarios al de las agujas del reloj, y el signo menos () a los de sentido opuesto, o viceversa. Tan slo hace falta mantener el convenio a lo largo de todo el problema que se resuelva.

Figura 23 Uno de los ms importantes principios de la Mecnica es el teorema de Varignon, o principio de los momentos, que dice que el momento de una fuerza respecto a un punto cualquiera es igual a la suma de los momentos de sus componentes respecto a dicho punto. Para desarrollar ahora una formulacin algo ms general del concepto de momento, la cual es particularmente til en el anlisis de sistemas tridimen sionales de fuerzas, se considerar una fuerza F con una recta soporte determinada (figura 24(a)) y un punto cualquiera O exterior a esta recta soporte. El punto O y la recta soporte de F determinan un plano a . El momento M O de F respecto a un eje normal al plano y que pase por O es M o = F d , donde d es la distancia del punto O a la recta soporte de F. A este momento tambin se le llama momento de F respecto al punto O. El vector M O es normal al plano y est soportado por el eje que pasa por O. Tanto la magnitud como la direccin y sentido de M O pueden describirse mediante la


38

operacin vectorial llamada producto vectorial o producto cruz. Se introduce un vector r que va de O a un punto cualquiera de la recta soporte de F . Por definicin, el producto vectorial de r y F se escribe en la forma r F y tiene: por mdulo ( r sen ) F , que es lo mismo que F d , que es el mdulo de M O . La direccin y sentido correctos del momento los establece la regla de la mano derecha, descrita anteriormente en este apartado. As, tratando r y F como vectores libres (figura 24(b)), el pulgar sealar el sentido de M O cuando los dedos de la mano derecha se curven indicando el sentido de rotacin de r hacia F . (a) (b)

Figura 24 Por tanto, el momento de F respecto al eje que pasa por O puede escribirse en la forma MO = r F

(17)

Es obligatorio mantener el orden de los vectores en r F , ya que F r dara un vector opuesto a M O , es decir, F r = M O . La expresin del producto vectorial para M O puede ponerse en forma de determinante, lo cual da


39

MO

=

i rx Fx

j ry Fy

k rz Fz

(18)

Se puede ahora escribir el momento M de F respecto a cualquier eje que pase por O (figura 24(a)). Si es n un vector unitario en la direccin , utilizando la expresin del producto escalar para la componente de un vector descrita anteriormente, se tendr para la componente de M O segn , simplemente, M O n , que es el mdulo del momento M de F respecto a . Para obtener la expresin vectorial del momento de F respecto a habr que multiplicar el mdulo por el vector unitario n , lo cual da M = r F n n =

(

)

( r F ) n

(19)

Consideremos ahora dos fuerzas F1 y F2 concurrentes en un punto A (figura 25). El vector de posicin de A desde otro punto cualquiera O es r . Los dos momentos vectoriales respecto al punto O debidos a las dos fuerzas se pueden sumar y dan M1 + M 2 y su suma vectorial es M O = r F1 + F2 = r F1 + r F2

(

)

(20)

Esta expresin constituye el enunciado del teorema de Varignon para tres di mensiones, el cual dice que la suma M de los momentos respecto a un punto cualquiera O de dos fuerzas que concurren en otro punto diferente es igual al momento respecto al mismo punto O de su suma F1 + F2 . Aun cuando slo se han representado dos fuerzas, el teorema es aplicable a un nmero cualquiera


40

de fuerzas concurrentes.

Figura 25

Ejercicio N 12 Se aplica una tensin T = 5000 N al cable amarrado al extremo superior A del mstil rgido y se fija a tierra en B como se indica en la figura 26. Determinar el momento Mz, de T respecto al eje z que pasa por la base O del mstil.

Figura 26 Solucin (a) Primero se descompone la fuerza T en las componentes Tz y Txy, esta ltima contenida en el plano x-y que ser, en consecuencia, normal al eje z del momento. Entonces, el momento se deber solamente a Txy y ser Mz = Txy d, donde d es la distancia del punto O a Txy. El coseno del ngulo que forman T yAutor: Ral Rosas Lozano

41

Txy es

15 2 + 12 2 15 2 + 12 2 + 9 2

= 0,9055

y por tanto Txy = 5000 (0,9055) = 4527,5 El brazo de momento d es igual a OA multiplicado por el seno del ngulo que forman Txy y OA, es decir, 12 d = 15 12 2 + 15 2 = 9,37

Luego el momento de T respecto al eje z es Mz = 4527,5 (9,37) Mz = 42422,68 N-m

y tiene el sentido de giro de las agujas del reloj cuando se mira hacia el plano x-y.

Solucin (b) Tambin se calcula fcilmente el momento descomponiendo Txy en sus componentes Tx y Ty. Es evidente que Ty no ejerce momento alguno respecto al eje z ya que lo corta, por lo que el momento buscado se debe solamente a Tx. El coseno director de T respecto al eje x es 12

9 2 + 12 2 + 15 2

= 0,5657


42

con lo que Tx = 5000 (0,5657) = 2828,5 As pues Mz = 2828,5 (15) = 42 427,5 N-m

Solucin (c) El momento pedido puede obtenerse por mtodos vectoriales a partir del momento M O de T respecto al punto O. El vector M O es normal al plano definido por T y el punto O segn puede verse en la figura 26 de la derecha. Utilizando la ecuacin (17) para hallar M O , el vector r ser un vector cualquiera que vaya de O a la recta soporte de T . La eleccin ms sencilla consiste en tomar el vector que va de O a A, el cual se escribe en la forma r = 15 . La expresin vectorial de T se obtiene a partir de la ecuacin (2) j 12 i 15 + 9 k j = 5000 12 2 + 15 2 + 9 2 = 2828,43 i 3535,53 + 2121,32 k j

T = T uT

de la ecuacin (17), M O = 15 2828,43 i 3535,53 + 2121,32 k = 42426,45 k + 31819,8 i j j La magnitud Mz del momento buscado es la componente de M O en la direccin z, o sea

(

)


43

M Z = M O k = 42426,45 k + 31819,8 i k

(

)

M z = 42426,45 N m

El signo menos indica que el vector M Z est dirigido en el sentido negativo de las z. Expresado en forma de vector, el momento es M Z = 42426,45 k N m

Par El momento producido por dos fuerzas de igual mdulo y direccin, pero de sentidos opuestos, cuyas rectas soporte no sean colineales, se denomina par. Un par presenta ciertas propiedades nicas y tiene importantes aplicaciones en Mecnica. Si se considera la accin de dos fuerzas tales F y F separadas una distancia d como se muestra en la figura 27(a); estas dos fuerzas no se pueden combinar en una sola debido a que su suma en cualquier direccin es nula. Su efecto es solamente el de producir una tendencia a la rotacin. El momento combinado de las dos fuerzas respecto a un eje normal a su plano que pase por un punto cualquiera tal como el O es el momento del par M y su mdulo es, M = F (a + d) F a es decir M = Fd

siendo su sentido el directo (contrario a las agujas del reloj). Esta expresin da el momento del par y es completamente independiente de la distancia a que sita a las fuerzas respecto al centro O del momento. Se deduce que el


44

momento de un par es el mismo para todos los centros de momentos. El momento de un par podr representarse por un vector libre M , como se indica en la figura 27(b), cuya direccin sea normal al plano del par y el sentido del vector queda establecido por la regla de la mano derecha.

(a) Figura 27

(b)

(c)

La propiedad que presenta el par de ser un vector libre puede tambin ponerse de manifiesto de otra manera algo ms general, combinando los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto de referencia cualquiera O1 como se muestra en la figura 27(a). Los puntos A y B, de vectores de posicin respectivos rA y rB son dos puntos cualesquiera de las correspondientes rectas soporte de F y F . Con esta notacin, el momento resultante de las dos fuerzas respecto a O1, utilizando la ecuacin (17), resulta ser M = rA F + rB ( F ) = ( rA rB ) F = rF

Como d es la proyeccin de r sobre la normal a F , se observa que la magnitud de esta expresin es M = Fd, que es el mdulo del par. Se observa tambin que la direccin de M es normal al plano de r y F como se describi anteriormente. Como r F no contiene referencia alguna al punto O1, se deduce que M ser el mismo para todos los puntos de referencia y, por tanto, puede tratarse como vector libre. La figura 27(c) indica la representacin de un momento que sale del papel,


45

como una variacin de la forma vectorial. En trminos generales, una fuerza ejerce un doble efecto: empuja o tira el cuerpo sobre el que acta en la direccin de la fuerza y tiende a hacer girar el cuerpo en torno a un eje cualquiera que no corta a su lnea de accin ni es paralelo a ella. Este efecto doble suele estudiarse ms fcilmente sustituyendo la fuerza por una fuerza igual aplicada a otro punto fuera de su lnea de accin y un par tal que compense la variacin del momento de la fuerza cuando fue desplazada a la nueva posicin. La figura 28 muestra esta equivalencia, en que se sustituye F aplicada en A por una idntica aplicada a otro punto cualquiera O y el par M .

Figura 28 La descomposicin de una fuerza en otra equivalente y un par constituye un paso que halla repetida aplicacin en Mecnica y que en consecuencia debe dominarse. Ejercicio N 13 Determinar el mdulo y direccin del par M que sustituya a los dos pares dados y siga produciendo el mismo efecto externo sobre el bloque indicado en la figura 29(a). Especificar las dos fuerzas F y F , aplicadas a las dos caras del bloque paralelas al plano y z , que puedan sustituir a las cuatro fuerzas dadas.


46

(a)

(b) Figura 29

(c)

Solucin El par debido a las fuerzas de 30 N tiene por magnitud M 1 = 30 ( 6 ) = 180 . La direccin de M 1 es normal al plano definido por las dos fuerzas, y el sentido, indicado en la figura 29(b), se establece mediante el convenio de la mano derecha. El par debido a las fuerzas de 25 N tiene por magnitud M 2 = 25 (10 ) = 250 con la direccin y sentido que se indican en la figura 29(b). Los dos vectores momento se combinan para dar las componentes M y = 180 sen 60 = 155,9 luego M = 155,9 2 + 160 2 = 223,4 N cm con 155,9 = tg 1 = 44,26 160 M z = 250 + 180 cos 60 = 160

Las fuerzas F se hallan en un plano normal al par M , y su brazo de momento, segn se ve en la figura 29(c) es de 10 cm. As pues, cada fuerza tendr por magnitud y direccin 223,4 = 22,34 N 10

F=

y

= 44,26

respectivamente.

Ejercicio N 14 Se aplica una fuerza de 200 N al punto A de la empuadura de la palanca de mando que est unida al eje fijo OB como se indica en la figura 30(a). Para determinar el efecto de la fuerza sobre el eje en una seccin tal como la que


47

pasa por O, se puede sustituir la fuerza por una fuerza equivalente que pase por O y un par. Describir este par en forma de un vector M . (a) (b)

17,5 cm

Figura 30 Solucin

Desplazar la fuerza de 200 N una distancia d = 17,5 2 + 20 2 = 26,58 cm llevndola a una posicin paralela que pase por O, exige la adicin de un par M cuya magnitud sea M = F d = 200 ( 26,58 ) = 5316 N cm El vector momento del par es perpendicular al plano sobre el que se ha desplazado la fuerza y su sentido es el del momento de dicha fuerza respecto a O. La direccin de M en el plano y-z viene dada por 17,5 = arctg = 41,19 20 De otra manera, el par podra expresarse con notacin vectorial en la forma M = r F = 20 + 17,5 k 200 i = 4000 k 3500 N cm j j de donde puede determinarse la magnitud y direccin de M . 2.3 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS. En los apartados anteriores se han desarrollado las propiedades de la fuerza,Autor: Ral Rosas Lozano

(

) (

)

48

el momento y el par. Con ayuda de esta exposicin se puede describir ahora la accin resultante de un grupo o sistema de fuerzas. La mayora de problemas de la Mecnica tratan de sistemas de fuerzas y ser necesario reducir el sistema a su forma ms sencilla para describir su accin. La resultante de un sistema de fuerzas es la combinacin de fuerzas ms sencilla que pueda sustituir a las fuerzas originales sin alterar el efecto exterior del sistema sobre un cuerpo rgido al que se puedan aplicar las fuerzas. El equilibrio de un cuerpo es la condicin en la cual la resultante de todas las fuerzas que actan sobre l es nula y la aceleracin de un cuerpo se describe igualando la resultante de las fuerzas al producto de la masa por la aceleracin. As, pues, la determinacin de las resultantes es fundamental tanto para la Esttica como para la Dinmica. En el punto anterior se demostr, con ayuda de la figura 28, que una fuerza F puede sustituirse por la misma fuerza desplazada a una posicin paralela que pase por un punto arbitrario O y a un par de momento F d , donde d es el brazo de momento desde O hasta la posicin original de F. O en notacin vectorial, M = r F , donde r es un vector que va de O a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F . En el caso de un sistema de fuerzas F1 , F2 , F3 ....... totalmente general en el espacio, se deduce que cada una de ellas puede trasladarse paralelamente a s misma a un mismo punto O con tal de aadir un par por cada una de las fuerzas as trasladadas. As, pues, para el sistema esquematizado en la figura 31(a), las fuerzas pueden considerarse todas aplicadas al punto arbitrario O, con la adicin de los pares correspondientes (figura 31(b)). Las fuerzas concurrentes se pueden entonces sumar vectorialmente, dando una fuerza resultante R y tambin pueden sumarse los pares dando un par resultante de momento M como se indica en la figura 31(c). El sistema general de fuerzas se reduce entonces a R = F1 + F2 + F3 + ................ = F M = M 1 + M 2 + M 3 + ................ = M = r F

(

)

Los vectores momento se han representado todos en O, pero como son vectores libres, podrn representarse paralelamente en cualquier otra posicin.Autor: Ral Rosas Lozano

49

Las magnitudes de las resultantes y de sus componentes son R x = Fx R y = Fy2 R = R x2 + R y + R z2

R z = Fz

Mx = r F

(

)

x

My = r F

(

)

y

Mz = r F

(

)

z

2 2 M = M x + M y + M z2

El punto O seleccionado como punto de concurso de las fuerzas es arbitrario y la magnitud, direccin y sentido de M dependern de cul sea el punto O se leccionado. En cambio, la magnitud, direccin y sentido de R son siempre las mismas independientemente de cul sea el punto elegido. En general, todo sistema de fuerzas puede sustituirse por su fuerza resultante R y el par resultante de momento M . En Dinmica suele tomarse el centro de masa como punto de referencia y se determina la variacin de cantidad de movimiento en unidad de tiempo por la fuerza resultante y la variacin de momento cintico respecto al centro de masa en unidad de tiempo se determina por el momento resultante.

(a)

(b) Figura 31

(c)

Ejercicio N 15 Determinar la resultante de las cuatro fuerzas y el par que se ejercen sobre la


50

placa que se indica en la figura 32(a). (a) (b)

Figura 32 Solucin Se selecciona arbitrariamente el punto O como el centro de momentos. Las componentes Rx y Ry, la resultante R y el ngulo que forma R con el eje x sern R x = 40 + 80 cos 30 60 cos 45 = 66,86 kp R y = 50 + 80 sen 30 + 60 sen 45 = 132,43 kp R = 66,86 2 + 132,43 2 132,43 = arctg 66,86 R = 148,3 kp

= 63,21

Aun cuando el par no tiene influencia alguna sobre la magnitud, ni sobre la direccin, de R, s influye sobre el momento resultante que se va a determinar a continuacin. La posicin de la recta soporte de R se halla a partir del principio de los momentos (teorema de Varignon). Tomando O como centro de momentos y siendo d el brazo de momento de R, considerando arbitrariamente como positivo el sentido de giro antihorario, dicho principio exige que

[R d = M ]O

148,3 d = 140 50 ( 5) 60 sen 45 ( 7 ) + 60 cos 45 ( 4 )

d = 1,6 m

El signo negativo indica que el momento resultante acta en sentido horario


51

respecto a O en vez de en sentido antihorario. Por tanto, la resultante podr aplicarse en un punto cualquiera de una recta que forme un ngulo de 63,21 con el eje x y sea tangente a una circunferencia de radio 1,6 m centrada en O como se indica en la figura 32(b). El momento de sentido horario de R exige que la recta soporte de R sea tangente en el punto A y no en el B, como sera en el caso en que el momento actuase en sentido antihorario. Es importante notar que la eleccin del punto O como centro de momentos elimina los momentos debidos a las dos fuerzas que pasan por O. La seleccin adecuada de un centro de momentos conveniente que elimine el mayor nmero de trminos posible en las ecuaciones de momentos constituye una importante simplificacin en los clculos de Mecnica. El sistema dado de fuerzas tambin puede combinarse grficamente utilizando la ley del paralelogramo, el principio de transmisibilidad y el mtodo para transformar un par y una fuerza en una fuerza nica.

Ejercicio N 16 Sustituir las fuerzas y el momento indicados en la figura 33(a) por una fuerza nica R aplicada en A y el par correspondiente M. (a) (b)

Figura 33 Solucin La fuerza resultante tiene las componentes


52

R x = 50 sen 40 + 70 sen 60 = 92,76 N R y = 60 + 50 cos 40 cos 45 = 87,08 N R z = 70 cos 60 + 50 cos 40 sen 45 = 62,08 N Entonces R = 92,76 i + 87,08 + 62,08 k N j R = 141,57 N El par M que hay que aadir a consecuencia del traslado de las fuerzas de 50 N, 70 N, 60 N y del momento de 250 N-cm al punto A, es igual a la suma de los momentos con respecto al punto A de cada una de las fuerzas ms el momento de 250 N-cm; esto es M =

(8 i + 12 j + 5 k ) (32,14 i + 27,08 j + 27,08 k) + (4 i + 12 j 6 k) 60 j + (10 i + 3 j 6 k) (60,62 i + 35 k ) + ( 160,7 i 135,42 j 135,42 k) M = 1060,06 N cm

M

= 493,86 i 905,08 246,32 N cm


53

III EQUILIBRIO 3.1 INTRODUCCION Un sistema mecnico se puede definir como un cuerpo o grupo de cuerpos que pueden aislarse de los dems cuerpos. Una vez decidido que cuerpo o combinacin de cuerpos hay que analizar, se asla este cuerpo o combinacin de cuerpos de todos los dems que lo rodean Este aislamiento se logra mediante el diagrama para slido libre o cuerpo libre, que es una representacin esquemtica del cuerpo o conjunto de cuerpos aislados en la que figuran todas las fuerzas aplicadas a l por otros cuerpos que se consideran suprimidos. Las fuerzas restrictivas o momentos restrictivos que actan sobre un cuerpo suelen llamarse reacciones o sustentaciones. En la mayora de los problemas, estas fuerzas son desconocidas y habr que determinarlas analticamente aplicando las ecuaciones del equilibrio al diagrama de cuerpo libre apropiado. Dibujar los diagramas de cuerpo libre siempre implica hacer suposiciones simplificadoras. Esto se facilita con el conocimiento de las caractersticas comunes de los sistemas mecnicos. La tabla 1 de la figura 34 muestra los apoyos y conexiones ms comunes junto con sus reacciones para el caso de estructuras bidimensionales. La tabla 2 de la figura 35 entrega la informacin para el caso de estructuras tridimensionales. En cada ejemplo se indica la fuerza ejercida sobre el cuerpo que se asla por el cuerpo que se suprime.


54


55

Tabla N 1

Figura 34


56

Tabla N 2

Figura 35


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Las representaciones de las figuras 34 y 35 no son diagramas para slido libre, sino que, simplemente elementos para la construccin de stos. Considerando la importancia que tiene la construccin de un diagrama de cuerpo libre en la solucin de problemas de equilibrio, a continuacin se resumen los diversos pasos que se deben seguir al momento de dibujarlos. a.- Elegir claramente qu cuerpo o combinacin de cuerpos hay que aislar. Este cuerpo contendr una o ms de las cantidades desconocidas buscadas. b.- Aislar el cuerpo o combinacin de cuerpos elegida mediante un diagrama que represente por completo su contorno. c.- Representar en sus posiciones adecuadas todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo aislado por los cuerpos suprimidos. Las fuerzas conocidas se representarn mediante flechas con su magnitud, direccin y sentido indicados. Las fuerzas desconocidas se representarn mediante flechas con la magnitud o direccin desconocida indicada con un smbolo. Si tambin se desconoce el sentido, puede suponrsele arbitrariamente. Si el sentido supuesto era correcto los clculos darn un valor positivo; de lo contrario el valor ser de signo negativo d.- Indicar directamente sobre el diagrama los ejes coordenados elegidos. En la figura 36, se muestran cuatro ejemplos de mecanismos y estructuras junto con sus diagramas para slido libre correctos. Para mayor claridad se han omitido las dimensiones y magnitudes.


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Figura 36


59

3.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO El concepto de equilibrio surge de la condicin en la cual las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se contrarrestan Ms especficamente, el equilibrio es la condicin para la cual la resultante de todas, las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo dado es nula; se debe recordar que esta resultante puede estar compuesta por una fuerza resultante R y un par resultante M . Del concepto anterior se desprende que para que se contrarresten por completo las fuerzas y el cuerpo est en equilibrio, debern satisfacerse las relaciones R = 0 y M = 0. Fsicamente, esto significa que hay tanta fuerza actuando sobre el cuerpo en un sentido como en el opuesto y que hay tanta torsin o momento respecto a un eje actuando en un sentido como en el contrario. Las ecuaciones que expresan las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de cualquier cuerpo rgido son:

F

= 0

y

M

= 0

(21)

Estas dos expresiones vectoriales, pueden transformarse en seis ecuaciones escalares;

F M

x

=0 =0

x

F M

y

=0 =0

y

F = 0 M = 0z z

que expresan, simplemente, el hecho de que el equilibrio total debe constatarse en la direccin de tres ejes perpendiculares entre s cualesquiera.


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Ejercicio N 17 Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en la figura 37(a). La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P = 15 kips.(klb) (a) (b) x

Figura 37y

Solucin Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la viga. La reaccin en A es vertical y se representa con A. La reaccin en B se representa con las componentes B x y B y . Se supone que cada componente acta en el sentido mostrado en la figura 37(b). Ecuaciones de equilibrio. Se escriben las tres ecuaciones de equilibrio siguientes y se resuelven para las reacciones sealadas:

F

x

= 0: Bx = 0

Bx = 0 B y = 21 klb

M

A

= 0 : 15 ( 3) 6 (11) 6 (13) + B y ( 9 ) = 0

Fy = 0 : A 15 6 6 + 21 = 0

A = 6 klb


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Ejercicio N 18 Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un carril que forma un ngulo de 25 con respecto a la vertical. El peso total del carro y su carga es de 5495 Ib y ste acta en un punto que se encuentra a 30 pulg (in) del carril y que es equidistante a los dos ejes como se indica en la figura 38(a). El carro se sostiene por medio de un cable que est unido a ste en un punto que se encuentra a 24 pulg. del carril. Determine la tensin en el cable y la reaccin en cada par de ruedas.


(b)

Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del carro. La reaccin en cada rueda es perpendicular al carril y la fuerza de tensin T es paralela a ste. Por conveniencia, se selecciona al eje x paralelo al carril y a eje y perpendicular al mismo. Entonces, el peso de 5495 Ib se descompone en sus componentes rectangulares x e y como se muestra en la figura 38(b). W x = 5495 cos 25 = 4980 lb W y = 5495 sen 25 = 2320 lb

Ecuaciones de equilibrio. Se toman momentos con respecto de A para eliminar a T y a R1 de los clculos; considerando como positivos los momentosAutor: Ral Rosas Lozano

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en sentido antihorario M A = 0 : R2 ( 50 ) 2320 ( 25 ) 4980 ( 6) = 0 R2 = 1757,6 lb

Ahora, planteando la ecuacin de equilibrio en el eje y se tiene Fy = 0 : R1 + 1757,6 2320 = 0 R1 = 562,4 lb

El valor de T se obtiene a partir de Fx = 0 : 4980 T = 0 Ejercicio N 19 Determine la tensin en los cables BC y BD y las reacciones en la articulacin esfrica (rtula) A para el mstil mostrado en la figura 39(a). T = 4980 lb

(a) (b) Figura 39 Solucin Diagrama de cuerpo libre. Existen cinco magnitudes de fuerzas desconocidas mostradas en el diagrama de cuerpo libre de la figura 39(b). Ecuaciones de equilibrio. Aplicando la ecuacin de equilibrio de momento con respecto al punto A, se tiene: M A = 0 : rB F + TC + TD = 0 donde,

(

)


63

rB = 6 k F = 1000 j 6k + 6i TC = TC u BC = TC 62 + 62 6 k + 6 3i j TD = TD u BD = TD 6 2 + 6 2 + 32 luego, 1 2 j 2 6 k 1000 + 0,707 TC i 0,707 TC k TD i + TD TD k = 0 j 3 3 3 evaluando el producto cruz y combinando trminos se obtiene: TC = 0,707 TC i 0,707 TC k 1 2 2 TD = TD i + TD T D k j 3 3 3

( 6000 4 TD ) i + ( 4,242 TC i : 6000 4 TD = 0 : 4,242 TC 2 TD = 0 j

2 TD ) = 0 j TD = 1500 N TC = 707,21 N

Ahora aplicando la ecuacin de fuerza del equilibrio se obtiene: F = 0 : F + A + TC + TD = 0 donde A = Ax i + Ay + Az k j

luego 1000 + Ax i + Ay + Az k + 500 i 500 k 500 i + 1000 1000 k = 0 j j j i : A x + 500 500 = 0 : 1000 + A y + 1000 = 0 j k : A z 500 1000 = 0 Ax = 0 Ay = 0 A z = 500 N


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Ejercicio N 20 La varilla AB mostrada en la figura 40(a) est sujeta a una fuerza de 200 N. Determine las reacciones en la articulacin esfrica A y la tensin en los cables BD y BE.


(b)

El diagrama de cuerpo libre correspondiente a la varilla AB se muestra en la figura 40(b). Aplicando la ecuacin de equilibrio de momento con respecto al punto A, se tiene: M A = 0 : rC F + rB TD + TE = 0 donde

(

)

rC = 0,5 k + 1 + 1i j F = 200 kAutor: Ral Rosas Lozano

rB = 1 k + 2 + 2 i j TD = TD u BD = TD j

TE = TE u BE = TE i

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luego

(1i + 1 j 0,5 k) ( 200 k) + (2 i + 2 j 1k ) (T

D

+ TE i = 0 j

)

evaluando el producto cruz y combinando trminos se obtiene:

( 200 + TD ) i + ( 200 TE ) + ( 2 TD j i : 200 + TD = 0 : 200 TE = 0 j k : 2T 2T = 0D E

2 TE ) k = 0 TD = 200 N

TE = 200 N

Ahora aplicando la ecuacin de fuerza del equilibrio se obtiene: F = 0 : F + A + T E + TD = 0 donde A = Ax i + Ay + Az k j

luego 200 k + Ax i + Ay + Az k + 200 i + 200 = 0 j j i : Ax + 200 = 0 : Ay + 200 = 0 j k : 200 + Az = 0 Ax = 200 N Ay = 200 N Az = 200 N

IV ESTRUCTURAS Y VIGAS 4.1 ARMADURAS Concepto y Tipos de Armaduras.Autor: Ral Rosas Lozano

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Una armadura, es una estructura que consiste en un sistema de miembros uniformes (soldados, remachados o articulados juntos), que se construye para soportar cargas fijas cargas mviles. Con el propsito de disear los tamaos y formas de estos miembros para una finalidad dada, se deben poder determinar las fuerzas que cada uno de ellos transmite. Las armaduras se clasifican en armaduras planas y armaduras espaciales; las primeras son aquellas en las cuales sus miembros se hallan todos en un mismo plano y las segundas son aquellas en las cuales sus miembros no se hallan todos en un mismo plano. Esta unidad estar orientada hacia las armaduras planas. Las armaduras planas, como las utilizadas en los puentes, suelen proyectarse por parejas, poniendo una armadura a cada lado de l y unindola a mediante vigas transversales que soporten la calzada y transmitan las cargas aplicadas a los miembros de la armadura. En la figura 41, se pueden ver varios ejemplos de armaduras utilizadas frecuentemente en la construccin de puentes, mientras que en la figura 42 se muestran armaduras (cerchas) utilizadas para soportar techumbres. Ambos tipos pueden analizarse como armaduras planas.

Figura 41


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Figura 42 El elemento fundamental de una armadura plana es el tringulo. Tres barras unidas por sus extremos mediante pasadores, figura 43(a), constituyen un conjunto indeformable. Por otra parte, cuatro o ms barras articuladas formando un polgono de otros lados, constituyen un conjunto no rgido, como el de la figura 43(b), que puede hacerse indeformable o rgido mediante una barra diagonal adicional que una A y D o B y C que forma, por lo tanto dos tringulos. La estructura puede extenderse agregando miembros adicionales articulados por sus dos extremos, figura 43(c), que estn unidos a dos juntas fijas, y de esta manera toda la estructura permanecer rgida. Las estructuras construidas a partir de un tringulo bsico en la forma descrita, reciben el nombre de armaduras simples. Cuando existan ms miembros de los necesarios para que eviten que la estructura pierda su forma, sta es hiperesttica. Una estructura hiperesttica no puede analizarse mediante las ecuaciones de equilibrio, solamente. Los miembros o apoyos adicionales que no son necesarios para mantener la posicin de equilibrio se llaman superabundantes.

(a)

(b) Figura 43

(c)


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El diseo de una armadura exige la determinacin de los esfuerzos en los diversos miembros y la seleccin de dimensiones apropiadas y de formas estructurales adecuadas (vigas en I, vigas en U, ngulos, barras y formas especiales) para soportar las fuerzas. En el anlisis de los esfuerzos de las armaduras simples se establecen varias hiptesis: a.- Se supone que todos los miembros son de dos fuerzas, es decir, se hallan en equilibrio bajo la accin de dos fuerzas solamente. b.- Cada miembro es un enlace recto que une los dos puntos de aplicacin de las fuerzas. Estas estn aplicadas a los extremos del miembro y son necesariamente iguales, opuestas y colineales. c.- El miembro puede hallarse bajo tensin o compresin, figura 44.

Figura 44 d.- Se supondr que el peso del miembro es pequeo frente a la fuerza que soporta; si as no fuera y si el miembro es homogneo, podr sustituirse dicho peso por dos fuerzas, cada una de valor igual a la mitad del peso, aplicado en uno y otro extremo del miembro. e.- Se supone que los miembros estn unidos en sus extremos por medio de pasadores lisos. Cuando se unen miembros utilizando juntas remachadas o soldadas esta suposicin es satisfactoria si concurren en el nudo los ejes geomtricos, figura 45. f.- Todas las fuerzas exteriores estn aplicadas en los nudos.Autor: Ral Rosas Lozano

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Figura 45 Para el anlisis de los esfuerzos de armaduras simples se vern dos mtodos y para ambos se har referencia a la armadura simple de la figura 46(a). El diagrama de slido libre de la armadura, en conjunto, es el de la figura 8b. Las reacciones exteriores suelen determinarse por clculo a partir de las ecuaciones de equilibrio aplicadas a la armadura en conjunto, antes de proceder al anlisis de las fuerzas del resto de la armadura.

(a) Figura 46 Mtodo de los nudos.

(b)

Este mtodo consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio de las fuerzas que se ejercen Sobre el pasador de cada articulacin. El mtodo, trata del equilibrio de fuerzas concurrentes y slo intervendrn dos ecuaciones de equilibrio independientes. Se inicia el anlisis en cualquier nudo en el cul haya al menos una carga conocida y no ms de dos desconocidas. Por ejemplo se puede iniciar el anlisis en el nudo A, cuyo diagrama de slido libre se muestra en la figura 47. Indicando las articulaciones mediante letras, la fuerza que se


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ejerce en cada miembro se designar por las dos letras que definen los extremos del miembro. Tambin se muestran los diagramas de slido libre de las porciones AF y AB de los miembros para indicar claramente el mecanismo de accin y reaccin. El miembro AB en realidad hace contacto con la parte izquierda del pasador, an cuando se haya dibujado la fuerza AB, en el lado derecho ejercindose hacia fuera del pasador. As, si se dibujan sistemticamente los vectores fuerza al mismo lado del pasador que el miembro, una traccin (como la AB) se indicar siempre mediante una flecha hacia fuera del pasador, y una compresin (como la AF) se indicar siempre por medio de una flecha dirigida hacia el pasador. La magnitud de AF se obtiene de la ecuacin de equilibrio de fuerzas en la direccin del eje y; para luego encontrar la magnitud de AB a partir de la ecuacin de equilibrio de fuerzas en la direccin del eje x. A continuacin debe analizarse el nudo F, ya que ahora slo contiene dos incgnitas; EF y BF; para luego analizar los nudos B, C, E y D en este orden. Figura 47

En la figura 48 puede verse el diagrama de slido libre de cada nudo y la correspondiente aplicacin de las ecuaciones de equilibrio indicando la fuerza que se obtiene de ellas. Los nmeros indican el orden en que se analizan los nudos. Es, a menudo, conveniente indicar la traccin o tensin T y la compresin C en los distintos miembros directamente sobre el diagrama original de la armadura como se indica en la parte inferior de la figura 48.


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Figura 48 Si una armadura simple tiene ms apoyos exteriores de los necesarios para asegurar una configuracin de equilibrio estable, la armadura es hiperesttica en un conjunto y los apoyos sobrantes constituyen una superabundancia exterior. Si la armadura tiene ms miembros internos que los que son necesarios para evitar su derrumbamiento, los miembros sobrantes constituyen la superabundancia interior. Para una armadura que sea isosttica


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exteriormente, existe una relacin definida entre el nmero de sus miembros (m) y el nmero de sus nudos (n) necesarios para la estabilidad interior sin superabundancia. De ste modo, una armadura simple compuesta por elementos triangulares, ser isosttica interiormente si satisface la siguiente relacin: m + 3 = 2n Si m + 3 > 2n, la armadura ser hiperesttica interiormente, existiendo

miembros superabundantes. Si m + 3 < 2n, habr un defecto de miembros interiores y, la armadura ser inestable y se derrumbar al someterla a carga. Ejercicio N 21 Calcular la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada en la figura 49(a). (a) (b)

Figura 49 Solucin El primer paso ser calcular las fuerzas exteriores en D y E planteando las ecuaciones de equilibrio al diagrama de slido libre correspondiente a la armadura en conjunto mostrado en la figura 49(b). Fx = 0 : T cos 30 E x = 0 Fy = 0 : E y + T sen 30 1500 1000 = 0 M E = 0 : 1500 ( 6 ) + 1000 ( 3) T ( 3) = 0 Resolviendo este sistema se obtiene:


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T = 4000 kp

E x = 3464 kp

E y = 500 kp

En seguida se comienza a analizar los nudos; se debe elegir siempre uno en el cual haya por lo menos una fuerza conocida y no ms de dos desconocidas, por ejemplo el nudo A. Nudo A Fy = 0 : AB sen 60 1500 = 0 Fx = 0 : 1732 cos 60 AC = 0 AB = 1732 kp ( T ) AC = 866 kp ( C )

Nudo B Fy = 0 : BC sen 60 1732 sen 60 = 0 BC = 1732 kp ( C ) BD = 1732 kp ( T )

Fx = 0 : BD 1732 cos 60 1732 cos 60 = 0

Nudo C Fy = 0 : CD sen 60 1732 sen 60 1000 = 0 CD = 2886,7 kp ( T ) CE = 3175 kp ( C )

Fx = 0 : 866 + 1732 cos 60 + 2886,7 cos 60 CE = 0

Nudo E Fy = 0 : 500 DE sen 60 = 0 DE = 577 kp ( C )


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Mtodo de las Secciones En el mtodo de los nudos se aprovechan slo dos de las tres ecuaciones del equilibrio ya que los procedimientos slo tratan fuerzas concurrentes en cada nudo. Puede utilizarse el principio del equilibrio de momentos para progresar en el clculo considerando toda una seccin de la armadura como sistemas de fuerzas no concurrentes. Este mtodo de las secciones tiene la ventaja de que los esfuerzos, en casi todos los miembros, pueden hallarse directamente mediante el anlisis de una seccin que corte a dicho miembro. Luego, no es necesario efectuar el clculo nudo a nudo hasta llegar al miembro en cuestin. Al elegir la seccin de la armadura habr que tener en cuenta que en general no pueden cortarse ms de tres miembros cuyas fuerzas sean desconocidas, ya que slo se dispone de tres relaciones de equilibrio que son independientes. Se ilustrar el mtodo de las secciones con la armadura de la figura 50(a), que es la misma que se utiliz para la explicacin del mtodo de los nudos. Las reacciones externas se calculan considerando la armadura en conjunto como un slido libre. Si se desea determinar el esfuerzo en el miembro BE. Una seccin imaginaria indicada por la lnea de trazos, atraviesa la armadura cortndola en dos partes (figura 50(b)). Esta seccin ha cortado tres miembros cuyos esfuerzos se desconocen inicialmente. Para que cada parte de la armadura, a uno y otro lado de la seccin, permanezca en equilibrio, es necesario aplicar a cada miembro cortado la fuerza que ejerca sobre ste el miembro separado. Estas fuerzas, de traccin o compresin, debern tener siempre la direccin de los miembros respectivos. Las fuerzas suelen trazarse con sus sentidos apropiados mediante una estimacin visual de los requisitos de equilibrio. La fuerza BE se puede determinar a partir de la ecuacin de equilibrio para la


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direccin y. La fuerza EF se puede determinar a partir de la ecuacin de los momentos respecto al nudo B y por ltimo, se puede determinar BC equilibrando fuerzas en la direccin x.

(a) Figura 50

(b)

Para los clculos puede utilizarse cualquier seccin de la armadura, aunque la solucin ms sencilla por lo general suele darla la seccin que tenga menor nmero de fuerzas. Es fundamental comprender que en el mtodo de las secciones se considera toda una parte de la armadura como un solo cuerpo en equilibrio. Luego, en el anlisis no se consideran las fuerzas en los miembros interiores de la seccin con el fin de poder observar con claridad el slido libre y las fuerzas que actan exteriormente sobre l, es recomendable seccionar la armadura cortando los miembros y no los nudos. Cuando se asignan los sentidos en forma arbitraria, un resultado positivo confirmar el sentido asignado y un resultado negativo indicar que el sentido es el opuesto al asignado.

Ejercicio N 22


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Utilizando el mtodo de las secciones, calcular la fuerza en el miembro BC de la armadura mostrada en la figura 51(a).

(a) B

(b) BD

BC A AC1500 kp

(c) Figura 51 Como la armadura es la misma del ejercicio N 21, no se calcularn nuevamente las reacciones externas, sino que, se utilizarn los valores obtenidos: T = 4000 kp E x = 3464 kp E y = 500 kp

En la figura 51(b), se muestra el diagrama de slido libre de la armadura en conjunto y el corte (de color azul) que permitir determinar la fuerza en el miembro BC. Ntese que el corte n-n secciona solamente tres miembros entre los cuales se encuentra el miembro de inters. En seguida se asla en un diagrama de slido libre una de las secciones que se obtiene del corte, figura 51(c). Para obtener la fuerza en el miembro BC se puede analizar cualquiera de las dos secciones. Se analizar la seccin de la izquierda que tiene un menor nmero de fuerzas. Del equilibrio de fuerzas en la


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direccin del eje y se tiene: Fy = 0 : BC sen 60 1500 = 0 Ejercicio N 23 Utilizando el mtodo de las secciones, calcular la fuerza en el elemento DJ de la cercha mostrada en la figura 52(a). Las fuerzas en los apoyos ya han sido determinadas y se indican en la misma figura.1,835 Tm

BC = 1732 kp ( C )

(a)

1,165 Tm

(b)

(c)

Figura 52 Solucin No es posible hacer pasar una seccin por DJ sin cortar ms de tres miembros cuyos esfuerzos sean desconocidos. Aun cuando tres de los cuatro miembros cortados por la seccin 2 concurren en J y, por tanto, podra utilizarse la ecuacin de los momentos respecto a J para obtener el cuarto DE, el esfuerzo en DJ no puede obtenerse de los dos principios de equilibrio restantes. Es preciso considerar, en primer lugar la seccin adyacente 1 antes de considerar la seccin 2. Se traza el diagrama para el slido libre correspondiente a la seccin 1 como


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se indica en la figura 52(b) y se incluye la reaccin de 1,835 Tm en A. Un resultado negativo indicar que el sentido elegido para la fuerza desconocida en cuestin es el opuesto al que realmente tiene. Analizando la seccin 1, se obtiene CJ de

M A = 0 : 1 ( 3) 1( 6 ) + CJ sen 45 ( 9) = 0

CJ = 1,414 Tm

Ahora, del diagrama de slido libre correspondiente a la seccin 2, que se muestra en la figura 52(c), que ahora contiene el valor conocido de CJ, pueden eliminarse DE y JK mediante un equilibrio de momento respecto a G. Es decir

M G = 0 : 1,835 (18) + 1(12 ) + 1(15) 1,414 sen 45 ( 9 ) + DJ ( 9 ) = 0

DJ = 1,67 Tm ( T )

Ntese que el nico corte que permitira cortar al miembro DJ y no ms de tres miembros cuyas fuerzas se desconozcan es aquel que secciona los elementos CD, DJ y DE. Esta seccin dara el mismo diagrama de fuerzas que se obtendra del diagrama de slido libre del nudo D, luego se tienen tres fuerzas desconocidas para las cuales solamente hay disponibles dos ecuaciones de equilibrio.

4.2 MARCOS Y ENTRAMADOS


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Las estructuras y mecanismos compuestos de miembros articulados cualquiera de los cuales tenga ms de dos fuerzas aplicadas a l, no pueden analizarse por los mtodos descritos para las armaduras simples. Dichos miembros son miembros multifuerzas (tres o ms fuerzas) y en general las fuerzas no estn dirigidas segn los miembros. En la unidad anterior se analiz el equilibrio de cuerpos sobre los que actan varias fuerzas, si bien se concentr la atencin en el equilibrio de un solo cuerpo rgido. En el presente tema, se concentrar la atencin en el equilibrio de cuerpos rgidos interconectados que contengan miembros de ms de dos fuerzas. Las fuerzas que actan sobre cada miembro de un sistema articulado se determinan aislando el miembro con un diagrama para slido libre y aplicando las ecuaciones de equilibrio. Debe ponerse especial cuidado en la aplicacin del principio de la accin y la reaccin al representar las fuerzas de interaccin sobre los diferentes diagramas para el slido libre. Si la estructura contiene ms miembros o apoyos de los necesarios para evitar que se deforme, entonces, el problema ser estticamente indeterminado y los principios del equilibrio sern necesarios, pero no suficientes para obtener la solucin. Si el entramado o mquina constituye una unidad rgida por si mismo, se inicia mejor el anlisis estableciendo todas las fuerzas exteriores a la estructura considerada como un solo cuerpo rgido. Se desmiembra entonces la estructura y se considera el equilibrio de cada una de sus partes. Las ecuaciones del equilibrio para las distintas partes estarn relacionadas mediante los trminos que contienen las fuerzas de interaccin. Si la estructura no es rgida por si misma, sino que su rigidez depende de sus apoyos exteriores, generalmente es necesario considerar primero el equilibrio de una parte del sistema que sea verdaderamente rgida de por s. En la mayora de los casos se encontrar que el anlisis de entramados y mquinas se facilita mucho representando las fuerzas en funcin de sus componentes cartesianas rectangulares. Ocurre as, en particular, cuando se dan las dimensiones de las partes segn direcciones, perpendiculares entre s. La ventaja de esta representacin es que simplifica el clculo de los brazos de momentos. En algunos problemas tridimensionales, especialmente cuando seAutor: Ral Rosas Lozano

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calculan momentos respecto a ejes que no son paralelos a los de coordenadas resulta ventajosa la notacin vectorial. Al trazar los diagramas de slido libre, no siempre es posible asignar de antemano el sentido adecuado a todas las fuerzas o a sus componentes, y suele hacerse necesario asignarles un sentido arbitrario. En este caso, es absolutamente necesario que se represente una fuerza en forma sistemtica en los diagramas de cuerpos interactuantes que contengan la fuerza en cuestin. As, para dos cuerpos unidos por el pasador A, (figura 53), al ser separados, las componentes debern representarse sistemticamente en los sentidos opuestos. Los sentidos asignados podrn resultar falsos cuando se determinen matemticamente los signos algebraicos de las componentes. Por ejemplo, si Ax resulta negativa, estar actuando en realidad en sentido opuesto al considerado inicialmente. En consecuencia, ser preciso invertir el sentido de la fuerza en ambos miembros e invertir el signo del trmino de esta fuerza en las ecuaciones. O bien puede dejarse la representacin como se hizo inicialmente, y el sentido de la fuerza deber comprenderse a partir del signo negativo. Figura 53

Por ltimo, surgen ocasionalmente situaciones en las que es necesario resolver un sistema de dos o ms ecuaciones para determinar las incgnitas. Sin embargo en la mayora de los casos se podr evitar la resolucin de sistemas de ecuaciones eligiendo convenientemente el miembro o grupo de miembros para el diagrama de slido libre y eligiendo en forma adecuada los centros de momentos que eliminan trminos molestos en las ecuaciones. Ejercicio N 24


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El entramado de la figura 54(a) soporta la carga de 200 kp en la forma indicada. Despreciar los pesos de los miembros frente a las fuerzas inducidas por la carga y calcular las componentes vertical y horizontal de todas las fuerzas que se ejercen sobre cada uno de los miembros.

(a)

(b)

Ey Cy

Cy

(c) Figura 54 Solucin Primero se observa que los tres miembros soportantes que constituyen el entramado forman un conjunto rgido que puede analizarse como si fuera un solo cuerpo. Tambin se observa que la disposicin de los apoyos exteriores hace isosttico el entramado. En la parte (b) de la figura 54 se ha dibujado el diagrama de slido libre del conjunto del entramado y se determinan las reacciones exteriores. As.


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M A = 0 : D ( 3) 200 ( 3,3) = 0 Fx = 0 : 220 Ax = 0 Fy = 0 : Ay 200 = 0

D = 220 kp Ax = 220 kp Ay = 200 kp

En seguida, hay que desmembrar el entramado y dibujar el diagrama de slido libre de cada uno de sus elementos. Con el propsito de ayudar a seguir la pista a las fuerzas de interaccin comunes, los diagramas se han dispuesto en sus posiciones relativas aproximadas, como se indica en la figura 54(c). Debido a lo simplicidad del diagrama de slido libre de la polea, en el ya aparecen los valores de las fuerzas que actan sobre ella. Del diagrama de slido libre del elemento AD, se tiene: M B = 0 : 220 (1,8) C x ( 0,9 ) 200 ( 0,3) + 220 (1,2 ) = 0 Fx = 0 : 220 666,7 + B x + 200 220 = 0 Fy = 0 : B y + 200 C y = 0 C x = 666,7 kp B x = 466,7 kp

Del diagrama de slido libre del elemento BF, se tiene M B = 0 : E y (1,8) 200 ( 3) = 0 Fx = 0 : E x 466,7 200 = 0 Fy = 0 : B y + 333,3 200 = 0 E y = 333,3 kp E x = 666,7 kp B y = 133,3 kp

Volviendo a la ecuacin de equilibrio en el eje y del diagrama de slido libre del elemento AD, se tiene: Fy = 0 : 133,3 + 200 C y = 0 C y = 333,3 kp


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4.3 VIGAS Tipos de Cargas, de Apoyos y de Vigas Los miembros estructurales que ofrecen resistencia a la flexin originada por las cargas aplicadas reciben el nombre de vigas. La mayora de las vigas son barras prismticas cargas y las cargas que pueden ser concentradas, distribuidas o concentradas y distribuidas suelen aplicarse normalmente a los ejes de dichas barras. El anlisis de las capacidades de soportar cargas de las vigas, consiste, primero, en establecer los requisitos de equilibrio de la viga en conjunto y de una parte cualquiera de ella considerada por separado. Segundo, se establecen las relaciones entre las fuerzas resultantes y la correspondiente resistencia interna de la viga para soportar estas fuerzas. En esta subunidad se estudiar solamente la primera parte del problema. Las vigas soportadas de tal manera que las reacciones en los apoyos pueden calcularse con la sola aplicacin de los mtodos de la esttica reciben el nombre de vigas isostticas. Una viga que tenga ms apoyos de los necesarios para proporcionar el equilibrio se dice que es hiperesttica y las ecuaciones del equilibrio esttico aunque son necesarias no son suficientes para determinar las reacciones de los apoyos. En la figura 55 pueden verse ejemplos de ambos tipos de vigas. En esta unidad solamente se estudiarn vigas isostticas y se analizarn por separado vigas con cargas concentradas y vigas con cargas distribuidas. Figura 55

Vigas con Cargas Concentradas.


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En el anlisis de armaduras simples, la resultante de las fuerzas que se ejercen sobre una seccin de un miembro cortado era una fuerza nica, de traccin compresin, en la direccin de la barra. La flexin, la cortadura y la torsin de la barra eran despreciables o nulas. En el caso de una viga, la resultante de las fuerzas que se ejercen sobre una seccin transversal de la viga no puede en general representarse mediante una fuerza F y un par de momento M como se indica en la figura 56(a). En realidad la distribucin de las fuerzas en una seccin recta es ms complicada y su descripcin completa precisa un anlisis que considere las propiedades de la deformacin bajo condiciones de carga de los materiales de las vigas. En el presente anlisis slo se considerar el sistema equivalente de la distribucin de fuerzas para una seccin cualquiera de una viga isosttica.

(a)

(b) Figura 56

(c)

En la figura 56(b) se muestran por separado la fuerza F y el momento M en funcin de sus componentes. Las componentes de F son una fuerza tensora P y dos fuerzas cortantes Vy, y Vz. Las componentes de M son un momento torsor T y dos momentos flectores My y Mx. Si las fuerzas que actan sobre la viga fueran coplanares, por ejemplo en el plano x-y de la figura 56, entonces Vz = 0, My = 0 y T = 0. Como es el caso de las vigas mostradas en la figura 55 donde solo interviene la flexin en el plano de la figura.


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En la figura 57 se muestran dos porciones contiguas de una viga sometida a fuerzas coplanares en el plano x-y del papel. Slo quedan la fuerza cortante Vy = V, la tensora P y el momento flector Mz = M. Las fuerzas se representan ejercindose sobre el centro de la seccin recta. Es importante notar que los sentidos positivos de V, P y M estn invertidos en las dos secciones de la figura 57 en virtud del principio de accin y reaccin. Esta designacin de los sentidos positivos deber utilizarse de manera sistemtica en la resolucin de problemas. A menudo resulta difcil ver a simple vista el sentido correcto de la fuerza cortante y el momento flector. Por sta razn convendr representar V y M con sus sentidos positivos en los diagramas de slido libre y dejar que los signos algebraicos de los valores calculados indiquen el sentido adecuado.

Figura 57

Debe quedar claro que para diferentes secciones de una viga, V y M generalmente tendrn diferentes valores. As, estas cantidades pueden considerarse como funciones de posicin a lo largo de la viga, esta variacin suministra una informacin necesaria para el anlisis de la viga. En particular, el valor mximo del momento flector suele ser lo primero que se considera en el diseo o seleccin de una viga, y deber determinarse su valor y posicin. Las variaciones del corte y del momento se presentan mejor grficamente, y esta representacin de V y M en funcin de la longitud de la viga dan lugar a los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga. El primer paso en el clculo de las relaciones del corte y del momento consiste en determinar los valores de todas las reacciones exteriores sobre la viga aplicando las ecuaciones de equilibrio a un diagrama para el slido libre de toda la viga. En seguida, se asla mediante un diagrama para el slido libre unaAutor: Ral Rosas Lozano

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parte de la viga, la de

apuntes mecanica iei

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