apuntes de ecuaciones diferenciales ordinarias ecuaciones...

Apuntes de Catedra Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Variables

Apuntes de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias

Ecuaciones de Segundo Orden con

Coeficientes Variables

Octavio Miloni

• Puntos Ordinarios

• Puntos Singulares Regulares

• Ecuacion de Euler

• Metodo de Frobenius

• Ecuacion de Riemann-Papperitz

• Ecuacion Hipergeometrica. Funcion Hipergeometrica

• Funciones Especiales

– Polinomios de Jacobi

– Polinomios de Gegenbauer

– Polinomios de Legendre. Funciones Asociadas de Legendre

– Polinomios de Laguerre Generalizados

– Polinomios de Hermite

– Funciones de Whittaker

– Funciones de Bessel

Catedra: Matematicas Especiales II Ano 2015

Contents

1 Definiciones. Puntos Ordinarios y Singulares Regulares 3

2 Soluciones en Serie de EDO de Segundo Orden Entorno a Puntos Ordinar-ios 4

3 Puntos Singulares Regulares. I: Ecuacion de Euler 53.1 La Ecuacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1 Raıces reales distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2 Raıces complejas distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.3 Raıces iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Puntos Singulares Regulares. II: Metodo de Frobenius 74.1 Raıces distintas con r1 � r2 /2 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Raıces iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Raıces distintas con r2 � r1 2 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Analisis del Punto en el Infinito 16

6 Construccion de Ecuaciones Diferenciales Fuchsianas. Ecuacion de Riemann-Papperitz 176.1 Construccion de una Ecuacion Diferencial con exactamente dos puntos singu-

lares regulares finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Construccion de una Ecuacion Diferencial con exactamente dos puntos singu-

lares regulares. Uno en el x = 0 y otro en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 La Ecuacion de Riemann-Papperitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.4 Propiedades de las Soluciones de la Ecuacion de Riemann-Papperitz . . . . . . 21

7 Serie Hipergeometrica. Ecuacion Hipergeometrica 227.1 Analisis de Convegencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.2 Relacion de la Serie Hipergeometrica con Funciones Trascendentes . . . . . . . 247.3 Mas Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4 Ecuacion Diferencial Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.5 Relacion entre la Ecuacion de Riemann-Papperitz y la Ecuacion Hipergeometrica 257.6 Soluciones de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 Introduccion 30

9 Relaciones Contiguas de las Funciones Hipergeometricas 30

10 Ecuacion de Jacobi. Polinomios de Jacobi 3110.1 Relacion de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.2 Funcion Generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.3 Formula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11 Ecuacion de Gegenbauer. Polinomios de Gegenbauer 3311.1 Caso Particular � = 1

2 : Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.2 Caso Particular � = 0 y � = 1: Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . 35


12 Funciones Asociadas de Legendre. Armonicos Esfericos 36

13 Funciones Hipergeometricas Confluentes 3613.1 Relaciones Contiguas de las funciones hipergeometricas confluentes . . . . . . . 3813.2 Representacion Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

14 Polinomios de Laguerre Generalizados 3914.1 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.2 Propiedades de los polinomios de Laguerre Generalizados . . . . . . . . . . . . 40

15 Polinomios de Hermite 41

16 Ecuacion de Whittaker. Funciones de Whittaker 4116.1 Caso Particular: Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

17 Bibliografıa recomendada 43



1 Definiciones. Puntos Ordinarios y Singulares Regulares

Consideremos ecuaciones diferenciales lineales de la forma:

a

n

(x) y(n)(x) + a

n�1(x) y(n�1)(x) + · · ·+ a0(x) y(x) = 0

la cual puede reescribirse como

y

(n)(x) +a

n�1(x)

a

n

(x), y

(n�1)(x) + · · ·+ a0(x)

a

n

(x)y(x) = 0

Si quisieramos buscar una solucion en serie entorno a un punto x0 sera necesario que cadacoeficiente de la ecuacion no presente ninguna singularidad, ya que la garantıa de soluciones,ya sea en un esquema del tipo Picard o mediante aplicacion del Teorema de Cauchy requierecomo mınimo continuidad de las funciones intervinientes en la ecuacion diferencial.

El caso que vamos a analizar, en virtud de que procuramos soluciones en serie sera el quelas funciones sean analıticas en el punto alrededor del cual exista una solucion en serie. Paraello, es necesario introducir la siguiente definicion,

Definicion. Punto Ordinario. Dada una ecuacion diferencial de la forma

y

(n)(x) +a

n�1(x)

a

n

(x)y

(n�1)(x) + · · ·+ a0(x)

a

n

(x)y(x) = 0

Diremos que x0 es un punto ordinario si y solo si las funciones a

n�1(x)a

n

(x) ,

a

n�2(x)a

n

(x) , . . . ,

a0(x)a

n

(x) sonanalıticas en x0.

En torno a puntos ordinarios, tendremos soluciones analıticas, en una determinada region.Por lo cual, tendremos soluciones en serie de la forma

y(x) =1X

j=0

c

j

x

j

La convergencia de las series esta garantizada por la analiticidad de los coeficientes, pero elradio de convergencia |x� x0| ⇢ estara determinado por el

⇢ < min{⇢0, ⇢1, ⇢2, . . . , ⇢n�1}donde ⇢

j

es el radio del dominio de analiticidad de las funciones a

n�1(x)a

n

(x) ,

a

n�2(x)a

n

(x) , . . . ,

a0(x)a

n

(x) .

Observacion sobre intervalos de convergencia. Como ejemplo, consideremos la ecuaciondiferencial

y

000(x) +1

1 + x

2y

00(x) +1

x

y(x) = 0

Notemos que x0 = 12 es un punto ordinario de la ecuacion diferencial. Ahora, para analizar

los radios de convergencia deberıamos estudiar las regiones de analiticidad de las funcionescoeficientes. Para ello, notemos que la funcion 1

1+x

2 tiene una singularidad en x = ±i y la

funcion 1x

, en x = 0. A partir de esto, desarrollo alrededor de x = 1/2 tendra un lımitecuando alcance a x = 0 por lo que el radio de la region de analiticidad para la funcion 1

x

es|x� 1

2 | < 12 . Para determinar el radio de la region de analiticidad de la funcion 1

1+x

2 debemos

calcular la distancia entre x = 1/2 y x = ±i esa distancia seraq

�

12

�2+ 12 =

p52 entonces,

como 1/2 es el menor, tendremos que la solucion en serie tendra un radio de convergencia|x� 1

2 | < 12



2 Soluciones en Serie de EDO de Segundo Orden Entorno aPuntos Ordinarios

A partir de la garantıa de soluciones en serie para ecuaciones diferenciales con coeficientesanalıticos en un punto determinado, x0, vamos a buscar soluciones en serie de la forma

y(x) =1X

j=0

c

j

(x� x0)j

y luego al imponer que se satisfaga la ecuacion diferencial se encuentrar los coeficientes cj

Ejemplo. Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

y

00(x) + x y = 0

Procuremos una solucion en serie alrededor de x = 0, es decir,

y(x) =X

j=0

c

j

x

j

Las derivadas son

y

0(x) =1X

j=0

j c

j

x

j�1, y

00(x) =1X

j=0

j (j � 1) cj

x

j�2

Reemplazando en la ecuacion diferencial,

1X

j=0

j (j � 1) cj

x

j�2 +1X

j=0

c

j

x

j+1 = 0

Separemos el termino correspondiente a x

0 y reagrupando podemos escribir:

2 c2 +1X

j=0

(j+3) (j+2) cj+3 x

j+1+1X

j=0

c

j

x

j+1 = 2 c2 +1X

j=0

[(j + 3) (j + 2) cj+3 + c

j

] xj+1 = 0

con lo que obtenemos,

c2 = 0

c

j+3 = � c

j

(j + 3) (j + 2)

Esta recurrencia establece: c0 y c1 libres, deben ser definidos a priori. c2 = 0, lo que condicionaa c5 = c8 = · · · = c2+3 ` = 0 y los demas terminos se obtienen a partir de la recurrenciaestablecida.

Como los coeficientes de la ecuacion diferencial son analıticos en todo el plano complejo,es de esperar que la serie sea convergente en toda la recta real, pero se puede estudiar enterminos del criterio del cociente,

lim`!1

�

�

�

�

c

`+3 x`+3+1

c

`

x

`+1

�

�

�

�

=1

(`+ 3)(`+ 2)|x|3 = 0

para todo x. Lo que indica que la serie converge para todo valor de x.



3 Puntos Singulares Regulares. I: Ecuacion de Euler

En este apartado vamos a estudiar ecuaciones diferenciales las cuales poseen coeficientesque no son analıticos en algun conjunto de puntos. No obstante, no todas las ecuacionesdiferenciales con singularidades de este tipo admitiran soluciones en serie. Mas aun, comobuscaremos soluciones de ecuaciones entorno a puntos de signularidad, no podremos esperarseries de potencias tipo Taylor, ya que esto implicarıa analiticidad de la solucion, cosa nogarantizada.

Ademas, de las posibles singularidades existentes, solo analizaremos un tipo particular,las que definiremos como puntos singulares regulares.

Definicion. Punto Singular Regular. Dada una ecuacion diferencial de segundo orden dela forma

P (x) y00(x) +Q(x) y0(x) +R(x) y(x) = 0

Diremos que x0 es un punto singular regular si y solo si las funciones

(x� x0)Q(x)

P (x), y (x� x0)

2 R(x)

P (x)

son analıticas en x0.

Sobre lo especıfico de la definicion volveremos mas adelante y estara sustentada en laintegrabilidad de la ecuacion de Euler.

3.1 La Ecuacion de Euler

Consideremos la ecuacion diferencial

x

2y

00(x) + ↵x y

0(x) + � y(x) = 0

donde ↵ y � son numeros reales.Esta ecuacion diferencial es el paradigma de las ecuaciones con un punto singular regular,

x0. Ademas, la propia estructura de la ecuacion diferencial sugiere a una solucion de la formay = x

r. Reemplazando en la ecuacion diferencial se obtiene

r(r � 1)xr + ↵ r x

r + � x

r = [r(r � 1) + ↵ r + �]xr = 0

Entonces, la potencia r se obtiene resolviendo la ecuacion

r(r � 1) + ↵ r + � = r

2 + (↵� 1)r + � = 0

Podemos definir el polinomio p(r) y lo llamaremos polinomio indicial a

p(r) = r

2 + (↵� 1) r + �

de tal manera que la potencia de las soluciones a la ecuacion diferencial sean las raıces de estepolinomio cuya ecuacion se denomina ecuacion indicial, p(r) = r

2 + (↵� 1) r + � = 0Analicemos las diferentes soluciones de la ecuacion indicial, ya que si bien admite dos,

estas pueden ser diferentes reales, diferentes complejas o iguales.



3.1.1 Raıces reales distintas

Dada la ecuacion indicial,r

2 + (↵� 1) r + � = 0

para el caso(↵� 1)2 � 4� > 0

tendremos dos soluciones reales distintas, r1 y r2, con lo que la solucion general sera

y(x) = c1 xr1 + c2 x

r2

3.1.2 Raıces complejas distintas

Para el caso de que las raıces complejas conjugadas (ya que los coeficientes ↵ y � con reales)tenemos que r1 = ⇠ + i ⌘ y r2 = ⇠ � i ⌘ entonces,

y(x) = c1 x⇠+i⌘ + c2 x

⇠�i⌘ = c1 x⇠

x

i⌘ + c2 x⇠

x

�i⌘

Reescribiendo x

i⌘ = e

i⌘ ln(|x|) entonces, podemos escribir la solucion general

y(x) = x

⇠ [(c1 + c2) cos(⌘ ln |x|) + (c1 � c2) sin(⌘ ln |x|)]

3.1.3 Raıces iguales

Para el caso en que las raıces sean iguales, llamemosla r1, el polinomio indicial puede escribirsep(r) = (r � r1)2. Si escribimos la ecuacion diferencial, y al reemplazar y = x

r,

x

2y

00 + ↵x y

0 + � y = (r � r1)2x

r

esta ecuacion diferencial resulta cero en el r1. Notemos que si derivamos la ecuacion diferencialcon respecto a r, obtenemos

@

@r

⇥

(r � r1)2x

r1⇤

= 2(r � r1)xr + (r � r1)

2x

r ln(|x|)

Lo que significa que la derivada de la ecuacion diferencial, evaluada en r = r1 tambien dacero.

Entonces, permutando la derivacion con respecto a r, tendremos que la derivada conrespecto a r de la funcion solucion tambien es solucion, esto es xr1 ln(|x|) tambien es solucion,por lo que la solucion general es

y(x) = x

r1(c1 + c2 ln |x|)

Ahora que tenemos caracterizadas todas las posibles soluciones para la ecuacion de Euler,estamos en condiciones de estudiar una ecuacion diferencial y proponer una solucion en seriede potencias de x� x0 donde x0 sea un punto singular regular.

La ecuacion de Euler sera el sustendo teorico para la busqueda de soluciones en un entornode puntos singulares regulares.



4 Puntos Singulares Regulares. II: Metodo de Frobenius

Una vez estudiada en detalle la ecuacion de Euler, consideremos un caso mas general deecuacion diferencial lineal de segundo orden que tenga un punto singular regular.

Sin perdida de generalidad, podemos considerar que el punto singular regular es el x = 0,a los fines de simplificar la escritura.

Consideremos la ecuacion diferencial

P (x) y00(x) +Q(x) y0(x) +R(x) y(x) = 0

Esta ecuacion puede ser reescrita como

y

00(x) +Q(x)

P (x)y

0(x) +R(x)

P (x)y(x) = 0

multiplicando a ambos miembros por x2 obtenemos

x

2y

00(x) + x

2 Q(x)

P (x)y

0(x) + x

2 R(x)

P (x)y(x) = 0

Podemos reescribir la ecuacion en la forma

x

2y

00(x) + x

x

Q(x)

P (x)

�

y

0(x) +

x

2 R(x)

P (x)

�

y(x) = 0

Las expresiones entre corchetes son funciones analıticas ya que x = 0 es un punto singularregular (en este punto cobra sentido la especificidad en la definicion de punto singular regular)

Por lo tanto, para las funciones entre corchetes tenemos series de Taylor convergentesalrededor de x = 0,

x

Q(x)

P (x)

�

= ↵0 + ↵1 x+ ↵2 x2 + ↵3 x

3 + · · ·

x

2 R(x)

P (x)

�

= �0 + �1 x+ �2 x2 + �3 x

3 + · · ·

Si reemplazamos estas expresiones en la ecuacion diferencial, tenemos

x

2y

00(x) + x

⇥

↵0 + ↵1 x+ ↵2 x2 + · · · ] y0(x) + ⇥

�0 + �1 x+ �2 x2 + · · · ] y(x) = 0

distribuyendo el primer termino

x

2y

00(x) + ↵0 x y0(x) + x

⇥

↵1 x+ ↵2 x2 + · · · ] y0(x) + �0 y(x) +

⇥

�1 x+ �2 x2 + · · · ] y(x) = 0

Reagrupando, tenemos

x

2y

00(x) + ↵0 x y0(x) + �0 y(x)

| {z }

Euler

+⇥

↵1 x+ ↵2 x2 + · · · ] y0(x) + ⇥

�1 x+ �2 x2 + · · · ] y(x) = 0

el polinomio indicial para la correspondiente ecuacion de Euler, sera

p(r) = r

2 + (↵0 � 1) r + �0



El hecho de que un primer termino sea la ecuacion de Euler, sugiere y motiva a buscarsoluciones en serie para la ecuacion diferencial (ahora, la completa) en la forma

y(x) = x

r

1X

l=0

c

l

x

l

donde r sea solucion de la ecuacion indicial r2 + (↵0 � 1) r + �0

Con esta propuesta de solucion, tenemos

y(x) = x

r

1X

l=0

c

l

x

l =1X

l=0

c

l

x

l+r

y

0(x) =1X

l=0

(l + r) cl

x

l+r�1

y

00(x) =1X

l=0

(l + r) (l + r � 1) cl

x

l+r�2

Reemplazando en la ecuacion diferencial,

x

r

8

<

:

1X

l=0

(l + r) (l + r � 1) cl

x

l +1X

l=0

1X

j=0

↵

j

(l + r) cl

x

l+j +1X

l=0

1X

j=0

�

j

c

l

x

l+j

9

=

;

= 0

entonces,

1X

l=0

(l + r) (l + r � 1) cl

x

l +1X

l=0

1X

j=0

↵

j

(l + r) cl

x

l+j +1X

l=0

1X

j=0

�

j

c

l

x

l+j = 0

Ordenemos las sumatorias, de manera tal de sistematizar el calculo.Llamemos ` = j + l luego, l = `� j y reescribamos las sumatorias dela siguiente manera:

` = 0, 1, 2, . . . y j = 0, 1, 2 . . . ` es decir, ` desde cero a infinito y j desde cero hasta `. Entonces,podemos reescribir la ecuacion

1X

l=0

(l + r) (l + r � 1) cl

x

l +1X

`=0

2

4

`

X

j=0

↵

j

(`+ r � j) c`�j

3

5

x

` +1X

`=0

2

4

`

X

j=0

�

j

c

`�j

3

5

x

` = 0

En la primera sumatoria podemos cambiar la letra l por ` y agrupando tenemos

1X

`=0

8

<

:

(l + r) (l + r � 1) cl

+`

X

j=0

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]

9

=

;

x

` = 0

lo que implica que para ` = 0, 1, 2, . . . se debe cumplir

(`+ r) (`+ r � 1) cl

+`

X

j=0

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] = 0



Extrayendo el primer termino de la sumatoria, correspondiente a j = 0, tenemos,

c

`

[(`+ r) (`+ r � 1) + ↵0 (`+ r) + �0] +`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] = 0

que es equivalente a

c

`

�

(`+ r)2 + ↵0 [(`+ r)� 1] + �0

+`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] = 0

recordando la expresion del polinomio indicial, p(r) = r

2 + ↵0 (r � 1) + �0 podemos escribirla ultima expresion como

p(r + `) c`

+`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] = 0

para ` = 0 tenemos,p(r) c0 = 0

entonces r debe ser raız del polinomio indicial p(r) = 0 que es la ecuacion indicial.Para los demas terminos, se obtuvo la relacion de recurrencia para los coeficientes del

desarrollo

c

`

= � 1

p(`+ r)

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] , ` = 1, 2, . . .

Observacion. Con la expresion anterior podemos obtener todos los coeficientes del desarrollox

r

P1`=0 c` x

`, donde r es raız del polinomio indicial. Como el polinomio indicial es de gradodos, esperamos dos soluciones, las cuales pueden ser distintas o iguales.

Si las raıces son distintas, pero su diferencia es un numero entero, nos encontramos conel siguiente problema: Sean r1 y r2 soluciones de la ecuacion indicial, tales que r1 � r2 = N ,con N entero. Sea r1 < r2. Al calcular el desarrollo correspondiente a la solucion con r = r1

tendremos

y1(x) = x

r1

1X

`=0

c

(r1)`

x

`

donde, para ` � 1 la recurrencia sera

c

(r1)`

= � 1

p(`+ r1)

`

X

j=1

c

(r1)`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

] , ` = 1, 2, . . .

Ahora, conforme varıa ` podemos llegar a ` = N y por lo tanto

c

(r1)N

= � 1

p(N + r1)

N

X

j=1

c

(r1)N�j

[↵j

(N + r � j) + �

j

]

pero N + r1 = r2 que tambien es solucion de la ecuacion indicial, p(r2) = p(r1 +N) = 0 porlo que no se pueden calcular los coeficientes.

Esto significa que el caso en que la diferencia entre raıces del polinomio indicial sea unentero debe ser estudiada particularmente.



4.1 Raıces distintas con r1 � r2 /2 ZEste caso es sencillo ya que a partir de la resolucion de la ecuacion indicial, p(r) = 0 tenemosque la solucion general es

y(x) = �1 xr1

"

1 +1X

`=1

c

(r1)`

x

`

#

+ �2 xr2

"

1 +1X

`=1

c

(r2)`

x

`

#

donde los coeficientes c(r1,2)`

se obtienen a partir de la expresion, para c

(r1,2)0 = 1

c

(r1,2)`

= � 1

p(`+ r1,2)

`

X

j=1

c

(r1,2)`�j

[↵j

(`+ r1,2 � j) + �

j

] , ` = 1, 2, . . .

y donde los ↵

j

y �

j

son los coeficientes del desarrollo de Taylor de las funciones x

Q(x)P (x) y

x

2R(x)P (x) , respectivamente.

4.2 Raıces iguales

Analicemos ahora el caso en que la ecuacion indicial posee una sola raız real, r1. La solucionque se propone es la dada por la expresion

y(x) = x

r1 +1X

`=1

c

`

x

`+r1

donde asumimos c0 = 1 y la relacion para la determinacion de los c`

, (` = 1, 2, 3 . . . ), es

c

`

= � 1

p(`+ r1)

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r1 � j)] + �

j

]

donde, p(r) = r

2 + (↵0 � 1) r + �0 es el polinomio indicial y como admite una unica raız,tendremos p(r) = (r � r1)2

Llamando al operador diferencial L, tal que

L = x

2 d

2

dx

2+ x

xQ(x)

P (x)

�

d

dx

+

x

2R(x)

P (x)

�

donde las funcionesh

xQ(x)P (x)

i

yh

x

2R(x)

P (x)

i

tienen sus desarrollos en serie de Taylor con coeficientes

↵

j

y �

j

, respectivamente.

Llamemos

y

r

(x) = x

r +1X

`=1

c

`

x

`+r

con la relacion para los coeficientes c`

(` = 1, 2, 3 . . . ),

c

`

= � 1

p(`+ r)

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j)] + �

j

]



Si r = r1 (solucion de la ecuacion indicial) la funcion propuesta y

r1(x) es solucion.Vamos a reemplazar y

r

(x) en la ecuacion diferencial y ver que resulta.El operador diferencial se puede escribir como

L = x

2 d

2

dx

2+ x

2

4

1X

j=0

↵

j

x

j

3

5

d

dx

+

2

4

1X

j=0

�

j

x

j

3

5

Extrayendo los terminos correspondientes a j = 0 y agrupando convenientemente, obtenemos

L = x

2 d

2

dx

2+ ↵0 x

d

dx

+ �0 +

2

4

1X

j=1

↵

j

x

j

3

5

x

d

dx

+

2

4

1X

j=1

�

j

x

j

3

5

Ahora apliquemos el operador a la funcion y

r

(x)

L[yr

(x)] =

8

<

:

x

2 d

2

dx

2+ ↵0 x

d

dx

+ �0 +

2

4

1X

j=1

↵

j

x

j

3

5

x

d

dx

+

2

4

1X

j=1

�

j

x

j

3

5

9

=

;

[yr

(x)]

Reemplacemos yr

(x) por la expresion dada y calculemos por separado los terminos relevantes:

•n

x

2 d

2

dx

2 + ↵0 xd

dx

+ �0

o

[yr

(x)]:

⇢

x

2 d

2

dx

2+ ↵0 x

d

dx

+ �0

�

"

x

r +1X

`=1

c

`

x

`+r

#

= p(r)xr +1X

`=1

c

`

p(`+ r)x`+r

| {z }

(⇤)

•h

P1j=1 ↵

j

x

j

i

x

dy

r

(x)dx

:

2

4

1X

j=1

↵

j

x

j

3

5

x

dy

r

(x)

dx

=1X

j=1

r ↵

j

x

j+r +1X

`=1

1X

j=1

↵

j

c

`

(`+ r)x`+r+j

•h

P1j=1 �

j

x

j

i

y

r

(x):

2

4

1X

j=1

↵

j

x

j

3

5

x

dy

r

(x)

dx

=1X

j=1

�

j

x

j+r +1X

`=1

1X

j=1

�

j

c

`

x

`+r+j

Notemos que de la recurrencia de los coeficientes, c`

= � 1p(`+r)

P

`

j=1 c`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

],entonces,

c

`

p(`+ r) = �`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]

Con esta relacion, reemplazando en (⇤) obtenemos,

1X

`=1

c

`

p(`+ r)x`+r = �1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r



Sumando todos los terminos tenemos la accion del operador sobre la funcion y

r

(x)

L[yr

(x)] = p(r)xr �1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r +1X

j=1

r ↵

j

x

j+r

+1X

`=1

1X

j=1

↵

j

c

`

(`+ r)x`+r+j +1X

j=1

�

j

x

j+r +1X

`=1

1X

j=1

�

j

c

`

x

`+r+j

reagrupando terminos, tenemos

L[yr

(x)] = p(r)xr +1X

j=1

[↵j

r + �

j

]xj+r +1X

`=1

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j

| {z }

(⇤⇤)

�1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r

En la expresion (⇤⇤) notemos que hemos definido previamente que c0 = 1, por lo que podemosagrupar estos dos terminos para comenzar la sumatoria en ` desde cero, resultando

1X

j=1

[↵j

r + �

j

]xj+r +1X

`=1

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j =1X

`=0

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j

Entonces, la expresion del operador se va simplificando,

L[yr

(x)] = p(r)xr +1X

`=0

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j �1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r

finalmente, si en el ultimo termino cambiamos el ındice `0 = `� j podemos cambiar el alcancede los ındices en la ultima sumatoria doble con: `0 = 0, 1, 2, . . . y j = 1, 2, . . . resultando, estaultima:

1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r =1X

`

0=0

1X

j=1

c

`

0 [↵j

(`0 + r) + �

j

]x`0+r+j

Es mas, como el ındice es mudo, podemos volver al uso de la letra `, y escribir:

1X

`=1

`

X

j=1

c

`�j

[↵j

(`+ r � j) + �

j

]x`+r =1X

`=0

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j

Entonces, la aplicacion del operador resulta:

L[yr

(x)] = p(r)xr +1X

`=0

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j �1X

`=0

1X

j=1

c

`

[↵j

(`+ r) + �

j

]x`+r+j

Es decir,L[y

r

(x)] = p(r)xr



Esta expresion, que se anula en r = r1 (raız de la ecuacion indicial), puede escribirse como

L[yr

(x)] = (r � r1)2x

r

ya que r1 es raız doble del polinomio indicial. Notemos que al derivar con respecto a r tambienobtenemos la anulacion del operador, esto es,

@

@r

L[yr

(x)]

�

�

�

�

r=r1

= 2(r � r1)xr + (r � r1)

2x

r ln |x|��r=r1

= 0

Lo que implica que al permutar el orden de derivacion, tendremos que

L

@y

r

(x)

@r

�

r=r1

= 0

lo que significa que @y

r

(x)@r

tambien sera una solucion.

Entonces, para el caso en que r1 = r2 la solucion general sera:

y(x) = �1 xr1

"

1 +1X

`=1

c

(r1)`

x

`

#

+

+ �2

(

x

r1 ln |x|"

1 +1X

`=1

c

(r1)`

x

`

#

+ x

r1

1X

`=1

dc

(r1)`

dr

x

`

)

4.3 Raıces distintas con r2 � r1 2 ZPara analizar este caso, recordemos la expresion para los coeficientes del desarrollo de y

r

(x),

y

r

(x) = x

r

"

c0 +1X

`=1

c

`

x

`

#

=1X

`=0

c

`

(r)x`+r

Vamos a poner la dependencia del coeficiente con r a traves de una relacion funcional, c`

(r),en vez del uso del supraındice. Para c0(r) tenıamos la libertad de definirlo a priori como launidad, y los siguientes coeficientes del desarrollo se obtenıan a traves de la relacion

c

`

(r) = � 1

p(`+ r)

`

X

j=1

c

`�j

(r)[↵j

(`+ r � j) + �

j

]

Supongamos que r1 < r2, con r2 � r1 = n 2 N. Con esta suposicion podemos obtener eldesarrollo completo

y

r2(x) =1X

`=0

c

`

(r2)x`+r2

con

c

`

(r2) = � 1

p(r2 + `)

`

X

j=1

c

`�j

(r2)[↵j

(`+ r2 � j) + �

j

] ` = 1, 2, . . .

y ningun denominador se anula, pueso que r2+ ` nunca toma un valor que anule al polinomioindicial.



Claramente los problemas aparecen cuando queremos obtener la serie correspondiente ar1 ya que los coeficientes del desarrollo

c

`

(r1) = � 1

p(r1 + `)

`

X

j=1

c

`�j

(r1)[↵j

(`+ r1 � j) + �

j

] ` = 1, 2, . . .

pueden ser calculados hasta ` = n � 1 ya que p(r1 + n) = p(r2) = 0 y por lo tantoc0(r1), c1(r1), . . . , cn�1(r1) pueden ser calculados sin problemas, pero no ocurre lo mismo conel calculo de c

n

(r1).Tenemos que

p(r + `) c`

(r) = �`

X

j=1

c

`�j

(r)[↵j

(`+ r � j) + �

j

] = D

`

(r)

Por otro lado tenemos lo siguiente:

p(r) = (r � r1) (r � r2)

p(r + n) = (r + n� r1) (r + n� r2) = (r � r1 + n)(r � r1)

Notemos que si D`

(r) tiene como factor a r � r1 resolverıamos la singularidad, ya que

p(r + `) c`

(r) = D

`

(r) = (r � r1) ⇠`

(r)

reemplazando,(r � r1 + n)(r � r1) cn(r) = (r � r1) ⇠n(r)

entonces,

c

n

(r) =⇠

n

(r)

(r � r1 + n)

expresion que no posee ninguna singularidad en r = r1

Dada la libertad para la eleccion de c0(r1) que termina siendo un factor comun dadoel calculo de los c

`

(r1) podrıamos elegir a c0(r) = (r � r1). Esta eleccion nos garantizaque el c

n

(r1) pueda ser calculado, pero todos los anteriores terminan siendo nulos, ya quec0(r1) = r1 � r1 = 0 y todos los siguientes usan los terminos anteriores. Pero esta secuencianula termina en

c

n

(r1) =⇠

n

(r1)

(r1 � r1 + n)=

⇠

n

(r1)

n

y todos los siguientes seran no nulos. Entonces, la serie correspondiente a r1 comienza conx

n, por lo que la solucion correspondiente a r1 sera

y

r1(x) = x

r1x

n

1X

`=0

d

`

(r1)x` = x

r1+n

1X

`=0

d

`

(r1)x`

que es lo mismo que la serie correspondiente a y2 ya que r1 + n = r2, esto es

y

r1(x) = x

r2

1X

`=0

d

`

(r1)x` =

1X

`=0

d

`

(r1)x`+r2



Y por construccion, termina resultando un multiplo de la funcion y

r2 .Lo que obtuvimos entonces es que la unica solucion independiente es la y

r2 y por lo tantotermina siendo un problema analogo al de raıces iguales, es decir que debemos procurar unmecanismo para la obtencion de la otra solucion.

La segunda solucion independiente se obtendra por derivacion con respecto al parametror y luego se evalua en r2

Considerando la solucion para y

r

(x) y c0(r) = r � r1 como

y

r

(x) =1X

`=0

c

`

(r)x`+r

Al aplicar el operador L a esta solucion obtenemos

L[yr

(x)] = p(r)(r � r1)xr

El factor r � r1 aparece porque es factor comun al definir c0(r) = r � r1

Entonces, al derivar con respecto a r obtenemos:

@

@r

[L[yr

(x)]] = p(r)xr + (r � r1)p0(r) + (r � r1)p(r)x

r ln |x|

y claramente se anula en r = r1. Entonces, para obtener la segunda solucion independiente ay

r2 derivamos con respecto a r la propuesta para y

r1 y la evaluemos en r = r1.Obtenemos:

@

@r

[yr1(x)] =

1X

`=0

dc

`

(r)

dr

x

`+r +1X

`=0

c

`

(r)x`+r ln |x|

al evaluar en r = r1 la primera sumatoria se no varıa, pero la segunda comienza en ` = n porlo que ya se vio, entonces

@

@r

[yr1(x)]

r=r1=

1X

`=0

dc

`

(r1)

dr

x

`+r1 +1X

`=n

c

`

(r1)x`+r1 ln |x|

con lo que obtenemos la otra solucion:

y

r1(x) = x

r1

1X

`=0

dc

`

(r1)

dr

x

` + ln |x|xr1+n

1X

`=0

d

`

(r1)x`

y por lo que ya se vio, tenemos que la solucion general para el problema sera:

y(x) = �2 yr2(x) + x

r1

1X

`=0

dc

`

(r1)

dr

x

` + �1 ln |x| yr2(x)

o bien,

y(x) = y

r2(x) [�2 + �1 ln |x|] + x

r1

1X

`=0

dc

`

(r1)

dr

x

`

con �1 y �2 constantes arbitrarias.



5 Analisis del Punto en el Infinito

En las definiciones que se han dado, tanto para punto ordinario como para puntos singularesregulares, los puntos a estudiar y caracterizar eran finitos, x0.

A modo de completar la exposicion, consideraremos el punto en el infinito ya que esde utilidad para un estudio mas general de ecuaciones diferenciales y que son de aplicacionpara las definiciones de las denominadas funciones especiales, entre las que se encuentran lasFunciones Hipergeometricas, Polinomios de Jacobi, etc.

La extension es simplemente hacer un cambio de variables, ⇣ = 1x

y estudiar la ecuaciondiferencial en el punto ⇣ = 0.

Entonces, estudiemos la ecuacion diferencial

P (x) y00(x) +Q(x) y0(x) +R(x) y(x) = 0

pero en la variable ⇣ = 1x

Tenemos que

dy

d⇣

= � 1

⇣

2y

0(x) ! y

0(x) = �⇣

2 dy

d⇣

yd

2y

d⇣

2=

2

⇣

3y

0(x) +1

⇣

4y

00(x) ! y

00(x) = ⇣

4d2y

d⇣

2� 2⇣

dy

d⇣

Reemplazando, tenemos

P

✓

1

⇣

◆

⇣

4d2y

d⇣

2� 2⇣

dy

d⇣

�

+Q

✓

1

⇣

◆

�⇣

2 dy

d⇣

�

+R

✓

1

⇣

◆

y

✓

1

⇣

◆

= 0

Agrupando,

⇣

4P

✓

1

⇣

◆

d

2y

d⇣

2+

2⇣ P

✓

1

⇣

◆

� ⇣

2Q

✓

1

⇣

◆�

dy

d⇣

+R

✓

1

⇣

◆

y

✓

1

⇣

◆

= 0

Para simplificar la notacion llamemos P (⇣) = P

⇣

1⇣

⌘

, Q(⇣) = Q

⇣

1⇣

⌘

, R(⇣) = R

⇣

1⇣

⌘

y

y(⇣) = y

⇣

1⇣

⌘

. Con esta notacion, escribimos

⇣

4P (⇣)

d

2y(⇣)

d⇣

2+⇥

2⇣ P (⇣)� ⇣

2Q(⇣)

⇤

dy(⇣)

d⇣

+R(⇣) y(⇣) = 0

Entonces, podemos escribir

d

2y(⇣)

d⇣

2+

1

P (⇣)

2

⇣

3P (⇣)� 1

⇣

2Q(⇣)

�

dy(⇣)

d⇣

+1

⇣

4

R(⇣)

P (⇣)y(⇣) = 0

Reescrita de esta manera, podemos decir entonces que el punto en el infinito es un puntoordinario si las funciones

1

P (⇣)

2

⇣

3P (⇣)� 1

⇣

2Q(⇣)

�

y

1

⇣

4

R(⇣)

P (⇣)

son analıticas en ⇣ = 0 y el punto en el infinito es singular regular si las funciones

1

P (⇣)

2

⇣

2P (⇣)� 1

⇣

Q(⇣)

�

y

1

⇣

2

R(⇣)

P (⇣)

son analıticas en ⇣ = 0



6 Construccion de Ecuaciones Diferenciales Fuchsianas. Ecuacionde Riemann-Papperitz

Vamos a estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden que admitan puntos sin-gulares, pero solo regulares. Ecuaciones diferenciales de este tipo se denominan de tipo Fuchsianas.Ademas, este tipo de ecuaciones se caracterizan por ser invariantes por transformaciones deMobius, tambien denominadas bilineales,

w =a z + b

c z + d

De este tipo de ecuaciones diferenciales, consideremos aquellas mas elementales: En el casode ecuaciones con un solo punto singular regular, tenemos la ecuacion de Euler.

Recordemos algunos aspectos elementales de la ecuacion de Euler. Como vimos, estaecuacion tiene la forma, para el caso de x0 como punto singular regular:

y

00(x) +↵

(x� x0)y

0(x) +�

(x� x0)2y(x) = 0

El polinomio indicial es p(r) = r

2 + (↵� 1) r+ � = (r� r1)(r� r2) implica que si conocemoslas raıces r1 y r2 se relacionan con los coeficientes de la ecuacion

↵ = 1� r1 � r2, � = r1 r2

Entonces, la Ecuacion de Euler se puede escribir, conociendo las raıces del polinomio indicial

y

00(x) +

1� r1 � r2

(x� x0)

�

y

0(x) +

r1 r2

(x� x0)2

�

y(x) = 0

6.1 Construccion de una Ecuacion Diferencial con exactamente dos puntossingulares regulares finitos

Construyamos ahora una ecuacion Fuchsiana con exactamente dos puntos singulares regularesfinitos, x1 y x2. Para ello, utilicemos como base la ecuacion de Euler.

Podemos construir sin problemas una ecuacion diferencial con estas caracterısticas. Con-sideremos como punto original la ecuacion de Euler, con la siguiente modificacion

y

00(x) +

↵1

x� x1+

↵2

x� x2

�

y

0(x) +

�1 (x1 � x2)

x� x1+

�2 (x2 � x1)

x� x2

�

1

(x� x1)(x� x2)y(x) = 0

Notemos que esta ecuacion tiene exactamente a x1 y a x2 como puntos singulares regulares.Consideremos que estos puntos son ademas finitos.

Supongamos ademas que imponemos la condicion que el punto infinito es un punto ordi-nario.

Notemos que la ecuacion para el punto infinito la obtenemos haciendo el cambio de vari-ables podemos escribir la ecuacion diferencial (ver las notas 3 de puntos singulares y ordinar-ios) originalmente escrita como

y

00(x) + p(x) y(x) + q(x) y(x) = 0



debe cumplirse

⇠

4d2y

d⇠

2+h

2⇠3 � ⇠

2p(⇠)

i

dy

d⇠

+ q(⇠)y = 0

entonces, una de las condiciones para que el punto infinito sea ordinario es que

lim⇠!0

2

⇠

� 1

⇠

2p(⇠) = 0

que es equivalente alimx!1

2x� x

2p(x) = 0

La otra ecuacion, que vincula a la funcion q es

lim⇠!0

q(⇠)

⇠

4= 0 equivalente a lim

x!1x

4q(x) = 0

La ecuacion que tenemos es

y

00(x) +

"

1� r

(1)1 � r

(1)2

x� x1+

1� r

(2)1 � r

(2)2

x� x2

#

y

0(x) +

+

"

r

(1)1 r

(1)2 (x1 � x2)

x� x1+

r

(2)1 r

(2)2 (x2 � x1)

x� x2

#

1

(x� x1)(x� x2)y(x) = 0

con lo que

p(x) =1� r

(1)1 � r

(1)2

x� x1+

1� r

(2)1 � r

(2)2

x� x2

Para que el punto en el infinito se debe cumplir con la condicion mencionada, con lo que

limx!1

2x� x

2

"

1� r

(1)1 � r

(1)2

x� x1+

1� r

(2)1 � r

(2)2

x� x2

#

= 0

Para que esto se cumpla, se debe cumplir

2� 1� r

(1)1 � r

(1)2 � 1� r

(2)1 � r

(2)2 = 0

Entonces, obtenemos la relacion que se debe satisfacer entre las raıces del polinomio indicial

r

(1)1 + r

(1)2 + r

(2)1 + r

(2)2 = 0

La condiciones que impone la condicion para q(x) sera r

(1)1 r

(1)2 = r

(2)1 r

(2)2 y una ecuacion con

estas caracterısticas se puede escribir:

y

00(x) +

"

1� r

(1)1 � r

(1)2

x� x1+

1 + r

(1)1 + r

(1)2

x� x2

#

y

0(x) +r

(1)1 r

(1)2 (x1 � x2)2

(x� x1)(x� x2)y(x) = 0



6.2 Construccion de una Ecuacion Diferencial con exactamente dos puntossingulares regulares. Uno en el x = 0 y otro en el infinito

Tomando la ecuacion anterior, consideremos la transformacion de Mobius para pasar de lospuntos x1 y x2 a los puntos cero e infinito.

La transformacion que consigue la transformacion de los puntos x1 y x2 al cero e infinitoes

z =x� x1

x� x2

Escribamos entonces la ecuacion diferencial original, pero en la nueva variable, z.Para hacer esto, sera necesario obtener las derivadas con respecto a z y el reemplazo de

los terminos en funcion de x, como funcion de z.

• x en funcion de z: A partir de la definicion de la nueva variable z, podemos escribir:

x =x2 z � x1

z � 1

• Calculo de la derivada:dx

dz

=x1 � x2

(z � 1)2

• La relacion entre derivadas se obtiene por calculo directo

y

0(x) =(z � 1)2

(x1 � x2)

dy

dz

y

00(x) =(z � 1)4

(x1 � x2)2d

2y

dz

2+ 2

(z � 1)3

(x1 � x2)2dy

dz

Ademas, en la ecuacion diferencial aparecen los terminos x�x1 y x�x2 los cuales se puedenescribir en funcion de z en la forma:

x� x1 = �(x� x1)z

z � 1, x� x2 = �x� x1

z � 1

Con estas relaciones, podemos reemplazar todo lo obtenido en la ecuacion diferencial y ree-scribirla como

(z � 1)d

2y(z)

dz

2+h

�↵1

z

+ 2� ↵2

i

dy(z)

dz

+

��1

z

+ �2

�

1

z

y(z) = 0

La cual, redefiniendo las constantes, se puede escribir en terminos generales, una ecuaciondiferencial de segundo orden con exactamente dos puntos singulares regulares, uno en el ceroy otro en el infinito:

z

2(z � 1)d

2y(z)

dz

2+ (a+ z b) z

dy(z)

dz

+ (c+ z d) y(z) = 0



6.3 La Ecuacion de Riemann-Papperitz

De manera analoga, podemos escribir en general una ecuacion diferencial de tipo Fuchs contres puntos singulares regulares finitos, x1, x2 y x3

y

00(x) +

↵1

x� x1+

↵2

x� x2+

↵3

x� x3

�

y

0(x) +

+

�1 (x1 � x2)(x1 � x2)

x� x1+

�2 (x2 � x1)(x2 � x3)

x� x2+

+�3 (x3 � x1)(x3 � x2)

x� x3

�

y(x)

(x� x1)(x� x2)(x� x3)= 0

Por cada punto singular regular, podemos escribirla en terminos de las raıces del polinomio

indicial para cada punto singular r(1)1 y r

(1)2 para x1; r

(2)1 y r

(2)2 para x2 y r

(3)1 y r

(3)2 para x3

y

00(x) +

"

1� r

(1)1 � r

(1)2

x� x1+

1� r

(2)1 � r

(2)2

x� x2+

1� r

(3)1 � r

(3)2

x� x3

#

y

0(x) +

+

"

r

(1)1 r

(1)2 (x1 � x2)(x1 � x2)

x� x1+

r

(2)1 r

(2)2 (x2 � x1)(x2 � x3)

x� x2+

+r

(3)1 r

(3)2 (x3 � x1)(x3 � x2)

x� x3

#

y(x)

(x� x1)(x� x2)(x� x3)= 0

Ası escrita, se denomina ecuacion de Riemann-Papperitz.

Con el objetivo de homogeneizar notacion con textos clasicos, tales como el libro de Whit-taker y Watson [2], llamemos ↵ y ↵

0 las raıces del polinomio indicial asociado al punto singularregular x1. Sean � y �

0 las raıces del polinomio indicial asociado al punto singular regular x2y � y �

0 los correspondientes a x3. Cambiemos ademas los x1, x2 y x3 por a, b, c, respectiva-mente. Con este cambio, la ecuacion de Riemann-Paperitz toma la forma:

y

00(x) +

1� ↵� ↵

0

x� a

+1� � � �

0

x� b

+1� � � �

0

x� c

�

y

0(x) +

+

↵↵

0(a� b)(a� c)

x� a

+� �

0 (b� a)(b� c)

x� b

+

+� �

0 (c� a)(c� b)

x� c

�

y(x)

(x� a)(x� b)(x� c)= 0

Si ademas imponemos la condicion de que el punto en el infinito sea ordinario tendremosque los numeros ↵,↵0

,�,�

0 y � y �

0 deben satisfacer la llamada condicion de Riemman,

↵+ ↵

0 + � + �

0 + � + �

0 = 1

y se obtiene a partir de las condiciones de regularidad del punto en el infinito.La solucion formal de esta ecuacion fue denotada por Riemann de la siguiente manera:

y(x) = P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;



6.4 Propiedades de las Soluciones de la Ecuacion de Riemann-Papperitz

Sea

y(x) = P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

la solucion de la ecuacion de Riemann-Papperitz

y

00(x) +

1� ↵� ↵

0

x� a

+1� � � �

0

x� b

+1� � � �

0

x� c

�

y

0(x) +

+

↵↵

0 (a� b)(a� c)

x� a

+��

0 (b� a)(b� c)

x� b

+

+��

0 (c� a)(c� b)

x� c

�

y(x)

(x� a)(x� b)(x� c)= 0

Una propiedad de gran utilidad es la siguiente,

(x� a)`1(x� b)`2(x� c)`3P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

= P

8

<

:

a b c

↵+ `1 � + `2 � + `3 x

↵

0 + `1 �

0 + `2 �

0 + `3

9

=

;

La demostracion completa es muy complicada en terminos calculısticos, pero podemos darnosuna idea considerando la ecuacion de Euler, ya que la ecuacion de Riemann-Papperitz es unaextension de la de Euler incorporando puntos singulares regulares.

Consideremos la ecuacion de Euler con punto singular regular a y raıces del polinomioindicial ↵ y ↵

0

y

00 +1� ↵� ↵

0

x� a

y

0 +↵↵

0

(x� a)2y = 0

Sea u(x) = (x � a)` y(x), donde y(x) es la solucion de la ecuacion de Euler. Entonces,y(x) = (x� a)�`

u(x)Reemplazando y(x) en la ecuacion diferencial, obtenemos,

u

00(x) +

�2`+ 1� ↵� ↵

0

x� a

�

u

0(x) +

`(`+ 1)� `(1� ↵� ↵

0) + ↵↵

0

(x� a)2

�

u(x) = 0

Reagrupando convenientemente tenemos

u

00(x) +

1� (↵+ `)� (↵0 + `)

x� a

�

u

0(x) +(↵+ `)(↵0 + `)

(x� a)2u(x) = 0

lo que implica que ↵ ! ↵ + ` y ↵

0 ! ↵

0 + `, que es justamente lo que plantea la propiedad,para este caso particular.

Otra formulacion de lo anterior es, si y(x) es solucion de la ecuacion de Riemann-Papperitz,entonces

(x� a)

(x� b)

�

`1

(x� c)

(x� b)

�

`2

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

= P

8

<

:

a b c

↵+ `1 � � `1 � `2 � + `2 x

↵

0 + `1 �

0 � `1 � `2 �

0 + `2

9

=

;



7 Serie Hipergeometrica. Ecuacion Hipergeometrica

Antes de continuar con el estudio de ecuaciones del tipo de Fuchs, vamos a ver con relativodetalle la denominada serie hipergeometrica de Gauss. Sean a, b y c tres numeros reales. Laserie de potencias en la variable z definida a traves de

2F (a, b; c; z) = 1 +a b

c

z

1

1!+

a(a+ 1) b(b+ 1)

c(c+ 1)

z

2

2!+

a(a+ 1)(a+ 2) b(b+ 1)(b+ 2)

c(c+ 1)(c+ 2)

z

3

3!+ · · ·

recibe el nombre de serie de Gauss o serie hipergeometrica. Podemos notar que c no puedeser un entero negativo, ya que en algun termino se anularıa el denominador.

Ademas, si a o b es un entero negativo, la serie es en realidad un polinomio, ya que seanula en alguno de sus terminos.

Por ejemplo, de manera directa se puede obtener 2F (a,�3; c; z) se puede escribir

2F (a,�3; c; z) = 1� 3a

c

z

1

1!+ 6

a (a+ 1)

c (c+ 1)

z

2

2!� 6

a (a+ 1)(a+ 2)

c (c+ 1)(c+ 2)

z

3

3!

= 1� 3a

c

z

1

1!+ 3

a (a+ 1)

c (c+ 1)z

2 � a (a+ 1)(a+ 2)

c (c+ 1)(c+ 2)z

3

Nota historica. John Wallis, en su trabajo Arithmetica Infinitorum del ano 1655, fue elprimero en usar el termino hipergeometrica para la serie

1 + a+ a(a+ 1) + a(a+ 1)(a+ 2) + a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) + · · ·

incluso un caso mas general,

1 + a+ a(a+ b) + a(a+ b)(a+ 2b) + a(a+ b)(a+ 2b)(a+ 3b) + · · ·

7.1 Analisis de Convegencia

Para el estudio de convergencia utilizaremos el criterio del cociente a

n+1/an cuando n tiendea infinito. Para este proposito resulta conveniente definir

(a)`

=

(

1 ` = 0

a (a+ 1) (a+ 2) · · · (a+ `� 1) ` > 0

Con esta definicion, la expresion de la serie hipergeometrica puede escribirse como

2F (a, b; c; z) =1X

`=0

(a)`

(b)`

(c)`

z

`

`!

En el caso en que a, b y c sean numeros naturales, podemos notar que

(a)`

=(a+ l � 1)!

(a� 1)!



y lo mismo para b y c. En el caso en que no fueran numeros naturales, podemos hacer uso dela funcion �, recordando que -para el caso de numeros naturales era �(a) = (a� 1)!-

(a)`

=�(a+ `)

�(a)

Entonces, otra expresion de la serie hipergeometrica es

2F (a, b; c; z) =�(c)

�(a)�(b)

1X

`=0

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

Para el estudio de la convergencia, consideremos el cociente�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

(siendo u

n

el termino

n-esimo de la serie) y luego tomemos lımite para n tendiendo a infinito�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

=

�

�

�

�

(a+ n)(b+ n)

(c+ n)(1 + n)

�

�

�

�

|z|

entonces,

limn!1

�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

= |z|

lo que implica que la serie converge para |z| < 1 y diverge para |z| > 1. El caso |z| = 1 hayque estudiarlo particularmente.

Para el caso en que |z| = 1, tenemos que limn!1

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

= 1 con lo que debemos estudiar

particularmente este caso. Para hacer el estudio podemos aplicar el criterio de Raabe el cualestablece

Criterio de Raabe. Sea la serie de terminos positivosP1

`=0 u` tal que

limn!1

u

n+1

u

n

= 1

Sea

L = limn!1

n

✓

1� u

n+1

u

n

◆

Entonces, si L > 1 converge y si L < 1 diverge.

Una reescritura de este criterio (ver Whittaker & Watson) es: Si existe un numero realpositivo � tal que

limn!1

n

✓

u

n+1

u

n

� 1

◆

= �1� �

la serie converge.

Volviendo a la serie hipergeometrica, para |z| = 1 tenemos el cociente

�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

=

�

�

�

�

(a+ n)(b+ n)

(c+ n)(1 + n)

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

(1 + a

n

)(1 + b

n

)

(1 + c

n

)(1 + 1n

)

�

�

�

�

�

Notemos que⇣

1 +a

n

⌘

✓

1 +b

n

◆

= 1 +a+ b

n

+ab

n

2



1

(1 + c

n

)(1 + 1n

)⇡ 1� (c+ 1)

n

+c

2 + c+ 1

n

2

Con estas cuentas adicionales, podemos escribir�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

=

�

�

�

�

(a+ n)(b+ n)

(c+ n)(1 + n)

�

�

�

�

=

�

�

�

�

1 +a+ b� c� 1

n

+O(1

n

2)

�

�

�

�

Como en principio los numeros a, b y c son complejos, el valor absoluto es

�

�

�

�

1 +a+ b� c� 1

n

+O(1

n

2)

�

�

�

�

=

s

✓

1 +Re[a+ b� c� 1]

n

◆2

+

✓

Im[a+ b� c]

n

◆2

+O(1

n

2)

Haciendo un desarrollo de Taylor alrededor de 1n

= 0 podemos escribir�

�

�

�

1 +a+ b� c� 1

n

+O(1

n

2)

�

�

�

�

= 1 +Re[a+ b� c� 1]

n

+O(1

n

2)

Entonces,�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

= 1 +Re[a+ b� c]� 1

n

+O(1

n

2)

Con lo cual

n

✓

�

�

�

�

u

n+1

u

n

�

�

�

�

� 1

◆

= �1 +Re[a+ b� c] +O(1

n

)

Tomando lımite para n ! 1 y aplicando el criterio de Raabe, tenemos que

La serie Hipergeometrica en |z| = 1 converge absolutamente si

Re[a+ b� c] < 0

7.2 Relacion de la Serie Hipergeometrica con Funciones Trascendentes

Mediante calculo directo se puede demostrar las siguientes relaciones:

i)

2F (�n, b; b,�z) = (1 + z)n

ii)

2F (1, 1; 2,�z) =ln(1 + z)

z

iii)

lim�!1

2F (1,�; 1,z

�

) = e

z

iv)

2F (1/2, 1; 3/2; z2) =arctan(z)

z



7.3 Mas Propiedades

•2F (a, b; c; 1) =

�(c)�(c� a� b)

�(c� a)�(c� b)(Gauss)

•d

dz

[2F (a, b; c; z)] =a b

c

2F (a+ 1, b+ 1; c+ 1; z)

•2F (�n, b; c; 1) =

n!

(c)n

Z 1

0t

�n�1(1� t)c+n�1(1� tz)�b

dt (Euler)

7.4 Ecuacion Diferencial Hipergeometrica

Uno de los mayores avances en el estudio de las funciones hipergeometricas, fue hecho porel matematico prusiano Ernst Kummer (1816-1893) quien descubrio que la funcion hiperge-ometrica es solucion de la ecuacion diferencial

z(1� z)d

2y

dz

2+ [c� (1 + a+ b) z]

dy

dz

� ab z = 0

Notemos que podemos escribir esta ecuacion diferencial como

⇢

d

dz

z

d

dz

+ c� 1

�

�

z

d

dz

+ a

�

z

d

dz

+ b

��

y(z) = 0

Luego reemplazando en la ecuacion diferencial y(z) = 2F (a, b; c; z) verificamos que se cumplela igualdad.

7.5 Relacion entre la Ecuacion de Riemann-Papperitz y la Ecuacion Hiper-geometrica

A partir de las propiedades de la ecuacion de Riemann-Papperitz, podemos escribir:

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

P

8

<

:

a b c

0 � + ↵+ � 0 x

↵

0 � ↵ �

0 + ↵+ � �

0 � �

9

=

;

Consideremos ahora el cambio de variable

z =(c� b)(x� a)

(c� a)(x� b)

Este cambio produce una transformacion que al a ! 0, al b ! 1 y al c ! 1, lo que transformala ecuacion diferencial en otra cuya solucion se puede denotar

P

8

<

:

0 1 10 � + ↵+ � 0 z

↵

0 � ↵ �

0 + ↵+ � �

0 � �

9

=

;

Veamos ahora cual es la ecuacion satisfecha por esta ultima expresion



Comencemos entonces con la ecuacion diferencial

y

00 +

1� (↵� ↵

0)

x� a

+1� � � �

0 � 2↵� 2�

x� b

+1� (� � �

0)

x� c

�

y

0(x) +

+(� + ↵+ �)(�0 + ↵+ �)(b� a)(b� c)

(x� a)(x� b)2(x� c)y(x) = 0

mediante el cambio de variable z = (c�b)(x�a)(c�a)(x�b) tenemos que reescribir la ecuacion diferencial

en terminos de la variable z, para ello, hacemos

x =a(b� c)� b(a� c)z

(b� c)� (a� c)z

Entonces,dx

dz

=(a� b)(a� c)(b� c)

[(b� c)� (a� c)z]2

Ademas, tenemos

dy

dz

=(a� b)(a� c)(b� c)

[(b� c)� (a� c)z]2y

0(x) ! y

0(x) =[(b� c)� (a� c)z]2

(a� b)(a� c)(b� c)

dy

dz

Analogamente, obtenemos,

y

00(x) =[(b� c)� (a� c)z]4

(a� b)2(a� c)2(b� c)2d

2y

dz

2� 2(a� c)

[(b� c)� (a� c)z]3

(a� b)(a� c)(b� c)

dy

dz

Ademas, es necesario calcular

(x�a) =(a� b)(a� c) z

[(b� c)� (a� c)z], (x�b) =

(a� b)(b� c)

[(b� c)� (a� c)z], (x�b) =

(a� c)(b� c)(1� z)

[(b� c)� (a� c)z]

Reemplazando en la ecuacion diferencial y simplificando obtenemos

d

2y

dz

2+

1

[(b� c)� (a� c)z]

⇢

(b� c)(1� ↵+ ↵

0)

z

+ (a� c)(1� � � �

0 � 2↵� 2� � 2)+

+(a� b)(1� � + �

0)

1� z

�

dy

dz

� (� + ↵+ �)(�0 + ↵+ �)

z(1� z)y(z) = 0

Si llamamos A = � + ↵+ �, B = �

0 + ↵+ � y C = 1 + ↵� ↵

0 la ecuacion se puede escribir

z(1� z)d

2y

dz

2+ [C � (1 +A+B) z]

dy

dz

�AB z = 0

Lo que implica que podemos relacionar la ecuacion de Riemann-Papperitz con la ecuacionhipergeometrica, y sus soluciones,

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

P

8

<

:

a b c

0 � + ↵+ � 0 x

↵

0 � ↵ �

0 + ↵+ � �

0 � �

9

=

;

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

P

8

<

:

a b c

0 A 0 x

1� C B C �A�B

9

=

;



Llamando z = (c�b)(x�a)(c�a)(x�b) obtenemos

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

P

8

<

:

0 1 10 A 0 z

1� C B C �A�B

9

=

;

Y por lo que hemos obtenenido

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (A,B;C; z)

o, equivalentemente,

P

8

<

:

a b c

↵ � � x

↵

0�

0�

0

9

=

;

=

=

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

2F

✓

↵+ � + �,↵+ �

0 + �; 1 + ↵� ↵

0;(c� b)(x� a)

(c� a)(x� b)

◆

7.6 Soluciones de Kummer

En 1836 Ernst Kummer encontro que la ecuacion de Riemann-Papperitz admite 24 representa-ciones diferentes utilizando funciones hipergeometricas. Estas representaciones se denominansoluciones de Kummer. Podemos notar que a partir de la ecuacion de Riemmann-Papperitz

y

00(x) +

1� ↵� ↵

0

x� a

+1� � � �

0

x� b

+1� � � �

0

x� c

�

y

0(x) +

+

↵↵

0(a� b)(a� c)

x� a

+� �

0 (b� a)(b� c)

x� b

+

+� �

0 (c� a)(c� b)

x� c

�

y(x)

(x� a)(x� b)(x� c)= 0

• Si se intercambia ↵ con ↵

0 y � con �

0 la ecuacion es la misma, pero puede ser escritamediante 4 representaciones distintas.

u1 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵+ � + �,↵+ �

0 + �; 1 + ↵� ↵

0; z)

u2 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵0 + � + �,↵

0 + �

0 + �; 1 + ↵

0 � ↵; z)

u3 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵+ � + �

0,↵+ �

0 + �

0; 1 + ↵� ↵

0; z)

u4 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵0 + � + �

0,↵

0 + �

0 + �

0; 1 + ↵

0 � ↵; z)

• Si se van intercambiando a, b, y c y ↵ con ↵

0, � con �

0 y � con �

0.



De esta manera, Kummer construyo las 24 representaciones, las cuales son:

u1 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵+ � + �,↵+ �

0 + �; 1 + ↵� ↵

0; z)

u2 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵0 + � + �,↵

0 + �

0 + �; 1 + ↵

0 � ↵; z)

u3 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵+ � + �

0,↵+ �

0 + �

0; 1 + ↵� ↵

0; z)

u4 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵0 + � + �

0,↵

0 + �

0 + �

0; 1 + ↵

0 � ↵; z)

u5 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

↵

2F (� + � + ↵,� + �

0 + ↵; 1 + � � �

0; z)

u6 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

↵

2F (�0 + � + ↵,�

0 + �

0 + ↵; 1 + �

0 � �; z)

u7 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

↵

0

2F (� + � + ↵

0,� + �

0 + ↵

0; 1 + � � �

0; z)

u8 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

↵

0

2F (�0 + � + ↵

0,�

0 + �

0 + ↵

0; 1 + �

0 � �; z)

u9 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (� + ↵+ �, � + ↵

0 + �; 1 + � � �

0; z)

u10 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

�

2F (�0 + ↵+ �, �

0 + ↵

0 + �; 1 + �

0 � �; z)

u11 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (� + ↵+ �

0, � + ↵

0 + �

0; 1 + � � �

0; z)

u12 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (�0 + ↵+ �

0, �

0 + ↵

0 + �

0; 1 + �

0 � �; z)

u13 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵+ � + �,↵+ �

0 + �; 1 + ↵� ↵

0; z)

u14 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

2F (↵0 + � + �,↵

0 + �

0 + �; 1 + ↵

0 � ↵; z)

u15 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

(x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵+ � + �

0+,↵+ �

0 + �

0; 1 + ↵� ↵

0; z)

u16 =

(x� a)

(x� b)

�

↵

0 (x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (↵0 + � + �

0,↵

0 + �

0 + �

0; 1 + ↵

0 � ↵; z)

u17 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

↵

2F (� + � + ↵, � + �

0 + ↵; 1 + � � �

0; z)

u18 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

↵

2F (�0 + � + ↵, �

0 + �

0 + ↵; 1 + �

0 � �; z)

u19 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

↵

0

2F (� + � + ↵

0, � + �

0 + ↵; 1 + � � �

0; z)



u20 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

↵

0

2F (�0 + � + ↵

0, �

0 + �

0 + ↵; 1 + �

0 � �; z)

u21 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

�

2F (� + ↵+ �,� + ↵

0 + �; 1 + � � �

0; z)

u22 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

�

2F (�0 + ↵+ �,�

0 + ↵

0 + �; 1 + �

0 � �; z)

u23 =

(x� a)

(x� b)

�

�

(x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (� + ↵+ �

0,� + ↵

0 + �

0; 1 + � � �

0; z)

u24 =

(x� a)

(x� b)

�

�

0 (x� c)

(x� b)

�

�

0

2F (�0 + ↵+ �

0,�

0 + ↵

0 + �

0; 1 + �

0 � �; z)

Estas 24 funciones son solucion de la ecuacion

y

00(x) +

1� ↵� ↵

0

x� a

+1� � � �

0

x� b

+1� � � �

0

x� c

�

y

0(x) +

+

↵↵

0(a� b)(a� c)

x� a

+� �

0 (b� a)(b� c)

x� b

+

+� �

0 (c� a)(c� b)

x� c

�

y(x)

(x� a)(x� b)(x� c)= 0

en la variable z = (c�b)(x�a)(c�a)(x�b)

Lo presentado en este material permite abordar el estudio de las ecuaciones diferencialeslineales con puntos singulares regulares de una manera muy general, tanto que nos permiteabordar el estudio de funciones especiales a partir de relaciones con la funcion hipergeometrica.

El estudio particular de las ecuaciones tales como la de Legendre, Bessel, Laguerre, etc.no nos permite dimensionar las conexiones existentes entre estas ecuaciones diferenciales, cosaque sı lo hace esta manera de verlas.

En el proximo capıtulo desarrollaremos las diferentes relaciones entre las funciones espe-ciales con la ecuacion de Riemann-Papperitz.



8 Introduccion

En este capıtulo vamos a estudiar algunos aspectos de las denominadas funciones especiales.Tıpicamente, por funciones especiales vamos a considerar soluciones de ecuaciones diferen-ciales que por su aplicacion y aparicion en problemas de la fısica matematicas fueron partic-ularmente interesantes, motivo por el cual, tanto a las ecuaciones como a las soluciones sonconocidas por el nombre de quien las descubrieron y estudiaron con profundidad.

Entre las funciones especiales mas conocidas se encuentran las funciones de Bessel, lospolinomios de Legendre, los polinomios de Laguerre, los polinomios de Hermite, las funcionesasociadas de Legendre, los polinomios de Chebyshev, etc.

En muchos textos cada ecuacion es estudiada de manera particular. Sin embargo, aprovechandolo que hemos visto de la ecuacion de Riemann-Papperitz y la funcion hipergeometrica vamos aestudiar estas funciones a traves de transformaciones contıguas de funciones hipergeometricas.

9 Relaciones Contiguas de las Funciones Hipergeometricas

A partir de la funcion hipergeometrica, vamos a estudiar las transformaciones denominadascontiguas y ellas son las definidas a traves de

2F (a± 1, b; c; z), 2F (a, b± 1; c; z), 2F (a, ; c± 1; z)

Veamos que relacion podemos obtener con 2F (a � 1, b; c; z) y 2F (a + 1, b; c; z) Por un lado,tenemos que

2F (a+ 1, b; c; z) =�(c)

�(a+ 1)�(b)

1X

`=0

�(a+ 1 + `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

=�(c)

(a+ 1)�(a)�(b)

1X

`=0

(a+ 1 + `)�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

=�(c)

(a+ 1)�(a)�(b)(a+ 1)

1X

`=0

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!+

+�(c)

(a+ 1)�(a)�(b)

1X

`=0

`

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

entonces,

2F (a+ 1, b; c; z) = 2F (a, b; c; z) +�(c)

(a+ 1)�(a)�(b)

1X

`=0

`

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

De manera analoga, podemos obtener

2F (a� 1, b; c; z) =a�(c)

�(a)�(b)

1X

`=0

1

(a+ `)

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)

z

`

`!

Con estas dos expresiones podemos llegar mediante calculo directo a la relacion contigua

(c� a) 2F (a� 1, b; c; z) + [2a� c� (a� b)z]2F (a, b; c; z) + a(z � 1)2F (a+ 1, b; c; z) = 0



Dado que la definicion de la funcion hipergeometrica establece una simetrıa entre a y b (sonintercambiables, 2F (a, b; c; z) = 2F (b, a; c; z)) tenemos otra relacion contigua por simple in-tercambio entre a y b

(c� b) 2F (a, b� 1; c; z) + [2b� c� (b� a)z]2F (a, b; c; z) + b(z � 1)2F (a, b+ 1; c; z) = 0

Existen muchas y variadas relaciones contiguas, pero vamos a seleccionar las que nos permitanrelacionarlas con las funciones especiales.

10 Ecuacion de Jacobi. Polinomios de Jacobi

Cuando estudiamos las funciones hipergeometricas notamos que si a o b es un entero negativopor ejemplo �n (con n natural) la serie queda truncada y resulta un polinomio de grado n.

Consideremos entonces la ecuacion hipergeometrica con las siguientes particularidades:a = �n, b = n + ↵ + � + 1 y c = ↵ + 1 Aquı, ↵ y � nada tienen que ver los exponentescaracterısticos de la ecuacion de Riemann-Papperitz.

La ecuacion queda modificada

z(1� z)y00(z) + [1 + ↵� (↵+ � + 2)z]y0(z) + n(n+ ↵+ � + 1)y(z) = 0

Ahora, cambiemos la variable z = 1�x

2 , obtenemos la denominada ecuacion de Jacobi

(1� x

2)d

2

dx

2y(x) + [� � ↵� (↵+ � + 2)x]

d

dx

y(x) + n(n+ ↵+ � + 1)y(x) = 0

Para cada n 2 N y cada ↵ y � la solucion de esta ecuacion que satisfaga la condicion

P

↵�

n

(1) =�(↵+ n+ 1)

�(↵+ 1)n!

son los denominados Polinomios de Jacobi. Con esta condicion, la relacion entre los poli-nomios de Jacobi y la funcion hipergeometrica asociada sera

P

↵�

n

(x) =�(↵+ n+ 1)

�(↵+ 1)n!2F

✓

�n, n+ ↵+ � + 1;↵+ 1;1� x

2

◆

10.1 Relacion de Recurrencia

Dada la relacion entre los polinomios de Jacobi y las funcion hipergeometrica, podemos aplicarlas relaciones contiguas para establecer relaciones entre polinomios de Jacobi de distintosgrados, que luego seran de utilidad para los casos particulares que nos seran de interes.

A partir de la relaciones contiguas

(c� a) 2F (a� 1, b; c; z) + [2a� c� (a� b)z]2F (a, b; c; z) + a(z � 1)2F (a+ 1, b; c; z) = 0

y

(c� b) 2F (a, b� 1; c; z) + [2b� c� (b� a)z]2F (a, b; c; z) + b(z � 1)2F (a, b+ 1; c; z) = 0

y teniendo en cuenta que

P

↵�

n+1(x) =�(↵+ n+ 2)

�(↵+ 1)(n+ 1)!2F

✓

�n+ 1, n+ ↵+ � + 2;↵+ 1;1� x

2

◆



y

P

↵�

n�1(x) =�(↵+ n)

�(↵+ 1)(n� 1)!2F

✓

�n� 1, n+ ↵+ �;↵+ 1;1� x

2

◆

podemos establecer la relacion entre los polinomios

(↵+ � + 2n+ 1)[↵2 � �

2 + (↵+ � + 2n)(↵+ � + 2n+ 2)x]P ↵�

n

(x) =

= 2(n+ 1)(↵+ � + n+ 1)(↵+ � + 2n)P ↵�

n+1(x) + 2(↵+ n)(� + n)(↵+ � + 2n+ 2)P ↵�

n�1(x)

Existen otras relaciones de recurrencia, que vinculan diferentes valores de ↵ y �, las cualespueden tambien ser obtenidas a partir de las relaciones contiguas, pero para nuestro propositono seran desarrolladas aquı, sino que formaran parte de las ejercitaciones.

10.2 Funcion Generatriz

Los polinomios de Jacobi admiten como funcion generatriz a

g(x, t) =2↵+�

R[1� t+R]�↵ [1 + t+R]��

dondeR =

p

1� 2xt+ t

2

de manera tal de que al desarrollar g(x, t) en potencias de t,

g(x, t) =1X

`=0

P

↵�

`

(x) t`

desarrollo valido para |t| < 1

10.3 Formula de Rodrigues

Ademas de la funcion generatriz, los polinomios de Jacobi pueden calcularse directamentea partir de una relacion denominada formula de Rodrigues la cual viene dada a partir de laexpresion

P

↵�

n

(x) =(�1)n

2n n!(1� x)�↵(1 + x)��

d

n

dx

n

[(1� x)↵+n(1 + x)�+n]

A modo de ejemplo, podemos calcular el polinomio P

↵�

1 (x), como

P

↵�

1 (x) = �1

2(1� x)�↵(1 + x)��

d

dx

[(1� x)↵+1(1 + x)�+1]

Entonces,

P

↵�

1 (x) =1

2(↵+ 1)(1 + x)� (� + 1)

1

2(1� x)

P

↵�

1 (x) =↵� �

2+

↵+ � + 2

2x

En particular, si ↵ y � son nulos, tenemos

P

0 01 (x) = x



11 Ecuacion de Gegenbauer. Polinomios de Gegenbauer

Si en la ecuacion de Jacobi, consideramos los valores para ↵ y �

↵ = � = �� 1

2

Obtenemos la denominada ecuacion de Gegenbauer:

(1� x

2)d

2

dx

2w(x)� (2�+ 1)x

d

dx

w(x) + n(n+ 2�)w(x) = 0

Cuya solucion normalizada C

n

(1) = �(2�+n)�(2�)n! son los denominados polinomios de Gegenbauer

o funciones ultraesfericas

C

�

n

=�(2�+ n)

�(2�)n!2F

✓

�n, n+ 2�;�+1

2;1� x

2

◆

Claramente, al ser los polinomios de Gegenbauer polinomios de Jacobi, estos satisfaceranlas relaciones de recurrencia, la formula de Rodrigues y de generaran mediante la funciongeneratriz, solo es necesario fijar los valores de ↵ y �

11.1 Caso Particular � = 12 : Polinomios de Legendre

Ahora, si partimos de la ecuacion de Gegenbauer y fijamos � = 12 lo que implicarıa en terminos

de los polinomios de Jacobi ↵ = � = 0 tenemos la ecuacion de Legendre:

(1� x

2)d

2

dx

2w(x)� 2x

d

dx

w(x) + n(n+ 1)w(x) = 0

Cuya solucion polinomica y normalizada son los Polinomios de Legendre, cuya expresion, enterminos de la funcion hipergeometrica es

P

n

(x) = 2F

✓

�n, n+ 1; 1;1� x

2

◆

Dado que los polinomios de Legendre son particularmente interesantes debido a sus diversasaplicaciones, expresemos las diferentes propiedades que los caracterizan.

Consideremos las relaciones de recurrencia que satisfacen los polinomios de Jacobi

• Relaciones de Recurrencia. A partir de saber que P0(x) = 1 y P1(x) = x

(n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xP

n

(x)� nP

n�1(x)

• Funcion Generatriz1p

1� 2xt+ t

2=

1X

`=0

P

`

(x) t`

• Formula de Rodrigues

P

n

(x) =1

2n n!

d

n

dx

n

⇥

(x2 � 1)n⇤



Los polinomios de Legendre poseen muchısimas mas propiedades las cuales seran estudiadasdesde el punto de vista practico. Sin embargo, debemos mencionar una que es fundamental:Ortogonalidad

Z 1

�1P

n

(x)Pm

(x) dx =

(

22n+1 n = m

0 n 6= m

Para comprobar esta propiedad consideremos dos polinomios de Legendre de diferente grado,P

n

y P

m

. Ambos polinomios satisfacen cada uno la ecuacion diferencial

(1� x

2)P 00n

(x)� 2xP 0n

(x) + n(n+ 1)Pn

(x) = 0

(1� x

2)P 00m

(x)� 2xP 0m

(x) +m(m+ 1)Pm

(x) = 0

Si multiplicamos la primera ecuacion por Pm

(x) y la segunda por Pn

(x) y restamos, obtenemos

(1� x

2)⇥

P

n

(x)P 00m

(x)� P

m

(x)P 00n

(x)⇤� 2x

⇥

P

n

(x)P 0m

(x)� P

m

(x)P 0n

(x)⇤

=

= [n(n+ 1)� n(m+ 1)]Pm

(x)Pn

(x)

que puede reescribirse como

d

dx

⇥

(1� x

2)�

P

n

(x)P 0m

(x)� P

m

(x)P 0n

(x)�⇤

= [n(n+ 1)�m(m+ 1)]Pm

(x)Pn

(x)

Integrando entre -1 y 1 demostramos la propiedad para el caso n 6= m

Para el caso en que n = m consideremos la funcion generatriz

1p1� 2xt+ t

2=

1X

`=0

P

`

(x) t`

Elevando al cuadrado a ambos miembros, se obtiene

1

1� 2xt+ t

2=

1X

m=0

1X

`=0

P

`

(x)Pm

(x)t`+m

integrando a ambos miembros con respecto a x, tenemos

Z 1

�1

1

1� 2xt+ t

2dx =

Z 1

�1

1X

m=0

1X

`=0

P

`

(x)Pm

(x)t`+m

dx

1

t

ln

1 + t

1� t

�

=1X

`=0

Z 1

�1P

2`

(x) dx

�

t

2`

(ya demostramos que si ` 6= m la integral se anula)Si el miembro de la izquierda es desarrollado en serie de potencias de t, tenemos

1X

`=0

2

2`+ 1t

2` =1X

`=0

⇢

Z 1

�1[P

`

(x)]2 dx

�

t

2`

con lo que, igualando terminos de igual potencia de t demostramos la propiedad.



11.2 Caso Particular � = 0 y � = 1: Polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Gegenbauer para los cuales el parametro � vale 0 o 1 dan lugar a losdenominados Polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie, respectivamente.

Los polinomios de Chebyshev de primera especie posee las siguientes propiedades, todasderivadas de las propiedades generales de los polinomios de Jacobi

• Ecuacion Diferencial

(1� x

2)d

2

dx

2T

n

(x)� x

d

dx

T

n

(x) + n

2T

n

(x) = 0

• NormalizacionT

n

(1) = 1

• RecurrenciaT

n+1(x) = 2xTn

(x)� T

n�1(x)


T

n

(x) =(�1)n

p⇡

2n+1�(n+ 1/2)(1� x

2)1/2d

n

dx

n

h

(1� x

2)n�1/2i

• Funcion Generatriz1� x t

1� 2x t+ t

2=

1X

`=0

T

`

(x) t`

• Ortogonalidad

Z 1

�1(1� x

2)Tn

(x)Tm

(x) dx =

8

>

<

>

:

0 n 6= m

⇡ n = m = 0⇡

2 n = m 6= 0

Este tipo de producto interno tiene una funcion peso que en este caso es w(x) = (1�x

2).

• Relacion con la funcion hipergeometrica

T

n

(x) = 2F

✓

�n, n;1

2;1� x

2

◆

El caso correspondiente a � = 1 da lugar a los polinomios de Chebyshev de segunda especie,pero las relaciones se obtienen de manera analoga a las anteriores, reemplazando en la ecuacionde Gegenbauer.

Desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales, todas las funciones especiales son lassoluciones polinomicas de las ecuaciones. Claramente, las ecuaciones admiten dos soluciones,pero nuestro proposito fue el de presentar las soluciones polinomicas.



12 Funciones Asociadas de Legendre. Armonicos Esfericos

Para culminar la exposicion de las funciones denominadas esfericas, introduzcamos una ecuaciondiferencial

(1� x

2)d

2

dx

2w(x)� 2x

d

dx

w(x) +

n(n+ 1)� m

2

1� x

2

�

w(x) = 0

Las soluciones de esta ecuacion son las funciones que denotaremos

P

m

n

(x), Q

m

n

(x)

Donde las Pm

n

(x) las llamaremos funciones asociadas de Legendre de primera especie y a lasQ

m

n

(x) las de seguda especie.Las funciones asociadas de Legendre son tambien denominadas armonicos esfericos por

su relacion con la resolucion de la ecuacion de Laplace en la esfera.Estas funciones poseen las siguientes propiedades:


P

m

n

(x) = (1� x

2)m/2 d

m

dx

m

[Pn

(x)]

• Ortogonalidad

Z �1

1P

m1n1

(x)Pm2n2

(x) =

(

0 m1 6= m2 , n1 6= n22

2n1+1(n1+m1)!(n1�m1)!

m1 = m2 , n1 = n2

• Relacion con la funcion hipergeometrica

P

m

n

(x) =1

�(1�m)

1 + x

1� x

�

m/2

2F

✓

�n, n+ 1; 1�m;1� x

2

◆

13 Funciones Hipergeometricas Confluentes

Consideremos nuevamente la ecuacion hipergeometrica

z(1� z)d

2

dz

2y(z) + [c� (a+ b+ 1)z]

d

dz

y(z)� a b y(z) = 0

Vamos a definir una transformacion que reduce la cantidad de singularidades a traves de latransformacion z = x

b

que al reemplazar en la ecuacion diferencial

x

⇣

1� x

b

⌘

d

2

dx

2y(x) +

⇢

c�

(a� 1)

b

+ 1

�

x

�

d

dx

y(x)� a y(z) = 0



y si tomamos lımite para b ! 1 obtenemos la denominada ecuacion hipergeometrica conflu-ente1

x

d

2

dx

2y(x) + (c� x)

d

dx

y(x)� a y(z) = 0

Esta ecuacion diferencial admite una solucion que puede ser obtenida a partir de cambiar lavariable en la funcion hipergeometrica

y

⇣

x

b

⌘

= 2F

⇣

a, b; c;x

b

⌘

=�(c)

�(a)�(b)

1X

`=0

�(a+ `)�(b+ `)

�(c+ `)b`x

`

`!

Ahora consideremos la expresion (que contiene a b)

�(b+ `)

b

`�(b)=

b(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3) · · · (b+ `� 1)

b

`

=b

`(1 + 1b

)(1 + 2b

)(1 + 3b

) · · · (1 + `�1b

)

b

`

Entonces,

limb!1

�(b+ `)

b

`�(b)= 1

Con esto, la solucion de la ecuacion hipergeometrica confluente

y(x) =�(c)

�(a)

1X

`=0

�(a+ `)

�(c+ `)`!x

`

y a esta solucion se la denomina funcion hipergeometrica confluente

1F (a; c;x) =�(c)

�(a)

1X

`=0

�(a+ `)

�(c+ `)`!x

`

Ademas de la funcion 1F (a; c;x) podemos definir otra funcion hipergeometrica confluente(la otra solucion linealmente independendiente de la ecuacion diferencial) definida a traves dela relacion

U(a, c, x) = A 1F (a; c;x) +B x

1�c

1F (a; c;x)

Esta funcion, al igual que la 1F (a; c;x) puede ser obtenida tambien por un proceso de lımiteque elimina el parametro b,

U(a, a� c, x) = limb!1

x

�a

1F

✓

a, c; b; 1� b

x

◆

Que resulta, para A y B

A =�(1� c)

�(1� c+ a)y B =

�(c� 1)

�(a)

1El termino confluencia proviene de hacer ”confluir”dos puntos singulares regulares, que da lugar a un punto

singular irregular. Visto que puntos singulares irregulares no forman parte de nuestro estudio, dejaremos las

definiciones de confluencia a partir de operar sobre la funcion hipergeometrica.



13.1 Relaciones Contiguas de las funciones hipergeometricas confluentes

Analogamente a lo que se hizo con las funciones hipergeometricas, podemos definir las fun-ciones contiguas de 1F (a; c;x) a traves de 1F (a± 1; c;x) y 1F (a; c± 1;x) para luego obtenerlas relaciones contiguas, esto es, las relaciones entre las funciones contiguas.

Antes de plantear las relaciones contiguas, podemos ver que

d

dx

1F (a; c;x) =a

c

1F (a+ 1; c+ 1;x)

con esta propiedad se pueden demostrar las siguientes

(c� a)1F (a� 1; c;x) = (c� a� x)1F (a; c;x) + x

d

dx

1F (a; c;x)

(c� 1)1F (a; c� 1;x) = (c� 1)1F (a; c;x) + x

d

dx

1F (a; c;x)

a1F (a+ 1; c;x) = a1F (a; c;x) + x

d

dx

1F (a; c;x)

(c� a)1F (a; c+ 1;x) = c1F (a; c;x)� c

d

dx

1F (a; c;x)

Ademas, podemos demostrar las siguientes relaciones de recurrencia

(c� a)1F (a� 1; c;x) + (2a� c+ x)1F (a; c;x)� a 1F (a+ 1; c;x) = 0

yc(c� 1)1F (a; c� 1;x)� c(c� 1 + x)1F (a; c;x) + (c� a)a 1F (a; c+ 1;x) = 0

13.2 Representacion Integral

La funcion hipergeometrica 2F (a, b; c;x) admite una representacion integral

2F (a, b; c; z) =�(c)

�(c� b)�(b)

Z 1

0t

b�1 (1� t)c�b�1 (1� z t)�a

dt

valida para Re(c) > Re(b) > 0 Si cambiamos la variable para definir la funcion hiperge-ometrica confluente, z = x

b

y luego tendemos b a infinito, podemos obtener

2F

⇣

a, b; c;x

b

⌘

=�(c)

�(c� b)�(b)

Z 1

0t

b�1 (1� t)c�b�1 (1� x

b

t)�a

dt

utilizando la simetrıa respecto a a y b de la funcion hipergeometrica, podemos escribir

2F

⇣

a, b; c;x

b

⌘

=2 F

⇣

b, a; c;x

b

⌘

=�(c)

�(c� a)�(a)

Z 1

0t

a�1 (1� t)c�a�1 (1� x

b

t)�b

dt

Esta otra representacion nos permite calcular el lımite para b tendiendo a infinito, y obtener

1F (a; c;x) =�(c)

�(c� a)�(a)

Z 1

0e

xt

t

a�1 (1� t)c�a�1dt



14 Polinomios de Laguerre Generalizados

Vamos ahora a estudiar otros polinomios derivados de la ecuacion de Jacobi, pero haciendootros cambios de variable.

Dada la ecuacion de Jacobi,

(1� x

2)y00(x) + [� � ↵� (↵+ � + 2)x]y0(x) + n(n+ ↵+ � + 1)y(x) = 0

con ↵,� > �1 y n = 0, 1, 2, . . .Como vimos, los polinomios de Jacobi de primera especie, P ↵�

n

(x), son una solucion dela ecuacion.

Consideremos el cambio de variables

x = 1� 2

�

t

y al reemplazar en la ecuacion diferencial se obtiene

t

✓

1� t

�

◆

d

2

dt

2y(t) +

↵+ 1� ↵+ � + 2

�

t

�

d

dt

y(t) +n

�

(n+ ↵+ � + 1)y(t) = 0

si ahora tomamos el lımite para � tendiendo a infinito se obtiene que la ecuacion diferencialse transforma en

t

d

2

dt

2y(t) + [↵+ 1� t]

d

dt

y(t) + n y(t) = 0

Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion de Laguerre generalizada.La solucion de esta ecuacion puede ser obtenida directamente haciendo el cambio de

variables en la solucion de la ecuacion de Jacobi (es decir, en los polinomios de Jacobi) yluego tomar lımite para � tendiendo a infinito.

Llamaremos entonces polinomios de Laguerre generalizados a la solucion obtenida a partirde los polinomios de Jacobi

L

↵

n

(t) = lim�!1

P

↵�

n

(1� 2t/�)

Si aplicamos el metodo de Frobenius, podemos obtener la expresion para los polinomiosde Laguerre generalizados

L

↵

n

(t) =1X

`=0

(�1)`�(`+ ↵+ 1)

�(`+ ↵+ 1)`!(n� `)!t

`

Ademas, la expresion para los polinomios generalizados de Laguerre podrıa haberse obtenidoa partir de la funcion hipergeometrica confluente

L

↵

n

(t) =�(n+ ↵+ 1)

n!�(↵+ 1)1F (�n;↵+ 1; t)

14.1 Ortogonalidad

A partir de la relacion de ortogonalidad de los polinomios de Jacobi, vamos a encontrar larelacion de ortogonalidad entre los polinomios de Laguerre generalizados,



Para los polinomios de Jacobi tenemos

Z 1

�1(1� x)↵ (1 + x)�P ↵�

n

(x)P ↵�

m

(x) dx = 2↵+�+1 �(↵+ n+ 1)�(� + n+ 1)

n!(↵+ � + n+ 1)�(↵+ � + 2n+ 1)�

mn

Para encontrar la relacion correspondiente a los polinomios de Laguerre generalizados de-berıamos cambiar la variable x = 1� 2

�

t y luego tender � a infinito

2

�

Z

�

0

✓

2 t

�

◆

↵

✓

2� 2t

�

◆

�

P

↵�

n

✓

1� 2

�

t

◆

P

↵�

m

✓

1� 2

�

t

◆

dt

2↵+�+1

�

↵+1

Z

�

0t

↵

✓

1� t

�

◆

�

P

↵�

n

✓

1� 2

�

t

◆

P

↵�

m

✓

1� 2

�

t

◆

dt

del otro lado de la igualdad tenemos

2↵+�+1 �(↵+ n+ 1)�(� + n+ 1)

n!(↵+ � + n+ 1)�(↵+ � + 2n+ 1)�

mn

que desarrollando la funcion � tenemos

2↵+�+1 �(↵+ n+ 1)�(� + n+ 1)

n!(↵+ � + n+ 1)�(↵+ � + 2n+ 1)�

mn

⇡ �

mn

2↵+�+1�(↵+ n+ 1)

n!

O(�0)

�

↵+1 +O(�0)

Cancelando a ambos miembros de la igualdad y calculando el lımite para � ! 1 llegamos ala relacion de ortogonalidad de los polinomios de Laguerre generalizados

Z 1

0t

↵

e

�t

L

↵

n

(t)L↵

m

(t) dt =1

n!�(↵+ n+ 1)�

mn

Estos polinomios tambien son conocidos como polinomios asociados de Laguerre.Si fijamos el valor de ↵ = 0 obtenemos los polinomios de Laguerre.En virtud de que los polinomios de Laguerre generalizados pueden escribirse en termi-

nos de la funcion hipergeometrica confluente, admiten relaciones de recurrencia, formula deRodrigues, funcion generatriz.

14.2 Propiedades de los polinomios de Laguerre Generalizados

• Relaciones de Recurrencia.

(n+ 1)L↵

n+1(t) = (2n+ ↵+ 1� t)L↵

n

(t)� (n+ ↵)L↵

n�1(t)

(n+ ↵)L↵�1n

(t) = (n+ 1)L↵

n+1(t)� (n+ 1� t)L↵

n

(t)

L

↵

n

(t) = L

↵+1n

(t)� L

↵�1n�1(t)

• Derivadas.d

dt

L

↵

n

(t) = �L

↵+1n�1(t)

d

dt

L

↵

n

(t)� L

↵

n+1(t) = L

↵

n

(t)



• Funcion Generatriz.

(1� x t)�(↵+1)e

( x t

x�1) =1X

`=0

L

↵

`

(t)x`

• Formula de Rodrigues.

L

↵

n

(t) = t

�↵

e

t

1

n!

d

n

dt

n

⇥

e

�t

t

n+↵

⇤

15 Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite tambien pueden ser obtenidos como caso particular de los poli-nomios de Laguerre generalizados.

Si en la ecuacion de Laguerre cambiamos la variable t = x

2 obtenemos

x y

00(x) + (2↵+ 1� 2x2) y0(x) + 4nx y(x) = 0

Si en esta ecuacion reemplazamos ↵ = ±1/2 obtenemos la denominada ecuacion de Hermite.Para ↵ = �1/2 tenemos

y

00(x)� 2x y0(x) + 2 (2n) y(x) = 0

cuya solucion seran los polinomios de Hermite de grado par.si ↵ = 1/2 tenemos

z

00(x)� 2x z0(x) + 2 (2n+ 1) z(x) = 0

con z(x) = xy(x) tendremos como solucion los polinomios de Hermite de grado impar.

16 Ecuacion de Whittaker. Funciones de Whittaker

Comencemos con la ecuacion hipergeometrica confluente

x y

00(x) + (c� x) y0(x)� a y(x) = 0

e introduzcamos el siguiente cambio de variables

y(x) = e

x/2x

�c/2u(x)

Este cambio de variables transforma la ecuacion diferencial original en la correspondiente parau(x)

u

00(x) +

�1

4+

c� 2a

2x+

c(2� c)

4x2

�

u(x) = 0

Si ademas se introducen dos nuevos parametros µ y ⌫ a traves de

a = µ+1

2� ⌫, b = 1 + 2µ

obtenemos la ecuacion

u

00(x) +

"

�1

4+

⌫

x

+14 � µ

2

x

2

#

u(x) = 0



Esta ecuacion es denominada ecuacion de Whittaker la cual esta definida para valores deµ 6= �1

2 ,�12 , . . . .

Una solucion de esta ecuacion puede escribirse a partir de la ecuacion hipergeometricaconfluente

M

⌫;µ(x) = e

�x

2x

µ+ 12 1F (µ+ 1/2� ⌫; 1µ;x)

y la otra solucion linealmente independiente

W

⌫;µ(x) =�(2µ)

�(µ+ 1/2� ⌫)M

⌫;�µ

(x) +�(�2µ)

�(�µ+ 1/2� ⌫)M

⌫;µ(x)

Tanto la ecuacion, como las soluciones fueron obtenidas por Whittaker (Bulletin AmericanMath. Soc. x. pp 125-134, 1904) y por tal motivo fueron llamadas funciones de Whittakerde primer y segunda especie, respectivamente.

16.1 Caso Particular: Ecuacion de Bessel

Para finalizar nuestra breve y esquematica presentacion de las funciones especiales, consider-emos nuevamente la ecuacion de Whittaker

u

00(t) +

"

�1

4+

⌫

t

+14 � µ

2

t

2

#

u(t) = 0

Consideremos el caso ⌫ = 0 y realicemos el siguiente cambio de variables

x = 2t, y(x) = x

�1/2F (x)

la ecuacion de Whittaker se transforma, para la funcion F (x), en

x

2 d

2

dx

2F (x) + x

d

dx

F (x)� (x2 + µ

2)F (x) = 0

Que es la denominada ecuacion de Bessel modificada, cuya solucion viene dada por

F (x) = c1 Iµ(x) + c2Kµ

(x)

donde las funciones I

µ

(x) y K

µ

(x) son las funciones de Bessel modificadas de primera ysegunda especie, respectivamente.

Como la ecuacion de Bessel modificada se obtuvo a partir de un cambio de variables enla ecuacion de Whittaker, es de esperar que la solucion pueda escribirse tambien a partir delas funciones de Whittaker. En efecto, la relacion entre las funciones de Bessel modificadascon las funciones de Whittaker viene dada a partir de

I

µ

(x) =2�2µ�1/2

�(1 + µ)

1px

M0;µ(2x)

y

K

µ

(x) =

r

2x

⇡

W0,µ(2x)

Si nuevamente cambiamos la variable x = i z, la ecuacion de Bessel modificada toma la forma

z

2 d

2

dz

2y(z) + z

d

dz

y(z) + (z2 � µ

2) y(z) = 0



es la conocida como ecuacion de Bessel y cuya solucion general

y(z) = c1 Jµ(z) + c2 Yµ(z)

es una combinacion lineal de las funciones de Bessel, J

µ

(z) y las funciones de Neumann,Y

µ

(z)Para la obtencion de las expresiones de las funciones de Bessel y Neumann es tal vez mas

practico la inspeccion de la ecuacion a traves de proponer una serie mediante el metodo deFrobenius, resultando

J

µ

(z) =⇣

z

2

⌘

µ

1X

`=0

(�1)`

`!�(µ+ `+ 1)

⇣

z

2

⌘2`

En el caso en que µ no sea entero, J�µ

(z) es linealmente independiente con J

µ

(z). En el casode que µ sea entero, la funcion de Neumann se puede escribir

Y

µ

(z) =1

sin(µ⇡)[J

µ

(z) cos(µ⇡)� J�µ

(z)]

donde esta ultima expresion debe entenderse como un proceso de lımite, ya que si µ 2 Z,sin(µ⇡) = 0

17 Bibliografıa recomendada

[1] Coddington, Earl A. Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ed. C.E.C.S.A.(1968)

[2] Boyce, William E. & Di Prima, Richard C. Ecuaciones Diferenciales y Problemas deValores en la Frontera, 3 Edicion, Ed. Limusa Noriega (1978)

[3] Capelas de Oliveira, Edmundo. Funcoes Especiais com Aplicacoes, Ed. Livraria da Fısica,Universidade de Sao Paulo. (2005)

[2] Whittaker, E. T. and Watson, G. N. Modern Analysis, Ed. Cambridge University Press(1952)

[3] Deano Cabrera, Alfredo. Tesis Doctoral, Universidad Carlos III, Madrid, Espana (2006)

[4] Slater, Lucy J. Generalized Hypergeometric Functions, Ed. Cambridge University Press(1966)


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