apunte 3 control estadistico de procesos

CONTROL ESTADISTICO DE

PROCESOS ( CEP )

CEP !  Se define como la aplicación de métodos

estadísticos para la medición y análisis de la variación en un proceso. Esta técnica se aplica tanto a los parámetros dentro del proceso como a los del final de éste (producto).

!  Un proceso es un conjunto de actividades que convierte entradas en salidas o resultados. Más específicamente, es una combinación única de máquina, herramientas, métodos, materiales y gente que alcanza un resultado en productos, software o servicios: el chip de un circuito, un programa de cómputo o las respuestas que se brindan a los clientes en una línea de ayuda respectivamente.

VENTAJAS DE REDUCIR LA VARIABILIDAD DEL PROCESO

La menor variabilidad:

!  puede resultar en un mejor desempeño del producto que el consumidor pueda discernir.

!  La menor variabilidad de las características de un componente puede ser la única manera de compensar la gran variabil idad en otros componentes y, por lo tanto, cumplir con los requerimientos de desempeño en un ensamblaje o sistema.



!  Ofrece la oportunidad de cambiar el promedio del proceso. Por ejemplo para algunas características como el peso, la reducción de la desviación estándar al llenar el contenido de un paquete de alimento, permite una reducción en el llenado promedio, lo que resulta en una reducción de costo.

!  Una menor variabilidad resulta en una menor necesidad de inspección. ( variabilidad cero implica que una sola muestra cuenta toda la historia)



!  Puede ser un factor competitivo al determinar la participación de mercado.

GRAFICAS DE CONTROL ESTADÍSTICO

! Una gráfica de control estadístico compara los datos del desempeño del proceso con los “límites de control estadístico” computados.

! Uno de sus principales objetivos es detectar las causas especiales (o asignables) de variación en un proceso,

GRAFICAS DE CONTROL ESTADÍSTICO Las variaciones de un proceso pueden deberse a dos causas:

(1) comunes (aleatorias o de suerte), las cuales son inherentes al proceso.

(2) especiales (o asignables), las cuales causan una variación excesiva.

!  Uno de los principales objetivos de una gráfica de control es detectar las causas especiales (o asignables) de variación en un proceso, a fin de eliminarlas y reducir la variación.

!  No se debe creer que un estado de control estadístico es un fin en sí mismo.

!  Idealmente, sólo debería haber causas comunes en los procesos, porque representan un proceso predecible y estable que lleva a un mínimo de variación.

!  Se dice que un proceso que opera sin causas especiales de variación está en “un estado de control estadístico”.

!  La gráfica de control distingue entre causas comunes y especiales de variación mediante la elección de límites de control, que se calculan usando leyes de probabilidad para que se presuma que las causas altamente improbables de variación se deben a causas especiales y no aleatorias.

VENTAJAS CEP Existe un estado del control estadístico en el que sólo hay causas comunes de variación en un proceso. Esta condición presenta diversas ventajas importantes:

!  El proceso es estable, lo que hace posible predecir su comportamiento, al menos en el corto plazo.

!  El proceso tiene una identidad en términos de una determinada serie de condiciones necesarias para hacer predicciones. Por ejemplo, Si decimos que un jugador tiene una capacidad de bateo de aproximadamente .250, queremos decir que, en promedio, hará un hit por cada cuatro veces que esté al bate.

!  Un proceso que posea causas especiales es inestable, y la variación excesiva puede ocultar el efecto de los cambios introducidos para lograr una mejora. La eliminación de ciertas causas especiales y la consiguiente rediagramación de las gráficas de control también puede revelar que aún existen causas especiales ocultas anteriormente.

!  Un análisis del control estadístico, que incluye la diagramación de datos en el orden de producción, permitirá fácilmente identificar las tendencias en el tiempo que permanecen ocultas por otras síntesis de datos tales como los histogramas.

!  Un proceso estable (como se verifica con el control estadístico) que también cumple con las especificaciones del producto ofrece pruebas de que el proceso tiene condiciones que, de mantenerse, resultarán en un producto aceptable.

PASOS PARA CREAR DIAG DE CONTROL

1.  Elegir las características que se van a diagramar.

!  Dar una gran prioridad a las características que están funcionando actualmente con un alto nivel de defectos. (Usar análisis de Pareto para establecer prioridades.)

!  Identificar las variables y condiciones del proceso que contribuyen a las características del producto final, con objeto de definir las aplicaciones potenciales del diagrama desde la materia prima hasta las etapas del proceso y las características finales.

!  Determinar el punto más temprano en un proceso de producción en el cual se pueden realizar pruebas que obtengan información sobre las causas asignables, para que el diagrama sirva como un mecanismo efectivo de advertencia temprana para evitar defectos.


2.  Elegir el diagrama de Control La experiencia ha demostrado que los gráficos de

control dirigen efectivamente la atención hacia las causas especiales de variación y a la magnitud de la variación de causas comunes, que se deben reducir mediante actuación por parte de la dirección. Pueden ser de dos tipos según la característica del producto o servicio a analizar:

Gráficos de control por variables En ellos el control del

proceso se realiza mediante variables susceptibles de ser medidas: cantidades, pesos, diámetros, espesores, frecuencias, etc. En ellos se analizarán parámetros de centraje y dispersión de la característica a controlar a lo largo del tiempo. El gráfico, que analiza la media muestral y el rango de una muestra predeterminada, es el más utilizado en este ámbito.


2.  Elegir el diagrama de Control gráficos de control por atributos. En ellos el control del

proceso se realiza mediante atributos de tipo dicotómico. Asi, se puede analizar si el producto o servicio posee o no una determinada característica (atributo): color, forma, defecto, tipo, etc. Y en general se aborda dicho análisis mediante preguntas del tipo: aceptable/no aceptable, si/no, funciona/no funciona, etc.

Los principales gráficos por atributos, son: los que controlan número de unidades defectuosas: "p" y "np", y los que controlan el número de defectos "c" y "u". Su estudio se abordará posteriormente.


3.  Decidir sobre la línea central que se usará y la base para el cálculo de los límites. La línea central puede ser el promedio de los datos anteriores o un promedio deseado (como un valor estándar). Los límites se establecen normalmente en ±3�, pero se pueden elegir otros múltiplos para diferentes riesgos estadísticos.

4.  Elegir el “subgrupo racional”. Cada punto de un

diagrama de control representa un subgrupo (o muestra) que consta de diversas unidades del producto. Para el control de procesos, se deben elegir subgrupos para que las unidades dentro de éstos tengan la mayor posibilidad de parecerse y aquéllas entre subgrupos tengan la mayor posibilidad de ser diferentes.


5.  Brindar un sistema para la recopilación de datos. Si el diagrama de control servirá como una herramienta de uso cotidiano en el taller, debe ser conveniente y fácil de usar. Las mediciones se tienen que simplificar y mantener libres de error. Se deben diseñar instrumentos indicadores que den lecturas raapidas y confiables.

6.  Calcular los límites de control y brindar instrucciones específicas para la interpretación de resultados y las acciones que van a emprender diversos miembros del personal de producción.


5.  Brindar un sistema para la recopilación de datos. Si el diagrama de control servirá como una herramienta de uso cotidiano en el taller, debe ser conveniente y fácil de usar. Las mediciones se tienen que simplificar y mantener libres de error. Se deben diseñar instrumentos indicadores que den lecturas raapidas y confiables.

6.  Calcular los límites de control y brindar instrucciones específicas para la interpretación de resultados y las acciones que van a emprender diversos miembros del personal de producción.

7.  La diagramación de datos y la interpretación de

resultados.

Fórmulas para el límite de control

Estas fórmulas se basan en ±3� y emplean una línea central igual al promedio de los datos usados al calcular los límites de control.

CONTROL Y MEJORA DE UN PROCESO. GRÁFICOS DE CONTROL. CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS. SPC

1. INTRODUCCIÓN.

Mientras el Dr. Walter Shewhart de los Laboratorios Bell estudiaba datos de procesos en la década de los años 20, distinguió por primera vez entre variaciones controladas e incontroladas, debido a lo que llamamos causas especiales.

Desarrolló un sencillo pero poderoso instrumento para distinguir dinámicamente entre las dos: el gráfico de control.

Desde entonces, los gráficos de control han sido utilizados con éxito en una amplia variedad de situaciones de control de procesos.

La experiencia ha demostrado que los gráficos de control dirigen efectivamente la atención hacia las causas especiales de variación y a la magnitud de la variación de causas comunes que se deben reducir mediante actuación por parte de la dirección.

TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL

Los gráficos de control pueden ser de dos tipos según la característica del producto o servicio a analizar: Gráficos de control por variables y gráficos de control por atributos.

En los gráficos de control por variables, el control del proceso se realiza mediante variables susceptibles de ser medidas: cantidades, pesos, diámetros, espesores, frecuencias, etc. En ellos se analizarán parámetros de centraje y dispersión de la característica a controlar a lo largo del tiempo. El gráfico, que analiza la media muestral y el rango de una muestra predeterminada, es el más utilizado en este ámbito.

En los gráficos de control por atributos, el control del proceso se realiza mediante atributos de tipo dicotómico. Así, se puede analizar si el producto o servicio posee o no una determinada característica (atributo): color, forma, defecto, tipo, etc.

Y en general se aborda dicho análisis mediante preguntas del tipo: aceptable/no aceptable, si/no, funciona/no funciona, etc.

Los principales gráficos por atributos, son: los que controlan número de unidades defectuosas: "p" y "np", y los que controlan el número de defectos "c" y "u". Su estudio se abordaráposteriormente.

En general se prefiere el control por variables, ya que la información recogida es más objetiva (son medidas de una característica) y representa más fiablemente el estado del proceso en términos de la característica que se intenta controlar; máxime, si se tiene en cuenta que para realizar el control, el número de "piezas" observadas (que constituyen la muestra) es muy pequeño comparado con la población de la que provienen y que permiten establecer la capacidad del proceso.

Así, estos gráficos nos informan más fiablemente acerca de la variación que sufre la característica que se mide a lo largo del tiempo y de la magnitud de esa variación. Por otra parte, los gráficos de control por atributos sólo nos dan una indicación de la aceptabilidad de la muestra, sin informar de la variación producida por la característica y además, por lo general requieren para su construcción tamaños muestrales mayores.

Así, si la característica que se pretende controlar es muy importante (por ejemplo, por ser componentes de precisión) se emplearán los gráficos de control por variables.

GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES.Los gráficos de control por variables en general nos permitirán mediante muestras de pequeño tamaño (3, 4 ó 5 piezas) tomadas en la propia máquina, prever dentro de que límites un proceso estádentro de control. Es decir, se trata de controlar el proceso vigilando las variables más significativas de los productos fabricados; para ello se usan técnicas estadísticas aceptando que los errores siguen una distribución normal.

Los gráficos de control por variables se deben utilizar cuando se precise controlar una dimensión o característica concreta de un producto en el que se están produciendo defectos o cuando no estamos seguros de que el proceso con el que se fabrican estos productos sea el adecuado. El control por variables tiene como ventajas a destacar que el operario recibe información de la calidad de su trabajo y puede contrastarla con los objetivos perseguidos, además se puede prever la aparición de piezas defectuosas, asícomo detectar que un proceso es el adecuado para fabricar una determinada pieza analizando también la evolución del propio proceso.

2. GRÁFICO ( )

Este gráfico trata de mostrarnos la distribución que siguen en el tiempo los estimadores (media) y R (rango), identificativos del valor central y la dispersión de los valores de cada muestra extraída. Los valores de estos estimadores variarán de una muestra a otra en el proceso de inspección; por tanto, lo que nos interesará predecir, son los límites entre los que variarán dichos estimadores, supuesto que el proceso está bajo control (esto es, cuando no existen causas especiales que distorsionen el proceso).

El procedimiento que debe seguirse para su construcción exige contar con una hoja de recogida de datos, en la que se indicará el tamaño de las muestras, la frecuencia con que deben tomarse y elnúmero de muestras necesarias para obtener cierta significación estadística en nuestro estudio.

X

RX �

El tamaño de la muestra se elegirá de modo que la variación entre las medidas de las unidades observadas sea lo menor posible. Conviene que este tamaño sea reducido y constante para todas las muestras que se tomen. Suelen tomarse muestras de tamaño 5, de extracción consecutiva, para que todas las unidades que componen la muestra tengan un comportamiento lo más homogéneo posible.

Respecto a la frecuencia de extracción de muestras, no se ha de perder de vista el propósito general de los gráficos de control por variables, que es detectar los cambios que se originan en el proceso a lo largo del tiempo. Por eso la frecuencia de extracción debe facilitar esa tarea de detección, de modo que si se prevé una elevada variabilidad de la medida en el proceso, los intervalos de extracción deben ser cortos.

De cada una de las muestras se van a vigilar dos valores: uno es la media y el otro el rango (diferencia entre el mayor valor y el menor de los datos de la muestra). Puede admitirse que cada uno de estos dos valores sigue una distribución normal a lo largo del proceso de muestreo, es decir:

Además, la relación que existe entre las desviaciones de estas distribuciones, la desviación estándar de la población (V), y el rango medio ( ) es:

),(),( RX RNRXNX VV ||

R

donde d2, d3 son coeficientes cuyo valor depende del tamaño de cada muestra.

Para vigilar los valores de media y rango, se han de establecer los denominados límites de control de medias y rangos. Los límites de control de un gráfico nos denotarán las cotas superior e inferior que pueden tomar los valores que se plasman en el gráfico, de modo que la desviación respecto a su valor medio sea como máximo de r3 desviaciones estándar. Y esto suponiendo que la variación del valor del estimador que se controla, es debida exclusivamente a causas comunes.

ndR

nX2

VV R

dd

dR2

33 VV

RAXRnd

XXLC XX 22

33 r r r V � RAXLCI

RAXLCS

X

X

2

2

�

�

Rdd

Rdd

RRLC RR )31(332

3

2

3 r r r V � RDLCI

RDLCS

R

R

3

4

Así, los límites de control para la media, se establecerán como sigue:

Lo mismo, para los rangos:

los valores A2, D3, y D4 también dependen del tamaño de la muestra (ver tabla siguiente.)

Tabla: Coeficientes para distintos tamaños de muestra "n"

1.7501.7601.8201.8801.9702.0902.2702.5703.270B4

0.2800.2400.1900.1200.0300000B3

0.9801.0301.1001.1801.2901.4301.6301.9502.660A3

0.6660.6730.6800.6900.7000.7120.7280.7490.779F

0.9741.0101.0531.1091.1831.2891.4571.7722.659L

1.7771.8161.8641.9242.0042.1152.2822.5753.267D4

0.2230.1840.1360.07600000D3

0.3080.3370.3730.4190.4830.5770.7291.0231.880A2

0.7970.8080.8200.8330.8480.8640.8800.8880.853d3

3.0782.9702.8472.7042.5342.3262.0591.6931.128d2

1098765432n

RLXdRXLVN r r|r 2

33VP � RLXLVNI

RLXLVNS

�

�

Condición 1: > @LTLVN �

INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO ( )

Desde el punto de vista del control y mejora del proceso, no basta con saber construir los gráficos de control; es necesario saber interpretarlos, con el fin de averiguar lo que le está sucediendo al proceso en el transcurso del tiempo: causas de variación especiales, sesgos, tendencias, etc.

RX �

Antes de aceptar los gráficos anteriores para el control futuro, es necesario comprobar que el proceso esta bajo control estadístico, lo cual ocurre cuando:

- Ninguno de los valores del Rango queda fuera de los limites de control de Rango.

- Ninguna de las Medias esta fuera de los limites de control de las Media.

- No haya mas de seis valores de las Medias, en muestras consecutivas que estén al mismo lado de la gran media.

- No haya dos Medias seguidas fuera de los limites de advertencia, (estos se toman con una amplitud de dos veces la desviación típica).

- En siete muestras consecutivas no puede haber mas de dos Medias fuera y del mismo lado de los limites de advertencia.

Si se cumple todo lo anterior, indicaría que los valores hallados son representativos del proceso y pueden usarse en el futuro para elcontrol del mismo. Si alguna de las condiciones no se cumple, nose podrían usar y habría que estudiar cual es el motivo y corregirlo. Veamos unos ejemplos de los gráficos anteriormente descritos:

Gráfico con puntos fuera de control.

Puede ser que el proceso esta bajo control, pero se note un progresivo empeoramiento.

Cuando todos los puntos están muy cerca de la línea central, sobre 1,5 * V, no indican que estemos con un buen control, sino que estamos mezclando información lo que nos da unos márgenes muy amplios, entonces ha de revisarse la manera de hacer los subgrupos.

También puede considerarse anormal que se note un cierto ordenamiento en los puntos, aunque estos estén dentro de las líneas de control, por ejemplo mismas subidas y bajadas. Recuérdese que para que un proceso este bajo control las únicas causas que pueden influir en él, son las debidas al azar.

3. EJEMPLO DE GRAFICOS X-R. A continuación se muestra la representación del gráfico () correspondiente a los datos de 25 muestras de tamaño 5 de los diámetros de determinadas piezas.x1 x2 x3 x4 x5

001 10.440 10.500 10.450 10.440 10.520

002 10.640 10.530 10.600 10.520 10.510

003 10.550 10.510 10.470 10.450 10.420

004 10.530 10.520 10.560 10.590 10.600

005 10.520 10.430 10.440 10.460 10.500

006 10.450 10.460 10.610 10.480 10.550

007 10.530 10.610 10.480 10.400 10.480

008 10.450 10.500 10.450 10.530 10.470

009 10.520 10.560 10.530 10.580 10.660

010 10.560 10.500 10.400 10.510 10.640

011 10.530 10.480 10.560 10.550 10.580

012 10.560 10.430 10.430 10.420 10.510

013 10.500 10.720 10.480 10.450 10.500

014 10.470 10.530 10.560 10.520 10.470

015 10.530 10.560 10.600 10.690 10.550

016 10.510 10.630 10.620 10.590 10.610

017 10.500 10.510 10.400 10.520 10.520

018 10.540 10.460 10.490 10.450 10.460

019 10.490 10.550 10.510 10.560 10.490

020 10.620 10.500 10.600 10.610 10.620

021 10.540 10.590 10.630 10.580 10.560

022 10.420 10.550 10.480 10.500 10.500

023 10.520 10.600 10.510 10.520 10.500

024 10.570 10.720 10.640 10.730 10.590

025 10.600 10.570 10.600 10.480 10.500

x1 x2 x3 x4 x5

001 10.440 10.500 10.450 10.440 10.520

002 10.640 10.530 10.600 10.520 10.510

003 10.550 10.510 10.470 10.450 10.420

004 10.530 10.520 10.560 10.590 10.600

005 10.520 10.430 10.440 10.460 10.500

006 10.450 10.460 10.610 10.480 10.550

007 10.530 10.610 10.480 10.400 10.480

008 10.450 10.500 10.450 10.530 10.470

009 10.520 10.560 10.530 10.580 10.660

010 10.560 10.500 10.400 10.510 10.640

011 10.530 10.480 10.560 10.550 10.580

012 10.560 10.430 10.430 10.420 10.510

013 10.500 10.720 10.480 10.450 10.500

014 10.470 10.530 10.560 10.520 10.470

015 10.530 10.560 10.600 10.690 10.550

016 10.510 10.630 10.620 10.590 10.610

017 10.500 10.510 10.400 10.520 10.520

018 10.540 10.460 10.490 10.450 10.460

019 10.490 10.550 10.510 10.560 10.490

020 10.620 10.500 10.600 10.610 10.620

021 10.540 10.590 10.630 10.580 10.560

022 10.420 10.550 10.480 10.500 10.500

023 10.520 10.600 10.510 10.520 10.500

024 10.570 10.720 10.640 10.730 10.590

025 10.600 10.570 10.600 10.480 10.500

Con la tabla inicial de datos los gráficos que se obtienen son los siguientes:

GRAFICO X

10,35

10,4

10,45

10,5

10,55

10,6

10,65

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

GRAFICO R

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

En el diagrama X se detecta un punto fuera de control correspondiente a la muestra 24, mientras que en el R todos están entre los límites. Enmascarando esta muestra y volviendo a dibujar los gráficos se detecta otro punto fuera de control, esta vez en el gráfico R correspondiente a la muestra 13, la cual volvemos a enmascarar. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

a) Calcularemos en primer lugar los rangos de cada muestra, Ri , y el rango medio, , con la información contenida en la ficha de control:

126,02515,3

º

25

1 ¦muestrasden

RR

i

R

Los limites de control para los rangos vienen dados por las expresiones en función de D4 y D3:

LCSR = D4 * = 2,115 x 0,126 = 0,266

LCIR = D3 * = 0 x 0,126 = 0

Siendo los valores de D3 y D4 los correspondientes a la tabla anterior para un tamaño de muestra, n, igual a 5.

R

R

b) Se comprueba a continuación si el rango de alguna de las muestras cae fuera de los Límites de Control. Si esto ocurre, se interpretará que la(s) muestra(s) correspondiente(s) pertenece(n) a una población distinta o a un momento en el que el proceso estuvo fuera de control. En cualquier caso, dichas muestras no serán consideradas y se procederá a calcular unos nuevos R y LCR con las muestras restantes.

En el presente caso, sólo el rango de la muestra i=13 está fuera de los límites, pues R13 = 0,27, por lo que debe ser eliminada en la determinación del nuevo rango:

LCSR = D4 * = 2,115 x 0,12 = 0,254

LCIR = D3 * = 0 x 0,126 = 0

12,024

27,015,3

� R

R

R

Puede comprobarse que todos los rangos (salvo R13) están contenidos dentro de las nuevas LCR, por lo que puede tomarse como definitivo el valor R = 0,12. Si algún R, no hubiese satisfecho esta condición, habría que proceder de forma análoga a la anterior hasta conseguir que todos los Ri conservados queden dentro de los LCR, cuidando de que el número de muestras que queden sean suficientes para que los resultados sean significativos.

c) Una vez fijado se calcula el valor de y LCX, utilizando únicamente las muestras no excluidas4 en el apartado anterior, por medio de las expresiones ya vistas. Asimismo, se tomará R = 0,12.

LCSX = + A2 * = 10,53 + 0,577 x 0,12 = 10,599

LCIX = - A2 * = 10,53 - 0,577 x 0,12 = 10,461

donde A2 procede de la tabla anteriormente comentada para n = 5. No obstante algunos autores prefieren considerar todas las muestras.

53,1024

73,25224

24

1 ¦ iX

X�

RR

d) Se comprueba seguidamente si alguna de las Xi cae fuera de los LCX. Si esto ocurriese, deberían ser eliminadas, determinándose unos nuevos y LCX. Para estos últimos se seguiría empleando el mismo R (0,12 en nuestro caso), con lo que los nuevos límites de control tendrían la misma amplitud que los anteriores aunque estarían desplazados por haber cambiado. El proceso se repetiría hasta con seguir que todas las conservadas queden dentro de los últimos LCXcalculados, que se tomarían como definitivos (salvo para el caso de alta precisión como ya se indicó en la introducción) junto con el último valor de .

En el problema objeto de estudio observamos que = 10,65 estáfuera de los limites, por lo que deberá prescindirse de ella:

LCS = 10,525 + 0,577 x 0,12 = 10,594

LCI = 10,525 - 0,577 x 0,12 = 10,456

X�

525,10

2365,1073,252

�

X�

24X�

Las 23 muestras consideradas caen dentro de los nuevos LCX, por lo que consideramos finalizado el proceso y procedemos al cálculo de los límites de variación natural:

LVNS = + L = 10,525 + 1,289 x 0,12 = 10,68

LVNI = - L = 10,525 - 1,289 x 0,12 = 10,37

Vemos, pues, que los LVN son más estrechos que los límites de tolerancia, LT, especificados por la oficina técnica, que, de acuerdo con la ficha de control, valen:

LT = 10,5 ± 0,2

es decir:

LTS = 10,5 + 0,2 = 10,7

LTI = 10,5 - 0,2 = 10,3

X�

X�

RR

Se deduce, por tanto, que el proceso es capaz de cumplir los objetivos marcados. Es interesante hacer notar que por estar la gran media X descentrada hacia arriba (10,525 en lugar de 10,5), es mayor la probabilidad de obtener piezas defectuosas por exceso en la longitud, por lo que sería recomendable intentar centrar, X. Hay que recalcar, sin embargo, que el operario sabe que los errores por exceso pueden ser corregidos, no ocurriendo esto con los que son por defecto, tendiendo, por tanto, a dar valores centrales, X, más elevados.

Así se obtienen los gráficos finales de la fase de construcción.

GRAFICO X

10,4

10,45

10,5

10,55

10,6

10,65

1 4 7 10 13 16 19 22

GRAFICO R

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 4 7 10 13 16 19 22

Para calcular los valores de los límites de control en ambos gráficos, basta utilizar las fórmulas anteriormente expuestas (supuesto que ya se han filtrado las muestras 24 y 13).

Gráfico de medias:

> @10,594 ;456,1012,00,57710,525 LC 525,10 �r X

012,00;254,012,0115,2LCS 12,0 � � LCIR

4. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Los gráficos de control por atributos se utilizan para controlarcaracterísticas de calidad que no puede medirse. En este sentido, se definirá el atributo de estudio y se observará si está presente o no en las muestras que se obtengan del proceso.

Así, un producto se calificará como "bueno" o "malo" según posea o no dicha característica o atributo.

En general, estos gráficos nos permiten controlar el número de piezas defectuosas (bien en términos absolutos, dentro de una muestra, bien en fracción defectuosa), o el número de defectos (por muestra o por unidad de producto).

Según que el tamaño muestral considerado sea constante o variable a lo largo de las sucesivas muestras, y de que se quieran controlar unidades defectuosas o defectos, tenderemos cuatro diferentes tipos de gráficos, como se muestra en la tabla adjunta:

n= Cte. n= Var. Nº piezas defectuosas. np p Nº defectos. c u

En cualquier caso, nuestro objetivo, será determinar los límites de control del gráfico que estemos manejando. Genéricamente, los límites de control siempre responden a la formulación: LC = VC r3V, esto es, tres desviaciones estándar a un lado y otro del valor central de la medida de estudio. La interpretación que se hará de los puntos que rebasen los límites de control es la siguiente, si un valor supera el límite superior de control, querrá decir que se ha producido un alarmante ascenso del número de unidades defectuosas (o del número de defectos). Sin embargo los valores por debajo del límite inferior de control pueden deberse a dos situaciones; o bien el proceso ha mejorado realmente, disminuyendo el número de fallos, o la extracción de la muestra no es adecuada en tamaño (tamaños de muestra pequeños, pueden falsear la información real del % de fallos existente en el proceso). Por este motivo, los tamaños muestrales deben ser suficientemente grandes, con valores habitualmente superiores a 50 elementos pormuestra.

4. 1. GRÁFICO "np".

Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción muestral, el número de unidades defectuosas correspondientes a esa muestra.

Las expresiones del valor central y de los límites de control para este gráfico son:

Es obvio que el valor de los límites de control es constante, pero depende del tamaño muestral elegido.

N

¦

N

1i

i"" muestraen sdefectuosa uds. nºmuestrapor promedio sdefectuoso artículosnºpnVC

)p1(pn3pnLC �r

EJEMPLO GRÁFICO "np".La empresa Data ha decidido llevara un control de calidad del proceso productivo mediante la utilización de gráficos np empleando muestras de 250 unidades, obteniéndose de las 25 primeras muestras las unidades defectuosas que se presentan en la tabla siguiente:

De acuerdo con los datos anteriores, calcularemos los límites de control mediante la expresión:

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Def. 19 16 28 21 18 19 15 19 10 23 12 20 25 31 14 27 18 16 17 23 26 17 26 30 11

04,2025501

pnVC dasinspeccionmuestrasdeNúmero

sencontradosdefectuosoartículosdeTotal

de donde:

08,0250

04,20

npn

p

y por lo tanto:

92,32)08,01(04,20304,20)p1(pn3pnLCS ��

16,7)08,01(04,20304,20)p1(pn3pnLCI ��

4.2. GRÁFICO "p".

Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción muestral, el porcentaje de unidades defectuosas muestral.

Así, por pi denotaremos a la fracción defectuosa de la muestra i-ésima (obtenida como cociente entre el número de unidades defectuosas en la muestra i-ésima y el tamaño muestral de dicha muestra).

El valor central de esta característica, será

donde N es el número total de muestras.

ii n

i"" muestraen sdefectuosa uds. nºi"" muestra defectuosafracción p

¦

¦

N

1ii

N

1

n

i"" muestraen sdefectuosa uds. nºpromedio defectuosafracción pVC i

Los límites de control, para este gráfico, se calculan según la fórmula siguiente (siendo la raíz de la misma un estimador de la desviación poblacional):

in)p1(p3pLCi

�r

En esta fórmula puede observarse como los límites de control dependen del tamaño muestral (que es variable), por lo que los valores de control de este gráfico no serán constantes, sino que tendrán diferentes valores para cada muestra.

Como resultaría excesivamente tedioso calcular los límites de control reales, suelen calcularse los denominados límites de control simplificados, que toman valores constantes al considerar en la fórmula anterior el tamaño muestral promedio de las N muestras. Esta aproximación, podrá hacerse siempre que no exista gran variación entre los tamaños muestrales de las diferentes muestras. En todo caso, para aquellos puntos del gráfico próximos a estos límites simplificados, será necesario calcular los límites de control reales, para evitar falsas alarmas (por ejemplo: un punto por debajo del límite inferior simplificado y cercano a él, no tiene porqué poner al sistema fuera de control si no supera al correspondiente límite de control real).

EJEMPLO DE GRÁFICO PLa empresa Electra, S. A., trata de controlar el proceso de fabricación de determinados aparatos eléctricos mediante la implantación de un gráfico p con el que observar la evolución de la fracción defectuosa.

Para ello, se comienza en el mes de febrero de 1980, examinando un 50 por 100 de la producción mediante muestras de tamaño variable e igual a la mitad de la producción diaria.

Como valor central de la fracción defectuosa se adopta, en un principio, el obtenido de experiencias similares en el pasado, igual a un 2,5 por 100 de productos defectuosos por muestra. Este valor (p = 0,025) será revisado mensualmente y sustituido por otro si la evolución de la calidad así lo aconseja.

Los datos procedentes de 25 muestras aparecen en la tabla de la figura siguiente en la que se indica además de los valores de ni y pi, los valores de los límites de control de cada muestra, calculados de acuerdo con las expresión siguiente para pi :

Se desea dibujar el gráfico p correspondiente así como comentar los resultados obtenidos.

adasinspeccion unidades de totalNúmerodetectadas muestraen sdefectuosa uds. nºi"" muestra defectuosafracción pi

RESOLUCIÓN:A partir de los datos de la tabla se ha dibujado el gráfico p. De su observación se desprende que, a partir de la muestra 7, la calidad ha ido empeorándose progresivamente hasta llegar a una muestra, la 17, que queda fuera de control. A partir de ella se han aplicado medidas correctoras que han traído consigo una mejora en la fracción defectuosa.

A la luz de la información brindada por el gráfico p parece aconsejable revisar el valor central empleado, utilizándose para ello el promedio de p durante el mes transcurrido, y excluyendo, claro está, el valor correspondiente a la muestra que resultó fuera de control. Así pues, el nuevo VC a aplicar el mes de marzo será:

Número total de unidades defectuosas detectadas 285

VC= ---------------------------------------------------------------------- = ----------- =0,0235

Número total de unidades inspeccionadas 12.144

Que es menor que el objetivo de 0,025.

Vemos que se ha conseguido una ligera mejora de la calidad sobre el VC inicialmente previsto.

En el presente caso, en el que el tamaño de la muestra varía dentro de unos límites estrechos (ver introducción), cabe la posibilidad de utilizar un valor medio para el mismo, ñ, que evitará el cálculo de los LC para cada muestra, utilizándose para todas ellas los LC resultantes de aplicar las expresiones anteriores para ñ = 0,507.

Así pues, para el mes de febrero tendríamos:

046,0507

)025,01(025,03025,0)'1('3'LC �

� �

� npppS

004,0507

)025,01(025,03025,0)'1('3'LC �

� �

� npppI

De esta forma obtenemos unos limites de control que no varían con el tamaño de la muestra. Su utilización debe ir acompañada del cálculo de los verdaderos valores de LC en aquellas muestras cuyo valor de p¡ quede fuera, o muy próximo, del LC promedio, de forma que pueda determinarse si la muestra en cuestión debe ser considerada realmente fuera de control.

De forma análoga, para el mes de marzo podemos utilizar unos LC aproximados, para cuyo cálculo utilizaremos:

p' = = 0,0235 y ñ = 506

lo cual nos lleva a

0437,0506

)0235,01(0235,030235,0)'1('3'LC �

� �

� npppS

033,0506

)0235,01(0235,030235,0)'1('3'LC �

� �

� npppI

Es fácilmente observable que, en el caso de utilizar un valor de n constante, la diferencia entre este gráfico y el np es la escala, siendo la de este último igual a la del p multiplicada por n. Debido a ello, en estas circunstancias suele ser más interesante emplear el gráfico np, pues requiere menos cálculos y es de más fácil comprensión. No obstante, es necesario decir que los cálculos de los distintos LC en los gráficos p pueden ser sistematizados, existiendo incluso ábacos de los que se obtienen con facilidad.

4.3. GRÁFICO "c".

Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción muestral, el número de defectos correspondientes a esa muestra. Así, si llamamos:

las expresiones del valor central y de los límites de control para este gráfico serán:

i"" muestra laen defectos nºci

N

¦

N

1i

i"" muestraen defectos nºmuestrapor defectos mediacVC

c3cLC r

EJEMPLO DE GRÁFICO C

Para realizar el control de calidad en la fabricación de un cierto tipo de artículo, la empresa Maolar decide implantar un gráfico c, en el que se representa el número de defectos por muestra. Dado que cada unidad a controlar puede presentar hasta 200 defectos diferentes, se va a tomar un tamaño de muestra pequeño. Así pues, se utilizarán 25 muestras de 6 unidades cada una.

Los datos procedentes de la inspección aparecen en la parte superior de la figura siguiente. Puede observarse que, en este caso, los distintos defectos se han clasificado en tres grupos. A, B y C, por orden de importancia y a efectos de tener una mayor información.

Suponiendo probabilidad constante de aparición de un defecto cualquiera, se desea obtener el gráfico c para el control futuro del proceso.

RESOLUCIÓN:A partir de los datos registrados pueden obtenerse el valor central y los limites

de control de acuerdo con las expresiones anteriores, tenemos:

nº Total de defectos detectados 585

VC = = ------------------------------------------- = ----- = 23,4 defectos/muestra

Nº De muestras inspeccionadas 25

Con estos valores se construye el gráfico c que aparece en la figura 18.7, sobre el que se han representado los valores correspondientes a las distintas muestras, las cuales quedan todos bajo control. Debido a ello puede ser aceptado para el control futuro del proceso, aunque, pasado algún tiempo pueda ser aconsejable calcular unos nuevos valores para VC y LC de acuerdo con la evolución real de la calidad.

4,374,2334,23c3cLC � � S

9,84,2334,23c3cLCI � �

4.4. GRÁFICO "u".Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción muestral, el número de defectos por unidad de producto en esa muestra.

Así, si denotamos por ui al número de defectos unitario:

las expresiones del valor central y de los límites de control para este gráfico serán:

En este caso, hemos de hacer las mismas consideraciones de cálculo de los límites simplificados que en el gráfico "p".

i

ii n

)(c i"" muestraen defectos nºu

¦

¦

N

1ii

N

1

n

i"" muestraen defectos nºunidadpor defectos medio nºuVC i

inu

3uLCi r

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE GRÁFICOS USe desea establecer el control de un proceso mediante un gráfico u, con idea de vigilar el número de defectos que presentan los artículos considerados no aceptables. Para ello, se han tomado 25 muestras, cuyos tamaños y número de defectos encontrados se indican en la parte superior de la figura siguiente. Como en el problema anterior, el elevado número de defectos distintos que puede aparecer en un artículo hace posible la utilización de pequeños tamaños de muestra.

RESOLUCIÓN:

De acuerdo con los datos registrados estimamos, el valor central y los limites de control. El primero de ellos, ü, lo haremos igual al número medio de defectos por unidad. Los LC serán calculados de acuerdo con las expresiones correspondientes a estos gráficos, pero utilizando un tamaño de muestra medio, ñ, igual al total de artículos inspeccionados (= 148) dividido por el número dé muestras (= 25).

Esto último es factible debido a que las variaciones de n no son demasiado importantes. De la representación del gráfico u (Fig. 18.8), se deduce que todas las muestras inspeccionadas están bajo control, por lo que los LC y VC pueden ser adoptados comodefinitivos en tanto la evolución real de la calidad no aconseje otra cosa.

64,5148834

n

i"" muestraen defectos nºunidadpor defectos medio nºuVC N

1ii

N

1

¦

¦

i

57,825/148

64,5364,5

u3uLCS � �

in71,2

25/14864,5

364,5u

3uLCS � � in

apunte 3 control estadistico de procesos

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