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Apuntes de Grupos de Lie

Badajoz, 30 de diciembre de 2017

Volumen 3

Fig. La Variedad de los triangulos

Dpto. de Matematicas

Univ. de Extremadura

Apuntes de Grupos de Lie

Dpto. de Matematicas

Univ. de Extremadura

«Apuntes de Grupos de Lie. 30 de diciembre de 2017

Indice general

1. Grupos de Lie 11.1. Introduccion. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 31.1.3. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Subgrupos de Lie inmersos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. Constantes de estructura. . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2. Algebra de Lie de un grupo de Lie. . . . . . . . . . 22

1.6. Subalgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Subgrupos uniparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8. La aplicacion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9. El funtor de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10. Subgrupos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.11. Grupos de Lie abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.11.1. Grupos de Lie abelianos conexos. Clasificacion . . 451.11.2. Idem no conexos. Clasificacion . . . . . . . . . . . 45

1.12. La accion de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.12.1. Grupos de Lie clasicos conexos . . . . . . . . . . . 54

1.13. El espacio topologico de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . 551.13.1. Conjunto cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.13.2. Espacio topologico cociente. . . . . . . . . . . . . . 561.13.3. Cociente de una G–variedad por el grupo G . . . . 571.13.4. Cociente de un grupo por un subgrupo . . . . . . . 58

1.14. Variedad cociente categorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

ii INDICE GENERAL

1.15. Variedad cociente geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 621.16. Espacios Homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.17. El fibrado normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.17.1. El Teorema del entorno tubular. . . . . . . . . . . 791.18. La accion en el fibrado normal . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.18.1. La medida de Haar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.18.2. Construccion de una metrica Riemanniana inva-

riante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.18.3. La accion sobre el Fibrado normal. . . . . . . . . . 84

1.19. El espacio de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.19.1. Tipo de isotropıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.19.2. Variedad cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.19.3. El espacio topologico de tipos de isotropıa. . . . . 91

1.20. Ejemplos de espacios de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . 93

Tema 1

Grupos de Lie

1.1. Introduccion. Conceptos basicos

1.1.1. Variedades diferenciables

Definicion. Llamamos estructura diferenciable en un espacio topologicoX , a una coleccion

C∞(U) ⊂ C(U), con U abierto de X,

de subconjuntos de las funciones continuas de cada abierto U de X ,cada una de las cuales es una R-algebra, que llamaremos de funcionesdiferenciables, que satisfacen las siguientes propiedades:

i.- La restriccion de una funcion diferenciable es diferenciable, es decirdados dos abiertos U ⊂ V ,

f ∈ C∞(V ) ⇒ f|U ∈ C∞(U).

ii.- Dada una coleccion Ui de abiertos, U = ∪Ui y f ∈ C(U), cuyarestriccion a cada Ui es diferenciable, entonces f ∈ C∞(U).

iii.- Para cada punto x ∈ X existe un abierto Ux, que lo contiene y alque llamaremos entorno coordenado de x, un abierto V de un Rn y unhomeomorfismo H : Ux → V , tal que para cada abierto U ⊂ Ux

f ∈ C∞(H(U)) ⇔ f H ∈ C∞(U).

Llamaremos variedad diferenciable a un espacio topologico dotado deuna estructura diferenciable.

1

2 Tema 1. Grupos de Lie

Nota 1.1.1 Normalmente se suele anadir a la definicion de variedad di-ferenciable el que sea Hausdorff y de base numerable (en esta primeraleccion consideraremos que las variedades son de base numerable). Sinembargo nosotros no lo incluimos en la definicion por dos razones. Laprimera es que construiremos cocientes que seran variedades diferencia-bles, pero no Hausdorff en general y la segunda es que los grupos deLie con la definicion anterior automaticamente son Hausdorff y de basenumerable sus componentes conexas.

Proposicion 1.1.2 En toda variedad diferenciable los puntos son ce-rrados.

Demostracion. Sean x, p ∈ X y p 6= x, entonces por la propiedad(iii) existe un entorno coordenado Ux de x que no contiene a p, por tantopc es abierto y p cerrado.

Proposicion 1.1.3 Toda variedad es union disjunta numerable de suscomponentes conexas, que son abiertos y cerrados de la variedad.

Demostracion. Consideremos, para cada x de la variedad, la unionUx de todos los conjuntos conexos de la variedad que contienen a x.Se demuestra facilmente que cada Ux es conexo, que es abierto (por lapropiedad iii), que es cerrado pues su complementario es abierto y quecada dos o son iguales o disjuntos, por tanto si el espacio tiene una basenumerable de abiertos, la coleccion de estas componentes conexas a losumo es numerable.

Definicion. Diremos que una aplicacion continua entre variedades dife-renciables

F : X −→ Y,

es diferenciable si para cada abierto V ⊂ Y

f ∈ C∞(V ) ⇒ F ∗(f) = f F ∈ C∞(f−1(V )).

Definicion. Llamamos germen en un punto x, de una funcion conti-nua (diferenciable) f definida en un entorno abierto de x, a la clase deequivalencia de todas las funciones continuas (diferenciables) definidasen entornos abiertos de x, que coincidan con f en algun entorno de x.Denotaremos con Cx(X ) (o Cx si no hay confusion) y C∞x las R–algebrasde germenes de funciones continuas y diferenciables respectivamente enx.

1.1. Introduccion. Conceptos basicos 3

Llamamos espacio tangente de una variedad X en un punto x alR–espacio vectorial Tx(X ), de las derivaciones

Dx : C∞x −→ R,

en el punto x, el cual —si X es Hausdorff y de base numerable comosupondremos en el resto de esta primera leccion—, se demuestra quecoincide con las derivaciones en x de todo el algebra C∞(X ) en R. Lla-mamos espacio cotangente a su dual, que denotamos T ∗x (X ).

Llamamos campos tangentes a las derivaciones

D : C∞(X ) −→ C∞(X ),

las cuales forman un C∞(X )–modulo, que denotamos D(X ), y un algebracon el producto definido por el corchete de Lie

[D1, D2] = D1 D2 −D2 D1.

Llamamos 1–formas a los elementos de su modulo dual Ω(X ).Dada una funcion f ∈ C∞(X ) llamamos diferencial de f a la 1–forma

df : D(X ) −→ C∞(X ), df(D) = Df.

Definicion. Dada una aplicacion diferenciable

F : X −→ Y,

llamamos aplicacion lineal tangente en x ∈ X a

F∗ : Tx(X ) −→ TF (x)(Y), F∗(Dx) = Dx F ∗,

a la aplicacion dual entre espacios cotangentes la denotamos F ∗. Lla-mamos rango de F en x al rango de F∗, es decir a la dimension de suimagen.

1.1.2. Inmersiones locales, subvariedades

Definicion. Decimos que F es una inmersion local en x si la aplicacion

F ∗ : C∞F (x) −→ C∞x , F ∗(f) = f F,


definida entre algebras de germenes de funciones diferenciables, es sobre.Lo cual equivale a que

F∗ : Tx(X ) −→ TF (x)(Y),

sea inyectiva. Diremos que F es inmersion si es inyectiva e inmersionlocal en todo punto, en cuyo caso diremos que F (X ) es una subvariedadinmersa en Y. Si ademas, con la topologıa inducida por Y, resulta que

F : X −→ F (X ),

es un homeomorfismo, diremos que F (X ) es una subvariedad (o subva-riedad regular como la llaman algunos autores), de Y.

Teorema de caracterizacion de subvariedades 1.1.4 S es una sub-variedad de una variedad X si y solo si para cada p ∈ S, existe un abiertocoordenado Vp de p en X , con coordenadas ui, tal que

S ∩ Vp = x ∈ Vp : uj(x) = 0, j = 1, . . . , k.

Teorema del rango 1.1.5 Si F : X → Y es diferenciable de rangoconstante k, entonces para cada p ∈ X y q = F (p) existen entornoscoordenados Vp y Vq, con coordenadas (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm), talesque si x ∈ Vp tiene coordenadas (x1, . . . , xn), F (x) tiene coordenadas

(x1, . . . , xk, 0 . . . , 0).

Proposicion 1.1.6 Sea F : X → Y diferenciable de rango constante k.1.- Para cada q ∈ Y, F−1(q) es vacıo o una subvariedad cerrada de

X , de dimension dimX − k.2.- Cada p ∈ X tiene un entorno abierto Vp tal que F (Vp) es una

subvariedad de Y de dimension k.3.- Si F es sobre dimY = k.4.- Si F es localmente inyectiva k = n y F es inmersion local.

Demostracion. 1.- Sea p ∈ F−1(q), y consideremos los entornos delteorema del rango, entonces

F−1(q) ∩ Vp = x ∈ Vp : F (x) = q= x ∈ Vp : vj(F (x)) = vj(q), j ≤ k= x ∈ Vp : uj(x) = vj(q), j ≤ k.


2.- En el entorno Vp, F es composicion de una proyeccion (que llevaabiertos en abiertos) y una inmersion, por tanto existe un abierto U ⊂ Vq,tal que F (Vp) = y ∈ U : vk+1 = · · · = vn = 0.

3.- Como X es de base numerable, por el apartado anterior Y sepuede poner como union numerable de subvariedades de dimension k ysi k < dimY es absurdo porque las subvariedades son de medida nulay la union numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula.Tambien porque las subvariedades son densas en ningun lado y por elTeorema de Baire su union numerable tambien es densa en ningun lado.

4.- Es obvio.

1.1.3. Distribuciones

Definicion. Llamaremos distribucion en una variedad X a una aplica-cion

x ∈ X −→ ∆x,

donde ∆x es un subespacio de Tx(X ), verificando la siguiente condicion:Para cada p ∈ X existe un abierto Up ⊂ X y campos D1, . . . , Dr ∈

D(Up), tales que para todo x ∈ Up, D1x, . . . , Drx son base de ∆x. Si lavariedad es conexa al numero r lo llamamos rango de la distribucion.

Dada una distribucion ∆x, definimos para cada abierto V ⊂ X elsubmodulo de D(V )

∆(V ) = D ∈ D(V ) : Dx ∈ ∆x ∀x ∈ V .

Habitualmente llamamos distribucion a ∆ = ∆(X ).

Definicion. Diremos que una distribucion ∆ es involutiva si paraD1, D2 ∈∆ se tiene que [D1, D2] ∈ ∆.

Teorema de Frobenius 1.1.7 Una distribucion de rango r es involu-tiva si y solo si para cada x ∈ X existe un entorno abierto V de x enX , y un sistema de coordenadas (u1, . . . , un) en V , tales que ∆(V ) estagenerada por

∂

∂u1, . . . ,

∂

∂ur,

y las subvariedades de V (a las que llamaremos franjas del entorno)

S = x ∈ V : ur+1 = cte, . . . , un = cte,

son tangentes a la distribucion, es decir para cada z ∈ S

Tz(S) = ∆z.


Definicion. Llamaremos variedad integral de una distribucion ∆ de X ,a toda subvariedad inmersa conexa H ⊂ X , por tanto tal que

i : H → X ,

es inmersion, tal que para cada x ∈ H

i∗[Tx(H)] = ∆F (x),

si no es conexa diremos que es una variedad tangente.

Nota 1.1.8 Observemos que en el teorema de Frobenius las franjas delentorno son variedades integrales y por lo tanto si una distribucion esinvolutiva por todo punto pasa una variedad integral.

Ejercicio 1.1.9 Sea ∆ una distribucion involutiva en X y V un abierto coor-denado como en el teorema de Frobenius. Demostrar que si H ⊂ V es una va-riedad integral (conexa), entonces esta en una franja, es decir existen ar+1, . . . , an ∈R, tales que

H ⊂ x ∈ V : ur+1 = ar+1, . . . , un = an.

Definicion. Llamaremos variedad integral maxima de una distribucion,pasando por un punto x a una variedad integral (conexa) K ⊂ X , talque si H ⊂ X es otra variedad integral con x ∈ H, entonces

H ⊂ K.

Veremos que si ∆ es una distribucion involutiva, entonces por cadapunto de la variedad pasa una unica variedad integral maxima. Pero paraello necesitamos unos resultados previos.

Teorema 1.1.10 Sean U , V y W variedades diferenciables, y conside-remos el diagrama conmutativo

U F−→ VH G

W

donde G es inmersion y H es diferenciable, entonces cada afirmacionimplica la siguiente:

i) G(V) es una subvariedad de W.ii) F es continua.iii) F es diferenciable.


Demostracion. (i)⇒(ii) Para cada abierto V ⊂ V se tiene por serG inyectiva

F−1(V ) = F−1[G−1[G(V )]] = H−1[G(V )],

y F es continua por serlo H y G(V) tener la topologıa inducida por W,por lo que G(V ) = A∩G(V), con A abierto de W y F−1(V ) = H−1(A).

(ii)⇒(iii) Si F : U −→ V es continua, entonces podemos definir paracada x ∈ U

F ∗ : CF (x)(V) −→ Cx(U),

tal que F ∗[f ] = [F ∗f ], para cualquier representante f . Ahora que F esdiferenciable se demuestra facilmente en germen, pues si f es el germende una funcion diferenciable en y = F (x) ∈ V, para un punto x ∈ U ,entonces f = G∗(g) (por ser G inmersion local), para g el germen de unafuncion diferenciable de W, por lo tanto

F ∗(f) = F ∗[G∗(g)] = H∗(g),

es el germen de una funcion diferenciable.

Teorema 1.1.11 Sean U , V y W variedades diferenciables, y conside-remos el diagrama conmutativo de teorema anterior, con G inmersion,H diferenciable y ademas para cada y ∈ V,

G∗[Ty(V)] = ∆G(y),

para ∆ una distribucion involutiva de W. Entonces F es continua y porel resultado anterior diferenciable.

Demostracion. Sea V ⊂ V un abierto y x ∈ F−1(V ), basta encon-trar un entorno abierto de x cuya imagen por F este en V . Para elloconsideremos y = F (x) y z = H(x) = G(y) (sin perdida de generali-dad podemos considerar que las variedades son de base numerable, puespodemos quedarnos con sendos entornos coordenados de cada punto).Sea (Wz;wi), entorno coordenado de z con coordenadas (w1, . . . , wm),tal que wi(z) = 0 y para cada p ∈Wz

∆p =<∂

∂w1p, . . . ,

∂

∂wnp >,

y consideremos el abiertoG−1(Wz), el cual tiene por (1.1.3) una coleccionnumerable de componentes conexas Vk que son abiertos. Llamemos V0 ala que contiene a y y Vy = V ∩ V0.


Ahora consideremos las funciones de G−1(Wz), vi = G∗(wi) = wiG,las cuales son constantes, para i = n + 1, . . . ,m, en cada componenteconexa Vk, pues para cada q ∈ Vk y Dq ∈ Tq(V)

Dqvi = Dq(wi G) = G∗(Dq)wi = 0,

ya que G∗(Dq) ∈ ∆G(q). Por lo tanto existen numeros aik ∈ R, coni = n+ 1, . . . ,m y k = 0, 1, 2, . . . , tales que

vi[Vk] = aik, vi[V0] = 0.

Por otra parte, las funciones vi = wiG, para i = 1, . . . , n, son un sistemade coordenadas en V0, ya que si q ∈ V0 y Eiq es la base de Tq(V0) tal que

G∗(Eiq) =∂

∂wiG(q), i = 1, . . . , n,

tendremos que dqvj ∈ T ∗q (V) es su base dual, pues

dqvi(Ejq) = Ejq(wi G) = G∗[Ejq]wi = δij ,

y en estas coordenadas G : V0 →Wz se expresa de la forma

(y1, . . . , yn) −→ (y1, . . . , yn, 0, . . . , 0),

por tanto podemos considerar un abierto W ⊂Wz, entorno de z tal que

G(Vy) = p ∈W : wn+1(p) = · · · = wm(p) = 0.

Si ahora llamamos U a la componente conexa del abierto H−1(W )que contiene a x, basta demostrar que F (U) ⊂ Vy ⊂ V o equivalente-mente por ser G inyectiva

H(U) = G[F (U)] ⊂ G(Vy).

Ahora por una parte tenemos que F (U) ⊂ G−1(Wz) = ∪Vk, puesG[F (U)] = H(U) ⊂W ⊂Wz y por tanto para i = n+ 1, . . . ,m

wi[H(U)] = vi[F (U)] ⊂ aik ∈ R : k = 0, 1, . . .,

pero por otra parte wi[H(U)] es conexo, por ser imagen continua de unconexo, por lo que debe ser constante y como x ∈ U , wi[H(U)] = 0, esdecir que

H(U) ⊂ p ∈W : wn+1(p) = · · · = wm(p) = 0 = G(Vy).


Teorema 1.1.12 Sea ∆ una distribucion involutiva en una variedad X ,entonces por cada punto de la variedad pasa una unica variedad integralmaxima.

Demostracion. Sea p ∈ X y K el conjunto de puntos que se unena p por una curva continua, diferenciable —salvo en un numero finitode puntos—, y en los puntos en los que es diferenciable es tangente a ladistribucion. Veamos que: K es una variedad diferenciable, conexa, conbase numerable; que la inclusion i : K → X es inmersion local; que K esvariedad integral maxima; y que es unica.

Por el Teorema de Frobenius ∆ es totalmente integrable, por tantocada punto x ∈ X , tiene un entorno abierto coordenado cubico (Ux;ui),cuyas franjas son tangentes a la distribucion, ahora bien como X tienebase numerable Vm, existe un m tal que x ∈ Vm ⊂ Ux, ahora elegimospara cada uno de estos m –que es una coleccion numerable–, un Um = Uxcualquiera que contenga a Vm. De este modo tendremos un recubrimientonumerable de X , por abiertos coordenados cubicos (Um;umi), cuyas fran-jas son tangentes a la distribucion y por comodidad pondremos p ∈ U0.Sea q ∈ K, sea Um(q) el abierto del recubrimiento que lo contiene y

Vq = x ∈ Um(q) : um(q)r+1(x) = um(q)r+1(q), . . . ,

um(q)n(x) = um(q)n(q),

la franja del abierto que lo contiene, la cual esta en K, pues de q sellega a todos esos puntos por curvas tangentes a la distribucion. Ahoraconsideramos en cada Vq la topologıa para la que

φ = (um(q)1, . . . , um(q)r) : Vq → φ(Vq) ⊂ Rr,

es un homeomorfismo y definimos un abierto A ⊂ K sii A∩Vq es abiertode Vq, para cada q. Ahora consideramos la estructura diferencial en Kque definen las aplicaciones φ. Con esta estructura diferenciable K esuna variedad de dimension r, conexa —pues es conexa por arcos pordefinicion— y veamos que tiene una base numerable de abiertos.

Basta ver que para cada m, Um ∩ K es una coleccion numerable defranjas, para ello observamos que cada punto x ∈ Um ∩ K, se une ap por una curva, que se recubre con una coleccion finita de abiertosU0, Ui1 , . . . , Uim —este recubrimiento puede hacerse de muchas formas,pero a lo sumo hay una coleccion numerable de ellos, pues es numerable lacoleccion de subconjuntos finitos de un conjunto numerable—. Ahora encada uno de los Uij , la curva por ser continua y tangente a la distribucion


va por una unica franja, por tanto sale de la franja de U0 que contiene a py pasa a una franja de Ui1 de esta a una del siguiente abierto y ası hastael ultimo. Basta entonces ver que cada franja S se interseca con cadaabierto Ui en una coleccion a lo sumo numerable de franjas. S∩Ui es unabierto de la subvariedad S, que como tiene base numerable tiene (por(1.1.3)) una coleccion numerable de componentes conexas, que como sontangentes a la distribucion y son conexas estan cada una de ellas en unafranja.

Por tanto K tiene base numerable y es una variedad diferenciableconexa, para la que la inclusion es inmersion local y es tangente a ∆.Por tanto es variedad integral pero ademas es maximal, pues si hubieraotra N pasando por p, cada punto suyo x puede unirse a p (pues es arcoconexa) por una curva diferenciable tangente a la distribucion, por tantode K.

Veamos ahora que es unica. Por lo anterior si hubiera otra N pasandopor p, serıa N ⊂ K y por ser maximal, se darıa la igualdad conjuntis-ta. Ahora bien las dos inclusiones serıan aplicaciones diferenciables por(1.1.11), por tanto son variedades diferenciables iguales y K es unica.

1.1.4. Proyecciones regulares

Definicion. Diremos que una aplicacion diferenciable π : X → Y es unaproyeccion regular en x ∈ X si se verifican cualquiera de las condicionesequivalentes:

1. π∗ : Tx(X )→ Tπ(x)(Y), es sobre.

2. Existen entornos coordenados Vx de x y Vy de y = π(x), talesque si p ∈ Vx tiene coordenadas (x1, . . . , xn), F (p) tiene coordenadas(x1, . . . , xm).

3. Existe una seccion local σ : Vy → X , π σ = Id, tal que σ(y) = x.Diremos que π es proyeccion regular si lo es en todo punto.1

Veamos otras propiedades de las proyecciones regulares (pero antesdemos un resultado previo).

Lema 1.1.13 Si π : X → Y es continua, abierta y sobre, entonces U ⊂Y es abierto (cerrado) si y solo si π−1(U) ⊂ X es abierto (cerrado).

1 Observemos que por el apartado 3 de (1.1.6) si π es sobre y de rango constante,entonces es proyeccion regular, pues se satisface la condicion 2 de la definicion entodo punto.


Demostracion. “⇒”por continuidad. “⇐”por que por una parte setiene que para A ⊂ Y, π−1(Ac) = [π−1(A)]c, por tanto basta demostrarlopara U abierto. Ahora como π es sobre, π[π−1(U)] = U y es abierto siπ−1(U) es abierto.

Proposicion 1.1.14 Si π : X → Y es una proyeccion regular sobre, en-tonces se tienen las propiedades siguientes:

1. Para cada abierto U ⊂ Y, f ∈ C∞(U), si y solo si f π ∈C∞(π−1(U)).

2. Para cada abierto U ⊂ Y, φ : U → Z es diferenciable si y solo siφ π : π−1(U)→ Z es diferenciable.

3. Para cada abierto U ⊂ Y, φ : U → Z es proyeccion regular si ysolo si φ π : π−1(U)→ Z es proyeccion regular.

4. U ⊂ Y es abierto (cerrado) si y solo si π−1(U) ⊂ X es abierto(cerrado).

5. S ⊂ Y es subvariedad si y solo si π−1(S) ⊂ X es subvariedad.

Demostracion. “⇒”Para (1) y (2) es obvio por ser π diferenciable,para (3) por ser la composicion de proyecciones regulares una proyeccionregular. Para (5) sea x ∈ π−1(S) e y = π(x) ∈ S, entonces existe unentorno coordenado de y, (Vy; vi), tal que

S ∩ Vy = z ∈ Vy : v1 = · · · = vk = 0,

entonces para Ux = π−1(Vy) y ui = π∗vi, que son diferenciablementeindependientes, pues π∗ es inyectiva, tendremos que

π−1(S) ∩ Ux = π−1(S ∩ Vy) = p ∈ Ux : u1 = · · · = uk = 0.

Veamos ahora “⇐”.(1), (2) y (3) se demuestran facilmente tomando secciones locales,

teniendo en cuenta que π es sobre.(5) Sea y ∈ S y x ∈ π−1(S), tal que π(x) = y y consideremos

sendos entornos abiertos coordenados Ux de x y Uy de y, con coordenadasrespectivas (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , ym), tales que xi(x) = 0 y si p ∈Ux tiene coordenadas (p1, . . . , pn), π(p) tiene coordenadas (p1, . . . , pm),ademas podemos suponer que π(Ux) = Uy, que tenemos la seccion de π,

σ : Uy → Ux, σ(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , ym, 0 . . . , 0),

y que existen funciones u1, . . . , uk ∈ C∞(Ux), diferenciablemente inde-pendientes y tales que

π−1(S) ∩ Ux = p ∈ Ux : u1(p) = · · · = uk(p) = 0,


entonces S es subvariedad, ya que para vi = σ∗(ui)

S ∩ Uy = π[π−1(S) ∩ Ux]

= π(p) : p ∈ Ux, u1(p) = · · · = uk(p) = 0= q ∈ Uy : v1(q) = · · · = vk(q) = 0,

pues en la ultima igualdad ⊂ se sigue tomando q = π(p) ∈ S ∩ Uy(por las dos primeras igualdades), por tanto σ(q) ∈ π−1(S)∩Ux, ya queπ[σ(q)] = q, y vi(q) = ui[σ(q)] = 0 y la otra inclusion ⊃ es obvia puesbasta tomar p = σ(q). El resultado se sigue pues para i = 1, . . . , k, vi =σ∗(ui) son diferenciablemente independientes, ya que si

∑aidvi = 0,

entonces σ∗(∑aidui) = 0 y si

∑ki=1 aidui =

∑nj=1 λjdxj , por una parte

tenemos

0 = σ∗(∑

aidui) =

m∑j=1

λjdyj ⇒ λ1 = · · · = λm = 0,

y para j = m + 1, . . . , n es π∗(∂xj) = 0, por tanto para τt el grupouniparametrico de ∂xj , π[τt(p)] = π(p) y si p ∈ π−1(S) ∩ Ux, entoncesτt(p) tambien y

u1[τt(p)] = · · · = uk[τt(p)] = 0,

lo cual implica que, para j = m + 1, . . . , n, ∂ui(p)/∂xj = 0 y esto queλj = 0. Por tanto

∑aidui = 0 y como las dui son independientes, las

ai = 0. Por ultimo (4) es consecuencia del Lema (1.1.13).

1.2. Grupos de Lie

Una de las ideas subyacentes en la nocion de grupo de Lie es la demovimiento. El grupo de Lie por excelencia es el de los movimientosrıgidos en el espacio, los cuales no solo forman un grupo, pues la com-posicion de dos movimientos es un nuevo movimiento, sino que ademasel nuevo movimiento depende “diferenciablemente”de los dos dados.

Definicion. Llamaremos grupo de Lie a una variedad diferenciable G,con una estructura de grupo, para la que las aplicaciones de la estructura

(a, b) ∈ G × G χ−→ab ∈ G, a ∈ G −→ a−1 ∈ G

son diferenciables. Habitualmente denotaremos con e ∈ G el elementoneutro del grupo y con notacion multiplicativa la operacion del grupo.

1.2. Grupos de Lie 13

Llamaremos morfismo de grupos de Lie a todo homomorfismo degrupos de Lie que sea diferenciable.

Para cada elemento a ∈ G definimos las aplicaciones

Ra : b ∈ G −→ ba ∈ G, La : b ∈ G −→ ab ∈ G,

consistentes en trasladar, por la derecha y por la izquierda respectiva-mente, el grupo mediante el elemento a.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que las traslaciones anteriores son difeomorfismostales que

(La)−1 = La−1 , (Ra)−1 = Ra−1 .

Ejercicio 1.2.2 Demostrar que una variedad diferenciable G, con estructurade grupo es un grupo de Lie si y solo si

(a, b) ∈ G × G µ−→ab−1 ∈ G

es diferenciable.

Ejercicio 1.2.3 Demostrar que los R–espacios vectoriales de dimension fini-ta, con la suma como operacion, son grupos de Lie.

Notacion. ConMn(R) denotamos la variedad diferenciable formadapor las matrices reales de orden n, con la estructura diferenciable dadapor su biyeccion natural con Rn2

.

Ejercicio 1.2.4 Demostrar que el abierto de Mn(R),

Gln(R) = A ∈Mn(R) : det A 6= 0,

formado por las matrices reales de orden n no singulares, llamado Grupo linealgeneral, forma un grupo de Lie con el producto como operacion. Para n = 1,lo denotaremos con R∗.

Ejercicio 1.2.5 Demostrar que C∗ = C−0 con el producto como operaciones un grupo de Lie.

Ejercicio 1.2.6 El cuerpo de los cuaterniones es el primer ejemplo (histori-camente) de un cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorial realde dimension 4, con una base (1, i, j, k), cuyos elementos son de la forma

a+ bi+ cj + dk, (a, b, c, d ∈ R),


que se suman componente a componente y su producto satisface i2 = j2 =k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i y ki = −ik = j. Demostrar que loscuaterniones no nulos H4, con el producto anterior y la estructura de variedaddiferenciable dada por su biyeccion con R4\0, es un grupo de Lie.

Proposicion 1.2.7 Las traslaciones de un grupo de Lie G, llevan com-ponentes conexas en componentes conexas y la componente conexa quecontiene al neutro Ge es un subgrupo normal, abierto y cerrado y grupode Lie.

Demostracion. Las aplicaciones continuas llevan conexos en cone-xos, por tanto los homeomorfismos conservan las componentes conexas.Si g, h ∈ Ge, entonces Lg−1(Ge) = Ge, por tanto g−1h ∈ Ge y la aplicacion(g, h)→ g−1h es diferenciable pues Ge es un abierto. Ahora es subgruponormal pues para cada g ∈ G, gGeg−1 es una componente conexa quecontiene a e, por tanto es Ge.

El siguiente resultado es un simple ejercicio.

Proposicion 1.2.8 El producto finito de grupos de Lie es grupo de Lie.

Lema 1.2.9 Sea G un grupo de Lie conexo y U un entorno del neutro.Entonces G = ∪Un, para

Un = g1 · · · gn : gi ∈ U.

Demostracion. Consideremos el abierto entorno de e, V = U ∩U−1 ⊂ U , para el que V = V −1, y

H = ∪V n ⊂ ∪Un ⊂ G,

que es subgrupo pues si g, h ∈ H, entonces gh−1 ∈ H, es abierto puesLg(V ) = gV ⊂ H es un entorno abierto de g ∈ H y es cerrado pues sig ∈ Hc, gH es un entorno abierto de g que esta en Hc, pues como H essubgrupo gH ∩H = ∅. Por tanto por conexion se sigue que H = G.

Teorema 1.2.10 Todo grupo de Lie conexo es Hausdorff y de base nu-merable.

Demostracion. G es Hausdorff sii la diagonal D = (x, y) ∈ G ×G :x = y es cerrada, pero en nuestro casoD = µ−1(e), para µ(x, y) = xy−1,que es continua y los puntos son cerrados.

1.3. Subgrupos de Lie 15

Consideremos un entorno coordenado U del neutro, que es de basenumerable Bi (basta considerar en Rn las bolas abiertas de radio racionalcentradas en puntos de Qn). Ahora como el producto χ : U × U → U2

es continua, dado un abierto W ⊂ U2 y xy ∈ W con x, y ∈ U , existenentornos Bi de x y Bj de y tales que BiBj ⊂W , por tanto U2 tiene unabase numerable de abiertos BiBj = ∪g∈Bi

gBj , ası como cada Un, y porel Lema anterior tambien la tiene G = ∪Un.

Corolario 1.2.11 Todo grupo de Lie es Hausdorff y cada componenteconexa es de base numerable.

Demostracion. Se sigue del resultado anterior y de (1.2.7).

1.3. Subgrupos de Lie

Definicion. Llamaremos subgrupo de Lie a toda subvariedad de un gru-po de Lie que sea subgrupo (Algunos autores lo llaman subgrupo de Lieregular).

El resultado que sigue nos permitira reconocer de una forma sencillaotros grupos de Lie.

Teorema 1.3.1 Todo subgrupo de Lie es un grupo de Lie.

Demostracion. Basta demostrar que la aplicacion µ en el cuadradoconmutativo

H×H µ−→ Hy yG × G −→ G

(x, y) −→ xy−1y y(x, y) −→ xy−1

es diferenciable, lo cual es consecuencia de (1.1.10).

Corolario 1.3.2 Sea F : G → V diferenciable y de rango constante, conG grupo de Lie. Si para un y ∈ V, G−1(y) es subgrupo, entonces es grupode Lie de dimension dimG − rangF .

Demostracion. Por (1.1.6) es subvariedad de esa dimension, portanto subgrupo de Lie y por el resultado anterior grupo de Lie.


Corolario 1.3.3 Si F : G1 → G2 es morfismo de grupos de Lie, enton-ces:1) El rango de F es constante.2) kerF = F−1(e2), para el neutro e2 ∈ G2, es un subgrupo normal deG1 y un grupo de Lie de dimension

dim kerF = dimG1 − rangF.

3) F (G1) es un subgrupo de G2.

Demostracion. (1) Sea x ∈ G1 y z = F (x−1), entonces para cual-quier y ∈ G1

F (y) = F (x−1xy) = zF (xy) = Lz F Lx(y),

por lo que el rango de F∗ en e es igual al de F∗ en x, por tanto esconstante. (2) se sigue de (1.3.2). El resto es sencillo.

Corolario 1.3.4 Todo morfismo localmente inyectivo de grupos de Liees inmersion local.

Demostracion. Por el resultado anterior el morfismo es de rangoconstante. Ahora por ser localmente inyectivo se sigue del corolario delteorema del rango que k = n, por tanto es una inmersion local.

Ejercicio 1.3.5 Demostrar que la circunferencia unidad S1 = T1 = z ∈ C :|z| = 1, con el producto como operacion, es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.6 Demostrar que el toro n–dimensional,

Tn = S1 × · · · × S1,

es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.7 Demostrar que el grupo de las afinidades de un espacio afınn–dimensional An, sobre R, es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.8 Demostrar que el grupo de las proyectividades de un espacioproyectivo n–dimensional es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.9 Demostrar que S3 = x ∈ R4 : ‖x‖2 = 1, con el productodel grupo H4 (de los cuaterniones no nulos) es grupo de Lie.

1.3. Subgrupos de Lie 17

Ejercicio 1.3.10 Demostrar que el grupo ortogonal

On = A ∈ Gln(R) : AtA = I

es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.11 Demostrar que el grupo ortogonal de signatura m, k

Om,k(R) = A ∈ Glm+k(R) : AtEA = E

es un grupo de Lie, para In la identidad de Rn y

E =

(Im 00 −Ik

).

Ejercicio 1.3.12 Demostrar que el grupo simpletico

Sp2n(R) = A ∈ Gl2n(R) : AtJA = J

es un grupo de Lie, para

J =

(0 −II 0

).

Ejercicio 1.3.13 Demostrar que el grupo lineal especial

Sln(R) = A ∈ Gln(R) : det A = 1

es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.14 Demostrar que el grupo lineal especial ortogonal

SOn(R) = A ∈ On : det A = 1

es un grupo de Lie, que es (On)e.

Ejercicio 1.3.15 Demostrar que las A ∈ Gln(R) triangulares superiores (in-feriores) forman un grupo de Lie.


1.4. Subgrupos de Lie inmersos

En (1.3.1) hemos demostrado que toda subvariedad que sea subgrupode un grupo de Lie es un grupo de Lie. Sin embargo una subvariedadinmersa en un grupo de Lie puede ser subgrupo (al que llamaremossubgrupo de Lie inmerso), como es el caso de la imagen por un morfismoinyectivo, y sin embargo no ser subvariedad, por no poseer la topologıainducida. A continuacion estudiamos un caso particular de esto:

Consideremos el morfismo de grupos de Lie

F : (x, y) ∈ R2 −→ F (x, y) = (e2πix, e2πiy) ∈ T2,

que es inmersion local por serlo x → e2πix o por (1.3.4), pues F eslocalmente inyectiva. Si consideramos un numero α ∈ R y la inmersionlocal (que es inyectiva si y solo si α es irracional, demuestrelo el lector)

σ : t ∈ R −→ σ(t) = F (t, αt) ∈ T2,

tendremos que C = σ(R) es una subvariedad inmersa que es subgrupo,sin embargo si α es irracional no es subvariedad, pues es densa en el toroT2 —y una subvariedad no puede ser densa por su caracterizacion—,para ver que es densa necesitamos un resultado previo.

Lema 1.4.1 Todo subgrupo de (R,+) es denso o Zp, con p ∈ R.

Demostracion. Sea S un subgrupo y p = ınfx > 0 : x ∈ S,entonces existe tn ↓ p, con tn > 0 y tn ∈ S. Si a partir de un n los tnson iguales tendremos que son p y por un lado Zp ⊂ S y por otro dados ∈ S existe n ∈ Z, tal que s ∈ (np, (n+ 1)p], por tanto 0 < s− np ≤ py s − np ∈ S, por tanto s = (n + 1)p ∈ Zp, por tanto Zp = S. En casocontrario existe una subsucesion de tn, que llamamos igual estrictamentedecreciente y de Cauchy, por tanto para todo ε > 0 existe un n tal queε > tn − tn+1 > 0 y s = tn − tn+1 ∈ S, pero entonces dado x ∈ R, existeun n tal que x ∈ (ns, (n+ 1)s]. Se sigue que S es denso.

Lema 1.4.2 La curva σ(R) (para α irracional) es densa en el toro T2

y no es cerrada.

Demostracion. Dado un punto del toro q = (e2πix, e2πiy), queremosencontrar un t ∈ R, tal que σ(t) este proximo a q. Ahora bien para todom ∈ Z

σ(t) = (e2πit, e2πiαt) = (e2πit, e2πi(αt+m)),

1.4. Subgrupos de Lie inmersos 19

y dado ε > 0, basta encontrar n,m ∈ Z tales que, para t = x+ n,

|α(x+ n) +m− y| < ε,

lo cual se sigue del lema anterior pues αn + m : n,m ∈ Z es unsubgrupo y por tanto denso en R, ya que no es de la forma pZ, pues enese caso α = n1p y 1 = n2p, de donde n2α = n2n1p = n1 y α ∈ Q.Ademas no es un cerrado, pues C no es T 2, ya que por ejemplo no existet para el que

σ(t) = (eπi, eπi) ∈ T 2.

El ejemplo anterior nos da pie a dar la siguiente definicion.

Definicion. Llamaremos subgrupo de Lie inmerso (o virtual) de un gru-po de Lie G a todo morfismo inyectivo

F : S −→ G

de grupos de Lie (en ocasiones y por abuso del lenguaje llamaremossubgrupo de Lie inmerso, a la imagen H = F (S), del morfismo, que porel corolario (1.3.4) es una subvariedad inmersa y al grupo S lo llamaremossu parametrizacion).

Si ademas la topologıa de S es la inicial del morfismo, H es unasubvariedad y por tanto un subgrupo de Lie.

En los siguientes resultados daremos una caracterizacion que nos per-mitira comprender algo mejor el ejemplo del toro, en ellas se estableceque los conceptos: subgrupo (abstracto), subvariedad (diferenciable) ycerrado (topologico), estan relacionados.

Proposicion 1.4.3 Todo subgrupo abierto de un grupo de Lie es cerra-do.

Demostracion. Sea A el subgrupo abierto y x ∈ G − A, entoncesLx(A) es un abierto, entorno de x, que no corta a A, por tanto A escerrado.

Teorema 1.4.4 Sea S un subgrupo de un grupo de Lie G. Si S es sub-variedad entonces es cerrado.

Demostracion. Si dimS = dimG = n, S es un abierto y el resultadose sigue de la proposicion anterior. Si dimS = n−k < n, basta demostrar


que si xn ∈ S tiene lımite x ∈ G, entonces x ∈ S. Para ello consideremosun entorno coordenado del neutro Ue, con coordenadas ui, tal que

S ∩ Ue = g ∈ Ue : u1(g) = · · · = uk(g) = 0.

Ahora por la continuidad del producto podemos encontrar otro en-torno del neutro U ⊂ Ue, tal que si p, q ∈ U , entonces pq ∈ Ue y comox−1n x → e y x−1xn → e, existe un N a partir del cual x−1

n x ∈ U yx−1xn ∈ U , por tanto para n,m ≥ N tendremos que

(x−1n x)(x−1xm) = x−1

n xm ∈ S ∩ Ue,

y por tanto ui(x−1n xm) = 0, para i = 1, . . . , k, y haciendo m tender a

infinito, como x−1n x ∈ Ue se sigue por continuidad que ui(x

−1n x) = 0,

para i = 1, . . . , k, por lo tanto

x−1n x ∈ S ∩ Ue,

y multiplicando por xn ∈ S, tendremos que x ∈ S.

El recıproco tambien es cierto. Lo veremos en 1.10.5.

Teorema Si S es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie, entonceses una subvariedad.

En definitiva un subgrupo (abstracto) de un grupo de Lie es “subva-riedad si y solo si es cerrado”.

1.5. Algebras de Lie

Definicion. Llamaremos algebra de Lie sobre R a un espacio vectorialg dotado de un operador bilineal (producto), que denotamos [ , ] yllamamos corchete de Lie, para el que se tienen las propiedades

[x, y] = −[y, x], (anticonmutatividad )

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. (identidad de Jacobi )

Demostrar que los siguientes espacios forman algebras de Lie:

Ejercicio 1.5.1 El modulo D de los campos tangentes a una variedad, con elcorchete de Lie [D1, D2] = D1 D2 −D2 D1.

1.5. Algebras de Lie 21

Ejercicio 1.5.2 Todo espacio vectorial, definiendo [x, y] = 0, para cualquierpar de vectores, define un algebra de Lie. Llamaremos abeliana a toda algebrade Lie con el corchete nulo. (Nota.- Veremos en 1.8.6, la razon de llamarlaası).

Ejercicio 1.5.3 El espacio vectorial de los campos tangentes de R4 generadopor los tres campos

−x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2+ x4

∂

∂x3− x3

∂

∂x4,

−x3∂

∂x1− x4

∂

∂x2+ x1

∂

∂x3+ x2

∂

∂x4,

−x4∂

∂x1+ x3

∂

∂x2− x2

∂

∂x3+ x1

∂

∂x4.

Ejercicio 1.5.4 El espacio vectorial Mn(R), de las matrices reales de ordenn, con el corchete [A,B] = AB−BA.

Ejercicio 1.5.5 El espacio vectorial E = A ∈ Mn(R) : traz(A) = 0, conel corchete de matrices. Demostrar que si A,B ∈Mn(R), [A,B] ∈ E.

Ejercicio 1.5.6 El espacio vectorial A ∈ Mn(R) : A + At = 0, con elcorchete de matrices.

Ejercicio 1.5.7 El espacio vectorial de las matrices de M2n(R) del tipo(A BC −At

)con A,B,C ∈Mn(R), B y C simetricas; con el corchete de matrices.

Ejercicio 1.5.8 R3 con el producto vectorial

(x, y, z)× (x′, y′, z′) = (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′).

Ejercicio 1.5.9 R3 con el corchete

[(x, y, z), (x′, y′, z′)] = (yz′ − zy′, 2(xy′ − yx′), 2(zx′ − xz′)).


1.5.1. Constantes de estructura.

Sea g un algebra de Lie de dimension n y sea x1, . . . , xn una basesuya. Entonces existen constantes ckij , a las que llamaremos constantes

de estructura, relativas a la base, tales que [xi, xj ] =∑ckijxk. Estas

constantes satisfacen las propiedades

ckij + ckji = 0,n∑r=1

[crijcmkr + crjkc

mir + crkic

mjr] = 0,

y recıprocamente cualquier conjunto de n3 constantes satisfaciendo estaspropiedades, define un algebra de Lie verificando [xi, xj ] =

∑ckijxk. Esto

permite clasificar facilmente las algebras de Lie de dimension pequena.

1.5.2. Algebra de Lie de un grupo de Lie.

La importancia del concepto algebra de Lie, reside en que hay unalgebra de Lie especial (que ademas es finito dimensional), asociada acada grupo de Lie y que las propiedades del grupo quedan reflejadas enlas de su algebra. Por ejemplo los grupos de Lie conexos y simplementeconexos estan completamente determinados por sus algebras de Lie y elestudio de estos se reduce en parte al estudio de aquellas que en bastantesaspectos son mas sencillas.

Definicion. Sea F : U → V diferenciable, D ∈ D(U) y E ∈ D(V).Diremos que F lleva D en E (y lo denotaremos F∗D = E) si para todox ∈ U es F∗Dx = EF (x).

Lema 1.5.10 1) F lleva D en E sii F ∗ D = E F ∗.2) Si F∗D1 = E1 y F∗D2 = E2, entonces F∗[D1, D2] = [E1, E2].

Definicion. Diremos que un campo tangente a un grupo de Lie D ∈D(G) es invariante por la izquierda (resp. por la derecha), si para cadaa ∈ G, La∗D = D, (resp. Ra∗D = D), es decir para cada x ∈ G

La∗Dx = Dax, (resp. Ra∗Dx = Dxa).

Observemos que si D1 y D2 son invariantes, entonces tambien lo essu corchete, pues

(1.1) La∗[D1, D2] = [La∗D1, La∗D2] = [D1, D2].

1.5. Algebras de Lie 23

Definicion. Llamaremos algebra de Lie (por la izquierda) de un grupode Lie G, al algebra de Lie de los campos invariantes por la izquierda

DG = D ∈ D(G) : La∗D = D,∀a ∈ G

con el corchete de Lie como producto.Del modo obvio se define el algebra de Lie por la derecha, que deno-

tamos con DG .

El siguiente resultado demuestra que ambas algebras son canoni-camente isomorfas, como espacios vectoriales, a Te(G) y por tanto comoespacios vectoriales tienen la misma dimension que el grupo. En generalconsideraremos solo los campos invariantes por la izquierda, y sobren-tenderemos las propiedades correspondientes de los campos invariantespor la derecha.

Proposicion 1.5.11 La aplicacion D ∈ DG → De ∈ Te(G), es un iso-morfismo lineal.

Demostracion. Es lineal trivialmente. Es inyectiva pues para todox ∈ G, Dx = Lx∗De, por tanto si De = 0, D = 0. Es sobre pues dadoDe ∈ Te(G) entonces el unico posible campo D ∈ DG que en e define De

es el que para cada x ∈ G, Dx = Lx∗De. Basta demostrar que el campode vectores tangentes Dx : x ∈ G, define un campo tangente D, esdecir que para cada f ∈ C∞(G), la funcion

Df(x) = Dxf = De(f Lx) ∈ R,

es diferenciable. Consideremos un campo E ∈ D(G) que en e defina Ee =De y subamoslo al unico campo E ∈ D(G×G) tal que π1∗E = 0 y π2∗E =E. Sea χ la aplicacion producto en G, χ(a, b) = ab, y consideremos lafuncion y la aplicacion diferenciable

g = f χ ∈ C∞(G × G),

i : a ∈ G −→ (x, a) ∈ G × G,

entonces i∗Ee = E(x,e), pues π1∗(i∗Ee) = 0 y π2∗(i∗Ee) = Ee, por lo que

Df(x) = De(f Lx) = De(g i) = i∗Deg = Eg(x, e),

que es diferenciable en x.


Ejercicio 1.5.12 Demostrar que el algebra de Lie de (Rn,+) es

a1∂

∂x1+ · · ·+ an

∂

∂xn: ai ∈ R,

por tanto es el espacio vectorial Rn con el corchete [x, y] = 0, por tanto esabeliana.

Ejercicio 1.5.13 Demostrar que el algebra de Lie del grupo de los cuaternionesno nulos esta generada por los campos

D1 = x1∂

∂x1+ x2

∂

∂x2+ x3

∂

∂x3+ x4

∂

∂x4,

D2 = −x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2+ x4

∂

∂x3− x3

∂

∂x4,

D3 = −x3∂

∂x1− x4

∂

∂x2+ x1

∂

∂x3+ x2

∂

∂x4,

D4 = −x4∂

∂x1+ x3

∂

∂x2− x2

∂

∂x3+ x1

∂

∂x4,

para los que

[D1, Di] = 0, [D2, D3] = 2D4, [D3, D4] = 2D2, [D4, D2] = 2D3.

Ejercicio 1.5.14 Demostrar que el algebra de Lie de Gln(R) es Mn(R) conel corchete de matrices.

Nota 1.5.15 Del mismo modo, si ahora consideramos el grupo de Lieformado por los automorfismos Aut(E), de un espacio vectorial n–dimensional E , con la composicion como producto, el cual es un abiertodel espacio vectorial real n2–dimensional End(E), de los endomorfismosde E —las aplicaciones lineales del espacio en si mismo—, entonces sualgebra de Lie es precisamente End(E) con el corchete

[F,G] = F G−G F,

lo cual se sigue del resultado anterior si, eligiendo una base en el espacioE , identificamos End(E) con las matrices reales de orden n,Mn(R), conlo que tendremos que el grupo de los automorfismos del espacio vectorialse identifica con el grupo lineal general de orden n, con el producto dematrices como operacion.

1.6. Subalgebras de Lie 25

1.6. Subalgebras de Lie

Definicion. Diremos que un subespacio h de una algebra de Lie g, esuna subalgebra de Lie si [X,Y ] ∈ h, para X,Y ∈ h.

Proposicion 1.6.1 Sea G un grupo de Lie y h una subalgebra de sualgebra de Lie g, entonces

∆x = Dx : D ∈ h,

es una distribucion involutiva e invariante por traslaciones por la iz-quierda.

Demostracion. Sea D1, . . . , Dr una base de h, entonces para todox ∈ G

∆x =< D1x, . . . , Drx > ⇒ ∆ =< D1, . . . , Dr >

y la distribucion es involutiva pues [Di, Dj ] ∈ h, por tanto [Di, Dj ] =∑ckijDk, de donde [Di, Dj ] ∈ ∆. Ademas es invariante por traslaciones

por la izquierda, pues para x, p ∈ G

Lx∗∆p = ∆xp.

Proposicion 1.6.2 Todo morfismo de grupos de Lie F : G1 → G2 defineun morfismo de algebras de Lie

ϕ : DG1 −→ DG2 ,

tal que si ϕ(D) = E, entonces para cada x ∈ G1

F∗(Dx) = EF (x).

por lo que lo denotaremos ϕ = F∗.

Demostracion. Como todo campo invariante E esta determinadopor su valor en el neutro e2 ∈ G2, que en nuestro caso debe ser

Ee2 = F∗(De1),

la cuestion consiste en demostrar que este campo que en cada y ∈ G2

define el vector

Ey = Ly∗(Ee2) = Ly∗[F∗(De1)],


satisface el resultado. Consideremos un x ∈ G1, entonces como LF (x) F = F Lx, ya que

LF (x)[F (z)] = F (x)F (z) = F (xz) = F [Lx(z)],

tendremos que

EF (x) = LF (x)∗[F∗(De1)] = F∗[Lx∗(De1)] = F∗(Dx).

Ademas se tiene que es morfismo de algebras de Lie, pues por el lemaanterior

F∗(rD1 + sD2) = rF∗(D1) + sF∗(D2),

F∗[D1, D2] = [F∗D1, F∗D2].

La aplicacion anterior hace conmutativo el diagrama

Te1(G1)F∗−−→ Te2(G2)y y

DG1F∗−−→ DG2

Mas adelante demostraremos que: “Si F,G : G1 → G2 son dos morfis-mos de grupos de Lie tales que F∗ = G∗ en el neutro, entonces F = G enun entorno del neutro. Si ademas G1 es conexo, F = G en todo el grupo.Y si ambos son conexos y el primero es simplemente conexo, entoncesdado un morfismo de sus algebras ϕ existe un unico morfismo F tal queϕ = F∗”.

Nota 1.6.3 Si H ⊂ G es un subgrupo de Lie inmerso de un grupo deLie G, entonces i : H → G es inmersion local y morfismo de grupos, porlo que ambas aplicaciones i∗ en el diagrama conmutativo

Te(H)i∗−→ Te(G)y y

DHi∗−→ DG

son inyectivas y por (1.6.2), h = i∗(DH) es una subalgebra de Lie deg = DG , que por (1.6.1), define una distribucion involutiva tangente a

1.6. Subalgebras de Lie 27

las subvariedades inmersas (que llamamos los cosets deH), Lx(H) = xH,para cada x ∈ G, (con la estructura diferenciable de H pasada por Lx),pues

∆x =< D1x, . . . , Drx >= Lx∗[i∗[Te(H)]]

= i∗[Lx∗[Te(H)]] = i∗[Tx(xH)].

Ademas H es una variedad tangente que contiene al neutro, que en prin-cipio no es variedad integral pues no es necesariamente conexa comohemos exigido, sin embargo su componente conexa He que contiene alneutro, que como vimos en (1.2.7) es un subgrupo de Lie de H, y suscosets xHe, sı son variedades integrales, de hecho veremos que son lasvariedades integrales maximas de la distribucion. Esta propiedad es laque nos permitira reconstruir el subgrupo inmerso si lo que conocemoses su algebra de Lie, como pone de manifiesto el siguiente resultado.

Teorema 1.6.4 Sea G un grupo de Lie y g = DG su algebra de Lie.Si h ⊂ g es una subalgebra, entonces existe un unico subgrupo de Lieinmerso conexo H ⊂ G, cuya algebra de Lie es h.

Demostracion. Por (1.6.1), h define una distribucion que es invo-lutiva e invariante por traslaciones por la izquierda, es decir que parax, p ∈ G

Lx∗∆p = ∆xp,

por lo tanto si S es una subvariedad integral, tambien lo es Lx(S). Con-sideremos en Ge, que es de base numerable por (1.2.10), la subvariedadintegral maxima H, que contiene al neutro e (ver (1.1.12)), entonces paracada h ∈ H, Lh−1(H) es una variedad integral que contiene el neutro,pues Lh−1(h) = e, por lo tanto Lh−1(H) ⊂ H y H es subgrupo, pues

h, g ∈ H ⇒ h−1g ∈ H.

Por otro lado el producto y paso al inverso

(g, h) ∈ H ×H −→ gh ∈ H h ∈ H −→ h−1 ∈ H,

son diferenciables por (1.1.11), por la hipotesis y por ser la inclusionH → G inmersion local. Que DH = h, se sigue de (1.6.3), pues allıhemos visto el diagrama conmutativo

Te(H)i∗−→ Te(G) ⊃ ∆ey y y

DHi∗−→ DG ⊃ h


siendo isomorfismos las flechas verticales e i∗(Te(H)) = ∆e.Veamos la unicidad. Supongamos que hay otro subgrupo de Lie in-

merso conexo F ⊂ G, tal que DF = h, entonces F es una subvariedadintegral conexa de ∆ que como contiene al neutro, F ⊂ H. Ahora lacomposicion de inclusiones

F → H → G,

y la segunda inclusion son inmersiones locales, por lo que la primeraes diferenciable, como consecuencia de (1.1.11), e inmersion local (entregrupos de la misma dimension), por lo tanto difeomorfismo local y F essubgrupo abierto de H, por tanto cerrado y por conexion son iguales ygrupos de Lie isomorfos.

Corolario 1.6.5 Sea H ⊂ G un subgrupo de Lie inmerso y He su com-ponente conexa que contiene al neutro, entonces sus cosets xHe son lasvariedades integrales maximas de la distribucion definida por DH.

Demostracion. Por el resultado anterior existe un unico subgrupode Lie inmerso conexo, cuya algebra de Lie es DH y como DHe = DH—como subalgebras de g—, tal subgrupo es He. Ademas el resultadodice que este subgrupo es la subvariedad integral maxima que contieneal neutro y el resultado se sigue.

Ejercicio 1.6.6 Dar los campos del algebra de Lie del grupo C∗, correspondientesa ∂xe, ∂ye ∈ Te(C∗). Y dar en terminos de estos campos las subalgebras delalgebra de Lie y los subgrupos de Lie correspondientes.

Ejercicio 1.6.7 En los terminos del ejercicio (1.5.13), demostrar que el espa-cio vectorial generado por los campos D2, D3, D4, es una subalgebra del algebrade Lie del grupo de los cuaterniones H4. Demostrar usando los resultados deesta leccion que S3 es un grupo de Lie y que su algebra de Lie es R3 con elproducto vectorial.

1.7. Subgrupos uniparametricos

Proposicion 1.7.1 Cada campo invariante es completo.

Demostracion. Sea D ∈ DG (idem para DG) con grupo unipa-rametrico y curva integral maxima pasando por e,

τ : WD → G, τe : I(e) −→ G,

1.7. Subgrupos uniparametricos 29

queremos ver que WD = R × G. Como para cada x ∈ G es Lx∗D = D,tendremos que para todo x ∈ G, τt Lx = Lx τt, en el dominio abiertode τt. Ahora bien para cada t ∈ I(e), el neutro e ∈ G esta en ese dominio,por lo tanto para todo x ∈ G y todo t ∈ I(e)

(1.2) τx(t) = τt(x) = xτt(e) = xτe(t),

en particular I(e) ⊂ I(x) para todo x ∈ G, lo cual implica que I(x) = R,pues si t ∈ I(x) y a = τ(t, x), entonces I(x) = t + I(a) y por tantot+ I(e) ⊂ I(x), por tanto D es completo.

Corolario 1.7.2 Si D ∈ DG, entonces τe : R → G, su curva integralmaxima pasando por e, es morfismo de grupos.

Demostracion. Basta considerar (1.2), para x = τe(r).

Definicion. Llamamos subgrupo uniparametrico de G a un elementoσ ∈ Hom(R,G), es decir a un morfismo de grupos de Lie σ : R → G,o equivalentemente a un subgrupo gt = σ(t) ∈ G : t ∈ R, tal quet ∈ R→ gt ∈ G es diferenciable y

g0 = e, gt+r = gtgr,

el cual define un morfismo de algebras

σ∗ : DR −→ DG ,

y un campo invariante D = σ∗(∂t), del cual σ es una curva integral.

Proposicion 1.7.3 Sea G un grupo de Lie. Entonces se tiene:1)

σ ∈ Hom(R,G)

D = σ∗(∂t)

⇔

D ∈ DGσ = τe

para τe : R −→ G la curva integral de D pasando por e,2) Si τt : G → G es el grupo uniparametrico de D ∈ DG y gt = τe(t),

entonces τt(x) = xgt (= gtx), es decir τt = Rgt (= Lgt).

Demostracion. La implicacion “⇒”de (1) se sigue del teorema deunicidad de solucion de una EDO, pues τe(0) = e = σ(0) y

τe∗(∂t)t = Dτ(t,e), σ∗(∂t)t = Dσ(t).

El resto se sigue de (1.2).


Nota 1.7.4 El resultado anterior nos da una biyeccion canonica entrelos subgrupos uniparametricos de G y el algebra de Lie del grupo

Hom(R,G) −→ DG , σ −→ σ∗(∂t),

que en terminos de subgrupos y grupos uniparametricos, es

(1.3) gt ∈ G : t ∈ R −→ σt = Rgt ,

y una biyeccion entre los subgrupos uniparametricos de G y DG , dadapor

(1.4) gt ∈ G : t ∈ R −→ σt = Lgt .

Teorema 1.7.5 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, y

F∗ : D ∈ DG1 −→ F∗(D) ∈ DG2 ,

el correspondiente morfismo de algebras de Lie. Si D ∈ DG1tiene sub-

grupo uniparametrico asociado gt, el de F∗D es F (gt).

Demostracion. Si σ(t) = gt, σ∗(∂t) = D y γ = F σ es el subgrupouniparametrico de F∗(D), pues γ∗(∂t) = F∗(D).

Corolario 1.7.6 Las biyecciones (1.3) y (1.4) definen un isomorfismode espacios vectoriales

L : DG −→ DG ,

para el que L[D1, D2] = [L(D2), L(D1)].

Demostracion. Nuestra biyeccion en terminos de grupos unipa-rametricos es

Rgt −→ Lgt ,

ahora bien si consideramos el nuevo grupo G = (G, ∗), donde la nuevaoperacion es x ∗ y = yx, que es diferenciable por ser composicion de

(x, y) −→ (x−1, y−1) −→ x−1y−1 −→ (x−1y−1)−1 = yx,

tendremos que el difeomorfismo

F : G −→ G, F (x) = x−1,

1.7. Subgrupos uniparametricos 31

es isomorfismo de grupos, por lo que se sigue de (1.6.2) que

F∗ : DG −→ DG = DG ,

es un morfismo de algebras, y si D tiene subgrupo uniparametrico gt, en-tonces F∗D tiene F (gt) = g−t, por tanto L(D) = −F∗(D) y el resultadose sigue.

Ejemplo 1.7.7 El Grupo lineal general Consideremos el grupo linealgeneral de orden n,

G = Gln(R) = A ∈Mn(R) : det A 6= 0,

con el producto de matrices como operacion en G. En el ejercicio (1.5.14)hemos demostrado que la composicion H(A) = DA

Mn(R) → Te[Mn(R)] = Te(G) → DGA →

∑aij

(∂

∂xij

)e

→∑aijDij = DA

es un isomorfismo de algebras de Lie. Consideremos tambien H ′ = L H : Mn(R) → DG , para el isomorfismo vectorial L de (1.7.6), entoncesse tiene:

Proposicion 1.7.8 Sea D ∈ D(G) un campo tangente y A = (aij) ∈Mn(R), los siguientes apartados son equivalentes:

1) D = H(A), (D = H ′(A)).2) D ∈ DG (D ∈ DG) y

De =∑

aij∂

∂xij.

3)

Dxij =∑k

xikakj , (Dxij =∑k

aikxkj).

4) El grupo uniparametrico de D es

σt(B) = B etA, (σt(B) = etA B).

5) El subgrupo uniparametrico correspondiente a D es

gt = etA

6) La ecuacion diferencial asociada a D es

X′(t) = X(t) ·A, (X′ = AX)


Demostracion. (1) ⇔ (2) ⇔ (3) lo vimos en el ejercicio.

(2) ⇐ (5)

De(xij) = lımxij [σt(I)]− xij(I)]

t

= lımxij

[etA−I

t

]= xij(A) = aij .

(4)⇔ (5) Por (1.3).

(2) ⇒ (5) Por la unicidad del campo invariante.

En definitiva tenemos la composicion de aplicaciones

Te(G) −→ Mn(R) −→ GDe −→ A −→ eA

donde la primera es el isomorfismo canonico y la segunda la exponencialde matrices. En la siguiente leccion veremos que en todo grupo de Lie hayuna conexion natural y por tanto una aplicacion exponencial, que en elcaso del grupo lineal es la composicion anterior (ver el ejemplo (1.8.2)).Esta es la razon del nombre “aplicacion exponencial .en las variedadesdiferenciables con conexion.

Con ayuda del siguiente resultado podremos describir explıcitamentelos subgrupos uniparametricos de un subgrupo de un grupo de Lie enterminos de los del grupo.

Teorema 1.7.9 Sea H es un subgrupo de Lie inmerso de un grupo deLie G. Una aplicacion σ : R −→ H es un subgrupo uniparametrico de Hsii existe un subgrupo uniparametrico γ : R −→ G, tal que γ = iσ : R −→G.

Demostracion. ⇒ es trivial. La otra implicacion tambien es trivialsalvo la diferenciabilidad de σ, que es consecuencia de (1.1.11).

Ejercicio 1.7.10 Demostrar que σ : R → On es un subgrupo uniparametricosi y solo si σ(t) = etA, con A = −At. Y que el algebra de Lie de O(3) es R3

con el producto vectorial

(x, y, z)(x′, y′, z′) = (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′).

1.8. La aplicacion exponencial 33

Ejercicio 1.7.11 Demostrar que σ : R→ Sln(R) es un subgrupo uniparametri-co si y solo si σ(t) = etA, con traz A = 0. Demostrar que el algebra de Lie deSl(2,R) es R3 con el producto

(x, y, z)(x′, y′, z′) = (yz′ − zy′, 2(xy′ − yx′), 2(zx′ − xz′)).

Ejercicio 1.7.12 Demostrar que σ : R→ Sp2n(R) (ver ejercicio (1.3.12)), esun subgrupo uniparametrico sii σ(t) = etA, con AtJ+JA = 0. Demostrar queel algebra de Lie de Sp2n(R) es el espacio vectorial de las matrices del tipo(

A BC −At

)∈M2n(R)

con A,B,C ∈ Mn(R), B y C simetricas; con el corchete de matrices (verejercicio (1.5.7)).

1.8. La aplicacion exponencial

Nota 1.8.1 Recordemos que una conexion lineal en una variedad dife-renciable V, se define como una aplicacion

∇ : D(V)×D(V) −→ D(V), (D1, D2) D∇1 D2,

que satisface las siguientes propiedades:

i) D∇(fD1 + gD2) = (Df)D1 + fD∇D1 + (Dg)D2 + gD∇D2,ii) (fD1 + gD2)∇D = fD∇1 D + gD∇2 D.

Ahora bien en todo grupo de Lie G podemos definir una conexion(realmente dos), definiendo un traslado paralelo por la identificacion na-tural que hay entre todos los espacios tangentes mediante el difeomor-fismo traslacion por la izquierda (derecha) ya que

Lx∗ : Te(G) −→ Tx(G),

es un isomorfismo. Por tanto dados x, y ∈ G la aplicacion F = Lyx−1

es un difeomorfismo que lleva x en y, con el que definimos el trasladadoparalelo de Dx a y como F∗Dx ∈ Ty(G). Si esto lo hacemos para todoy, obtenemos un campo D ∈ DG y como todo campo invariante (por laizquierda) satisface esta propiedad tendremos que los campos D ∈ DGson los geodesicos para esta conexion. La cual tambien podemos dar de lasiguiente forma: Consideremos una base D1, . . . , Dn del espacio vectorialDG , entonces como en cada punto son vectores independientes, pues lo


son en e, tambien es base del modulo de campos, por tanto todo campoes E =

∑fiDi y definimos la conexion de la forma

D∇E =∑

(Dfi)Di,

para la cual son paralelos todos los campos de DG .

Consideremos ahora la aplicacion exponencial en el neutro e ∈ G

exp: Te(G) −→ G,

que define esta conexion, que nos lleva cada De, al punto al que se llegapor la geodesica que define De, en el instante 1, la cual sabemos porlos cursos de geometrıa diferencial que es diferenciable y difeomorfismolocal en el origen. Ahora bien De define un campo invariante D ∈ DG ,cuyo grupo es

σt = Rgt ,

con gt un subgrupo uniparametrico y cuya curva integral σe(t) = gtpasando por e es geodesica, pues D∇D = 0 y

g1 = σe(1) = exp(De).

Ejemplo 1.8.2 En el caso particular G = Gln(R), tendremos que Dse identifica con una matriz A, y su subgrupo uniparametrico corres-pondiente es

gt = etA ⇒ eA = g1 = exp(De),

y como De = H(A) se identifica de forma canonica con A, se tiene eldiagrama conmutativo

Mn(R)H−→ Te(G)

exp exp

G

donde la exp de la izquierda es la exponencial de matrices y la de laderecha la que define la conexion.

Proposicion 1.8.3 Si gt es el subgrupo uniparametrico asociado a D ∈DG, entonces

exp(tDe) = gt, para todo t ∈ R,

exp(mDe) = (expDe)m, para todo m ∈ Z,

1.8. La aplicacion exponencial 35

Demostracion. Basta observar que γ(r) = gtr es el subgrupo uni-parametrico asociado a tD y exp(tDe) = γ(1) = gt.

Proposicion 1.8.4 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, en-tonces para e1 y e2 los neutros respectivos se tiene el siguiente diagramaconmutativo

Te1(G1)F∗−−→ Te2(G2)

exp

y yexp

G1F−→ G2

Demostracion. Sea De1 ∈ Te1(G1) y D el campo invariante quedefine, con subgrupo uniparametrico asociado gt, entonces se tiene queexp(De1) = g1. Por otra parte si Ee2 = F∗(De1) y E es el campo inva-riante que define, entonces F∗(D) = E y su subgrupo asociado es por(1.7.5) F (gt), por lo tanto exp(Ee2) = F (g1).

Corolario 1.8.5 Sean F,G : G1 → G2 dos morfismos de grupos de Lietales que F∗ = G∗ en el neutro, entonces F = G en un entorno delneutro. Si ademas G1 es conexo, F = G en todo el grupo.

Demostracion. La primera parte se sigue del resultado anterior porser exp un difeomorfismo local en el neutro y la segunda de (1.2.9).

Teorema 1.8.6 Sea G un grupo de Lie y DG su algebra de Lie. Enton-ces:

i) DG es abeliana sii para gt y hs subgrupos uniparametricos de G,gths = hsgt.

ii) Si G es abeliano, entonces DG es abeliana.iii) Si DG es abeliana, la componente conexa del neutro, Ge, es un

grupo de Lie abeliano.

Demostracion. (i) Sean D1, D2 ∈ DG , con subgrupos uniparame-tricos gt y ht, entonces [D1, D2] = 0 sii para Xt = Rgt , Yt = Rht

, susgrupos uniparametricos

Xt Ys = Rhsgt = Rgths= Ys Xt ⇔ gths = hsgt.

(ii) Es obvio por (i).(iii) Consideremos ahora la aplicacion

exp: Te(G)→ G, exp(De) = g1,


para gt el subgrupo uniparametrico correspondiente a De, la cual es undifeomorfismo local en el cero, por tanto existe un entorno U ⊂ G delneutro tal que todo punto suyo es de la forma g1, para gt un subgrupouniparametrico de G. Ahora si DG es abeliana y g, h ∈ U , entonces gh =hg, pues g = g1, h = h1, para gt y ht sendos subgrupos uniparametricosy por (i) h1g1 = g1h1. Se sigue de (1.2.9) que Ge es abeliano.

Lema 1.8.7 Sea G un grupo de Lie, χ : G ×G → G su producto, (a, b) ∈G × G, D1a ∈ Ta(G), D2b ∈ Tb(G) y E(a,b) ∈ T(a,b)(G × G) tales queπ1∗(E(a,b)) = D1a y π2∗(E(a,b)) = D2b, para πi las proyecciones, entonces

χ∗(E(a,b)) = Rb∗D1a + La∗D2b.

En particular si a = b = e, χ∗(E(e,e)) = D1e +D2e.

Demostracion. Se tiene que E(a,b)) = rb∗D1a + la∗D2b, para

rb : G −→ G × G, rb(x) = (x, b) ⇒ χ rb = Rb,

la : G −→ G × G, la(x) = (a, x) ⇒ χ la = La,

sin mas que aplicar πi∗, por lo tanto

χ∗(E(a,b)) = Rb∗D1a + La∗D2b.

Corolario 1.8.8 Sean σ1(t) = gt y σ2(t) = ht subgrupos uniparametri-cos de un grupo de Lie correspondientes a campos D1, D2 ∈ DG, entoncesσ(t) = htgt es una curva diferenciable para la que

σ(0) = e, σ∗(∂t)0 = D1e +D2e.

Si ademas hsgt = gths, para t, s ∈ R, entonces σ es subgrupo unipa-rametrico y corresponde al campo D1 +D2.

Demostracion. Para γ = (σ1, σ2), σ es la composicion

R γ−→ G × G χ−→ Gt −→ (ht, gt) −→ htgt

y para E(e,e) = γ∗(∂t) se tiene πi∗(E(e,e)) = Die y se sigue del Lemaanterior que

σ∗

(∂

∂t

)0

= χ∗E(e,e) = D1e +D2e.

Lo ultimo es obvio pues σ es morfismo de grupos y D1 +D2 ∈ DG .

1.9. El funtor de Lie 37

Teorema 1.8.9 Sea G un grupo de Lie cuya algebra es abeliana, en-tonces la aplicacion exp: Te(G) → G es morfismo de grupos de Lie. Siademas G es conexo entonces la aplicacion es sobre.

Demostracion. Sean D1e, D2e ∈ Te(G),

exp(D1e) = g1, exp(D2e) = h1,

gt, ht los subgrupos uniparametricos correspondientes y D1, D2 ∈ DGlos campos invariantes que definen. Entonces como el algebra es abelianatendremos, por (1.8.6), que hsgt = gths y por el corolario anterior σ(t) =gtht es un subgrupo uniparametrico correspondiente a D1+D2, por tanto

exp(D1e +D2e) = σ(1) = g1h1 = exp(D1e) exp(D2e).

Que es sobre se sigue aplicando que es morfismo de grupos, que es difeo-morfismo local en el cero y (1.2.9).

Ejercicio 1.8.10 Demostrar que exp: Te(S1)→ S1 es

exp

(t∂

∂y

)= eit .

1.9. El funtor de Lie

Hemos visto que cada grupo de Lie G define un algebra de Lie DG ycada morfismo F de grupos de Lie define un morfismo F∗ de algebras deLie, esto permite definir un funtor entre ambas categorıas, que llamamosFuntor de Lie. Hemos visto en (1.8.4), que en general si conocemos F∗,conocemos localmente F . Ahora veremos que en ciertas condiciones loconocemos globalmente.

Definicion. Diremos que una aplicacion continua entre espacios to-pologicos F : X → Y es un revestimiento si todo y ∈ Y tiene un entornoabierto Vy tal que F−1(Vy) es homeomorfo a Vy × D con D discreto,haciendo conmutativo el diagrama

F−1(Vy) ∼ Vy ×DF π1

Vy

(recordemos que D es discreto si todo subconjunto suyo (en particular lospuntos) es abierto). Lo llamaremos revestimiento conexo si X es conexo.


Definicion. Diremos que un espacio topologico conexo Y es simplementeconexo si todo revestimiento conexo de Y es homeomorfismo.

Lema 1.9.1 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, con G2

conexo, y difeomorfismo local. Entonces F es revestimiento.

Demostracion. F es sobre por ser F (G1) subgrupo abierto y por(1.4.3) cerrado. Sea y ∈ G2, entonces F−1(y) es una subvariedad discreta,pues si x ∈ F−1(y) y consideramos sendos entornos de x e y, Ux y Vy, enlos que F es difeomorfismo, F (F−1(y)∩Ux) = y, por tanto F−1(y)∩Ux =x. Sea D = F−1(e2) y veamos que F−1(Vy) es homeomorfo a Vy ×D,haciendo conmutativo el diagrama

F−1(Vy)H−→ Vy ×D

F π1

Vy

para ello basta definir, para σ = F−1 : Vy → Ux, las funciones mutua-mente inversas G(a, d) = σ(a)d y H(z) = (F (z), (σF (z))−1z).

Teorema 1.9.2 Sean G1 y G2 grupos de Lie, con G1 simplemente conexoy sea ϕ : DG1 → DG2 , un morfismo de algebras de Lie, entonces existeun unico morfismo de grupos de Lie F : G1 → G2, tal que F∗ = ϕ.

Demostracion. La unicidad es consecuencia del corolario (1.8.5).Veamos la existencia: Consideremos el grupo de Lie producto G = G1×G2

y los morfismos inyectivos de algebras de Lie

D ∈ DG1 → D ∈ DG : π1∗D = D, π2∗D = 0,

E ∈ DG2 → E ∈ DG : π1∗E = 0, π2∗E = E,

pues se tiene que L(x,y)∗D = D, ya que

π1∗L(x,y)∗D = Lx∗π1∗D = D,

π2∗L(x,y)∗D = Ly∗π2∗D = 0,

idem para E, y podemos considerar la subalgebra h ⊂ DG de igual di-mension que DG1 , formada por los campos

h = D + ϕ(D) : D ∈ DG1,

1.10. Subgrupos cerrados 39

pues se tiene que para D1, D2 ∈ DG1

[D1 + ϕ(D1), D2 + ϕ(D2)] = [D1, D2] + [ϕ(D1), ϕ(D2)]

= [D1, D2] + ϕ([D1, D2]) ∈ h,

sin mas que ver sus componentes, es decir aplicando πi∗. Ahora se tienepor (1.6.4) que existe un unico subgrupo de Lie inmerso conexo H ⊂G, cuya algebra de Lie es h y las proyecciones πi : H ⊂ G → G1 sonmorfismos de grupos de Lie y basta considerar el morfismo F = π2 π−1

1 , para lo cual basta demostrar que π1 es isomorfismo: Observemos

que π1∗(D + ϕ(D))(x,y) = Dx y si Dx = 0, entonces D = 0 y π1∗es inyectiva, por tanto isomorfismo pues ambos espacios tienen igualdimension. Por tanto π1 es difeomorfismo local y revestimiento por elLema anterior y por ser G1 simplemente conexo es difeomorfismo globalpues es homeomorfismo. Ahora se tiene que

F∗(D) = π2∗[π−11∗ (D)] = π2∗(D + ϕ(D)) = ϕ(D).

Corolario 1.9.3 Si G1 es simplemente conexo, entonces Hom(G1,G2) =Hom(DG1 ,DG2).

Corolario 1.9.4 Dos grupos de Lie simplemente conexos, con algebrasde Lie isomorfas son isomorfos.

Por ultimo hay un resultado debido a Ado (ver Jacobson, p.199),cuya demostracion no es facil y omitimos que dice que “Toda algebra deLie es subalgebra de un Mn, para algun n”. Como consecuencia de el yde (1.6.4), se tiene el siguiente resultado que tampoco demostramos.

Teorema 1.9.5 Dada un algebra de Lie finito dimensional g, existe ungrupo de Lie G (unico simplemente conexo), con algebra de Lie DG = g.

1.10. Subgrupos cerrados

En (1.4.4) demostramos que un subgrupo de un grupo de Lie si essubvariedad es cerrado. En esta leccion veremos el recıproco.

Lema 1.10.1 Sea H un subgrupo cerrado del grupo de Lie G y

γ : (−r, r) ⊂ R→ Te(G),


una curva diferenciable tal que γ(0) = 0 y exp[γ(t)] ∈ H, para t ∈ (−r, r),entonces exp[tγ′(0)] ∈ H para todo t ∈ R.

Demostracion. Como γ′(0) = lımnγ(1/n), para cada t ∈ R, la su-cesion mn ∈ Z tal que mn ≤ nt < mn+1, verifica tγ′(0) = lımmnγ(1/n),pues

|tγ′(0)−mnγ(1/n)| ≤ |tγ′(0)− tnγ(1/n)|+ |nt−mn||γ(1/n)|,

por tanto se sigue de (1.8.3) que

exp[tγ′(0)] = lım exp[mnγ(1/n)] = lım[exp γ(1/n)]mn ∈ H,

pues exp[γ(1/n)] ∈ H y es subgrupo cerrado.

Lema 1.10.2 Sea H un subgrupo cerrado del grupo de Lie G, entonces

S = v ∈ Te(G) : exp[tv] ∈ H, para todo t ∈ R,

es un subespacio vectorial.

Demostracion. Si v ∈ S, entonces tv ∈ S obviamente. Sean v1, v2 ∈S, entonces por (1.8.3) σ1(t) = exp(tv1) = gt ∈ H y σ2(t) = exp(tv2) =ht ∈ H, son las curvas integrales pasando por e, de los campos D1, D2 ∈DG , que en el neutro definen v1 y v2 respectivamente. Consideremos lacurva σ(t) = gtht ∈ H, que por (1.8.8) verifica

σ(0) = e, σ∗

(∂

∂t

)0

= D1e +D2e = v1 + v2.

Ahora si llamamos γ(t) ∈ Te(G) a la correspondiente curva pasada por laaplicacion exponencial en el entorno donde es difeomorfismo, exp[γ(t)] =σ(t) ∈ H, por tanto γ′(0) = v1+v2 y por el lema anterior exp[t(v1+v2)] ∈H para todo t ∈ R, por tanto v1 + v2 ∈ S.

En un grupo de Lie podemos definir, para cada subespacio vectorialS de Te(G), una aplicacion diferenciable,

ϕ : Te(G) −→ G,

que tambien es difeomorfismo local en 0, del siguiente modo: Sea N ⊂Te(G) un subespacio complementario de S, es decir tal que Te(G) =S⊕N , por ejemplo consideramos una base v1, . . . , vk de S, la extendemosa una v1, . . . , vn de Te(G) y definimos N =< vk+1, . . . , vn >. Ahoradefinimos para cada v ∈ Te(G), v = vS + vN ∈ S ⊕N , la funcion

ϕ(v) = exp(vN ) · exp(vS).

1.10. Subgrupos cerrados 41

Proposicion 1.10.3 La aplicacion ϕ : Te(G) −→ G es difeomorfismolocal en el 0.

Demostracion. Consideremos el sistema de coordenadas lineales xiasociado a la base vi. Basta demostrar que ϕ∗(∂xi)0 = vi, ahora bien(∂xi)0 = σ∗(∂t)0, para σ(t) = tvi, y como ϕ[σ(t)] = exp(tvi) es por 1.8.3la curva integral del campo Di ∈ DG que en el neutro vale vi, el resultadose sigue.

Considerando entornos difeomorfos

ϕ = U0 ⊂ Te(G)→ Ue ⊂ G,

podemos definir un sistema de coordenadas ui en el abierto Ue, tal quexi = ϕ∗(ui), que tiene la siguiente interesante propiedad: Denotemos

h = D ∈ g : De ∈ S,

es decir la imagen de S por el isomorfismo canonico Te(G) → g, seanD1, . . . , Dk ∈ g, la imagen de v1, . . . , vk y consideremos la distribucioncorrespondiente

∆x =< D1x, . . . , Dkx > .

Proposicion 1.10.4 Si h es una subalgebra de g, la distribucion ∆ esinvolutiva y

∆(Ue) =<∂

∂u1, . . . ,

∂

∂uk> .

Demostracion. Basta demostrar que para x = ϕ(v) ∈ Ue e i =1, . . . , k, ∂uix ∈ ∆x. Para ello consideremos v =

∑bivi = s+n ∈ S ⊕N

—por tanto x = exp(n) · exp(s) = g · h— y la curva

σ(t) = ϕ(v + tvi) = ϕ(b1v1 + . . .+ (bi + t)vi + . . .+ bnvn)

= exp(n) · exp(s+ tvi) = g · exp(s+ tvi),

que pasa por x y tiene ∂uix = σ∗(∂t)0 como vector tangente, pues[uj σ]′(0) = δij . Ahora por (1.6.4) sabemos que la subvariedad inte-gral maxima H, que contiene al neutro e es un subgrupo de Lie inmersoconexo de G y sus cosets zH, son variedades integrales de ∆, por lo quebasta demostrar que σ∗(∂t)0 ∈ Tx[xH] = ∆x. Primero observemos que

ϕ(S) ⊂ H,


pues si v =∑ki=1 aivi ∈ S, entonces para todo t ∈ R

ϕ(tv) = exp(tv) ∈ H,

pues por (1.8.3) es la curva integral, que pasa por e, del campo D =∑ki=1 aiDi ∈ ∆ y del campoD ∈ DH, que tambien es completo y coincide

con D en H (pues v ∈ S = ∆e = Te(H)). Por tanto ϕ(v) = exp(v) ∈ H.Por tanto como s ∈ S, h = exp(s) ∈ H y por ser subgrupo,

xH = ghH = gH,

por ultimo

s+ tvi ∈ S ⇒ exp(s+ tvi) ∈ H⇒ σ(t) = g · exp(s+ tvi) ∈ gH = xH

⇒ σ∗

(∂

∂t

)0

∈ Tx[xH] = ∆x.

Por ultimo se tiene el resultado con el que empezamos la leccion.

Teorema 1.10.5 Todo subgrupo cerrado H de un grupo de Lie G, essubvariedad.

Demostracion. Veamos que dado cualquier punto g ∈ H existe unentorno coordenado (Ug;ui), tal que

H ∩ Ug = x ∈ Ug : uk+1 = · · · = un = 0.

Para ello basta demostrarlo en el neutro e, pues haciendo la traslacionLg, como Lg(H) = H, lo tendremos para g.

Consideremos el subespacio S de (1.10.2) y por (1.10.3) el difeomor-fismo ϕ : U0 ⊂ Te(G) → Ue ⊂ G. Por la definicion de S, ϕ(S) ⊂ Hy basta demostrar que existe un entorno de 0, U ⊂ U0, para el queϕ(S ∩ U) = H ∩ ϕ(U). Ahora la inclusion ϕ(S ∩ U) ⊂ H ∩ ϕ(U) setiene siempre, por tanto en caso contrario podremos encontrar una su-cesion vn ∈ U0, tal que vn → 0, gn = ϕ(vn) → e en H y vn /∈ S,pero entonces vn = xn + yn ∈ S ⊕ N , con yn ∈ N\0, yn → 0 ygn = ϕ(vn) = exp(yn) · exp(xn) ∈ H, por tanto exp(yn) ∈ H. Ahorayn/‖yn‖ esta en un compacto y tiene una subsucesion convergente (quellamamos igual) a un punto lımite y ∈ N , con ‖y‖ = 1 y llegamos a una

1.11. Grupos de Lie abelianos 43

contradiccion pues se tiene que y ∈ S ya que ty = lım tyn/‖yn‖ y parala sucesion mn ∈ Z, mn ≤ t/‖yn‖ < mn + 1, ty = lımmnyn, pues

‖ty −mnyn‖ ≤ ‖ty − tyn/‖yn‖‖+ ‖mnyn − tyn/‖yn‖‖,

y por (1.8.3), exp(ty) = lım exp(mnyn) = lım[exp(yn)]mn ∈ H.

Ejercicio 1.10.6 Demostrar que si F : G1 → G2 es un morfismo de grupos deLie con G1 compacto, entonces F (G1) es un subgrupo de Lie.

1.11. Grupos de Lie abelianos

En esta leccion vamos a clasificar los grupos de Lie abelianos. Sea Gun grupo de Lie abeliano, entonces hemos visto en (1.8.9) que la aplica-cion

exp: E = Te(G) −→ G,es un morfismo de grupos de Lie (sobre, si el grupo es conexo) y difeo-morfismo local en 0, por tanto en todo punto y se sigue como en (1.9.1)que el subgrupo cerrado

H = ker exp = exp−1(e) ⊂ E ,

es discreto (por (1.3.3) es un grupo de Lie de dimension 0).

Lema 1.11.1 Dado el difeomorfismo local y sobre

π : Rn → Tn, π(x1, . . . , xn) = (e2πix1 , . . . , e2πixn),

y un subgrupo H ⊂ Rn cerrado y discreto con Zn ⊂ H, se tiene queπ(H) es finito.

Demostracion. H es union disjunta en z = (zi) ∈ Zn de

H ∩ [z, z + 1) = H ∩ [0, 1) + z,

para [z, z+ 1) =∏ni=1[zi, zi+ 1), siendo π(H ∩ [z, z+ 1)) = π(H ∩ [0, 1)),

por tanto basta demostrar que H ∩ [0, 1) es finito. En caso contrariotendrıamos una sucesion de puntos distintos xn ∈ H en el compacto[0, 1] por tanto con un punto lımite x, que estarıa en H por ser cerrado,pero todo entorno de x tendrıa puntos xn lo cual contradice que H seadiscreto.

El siguiente resultado que a continuacion usaremos es una conocidacaracterizacion de Teorıa de Grupos y no lo demostramos.


Teorema 1.11.2 Todo grupo abeliano finito generado es de la forma

H ' Z⊕ · · · ⊕ Z⊕ Z/m1 ⊕ · · · ⊕ Z/ms.

Teorema 1.11.3 Todo subgrupo cerrado y discreto H ⊂ E es

H = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer,

con los ei ∈ H linealmente independientes en E.

Demostracion. Sea < H >=< v1, . . . , vn >, con los vi ∈ H inde-pendientes y consideremos el isomorfismo < H >→ Rn, vi → ei y lla-memos H tambien a su imagen. Entonces por ser subgrupo y los ei ∈ Htendremos que Zn ⊂ H y por el lema anterior tenemos que

π(H) = π(h1), · · · , π(hm),

por tanto para todo h ∈ H existe un hi tal que π(h) = π(hi), es decirh− hi ∈ Zn y tenemos que H es un subgrupo abeliano generado por

h1, . . . , hm, v1, . . . , vn

por tanto por el teorema anterior sera de la forma

Z⊕ · · · ⊕ Z⊕ Z/m1Z⊕ · · · ⊕ Z/msZ,

pero en este caso los terminos del tipo Z/miZ no aparecen pues suselementos corresponderıan a z ∈ H, tales que miz = 0, los cuales noexisten, por tanto es de la forma

Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer,

y falta ver que los ei ∈< H > son independientes. En caso contrariocomo generan < H > podemos tomar una base de < H > entre ellos,e1, . . . , en y el difeomorfismo local

π : Re1 ⊕ · · · ⊕ Ren = Rn → Tn,

para el que π(H) = π(h1), . . . , π(hk) es finito, pero

H = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zen ⊕ Zen+1 ⊕ · · · ⊕ Zer,

y π es inyectivo en Zen+1⊕· · ·⊕Zer, lo cual es absurdo pues este espacioes infinito, a menos que r = n.


1.11.1. Grupos de Lie abelianos conexos. Clasifica-cion

Como consecuencia de los resultados anteriores tenemos la siguienteclasificacion.

Teorema 1.11.4 Todo grupo de Lie abeliano y conexo es isomorfo a

Tk × Rn−k.

Demostracion. Por el resultado anterior,

H = ker exp = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer

con los ei independientes que extendemos a una base e1, . . . , en ∈ Te(G).Ahora considerando las coordenadas asociadas a esta base tenemos queel siguiente diagrama,

Te(G) ∼ Rr × Rn−rx → (x1, x2)

exp

y yϕG φ←− Tr × Rn−r

exp(x) (π(x1), x2)

para x1 = (a1, . . . , ar) y x2 = (ar+1, . . . , an) si x =∑aiei, define una

unica φ para la que el diagrama es conmutativo, pues

ϕ(x1, x2) = ϕ(y1, y2) ⇔ x1 − y1 ∈ Zn, x2 = y2

⇔ x− y ∈ H ⇔ exp(x) = exp(y),

que es isomorfismo de grupos y difeomorfismo pues cada flecha des-cendente es morfismo de grupos, sobre (exp por ser G conexo) y di-feomorfismo local.

1.11.2. Idem no conexos. Clasificacion

Sea G un grupo de Lie abeliano no conexo y sea Ge su componenteconexa que contiene al neutro, que por (1.2.7) es un grupo de Lie, portanto isomorfo por el resultado anterior a

Ge ' Tk × Rn−k.


Ahora bien en (1.2.7) tambien vimos que era subgrupo normal2, portanto existe el grupo cociente H = G/Ge —que son las componentesconexas— y es grupo de Lie con la topologıa discreta y la estructuradiferenciable formada por todas las funciones en todos sus subconjuntos,para el que la proyeccion natural es morfismo de grupos de Lie

(1.5) π : G → G/Ge,

pues es continua —ya que la imagen recıproca de un abierto es la unionde algunas componentes conexas, que son abiertas—, es abierta obvia-mente y diferenciable pues dada cualquier funcion f en el cociente, π∗fes constante en cada componente conexa y por tanto diferenciable ytenemos la sucesion exacta de grupos de Lie

0→ Gei−→ G π−→ G/Ge → 0,

siendo Ge = Tk × Rn−k un Z–modulo inyectivo.

Definicion. Un A–modulo M es inyectivo si dado cualquier morfismoinyectivo de A–modulos i : M ′ → M ′′ y un morfismo de A–modulosf : M ′ →M , existe otro h : M ′′ →M que hace conmutativo el diagrama(ver Navarro, p.312).

M ′i−→ M ′′

f h

M

Ahora bien si consideramos un ideal a del anillo A y un x ∈ Mla aplicacion f : a → M , f(a) = ax es morfismo de A–modulos, peroademas si M es inyectivo ası son todos, pues considerando la inclu-sion i : a → A, para cada morfismo de A–modulos f : a → M , existeun morfismo h : A → M haciendo el diagrama conmutativo, por tantof(a) = h(a) = ah(1).

Esta simple condicion necesaria es suficiente para que el modulo seainyectivo, como se comprueba en la siguiente caracterizacion.

Criterio del ideal 1.11.5 (Ver Navarro, p.312) Sea M un A–modu-lo tal que para cada morfismo de A–modulos f : a→M , existe un x ∈Mtal que f(a) = ax para todo a ∈ a, entonces M es inyectivo.

2Es decir que para todo g ∈ G, gHg−1 ⊂ H, en cuyo caso si H es normal, G/Htiene una estructura natural de grupo para la que π : G → G/H es morfismo de grupos.


Corolario 1.11.6 Ge es un Z–modulo inyectivo.

Demostracion. Ge = Tk × Rn−k es un grupo divisible, es decir quedado g′ ∈ Ge y m ∈ Z\0 existe g ∈ Ge tal que, g′ = mg. Por otraparte los grupos abelianos son modulos sobre Z (por comodidad usamosnotacion aditiva) y los ideales de Z son mZ, para cada m ∈ N. Ahoraveamos que se verifica el criterio del ideal. Sea f : mZ→ Ge un morfismode modulos y g′ = f(m), ahora como Ge es divisible existe g ∈ Ge talque g′ = mg, luego

f(zm) = zf(m) = zg′ = z(mg) = (zm)g.

Teorema 1.11.7 Todo grupo de Lie abeliano es de la forma

Tk × Rn−k ×H,

con H un grupo de Lie discreto.

Demostracion. Por el resultado anterior Ge es un Z–modulo inyec-tivo, entonces dada la identidad en Ge, existe un morfismo de grupos hque hace conmutativo el diagrama

Gei−→ G

id h

Ge

es decir que para g ∈ Ge, h(g) = g, lo cual unido a que tenemos lasucesion exacta

0→ Gei−→←G π−→ H = G/Ge → 0,

nos permite definir

σ : H → G, σ[π(g)] = g − h(g),

que es un morfismo de grupos de Lie tal que π σ = id. En primer lugaresta definida en todo punto porque π es sobre y esta bien definida puessi π(g1) = π(g2), entonces para g = g1 − g2, π(g) = e, por tanto g ∈ Gey h(g) = g, por tanto

σ[π(g1)] = g1 − h(g1) = g2 − h(g2) = σ[π(g2)].

Por otro lado es morfismo de grupos pues lleva el neutro al neutro y

σ[π(g1) + π(g2)] = g1 − h(g1) + g2 − h(g2) = σ[π(g1)] + σ[π(g2)],


por ultimo es diferenciable porque H es discreto, pero entonces h(g) =g − σ[π(g)] tambien es diferenciable. Ahora podemos establecer el iso-morfismo G ' Ge ×H

G F−→ Ge ×H G G←− Ge ×Hg −→ (h(g), π(g)) g′ + σ(a′) ←− (g′, a′)

pues F G = id y G F = id.

1.12. La accion de un grupo

Definicion. Diremos que un grupo de Lie G actua (por la izquierda),sobre una variedad diferenciable X si existe una aplicacion diferenciable

θ : G × X −→ X ,satisfaciendo las condiciones:

i) Para el neutro e ∈ G y cualquier x ∈ X

θ(e, x) = x.

ii) Para cualesquiera a, b ∈ G y x ∈ X

θ(a, θ(b, x)) = θ(ab, x).

Llamaremos G–variedad a una variedad en la que actua el grupo deLie G.

Nota 1.12.1 Por comodidad escribiremos habitualmente gx en lugar deθ(g, x) y para cada g ∈ G consideraremos los difeomorfismos

θg : x ∈ X −→ gx ∈ X ,

en cuyos terminos las condiciones de la definicion se expresan de la forma

ex = x, g(hx) = (gh)x; θe = id, θg θh = θgh.

Para cada x ∈ X tambien consideraremos las aplicaciones diferenciables

θx : g ∈ G −→ gx ∈ X ,

Del modo obvio se define una accion por la derecha.

1.12. La accion de un grupo 49

Definicion. Diremos que una aplicacion φ : X → Y, entre G–variedadeses G–diferenciable si es diferenciable y conmuta el diagrama

G × X θ1−→ X(id,φ)

y yφG × Y θ2−→ Y

(g, x) −→ gxy y(g, φ(x)) −→ gφ(x) = φ(gx)

y diremos que es un G–difeomorfismo si ademas es difeomorfismo.

Definicion. Diremos que la accion es fiel o efectiva si es inyectiva laaplicacion

g ∈ G −→ θg ∈ Diff(X ),

donde denotamos con Diff(X ) el grupo de los difeomorfismos de X ensı mismo, con la composicion. En cuyo caso se tiene que

gx = x, ∀x ∈ X ⇔ g = e,

y podemos considerar que G es un subgrupo de Diff(X ).

Ejemplo 1.12.2 El producto en un grupo de Lie

χ : G × G −→ G, χ(g, h) = gh,

es una accion.

Ejemplo 1.12.3 Para F : G1 → G2 morfismo de grupos de Lie,

θ : G1 × G2 −→ G2, θ(x, y) = F (x)y,

es una accion.

Ejemplo 1.12.4 Sea H un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G, en-tonces la restriccion de una accion

θ : G × X −→ X ,

a H×X , es una accion.

Ejemplo 1.12.5 La accion natural de G = Gln(R) en Rn

θ : Gln(R)× Rn −→ Rn, θ(A, x) = Ax.


Ejemplo 1.12.6 Consideremos el grupo de Lie G = Mov(Rn) de losmovimientos rıgidos en Rn, es decir de las transformaciones de la forma

T : Rn −→ Rn, T (x) = Ax+ a

para A ∈ On y a ∈ Rn, con la composicion. Observemos que comovariedad diferenciable es On×Rn, sin embargo como grupo no es el grupoproducto, pues la operacion de composicion en terminos del producto es

(A, a)(B, b) = (AB,Ab+ a).

La aplicacion

θ : G × Rn −→ Rn, θ(T, x) = T (x),

que en terminos matriciales es

θ : G × Rn −→ Rn, θ((A, a), x) = Ax+ a,

es una accion.

Ejemplo 1.12.7 Consideremos la variedad diferenciable R(Rn), de lasreferencias de Rn, formada por todas las bases v1, . . . , vn de Rn, quepodemos identificar, fijando una base como por ejemplo la e1, . . . , en,con Gln(R) (mediante esta identificacion consideramos su estructura di-ferenciable).

Definimos la accion natural de G = Gln(R) en R(Rn)

θ : G ×R(Rn) −→ R(Rn), θ(A, v1, . . . , vn) = Av1, . . . ,Avn,que en terminos de la identificacion es

θ : G × G −→ G, θ(A,B) = AB.

Ejemplo 1.12.8 En Mn(R) tenemos la accion natural

θ : Gln(R)×Mn(R) −→Mn(R), θ(P,A) = PAP−1.

Ejemplo 1.12.9 La conjugacion en un grupo de Lie

θ : G × G −→ G, θ(g, h) = ghg−1

es una accion, para la que θg = Lg Rg−1 : G → G es isomorfismo degrupos de Lie, por tanto θg∗ : DG → DG es isomorfismo de algebras deLie y

β : G × DG → DG , β(g,D) = θg∗D,

es una accion (veremos que es diferenciable en (1.12.11)), para la que siD ∈ DG tiene subgrupo uniparametrico gt, βgD tiene ggtg

−1.


Ejercicio 1.12.10 Demostrar que en el ejemplo (1.12.9), para G = Gln(R)se tiene que β es la accion del ejemplo (1.12.8), donde consideramos el iso-morfismo Mn(R) ∼ DG visto en el ejercicio (1.5.14).

Definicion. Llamamos representacion adjunta de un grupo de Lie almorfismo de grupos de Lie (en terminos del ejemplo anterior)

Ad: G → Aut(DG), g → θg∗,

el cual define un morfismo de algebras de Lie (ver (1.5.15))

ad = Ad∗ : DG → DAut(DG) ≡ End(DG).

Teorema 1.12.11 Las aplicaciones β y Ad son diferenciables.

Demostracion. Basta demostrar que Ad es diferenciable pues β esla composicion

G × DG(Ad,id)−−→Aut(DG)×DG → DG ,

donde la ultima es el producto.Considerando un sistema de coordenadas (xi) del grupo en el neutro

y la base de DG definida por los campos invariantes Di que en el neutrodefinen las parciales, tendremos que

Ad(x)(Di) = θx∗(Di) =∑

fij(x)Dj ,

y basta demostrar que las fij son diferenciables. Ahora si consideramoslos campos Di ∈ D(G × G), tales que π1∗(Di) = 0 y π2∗(Di) = Di,y la aplicacion ϕ(y) = (x, y), tendremos: que ϕ∗(Die) = Di(x,e), puessatisface las propiedades anteriores; que θx = θ ϕ y que

fij(x) = θx∗(Die)xj = θ∗(ϕ∗Die)xj = Di(xj θ)(x, e).

Teorema 1.12.12 Para cada D ∈ DG, ad(D)(E) = DLE.

Demostracion. Sea E ∈ DG , entonces como ad(D)(E), DLE ∈ DGbasta demostrar que coinciden en el neutro. Ahora tenemos el diagramaconmutativo visto en (1.8.4)

DGad−−→ DG′ = End(DG)

exp

y yexp

G Ad−−→ G′ = Aut(DG)


y para ad(D) ≡ A, ad(tD) ≡ tA y como A = (exp(tA))′(0), tendremosque ad(D) = (exp(ad(tD))′(0); y por otro lado si gt = exp(tD) es elsubgrupo uniparametrico de D, Rgt es su grupo uniparametrico y comoθgt = Rg−t

Lgt , para θ(x, y) = xyx−1 se sigue que

(DLE)e =d

dt(Rg−t∗Egt)|t=0 =

d

dt(Rg−t∗(LgtEe))|t=0

=d

dt(θgt∗Ee)|t=0 =

d

dt((Ad(gt)E)e)|t=0

=d

dt((Ad(exp(tD))E)e)|t=0 =

d

dt(exp(ad(tD)E)e)|t=0

= (ad(D)E)e.

Definicion. Sea G un grupo que actua sobre una variedad diferenciableX . Llamaremos orbita de un punto x ∈ X , al subconjunto de X

θx(G) = Gx = gx : g ∈ G,

en general para A ⊂ X denotaremos GA = gx : g ∈ G, x ∈ A.Diremos que un punto es fijo por la accion si Gx = x y diremos que

la accion es transitiva si para algun x ∈ X , Gx = X , es decir θx essobre, en cuyo caso se demuestra facilmente que la igualdad es ciertapara cualquier x ∈ X . Diremos que es simplemente transitiva si dadosx, y ∈ X existe un unico g ∈ G tal que y = gx, es decir todas las θx sonbiyectivas.

Ejemplo 1.12.13 La accion natural deGln(R) en Rn del ejemplo (1.12.5),tiene al origen fijo y es transitiva en Rn\0, por lo tanto sus orbitasson triviales, 0 y Rn\0, sin embargo no lo son si consideramos larestriccion (ver el ejemplo 6), de esta accion para distintos subgrupos deGln(R). Por ejemplo si consideramos el subgrupo On, las orbitas son lasesferas centradas en el origen, pues

‖Ax‖2 = xtAtAx = xtx = ‖x‖2.

Ejemplo 1.12.14 La accion definida en el ejemplo (1.12.7) es simple-mente transitiva.

Proposicion 1.12.15 Para cada x ∈ X las aplicaciones diferenciablesθx : G → X son de rango constante y son proyecciones regulares si laaccion es transitiva.


Demostracion. Para ver que son de rango constante basta conside-rar el diagrama conmutativo

G θx−→ XLg

y yθgG θx−→ X

ahora bien si la accion es transitiva, cada θx es sobre y por (1.1.6) pro-yeccion regular.

Definicion. Sea G un grupo que actua sobre una variedad diferenciableX . Llamaremos grupo de isotropıa de un punto x ∈ X , a los elementosdel grupo que lo dejan invariante

Ix = g ∈ G : gx = x = θ−1x x.

Diremos que G actua libremente en X si el neutro es el unico elementoque deja fijo un punto, es decir que dados g ∈ G y x ∈ X ,

gx = x ⇒ g = e.

Teorema 1.12.16 Cada orbita de una accion de un grupo de Lie com-pacto es subvariedad y compacta.

Demostracion. Sea O una orbita y x ∈ O, entonces O = θx(G) ycomo θx es de rango constante por (1.12.15), existe por (1.1.6) un abiertoUe ⊂ G entorno del neutro, tal que θx(Ue) es una subvariedad de X .Veamos que hay un entorno abierto V de x tal que θx(G) ∩ V = θx(Ue).Por un lado V c = C = θx((UeIx)c) es cerrado pues es compacto, yaque (UeIx)c es un cerrado del grupo que es compacto. Por otro ladoes disjunto de θx(Ue), pues si existen g ∈ Ue y h ∈ (UeIx)c, tales quegx = hx, entonces g−1h ∈ Ix y h ∈ UeIx, y por otro lado θx(G) esla union disjunta de θx(Ue) y C, pues dado y = gx ∈ θx(G), tal quey /∈ θx(Ue), para todo h ∈ Ue, gx 6= hx, por tanto h−1g /∈ Ix, es decirg /∈ hIx y g ∈ (UeIx)c. Por tanto θx(G) ∩ V = θx(Ue).

Ejemplo 1.12.17 Tn es obviamente un grupo de Lie compacto y Ontambien pues es el cerrado

∑zijzkj = δik y acotado ya que por las

ecuaciones anteriores, |zik| ≤∑z2ij = 1.


Proposicion 1.12.18 Sea G un grupo que actua sobre una variedad di-ferenciable X , entonces para cada x ∈ X , Ix es un subgrupo cerrado,por tanto de Lie. Si ademas la accion es transitiva, para cualesquierax, y ∈ X , Ix e Iy son subgrupos conjugados.

1.12.1. Grupos de Lie clasicos conexos

El siguiente resultado es de gran utilidad en el estudio de los gruposde Lie conexos.

Proposicion 1.12.19 Sea θ : G ×X → X una accion transitiva, con Xconexo, entonces:

1) θ : Ge ×X → X tambien es una accion transitiva.2) Para todo x son isomorfos los grupos G/Ge ' Ix/Ix ∩ Ge.3) Si algun Ix es conexo entonces G es conexo.

Demostracion. (1) Por (1.12.15), cada θx : G → X es una proyeccionregular, por tanto abierta y para Gi las componentes conexas de G, queson abiertas, tendremos que θx(Gi) son abiertos que coinciden con θx(Ge)o son disjuntos con el, pues si existen g ∈ Gi y h ∈ Ge, tales que gx = hx,entonces como Rg(Ge) = Gi, tendremos que

θx(Gi) = θx(Geg) = θx(Geh) = θx(Ge),

y como

X = θx(∪iGi) = ∪iθx(Gi),

por conexion tendremos que X = θx(Ge).(2) Consideremos el morfismo de grupos de Lie F composicion de

(ver (1.5), pag.46)

Ix → Gπ−→ G/Ge,

el cual es sobre pues dado g ∈ G, existe h ∈ Ix tal que h ∈ gGe, yesto se sigue de (1) pues existe ge ∈ Ge tal que gex = gx, por tantoh = g−1

e g ∈ Ix y h ∈ Geg = gGe, pues Ge es normal. Ahora se tiene que

Ix/Ix ∩ Ge = Ix/ kerF ' Im(F ) = G/Ge.

(3) Como Ge es abierto y cerrado en G, Ix ∩ Ge es abierto y cerradoen Ix que es conexo por tanto coinciden y por (2) Ge = G.

1.13. El espacio topologico de orbitas 55

Corolario 1.12.20 Son conexos los grupos de Lie

Gl+n = A ∈Mn(R) : det A > 0,Sln = A ∈ Gln(R) : det A = 1,

SOn = A ∈ On : det A = 1.

Demostracion. Veamoslo por induccion: Para n = 1, Gl+1 = R+,y Sl1 = SO1 = 1 son obviamente conexos, supongamoslo para n − 1y veamoslo para n, para ello consideramos la accion transitiva (para losdos primeros grupos)

G × Rn\0 → Rn\0(A, x) Ax

y el punto x = en = (0, . . . , 0, 1), ahora para G = Sln

Ix = A = (aij) : det A = 1,Aen = en =

= (

An−1 0a 1

): det An−1 = 1, a ∈ Rn−1

' Rn−1 × Sln−1 .

es conexo por induccion, se sigue del resultado anterior que lo es Sln.Similarmente para G = Gl+n

Para SOn consideramos la accion transitiva

SOn×Sn−1 → Sn−1

(A, x) Ax

y basta observar que Ix ' SOn−1.

1.13. El espacio topologico de orbitas

1.13.1. Conjunto cociente

Sea ∼ una relacion de equivalencia en un conjunto X y

R = (x, y) ∈ X × X : x ∼ y.

Definicion. Lamamos conjunto cociente de X por R a un conjunto Y,con una aplicacion

π : X → Y,


tal que para cada conjunto T y Hom(Y, T ) el conjunto de las aplicacionesφ : Y → T , se tenga la biyeccion

Hom(Y, T ) −−→

ψ : X → T

x ∼ x′ ⇒ ψ(x) = ψ(x′)

φ → φ π

Es facil demostrar que si existe tal conjunto verificando esa propiedaduniversal:

1.- π es constante en las clases de equivalencia, pues basta considerarla identidad en Y, a la que le corresponde una unica ψ que es π.

2.- La aplicacion π es sobre, pues si Imπ 6= Y, considerando T = Ytenemos dos aplicaciones, la identidad y φ que sea la identidad en Imπy constante en el complementario que corresponden a la misma ψ = π.

3.- Es unico salvo biyecciones (obvio por las propiedades anteriores).

Tambien es facil demostrar que existe, pues el conjunto X/R = [x] :x ∈ X de las clases de equivalencia con π(x) = [x] satisfacen la propie-dad y se tiene que

R = (x, y) ∈ X × X : π(x) = π(y).

1.13.2. Espacio topologico cociente.

Sea ahora ∼ una relacion de equivalencia en un espacio topologico Xy

R = (x, y) ∈ X × X : x ∼ y.

Definicion. Llamamos espacio topologico cociente, a un espacio to-pologico Y, con una aplicacion continua π : X → Y, tal que para ca-da espacio topologico T y Hom(Y, T ) el conjunto de las aplicacionescontinuas φ : Y → T , se tenga la biyeccion

Hom(Y, T ) −−→

ψ : X → T , continua

x ∼ x′ ⇒ ψ(x) = ψ(x′)

φ → φ π

Ejercicio 1.13.1 Demostrar que si existe tal espacio topologico Y, π es sobre,constante en las clases de equivalencia e Y es unico salvo homeomorfismos.


Definicion. Sea X un espacio topologico y ∼ una relacion de equivalen-cia. Consideramos en el conjunto cociente X/R, la topologıa cociente, esdecir aquella para la cual A ⊂ X/R es abierto si π−1(A) es un abiertode X .

Ejercicio 1.13.2 Demostrar que el conjunto cociente con la topologıa cocientesatisface la propiedad universal y R = (x, y) ∈ X × X : π(x) = π(y).

Lema 1.13.3 Si X/R es Hausdorff con la topologıa cociente entonces Res un cerrado del espacio producto X ×X . Si la proyeccion π : X → X/Res abierta, entonces tambien se tiene el recıproco.

Demostracion. Sea Φ = π × π, entonces

X/R Hausdorff ⇔ ∆ = ([x], [x]) ∈ X/R×X/R es cerrado

⇒ Φ−1(∆) = R es cerrado,

y si π es abierta tambien lo es Φ = π × π que ademas es continua ysobre por tanto por (1.1.13) ∆ es cerrado (y X/R es Hausdorff), puesR = Φ−1(∆) es cerrado.

1.13.3. Cociente de una G–variedad por el grupo GSi G es un grupo de Lie que actua sobre una variedad diferenciable

Xθ : G × X −→ X ,

podemos definir la relacion de equivalencia en X

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : x = gy ⇔ Gx = Gy.

Definicion. El conjunto cociente X/R, que denotaremos X/G, es elconjunto de las orbitas y dotado de la topologıa cociente lo llamaremosespacio de orbitas de la accion.

Proposicion 1.13.4 Si θ : G × X → X es una accion conjuntista talque cada θg es continua, entonces es abierta la proyeccion

π : x ∈ X −→ [x] ∈ X/G.


Demostracion. Si cada θg es continua, automaticamente es homeo-morfismo y para cada abierto U de X , π(U) es abierto pues

π−1[π(U)] =⋃x∈UGx = gx ∈ X : g ∈ G, x ∈ U =

⋃g∈G

θg(U).

Sin embargo este espacio topologico en general no es Hausdorff (encaso de que lo fuera las orbitas serıan cerrados pues π−1([x]) = Gx).

Nota 1.13.5 Idem si lo que tenemos es una accion por la derecha

θ : X × G −→ X ,

en cuyo caso definimos la relacion de equivalencia en X

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : x = yg ⇔ x ∈ yG,

y el conjunto cociente X/G correspondiente es el conjunto de las orbitas[x] = xG.

1.13.4. Cociente de un grupo por un subgrupo

Consideremos ahora el caso particular de tener la accion trivial pura-mente conjuntista (por la derecha) en un grupo de Lie G de un subgrupoabstracto H ⊂ G,

θ : G ×H −→ G, θ(g, h) = gh

en tal caso consideramos el espacio de orbitas correspondiente

G/H = xH : x ∈ G,

para el que se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 1.13.6 La proyeccion π : G → G/H es abierta y son equi-valentes las afirmaciones:

1) G/H es Hausdorff.2) Los puntos de G/H son cerrados.3) H es cerrado.4) H es subgrupo de Lie.


Demostracion. De (1.13.4), se sigue que π es abierta pues θh = Rh.(1)⇒(2)⇒(3) Si G/H es Hausdorff, sus puntos son cerrados, por tanto

tambien lo es H = π−1([e]).(3)⇒(4) lo vimos en (1.10.5) y (4)⇒(3) en (1.4.4).Por ultimo (3)⇐(1) se sigue del lema (1.13.3), pues π es abierta y R

cerrado ya que para

F : (x, y) ∈ G × G −→ y−1x ∈ G,

si H es cerrado tambien lo es

R = (x, y) ∈ G × G : xH = yH = F−1(H).

Nota 1.13.7 Ademas tambien se tiene que la aplicacion

λ : G × G/H −→ G/H, λ(x, yH) = xyH,

es una accion continua por (1.1.13), ya que π es continua, abierta y sobrey es conmutativo el diagrama

G × G −→ Gy yG × G/H λ−−→ G/H

(x, y) −→ xyy y(x, yH) −→ xyH

que verificaπ Lx = λx π,

y λ es transitiva pues para cualesquiera x, y ∈ G

λxy−1(yH) = xH.

Pero en (1.15.5) demostraremos algo mas, veremos que G/H tieneuna estructura natural de variedad diferenciable, (unica por satisfacerla propiedad universal), respecto de la que π y λ son diferenciables yque ademas es el modelo universal de las variedades sobre las que actuatransitivamente un grupo de Lie, variedades que reciben el nombre deespacios homogeneos.

Por ultimo tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 1.13.8 Sea θ : G × X → X una accion transitiva conjun-tista y x ∈ X , entonces hay una unica aplicacion G

G π−−→ G/Ixθx φ

X


que hace conmutativo el diagrama. Ademas φ es biyectiva, continua siθx lo es y homeomorfismo si la accion es diferenciable.

Demostracion. La existencia y unicidad de φ se sigue de la propie-dad universal del conjunto cociente pues

g ∼ g′ ⇒ g ∈ g′Ix ⇒ θx(g) = θx(g′),

ademas φ es inyectiva y es sobre por ser la accion transitiva. Es continuapor la propiedad universal del espacio topologico cociente y porque θxlo es; y es abierta, pues si A ⊂ G/Ix es abierto, tambien lo es

φ(A) = φ[π(π−1(A))] = θx(π−1(A)),

por ser θx abierta, ya que por (1.12.15) es proyeccion regular.

1.14. Variedad cociente categorial

Sea ∼ una relacion de equivalencia en la variedad X y R = (x, y) ∈X × X : x ∼ y. Un caso particular de relacion de equivalencia queconsideraremos es el definido por un grupo de Lie G que actua por laizquierda en una variedad diferenciable X

θ : G × X −→ X ,

en cuyo caso consideraremos la relacion

R = (x, y) ∈ X × X : x ∈ Gy,

(si la accion es por la derecha consideraremos R = (x, y) : x ∈ yG).

Definicion. Llamaremos cociente categorial de X por R a cualquiervariedad diferenciable Y con una aplicacion diferenciable

π : X → Y,

tal que para cada variedad diferenciable T y Hom(Y, T ) el conjunto delas aplicaciones diferenciables φ : Y → T , se tenga la biyeccion

Hom(Y, T ) −−→

ψ : X →T , diferenciable

x ∼ x′ ⇒ ψ(x) = ψ(x′)

φ → φ π

1.14. Variedad cociente categorial 61

Ejercicio 1.14.1 Demostrar que si existe tal variedad es unica salvo difeo-morfismos, que π es sobre y constante en las clases de equivalencia.

Pero el cociente categorial no siempre existe y hay casos en los queexiste y no es el espacio topologico cociente.

Ejemplo 1.14.2 Consideremos en S1 ⊂ R2 la siguiente relacion de equi-valencia (x, y) ∼ (x′, y′) si x = x′, en este caso no existe la variedadcociente, pues si existiese se verificarıa que

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇔ π(x, y) = π(x′, y′),

pues considerando la aplicacion diferenciable y constante en las clases deequivalencia

π1 : S1 → R, π1(x, y) = x,

existe una unica φ diferenciable que hace conmutativo el diagrama

S1π−−→ Y

π1 φ

R

y se tiene que

π(x, y) = π(x′, y′) ⇒ φ(π(x, y)) = φ(π(x′, y′))

⇒ x = x′ ⇔ (x, y) ∼ (x′, y′)

⇒ π(x, y) = π(x′, y′),

ademas como π es sobre se sigue de estas implicaciones que φ es inyectivay como tambien es continua, Y es Hausdorff, por otra parte como π essobre, continua y S1 compacto, Y es compacto. Ahora si consideramosel espacio topologico cociente S1/R = [−1, 1] y la aplicacion continua π,existe una unica aplicacion continua φ que hace el diagrama conmutativo

S1π−−→ [−1, 1]

π φ

Y

y es sobre e inyectiva y como lleva compactos en compactos es cerrada(pues los cerrados en un compacto son compactos y los compactos en unHausdorff son cerrados) y por tanto es abierta, por tanto homeomorfismo,


pero el espacio topologico [−1, 1] no admite estructura diferenciable, puessi la tuviera serıa de dimension 1, pues (−1, 1) es entorno del 0 difeomorfoa R —pues de ser difeomorfo a otro Rn en particular serıa homeomorfo yno lo es porque al quitarle un punto siempre desconecta y Rn no—; peroel 1 no tiene ningun entorno difeomorfo a R, pues si a un entorno de R lequitamos un punto quedan dos componentes conexas, sin embargo a unentorno del 1 en [−1, 1] le quitamos el 1 y queda una unica componenteconexa.

Ejemplo 1.14.3 Consideremos en R2 la siguiente relacion de equivalen-cia x ∼ x′ si existe t 6= 0 tal que x = tx′. El espacio topologico cocientees P1∪0 siendo el 0 el unico punto cerrado, pues π−10 = 0, quees cerrado, pero π−1(< u >) = tu : t 6= 0 que no es cerrado, por tantono puede ser la variedad cociente de existir, pues en las variedades lospuntos son cerrados. Pero la variedad cociente existe y es un punto p,pues toda aplicacion diferenciable ψ : R2 → T , constante en las clases deequivalencia es constante, ya que para todo x, ψ(x) es cerrado y portanto ψ−1[ψ(x)], que contiene a tx : t 6= 0, por tanto a su adherenciaque es toda la recta, por tanto contiene al 0 y ψ(x) = ψ(0).

Estos ejemplos nos inducen a afinar la definicion.

1.15. Variedad cociente geometrico

Definicion. Llamaremos cociente geometrico de X por R a cualquiervariedad diferenciable Y con una proyeccion regular sobre,

π : X → Y,

cuyas fibras sean las clases de equivalencia de R (en particular son subva-riedades cerradas de X ).

En el siguiente resultado demostramos que el cociente geometricotambien es unico de existir, pues coincide con el categorial.

Teorema 1.15.1 Si π : X → Y es el cociente geometrico de X por Rentonces:

1. Es la variedad cociente categorial.2. Es el espacio topologico cociente X/R.3. El anillo de funciones de cada abierto U ⊂ Y es

C∞(U) = f ∈ C(U) : f π ∈ C∞[π−1(U)].

1.15. Variedad cociente geometrico 63

4. X/R es Hausdorff si y solo si R es cerrado.

Demostracion. Sea ψ : X → T , constante en las clases de equiva-lencia de R, entonces existe una unica φ : Y → T , tal que ψ = φ π,pues π es sobre y sus fibras son las clases de equivalencia. Se sigue quecomo conjunto es el conjunto cociente. Ahora de (1.1.13) se sigue quesi ψ es continua φ es continua, por tanto como espacio topologico es elcociente topologico y si ψ es diferenciable φ es diferenciable, por tantocomo variedad es el cociente categorial.

(3) Se sigue de (1.1.14) y (4) de (1.13.3), pues π es abierta.

Definicion. Sean X , Y y Z espacios topologicos y π : X → Y y φ : Z →Y continuas. Llamamos producto fibrado de X y Z sobre Y, al subespaciotopologico

X ×Y Z = (x, z) ∈ X × Z : π(x) = φ(z),

el cual tiene la propiedad universal

HomY(T ,X ×Y Z) = HomY(T ,X )×HomY(T ,Z).

Lema 1.15.2 Si π : X → Y es una proyeccion regular, entonces paratoda aplicacion diferenciable φ : Z → Y, X ×Y Z es una subvariedad deX × Z y π2 : X ×Y Z → Z es proyeccion regular.

Demostracion. Sea (x, z) un punto del producto fibrado, sea y =π(x) = φ(z) y consideremos entornos coordenados Vx de x, con coor-denadas (x1, . . . , xn) y Vy de y, con coordenadas (y1, . . . , ym), tales quepara i = 1, . . . ,m, xi = π∗(yi). Consideremos un entorno coordena-do de z, Vz, con coordenadas (z1, . . . , zk), tal que φ(Vz) ⊂ Vy y en elyi φ = φi(z1, . . . , zk), entonces

X ×Y Z ∩ (Vx × Vz) = (x′, z′) : xi = φi(z1, . . . , zk).

Ademas π2 es proyeccion regular pues admite secciones locales, pues siσ : Uy → X lo es de π y σ(y) = x,

σ′ = (σ φ)× Id : φ−1(Uy)→ X ×Y Z,

lo es de π2 y σ′(z) = (x, z).


Veamos ahora una caracterizacion de la existencia del cociente.

Teorema de Godement 1.15.3 Existe cociente geometrico de X porR sii R es subvariedad de X × X y π2 : R ⊂ X × X → X es proyeccionregular (y por tanto3 π1).

Demostracion. “⇒”Si π : X → X/R es proyeccion regular, entoncespor (1.15.2)

R = (x, z) : π(x) = π(z) = X ×X/R X ,

es subvariedad de X×X y ambas proyecciones πi : R→ X son proyeccionregular.

“⇐”De existir el cociente geometrico se sigue de (1.15.1) que es elespacio topologico cociente X/R con la estructura diferenciable en cadaabierto U ⊂ X/R

C∞(U) = f ∈ C(U) : f π ∈ C∞[π−1(U)].

Basta entonces ver que realmente es variedad diferenciable y que la pro-yeccion π es regular.

(1) π es abierta, pues si U ⊂ X es abierto, entonces tambien lo esπ(U), pues

π−1[π(U)] = x : ∃y ∈ U, π(x) = π(y)= x : ∃y ∈ U, (x, y) ∈ R= x : ∃r ∈ R, π1(r) = x, π2(r) ∈ U= π1[π−1

2 (U)],

y π1 es abierta pues es proyeccion regular.Ahora observemos que si existe el cociente geometrico, entonces para

cada abierto saturado V ⊂ X, es decir formado por clases de equivalenciay por tanto tal que V = π−1[π(V )], se tiene que V/R es un abierto deX/R y si en el consideramos la estructura diferenciable heredada, esdecir

C∞(U) = f ∈ C(U) : f π ∈ C∞[π−1(U)],

para cada abierto U de V/R, entonces π : V → V/R es el cocientegeometrico de V por R.

3Pues basta considerar el difeomorfismo φ : X ×X → X ×X , φ(x, y) = (y, x), parael que φ(R) = R y π1 = π2 φ.


Basta entonces demostrar que para cada x0 ∈ X hay un abiertosaturado V , con x0 ∈ V tal que con los anillos C∞(U), V/R es variedaddiferenciable y π : V → V/R proyeccion regular, pues con tales V/Rrecubrimos X/R.

(2) Veamoslo primero sin exigir que V sea saturado:En primer lugar se sigue de (1.1.14) que cada clase de equivalencia

x0 = π−1[π(x0)] es una subvariedad de X , pues

x0 × x0 = π−12 (x0),

es una subvariedad de R, ya que π2 es una proyeccion regular, que lo esde ⊂ X × X y que esta en X × x0, por tanto es subvariedad suya.

Consideremos ahora una subvariedad W transversal a x0 en x0, portanto

Tx0(X ) = Tx0(x0)⊕ Tx0(W ),

y consideremos por π2 : R→ X ,

RW = π−12 (W ) = R ∩ (X ×W ) ⊃ x0 × x0,

que por (1.1.14) es una subvariedad de R, que a su vez es subvariedadde X ×X , por tanto RW es subvariedad de X ×X y de X ×W . Ademasπ2 : RW →W es proyeccion regular pues la composicion

W −→ RWπ2−→W, x→ (x, x)→ x.

es la identidad, por tanto la fibra de x0, x0×x0, es subvariedad y por(1.1.6) se tiene que

dimT(x0,x0)(RW ) = dimT(x0,x0)(x0 × x0) + dimTx0(W )

= dimTx0(x0) + dimTx0

(W ) = dimTx0(X ),

lo cual implica que π1 : RW → X es difeomorfismo local en (x0, x0), puestienen igual dimension y π1∗ es sobre pues en su imagen esta Tx0

(W ),ya que la composicion

W∆−→ RW

π1−→ X , x→ (x, x)→ x,

es la identidad y tambien esta Tx0(x0) pues la composicion

x0Id×x0−−−−−→ RW

π1−→ X , x→ (x, x0)→ x,


tambien es la identidad, por tanto esta su suma directa y π1∗ es sobrey ası π1 : RW → X es difeomorfismo local en (x0, x0). Ahora se sigueque existe un entorno abierto de (x0, x0) en RW = R ∩ (X ×W ), quepodemos tomar de la forma R∩ (U ×W0), con W0 entorno de x0 en W ,difeomorfo por π1 a un entorno abierto V de x0 en X . De esta formapodemos considerar

R ∩ (U ×W0)π1−→ V

π2 τW0

siendo τ : V →W0 la segunda componente de su inversa, es decir τ(x) =y, donde y es el unico punto de W0 equivalente a x. Ahora cambiamosW0 por W ′ = W0 ∩ V y V por V ′ = τ−1(W ′), de tal modo que

π1 : R ∩ (V ′ ×W ′) −→ V ′,

es difeomorfismo y la segunda componente de su inversa

τ : V ′ −→W ′, x→ τ(x) = y,

donde y es el unico punto de W ′ equivalente a x, es una proyeccionregular, pues τ π1 = π2, y si cambiamos W ′ por su abierto τ(V ′)(que seguimos llamando W ′), tendremos que τ : V ′ → W ′ es proyeccionregular sobre; y como ademas las fibras de τ son las clases de equivalenciade la relacion R = R ∩ (V ′ × V ′), inducida por R en V ′, tendremos queτ : V ′ →W ′ es el cociente geometrico de V ′ por la relacion que R induceen V ′.

(3) Veamoslo ahora con V saturado: Consideremos el abierto V ′ en-contrado en (2) y sea

π : V = π−1[π(V ′)] −→ π(V ) = V/R,

considerando la estructura diferenciable en V/R dada por la biyeccion

V/R ∼W ′, [x]→ τ(x),

ahora π : V → V/R es proyeccion regular pues se tiene el diagramaconmutativo

π−12 (V ′) ⊂ R π1−−→ π−1[π(V ′)] = V

π2

y yπV ′

τ−−→ W ′ = V/R.


En el caso particular de que la relacion de equivalencia este definidapor la accion de un grupo, podemos quitar la hipotesis de que π2 seaproyeccion regular en R y decir algo mas.

Corolario 1.15.4 Sea θ : G × X → X una accion en una variedad X yR = (x, y) : Gx = Gy. Entonces existe el cociente geometrico X/G =X/R sii R es una subvariedad de X×X . Ademas en tal caso la aplicacion

Φ: G × X → R, Φ(g, x) = (gx, x),

es proyeccion regular.

Demostracion. Si R es subvariedad Φ es diferenciable por (1.1.10),pag.6, y π2 : R→ X es proyeccion regular, pues lo es la composicion

G × X Φ−→ Rπ2−→ X , (g, y)→ (gy, y)→ y,

por tanto por el teorema anterior existe el cociente geometrico. Ademas:cada orbita Gx = π−1[π(x)] es una subvariedad de X por ser π : X →X/G proyeccion regular; θx : G → Gx es proyeccion regular por (1.12.15);y por ser π2 : R→ X proyeccion regular, cada fibra Gx× x = π−1

2 xes, por (1.1.6), pag.4, subvariedad de R de dimension dimR − dimX =dim kerπ2∗, para la que

π2∗Dr = 0 ⇔ Dr ∈ Tr(Gx× x),

pues Tr(Gx× x) ⊂ kerπ2∗ y tienen igual dimension.

Ahora Φ es sobre y para ver que es proyeccion regular consideremosun punto p = (g, x) ∈ G × X , r = Φ(p) y el diagrama conmutativo

G × x (θx,id)−−→ Gx× xy yG × X Φ−−→ R

π2−→ X

(h, x) −→ (hx, x)y y(h, x) −→ (hx, x) −→ x

y se sigue de la equivalencia anterior y este diagrama que dado Dr ∈Tr(R), con π2∗Dr = 0, existe Tp, con Φ∗Tp = Dr; y en general se siguepara un D′r —considerando que existe T ′p tal que ϕ∗T

′p = π2∗D

′r, por

ser ϕ = π2 Φ proyeccion regular—, pues Dr = D′r − Φ∗T′p esta en las

hipotesis anteriores y D′r = Φ∗(Tp + T ′p).


Corolario 1.15.5 Si H es un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G,entonces existe el cociente geometrico G/H y es Hausdorff, de la accionnatural por la derecha de H en G y

λ : G × G/H −→ G/H, λ(x, yH) = (xy)H,

es una accion diferenciable y π es morfismo de G–variedades. Si ademasH es normal en G, entonces G/H es grupo de Lie.

Demostracion. Observemos que R = (x, y) ∈ G × G : y ∈ xH esla imagen de la subvariedad G ×H, por el difeomorfismo

G × G −→ G × G, (a, b)→ (a, ab),

por tanto es subvariedad y por el corolario anterior existe el cociente y esHausdorff por (1.13.6). Que λ es diferenciable se sigue del diagrama de(1.13.7) y ser π : G → G/H proyeccion regular, ademas π(gh) = gπ(h).Por ultimo se demuestra facilmente que las operaciones del grupo co-ciente son diferenciables.

Corolario 1.15.6 Sea θ : G × X → X una accion en una variedad X ,entonces para todo x ∈ X existe el cociente geometrico G/Ix, es Haus-dorff y la orbita Gx es subvariedad inmersa. Ademas en cualquiera delos siguientes casos:

1) Si existe el cociente geometrico X/G.2) Si G es un grupo compacto.3) Si G/Ix es compacto.4) Si Gx, con la topologıa heredada, es una subvariedad topologica.

se tiene que Gx es una subvariedad de X (compacta en los casos (2) y(3)) y la aplicacion entre G–variedades

G/Ix −→ Gx, [g]→ gx,

es un G–difeomorfismo.

Demostracion. Por (1.12.18) Ix = θ−1x (x) es un subgrupo de Lie y

por el resultado anterior existe el cociente geometrico G/Ix (y es Haus-dorff), de la accion natural de Ix en G por la derecha. Ademas Gx essubvariedad inmersa pues se tienen los diagramas conmutativos

G π−−→ G/Ixθx φ ψ

Gx i−−→ X

G π−−→ G/Ixθx ψ

X


siendo φ biyectiva y continua por (1.13.8), considerando en la orbita latopologıa heredada, pues θx es continua; y ψ es de rango constante (sedemuestra como en (1.12.15)) e inyectiva, por tanto inmersion local por(1.1.6).

(1) Si existe el cociente geometrico, Gx es una subvariedad de X porser π : X → X/G proyeccion regular y ser Gx = π−1[π(x)].

(2) Si G es compacto, por (1.12.16) de la pag.53, Gx es subvariedady es compacta pues θx(G) = Gx.

(3) Si G/Ix es compacta, φ lleva cerrados en cerrados y por tanto eshomeomorfismo.

(4) Como ψ es inmersion local, todo punto de G/Ix tiene un entornoU tal que ψ(U) = φ(U) ⊂ Gx es subvariedad de X , por tanto subvariedadtopologica de Gx y

dimG/Ix = dimU = dimH(U) ≤ dimGx.

Ahora si dimG/Ix < dimGx, por ser G/Ix variedad podemos recubrir-la con una coleccion numerable de compactos Bn y cada Kn = φ(Bn)es compacto y φ : Bn → Kn es homeomorfismo, ademas Kn es un re-

cubrimiento numerable de compactos de Gx y si alguno tieneKn 6= ∅,

entonces

dimGx = dimKn ≤ dimKn = dimBn ≤ dimG/Ix < dimGx,

por tantoKn = ∅ para todo n, lo cual es absurdo por el Teorema de

Baire4. Se sigue que dimG/Ix = dimGx y por el Teorema de invarianzade dominios5 φ es abierta, por tanto homeomorfismo y en definitiva Gxes subvariedad (difeomorfa a G/Ix) y θ : G × Gx → Gx, es una acciontransitiva. Por ultimo φ(g[h]) = gφ([h]).

Corolario 1.15.7 Sea θ : G × X → X una accion en una variedad X .Si cada punto x ∈ X tiene un entorno abierto Ux tal que Ux ∩ gUx = ∅,para g 6= e, entonces existe el cociente geometrico X/G. Ademas G esdiscreto.

Demostracion. Para cada g ∈ G, Γg = (x, gx) : x ∈ X es unasubvariedad cerrada, pues es la imagen de ∆ por el difeomorfismo

X × X −→ X ×X , (x, y)→ (x, gy).

4Si Un es una sucesion de abiertos densos de un espacio Hausdorff localmentecompacto, ∩Un es densa.

5Si F : U → Rm, con U ⊂ Rm abierto es continua e inyectiva, entonces es abierta.


Ademas R = ∪g∈GΓg y es subvariedad pues para cada (x, gx) ∈ R, elabierto Ux × (gUx) corta a R solo en puntos de Γg. Por ultimo G esdiscreto pues para θx : G → X , θ−1

x (gUx) es un entorno de g que nocontiene ningun otro elemento del grupo.

Corolario 1.15.8 Sea G un grupo de Lie finito que actua por la izquier-da, sin isotropıa, en una variedad Hausdorff X , entonces existe el cocien-te geometrico X/G y es Hausdorff.

Demostracion. Por no tener isotropıa, dados g ∈ G\e y x ∈ X ,x 6= gx y por ser X Hausdorff, tienen entornos abiertos disjuntos, Vx dex y Vgx de gx. Ahora el entorno abierto de x

Vx ∩ [∩g∈Gg−1Vgx] = Ux,

es tal que Ux ∩ gUx = ∅ y el resultado se sigue del corolario anterior.Ahora como X es Hausdorff, ∆ es cerrado y por tanto los Γg y por tantoR que es su union finita, por lo que el cociente es Hausdorff.

Corolario 1.15.9 Sea X una variedad Hausdorff y n ∈ N. El conjuntode los subconjuntos de X de cardinal n tiene una estructura natural devariedad diferenciable Hausdorff.

Demostracion. Consideremos los abiertos (por ser X Hausdorff)

Xij = (x1, . . . , xn) ∈ Xn : xi 6= xj,

entonces para Sn el grupo de permutaciones de n elementos, nuestravariedad es

∩1≤i<j≤nXij/Sn.

Ejemplo 1.15.10 Variedad de soluciones de una EDO Conside-remos un campo tangente a una variedad diferenciable D ∈ D(X ), congrupo uniparametrico τ , y la relacion de equivalencia RD estar en lamisma trayectoria, es decir

x ∼ x′ ⇔ ∃t : x′ = τt(x).

Definicion. Si existe el cociente geometrico X/RD, lo llamaremos va-riedad de soluciones de D.


Nota 1.15.11 En general no existe, pues basta considerar en el toroT2 = S1 × S1, y en las coordenadas (θ, θ′) el campo D = ∂θ + α∂θ′ , conα ∈ R\Q, cuyas trayectorias son densas (ver (1.4.2), pag.18) en el toroy no cerradas y si existiese el cociente cada punto suyo [x] serıa cerradoy por tanto cada orbita π−1([x]).

Lema 1.15.12 Sea θ : G × X → X una accion en una variedad X . Siexiste un recubrimiento abierto X = ∪Ur donde cada Ur es G–invariante,es decir θg(Ur) = Ur, para todo g y existen los cocientes Ur/G, entoncesexiste el cociente geometrico X/G

Demostracion. Basta demostrar que es subvariedad

R = (x, y) ∈ X 2 : Gx = Gy,

ahora bien sabemos que lo son Rr = (x, y) ∈ U2r : Gx = Gy, y se tiene

que R ∩ U2r = Rr.

Teorema 1.15.13 Sea D ∈ D(X ) y h ∈ C∞(X ), tales que Dh > 0,entonces existe el cociente geometrico X/RD.

Demostracion. Podemos considerar D completo multiplicandolopor una funcion no nula adecuada, en cuyo caso las trayectorias no semodifican. Sea τ : R × X → X su grupo uniparametrico, el cual es unaaccion que define la relacion de equivalencia, por tanto nos preguntamospor la existencia del cociente por el grupo real aditivo X/R.

Para cada r ∈ Imh ⊂ R, consideremos la hipersuperficie Hr = h =r (pues dh 6= 0, ya que dh(D) = Dh > 0) y veamos que ϕ : R×Hr → X ,ϕ(t, x) = τ(t, x) es inyectiva y difeomorfismo local:

ϕ(t, x) = ϕ(t′, x′) ⇒ σx(t− t′) = τt−t′(x) = x′

⇒ σx(t− t′) = x′, σx(0) = x

⇒ h[σx(t− t′)] = h(x′) = r = h(x) = h[σx(0)]

⇒ t = t′ ⇒ x = x′,

pues si σ es una curva integral de D entonces f = h σ es creciente, yaque 0 < Dh = σ∗(∂t)h = f ′. Ahora como ϕ es de rango constante, puesse tiene el diagrama conmutativo

R×Hrϕ−−→ Xy y

R×Hrϕ−−→ X

(t, x) −→ τ(t, x)y y(t+ t′, x) −→ τ(t+ t′, x)


para ver que es difeomorfismo local, basta ver que ϕ∗ es isomorfismo enlos puntos de la forma (0, x). Consideremos un entorno coordenado dex ∈ Hr en X , con coordenadas x1 = h, x2, . . . , xn, tales que Dx2 = · · · =Dxn = 0, por tanto las xi son coordenadas en Hr y como ϕ(0, z) = z

ϕ∗(∂t)(0,x) = Dx = (Dxx1)(∂x1)x, ϕ∗(∂xi)(0,x) = (∂xi)x.

Por lo tanto existe un abierto Ur de X tal que

ϕ : R×Hr → Ur ⊂ X ,

es difeomorfismo; ademas ϕ∗∂t = D, ϕ(0, z) = z, para todo z ∈ Hr, portanto Hr ⊂ Ur y como X = ∪Hr, tenemos tambien que X = ∪Ur. Peroademas existe el cociente geometrico

πr = π2 ϕ−1 : Ur → Ur/RD = (R×Hr)/R = Hr,

y por el Lema se tiene el resultado.

En el resultado anterior hemos demostrado que existe el cociente

π : X → X/R = X ,

pero ademas tenemos el recubrimiento de abiertos X = ∪Ur y el co-rrespondiente X = ∪Ur, para Ur = π(Ur) ≡ Hr. Con estos abiertos sepuede ver facilmente que el cociente no tiene por que ser Hausdorff, porejemplo consideremos en R2\0 el campo D = ∂x, en cuyo caso las tra-yectorias son las rectas y = cte 6= 0 y las dos semirrectas y = 0, x < 0,y = 0, x > 0. Ahora como existe una funcion h = x tal que Dh > 0,existe el cociente que como conjunto es R, pero con dos orıgenes y estarecubierto por dos abiertos R = U−1 = π(H−1) que es entorno de uno yR = U1 = π(H1) que es entorno del otro.

Variedad de soluciones de un sistema mecanico. ConsideremosR3 con su metrica euclıdea y sus coordenadas xi y en el fibrado tangentelas correspondientes (xi, zi). Consideremos en el fibrado tangente la 1–forma canonica de Liouville

θ(DDp) = π∗(DDp

) ·Dp,

que en coordenadas es θ =∑zidxi y la 2–forma dθ.

Definicion. Llamamos espacio de fases de r partıculas moviendose enR3, con masas mi a

R× T (R3)× · · · × T (R3).


con la 2–forma ω2 =∑midθi.

Definicion. Consideremos el caso de una unica partıcula de masa m.En cuyo caso consideramos la 2–forma ω2 = mdθ. Diremos que se muevedebido a un campo de fuerzas F ∈ D(R× R3), con Ft = 0, siguiendo laLey de Newton si su trayectoria es σ(t) = (xi(t)), tal que mσ′′(t) = F ,es decir su subida (t, σ(t), σ′(t)) es tangente al campo de R× T (R3)

Z =∂

∂t+∑

zi∂

∂xi+∑ Fi(t, x)

m

∂

∂zi.

Observemos que por el resultado anterior, como Zt = 1 > 0, estecampo tiene variedad de soluciones

X = R× T (R3)/RZ ,

y que cada T (R3) ≡ Hr = t = r se identifica con un abierto Ur querecubren el cociente X . Ademas cada uno de estos abiertos Ur tiene unaestructura simpletica ω2r vıa su identificacion con T (R3) considerando la2–forma ω2 = m

∑dzi ∧ dxi. A continuacion caracterizaremos el hecho

de que estas estructuras simpleticas repeguen, de forma que definan unaestructura simpletica en X .

Definicion. Llamamos 2–forma de Poincare–Cartan a la unica 2–formaΩ2, en X = R× T (R3), que cumple:

1) Ω2|t=t0 = ω2.2) iZΩ2 = 0.

Observemos que de existir es unica pues para vectores D1, D2 delfibrado, Ω2(D1, D2) = ω2(D1, D2) y Ω2(Z,D) = 0. Existe y en coorde-nadas es

Ω2 = m∑

dzi ∧ dxi +∑

Fidxi ∧ dt−m∑

zidzi ∧ dt,

ademas rad Ω2 =< Z >. Y en el caso particular de que F sea conservativa(en cada instante) y derive de un potencial u(x, t), F = − gradu =−∑uxi

∂xi, entonces

Ω2 = m∑

dzi ∧ dxi + dt ∧ dE ,

para E = (1/2)m∑z2i +u la energıa. En este sentido se tiene la siguiente

caracterizacion.


Teorema 1.15.14 Son equivalentes:

1) F es conservativa en cada instante.

2) ZLΩ2 = 0.

3) dΩ2 = 0.

4) Existe una estructura simpletica ω2, en el cociente X , que para laproyeccion π : X → X , π∗(ω2) = Ω2.

5) Existe una estructura simpletica ω2, en el cociente X , que en cadaabierto Ur es ω2r.

Demostracion. Se sigue de la expresion local de Ω2 que

dΩ2 =∑

dFi ∧ dxi ∧ dt = d(∑

Fidxi) ∧ dt.

y si F es conservativa∑Fidxi = du − utdt y tenemos (1)⇒(3) y si

dΩ2 = 0, tendremos que Fixj= Fjxi

lo cual implica que existe u(x, t)diferenciable tal que Fi = uxi

, tal funcion es

u(x, t) =

∫ x1

x10

F1(s, x20, . . . , xn0, t) ds+

+

∫ x2

x20

F2(x1, s, x30, . . . , xn0, t) ds+ · · ·+

+

∫ xn

xn0

Fn(x1, . . . , s, t) ds,

por tanto F es conservativa en cada instante y tenemos (3)⇒(1).

Como iZΩ2 = 0, se tiene que ZLΩ2 = iZdΩ2 y se tiene (3)⇒(2).

(2)⇒(3) Se sigue de la igualdad anterior y de que

dΩ2(Z,−,−) = 0, dΩ2(D1, D2, D3) = dω2(D1, D2, D3) = 0

para Di verticales para la proyeccion.

(4)⇒(3) Es Obvio.

(2)⇒(4) Como ZLΩ2 = 0 y iZΩ2 = 0, se demuestra facilmente encoordenadas que existe una unica 2–forma ω2, tal que π∗(ω2) = Ω2, lacual es cerrada ya que dados x, y = π(x),

dyω2(D1, D2, D3) = dyω2(π∗E1, π∗E2, π∗E3) = dxΩ2(E1, E2, E3) = 0,

pues por (3) lo es Ω2; y no tiene radical por ser rad Ω2 =< Z >.

1.16. Espacios Homogeneos 75

(5)⇒(4) Las propiedades que caracterizan a Ω2 son: Ω2|t=t0 = ω2

y iZΩ2 = 0 y ambas las satisface π∗(ω2); la segunda obviamente y laprimera por el diagrama conmutativo

Hr ≡ TR3 i−−→ X'y yπUr

i−−→ X

(4)⇒(5) Se sigue del diagrama conmutativo anterior.

Definicion. Llamaremos simetrıa infinitesimal del sistema mecanico, atodo campo D ∈ D(R× TR3), tal que DLΩ2 = 0.

Si D es una simetrıa infinitesimal y F es conservativa en cada instante

DLΩ2 = dΩ2 = 0 ⇒ d(iDΩ2) = DLΩ2 − iDdΩ2 = 0,

y por el Lema de Poincare, iDΩ2 = dh y a h se la llama invarianteNoether de D, que es una integral primera de Z, pues

Zh = dh(Z) = Ω2(D,Z) = 0,

ademas h = ϕ∗h, pues h es constante en las orbitas de Z. Ahora en elcaso particular de que F no dependa de t, ni el potencial u ni la energıaE dependen de t y se sigue de la expresion en coordenadas de Ω2, que∂t es una simetrıa infinitesimal cuyo invariante Noether es la energıa E ,que al ser integral primera de Z define una funcion en el cociente E ycomo

Z − ∂

∂t=∑

zi∂

∂xi+∑ Fi(x)

m

∂

∂zi,

es un campo que Z deja invariante, se proyecta en un campo Z, para elque

iZω2 = −dE .

1.16. Espacios Homogeneos

Definicion. Una variedad X se llama espacio homogeneo de un grupode Lie G si hay una accion transitiva de G en X .


Ejemplo 1.16.1 Rn − 0 es un espacio homogeneo de Gln(R)

Ejemplo 1.16.2 Sn−1 es un espacio homogeneo de On.

Corolario 1.16.3 Si una accion θ : G×X → X es transitiva, el homeo-morfismo de (1.13.8)

φ : G/Ix −→ X ,es un G–difeomorfismo.

Demostracion. Es consecuencia de (1.15.6).

Nota 1.16.4 De este resultado se sigue que si tenemos una accion tran-sitiva (conjuntista) de un grupo de Lie G en un conjunto X

θ : G × X −→ X ,

y existe una estructura diferenciable en X , para la que θ sea diferenciableesta es unica. Ademas si el grupo de isotropıa Ix de algun x ∈ X escerrado, entonces tal estructura diferenciable en X es la de G/Ix. Estonos permite construir variedades diferenciables como ponen de manifiestolos siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.16.5 El espacio proyectivo. Consideremos el conjuntoPn(R) de las rectas [x] pasando por el origen de Rn+1, en el que actuatransitivamente el grupo G = Sl(n+ 1,R)

(A, [x]) −→ [Ax],

la cual hace conmutativo el diagrama

G × Rn+1\0 −→ Rn+1\0y yG × Pn(R) −→ Pn(R)

(A,x) −→ Axy y(A, [x]) −→ [Ax]

El subgrupo de isotropıa Ir ⊂ Sl(n + 1,R), del punto r = [e1] ∈ Pn(R)es

A ∈ Sl(n+ 1,R) : x21 = · · · = xn+1,1 = 0 =

= A ∈Mn+1(R) : det A = 1, x21 = · · · = xn+1,1 = 0,

una subvariedad cerrada, por tanto subgrupo de Lie. Se sigue que laestructura diferenciable del espacio proyectivo es la de

Sl(n+ 1,R)/Ir.

1.16. Espacios Homogeneos 77

Ejemplo 1.16.6 Las variedades de Grassman. Consideremos el es-pacio G(k, n) de los subespacios de dimension k de Rn al que vamos adotar de una estructura diferenciable de una forma natural. Considere-mos la accion natural de Gln(R) en Rn, la cual es transitiva en Rn−0e induce una accion transitiva

Gln(R)× G(k, n) −→ G(k, n),

ahora bien el subgrupo de isotropıa H del elemento de G(k, n) que co-rresponde al subespacio k dimensional generado por e1, . . . , ek

(x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) ∈ Rn,

esta formado por las matrices (A B0 C

),

donde A ∈ Gl(k,R), C ∈ Gl(n−k,R) y B es arbitraria, y es un subgrupode Lie cerrado, por lo tanto

Gln(R)/H,

tiene una estructura natural de variedad diferenciable que podemos tras-ladar a G(k, n), pues son biyectivos.

Se llaman variedades de Grassman a los G(k, n) con esa estructuradiferenciable (para otra descripcion ver el Warner, p.129).

Ejemplo 1.16.7 Consideremos el grupo de Lie

SO(n+ 1,R) = A ∈ Gl(n+ 1,R) : det A = 1,AtA = I,

actuando sobre Sn = x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1, mediante

θ : SO(n+ 1,R)× Sn −→ Sn, θ(A, x) = Ax,

la cual es transitiva y el subgrupo de isotropıa de en+1 es isomorfo aSOn(R), por tanto

Sn ∼ SO(n+ 1,R)/ SOn(R).

Ejemplo 1.16.8 Sea X = A ∈ Gl2n(R) : A2 = −I y consideremos laaccion

θ : Gl2n(R)×X −→ X , θ(A,B) = ABA−1,


la cual es transitiva y el grupo de isotropıa de

J =

0 −1 · · · 0 01 0 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 0 −10 0 · · · 1 0

que corresponde a multiplicar por i en Cn(= R2n), es Gln(C) y

X ∼ Gl2n(R)/Gln(C).

1.17. El fibrado normal

A lo largo de esta leccion consideraremos (X , T2) una variedad Rie-manniana Hausdorff e Y una subvariedad suya.

Definicion. Llamaremos Fibrado normal a Y, a la subvariedad diferen-ciable n–dimensional del fibrado tangente

NY|X = Dy ∈ T (X ) : y ∈ Y, Dy ⊥ Ty(Y) =⋃y∈Y

Ty(Y)⊥,

con la aplicacion diferenciable

π : NY|X −→ Y, Dy −→ y,

para la cual consideramos la seccion 0

s0 : Y −→ NY|X , y −→ 0y,

y la subvariedad del fibrado normal Y = s0(Y) difeomorfa a Y.

Veamos que realmente NY|X es una subvariedad diferenciable delfibrado tangente T (X ), para ello consideremos un Dy ∈ NY|X ⊂ T (X )y sea y = π(Dy). Consideremos un entorno coordenado Vy ⊂ X , concoordenadas (xi), tal que

Y ∩ Vy = xm+1 = 0, . . . , xn = 0,

por tanto (x1, . . . , xm) son coordenadas en ese abierto de Y y en sus pun-tos las ∂x1, . . . , ∂xm son tangentes a Y. Consideremos ahora el procesode Gramm–Schdmitz para construir a partir de la base de campos

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn∈ D(Vy),

1.17. El fibrado normal 79

una base D1, . . . , Dn ortonormal —es decir T2(Di, Dj) = δij— y tal quecada

< D1 . . . , Di >=<∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xi>, Di =

i∑j=1

fij∂

∂xj,

por tanto para cada p ∈ Y ∩ Vy,

D1p, . . . , Dmp ∈ Tp(Y), Dm+1p, . . . , Dnp ∈ Tp(Y)⊥,

y ambas son bases de dichos espacios.Consideremos ahora el sistema de coordenadas (xi, zi) en el abierto

coordenado Wy = π−1(Vy) de T (X ), para zi(D) = Dxi, para cada D ∈Wy y consideremos las nuevas funciones en ese abierto, para i = 1, . . . , n,

wi(D) = T2(D,Di) ⇒ wi =

n∑k=1

zk

i∑j=1

fijgkj

,

en cuyos terminos tenemos que (xi, wi) son tambien sistema de coorde-nadas en Wy y se tiene que

NY|X ∩Wy = xm+1 = 0, . . . , xn = 0, w1 = 0, . . . , wm = 0,

por tanto es subvariedad y dicho abierto tiene coordenadas

(x1, . . . , xm, wm+1, . . . , wn),

en cuyos terminos se tiene que

Y ∩ NY|X ∩Wy = wm+1 = 0, · · · , wn = 0.

1.17.1. El Teorema del entorno tubular.

Consideremos ahora el campo geodesico, Z ∈ D[T (X )] y su grupouniparametrico

τ : WZ ⊂ R× T (X ) −→ T (X ),

para el que se tiene que τ(tr,Dp) = τ(t, rDp) y

gDp(t) = π[τ(t,Dp)],


es la geodesica que pasa por p = π(Dp) en t = 0 y en el tiene vectortangente Dp. Recordemos que exp(Dp) = g(1, Dp) si (1, Dp) ∈ WZ .Consideremos ahora el conjunto abierto

A = Dp ∈ T (X ) : (1, Dp) ∈ WZ,

y la aplicacion diferenciable φ, definida en el abierto del fibrado normalN = A ∩NY|X y composicion de

N → A → WZτ−→ T (X )

π−→ XDy → Dy → (1, Dy) −→ τ(1, Dy) −→ π[τ(1, Dy)],

por tanto φ(Dy) = exp(Dy), aunque preferimos cambiarle el nombre,para que no haya equıvocos en su dominio.

Teorema 1.17.1 La aplicacion φ : N → X es difeomorfismo local enlos puntos de la subvariedad Y.

Demostracion. NY|X y X tienen la misma dimension n, veamos

que φ∗ lleva base en base en los puntos de Y. Sea s0(y) = 0y ∈ Y,y consideremos un entorno coordenado suyo Wy; (xi, wi) en el fibradotangente, para el que

NY|X ∩Wy = xm+1 = 0, . . . , xn = 0, w1 = 0, . . . , wm = 0,

es subvariedad con coordenadas

(x1, . . . , xm, wm+1, . . . , wn),

en estos terminos se tiene que (para xi(0y) = yi y wi(0y) = 0)

φ∗

(∂

∂xi

)0y

xj = lımε→0

xj [φ(y1, . . . , yi + ε, . . . , ym, 0, . . . , 0)]− xj [y]

ε

= δij =∂

∂xi yxj ,

φ∗

(∂

∂wi

)0y

xj = lımε→0

xj [φ(y1, . . . , ym, 0, . . . , ε, . . . , 0))]− xj [y]

ε

= lımε→0

xj [φ(εDiy)]− xj [y]

ε

= (xj gDiy)′(0) = gDiy∗

(∂

∂t

)0

xj = Diyxj ,

pues φ(0p) = p y φ(εDiy) = πτ(1, εDiy) = πτ(ε,Diy) = gDiy(ε).

1.17. El fibrado normal 81

Veremos a continuacion que si Y es compacta entonces podemos re-ducir el abierto N , conteniendo a Y, tal que φ : N → φ(N ) sea difeo-morfismo. Pero antes necesitamos un resultado previo.

Lema 1.17.2 Si X1,X2 son espacios topologicos, K1 ⊂ X1 y K2 ⊂ X2

son compactos y W es un abierto de X1 × X2 tal que K1 × K2 ⊂ W ,entonces existen abiertos U1 ⊂ X1 y U2 ⊂ X2, tales que K1 × K2 ⊂U1 × U2 ⊂W .

Demostracion. Sea x ∈ X1, entonces x×K2 es compacto por serimagen continua de K2 por y ∈ X2 → (x, y) ∈ X1 × X2, y si elegimospara cada punto suyo (x, y) un entorno abierto Ux×Vy ⊂W , podremosextraer de estos un subrecubrimiento finito y considerar Ux = ∩Ux —que es entorno abierto de x— y V x = ∪Vy —que es un entorno abiertode K2—, por tanto x×K2 ⊂ Ux×V x ⊂W . Ahora como los Ux, parax ∈ K1, recubren a K1, podremos extraer un subrecubrimiento finito ypara estos considerar U1 = ∪Ux y U2 = ∩V x.

Teorema 1.17.3 Si Y es compacta entonces existe un abierto U ⊂ N ,tal que Y ⊂ U y un abierto V ⊂ X , tal que Y ⊂ V , tales que

φ : U −→ V,

es difeomorfismo.

Demostracion. Si en un punto φ es difeomorfismo local, lo es en unentorno del punto, por tanto podemos considerar el abierto A ⊂ N , enel que φ es difeomorfismo local, el cual es un entorno de Y. Ahora bastaencontrar un abierto U , en el que φ sea inyectiva y tal que Y ⊂ U ⊂ A,pues en tal caso φ(U) ⊂ X es abierto y φ : U → φ(U) es difeomorfismo.En primer lugar el conjunto

W = (x, y) ∈ A×A : x = y o φ(x) 6= φ(y),

es abierto, pues si (x, y) ∈ W , siendo x = y, entonces como φ es difeo-morfismo local en x, existe un abierto Ux ⊂ A entorno de x, en el que φes inyectiva y por tanto Ux × Ux ⊂W , y si x 6= y, entonces φ(x) 6= φ(y)y existen entornos disjuntos suyos en X , cuyas contraimagenes, Ux y Uyverifican Ux × Uy ⊂W .

Por otro lado Y × Y ⊂ W y aplicando el Lema anterior tendremosque existe un abierto U ⊂ A, tal que

Y × Y ⊂ U × U ⊂W ⊂ A×A,


y en definitiva Y ⊂ U ⊂ A y en el φ es inyectiva.

Teorema del entorno tubular 1.17.4 Si Y es compacta existe un ε >0, y un abierto Xε de X , que contiene a Y, tales que

φ : Nε = Dy ∈ NY|X : T2(Dy, Dy) < ε −→ Xε,

es difeomorfismo.

Demostracion. Para cada 0y ∈ Y consideremos un abierto coorde-nado Uy ⊂ NY|X , entorno de 0y, con el difeomorfismo correspondientedefinido al comienzo de la leccion,

F = (x1, . . . , xm, wm+1, . . . , wn),

UyF−→ Vn ⊂ Rn, 0y → F (0y) = (y1, . . . , ym, 0, . . . , 0).

Ademas podemos suponer que Uy esta en el abierto U del resultado an-terior —pues basta considerar U ∩Uy— y podemos encontrar un abiertoVm ⊂ Rm, entorno de (y1, . . . , ym) y un εy > 0, tales que

F (Uy) = Vm × (wm+1, . . . , wn) :∑

w2i < εy,

y sus elementos D con coordenadas (xi, wi) satisfacen

T2(D,D) = T2(∑

wiDi,∑

wiDi) =

n∑i=m+1

w2i < εy.

Ahora recubriendo el compacto Y por estos abiertos podemos extraer unsubrecubrimiento finito Uyj y para ε = mınεj, tendremos que

Nε = Dy ∈ NY|X : T2(Dy, Dy) < ε ⊂ ∪jUyj ,

es un abierto de U que contiene a Y y el resultado se sigue del teoremaanterior.

1.18. La accion en el fibrado normal

Consideremos la accion en una variedad diferenciable X

θ : G × X −→ X ,

1.18. La accion en el fibrado normal 83

con G un grupo de Lie compacto. Entonces por (??), (pag.??) la orbitaY = Gx es una subvariedad compacta de X en la que actua el grupo porla accion

G × Y −→ Y, (g, hx) −→ (gh)x.

El grupo tambien actua en el fibrado tangente por

θ : G × T (X ) −→ T (X ), (g,Dx) −→ θg∗Dx,

es facil ver que la aplicacion es diferenciable y accion y que π : T (X )→ Xes G–morfismo. A menudo escribiremos por comodidad gDx en lugar deθg∗Dx

A continuacion veremos como podemos construir una metrica Rie-manniana T2 en la variedad de tal forma que los difeomorfismos

θg : X −→ X , x −→ gx,

para g ∈ G, sean isometrıas. Para ello tenemos que considerar —si m =dimG—, una m–forma invariante en G que construimos a continuacion.

1.18.1. La medida de Haar.

Consideremos una base Die ∈ Te(G), i = 1, . . . ,m, y su extension a lacorrespondiente base de campos invariantes por la derecha D1, . . . , Dm ∈DG , consideremos ahora su base dual ω1, . . . , ωm ∈ Ω, las cuales tambienson invariantes por la derecha, pues para i = 1, . . . ,m y g ∈ G,

R∗gωi(Dj) = ωi(Rg∗Dj) = ωi(Dj) = δij ,

por tanto R∗gωi = ωi. Consideremos ahora la m–forma que llamaremosde Haar

Λ = ω1 ∧ · · · ∧ ωm,

la cual es no nula (por tanto todo grupo de Lie es orientable) e invariantepor la derecha, pues para toda g ∈ G,

R∗gΛ = (R∗gω1) ∧ · · · ∧ (R∗gωm) = Λ.

1.18.2. Construccion de una metrica Riemannianainvariante.

Consideraremos en X una metrica cualquiera T 2, entonces para ca-da x ∈ X y Dx, Ex ∈ Tx(X ), la funcion f(g) = (T 2)gx(gDx, gEx), es


diferenciable, pues es la composicion

G −→ T (X )×X T (X ) −→ R, g → (gDx, gEx)→ (gDx)(gEx),

observemos que si en T (X ) consideramos coordenadas (xi, zi) y las subimosa T (X ) × T (X ), (xi, zi;x

′i, z′i), entonces localmente T (X ) ×X T (X ) es

xi = x′i y tiene coordenadas (xi, zi, z′i), en cuyos terminos la segunda apli-

cacion es∑ziz′jgij , para gij = ∂xi · ∂xj . Ahora, componiendo f con un

difeomorfismo Rh : G → G, para h ∈ G, obtenemos una funcion del mis-mo tipo, para el punto hx ∈ X y los vectores Rh∗Dx, Rh∗Ex ∈ Thx(X ).

Ahora basta definir la nueva metrica

T2(Dx, Ex) =

∫GfΛ =

∫G

(T 2)gx(gDx, gEx)Λ,

la cual es invariante pues para cualquier h ∈ G

θ∗hT2(Dx, Ex) = T2(hDx, hEx)

=

∫G

(T 2)ghx[(gh)Dx, (gh)Ex]Λ

=

∫G

(R∗hf)Λ =

∫GR∗h(fΛ) =

∫GfΛ

= T2(Dx, Ex).

1.18.3. La accion sobre el Fibrado normal.

Ahora considerando esta metrica Riemanniana tenemos que el grupotambien actua en el fibrado normal por la accion

θ : G ×NY|X −→ NY|X , (g,Dy) −→ gDy,

que esta bien definida por ser la metrica invariante, pues para cada g ∈ G,θg : X → X es una isometrıa que lleva la subvariedad Y = Gx en Y, portanto θg∗[Ty(Y)] = Tgy(Y), de donde

Dy ∈ Ty(Y)⊥ ⇒ gDy ∈ Tgy(Y)⊥ ⇒ gDy ∈ NY|X ,

ademas trivialmente es accion y es diferenciable por (1.1.10), pag.6, ypor ser diferenciable la accion en el fibrado tangente. En estos terminostenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.18.1 Nε y Xε son G–variedades y el difeomorfismo del teo-rema del entorno tubular, φ : Nε → Xε, es un G–difeomorfismo.

1.19. El espacio de orbitas 85

Demostracion. Se tiene que conmuta el diagrama

G ×Nεθ−→ Nεy y

G × Xεθ−→ Xε

(g,Dy) −→ gDyy y(g, φ(Dy)) −→ g[φ(Dy)] = φ(gDy)

lo cual es consecuencia de que las θg : X → X son isometrıas y por tantollevan geodesicas en geodesicas, ahora bien si denotamos con GDy

lageodesica que pasa por y y en el tiene vector tangente Dy, tendremosque θg[GDy ] es la geodesica que pasa por gy y en el tiene vector tangentegDy, es decir

θg[GDy] = GgDy

,

ahora bien como φ(Dy) = GDy (1), se sigue que

θg[φ(Dy)] = θg[GDy(1)] = GgDy

(1) = φ(gDy),

y el diagrama es conmutativo.

1.19. El espacio de orbitas

Consideremos la accion en una variedad diferenciable X

θ : G × X −→ X ,

con G un grupo de Lie compacto. Entonces hemos visto en (1.15.6)(pag.68) que cada orbita Gx es una subvariedad compacta, para la quese tiene el difeomorfismo

G/Ix −→ Gx, [g] −→ gx.

En general el espacio de orbitas X/G, con la topologıa cociente noes una variedad diferenciable, sin embargo en esta leccion veremos quepodemos hacer una particion de este espacio en distintas familias de orbi-tas, que llamaremos estratos de modo que cada estrato sea una variedaddiferenciable.

1.19.1. Tipo de isotropıa.

Observemos que dos puntos de una misma orbita Gx tienen gruposde isotropıa conjugados, pues

Igx = h ∈ G : h(gx) = gx = h ∈ G : g−1hgx = x = gIxg−1,


y que si dos puntos x, z ∈ X tienen grupos de isotropıa conjugadosentonces sus orbitas son difeomorfas, pues

Ix = gIzg−1 = Igz ⇒ Gx ∼ G/Ix = G/Igz ∼ Gz.

Definicion. Llamamos tipo de isotropıa de un punto x ∈ X , al par denumeros naturales (con el segundo estrictamente positivo)

τ : X → T = N× N+,

τ(x) = (dim Ix, numero de componentes conexas de Ix).

Observemos que el numero de componentes conexas es finito puesson abiertos del grupo de Lie compacto Ix.

Segun hemos dicho dos puntos de una misma orbita Gx tienen sub-grupos de isotropıa conjugados, en particular difeomorfos y por tantoson del mismo tipo de isotropıa, por tanto son las orbitas mas que lospuntos las que tienen tipo de isotropıa.

Lema 1.19.1 Si φ : X1 → X2 es un G–difeomorfismo, entre G–varieda-des, entonces para todo x ∈ X1, Ix = Iφ(x).

Demostracion. Es obvio pues φ(gx) = gφ(x).

Lema 1.19.2 Sean x ∈ X y Dx ∈ Tx(X ), entonces

τ(Dx) = τ(x) ⇔ IDx = Ix ⇔ Ix ⊂ IDx .

Demostracion. La segunda equivalencia es trivial pues siempre setiene

IDx= g ∈ G : gDx = Dx ⊂ Ix,

en cuanto a la primera, “⇐.es por definicion y “⇒”se sigue de la inclusionanterior y por tanto como τ(Dx) = τ(x) ambos tienen igual dimension yel subgrupo IDx es un abierto del grupo Ix y por (1.4.3) es cerrado, portanto esta formado por unas cuantas componentes conexas de el, perotienen igual numero de componentes conexas, por tanto son iguales.

Teorema 1.19.3 Sea t ∈ T , entonces el conjunto X t = τ−1(t), de lospuntos que tienen tipo t es una subvariedad (formada por orbitas).


Demostracion. Sea x ∈ X t, queremos encontrar un entorno suyoque se corte con X t en una subvariedad. Consideremos el G–difeomorfismode (1.18.1), φ : Nε → Xε, para la orbita Y = Gx, tal que φ(0x) = x. Co-mo por (1.19.1) el tipo es invariante por φ, basta demostrar que existeun entorno de v = 0x, que se corta con

Dy ∈ Nε : τ(Dy) = t,

en una subvariedad del fibrado normal o mas generalmente con

N t = Dy ∈ NY|X : τ(Dy) = t.

Consideremos el subespacio vectorial (por la segunda igualdad)

N tx = Dx ∈ Tx(Y)⊥ : τ(Dx) = t = τ(x),

= Dx ∈ Tx(Y)⊥ : ∀g ∈ Ix, gDx = Dx, (por (1.19.2))

una seccion local σ : Vy → G, de la proyeccion regular θx : G → Y, conVy entorno abierto de un y ∈ Y (ahora solo necesitamos el caso y = x,pero en el siguiente corolario necesitaremos lo que viene a continuacionpara todo y); y la composicion

Vy × Tx(Y)⊥ → G ×NY|Xθ−→ NY|X ,

cuya imagen es el abierto del fibrado π−1(Vy) y sobre el es un difeomor-fismo

Vy × Tx(Y)⊥ −→ π−1(Vy), (z,Dx)→ σ(z)Dx,

pues tiene inversa diferenciable ya que su primera componente es π y lasegunda es, para τ = σ π, la composicion

π−1(Vy)(τ,id)−−−→ G × π−1(Vy) −→ G ×NY|X

θ−→ NY|XDp −→ (σ(p) = g,Dp) −→ (g−1, Dp) −→ g−1Dp

siendo g−1Dp ∈ Tx(Y)⊥, pues p = θxσ(p) = gx, es decir g−1p = x.Ahora como Vy×N t

x es una subvariedad de Vy×Tx(Y)⊥ el resultadose sigue, pues su imagen es

N t ∩ π−1(Vy).

Corolario 1.19.4 La aplicacion

Y ×N tx −→ N t, (gx,Dx)→ gDx,

es un difeomorfismo.


Demostracion. Primero hay que ver que esta bien definida, es decirque si gx = hx (es decir h−1g ∈ Ix), entonces gDx = hDx (es decirh−1g ∈ IDx), lo cual se sigue de (1.19.2), pues τ(Dx) = t = τ(x), portanto IDx

= Ix. Por otro lado tiene inversa y por ultimo en el resultadoanterior hemos visto que localmente es difeomorfismo, por tanto lo esglobalmente.

1.19.2. Variedad cociente.

Consideremos las siguientes acciones

G × (Y ×N tx) −→ Y ×N t

x, (g, (y,Dx))→ (gy,Dx),

G ×N t −→ N t, (g,Dy))→ gDy,

en estos terminos se tiene.

Teorema 1.19.5 El difeomorfismo Y×N tx → N t del resultado anterior

es un G–difeomorfismo.

Demostracion. Es obvio.

Lema 1.19.6 Sean X1 y X2 G–variedades y

φ : X1 −→ X2

un G–difeomorfismo, entonces existe una de las variedades diferenciablescociente Xi/G si y solo si existe la otra y son difeomorfas.

Demostracion. Es obvio.

Teorema 1.19.7 Existe el cociente geometrico X t/G.

Demostracion. Por el corolario (1.15.4) del teorema de Godementbasta ver que la relacion de equivalencia Rt = R ∩ (X t × X t) es unasubvariedad de X t ×X t.

Sea (x, y) ∈ Rt y Xε el entorno del teorema del entorno tubular parala orbita Y = Gx, que contiene a x e y. Ahora por una parte existe elcociente geometrico (Y ×N t

x)/G y es

π : Y ×N tx −→ N t

x, π(y,Dx) = Dx,


pues π es proyeccion regular y cada fibra π−1(Dx) es una orbita, la de(x,Dx), ya que

G · (x,Dx) = (gx,Dx) : g ∈ G = Y × Dx = π−1(Dx).

Por otra parte, como consecuencia de los resultados anteriores tambienexiste el cociente geometrico N t/G, por tanto el de

(X t ∩ Xε)/G = (N t ∩Nε)/G,

y por Godement Rt ∩ (Xε × Xε) = R ∩ [(X t ∩ Xε) × (X t ∩ Xε)] es unasubvariedad de X t ×X t.

Lema 1.19.8 Sea π : U → V una proyeccion regular cerrada y con fi-bras compactas (i.e. propia) entonces para todo y ∈ V existe un abiertoentorno de y cuyos puntos tienen fibras difeomorfas. En particular si Ves conexo sus fibras son difeomorfas.

Demostracion. Consideremos en U una metrica Riemanniana, en-tonces todo campo tangenteD ∈ D(V) (con grupo uniparametrico σ : W →V) tiene una unica subida canonica D ∈ D(U) (con grupo σ : W → U),tal que π∗D = D y para cada x ∈ U , y = π(x) y Fy = π−1(y),

Dx ∈ Tx(Fy)⊥.Ahora para cada x ∈ Fy, existe un entorno abierto de (0, x), (−εx, εx)×

Ux ⊂ W y como los Ux son un recubrimiento abierto del compacto Fy,podemos tomar un subrecubrimiento finito y definir su union U y consi-derar el mınimo ε de los εx correspondientes. Ahora como Fy ⊂ U , π(U c)es un cerrado que no contiene a y, por tanto existe un entorno abiertode y, Vy disjunto de π(U c) y por tanto π−1(Vy) ⊂ U y

(−ε, ε)× π−1(Vy) ⊂ W,

lo cual implica que para todo t ∈ (−ε, ε),

π−1(Vy) ⊂ Ut = p ∈ U : (t, p) ∈ W,

por otra parte como π∗D = D,

π σt = σt π,

en el abierto Ut, por tanto por un lado

π σx = σy : (−ε, ε)→ V,


y podemos encoger si es necesario el ε para que σy(−ε, ε) ⊂ Vy; y porotro lado si x ∈ Fy, σt(x) ∈ Fσt(y), es decir

σt(Fy) ⊂ Fσt(y),

y para t ∈ (−ε, ε), se da la igualdad pues σt : Ut → U−t es un difeomor-fismo y Fσt(y) ⊂ π−1(Vy) ⊂ U−t y aplicando σ−t

Fy ⊂ σ−t(Fσt(y)) ⊂ Fy,

por tanto las fibras Fσy(t) son difeomorfas para t ∈ (−ε, ε) y por conexionpara todo t en el dominio de σy. Ahora como lo anterior es cierto paratodo campo, basta tomar un entorno coordenado de y y los campostraslacion, tendrıamos que las fibras del entorno son difeomorfas. Ahorasi V es conexo basta considerar los puntos con fibras difeomorfas a Fy,que forman un abierto y su complementario tambien, por tanto es vacıo.

Teorema 1.19.9 Sea Z ⊂ X una subvariedad G–invariante, para la queexiste cociente conexo Z/G, entonces existe un t ∈ T tal que Z ⊂ X t.

Demostracion. Basta demostrar que para z ∈ Z, los Iz son difeo-morfos. Ahora por (1.15.4)

φ : G × Z → RZ = R ∩ (Z × Z), φ(g, x) = (gx, x),

es proyeccion regular, ademas es propia pues sus fibras son compactas,es mas para cada compacto K ⊂ RZ , φ−1(K) es compacto pues es uncerrado del compacto G × π2(K); y φ es cerrada, pues si C ⊂ G × Z escerrado y x ∈ φ(C), tomando un compacto Kx entorno de x, tendrıamosque Kx ∩ φ(C) 6= ∅ y φ−1(Kx) es compacto, por tanto tambien es com-pacto y por tanto cerrado la imagen del compacto

φ[φ−1(Kx) ∩ C] = Kx ∩ φ(C) = V c,

y V es un abierto tal que V ∩Kx∩φ(C) = ∅, por tanto x /∈ V y x ∈ φ(C),por tanto φ(C) es cerrado.

Se sigue del lema anterior que dado z ∈ Z existe un entorno de(z, z) ∈ RZ , cuyos puntos tienen fibras difeomorfas, por tanto existe unentorno de z, Uz ⊂ Z tal que para z′ ∈ Uz, Iz′ × z′ = φ−1(z′, z′) sondifeomorfas. Por tanto el conjunto de los z′ ∈ Z con grupo de isotropıadifeomorfo a Iz es un abierto U y su complementario tambien y ambosse proyectan por π en sendos abiertos disjuntos, por tanto π(U) es eltotal y todos los puntos de z tienen grupos de isotropıa difeomorfos ypor tanto el mismo tipo.


1.19.3. El espacio topologico de tipos de isotropıa.

En el espacio de tipos T = N×N+ hay una topologıa natural respectode la que τ es continua. Seguimos considerando un grupo de Lie compactoG que actua, θ : G × X → X , en la variedad X .

Definicion. En T consideramos el orden entre tipos

(m,n) < (m′, n′) ⇔ m < m′ o m = m′, n < n′,

y la topologıa en el espacio de tipos T , tal que A ⊂ T es abierto si verifica

(m,n) ∈ A ⇒ ∀(a, b) < (m,n), (a, b) ∈ A.

Teorema de continuidad 1.19.10 Con la topologıa anterior, la apli-cacion τ : X → T , es continua.

Demostracion. Consideremos un x ∈ X , la orbita de ese puntoY = Gx y el G–difeomorfismo φ : Nε → Xε de (1.18.1). Entonces Xε esun entorno abierto de x y si z ∈ Xε, con z = φ(Dy) e y = hx ∈ Y,

Iz = IDy⊂ Iy = Ihx ∼ Ix,

lo cual implica que τ(z) ≤ τ(x). Se sigue que si V ⊂ T es abierto —portanto de la forma s ∈ T : s < t—, τ−1(V ) tambien lo es, pues six ∈ τ−1(V ), Xε ⊂ τ−1(V ).

Teorema 1.19.11 Se tienen las propiedades siguientes:1) Todo x ∈ X tiene un entorno Ux que tiene un numero finito de

tipos de isotropıa (τ(Ux) es finito), por tanto si X es compacto, hay unnumero finito de tipos.

2) Si X = E es un espacio vectorial y para cada g ∈ G, θg : E → E eslineal, entonces hay un numero finito de tipos de isotropıa.

Demostracion. Haremos la demostracion de los dos apartados ala vez por induccion en n = dimX . Para n = 0 es obvio, pues en (2)E = 0 y en (1) cada punto tiene un entorno en el que solo esta el.

Supongamos que ambos resultados son ciertos para n − 1 y veamosprimero que (2) es valido para n. Consideremos un producto escalaren E , G–invariante (su construccion es como la de la leccion (1.18.2),partiendo de un producto escalar cualquiera en E), por tanto con las θgisomorfismos isometricos y la accion se restringe a la esfera unidad S,θ : G × S → S, que es una variedad n − 1 dimensional y por induccion


tiene un numero finito de tipos. Ahora bien por linealidad de las θg,para cada e ∈ S, Ie = Iλe, para todo λ ∈ R\0, de donde que τ(E\0)es finito y por tanto τ(E). Veamos ahora que (1) tambien se tiene. Seax ∈ X y consideremos el G–difeomorfismo φ : Nε → Xε, de (1.18.1), parala orbita de x. Entonces basta ver que Nε tiene un numero finito detipos, para lo cual basta ver que todo el fibrado normal, en el que elgrupo actua por la accion

θ : G ×NY|X −→ NY|X , (g,Dy) −→ gDy,

tiene un numero finito de tipos. Ahora bien dado Dy ∈ NY|X existe

g ∈ G, tal que gDy ∈ Tx(Y)⊥ = E y τ(Dy) = τ(gDy), por tanto bastademostrar que τ(E) es finito y aunque G no actue en E , Ix sı ademaslinealmente y para cada Dx ∈ E ,

IDx = g ∈ G : gDx = Dx = g ∈ Ix : gDx = Dx,

y se sigue de (2) que τ(E) es finito.

Teorema 1.19.12 Existe t = mın τ(X ) y X t es abierto, ademas es den-so si X es conexo.

Demostracion. Consideremos el m = mındim Ix ∈ N : x ∈ X,ahora para cada x con dim Ix = m, sea n(x) el numero de componentesconexas de Ix y sea n = mınn(x), entonces t = (m,n) ≤ τ(x) para todox. Ahora X t es abierto, pues dado x ∈ X t, en el teorema de continuidadhemos visto que Xε es un entorno abierto de x, en el que t ≤ τ(Xε) ≤τ(x) = t, por tanto Xε ⊂ X t.

Ahora veamos por induccion en la dimX = n, que es denso. Paran = 0, es obvio pues es un punto por ser conexo. Supongamos que escierto para n− 1 y veamoslo para n.

Veamos primero que para cada x hay un entorno abierto Ux y un

unico tipo r, tal que Ux ∩X r es denso en Ux. Para ello consideremos

para Y = Gx, la subvariedad de dimension n − 1, S = Dy ∈ NY|X :

‖Dy‖ = ε/2 y como es conexa (salvo para dimTx(Y)⊥ = 1, que tienedos componentes conexas, pero para cada vector Dy de una, su opuesto−Dy —que tiene el mismo tipo—, esta en la otra), podemos aplicar lahipotesis y S tiene un estrato mınimo Sr que es abierto denso en S, portanto tambien lo es el abierto λDy : λ 6= 0, Dy ∈ S ⊂ N r en NY|X y

Nε ∩N r es denso en Nε y en definitiva pasando por el difeomorfismo φ,

Xε ∩X r es denso en el abierto Ux = Xε.

1.20. Ejemplos de espacios de orbitas 93

Ademas el r es unico, pues si hay otro entorno abierto Vx y un tipo

s, tales que Vx ∩X s es denso en Vx, entonces como Ux es un entorno de

x ∈ Vx, corta al abierto Vx∩X s y tomando un punto z de la interseccion

y un entorno de el Vz ⊂X s, debe cortar a Ux ∩

X r), lo cual es absurdo

porque habrıa un punto con dos tipos. De modo analogo se tiene que cada

punto x es adherente a un unicoX r, pues si lo fuera a otro, x ∈

X s,

tendrıamos que Ux ∩X s 6= ∅ y para un punto z de este abierto y un

entorno abierto suyo Uz ⊂ Ux ∩X s, tendrıamos que como Ux ∩

X r es

denso en Ux y z ∈ Ux, tiene que tener algun punto de Uz, lo cual es

absurdo pues ese punto tendrıa dos tipos. Por tanto las adherenciasX s

son disjuntas y abiertas por lo demostrado al principio. Por tanto comoX t es abierto, tendremos por conexion que X t = X .

1.20. Ejemplos de espacios de orbitas

Ejemplo 1.- Cociente de la variedad de cuadricas de A1, porel grupo de las traslaciones.

1. La variedad de cuadricas. Una cuadrica de la recta afın consiste enun par de puntos definidos, en coordenadas cartesianas, por las raıces deuna ecuacion cuadratica ax2 +2bx+c = 0, por tanto pueden ser distintoso dobles y reales, imaginarios o del infinito. Por tanto la variedad decuadricas es un plano proyectivo P2, formado por las rectas [a, b, c].

2. La accion. El grupo G de las traslaciones de la recta afın, isomorfoa (R,+), opera de modo natural sobre la variedad de cuadricas P2, puespara cada punto x (real o imaginario) y cada traslacion t tenemos elnuevo punto x+t —que es el mismo si x es el del infinito—, del siguientemodo

t[a, b, c] = [a, b− ta, c− 2bt+ at2],

esto se comprueba facilmente considerando que la traslacion por t de lacuadrica ax2 +2bx+c = 0 es a(x− t)2 +2b(x− t)+c = 0. Es facil probarque es una accion. Veremos a continuacion que aunque el grupo no escompacto, esencialmente los teoremas estudiados siguen siendo validos.


Figura 1.1. Los estratos A, B y C en el plano c = 1

3. Las orbitas. La particion en las subvariedades A = a 6= 0 (en elque ambas raıces son finitas), B = a = 0, b 6= 0 (en el que una es elinfinito y la otra −c/2b), y C = p∞ = [0, 0, c] (en el que ambas son elinfinito), son G–invariantes. C esta formado por un unico punto p∞, portanto tiene cociente al igual que B que es una recta (sin el punto p∞) yel cociente tambien es un punto y en el abierto denso A podemos definirla funcion

δ : A→ R, δ([a, b, c]) =b2 − aca2

,

que es positiva si las raıces que define son reales, en cuyo caso es elcuadrado de la distancia entre las raıces. Esta funcion satisface que doscuadricas p = [a, b, c] y p′ = [a′, b′, c′] estan en la misma orbita si y solosi δ(p) = δ(p′), pues para t = b/a− b′/a′, se tiene que

b2 − aca2

=b′2 − a′c′

a′2⇔ c′

a′=c

a− 2

b

at+ t2,

por tanto las orbitas son las conicas de P2 (sin el punto p∞)

b2 − ac = λa2, λ ∈ R,

y existe el cociente δ : A→ A/G = R, pues por una parte δ es proyeccionregular, ya que en coordenadas (b, c) (en a = 1), δ(b, c) = b2 − c yδ∗(∂c) = −∂x y por otra las fibras son las orbitas.

4. El espacio cociente. Existe cociente en cada una de las tres sub-variedades A,B y C y son los estratos, en el sentido de que toda sub-variedad conexa Z de P2, que sea G–estable y su cociente Z/G admitaestructura de variedad diferenciable de modo que π : Z → Z/G sea pro-yeccion regular, esta incluida en alguno de los tres.

Observemos en primer lugar que si p∞ ∈ Z, entonces Z = p∞,pues si hay un p ∈ A ∪ B en Z, la orbita de p serıa cerrado —porser la contraimagen π−1(π(p)) de un punto de una variedad, por tantocerrado— y no lo es pues p∞ esta en su adherencia y no en la orbita.


Ahora si p∞ /∈ Z, entonces Z ⊂ A∪B = P2− p∞ y el cociente es unsubespacio topologico del espacio topologico cociente (P2 − p∞)/G, quees

π : P2 − p∞ → (−∞,∞], [a, b, c]→

b2−aca2 , si a 6= 0,

∞, si a = 0,

pues π es continua —π−1(λ,∞] = b2 − ac > λa2—, es sobre y abierta—pues si U ⊂ P2 − p∞ es abierto, π(U ∩ A) = δ(U ∩ A) es abierto y sip ∈ U ∩ B hay un entorno conexo de p, V ⊂ U , que corta a A y π(V )es un conexo de (−∞,∞], que contiene puntos finitos y a ∞, por tantoun intervalo entorno de ∞—; ahora se sigue de (1.1.13) que la topologıaes la cociente; y no es variedad topologica (a pesar de que los puntos deP2 − p∞ tienen el mismo tipo de isotropıa). Se sigue que si ∞ ∈ π(Z),entonces Z = B y si no π(Z) ⊂ (−∞,∞) y Z ⊂ A.

5. Campo tangente asociado a la accion. La accion puede interpre-tarse como un grupo uniparametrico (que en c = 1 es)

τ(t, a, b) =

(a

1− 2bt+ at2,

b− at1− 2bt+ at2

),

cuyo campo tangente asociado

2xy∂

∂x+ (2y2 − x)

∂

∂y,

tiene a p∞ = (0, 0) como unica singularidad y su linealizacion en estepunto es el campo −x∂y, cuya matriz asociada es singular (lo que explicael caracter atıpico de las trayectorias del campo en la vecindad de p∞).

Ejemplo 2.- Clasificacion euclıdea de los triangulos

1. La variedad de triangulos. Un triangulo es una terna de puntos noordenada ni alineada de R2. La variedad de ternas ordenadas es R2 ×R2×R2. La variedad de ternas ordenadas no alienadas es el abierto U deR2 × R2 × R2 formada por los puntos (a1, a2, a3) que, para ai = (xi, yi)verifican

det

x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

6= 0.

Tomando cociente por el grupo de las permutaciones S3 (que es finitoluego compacto) se obtiene por (1.15.8) la variedad diferenciable (Haus-dorff) de los triangulos T := U/S3, y una proyeccion regular U → T(que de hecho es un revestimiento), cuyas fibras tienen 6 elementos.


2. Las funciones longitud de un lado. Para cada triangulo t ∈ T ,consideremos las longitudes d1(t) ≥ d2(t) ≥ d3(t) de sus tres lados,ordenadas de mayor a menor, las cuales verifican:

– La funcion di : T → R es continua (i = 1, 2, 3).

– La funcion d1 : T → R es diferenciable en el abierto de T tal qued1(t) 6= d2(t).

– La funcion d2 : T → R es diferenciable en todo t ∈ T escaleno.

– La funcion d3 : T → R es diferenciable en todo t ∈ T tal qued3(t) 6= d2(t).

Para probar lo anterior, consideramos las funciones fij : U → R,

fij(a1, a2, a3) = d(ai, aj) =√

(xi − xj)2 + (yi − yj)2,

para d(ai, aj) la distancia entre los puntos ai y aj , las cuales son dife-renciables en todo U . Ahora como el supremo, el ınfimo y la suma defunciones continuas son continuas, lo son las funciones

d1 = supf12, f13, f23 : U → R,d3 = inff12, f13, f23 : U → R,d2 = f12 + f13 + f23 − d1 − d3 : U → R,

y son diferenciables en las regiones dadas, porque localmente coincidencon una de las funciones fij y como son constantes en las clases deequivalencia factorizan a traves del cociente U → U/S3 = T .

3. El grupo de los movimientos del plano. Sea G el grupo de losmovimientos rıgidos (ver (1.12.6)) del plano euclıdeo, es decir biyeccionesque conservan la distancia

F : R2 → R2, F (x) = Ax+ b,

con A ∈ O2 y b ∈ R2, el cual es un subgrupo de Lie cerrado del grupode las afinidades del plano.

Podemos definir en la variedad de triangulo T la accion natural

G × T → T , (F, a1, a2, a3]→ F (a1), F (a2), F (a3).


Figura 1.2. El conjunto Z

4. Construccion del espacio cociente. Consideremos la aplicacion con-tinua ϕ = (d1, d2, d3) : T → R3, entonces

Z := Imϕ = (x, y, z) : y + z > x ≥ y ≥ z ≥ 0,

es el espacio topologico cociente T /G = Z, pues dos triangulos tienenlados correspondientes de igual longitud si y solo si existe un movimientoque transforma uno en otro (es decir estan en la misma orbita) y podemosconstruir una seccion continua a la aplicacion ϕ : T → Z, de la siguientemanera dadas las tres distancias d1, d2, d3, consideramos el triangulocon vertices a = (0, 0), b = (0, d1) y c el unico con ordenada positivaque satisface d(a, c) = d3 y d(b, c) = d2. Sin embargo no es variedadtopologica, por tanto no hay cociente geometrico en todos los triangulos.

Debemos por tanto estratificar, pero como el grupo de los movi-mientos no es compacto, simplificamos el problema considerando el sub-conjunto T0 de T de los triangulos cuyo baricentro es el origen, el cuales una subvariedad cerrada de T , para la que existe un difeomorfismocanonico T = T0 × R2, que lleva cada triangulo t con baricentro b(t) a(t − b(t), b(t)) y para H el subgrupo de G de las traslaciones existe elcociente T /H = T0 y es

π1 : T = T0 × R2 → T0.

Ahora se verifica que una subvariedad Y de T es G–estable si y solosi Y = π−1

1 (Y), con Y subvariedad de T0 O2–estable, pues por una partecomo tenemos la proyeccion φ : G → O2, (A, b)→ A y el correspondientediagrama conmutativo

G × T −→ T(φ,π1)

y yπ1

O2 × T0 −→ T0

(T, t) −→ T (t)y y(A, t− b(t)) −→ A(t− b(t)),

pues A(t − b(t)) = A(t) − A(b(t)) = A(t) + b − A(b(t)) − b = T (t) −T [b(t)] = T (t)− b[T (t)], se tiene la implicacion “ ⇐ ” y para ver “ ⇒ ”


sea Y = π1(Y), que por el diagrama es O2–estable y para ver que essubvariedad basta demostrar por (1.1.14) que Y = π−1

1 (Y) y para veresto sea t un triangulo tal que π1(t) = π1(t′), con t′ ∈ Y, por tantot′− b(t′) = t− b(t) y t es una traslacion de t′ y como Y es invariante portraslaciones, t ∈ Y.

Ademas hay un homeomorfismo Y/G = Y/O2, que hace conmutativoel diagrama

Y π−→ Y/Gπ1

y yY π−→ Y/O2

t −→ [t]y yt− b(t) −→ [t− b(t)],

que esta bien definido es sobre y es continua por la propiedad universaldel cociente y ser ππ1 continua y constante en las clases de equivalencia,ya que para T = (A, b),

π(π1[T (t)]) = π[T (t)− b(T (t))] = π[A(t) + b− b(A(t) + b)]

= π[A(t)− b(A(t))] = π[π(t)],

y es inyectiva pues si

[t− b(t)] = [t′ − b(t′)] ⇒ ∃A ∈ O2 : t− b(t) = A(t′ − b(t′))= A(t′)−A(b(t′))

⇒ t = T (t′) ⇒ [t] = [t′],

para T = (A, b(t)−A(b(t′))) y tambien es abierta. Se sigue que Y → Y/Ges una proyeccion regular si y solo si Y → Y/O2 es una proyeccionregular.

Por tanto la cuestion se reduce a estratificar T0 respecto de la acciondel grupo compacto O2 y esto nos lo da la teorıa estudiada. Veamos lostipos de isotropıa de cada triangulo t con baricentro en el origen. Si eltriangulo es equilatero, It tiene 6 elementos: la identidad, los giros de120 y 240 grados y las tres simetrıas respecto de las tres alturas; si esisosceles tiene 2 elementos: la identidad y la simetrıa estandar y si esescaleno solo la identidad. Por tanto hay tres estratos, de los cuales elsegundo tiene dos componentes conexas segun sea la base menor o mayorque los lados iguales.

Se sigue que T descompone de modo unico en union disjunta de lassiguientes cuatro subvariedades a las que llamamos estratos y en las quehay cociente:


— El estrato abierto Tes de los triangulos escalenos.— El estrato Tis− de los triangulos isosceles cuyo lado desigual es de

menor longitud que la de los otros dos lados.— El estrato Tis+ de los triangulos isosceles cuyo lado desigual es de

mayor longitud que la de los otros dos lados.— El estrato cerrado Teq de los triangulos equilateros;

y los cocientes de estos estratos son

(d1, d2, d3) : Tes −→ 0 < z < y < x < y + z ⊂ R3,

(d1, d3) : Tis− −→ 0 < y < x ⊂ R2,

(d1, d3) : Tis+ −→ 0 < y < x ⊂ R2

d1 : Teq −→ R+.

pues son proyecciones regulares y sus fibras son las clases de equivalenciay verifican que toda subvariedad conexa Y de T , que sea G–estable y sucociente Y/G admita estructura de variedad diferenciable de modo queY → Y/G sea proyeccion regular, esta incluida en algun estrato.


Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1.9.- Sea ∆ una distribucion involutiva en X y V un abiertocoordenado como en el teorema de Frobenius. Demostrar que si H ⊂ V esuna variedad integral (conexa), entonces esta en una franja, es decir existenar+1, . . . , an ∈ R, tales que

H ⊂ x ∈ V : ur+1 = ar+1, . . . , un = an.

Demostracion. Basta demostrar que xi = i∗ui son constantes en H. SeaDx ∈ Tx(H), entonces

i∗Dx ∈ ∆x =<∂

∂u1 x

, . . . ,∂

∂ur x> ⇒ Dxxi = i∗Dxui = 0.

Ejercicio 1.2.5.- Demostrar que C∗ = C−0 con el producto como operaciones un grupo de Lie.

Indicacion. Probar que con el sistema de coordenadas dado por la identi-ficacion natural de C∗ con R2−0, x+iy = (x, y), se tiene que las operacionesdel grupo son

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1),

(x, y)−1 =

(x

x2 + y2,−y

x2 + y2

).

Ejercicio 1.2.6.- El cuerpo de los cuaterniones es el primer ejemplo (histo-ricamente) de un cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorialreal de dimension 4, con una base (1, i, j, k), cuyos elementos son de la formaa + bi + cj + dk, (a, b, c, d ∈ R), que se suman componente a componente ysu producto satisface i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i yki = −ik = j. Demostrar que los cuaterniones no nulos H4, con el productoanterior y la estructura de variedad diferenciable dada por su biyeccion conR4\0, es un grupo de Lie.

(Ind.-) El producto y el paso al inverso son diferenciables pues

(y1 + y2i+ y3j + y4k)(x1 + x2i+ x3j + x4k) =

= y1x1 − y2x2 − y3x3 − y4x4+

+ (y1x2 + y2x1 + y3x4 − y4x3)i+

+ (y1x3 − y2x4 + y3x1 + y4x2)j+

+ (y1x4 + y2x3 − y3x2 + y4x1)k.


(x1 + x2i+ x3j + x4k)−1 =x1 − x2i− x3j − x4kx21 + x22 + x23 + x24

.

Observemos que tambien podemos identificar H4 con las matrices comple-jas no nulas de orden 2 del tipo(

a+ bi −c− dic− di a− bi

)con el producto de matrices y esta aplicacion es morfismo de grupos, por tantoel inverso es la matriz inversa.

Ejercicio 1.3.7.- Demostrar que el grupo de las afinidades de un espacio afınn–dimensional An, sobre R, es un grupo de Lie.

Demostracion. Un espacio afın An sobre R es un conjunto sobre elque opera un R–espacio vectorial E n–dimensional, mediante una aplicacionχ : An × E → An, χ(p, v) = p+ v, tal que: (1) (p+ v) + v′ = p+ (v + v′), (2)p + v = p sii v = 0 y (3) dados dos puntos x, y ∈ An existe un unico v ∈ Etal que y = x + v. Una afinidad es una aplicacion ϕ : An → An, para la queexiste un isomorfismo φ : E → E , tal que si y = x + v, ϕ(y) = ϕ(x) + φ(v).Fijando un punto p ∈ An y una base v1, . . . , vn del espacio vectorial asociadoal espacio afın, podemos considerar coordenadas xi en el espacio afın, de talmodo que una afinidad ϕ : An → An en terminos de coordenadas se expresade la forma ϕ(x) = Ax+ b, con A ∈ Gln(R) y b ∈ Rn. Ademas el espacio afınpodemos considerarlo como un hiperplano xn+1 = 1 de un Rn+1, en cuyo casolas afinidades son

A ∈ Gl(n+ 1,R) : xn+1,j = 0, xn+1,n+1 = 1.

Ejercicio 1.3.8.- Demostrar que el grupo de las proyectividades de un espacioproyectivo n–dimensional es un grupo de Lie.

Demostracion. El espacio proyectivo Pn(R) son las rectas pasando porel origen de Rn+1, con la estructura de variedad diferenciable para la que esproyeccion regular la aplicacion

Rn+1 − 0 → Pn(R)x → < x >

Ahora todo automorfismo lineal T : Rn+1 → Rn+1 lleva rectas en rectas y portanto define una aplicacion T : Pn(R)→ Pn(R), para la que es conmutativo eldiagrama

Rn+1 − 0 T−→ Rn+1 − 0↓ ↓Pn

T−→ Pn


El grupo de las proyectividades de Pn es

PGl(Pn) = T : T ∈ Gln+1,

con la composicion, por tanto tenemos una aplicacion

Gln+1 → PGl(Pn)

T → T

que es homomorfismo de grupos por el diagrama anterior y para la que

T1 = T2 ⇔ ∃λ 6= 0, T1 = λT2 ⇔ < T1 >=< T2 >,

siendo todas las implicaciones obvias salvo la primera “⇒”

T1 = T2 ⇒ < T1(x) >=< T2(x) > ⇒ T1(x) = λ(x)T2(x),

y λ(x) es constante pues tomando x e y independientes, tambien lo son T2(x)y T2(y) y

λ(x+ y)T2(x) + λ(x+ y)T2(y) = λ(x+ y)T2(x+ y) = T1(x+ y)

= T1(x) + T1(y) = λ(x)T2(x) + λ(y)T2(y).

Si ahora consideramos el espacio vectorial de las matrices Mn+1 y su espacioproyectivo correspondiente m = (n+ 1)2 − 1 dimensional, tendremos la nuevaproyeccion regular

π : Mn+1\0 → Pm(Mn+1),

y como Gln+1 es un subespacio abierto deMn+1\0, su proyeccion por π es unabierto A ⊂ Pm(Mn+1) —pues para el espacio proyectivo, A ⊂ Pm(Mn+1) esabierto si π−1(A) es abierto, que en nuestro caso es Gln+1—, y A se identificacon PGl(Pn) por la biyeccion φ(< T >) = T , que esta bien definida y esinyectiva por las equivalencias anteriores, y obviamente es sobre. Con estaidentificacion tiene estructura de variedad diferenciable y

π : Gln+1 → A ' PGl(Pn),

es proyeccion regular y es homomorfismo de grupos. Ahora que la operacion(T,Q)→ TQ−1 sea diferenciable se sigue de la existencia de secciones localesy el diagrama conmutativo

Gln+1×Gln+1µ−→ Gln+1

(π,π)

y yπPGl(Pn)× PGl(Pn) −→ PGl(Pn)

Ejercicio 1.3.9.- Demostrar que S3 = x ∈ R4 : ‖x‖2 = 1, con el productodel grupo H4 (de los cuaterniones no nulos) es grupo de Lie.


Ind.- Podemos definir el conjugado de un cuaternion z = x1 +x2i+x3j+x4k ∈ H4 como z = x1 − x2i − x3j − x4k, que corresponde en terminos dematrices (ver el ejercicio (1.2.6)) a la matriz conjugada, y tiene la propiedad

z1z2 = z2 · z1,

pues x+ y = x+ y y como consecuencia es bilineal la aplicacion

Φ(z1, z2) = z1 · z2 − z2 · z1,

y ademas se anula en los vectores de la base. Ahora se tiene que para ‖z‖2 =√x21 + x22 + x23 + x24 =

√zz, si z ∈ S3, z−1 = z ∈ S3 y si z1, z2 ∈ S3, entonces

z1z2 ∈ S3, puesz1z2z1z2 = z1z2z2 · z1 = 1,

y S3 es subgrupo y subvariedad de H4 por tanto grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.10.- Demostrar que el grupo ortogonal

On(R) = A ∈ Gln(R) : AtA = I

es un grupo de Lie.

Solucion. Consideremos la aplicacion diferenciable

F : X ∈ Gln(R) −→ XtX ∈ Gln(R),

entonces para cualesquiera A,X ∈ Gln(R)

F RA(X) = F (XA)

= AtXtXA

= RA LAt F (X), ⇒ F RA = RA LAt F,

por lo tanto el rango de F∗ en I y en A coinciden, por tanto es constante.Como On es subgrupo se sigue de (1.3.2) que es grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.11.- Demostrar que el grupo ortogonal de signatura m, k

Om,k(R) = A ∈ Glm+k(R) : AtEA = E

es un grupo de Lie, para In la identidad de Rn y

E =

(Im 00 −Ik

).

Solucion. Consideremos la aplicacion diferenciable

F : X ∈ Glm+k(R) −→ XtEX ∈ Glm+k(R),


entonces para cualquier B ∈ Glm+k(R)

F RB = RB LBt F,

por lo tanto el rango de F∗ en I y en B coinciden, por tanto es constante.Como Spm,k(n,R) = F−1(E) es subgrupo se sigue de (1.3.2) que es grupo deLie.

Ejercicio 1.3.12.- Demostrar que el grupo simpletico

Sp2n(R) = A ∈ Gl2n(R) : AtJA = J

es un grupo de Lie, para

J =

(0 −II 0

).

Solucion. Consideremos la variedad diferenciable V2n de las matricesreales de orden 2n hemisimetricas, es decir tales que At = −A, y la apli-cacion diferenciable

F : X ∈ Gln(R) −→ XtJX ∈ V2n,

entonces para cualquier B ∈ Gln(R)

F RB = RB LBt F,

por lo tanto el rango de F∗ en I y en B coinciden, por tanto es constante.Como Sp2n(R) = F−1(J) es subgrupo se sigue de (1.3.2) que es grupo de Lie.

Ejercicio 1.3.13.- Demostrar que el grupo lineal especial

Sln(R) = A ∈ Gln(R) : det A = 1

es un grupo de Lie.Solucion. Que es grupo de Lie se sigue de (1.3.3), pues la aplicacion

determinanteF : Gln(R) −→ R∗, F (A) = det A,

es un morfismo de grupos, ya que det I = 1 y

det(A ·B) = det A · det B.

Ejercicio 1.3.14.- Demostrar que el grupo lineal especial ortogonal

SOn(R) = A ∈ On : det A = 1

es un grupo de Lie, que es (On)e.


Solucion. Para ver que es (On)e basta demostrar que es conexo pues esabierto y cerrado. Y es conexo porque todo elemento puede unirse por unacurva continua a la matriz identidad.

Ejercicio 1.5.13.- Demostrar que el algebra de Lie del grupo de los cua-terniones no nulos esta generada por los campos

D1 = x1∂

∂x1+ x2

∂

∂x2+ x3

∂

∂x3+ x4

∂

∂x4,

D2 = −x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2+ x4

∂

∂x3− x3

∂

∂x4,

D3 = −x3∂

∂x1− x4

∂

∂x2+ x1

∂

∂x3+ x2

∂

∂x4,

D4 = −x4∂

∂x1+ x3

∂

∂x2− x2

∂

∂x3+ x1

∂

∂x4,

para los que [D1, Di] = 0, [D2, D3] = 2D4, [D3, D4] = 2D2 y [D4, D2] = 2D3.

(Ind.-) Tomemos la base del tangente Die = ∂xi y como Diy = Ly∗Die,basta calcular Diyxj = ∂(xj Ly)/∂xi. El resultado se sigue del ejercicio(1.2.6).

Ejercicio 1.5.14.- Demostrar que el algebra de Lie de Gln(R) esMn(R) conel corchete de matrices.

Demostracion. Consideremos en las matrices el sistema de coordenadashabitual xij(A) = aij , para A = (aij), es decir la base dual de la base dematrices eij que tienen todas las componentes nulas salvo la de lugar ij, quevale 1. Sean Dij ∈ DG los campos correspondientes a las (∂xij)e ∈ Te(G), porel isomorfismo Te(G) → DG , donde e = I es la matriz identidad. Ahora biencomo por otra parte G ⊂Mn(R) es un abierto, se tienen la composicion H deisomorfismos

Mn(R) → Te[Mn(R)] = Te(G) → DGA →

∑aij(

∂∂xij

)e

→∑aijDij = DA

Calculemos Dij y veamos que el isomorfismo lineal H : Mn(R) → DG es dealgebras de Lie. Como xkrLA =

∑s aksxsr, tendremos que

Dijxkr(A) =∂

∂xij(xkrLA)(e) = akiδjr ⇒

Dijxkr = xkiδjr ⇒

Dij =∑kr

xkiδjr∂

∂xkr⇒

DA =∑ij

aijDij =∑kr

(∑i

xkiair)∂

∂xkr


Veamos ahora que [DA, DB] = D[A,B]

[DA, DB]xkr = DA(DBxkr)−DB(DAxkr)

= DA(∑i

xkibir)−DB(∑i

xkiair)

=∑i

(∑s

xksasi)bir −∑i

(∑s

xksbsi)air

=∑s

xks(∑i

(asibir − bsiair))

=∑s

xks([A,B])sr = D[A,B]xkr.

Ejercicio 1.6.7.- En los terminos del ejercicio (1.5.13), demostrar que el es-pacio vectorial generado por los campos D2, D3, D4, es una subalgebra delalgebra de Lie del grupo de los cuaterniones H4. Demostrar usando los resul-tados de esta leccion que S3 es un grupo de Lie y que su algebra de Lie es R3

con el producto vectorial.

Demostracion. Se sigue de las propiedades de estos campos, vistas en elejercicio (1.5.13) que es isomorfo a R3 con el producto vectorial, considerandola base e1 = D2/2, e2 = D3/2 y e3 = D4/2. Ahora la distribucion ∆ =<D2, D3, D4 > tiene por 1–forma incidente

∑xidxi, por tanto las esferas son las

subvariedades tangentes y por la demostracion de (1.6.4), la variedad integralmaxima pasando por e = (1, 0, 0, 0) es subgrupo, pero S3 es subvariedad, portanto subgrupo de Lie.

Ejercicio 1.7.10.- Demostrar que σ : R→ On es un subgrupo uniparametricosi y solo si σ(t) = etA, con A = −At. Y que el algebra de Lie de O3 es R3 conel producto vectorial

(x, y, z)(x′, y′, z′) = (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′).

Demostracion. Ind. Aplicar (1.7.9) y (1.7.8).

Ejercicio 1.5.7.- Demostrar que σ : R → Sp2n(R) (ver ejercicio (1.3.12)), esun subgrupo uniparametrico sii σ(t) = etA, con AtJ+JA = 0. Demostrar queel algebra de Lie de Sp2n(R) es el espacio vectorial de las matrices deM2n(R)del tipo (

A BC −At

)con A,B,C ∈Mn(R), B y C simetricas; con el corchete de matrices.

Demostracion. Para todo r ∈ R,

σ(r) ∈ Sp2n(R) ⇔ erAt

J = J e−rA ⇔ AtJ + JA = 0,


pues ⇒ se sigue derivando en r = 0 y ⇐ de la expresion en serie de la expo-nencial, pues se sigue por induccion que para todo n,

(At)nJ = J(−A)n.

Ahora es facil ver que las matrices A que satisfacen

AtJ = −JA,

son las del ununciado.

Ejercicio 1.14.1.- Demostrar que si existe tal variedad es unica salvo difeo-morfismos, que π es sobre y constante en las clases de equivalencia.

Ind. Si no fuese sobre existirıa un p ∈ Y, tal que Imπ ⊂ U = Y − p y

como los puntos son cerrados en las variedades, U es abierto y F = π : X → U

diferenciable y constante en las clases de equivalencia, por tanto existe G : Y →U diferenciable, tal que F = G π y para T = Y tendrıamos dos aplicaciones

diferenciables distintas id,G : Y → T , que corresponden a la misma F =

π : X → T .


Bibliografıa y comentarios

La realizacion de estos apuntes ha sido posible gracias a las constantesensenanzas, explicaciones y ayuda de mis companeros Juan AntonioNavarro y Juan Sancho de Salas que me introdujeron en el maravi-lloso mundo de los grupos de Lie (amen de otras teorıas). De ellos recibıtodos los resultados fundamentales y los ejemplos mas importantes deestas notas, fundamentalmente los relativos al espacio cociente. A ellosmi mas profundo agradecimiento.

Muy en segundo lugar hemos utilizado los siguientes libros en la con-feccion de estos apuntes:

Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-

metry”. Ac Press, 1975.

Bourbaki, N.: “Groupes et Algebres de Lie”. Masson, Paris 1982.

Brickell, F. and Clark,R.S.: “Differentiable manifolds”. Van Nostrand Reinhold,

1970.

Bryant, R.L.: “An introduction to Lie groups and symplectic geometry”, pag. 1–180

del libro “Geometry and Quantum Field Theory”, Daniel S. Freed and Karen K.

Uhlenbeck Editors, IAS Park City Mahematical Series, Volume 1, 1995.

Helgason, S.: “Differential geometry, Lie groups and Symmetric Spaces”. Ac.Press.,

1978.

Jacobson, N.: “Lie algebras”. New York. John Wiley, 1962.

Navarro Gonzalez, J.A.: “Algebra conmutativa basica”. Manuales Unex, NY19,

1996.

Olver, P.J.: “Equivalence, Invariants and Symmetry”. Cambridge Univ. Press,

1995.

Onishchik, A.L. and Vinberg, E.B.: “Lie Groups and Lie Algebras I (Foundations

of Lie Theory)”. Encyclopaedia of Math. Sciences, Vol.20. Springer–Verlag, 1993.

Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Pu-

blish or Perish, 1975.

Varadarajan, V.S.: “Lie groups, Lie algebras, and Their representations”. Springer–

Verlag, 1984.

Warner, Frank W.: “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups”.

Scott, Foresman and Company, 1971.

Los grupos de Lie fueron intensamente estudiados por el noruegoSophus Lie (1842–1899). Su interes por los grupos nace de las con-versaciones que mantuvo en Paris con Camille Jordan (1832–1922) yOscar Klein (1849–1925). Jordan estaba convencido de que la teorıa


de grupos estaba destinada a jugar un papel fundamental en el desarrollofuturo de las matematicas y compartio esta conviccion con Lie y Klein.

Jordan establecio una clara distincion entre los grupos continuos(como el de los giros del plano) y los discretos (como el de las simetrıas deun cuadrado), grupos estos que algunos autores llaman cristalograficos,pues los grupos de simetrıa de los cristales son de este tipo. Por su partelos grupos continuos son conocidos como grupos de Lie —aunque Lie losconsideraba como variedades diferenciables y el primero en considerar-los como variedades topologicas fue L.E.J.Brouwer, en un trabajo de1909—. Remitimos al lector al trabajo de

Cartan, E.: “La theorie des groupes finis et continus et l’Analysis Situs”. Mem. Sc.

Math. 42. 1930.: “La theorie des groupes finis et continus et l’AnalysisSitus”: Mem. Sc. Math. 42. 1930.

donde se caracterizan los subgrupos de Lie de un grupo de Lie comolos subgrupos cerrados y en general al lector interesado en los grupostopologicos al libro

Pontriaguin, L.S.: “Grupos continuos”: Ed. Mir, Moscu, 1978.

En la p.326 de este libro se encuentra el resultado fundamental deque un grupo tiene una unica estructura diferenciable que lo haga de Lie,del que se sigue que con las estructuras exoticas, R4 no tiene estructurade grupo de Lie.

El principal estimulo de Lie en la creacion de esta teorıa fue su deseode desarrollar un metodo que resolviera ecuaciones diferenciales por cua-draturas —es decir en terminos de funciones elementales e integrales—,analogo a la Teorıa de Galois, que resolvıa ecuaciones algebraicas porradicales. Sin embargo aunque Lie asocio a cada ecuacion diferencial sugrupo uniparametrico, su metodo —que le permitıa resolver una ecuaciondiferencial por cuadraturas—, partıa de un grupo, para el que encontra-ba todas las ecuaciones diferenciables que “se resolvıan con el grupo”,al contrario de lo que se hace en Teorıa de Galois donde se parte de laecuacion algebraica y a ella se le asocia un grupo.

No obstante hay una Teorıa de Galois, que se conoce como Teorıade Picard–Vessiot, para las ecuaciones diferenciales lineales de orden ncomplejas con coeficientes funciones meromorfas. A estas ecuaciones selas asocia un grupo y se demuestra que la ecuacion diferencial tienesolucion que se puede obtener por cuadraturas si y solo si el grupo esresoluble. Remitimos al lector interesado a la p.181 del libro


Shafarevich, I.R.: “Algebra I ”. Springer–Verlag, 1986.

en el que tambien se pueden encontrar resultados relativos a los gruposde los cristales.

Lie publico su teorıa fundamentalmente en los dos artıculos (“Teorıade grupos de transformaciones.e‘‘Investigaciones generales sobre ecua-ciones diferenciales que determinan un grupo finito continuo”, ver Ro-senfeld, p.348)

Lie, S.: “Theorie der transformationsgruppen”. Leipzig, 1886.

Lie, S.: “Allgemeine untersuchungen uber differentialgleichungen die eine conti-

nuierliche endliche gruppe gestalten”. Leipzig, 1885.

Uno de los principales resultados en los estudios de Lie consisteen asignar a cada grupo de Lie (por tanto de naturaleza continuo—diferenciable), un objeto de naturaleza algebraica mas sencillo: su alge-bra de Lie. Lie trabajo tambien en la construccion recıproca que permiteasignar a cada algebra de Lie un grupo de Lie y estudio con detalle larelacion entre ambos conceptos, lo que le permitio trasladar a la teorıade algebras de Lie todas las nociones especıficas de la teorıa de grupos.

Indice alfabetico

D∇E, 34F lleva D en E, 22F∗D = E, 22La, 13Ra, 13Diff(X ), 49Gln(R), 13Mov(Rn), 50PGl(Pn), 102SOn(R), 17, 104Sln(R), 17, 104Sp2n(R), 17, 104Spm,k(n,R), 17θg , 48θx, 48DG , 23DG , 23G–variedad, 48Ge, 14Mn(R), 13On, 17, 103Om,k(R), 103S1, 16S3, 16, 102g, 27An, 16, 101C∗, 13, 100H4, 14, 100Pn(R), 101R∗, 13Tn, 16Aut(E), 24End(E), 24

accion de un grupo sobre una varie-dad, 48

accion fiel, 49Ad, 51

ad, 51algebra de Lie, 20

abeliana, 21, 35de Sl(2,R), 33de Sp2n(R), 33, 106de O(3), 32de O3, 106de un grupo de Lie, 23

aplicacion G–diferenciable, 49aplicacion diferenciable, 2aplicacion exponencial, 34aplicacion lineal

tangente, 3

campo tangente, 3invariante por la izquierda (de-

recha), 22clasificacion grupos de Lie abelianos,

43cociente categorial, 60cociente geometrico, 62conexion lineal, 33conexion natural de un grupo de Lie,

33conjunto cociente, 55corchete de Lie, 3, 20cosets, 27cuaterniones, 13, 100

diferencial, 3distribucion, 5

involutiva, 52–forma de Poincare–Cartan, 73

energıa, 73entorno coordenado, 1espacio

cotangente, 3

111

112 INDICE ALFABETICO

tangente, 3espacio de orbitas, 57espacio de fases de r partıculas, 72espacio homogeneo, 75espacio proyectivo, Pn(R), 101espacio topologico

cociente, 56simplemente conexo, 38

estructura diferenciable, 1

fibrado normal, 78franjas del entorno, 5funciones diferenciables, 1

germen de una funcion, 2grupo de difeomorfismos, Diff(X ), 49grupo de Lie, 12

Mov(Rn), de los movimientos rıgi-dos en Rn, 50

Spm,k(n,R), 17Om,k(R), 103de automorfismos, Aut(E), 24de las afinidades, An, 16, 101de las proyectividades, PGl(Pn),

102el toro Tn, 16la circunferencia S1, 16la esfera S3, 16, 102lineal especial ortogonal, SOn(R),

17, 104lineal especial, Sln(R), 17, 104lineal general, Gln(R), 13, 24, 31ortogonal de signaturam, k;Om,k,

17, 103ortogonal, On, 17, 103simpletico, Sp2n(R), 17, 104

grupos de isotropıa, 53

identidad de Jacobi, 20inmersion local, 3

Ley de Newton, 73

modulo inyectivo, 46morfismo

de grupos de Lie, 13

orbita de un punto, 52orden entre tipos, 91

potencial, 73producto fibrado, 63proyeccion regular, 10

rangode F diferenciable, 3de una distribucion, 5

representacion adjunta, 51revestimiento, 37

conexo, 37

subalgebra de Lie, 25subgrupo de Lie, 15

inmerso, 18, 19regular, 15

subgrupo uniparametrico de un grupode Lie, 29

subvariedad, 4inmersa, 4

Teoremade caracterizacion de subvarie-

dades, 4de Frobenius, 5del rango, 4

tipo de isotropıa, 86topologıa

cociente, 57en el espacio de tipos, 91

traslaciones en un grupo, 13

1–formas, 3

variedad de triangulos, 95variedad diferenciable, 1variedad integral

de una distribucion, 6maxima de una distribucion, 6

variedad tangente, 6

apuntes de grupos de lie - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~ricarfr/libroglie.pdf · algebra...

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