Instituto GenovaMatemticas Teora de Conjuntos Prof. Cesar Villar

Conjunto es una coleccin de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (nmeros, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Teora de Conjuntos Notacin. Para denotar Conjuntos normalmente se utilizan letras maysculas A, B, X, Y

Para denotar a los elementos se utilizan letras minsculas nmeros, smbolos o variables.

DEFINICIONES DE CONJUNTOEXPLICITAMENTE IMPLICITAMENTE Un Conjunto puede ser definido:

Escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma

DEFINICION DE CONJUNTO POR EXTENSION EXPLICITAMENTE1.- Sea A el conjunto de las vocalesA= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de las vocalesB= { lunes , martes, mircoles, jueves, viernes}

Escribiendo dentro de las llaves las caractersticas QUE DEFINEN a los elementos que pertenecen al conjunto.

DEFINICION DE CONJUNTO POR COMPRESIONIMPLICITAMENTESea A es el conjunto de las vocalesSe escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los nmeros paresSe escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se leeEl conjunto de todas las x tales que x es un numero natural par

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.

RELACIN DE PERTENENCIASe representa de la siguiente manera

Elemento conjunto .. Se lee elemento pertenece a conjunto

Elemento conjunto . Se lee elemento NO pertenece a conjunto

Ejemplos: a A Se lee a Pertenece al conjunto A w A Se lee w No pertenece al conjunto A 3 D Se lee 3 No pertenece al conjunto D

Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequvoca si un elemento pertenece a l o no CONJUNTO BIEN DEFINIDOSea T el conjunto de las personas simpticas

Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simptico essubjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es simptica o no

Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos

Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos

Ejemplo:S= {x/x N, x >= 10}Se lee x tal que x pertenece a los nmeros naturales y x es mayor o igual a 10

RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO

Relaciones Entre Conjuntos

Igualdad de Conjuntos

Sub ConjuntosConjuntos EspecialesConjuntos de Pares

Conjunto Vacio

Conjunto Universal

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a BIGUALDAD DE CONJUNTOSA= { x, y }B= { y, x }

Esto es:A=B, entonces x A, implica que x B y Que y B, implica que y A.

Ejemplo de Igualdad de ConjuntosSi M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y L= {x/x es impar ^ 1 x 9 }

Esto significa que M=LIGUALDAD DE CONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces A se llama Subconjunto de B

Tambin decimos que A, esta contenido en B

SUBCONJUNTO

Ejemplo:Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 }B={ 1, 2, 3, 5, 7 }C={ 1, 5 }Podemos decir que:C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, tambin son elementos de A y BB A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de ASUBCONJUNTO

Ejemplo:Considere los siguientes conjuntos:B={ x/x es un ave}H={ y/y es una paloma}Podemos decir que:H B H es un subconjunto de BSUBCONJUNTO

Ejemplo:Considere el siguiente conjunto:A={ x/x N es par}y B={ y/y N y es mltiplo de 2}Podemos decir queB = A A = B SUBCONJUNTO

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por .

Ejemplo de Conjunto Vaco:El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 aos de edad.

Siempre cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna poblacin determinada.

Conjunto UniversalEjemplo Si se habla de un conjunto de nmeros es til establecer una poblacin general de nmeros denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusin determinada.

El conjunto Universal se denomina : U

Ejemplo

Si U=N, el conjunto de los nmeros naturales

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }B={ x/x es un numero primo }C = { x/x es un numero natural par } A, B y C son subconjuntos propios de ULos nmeros primos menores que cien son los siguientes:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89y97

Conjunto Universal

DIAGRAMA DE VENN Los Diagramas de Venn son una manera esquemtica de representar los conjuntos y los conceptos de la teora de conjuntos.

Visualizar facimente las relaciones de: Pertenencia, Inclusin y las Operaciones con conjuntos.El Rectngulo representa conjunto Universal

Los crculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.

DIAGRAMA DE VENN (Euler)Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}

OPERACIONES CON CONJUNTOSDiferencia de Conjuntos

La unin de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unin B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntosA U B ={ x/x x A V x B}En el diagrama de Venn, la regin sombreada corresponde al conjunto A U B

Unin de Conjuntos

EjemploA U B ={ a, b, c, d, e, f}Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:

Unin de Conjuntos

A B ={ X/X x A x B }La interseccin de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A interseccin B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos En este diagrama de Venn la regin sombreada corresponde al conjunto A B

Interseccin de Conjuntos

A U B Tambin se llama suma lgica de los conjuntos A y BA B Se denomina tambin el producto lgico de los conjuntos Ay BSi A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Dos conjuntos que no tienen nada en comn se llaman DISJUNTOSObserve que los elementos c y d pertenecen simultneamente a los conjuntos A y BA B = { c, d }

Interseccin de Conjuntos

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d }A B = { c, d }Si A={ a, b, c, d } B= { m, p, q }A B = A B = , A y B son disyuntos

Interseccin de Conjuntos

A - B ={ X/X A x B }La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a BSimblicamente:Diferencia de Conjuntos

Simblicamente:Diferencia de Conjuntos

Ejemplo 1:Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }Ejemplo 2:Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}Ejemplo 3:Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }Diferencia de Conjuntos

Simblicamente:Diferencia Simtrica de Conjuntos

Simblicamente:Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los conjuntos A-B y B-APor eso tambin A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }Diferencia Simtrica de Conjuntos

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota A, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a ASimblicamente:A={ X/ x U x A }A= U A Ejemplo:A = { X/X es un numero natural par}Sea U = N (el conjunto de los nmeros naturales)A = { X/X es un numero natural impar}=U -AComplemento de un Conjunto

IGUALSIMBOLOGIAELEMENTO PERTENECEES SUBCONJUNTONO ES SUBCONJUNTOELEMENTO NO PERTENECE=CONJUNTO VACIO{ } o CONJUNTO UNIVERSALUCONJUNTO DE PARTESP{A }UNIONINTERSECCIONDIFERENCIA SIMETRICACOMPLEMENTO DE UN CONJUNTODIFERENCIAUCONJUNTOS NUMERICOSNATURALES___ENTEROSRACIONALESIRRACIONALESREALESCOMPLEJOS

NATURALESENTEROSRACIONALESIRRACIONALESREALESCOMPLEJOSCONJUNTOS NUMERICOS

CONJUNTOS NUMERICOSEs la coleccin de Objetos matemticos representados por los smbolos 1, 2, 3, 4, ., etc. Llamados nmeros para contar. = {1, 2, 3, 4, .}Los nmeros enteros abarca los nmeros negativos incluyendo en cero y los nmeros positivos. Y se representa = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .}

CONJUNTOS NUMERICOSEs el conjunto de los nmeros de la forma donde p y q son enteros, con q 0, se representa mediante el smbolo.Es el conjunto de los nmeros que no pueden ser expresados como el cociente de dos nmeros enteros Entre los mas conocidos esta el

CONJUNTOS NUMERICOSEs el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionalesEs la coleccin de nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

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