apunte uchile - fenomenología

8/3/2019 Apunte UChile - Fenomenologa

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Fenomenologa

Eduardo Menendez

19 de junio de 2006


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Indice general

1. Elementos de fsica de solidos 7

1.1. Elementos de cristalografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Fuerzas interatomicas y tipos de solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1. Gases nobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Cristales ionicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3. Cristales covalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4. Metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1. Simetras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2. Deformaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.3. Ondas elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4. Densidad de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.1. Particula libre en una caja unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.2. Partcula libre con condiciones de frontera periodicas en una dimension 331.4.3. Particula libre en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.4. Particula libre en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.5. Ondas elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5. Modelos del calor especifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Mapas discretos 392.1. El mapa logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Grupo de renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Caos en ecuaciones diferenciales ordinarias 473.1. Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. Corte de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2. Mapa de los maximos sucesivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3. Mapa estroboscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Escaleras del diablo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Elementos de optica no lineal 554.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Fenomenos de segundo orden en medios cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . 58

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4 INDICE GENERAL

4.2.1. Efecto electrooptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2. Mezcla de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3. Phase matching en problemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . 604.2.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Fenomenos de tercer orden en medios cubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.1. Efecto electrooptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.2. Tercer armonico y efecto Kerr optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.3. Autoenfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Solitones opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Elementos de biofsica 67

5.1. Biomecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.1. Fuerzas que actuan sobre el femur y la cadera . . . . . . . . . . . . . . 675.1.2. Fuerzas en equlibrio sobre un pie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.3. Efecto de un baston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.4. Fuerzas que actuan sobre las vertebras lumbares . . . . . . . . . . . . . 72

5.2. Conduccion del impulso nervioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.1. Descripcion de las neuronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2. Electromagnetismo del axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.3. Electrotono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.4. Modelo de Hodgkin y Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. Fsica nuclear 936.1. Hechos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2. Modelo estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1. Leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.2. Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2.3. Interaccion electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.4. Interaccion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.5. Interaccion gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.6. Interaccion fuerte o de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.7. Ejemplos de decaimiento de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3. Interaccion entre nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.1. Nivel 1: Potenciales empricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.2. Nivel 2: Meson de Y uk awa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.3. Nivel 3: Interaccion de color residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4. Dimensiones y masas nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.1. Distribucion de masa y carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.2. Energa de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.5. Decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.1. Decaimiento beta directo () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.2. Decaimiento beta inverso (+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5.3. Captura electronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.6. Decaimiento alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.7. Fision nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


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INDICE GENERAL 5

6.8. Reaccion en cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.9. Reactores nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.9.1. Reactores termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.9.2. Reactores rapidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.9.3. Otros problemas de la energetica nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.10. Modelo nuclear de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.10.1. Numeros magicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.11. Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.12. Erratas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7. Fsica de suelos 129


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6 INDICE GENERAL


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8 CAPITULO 1. ELEMENTOS DE FISICA DE SOLIDOS

Figura 1.1: Dos posibilidades de escoger los vectores primitivos en una red de Bravais bidi-mensional. Los dos conjuntos de vectores primitivos se obtienen uno del otro. t1 = 2t1 t2y t2 = t2 t1.

Vectores primitivos Vectores de traslacion a1, a2, a3, tales que todos los puntos de lared de Bravais se pueden conectar por vectores de traslacion R = n1a1 + n2a2 + n3a3, donden1, n2, n3 son numeros enteros.

Celda unitaria es el paralelepipedo generado por tres vectores de la red no coplanares.Si estos tres vectores son primitivos, entonces se denomina celda primitiva. En una redbidimensional, las celdas unitarias son paralelogramos generado por dos vectores de la redno colineales.

Las celdas primitiva cumple que, trasladada segun todos los vectores de la red de Bravais,llena todo el espacio sin traslaparse ni dejar vacio.

Los vectores primitivos no son unicos. Considere la siguiente red bidimensional de laFigura 1.1. Hay infinitas formas de escoger los vectores pimitivos, aunque unas son mascomodas que otras. La caracteristica que los une es que todas las celda primitivas generadapor ellos tiene la misma area. En una red tridimensional, todas las celdas primitivas tienenel mismo volumen. El volumen de una celda definita por vectores a1, a2, a3 es igual a

= a1 a2 a3. (1.1)

Toda celda primitiva es una celda unitaria. Una celda unitaria de volumen minimo, esuna celda primitiva.

Notemos que a una celda primitiva le corresponde exactamente un punto de la red. En laFig. 1.1 podemos notar que cada celda tiene puntos en los vertices. Cada uno de estos puntosesta compartido por cuatro celdas (la celda central y tres vecinas), de modo que cada unocontribuye un cuarto a la celda central. Sumando se obtiene un punto. Una celda unitaria noprimitiva contiene mas de un punto de la red.

En ocasiones la celda primitiva no tiene toda la simetria de la red. En estos casos seacostumbra utilizar celdas que tiene todas las propiedades de simetria de la red. Generalmenteesta celda tiene mayor volumen y se le llama celda convencional.


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1.1. ELEMENTOS DE CRISTALOGRAFIA 9

Segun hemos visto, especificando tres vectores primitivos se define completamente una

red de Bravais, y a su vez se define la celda primitiva. Es usual en cristalografia describirla celda primitiva mediante 6 paramtros: a,b,c,,,, donde a, b y c son los lados de lacelda primitiva, es el angulo formado por los lados b y c, por los lados a y c, y por los lados a y b. Esto se ilustra en la Fig. 1.2. Notese que definir tres vectores requiere 9

Figura 1.2:

numeros, mientras que solo se necesitan 6 para definir la celda unitaria. Los 3 parametros quesobran en la definicion de los vectores definen la orientacion de la celda respecto al sistemade coordenadas. En la practica, se escoge el sistema de coordenadas mas comodo posible.

Muchos programas de cristalografia o de calculos atomisticos definen el vector a1 = (a, 0, 0)paralelo al eje OX (1 parametro), a2 = (b cos , b sin , 0) (2 parametros) y el vector a3 enuna direccion general (3 parametros).Ejercicio. Encuentre una formula para las componentes de este vector!.

Figura 1.3: Red hexagonal que no corresponde a una red de Bravais, pues los puntos blancosno tienen el mismo entorno que los puntos negros. Tambien se muestra la red de Bravaisasociada.

Notemos que no toda red es de Bravais, lo cual se ilustra el la Fig. 1.3. Sin embargo, sele puede asociar una red asociada a los puntos negros o a los puntos blancos. La figuraanterior se corresponde al ordenamiento de los atomos de carbono en ciertos planos del grafito.


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La estructura tridimensional del grafito se obtiene superponiendo estos planos en direccion

perpendicular a la figura. La estructura bidimensional ideal ilustrada en la figura se denominagrafeno, termino muy utilizado en la literatura de nanotubos de carbono.

Este caso demuestra que no hay cristales (la mayoria) que no se pueden describir solamenecon una red de Bravais. Esto hace necesario el concepto de base.

Base Conjunto de atomos que se asocia identicamente a cada punto de la red.

Generalmente la base se especifica mediante las coordenadas de los atomos respecto aun punto de la red, que se toma como origen de coordenadas, y respecto a ciertos ejes decoordenadas. Si los vectores primitivos se especifican mediante sus componentes, entonces lasposiciones atomicas se especifican mediante sus coordenadas cartesianas, respecto al mismosistema de ejes usado para definir los vectores. Por otra parte, si la celda (primitiva o con-

vencional) se define mediante los parametros a,b,c,,,, entonces las posiciones atomicasse especifican en coordenadas fraccionarias x,y,z, de modo que la posicion de un atomoes

r = xa1 + ya2 + za3, (0 x, y,z < 1). (1.2)

La red del grafeno es un claro ejemplo de red con base, siendo la red, por ejemplo, lospuntos negros en la Fig. 1.3, y la base el conjunto de dos atomos ubicados en un punto negroy en el punto blanco superior.

Para aclarar el concepto de base, veamos la simpatica Figura 1.4. Las cruces

son puntos

de una red, mientras que la flor constituye la base asociada a cada punto de la red. Noteseque los puntos de la red son puntos matematicos, no es necesario que esten ocupados poratomos o por ninguna parte de la base.

Figura 1.4: Ejemplo de una red en la cual el los simbolos

indican los puntos de la red, y la

flor es la base.


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1.1.1. Ejemplos.

Red cubica simple Los vectores primitivos

a1 = ax

a2 = ay

a3 = az

(1.3)

donde a es el parametro de red. La celda primitiva es un cubo. El Polonio presenta estaestructura.

Red cubica de cara centrada (fcc).

Figura 1.5: Red cubica de cara centrada (fcc) con parametro de red a. Derecha: Celda con-vencional y celda primitiva.

Los vectores primitivos son

a1 =a

2(y + z)

a2 =a

2(z + x)

a3 =a

2(x + y)

(1.4)

donde a es el parametro de red. El Cobre y el Argon presentan esta estructura con parametrosde red aCu = 3,61 [A] y aAr = 5,26 [A] a (4.2 [K]) respectivamente.

La Fig. 1.5 muestra la celda convencional de la red fcc. Contemos el numero de puntos dela red que contiene esta celda. Hay 6 puntos en el centro de las caras, que se comparten entredos celdas adyacentes, por tanto, contamos 3 puntos. En los vertices del cubo hay 8 puntos,cada uno de los cuales se comparten en 8 celdas, por tanto, suman 1 punto. Asi en totalcorresponden 4 puntos de la red. Esto indica que el volumen de la celda convencional a3 es 4veces el volumen de la celda primitiva, definida por los vectores (1.4). La Figura 1.5 muestrala relacion entre la celda convencional y la celda primitiva. Notese que la celda convencionaltiene la simetria cubica de la red, pero no asi la celda primitiva.

Ejercicio Demuestre usando la formula (1.1) que el volumen de la celda primitiva es a3/4.Definimos el numero de coordinacion como el numero de vecinos mas cercanos. Para

los ejemplo tenemos:


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Figura 1.6: Ilustracion de la simetria de un cubo.

Cubica simple seis vecinos.

Cubica de cuerpo centrado (bcc) ocho vecinos.

Cubica centrada en las caras (fcc) doce vecinos.

1.1.2. Simetra

Una operacion de simetra es aquella que que aplicada a un sistema lo deja invariante.Como ejemplo, ya hemos visto que las traslaciones R = n1a1+ n2a2+ n3a3 (n1, n2, n3 enteros)

dejan invariantes a una red de Bravais.El estudio de la simetria de los cristales facilita la clasificacion de estos y el calculo demuchas magnitudes. Toda red de Bravais presenta simetria de traslacion. Adicionalmentepuede presentar otras operaciones. Consideremos la red fcc, que hemos visto en los ejemplos.La celda convencional tiene todas las propiedades de simetria de un cubo. Vease la Figura1.6

1. Reflexion respecto a un planos paralelos a las caras ().

2. Reflexion respecto a planos que pasan por las diagonales de las caras.

3. Rotaciones en multiplos de 90 alrededor de los ejes C4.

4. Rotaciones en multiplos de 120 alrededor de los ejes S6, que pasan por las diagonales.

5. Roto-reflexiones en el eje S6. Esto es una rotacion de 60, seguida de una reflexion en

el plano perpendicular al eje S6 y que pasa por el centro del cubo.

6. Rotaciones en multiplos de 180 alrededor de los ejes C2.

7. Inversion respecto al centro del cubo.

8. Combinaciones de todas las operaciones anteriores.

No pretendemos hacer un estudio detallado de las propiedades de simetria, sino informarde su existencias y de los conceptos basicos. El conjunto de propiedades de simetria de unsistema forma una estructura matematica llamada grupo, que cumple unos pocos axiomas


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1. La combinacion de dos operaciones de simetria es una operacion de simetria

2. Existe la operacion identidad (no hacer nada).

3. Para toda operacion de simetria existe la operacion inversa (ejemplo, rotaciones de 90

y -90.)

A partir de las propiedades anteriores y estableciendo una relacion con el algebra de matricesse ha desarrollado la llamada teoria de grupos, que es la teoria matematica de la simetria.De los postulados anteriores puede razonarse que el conjunto de traslaciones de una red deBravais forma un grupo, el Grupo de Traslaciones de la Red de Bravais. El conjunto detransformaciones de simetria de un sistema (por ejemplo, un cubo, una red), que incluye

rotaciones, reflexiones y roto-reflexiones respecto a ejes que pasan por un punto comun,ademas de la inversion respeto al mismo punto, se denomina grupo puntual. La red fcctiene el mismo grupo puntual de simetria que el cubo, que en este caso particular se llamaOh. La celda convencional de una red, por su definicion, tiene el mismo grupo puntual quela red de Bravais correspondiente. Si se combina una traslacion con una operacion del grupopuntual, tambien se deja invariante la red de Bravais. Al conjunto de operaciones de simetriaque incluyen traslaciones y operaciones puntuales, se le llama grupo espacial de la red deBravais.

Para las redes de Bravais tridimensionales existen solamente siete grupos puntuales posi-bles y 14 grupos espaciales. Obviamente, varios grupos espaciales comportan el mismo grupo

puntual. Esto permite clasificar todos los cristales en siete sistemas cristalinos (segun elgrupo puntual) y en 14 redes de Bravais (segun el grupo espacial). La Figura 1.7 ilustra lossiete sistemas cristalinos

1. Cubico. a = b = c, = = = 90. Tiene tres posibles redes, que se denotan conletras mayusculas segun el tipo de celda convencional y los puntos de la red que estacontiene: la cubica simple (P, de Primitive), cubica centraba en el cuerpo (I, de Inner),cubica centrada en las caras (F, de Faces). Tambien se conocen por sus siglas en ingles:sc (simple cubic), bcc (body centered cubic) y fcc (face centered cubic).

2. Tetragonal a = b

= c, = = = 90. Tiene dos posibles redes, simple (P) y centrada

(I).

3. Ortorrombico a = b = c, = = = 90. Tiene cuatro posibles redes: simple (P),centrada en el cuerpo (I), centrada en las bases (C, de Center), centrada en las caras(F).

4. Monoclinico. a = b = c, o = 90. Tiene dos posibles redes: simple (P) y centradaen las bases (C).

5. Triclinico. Solo tiene redes simples y celdas primitivas (P).

6. Hexagonal. a = b, = = 90, = 120. Solo hay un tipo de red (P). La celdaconvencional no es un hexagono, aunque se ilustre asi en la figura. Recuerde que siemprela celda convencional es un paralelepipedo.


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7. Trigonal. a = b = c, = = < 120. Para este sistema siempre es posible escoger

alternativamente una celda del tipo hexagonal. Si esta es primitiva, entonces es equi-valente al sistema hexagonal. Si la celda hexagonal no es primitiva, entonces la celdaprimitiva es romboedrica y se designa R.

Figura 1.7: Las 14 redes de Bravais, representadas por sus celdas convencionales.

En 1842, M. L. Frankenheim, determino erroneamente que existen 15 tipos de redes. A.


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Figura 1.8: Ilustracion de la simetria de la molecula de agua.

Bravais corrigio el error en 1845 y por eso las redes llevan su apellido.1

La Figura 1.8 representa la molecula de agua. Las propiedades de simetria que esta tieneson: identidad, rotacion de 180 alrededor del eje central, reflexion respecto al plano de lamolecula y respecto al plano perpendicular, y todas las combinaciones de estas. El conjuntode estas propiedades forma el grupo de simetria denominado C2v.

Que ocurre si en cada punto de la red de Bravais fcc se pone una molecula de agua?Que simetria tiene ese hipotetico cristal? Evidentemente, las operaciones de simetria sonlas combinaciones de las traslaciones de la red mas aquellas operaciones puntuales que soncomunes a la red fcc y a la molecula de agua. en algunos casos. La simetria de este cristal esmas baja que la simetria de la red de Bravais, y el conjunto de operaciones de simetria quedejan invariante el cristal, se llama grupo espacial del cristal o grupo espacial cristalo-grafico. Esto implica que los subgrupos2 de los 14 grupos espaciales de las redes de Bravais,tambien son posibles para las estructuras cristalinas. Estos son todos los grupos de simetriaque puede tener una red de Bravais con base y se denominan grupos espaciales crista-lograficos. Existe un total de 230 grupos espaciales cristalograficos (comparese con los 14grupos espaciales de las redes sin base). El subconjunto de operaciones de simetria puntuales(o sea, las operaciones que no involucran traslacion) de un grupo espacial cristalografico sellama grupo puntual cristalografico, de los cuales existen 32 (comparese con los 7 grupospuntuales de las redes de Bravais).

No nos detendremos a explicar la notacion utilizada para designar los grupos espaciales.Basta conocer que existen 230 y que estos especifican totalmente la simetria de un cristal.

En las bases de datos de cristalografia, y en muchos programas de simulacion, la informaciondel grupo espacial es esencial. Existen tres formas de designarlos

1. Numerica. Simplemente un numero entre 1 y 230, segun un orden establecido en unlibro llamado Tablas Internacionales de Cristalografia.

2. Notacion de Schoenflies. Ejemplo, el grupo 14 es C52h

1Con justicia, deberian llamarse redes de Frankenheim-Bravais. En el siglo XX, A. A. Abrikosov (premioNobel 2003) predijo las redes de vortices en los superconductores de alta temperatura. Por errores numericosde calculo, predijo que las redes deberian ser cuadradas, cuando en realidad son hexagonales. Sin embargo seconocen como redes de Abrikosov (y desconozco quien enmendo el error).

2Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que tambien es un grupo, o sea, que cumple los tres axiomasde grupo.


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3. Notacion de Herman-Maughin. Ejemplo, el grupo 14 es P 1 1 21/b 1, o abreviadamente

P21/b.

El trabajo de deducir las propiedades de todos los grupos es monumental y se encuentra com-pilado en las Tablas Internacionales de Cristalografia, las que constituyen una herramientafundamental para el trabajo de los cristalografos. Un fragmento de esta tabla se muestra enla Figura 1.9

Figura 1.9: Fragmento de las Tablas Internacionales de Cristalografia

Una nota respecto a la informacion contenida en estas tablas. En la parte izquierda puedeverse una columna con el encabezamiento Number of positions, Wyckoff notation, and point


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1.2. FUERZAS INTERATOMICAS Y TIPOS DE SOLIDOS 17

symmetry. Estos datos indican las posiciones en que pueden encontrarse atomos dentro de la

celda convencional (en este caso es primitiva, indicado por la letra P del nombre del grupo). Asu derecha se indican las coordenadas de estas posiciones. Todas las coordenadas asociadas aun tipo de posicion son equivalentes por simetria. En una estructura cristalina, una posicionpuede estar ocupada por un atomo o vacia, pero si esta ocupada, estan ocupadas todas lasposiciones equivalentes. Los programas que se usan en cristalgrafia y en simulaciones, suelenaceptar como entrada solo una de las posiciones equivalentes, siendo generadas las demas porel programa. En las bases de datos de cristalografia, y en la revista Acta Crystallographica,solo se reporta una de las posiciones equivalentes, siendo responsabilidad del usuario generarlas demas.

1.2. Fuerzas interatomicas y tipos de solidosEl problema del calculo de los estados estacionarios en una porcion de un material solido

involucra, en principio, la resolucion de la ecuacion de Schrodinger del cristal, en la que debentenerse en cuenta todas las interacciones presentes y las coordenadas de todos los electrones{ri} y todos los nucleos {R}.

H({R}, {ri}) = E({R}, {ri}). (1.5)El Hamiltoniano del sistema contiene la energa cinetica de los iones, la de los electrones

de valencia y las energas de interaccion ion-ion, ion-electron y electron-electron.

H = Telec + Tion + Vionelec + Vionion + Velecelec

=i

2

2m2i +

2

2M2

i,

Ze2

40 |ri R|

+1

2

,=

ZZe2

40 |R R| +1

2

i,j=i

e2

40 |ri rj | . (1.6)

donde los terminos son, por orden, los operadores de energa cinetica de los electrones, energacinetica de los nucleos, energa de interaccion electron-nucleo, energa de repulsion de los

nucleos, y energa de interaccion entre los electones.El enorme numero de partculas que contienen los cristales hace imposible la resolucion

directa de dicha ecuacion. Por esto se hace necesario aplicar la estrategia de divide et impera,por medio de aproximaciones.

Una primera aproximacion es sugerida por el hecho de que la masa del electron es 1800veces menor que la del proton, por lo cual la dinamica del movimiento se pude separar envariables rapidas (electrones) y variables lentas (nucleos). En esto consiste la llamada apro-ximacion adiabatica o aproximacion de Born-Oppenheimer. Como los electrones semueven mucho mas rapido, puede considerarse que en cada posicion de los nucleos {R}, loselectrones se encuentran en un estado estacionario (casi siempre el estado basico) correspon-

diente al operador hamiltoniano

Helec = Telec + Vionelec + Velecelec, (1.7)


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donde las posiciones de los nucles aparecen solamente como parametros y las variables de la

ecuacion de Schrodinger son las coordenadas electronicas.

Helecn({ri}, {R}) = En({R})n({ri}, {R}). (1.8)

Las energas En({R}) actuan como un campo de fuerzas para los nucleos, obedecen alHamiltoniano

Hion = Tion + Vionion + En({R}). (1.9)As el efecto de los electrones sobre el conjunto de iones se manifiesta a traves de una

energa potencial efectiva. As, el movimiento de los electrones se desacopla del de los iones.Si bien el caracter cuantico de los electrones es fundamental para describir su comporta-

miento, los nucleos, por ser mas pesados y tener una longitud de onda mucho menor (h/p),pueden considerarse clasicos en la mayoria de los casos practicos (efectos cuanticos finos sonobservables en el hidrogeno y en los demas elementos a temperaturas cercanas al cero abso-luto, notablemente el He superfluido). Clasicamente, los nucleos obedecen las ecuaciones deNewton

MR = [En({R}) + Vionion({R})] = F. (1.10)El calculo de las energas electronicas En({R}) y sus derivadas las fuerzas F puede sercomputado a partir de la ecuacion cuantica (1.8) o su equivalente en la llamada Teoria delFuncional de la Densidad (DFT, siglas en ingles), las cuales pueden ser resueltas numerica-mente en sistemas de pocos atomos3. Dado el largo tiempo de calculo y los pocos atomos

que se pueden tratar, es conveniente usar expresiones analticas que aproximen las verdade-ras fuerzas. Con el trabajo de medio siglo se han determinado expresiones adaptadas parametales, solidos covalentes, gases nobles, lquidos, etc.

1.2.1. Gases nobles

A este grupo corresponden los solidos formados al enfriar los llamados gases nobles (Ne,Ar, Kr, Xe). En estado atomico estos elementos tienen capas electronicas totalmente llenasy por eso tienen muy poca posibilidad de formar enlaces. Los atomos de estos elementos ine-ractuan mediante fuerzas de van der Waals, tambien llamadas fuerzas de dipolos fluctuantes.

Considerense dos atomos (1 y 2) separados una distancia r. El dipolo instantaneo en el atomo1 p1, crea un campo electrico proporcional a E p1/r3, que induce dipole en 2 proporcionalal campo, p2 = E p1/r3. La energia de interaccion electrostatica entre los dos dipolodses del orden de

Vdipdip p2p1r3

p21

r6. (1.11)

Aunque promediado en el tiempo p1 = 0, la energia de interaccion es proporcional a p21 =0. La mecanica cuantica es necesaria para calcular las constantes de proporcionalidad de formaprecisa, pero el razonamiento anterior predice correctamente las dependencia proporcional a1/r6 de la energia de interaccion.

3El record hace unos pocos annos era de 64000 atomos, con muchas aproximaciones y un poderoso compu-tador. Rutinariamente se calculan sistemas de menos de 100 atomos con la DFT y menos de 10 en metodosmas exactos.


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1.2. FUERZAS INTERATOMICAS Y TIPOS DE SOLIDOS 19

Cuadro 1.1: Valores de los parametros de Lennard-Jones para los gases nobles.

Ne Ar Kr Xe (meV) 3.1 10.4 14.0 20.0 (A) 2.74 3.40 3.65 3.98

Cuando los atomos estan muy proximos, de modo que las nubes electronicas entran encontacto y se interpenetran, aparecen fuerzas de repulsion que sobrepasan a las fuerzas devan der Waals e impiden que los atomos se junten. Las fuerzas de repulsion se explican solodesde la mecanica cuantica, calulando En({R}) en la Ec. (1.8). Hay varias formas de ajustareste potencial de repulsion, por ejemplo, B/r12.

Con esto, el potencial de interaccion queda escrito en la forma

(r) =B

r12 A

r6= 4

r

12

r

6,

= (B/A)1/6

= A2/4B. (1.12)

La expresion (1.12) es conocida como potencial de Lennard-Jonnes. La potencia 12 en eltermino repulsivo es no se deduce, sino que se usa por simplicidad analitica. Este potencialpermite reproducir las propiedades estructurales y termodinamicas de los gases nobles tantoen estado gaseoso como solido. Consideremos algunas de estas propiedades.

Los solidos de gases nobles forman una red fcc con bases monoatomicas. Sean R los sitiosde la red, entonces la energa de interaccion de un atomo con el resto de la red es

V1 =R=0

(R). (1.13)

Si multiplicamos por N, el numero de atomos del cristal4, obtenemos el doble de la energapotencial del cristal, pues se ha contado doblemente la interaccion. as, la energa por atomose obtiene dividiendo por N/2

u =1

2

R=0

(R). (1.14)

Es conveniente escribir la longitud del vector de la red R como un numero adimensional Rmultiplicado por la distancia a los primeros vecinos r. Con esto, la ecuacion (1.14) se expresaen la forma

u = 2

A12(

r

12 A6

r

6, (1.15)

donde

An =R=0

1

( R)n. (1.16)

4en un red infinita, N es infinito, pero para obtener la energia de enlace por atomos, dividimos por N yse cancelan los infinitos. En realidad aqui los que se esta haciendo es despreciar los efectos de superficie. Uncristal real siempre tendra N finito. El numero de atomos en la superficie es proporcional a N2/3 y para estosla energia potencial es distinta. Como lmN2/3/N 0, cuando N representa una cantidad macroscopica deatomos la energia por atomo tiende a la energia de los atomos interiores.


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Cuadro 1.2: Distancia a primeros vecinos y energa de cohesion de los solidos de gases nobles.

Ref. Ashcroft-Mermin, Cap. 20, pag 401.Ne Ar Kr Xe

r0 (A)Experimento 3.13 3.75 3.99 4.331,09 2.99 3.71 3.98 4.34u0 (eV/atomo)Experimento -0.02 -0.08 -0.11 -0.178,6 -0.027 -0.089 -0.120 -0.172B (1010 dina/cm2)Experimento 1.1 2.7 3.5 3.6

75/3 1.81 3.18 3.46 3.81

Un aproximacion grosera se obtiene despreciando las energas de interaccion entre los atomosmas alejados que la distancia de primeros vecinos r. en el caso de la red fcc, el numero deprimeros vecinos es 12 y por tanto, dada la definicion de R, An = 12. Si usamos los vectoresprimitivos dados por la ecuacion (1.4) y hacemos la suma numerica sobre toda la red, seobtiene A6 = 14,45 y A12 = 12,13.Ejercicio Evalue las constantes A6 y A12 para las redes fcc, bcc, y sc.

La constante de la red y la densidad de equilibrio se obtienen facilmente minimizando(1.15) respecto a r. Se encuentra que u/r = 0 en

r0 =

2A12

A6

1/6, Red fcc 1,09. (1.17)

La constante de la red fcc es a =

2r, el volumen de la celda primitiva es = a3/4 y ladensidad es

=masa atomica

(1.18)

Evaluando la energia potencial en r0 y en r se obtiene la energa de cohesion delsolido

u0 =

A26

2A12, Red fcc

8,6. (1.19)

El modulo de volumen (magnitud inversa de la compresibilidad) B = V(P/V)Tpuede calcularse en terminos de los parametros de Lennard-Jones. A temperatura 0 K, P =dU/dV = du/d, luego

B = 2u

2. (1.20)

Procediendo de forma directa se obtiene

B =4

3A12

A6A12

5/2, Red fcc 75

3. (1.21)

La estructura de los cristales que existe, es aquella que maximiza la energia de cohesion.Se deja como ejercicio calcular la energia de cohesion las estructuras bcc y sc, y ver que danmenores energias de cohesion que la fcc.


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mediante ideas de la fisica clasica. La situacion fisica es la misma que en los enlaces covalentes

que determinan la estructura de las moleculas en fase gaseosa. Una vez obtenidos de formanumerica los potenciales de interaccion, estos se pueden aproximar por una variedad de formasanaliticas. Entre ellos mencionemos el potencial de Morse

Morse = D

1 ea(rr0)2 1 . (1.25)Este potencial es sugerido por la fisica molecular. Para una molecula diatomica r0 es laenergia de enlace y D es la energa de enlace. Para describir los angulos de enlace covelentees necesario tener encuentra potenciales que involucran 3 o mas atomos, por ejemplo

3(r1, r2, r3) =

1

2k2(213 0)2

exp(r12/) exp(r13/), (1.26)donde 213 es el angulo de enlace covalente centrado en el atomo 1. k2, son parametrosempricos que se obtienen mediante ajustes por el metodo de mnimos cuadrados.

1.2.4. Metales

Al igual que los cristales covalentes, los metales no pueden ser descritos por potentialde pares. las propiedades dinamicas resultan mal predichas, ademas no reproducen la thela llamada discrepancia de Cauchy para las constantes elasticas (C11 = C44). El solo uso dpotenciales de pares tambien conduce a estimados incorrectos de las energias de formacionde vacancias, cuyos valores dan muy proximos a las energias de cohesion, mientra que losexperimentos indican que deben ser aproximadamente 1/3 de estas. Existen varios tiposde estos potential, todos de muchos cuerpos. Estos potenciales han sido desarrollados paraajustar los calores de constantes de red, energias de cohesion, y constantes elasticas. Comoejemplo, se da la forma de los potenciales de Sutton-Chen

E =

1

2

i

j=i

V(rij) ci

i

, (1.27)

donde

V(rij) =

arij

n

y i =j=i

a

rij

m

. (1.28)

Aqui, rij es la distancia entre los atomos i y j, es un parametro con dimensiones de energia,a es un parametro con dimensiones de longitud que normalmentes la constante de la red, ces adimensional, mientras que n y m are positive integers with n > m.

Para un cluster diatomico, la distancia de enlace es is dada por

rmin = am

nc1/k

, k =m

2 n. (1.29)

Tambien existen cristales que presentan caractersticas mixtas. Un ejemplo clasico es elgrafito (figura 1.10), que presenta enlaces covalentes muy fuertes en cirtos planos, mientrasque la ligazon entre los planos se efectua mediante fuerzas del tipo van der Waals.


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1.3. ELASTICIDAD 23

Figura 1.10: Estructura del grafito. Los atomos de un mismo plano se cohesionan mediante

enlaces covalentes. Atomos de distintos planos interactuan debilmente por fuerzas de tipovan der Waals. Al escribir con un lapiz de grafito, se exfolian planos enteros.

1.3. Elasticidad

Consideremos los iones de una red cristalina desplazados u( R) de sus posiciones de equ-librio. Si los deslazamientos son pequenos, la energa potencial del cristal se puede expandiren serie de Taylor hasta los terminos de segundo orden

Uarm = U0 +1

2

R, R,

u( R)D( R, R)u( R) , (1.30)

donde

D( R, R) = D( R R) =

2U

u( R)u( R)(1.31)

La dependencia de D( R R) se debe a la simetra de traslacion. Otras propiedades muyimportantes que son

D( R R) = D( R R) (1.32)

D( R) = D( R) (1.33)R

D( R) = 0. (1.34)


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Si las interacciones interatomicas que se describen para un potencial de pares (ver Ashcroft-

Mermin, ec. (22.2-22.11)):

U =1

2

R, R

( R R) = N2

R=0

( R) , (1.35)

entonces

D( R R) = R,R

R

( R R) ( R R) , (1.36)

donde

=2(r)

rr , (1.37)

ver demostracion en Ashcroft-Mermin captulo 22. No obstante, notemos que la ec. (1.30) esutil aunque haya potenciales mas generales que los potenciales de pares. Usando las propie-dades de simetria de la matriz de constantes de fuerzas D( R R) se puede llevar la energiadel cristal a la forma

Uarm U0 = 14

R,R,

{u( R) u( R)}D( R, R){u( R) u( R)}. (1.38)

A partir de ahora considerarmos la energia del cristal relativa a la energia de equilibrio U0.

En una deformacion macroscopica que ocurre cuando un solido es sometido a deforma-cion, los desplazamientos u( R) varan suavemente de una celda a la celda vecina. Entonces

podemos considerar una funcion continua u(r) que es igual a u( R) cuando r es un vector de

la red de Bravais. Si u(r) vara poco en el rango de D( R R) se puede hacer la aproximacion

u( R) = u( R) + ( R R) u|r=R. (1.39)

Sustituyendo en la ec. (1.38) si obtiene

Uarm =1

2

R,,,,

x

u( R)

x

u( R) E, (1.40)donde

E = 12

R

RD( R)R. (1.41)

Como las funciones u(r) varian lentamente, se puede escribir (1.40) como una integral

Uarm =1

2

,,,

d3r

xu(r)

xu(r)

E, (1.42)

donde E = E/, siendo el volumen de la celda primitiva. La ecuaci on (1.42) esel punto de partida de la teora macroscopica de la elasticidad. El conjunto de 34 = 81magnitudes E es una propiedad de cada material y forma un tensor, transformandose


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1.3. ELASTICIDAD 25

como tal ante rotaciones de los ejes de coordenadas. En el algebra de tensores se utiliza el

convenio, debido a Albert Einstein, de omitir los simbolos de sumatioria

, entendiendosela suma cada vez que en una formula aparecen dos indices repetidos. As, la ecuacion (1.42)se escribe

Uarm =1

2

d3r

xu(r)

xu(r)

E.

En lo adelante utilizaremos el arriba mencionado convenio de suma.

1.3.1. Simetras

De la definicion (1.41) podemos notar que E no cambia si se intercambian y o . Por tanto, es suficiente especificar E para los siguientes valores de los pares y

xx, yy, zz, yz, zx, xy. (1.43)

Esto indica que de las 34 = 81 componentes del tensor E solo hay 66 = 36 componentesindependientes. Este numero se reduce mas, si se considera que ante una rotacion rgida delcristal la enera del cristal no se afecta. En una rotacion infinitesimal de angulo d alrededorde un eje de direccion n, todos los vectores de la red sufren la transformacion

R R + u( R), u( R) = n R. (1.44)

Sustituyendo u(R) de la ecuacion anterior en (1.40) y exigiendo la que U

arm

= 0 para arbitrario, se encuentra que Uarm solo depende de las combinaciones simetricas

=1

2

xu +

xu

. (1.45)

Cuadro 1.3: Nmero de constantes elasticas independientes.Sistema Grupo puntual Constantes elasticas

Triclinico todos 21

Monoclinico todos 13Ortorrombico todos 9Tetragonal C4,C4h,4 7

C4v, D4, D4h, D2d 6Romboedrico C3, S6 7

C3v, D3, D3d 6Hexagonal todos 5

Cubico todos 3Amorfo 2

El tensor simetrico se denomina tensor de deformacion. Consecuentemente, se

puede rescribir (1.42) como

Uarm =1

2

d3rc, (1.46)


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donde

c = 1

8R

[RDR + RDR + RDR + RDR] . (1.47)

De (1.47) se deduce que c es invariante ante las permutaciones , y .Como resultado, el numero de componentes independientes de reduce a 21.

Las propiedades anteriores son generales y validas para cualquier sistema cristalino. Sepuede reducir mas el numero de constantes elasticas independientes en dependencia del grupopuntual de simetria del cristal y el tipo de red de Bravais. La tabla 1.3 resume el numero deconstantes elasticas para todos los sistemas cristalinos y para los amorfos. Por ejemplo, en elcaso cubico, las unicas tres componentes independientes son

C11 = cxxxx = cyyyy = czzzz (1.48)

C12 = cxxyy = cyyzz = czzxx (1.49)

C44 = cxyxy = cyzyz = czxzx. (1.50)

Todas las demas componentes, en las cuales x, y o z aparece un numero impar de veces, son0. En las ecuaciones anteriores se usa el convenio

xx 1, yy 2, zz 3, yz 4, zx 5, xy 6. (1.51)Convencionalmente, en teoria de la elasticidad se utiliza una notacion ligeramente mo-

dificada. El campo de desplazamiento se describe por la magnitud llamada deformacion,relacionada con el tensor de deformacion segun

e = , si = (1.52)

= 2, si = , (1.53)cuya notacion se simplifica a ei = e de acuerdo a (1.51). En lugar de (1.46) se escribe

U =1

2

6i,j=1

d3reiCijej, (1.54)

donde Cij = c, acorde a (1.51). Las cantidades Cij forman una matriz de dimension 6 6(no es un tensor) y se denominan modulos elasticos (elastic moduli o stiffness constants).Los elementos de la matriz Sque es inversa a C se denominan constantes elasticas (elasticconstants o elastic compliance constants ).

Una aplicacion de la teora de la elasticidad es la ecuacion de las ondas elasticas. Laenerga cinetica asociada a un campo de deformacion es

T =

1

2u(r, t)2d3r, (1.55)

donde es la densidad. El Lagrangiano del medio es

L = T V =

1

2u2 1

2c

d3r. (1.56)


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1.3. ELASTICIDAD 27

El principio variacional de Hamilton

Ldt =

L d3rdt = 0 (1.57)conduce a las ecuaciones de Lagrange

Lu

t

Lu

x

L

u,

= 0

u =

ut

, u, =ux

. (1.58)

Haciendo aproximadamente unas 3 paginas de algebra las ecuaciones de Lagrange se reducena la forma

u = cu

xx=

x(c) . (1.59)

Tarea. Demuestre la ecuacion (1.59).El tensor

= c (1.60)

se denomina tensor de esfuerzos y la ecuacion (1.60) es la Ley de Hooke. u es la fuerzapor unidad de volumen y segun la ecuaci on (1.59), es igual a la divergencia del tensor deesfuerzos. Esto es plenamente consistente con el teorema de Gauss para tensores

fdV =

x

dV =

dS. (1.61)

La ecuacion anterior expresa el hecho fisico de que las fuerzas internas se anulan y la fuerzatotal es igual a la suma de las fuerzas aplicadas en la superficie. El elemento

dS (1.62)

es la componente de la fuerza que actua sobre el elemento de superficie dS(area dSy direccion perpendicular dada por el vector). Tomando elementos de superficie en los planosxy,yz ,zx, encontramos que la componente es la componente de la fuerza que actua sobrela unidad de area perpendicular al eje x. Por ejemplo, para un area dS paralela al plano yz,tenemos que el vector dS debe ser perpendicular al plano yz: dS1 = dS, ds2 = dS3 = 0. Lafuerza total ejercida en el area dS es la suma de la fuerza normal y la fuerza tangencial: 11 esla fuerza normal al plano (como una presion hidrostatica), 21 y 31 son las componentes dela fuerza tangencial (como la fuerza de roce). Con esto se describen todas las formas posiblesde fuerzas actuantes en una superficie. La forma

dS

(sumado sobre segun convenio de

Einstein) es la expresion general cuando el plano no es paralelo a uno de los ejes coordenados(o cuando el sistema de referencia no tiene un eje paralelo al plano).

Debido a las propiedades de simetra del los tensores y c, el tensor de esfuerzoses un tensor simetrico y por tanto tiene 6 magnitudes independientes. Estas se reunen enuna matriz columna de dimension 6, ti = , siguiendo el convenio dado por la formula(1.51), (note que (1.52) y (1.53) no se aplican a la tension). A este vector columna se le llamatension (note que no es un tensor, el tensor es ). Con esta notacion, la Ley de Hooke(1.60) se rescribe

ti =6

j=1

Cij ej. (1.63)

Notese los las matrices ti, Cij y ej no son tensores, pues no transforman como tales antetransformaciones cartesianas. Por eso se ha escrito explicitamente el signo de suma.


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1.3.2. Deformaciones homogeneas

Consideremos un ortoedro microscopico de lados x1, x2, x3 en un cuerpo sin deformar. Enun sistema de coordenadas adecuado con origen en un vertice del ortoedro, los demas verticesse definen en funcion de los vectores x = (x1, 0, 0), y = (0, y2, 0) y z = (0, 0, z3). Consideremosahora una deformacion homogenea descrita por el tensor . Los vectores cambian a

x = (x1 + u1, u2, u3), (1.64)

y = (v1, y2 + v2, v3), (1.65)

z = (w1, w2, z3 + w3). (1.66)

Si la deformacion es pequena entonces u1, u2, u3 son proporcionales a x1, v1, v2, v3 son

proporcionales a y2 y w1, w2, w3 a z3. Los factores de proporcionalidad son las componentesdel tensor de deformaciones

u1 =u1x1

x1 = 11x1, u2 =u2x1

x1 = 12x1 u3 =u3x1

x1 = 13x1 (1.67)

v2 =v2y2

y2 = 22y2, v1 =v1y2

y2 = 21y2, etc, (1.68)

w3 =w3z3

z3 = 33z3, etc. (1.69)

El volumen inicial del ortoedro es V = x1y2z3. Al ser deformado es

V =

x1 + u1 u2 u3

v1 y2 + v2 v3w1 w2 z3 + w3

= x1x2x3 + u1y2z3 + v2x1z3 + w3x1y2 + ... (1.70)Los terminos de orden cuadratico o cubico en los productos uvw son despreciables si lascomponentes del tensor de deformacion son pequenas y

V

V=

u1x1

+v2y2

+w3z3

= 11 + 22 + 33 = Tr = e1 + e2 + e3. (1.71)

La ecuacion anterior dice que el cambio relativo de volumen es igual a la traza del tensor dedeformacion, o equivalentemente, la suma de las tres primeras componentes de la deforma-cion. Ademas, las componentes 11, 22, 33 indican la contraccion o dilatacion relativa a lolargo de cada eje coordenado.

Los terminos no diagonales tambien tienen interpretacion. Consideremos el angulo entrelos vectores deformados, por ejemplo,

cos(x, y) =x y|x||y|

x1v1 + y2u2x1y2

= 12 + 21 = 212. (1.72)

En la secuencia anterior se despreciaron los productos de dos o mas componentes de las

deformaciones u,v,w. As escribimos

xy =1

2cos(x, y), yz =

1

2cos(y, z), zx =

1

2cos(z, x). (1.73)


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1.3. ELASTICIDAD 29

De la ecuacion anterior se observa que si los angulos del ortoedro se conservan en 90, el

tensor de deformacion (referido a esos mismos ejes) es diagonal.Una deformacion en la cual el cambio de volumen es nulo, se llama deformacion de

corte. En este caso el tensor de deformacion tiene la forma general

corte = 1

3(Tr). (1.74)

Una deformacion que cambia el volumen pero no la forma del cuerpo, se llama deformacionhidrostatica y su tensor de deformacion tiene la forma

hidro = constante . (1.75)Cualquier deformacion se puede representar como la suma de una deformacion hidrostaticay una de corte, gracias a la identidad

=

1

3(Tr)

+

1

3(Tr) =

corte +

hidro . (1.76)

Examinemos como cambia la energia de la red ante una deformacion hidrostatica en elcaso particular de un cristal cubico. La deformacion es e1 = e2 = e3 = , e4 = e5 = e6 = 0.Usando la ec. (1.54) para una deformacion homogenea obtenemos

U

V=

1

2 i,jeiCijej

=

0 0 0

C11 C12 C12 0 0 0C12 C11 C12 0 0 0C12 C12 C11 0 0 0

0 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C44

000

(1.77)

=1

6(C11 + 2C12)(3)

2 =1

6(C11 + 2C12)

V

V

2. (1.78)

Comparando con la definicion del modulo de volumen (1.20) se obtiene que

B =1

3(C11 + 2C12). (1.79)

Un caso importante en ingenieria civil cuando sobre un cuerpo actua un esfuerzo unidirec-cional. Considerese una viga de acero sometido a una presi on vertical (eje Z). Debido a esteesfuerzo la viga se deforma, expandiendose un poco en las direcciones laterales. Apliquemosla ley de Hooke. La tension es t3 = zz = P, t1 = t2 = t4 = t5 = t6 = 0.

00P

000

=

C11 C12 C12 0 0 0C12 C11 C12 0 0 0C12 C12 C11 0 0 0

0 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C44

e1e2e3

e4e5e6

. (1.80)


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31/129

1.3. ELASTICIDAD 31

La ecuacion anterior es un problema de autovalores para cada valor especificado del vector

de onda k = (k1, k2, k3). En algunos casos es simple obtener soluciones analiticas.a) k = (k1, 0, 0). El sistema de ecuaciones queda completamente desacoplado

(C11k21 2)1 = 0, (1.90)

(C44k21 2)2 = 0, (1.91)

(C44k21 2)3 = 0. (1.92)

Las soluciones son

a.1) 1 = 0, 2 = 3 = 0 (modo longitudinal), = C11/k1, vL = C11/.a.2) 2 = 0, 1 = 3 = 0 (modo transversal), =

C44/k1, vT =

C44/.

a.3) 3 = 0, 1 = 2 = 0 (modo transversal), =

C44/k1, vT =

C44/.

Las ondas elasticas son las ondas sonoras, entendiendo que la frecuencia /2 este enel rango audible 5 20000 Hz. Midiendo las velocidades de las ondas transversales y longi-tudinales a lo largo de uno de los ejes principales del cristal, se determinan las constanteselasticas C11 y C44.b) k = (k/

2, k/

2, 0). En este caso el sistema no se desacopla totalmente, quedando

2 12

3

= (C11 + C44)k2

2 (C12 + C44)k2

2 0(C12 + C44)

k2

2(C11 + C44)

k2

20

0 0 C44k2

123

. (1.93)Las soluciones son

b.1) 1 = 2 = 0, 3 = 0 (modo longitudinal), =

(C11 + C12 + 2C44)/2 k = vLk.

b.2) 2 = 1 = 0, 3 = 0 (modo transversal), =

(C11 C12)/2 k = vTk.

b.3) 3 = 0, 1 = 2 = 0 (modo transversal), = C44/ k, vT = C44/.Las relaciones anteriores permiten determinar la otra constante elastica. Notese que la

velocidad de la onda depende de la direccion de propagacion. Esto es una manifestacion dela anisotropa de los cristales.

En un medio elastico isotropo la velocidad de propagacion no puede depender de ladireccion de propagacion. Si uno iguala las velocidades transversales de la solucion b) entresi y con las de la solucion (a), se llega a la relacion

2C44 = C11 C12 en un medio isotropo. (1.94)

Si se igualan las velocidades longitudinales de las soluciones (a) y (b), se obtiene el mismo

resultado.Los medios elasticamente isotropos son materiales amorfos, policristales (por ejemplo, el

acero), o algunos cristales muy especiales. Las constantes elasticas de un policristal no son


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exactamente el promedio de las constantes del monocristales, como podria pensarse ingenua-

mente. Para determinarlas teoricamente sera necesario resolver el sistema de ecuaciones dela Ley de Hooke para el conjunto de todos los granos que forman el policristal.8

1.4. Densidad de Estados

Para un sistema cualquiera con un espectro de energas En, la densidad de estados sedefine

(E) =

n(E En), (1.95)

siendo n el conjunto de numeros que definen un estado del sistema. Si se integra

E2E1

(E)dE =n

E2E1

(E En)dE =n

E1


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1.4. DENSIDAD DE ESTADOS 33

De la igualdad anterior se deduce que

(E) =d

dEN(E). (1.102)

Si la longitud de la caja L tiende a infinito, entonces la separacion de los niveles En tiende a0 y el espectro es cuasicontinuo. Basado en esto, podemos invertir la relacion entre n y E

n(E) =

2mEL

. (1.103)

El numero de estados con energa menor o igual a E es

N(E) =

n(E)n=1

1 = n(E), (1.104)

(E) =dn(E)

dE=

2mL

E(1.105)

Si la partcula confinada es un eletron, entonces cada nivel de energia puede ocuparse por dosestados con numero cuantico de spin igual a 1 y -1. Esto implica un factor 2 en la densidadde estados.

electron(E) = 2

2mL

E(1.106)

1.4.2. Partcula libre con condiciones de frontera periodicas en unadimension

En este caso las condiciones de borde cambian por

(0) = (L) (1.107)

y las soluciones de la ecuacion de Schrodinger son

(x) =

1

Leikx

, E =

2k2

2m . (1.108)

La condicion de frontera periodica implica que

k =2n

L, n = 0, 1, 2, .... (1.109)

El numero cuantico n satisface

n(E) =

2mEL

2(1.110)

El numero de estados con energia menor o igual a E es (sin considerar la degeneracion de

spin)N(E) =

n=n(E)n(E)

1 = 2n(E) + 1 2n(E) =2mEL

. (1.111)


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Derivando respecto a E se obtiene nuevamente (1.105). Considerando la degeneracion de spin

se obtiene (1.106)Este resultado ilustra que en un sistema grande la densidad de estados no depende de las

condiciones de frontera.Consideremos la formula (1.109) que es resultado de la aplicacion de la condicion de

frontera periodica. En base a ella, se puede decir que cada estado ocupa una longitud 2/Len el espacio k. Asi, podemos establecer la relacion

n

=k

=L

2

dk. (1.112)

Esta formula nos sera muy util.

1.4.3. Particula libre en dos dimensiones

Considerando condiciones de frontera periodicas, las funciones de onda y energias son

(x, y) =eikr

LxLy, kx =

2nxLx

, ky =2ny

Ly, E =

2k2

2m. (1.113)

La formula (1.112) se generaliza en dos dimensiones a

nx,ny

=kx,ky

=

LxLy

(2)2

d2

k . (1.114)

El numero de estados con energa menor que E se obtiene sumando sobre nx y ny con la

condicion de que E(k) = 2k2

2m< E o equivalentemente, k < k(E) =

2mE/. Utilizando

(1.114) se obtiene

N(E) =kx,ky

E(k)


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1.4. DENSIDAD DE ESTADOS 35

1.4.5. Ondas elasticas

Consideremos la densidad de estados vibracional en esta aproximacion en un medio elasti-camente isotropo. La elongacion toma la forma dada por (1.87) y la ley de dispersion

1,2 = vTk (2 modos transversales) (1.118)

3 = vLk (1 modo longitudinal) (1.119)

Para obtener la densidad de estados en un volumen cubico de lado L, V = L3, necesitamosimponer condiciones de borde periodicas a los modos de vibraci on descritos por (1.87), locual arroja

kx =2nx

L

, kx =2ny

L

, kx =2nz

L

. (1.120)

La densidad de estados es

D() =

nx,ny,nz

3=1

( (knx,ny,nz)) =V

(2)3

d3k3

=1

( (k)). (1.121)

Sustituyendo las expresiones de (k) para medio isotropo obtenemos

D() =V

(2)3

d3k [2( vTk) + ( vLk)] . (1.122)

Aplicando las propiedades de la funcion delta se obtiene el resultado

D() =V

2232

v3, donde

1

v3=

1

2

2

v3T+

1

v3L

(1.123)

En el problema de la cadena lineal vimos que para enumerar todas las soluciones lineal-mente independientes basta con acotar el numero de onda k en un intervalo de longitud 2/a,con lo cual el numero de vectores de onda posibles es igual al n umero de sitios de la red.En la red tridimensional9 vale este analisis para cada una de las tres dimensiones. Luego, elnumero de vectores k posibles es igual al numero de sitios de la red N = NxNyNz. Como

a cada k le corresponden tres modos de vibracion (dos transversales y uno longitudinal), el

numero total de modos es 3N. Luego, la densidad de estados tiene una frecuencia de cortemax tal que

3N =

max0

D() d =V 3max22v3

. (1.124)

Luego, la frecuencia de corte es

max =

62v3N

V

1/3. (1.125)

Esta frecuencia de corte es aproximada debido a la crudeza del modelo, pero es suficiente

para describir propiedades importantes como el calor especifico a bajas temperaturas.9La aproximacion elastica da resultados independientes de la red cristalina, de modo que en podemos

asumir una red cubica simple.


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1.5. Modelos del calor especifico

Con la densidad de estados vibracional D() se pueden calcular magnitudes termodinami-cas como la energa interna

U(T) = U0 +

max0

d D()E(), n() =1

e/kBT 1 , (1.126)

donde U0 denota la energia potencial de los atomos en sus posiciones de equilibrio y E()denota la energia promedio de cada modo normal de frecuencia .

La capacidad calorica a volumen constante se define como

CV(T) =U

T

. (1.127)

Uno de los problemas historicos ligado a la teoria del cristal armonico y de la fisica cuanticaes el comportamiento del calor especifico a diferentes temperaturas. La fisica estadisticaclasica predice que a cada oscilador tridimensional le corresponde una energia promedioE() = 3kBT. De aqui se deduce que la energia interna es igual a 3 NkBT y por consiguienteel calor especifico es independiente de la temperatura (ley de Dulong y Petit). La capacidadcalorica de un mole de atomos es igual a

Cclasico = 3R, (1.128)

siendo R = NakB la constante universal de los gases, Na el numero de Avogadro y kB laconstante de Boltzmann. Este resultado contradice la evidencia de que el calor especificotiende a cero cuando la temperatura tiende a 0K.

Einstein dio un gran paso de avance a partir de la hipotesis de considerar que cada modode vibracion tiene una energia discreta igual a En = (n + 1/2) (n = 0, 1, 2,...)

10 y propusouna densidad de estados (para N atomos)

DEinstein() = 3N( 0). (1.129)

Aplicando los metodos de la fisica estadistica se obtiene que la energia promedio de cada

oscilador es igual a

E() =

n Ene

En/kBTn e

En/kBT =

1

e/kBT 1 +1

2

. (1.130)

Con este resultado se obtiene la capacidad calorica por mole (N = Na)

CEinstein = 3R(0/kBT)

2e0/kBT

(e0/kBT 1)2 . (1.131)

La expresion de Einstein obtiene la disminucion del calor especifico al bajar la temperatura

y obtiene el valor clasico (1.128) para alta temperatura. Sin embargo, predice C e0/kBT

cuando T 0. En cristales no metalicos la dependencia experimental es C T3.10Originalmente el factor 1/2 no se considero, pero esto no afecta al calor especifico.


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1.5. MODELOS DEL CALOR ESPECIFICO 37

Paul Debye perfecciono el modelo de Einstein, considerando que los modos de vibracion

cumplen la ley de dispersion de las ondas acusticas en todo el espectro. La densidad deestados correspondiente fue examinada en la seccion 1.4.5. Usando la densidad de estadosalli obtenida se deriva la capacidad calorica molar de Debye

CDebye = 9R

T

TD

3 TD/T0

x4ex

(ex 1)2 , TD =max

kB=

v(62(N/V))1/3

kB. (1.132)

Esta formula reproduce correctamente que a baja temperatura c T3. El parametro TD esllamado temperatura de Debye. A temperaturas mayores que TD el calor especifico tiendeal valor clasico dado por (1.128). As, la temperatura de Debye da la medida de cuando seesta en el regimen clasico o cuantico.

En realidad, las ondas elasticas solo describen parte de la dinamica de las redes cristalinas.En particular, cuando la longitud de onda es del orden de los periodos de la red, la ley dedispersion (k) se aparta considerablemente de la relacion lineal. Un resultado general esque todos los cristales tienen 3 ramas acusticas, que corresponden a las ondas acusticas quehemos visto y cumplen que (k) = vk cuando k tiende a cero. Si la base tiene nb atomos,entonces existen p = 3nb 3 ramas llamadas opticas, en las cuales (k = 0) = 0. Estosmodos se describen mejor mediante el modelo de Einstein. Esto permite formular un modelohibrido Einstein-Debye

CEinsteinDebye = 9

R

nb T

TD3 T

D/T

0

x4ex

(ex 1)2 +

3nbs=4

R

nb

(s/kBT)2es/kBT

(es/kBT 1)2 , (1.133)

donde s son las frequencias centrales de las ramas opticas s, y TD = TD/n

3b . Notese que para

bajas temperaturas CEinsteinDebye = CDebye.Notese que la energia de un cristal a la temperatura del cero absoluto contiene, ademas

de la energa potencial interatomica U0, el termino

EZPE =

max0

d D()1

2. (1.134)

Este termino se llama energa del punto cero (Zero Point Energy en la literatura cientficaanglofona), y es una manifestacion del principio de incertidumbre de Heisenberg, que prohibela localizacion de los atomos exactamente en los puntos de equilibrio.

Finalmente, notemos que en los metales, el gas de electrones libres aporta una contribuci onadicional a la capacidad calorica

Cel =2

2

kBT

EF

NvR, (1.135)

siendo Nv el numero de electrones de valencia de cada atomo y EF es la energa de Fermi.EF es la energa cinetica del ultimo nivel ocupado a temperatura 0 K. La contribucion

electronica al solo es importante a temperaturas de unos pocos Kelvin, cuando la capacidadcalorica ionica tiende a 0.


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Captulo 2

Mapas discretos

En esta parte estudiaremos la evolucion de las relaciones de recurrencia del tipo

xn+1 = M(xn) (2.1)

A este tipo de relacion se le llama mapa. Un ejemplo clasico, que utilizaremos para ilustrarlos conceptos, es el mapa logstico, definido por

M(x) = rx(1 x), r > 0. (2.2)

El mapa logstico permite modelar simplificadamente la evolucion de la poblacion de unaespecie cuyo suministro alimentario presenta un tope. Como veremos, este mapa presentacaos y orden, en dependencia del valor del parametro r. El mapa logistico es unidimensional,pero en general xn puede representar un punto en un espacio de mas dimensiones.

Muchos problemas de la fsica son gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias,cuya solucion numerica implica discretizar el tiempo segun tn = nt. Si como resultado seobtienen relaciones del tipo x(tn+1) = f[x(tn)], entonces estamos nuevamente en presenciade un mapa.

2.1. El mapa logstico

Estudiemos graficamente la evolucion del mapa logstico. La Fig. 2.1 muestra la secuenciade valores que toma xn a partir de una condicion inicial dada.

En la parte izquierda la condicion inicial es x0 = 0,5. La linea vertical que parte de (0.5,0)hasta (0.5,M(0.5)) [es decir, (x0, x1)] indica la evaluacion del mapa por primera vez. Luegose traza una linea horizantal que intersecta la recta y = x, en el punto (x1, x1). Trazandola vertical hasta la funcion M(x) se obriene el punto (x1, M(x1) = (x1, x2)]. Continuando elproceso obtenemos la secuencia de puntos xn, xn+1. De la figura se deduce que la sucesion devalores xn converge hacia el valor 0 si x0 = 0,1 y r = 0,9, y converge hacia un cierto valorde x > 0,5 en el caso de que r = 2,5. En ambos casos, se obtiene siempre el mismo punto

de convergencia si se cumple que la condicion inicial es 0 < x0 < 1. El conjunto de puntos{x1, x2, x3, ....} se denomina trayectoria. El conjunto al que convergen asintoticamentes lastrayectorias es llamado atractor. En el caso r = 0,9 el atractor es el punto x = 0, para

39


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40 CAPITULO 2. MAPAS DISCRETOS

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

M(x) r=0.9

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M(x) r=2.5

Figura 2.1: Evolucion del mapa logstico a partir de una condicion inicial. Derecha: r = 0,9,x0 = 0,5. Izquierda: r = 2,5, x0 = 0,1.

1 2 3 4r

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9r

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Figura 2.2: Diagrama de bifurcaciones para el mapa logstico, si se cumple que la condicioninicial es x0 (0, 1).


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2.1. EL MAPA LOGISTICO 41

r = 2,5 el atractor es el punto x que se ve en la figura. Se puede tener una idea global de los

atractores en funcion del valor del parametro si se hace un diagrama de bifurcaciones.La Fig. 2.2 muestra el atractor para cada valor del parametro r, siempre que 0 < x0 < 1.

El atractor es x = 0 si 0 < r < 1, es un punto 0 < x < 0,8 si 1 < r < 3, dos puntos si3 < r < 3,45, luego 4, etc, hasta llegar a formar una banda continua en cierto rango de r. Enesta banda estamos en presencia de caos. Como indica la trayectoria, se puede ir a cualquierparte. El grafico es realmente rico, en la parte de abajo se ve una ampliacion en el rango3,5 < r < 4, en la que se nota que las bifurcaciones van en aumento al acercarse al regimende caos, y la aparicion de ventanas de orden dentro del caos. La Fig. 2.2 se genera aplicandoel siguiente algoritmo para cada valor del parametro r

Condicion inicial x0 = 0,1.

Se aplico el mapa 200 veces, o sea, se genera la trayectoria hasta x200.

Se aplico el mapa 200 veces mas y se graficaron los puntos (r, xn).

El segundo paso del algoritmo consiste en eliminar el transiente, de modo que lo puntosgraficados, generados en el tercer paso, ya corresponden a la tendencia asintotica de las tra-yectorias, o sea, el atractor. La figura generada no depende del valor preciso de x0, siempreque x0 (0, 1). El intervalo (0, 1) es en este caso la cuenca1 de atraccion. Puede compro-barse siguiendo las trayectorias graficamente que si x0 < 0 o x0 > 1, entonces el atractor es

.

Veamos como puede entenderse el resultado anterior usando procedimientos analticos.Si la trayectoria converge hasta cierto punto

x = lmn

xn (2.3)

se cumple quex = M(x). (2.4)

Los puntos que satisfacen la ecuacion anterior se denominan puntos fijos del mapa M. Parael mapa logstico las soluciones de la ecuacion 2.4 son

x(1) = 0, x(2) = 1 1r

. (2.5)

Los puntos fijos no son necesariamente atractores. Examinemos como evoluciona una trayec-toria cerca de un punto fijo. Sea xn = x

+ n

x + n+1 = xn+1 M(x + n) = M(x) + dMdx

x=x

n. (2.6)

Utilizando 2.4 obtenemos la relacion

n+1n = dM

dx (x) (2.7)

1En ingles, basin, que significa lavamanos.


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0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M(x) r=3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M2(x) r=3.2

Figura 2.3: Orbita estable de periodo 2 n el mapa logistico.

De aqui se deduce que n (y por tanto xn x) tiende a cero solamente si|M(x)| < 1. (2.8)

En este caso se dice que el punto fijo es estable y es un atractor del mapa. Evaluando estacondicion en los puntos fijos obtenidos arriba, obtenemos

M(x(1)) = r, M(x(2)) = 2 r. (2.9)De aqui se deduce que el punto fijo x(1) es estable en el rango r (0, 1) y x(2) es estable enr (1, 3). Estos son los valores que se observan en el diagrama de bifurcacion de la Fig. 2.2.

Otro asunto ocurre para r > 3. La Fig. 2.3 ilustra una trayectoria para r = 3,2. Se apreciaque despues de un transiente la trayectoria se estabiliza en los valores alternantes 0.513 y0.799. Este tipo de atractor de llama orbita de perodo 2, y se generaliza a periodo Nde manera directa. Los dos valores de esta orbita son los que se aprecian en el diagrama debifurcaciones. A partir de cierto valor de r 3,44 las orbitas son de periodo 4 y al aumentarr se siguen multiplicando hasta llegar al caos.

Entendamos una orbita de perodo 2. La alternancia de la trayectoria entre dos puntos x(1)

y x(2) significa que ellos son puntos fijos estables del mapa compuesto M2(x) = M(M(x)).Es decir

M2(x) = x. (2.10)

La Fig. 2.3 muestra una trayectoria del mapa M2

que converge a uno de los puntos fijosestables. Notese que la ecuacion 2.10 incluye las soluciones de 2.4. Esto se comprueba facil-mente sustituyendo 2.4 en 2.10. Comparando las partes izquierda y derecha de la Fig. 2.3 queefectivamente las soluciones de la parte izquierda (dadas por la interseccion del mapa con larecta y = x) estan presentes en la figura derecha, aunque son inestables.

La condicion de estabilidad para una orbita de periodo 2 que alterna entre los puntos x(1)

y x(2) esta dada por |dM2/dx| < 1. Aplicando la regla de la cadena se obtiened

dxM(M(x))

x=x(1)

=dM

dx

x(2)=M(x(1))

dM

dx

x(1)

. (2.11)

La generalizacion para orbitas de periodo m es obvia

d

dxMm(x)

x=x(1)

=mk=1

dM

dx

x=x(k)

. (2.12)


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2.1. EL MAPA LOGISTICO 43

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4r

-4

-3

-2

-1

1

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9r

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.4: Exponente de Lyapunov del mapa logstico, calculado mediante la ecuacion 2.16,aproximando m = 200.

Esto implica que la desviacion n = xn x(1) cumple

|n+m| =mk=1

dM

dx

x=x(k)

|n| . (2.13)Los valores |n| admiten la solucion

|n| = en

, (2.14)que sustituida en la condicion 2.13 implica que

=1

m

mk=1

ln

dMdx (x(k)) . (2.15)

En la practica, los x(k) se pueden remplazar por los puntos consecutivos de la trayectoriauna vez eliminado el transiente. El numero se llama exponente de Lyapunov. Si > 0hay caos, en caso contrario hay orbitas m-periodicas estables. El caso de las trayectoriascaoticas se puede considerar como orbitas de periodo infinito, con un exponente de Lyapunov

igual a = lm

m1

m

mk=1

ln

dMdx (x(k)) . (2.16)


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La ecuacion anterior (2.16) incluye a 2.15. El exponente de Lyapunov del mapa logstico

se muestra en la Fig. 2.4. Cuando < 0 estamos en presencia de puntos fijos o orbitasde perodo n. Cuando = 0 tenemos una bifurcacion y generalmente se acompana de uncambio de pendiente producto de que cambia el atractor. corresponde puntossuperestables, o sea, que M(x) = 0, y > 0 indica caos. Este grafico revela limpiamentela existencia de caos o orden. En la ampliacion para r (3,4, 4,0) (comparese con Fig. 2.2)se observa la existencia de muchas ventanas de orden dentro del caos.2

El exponente de Lyapunov nos da otra informacion. Si tenemos dos trayectorias que partendesde cerca del atractor, tales que |x0 y0| = 1, entonces

|xn yn| = en. (2.17)

Es decir, si > 0 las trayectorias divergen de forma exponencial hasta que se alcanza ciertolmite determinado por la imagen del mapa.3

2.2. Grupo de renormalizacion

Examinando el diagrama de bifurcaciones del mapa logstico vemos que existe un valorcrtico rc en el que comienza el caos. A la izquierda de rc se observa un progresivo doblamientode perodo que deviene en el caos como un atractor de perodo infinito. Usando el metodo delgrupo de renormalizacion es posible hallar el valor de rc y estudiar el numero de bifurcacionesN(m) en funcion de la distancia al punto crtico = rc

rm.

Consideremos la secuencia de los puntos superestables r0, r1, r2,..., los cuales satisfacen

M2m1

(x, rm) = x (2.18)

M(x, rm) = 0. (2.19)

La sequencia {rm} converge al parametro critico rc. Ademas, los puntos superestables x sonextremos del mapa M2

m1(x, rm) y localmente se pueden aproximar de segundo orden en

(x x).Comparese los graficos de los mapas M(x, r) y M2(x, r) = M(M(x, r), r) en la Fig. 2.5.

Tratemos de obtener una relacion entre los valores r1 y r2 que producen puntos superstables.Es evidente que la ventana dibujada en el grafico de M2 alrededor del punto superestable

x = 0,5 es similar al grafico del mapa M. En un entorno pequeno alrededor del puntoextremal cada mapa se puede expandir en potencias de (x x). Eliminando las potenciasde grado mayor que 2 se pueden poner ambas curvas en una correspondencia exacta. En elmapa logistico la corrrespondencia se hace mediante el cambio de variables

y 12

=

x 1

2

. (2.20)

Se espera que < 0 pues la correspondencia require de una rotacion de los ejes. Lacorrespondencia debe cumplirse tambien para las imagenes xn+2 = M

2(xn, r2) y yn+1 =M(yn, r1)

yn+1 1/2 = (xn+2 1/2) . (2.21)2Un estudio detallado revela que es infinito el numero de ventanas de orden dentro del caos.3En el mapa logistico |xn yn| < 1.


45/129

2.2. GRUPO DE RENORMALIZACION 45

0.2 0.4 0.6 0.8 1

xn

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xn1

r12

0.2 0.4 0.6 0.8 1

xn

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xn2

r13.2

Figura 2.5: Mapa logstico y mapa compuesto alrededor del punto superestable.

Expresando yn+1 y xn+2 en funcion de yn y cambiando yn por y se obtiene la relacion

M(y, r1) 1/2 =

M2

y 1/2

+1

2, r2

1/2

. (2.22)

Desarrollando el miembro derecho de la equacion anterior en series de (y1/2)n y eliminandopotencias mayores de 2 se obtiene

0 = 1

2

+

2

+r1

4 r22

4

+r32

16 + r1 +

r22

r32

2y

1

22

(2.23)

Igualando a 0 los coeficientes se obtienen dos soluciones para r1 y como funcion de r2.Escogiendo la solucion que da < 0 nos queda

r1 = R(r2) = 1 +

8 16 r22 + 8 r23 + 8 r24 6 r25 + r26

2

2(2.24)

= 8 +

64 + 8 (2 + r2) r22 (8 4 r22 + r23)2 (8 4 r22 + r23) (2.25)

Puesto que el la transformacion anterior hace corresponder el mapa M2 con el mapa M,localmente de forma exacta, la misma transformacion permite obtener M4, M8, etc. Luego,la relacion R es general

rm = R(rm+1). (2.26)

Notese que seria mejor obtener la funcion inversa R1. Sin embargo, esta se expresa por unaformula mucho mas larga y afortunadamente podemos prescindir de ella. El punto fijo delmapa rm = R(rm+1) satisface la equacion

rc = R(rc) (2.27)

Las soluciones son

{{r 2}, {r 1 + i

3 + 2

3}, {r 1 +

3 + 2

3}} (2.28)


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El valor 2 es el punto fijo estable del mapa R, y por tanto es inestable para R1, por tanto

se descarta. El segundo punto se descarta por ser complejo. El tercer valor es el punto fijoestable de R1 y es el valor que buscamos

rc = 1 +

3 + 2

3 3,54246. (2.29)

Para el parametro se obtiene el valor 2/(3 1) 2,73205.Llamemos m = rc rm. El numero de bifurcaciones de doblamiento de periodo es

N(m) = 2m. (2.30)

Cuando m

0 se cumple que

m = m+1, =dR

dr

r=rc

= 4 +

3 5,73205. (2.31)

La relacion anterior admite la solucion

m = Km = Kem ln , (2.32)

donde K es una constante que depende de las condiciones iniciales. Relacionando (2.30) y(2.32) se obtiene la dependencia

N(m) ln 2/ ln m . (2.33)La ecuacion anterior se puede rescribir en la forma

N(rm) |rc rm|, = ln 2/ ln 0,396975. (2.34)

se llama exponente crtico.Naturalmente, para los mapas unidimensionales es posible hallar los parametros crticos

mediante un examen detallado del diagrama de bifurcaciones y un conteo de las bifurcacionesde doblamiento de perodo. Se propone este ejercicio de tarea y comparar los resultados con losvalores obtenidos mediante el grupo de renormalizacion. El grupo de renormalizacion es unatecnica bastante amplia que permite encontrar parametros y exponentes crticos aproximados,en situaciones en que no es posible obtener soluciones numericas o exactas. En particular esimportante en la teora de las transiciones de fase, en la cual que intervienen parametros deorden que divergen en la forma (2.34).


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Captulo 3

Caos en ecuaciones diferenciales

ordinarias

3.1. Conceptos

En esta parte se pretende extender los conceptos de mapas discretos a los sistemas deecuaciones diferenciales ordinarias.

Consideremos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, escrito generica-

mente en la formadx

dt= F(x, p), x(0) = x0, (3.1)

donde p es un conjunto de parametros y x es un vector de N dimensiones, cuyo conjunto devalores posibles es llamado espacio de fase.

Puede demostrarse que si las funciones F y dF/dt son continuas en una vecindad S de x0,entonces existe algun intervalo (, ) de medida no nula en el cual el sistema de ecuacionestiene solucion unica. Si la solucion es unica, entonces dos trayectorias x(t) no se cruzan nunca,siempre que la funcion F(x, p) no dependa explcitamene de t. El sitema de ecuaciones se

puede resolver numericamente usando el algoritmo de Runge-Kutta.

dx

dt= f(x, t) (3.2)

k1 = tf(x, t) (3.3)

k2 = tf(x + k1, t + t/2) (3.4)

k3 = tf(x + k2/2, t + t/2) (3.5)

k4 = tf(x + k3, t + t) (3.6)

x(t + t) = x(t) +k1 + 2k2 + 2k3 + k4

6

+ O((t)6) (3.7)

Un ejemplo clasico es el sistema de Lorenz, obtenido en 1963 en un estudio de fenomenos

47


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48 CAPITULO 3. CAOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

-10

0

10x

-20

-10

0

10

20y

0

10

20

30

40

z

-10

0

10x

20

-10

0

10

y

Figura 3.1: Trayectoria caotica del sistema de Lorenz. = 10, b = 8/3, r = 28, t (60, 100).

de conveccion.

dx

dt= (y x) (3.8)

dy

dt= xz + rx y (3.9)

dz

dt= xy bz. (3.10)

Este sistema presenta caos para ciertas condiciones iniciales y valores de los parametros, por

ejemplo, = 10, b = 8/3, r = 28. En la Fig. 3.1 se muestra parte del atractor caotico delsistema de Lorenz. El caracter caotico se pone de manifiesto considerando dos trayectoriasx1(t) y x2(t) tales que

(t0) = |x1(t0) x2(t0)| = 1010 (3.11)con t0 suficientemente largo para eliminar el transiente y estar ya en el atractor. Si se plotealg (t) vs t, con t0 = 55 se obtiene el grafico de la Fig. 3.2.

Definiendo el exponente de Lyapunov mediante la relacion

(t) = (t0)e(tt0), (3.12)

se obtiene para el caso de la Fig. 3.2 el valor = 0,39. Al igual que en los mapas discretos, > 0 caracteriza el caos del sistema. Notemos que si el sistema es ca otico resulta dificilobtener la solucion numericamente, ya que los errores debido a la finitud de t se amplifican


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3.1. CONCEPTOS 49

60 65 70 75t

-10

-6

-4

-2

lg

Figura 3.2: Evolucion de la diferencia de dos trayectorias con condiciones iniciales casi iguales

en el sistema de Lorenz. La linea recta es un ajuste a la relacion lg (t) = t + C.

exponencialmente.1

Otro metodo de clasificar el caos consiste en generar mapas discretos a partir de la solucionde la ecuacion diferencial. Estos mapas discretos se analizan mediante las tecnicas explicadasen el captulo anterior.

3.1.1. Corte de Poincare

Este es un metodo que permite reducir una dimension. Considerese como ejemplo elsistema de Lorenz. Consideremos los puntos de la trayectoria x(t), y(t), z(t) en que x(t) = Cy dx/dt > 0, es decir, los puntos en que la trayectoria atraviesa cierto plano en direccionpositiva. Esto da una secuencia de instantes tn y los correspondientes valores yn = y(tn) yzn = z(tn). Entonces con cada variable se puede hacer un mapa

yn+1 = M(yn) o zn+1 = M(zn) (3.13)

3.1.2. Mapa de los maximos sucesivosEn realidad este corte de Poincare, en caso del sistema de Lorenz, no permite visualizar

bien, pues tanto el dominio y la imagen del mapa son bidimensionales. Esa es la causa deque el mapa, como funcion de yn, parezca multivaluado. Una alternativa util es la sucesi onde maximos de la variable z(t). El mapa zn+1 = M(zn) se muestra en la Fig. 3.4

Con este mapa se puede hacer diagrama de bifurcaciones como funcion de los paramtrosr,,b, calcular exponentes de Lyapunov, y todo lo demas que se hace con mapas discretos.Comparando con la recta y = x se ve que siempre |dM/dx| > 1 y no es invertible, lo queimplica inmediatamente que el mapa, y por tanto el sistema de ecuaciones diferenciales, soncaoticos.

1He estudiado que variando t de 0.0001 a 0.01 con el algoritmo NDSolve de Mathematica, el valor de aumenta hasta 0.55.


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50 CAPITULO 3. CAOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

12 14 16 18yn

12

14

16

18

yn + 1

Figura 3.3: Corte de Poincare del sistema de Lorenz. Izquierda: imagen de libro. Derecha:calculado por mi, con = 10, b = 8/3, r = 28, t (200, 500).

202 204 206 208 210t

10

15

20

25

30

35

40

z(t)

32.5 35 37.5 40 42.5 45zn

32.5

35

37.5

40

42.5

45

zn+1

Figura 3.4: Izquierda: evolucion de la componente z(t) del sistema de Lorenz. Derecha: mapade los maximos sucesivos de z(t) del sistema de Lorenz. Parametros: r = 28, = 10, b = 8/3.

3.1.3. Mapa estroboscopico

Este consiste en la funcion xn = z(nT), siendo T un valor que determina la escala de lavariable t. Esa escala de tiempo es discernible en casos como el del pendulo forzado.

d2x

dt2+

dx

dt+ sin x = A cos t. (3.14)

Este sistema se lleva a la forma canonica (3.1) introduciendo las variables auxiliares y = dx/dty z = t.

dx

dt= y (3.15)

dy

dt = y sin x + A cos z (3.16)dz

dt= 1 (3.17)


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3.2. ESCALERAS DEL DIABLO 51

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

yA=1.0

25 50 75 100 125 150

t2

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x A=1.0

Figura 3.5: Trayectoria en el espacio de fases del pendulo forzado. y = dx/dt, siendo x el

angulo con la vertical. x(0) = 0, y(0) = 0, = 0,1, A = 1,0, = 1.

La variable z = t se introdujo para que el miembro derecho solo dependa de las variablesdel espacio de fases. Por tanto las trayectorias en el espacio x,y,z no se cortan. La figuras 3.5y 3.6 muestran la proyeccion del atractor en el plano xy de las trayectorias del pendulo, concondiciones iniciales x = y = z = 0. Para A = 1,0 el atractor difiere poco del oscilador lineal,pero para A = 1,2 el atractor es mucho mas complejo. El periodo T = 2 es determinado porla fuerza perturbadora. El diagrama estroboscopico para A = 1,0 muestra que la trayectoriaes periodica. Para A = 1,2 muestra que el periodo no es 2. Al hacer T = 12 se ve claramenteque la trayectoria es periodica. Notese la gran diferencia de amplitud entre los atractores para

A = 1,0 y A = 1,2, siendo iguales las c

apunte uchile - fenomenología

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