apuntes de teoria de la medida

Download Apuntes de Teoria de La Medida

Post on 30-Dec-2015

202 views

Category:

Documents

11 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Apuntes de Teora de la Medida

    Badajoz, 5 de diciembre de 2012

    Dpto. de Matematicas. Univ. de Extremadura

  • Indice general

    1. Medida 11.1. Introduccion Historica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. algebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.1. Anillos, Algebras y algebras. . . . . . . . . . . . 41.2.2. algebra de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Clases monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3. Propiedades de haz en los espacios de medida. . . 18

    1.4. Extension de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2. Teoremas de extension de medidas . . . . . . . . . 251.4.3. Aproximacion de medibles . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.5. Complecion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6. Medidas de LebesgueStieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1.6.1. Medidas de LebesgueStieltjes en R. . . . . . . . . 331.6.2. Medidas de LebesgueStieltjes en Rn. . . . . . . . 381.6.3. Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . . . 441.6.4. Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.5. El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.6. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . . . 51

    1.7. Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7.1. Medidas exteriores metricas . . . . . . . . . . . . . 531.7.2. Las medidas de Borel Hp . . . . . . . . . . . . . . 551.7.3. Medidas de Hausdorff en Rn. . . . . . . . . . . . . 57

    1.8. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    i

  • ii INDICE GENERAL

    2. Integracion 692.1. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    2.2.1. Propiedades de las funciones medibles . . . . . . . 702.2.2. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3. Operaciones basicas de las funciones medibles. . . 762.2.4. Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . . . 76

    2.3. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.1. Integral de funciones medibles . . . . . . . . . . . . 792.3.2. Propiedades basicas de la integral. . . . . . . . . . 82

    2.4. Teoremas basicos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.1. Teorema de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.2. Teorema convergencia monotona . . . . . . . . . . 872.4.3. Integral de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4.4. Teorema de la convergencia dominada. . . . . . . . 912.4.5. Dependencia de un parametro. . . . . . . . . . . . 942.4.6. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.4.7. Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . 102

    2.5. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    3. Espacio de medida producto 1113.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2. Producto finito de espacios medibles . . . . . . . . . . . . 1133.3. Medida producto de dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 116

    3.3.1. Medidas de transicion . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    3.4.1. Teorema de Fubini para dos espacios . . . . . . . . 1233.5. Complecion de la medida producto . . . . . . . . . . . . . 1293.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    3.6.1. Medida en la esfera invariante por rotaciones . . . 1333.6.2. Convolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    3.7. Producto de mas de dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 1383.7.1. Producto de n espacios medibles. . . . . . . . . . . 1383.7.2. Producto de infinitos espacios medibles. . . . . . . 140

    3.8. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    4. El Teorema de RadonNikodym 1494.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.2. Teorema de descomposicion de carga . . . . . . . . . . . . 1504.3. Medidas reales y medidas complejas . . . . . . . . . . . . 155

  • INDICE GENERAL iii

    4.4. El Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . 1604.5. Singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.6. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    5. Diferenciacion 1775.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2. Diferenciacion de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.3. Derivacion e integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    5.3.1. Funciones de variacion acotada. . . . . . . . . . . . 1845.3.2. Medidas y funciones de variacion acotada. . . . . . 1875.3.3. Teorema fundamental del calculo. . . . . . . . . . . 188

    5.4. Transformaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.1. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.2. Transformaciones y medidas de Hausdorff. . . . . . 195

    5.5. El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.5.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.5.3. Forma de volumen. Variedad Riemanniana . . . . 2045.5.4. Coordenadas hiperesfericas . . . . . . . . . . . . . 205

    5.6. Calculo de la constante n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.7. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    6. Espacios de funciones medibles 2216.1. Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

    6.1.1. El espacio L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.2. Los espacios de Banach Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    6.2.1. Desigualdades fundamentales. . . . . . . . . . . . . 2246.2.2. El espacio Lp para 0 < p < 1. . . . . . . . . . . . . 2276.2.3. Los espacios Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.2.4. Complecion de los espacios Lp. . . . . . . . . . . . 230

    6.3. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.4. El espacio dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.5. Tipos de convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.6. Aplicaciones que conservan la medida . . . . . . . . . . . 2536.7. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

    7. Espacios de Hilbert 2617.1. Espacios prehilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.2. Propiedades de los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . 2637.3. Clasificacion de los Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . 267

  • iv INDICE GENERAL

    7.4. Teorema Ergodico en L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

    8. Espacios de Banach 2738.1. El Teorema de HahnBanach . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.2. Teoremas clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.3. El Teorema de VitaliHahnSaks . . . . . . . . . . . . . 278

    9. La transformada de Fourier 2819.1. Analisis de Fourier en L2(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.2. Analisis de Fourier en L1(T ) y C(T ) . . . . . . . . . . . . 2849.3. Analisis de Fourier en L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2869.4. El Teorema de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.5. Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909.6. El algebra de Banach L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.7. La transformada de FourierStieltjes . . . . . . . . . . . . 295

    10.Medida y topologa 30510.1. Espacios Hausdorff LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30510.2. Medidas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

    10.2.1. Funciones continuas y funciones medibles . . . . . 31310.3. Teoremas de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . 31710.4. Regularidad. T. de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . 32510.5. El dual de L1 en un espacio Hlc . . . . . . . . . . . . . . . 32610.6. Funcionales de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.7. Producto de dos espacios HLC . . . . . . . . . . . . . . . 33110.8. Producto no numerable de espacios . . . . . . . . . . . . . 33410.9. Medida de Haar en grupos compactos . . . . . . . . . . . 33710.10.La integral de Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.11.Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

    Densidades 351

    Ejercicios difciles 353

    Ejercicios resueltos 355

    Otros Ejercicios 381

  • Indice de figuras

    1.1. Semi-rectangulos acotados y no acotados de R2 . . . . . . 391.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3. Particion entera del semirectangulo . . . . . . . . . . . . . 431.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.1. Graficas de s1 y s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2. Algunos peldanos de la funcion de Cantor . . . . . . . . . 772.3. Graficas de las funciones P f P . . . . . . . . . . . . 103

    3.1. Las secciones Ex y Ey de E . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.2. Interpretacion geometrica del determinante . . . . . . . . 195

    10.1. Mitad superior de la Pseudoesfera y Esfera de igual radio 406

    v

  • Captulo 1

    Medida

    1.1. Introduccion Historica.

    El concepto de medida tiene una larga historia de mas de 5000 anos,que surge del manejo de longitudes, areas y volumenes fundamentalmen-te y de la necesidad de su calculo. Estos tres ejemplos particulares demedidas son los que han servido como gua para sacar a la luz el conceptoque detras de ellos se esconda.

    El Papiro de Moscu, considerado del 1800 A.C., es, co