apresentação de estágio não obrigatório

Relato de estágio obrigatório: Geração e Estimaçãoem Processos Gegenbauer

Aishameriane SchmidtProf. Dr. Cleber Bisognin

Orientador

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática

Departamento de Estatística

Estágio Obrigatório - Julho de 2009

Aishameriane Schmidt (UFRGS) Processos Gegenbauer Julho de 2009 1 / 25

Roteiro

1 Processos GARMA(p,u, λ,q)

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

6 Aspectos do Estágio

Processos GARMA(p, u, λ, q)

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Definição dos processos GARMA

Definição

Seja {Xt}t∈Z um processo estocástico que satisfaz a equação

φ(B)(1− 2uB + B2)λ(Xt − µ) = θ(B)εt , (1)

onde µ é a média do processo, {εt}t∈Z é um processo ruído branco, φ(·) eθ(·) são os polinômios de grau p e q, respectivamente, definidos por

φ(z) =

p∑`=0

(−φ`) z` e θ(z) =

q∑m=0

(−θm) zm, (2)

onde φ`, 1 6 ` 6 p, e θm, 1 6 m 6 q, são constantes reais e φ0 = −1 = θ0.Então, {Xt}t∈Z é um processo auto-regressivo de média móvelGegenbauer de ordem (p,u, λ,q), denotado por GARMA(p,u, λ,q).

Propriedades dos processos GARMA(p,u, λ,q)

Teorema

Seja {Xt}t∈Z um processo GARMA, dado pela expressão 1, onde µ éa média do processo, B é o operador de defasagem ou de retardo, istoé, Bj(Xt) = Xt−j , para todo j ∈ N, {εt}t∈Z é um processo ruído branco,φ(·) e θ(·) são os polinômios de grau p e q que denotam a parteautoregressiva e de média móvel, respectivamente. Considere quetodas as raízes das equações φ(z) = 0 e θ(z) = 0 estão fora docírculo unitário. Então,

a) O processo {Xt}t∈Z é estacionário se λ < 0.5, quando |u| < 1, ouλ < 0.25, quando |u| = 1.

b) O processo {Xt}t∈Z é inversível se λ > −0.5, quando |u| < 1, ouλ > −0.25, quando |u| = 1.

c) Se 0 < λ < 0.25, quando |u| = 1 ou 0 < λ < 0.5, quando |u| < 1,então {Xt}t∈Z apresenta a característica de longa dependência.

Teorema

Teoremad) A função densidade espectral do processo GARMA(p,u, λ,q),

denotada por fX{·}, é dada por:

fX (w) =σ2ε

2π|θ(e−iw )|2

|φ(e−iw )|2[2(cos(w)− u)]−2λ, para todo w ∈ (0, π],

(3)onde G = cos−1 u é chamada frequencia de Gegenbauer oufrequencia G. Note que a função densidade espectral torna-seilimitada em G.Quando ω → G temos,

fX (ω) ∼ Cf |ω −G|−2λ, onde Cf =σ2ε

2π[2| sen (G)|]−2λ > 0. (4)

Figure: Função densidade espectral dos processos k -FactorGARMA(p,u,λ,q), com λ = (0.2,0.2), para k = 2 e λ = (0.2,0.2,0.2), parak = 3: (a) k = 2, u = (−0.4,0.8), p = 0 = q; (b) k = 3, u = (−0.7,0.3,0.9),p = 0 = q.

Observação

A equação:

γX (k) = σ2ε

∑j∈Z≥

C(λ)j (u)C(λ)

j+k (u), ∀ |u| ≤ 1,

com k ∈ Z≥, foi proposta por Woodward et. al (1998) como umarepresentação da função de autocovariância do processo GARMA.

Objetivos

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Objetivos

Objetivos do estudo:

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dos processosGegenbauer;

ii) Gerar o processo k-factor Gegenbauer de até 7 fatores;iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos parâmetros λ e

u para o processo k-factor Garma quando k=1;iv) Comparar métodos de estimação;v) Apresentar os resultados obtidos em eventos científicos da área.

Objetivos

Estimação

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Estimação

Estimadores utilizados

Os métodos de estimação dos parâmetros utilizados foram:i) Estimadores semi-paramétricos: estimador de Geweke e

Porter-Hudak (GPH) e o estimador baseado na funçãoperiodograma suavizado de covariâncias (BA);

i) Estimadores paramétricos: proposto por Fox e Taqqu (FT) e oestimador de verossimilhança exato (EMLE), sendo este últimouma proposta original desenvolvida durante o estágio.

Estimação

Estimadores utilizados

Os métodos de estimação dos parâmetros utilizados foram:i) Estimadores semi-paramétricos: estimador de Geweke e

Porter-Hudak (GPH) e o estimador baseado na funçãoperiodograma suavizado de covariâncias (BA);

i) Estimadores paramétricos: proposto por Fox e Taqqu (FT) e oestimador de verossimilhança exato (EMLE), sendo este últimouma proposta original desenvolvida durante o estágio.

Estimação

O estimador GPH

O estimador GPH, proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), é umestimador semi-paramétrico que utiliza a função periodograma.Considere {Xt}t∈Z um processo GARMA(p, λ,u,q) cuja funçãodensidade espectral é dada por:

fX (w) = fU(ω)[2(cos(w)− u)]−2λ, para todo w ∈ (0, π],

onde fU(ω) = σ2ε

2π .Aplicando o logaritmo na equação acima, temos:

ln(fX (ω)) = ln(fU(ω))− λ ln(2(cos(w)− u))2.

Estimação

O estimador GPH

Adicionando ln(fu(0)) e ln(I(w)) em ambos os lados da equaçãoanterior, teremos:

ln(I(ω)) = ln(fU(0))− λ ln[2(cos(ω)− u)]2 + ln[

fX (ω)

]. (5)

Seja B = {0,1, · · · ,g(n)|j 6= argmax{I(ω)}}, onde g(n) é tal queg(n)→∞ e g(n)

n → 0, quando n→∞. Substituindo a frequência ωpelas frequencias de Fourrier ωj = 2πj

n , j ∈ B, obtemos uma formaaproximada para a equação (5), dada por

ln I(wj) ∼ ln(fU(0))− λ ln[2(cos(wj)− u)]2 + ln[

fX (w)

], (6)

onde G = 2πn argmax{I(w)}.

Estimação

O estimador GPH

A equação (6) pode ser comparada a uma equação de regressãolinear múltipla da forma:

yj ∼ β0 − β1xj + εj , para todo j ∈ B,

yj = ln(I(ωj)), xj = ln[2(cos(wj)− u)]2,

εj = ln[

fX (w)

]+ c, β0 = ln(fU(0))− c, c = E

fX (w)

β1 = −λj ,

com εj variáveis aleatórias não correlacionadas com média zero evariância constante.

Estimação

O estimador BA

Este estimador é baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias ao invés da função periodograma no estimador GPH.Essa alteração decorre do fato de que a função periodograma é umestimador não viciado, mas não consistente para a função densidadeespectral de um processo. Já o periodograma suavizado é umestimador que não apresenta vício e é consistente. Neste estimador,estamos utilizando a janela de Bartlett para fazer a suavização.

Estimação

O estimador FT

O estimador proposto por Fox e Taqqu (1986) está na classe dosestimadores paramétricos e utiliza uma aproximação, proposta porWhittle (1951), para a matriz de autocovariância do processo.Consiste em minimizar uma soma escrita em função do periodogramae pode ser utilizado para qualquer sequência gaussiana estacionária.

Estimação

O estimador EMLE

O estimador de máxima verossimilhança exato é obtidomaximizando-se a função de verossimilhança, que é equivalente amaximizar a seguinte expressão em relação aos parâmetros η e σ2

L(x, η, σ2) = −n2

ln(2π)− 12

ln |Qn(η)| −12

x′Q−n 1(η)x,

onde Qn(η) é a matriz de Toeplitz contendo os valores da função deautocovariância do processo {Xt}t∈Z cujos elementos são dados por{Qn(η)}ij = γX (|i − j |),1 ≤ i , j ≥ n e η = {u, λ}.

Simulações

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações das séries;Os coeficientes Cj foram truncados em 10.000;Os estimadores comparados foram: GPH, BA, FT, EMLE;Para o estimador BA foi utilizado o ponto de truncamento dajanela nβ, com β = 0.9;Para o GPH e BA considerou-se g(n) = nα, comα ∈ 0.5,0.55, ...,0.85,0.89;Foram simuladas séries para diferentes valores de u e de λ

Simulações

Conclusões

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Conclusões

Foram estudados 4 estimadores, sendo que um é uma propostaoriginal deste trabalho;Para {u, λ}={0.1,0.6} e {0.1,0.8} o estimador com menor EQM emenor variância foi o BALM;Nenhum dos estimadores semiparamétricos avaliados sedestacou quanto ao menor vício;Para {u, λ}={0.4,0.8} e {0.1,1.0} o estimador BALM apresentoutambém menores valores de EQM e variância, porém o estimadorcom menor vício foi o GPHMM para valores de α superiores a 0.7para {u, λ}={0.3,0.8} e o GPHLTS {u, λ}={0.4,0.8} para todosvalores de α

Conclusões

Aspectos do Estágio

Roteiro

2 Objetivos

3 Estimação

4 Simulações

5 Conclusões

Considerações sobre o estágio

i) Os objetivos iniciais do estágio foram totalmente alcançados;ii) O trabalho é um passo inicial para a monografia e posteriormente

à dissertação;iii) O uso constante de simulação e análise de séries temporais é

relevante na estatística, sendo assim o estágio abordouproblemas originais e de relevância científica;

iv) Foram submetidos 3 trabalhos para eventos científicos, sendoque um deles já foi apresentado e o outro já está aceito paraapresentação;

v) Já estão prontos os estimadores generalizados para osprocessos k-factor GARMA para qualquer valor de k;

Aprendizados

i) Softwares utilizados: S-Plus, Winrats e editores de LateX.ii) Aprendizagem de séries temporais de longa dependência.

iii) Aprendizagem de análise de séries temporais antes de ter sidovisto na disciplina do curso.

iv) Estimulo para que o aluno trabalhe de forma autônoma jápreparando para o mestrado.

Aprendizados

apresentação de estágio não obrigatório

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