apuntes de teoria de la medida

Click here to load reader

Post on 23-Jun-2015

360 views

Category:

Documents

11 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

apuntes de teoria de la medida. dpto. de matematicas univ. de Extremadura 15 enero 2010

TRANSCRIPT

Apuntes de Teora de la MedidaDpto.deMatem aticas.Univ.deExtremadura15deenerode2010Indicegeneral1. Medida 11.1. Introducci on Hist orica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. algebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Anillos,Algebras yalgebras. . . . . . . . . . . . 41.2.2. algebra de B orel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Propiedades de haz en los espacios de medida. . . 181.4. Extensi on de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2. Teoremas de extension de medidas . . . . . . . . . 251.5. Complecion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Medidas de LebesgueStieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1. Medidas de LebesgueStieltjes en R. . . . . . . . . 331.6.2. Medidas de LebesgueStieltjes en Rn. . . . . . . . 381.6.3. Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . . . 441.6.4. Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6.5. El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . 481.6.6. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . . . 501.7. Medidas de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.7.1. Medidas de Hausdor en Rn. . . . . . . . . . . . . 561.8. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582. Integracion 672.1. Introducci on hist orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.1. Propiedades b asicas de las funciones medibles. . . 692.2.2. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71iiiINDICEGENERAL2.2.3. Operaciones b asicas de las funciones medibles. . . 742.2.4. Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . . . 742.3. Integraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3.1. Propiedades b asicas de la integral. . . . . . . . . . 802.4. Teoremas basicos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.1. Teorema de la convergencia dominada. . . . . . . . 882.4.2. Dependencia de un par ametro. . . . . . . . . . . . 922.4.3. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.5. Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . . . . . 992.6. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053. Espaciodemedidaproducto 1093.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2. Producto nito de espacios medibles . . . . . . . . . . . . 1113.3. Teorema de la medida producto. . . . . . . . . . . . . . . 1143.3.1. Medidas de transici on . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.4. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.1. Teorema de Fubini para dos espacios. . . . . . . . 1213.4.2. Producto de m as de dos espacios. . . . . . . . . . . 1273.5. Complecion de la medida producto . . . . . . . . . . . . . 1293.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.6.1. Medida en la esfera invariante por rotaciones . . . 1333.6.2. Convoluci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7. Producto de innitos espacios medibles . . . . . . . . . . . 1373.8. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404. ElTeoremadeRadonNikodym 1434.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2. Teorema de descomposicion de carga . . . . . . . . . . . . 1444.3. Medidas reales y medidas complejas . . . . . . . . . . . . 1504.4. El Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . 1544.5. Singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.6. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685. Diferenciacion 1715.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.2. Diferenciaci on de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.3. Derivaci on e integraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.3.1. Funciones de variaci on acotada. . . . . . . . . . . . 1785.3.2. Medidas y funciones de variaci on acotada. . . . . . 181INDICEGENERAL iii5.3.3. Teorema fundamental del c alculo. . . . . . . . . . . 1825.4. Transformaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 1865.4.1. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1865.4.2. Transformaciones y medidas de Hausdor. . . . . . 1895.5. El teorema de cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . 1915.5.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.3. Forma de volumen. Variedad Riemanniana . . . . 1985.5.4. Coordenadas hiperesfericas . . . . . . . . . . . . . 1995.6. C alculo de la constanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.7. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116. Espaciosdefuncionesmedibles 2156.1. Los espacios Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.1.1. El espacio L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.2. Los espacios de BanachLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.2.1. Desigualdades fundamentales. . . . . . . . . . . . . 2186.2.2. El espacio Lppara 0 < p < 1. . . . . . . . . . . . . 2216.2.3. Los espaciosLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.2.4. Compleci on de los espaciosLp. . . . . . . . . . . . 2246.3. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.4. El espacio dual deLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.5. Tipos de convergencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.6. Aplicaciones que conservan la medida . . . . . . . . . . . 2476.7. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497. Medidaytopologa 2557.1. Espacios Hausdor LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.2. Medidas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.2.1. Funciones continuas y funciones medibles . . . . . 2637.3. Teoremas de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . 2677.4. Regularidad. T. de Rad onNikodym . . . . . . . . . . . . 2747.5. El dual deL1en un espacio Hlc . . . . . . . . . . . . . . . 2767.6. Funcionales de Rad on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.7. Producto de dos espacios HLC . . . . . . . . . . . . . . . 2817.8. Producto no numerable de espacios. . . . . . . . . . . . . 2837.9. Medida de Haar en grupos compactos . . . . . . . . . . . 2867.10. La integral de Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.11. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293ivINDICEGENERALEjerciciosdifciles 301Ejerciciosresueltos 303OtrosEjercicios 329Captulo1Medida1.1. Introducci onHist orica.El concepto de medidatiene una larga historia de m as de 5000 a nos,que surge del manejo de longitudes, areas y vol umenes fundamentalmen-teydelanecesidaddesucalculo. Estostresejemplosparticularesdemedidas son los que han servido como gua para sacar a la luz el conceptoque detr as de ellos se esconda.Lasprimerasdemostracionessatisfactoriasdeteoremasrelativosaareas y vol umenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) Los Ele-mentos(verVanDalenMonna, p. 78 yBoyer, p. 129). Sin embargoen este libro no hay denici on de longitud, areao volumen; Euclides lasconsidera caractersticas que puede medir respectivamente en las gurasque s deneLinea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).Supercie es lo que s olo tiene longitud y anchura(Libro I, Def.5).S olidoes loquetienelongitud, anchurayprofundidad (LibroXI,Def.1).tampoco dene que es medir, es una palabra que utiliza no s olo en estastres magnitudes, sino tambien en los n umeros; por ejemplo en el libroVII, las deniciones 3 y 4 dicen12 Captulo1. Medida3.- Unn umeroespartedeunn umero,elmenordelmayor,cuandomide al mayor.4.- Pero partes cuando no lo mide.por ejemplo 3 es partede 15 y 6 es partesde 15.Laslongitudeslasdabaencomparaci onconunsegmentounidad,las areas con un cuadrado unidad y los vol umenes con un cubo unidad,deestemododiolosvalorescorrespondientesagurassimplescomopolgonos y poliedros y demostr o teoremas como el de Pitagoras. Otrosautoresgriegosmasquedarlamedidadeunaguradabanresultadosdel tipo:A yBtienen igual area o volumen. Por ejemploArqumedes(287212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408355 a.c.) la demostracion de queel volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la mismabaseyaltura. Estosinconocer estevolumen, parael quehacefaltaconocer el area del crculo, que descubri o casi 100 a nos despues el propioArqumedes demostrando que es el de un tri angulo rect angulo con uncateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo tambien esque el volumen de la esfera es 2/3 el volumen del cilindro o que el areade la esfera es la del cilindro circunscrito (verBoyer, p.177). Para esta ultima, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro (ver la bibliografaen la p ag.62), utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco principiosde los que destacan4.- Dossuperciesquetienenlosmismoslmitesenunplanosondesigualescuandoambassonc oncavasenlamismadirecci onyunadeellas est a completamente limitada por la otra y por el plano que tiene losmismoslmitesqueestaotra, ocuandounadeellass oloestaparcial-mente limitada por la otra y el resto es com un. La supercie limitada esla menor.5.- Dadasdoslneas, dossuperciesodoss olidosdesiguales, si elexcesodeunadeestas guras sobrelaotrasea nadeas mismouncierton umerodeveces,sepuedesuperarunauotradelasgurasquese comparan entre s.(este ultimo es el conocido AxiomadeArqumedes). Y en la demos-traci on hace un uso riguroso del concepto de lmite.Por ultimosuyaestambienlamejoracotacionde delaepoca:3 + (10/71) < < 3 + (10/70).As se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 a nos, hastaque en 1883 G. Cantor (18451918) di o la primera denici on de medidam(A) de un conjunto arbitrario (acotado)A Rn. Otros autores comoStolz en 1884 yHarnack en 1885 dan deniciones equivalentes en R.1.1. Introducci onHistorica. 3Para ellas la propiedad aditiva de la medidam[A B] =m[A] + m[B],paraconjuntosdisju