aprendendo cálculo com maple. cálculo de uma variável - santos, a. r bianchini

Aprendendo Cálculo com Maple Cálculo de Uma Variável

Aprendendo Cálculo com Maple Cálculo de Uma Variável

Angela Rocha dos Santos Doutora em Matemática

Instituto de Matemática da UFRJ

Waldecir Bianchini Doutor em Matemática

Instituto de Matemática da UFRJ

Sumário

Introdução xiii

Ao Estudante xvii

Agradecimentos xix

1 Revisão e Pré-requisitos (1) 1 1.1 Os números que governam o mundo 1 1.2 A reta numerada 3

1.2.1 Relação de ordem; conjuntos e intervalos 4 1.2.2 Valor absoluto 6 1.2.3 Distância entre dois pontos 8

1.3 Expressões algébricas - Equações e inequações 8 1.4 Para você meditar: Onde está o erro? 12 1.5 Exercícios . . . . 12 1.6 Problemas 13 1.7 Projeto: Números algébricos e transcendentes 14

2 Revisão e Pré-requisitos (2) 15 2.1 Coordenadas no plano 15

2.1.1 Distância entre dois pontos do plano 16 2.1.2 Exercícios 16

2.2 Gráficos de equações 17 2.3 Retas 20

2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares 22 2.4 Circunferências e elipses 22

2.4.1 Circunferências 22 2.4.2 Elipses 23

2.5 Gráficos de desigualdades 24 2.6 Exercícios 25 2.7 Problemas 26 2.8 Atividades de laboratório 28 2.9 Para você meditar: O gráfico da equação y — mx é sempre uma linha reta? 28 2.10 Projetos 29

2.10.1 Melhor qualidade de gravação 29 2.10.2 Custo mínimo x aproveitamento máximo 29

3 Alguns Problemas do Cálculo 30 3.1 Introdução 30 3.2 Cálculo de áreas 31

3.2.1 Da antiguidade até o século XVII 31 3.2.2 Após o século XVII 31

3.3 Velocidade instantânea 32 3.4 Retas tangentes 33

vi Aprendendo Cálculo com Maple

3.5 Determinação de máximos e mínimos 35 3.6 Comprimento de arco 36 3.7 Conclusões 37 3.8 Atividades de laboratório 37 3.9 Para você meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dos

sistemas matemáticos 37 3.9.1 Enigmas 37 3.9.2 Paradoxos 38 3.9.3 O teorema de Gõdel 39

4 Funções e Gráficos 40 4.1 Motivação 40

4.1.1 O problema da caixa 40 4.2 Exemplos 42 4.3 O conceito de função 44 4.4 Gráficos de funções: Definição e exemplos 45 4.5 Operando com funções 47 4.6 Um pouco de história 48 4.7 Atividades de laboratório 48 4.8 Exercícios 48 4.9 Problemas propostos 49 4.10 Para você meditar: Circunferências podem ser quadradas? 52 4.11 Projetos 53

4.11.1 Melhor escolha (1) 53 4.11.2 Contas a pagar 53 4.11.3 Melhor escolha (2) 54

5 Retas Tangentes 55 5.1 Conceituação 55 5.2 Declividade 56 5.3 O problema da tangente à parábola 58 5.4 Uma nota histórica: A falha lógica no raciocínio de Fermat ou o porquê de limites 60 5.5 Atividades de laboratório 61 5.6 Exercícios 61 5.7 Problemas propostos 62 5.8 Para você meditar: Matemática, física, fórmula 1 e saber popular '. 63 5.9 Projetos 64

5.9.1 Programando o computador para traçar gráficos de funções 64 5.9.2 O refletor parabólico 66

6 Limite de Funções 68 6.1 O conceito de limite 68

6.1.1 Assíntotas ao gráfico de uma função 73 6.1.2 Exercícios 73

6.2 Definições 74 6.2.1 Limite de uma função em um ponto 74 6.2.2 Limites laterais 77 6.2.3 Limites infinitos 77 6.2.4 Limites no infinito 78

6.3 Teoremas e propriedades operatórias 78 6.4 Exemplos de aplicações dos teoremas no cálculo de limites 84 6.5 Atividades de laboratório 86 6.6 Exercícios 86 6.7 Problemas propostos 87 6.8 Exercícios adicionais 88 6.9 Um pouco de história: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites 90

W. Bianchini, A.R.Santos vii

6.10 Para você meditar: Do nada à criação do universo 90 6.11 Projetos 91

6.11.1 O caso do povo contra a Novóleo 91 6.11.2 Seqüência de Fibonacci 94 6.11.3 Definindo e estimando o número ir 95

Polinómios e Funções Racionais 97 7.1 Polinómios 97 7.2 Funções racionais 98

7.2.1 Comportamento no infinito de funções racionais - Conclusão 102 7.3 Atividades de laboratório 103 7.4 Para você meditar: enésima diferença 103 7.5 Projetos 104

7.5.1 Assíntotas e outras funções limitantes 104 7.5.2 Interpolação de Lagrange e ajuste de curvas 105

Continuidade 109 8.1 Discussão informal e intuitiva sobre continuidade 109 8.2 Definição de continuidade 110 8.3 Funções racionais e tipos de descontinuidade 111 8.4 Composição de funções e continuidade 114

8.4.1 Continuidade da função composta 114 8.5 Propriedades especiais das funções contínuas 116 8.6 Problemas propostos 117 8.7 Exercícios adicionais 119 8.8 Para você meditar: O problema do andarilho 120 8.9 Projetos 120

8.9.1 Encontrando as raízes de uma equação 120 8.9.2 Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo . 121

A Derivada de uma Função 123 9.1 Definição 123 9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos 123

9.2.1 Exercícios 125 9.3 Outras notações para a derivada de uma função 126

9.3.1 A notação de Leibniz 127 9.3.2 Exercícios 128

9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade 128 9.4.1 Exercícios 132

9.5 Diferenciabilidade e continuidade 132 9.5.1 Exercícios 133

9.6 Derivadas de ordem superior 133 9.6.1 Exemplos 134 9.6.2 Exercícios 136

9.7 Atividades de laboratório 136 9.8 Exercícios adicionais 136 9.9 Problemas propostos 137 9.10 Para você meditar: Um sofisma 139 9.11 Um pouco de história: Curvas sem tangentes e movimento

Browniano 139

viii Aprendendo Cálculo com Maple

10 Teoremas e Propriedades Operatórias 141 10.1 Regras de derivação 141

10.1.1 Derivada de uma função constante 141 10.1.2 Derivada de uma constante vezes uma função 141 10.1.3 Derivada da soma 142 10.1.4 Derivada do produto 143 10.1.5 Derivada do quociente 145

10.2 Exercícios adicionais 146 10.3 Problemas 147 10.4 Para você meditar: Uma "demonstração" mais simples da regra do quociente - o que está faltando? . . 149

11 Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação 150 11.1 Introdução 150 11.2 Velocidade média 150 11.3 Velocidade instantânea 151 11.4 Taxas de variação 154

11.4.1 Exemplos 154 11.5 Aceleração e outras taxas de variação 156

11.5.1 Aceleração 156 11.5.2 Densidade 156 11.5.3 Crescimento populacional 156 11.5.4 Taxa de reação 158 11.5.5 Aplicações à Economia 158

11.6 Atividades de laboratório 158 11.7 Exercícios 159 11.8 Problemas propostos 160 11.9 Um pouco de história: Velocidade instantânea, movimento contínuo e o princípio da incerteza 162 ll.lOPara você meditar: Calculando velocidades 162

12 Funções Trigonométricas e suas Derivadas 164 12.1 Motivação 164 12.2 Uma pequena revisão de trigonometria 164

12.2.1 Razões trigonométricas 164 12.2.2 O círculo trigonométrico e a função de Euler 165 12.2.3 As funções trigonométricas 166 12.2.4 Algumas propriedades das funções trigonométricas ' 166

12.3 Derivadas das funções trigonométricas 169 12.3.1 A derivada da função seno 169 12.3.2 O limite trigonométrico fundamental 170 12.3.3 A derivada da função cosseno 171 12.3.4 As derivadas das demais funções trigonométricas 171

12.4 Por que se usa radianos em Cálculo 171 12.5 Atividades de laboratório 172 12.6 Exercícios 172 12.7 Problemas propostos 172 12.8 Um pouco de história: O problema da navegação e as primeiras noções de trigonometria 173

12.8.1 O problema da navegação 173 12.8.2 As primeiras noções de trigonometria 174

12.9 Para você meditar: Outra forma de definir as funções seno e cosseno 175

13 Regra da Cadeia 176 13.1 Motivação 176 13.2 Derivadas de funções compostas: A Regra da Cadeia 177 13.3 Exercícios 179 13.4 Problemas propostos 179

W. Bianchini, A.R.Santos ix

14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 181 14.1 Introdução 181

14.1.1 Exemplos 181 14.2 Derivação implícita 182 14.3 Taxas relacionadas 184

14.3.1 Motivação 184 14.4 Atividades de laboratório 186 14.5 Exercícios 187 14.6 Problemas propostos 188 14.7 Um pouco de história: Um desafio a Fermat 188 14.8 Para você meditar: Quando as contas não fazem sentido! 189

15 Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados 190 15.1 Motivação 190 15.2 Máximos e mínimos absolutos 190

15.2.1 Máximos e mínimos locais 191 15.3 Determinação dos pontos de máximo e mínimo de uma função . 193 15.4 Exemplos 193 15.5 Problemas envolvendo máximos e mínimos em intervalos fechados 195 15.6 Exercícios 198 15.7 Problemas propostos 198 15.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru 200

16 Traçado de Gráficos 201 16.1 Introdução 201 16.2 Discussão geométrica 201 16.3 Derivadas e traçado de gráficos 205 16.4 Derivada primeira e extremos locais 206

16.4.1 Teste da derivada primeira para determinação de extremos locais 207 16.5 Derivada segunda e concavidade 209

16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinação de extremos locais 211 16.6 Traçado de gráficos - Resumo 212 16.7 Atividades de laboratório 213 16.8 Exercícios 214 16.9 Problemas propostos 216 16.10Para você meditar: Interpretando gráficos 217 16.11Projetos 218

16.11.1 Determinando a janela adequada para o traçado de gráficos em computador 218 16.11.2 Aproximando os zeros de uma função - Método de Newton 218

17 Teorema do Valor Médio 222 17.1 Introdução 222

17.1.1 Teorema de Rolle 222 17.1.2 Teorema do valor médio 224 17.1.3 Conseqüências do teorema do valor médio 224

17.2 Exercícios 226 17.3 Problemas propostos 227 17.4 Para você meditar: O significado de c 229 17.5 Projetos 230

17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado 230

viii Aprendendo Cálculo com Maple

18 Problemas de Máximos e Mínimos em Intervalos Quaisquer 233 18.1 Introdução 233 18.2 Exemplos 233 18.3 Problemas propostos 237 18.4 Um pouco de história: Princípio do tempo mínimo de Fermat 239 18.5 Para você meditar: Como os gregos eram espertos, ou uma

demonstração sem palavras 239 18.6 Projetos 239

18.6.1 Um problema de otimização 239

19 Funções Inversas e suas Derivadas 241 19.1 Motivação 241 19.2 Funções inversas 242 19.3 Derivada da função inversa 244 19.4 As funções trigonométricas inversas e suas derivadas 246

19.4.1 As funções arcsen(x) e arccos(x) 246 19.4.2 As funções arctg(x) e arcsec(x) 247

19.5 Exercícios 249 19.6 Problemas propostos 250 19.7 Para você meditar: Inversas? 250

20 Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente 252 20.1 Introdução 252 20.2 Aproximação pela reta tangente 252 20.3 Diferenciais e funções diferenciáveis 254 20.4 Exercícios . 256 20.5 Problemas 256 20.6 Um pouco de história: Os mitos leibnizianos e o começo do cálculo infinitesimal 256 20.7 Projetos 257

20.7.1 O método de Euler e o pára-quedista 257 20.7.2 Aproximando funções por polinómios - O polinómio de Taylor 260 20.7.3 Polinómios de Taylor - Aplicações à física 264 20.7.4 Polinómios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno 265 20.7.5 Tangentes, órbitas e caos , 266 20.7.6 Crescimento de populações - Gerenciando um pesque e pague 268

21 Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas 271 21.1 Introdução 271 21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas 271 21.3 O cálculo de áreas como limites 272 21.4 A integral definida 279

21.4.1 Definição 279 21.4.2 Interpretação geométrica da integral definida 281 21.4.3 Propriedades da integral definida 281

21.5 Valor médio de uma função e o teorema do valor médio para integrais definidas 285 21.5.1 O teorema do valor médio para integrais definidas 286

21.6 Atividades de laboratório 287 21.7 Exercícios 287 21.8 Problemas 288 21.9 Um pouco de história 289 21.10Projetos 289

21.10.1 Somas de Riemann aleatórias 289 21.10.2 Somas de Riemann e funções monótonas 290 21.10.30 Maple e o princípio da indução matemática 291

W. Bianchini, A.R.Santos ix

22 O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas 295 22.1 Introdução 295 22.2 O teorema fundamental do cálculo 295 22.3 Integrais indefinidas 300 22.4 Exercícios 302 22.5 Problemas 303 22.6 Um pouco de história: A integral de Lebesgue 304 22.7 Para você meditar: Uma conclusão intuitiva ou um erro teórico? 305 22.8 Projetos 306

22.8.1 Arquimedes e a quadratura da parábola 306 22.8.2 Separação de variáveis, velocidade de escape e buracos negros 307

23 Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição 310 23.1 Integração por substituição em integrais indefinidas 310 23.2 Integração por substituição em integrais definidas 312 23.3 Exercícios 314 23.4 Problemas 314 23.5 Para você meditar: Resolvendo integrais com o auxílio do Maple ou por que devo aprender técnicas de

integração? - 315

24 Aplicações da Integral Definida 316 24.1 Introdução 316 24.2 Distância 316 24.3 Área de regiões planas 318 24.4 Areas e cálculo de probabilidades (opcional) 321 24.5 Volume de um sólido de revolução: Método do disco 322 24.6 Volume de um anel de revolução 324 24.7 Comprimento de arco 326 24.8 Área de uma superfície de revolução 329 24.9 Trabalho 330 24.10Exercícios 332 24.11Problemas 334 24.12Um pouco de história 336 24.13Para você meditar 336

24.13.1 Regiões ilimitadas têm, necessariamente, áreas infinitas? 336 24.13.2 Volumes iguais? 336 24.13.3 A raiz quadrada de 2 é igual a 1? 336

24.14Projetos 337 24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equação quadrática ter raízes reais 337 24.14.2 Volumes de sólidos: Seções retas 338 24.14.3 Volumes de sólidos de revolução: Método das cascas cilíndricas 339 24.14.4Usando matemática para modelar um objeto real 339

25 Logaritmo e Exponencial 341 25.1 Introdução 341 25.2 Motivação 341 25.3 Logaritmo natural 342 25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos 343 25.5 Função exponencial 344 25.6 Função exponencial em uma base qualquer 344 25.7 Logaritmo em uma base qualquer 345 25.8 Derivadas e integrais 346 25.9 Exercícios 347 25.10Problemas propostos 348 25.11Um pouco de história: O logaritmo de Napier 348 25.12Para você meditar: Onde está o erro? 349

xii Aprendendo Cálculo com Maple

25.13Projetos 350 25.13.1 Juros simples e compostos 350 25.13.20 método do carbono 14 351 25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo às estrelas (ou modelando um problema real) 352 25.13.4 Escalas logarítmicas 354 25.13.5Funções hiperbólicas 355 25.13.6 As funções logaritmo e exponencial complexas 356

25.14Atividades de laboratório 357

26 Técnicas de Integração 358 26.1 Integração por partes 358

26.1.1 Substituição por partes usando o Maple 360 26.1.2 Exercícios 361

26.2 Integrais trigonométricas especiais 362 26.3 Substituição trigonométrica 364 26.4 Funções racionais e frações parciais 365

26.4.1 Usando o Maple para decompor uma função racional em frações parciais 368 26.5 Exercícios 369 26.6 Para você meditar: Como usar o Maple no cálculo de integrais 369 26.7 Projetos 372

26.7.1 Integração numérica: Regras do trapézio e Simpson 372

27 Regras de L'Hôpital 375 27.1 Formas indeterminadas 375 27.2 Primeira regra de L'Hôpital 376 27.3 Segunda regra de L'Hôpital 377 27.4 Exercícios 379

28 Integrais Impróprias 380 28.1 Introdução 380 28.2 Exemplos 380 28.3 Limites de integração infinitos 382 28.4 Integrandos infinitos em intervalos finitos 384 28.5 Teste da comparação 385 28.6 Exercícios , 387

Apêndice 389

A Funções Contínuas 389 A.l Teorema de Bolzano 389 A.2 Teorema dos valores extremos 391

Respostas 393

Bibliografia 404

índice Remissivo 406

Introdução

Este livro, que compõe uma primeira disciplina de Cálculo, é o resultado de nossos esforços no sentido de retratar a nossa visão do que é ensinar e aprender matemática: uma atividade criativa que não pode e não deve ser baseada exclusivamente em aulas expositivas ou na resolução de extensas listas de exercícios. E uma tentativa, também, de envolver o aluno no processo de "fazer matemática", transformando-o de paciente em agente do processo educativo. A ênfase está na compreensão dos conceitos e não somente no desenvolvimento de habilidades mecânicas.

No decorrer do texto, procuramos levar o estudante a trilhar o caminho e a sentir o prazer da descoberta e a entender que aprender matemática é muito mais do que decorar fórmulas e obter respostas para exercícios-padrão. Tentamos apresentar a matemática como um assunto vivo em constante construção, e não simplesmente descrevê-la como um corpo de conhecimento pronto e acabado.

O computador é usado como uma ferramenta para alcançar estes objetivos, e as atividades de laboratório, projetos e desafios são uma forma de implementá-los na prática.

Embora um enfoque computacional esteja presente em todo o texto e várias atividades sejam desenvolvidas com o uso do computador, o conteúdo é o de um curso tradicional de Cálculo. As atividades e projetos são associados à apresentação expositiva dos conteúdos e a exercícios e problemas tradicionais. O formalismo também não foi esquecido: ao lado de abordagens gráficas visuais, enfatiza-se a necessidade do uso de provas e demonstrações rigorosas.

Esta abordagem balanceada cria um texto ao mesmo tempo inovador e tradicional, permitindo sua utilização em sala de aula da maneira que melhor se adapte ao estilo do professor, às necessidades e objetivos do curso e aos recursos tecnológicos existentes. Aqueles que desejarem usá-lo em um curso tradicional poderão dar mais ênfase e se concentrar no conteúdo expositivo, nos exercícios e problemas apresentados na sua versão texto; aqueles que desejarem introduzir o computador como um auxiliar no ensino e dispuserem de recursos para aulas práticas de laboratório poderão desenvolver as atividades sugeridas com este objetivo e fazer uso, em suas aulas expositivas, das animações e outras abordagens gráficas e numéricas presentes na versão eletrônica, introduzindo, nestas aulas, um componente exploratório, estimulando a interação e participação da turma.

Nos últimos cinco anos, temos procurado introduzir aulas de laboratório na proporção de 3 para 1 (três aulas de duas horas cada, em classe, e uma em laboratório) nas disciplinas de Cálculo I, na UFRJ. Nestas aulas utilizamos o programa MAPLEV R5, mas as atividades sugeridas neste texto podem ser desenvolvidas a partir do uso de qualquer outro sistema computacional algébrico, como por exemplo o MATHEMATICA.

Os professores que têm feito parte desta experiência ou que já tiveram oportunidade de observar os alunos nestas aulas são testemunhas da mudança que se opera tanto na atitude dos alunos, em geral passiva nas aulas tradicionais, quanto na maneira de encarar o aprender e o entender matemática.

Nossos objetivos ao escrever este livro foram: • Desenvolver a habilidade de ler e escrever matemática. • Desenvolver os conceitos de modo que os alunos possam aplicá-los a problemas e situações que nunca tenham

visto antes. • Desenvolver habilidades na modelagem e resolução de problemas. • Transformar o aluno de paciente em agente do processo educativo. • Mudar a concepção de alunos e professores a respeito do que é "fazer matemática". • Utilizar o computador como ferramenta e assistente na resolução de problemas e, ao mesmo tempo, liberar alunos

e professores de cálculos tediosos e cansativos. • Usar recursos gráficos e de animação na exploração e aprofundamento dos conceitos apresentados. Para a consecução destes objetivos, quatro características básicas nortearam a composição deste texto: (a) Abordagem dinâmica dos conceitos. Aspectos dinâmicos surgem quando os alunos são levados a descrever como

padrões de mudanças em uma variável estão relacionados a padrões de mudanças em outra variável. Estes aspectos são mais facilmente explorados com auxílio do computador. Muitos problemas e exercícios, neste texto, enfocam a forma de uma família de curvas dependendo de um parâmetro. A conexão entre taxa de variação e o crescimento ou

xiii

xiv Introdução

decrescimento de uma curva, bem como a idéia de limite e área sob curvas são outros exemplos de aspectos dinâmicos explorados com o uso da máquina.

(b) Ênfase na integração dos aspectos numéricos, gráficos e analíticos. Muitos exercícios e atividades enfocam esta integração e enfatizam a importância da abordagem e raciocínio gráfico-geométrico, tão abandonado nos cursos tradicionais. Funções são abordadas quase sempre enfocando-se a relação entre sua forma gráfica e sua expressão analítica. Transformações geométricas são usadas para mostrar como gráficos de funções complicadas podem ser obtidos a partir de um gráfico padrão simples e conhecido. Estes aspectos são enfatizados, também, quando se faz a correspondência entre o gráfico de uma função e o de sua derivada, ou entre o gráfico de uma função e o de sua primitiva, descrevendo-os qualitativamente. Além disso, todo o texto é ilustrado com centenas de gráficos gerados em computador. Não há figuras maravilhosas: estes gráficos procuram explorar o significado geométrico existente por detrás de um cálculo ou de uma expressão analítica. Procuramos também, sempre que possível, apresentar interpretações geométricas para fórmulas e demonstrações.

(c) Ênfase na resolução de problemas. Os alunos, em geral, têm dificuldade nos problemas que envolvem a mo-delagem de uma situação em vez da aplicação pura e simples de uma fórmula. Procuramos apresentar uma rica variedade de situações-problema nas quais o aluno possa entender a matemática como assunto útil e de interesse atual. Por meio de certos problemas e projetos procuramos despertar a curiosidade e a compreensão do mundo e da realidade que nos cerca desenvolvendo, ao mesmo tempo, a capacidade de modelagem e clarificando a relação íntima matemática-natureza. As soluções de certos exemplos foram escritas de modo a enfatizar o problema da modelagem. Esta característica é especialmente enfatizada nos projetos e no desenvolvimento de tópicos onde a habilidade na resolução de problemas é essencial (taxas relacionadas e máximos e mínimos, por exemplo).

(d) Ênfase na aprendizagem colaborativa e no desenvolvimento de projetos e nas atividades de laboratório. Por procurar desenvolver a habilidade de modelagem de situações reais e de tentar fugir do padrão usual de problemas típicos que aparecem em grande parte dos textos de Cálculo, a maioria dos projetos apresentados neste volume exigem um nível alto de dedução, análise e crítica, destinando-se, também, ao desenvolvimento da habilidade de comunicação oral e escrita. Por isso foram concebidos para serem estudados em grupo, de forma colaborativa. A especialização do mundo atual não permite mais o trabalho isolado, e equipes interdisciplinares são cada vez mais necessárias no desenvolvimento de projetos. Neste sentido, a universidade que prepara profissionais para o mercado de trabalho cada vez mais exigente deve estimular o trabalho colaborativo e a discussão em grupo. Atividades desenvolvidas em grupo são mais motivadoras e compensadoras, desenvolvendo a capacidade de comunicação, essencial nos dias de hoje. O aluno tem a responsabilidade não só com o seu aprendizado, mas, também com o aprendizado do seu parceiro. Experiências que incorporam o raciocínio e a forma de pensar de outra pessoa a sua forma própria de raciocinar e pensar são um ingrediente importante e essencial na escola moderna. Além dos projetos, nestes objetivos se encaixam também as atividades de laboratório. Dois alunos por computador é o número ideal, em nosso entender. Estas atividades e projetos procuram desmistificar a crença de que matemática se aprende melhor sozinho; por isso recomendamos que as mesmas façam parte da avaliação final do aluno.

Apesar de revisões dos pré-requisitos necessários ao entendimento dos conceitos abordados estarem presentes em todos os capítulos onde se façam necessárias, os dois primeiros capítulos são destinados exclusivamente a uma revisão mais extensa dos pré-requisitos mais básicos, e por este motivo, a critério do professor e das necessidades da turma, seu estudo pode ser omitido.

0 Capítulo 3 destina-se a motivar o estudo e fornecer uma visão geral dos problemas que motivaram o desenvolvi-mento do Cálculo Diferencial e Integral a partir do século XVII. Os problemas que aparecem neste capítulo são aqueles que serão estudados (e resolvidos) no decorrer do texto.

Como o conceito de função é o ponto central e unificador de toda a análise matemática e da sua correta construção e compreensão depender o sucesso (ou fracasso) nas disciplinas de Cálculo que fazem parte da grande maioria dos currículos de nossos cursos universitários, a revisão deste conceito foi incluída como parte integrante do corpo do texto, após os capítulos de revisão e motivação.

Os capítulos são divididos em seções de conteúdo (parte expositiva da matéria), exercícios (aplicações diretas dos assuntos estudados), problemas (exercícios cuja resolução exige um grau mais alto de entendimento), desafios (opcionais; procuram enriquecer o entendimento, alargar horizontes e enfocar aspectos pouco explorados e até mesmo esquecidos nos cursos tradicionais), um pouco de história (visam situar o problema dentro do seu correto contexto histórico e social), projetos e atividades de laboratório. A ordem dos capítulos foi ditada por nossa experiência e pode ser alterada segundo critérios próprios de cada professor. Como já enfatizamos, dependendo dos objetivos a serem alcançados, do estilo do professor, das necessidades da turma e dos recursos computacionais disponíveis, o estudo e desenvolvimento de alguns capítulos e seções (desafios, atividades de laboratório e projetos) podem ser omitidos. Recomendamos, também, que os exercícios, problemas e projetos (se for o caso) sejam selecionados pelo professor.

O sucesso do uso das novas tecnologias no ensino, no nosso entender, repousa no discernimento de onde, como e

W. Bianchini, A.R.Santos xv

quando usar os recursos computacionais. Muitos tópicos de Cálculo podem ser explorados de maneira mais fácil, mais simples e mais rapidamente usando-se a tradicional abordagem expositiva. Já outros tópicos que envolvem o estudo do movimento e da variação clamam pelo uso da máquina. Muito se tem falado do uso do computador no ensino, em especial no ensino de matemática, mas muito pouco se tem feito para introduzi-lo, efetivamente, como ferramenta auxiliar em sala de aula. Esperamos que este livro possa contribuir de alguma forma nesta direção.

Usando a versão eletrônica

O CD que acompanha este livro contém a versão eletrônica deste texto. Essa versão é um conjunto de hipertextos que funcionam em conjunto com o programa MAPLE V R4 ou superior, mas pode ser transposta para a utilização com qualquer outro sistema computacional algébrico, como o MATHEMATICA, por exemplo.

Para aqueles que tem acesso ao MAPLE, a versão eletrônica permite interação total: é possível executar e controlar as animações; modificar os dados e parâmetros usados no traçado de gráficos e nas soluções de problemas; traçar gráficos de funções e conferir a resposta dos exercícios; desenvolver rotinas computacionais que executem tarefas repetitivas ou algoritmos iterativos e muito mais, de acordo com a sua necessidade, habilidade para lidar com o programa, conhecimento matemático e imaginação.

Para usar a versão eletrônica com eficiência, copie todos os arquivos do CD para o disco rígido do seu computador. Tenha certeza de respeitar a mesma estrutura de diretórios encontrada no CD. Caso prefira, execute-a diretamente do drive do CD-ROM. Neste caso, pão é possível salvar as alterações feitas nos arquivos. Por isso recomendamos que os arquivos de trabalho sejam copiados para o disco rígido e alterados de acordo com o desenrolar do curso e a resolução dos exercícios e atividades propostas. O CD então funcionará como um backup que sempre salvaguardará a forma original dos arquivos.

Para inicializar o hipertexto, abra, dentro do Maple, o arquivo sumario.mws, e para acessar cada um dos capítulos, simplesmente clique no item desejado.

Importante Execute os comandos na ordem em que aparecerem. Os hipertextos funcionam como uma espécie de rotina computa-cional; por isso, se os comandos forem executados fora da ordem em que aparecem, em vez dos resultados esperados podem aparecer mensagens de erro na tela.

Na execução de algumas tarefas é necessária a leitura de um arquivo de dados. Essa leitura é feita usando o comando read('D:diretorio/nome do arquivo'), onde D indica a unidade de leitura (drive) do seu CDROM. Por isso, antes de executar um comando desse tipo, esteja certo de que o CD fornecido com esse texto se encontra corretamente inserido na unidade D ou, se for o caso, modifique neste comando a letra D para fazê-la corresponder à unidade de leitura correta que você estiver usando.

O Capítulo zero desta versão faz um resumo dos principais comandos do MAPLE utilizados nos hipertextos e ensina, de forma resumida, como este programa funciona, mostrando ao mesmo tempo alguns dos seus recursos e potencialidades. Além disso, no decorrer do texto é fornecida a sintaxe e a utilidade dos comandos novos que são utilizados no texto e atividades de laboratório. Caso estas explicações não sejam suficientes, consulte o "HELP" do programa. O modo de acessar o HELP é explicado no capítulo zero, já citado.

Se você tiver alguma outra dúvida sobre a utilização desta versão eletrônica que não consiga sanar, bem como críticas e sugestões a esta obra, não hesite em usar o endereço eletrônico dado abaixo para nos escrever. Teremos prazer em ajudá-lo e em receber sua opinião e/ou contribuição para o aprimoramento de futuras versões.

Angela Rocha dos Santos [email protected] .br

Waldecir Bianchini [email protected] .br

Ao Estudante

O objeto matemático mais familiar à grande maioria das pessoas é o número. Por esta razão, muitas pessoas pensam que gostar de matemática é gostar de números, mas o que a maioria desconhece é que muitos matemáticos não gostam de números muito mais que as outras pessoas. Os matemáticos gostam de matemática porque gostam das coisas que a matemática permite fazer. Se você é um daqueles que não gosta de matemática provavelmente é porque ainda não descobriu o que significa fazer matemática.

A matemática, mais do que qualquer outra ciência, permite reconhecer e deduzir padrões e, a partir deles, fazer abstrações. Além de seu valor intrínseco, estas abstrações podem ser usadas para descrever e tirar conclusões a respeito da natureza e do mundo ao nosso redor.

Num certo sentido, qualquer pessoa é um matemático em potencial, pois qualquer ser humano é capaz de reconhecer padrões e lidar com conceitos abstratos. 0 que nos difere é nosso nível de habilidade (e paixão) ao lidar com estes conceitos. Apesar disto, todos nós podemos nos beneficiar em compartilhar idéias, dúvidas, problemas e soluções uns com os outros.

Os matemáticos estão menos preocupados em obter as respostas corretas, assim num piscar de olhos, do que em entender e percorrer (ou redescobrir) o caminho que leva à solução de um problema. Em geral, pensar sobre um problema é tão interessante quanto achar a sua solução, e fazer perguntas é tão importante quanto respondê-las. Este livro é cheio de perguntas, indagações e desafios que nem sempre vêm acompanhados de respostas e às vezes sequer têm uma única resposta. Ele foi assim estruturado porque perguntar é a questão central ao se tentar entender matemática. Fazer e compreender matemática envolve ter dúvidas, fazer perguntas e relacioná-las umas com as outras.

Quando você estuda matemática e pensa sobre os problemas, muitas dúvidas e questões próprias surgem. Talvez alguém mais já tenha pensado sobre elas e saiba respondê-las. Talvez você mesmo seja capaz de encontrar a solução. Por isso, ler um livro de matemática é diferente de ler um jornal ou um romance, e estudar matemática é como aprender a nadar: não basta observar como um campeão olímpico atravessa facilmente uma piscina; você será incapaz de sentir a dificuldade (e saborear a vitória) antes de cair você próprio na piscina!

Não desanime se, no início, você afundar muitas vezes, isto é, se você não entender uma passagem ou tiver que lê-la mais de uma vez. Pergunte, pergunte sempre! Estude com papel e lápis na mão. Eles serão úteis para fazer cálculos, refazer passagens, esboçar diagramas e anotar suas dúvidas.

Não se limite a tentar fazer os exercícios recomendados de cada capítulo. Faça um plano de estudo: leia e tente compreender cada seção e capítulo do texto antes de tentar resolver os exercícios. Esteja certo de compreender as definições e o correto significado dos termos.

A matemática se preocupa em provar as afirmações usando regras de lógica e resultados já provados e escrever estas provas de maneira que todos consigam entender. Um dos objetivos deste texto é ajudá-lo a pensar e a escrever logicamente. Teoremas e demonstrações geralmente são motivo de medo e desgosto para os alunos de Cálculo, pro-vavelmente porque estas provas estão associadas a uma linguagem densa e quase incompreensível, cheia de símbolos estranhos e letras gregas.

Embora seja verdade que os matemáticos comunicam suas descobertas e resultados numa linguagem desenvolvida através dos séculos, que usa vocabulário e notação próprios, é importante notar que mais do que a linguagem apropri-adamente empregada, uma prova matemática deve ser completa, compreensível a todos e logicamente deduzida, sem apresentar "furos" ou raciocínios circulares no caminho que conduz à conclusão.

Em matemática, o mais importante é perguntar (e sa-ber responder) "como é possível afirmar isto?" ou "como posso ter certeza de que esta afirmação é verdadeira?" e, então, ser capaz de comunicar a resposta a estas perguntas numa linguagem que seja clara e compreensível para os seus colegas, professores e até para você mesmo. Provar não é persuadir nem intimidar. Alguma coisa não está provada em matemática simplesmente porque parece razoável ou aceitável: uma afirmação só pode ser considerada verdadeira quando é deduzida usando-se as regras da lógica, a partir de postulados ou axiomas e de outras afirmações já provadas e, portanto, verdadeiras.

Este livro procura estimulá-lo a usar recursos computacionais para auxiliá-lo nas suas próprias conclusões e ajudá-lo

xviii Ao Estudante

a entender os conceitos, idéias e demonstrações apresentados. Por isso, se tiver acesso a um computador e ao programa MAPLE V R4 ou superior, use e abuse da versão eletrônica deste texto (consulte a seção usando a versão eletrônica). Nesta versão é possível executar animações, visualizar gráficos em escalas pequenas (ou grandes), experimentar mu-danças de parâmetros, observar os resultados destas "experiências matemáticas" e concluir.

Ajudá-lo a trilhar o caminho da construção do conhecimento científico é também o objetivo das atividades de laboratório que devem complementar e/ou preceder o estudo de cada capítulo. Estude em grupo e compartilhe suas deduções e conclusões com seus colegas e professores. Você verá que, dessa maneira, o seu estudo renderá mais, tornando-se muito mais interessante e proveitoso.

As respostas dos exercícios e problemas encontram-se no apêndice B, no final deste volume. As vezes é possível expressar a resposta de um exercício em diferentes formas. Assim, se a sua resposta diferir daquela apresentada por nós, não considere, imediatamente, que a sua está errada. Antes, tenha certeza de que não existe alguma identidade algébrica e trigonométrica que torne as duas respostas equivalentes.

Cálculo é uma matéria muito interessante e, desde o século XVII, tem-se revelado a principal ferramenta matemática nas aplicações científicas e tecnológicas. Esperamos que este o livro ajude a encontrar tanto sua beleza intrínseca como sua utilidade.

Agradecimentos

No final da década de 70, um grupo de jovens professores do Departamento de Métodos Matemáticos do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ), cheios de entusiasmos e zelo pela missão que lhes foi confiada de ensinar cálculo para os alunos da maior universidade federal do nosso país, e sem saber muito bem como desempenhar esta missão com sucesso, resolveram conjugar esforços e, com este fim, passaram a se reunir semanalmente, para discutir, além dos conteúdos a serem ministrados nas aulas, abordagens inovadoras e métodos pedagógicos adequados para a introdução dos novos conceitos e desenvolvimento das aulas.

A partir destas reuniões, foram elaborados os então chamados "roteiros de Cálculo" que, durante muitos anos, serviram como padrão e orientação a alunos e professores que estudavam e ministravam disciplinas de Cálculo na nossa e em outras universidades. Estes roteiros de estudo constituíram a grande experiência didática desenvolvida no IM-UFRJ e utilizada em nossas aulas'por mais de duas décadas.

Embora com um novo enfoque computacional, muitos capítulos deste livro foram inspirados em partes destes roteiros e segue a sua metodologia, tremendamente inovadora para a época e, atualmente, recomendada pelas comissões de especialistas do MEC, que elaboraram as novas diretrizes curriculares, baseada na contextualização dos problemas e no enfoque multidisciplinar dos conteúdos programáticos.

Neste sentido, gostaríamos de dividir a autoria desta obra com os nossos colegas que faziam parte das equipes de Cálculo do final dos anos 70 e início dos anos 80. Em particular, gostaríamos de citar nominalmente, o professor Rolei de Almeida Cipolatti, que coordenou a primeira equipe de Cálculo I de 1977, a qual deu partida 'a elaboração dos roteiros.

Aos professores Ricardo Silva Kubrusly, Eduardo San-Pedro Siqueira, Mônica Moulin, Eliane Amiune Camargo, Ivone Alves Regai, Claudia De Segadas Viana, Bruno Alexandre da Costa,Victor Giraldo, Milton Flores,Elaine Ma-chtyngier e Jair Salvador do IM-UFRJ que vêm utilizando este livro nas suas aulas e, consequentemente, ajudando-nos, durante os últimos três anos a aprimorá-lo por meio de correções, críticas e sugestões, nosso muito obrigado.

Em particular, gostaríamos de agradecer aos professores Elaine Machtyngier e Jair Salvador pela elaboração dos apêndices A e B, respectivamente, deste volume bem como pela cuidadosa revisão.

Estendemos os agradecimentos a todos que direta ou indiretamente, tenham contribuído de alguma forma para a realização deste trabalho e que porventura não tenham sido citados explicitamente. Em particular, aos nossos editores que tornaram possível a execução desta obra e aos nossos parentes e amigos que suportaram nosso mau humor, acompanhado de total falta de atenção e de tempo, durante a elaboração deste texto.

Este trabalho faz parte do projeto Novas Tecnologias no Ensino desenvolvido no IM-UFRJ e foi realizado utili-zando recursos do laboratório de computação do Departamento de Métodos Matemáticos do IM-UFRJ, apoiado pela Fundação Universitária José Bonifácio.

Capítulo 1

Revisão e Pré-requisitos (1)

1.1 Os números que governam o mundo Os números representam um papel de vital importância não só na matemática como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números: horários, tabelas, gráficos, preços, juros, impostos, velocidades, distâncias, temperaturas, etc.

A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (áreas, volumes, taxas de variação, velocidades...) é medida por meio de números reais, e nesse sentido podemos dizer que o Cálculo se baseia no sistema dos números reais.

O conjunto de todos os números reais é denotado pelo símbolo K. Presumimos que você esteja familiarizado com as suas propriedades fundamentais/

O conjunto dos números reais contém alguns subconjuntos de fundamental importância, que foram surgindo a partir das necessidades do homem de resolver problemas práticos. Assim, o conjunto dos números naturais {1,2,3,. . .} , representado pelo símbolo N, surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder" .

A idéia de "correspondência" é uma das idéias básicas de toda a matemática. Contar significa estabelecer uma correspondência, um para um, entre cada item de uma coleção qualquer de objetos e a sucessão de números naturais.

A criação de um símbolo (0) para representar o nada, ou o número de elementos de um conjunto vazio, é mais recente (data talvez dos primeiros séculos da era cristã) e surgiu devido às necessidades da numeração escrita. No nosso sistema de numeração, onde o valor de cada algarismo depende da posição que este algarismo ocupa (sistema de numeração posicionai), o algarismo zero representa um papel de fundamental importância para "preencher ou indicar classes vazias". O sistema de numeração posicionai permite não só escrever os números de maneira muito simples, mas também efetuar as operações muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numeração romana e sinta a dificuldade!!).

Na sucessão dos números naturais podemos passar de um número para o seguinte juntando-lhe uma unidade. Assim, passamos do 1 para o 2, do 2 para o 3, e, dessa maneira, podemos ir tão longe quanto quisermos, isto é, dado um número n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um número n + 1, maior do que ele. Este fato exprime-se por qualquer dos seguintes enunciados:

(a) a sucessão dos naturais é ilimitada (não há um número natural maior que todos os outros);

(b) dado um número natural, por maior que ele seja, existe sempre outro maior do que ele;

(c) há uma infinidade de números naturais.

(Na impossibilidade de listar todos os elementos do conjunto dos naturais, usamos as reticências para evidenciar esta propriedade.)

Uma das deficiências apresentadas pelo conjunto dos números naturais é a impossibilidade da subtração. Para entender esta impossibilidade, considere um móvel que partindo de um ponto O, atinge um ponto P ao fim de 5 segundos, movendo-se a uma velocidade de 1 m/s. Podemos concluir que o ponto P está a uma distância de 5 m do ponto O. Suponhamos, agora, que o móvel mude o sentido do movimento mas continue com a mesma velocidade por mais 3 segundos. Ao fim destes 3 segundos ele estará a 2 m de distância do ponto O. Poderíamos chegar a esta conclusão a partir dos dois resultados parciais que expressam as duas fases do movimento, isto é, subtraindo 3 (distância percorrida pelo móvel na segunda fase) de 5 (distância percorrida na primeira fase). Assim, a posição final do móvel poderia ser obtida por meio da operação 5 — 3 = 2.

Esta operação não é sempre possível no conjunto dos naturais. Vamos exemplificar. Suponhamos que o móvel, partindo de O e movendo-se sempre com uma velocidade de 1 m/s, siga para a direita durante 5 segundos e retroceda,

1

2 Cap. 1 Revisão e Pré-requisitos (1)

com a mesma velocidade, durante 8 segundos. Ao fim dos 13 segundos, ele estará numa posição a 3 metros à esquerda do ponto O. Este resultado é impossível de se obter, como anteriormente por meio de uma subtração, no conjunto dos números naturais, pois não existe nenhum número natural que represente o resultado da operação 5 — 8.

Esta deficiência dos naturais foi sanada ampliando-se esse conjunto e formando-se o conjunto dos números inteiros { . . . , —2, —1, 0,1,2, . . . } , denotado pelo símbolo Z (da palavra alemã Zahl, que significa número).

Assim como os números naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais, que são expressos pela razão entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir.

Medir é comparar. Para isso é necessário estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas da mesma espécie, por exemplo, 1 cm para comprimento, 1 segundo para tempo, etc. Este padrão estabelece uma unidade de medida da grandeza (comprimentos, áreas, tempo, etc.). Medir, portanto, é determinar quantas vezes a unidade estabelecida cabe, por exemplo, no comprimento que se quer medir. O resultado desta comparação, que é a medida da grandeza em relação à unidade considerada, deve ser expresso por um número.

Na figura superior ao lado, se considerarmos o segmento CD como a unidade de medida, teremos que o segmento AB mede 4 unida-des. Tomando-se CE como unidade, a medida deste mesmo seg-mento será 8 unidades. Só em casos muito especiais a grandeza a ser medida contém um número inteiro de vezes a unidade de medida. O caso mais freqüente é o da figura inferior ao lado onde, tomando-se a medida u.do segmento CD como unidade, a medida de AB é maior que 3 u e menor que 4u. E claro que neste exem-plo, podemos subdividir a unidade em partes menores para que cada uma delas caiba um número inteiro de vezes na grandeza a medir mas, o que se pode dizer da medida de AB em relação à de CD? A dificuldade surge porque, neste caso, a medida m de AB não é divisível pela medida u de CD. No conjunto dos números inteiros existe a impossibilidade da divisão, isto é, neste conjunto nem sempre é possível expressar o resultado de uma medição ou de uma razão.

C E D

D

A

Para resolver este problema criou-se um novo conjunto de números, chamado conjunto dos números racionais, denotado pelo símbolo Q (de quociente). Um número racional p é, portanto, aquele que pode ser escrito na forma p = onde TO e n são inteiros e n / 0 . (Lembre-se que a divisão por zero não tem sentido pois não existe nenhum número que multiplicado por zero seja diferente de 0; portanto, expressões do tipo | não estão definidas e expressões do tipo são indeterminadas.)

Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medição. Doce engano! Existem alguns números reais, tais como \/2 e TT, que não podem ser expressos como a razão entre inteiros. Isto quer dizer que em Q não podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a área de um círculo de raio 1. Este fato já tinha sido percebido pelos gregos na época de Pitágoras. Por esta razão, estes números são chamados de irracionais. Podemos mostrar, com vários graus de dificuldade (veja projeto Números Algébricos e Transcendentes), que os números V2, \/3, \/5, 2^3), 7T, e, sen(l°), log10(2) são todos irracionais.

Todo número real tem uma representação decimal infinita. Se o número é racional, então a parte decimal é repetida a partir de um certo ponto. Por exemplo,

2 = 2,000..., \ = 0,5000..., 1 = 0,6666..., |§ = 0, 31711717..., f = 1, 285714285714... .

Se o número é irracional, a parte decimal não segue nenhum padrão, isto é, não se repete nunca. Com o auxílio de um computador, podemos calcular a representação decimal de \/2 e de ir com muitas casas decimais para nos convencer deste fato. Veja abaixo os valores destes números calculados com 9, 50 e 200 casas decimais, com auxílio do comando evalf do Maple.

> evalf(Pi);

3.141592654 > evalf(Pi,50);

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

W.Bianchini, A.R.Santos 3

> evalf(Pi,200);

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067 9821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303820

> evalf(sqrt(2));

1.414213562

> evalf(sqrt(2),50);

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

> evalf(sqrt(2),200);

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572 7350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715

Embora estes números sejam convincentes, eles não bastam como uma prova matemática. A demonstração de que y/2 é irracional é fácil e está indicada no projeto Números Algébricos e Transcendentes. Já a prova de que TT é irracional é muito difícil e foge ao objetivo deste curso.

Os valores acima, obtidos truncando-se a representação decimal de ir e de y/2, respectivamente, num determinado ponto, são aproximações racionais para estes números. Neste sentido, todo número irracional pode ser aproximado por um número racional, e a aproximação será tanto melhor quanto mais casas decimais forem consideradas. Esta propriedade às vezes é expressa dizendo-se que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos irracionais, isto é, qualquer que seja o número irracional k, existe uma sequência de números racionais ri, r2, r3, ..., rn, ... tal que, à medida que n cresce, o erro que cometemos ao aproximarmos k por rn é cada vez menor. Por exemplo, os termos da seqüência de racionais

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421,...

se aproximam cada vez mais do número y/2 à medida que consideramos mais e mais termos na seqüência. Para exprimir este fato usamos a notação matemática lim rn = k. Lê-se: o limite de rn quando n tende a infinito (isto

n—>00

é, cresce sem limite) é k. Podemos generalizar este fato dizendo que qualquer número real pode ser aproximado por uma seqüência de racionais, isto é, os racionais são densos nos reais.

E possível associar os números reais aos pontos de uma reta de tal modo que a cada número real corresponda um único ponto P da reta e, reciprocamente, a cada ponto P da reta corresponda um único número real. Isto será feito na próxima seção.

Em 1872, Ricardo Dedekind usou o fato de os racionais serem densos nos reais para estabelecer a continuidade dos números reais, isto é, para formular de uma maneira matematicamente aceitável a idéia intuitiva de que a reta e, conseqüentemente, o conjunto dos números reais - pois estes dois conjuntos têm o mesmo número de pontos (veja próxima seção) - não têm "furos" ou "buracos".

1.2 A reta numerada

Como foi dito no final da seção" anterior, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca, ou um a um, entre o conjunto dos números reais e os pontos de uma reta, isto é, é possível associar um único número real a cada ponto P de uma reta e, reciprocamente, a cada ponto P de uma reta é possível associar um único número real da maneira descrita a seguir.

Escolhemos um ponto arbitrário O da reta e uma conveniente unidade de medida. O ponto O será chamado de origem. A este ponto associamos o número real 0 (zero). Cada número real positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades à direita da origem, e cada número negativo — x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades à esquerda da origem. O número associado ao ponto P é chamado coordenada de P; a reta é então chamada reta coordenada, reta real numerada ou simplesmente reta real, e a correspondência assim estabelecida é dita um sistema de coordenadas na reta.

No exemplo a seguir, a coordenada de P é —4, a coordenada de Q é — 2 e assim por diante.

-4 -2 0 3

P Q O S

Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas, podemos identificar o ponto com sua coordenada e passar a pensar em qualquer número como um ponto da reta real.

1.2.1 Relação de ordem; conjuntos e intervalos Sejam a e 6 dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos a <b, quando b — a é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do número ò na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b > a. O símbolo a < b, lê-se a é menor ou igual a b (ou b > a, lê-se b é maior ou igual a o), significa que ou a a ou b = a). Logo, três possibilidades podem ocorrer:

a < b, a > b ou a = ò

Neste sentido, dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. Se a, b e c são números reais, podemos demonstrar que:

« Se a < 6 e 6 < c, então a < c.

(M) Se a < b, então a + c 0, então ac < 6 c.

(V) Se a bc.

(vi) Se 0 < a < b, então 1 < ' o a

Regras análogas valem para a relação maior que.

Cuidado! A regra (ii) diz que podemos adicionar qualquer número a ambos os lados de uma desigualdade, e a regra (ra) diz que podemos adicionar desigualdades, mas devemos tomar cuidado com multiplicações. A regra (iv) diz que a desigualdade é mantida quando multiplicamos ambos os lados por um número positivo, mas a desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ambos os lados por um número negativo (regra (v))! A regra (vi) diz ainda que se considerarmos recíprocos de números positivos a desigualdade também muda de sentido.

Conjuntos e intervalos

Na seção anterior usamos várias vezes a palavra conjunto para denotar uma coleção de números. Em matemática, um conjunto é uma coleção de objetos de qualquer espécie, e esses objetos são chamados elementos do conjunto. Conjuntos são denotados por letras maiúsculas, e seus elementos, listados entre chaves e separados por vírgulas, são denotados por letras minúsculas. Por exemplo, o conjunto A de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 7 pode ser escrito como:

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } .

Podemos também denotar o conjunto A usando a propriedade que o define, do seguinte modo:

A = {x e Z; 0 < x < 7}

(lê-se: A é o conjunto dos x em Z, tais que x é maior que zero e menor ou igual a 7).

Se S é um conjunto, a notação a G S significa que a é um elemento de S e a ^ S significa que a não é um elemento de S. Por exemplo, — 3 G Z, w $ Z.

Se S e T são conjuntos quaisquer, então sua união S U T é o conjunto constituído de todos os elementos que estão em S ou em T (ou em ambos S e T).

A interseção de S e T. é o conjunto S D T constituído de todos os elementos comuns a S e a T , isto é, de todos os elementos que estão em S e em T.

O conjunto vazio, denotado pelo símbolo 0, é o conjunto que não contém nenhum elemento. 0 conjunto de todos os dias da semana que começam por x é um exemplo de conjunto vazio.

Dizemos que um conjunto S é um subconjunto do conjunto T ou está contido em T, e escrevemos S C T (ou equivalentemente T D S - lê-se T contém S) quando todos os elementos de S também são elementos de T. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. No caso de S C T e S ^ T, dizemos que S é um subconjunto próprio de T.

Intervalos

Em Cálculo, lidamos comumente com certos conjuntos numéricos chamados intervalos, que geometricamente cor-respondem a segmentos de reta (ou semi-retas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto, denotado por (a, 6), é constituído por todos os números reais que estão entre a e b. Usando a notação de conjuntos, podemos escrever esta definição do seguinte modo: _

(a, b) = {x G M; a<x< 6}

Note que, neste caso, os extremos - os números a e b - não pertencem ao intervalo. Esta exclusão é indicada pelos parênteses e pelo círculo vazio na figura a seguir, que ilustra geometricamente o intervalo (a,b).

e e • a b

O intervalo fechado de a até bê o conjunto

[a, b] = {x G K; a < x < b}

Neste caso, os extremos pertencem ao intervalo. Isto é indicado pelos colchetes e pelo círculo cheio no desenho a seguir.

a b

E também possível que um extremo esteja incluído num intervalo e o outro não. Por exemplo, definimos o intervalo (a, b] assim:

(n,i] = { i £ l ; a < x < b}

e a sua representação geométrica é mostrada a seguir.

a b

Neste caso, os intervalos são ditos semi-abertos.

Podemos também considerar intervalos infinitos tais como

(a, oo) = {x G K; x > a}

Este intervalo é representado geometricamente por uma semi-reta de origem em a, como mostra a figura:

Note que o símbolo oo não representa um número: a notação (a, oo) define o conjunto de todos os números maiores que a e o símbolo oo indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de a, na direção positiva da reta numerada (para a direita do número a).

Um resumo das situações que podem ocorrer é mostrado na tabela a seguir:

Notação Definição (,a,b) { l É l ; a < K Í i } [a,6] {x € M; a < x < 6} (a,í>] {x e R; a< x <b}

[a,6) { i É l ; a < x<b}

(a, oo) {x € R; x > a} [a, oo) {x e R; x > a }

( - o o , b) {x e R; x < b }

( -oo, b] { i E l ; x < 6 } ( —oo, oo) R

• Faça uma representação na reta real de cada um dos intervalos acima.

1.2.2 Valor absoluto O valor absoluto ou módulo de um número o, denotado por | a |, é a distância de a à origem do sistema de coordenadas.

Distâncias são sempre positivas ou nulas. Assim,

| a | > 0 , qualquer que seja o número real a.

Por exemplo,

131 = 3 , | - 3 |=3, j 0 | = 0, \ V 2 - l \ = V 2 - l , 13 - tt | = tt - 3.

Em geral,

. , f a, se a > 0 \a = \ ~ n • ' [ —a, se a < 0

(Note que, se a é negativo, —a é positivo e a definição acima está de acordo com a nossa observação inicial de que M > o . )

Exemplo Expresse | 3 a; — 21 sem usar o símbolo de valor absoluto.

c , ~ l o 0 , f 3a; — 2, se 3 a: — 2 > 0 Í 3 a ; - 2 , se x > f Solução 3a; — 2 = < / n ' N „ o „ - 3 9 1 1 \ - ( 3 a r - 2 ) , s e 3 a : - 2 < 0 \ 2 - 3 a ; , s e a ; < §

Cuidado! O símbolo \/x significa a raiz positiva de x. Assim, y/x = y significa que y2 = x e y > 0. Conseqüen-temente, a equação Vã? = x, só é verdadeira quando x > 0. Se x < 0, então —x é positivo, e neste caso \/ã? = —x . Resumindo:

[ —x, se x < 0

Usando a definição de valor absoluto, tem-se y/õ? = | x |, qualquer que seja x real. As provas das seguintes desigualdades envolvendo valores absolutos são deixadas como exercício. Sejam a e b números reais quaisquer e n um inteiro, então:

(a) | a | = | —a |

(b) |o6| = |o||6|

(«O IfHtSM^0

(d) \an \ = \ a\n

(e) — ) a | < a < | a |.

Seja a > 0. Então,

(f) | x | = a se e somente se x = a ou x = —a

(g) | x | < a se e somente se —a < x < a

(h) | x | > a se e somente se x > a ou x < — a

A interpretação geométrica dessas desigualdades torna seu significado auto-evidente. A desigualdade (g), por exemplo, diz que a distância de x à origem é menor do que a se e somente se x está entre a e —a. Veja a figura:

-a x o a

"— I jc I —"

Uma outra propriedade de valor absoluto, chamada Desigualdade Triangular, é usada freqüentemente, não só em Cálculo, mas em matemática em geral.

Desigualdade Triangular

Se a e b são números reais quaisquer, então | a + 61 < |a| + |6|.

Observe que se a e b são ambos positivos ou ambos negativos, então os dois lados da desigualdade são, na realidade, iguais. Se a e b têm sinais contrários, o primeiro membro da desigualdade envolve uma subtração e o segundo não. Estas observações fazem com que a desigualdade acima pareça razoável, mas, em matemática, nem tudo que parece razoável é verdade! Necessitamos provar cada afirmação que fazemos. Portanto, vamos à prova.

Demonstração

Como — | a | < a < j a | e — | 61 < b < |6|, adicionando estas desigualdades temos

— (| a | + | 6 I) < a + b < |a| + |6| Então, pela propriedade (g) com x = a + bea = \a\ + \b \ podemos concluir que

|a + ò|<|a| + |ò|

que é o resultado que queríamos demonstrar.

Aplicação

Se | x — 4 | < 0,1 e | y — 71 < 0,2, use a desigualdade triangular para estimar | (x + y) — 11 ].

Solução

\(x + y)-ll\ = \(x-4) + (y-7)\.

Usando a desigualdade triangular com a = x — A e b = y — 7, temos que

\x + y-ll\ = |(a;-4).+ ( y - 7 ) \ < | x - 4 | + |tf-7| < 0 , 1 + 0,2.

Logo, \x + y — 11\ < 0,3 .


1.2.3 Distância entre dois pontos Podemos usar o conceito de valor absoluto para definir a distância entre dois números reais quaisquer. Se o e 6 são dois números reais, a distância entre eles é o valor absoluto da sua diferença. Geometricamente, seaeí» são as coordenadas de dois pontos Ae B àa reta numerada, a distância entre AG B, denotada por d ("A, B), é o comprimento do segmento AB e, portanto,

d(i4, B) = d(B, A) = \b-a\ = \a-b\

Note que a distância entre o ponto O (origem) e qualquer ponto A da reta numerada é dada por d(A, O) = | a — 0 | = | a |, o que está de acordo com a definição dada anteriormente para valor absoluto.

Exercício Se A, B, C e D têm coordenadas - 5 , - 3 , 1 e 6, respectivamente, determine d(A, B). d(C, B), D(0, A), d(C, D).

O conceito de valor absoluto tem outras importantes aplicações além da determinação de distâncias entre pontos. Em geral, usamos valor absoluto quando estamos interessados na magnitude, ou valor numérico, de um número real, independentemente do seu sinal.

1.3 Expressões algébricas - Equações e inequações Em matemática, freqüentemente usamos letras e outros símbolos para representar números reais ou elementos ar-bitrários de um conjunto qualquer.

Uma variável é uma letra ou um símbolo que representa um número real cujo valor não é especificado, por exemplo, x, y, t, E e 5.

Uma constante é uma letra ou um símbolo que representa um valor especificado, por exemplo, —2, 0, a/3, tt-Uma expressão algébrica é uma combinação de variáveis e constantes envolvendo adição, subtração, multiplicação, 2 divisão, potências e raízes, por exemplo, 3 x + 4 y t + Para avaliarmos uma expressão algébrica substituímos cada uma das variáveis que aparecem na expressão por

números reais especificados.

Exemplo Avalie a expressão 3 x2 + 4 x — 5 para (a) x = 3 (b) x = - 2 , 6

Solução (a) Usando lápis e papel: Para x = 5 tem-se 3x2 + 4x - 5 = (3) (32) + (4) (3) - 5 = 27 + 12 - 5 = 34

(b) Usando o Maple: > expressão:=3*x~2+4*x-5;

expressão := 3x2 + 4x — 5 > subs(x=-2.6,expressão) ;

4.88

Uma equação é uma igualdade entre duas expressões algébricas. Por exemplo, 2 x — 3 = 7, 2 x2 + 5 x — 3 = 0 o = 7x + 2 são equações na variável x.

A solução de uma equação em x é um valor de x para o qual obtemos uma sentença verdadeira.

Exemplo Mostre que x = — 2 é uma solução da equação x3 — x + 6 = 0.

Solução Para x = - 2 , tem-se x3 - x + 6 = ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) + 6 = - 8 + 2 + 6 = 0. Logo, a sentença x3 - x + 6 = 0 é verdadeira para x = —2. Isto implica que x = —2 é uma solução desta equação.

Resolver uma equação em x significa determinar todos os valores para os quais a equação é verdadeira. A técnica para resolver equações consiste em transformar a equação dada numa outra, equivalente a ela, cuja solução seja óbvia. Por exemplo, a equação 2 2 — 4 = 0 é equivalente a 2 2 = 4 que por sua vez é equivalente a z = 2.

Obtêm-se equações equivalentes a uma equação dada se uma ou mais das seguintes operações são realizadas:

Operação Equação Original Equação Obtida 1 - Combinar termos semelhantes, 2 x + x = | 3x = | reduzir frações ao mesmo denominador, í + 1 - 2 2 4

2 x+1 o 4 ~ Z

remover parênteses. 2(x + 4) = - 2 2x4-8 = - 2 2 - Realizar a mesma operação em ambos os termos da igualdade: (a) Adicionar x + 3 = 7 (+ ( -3 ) ) x = 4 (b) Subtrair 5x = 2x + 4 — (+2x) 3x = 4 (c) Multiplicar ou dividir por 3x = 12 +(3) x = 4 constantes não nulas 3x = 12 x | x = 4

Exemplo Resolva as seguintes equações: (a) 2 (2 x — 3) + 3 (x + 1) = 5 x + 2 (b) ^ = 2 + f

Solução (a) Com lápis e papel: 2 (2x — 3) + 3 (x + 1) = 5 x + 2

4 x - 6 + 3x + 3 = 5x + 2

7 x - 3 = 5x + 2 5

2x = 5 x = -

Verificando o resultado, para x = | tem-se que

21 29 25 29 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( x + l ) = 4 + y = y e 5 x + 2 = y + 2 = y ,

ou seja, a igualdade se verifica para este valor de x. Usando o comando solve, podemos resolver a equação com a ajuda do Maple da seguinte maneira: > solve( 2*(2*x-3)+3*(x+l)=5*x+2,x);

5 2

(b) Com lápis e papel: 5 V — 2 „ y — = 2 + -

8 4 5y - 2 = 8 + y_

8 4 — 2 = 2(8 + ?/)

5 y - 2 = 16 + 2y

3y = 1 8 ^ y = 6.

Verificando o resultado: - | - | é igual a 2 + f = \ . Usando o Maple, temos: > so lve( (5*y-2) /8=2+y/4 ,y) ;

6

Uma inequação é uma desigualdade envolvendo variáveis, por exemplo, x2 — 3 < 2 x + 4. As inequações aparecem com freqüência no Cálculo.

Os valores da variável que satisfazem a desigualdade são as soluções da inequação. Resolver uma inequação em x significa achar todos os valores de x para os quais a desigualdade é verdadeira. Como no caso de equações, o processo padrão para resolver desigualdades consiste em substituir a desigualdade original por uma cadeia de desigualdades

equivalentes, terminando em uma cujas soluções sejam óbvias. Tal processo baseia-se nas propriedades das desigual-dades mencionadas na seção Relação de Ordem. Por exemplo, adicionando a mesma quantidade a ambos os lados de uma inequação, obtemos uma desigualdade equivalente. Podemos também multiplicar por constantes positivas, mas a multiplicação por constantes negativas inverte o sentido de uma desigualdade.

Exemplos (1) Resolva a inequação 4x + 3 > 2x — 5.

Solução Aplicando as propriedades obtemos as seguintes desigualdades equivalentes:

4x + 3 > 2 x - 5 = > 4 x > 2 x - 8 = ^ 2 x > - 8 = s > 2 > - 4

Logo, as soluções são todos os números reais maiores do que —4, isto é, a solução da inequação dada é o intervalo infinito ( —4, oo ).

Este resultado poderia ser obtido com o comando solve do Maple, como se segue: > solve(4*x+3>2*x-5,x);

RealRange(Open(—4), oo)

(Esta notação significa o intervalo aberto (—4, oo)).

(2) Resolva a inequação 4 < 3x — 2 < 13. Solução A solução, neste caso, é o conjunto de todos os valores de x que satisfazem ambas as desigualdades.

Usando as propriedades das desigualdades obtemos a seguinte cadeia de desigualdades equivalentes:

4 < 3 x — 2 < 1 3 = ^ - 6 < 3 x < 1 5 = > 2 < x < 5

Logo a solução é o intervalo [2,5).

Usando o Maple para resolver esta inequação, temos que: > solve(4<=3*x-2,x);

RealRange(2, oo) > solve(3*x-2<13,x);

RealRange(—oo, Open(5))

Neste caso, a solução da inequação é a intersecção dos dois intervalos obtidos acima, isto é, a solução é dada por ( - o o , 5) n [2,5) = [2,5).

(3) Resolva a inequação 2x + l < 4 x — 3 < x + 7.

Solução Neste caso, é preciso resolver as desigualdades 2x + l < 4 x - 3 e 4 x - 3 < x + 7, separadamente. Assim,

(a )2x + l < 4 x — 3 = > 4 < 2 x = ^ 2 < x ;

(b) 4x — 3 < x + 7 = > 3 x < 1 0 = > x < ^ ;

Como x deve satisfazer ambas as desigualdades, temos que

Conseqüentemente, a solução da equação é o intervalo [2, Como nas vezes anteriores, podemos usar o Maple para obter este mesmo resultado.

(4) Resolva a inequação x2 — 5x + 6 < 0 . Solução Primeiro fatoramos o lado esquerdo da desigualdade para obter:

(x - 2) (x - 3) < 0.

Os números 2 e 3 são soluções da equação correspondente (x - 2) (x — 3) = 0. (Lembre-se de que o produto de dois números é nulo se e somente se um dos fatores for igual a zero.)

Estes números dividem a reta em três intervalos ( — oo, 2), (2,3) e ( 3, eo). A técnica de resolução desta inequação consiste em determinar o sinal dos fatores em cada um destes intervalos e então obter o sinal do produto, como é feito na tabela a seguir.

Intervalo Sinal de (x - 2) Sinal de (x — 3) Sinal de (x - 2) (x - 3) x < 2 - - +

2 < x < 3 + - -

x > 3 + + +

Da tabela acima podemos concluir que (x — 2) (x — 3) é negativo quando 2 < x < 3, conseqüentemente a solução da desigualdade é

{x e M;2 < x < 3} = [2,3],

Note que os extremos do intervalo foram incluídos porque procuramos os valores de x tais que o produto dos fatores é zero ou negativo. Graficamente, poderíamos resumir o resultado mostrado na tabela do seguinte modo:

(5) Resolva a inequação > 1. Solução

1 + 2 , 1+x 1 n 1 + x - l + x 2x > 1 => 1 > 0 => > 0 =>• > 0. 1 — X 1 — X 1 — X 1 — X

Da última desigualdade da cadeia acima podemos concluir que o numerador é zero quando i = 0 e o denominador é zero quando x = 1. Como no exemplo anterior, vamos determinar o sinal da fração considerando, separadamente, os casos £ < 0 , 0 1, escrevendo os resultados obtidos numa tabela.

Intervalo Sinal de 2 x Sinal de (1 — x) Sinal de l—x x < 0 - + -

0 < x < 1 + + + x > 1 + - -

Da tabela acima concluímos que a solução da inequação dada é

{ i e R ; 0 0 e quando 1 — x < 0. (Lembre-se de que uma desigualdade troca de sentido quando multiplicamos ambos os membros por um número negativo!)

Se 1 — x > 0, obtém-se:

l + x > l — x = > 2 x > 0 = ^ x > 0 .

Como 1— x > 0 x < 1. Logo, 0 < x < 1.

Se 1 — x < 0, obtém-se:

l + x < l — x = > 2 x < 0 = > x < 0 .

Mas como 1 — x < 0 = > x > l e a s condições x > 1 e x < 0 são incompatíveis, a inequação não tem solução para este caso. Conseqüentemente, a solução é dada pelo intervalo (0,1), como anteriormente.

(6) Resolva a inequação | 2x — 5 | < 3 . Solução Pelas propriedades do valor absoluto, temos:

- 3 < 2 x - 5 < 3 = > 2 < 2 x < 8 = > l < x < 4 .

A solução, portanto, é o intervalo (—1,4).

(7) Resolva a inequação 13 x + 2 | > 4 . Solução A desigualdade acima é equivalente a 3x + 2 > 4 ou 3x + 2 < —4. No primeiro caso, obtemos:

2 3x + 2 > 4 = ^ 3 x > 2 = > x > - , O

No segundo: 3x + 2 < - 4 3x < - 6 x < -2.

A solução da inequação é, portanto, o conjunto

i £ l ; i < - 2 ou x > ^ } > = (—oo, - 2 ] U

1.4 Para você meditar: Onde está o erro? A seguir "provamos" que 1 = 2.

3' ° °

Seja x = y. Então, x2 = xy

2 2 2 x - y = x y - y *

(x + y) (x - y) = y (x - y)

x + y = y=>2y = y=>2 = l

• Onde está o erro?

1.5 Exercícios 1. Resolva as seguintes equações:

(a) Vx2 -2x + l = x - l (c) Vx2 + 1 = x (e) Vx2 - 1 = x (b) |x2 — 5x + 6| = |x — 3| |x — 2| (d) | x + l | = | l - x |

2. Resolva as seguintes inequações: (a) 5 - 3x > 17 + x (e) - 4 x - 8 < 2x + 6 (i) (x - 4) (x + 5) (x - 3) > 0 ( b ) 3 x - 7 < x + 5 (f) 3 — 2 x < 4 — 3x (j) \ + ^ > 0 (c) 6x - 10 > 5x + 3 (g) x2 — 2 x + 2 > 0 (k) > 0 (d) 5 x - 3 < 17x + l (h) x2 + x + 1 > 2 (1) |3x + 2| < |2x - 1| + |x + 3|

3. (a) Descreva o seguinte conjunto com a notação de intervalo

{ X e R; y/(x + l)2 = X + 1}

(b) Mostre que qualquer que seja o número real y, tem-se y2 — 2y + 1 > 0 .

4. Na reta numerada, indique o conjunto solução de: (a) | x | < 2 (c) | 2 x — 3 | < § (e) | x - 2 | < \ e x > 2 (b) | x — 2 | < | (d) | 3 - 2 x | < \

5. (a) Localize \/2 na reta real.

(b) Localize y/ã na reta real, onde a é qualquer inteiro positivo. Sugestão: Tente uma construção geométrica.

6. Para que valores de a a fração A está definida? Qual o valor desta fração para a positivo? E para a negativo?

1.6 Problemas

1. (a) A fórmula para o perímetro de um retângulo é P — 2(L+ W), onde Lê o comprimento do retângulo e W é a sua largura. Resolva esta equação para W.

(b) A fórmula para a área de um trapézio é A = h ^ ^ , onde h é a altura do trapézio, B é a base maior e b a base menor. Resolva esta equação para b.

2. A relação entre as escalas de temperatura Celsius (C) e Fahrenheit (F) é dada por C = 5 (F~32) _

(a) Que intervalo na escala Celsius corresponde à variação de 50 a 95 graus na escala Fahrenheit?

(b) Que intervalo na escala Fahrenheit corresponde à variação de 20 a 30 graus na escala Celsius?

3. (a) Mostre que o número g4r • chamado média aritmética de a e 6, é o ponto médio do intervalo a < x < b. Sugestão: O ponto médio deste intervalo é a mais a metade do comprimento do intervalo.

(b) Se a e b são números positivos, mostre que y/ãb < . Se 0 < a < b, o número y/ãb chama-se média geométrica de a e b.

4. Mostre as desigualdades abaixo, para todos a e b reais.

(a) | a | — | 6 | < | a — b\

(b) |a|-|6|<|a + ò|

5. (a) Suponha que | x — 2 | < 0,01 e que | y — 3 | < 0,04. Use a desigualdade triangular para mostrar que | (x + y) - 51 < 0,05.

(b) Mostre que se | x + 3 | < \, então | 4 x + 13 | < 3 .

(c) Prove que se | x - x0 | < § e | y - y0 \ < f , então | (x + y) - (x0 + y0) | < £ e | (x - y) - (x0 - y0) | < £•

(d) Prove que se | x — xo | < min

(A notação | x — xq | < min 2 (| 2/o | + 1)'

£

2(|yol + i ) :

, 1 e | y - y0 | < 2 (| Xq | + 1)

1 I significa que | x — xq | <

, então \ xy — XQ yo \ < e.

e | x — X Q | < 1 . )

2 (12/o | + 1)

í \ l e i l2\ (e) Prove que se y0 ± 0 e \y - y0\ < min I — j — I, então y jí 0 e 1 1 y 2/o

< £ .

(f) Substitua o ponto de interrogação nas sentenças abaixo por uma expressão envolvendo e, xo e yo de tal modo que a conclusão seja verdadeira:

Se yo 0 e \y - J/0| <? e |x — XQ| <?, então y =/= 0 e X XO

2/ 2/o < e.


1.7 Projeto: Números algébricos e transcendentes Um número algébrico é um número real que satisfaz alguma equação da forma

ao + ai x 4- ai x2 + ... + an xn = 0

onde ao, ai, ...,an são inteiros.

1. Mostre que qualquer número racional é algébrico.

2. Mostre que os números y/2, y/3, y/2 + y/3 são algébricos.

3. Mostre que y/2 é irracional seguindo os seguintes passos:

(a) Seja n um inteiro positivo. Mostre que se n2 é par, então n é par. (b) Suponha que y/2 — |, onde p e q são inteiros, q 0 e | é uma fração irredutível, isto é, p e q não têm

fatores comuns. Mostre que, sob estas hipóteses, p e q são ambos pares. (c) Conclua que y/2 é irracional. (d) Mostre que y/3 é irracional. (e) Mostre que y/p é irracional para todo p primo.

4. Mostre que se x e y são racionais, então x + y é racional.

5. Mostre que se x e y são racionais, então xy é racional.

6. Mostre que a soma de um racional com um irracional é irracional.

7. Mostre que se x =/ 0 é racional e k é irracional, então kx é irracional.

8. Dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja natural.

9. Dê exemplos de dois números irracionais cujo produto seja natural.

10. Mostre que os racionais são contáveis, isto é, mostre que os racionais podem ser arranjados numa seqüência infinita da forma r\, r^- r r n , ... de tal maneira que todo número racional apareça na seqüência exatamente uma vez.

11. Usando o fato de que qualquer número real tem uma representação decimal infinita, mostre que os irracionais não são contáveis.

Os dois últimos itens demonstram que existem muito mais irracionais do que racionais (os racionais são contáveis e os irracionais não). Observe que podemos escrever o conjunto dos números reais como a união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Deste modo, os números reais também não são contáveis. Além disso, muitos números irracionais não são algébricos, isto é, não são raízes de uma equação do tipo descrito no início deste projeto. Os números 77 e e são exemplos de dois números irracionais transcendentes (a prova deste fato é muito difícil e pode ser encontrada em alguns livros de análise). Uma outra forma de decompor o conjunto R dos números reais é escrevê-lo como a união dos conjuntos dos números algébricos (,4) e transcendentes (T), isto é, R = A U T. A primeira vista parece que os números transcendentes são exceções e que existem poucos destes números estranhos. Isto não é verdade! E possível mostrar que existem muito mais números transcendentes do que números algébricos. Na verdade o conjunto dos números algébricos é contável e o dos números transcendentes não. Isto não é mesmo surpreendente? A matemática às vezes nos surpreende e vai contra toda a nossa intuição. Por isso, para cada novo resultado ou afirmação que fazemos, é necessária uma prova rigorosa, baseada em deduções lógicas, a partir de algumas afirmações auto-evidentes (postulados), consideradas como verdadeiras a priori e de resultados já provados anteriormente, portanto, irrefutáveis. Este é o sentido e o valor da prova matemática.

Capítulo 2

Revisão e Pré-requisitos (2)

2.1 Coordenadas no plano Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a números reais, ditos suas coordenadas, os pontos do plano podem ser associados a pares de números reais.

Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada uma delas. Usualmente, uma delas é horizontal com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo y ou eixo das ordenadas.

Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um único par de números da seguinte maneira: a coordenada x ou abscissa de um ponto P é a coordenada no eixo x, do pé P

da perpendicular a este eixo passando por P e a coordenada y 2-

ou ordenada de P é a coordenada no eixo y, do pé da perpen-dicular a este eixo passando por P. Se P tem coordenadas x e 1

y escrevemos P(x, y). Veja o gráfico ao lado. -3 -2 -1 0 i 2 à Observe que a ordem na qual as coordenadas são escritas é -1;

importante. O ponto de coordenadas (1, 3) é Pi, e este ponto é -2 diferente do ponto P de coordenadas (3,1) = (x, y) mostrados na figura acima. Neste sentido, as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais.

Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais, reciprocamente, todo par ordenado de números reais (a, b) determina um único ponto do plano. Temos, então, uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada sistema de coordenadas no plano.

O sistema de coordenadas que definimos é chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas cartesianas em homenagem ao matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650), que assinava seu nome em latim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo ramo da Matemática chamado, hoje, Geometria Analítica. Parte do mérito da descoberta da Geometria Analítica deve ser creditado, também, a um outro francês, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princípios, mais ou menos na mesma época que Descartes.

O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmente chamado plano coordenado ou plano cartesiano, é denotado pelo símbolo K2. O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usual-mente colocados na posição indicada na figura ao lado, dividem o ;

plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, que estão indi-cados pelos símbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo com a figura, o primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos (x, "> iv

y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, o conjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y > 0 e assim por diante.

Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunívoca, em geral nos referimos a um ponto P como o ponto (1,2) ou o ponto (x, y), quando na realidade queremos nos referir ao ponto P cujas coordenadas são (1,2) ou (x,y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambigüidade, que estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas são dadas, de modo único, pelo par ordenado (x, y) de números reais. Repare que a notação usada para intervalo aberto (a, b) é a mesma usada para o ponto cujas coordenadas são a e b. Dependendo do contexto onde estas notações forem usadas, você deverá ser capaz de fazer a distinção!

15


2.1.1 Distância entre dois pontos do plano A distância entre dois pontos Pi(xi, yi) e ^2(22, í/2) no plano, representada por d(P% P2), é definida pela fórmula

d(Pi P2) = y/{*i ~ x2)2 + (Vi ~ í/2)2

Esta fórmula é facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(Pi P2) c a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem | X2 — x\ \ e 12/2 — 2/i |> como mostra a figura abaixo.

• Que teorema garante a validade dessa fórmula?

• O que acontece quando x\ = 22 ou quando y\ =2/2?

Exemplo Determine a distância entre os pontos (1, —2) e (6,2). Solução d = ^ ( 1 - 6)2 + ( - 2 - 2)2 = V25 + 16 = V i l

O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distância automaticamente, como fazemos a seguir: > with(student): > d i s t a n c e ( [ 1 , - 2 ] , [ 6 , 2 ] ) ;

V41

2.1.2 Exercícios 1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2t + 4, 3 — 2t) esteja:

(a) No primeiro quadrante (c) Sobre o eixo x (b) No quarto quadrante (d) Sobre o eixo y

2. As duas retas traçadas abaixo representam a mesma função y = Por que as figuras traçadas "parecem" diferentes? O que se pode concluir?

3. A recíproca do Teorema de Pitágoras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um triângulo é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, então o triângulo é retângulo. Use este teorema e a fórmula de distância entre dois pontos para mostrar que os pontos (—3,4), (1,0) e (5,4) determinam um triângulo retângulo.

4. Um sistema de coordenadas não ortogonal Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um ângulo, não nulo, a 90°.


(a) Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?

(b) Se Pi(xi ,yi) e P2{x2,V2), qual a distância P1P2 nesse novo sistema?

5. Um sistema de coordenadas tridimensional Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na intersecção de ambos, poderemos definir um sistema de coordenadas no espaço. Nesse sistema, temos uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e triplas ordenadas de números reais. A projeção ortogonal de um ponto em um eixo é a coordenada deste ponto naquele eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas três coordenadas e escrevemos P(x,y,z).

(a) Seja P um ponto do plano xy. Sua projeção no eixo x é 2 e no eixo y é 3. Quais são as suas coordenadas?

(b) Se Pi é um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de números reais.

(c) Sobre que eixo está cada um dos pontos: A(0,3,0), B(—2,0, 0) e C(0,0,5).

(d) Sobre que plano está cada um dos pontos: i?(4,0, 2), S(3, —2,0) e T(0,1,5).

(e) Se P' é a projeção do ponto P(2,3,4) no plano xy, quais são as coordenadas de P'?

(f) Qual a distância do ponto (3,2, —2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yzl

(g) Responda ao item anterior para o ponto (x,y,z ) , onde x, y e z são números reais quaisquer.

(h) Qual a distância do ponto -Pi(xi, j/i, zi) ao ponto P2(x2, y2, 2)?

(i) Quais as coordenadas do ponto médio do segmento que liga os pontos Pi e P2?

2.2 Gráficos de equações

A idéia básica da Geometria Analítica é explorar a correspondência entre pontos e suas coordenadas para estudar problemas geométricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Álgebra. Dessa maneira, podemos usar o ferramental computacional da Álgebra em problemas geométricos, e este foi o grande avanço na Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.

A equação y = 2 x — 1 descreve uma relação entre as variáveis x e y. Uma solução desta equação é um par ordenado de números reais que, quando substituído na equação dada, produz uma sentença verdadeira. Assim, os pares (0, —1), (1,1) e 0) são todos soluções da equação em questão. O gráfico desta equação é o conjunto de todos os pontos no plano coordenado que são soluções da mesma. Mais geralmente, uma equação da forma f(x, y) = 0 determina uma curva no plano, cujo gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação dada. Reciprocamente, uma curva definida por alguma condição geométrica pode, usualmente, ser descrita por uma equação da forma f(x, y) = 0.

Exemplo 1 Vamos esboçar o gráfico de y = 2x — 1. Começamos determinando pontos com coordenadas (x,y) que satisfazem a equação dada. E conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano coordenado.

4-

3 2-

1-

-4 3 3 5 í 2 3 ~4 -1--2 -3--A-

Como existem infinitas soluções para a equação dada, não é possível completar a tabela e, conseqüentemente, o gráfico da equação listando todas as soluções. Em geral, os poucos pontos que calculamos não seriam suficientes para identificar o gráfico da equação, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que o gráfico da equação y = 2x — l é a reta que traçamos abaixo.

X y - 2 - 5 - 1 - 3 0 - 1 1 1 2 3


/ ' -4-

Na próxima seção provaremos que o nosso palpite está correto e que o gráfico de uma equação do tipo A x+B y+C = 0 define uma reta no plano.

A técnica de esboçar gráficos marcando um número suficiente de pontos até que se obtenha um padrão e de traçar o gráfico de acordo com este padrão carece de rigor e é muito imprecisa, podendo levar a conclusões completamente errôneas. O próximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.

Exemplo 2 Vamos esboçar o gráfico da equação q = j-° 1 • Como a relação dada não expressa y em termos de x, o que necessariamente não precisa acontecer, devemos decidir

se o primeiro número do par ordenado, a abscissa do ponto, representará q ou p. Qualquer escolha estará correta, no entanto, como a equação expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo a tabela teríamos:

p -3 -2 -1 0 1 2 3 q 1 2 5 10 5 2 1

Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave, teríamos várias possibilidades, como as mostradas abaixo:

/ 6 / q4

0 1 2 3

43 -2 -1

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 P

Para decidir quais dos gráficos acima é o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (É dessa maneira que os computadores traçam gráficos. Veja o projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções.)

Durante este curso aprenderemos técnicas que permitirão traçar gráficos com precisão sem necessidade de marcar muitos pontos. Por ora, nas próximas seções, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gráficos.

Exemplo 3 A seguir traçamos o gráfico de y = x2. Esta curva é uma parábola. O ponto mais baixo (0,0) é chamado vértice da parábola. Neste exemplo, dizemos que a parábola tem a concavidade voltada para cima (veja o gráfico à esquerda). Se o gráfico é invertido, como no caso da parábola y = —x2 (veja o gráfico à direita), dizemos que a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

\ A figura seguinte mostra o gráfico de algumas parábolas da forma y = ax2, para vários valores do parâmetro a.

Em todos os casos o vértice é a origem.

Execute também, na versão eletrônica, a animação que mostra o efeito da variação do valor de a no gráfico da curva y = ax2.

• O que acontece quando a é positivo e se aproxima de zero?

• E quando o é negativo e se aproxima de zero?

Para responder a estas perguntas execute, na versão eletrônica, as animações correspondentes. Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima, e se a <

0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x,y) pertence ao gráfico da parábola, o ponto (—x, y) também pertence. Neste caso, dizemos que o gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo y ou que o eixo y é o eixo de simetria da parábola.

O gráfico da equação x = ay2 (veja abaixo) também representa uma parábola que pode ser obtida a partir da parábola y = ax2 por meio de uma reflexão em relação à diagonal principal, isto é, em relação à reta y = x. (Trocar x por y numa equação qualquer resulta em refletir o seu gráfico em relação à reta y = x.)

Nestes exemplos, os gráficos são simétricos em relação ao eixo x porque se (x, y) pertence ao gráfico de x = ay2

então o ponto (;/;, —y) também pertence.

Exemplo 4 Esboce a região limitada pela parábola x = y2 e pela reta y = x — 2. Para esboçar a região pedida, primeiro vamos achar os pontos de interseção das curvas resolvendo o sistema

í x = y2

\ x = y+2 Resolver este sistema é equivalente a resolver a equação y + 2 = y2 ou y2 — y — 2 = 0. Como y2~y — 2 — 0ê equiva-lente a (y — 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = —1. Assim, os pontos de interseção das curvas são (4, 2) e (1, —1). Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como é feito a seguir:

> solve({x=y~2,x=y+2},{x,y});

- 1 0 0 J

a>0 a<0


{y=-l,x = l}, {y = 2, x = 4}

Traçamos, então, a reta que passa pelos pontos de interseção (lembre-se de que dois pontos determinam uma única reta!) e esboçamos a parábola com vértice na origem, passando por estes mesmos pontos. A região limitada por x = y2ey = x — 2 significa a região finita cujas fronteiras são estas curvas. Veja ao lado.

2.3 Retas

Na seção anterior conjecturamos que a equação y = 2 x — 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto é, mostrando que a equação de uma determinada reta é da forma Ax + By + C = 0. Esta equação deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro ponto. Para achar esta equação vamos usar o fato de que toda reta é determinada por dois pontos e que a ela está associado um número que mede a sua inclinação. Este número é chamado declividade ou coeficiente angular da reta.

Definição A declividade de uma reta não-vertical que passa pelos pontos PO(XQ, j/o) e Pi{X\, yi) é

ut — .

xi - x0

A declividade de uma reta vertical não está definida.

Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do ângulo que a mesma faz com a direção horizontal.

Usando semelhança de triângulos, é fácil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto é, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relação

y-yi y-yo yi-yo m = = = x — Xi x — XQ XI — Xo

é constante. A declividade pode também ser interpretada como a taxa de variação da variável dependente y em relação à variável

independente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade rn, a cada unidade de variação em x, corresponde rn unidades de variação em y. Pela observação acima concluímos que, em uma reta, a taxa de variação = é constante e, além disso, qualquer curva cuja taxa de variação seja constante é uma reta.

A figura ao lado mostra várias retas com declividades di-ferentes. Note que as retas com declividades positivas as-cendem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a reta descende para a direita. Se m = 0, a reta é paralela ao eixo x. Note também que as retas mais inclinadas são aquelas para as quais o valor absoluto da declividade é maior.

Estamos prontos, agora, para achar a equação da reta, não-vertical, que passa por um determinado ponto Pi(xi, yi) e tem declividade m. Um ponto P(x, y) com x ^ x\ (pois a reta é não vertical) pertence a esta reta se e somente se a razão é igual a m, isto é, m = Temos, portanto, a equação

y-yi —m(x- X i ) .

Como esta equação é satisfeita também pelo ponto (xi, yi), esta é a equação da reta que procuramos, isto é, da reta que passa pelo ponto Pi e tem declividade m.

Exemplo 1 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1 , -7) e tem declividade Solução Neste exemplo, m = — xi = 1 e yx = — 7 e, portanto, a equação é dada por y + 7 = ou, equiva-

lentemente, 2y + 14 = —x + 1 ou, ainda, x + 2y-|-13 = 0 .

Suponha que uma reta não-vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a fórmula acima concluímos que a equação desta reta é

y - b = m (x — 0)

ou, equivalentemente, y = mx + b.

Esta equação é chamada equação reduzida da reta. Aqui o número b é chamado coeficiente linear da reta e é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta é horizontal, sua declividade é zero e sua equação é dada por y = b. —

• Qual a característica geométrica da família de retas obtida considerando-se vários valores para b na equação y = mx + b? Para respon-der a esta pergunta, observe ao lado o gráfico de uma família de equações deste tipo e exe-cute, também, a animação correspondente na versão eletrônica.

Não se define declividade para retas verticais, sua equação é da forma x = a, onde a é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Para ver que esta equação é válida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de uma reta vertical é a.

Exemplo 2 Ache a equação da reta que passa por dois pontos dados. Solução Sejam P\{x\, y\) e P^{x2, V'i) os dois pontos dados da reta e P(x, y) outro ponto qualquer desta mesma

reta. Da definição de declividade, sabemos que

V ~ 2/1 _ 2/i ~ 2/2 X — X L Xl — X2

que é a equação procurada.

Em todos os casos tratados acima, a equação da reta pode ser colocada na forma Ax + B y + C = 0. De um modo geral, esta equação, onde as constantes ou parâmetros A e B não são ambos nulos, representa a equação de uma reta. Esta equação é chamada equação geral da reta.


Reciprocamente, toda equação desta forma, onde A, B e C são constantes e A e B não são ambas nulas, é a equação de uma reta. Assim, se B = 0, então A ^ 0 e a equação pode ser escrita como x = — que é a equação de uma reta vertical. Por outro lado, se B / 0, então y — — — e esta é a equação de uma reta com declividade m = — jj que passa pelo ponto (0, —

Exemplo 3 Esboce o gráfico da equação 3x + 5y = 15. Solução Como a equação dada é a equação de uma reta, para traçar

o seu gráfico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais fáceis de achar são aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim, substituindo y = 0 na equação, obtemos 3 x = 15, e daí x = 5. Logo, o ponto (5,0) pertence à reta em questão. Da mesma forma, substituindo x = 0 na equação temos que y = 3 e o ponto (0,3) também pertence à reta. Veja o gráfico desta reta esboçado ao lado.

2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares • Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais. • Duas retas com declividades mi e m2 são perpendiculares se e somente se mi ?Ti2 = —1-

A primeira afirmação é óbvia. A segunda não é tão evidente, mas pode ser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhança de triângulos. Su-ponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura ao lado. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de in-terseção e traçamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas. Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com os comprimentos indicados. A se-melhança- implica que ^ = — ~ , o que prova a relação que queremos. Este raciocínio pode ser facilmente invertido; portanto, se mi rri2 = — 1, então as retas são perpendiculares.

Exemplo 4 Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5,2) e é paralela à reta 4x + 6y + 5 = 0. Solução A equação da reta dada pode ser escrita como y = — — |. Logo, m = — |. Como retas paralelas têm

a mesma declividade, a equação da reta procurada é = o u 2£ + 3y = 16.

Exemplo 5 Mostre que as retas 2x + 3 j / = l e 6 x — 4y — 1 = 0 são perpendiculares. Solução As equações dadas podem ser escritas como y = — i f + § e í / = i f — \ - Assim, seus coeficientes angu-

lares são mi = — | e m2 = §, respectivamente. Como mi rri2 = —1, as retas são perpendiculares.

2.4 Circunferências e elipses

2.4.1 Circunferências A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a equação de uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais distâncias. Uma das curvas mais simples desta espécie é a circunferência, que pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que eqüidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro é o ponto (ci, C2) e o raio é o número positivo r, e se (x,y) é um ponto qualquer da circunferência, então a definição acima se traduz pela equação

yj(x - C l ) 2 + (y - C 2 ) 2 = r

ou, equivalentemente, (x - ci)2 + (y - c2)2 = r2.

Em particular, a equação 2 , 2 2 x + y = r

é a equação de uma circunferência de centro em (0,0) e raio r.


Usamos abaixo o comando implic i tplot do pacote p lots e o comando distance do pacote student do Maple para traçar o gráfico da circunferência de centro em (0,0) e raio 1 e calcular a sua equação.

> with(plots ) : > with(student): > i m p l i c i t p l o t ( ( d i s t a n c e ( [ 0 , 0 ] , [ x , y ] ) = 1 ) , x = - 2 . . 2 , y = - 2 . . 2 ) ;

> d i s tance ( [0 ,0 ] , [ x , y ] )=1;

y/x*Ty* = i > lhsC/,)-2=rhs ('/.);

x2 + y2 = 1

Exemplo Mostre que a equação x2 + y2 + 2x — (iy + 7 = 0 representa uma circunferência no plano e esboce o seu gráfico. Solução Para achar o centro e o raio desta circunferência, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguir completamos os quadrados como segue:

x2 + 2x + l + y2 -6y + 9 = -7 +1 + 9

(x + 1 )2 + (y - 3)2 = 3

Logo, esta equação representa uma circunferência de centro em (—1, 3) e raio \/3, cujo gráfico esboçamos abaixo.

2.4.2 Elipses A curva com equação

f ! 4. Vi - 1 a2 b2 '

onde a e b são números positivos, é chamada de elipse. Observe que se o ponto (x, y) pertence ao gráfico da elipse, o ponto (x. —y) também pertence, o mesmo acontecendo

com os pontos (—x, —y) e (—x, y). Assim, a elipse é simétrica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esboçar o seu gráfico, vamos encontrar as interseções da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o gráfico de uma curva corta o eixo x. basta fazer y = 0 na sua equação e para encontrar o ponto onde o gráfico de uma curva corta o eixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira concluímos que os pontos (—a, 0) e (a, 0) são os pontos onde a elipse corta o eixo x. Se a > b, a distância entre estes pontos é chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0, —b)

e (O, b) são os pontos de interseção da elipse com o eixo y. A distância entre estes pontos é chamada eixo menor da elipse. Veja a seguir o gráfico da elipse fg + = 1.

2.5 Gráficos de desigualdades

Vimos nos exemplos das seções anteriores que todos os pontos do gráfico de uma curva satisfazem a igualdade f(x, y) = 0 e que esta condição é satisfeita somente pelos pontos do seu gráfico.

Nesta seção estamos interessados em obter o gráfico de regiões descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades. Da mesma forma que anteriormente, estas regiões são subconjuntos do plano onde a condição dada é satisfeita por todos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta idéia.

Exemplo 1 Descreva e esboce as regiões definidas pelos seguintes conjuntos:

(a) {(x,y)€R2-x> 0} (c) G R2; | y | < 1} (b) {{x,y)€R2-,y = l} (d) {(x,y) €R2-,\x\<2 e | y | < 1}

Solução (a) Os pontos do plano para os quais a abscissa é positiva ou nula estão todos sobre o eixo y ou à sua direita. (Para esboçar esta região usamos o comando inequal do pacote plots do Maple.) A parte cinza do gráfico ao lado representa a região do plano xy que satisfaz a condição x > 0. E claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma região infinita, essa região aparece "desenhada" dentro de um quadrado, no caso [—3,3] x [—3,3], que para nós passará a representar o plano inteiro. Se assim não fosse, toda a tinta fabricada na Terra não seria suficiente para pintar essa região!

2-1.8:

1.6:

1.4: (b) O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada é 1 é uma ^ reta horizontal uma unidade acima do eixo x. o.a-

0 6 0.4 0.2:

-3 1F - 1 o 1 x 2 3

3 (c) Se \ y\ < 1, então — 1 < y < 1. Esta região consiste em todos os pontos do plano cuja ordenada está entre —1 e 1, isto é, todos os pontos que estão entre as retas horizontais y = 1 ey = —1. Na figura, estas retas são indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos não pertencem ao conjunto em questão.

2

-2--3

(d) As desigualdades são equivalentes a —2 < x < 2 e —1 < y < 1. Logo, o gráfico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos e da fronteira) da região retangular mostrada na figura ao lado.

3 -

2 -

iSBÉilll - 3 ."fcrfJ ' 3

- 2

- 3 -

Exemplo 2 Esboce o gráfico da desigualdade x + 2 y > 5.

Solução Estamos interessados no gráfico do conjunto

{(x,y) &R2-x + 2y> 5}

Resolvendo a inequação para y, obtemos:

x + 2y>5=>2y>5-x=>y>^-^.

Compare esta desigualdade com a equação y = | — |, que representa uma reta com declividade — | e interseção com o eixo y no ponto (0, |). O gráfico da desigualdade é o conjunto de todos os pontos cuja coordenada y é maior que a dos pontos que estão sobre a reta y = — § + §• Assim, o gráfico procurado é a região que está acima da reta, como mostra a figura ao lado.

2.6 Exercícios 1. (a) Mostre que o triângulo com vértices A(0, 2), B(—3, —1) e C(—4, 3) é isosceles.

(b) Mostre que os pontos (—2,9), (4,6), (1,0) e ( -5 ,3 ) são vértices de um quadrado. (c) Prove que os pontos A(—1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) são colineares mostrando que AB + BC = AC.

2. (a) Sabe-se que y = 2 x — b é positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale ò? (b) Se um conjunto de retas é descrito pelas equações y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc. O que se pode

dizer a respeito dessas retas? (c) Se duas retas são descritas pelas equações y = x + 3ey = \J?> x + 2, qual o ângulo que cada uma delas faz

com o eixo xl

3. Determine os valores da constante k para os quais a reta

[k - 3) x - (4 - k2)y + k2 -7k + 6 = 0

(a) é paralela ao eixo x. (b) é paralela ao eixo y. (c) passa pela origem.

4. Ache a equação da reta que:

(a) passa por (—2,3) e tem declividade —4. (b) passa por ( -4 ,2 ) e (3, - 1 ) . (c) tem declividade | e coeficiente linear —4. (d) passa por (2, —4) e é paralela ao eixo x. (e) passa por (1,6) e é paralela ao eixo y. (f) passa por (4, —2) e é paralela a x + 3y = 7 (g) passa por (5,3) e é perpendicular a y + 7 = 2x. (h) passa por (—4,3) e é paralela à reta determinada por (—2, 2) e (1,0).

5. (a) Mostre que as retas 2x — y = 4 e 6x — 2y = 10 não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção, (b) Se A, B, C e C' são constantes e A e B não são ambas nulas, mostre que as retas:

i. Ax + By + C = QeAx + By + C'=Q coincidem ou são paralelas. ii. Ax + By + C = OeBx — Ay + C' = 0 são perpendiculares.

6. (a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta de extremidades Pi(x\, y{) e Pi{x2, Z/2) É (Xl+X2; Mi±M2.y (b) Ache o ponto médio do segmento de reta que une os pontos

i. (1,3) e (7,15) ii. ( - 1 ,6 ) e (8,-12).

7. (a) Mostre que as equações abaixo representam uma circunferência. Ache o seu centro e o seu raio. i. x2 + y2 - 4x + 10y + 13 = 0

ii. x2 + y2 +&y + 2 = 0 iii. x2 + y2 + x = 0 iv. 2x2 + 2y2 - x + y = 1.

(b) Sob que condições sobre os coeficientes a, b e c a equação

x2+y2 + ax + by + c = 0

representa uma circunferência? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio. 8. Nos itens abaixo, você deve determinar a condição representada por cada um dos gráficos. Você pode testar a

sua resposta usando a versão eletrônica deste texto! (a) Qual a condição representada pela parte escura do gráfico (1)? (b) Qual a condição representada pela reta do gráfico (2)? (c) Qual a condição representada pela parte escura do gráfico (3)?

0 . 2 0 . 4 0 .6 0 . 8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

(1) (2) (3)

.7 Problemas 1. Esboce o gráfico dos conjuntos:

(a) W={(x,y)eR2-,x = 4} (b) W = {(x,y)efí?-,y = -3} (c) W = {(x,y)eR2;xy = 0}

(d). W= { (x,y) £ R2\\x \ <2,\y\ > 1} (e) W= {(x,y) eR2;xy<0} (f) W= {(x,y) £R2;\x\> 1 e \y\<2}

(g) O conjunto dos pontos eqüidistantes de (0,1) e (1,0). (h) Escreva a condição do item (g) na forma mais simples possível.

2. Esboce o gráfico das condições dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a região definida pela condição: (a) x2+y2 = 1 (f) x = - 3 (b) y = 2x2 — 1 {g)y = 2 (c) 3y + x2 = 0 (h) x2 + y2 <1 (d) y = 3x + 1 (i)x2+y2>l (e) x = 2e0<y<2 (j) y <1

3. Esboce a região limitada pelas curvas (a) y = 3 x e y = x2 (b) y = 4 — x2 e x — 2 y = 2.

4. (a) Esboce o gráfico da equação y = |x|. (b) Esboce o gráfico da equação j x | + | y \ = 1.

5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x + y = 1, acima do eixo x, e é refletido ao tocar esse eixo. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, escreva a equação da nova trajetória.

6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma

Esta é a chamada forma segmentária da equação da reta. Escreva nesta forma a equação 4x + 2y = 6.

7. (a) Determine a equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4). (b) Você é capaz de determinar, por métodos geométricos, a equação da reta tangente à parábola y = x2 no

ponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laboratório: Retas Tangentes - Atividade 2.)

8. Um carro parte do Rio de Janeiro às 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio - São Paulo. Ele passa por Itatiaia (a 150 km do Rio) às 15:50hs.

(a) Expresse a distância percorrida em termos do tempo transcorrido. (b) Esboce o gráfico da equação obtida em (a). (c) Qual a declividade desta curva? (d) O que representa esta declividade?

9. (a) Um sistema linear do tipo í ciiX + hy = ci \ a2x + b2y = c2

pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de soluções. Interprete geometricamente cada um desses casos e deduza a condição algébrica que garante a existência de uma, nenhuma ou de infinitas soluções para esse sistema.

(b) Uma equação da forma Ax + B y + C z + D = 0, onde A, B e C não são simultaneamente nulos, representa um plano no espaço tridimensional. Interprete geometricamente todas as possíveis soluções para sistemas lineares com duas equações e três variáveis, em termos das posições relativas entre dois planos. (Veja as Atividades de Laboratório - Atividade 3.)

10. A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma reta fixa r e a um ponto fixo F são iguais. O ponto F chama-se foco da parábola e a reta r a sua diretriz.

(a) Deduza a equação da parábola no caso particular em que o foco é o ponto (0,1) e a diretriz é a reta y = — 1 e trace o seu gráfico.

(b) Deduza a equação da parábola com foco em F = (a, 0), com o eixo x perpendicular à diretriz e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento FF', onde F' é a projeção ortogonal de F sobre a diretriz. Trace o seu gráfico e responda às seguintes perguntas:

i. Em que semiplano está contida esta parábola? ii. Qual o seu eixo de simetria?

iii. Qual o seu vértice? iv. Qual a equação da reta diretriz?

Em todos os itens, estude os casos a > 0 e a < 0. (c) Suponha agora que o foco da parábola seja o ponto F(0, a). Deduza a equação da parábola no caso em

que o eixo y é perpendicular à diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento FF'. Trace o seu gráfico e responda às mesmas perguntas do item anterior.

2.8 Atividades de laboratório

Faça as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da versão eletrônica.

2.9 Para você meditar: O gráfico da equação y — mx é sempre uma linha reta?

Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de números da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenada x ou abscissa de um ponto Pê a distância desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P é a distância desse ponto ao eixo x. Isto é, se P tem coordenadas x e y, esses números representam as distâncias de P em relação aos eixos y e x, respectivamente.

Sabemos, também, que o gráfico de uma equação y = f(x) é o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta relação, isto é, os pontos que pertencem ao gráfico dessa equação são os pontos do plano da forma (x, f(x)).

Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da equação y — x ê uma reta que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gráfico da equação y = 2 x é a reta definida como o lu-gar geométrico dos pontos cuja distância y ao eixo x é duas vezes a sua distância ao eixo y. Repare que, nesse sistema, as distâncias são medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados.

Veja a figura ao lado onde traçamos, em conjunto, os gráficos das funções y = x,y = 2 i e a malha retangular usada nesse sistema de coordenadas para medir as distâncias.

Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas retas perpendiculares vamos considerar um ponto e uma reta fixa. O ponto fixo será chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas será chamado foco-diretriz.

• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual será o gráfico da equação y = x, isto é, qual o lugar geométrico dos pon-tos cuja distância ao foco é igual sua distância à diretriz? (Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas cartesi-anas as distâncias eram medidas por retas paralelas aos eixos coordenados, nesse sistema as distâncias serão medidas por retas paralelas à diretriz e às circunferências concêntricas ao foco.)

• Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual a k vezes a sua distância à diretriz. Estude os casos para k = l,k<lek>\.

Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (pólo) sobre essa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o ângulo que o raio que une o ponto ao pólo faz com o eixo, e a coordenada y a distância do ponto ao pólo. Esse sistema coordenado é dito Sistema de Coordenadas Polares.

• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema?

• Qual o gráfico da equação y = x nesse sistema, isto é, qual o lugar geométrico dos pontos cujo ângulo que a direção ponto-pólo faz com o eixo é igual à distância do ponto ao pólo?

• Como você definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Como você poderia interpretar geometricamente a relação y = xl Qual seria o gráfico desse lugar geométrico?


2.10 Projetos 2.10.1 Melhor qualidade de gravação Os aparelhos comuns de videocassete têm três velocidades de gravação: SP (standard play), LP (long play) e EP (extra long play). Usando uma fita comum de vídeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2 h de duração. Esse tempo aumenta para 4 h e 6 h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante a melhor qualidade de gravação. Quando os outros modos são usados, as informações são gravadas de modo mais condensado na fita, com a conseqüente perda de qualidade.

Suponha que se deseja gravar, em uma única fita, um filme de 3 h de duração, com a melhor qualidade possível. Isto quer dizer que, em algum momento, é necessário mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP (maior tempo de gravação). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchida quando o filme terminar.

• A partir do início da gravação, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?

• Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP é desprezível a olho nu, resolva o mesmo problema se mudarmos do modo SP para o modo EP.

2.10.2 Custo mínimo x aproveitamento máximo Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantação e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contém 3 g de fósforo, 1 g de nitrogênio e 8 g de potássio e custa R$10,00 por quilo. O segundo tipo contém 2 g de fósforo, 3 g de nitrogênio e 2 g de potássio e custa R$8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo é suficiente para 10 m2 de terra e que o solo onde estão suas plantações necessita de pelo menos 3 g de fósforo, 1,5 g de nitrogênio e 4 g de potássio para cada 10 m2.

• Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 de terreno, de modo a obter um custo mínimo?

• Há muitas situações em que essa mesma espécie de análise é necessária. Se você ainda não o fez, formule um modelo matemático formal que descreva situações desse tipo e dê exemplos de outros problemas onde esta análise seja necessária.

Capítulo 3

Alguns Problemas do Cálculo

3.1 Introdução

As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos - aqueles que lidam com números, grandezas e formas -remontam às mais antigas civilizações.

As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cónica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.

Embora egípcios e babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo inclusive equações quadráticas e sistemas de equações e conhecessem muitos resultados de geometria, inclusive o famoso Teorema de Pitágoras, tanto egípcios quanto babilônios resolviam os problemas propostos por meio de prescrições - cada problema era resolvido em termos de casos particulares e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse) nem o modo como a solução tinha sido obtida.

Os resultados obtidos por egípcios e babilônios foram assimilados pelos gregos, que tiveram o mérito de contribuir para o estabelecimento da matemática da forma como a entendemos hoje: como um sistema lógico-dedutivo, com valor intrínseco, independente de aplicações práticas ou de fenômenos naturais.

Na Grécia surgiu o primeiro livro de matemática - Os Elementos de Euclides - , que se constituiu na primeira tentativa de sistematização dos conhecimentos adquiridos até então e na construção de uma teoria matemática baseada em poucos postulados e numa cadeia de deduções (teoremas) logicamente deduzidos e, portanto, irrefutáveis. A matemática empírica de babilônios e egípcios se contrapõe, então, a matemática dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estágio de desenvolvimento da matemática desde à Grécia até os séculos XVI e começo do século XVII.

As grandes navegações do século XVI, o surgimento da indústria e os interesses do grande comércio que surgia na época exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário.

O século XVII é o século mais importante e revolucionário de toda a matemática. De especial importância neste século é o surgimento, com Newton e Leibniz, do Cálculo Diferencial e Integral, que desde então passou a ser a principal ferramenta de observação e modelagem dos fenômenos da natureza.

Após o estabelecimento dos fundamentos do Cálculo, torna-se possível a análise de problemas físicos de real importância, com precisão e rigor jamais experimentados. São estabelecidos os fundamentos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos e tem início o estudo das Equações Diferenciais e Integrais.

A seguir são apresentados alguns problemas que confrontam a matemática anterior ao Cálculo, em que se procu-ravam resolver certas equações e onde se estudavam figuras e sólidos geométricos com lados retos e faces planas, com a matemática que se começou a estudar a partir do século XVII.

Nestes problemas, as figuras passam a ter lados e faces curvos; passa-se a estudar grandezas que variam instanta-neamente com o tempo; já não se quer mais calcular a raiz de uma equação, mas encontrar o valor máximo de uma função; passa-se da visão estática da geometria euclidiana para o estudo do movimento e da variação.

30


3.2 Cálculo de áreas

3.2.1 Da antiguidade até o século XVII

Já eram bem conhecidas dos egípcios (2000 a.C.) as fórmulas para se calcular áreas de triângulos, retângulos, trapézios e até mesmo a área aproximada do círculo, onde o valor de ir era substituído por 3 uma aproximação notável para a época. Figuras mais complexas eram decompostas em triângulos ou retângulos e sua área calculada como a soma das áreas das regiões resultantes desta decomposição. Por exemplo, conhecendo-se somente a fórmula para áreas de triângulos, como é possível calcular a área da seguinte figura?

Provavelmente, o método empregado por você para resolver este problema é o mesmo utilizado por egípcios e gregos, apesar do tempo que nos separa destas civilizações e do grau de desenvolvimento da matemática desde então.

3.2.2 Após o século XVII

Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem conhecidas desde a antiguidade, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Um exemplo desse tipo de problema é formulado abaixo.

Problema Como calcular a área da região limitada pelas retas x = 1, x = 2, y — 0 e a parábola y = x2, mostrada na figura

abaixo.

Soluções aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0,1] em subintervalos e calculando-se a soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos à figura, como é mostrado nos seguintes gráficos:

8-

6-

0 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 u 0.20.40.60.8 1 1 .21 .^ .61 .8 2 2.22.42.62.8 3

Observe a seguir, o que acontece quando aumentamos o número de subdivisões do intervalo.

32 Cap. 3 Alguns Problemas do Cálculo

• O que acontece quando o número de retângulos aumenta? O que se pode concluir? • Como será possível obter a medida exata da área? Para responder a essas perguntas, observe as figuras abaixo com os valores das áreas correspondentes:

2 . 1 6 8 8 2 . 2 4 0 3 2 2 7 3 6 2 . 2 3 1 8

Nomes como Descartes, Fermat, Newton, Leibniz e outros estão ligados a problemas desse tipo. A passagem da construção de soluções aproximadas para o cálculo da solução exata é a base que fundamenta toda a matemática moderna.

3.3 Velocidade instantânea Um outro problema que muito contribuiu para o desenvolvimento do Cálculo foi o da determinação da velocidade instantânea. Suponha, por exemplo, que o gráfico abaixo nos fornece para cada instante de tempo t, dado em segundos, o espaço s percorrido por um carro de Fórmula 1, na reta dos boxes, a partir da largada.

E fácil calcular a velocidade média desenvolvida pelo piloto deste automóvel no período de 1 até 4 segundos após a largada: basta dividir o espaço percorrido neste intervalo de tempo pelo tempo total decorrido, no caso 3 s. Isto equivale, no gráfico dado, a calcular a declividade da reta secante à curva que une os pontos (1, d(l)) a (4, d(4)):

A velocidade média neste exemplo será dada então, pela medida do segmento CB dividida pela medida de BA. No caso, vm = 5.

Mas, como calcular a velocidade que o piloto alcançou exatamente 1 s após a largada? Essa velocidade, que corresponde à leitura do velocímetro do carro em cada instante do percurso, é chamada de

velocidade instantânea. A idéia é encontrar um valor aproximado para a velocidade instantânea calculando-se a velocidade média em um

intervalo pequeno, isto é, no gráfico acima, considerar o ponto B bem próximo do ponto A. Assim, no exemplo acima, a velocidade média desenvolvida pelo piloto do automóvel para (a) t variando d e l s a 2 s é d e 3 m/s;


(b) t variando de 1 s a 1,5 s é de 2,5 m/s; (c) t variando de 1 s a 1,2 s é de 2,2 m/s; (d) t variando de 1 s a 1,01 s é de 2,01 m/s; O que você pode concluir? E possível calcular o valor exato da velocidade para t=1 s? O que acontece com a reta secante quando o intervalo de tempo se torna pequeno? Para ajudá-lo nas suas conclusões, observe a animação a seguir.

i x I r — : — —

2.6000

>

2.5000

>

2.4286

2.3333

>

2.3000

>

2.2727

>

Como no caso do cálculo de áreas, o problema fundamental está em como obter o valor exato da velocidade a partir da construção de soluções aproximadas que parecem "melhorar" a cada passo. Neste caso específico, a solução está intimamente ligada ao problema de determinar a declividade da reta tangente a uma curva, descrito na próxima seção. Você é capaz de deduzir, a partir desse exemplo, qual o significado físico da declividade da reta tangente a uma curva?

3.4 Retas tangentes Na seção anterior, foi visto que a declividade da reta tangente a uma curva tem um importante significado físico no estudo do movimento de corpos. Este fato motivou a necessidade de definir precisamente o que se entende por reta tangente a uma dada curva e de determinar a sua equação.

Desde que se saiba um pouco de geometria analítica, o que já era bem conhecido no século XVII, pode-se determinar a equação da reta tangente a uma circunferência num ponto dado e defini-la como a reta que intercepta a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência. Veja a figura ao lado.

A circunferência não é a única curva para a qual a reta tangente pode ser definida dessa maneira. A mesma definição pode ser usada, por exemplo, no caso de elipses. Mas como se pode definir reta tangente a uma curva qualquer em um ponto dado? A definição empregada no caso da circunferência pode ser generalizada para uma curva qualquer? Considere, por exemplo, a parábola:

Embora a idéia geométrica de reta tangente seja bastante óbvia, como ilustrado no gráfico anterior, a definição empregada no caso de circunferências é bastante especial e não se aplica ao caso geral. No exemplo a seguir, a reta vertical intercepta a parábola em apenas um ponto, mas certamente não é tangente à parábola.


Poderíamos eliminar o caso acima definindo tangente como a reta que apenas "toca" na curva, sem cortá-la. Mas, para muitas curvas simples, essa definição ainda não se aplica. Veja os gráficos da função y = x3

No primeiro caso, a tangente, como a entendemos geometricamente, corta a curva em um outro ponto, diferente do ponto de tangência, no segundo, a tangente corta a curva precisamente no ponto de tangência.

Examine também o caso a seguir. A reta vertical é tangente à curva dada?

Mais um problema surge quando observamos o gráfico da função y = Qualquer reta passando pela origem "encosta" no gráfico dessa função nesse único ponto. Essas retas são tangentes ao gráfico da função?

1-

0.8- / 0.6- /

\ 0.4- / ^ ^ \ \ a 2 -

-1 - o j ^ O & M -0.2

- 0 . 4 -

Além disso, como poderíamos definir reta tangente ao gráfico de uma curva no caso em que essa curva é, ela própria, uma reta? Nesse caso, é razoável e intuitivo esperar que a reta dada seja sua própria reta tangente em qualquer ponto. Veja a figura:

Dos exemplos acima podemos concluir que precisamos de uma nova (e melhor!) definição para reta tangente a uma curva em um ponto qualquer da mesma. Uma vez estabelecida essa definição, devemos ser capazes de determinar a


sua equação. Existem, portanto, dois problemas a serem considerados:

• Como definir a reta tangente a uma curva por um ponto da mesma?

• Conhecendo-se o ponto de tangencia, como determinar a sua equação?

3.5 Determinação de máximos e mínimos

Problemas de determinação de máximos e mínimos de funções, do tipo:

• Como determinar a velocidade inicial mínima para que um projétil possa escapar da atração gravitacional da Terra?

• Como determinar o mínimo de material a ser gasto na fabricação de uma lata cilíndrica de volume fixo?

• Como determinar as dimensões da haste retangular mais rígida que se pode fabricar de um tronco cilíndrico de raio dado?

que aparecem com freqüência na vida cotidiana, também desempenharam importante papel na história da evolução do Cálculo.

Embora aparentemente dissociados, esses problemas estão intimamente associados com o problema da reta tangente. Em princípio, conhecendo-se o gráfico da função que modela o fenômeno que se quer estudar, é fácil localizar,

visualmente, os seus máximos e mínimos, como mostra o gráfico a seguir, à esquerda. No entanto, o gráfico de uma função pode nos reservar algumas surpresas! Observe o gráfico, à direita:

Aparentemente, a curva se comporta como a da função seno, traçada anteriormente. Observe, no entanto, os gráficos a seguir. Eles mostram o que acontece quando aumentamos a escala usada para o traçado do gráfico nas proximidades de um de seus "extremos" (figura da esquerda) e perto do zero (figura da direita).

Este exemplo mostra que nem sempre podemos confiar nos nossos olhos e que precisamos de algum critério que nos permita identificar os pontos extremos de uma função. Adiante, neste texto, veremos que a reta tangente nos fornece meios de localizar e determinar esses extremos. Por ora, observe a animação a seguir e tente estabelecer um critério geométrico que ajude a determinar os extremos de uma função.


% Vt \Y\ \v\ \ f\ i n V i TTT Tf^ V

3.6 Comprimento de arco Embora, desde a Antiguidade, já fosse conhecida a medida do comprimento de um arco de circunferência, por muito tempo pensou-se que o problema de se retificar certas curvas, isto é, de construir um segmento de reta de mesmo comprimento de uma dada curva, tal como um arco de parábola, era impossível de ser resolvido para curvas algébricas.

Foi por volta de 1650, usando técnicas do Cálculo Infinitesimal, que William Neil resolveu pela primeira vez o problema de calcular o comprimento de um arco da parábola semicúbica y2 = x3. William Neil tinha na época vinte anos, e dele, aparentemente, nunca mais se ouviu falar.

Novamente, um cálculo aproximado para este problema pode ser feito tomando-se subdivisões do arco da curva e ligando-os por segmentos de reta, como no problema abaixo.

Problema: Calcular o comprimento do arco da parábola y = x2, para x no intervalo [0,5]. A idéia é aproximar o arco de parábola por segmentos de reta, como vemos a seguir.

Neste caso, um valor aproximado para o arco de parábola y = x2, para x variando no intervalo [—5,5], pode ser calculado somando-se os comprimentos dos segmentos de reta que ligam os pontos Al, A2, AS, A4 e A5 que definem a poligonal, dando o valor 30\/2 + 4\/5 = 51.370.

Aumentando-se o número de subdivisões do arco, tem-se:

E da mesma forma como foi feito acima, o valor aproximado para o comprimento do arco é 51.39134193.

• O que é possível concluir quando o número de subdivisões do arco aumenta? (Observe a animação na versão eletrônica para responder a essa pergunta.)

• Deduza uma fórmula que aproxima o comprimento de uma curva y = f(x) definida em um intervalo [0, 1], subdividindo-o em n intervalos de igual comprimento.

• Como você pode melhorar essa aproximação?

• Qual o valor exato para o comprimento desse arco?


3.7 Conclusões Em todos os problemas apresentados, podem-se determinar soluções aproximadas, tão aproximadas quanto se queira. Mas como é possível determinar a solução exata?

A passagem fundamental está no processo de limite ou convergência dessas aproximações. E este conceito, nas suas duas principais formas denominadas diferenciação e integração, que estudaremos no

decorrer deste curso.

3.8 Atividades de laboratório Faça as atividades propostas no arquivo labl_l.mws da versão eletrônica.

3.9 Para você meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dos sistemas matemáticos

Na introdução deste capítulo dissemos que os gregos tiveram o mérito de assimilar os resultados obtidos por egípcios e babilônios e estabelecer os fundamentos da matemática como um sistema lógico-dedutivo, baseado em poucas afirmações (postulados), consideradas a priori como verdadeiras e numa cadeia de teoremas logicamente deduzidos e, portanto, irrefutáveis. Mas como é possível chegar a uma conclusão lógica a partir de uma afirmação verdadeira?

Enigmas lógicos aparecem em muitos livros e revistas como um desafio e uma forma de "medir" a inteligência ou a perspicácia dos leitores e ilustram também como o raciocínio lógico, base para o desenvolvimento de qualquer sistema matemático, é usado para resolver problemas aparentemente misteriosos ou adivinhatórios, esclarecer controvérsias ou provar a insolubilidade de determinados dilemas. Teste o seu raciocínio lógico tentando solucionar os enigmas abaixo.

3.9.1 Enigmas Enigma 1

Desejando escolher um marido entre seus muitos pretendentes, uma princesa de um antigo reino resolveu propor-lhes um problema. Colocou um retrato seu dentro de um cofre e o apresentou, junto com outros dois, aos candidatos à sua mão. Aquele que, dentre os três cofres apresentados, escolhesse o que contivesse o retrato da princesa, teria o direito de desposá-la. Para ajudar o candidato a escolher sabiamente, pois desejava um marido inteligente, a princesa colocou na frente de cada cofre uma afirmação e explicou aos pretendentes que, das três, somente uma era verdadeira.

- A afirmação do primeiro cofre era: O retrato está nesse cofre. - A do segundo: O retrato não está neste cofre. - E a do terceiro: O retrato não está no primeiro cofre.

Baseando a sua resposta num raciocínio lógico, você é capaz de deduzir em qual dos cofres está o retrato da princesa?

Enigma 2 Neste teste, cada cofre tem duas afirmações e nenhum deles contém mais do que uma afirmação falsa. - As afirmações do primeiro cofre eram:

1. O retrato não está neste cofre.

2. O artista que pintou o retrato é de Veneza.

- As do segundo cofre:

1. O retrato não está no primeiro cofre.

2. O artista que pintou o retrato é de Florença.

- As do terceiro:

1. O retrato não está neste cofre.


2. O retrato está no segundo cofre.

• Em que cofre está o retrato?

Enigma 3 Neste teste cada cofre foi feito por Belini ou Celini. Toda vez que Belini fazia um cofre inscrevia nele uma afirmação

verdadeira, e toda vez que Celini fabricava um cofre colocava nele uma afirmação falsa. - No primeiro cofre estava escrito: O retrato está neste cofre. - No segundo cofre estava escrito: O retrato está neste cofre. - A afirmação do terceiro cofre era: Pelo menos dois destes cofres foram feitos por Celini. Em que cofre está o retrato e qual o autor de cada cofre?

Enigma 4 Neste teste são usados somente dois cofres, um deles contendo um retrato e o outro vazio. Novamente cada um

deles foi feito ou por Belini ou por Celini. - No primeiro cofre estava escrito: O retrato não está neste cofre. - No segundo cofre estava escrito: Exatamente um destes dois cofres foi feito por Belini. • Em que cofre está o retrato?

• Quais as chances do pretendente acertar na sorte?

Enigma 5 Este teste é semelhante ao anterior. São usados apenas dois cofres, num dos quais há um retrato e as inscrições

em cada um deles são as seguintes: - No primeiro cofre estava escrito: O retrato não está neste cofre. - No segundo cofre estava escrito: Exatamente uma dessas duas afirmações é verdadeira. • Empregando, como das outras vezes, um raciocínio lógico, a que conclusão você pode chegar a respeito do cofre

que contém o retrato? • Se o retrato estiver no segundo cofre, haverá alguma contradição com as hipóteses do problema e a princesa terá

mentido? • Sabendo que o retrato está no segundo cofre, o que se pode afirmar a respeito da veracidade ou não da afirmação

nele escrita? Qual a diferença deste teste para o anterior? • Se no enigma anterior o retrato estivesse no segundo cofre, a que conclusões poderíamos chegar?

3.9.2 Paradoxos Em geral, paradoxos, como os que aparecem no Enigma 5, são baseados na questão de se estabelecer o valor verdade de afirmações que se referem ao seu próprio valor verdade, e este é um aspecto crucial da Lógica Moderna.

Um outro exemplo de paradoxo desse tipo surge quando tentamos decidir se a sentença seguinte é falsa ou verda-deira:

Esta sentença é falsa.

Se esta sentença for falsa, então é verdadeira, e se ela for verdadeira, então é falsa, e obtemos um paradoxo. Sentenças desse tipo, cujo valor verdade depende do seu próprio significado, são ditas mal fundamentadas e conduzem a paradoxos, não a contradições. Contradições surgem quando conclusões erradas são deduzidas a partir de hipóteses falsas. Este seria o caso se, num dos enigmas de 1 a 4 da seção anterior, o retrato não estivesse no cofre que o raciocínio lógico, corretamente empregado, nos houvesse indicado. Nesse caso, se as hipóteses, corretamente empregadas, nos levassem a uma conclusão falsa, a princesa teria mentido e essa seria a única conclusão possível. No Enigma 5, a princesa não mentiu, pois não fez nenhuma afirmação a respeito da veracidade ou não das sentenças escritas nos cofres.

Um enigma bastante popular desse tipo é aquele que conta a história de um juiz que decidiria se um condenado à morte seria enforcado ou decapitado. Para tomar essa decisão, o juiz pediria ao condenado para fazer uma afirmação. Se essa afirmação fosse verdadeira ele seria enforcado. Se fosse falsa, decapitado.

Se você fosse o condenado, que afirmação faria para impedir a execução da pena de morte?


3.9.3 O teorema de Gõdel Em 1931, Kurt Gõdel provou que, para uma grande variedade de sistemas matemáticos - sistemas que fossem "sufici-entemente grandes para lidar com o infinito" sempre existirão afirmações que não poderão ser provadas nem negadas a partir dos axiomas usados para construir esse sistema. Conseqüentemente, nenhum sistema lógico-dedutivo, onde certas sentenças verdadeiras são tomadas como axiomas e regras precisas de inferência são empregadas para provar ou não as demais, é adequado para provar todas as verdades matemáticas. A sentença que não pode ser provada deve fazer uma afirmação sobre a sua própria não-probabilidade. Se esta sentença for tomada como um axioma para o sistema em questão, mais afirmações poderão ser provadas nesse novo sistema ampliado, mas ainda assim existirão sentenças que não poderão ser provadas nem negadas. Esse é o conteúdo do famoso Teorema da Incompletude de Gõdel.

Considere o seguinte paradoxo:

Esta sentença não pode ser provada.

O paradoxo é: se a sentença é falsa, então é falso que ela não pode ser provada, e conseqüentemente ela pode ser provada, mas se ela pode ser provada, então ela é verdadeira. Assim, se ela é falsa, então deve ser verdadeira. Por outro lado, suponhamos que eu tenha provado a sentença e portanto que ela seja verdadeira. Mas se a sentença é verdadeira, o que ela afirma é verdade, e então ela não pode ser provada, mas então, como eu a provei?

Seguindo o raciocínio do paradoxo acima, o que é necessário fazer para concluir sobre a veracidade ou não de uma afirmação?

Um dos objetivos do ramo da matemática conhecido como Lógica é estabelecer a noção de prova ou demonstração de uma afirmação de maneira precisa. Quando provamos um teorema matemático estamos simplesmente empregando alguns postulados, o nosso raciocínio, as leis da lógica e resultados anteriormente provados para chegar a uma conclusão nova e verdadeira. Esta conclusão será tomada e usada, desde então, como um novo teorema para o sistema, a partir do qual novos resultados poderão ser estabelecidos.

Capítulo 4

Funções e Gráficos

4.1 Motivação

Vimos no capítulo anterior que problemas onde é necessária a determinação dos valores máximos e/ou mínimos dê uma função aparecem comumente no nosso dia a dia e que, embora aparentemente dissociados, o problema de determinar tais pontos extremos está intimamente relacionado com o problema de determinar a inclinação da reta tangente a uma curva em um dado ponto. Tentaremos analisar um problema desse tipo com os conhecimentos matemáticos de que dispomos até o momento.

4.1.1 O problema da caixa

Considere uma folha de plástico quadrada de lado igual a 20 cm. Como se deve cortar os cantos desta folha de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maior volume de água possível, quando completamente cheia? * *

X X

Considerando a figura ao lado, o problema consiste em de-terminar o valor de x, a ser cortado, para obtermos tal caixa.

Observe que à medida que x varia o volume também varia, f X x_

isto é, o volume da caixa depende da variável x , que neste pro- " blema representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada. Dizemos, então, que o volume é uma função de x. Neste caso, a expressão matemática que fornece o volume da caixa para cada valor particular de x é dada por: V = x (20 — 2x)2. Repare ainda que x só pode assumir valores entre 0 e 10. (Por quê?)

Análise Numérica

Para determinar o valor de x, a ser cortado, a fim de que o valor do volume atinja o seu máximo, podemos fazer uma tabela ou lista mostrando o valor do volume para vários valores de x. Como x varia entre 0 e 10, iremos formar uma tabela com n+1 pontos, incluindo 0 e 10.

' x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10" V(x) 0 324. 512. 588. 576. 500. 384. 252. 128. 36. 0

Pela análise da tabela, verificamos que o valor máximo do volume parece ocorrer para valores de x entre 2 e 4. Podemos melhorar nossa tabela calculando o valor do volume para um maior número de valores de x, melhorando

assim a precisão do resultado encontrado anteriormente:

40


x O

.2500000000

.5000000000

.7500000000 1.

1.250000000 1.500000000 1.750000000

2. 2.250000000 2.500000000 2.750000000

3.

V(x) O

95.06250000 180.5000000 256.6875000

324. 382.8125000 433.5000000 476.4375000

512. 540.5625000 562.5000000 578.1875000

588.

3.250000000 3.500000000 3.750000000

4. 4.250000000 4.500000000 4.750000000

5. 5.250000000 5.500000000 5.750000000

6. 6.250000000

V(x) 592.3125000 591.5000000 585.9375000

576. 562.0625000 544.5000000 523.6875000

500. 473.8125000 445.5000000 415.4375000

384. 351.5625000

X V{x) 6.500000000 318.5000000 6:750000000 285.1875000

7. 252. 7.250000000 219.3125000 7.500000000 187.5000000 7.750000000 156.9375000

8. 128. 8.250000000 101.0625000 8.500000000 76.50000000 8.750000000 54.68750000

9. 36. 9.250000000 20.81250000 9.500000000 9.500000000

10. 0

O valor máximo para V parece ser, agora, 592,3125, e este máximo parece ocorrer para valores de x entre 3 e 3,5.

Como poderíamos aumentar a precisão do resultado obtido acima? As listas apresentadas poderiam ser calculadas facilmente sem o auxílio de um computador?

Mesmo para quem dispõe de um computador, este é um bom método para determinar o máximo de uma função?

Análise gráfica

Outro modo de tentar calcular o valor máximo de V é fazer uma análise gráfica onde se explicite visualmente a relação existente entre as duas variáveis envolvidas no problema: V (volume da caixa) e x (tamanho do corte). Para isso, vamos usar as tabelas anteriores para tentar obter o gráfico da equação y = V{x).

Volume x Corte

300 j

200:

UIO 0 2 4 x 6 8 10

Verificamos, mais uma vez, que à medida que x varia os valores correspondentes para V crescem até atingir um valor máximo e depois decrescem até zero (veja o gráfico abaixo à esquerda). O problema é como determinar exatamente onde ocorre o valor máximo dessa ou de outra função qualquer. Esses pontos têm uma característica geométrica especial: existe uma reta horizontal que é tangente ao gráfico da função no seu ponto de máximo. Veja à direita:

Esta característica especial pode nos ajudar a determinar precisamente estes pontos. Como isso pode ser feito?

Conclusão

Para resolver problemas desse tipo, temos que:

1. Encontrar uma relação entre as variáveis envolvidas, nesse caso

42 Cap. 4 Funções e Gráficos

VOLUME E CORTE

No caso do problema que estudamos no exemplo anterior, a relação encontrada fornece o valor do volume da caixa para cada tamanho x do corte. Neste caso, dizemos que o volume V é uma função do corte x.

2. Determinar os pontos onde existe uma reta tangente horizontal ao gráfico da função encontrada no primeiro passo.

Este capítulo é destinado ao estudo destas correspondências especiais que relacionam as diversas variáveis que aparecem num problema, isto é, ao estudo das funções e seus gráficos.

Começaremos este estudo com alguns exemplos.

4.2 Exemplos Exemplo 1

Um dos problemas encarado como um passatempo até poucos anos atrás e que se tornou de importância crucial atualmente é o de transmitir mensagens codificadas, ou, em termos técnicos, criptografar mensagens. Este problema surge e revela toda a sua importância quando é necessário enviar dados sigilosos por meio de uma rede de computadores, saldos e senhas bancárias, informações pessoais, número de cartão de crédito, etc. E preciso criar, então, meios seguros de transmitir esses dados de modo que somente pessoas autorizadas tenham acesso a eles.

O primeiro passo para que seja criado um código seguro é estabelecer, de alguma maneira predeterminada, uma correspondência entre letras e números. Existem muitas formas de se definir tal correspondência, a mais simples das quais é dada pela tabela:

letras a b c d e V X z números 1 2 3 4 5 21 22 23

Essa tabela define uma correspondência que associa a cada letra do nosso alfabeto um único número natural entre 1 e 23. • Por essa correspondência, qual letra está associada ao número 15? • Qual o número correspondente a letra xl • Você é capaz de estabelecer uma correspondência diferente dessa que associe as letras do alfabeto aos números naturais? E claro que, para transmissão de mensagens, não se pode usar um código tão simples assim. O sigilo dos dados não estaria garantido, porque seria muito fácil descobrir a chave do código e então decodificar a mensagem. Por isso, em geral, depois dessa primeira etapa, em que se faz corresponder letras a números de maneira simples, os números obtidos são ainda operados algebricamente, usando-se regras conhecidas somente pelo receptor e pelo transmissor da mensagem.

Suponha que ao número obtido, usando-se a tabela anterior, sejam somadas 4 unidades e o resultado multiplicado por 3. • Após esta segunda etapa, qual seria o novo número associado à letra xl • Qual letra corresponderia ao número 42?

• Use o código estabelecido acima para "transmitir" a palavra mar.

Exemplo 2 Considere uma caixa d'água cúbica com base de 4m2 de área. Uma torneira aberta despeja água a uma vazão de

| m3/h. A que altura estará o nível de água 1 hora depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas? Vamos raciocinar juntos: Em primeiro lugar, note que o volume, assim como a altura do nível da água, varia com o tempo. Sabemos também

que o volume de água na caixa d'água em qualquer instante de tempo é igual à área da base da caixa vezes a altura do nível da água. Assim, denotando-se por V(t) e h(t) o volume e a altura do nível da água, respectivamente, num certo instante de tempo t teremos:

V(t) =4 h(t) Por outro lado, o volume de água que entrou até o instante t é igual à vazão vezes o tempo transcorrido (no nosso caso, t horas), isto é:

vM 4


Igualando as equações anteriores, obteremos:

Ht) =

Esta equação fornece a altura do nível da água em cada instante de tempo t. Portanto, para determinarmos a altura do nível da água para t = lh, t = 2h, t = 3h, ..., basta substituirmos t na equação anterior pelo valor desejado. Dizemos que a altura do nível da água depende ou é uma função do tempo. Essa dependência pode ser expressa em notação funcional pela expressão h(t) = que é chamada de representação analítica da função.

Usando o Maple teremos: Definição da função h(t):

> h :=t ->t /8 ;

Cálculo da função para vários valores de t.

> h(l ) ;h(2) ;h(3) ;h(a) ;h(qualquer_tempo) ; 1 1 3 1 1 - - - - a — qualquer .tempo 8 4 8 8 8 F

Uma outra maneira de representar funções é usando uma tabela. Para esse exemplo, teremos:

t 1 2 3 4 5 a h 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 a/8

Podemos, também, representar funções graficamente. Uma representação gráfica para a função h, definida neste exemplo, pode ser obtida por meio da tabela anterior, como vemos a seguir.

1 2 t 3 4 5

Repare que, como no caso de equações, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais que y = h(x), isto é, a abscissa representa a variável independente x , e a ordenada, o valor da função calculada nesse ponto. A expressão, ou fórmula, y = h(x) como já dissemos, é chamada de representação analítica da função h.

O gráfico anterior foi obtido calculando-se o valor de h(t) em alguns pontos particulares (por exemplo em í = 1,2,3,4 e 5 e ligando-se os pontos (1, h(l)), (2, h(2)), (3, h(3)), (4, h(4)) e (5, h(5)) por segmentos de reta. Esse método funciona sempre? (Veja no capítulo Retas Tangentes o projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções) Por que é um ótimo método nesse caso?

Exemplo 3 Determinar a área da região limitada pelas retas y = x, x = z e pelo eixo x, conforme mostrado na figura a seguir

à esquerda. Observe a animação apresentada na versão eletrônica deste texto para constatar que esta área depende da escolha de z. Neste caso, como a figura à esquerda é um triângulo retângulo e isósceles (explique!), sua área é dada pela fórmula A(z) = \ (por quê?) e temos a seguinte representação gráfica para A (z) à direita.

4.3 O conceito de função

Para resolver os problemas propostos nos exemplos da seção anterior, foi preciso deduzir uma lei ou fórmula matemática que determinasse precisamente a dependência existente entre as variáveis envolvidas em cada caso. Essa lei ou correspondência é o que chamamos de função.

Resumindo:

Sejam Del dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I.

Em particular, se os conjuntos Del forem conjuntos de números reais, a cada número real x de D deve corres-ponder, pela /, um único número real y em I.

O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domínio da função e o conjunto dos valores correspondentes de y chama-se imagem da função. O conjunto imagem portanto, é um subconjunto de /. 0 conjunto / é denominado contradomínio de /.

Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domínio, e chamar y de variável dependente, porque seu valor depende da escolha de x.

Observe que na definição de função exigimos que a cada elemento do domínio fosse associado um único (um e apenas um) elemento da imagem. A razão dessa exigência não se deve a nenhuma restrição matemática. E uma convenção que tem por origem as descrições de fenômenos físicos e biológicos que são feitas por funções do tempo, ou seja, funções cuja variável independente é o tempo. O tempo, como os físicos o concebem, é uma grandeza monótona estritamente crescente, isto é, que não volta nunca para trás, portanto, as relações que descrevem fenômenos físicos associam a cada tempo um só evento, dando origem à definição de função na forma como a entendemos hoje.

Exemplo 1 A correspondência que associa a cada número real x o seu quadrado x2 é uma função definida pela equação f(x) = x2. O domínio de / é o conjunto R de todos os números reais. A imagem de / consiste de todos os valores de f(x), isto é, de todos os números que são da forma x2. Como x2 > 0, qualquer que seja o número x, temos que a imagem de / é o conjunto { y € R; y > 0 } = [0, oo).

Exemplo 2 Se definirmos uma função por g(x) = x2 para 0 < x < 3, então o domínio de g é o intervalo fechado [0,3] e sua imagem é o intervalo [0,9]. Essa função é diferente da função dada no exemplo anterior, porque seus domínios e suas imagens são diferentes.

Nos exemplos 1 e 2, o domínio da função foi dado explicitamente. Se uma função é dada por uma fórmula e seu domínio não é indicado explicitamente, entende-se que o seu domínio é o maior possível, isto é, o conjunto de todos os números para os quais a fórmula faça sentido e defina um número real.

Exemplo 3 Ache o domínio da função f(x) = —^—. x2 — x

Solução Como f(x) = — = —-, r e a divisão por zero não faz sentido, vemos que / não está definida x2 — X x (x — 1)

quando i = 0 e i = l, Conseqüentemente, o domínio de / é { i 6 R ; i ^ 0, x 1} ou, em notação de intervalo, ( - o o , 0 ) U (0 ,1) U ( l , o o ) .

Exemplo 4 Ache o domínio de h(x) = \/2 — x — x2.

Solução Como no conjunto dos números reais raízes quadradas de números negativos não estão definidas, o domínio de h consiste de todos os valores de x para os quais 2 — x — x2 > 0 . Resolvendo esta inequação, temos que o domínio de h é

{ i é M ; - 2 < I < 1 } = [ -2 ,1 ] -

Como vimos na seção anterior, podemos representar uma função por uma tabela, por uma expressão matemática do tipo y = f(x), ou por um gráfico. Devido à importância da representação gráfica de uma função, iremos estudá-la com mais detalhes na próxima seção.

4.4 Gráficos de funções: Definição e exemplos

Como já vimos, o termo gráfico em matemática geralmente é usado quando estamos descrevendo uma figura por meio de uma condição que é satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representações gráficas mais comuns e importantes em matemática é o gráfico de uma função. Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos: gráficos de barras, correspondência

ou relação entre conjuntos e gráficos cartesianos. Como já vimos nos exemplos da seção anterior, o gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos

(x, y) do plano que satisfazem a condição y = f(x), ou seja, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma (x, f(x)), com x variando no domínio de /.

Os gráficos cartesianos permitem visualizar "a forma" geométrica de uma função e suas principais características. Além disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x, y) do gráfico de uma função / é igual ao valor desta função calculada em x, podemos obter o valor de f(x) por meio de seu gráfico. Este valor é, simplesmente, a altura do gráfico correspondente ao ponto x.

Veja a seguir alguns exemplos de gráficos de funções. Estes gráficos foram obtidos usando-se o comando plot do Maple.

Exemplo 1 Gráfico da função y — x1 Exemplo 2 Gráfico da função y = x3 — 3 x > plot(x~2-l,x=-2..2); > plot(x~3-3*x,x=-2..2);

0 gráfico de uma função é, portanto, uma curva plana. A questão que surge agora é: Qualquer curva plana representa o gráfico de alguma função? Para responder a esta pergunta, verifique quais das curvas a seguir representam gráficos de funções. (Lembre-se: uma função é uma correspondência especial que a cada ponto do seu domínio associa um único ponto na sua imagem.)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

- 0 . 2 -0.4 -0.6

As curvas anteriores que representam gráficos de funções são aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptam em mais de um ponto. Isto porque se uma reta vertical x = a intercepta uma curva em um único ponto (a,b ) , então há somente um valor definido para f(a), e este valor é b'. Se, por outro lado, a reta x = a intercepta a curva em mais de um ponto, então a curva não pode representar uma função porque, neste caso, dois valores diferentes estariam associados, pela função, a x = a. Agora responda: o gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo xl E em relação ao eixo yl O que representam os pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo xl

Exercício 1 Cada gráfico a seguir, representa uma função y = f(x). O que se pode concluir em relação ao número de raízes

reais da equação f(x) = 0 ? Em cada caso, determine os valores de x para os quais y > 0 e os valores de x para os quais y < 0.

Exercício 2 Observe ao lado os gráficos das funções y = 1 e y = x traçados em conjunto.

> p l o t ( [ l , x ] , x = - 2 . . 2 , c o l o r = [ r e d , b l u e ] ) ; • Determine, graficamente, o ponto de interseção das duas retas. • Como se podem determinar analiticamente os pontos onde o

gráfico dessas funções se interceptam?

Exercício 3 Na figura ao lado, estão representados em con-junto os gráficos das funções y = 2 (x — l)2 e y = x.

> p l o t ( [ 2 * ( x - l ) ~ 2 , x ] , x = - 2 . . 4 , co lor=[red .b lue] ) ; • Quais são os pontos de interseção dessas curvas?

Exemplo 3 Considere a função / definida por

í l - i se £<1 1 i2 se x > 1

Calcule /(O), / (1) e / (2) e esboce o gráfico desta função.

Solução Uma função é uma regra. Neste exemplo em particular, a regra é a seguinte: se x < 1, então o valor de f(x) é dado por 1 — x. Se, por outro lado, x > 1, então o valor de f(x) é dado por x2. Assim, temos que /(O) = 1 - 0 = 1, / (1) = 1 - 1 = 0 (repare que 1 < 1) e / (2) = 22 = 4. Para traçar o gráfico de / , observe que se a; < 1, então f(x) = 1 — x. Assim, a parte do gráfico de / que está à esquerda da reta vertical x = 1 coincide com a reta y = 1 — x, cuja declividade é —1 e a interseção com o eixo y é o ponto (0,1). Se x > 1, então f(x) = x2 e a parte do gráfico de / que está à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de y = x2, que é uma parábola. O gráfico desta função está esboçado na figura ao lado. O disco sólido indica que o ponto em questão faz parte do gráfico da função e o círculo vazio indica que o ponto não faz parte do gráfico.

Exercício 4 Ache uma fórmula para a função cujo gráfico é dado a seguir.

Exemplo 4 Considere agora a função y = ™™. Qual o seu domínio? Observe o gráfico dessa função traçado com a ajuda do Maple.

m

> p l o t ( ( x ~ 2 - l ) / ( x - 1 ) , x = - 3 . . 3 ) ;


2 I Compare o domínio de y = s~t com o de y = x+1. Este gráfico está correto? Esta função é igual à função

y = x + 1? Por quê?

Definição Dizemos que duas funções y = f(x) e y = g(x) são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x) = g(x) para

todos os valores de x do seu domínio comum.

Assim, no exemplo acima, as funções y = ^^ ey = x + 1 não são iguais porque têm domínios diferentes. O ponto 2 _ i x = 1 pertence ao domínio de y = x + 1, mas não pertence ao domínio de y = xx_{ •

4.5 Operando com funções Duas funções / e g podem ser combinadas para formar novas funções / + g, f — g, f g e de uma maneira análoga ao modo como somamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos números reais.

A soma f + g é definida pela equação (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Repare que o lado direito desta equação só faz sentido se f(x) e g(x) estão definidas, isto é, se x pertence tanto ao domínio de / quanto ao domínio de g. Assim, se o domínio de / é A e o domínio de g é B, o domínio de / + g é a interseção destes domínios, isto é, AC\B.

Note, ainda, que o sinal de + no lado esquerdo da equação indica uma adição de funções, mas o mesmo sinal do lado direito da equação indica a adição dos números reais f(x) e g(x).

Analogamente, define-se a diferença / — g e o produto / g, e seus respectivos domínios são também Af\B. Para definir o quociente £ de duas funções, devemos lembrar que a divisão por zero não faz sentido.

Em resumo: Sejam f e g duas funções com domínios A e B, respectivamente. Então, as funções / + g, f — g, f g e £ são definidas como se segue:

Função Domínio (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

f ( x ) - m g(x)

AnB AnB AnB

{x e AnB-, g(x) ^ 0 }

Operar com funções tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, se a função f(t) representa um registro de som, então a função 2 f(t) efetivamente amplifica este som por um fator de 2. Este é o princípio por detrás do processo de digitalização de sinais de vídeo e de audio. Se f(x) representa um sinal de vídeo e g(x) representa um outro, então f(x) + g(x) representa os dois sinais sobrepostos. Combinando^se a operação de adicionar funções com a operação de multiplicar funções por constantes, podem-se obter alguns efeitos interessantes. A seqüência abaixo representa uma seqüência de sinais de vídeo que começa com f(x) e então muda suavemente para g(x).

f(x) 0,9 f(x) + 0,1 g(x) 0,8/(2) + 0,2g(x)

0 ,1 / (2 ) + 0,9 g(x) 9(x)


Este efeito é freqüentemente usado em televisão e cinema para fazer a transição de uma cena para outra. Execute na versão eletrônica a animação correspondente e observe o efeito produzido!

O produto e o quociente de funções são úteis em diferentes contextos. Assim, se uma função f(t) descreve o consumo de energia per capita em um determinado país em cada período de tempo t, por exemplo, a cada mês, e a função p(t) fornece a população do país, então a função produto E(t) = f(t)p(t) fornece o consumo total de energia daquele país para cada período de tempo t. Da mesma maneira, se a função f(t) fornece a produção total de um país qualquer em um determinado período de tempo t e, como antes, a função p(t) fornece a população deste país, então o quociente C(t) = fornece a produção per capita de alimentos. Se uma região retangular muda de tamanho e se o seu comprimento e sua altura variam de acordo com as funções f(t) e g(t), respectivamente, em cada instante de tempo t, então a sua área é dada pelo produto A(t) — f(t) g(t).

Uma outra forma de combinarmos funções para obter uma nova função é por composição, que estudaremos mais tarde, no decorrer deste texto.

Exercício Em cada um dos itens abaixo ache f + g, f — g, fge^e seus respectivos domínios: (a) f{x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 - 1 (b) f{x) = VlTx, g{x) = ^l^x

4.6 Um pouco de história Em termos intuitivos, uma função é uma regra ou lei que nos diz como duas ou mais quantidades variam entre si.

Já no século XIII os filósofos escolásticos - que seguiam a escola de Aristóteles - discutiam a quantificação de formas variáveis. Entre tais formas, eles estudavam a velocidade de objetos móveis e a variação da temperatura de ponto para ponto de um sólido aquecido.

No século XIV, Oresme - teólogo e matemático francês - teve a brilhante idéia de traçar uma figura ou gráfico das grandezas que variam. Esta foi, talvez, a primeira sugestão do que hoje é chamado de representação gráfica de uma função.

A idéia de Oresme foi aprofundada mais tarde, no século XVII, por Fermat e Descartes, que definiram um sistema de coordenadas no plano, estabeleceram a correspondência entre uma equação f(x, y) — 0 e a curva plana consistindo de todos os pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem a equação dada e introduziram a noção de variável.

Em particular, Descartes verificou que uma relação algébrica do segundo grau tinha como imagem gráfica uma curva cónica, isto é, uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou uma circunferência.

Fermat também estudou as cónicas e estabeleceu que as retas são as curvas descritas por meio de uma relação algébrica de primeiro grau.

O estudo desses dois gênios contribuíram, significativamente, para estabelecer os fundamentos que permitiram, mais tarde, o desenvolvimento da teoria do Cálculo Diferencial e Integral, por Newton e Leibniz.

4.7 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labl.mws da versão eletrônica deste texto.

4.8 Exercícios 1. No exemplo 1 da seção Exemplos, estabelecemos uma correspondência entre as letras do alfabeto e um subcon-

junto dos números naturais. Essa correspondência define uma função / ? Qualquer correspondência define uma função? Você é capaz de dar outros exemplos de funções definidas em conjuntos não numéricos? E de funções definidas em conjuntos não numéricos tomando valores em conjuntos numéricos?

2. Nos exemplos 2 e 3 da seção Exemplos, determine o domínio e a imagem de cada função.

3. (a) Se f(x) = 2x2+3x-4, ache /(O), / (2), /(v/2), / ( I + v/2), f{-x), 2 f(x) e / ( 2 x ) . (b) Se g(x) = x3 + 2x2 - 3, ache 0(0), g(3), g{-x) e g( 1 + h).

4. Em cada um dos itens abaixo ache f(2 + h), f(x + h) e (a) f(x) =x-x2 (b) f(x) = ^

5. O domínio de uma função / é { 1,2,3,4, 5,6 } e / (1) = 2, f(2) = 1, / (3) = 0, / (4) = 1, / (5) = 2 e / (6) = 4. Qual é a imagem de / ?

6. Ache o domínio e a imagem das seguintes funções: (a) f(x) = 2x + 7, -1 < x < 6 (d) h{x) = y/2x-h (g) F(x) = 1 - V® (b) /(a;) = 6 - 4 ® , -2<x<3 (e) F{x) = Vl ~ x2

(c) 9(x) = 3 ^ 5 (f) h{x) = (7 - 3 x) i

7. Ache o domínio das seguintes funções:

(a) / ( * ) = (d) (g) V W + 1

(b) g(x) = {X2-QXY (e) g{x) = Vx2-2x-8 (h)

(c) f(x) = ^ ^ (f) f(x) = ^

8. (a) A expressão y = define y como função de x? Em caso afirmativo, qual o seu domínio e qual a sua imagem?

(b) Idem para y = x2 + x + 1?

(c) Esboce o gráfico das funções dadas nos itens anteriores.

9. Sob que condições a expressão y2 + x2 = 1 define y como função de x?

4.9 Problemas propostos 1. Um industrial deve fabricar latas cilíndricas tampadas com um volume fixo V. O material usado custa R$0,50

o m2. Determine o custo unitário das latas como função de seu raio.

2. De um pedaço de papelão quadrado com L cm de lado, deve-se construir uma caixa sem tampa de base quadrada. Determine a área lateral da caixa como função de sua altura.

3. Um arame de comprimento L deve ser cortado em dois pedaços. Com um dos pedaços constrói-se um quadrado e com o outro um triângulo equilátero. Determine a soma das áreas dessas figuras como função do comprimento de um dos pedaços.

4. Na escala Fahrenheit, para medir temperaturas, a água congela a 32° e ferve a 212°. Na escala centígrada, a água congela a zero grau e ferve a 100°. Ache uma lei matemática que possa ser usada para converter graus centígrados em Fahrenheit.

5. Um boêmio perambulando pela calçada numa noite escura observa ao passar sob um poste iluminado que o comprimento de sua sombra depende da sua posição em relação ao poste. Sabendo que o comprimento do poste é a metros e a altura do boêmio é de b metros, determine o comprimento da sombra como função da posição do boêmio em relação ao poste.

6. (a) Uma função / é dita crescente quando f(x) cresce à medida que x cresce, isto é, quando o gráfico de / ascende para a direita. Essa condição deve valer para todo x no domínio de /. Quando essa condição vale somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que / é crescente naquele intervalo. Como se pode exprimir essa condição matematicamente? Dê exemplos de funções crescentes.

(b) Uma função / é dita decrescente, quando f(x) decresce à medida que x cresce, isto é, quando o gráfico de / descende para a direita. Essa condição deve valer para todo x no domínio de /. Quando essa condição vale somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que / é decrescente naquele intervalo. Como se pode exprimir essa condição matematicamente? Dê exemplos de funções decrescentes.


7. Uma função / é dita par se /(—x) = f(x) para todo x de seu domínio e é dita ímpar se /(—x) = —f(x) para todo x de seu domínio. Nos dois casos, entende-se que —x está no domínio de / toda vez que x está. Determine se cada uma das funções a seguir, ou nenhuma da duas, é par ou ímpar. (a) f(x) = x3 (c) / ( x ) =x2 + l (e) / ( x ) = x (x3 + x) (b) f(x) = \x\ (d) / ( x ) = x (x + 1)

(f) Trace o gráfico de cada uma das funções acima. Confira a sua resposta usando o comando plot do Maple. (g) Qual o aspecto geométrico característico do gráfico de uma função par? E de uma função ímpar? (h) O que se pode afirmar a respeito da soma de funções pares? E de funções ímpares? (i) O que se pode afirmar a respeito do produto de funções pares? E de funções ímpares? E do produto de

uma função par por uma função ímpar?

8. A figura mostra a parte situada à direita do eixo y do gráfico de uma função / .

Trace o gráfico de / no intervalo [—5, 5] se

(a) / é uma função par. (b) / é uma função ímpar. Nesse caso, quanto vale /(O)?

(Veja Atividades de laboratório:Funções e Gráficos- Atividade 3.)

9. A figura a seguir representa o gráfico de uma função / , definida no intervalo [—4,4], como a união dos segmentos de reta que ligamos pontos ( - 4 , - 1 ) , ( - 3 , - 2 ) , ( - 2 , - 2 ) , ( - 1 , 1 / 2 ) , (0,1) , (1,2) , (2,0) , ( 3 , - 1 ) , (4,0) .

2

/ A / \

\ \

-* /

\ / -2

V

(a) Quais os valores de x para os quais / ( x ) = 0? (b) Em cada um dos itens abaixo, esboce os gráficos das funções definidas a partir de / , identificando, em cada

caso, a transformação geométrica ocorrida no gráfico de / . Você é capaz de justificar analiticamente a sua resposta? (Veja Atividades de laboratório: Funções e gráficos - Atividade 1.)

i. fi (x) = - / ( x ) iv. / 4 (x) = 2 / ( x ) vii. f7(x) = f(x - 1) ii. /2 (x) = / ( - x ) v. f5(x) = f(x) + 1 viii. / 8 (x) = | / ( x ) |

iii. / 3 (x) = -f(-x) vi. / 6 (x) = f(x + 1) ix. / 9 (x) = /(| x I)

10. Trace o gráfico de cada uma das funções abaixo. Não marque pontos! Comece com um gráfico de uma função que você conheça e então aplique, neste gráfico padrão, as transformações apropriadas (translações, reflexões, dilatações, etc.). (a) y==± = (h) y = \ x2 - 2x | +i (b) y = - x 3 (f) y = (i) y = yJx + 2 (c) y = 1 + V2 (g) y = x2 + x + 1 (j) y = 1 + 2x + x:

(d) y = (x - l)3 + 2 (k) y = TJ\X\


11. O símbolo [x] é usado para indicar o maior inteiro que é menor ou igual a um número real x. Por exemplo, [1] = 1, [2,1] = 2, [7T] = 3 e [—1,7] = —2. Esboce os gráficos das funções abaixo no intervalo (—4,4): (a) y=[x] (b) y = x - [z ]

12. Quando um foguete de provas é lançado, o propelente queima durante alguns segundos, acelerando o foguete para cima. Após a queima total do combustível, o foguete ainda continua subindo durante um certo tempo, e então inicia-se o período de queda livre de volta à Terra. Uma pequena carga explosiva arremessa um pára-quedas logo após o foguete começar a descer. O pára-quedas diminui a velocidade de queda do foguete o suficiente para evitar que ele se quebre ao aterrissar. O gráfico abaixo, representa a velocidade desenvolvida pelo foguete a partir do seu lançamento. Use o gráfico para responder às perguntas abaixo:

(a) Com que velocidade o foguete subia quando o motor parou? (b) Durante quantos segundos o motor funcionou? (c) Quando o foguete atingiu a sua maior altura? Qual era a sua velocidade nesse momento? (d) Quando foi lançado o para-quedas? (e) Com que velocidade o foguete estava caindo nessa ocasião?

13. No capítulo Alguns Problemas do Cálculo, vimos que podemos aproximar a área da região limitada pelo eixo x por duas retas verticais quaisquer e uma curva dada, aproximando-a pela soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos. Determine a área aproximada da região limitada pela parábola y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 em função do

(a) número de retângulos inscritos na região. (b) número de retângulos circunscritos à região.

Sugestão: Considere, em cada caso, n retângulos de base igual a ^ e use a notação de somatório para expressar a soma das áreas dos retângulos considerados.

(c) Repita esse exercício para a região limitada pela parábola y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = h. (d) Uma reta que intercepta uma parábola em dois pontos define uma região do plano chamada de setor

parabólico. Há dois milênios, Arquimedes descobriu um método de achar a área de um setor parabólico. Mostre que o problema de achar a área de um setor parabólico é equivalente ao problema descrito nos itens anteriores, isto é, calcular a área da região limitada pela parábola, duas retas verticais e o eixo x. Veja a figura abaixo.

\

14. No Capítulo Alguns Problemas do Cálculo, vimos que podemos aproximar o comprimento de um arco de curva por segmentos de reta cujas extremidades são pontos do arco em questão. Determine um valor aproximado para o comprimento do arco de parábola y = x2, definido no intervalo [0, 1 ], em função do número de subdivisões do arco. Use, como no problema anterior, a notação de somatório.

4.10 Para você meditar: Circunferências podem ser quadradas? A distância entre dois pontos do plano pode ser definida como uma função d que a cada par de pontos Pi e P2 associa um número real positivo, com as seguintes propriedades:

1. 0 < d(Pi, P2) e d(Px, P2) = 0 se e somente se Pi = P2.

2. d(P1; P2) = d(P2, Pi) (Simetria).

3. d(P-\, P2) < d(Px, P3) + d(P3, P2), onde P% é um ponto do plano. (Desigualdade Triangular.)

Essas condições somente traduzem em linguagem matemática as propriedades que intuitivamente esperamos de uma função-distância:

1. A distância entre dois pontos deve ser sempre positiva e só deve se anular quando os pontos coincidirem.

2. A distância medida de um ponto Pi até um ponto P2 deve ser a mesma, quer essa medida seja feita de Pi a P2 ou de P2 a Pj.

3. Essa propriedade nos diz simplesmente que, dados três pontos no plano, qualquer lado do triângulo por eles formado é menor que a soma dos outros dois. Por isso essa desigualdade é chamada desigualdade triangular. Em que caso vale a igualdade?

Num sistema de coordenadas cartesianas, a função que usualmente empregamos para medir a distância entre dois pontos Pi e P2 de coordenadas (xi, y\) e (x2, y2), respectivamente, é dada pela fórmula

d(Pi, P2) = d((xi, j/i), (x2, y2)) = \J(x2 — xi)2 + (y2 — yi)2

que é uma decorrência do teorema de Pitágoras da geometria euclidiana plana, e por isso é chamada de distância euclidiana.

• Verifique que a função que define a distância euclidiana no plano satisfaz as três condições dadas acima, e portanto é uma boa função para medir distâncias. Qual o seu domínio e qual a sua imagem?

Existem outras funções que satisfazem as propriedades acima e que, portanto, podem ser empregadas para medir distâncias no plano.

• Verifique que a função d\(P\, P2) = c?i((xi, í/i), (x2, y2)) = |xi — x2| + \y\ — y2\ pode ser empregada para medir distâncias no plano.

Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado centro da circunferência, e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Usando a distância euclidiana, que é definida no Maple pelo comando distance do pacote student, e a propriedade geométrica que caracteriza esse lugar geométrico, traçamos o gráfico da circunferência de centro em (0,0) e raio 1 e calculamos a sua equação.

> distance([0,0],[x,y])=1;

1/x2 + y2 = 1


— Usando a distância d\ e a propriedade geométrica que caracteriza a circunferência de centro em (0,0) e raio 1, trace o gráfico e escreva a equação dessa circunferência. (Usando o Maple, utilize o comando abs para calcular a distância di.)

— Você é capaz de explicar por que a circunferência agora é um "quadrado" ?

4.11 Projetos

4.11.1 Melhor escolha (1) Um provedor oferece aos seus associados 4 planos diferenciados de pagamento para acesso à Internet, de acordo com a tabela abaixo:

Assinatura mensal (R$)

Tempo de acesso incluído (h)

Taxa por hora adicional (R$)

Plano Laranja 17,95 0,73 Plano Verde 27,95 15 0,53 Plano Azul 49,95 60 0,35

Plano Vermelho 75,95 150 0,35

• Qual dos planos é o mais econômico se você pretende acessar a Internet durante cerca de 45 h por mês?

• Deduza, em cada caso, a tarifa paga em função das horas de acesso.

• Esboce os gráficos das funções deduzidas no item anterior usando a mesma janela para os quatro planos.

• Note que a escolha do plano mais econômico varia de acordo com o número de horas de acesso à Internet. Decida para quais faixas de uso cada um dos planos é o mais econômico.

4.11.2 Contas a pagar As companhias fornecedoras de luz, água, telefone em geral fazem a cobrança pelo fornecimento residencial segundo faixas de consumo como descrito na tabela abaixo para o fornecimento de água:

Faixa de consumo (m3) Tarifa (R$m3) 0 - 1 5

acima de 15 até 25 acima de 25 até 40

0,353 0,696 1,153

Fonte: CEDAE - Fevereiro/96

• Que valor deve ser cobrado a uma família que consumiu 38 m3 de água?

• Compare o seu resultado com o valor real cobrado pela CEDAE: R$37,68.

• Sabendo que, além do fornecimento de água, a CEDAE cobra uma taxa fixa pelo tratamento do esgoto domiciliar, calcule qual a taxa de esgoto cobrada no caso acima.

• Explicite a tarifa cobrada em função da quantidade de água consumida e esboce seu gráfico.

O imposto de renda também é cobrado de acordo com a faixa de renda das pessoas físicas com base na tabela a seguir:

Faixas de renda (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$) Até 8803,44 Isento —

Acima de 8803,44 até 171666,30 15% 1320,52 Acima de 17166,30 até 158457,39 26,6% 3313,45

Acima de 158457,39 35% 16622,63 Fonte: Receita Federal - Ano base 1995


• Você é capaz de explicar o que significa a parcela a deduzir nesta tabela?

• Calcule, explicitamente, o imposto cobrado em função da renda.

• Complete, com as parcelas a deduzir, a tabela anual do Imposto de Renda (1991).

Faixas de renda (*) Alíquota (%) Parcela a deduzir (*) Até 328628,00

Acima de 328628,00 até 1095408,00 Acima de 1095408,00

isento 10% 25%

(*) Em unidades monetárias da época.

4.11.3 Melhor escolha (2) Um produtor teatral precisa decidir se monta sua próxima peça num teatro da Zona Sul do Rio de Janeiro ou se opta por um teatro na Zona Norte. Para tomar tal decisão, ele levantou os seguintes dados:

Teatro Zona Sul Teatro Zona Norte Investimento inicial

(cenários, figurinos, ensaios, propaganda, administração,etc.)

Despesas Semanais (aluguel do teatro, salários,aluguel

de luzes e som, pagamento de royalties e comissões, etc.)

Capacidade do teatro Preço do Ingresso

R$129500,00

R$7025,00 200 lugares

R$15,00

R$44000,00

R$1750,00 100 lugares

R$10,00

A peça será apresentada durante 6 dias na semana e estima-se que seja possível vender 75% dos ingressos em ambos os teatros.

Seja Y± o lucro ou a perda da produção na Zona Sul e seja Y2 o lucro ou a perda da produção na Zona Norte.

• Expresse Y% e Y2 como função do número X de semanas em que a peça permanece em cartaz.

• Calcule, em cada caso, quantas semanas a peça deverá permanecer em cartaz para que o produtor não tenha prejuízo.

• Refaça o cálculo do item anterior se for possível vender 100% dos ingressos.

• Suponha que em ambas as produções seja possível vender C% dos ingressos semanais. Em cada um dos casos estudados determine:

— o número X de semanas, em que a peça deverá permanecer em cartaz para que a produção não dê prejuízo, como função de C.

— o menor valor de C para que não haja prejuízo.

Seja P\ o lucro ou prejuízo da produção na Zona Sul, X semanas após a noite de estréia, expresso como uma porcentagem do investimento inicial. Seja P2 essa mesma porcentagem para a produção na Zona Norte.

• Expresse Pi e P2 em função de X (considere que 75% dos ingressos são vendidos).

• Esboce os gráficos de Pi e P2 na mesma janela.

• Discuta o que acontece com Pi e P2 quando X aumenta.

• P- será maior que P2 para algum valor de XI O que se pode concluir daí?

Capítulo 5

Retas Tangentes

5.1 Conceituação No capítulo Alguns Problemas do Cálculo, vimos que a reta tangente tem um importante significado físico e geométrico e que portanto, é necessário saber defini-la e determinar a sua equação.

0 problema que temos é o seguinte: considere uma função / e Po = (xo, f ( x o ) ) um ponto qualquer do seu gráfico. Em primeiro lugar, desejamos definir sem ambigüidades o que entendemos por reta tangente ao gráfico de /, passando por P0-

Como já discutimos, embora a idéia geométrica de reta tangente seja bastante intuitiva, existem dificuldades para chegarmos a uma definição conceituai. Procurando atingir este objetivo, vamos usar o Maple para observar o comportamento da curva, nas proximidades do ponto de tangência, numa escala microscópica. Nesse sentido, vamos traçar vários gráficos de uma mesma função dando zooms sucessivos em torno do ponto de tangência, isto é, vamos usar o Maple como um microscópio para observar a região do gráfico marcada pelo quadradinho, aumentando, a cada passo, a potência da lente usada.

- 4 - 3 - 2 - 1

-2.4 -2.2 - 2 -1.8 -1.6

Os gráficos a seguir mostram esta mesma técnica usada com a função cúbica f(x) = xs, nas proximidades do ponto (0,0).

Pela análise dos exemplos acima, parece razoável, e vamos definir reta tangente a uma curva em um ponto dado como a reta que se confunde com a curva próximo ao ponto de tangência. Levando em conta esta definição, é possível garantir a existência da reta tangente em qualquer ponto de uma dada curva?

55

56 Cap. 5 Retas Tangentes

Para responder a esta pergunta, observe o que acontece com a função f(x) = | x \, para valores de x próximos de x0 = 0.

Veja que por mais que aumentemos a escala usada para traçar este gráfico, a figura continua sempre a mesma, isto é, sempre conseguiremos distinguir qualquer reta que passe pela origem do gráfico da função módulo. Neste caso, e de acordo com a definição a que chegamos acima, não existe reta tangente à curva y = j x | no ponto (0, 0). O problema surge porque, neste ponto, a curva forma um "bico", o que torna impossível a existência de uma reta que se confunda com o gráfico da função neste ponto. De um modo geral, existe uma única reta tangente a uma dada curva em todos os pontos onde esta curva é "suave", ou seja, onde não existam "bicos".

5.2 Declividade Uma vez que chegamos a uma definição aceitável de reta tangente, o problema que se põe agora é: conhecendo-se o ponto de tangência, Po = (xo, Vo) • como determinar a equação da reta tangente à curva nesse ponto?

Em primeiro lugar, qualquer que seja a equação da reta tangente, ela deve conter o ponto Po- Veja o gráfico a seguir.

Como qualquer reta não-vertical passando por Po tem uma equação da forma y — y0 = M(x — XQ), a equação da reta tangente que passa por ( xo, f{xo)) é y — f(x0) = m (x — x0) onde m é a sua declividade. O problema, portanto, se resume em determinar o coeficiente angular dessa reta. Como não temos dados para calcular tal coeficiente, a idéia é aproximar o seu valor pelo coeficiente angular de uma reta que podemos determinar e que está próxima da reta tangente. Neste caso, a reta secante que passa por Po = (x0 , f(x0)) e por Pi = (xo + h, f(xo + h)), um outro ponto qualquer da curva.

Observe a animação a seguir para concluir que à medida que o ponto Pi se aproxima do ponto P0, a reta secante que passa por estes dois pontos se aproxima da reta tangente.


Portanto, podemos aproximar a declividade da reta tangente pela declividade da reta secante, e esta aproximação pode ser melhorada cada vez mais, bastando para isso considerarmos o ponto Pi cada vez mais próximo do ponto Po.

Repare que a declividade da reta secante que passa por Pi e por Po é dada por

f(xo + h) - f(xo) h

Logo, para h suficientemente pequeno (se h é pequeno, o ponto Pi estará bastante próximo de Po), podemos tomar a razão acima como uma aproximação para a declividade m da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto Po-

Essa idéia foi usada por Fermat em 1629, quando, desse modo, ele encontrou uma maneira de construir tangentes a uma parábola. Embora Fermat tenha deduzido o seu método para parábolas, ele pode ser aplicado a outras curvas planas.

Para ilustrar como funciona o Método de Fermat, vamos executá-lo, passo a passo, com a ajuda do Maple, no caso particular em que f(x) = —x2 + 5x e P0 é o ponto (1,4) .

1. Primeiro, defina a função y = f(x) e o ponto Po: > f:=x -> -x~2 + 5*x;

/ : = £ — > —x2 + 5 2 > ptO] := [ x[0] , f (x[0] ) ] ;

Po ••= [1, 4]

2. Determine um outro ponto qualquer do gráfico. Chame este ponto, por exemplo de Pi: > xl:=x0+h;

xx :— 1 + h > pl := [ x[l] , f(x[l]) ] ;

px := [1 + h, ~{l + h)2 + 5 + 5/i]

3. Determine o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos Po e P\. Para isso, podemos usar o comando slope do pacote student:

> m : = slope ( p[0], p[l] );

— 1 + (1 + h)2 — 5h m ' - = h

Repare que no quociente acima temos necessariamente h 0. Esta restrição algébrica se traduz geometricamente pelo fato de serem necessários dois pontos distintos para se determinar uma reta (se h = 0 o ponto Pi coincidiria com o ponto Po!).

4. Agora, basta estudar o comportamento de m quando h tende a zero, isto é, quando o ponto Pi se aproxima do ponto Po. Para isso definimos uma seqüência de valores positivos de h que se aproximam de zero (dessa maneira estamos escolhendo o ponto Pi à direita de Po e fazendo este ponto se aproximar cada vez mais de Po) e calculamos, para cada h, os respectivos valores de m.

> valores_h := evalf([seq( 1/lCTi, i=0..5)]);

valores_h := [1., .1000000000, .01000000000, .001000000000, .0001000000000, .00001000000000]

> seq( evalf (m), h=valores_h );

2.000000000, 2.900000000, 2.990000000, 2.999000000, 2.999900000, 3.000000000

A lista de valores acima sugere que quando /i —> 0 o coeficiente angular m parece se aproximar de 3.


5. Repita o procedimento acima para h negativo, isto é, tome agora pontos à esquerda de Po-

> valores_h := evalf([seq( -l/10~i,i=0..5)]);

valores.h := [ -1 . , -.1000000000, -.01000000000, -.001000000000, -.0001000000000, -.00001000000000]

> seq( evalf (m), h=valores_h );

4.000000000, 3.100000000, 3.010000000, 3.001000000, 3.000100000, 3.000010000

Nesse caso é possível afirmar que à medida que h se aproxima de zero, quer por valores maiores que zero, quer por valores menores que zero, os valores do quociente m, isto é, a declividade da reta secante à curva que passa por Pi e Po, se aproximam de 3. Além disso, esses valores podem se aproximar arbitrariamente de 3, bastando para isso que escolhamos h suficientemente próximo de zero. Esta última afirmação equivale a dizer que podemos tornar a reta secante arbitrariamente próxima da reta tangente, bastando para isso escolher o ponto Px suficientemente próximo do ponto de tangência Po. Para ilustrar essa situação, traçamos abaixo o gráfico da reta secante em conjunto com o gráfico da função, para valores de h cada vez mais próximos de zero.

1.2 1.4 1.6 1.E

No exemplo acima, vimos que a declividade da reta secante que passa pelos pontos P0 = (x0, f(x0)) e Px (XQ + h, f(Xo + h)) é dada por

f(xo + h)~ f{xo) h

para h j í 0, ou equivalentemente, m - f(xo)

X — XQ

onde x = x0 + h e x XQ. Quando o ponto Px se aproxima do ponto P0, a declividade da secante se aproxima da declividade da reta tangente. E claro que, quando o ponto Px se aproxima de P0, x se aproxima de x0. O problema então é descobrir o que acontece com o quociente o*0"* quando x se aproxima de x0. Na seção abaixo estudaremos este problema para o caso de uma parábola geral.

5.3 O problema da tangente à parábola Na seção anterior calculamos a inclinação da reta tangente à parábola y = — x2 + 5 x num ponto particular. Vamos tentar resolver este problema no caso geral.

Considere a parábola y = ax2 + bx + ce um ponto (XQ, /(®o)) do seu gráfico. Como vimos na seção anterior, um bom método para determinar a declividade da reta tangente a esta parábola no ponto dado é estudar o que acontece com a declividade das secantes que passam pelos pontos (XQ, f(xa)) e (x, f(x)) à medida que x se aproxima de xo, isto é, precisamos estudar o comportamento do quociente

mx = f(x)-ttx o) X — XO

quando x se aproxima de Xo- Repare mais uma vez que este quociente não está definido em x = Xo e que, portanto, não adianta substituirmos, na expressão acima, x por xo, porque isso resultaria numa expressão sem significado. Devemos pensar que x chega muito perto de XQ, mas permanece distinto dele.


No exemplo particular da seção anterior, vimos que é fácil usar o Maple para gerar uma seqüencia de valores para esse quociente e então, a partir desses valores, tentar tirar conclusões sobre o seu comportamento. Nesse caso geral, vamos tentar encontrar para esse problema uma solução que se aplique quaisquer que sejam os valores de a, b e c dos coeficientes da parábola e qualquer que seja o ponto (XQ, F(Xo)) dado.

Assim, calculando e simplificando a razão acima, temos que

> mx:=(a*x~2+b*x+c-(a*x[0]~2+b*x0+c))/(x-x[0]);

a x2 + b x — a xo2 — bxo mx :=

x — xo

> mx:=collect(mx,[a,b]);

x — Xo

> mx:=simplify(mx); mx := axo + b + ax

> mx:=collect(mx,a); mx := (xo + x) a + b

Repare que, conhecidos os valores de a, b e xo, a expressão acima depende somente de x, definindo mx como função de x. Vamos, então, estudar o comportamento da função MX à medida que x se aproxima de XQ. (Repare, mais uma vez, que todos os cálculos que foram feitos valem somente para i / i o e que, portanto, esta função não está definida para x = XQ).

Primeiro definimos a função mx , como se segue:

> mx:=x->a*(x+x[0])+b; mx := x —> a (x + Xo) + b

e a seguir, fazemos x se aproximar de XQ:

> x_valores:=[seq(x[0]+h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001])] ; x.valores := [x0 + .1, x0 + .01, x0 + .001, x0 + .0001, x0 + .00001]

Nesta primeira seqüencia que geramos, x se aproxima de X(> pela direita, isto é, por valores maiores que XQ. Observe, agora, o que acontece com os correspondentes valores de mx.

> map(mx,x_valores);

[a (2 xo + .1) + b, a (2 x0 + .01) + b, a (2 x0 + .001) + b, a (2 x0 + .0001) + b, a {2x0 + .00001) + 6]

Na seqüencia a seguir, x se aproxima de XQ pela esquerda, isto é, por valores menores que XQ.

> x_valores:=[seq(x[0]-h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001]) ] ; x.valores := [xo — .1, xo — .01, Xo — .001, xo — .0001, Xo — .00001]

Observe, novamente, o que acontece com os correspondentes valores de mx.

> map(mx,x_valores);

[a (2 xo - .1) + b, a (2 x0 - .01) + b, a (2 x0 - .001) + b, a (2 x0 - .0001) + b, a (2x0 - .00001) + 6]

Notamos que, à medida que x se aproxima de xo, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de mx se aproximam de 2 ax0 + b; mais do que isso, os valores de mx podem ficar tão próximos de 2 a x0 + b quanto quisermos, bastando para isso que x esteja suficientemente próximo de XQ. (Veja este resultado animado graficamente na versão eletrônica.)


Matematicamente, esse comportamento se traduz pela expressão,

lim mx = 2 axo + b. x—>x o

(Lê-se: limite de mx quando x tende a x o é 2 a x o + &.)

Assim, para calcular a declividade da reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto (xo, f(xo)) do seu gráfico, basta estudar o comportamento do quociente mx = ^ ^ Z ^ 0 ^ quando x se aproxima de xo, ou, em linguagem ma-temática, é preciso calcular o valor de

m = lim mx . X—>XO

O valor desse limite que representa geometricamente a declividade da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (xo,/(xo)), é usualmente denotado por f'(xo) (lê-se: / linha de xo) para enfatizar a sua dependência da função / e do ponto Xo e define, como veremos adiante, a partir da função / , uma nova função, chamada derivada de / . Portanto, para calcularmos a declividade de retas tangentes a curvas e, conseqüentemente, estudarmos a derivada de uma função, é preciso conhecer um pouco mais sobre a teoria dos limites, o que faremos no próximo capítulo.

Exercício

(a) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto (a, f(a)). (Observe algumas destas retas traçadas no gráfico a seguir.)

(b) Os gráficos traçados no item anterior parecem sugerir que cada reta tangente intercepta o gráfico da parábola em um único ponto. Prove, analiticamente, este fato, isto é, mostre que a reta tangente à parábola y = x2, cuja equação você achou no item anterior, intercepta o gráfico desta curva no ponto (a, a2), sendo este o único ponto de interseção destas duas curvas.

Observação: Neste sentido, a parábola é uma curva muito especial. Em geral, a reta tangente a uma curva

5.4 Uma nota histórica: A falha lógica no raciocínio de Fermat ou o porquê de limites

Vamos calcular a declividade da reta tangente à curva y = x5 — 9x3 no ponto (1, —8), da mesma forma como Fermat fazia este cálculo no início do século XVII.

Em primeiro lugar, vamos definir a função / e calcular o quociente mx , como se segue: > f:=x->x~5-9*x"3;

/ := x —> x5 - 9 x3


_f(x + h)- / ( x ) _ (1 + hf - 9 (1 + hf + í TYLX — h h

A seguir, Fermat simplificava a expressão acima: > simplify(m[x]);

—22 — 17 h + h2 + 5h3 + h4

Essa expressão fornece a inclinação da reta que corta a curva nos pontos (1, / (1)) e (1 + h, / ( l + h)). Para Fermat, a declividade da reta tangente à curva y — f(x) era o resultado do cálculo do valor dessa última expressão em h = 0.

Seguindo os passos de Fermat teríamos: > subs(h=0,'/.);

- 2 2 Esse processo pode ser generalizado para obter a declividade da reta tangente à curva y = / ( x ) em um ponto

(xo, f(xo)) arbitrário. Seguindo os mesmos passos anteriores, temos: > m: = (f (x[0]+h)-f (x[0]))/h;

(ar0 + hf - 9 (x0 + hf - x05 + 9 x03 m := - —

h > simplify(m);

5x0 4 + 10x0 3h + 10x02 h2 + 5x0h3 + h4 - 27x02 - 27x0h~9h2

> subs (h=0,7.);

5x0 4 - 27 x0 2

Durante toda a sua vida e por um século e meio após a sua morte, o raciocínio de Fermat foi atacado por todos os matemáticos por conter uma falha lógica. A dificuldade era e continua sendo real. A falha do raciocínio de Fermat estava na substituição de h por zero somente após uma simplificação do quociente das diferenças. Qualquer tentativa de se fazer tal substituição antes de se cancelar o h que aparece no denominador da fração resulta numa expressão sem sentido matemático, do tipo Da maneira como Fermat fazia a conta, h valia zero quando ele queria que assim o fosse, mas não era zero quando este valor atrapalhava a prova. Mais especificamente, a igualdade

(x + hf — 9 (x + hf — X5 + 9 X3 = 5a;4 + 10x3 h + 10x2h2 +5xh3 + h4_ _21xh-Qh2

h

só é verdadeira para valores de h 0 . Fermat não permitia que h fosse zero no lado esquerdo da igualdade, mas, ainda assim, substituía h por zero no lado direito da mesma igualdade, o que consistia em uma clara contradição matemática no seu raciocínio!

Com o desenvolvimento da Teoria dos Limites, esse impasse lógico foi superado. No entanto, isso só veio a acontecer no final do século XIX, quando a idéia de limite deixou de ser obscura e nebulosa e foi definida com rigor e precisão pelo matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897). (Veja o próximo capítulo.)

Por enquanto, para entender como é poderosa a idéia de limite, tente calcular a declividade da reta tangente à curva y — sen(x) no ponto x = 1 da mesma maneira como Fermat o fazia e depois calcule esta mesma declividade empregando o método de aproximação do quociente de diferenças para pequenos valores de h que empregamos para cálculos semelhantes por todo este capítulo. A que conclusões você pode chegar?

5.5 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo Labl_4.mws da versão eletrônica deste texto.

5.6 Exercícios 1. (a) Encontre a equação da reta tangente à parábola í/ = 2 x 2 + 4 x + 5 no ponto (—1,3).

(b) Encontre os pontos onde a inclinação da reta tangente à parábola do item anterior é horizontal.


2. Nos itens abaixo, ache todos os pontos da curva y = / ( x ) nos quais a reta tangente é horizontal. (a) / ( x ) = 10 - x2 (d) f(x) = x - £ (b) f(x) = x2-2x + l (e) / ( x ) = 2x (x + 3) (c) f(x) =2x2 - 3 x + 4

3. (a) Esboce vários gráficos de parábolas para comprovar que o seu vértice é o único ponto do gráfico onde a tangente é horizontal.

(b) Use o fato acima e a fórmula da declividade da tangente a uma função quadrática, encontrada neste capítulo, para demonstrar que o vértice da parábola y = ax2 + bx + céo ponto de coordenadas (— —

4. Ache a equação da reta tangente à parábola y = 2x2 + 1 que é paralela à reta Sx + y — 2 = 0.

5. Seja / ( x ) = ax2 + bx + c. Usando a fórmula f'(xo) = 2ÜXQ + b, deduzida neste capítulo, calcule f'(xo) para cada uma das funções dadas abaixo: (a) f(x) = 2 (d) / ( x ) = (2 x + l)2 - 4 x (b) / ( x ) = 4 x - 5 (e) / ( x ) = 2 x 0 + 3) (c) f(x) = 2 X 2 - 3 X + 4 (f) O valor encontrado nos itens (a) e (b) é coerente com o significado geométrico de /'(XQ)?

7 Problemas propostos 1. Ache as dimensões de um retângulo de perímetro igual a 100 cm, de tal modo que a sua área seja máxima.

2. Dada uma curva no plano definida por uma função y = f(x) e um ponto (a, b) que não pertence a esta curva, deve existir um ponto (xo, f(xo)) da curva que está mais perto do ponto (a, b). Veja a animação correspondente ao caso da curva y = x2 e do ponto (3,0), na versão eletrônica deste texto. Intuitivamente, o segmento que une o ponto (a, b) ao ponto (xo, / (xo)) deve ser perpendicular ou normal ao gráfico da curva neste ponto. Definimos reta normal ao gráfico de uma curva em um ponto (xo, yo) como sendo a reta perpendicular à reta tangente à curva naquele ponto.

(a) Qual a declividade da reta normal a uma curva y — f(x) no ponto (xo, / (xo))? (b) Escreva a equação da reta tangente e da reta normal à curva y — x2 no ponto (1, 1). (c) Escreva a equação da reta normal à curva y = x2 no ponto genérico (xo, f(xo))-(d) Use o item anterior para determinar o ponto da curva y = x2 mais próximo do ponto (3, 0).

3. Considere a parábola y = ax2 + bx + c e P(x0 , yo) um de seus pontos. Podemos traçar a reta tangente à parábola que passa por P da seguinte forma: Sejam Pi e P2 dois pontos da parábola com abscissas Xo — 1 e Xo + 1, respectivamente. A tangente procurada é a reta paralela à reta que passa por P1 e P2 e que contém P. Veja o gráfico:

Use a fórmula deduzida neste capítulo para a declividade de tangentes a parábolas e demonstre que a construção geométrica anterior é correta.

4. No gráfico seguinte, identifique:

(a) os pontos onde a declividade da reta tangente ao gráfico é zero.


(b) o ponto onde a reta tangente corta este gráfico. (c) os intervalos onde a declividade da reta tangente é positiva e os intervalos onde ela é negativa.

20

yio

/T\ b C

A a A l u

/ \ VI0 / \ / \ - 2 0

P X 4

(d) O sinal da declividade da reta tangente nos fornece alguma informação a respeito do comportamento da função / ? (Veja a resposta no capítulo sobre derivadas.)

5. (a) Ache as equações das duas retas que passam pelo ponto (0, — j ) e que são tangentes à parábola y = x2. (b) Prove analiticamente que não existe uma reta que passe pelo ponto (|,1) que seja tangente à parábola

y = x2.

6. O ponto P(4, 2) pertence ao gráfico da curva y = y/x.

(a) Se Q é o ponto (x, y/x) e, portanto, também pertence ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):

i. 5 iii. 4,1 v. 4,001 vii. 3,5 ix. 3,99 ii. 4,5 iv. 4,01 vi. 3 viii. 3,9 x. 3,999

(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva y = y/x no ponto P(4, 2).

(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = y/(x) no ponto P(2,4).

7. O ponto P(|,2) pertence ao gráfico da curva y = K

(a) Se Q é o ponto (x, e, portanto, também pertence ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):

i. 2 iii. 0,8 v. 0,5 vii. 0,555 ix. 0,49 ii. 1 iv. 0,6 vi. 0,55 viii. 0,45

(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva y = \ no ponto P(\, 2).

(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = ^ no ponto P(\, 2).

5.8 Para você meditar: Matemática, física, fórmula 1 e saber popular E muito difícil (e perigoso!) fazer curvas dirigindo um automóvel em alta velocidade (pergunte ao seu professor de física por quê), por isso os pilotos de Fórmula 1 procuram encontrar um traçado ótimo para cada circuito que consiste em suavizar as curvas, isto é, procurar guiar mantendo o carro o maior tempo possível em linha reta.

(a) O que esse percurso ótimo tem a ver com retas tangentes e traçados de gráficos?

(b) Por que um circuito de pista larga e curvas suaves é considerado de alta velocidade, enquanto um circuito de rua, como o de Mônaco, por exemplo, é de baixa velocidade?

O povo usa expressões e adota procedimentos comprovados empiricamente através de muitas gerações. Esse tipo de conhecimento é mais evidente entre, por exemplo, índios e homens do campo, cuja cultura ainda não foi "contaminada" pelo saber científico do homem moderno. Esses procedimentos podem ser explicados ou desmistificados à luz da Ciência.

(c) Explique matemática e fisicamente a expressão popular "sair pela tangente".


5.9 Projetos

5.9.1 Programando o computador para traçar gráficos de funções

(a) C o m o o Maple traça gráficos

Assim como a maioria dos alunos preguiçosos e que nunca estudaram Cálculo, o Maple traça gráficos de funções ligando pontos por segmentos de reta.

Como você já deve ter visto, o comando básico para o traçado de gráficos é p l o t ( e x p r e s s ã o , x=a. . b ) , onde [a,b] é o intervalo de variação de x. Veja a seguir como este comando funciona:

> f : = x - > - x ~ 2 + 5 * x :

> p l o t ( f ( x ) , x = - 2 . . 6 ) ;

A o receber esse comando, o Maple gera uma lista de pontos da forma (x, f(x)) e os liga por segmentos de reta. O computador, ao contrário da maioria dos alunos, obtém com esse método uma boa aproximação do gráfico da função desejada porque escolhe um número muito grande de pontos no intervalo [a, b].

O comando l p r i n t mostra a lista de pontos usada pelo Maple para traçar o gráfico acima.

> l p r i n t ( p l o t ( f ( x ) , x = - 2 . . 6 ) ) ;

PLOT(CURVES([[-2., -14.], [-1.825622766666667, -12.46101231950499], [-1.673898068333333, -11.17142508483673], [-1.503267776666667,

[-1.331506436666667, -7.149710117024233], [-.8379685350000001, -3.787813649181611], [-.3250619133333332, -.8884558014797285] ,

-9.776152891697677], [-1.160561448333334, -6.014519231324652], [-.6682508816666668, -2.744465940978576], [-.1717888766666666,

-8.430441574218097], [-1.002073561666667, -4.892033940650046], [-.4990775150000002, -1.730974814166593], [.7602599999998461e-3,

.3800722004731630e-2], [.1740178999999999, .8398072704795898], [.3409837400000000, 1.588648789055612], [.4926047183333333,

[.6728967266666666, 3.446477423317673], [1.160551506666666, 4.888326057939299], [1.668820916666667, 5.796056236958666],

2.220364183142404], [.8256277066666664, 4.009859609945877], [1.333092145000000, 5.244776466432026] , [1.826246511666667, 5.996035690970020],

2.911693628574618], [1.003290145000000, 4.455877733707062], [1.497391635000000, 5.559141331429160], [1.996051283333333,

[2.325969535000000, 6.219713397251883] , 6.249932688859860], [2.663110280000000,

[2.172430718333333, 6.142698365708384], [2.491795663333333,

[2.830708209999999, 6.007081307079771] , [3.334701906666666, 5.235064041935910] ,

6.140632079838596] , 6.223395036558322] , [2.992867824999999,

[3.172918429999999, 5.797180786566337], 5.553272727007032], [3.507440300000000, [3.663966958333333, 4.895180919908249],

[3.835091940000000, 4.467529511747035], [3.996107211666666, 4.011663211198993], [4.164414565000000, 3.479724155815862],

2.904884224361414], [4.667151973333334, .7892470343360038],

-.2549520565813523e-1], [5.159715080000000, -.8240843067794081] , [5.336928456666667, -1.798163068245117], [5.495430213333333, -2.722602162950178], [5.664426145000000, -3.763592827159563], [5.826176815000000, -4.813452204643543], [6.,

-6.]],C0L0UR(RGB,1.0,0,0)),AXESLABELS(x,''),VIEW(-2. .. 6..DEFAULT))

[4.328965766666666, 2.245055973230862] , [4.836825403333333,

[4.501235625000000, 1.553452324477437], [5.005093851666667,


Para traçar este gráfico, o Maple usou 49 pontos! Existe uma rotina interna que ajusta o número de pontos necessários para nos dar a ilusão de que o que vemos

na tela é uma curva. Isto é feito usando um número maior de pontos nas regiões onde o ângulo entre os segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico é muito agudo. Observe este fato no exemplo dado traçando a curva com o estilo point.

> plot(f(x),x=-2..6,style=point);

Observe também, nos exemplos abaixo, o efeito conseguido pelo uso da opção adaptative=false. Essa opção faz com que a rotina interna para "suavizar" as curvas não seja usada. Como padrão, o Maple usa a opção adaptative=true. Essa opção tem prioridade sobre numpoints, isto é, se a opção adaptative=f alse não for especi-ficada, a opção numpoints, que define o número de pontos usados para traçar o gráfico, nem sempre será obedecida. Observe a diferença nos seguintes exemplos.

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5,adaptive=false);

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5);

Na versão eletrônica, mude o estilo do traçado do gráfico acima para point e comprove que o Maple usou muito mais que os cinco pontos especificados para traçar esse gráfico!

Observe também, nos exemplos a seguir, quantos pontos são necessários para obtermos uma "boa aproximação visual" para o gráfico dessa função.


> plot(f (x) ,x=-2. .6,numpoints=20,adaptive=false) ;


Para traçar este gráfico, o Maple usou 49 pontos! Existe uma rotina interna que ajusta o número de pontos necessários para nos dar a ilusão de que o que vemos

na tela é uma curva. Isto é feito usando um número maior de pontos nas regiões onde o ângulo entre os segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico é muito agudo. Observe este fato no exemplo dado traçando a curva com o estilo point.

> plot(f(x),x=-2..6,style=point);

6-4-2: a .'" "

-ei .' -8-

- 1 0 -—12-- 1 4 -

Observe também, nos exemplos abaixo, o efeito conseguido pelo uso da opção adaptative=f alse. Essa opção faz com que a rotina interna para "suavizar" as curvas não seja usada. Como padrão, o Maple usa a opção adaptative=true. Essa opção tem prioridade sobre numpoints, isto é, se a opção adaptative=f alse não for especi-ficada, a opção numpoints, que define o número de pontos usados para traçar o gráfico, nem sempre será obedecida. Observe a diferença nos seguintes exemplos.


> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5);

Na versão eletrônica, mude o estilo do traçado do gráfico acima para point e comprove que o Maple usou muito mais que os cinco pontos especificados para traçar esse gráfico!

Observe também, nos exemplos a seguir, quantos pontos são necessários para obtermos uma "boa aproximação visual" para o gráfico dessa função.


6 4-2 / \

- /

h / - 8 -

/ - i o j

/ - 1 2 -

/ - -14-

\ \ \

> plot(f (x) ,x=-2. .6,numpoints=20,adaptive=false) ;

6 4-2

T \

/ ^ / -10 / -12 -14

Por que o método acima funciona?

(b) Escrevendo o nosso próprio programa para o traçado de gráficos

Como vimos na seção anterior, o Maple e vários outros programas de computador traçam o gráfico de uma função y = f(x) num determinado intervalo [a, 6], aproximando-o por segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico de / , isto é, dois pontos do tipo (Xi, f(xi)) , onde os x / s formam uma subdivisão do intervalo [a, ò] com Xi = a, xn = b e Xi € [a, b] para 1 < i < n. Vamos chamar uma aproximação deste tipo de uma aproximação poligonal para o gráfico de / . A esta altura, você já deve saber por que à medida que n cresce a aproximação poligonal converge para o gráfico da função!

1. Usando o Maple, faça o seu próprio programa para traçar uma aproximação poligonal para o gráfico da função y = x2 em [—4, 4], considerando uma subdivisão do intervalo com 3, 5, 9, 17 e 33 pontos, sucessivamente. Sugestão: Defina os pontos da subdivisão do intervalo, calcule o valor da função em cada um deles e use o comando p lo t ( [pl ,p2, . .pn] ) para ligar por segmentos de reta os pontos Pi = [Xi, f(xi)] assim obtidos.

2. Modifique o seu programa para traçar o gráfico de uma função qualquer y = f(x), em um intervalo [a, b] via aproximação poligonal, com o número de pontos na subdivisão de [a, b] determinado pelo usuário.

3. Teste o seu programa com as funções y = x3, y = sen(x) e y = ^ no intervalo [—1, 1].

4. Quantas subdivisões foram necessárias, em cada caso, para se obter uma "boa aproximação"? Que problema acontece com a última dessas funções? Você é capaz de resolvê-lo?

5. Aponte algumas deficiências desse método.

A idéia acima de aproximar curvas planas por segmentos de reta de comprimento cada vez menor é usada para definir e calcular comprimentos de arcos de curvas. Um comprimento aproximado para este arco pode ser obtido somando-se os comprimentos de cada um dos segmentos de retas usados para aproximar o arco de curva. O comprimento desses segmentos são calculados a partir da fórmula para a distância entre dois pontos quaisquer do plano.

1. Usando a técnica descrita acima, calcule um valor aproximado para o comprimento do arco de parábola y = x2

para 0 < x < 1. Como essa aproximação pode ser melhorada? Você é capaz de chegar ao resultado com 4 casas decimais exatas?

2. Deduza uma fórmula para aproximar o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, ò] subdividindo-o em n subintervalos de igual comprimento.

3. Qual o valor exato para o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, 6] qualquer? Se você não é capaz de responder a esta pergunta, estude o capítulo sobre limites.

5.9.2 O refletor parabólico Quando a luz é refletida por um espelho plano, o ângulo entre o raio incidente e o espelho é igual ao ângulo entre o raio refletido e o espelho. Quando o espelho é curvo, a reta tangente determina como o raio é refletido. Próximo ao ponto de reflexão, o espelho, embora curvo, se parece muito com uma reta que é, como já vimos, a reta tangente à curva naquele ponto, e a luz é refletida de tal maneira que os ângulos entre os raios incidente e refletido e a reta tangente são iguais. Esta é a chamada propriedade de reflexão das curvas. O objetivo desse projeto é determinar a propriedade de reflexão das parábolas.


Seja p uma constante positiva e considere a parábola x2 = 4 py com vértice na origem e o foco no ponto (0,p), como é mostrado na figura abaixo. Seja (x0, yo) um ponto dessa parábola, diferente do vértice.

1. Mostre que a tangente em (xo, yo) tem coeficiente linear —yo-

2. Mostre que o triângulo com vértices (xo, yo), (0,yo) e (0,p) é isósceles. Sugestão: Use a fórmula de distância entre dois pontos do plano.

3. Suponha que uma fonte de luz seja colocada no foco e que cada raio de luz que deixa o foco seja refle-tido pela parábola de tal modo que forme ângulos iguais com a reta tangente. Use o item anterior para mostrar que, após a reflexão, cada raio aponta verti-calmente para cima e portanto é paralelo ao eixo da parábola. Esta é a chamada propriedade de reflexão das parábolas. Veja figura ao lado. Para formar uma idéia tridimensional da maneira como essa proprie-dade é usada na construção de holofotes e faróis de automóveis, temos apenas de imaginar um espelho construído prateando-se a parte interna da superfície obtida a partir da rotação de uma parábola ao re-dor do seu eixo. A superfície obtida é chamada um parabolóide de revolução e o foco da parábola será também o foco do parabolóide. Veja a figura ao lado.

Esse refletor parabólico pode ser usado ao contrário, isto é, para juntar raios fracos que chegam paralelos ao eixo e concentrá-los no foco. Assim, por exemplo, se o espelho é apontado para o sol, todos os raios serão refletidos para o mesmo ponto , o foco do parabolóide, e uma grande quantidade de calor pode ser aí produzida (a palavra latina focus significa fogo). Esse é o princípio básico das antenas de radar, radiotelescópios e telescópios ópticos refletores. O grande telescópio do Monte Palomar, na Califórnia, tem um refletor de vidro de 15 toneladas que mede aproximadamente 510 cm de diâmetro e levou 11 anos para ser polido.

1. Um raio de luz penetra em uma parábola seguindo a direção da reta x = xo e é refletido no ponto P(xo, yo)-Passa pelo foco (0 ,p) e é refletido pelo outro lado da parábola. Qual a direção seguida pelo raio refletido?

2. Suponha que um raio de luz, paralelo ao eixo de uma parábola, é refletido pelo exterior da mesma. Qual a direção seguida pelo raio refletido?

a2 3. O gráfico de y = — é uma hipérbole com focos (a, a) e (—a, —a). Mostre que se um raio de luz emana do 2x

primeiro foco e é refletido pela hipérbole, então o raio refletido segue a direção de uma reta que passa pelo segundo foco.

Capítulo 6

Limite de Funções

6.1 O conceito de limite No Cap. 5, determinamos a inclinação da reta tangente à parábola y = f(x) = ax2 + bx + c num ponto (x0, f(x0)). O método empregado consistiu em obter esta inclinação a partir das declividades das retas secantes que passam pelos pontos (xo, f(xo)) e (x0 + h, f(x0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto é, fazendo h tender a zero. Este método pode ser empregado para uma função / qualquer. De fato, para determinar a declividade da reta tangente a uma curva qualquer y = f(x) basta estudar o comportamento do quociente ^ qU a n c j 0 h se aproxima de zero ou, usando notação matemática, precisamos calcular o

lim f(xo + h)-f(xQ) = l i m /(ar) - f(xo) h-+0 h X ^ X 0 X — XQ

Para que isso seja possível, é preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matemático de limite. Começaremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.

Exemplo 1 Vamos estudar o comportamento da função / definida por /(ar) = x2 — x + 2 para valores de x próximos de 2. A

primeira tabela a seguir mostra os valores de /(ar) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Neste caso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, isto é, quando x se aproxima de 2 pela direita. Veja este comportamento ilustrado no gráfico à direita:

x 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99

1.995 1.999

m 2.0 2.75 3.44 3.71

3.8525 3.9701

3.985025 3.997001

x 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01

2,005 2.0001

m 8.0 5.75 4.64 4.31

4.1525 4.0301

4.015025 4.003001

Tanto as tabelas acima quanto o gráfico da parábola mostram que à medida que x se aproxima de 2 quer pela direita, quer pela esquerda, f(x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer /(ar) ficar tão perto de 4 quanto quisermos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente, usamos a notação

lim (x2 - x + 2) = 4 x—>2

(Lê-se: o limite de /(ar), quando x tende a 2 é 4).

De um modo geral, dizer que lim f(x) = L

X—>XQ

68

significa que, à medida que x se aproxima de XQ, OS valores de f(x) ficam próximos de L, e, mais do que isso, podemos melhorar cada vez mais esta aproximação, isto é, podemos tornar a diferença entre / ( x ) e L, em valor absoluto, tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de Xo-

• Usando as tabelas construídas neste exemplo, verifique quão próximo x deve estar de 2, para que | /(x)—4 | < 0,01. Na definição de limite, dizer que "x se aproxima de xo" significa que, para o cálculo de limites, podemos tomar

x bem pertinho de Xo, sem que x seja igual a XQ. De fato, para o cálculo de limites não interessa o valor da função no ponto x = xo, mas somente como a função / se comporta perto deste ponto. Este fato é ilustrado nos gráficos a seguir. No primeiro deles, / não está definida em x = 1; no terceiro, / (1) ^ 2; nos dois casos temos que lim / ( x ) = 2.

Exemplo 2 Nesse exemplo estudaremos o comportamento da função / ( x ) = x3 para valores de x próximos de —2. Observe o gráfico a seguir à esquerda. Para observar numericamente o comportamento dessa função, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, a função / é calculada para uma seqüência de valores de x se aproximando de —2, pela direita. Na segunda, calculamos f(x) quando x se aproxima de —2, pela esquerda.

-1.500000000 -1.750000000 -1.875000000 -1,937500000 -1.968750000 -1.984375000 -1.992187500 -1.996093750 -1.998046875 -1.999023438

-3.375000000 -5.359375000 -6.591796875 -7.273193359 -7.630828857 -7.813961029 -7.906615734 -7.953216493 -7.976585381 -7.988286971

x -2.500000000 -2.250000000 -2.125000000 -2.062500000 -2.031250000 -2.015625000 -2.007812500 -2.003906250 -2.001953125 -2.000976563

-15.62500000 -11.39062500 -9.595703125 -8.773681641 -8.380889893 -8.188968658 -8.094116688 -8.046966612 -8.023460396 -8.011724473

O gráfico e as tabelas acima sugerem que lim

^(-2) X = — £

Exercício 1 Considere a função f(x) = x3.

1. Usando o método descrito acima, tente achar um provável valor para lim x3. x—>2

2. Determine quão próximo x deve estar de 2 para que | x3 — 8 | < .0001.

Exemplo 3 Vamos estudar agora o comportamento da função g, cuja definição e gráficos são dados abaixo à esquerda, para valores de x próximos de 1. Observe, graficamente, o que ocorre com essa função nas proximidades do ponto 1 no gráfico à direita.

(70 Cap. 6 Limite de Funções

> g:=piecewise(x<l ,x-2,x>=l ,x+l) ; f X - 2 x < 1

Observe separadamente o comportamento desta função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro gráfico) e pela direita (segundo gráfico).

Observe, agora, numericamente, segunda, pela esquerda.

esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Na

1.500000000 1.250000000 1.125000000 1.062500000 1.031250000 1.015625000 1.007812500 1.003906250 1.001953125 1.000976563

g(x) 2.500000000 2.250000000 2.125000000 2.062500000 2.031250000 2.015625000 2.007812500 2.003906250 2.001953125 2.000976563

x .5000000000 .7500000000 .8750000000 .9375000000 .9687500000 .9843750000 .9921875000 .9960937500 .9980468750 .9990234375

g ( x )

-1.500000000 -1.250000000 -1.125000000 -1.062500000 -1.031250000 -1.015625000 -1.007812500 -1.003906250 -1.001953125 -1.000976563

Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a função assume diferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando x se aproxima de 1 pela direita a função g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g[x) se aproxima de —1. A notação matemática para essa situação é

lim g[x) = 2 e lim g(x) = — 1. x—>1+ x—>1 —

(Lê-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita é 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda é —1.)

Esses limites são chamados, respectivamente, limite lateral à direita e limite lateral à esquerda. Quando, como nesse caso, os limites laterais são diferentes, dizemos que a função não tem limite no ponto x = XQ.

Assim, o limite de uma função em um ponto XQ existe, quando os limites laterais existem e são iguais. • Confirme essa afirmação para as funções estudadas nos exemplos anteriores.

Exercício 2 Estude o comportamento da função f(x) = -—- para valores de x próximos de zero, isto é, calcule lim f(x) e lim f(x) e conclua se existe o lim f(x). Como nos exemplos anteriores, faça uma análise gráfica e

x—>0+ x—>0 x—tO numérica. Sugestão: Qual o valor de f(x) para x > 0? E para x < 0?

Exemplo 4 Uma aplicação Retornemos, agora, ao problema estudado no capítulo anterior, de encontrar a inclinação da reta tangente à

parábola y = f(x) = x2 no ponto xo = 1. Como vimos, este problema é equivalente a estudar o comportamento da f ( \ £ ( \

função g(x) = — , quando x se aproxima de XQ. x — Xo

Como nos exemplos anteriores, faremos uma análise gráfica e numérica. As tabelas a seguir mostram o com-portamento desta função quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente

x2 - 1 gíx) = quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto é, por valores menores que 1. A outra tabela mostra

x — 1 este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois x2 - 1 casos, à medida que x se aproxima de 1 os valores do quociente — se aproximam de 2. Observa-se este mesmo comportamento no gráfico da função g mostrado a seguir.

x — 1

x2-l

.5000000000

.7500000000

.8750000000

.9375000000

.9687500000

.9843750000

.9921875000

.9960937500

.9980468750

.9990234375

x-1 1.500000000 1.750000000 1.875000000 1.937500000 1.968750000 1.984375000 1.992187500 1.996093750 1.998046875 1.999023438

x 1

1.500000000 1.250000000 1.125000000 1.062500000 1.031250000 1.015625000 1.007812500 1.003906250 1.001953125 1.000976563

1 2.500000000 2.250000000 2.125000000 2.062500000 2.031250000 2.015625000 2.007812500 2.003906250 2.001953125 2.000976563

As tabelas e o gráfico sugerem que lim g[x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta X—>1 tangente à curva f(x) = x2 no ponto xo = 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma função num ponto x0 estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa função nas proximidades do ponto Xo- Este comportamento independe do valor da função em x0, visto que esta função, como neste exemplo, nem ao menos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no gráfico anterior marcado por um pequeno disco para enfatizar que o ponto x = 1 não pertence ao domínio da função g. Para x / 1, temos que g(x) — x + 1, pois, nesse caso, podemos simplificar a expressão que define g e obter

x 2 - l _ (x + 1) (x - 1) 1 — 1 — ' X — 1 x — 1

A notação lim g(x) = 2 significa que à medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer X—>1

pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferença | g(x) — 2 | tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolhermos x suficientemente próximo de 1, sem nunca, no entanto, alcançar este valor. Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a função g no ponto x = 1.

> g C D ;

E r r o r , ( i n g) d i v i s i o n by z e r o

Neste exemplo: - Quão próximo x deve estar de Xo para que a distância de g(x) a 2 seja menor que 1/100? - Quão próximo x deve estar de xo para que a distância de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?

No exemplo acima, vimos que embora g{x) não esteja definida em xo = 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 à medida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferença entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos a diferença entre x e x0 menor que 1 /10; se quisermos que | g(x) — 2 | < ^ , basta fazermos | x — xo | < ^ . Experimente!

Exemplo 5 Limites infinitos Considere agora a função y = f(x) = Pode-se concluir imediatamente que y sempre será positivo e que y não

está definido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?


Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta função para valores de x positivos e se aproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta função para valores negativos de x se aproximando de zero. Neste caso, notamos que à medida que x se aproxima de zero quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes de / ( x ) "explodem", isto é, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, então, que quando x tende a zero a função tende a +00. Em notação matemática escrevemos lim / (x ) = 00 ou f(x) —> 00 quando x —> 0-.

a;—>0 Observe esse comportamento no gráfico à direita (veja o texto eletrônico).

.5000000000

.2500000000

.1250000000 .06250000000 .03125000000 .01562500000

.007812500000

.003906250000

.001953125000 .0009765625000

x2

4. 16. 64. 256. 1024. 4096. 16384. 65536. 262144.

.1048576 IO7

-.5000000000 -.2500000000 -.1250000000 -.06250000000 -.03125000000 -.01562500000 -.007812500000 -.003906250000 -.001953125000 -.0009765625000

_1_ x2

4. 16. 64. 256. 1024. 4096. 16384. 65536. 262144.

.1048576107 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Note que, neste exemplo, à medida que x se aproxima de zero, os valores de f(x) não se aproximam de nenhum número, portanto, o lim f(x) não existe. A notação lim f(x) = 00 serve, somente, para indicar que podemos tornar os x—>0 x—t0 valores de / ( x ) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de zero. Na notação usada acima para indicar este comportamento, não estamos considerando 00 como um número, nem afirmando que o limite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a função se comporta perto do zero. • Você é capaz de dar outros exemplos de funções que apresentem este mesmo comportamento?

Considere a função g(x) que g{x) decresce sem limite, isto é, tende

e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Você poderá verificar -00. Neste caso escrevemos lim g(x) = x—>0 -OO.

Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o gráfico da função se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0 é chamada de assíntota vertical ao gráfico da função y = g(x).

Exemplo 6 Limites no infinito Considerando novamente a função / ( x ) = j j , vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x

cresce em valor absoluto e se torna muito grande.

As tabelas seguintes mostram os valores de / calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes e para valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:

X

1

X 2

1024. .953674316410" -6 2048. .238418579110" -6 4096. .596046447810" - 7

8192. .149011611910" - 7

16384. .372529029810" - 8

32768. .931322574610" - 9

65536. .232830643710" - 9

131072. .582076609110" -10

262144. .145519152310"" -10

524288. .363797880710--11

1048576107 .909494701810" -12

X

1 X 2

-1024. .953674316410" -6 -2048. .238418579110" -6 -4096. .596046447810" - 7

-8192. .149011611910" - 7

-16384. .372529029810" - 8

-32768. .931322574610" - 9

-65536. .232830643710" - 9

-131072. .582076609110" -10

-262144. .1455191523 HT 10

-524288. .363797880710" -11

-.1048576107 .909494701810" •12

Veja no texto eletrônico a animação gráfica correspondente.


Nesse caso dizemos que o limite da função é zero quando x tende para +00 ou —00, isto é, quando x cresce sem limite (x —> +00) ou quando x decresce sem limite (x —> —00). Em notação matemática escrevemos:

lim / ( x ) = 0 lim / ( x ) = 0

Novamente, os símbolos +00 e —00 não são números. Estes símbolos indicam somente que estamos considerando valores de x cada vez maiores, em valor absoluto.

Observe também que, quando x cresce em valor absoluto, isto é, x —> +00 ou x —• —00, o gráfico da função se aproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 é chamada de assíntota horizontal ao gráfico da função / .

6.1.1 • Assíntotas ao gráfico de uma função Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta é uma assíntota ao gráfico de uma função quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à reta se aproxima de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero.

As definições a seguir expressam as idéias de assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de uma função y = / ( x ) em termos matemáticos mais precisos:

Assíntota vertical Dizemos que uma reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico de uma função y = / ( x ) se uma das condições se

verifica:

lim / ( x ) = 0 0 , lim f(x) = — 0 0 , lim / ( x ) = 0 0 ou lim f(x) = — 0 0 . x—>a+ x—>a+ x — x — > a ~

Assíntota horizontal Dizemos que uma reta y = a é uma assíntota horizontal ao gráfico de uma função y = / ( x ) se

lim / ( x ) = a ou lim / ( x ) = o

. • Você é capaz de definir uma condição que permita determinar quando uma reta y = mx + b é uma assíntota inclinada ao gráfico de uma função y = / (x )? (Veja Problema 9 da Seção Problemas Propostos.)

• É possível determinar uma condição que permita afirmar quando uma função / ( x ) se aproxima de uma outra função qualquer, não necessariamente uma reta, quando x —» + 0 0 ou quando x —> — 0 0 ? (Veja projeto: Assíntotas e outras funções limitantes.)

6.1.2 Exercícios 1. Para a função / cujo gráfico é dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam:

(a) limL /(x) X—»1 +

(b) l im. / (x) X—>1 —

(c) ton/fc) (d) lim / (x )

x—»2+

(e) lim / (x ) x >2~

(f) l im/ (x ) x—>2 (g) lim f(x)

x—>0+

(h) lim / ( x ) x—>0-

-3 -2 -1 1-2 3 4

2. Para a função / cujo gráfico é dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam:

(a) lim + f(x) X > 2

(b) lim _ / ( x ) X > 2

(c) lim f(x)

(d) lim f(x)

(e) lim_ / ( x )

(f) l i m / ( x ) T

Determine as equações das assíntotas verticais.

2 — X se X < — 1 X se — 1 < X < 1 4 se X = 1 4 — X se X > 1

3. (a) Esboce o gráfico da função g(x) — <

(b) Use o gráfico esboçado no item anterior para i. lim g(x) iii. lim g{x)

estimar o valor dos seguintes limites, caso existam: v. lim g(x)

ii. lim g(x) iv. lim g(x) vi. lim g(x) X—>1

4. Considere a função y = K

(a) Qual o seu domínio? (b) Quais suas assíntotas? (c) Qual o comportamento da função quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima de

zero pela esquerda?

(d) Esboce o gráfico dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais características.

5. Considere a função y =

(a) Qual o seu domínio? (b) Quais suas assíntotas? (c) Descreva o comportamento da função no ponto x = 1. (d) Esboce o gráfico dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais características.

6. (a) Determine o domínio, a imagem e as assíntotas da função y = x + K (b) Qual o comportamento desta função no ponto x — 0? (c) Esboce o seu gráfico.

6.2 Definições Na seção anterior, "calculamos" intuitivamente limites de funções por meio da análise dos seus gráficos e também pela observação de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f{x)). Essas pesquisas gráficas e/ou numéricas são úteis para obter informações preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, ria maioria das vezes, sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laboratório alguns exemplos onde este procedimento conduz a conclusões erradas), não constituem uma demonstração no sentido em que os matemáticos a entendem.

Para obtermos uma demonstração, no sentido matemático do termo, de uma afirmação envolvendo limites, torna-se necessário definir com rigor e precisão o que significam expressões do tipo "à medida que x se aproxima de xo, os valores de f(x) se aproximam de L" ou "podemos tornar a diferença entre f(x] e L, em valor absoluto, tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante próximo de x0, sem no entanto nunca atingir esse valor".

Na verdade, o significado preciso de expressões do tipo acima foi alvo de discussões acaloradas e acirradas entre os matemáticos durante séculos. Foi somente no final do século XIX que o matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) formulou a definição de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.

6.2.1 Limite de uma função em um ponto Na seção anterior, concluímos que, dada uma função y = f(x), dizemos que Lê o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 ou quando x tende a XQ, se pudermos tornar a diferença entre f(x) e L tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente próximo de XQ. Nesse caso, escrevemos

lim f(x) = L. X—»XQ

O,ponto central nessa idéia é o de que podemos obter estimativas do valor-limite e que estas estimativas, para qualquer propósito prático, podem estar tão próximas quanto se queira do valor exato.

Para isso começamos com uma função m(x) que nos dá uma família de estimativas. Imagine, por exemplo, uma função m que, para cada valor de x, nos dê uma estimativa para a declividade da reta tangente à curva y = f(x) no ponto xo = 0,5. Neste caso,

m(x) = f(x)~f( 0,5)

x — 0,5

que é a declividade da reta secante que passa pelos pontos (xo, f(xo)) e (x, f{x)). Existe um valor ideal que gostaríamos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seria

obtida quando o segundo ponto (x,f(x)), coincidisse com o primeiro (x 0 , f ( xo ) ) e, conseqüentemente, a reta secante coincidisse com a reta tangente. Este valor ideal, na realidade, é impossível de ser atingido. Verifique no exemplo dado que a função m não está definida para x = 0,5.

Na maioria das aplicações práticas, não necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com um certo erro permitido. A letra grega e é, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo da situação, o erro £ pode ser grande ou muito, muito pequeno.

Para cada erro permitido, existe uma tolerância, de tal maneira que se x dista do valor ideal XQ menos do que a tolerância, então a estimativa está dentro do padrão de erro tolerado, isto é, a diferença entre o valor exato e o valor aproximado encontrado, em valor absoluto, é menor do que o erro permitido.

Colocando estas idéias em termos matemáticos precisos, temos a definição abaixo. Definição A expressão

lim f(x) = L X—TXO

significa que para todo erro permitido e > 0, não importa quão pequeno ele seja, existe uma tolerância S > 0, tal que se 0 < | x — xo | < 8, então | f(x) — L \ < e.

A figura a seguir ilustra essa definição:

XO -5 xo xo +g

Os pontos do gráfico de y = f(x) que satisfazem a desigualdade | f(x) — L \ < £ são os pontos que estão entre as duas retas horizontais y = L — e e y = L + £ (por quê?). Este é o afastamento (erro) permitido do valor exato L. Da mesma forma, os pontos desse gráfico que satisfazem a desigualdade \ x — XQ \ < ô são aqueles que estão entre as retas verticais x = x§ — ô e x = XQ + 5. Esta é a faixa de tolerância. Dessa maneira, a definição de limite nos diz que: sendo dadas duas retas horizontais y — L ~ £ e y = L + £ (£> 0), faixa de erro permitido, é possível escolher duas retas verticais x = XQ — ó e x = XQ + 5 (5 > 0), faixa de tolerância, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa de tolerância, f(x) estará dentro da faixa de erro permitido. (Veja a animação no texto eletrônico.)

Repare ainda que não importa quão próximas estejam as retas horizontais (isto é, quão pequeno seja e, o erro permitido), sempre será possível determinar duas retas verticais - faixa de tolerância - tais que sempre que x estiver dentro da faixa de tolerância, f(x) estará dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta afirmação ilustrada no diagrama a seguir. Execute a animação correspondente no texto eletrônico.

Está claro, agora, para você o significado geométrico da frase: podemos tornar a distância | f(x) — L \ tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente próximo de xo ?

Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma função f(x) em um ponto Xq não tem necessariamente relação com o valor desta função neste ponto. Este é um importante aspecto do estudo de limites. Uma função não precisa estar necessariamente definida no ponto XQ para que exista o limite de F(x) em XQ, basta apenas que a função / esteja definida em alguma vizinhança restrita de xo, isto é, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo xo, excluindo-se esse pònto. Por exemplo, para estudar o lim / (x ) basta que / esteja definida em intervalos abertos do

X— tipo (xo — 0,5, xo) e (xo, XQ + 0, 5) ou (xo — 0,1, xo) e (xo, xo + 0.1) ou equivalentes.

Exemplo 1 Vamos usar a definição acima para provar rigorosamente que lim 3 x — 4 = 5. x—>3

Para isso é preciso descobrir um modo de achar um valor de S (tolerância) que torne verdadeira a implicação existente na definição de limite, qualquer que seja o valor de s (erro permitido) dado. O método de achar õ depende da função / e dos valores de Xo e de L.

Dado £ > 0, deve-se achar 5 > 0 tal que

|(3x — 4) — 5| < e s e 0 < |x — 3| <<5.

Ora, |(3x — 4) — 5| = |3x — 9| = 3 |x — 3|.

Assim, se tomarmos S = |, teremos que a desigualdade |x — 3| < | implicará que

| ( 3 x - 4 ) - 5 | = |3x-9| = 3 | x - 3 | < ^ = e,

como queríamos. Logo, qualquer que seja o número e > 0 dado a priori, basta escolher S = § para obtermos as desigualdades

desejadas. Este exemplo ilustra também o fato de que o número ô é, em geral, escolhido em função do número e.

Exercício 1 Tendo em vista a relação obtida acima para o valor de 5, calcule quão perto x deve estar de 3 para que 3 x — 4 diste de 5 menos do que 10q00 .

Exemplo 2 Vamos provar que lim 3 x2 + 5 = 17. x—>2 Para isso, dado e > 0, precisamos achar 5 > 0 tal que | (3x2 + 5) — 17 | < e toda vez que tivermos 0 < | x — 2 | < S.

Como | (3 x2 + 5) — 171 = 3 | x2 — 4 | = 3|x + 2| | x — 2 |, a idéia é provar que 3 | x + 2 | | x — 2 | pode tornar-se tão pequeno quanto se queira, desde que se escolha | x — 2 | suficientemente pequeno.

Para isso, basta observar que se | x — 2 | é suficientemente pequeno, o valor de |x + 2| = |(x — 2 ) + 4 | < | x — 2 | + 4 não pode ser muito grande.

Assim, por exemplo, se | x — 2 | < 1, então | x + 2 j < 5 , portanto,

| x — 2 | < 1 | (3 x2 + 5) — 17 | < 15 j x — 2 | (*)

Por sua vez, para tornarmos essa última expressão menor do que e, basta escolhermos |x —2| < j^. Assim, escolhendo 5 como o menor dentre os dois números l e teremos que,

se 0 < | x - 2 j < 5, então | (3x2 + 5) - 17 j < 15 ] x - 21 < e,

como queríamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque 8 < 1 e portanto (*) é verdadeira e a última desigualdade vale porque <5 < ^ , portanto, | x — 2 | < ^ .

Exercício 2 Tendo em vista a demonstração anterior, calcule 8 para que 3 x2 + 5 diste de 17 menos do que j^q-

Exercício 3 Considere / ( x ) = x3. Dado e = .0001 determine 0 < 5 que satisfaça a definição de limite para XQ = 2, isto é, determine quão próximo x deve estar de 2 para que | x3 — 8 | < 0,0001

Exercício 4 Aplique a definição de limite para mostrar que: (a) lim x2 = a2 (b) Se a > 0, lim ^fx = \fa. Sugestão: Use a identidade |\fx — ã\ = r-

6.2.2 Limites laterais Da mesma forma, podemos definir em termos matemáticos precisos as noções de limites laterais à direita e à esquerda.

Definição 1: Limite lateral à direita Suponha uma função / definida no intervalo aberto (xo, a), a > x o- Dizemos que o número Lê o limite lateral à

direita de / ( x ) no ponto x0 quando podemos fazer os valores de / ( x ) tão perto de L quanto quisermos, bastando para isso escolher x, no intervalo (xo,a), suficientemente próximo de xo-

Em linguagem matemática, temos lim f(x) = L se, dado qualquer número e > 0, não importa quão pequeno X—>X0 +

ele seja, é sempre possível achar um número 8 > 0 tal que | / ( x ) — L \ < e para todo x que satisfizer as desigualdades Xo < x < Xo + 8.

Veja a animação no texto eletrônico que ilustra essa definição. Observamos, uma vez mais, que a função / ( x ) não precisa estar definida em xo, mas apenas no intervalo (xo, a). Definição 2: Limite lateral à esquerda Suponha uma função / definida no intervalo aberto (a, x o), a < xo. Dizemos que o número Lê o limite lateral à

esquerda de / ( x ) no ponto Xo quando podemos tornar os valores de / ( x ) tão perto de L quanto quisermos, bastando para isso escolher x, no intervalo (a, Xo), suficientemente próximo de Xo-

Em linguagem matemática, dizemos que lim f(x) = L se, dado qualquer número e > 0, não importa quão

pequeno ele seja, é sempre possível achar um número 8 > 0 tal que | / ( x ) — L | < e para todo x que satisfizer as desigualdades XQ — 8 < x < XQ.

Observe a animação correspondente no texto eletrônico. Como no caso anterior, a função / ( x ) não precisa estar definida em xo, mas apenas no intervalo (a,xo). Repare que quando os dois limites laterais no ponto xo existem e são iguais, temos que dado qualquer número

e > 0, não importa quão pequeno ele seja, é sempre possível achar um número 8 > 0 tal que |/(x) — L\ < e para todo x que satisfizer as desigualdades Xo < x < xo + # e xo — 8 < x < Xo simultaneamente, isto é, para todo x tal que xo — 5 < x < x o + <5. Esta última desigualdade é equivalente a | x — xo | < 5, portanto, obtemos a definição de lim / ( x ) = L. Por isso, a existência e igualdade dos limites laterais é uma condição necessária e suficiente para a

X—>XO existência do limite no ponto. Veja a animação no texto eletrônico que ilustra essa afirmação.

Como vimos na seção anterior, quando os limites laterais num ponto xo qualquer são diferentes, não existe o lim / (x ) . Execute a animação do texto eletrônico para visualizar esta afirmação.

X—>x0

Exercício 5 Se / ( x ) = { X ^ ^ ~ calcule /(2), lim / ( x ) e o lim / (x ) . X X < 2 x—>2+ x—>2~

Exercício 6 (a) Calcule lim (b) Existe o lim yfxl Justifique sua resposta.

x—

6.2.3 Limites infinitos Na seção anterior, vimos também que, dada uma função y = / (x ) , se / ( x ) cresce sem limite à medida que x se aproxima de xo, dizemos que

lim / ( x ) = +oo. x—>xo

De um modo mais geral, dado qualquer número positivo N, tão grande quanto quisermos, sempre podemos achar um número positivo ô, tal que, se

0 < ] x — XQ | < 6, então f(x) > N

Observamos novamente que a função não precisa estar necessariamente definida no ponto xo, mas apenas em um intervalo aberto contendo 2o-

Exercício 7 Calcule 5 para que a função f(x) = ^ seja maior que 100000 toda vez que j rc ] <5.

Exercício 8 Defina em termos matemáticos precisos o que entendemos por lim f(x) = —oo. X—>Xo

Exercício 9 O que significam precisamente as expressões: lim f(x) = —oo e lim f(x) = +oo. Dê exem-plo de uma função que apresente esse comportamento no ponto XQ = 0 e de uma outra função que apresente este comportamento em um ponto XQ qualquer.

6.2.4 Limites no infinito Na seção anterior, vimos ainda alguns exemplos de funções y = f(x), que se aproximavam de um valor L à medida que x crescia em valor absoluto. Em notação matemática, escrevemos:

lim f(x) = L ou lim f(x) = L. x—>oo x—oo "Neste caso, a reta y = L é uma assíntota horizontal ao gráfico da função / . De um modo mais geral, dado qualquer número positivo e, tão pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar

um número positivo N, tal que:

| f(x) — L | < e sempre que | x | > N.

Exercício 10 Calcule N para que a função f(x) = A diste de zero menos que , isto é, diga quão grande devemos considerar x para que | ^ | < i^ ) -

6.3 Teoremas e propriedades operatórias Nas seções anteriores vimos que, para calcular limites, não podemos nos basear, exclusivamente, em estimativas numéricas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes ser enganosas (veja exemplos desta afirmação nas atividades de laboratório), nem em aplicações diretas da definição de limite para tentar provar o que tais estimativas sugerem, porque essas definições são muito difíceis para serem aplicadas comumente.

Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de cálculo de limites, tornando-o mais simples. Essas regras são na realidade teoremas que são demonstrados a partir das definições rigorosas de limite, dadas na seção anterior.

Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz esse cálculo, como veremos a seguir, a manipulações algébricas, em geral simples.

Teorema 1: Unicidade do limite

Se lim f(x) = Li e lim f(x) = L2, então Li = L2. X—>XQ X—>Xo A idéia da demonstração é supor que Li ^ L2 • Se a partir dessa hipótese chegarmos a uma conclusão absurda,

teremos provado que não é possível que Li / L2 e, portanto, Li = L2.

Demonstração Se Li L2, podemos considerar o número positivo e = . Como lim f(x) = Li, sabemos que existe um

X—+X0 número <5i tal que se 0 < | x — xq \ < <5i, então | f(x) — L\\<e.

Além disso, como lim F(x) = L2, sabemos que existe, também, um número Õ2 tal que se 0 < x — XQ < Ô2, X—>Xo então | f(x) — L2 \ < s. Seja ô = min(<5i, <52), isto é, seja S o menor dentre os números £1 e ô2. Então, \f(x) — Li\ < e e | f(x) — I/21 < portanto,

\h -L2\ = \Lx- f(x) + f(x) - L21 < \LX - f(x) | + | f(x) - L2 \<e + e = 2e.

Daí, temos | Lx -L2 I <\Li-L2\

Como o número \LX — L2\ não pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto, a hipótese que fizemos (supor Li L2) não pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que Li = L2, o que prova a unicidade do limite.

Teorema 2: Limite da função identidade

Se f(x) = x, então lim f(x) = XQ. X—>XO

Este teorema é inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, à medida que x se aproxima de Xo, f(x) = x se aproxima, como é óbvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na definição de limite ô = e e a conclusão segue trivialmente.

Teorema 3: Limite da função constante

Se f(x) = c, onde c é uma constante qualquer, então lim f(x) = c. X—>X0

Este é outro resultado bastante intuitivo. Se a função, independente de qual seja o valor de x, sempre assume o mesmo valor constante c, não importa quão próximo x esteja de xo, o valor de / , e portanto o valor do limite, será sempre igual a c.

Usando a definição formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer número positivo escolhido e, e para qualquer valor de S (não importa quão próximo x esteja de xq), se | x — xo \ < õ, então | f(x) — c | < £.

Esta conclusão é verdadeira qualquer que seja o número positivo e, pois a diferença f(x) — c será sempre zero.

Teorema 4: Limite da soma

Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então lim (f(x) + g(x)) = L + M. X—>Xo x—>xo X—>Xo

Este teorema diz, simplesmente, que se f(x) está perto de L e se g(x) está perto de M quando x está perto de XQ, então f(x) + g(x) está perto de L + M quando x está perto de XQ.

Demonstração Seja £ > 0. Como lim f(x) = L, existe um 8\ tal que X—>Xo

(i) se 0 < | x — xo | < Si, então | f(x) — L | < |.

Além disso, como lim g(x) — M, existe um S2 tal que X—>XQ

(ii) se 0 < | x — xo | < ô2, então | g(x) — M | < §•

Considere agora <5 = min(5i, ô2); então, se 0 < | x — xo \ < 5", (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluir que

| (f(x) + g(x)) - (L + M) | < | f(x) -L | + | g(x) -M | < | + £ < e,

que é o resultado desejado.

Teorema 5: Limite da diferença

Se lim f(x) = L e lim g(x) — M, então lim (f(x) - g(x)) = L — M. X—>Xo X—>XQ X—>XQ

A demonstração desse resultado é análoga à anterior. Tente demonstrá-lo.

Teorema 6: Limite do produto

Se lim / ( x ) = L e lim g(x) == M, então lim (f(x)g(x)) = LM. X—*XO X—>Xo X—*Xo

Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f(x) g(x) tão próximo de LM quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de xo.

A demonstração é baseada na observação de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de um retângulo afetam a sua área. Suponha que queremos construir um retângulo cujo comprimento seja L e cuja largura seja M. Conseqüentemente, sua área será L M.

Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retângulo e um outro erro ao medirmos a sua largura, estes erros serão propagados para a área do retângulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medida da área está representado por linhas mais claras pontilhadas.

LM

L

Como a figura sugere, o erro na área pode ser dividido em três partes. A primeira parte pode ser entendida como o produto do erro cometido no comprimento pela largura do retângulo original; a segunda é o produto do erro cometido na largura pelo comprimento do retângulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a área de um outro retângulo cujas medidas dos lados são o erro cometido no comprimento e na largura do retângulo original, respectivamente. Como é possível controlar a área destes três retângulos, controlando o tamanho do erro cometido na medida d e l e M, podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a área do retângulo original, isto é, o erro total cometido no produto L M.

Demonstração Seja e > 0 . Sabemos que existem números positivos <$i, 82 e 83 tais que: (i) se 0 < | x - x0 | < 81, então [ f(x) - L\ < 1, o que implica |/(x)| < \L\ + 1.

(n) se | x — x0 | < 82, então | g(x) — M | < 2(|L| + 1)

(in) se 0 < I x — xQ | < á3, então | / (x ) — L | < 2(|M| + 1)'

Considere agora 8 = min($i, 82, £3), então, se 0 < [ x — xq | <8, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemos concluir que

,(f(x)g{x))-(LM) I < \f(x)\\g(x)-M\ + (\M\ + l)\f(x)-L\ £ £

< 2 + 2 < £ '

o que demonstra o teorema.

Teorema 7: Limite do quociente

fix] L Se lim f(x) = L, lim g(x) = M e M ^ 0, então lim (^7-c) = x—>x0 x^Xo X^Xo g[ X) M

Este teorema afirma que se f(x) está próximo de L e g(x) está próximo de M quando x está próximo de XQ, então, ^ está próximo de jg-desde que M / 0, o quociente está próximo de -h quando x está próximo de Xq

Demonstração

Tendo em vista o teorema anterior, como , . = f(x) ——, basta provar que g(x) g(x)

lim 1 1 x—mo g(x) M

Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o número positivo e, existe um número positivo 5, tal que

se 0 < | x — xq I < 6, então 1

g(x) M \9(x)-M\ \M\ \g{x)\ < £.

Como lim g(x) = M, sabemos que, desde que x esteja suficientemente próximo de XQ, podemos tornar a diferença X — H O

| g(x) — M | tão pequena quanto quisermos. A idéia, então, é mostrar que |g(a;)| não pode ser muito grande desde que \g(x) — M[ seja pequena. Sejam áj e S2 números positivos tais que

(0 se 0 < | x — XQ I < Si, então | g(x) — M | <

1 2 Para esses valores de x, temos que < |fl(a;)|, o que é equivalente a 77737 < 7777 , portanto,

2\g(x)-M\ M2

\g(x)\ \M\' g(x) M

(ii) se 0 \ < 5, (i) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluir que

g(x) M <

2 e M 2

2 M2 = e,

que é o resultado desejado.

Observe que este teorema não afirma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisa pode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.

Seja, por exemplo, f(x) = kx e g(x) = x, onde k é um número qualquer. Então = ^r = k para i ^ O e , além f(x)

disso, o lim ; = k, qualquer que seja o valor de XQ. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e x->x0 g(x) a = 0.

2.4-2.2-

Mi II I i ! ti-3.4: li 1 !

!•

b-H li i i Í4í III I Mj || | | !4I li! I

-T -Ò.K -0.6 -0.4 -0 2 u 0.2 0Í4 OK i

O disco neste gráfico ressalta o fato de que a função não está definida neste ponto; no entanto, seu limite neste e em todos os outros pontos é igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outro número.

Já estudamos uma situação semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente ao gráfico de uma função como o limite das declividades de retas secantes à curva y = f(x), isto é, quando calculamos

lim / ( ' W C * » ) . x - > X o X — XQ

82 Cap. 6 Limite de Funções

Nesse caso, quando x se aproxima de x0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Este teorema não se aplica a essa situação e nada podemos afirmar quanto ao valor de limites deste tipo.

Para buscar soluções para situações como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quociente têm x — xo como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da função quando os valores de x se aproximam de xo, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a expressão que define o quociente dividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplificação, calcular o valor do limite. Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simplificação automaticamente quando traça o gráfico de funções definidas por expressões deste tipo.

> m:=x->(x"2-4) / (x -2) ;

m := x x — 2 > p lo t (m(x ) ,x=-4 . .4 ) ;

Exercício 1 Qual o limite da função acima quando x —> 2? Embora simplificações desse tipo sejam válidas e empregadas normalmente para o cálculo de limites, devemos

sempre lembrar que as funções y = x + 2em = não são iguais, pois seus domínios são diferentes, embora esse fato não seja mostrado no gráfico acima.

f(x) Exercício 2 Se lim / ( x ) = L, lim g(x) = 0, o que se pode afirmar a respeito do lim ( )? Nesse caso, X—>X0 I->10 I->IO G{%)

qual o comportamento da função quociente quando x —> XQI

Teorema 8: Limite da raiz

lim y/x = y/a x—>a

Observando o gráfico da função yfx vemos que este teorema, geometricamente, é óbvio.

Demonstração Dado e > 0, devemos encontrar um número ô > 0, tal que, para todo x que satisfaça \x — a\ < S, tem-se | y/x — yfã\ < e

Neste caso, o maior valor que podemos tomar para 6 é a. Agora, como x > 0, tem-se y/ã < y/x + y/ã. Assim,

i \x - a\ |x — a\ 1 y/x + y/a y/a

Como queremos que < £, tomando <5 = min{a, y/a e}, obtemos o resultado desejado.

O teorema acima pode ser generalizado para o que chamamos de passando o limite para dentro da raiz:

Teorema 9: Limite da raiz generalizado

Se limx^a g(x) = L e L > 0, então

lim \/g(x) = VX = . / lim g(x) x—>a y x—>a

Demonstração: Pelo teorema anterior, para todo e 1 > 0, existe um #i>0, tal que

se \y — L\ < $1, então y/y — \fL < ei (1)

Como limx_+0 g(x) = L, para todo <5i > 0, existe um 82 >0, tal que

se O < |x - a| < ô2, então |g(x) — L\ < ôi (2)

Assim, se 0 < |x — a| < ô2, substituindo y em (1) por g(x) obtemos o seguinte: para todo £\ > 0 existe um 5\ > 0, tal que

se |g(x) - L\ < 5i , então ^/g(x) - v T < ei (3)

De (2) e (3) concluimos que para todo ei > 0 existe um ô2 > 0, tal que

< £\ se 0 < |x — a| < 52, então \Jg(x) — \ÍL

o que prova o teorema.

Teorema 10: Teorema do sanduíche

Suponha que f(x) < g(x) e que g(x) < h(x) numa vizinhança restrita de xo e que lim / ( x ) = L = lim h(x). X—>X0 X—>Xo

Então lim g(x) = L. X—>Xo

Este teorema é chamado Teorema do Sanduíche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma função, numa certa vizinhança de Xo onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, está comprimida entre outras duas que tendem ao mesmo limite L, então o seu limite nesse ponto também deve ser L. Veja a idéia geométrica ilustrada a seguir:

Demonstração

Seja £ > 0 e sejam (5j e S2 tais que :

(i) se 0 < | x — xo | < então | f(x) — L | < e, isto é, L — e < f(x) < L + e.

(ii) se 0 < | x — xo | < ô2, então | h(x) — L \ < e, isto é, L — e < h(x) < L + e.

Dizer que / (x ) < g(x) < h(x), numa vizinhança restrita de xo, significa dizer que existe um número p tal que

(iii) f(x) < g(x) < h{x) para todo x pertencente ao intervalo [XQ — p, XQ +p).

Seja ô — min(ái, S2, p). Então, se 0 < | x — xo| < ô, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluir

L - £ < f(x) < g(x) < h(x) <L + £.

Estas últimas desigualdades são equivalentes a afirmar que

I g(x) -LI < £,

como queríamos demonstrar.

Os resultados enunciados a seguir, são conseqüência direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstrações como exercício para o leitor.

que

Corolário 1 Mostre que lim xn = an


Corolário 2 Se lim / ( x ) = L e C é uma constante qualquer, então

lim Cf(x) = CL. x—*a

Corolário 3 Sejam ao, ai, 02,.. •, an constantes quaisquer. Se f(x) = an xn + an_ 1 + ... 4- o-i x + a0, então

lim fix) = fia). x—»a

Corolário 4 Sejam ao, a\, a2,. • •,an e bç,, b2,... ,bn constantes quaisquer. Considere

f(x) = anxn + an^1x(-n~V + ... + aix + a0, g(x) = bnxn+ bn^1x{n~1) + .., + hx + bo e

m = s w Prove que se a pertence ao domínio de h, então l i m ^ o h{x) = h(a).

Os teoremas enunciados nesta seção transformam, na maioria dos casos, o cálculo de limites em simples cálculos algébricos. Exemplos de aplicação dos teoremas no cálculo de limites são mostrados na próxima seção.

6.4 Exemplos de aplicações dos teoremas no cálculo de limites

Exemplo 1 Calcule lim x + 4 x 4- 4. x—>3

Solução Aplicando a regra da soma, temos:

lim x2 + 4x + 4 = (lim x2) + (lim 4x) + (lim 4) x—>3 x—>3 x—»3 x—>3 Pela regra do produto e da multiplicação por constante, temos que:

„2 (lim x2) + (lim 4x) + (lim 4) = (lim x) (lim x) + (lim 4) (lim x) + 4 x—>3 x-^3 x—>3 x—>3 x—>3 x—>3

Logo, concluímos que lim x2 + 4x + 4 = 32 + 4(3) 4- 4 = 25, x—>3

o que transforma o cálculo desse limite num simples cálculo algébrico.

2 x + 5 Exemplo 2 Calcule lim 3 x2 + 4 x + 4 '

Solução No exemplo anterior, vimos que o lim x2 + 4x + 4 ^ 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente x—>3

para afirmar que:

lim 2 x + 5 lim 2 x + 5 x—>3 2(3) + 5 11 3 x2 + 4x + 4 lim x2 + 4x + 4 32 + 4 (3) + 4 25'

x—>3

Exemplo 3 Calcule lim (x2 - x)3 + (x3 +x)~

Solução

lim S->1 L ( x 2 - x ) s + ( x 3 + x ) 9 lim (x2 - x)3 + lim (x3 + xf = [lim (x2 - x) 3 + lim(x3 + x) x->l

lim x2 — lim x -X—>1 x—»1

X —* 1 1 3

lx-*l lim x3 + lim x X—>1 x—>1

La;->1 = (l2 — l ) 3 + ( l3 + l)9 = 29 = 512.


Observação Se f(x) — x2 + 4x + 4, então / (3 ) = 25 e, no Exemplo 1, poderíamos ter obtido o valor correto de lim f(x) calculando, simplesmente, / (3) . Esta mesma observação vale para os Exemplos 2 e 3. As funções dos x—>3 Exemplos 1 e 2 são polinómios e funções racionais (veja próximo capítulo), respectivamente, e os Corolários 3 e 4 garantem que, se fix) é um polinómio ou uma função racional e a pertence ao domínio de / , então lim f(x) = fia). x—>a Punções para as quais vale esta propriedade são chamadas de funções contínuas e serão estudadas no Cap. 8.

x2 -1 Exemplo Â Ache lim .

x — > 1 X - 1

Solução Seja f(x) = • Neste caso, não podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na expressão que define / , pois / (1) não está definida. Nem podemos aplicar o teorema do quociente, porque o limite do denominador é zero. A idéia é trabalhar algebricamente com a expressão dada, fazendo algum tipo de simplificação antes de tentar calcular o limite pedido. Assim,

x 2 - 1 _ (x + 1) (x - 1) x — 1 ~~ (x — 1) '

O numerador e o denominador têm o fator comum x — 1. Quando x se aproxima de 1, temos que x 1, então x — 1 / 0. Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite como fazemos a seguir.

x lim = lim . ' V . = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . x—l x - 1 x—i (x - 1) X—1

x | os X Exemplo 5 Ache o lim g(x), onde g(x) = { ' _ 1 x—>1 I 7T, se X — 1

Solução Neste exemplo g está definida em x = 1 e g( 1) = 7r, mas, para uma função qualquer, o valor do limite em um ponto independe do valor da função neste ponto. Como g(x) = x + 1 para 1,

lim g(x) = lim (x + 1) = 2.

Note que as funções dos Exemplos 4 e 5 são iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limite quando x —> 1. Veja os gráficos destas duas funções, mostrados a seguir.

(3 _j_ h)2 - 9 Exemplo 6 Calcule lim ; . fc—o h

Solução Seja F(h) = ~9 . Como no Exemplo 4, precisamos simplificar F(h) antes de calcular o limite. Assim, temos

h h (Lembre-se de que quando h—* 0 estamos considerando h / 0, portanto os cálculos algébricos acima estão corretos.)

Em vista das igualdades acima, temos que

lim ( 3 + ~ 9 = lim (6 + h)= 6. h—0 h h—o

y/W+~9 - 3 Exemplo 7 Calcule lim . y t—>o t2

Solução Não podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador é zero. Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simplificação. Assim,

y/W+9 - 3 VW+9 - 3 y/W+9 + 3 (t2 + 9) - 9 t2 t2 v / í 5 T 9 + 3 t2 ( V í 2 + 9 + 3) y/W+9 + 3'

As igualdades acima permitem concluir que

V^+9-3 1 1 1 1 lim s = um . = —. = = -t - o t2 t -o ^ F T - g . o /,. (f2 • 9\ . o 3 + 3 6 + 3 y/lim (í2 + 9) + 3 3 + 3

Para calcular alguns limites, é preciso calcular, separadamente, os limites laterais à esquerda e à direita. Os teoremas da seção anterior para limites, valem, também para limites laterais. Os dois exemplos a seguir ilustram casos onde é necessário o cálculo separado dos limites laterais.

Exemplo 8 Mostre que lim j x \ =0.

Solução Como | x | = x, para x > 0, tem-se

lim I x I = lim x = 0. 0+ x—0+

Como, | x | = — x, então lim | x \ = lim (—x) = 0.

x — x — > o -Conseqüentemente, como os limites laterais existem e são iguais, então

lim |x|=0. x—>0 1 1

Exemplo 9 Se f(x) = j r, ^ Se X ^ f . Determine, se existir, lim f(x). ( 8 — x se x < 4 ' ' x—»4 J v '

Solução Como / (x ) = y/x — 4, para x > 4 temos que

lim / ( x ) = lim y/x — 4 = y/A — 4 = 0. x—>4+ X—4+

Como / ( x ) = 8 — x, para x < 4 temos que

lim / ( x ) = lim (8 — x) = 4. x — x — > 4 +

Como os limites laterais são diferentes, não existe lim / (x ) . x—>4

6.5 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo lab2.mws da versão eletrônica deste texto.

6.6 Exercícios 1. Se lim / ( x ) = 4, lim g(x) = — 2 e lim h(x) = 0, calcule os seguintes limites:

x—ta x—>a x—*a

(a) lim ( / (x) - g(x)) (c) lim (5(x))2 (e) lim

o» Ä g} «> Ä íi (f(x) + g(x))2

x2 x — 6 2. (a) O que está errado na identidade — = x + 3?

(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade

x2 x — 6 lim = lim (x + 3) x- 2 X — 2 x—>2

está correta.

3. Se lim ( / (x) + g{x)) = 2 e lim ( / (x ) — g(x)) = 1, calcule lim ( / (x) g{x)). x—>a x—>a x—>a

6.7 Problemas propostos 1. Nos itens a seguir, aplique as propriedades operatórias de limites para calcular os limites que existam:

x2 — 9 x — 4 (a) lim 5 x4 - 4 x3 + 2 x - 14 (e) lim (i) lim —=—-v ' x—>o v y x—>3 x - 3 x—>4 y/x - 2 (b) lim 2 x - x 4 I _ i x 2 + x _ 2

( f ) l™ T — f Ü) lim o (c) lim (x2 - 2)5 - w v-3 j, - 3 x ^ i x 2 - 4 x + 3

(d) , <*> & ( k ) ^

X—>o X

x x

2. Calcule os seguintes limites: (a) lim -—^—r (b) lim X

2 - | x | x—>o+ 2 - | x |

(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do lim x

- ?

2 - | x |

(d) fcn v ^ (e) lim ^ (f) lim / (x ) , onde { I ^ « ^ J

3. Para cada uma das seguintes funções, ache lim ^—f . x—>3 X - 3

( a ) / ( x ) = 2 x 2 _ ( e ) / ( x ) = 2 x 2 + 3 x + l (b) / ( x ) = 3 x2 (f) / ( x ) = l , para x ^ 0 (c) / ( x ) = ^ (g) / ( « ) = x3

(d) / ( x ) = mx, (m = constante) (h) O que representa geometricamente esse limite?

f(x) f(x ) 4. Para as funções do problema anterior, ache lim para um ponto XQ qualquer.

X—>X0 X — XO

5. No capítulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que não existe reta tangente à curva y = | x | no ponto xo = 0. Usando a definição de declividade de- reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nesse capítulo, prove analiticamente esta afirmação.

6. (a) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Agua salobra contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentração de sal no tanque após t minutos (em

301 g/l) é dada por C(t) = —— . &l ' F w 200 + 1 (b) O que acontece com a concentração quando t —> oo.

7. Ache lim / (x ) se

para todo x > 5.

4x - 1 , 4x2 + 3x < f(x) < ã

8. Suponha que | f(x) \ < g(x) para todo x. Se lim g(x) = 0 , calcule lim f(x). x—ta x-ta

9. O gráfico de uma função y = f(x) tem uma assíntota inclinada de equação y — mx + b se lim (f{x) — (rnx+b)) = x—tco

0 ou se lim ( / (x) - (rnx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.) x—t — oo

(a) Prove que a reta y = x é uma assíntota ao gráfico da função y = x +

(b) O gráfico da função / ( x ) = (1 — a;)d) tem uma assíntota inclinada. Encontre a equação dessa assíntota. flx)

Sugestão No caso em que x +oo, m — lim —— e b = lim (f(x) — mx). Analogamente, se calcula m x—too x X—tOO e 6 no caso em que x —> —oo.

(c) Tendo em vista a definição de assíntota inclinada, por que ãs expressões acima para m e b são válidas?

10. Dizemos que uma função ,f(x) é limitada quando existe um número M tal que | f(x) j < M, para todo x no domínio de / . Suponha que / é limitada. Mostre que:

(a) lim x f(x) = 0 x—tO

(b) lim g(x) — 0, então lim g(.x) f(x) = 0. Dê um contra-exemplo para mostrar que, se / não é limitada, essa x—ta x—ta conclusão não vale.

(c) Mostre que se lim f(x) = 0, então lim / ( x ) sen(x) = 0.

11. Suponha que lim / ( x ) = f(a) > 0. Prove que existe uma vizinhança de a na qual f(x) > 0, isto é, prove que x—>a

existe um ô > 0 tal que f(x) > 0 para todo x no intervalo (a — S, a + í ) .

para x irracional para x racional

Explique por que qualquer que seja o número real a, o lim f(x) não existe.

12. Considere a função f(x) definida por f(x)

13. (a) Se lim f(x) e lim g(x) não existem, pode existir o lim (f(x) + g(x))l E o lim (f(x) g(x))? x—>a x—>a x—ta x—ta

(b) Se lim f(x) e lim (f(x) + g(x)) existem, o que se pode afirmár a respeito do lim g(x)? x—>a x — x ^ > a

(c) Se lim f(x) existe e lim g(x) não existe, pode existir o lim (f(x) + g(x))? x—ta x—ta x—ta

(d) Se lim f(x) e lim (f(x) g(x)) existem, temos necessariamente que o lim g(x) existe? x—ta x—ta x^a

6.8 Exercícios adicionais 1. Calcule os limites abaixo:

(a) lim x-t 2

y/2x2 + 3x + 2 6 - 4x

(b) lim x~tl

y/x-1

x - 1

(c) lim x^-0

1 - VI - x

X

(d) lim x-t—

4 — x2 -2 2 + x

(e) lim X-J-l

y/2 x - y/x + 1 x - 1

(f) lim 2—14

y/2 0 + 1 — 3 y/z-2-y/2

(g) lim Œ-+ —

X 3 + 2 X 2 - 1 1 x 2 - 2 X - 3

(h

(i

0

(k

(1

(m

(n

(o

lim

x — 1 lim X—s-l lim [x3 - 5 x2 + 7]

x—t oo lim 0

x—t — oo k

y/x2 - 2 x + 2 lim x-í-oo x + 1 y/x2 - 2 x + 2

x + 1 (x2 + l)(s)

lim x—t—oo

lim X-¥ OO X + 1

(x2 + l)(i) lim

x-t-co X + 1

(p) lim yjy2 + 3 y + 2 - y 4 r3 — 3r + 1

^ tp 3 y»2 _J_ /p

x y/x — x 4- y/x — 1 (q) lim z — V'z2 — < •y—too

(r) lim x—^OO

(8) i i m i z i .

yfx + yfx + y/x

(t) lim

r3 x4

(U3 + 2U- l)5

(u) lim t—too

oo (w2 + U — 6)4

(í2 + l)5 (Vt -1)3 (t2 + 1) (2í2 - 5 ) 2

y 1 1 (v) lim , y-Kx> y + 1 yz — 1

2. Calcule os seguintes limites, caso existam:

Vx2 + a2 -a , . Vx2 + l-y/x (a) lim , , com a, b > 0 (c) hm •= V ' o y/x2 + b2 _ b x ^ yfi

(b) lim VHÇEl+í «>Ss<rb 3

v ' h^-i h + 4 x 1 1 x

3. Calcule os seguintes limites:

1 - x 3 '

(a) A 7^=9 (c) A v53r (e) JT fíi

sen(x) j < x cos(x) x < \ '

4. Em cada um dos itens abaixo, calcule lim f(x) e lim f(x), caso estes limites existam. x — x — > a ~ C 3x - 2 1 < X

(a) / ( x ) = ] 2 1 = 1, a = 1 (b) f(x) = 1 4

l 4x + 1 x < 1

. (c) / ( x ) = | x - 2 | ( f f i ) , a = 2

(d) Em quais dos itens anteriores existe o lim / (x )? (Justifique a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste x—>a

limite?

5. Em cada um dos itens abaixo, determine as constantes a e 6 para que as afirmações sejam verdadeiras: ,x2 + l , „ ax3 + bx2+x+l (a) lim ( - ( o i + 6)) = 0 (b) lim

x—>oo X + 1 X—tx 3x2 - x + 2 = 1

6. Encontre as assinto tas horizontais e verticais ao gráfico das funções abaixo: (a) f(x) = ^ . (c) h(x) = (e) f(x) = ^ ^

(b) / ( * ) = (d) f(x) = - T p f e j g (f) /(«) = ( s fe " è) £

7. Seja f ( x ) = ^ r 2 ) -

(a) Encontre o lim /'(x).

(b) Para cada um dos valores de £ dados abaixo, indique um valor de ò que satisfaça a definição formal de limite:

i. e = 1 ii. e = 0, 4 iii. £ = 0, 1 -

f 1, x < 1 8. Seja f(x) = < 3, 1 < x < 2.

I 5, 2 < x

(a) Indique, se existir, o valor de lim f(x), quando a = 1; a = 1,00001; a = 1,999998; a = 2.

(b) Nos pontos onde existir o lim f{x), para qualquer £ > 0, indique um valor de S > 0 que satisfaça a definição x—>a

formal de limite.

9. Seja L = lim f(x) e £ > 0. Em cada um dos itens abaixo, ache um ô tal que | f(x) — L | < £, para todo x que x—>1 satisfaça 0 < | x — 11 < 5. ( a ) / ( x ) = x4 (b ) / ( x ) = ± ( c ) / ( x ) = x 4 + A


6.9 Um pouco de história: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites Ao estabelecimento das bases do Cálculo por Newton e Leibniz no século XVII, seguiu-se um período de livre desen-volvimento do assunto no século XVIII.

Matemáticos como os irmãos Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Cálculo e explorar as conseqüências dessa nova e maravilhosa teoria matemática sem, no entanto, grandes preocupações com o rigor matemático nas suas demonstrações.

O século XIX, ao contrário, ficou conhecido como a Era do Rigor Matemático. Houve um movimento de retorno aos fundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em definições cuidadosas e os resultados obtidos provados rigorosamente.

A frente deste movimento estava o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que era engenheiro militar antes de se tornar professor de matemática em Paris.

Cauchy trabalhou com o conceito de limite, cuja idéia básica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a mais precisa. Sua definição de limite era mais ou menos assim:

Quando sucessivos valores atribuídos a uma variável se aproximam, indefinidamente de um valor fixo e, no fim, diferem deste valor fixo por um valor tão pequeno quanto se queira, este último valor é chamado o limite de todos os outros.

Usando esta definição em demonstrações e exemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilons e deltas análogas àquelas que usamos neste capítulo. Uma típica prova de Cauchy começava assim:

chame de £ e ô dois números muito pequenos ....

Ele usava a letra grega e em razão da analogia com a palavra francesa erreur (erro). Mais tarde, o matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a definição de limite exatamente como

a que empregamos hoje.

6.10 Para você meditar: Do nada à criação do universo Desde o primeiro grau sabemos que 0,9999 • • • = 1, e nos livros didáticos, em geral, aparece a seguinte demonstração:

Seja x = 0,999 • • •, então 10x = 9,999 • • •. Daí temos que 10 o: — x = 9=^a; = l .

Este mesmo raciocínio é empregado no segundo grau para deduzir a fórmula para a soma dos termos de uma PG infinita de razão menor que 1 do modo descrito a seguir.

Seja S igual à soma dos termos de uma PG cujo termo geral é dado por an = (\)n• Então

Daí temos que 5 1 1 1 1 2 = 2 + 4 + 8 + 1 6 + - ' -

Logo, 5 - - = l = > 5 = 2. 2

Vamos agora aplicar este mesmo raciocínio para calcular a soma dos termos da PG infinita, cujo termo geral é dado por an = 2™. Seja, então,

S= 1 + 2 + 4 + . . . .

Assim, temos que 2 5 = 2 + 4 + 8 + . ..=> S-2S = 1=> S = -1.

Ou seja, acabamos de "demonstrar" que 1 + 2 + 4 + . . . = —1 Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo raciocínio. Considere, por exemplo,

5 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .. . . Então, temos que - 5 = - 1 + 1 - 1 + 1 - . . . . Assim, obtemos que


5 = 1 - 1 + 1 - 1 . . . - ( - 5 ) = +1 - 1 +1 - 1 . . .

Daí vem que 2 5 = 1 5 =

Portanto, acabamos de provar que 0 + 0 + 0 + . . . = pois, agrupando convenientemente os termos da soma 5, podemos obter também que

5 = (1 - 1) + (1 - 1) + . . . = 0.

Esse resultado foi muito usado por teólogos em meados do século XVII para provar que alguma coisa poderia ser criada a partir do nada e que portanto a criação do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientificamente viável!!!!

• Explique por que o raciocínio nos dois primeiros exemplos está correto e por que não pode ser empregado nos dois últimos casos. Sugestão O símbolo 0,9999-•• representa o limite da seqüência Sn = ai, onde ai = (9) ( 1 0 ) p a r a i = 1, 2, 3 . . . , e a soma 5 = 1 — 1 + 1 — 1 + . . . representa o lim Sn, onde 5i = 1, 52 = 1 — 1, 53 = 1 — 1 + 1, n—YOQ e assim por diante.

6.11 Projetos

6.11.1 O caso do povo contra a Novóleo A Novóleo Ltda., companhia especializada no tratamento de resíduos poluentes, derramou, acidentalmente, uma grande quantidade do Agente Oleoso na Baía Bonita.

Feitas medições após o acidente, concluiu-se que a concentração do Agente Oleoso nas águas da baía era de 10 ppm (partes por milhão).

Na baía existem manguezais que, por sua flora e fauna características, são considerados zonas de proteção ambiental. Infelizmente, não é possível remover por meios mecânicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o

risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local. Além disso, a pesca na baía constitui o único meio de sobrevivência para diversas colônias de pescadores que vivem

ao seu redor. Devido à contaminação dos peixes pelo Agente Oleoso, a pesca na baía foi proibida. Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o prejuízo sofrido pelos pescadores,

moveu-se uma ação popular contra a Novóleo para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programas de Despoluição da baía e em auxílio às famílias desempregadas.

Após uma cuidadosa análise da situação, cientistas ambientalistas garantiram que a baía tem uma capacidade de se autodepurar a uma taxa de 20% ao ano. Baseando-se nesta hipótese, estabeleceram, então, o seguinte modelo matemático para a concentração do Agente Oleoso ao longo do tempo:

p(l) = 10 p(n + 1) = 0,8 p(n)

(Este é um exemplo de um sistema dinâmico discreto.) A partir deste modelo, os cientistas chegaram às seguintes previsões:

Ano Poluente Ano Poluente Ano Poluente Ano Poluente (ppm) (ppm) (ppm) (ppm)

1 10 6 3,28 11 1,07 16 0,35 2 8 7 2,62 12 0,86 17 0,28 3 6,4 8 2,09 13 0,65 18 0,23 4 t5,12 9 1,68 14 0,55 19 0,18 5 4,10 10 1,34 15 0,44 20 0,14

Veja estes dados mostrados no gráfico a seguir.

ioH •

8: •

6-;

4"

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

De posse destes dados, os advogados da Novóleo Ltda., em defesa do seu cliente, alegaram junto ao tribunal que não houve um dano real ao meio ambiente provocado pelo derramamento do Agente Oleoso na baía, porque ao final de algum tempo o nível de poluição da baía retornaria ao seu padrão inicial. Para fundamentar esta linha de argumentação, usaram a fórmula

lim p(n) = 0, n—t oo

explicando que esta fórmula traduzia em termos matemáticos precisos o que aconteceria com a concentração do Agente Oleoso ao longo do tempo. Além disso, explicaram também que a fórmula acima significa, matematicamente, que após um certo tempo a concentração do Agente Oleoso ficará muito próxima de zero.

O promotor da ação achou que havia alguma coisa errada nesta história, "matematicamente demonstrada, mas não sabia como contestar os argumentos matemáticos apresentados. Felizmente, uma de suas assistentes, que tinha estudado Cálculo na UFRJ e se lembrava das aulas sobre limites, chamou atenção para o verdadeiro significado matemático da expressão lim p(n) = 0.

n—tco A assistente contra-argumentou que, embora depois de muitos anos a concentração do Agente Oleoso realmente se

aproximaria de zero, os peixes e o restante da fauna e da flora aquáticas estariam contaminados e impróprios para o consumo. Por este motivo a pesca na baía seria proibida até que a concentração do Agente Oleoso fique abaixo de 2 ppm. Para fundamentar seu raciocínio, apresentou o seguinte gráfico, ilustrativo da situação descrita:

ioH •

8 - •

4- •

Assim, pelos dados apresentados pelos ambientalistas e pelo gráfico acima, ela concluiu que transcorreriam oito longos ailos até que a baía pudesse ser liberada para a pesca. Propôs, então, que fosse cobrada da Novóleo uma multa de 10 milhões de reais por cada ano em que a pesca estivesse proibida. Pelos dados apresentados, a multa total devida seria de 80 milhões de reais.

Além disso, a assistente da promotoria afirmou que a interpretação matemática dada pelos advogados da Novóleo estava correta mas era apenas uma pequena parte da história. O significado mais preciso da expressão lim p(n) = 0

n—too é que para qualquer nível de concentração C do Agente Oleoso haverá um tempo T, que pode estar muito, muito longe no futuro, tal que para todo t > T, isto é, para qualquer tempo posterior, teremos que | p(n) | < C. Dessa maneira, para que a pesca pudesse ser liberada, teríamos que ter C = 2 ppm, e, neste caso, T = 9 anos.

Sua explicação foi ovacionada pela platéia. O promotor então argumentou que, embora o nível de 2 ppm fosse adequado para a liberação da pesca na baía, a fauna e a flora, especialmente dos manguezais, só se recuperariam completamente quando o nível de concentração do Agente Oleoso ficasse abaixo de 0,5 ppm e apresentou o gráfico a seguir:


ioH •

8 -

6 -

4-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

concluindo, então, que este nível só seria atingido quando t > 14. Tendo em vista os argumentos apresentados por ambas as partes, o juiz condenou a Novóleo a pagar uma multa

de 140 milhões de reais (e sem desconto!).

1. Nos itens abaixo, determine quanto tempo deveremos esperar até que a concentração de poluentes fique abaixo do nível indicado.

(a) A concentração atual é de 15 ppm e cai a uma taxa de 30% ao ano. O nível tolerável de poluição é de 0,5 p p m .

(b) A concentração atual é de 15 ppm e cai a uma taxa de 10% ao ano. O nível tolerável de poluição é de 0,1 ppm.

2. No julgamento, apesar de todos os interessados terem concordado com a multa estipulada, muitos especialistas discordaram do nível aceitável de poluição. Para cada um dos especialistas consultados este nível seria de:

Para o Professor A. Sim Tabom: 12 ppm Para o Professor E. Justo: 3 ppm Para o Professor Q. Calamidade: 2 ppm Para o Professor Q. Horror: 1 ppm

Calcule a multa que a Novóleo deveria pagar levando em conta a opinião de cada um dos professores consultados.

3. Ainda em relação ao julgamento, os advogados da Novóleo apelaram da sentença alegando que a baía já apre-sentava um certo nível de poluição antes do derramamento do Agente Oleoso. Supondo que a concentração de agentes poluidores na baía é normalmente de 0,1 ppm, os ambientalistas obtiveram o seguinte modelo matemático para prever a concentração de poluentes ao longo do tempo

p(l) = 10 p(n + 1) = 0,1 + 0,8 (p(n) — 0,1)

Este modelo, em vez de levar em conta a quantidade de poluição da baía, estima a diferença entre o nível de poluição atual e o nível de poluição natural 0,1. Em outras palavras, se o nível aceitável é C, a Novóleo será multada por cada ano no qual \p(n) — 0,11 > C. Levando em conta este modelo, nos itens abaixo, determine por quantos anos a Novóleo deverá ser multada se (a) o nível tolerado é de 0,05 ppm (b) o nível tolerado é de 0,01 ppm

4. A Cia. Agua Pura vende água mineral. A demanda por seu produto é tão grande que o gerente precisou adquirir 10 milhões de litros de água de outro fornecedor. Infelizmente, a água que ele comprou estava contaminada por coliformes fecais com uma concentração de 10 ppm. Agua se torna imprópria para o consumo se a concentração de coliformes fecais é superior a 2 ppm. Para não ter prejuízo, o gerente resolveu diluir a água adquirida com sua própria água pura. Que quantidade de água pura ele deve adicionar à água contaminada para que a mistura se torne própria para o consumo?

6.11.2 Seqüência de Fibonacci Em 1202, o matemático italiano Leonardo Pisano (1170-1230), conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), famoso por ter introduzido os algarismos arábicos na Europa, formulou e resolveu o problema descrito a seguir:

"Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitamos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos jovens todo mês, e que os coelhos recém-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa época, um outro casal de coelhos. Começando com um casal jovem, de que tamanho estará a colônia após o primeiro, segundo, terceiro,... meses?"

No final do primeiro mês há um par de coelhos, no final do segundo mês existe ainda um único par, no final do terceiro mês existem 2 pares, e assim por diante.

Seja an o número de casais de coelhos no final do enésimo mês. Então, temos a seguinte sequência: ai = 1, a2 = 1, a3 = 2 ... Esta é a famosa seqüência de Fibonacci.

1. Liste os primeiros sete termos da seqüência de Fibonacci.

2. Como podemos relacionar <zn+2 a an e an+i, para n = 1; para n = 2; para n = 3?

3. Defina an+2 em termos de an e an+1. (Relações desse tipo, onde o valor de an é determinado em função dos termos precedentes, é chamada, em matemática, fórmula de recursão.)

4. Use o comando abaixo, após substituir os pontos de interrogação pelo valor que você achou para an+2, para achar a solução desse problema.

> rsolve({a(l)=l,a(2)=l,a(n+2)=??},{a(n)});

5. Quantos pares de coelhos existem ao final do décimo segundo mês?

6. Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma seqüencia de Fibonacci é dada pela fórmula: ai + a2 + ... + ®ra = «n+2 — 1-

7. Considere agora a seqüência r^ = onde os a^s são os termos da seqüência de Fibonacci descrita nos itens anteriores. Esta sequência representa a taxa de crescimento do número de coelhos entre o fc-ésimo mês e o (k+1)-ésimo mês. Calcule os primeiros oito termos dessa seqüência. O que esses números parecem sugerir quanto à taxa de crescimento de uma colônia de coelhos desse tipo ao longo do tempo?

8. Mostre que r^ = + 1.

9. Use a relação anterior para provar que se lim rfc = r, então temos que r é a solução da equação b2 — b — 1 = 0, k—>00 que tem uma única raiz positiva. Sugestão Seja C;í: = rj. — r, então lim c^ = 0. Escreva r em função de Ck usando a relação obtida no item k—>00 anterior.

,10. Considere a seqüência das seguintes frações 1 , -rr -, . 11 , , , 11 , etc. Mostre que esta seqüência é igual à '+1+1 1+1 1 ^ 1+1 seqüência i , i , etc.

11. Divida um segmento de reta AB em um ponto C tal que = ^^ . Esta divisão é chamada seção áurea ou divisão em média e extrema razão. A razão ^ é igual ao número r. Observação Acima demonstramos que este número é irracional e algébrico, isto é, é raiz de uma equação algébrica de coeficientes racionais. Este número desempenha um importante papel na geometria e na estética. O retângulo de lados AB e AC chama-se retângulo áureo e tem a seguinte propriedade: se dele retirarmos um quadrado de lado AC, o retângulo restante será semelhante ao retângulo original. Este tipo de retângulo tem sido considerado por arquitetos e artistas como o retângulo de melhores proporções. Exemplos do uso desse tipo de retângulo na arquitetura são encontrados desde a antiguidade até os nossos dias. Você é capaz de encontrar alguns desses exemplos?

12. Seja lio 0 comprimento do lado do decágono regular inscrito em um círculo de raio r. Prove que lio divide r em média e extrema razão.


6.11.3 Definindo e estimando o número 7T

Por meio de medições, desde a antiguidade já era bem conhecido o fato de ser constante a razão onde C denota o comprimento de uma circunferência e d o seu diâmetro. Notaremos esta razão com a letra grega ir. Desse modo, o número 7r = Ç está bem definido.

Os babilônios e antigos hebreus usavam o número três para estimar esta razão. No entanto, quando os gregos, da época de Arquimedes (240 a.C.), começaram a construir máquinas com engrenagens circulares, surgiu a necessidade de se obter uma estimativa melhor para ir.

O método usado por Arquimedes para resolver este problema, ilustrado na animação seguinte, se baseia na ob-servação de que os perímetros dos polígonos regulares de mesmo número de lados, inscritos e circunscritos a uma circunferência de diâmetro unitário, podem ser usados como aproximações, por falta e por excesso, respectivamente, para o número ir. Esta aproximação será cada vez melhor à medida que aumentarmos o número de lados dos polígonos considerados para este cálculo. Veja a animação no texto eletrônico.

© 0 © © ©

O objetivo desse projeto é provar a existência do número TT e usar a idéia de Arquimedes para estimar o seu valor.

E possível construir polígonos regulares inscritos numa circunferência qualquer, por um processo recursivo. Seja n um número natural maior ou igual a 2. O polígono de r ) lados é obtido a partir do polígono de 2™ lados por uma divisão ao meio dos ângulos formados pelos raios que passam pelos seus vértices. Veja a figura a seguir, onde construímos, por esse processo, um octógono regular a partir do quadrado, isto é, passamos do polígono de 22 lados para o polígono de 23 lados.

0.6-\ 0.4

/ -Ítr-O.f -0.4 /

2 -/ - 0 . 4

/ " -0.6

'••Q.20.40.6 \

D.8 k

Observe que, à medida que n cresce, a diferença entre o apótema dos polígonos inscritos, assim construídos, e o raio da circunferência torna-se arbitrariamente pequena.

Do mesmo modo é possível obter um polígono regular de 2(n+1) lados, circunscrito a uma circunferência, a partir do polígono de 2™ lados tomando-se como um novo ponto de tangência a interseção da bissetriz do ângulo central formado pelos raios que passam pelos pontos de tangência de dois lados adjacentes com a circunferência, como é mostrado na figura a seguir.

Sejam an o apótema do polígono regular de 2™ lados inscrito numa circunferência de raio R e pn o seu perímetro, e seja Pn o perímetro do polígono regular de 2n lados circunscrito à mesma circunferência.

1. Prove que pn < pn+1 qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

2. Prove que Pn+i < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

3. Use os dois itens anteriores para concluir que pn é uma seqüência crescente e Pn é decrescente.

4. Mostre, por semelhança de triângulos, que pn < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2 (veja figura a seguir). Daí, conclua que pn < P4.

Como pn é uma seqüência crescente e limitada, existe um número C tal que C = lim pn. Vamos definir o n—>00

comprimento da circunferência como sendo este número C. Assim, podemos tornar a diferença entre pn e C tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher n suficientemente grande.

5. Mostre que Pn — pn = . e (laí. usando o fato de que Pn < P4 qualquer que seja n natural maior do que 2, conclua que podemos tornar a diferença entre Pn e pn arbitrariamente pequena, bastando para isso considerar n suficientemente grande.

6. Use o fato acima para mostrar que lim Pn = C. n—> 00

7. Sejam duas circunferências de raios a e b e comprimentos Ca e Cb, respectivamente. Usando semelhança de triângulos, prove que = e = ^J-, onde, como anteriormente, pn" e pnb ( Pna e Pnb ) denotam os perímetros dos polígonos regulares de 2n lados inscritos nas (circunscritos às) circunferências de raios a e b, respectivamente.

8. Use os itens anteriores e a unicidade do limite para provar = jj ; • Com isto demonstramos que a razão entre o comprimento C de uma circunferência de raio R qualquer e o seu diâmetro é constante. Chamando essa razão de n, temos que C = 2-n R ou, equivalentemente, 7r =

9. Considere a circunferência de raio Deduza uma fórmula para pn e outra para Pn, em função do ângulo central da circunferência formado pelos raios que ligam dois vértices consecutivos dos polígonos e use-a para estimar o valor de 7r com erro menor do que 0,01.

Arquimedes calculou para 7r um valor entre ^ e Os hindus e árabes (450 d.C.) chegaram ao valor de 3,1416, e Vieta (1593), trabalhando com polígonos de 393 lados, chegou a um valor entre 3,1415926537 e 3,1415926535. Resultados mais precisos foram obtidos nos séculos XVII e XVIII usando-se a teoria das séries infinitas.

Capítulo 7

Polinómios e Funções Racionais

7.1 Polinómios Ao iniciarmos nosso estudo sobre funções, consideramos o problema de construir uma caixa sem tampa a partir de um pedaço quadrado de plástico maleável de lado igual a l cm. Naquela ocasião, vimos que uma maneira de se fazer isto era cortando pequenos quadrados nos cantos da folha e, então, dobrando na linha pontilhada.

O problema consistia em determinar o volume de água que esta caixa pode conter, quando completamente cheia. Vimos que uma expressão matemática que fornece tal volume é dada por V(x) = x (20 — 2x)2 . Esta função é um exemplo do que, em matemática, chamamos de polinómio. Os polinómios aparecem na resolução de muitos problemas na vida prática, por isso é importante estudá-los com um pouco mais de cuidado. Este capítulo é destinado a um estudo mais aprofundado de polinómios.

Um polinómio de grau n é uma função da forma

p{x) = an xn + an-1 x ( n _ 1 ) + ... + a2x2 + aix + ao

onde n é um número natural, os coeficientes ao, ai,... ,an são números reais conhecidos e a„ / 0. A função linear afim y = ax + b, cujo gráfico é uma reta e a função quadrática y = ax2 + bx + c, cujo gráfico é

uma parábola, são exemplos de polinómios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinómio de grau zero é uma função constante. Cada uma das parcelas a»x% de um polinómio é chamada de monómio de grau i .

Exercício 1 Dado um polinómio p(x) = an x n + an_ix^™ -1) + .. . + a2 x2 + ai x + ao, qual o significado geométrico da constante ao? O que se pode afirmar quando ao = 0?

Os exemplos mais simples de polinómios são as funções potências da forma 1,

Ao lado estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguin-tes funções potência de grau ímpar / ( x ) = x, g{x) = x3 e h(x) = x5 , respectivamente.

-2 -1 z^/0! j 2 Exercício 2 í/ ^

- Quais são as principais características dos gráficos dessas j\ funções?

- Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do lim xn e do lim i™, se n é ímpar? x—>oo X—> — oo

Exercício 3 Observe os gráficos das funções y = x9 e y — x9 + 3x6 + 7x4 — x, traçados na mesma janela, para —3 < x < 3 e —100 < x < 100, respectivamente.

97

98 Cap. 7 Polinómios e Funções Racionais

- O que se pode afirmar em relação ao comportamento dessas duas funções quando x cresce, em valor absoluto? Ou seja, o que se pode afirmar a respeito do limite dessas duas funções quando x —• +00 e quando x —> — 0 0 ?

- Verifique que este fato pode ser generalizado, isto é, um polinómio de grau ímpar se comporta como o seu monómio de maior grau quando x cresce em valor absoluto. Para isso, trace na mesma janela vários gráficos de monómios e polinómios de mesmo grau para grandes valores de x.

A última afirmação do exercício anterior pode ser facilmente demonstrada. Para isso, basta observar que:

„2 , , _ ..n ( _n\ ( -i:— ao , ai , «2 fim ao + ai x + a2 x + ... + an x" ( lim xr \x—>00

• ao , l i m h , n ,

00 xn x\n~ ' + . ( ra -2 ) + an

Como o último limite é igual a an, o limite do polinómio é dominado pelo limite do monómio de maior grau. A mesma análise pode ser feita para polinómios de grau par. Ao lado estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes

funções potência de grau par f(x) = x2, g(x) = x4 e h(x) = x6, respectivamente.

Exercício 4

- Quais são as principais características dos gráficos dessas funções?

- Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do lim xn e do lim xn, se n é par?

x—>00 z — ^ — o o )

Exercício 5 Examine abaixo os gráficos das funções y = x10 e y = x10 + 3 x7 + 7 .í1, traçados na mesma janela, para — 1 < x < 1 e —100 < x < 100, respectivamente. No segundo gráfico, é possível distinguir as duas funções?

I \ I I i 1e+20-

I \ 0 8 / / I \ \ / / 8e+19

\ \ ° -6" \ \ y 1 \ \ 04 / / 1 6e+19 -

\ \ 02 / 1 \ y \ 4e+19 -

- 1 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0.2 0.4x0.6 0.8 i \ - 0 .2 - \ 2e+19 -

-0.4 V - 1 0 0 - 8 0 -60 -40 -20 u 20 40 x 60 80 100

- O que se pode afirmar quanto ao comportamento dessas duas funções, à medida em que x cresce, em valor absoluto? Ou seja, qual o limite dessas duas funções quando x —• +00 e quando x —> — 0 0 ?

- Reforce a sua intuição traçando, na mesma janela, vários gráficos de monómios e polinómios de mesmo grau para valores grandes de x, para verificar que a afirmação acima pode ser generalizada, isto é, um polinómio de grau par se comporta como o seu monómio de maior grau quando x cresce em valor absoluto.

- Demonstre esta afirmação. (Esta demonstração é a mesma que foi indicada para o caso n ímpar.)

7.2 Funções racionais Os polinómios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado de função racional, isto é, uma função racional f(x) é do tipo

f(x) - &

onde p(x) e g(x) são polinómios. Se o denominador q(x) for uma constante não nula, esse quociente será ele próprio um polinómio. Assim, os polinómios estão incluídos entre as funções racionais.


Evidentemente, nos pontos onde q{x) = 0 a função / não está definida, portanto, o maior domínio de uma função racional é constituído pelo conjunto de todos os números reais excetuando-se esses pontos. Os zeros de q{x) são chamados de pólos ou pontos singulares da função / .

Como os polinómios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando x cresce em valor absoluto. Além disso, é importante também estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares, pois ao redor desses pontos podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos que dão origem às assíntotas verticais ao gráfico de uma função, caso essas assíntotas existam.

O objetivo desta seção é estudar o comportamento de uma função racional em torno de seus pontos singulares e também o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor, igual e maior que o grau do denominador.

Exemplo 1 Já estudamos o comportamento das funções y — e y = j . Observe abaixo os seus gráficos:

Repare que, nos dois casos, o pólo das duas funções é o ponto i = 0 e que os valores das duas funções se tornam ilimitados quando x se aproxima de 0. (A reta y = 0 é uma assíntota vertical ao gráfico das funções.) Além disso, nos dois casos, lim f(x) = 0 e, portanto, a reta x = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessas funções.

| x [ — > o o

Este comportamento é típico das funções racionais cujo grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Para ilustrar esta afirmação, examinemos um outro exemplo.

x Exemplo 2 Considere a função f(x) = —5 - . O seu maior domínio é o conjunto do todos os reais, excetuando-se

x2 — 1 os pontos — l e i , que são os seus pólos.

Para estudar o comportamento dessa função perto dos pólos é suficiente calcular lim f(x), lim f(x), lim f(x) X—>1+ x—x—> — 1 +

e lim f(x). x—>—

Em todos esses casos, os valores da função crescem sem limite, em valor absoluto. Como já vimos, este comporta-mento se traduz, matematicamente, dizendo que a função tende a + 00 ou a —00 e ocorre sempre que os valores do denominador se aproximarem de zero e o limite do numerador existir e for diferente de zero. (Lembre-se de que nada se pode afirmar a priori se o limite do numerador também for igual a zero.) O sinal dependerá do sinal da fração quando x se aproximar do polo pela esquerda ou pela direita.

x No exemplo acima temos lim = +00, porque a fração assume valores positivos, cada vez maiores, à

X2- — 1 X medida que x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 e, lim —z = — 00, porque a fração é negativa e assume

x2 — 1 valores cada vez maiores, em valor absoluto, quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1. Observe as tabelas a seguir, onde se evidencia este comportamento numericamente. A primeira mostra o comportamento numérico da função quando x se aproxima de 1, pela direita, e a segunda, quando x se aproxima de 1, pela esquerda.


1.500000000 1.250000000 1.125000000 1.062500000 1.031250000 1.015625000 1.007812500 1.003906250 1.001953125 1.000976563

x2 - 1 1.200000000 2.222222222 4.235294118 8.242424242 16.24615385 32.24806202 64.24902724 128.2495127 256.2497561 512.2498780

1.000488281 1.000244141 1.000122070 1.000061035 1.000030518 .5000000000 .7500000000 .8750000000 .9375000000 .9687500000

x2 - 1 1024.249939 2048.249969 4096.249985 8192.249992 16384.25000

-.6666666667 -1.714285714 -3.733333333 -7.741935484 -15.74603175

.9843750000

.9921875000

.9960937500

.9980468750

.9990234375

.9995117188

.9997558594

.9998779297

.9999389648

.9999694824

x x2 - 1

-31.74803150 -63.74901961 -127.7495108 -255.7497556 -511.7498779 -1023.749939 -2047.749969 -4095.749985 -8191.749992 -16383.75000

As retas i = l e x = - l são assíntotas verticais ao gráfico dessa função. Da mesma forma lim f(x) = +oo e x—> — 1+

lim f(x) = —oo. X—• — l -

Estudaremos, agora, o comportamento desta função quando x cresce em valor absoluto. Para isso precisamos calcular os limites da função quando x tende a +oo e quando x tende a —oo. Observe abaixo os gráficos desta função e da função / ( x ) =

"1 -2I -M

Compare o comportamento destas duas funções quando | x | —> +00. Perceba que estas duas funções se comportam da mesma maneira quando x —> +00 ou quando x —• —00.

Para comprovar algebricamente este fato, basta .colocar em evidência os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração e simplificar. Assim, como

1

X2 1 X2 (1

tem-se lim x—>00 X 1 lim 1

- x ( l - 4 ) 0.

1 . 1 pois lim - = 0 e lim = 1, portanto, o limite do produto é zero. (Repare que esta operação é possível porque S - + 0 0 x x — o o 1 t xz

estamos estudando o comportamento da função para valores grandes de x, e, portanto, estamos considerando x 0.) Da mesma forma, lim = 0.

+ ( - ~ o o ) X2 - 1

A reta y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessa função.

Exercício 1 Estude o comportamento da função f(x) = 1 x2 + 2 x + c no infinito e próximo aos pólos, para

c = —1, 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Determine também suas assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Confira suas conclusões traçando o gráfico dessas funções com a ajuda do Maple.

Exemplo 3 Considere a função / ( x ) = 2x + l O domínio de / é o conjunto de todos os números reais, excetuando-se x = 3. Este ponto é o seu pólo. Para determinar o comportamento desta função nas proximidades deste pólo, é preciso calcular o lim / (x ) e o lim / (x ) .

x »3+ x—»3 Para isto, observe que quando x se aproxima de 3, quer pela direita, quer pela esquerda, o numerador da fração se

aproxima de 7 e, portanto, é positivo nos dois casos. Mas, quando x se aproxima de 3 pela esquerda, o denominador


assume valores negativos cada vez mais próximos de zero, de modo que o quociente é sempre negativo e cresce em valor absoluto, ou seja, o quociente tende a —oo.

Por outro lado, quando x se aproxima de 3 pela direita, o quociente é um número positivo que se aproxima de zero, de modo que a fração é positiva e crescente, ou seja, tende a +00.

Observe, mais uma vez, as tabelas a seguir, onde o comportamento desta função é evidenciado numericamente. A primeira tabela mostra o comportamento da função quando x —» 3 + . A segunda, quando x —* 3~.

x

2.500000000 2.750000000 2.875000000 2.937500000 2.968750000 2.984375000 2.992187500 2.996093750 2.998046875 2.999023438

2x + 1 x — 3 - 1 2 . - 2 6 . -54 .

- 1 1 0 . - 2 2 2 . -446. -894. -1790. -3582. -7166.

x

2.999511719 2.999755859 2.999877930 2.999938965 2.999969482 3.500000000 3.250000000 3.125000000 3.062500000 3.031250000

2x + 1 x — 3

-14334. -28670. -57342. -114686. -229374.

16. 30. 58. 114. 226.

3.015625000 3.007812500 3.003906250 3.001953125 3.000976563 3.000488281 3.000244141 3.000122070 3.000061035 3.000030518

2x + l x — 3 450. 898. 1794. 3586. 7170. 14338. 28674. 57346. 114690. 229378.

Estes limites indicam que a reta x = 3 é uma assíntota vertical do gráfico desta função. Além disso,

lim — = lim ^ | x |—»00 x + 3 |ihoo l + §

e, dessa última expressão, é fácil concluir que este limite é 2. A reta y = 2 é, portanto, uma assíntota horizontal ao gráfico dessa função.

O gráfico dessa função evidencia o seu comportamento característico.

20

- 1 0 - 8 - 6 - 4 -2

-10

-20J

4x6

Exemplo 4 Analisemos agora a função y • X Z - 4 . Essa função não está definida para x = 0. O seu comportamento na vizinhança desse ponto é traduzido pelas expressões lim f(x) = o o e lim f(x) = — 00. A reta x = 0 é, portanto, x—>0- x—>0+ uma assíntota vertical ao gráfico dessa função. Para analisar o comportamento destsa função quando \x \ —> 00, observe que

x2 — 4 4 = x .

x x

Como lim — = 0, concluímos que X—>00 X

De maneira análoga, concluímos que lim x—> — 00 x

X2~4 4

x2 — 4 4 lim = lim x — lim — = + 0 0 X—>00 x X—>00 x—»00 X

x2 — 4

No entanto, a igualdade = x — ^ implica que o

x lim

I x l—*oo V X 2 - 4

- x = 0.

Este limite indica que, à medida que x cresce em valor absoluto, os valores da função se aproximam cada vez mais da reta y = x, portanto, essa reta é uma assíntota inclinada ao gráfico dessa função. (Veja Problema 9 do Cap. 6.) Observe a seguir o comportamento dessa função evidenciado pelo seu gráfico traçado em conjunto com o da função y = x.

Este comportamento é típico das funções racionais cujo grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Quando o grau do numerador é uma unidade maior que o grau do denominador, a função racional tem uma assíntota inclinada. Para determinar a equação dessa assíntota basta dividir o numerador pelo denominador, como fizemos no exemplo anterior.

De um modo geral, dada uma função racional do tipo

n(x) ~d{x) '

se o grau de n(x) for maior ou igual ao grau de d(:r), podemos dividir o numerador pelo denominador para obter n(x) = d(x) q(x) + r(x), onde o grau do resto da divisão r(x) é menor que o grau do divisor d{x). Assim, podemos escrever

r(x) f(x) = q{x) +

d(x) Esta forma de exprimir a função é ideal para estudarmos o seu comportamento no infinito. Como o grau de d(x)

r(x) é maior do que o grau de r(x), temos que lim d(x)

= 0, o que nos leva a concluir que

lim ( / (x) - q{x)) = 0, | X \—>oo

isto é, a função / se comporta como a função q para grandes valores de x, em valor absoluto. Dizemos, neste caso, que o gráfico de / ( x ) é assintótico ao gráfico de q(x). Em outras palavras, à medida que x cresce em valor absoluto, o gráfico de y = / ( x ) se aproxima cada vez mais do gráfico de y = g(x), sem nunca chegarem a se interceptar. Se o gráfico de q{x) for uma reta, dizemos que esta reta é uma assíntota ao gráfico de /. (Veja Problema 9 do Cap. 6 e Projeto Assíntotas e Outras Funções Limitantes.)

Exercido 2 Faça a mesma análise dos exemplos anteriores para as seguintes funções: 1 ii — x 1 <1. — x2+1 L- y - ,.2-4 á. y - -23T

2. y = x + l 4. y -1

z 3 - l

7.2.1 Comportamento no infinito de funções racionais - Conclusão Os exemplos anteriores indicam que o comportamento de uma função racional f(x) = é determinado pelo com-portamento do quociente dos monómios de mais alto grau do numerador p(x) e do denominador q(x). Este fato pode ser justificado em cada caso particular, como você viu nos exemplos acima, colocando-se em evidência a parcela de maior grau do numerador e do denominador. Assim, deixamos para você mostrar que, se p(x) = «o + (i\ x +... + an x'L

e q(x) = bo + bi x + ... + bm x m , tem-se:

vix) 1. Se n < m, então, lim —— = 0. \ x \ — * c o q ( c c )

T)\ X) 2. Se n > m, então, lim ——- pode ser +oo ou —oo, dependendo dos sinais de an e bm. | x | — > o c q ( x )


p(x) an 3. Se n = m, então, lim = -—. j x j—»00 g(x) bm

7.3 Atividades de laboratório

Utilizando o Maple e um computador, faça as atividades propostas no arquivo lab3.mws da versão eletrônica deste texto.

7.4 Para você meditar: enésima diferença

2 c Considere o polinómio y = ^ — . Vamos calcular os seus valores para 1 = 0, 1, 2, 3 e 4

> f:=x->x~2/2-3*x+5/2;

1 ? „ 5 2 2

> x[l]:=0;x[2]:=l;x[3]:=2;x[4]:=3;x[5]:=4;

Xi X2 X3 X4

X5

= 0 = 1 = 2 = 3 = 4

> for i from 1 to 5 do y[i]:=f(x[i]) od;

V1 : = 2 V2 :=0

- 3 y3 := t y4 := - 2

- 3 2/5 : = T

Vamos, agora, calcular as diferenças entre dois valores consecutivos de y.

> for i from 1 to 4 do dif[i]:=y[i+l]-y[i] od;

dif! := ^

diÍ2 -y

difa •=

difi \

É fácil ver que os pontos (xj, di/J estão alinhados.

> plot ( [ [x [1] , dif [1] ] , [x [2] , dif [2] ] , [x [3] , dif [3] ] , [x [4] , dif [4] ] ] );

Isto indica que se formarmos as diferenças das diferenças obteremos constantes. De fato, temos: > for i from 1 to 3 do dif2[i]:=dif[i+l]-dif[i] od;

dif21 := 1 dif22 := 1 dif23 := 1

A diferença das diferenças é chamada segunda diferença, e nesse exemplo é constante e igual a 1. A questão que surge é se isto ocorre por acaso ou se existe uma regra para as funções quadráticas que garanta que

a seqüência formada pelas segundas diferenças é uma constante.

1. Prove que, se os valores de x são igualmente espaçados, as primeiras diferenças definem uma função linear e as segundas diferenças permanecem constantes.

2. Mostre que, para a função cúbica f(x) = x3, se os valores de x são igualmente espaçados, as primeiras diferenças definem uma função quadrática de x, as segundas, uma função linear de x e as terceiras diferenças são constantes.

3. Esta propriedade pode ser generalizada para um polinómio de grau n? Mais tarde voltaremos a este problema para mostrar como ele está relacionado com o problema das retas tangentes a uma curva.

7.5 Projetos

7.5.1 Assíntotas e outras funções limitantes Vimos ao estudar as funções racionais, que quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, a função

— Pq{xj nenhuma assíntota horizontal, pois os valores da função crescem sem limite quando \x\ —> oo. No entanto, como vimos no Exemplo 4, estas funções podem apresentar assíntotas inclinadas, isto é, pode existir

uma reta y = ax + b tal que lim (f(x) — (ax + b)) = 0. Isto significa que, à medida que os valores de x crescem, em | x j — > o o

valor absoluto, os pontos do gráfico da função / se aproximam cada vez mais do gráfico da reta y = ax + b. A questão que se coloca agora é saber se existem outras funções g(x), não-lineares, tais que lim ( f ( x ) — g(x)) =

| X j—>oo

0. Nesse caso dizemos que o gráfico da função g(x) é assintótico ao gráfico da função / , ou que g determina o comportamento assintótico de / .

O objetivo desse projeto é estudar o comportamento assintótico das funções racionais determinando a equação da função limitante.

1. Seja f(x) =

(a) Determine a assíntota vertical ao gráfico dessa função. (b) Existem assíntotas horizontais?

(c) Escreva f(x) na forma f(x) = s(x) + e trace os gráficos de f(x) e s(x) na mesma janela para —10 < x < 10 e —10 < y < 100. O que você pode observar?

(d) Prove que s(x) é uma assíntota inclinada ao gráfico de / .

2. Seja f(x) = 2x%x+i.


(a) Determine uma função g tal que lim ( / (x ) — g(x)) = 0. I X |—>00

(b) Trace na mesma janela os gráficos de g e de / .

3. Como é possível reconhecer e determinar o comportamento assintótico de uma função racional?

4. Use a sua conclusão para determinar a função limitante de / ( x ) = x x e trace 0 gráfico de / e de sua função limitante na mesma janela.

5. Determine uma função / ( x ) que seja assintótica a q(x) = x + 1 e que tenha uma assíntota vertical em x — 0. Trace o gráfico dessas duas funções na mesma janela.

6. Determine uma função / ( x ) que seja assintótica a q(x) — x2 — 2x e tenha uma assíntota vertical em x = 2. Trace o gráfico dessas duas funções na mesma janela.

7. Determine as condições sobre uma função racional que garantam

(a) a existência de uma assíntota inclinada. (b) a existência de uma função assintótica não-linear. (c) Dê exemplos de cada um dos casos.

7.5.2 Interpolação de Lagrange e ajuste de curvas Nas atividades de laboratório aprendemos como utilizar o Maple para encontrar a equação do polinómio que passa por um certo conjunto de pontos. Como um polinómio de grau n tem n + 1 coeficientes, é necessário conhecer, pelo menos, n + 1 pontos desse polinómio para que possamos determinar a sua equação, isto é, para determinar uma reta precisamos conhecer dois de seus pontos, para determinar uma parábola da forma y — a x2 + bx + c são necessários três pontos e assim por diante.

Nesse caso, para determinar os coeficientes do polinómio, precisamos resolver um sistema linear de n + 1 equações e igual número de incógnitas. Se esse sistema for determinado, o problema está resolvido. Entretanto, resolver sistemas de equações é um processo muito caro computacionalmente, em termos de dispêndio de tempo e de memória, por isso outras abordagens são utilizadas.

O objetivo desse projeto é descrever a técnica chamada de Interpolação de Lagrange para resolver este problema. Esta técnica foi desenvolvida por Joseph L. Lagrange (1736-1813), um dos primeiros matemáticos a demonstrar o Teorema do Valor Médio e um dos fundadores do Cálculo das Variações. A idéia é descrita a seguir.

Suponha que se deseja determinar o polinómio de grau n que passa por n + 1 pontos (xj, yi) dados. Para cada um dos pontos xí é fácil construir um polinómio pi tal que ft(xj) = yi e Pi(xj) = 0 para todo j i.

Esse polinómio será da forma Pi(x) = 11^=1 A(x — Xj), j /i onde a constante A é determinada pela condição n + l

Pi(xi) — yi- O polinómio p = ^^ Pi{x) será o polinómio que procuramos. Os pontos usados nessa construção são i=i

chamados de nós. O exemplo a seguir ilustra essa técnica.

Problema: Determinar a parábola que passa pelos pontos (1, 0.346), (2, 0.974) e (3, 0.141). Primeiro vamos definir os valores dos pontos: > valores_x:=[l,2,3]:

> valores_y:=[0.346,0.974,0.141]:

Qualquer polinómio com zeros nos pontos x = 2 e x = 3 é múltiplo de (x — 2)(x — 3). Assim temos: > p [1] : =x->A [1] * (x-2) * (x-3) ;

Px := x Ai (x - 2) (x - 3)

Para determinar o valor de A, usamos a condição pi(xi) = y\\ > A[l] :=solve(p[l] (valores_x[l] )=valores_y [1] ,A*[1]);

Ax := .1730000000


Procedendo da mesma maneira para os outros pontos, obtemos: > p [2 ] :=x ->A[2 ]* (x - l ) * (x -3 ) ;

p2 '•= x A2 ( X - 1 ) (x - 3) > A[2] :=solve(p[2] (valores_x[2] )=valores_y[2] ,A[2] ) ;

A2 := -.9740000000 > p[3] :=x->A[3]*(x-1)*(x-2) ;

p3:=x-^ A3 (X - 1) (x - 2) > A[3] :=solve(p[3] (valores_x[3] )=valores_y[3] , A [3] ) ;

A3 := .07050000000

A parábola que queremos é a soma dos três polinómios obtidos acima: > p [ l ] : = A [ l ] * ( x - 2 ) * ( x - 3 ) ;

Pi := .1730000000 (x - 2) (x - 3) > p[2] :=A[2]*(x- l )* (x-3) ;

P2 := -.9740000000 (x - 1) (x - 3) > p[3] :=A[3]*(x- l )* (x-2) ;

p3 := .07050000000 (x - 1) (x - 2) > Lagrange:=expand(sum(p[i] , i=l. .3)) ;

Lagrange := -.7305000000x2 + 2.819500000 x - 1.743000000

Vamos verificar que este é o polinómio que queremos: > f:=unapply(Lagrange,x);

/ : = x -.7305000000 x2 + 2.819500000 x - 1.743000000 > f C l ) ;

.346000000 > f ( 2 ) ;

.974000000 > f ( 3 ) ;

.141000000

1. Usando a Interpolação de Lagrange, ache a função polinomial de quarto grau determinada pelos pontos (—5,1630), ( -2,15), (0,3), (3,630) e (6,7215).

2. O Maple faz interpolações automaticamente com o comando interp(valores_x, valores.y ,x). Use esse co-mando para conferir a resposta obtida para o item anterior.

Na verdade, as únicas funções cujos valores sabemos calcular por meio de um número finito de operações elementares (adições, multiplicações e suas inversas) são os polinómios, por isso eles são usados, em geral, para aproximar outras funções, tais como funções trigonométricas e exponenciais, cujos valores não podem ser calculados diretamente. Para analisar como esse método funciona, vamos comparar a função y = xix+1 com diferentes interpolações por polinómios.

Em primeiro lugar, vamos definir a função / : > f :=x->x/(x~2+l) ;

nr f:=x x2 + 1

A seguir, escolhemos os pontos que serão os nós da interpolação e calculamos o valor de / nesses pontos: > valores_x:=[0 ,2 ,4] ;

valores-X : = [0, 2, 4]


> valores_y:=map(f,valores_x);

> L2:=interp(valores_x,valores_y,x);

r 2 4 , valores jy [0, — J

6 9 29 " = _ 8 5 85 X

Vamos agora comparar as duas funções traçando os seus gráficos na mesma janela: > plot([f(x),L2],x=-l..5);

Aumentando o número de pontos haverá mais valores onde a função / e a sua interpolação polinomial coincidirão: > valores_x: = [0,1,2,3,4] ;

valores-.x := [0, 1, 2, 3, 4] > valores_y:=map(f,valores_x);

r 1 2 3 4 . valores-y := [0, - , - , - ]

41 > L4:=interp(valores_x,valores_y,x);

r LJ" _ 85 ~ ' 170

> plot([f(x),L4],x=-l..5,y=-l..1,color=black);

73 „ 97 ^ + — " " 8 5 ^ + 8 5 X

Essa parece ser uma aproximação melhor para a função / definida acima?

Aumentando o número de pontos considerados na interpolação, podemos melhorar a aproximação produzida. Desta vez, em vez de considerarmos os nós igualmente espaçados, vamos aumentar o número de nós, no intervalo onde a função muda mais rapidamente:

> valores_x:=[0,0.3,0.6,1,1.3,1.6,2,3,4];

valores-X : = [0, .3, .6, 1, 1.3, 1.6, 2, 3, 4] > valores_y:=map(f,valores_x);

valores.y := [0, .2752293578, .4411764706, .4832713755, .4494382022, \, A O J.U J. /

> L8:=interp(valores_x,valores_y,x);



> L2:=interp(valores_x,valores_y,x) ;

2 4 valores.y := [0, —]

L2 6 2 29

-85* + 85*

Vamos agora comparar as duas funções traçando os seus gráficos na mesma janela: > p l o t ( [ f ( x ) , L 2 ] , x = - l . . 5 ) ;

Aumentando o número de pontos haverá mais valores onde a função / e a sua interpolação polinomial coincidirão: > va lores_x :=[0 ,1 ,2 ,3 ,4 ] ;

valores-X := [0, 1, 2, 3, 4J > valores_y:=map(f,valores_x);

vaiores.y:=[ 0, i, A, ±]


L4 - - j > p l o t ( [ f ( x ) , L 4 ] , x = - l . . 5 , y = - l . . l , c o l o r = b l a c k ) ;

2 4 41 o 73 2 97 L4 :=~85X +Í7ÕX 8 5 * + 8 5 X

Essa parece ser uma aproximação melhor para a função / definida acima?

Aumentando o número de pontos considerados na interpolação, podemos melhorar a aproximação produzida. Desta vez, em vez de considerarmos os nós igualmente espaçados, vamos aumentar o número de nós, no intervalo onde a função muda mais rapidamente:

> va lo res_x := [0 ,0 .3 ,0 .6 ,1 ,1 .3 ,1 .6 ,2 ,3 ,4 ] ; valores-x := [0, .3, .6, 1, 1.3, 1.6, 2, 3, 4]


valores.y := [0, .2752293578, .4411764706, - , .4832713755, .4494382022, - , — , — } 2 ' 5 10 17j



L8 := .005211224118 a;8 - .07569373843 a;7 + ,4527348679 a;6 - 1.438481276 x5

+ 2.562033154 x4 - 2.306532380 x3 + .3346833462 x2 + .9660448014 x

Veja o resultado obtido, graficamente: > p l o t ( [ f C x ) , L 3 ] , x = - l . . 5 , y = - l . . 1 ) ;

1 0 .8

0 . 6

1. Tendo em vista que a função / , definida acima, tem uma assíntota horizontal, o que se pode esperar de uma interpolação polinomial para essa função para grandes valores, positivos ou negativos, de x?

2. A última aproximação obtida é consideravelmente melhor que a anterior? Para responder a essa pergunta trace vários gráficos da função y = |/(x) — Lk\ para estimar o erro máximo que cometemos no caso de aproximarmos / por polinómios de grau 2, 4, 8 e 12, respectivamente, e conclua se Lj2 é uma aproximação significativamente melhor que L-j ou L4. Essa medida para o erro é chamada norma do supremo.

3. Por meio desse processo, sempre é possível obter uma boa aproximação para qualquer função sobre um intervalo fixado. Escolha criteriosamente os nós para obter uma aproximação polinomial para a função y = cos(2-7rx), com erro menor que 0,01, no intervalo [0, 5]. Use a norma do supremo para estimar o erro cometido.

Capítulo 8

Continuidade

8.1 Discussão informal e intuitiva sobre continuidade Considere os seguintes exemplos:

f(x) = i x3 + ^ x2 + 5 g(x)= \ 4~ 2x2' Parax^2

[ x + 2, para x > 2 22 / 20 18 16 14 12 10 8 / 6

Z"""" 4 1 x 2 3

A principal característica geométrica que distingue o primeiro gráfico do segundo é que o primeiro tem um traçado contínuo (com isso queremos dizer, intuitivamente, que podemos traçar este gráfico "sem tirar o lápis do papel"), enquanto no segundo há um salto, ou seja, há uma "descontinuidade" ou "quebra" no traçado do gráfico para x = 2.

O objetivo desta seção é definir, matematicamente, o que entendemos por continuidade. Voltando aos exemplos acima, no primeiro gráfico observamos que, para qualquer ponto XQ escolhido, quando x se

aproxima de xo, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes da função / ( x ) , se aproximam de f ( x o).

Como já vimos, esta afirmação se traduz matematicamente pela expressão lim / ( x ) = / (xo) . Esta propriedade X—>XO

não vale qualquer que seja a função / . No segundo exemplo, quando x se aproxima de 2 pela esquerda, g(x) se aproxima de 2, que é igual ao valor da função g calculada no ponto x = 2. No entanto, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (pela direita), g(x) se aproxima de 4, que é diferente de g(2). Observe nos diagramas a seguir a ilustração destas afirmações.

Execute as animações correspondentes na versão eletrônica para outros pontos XQ e observe que a condição lim / ( x ) = f(xo) continua valendo, qualquer que seja xo no primeiro caso, e que esta condição falha somente

X — > X o

no ponto xo = 2, no segundo. Assim, a característica geométrica de não haver "quebras" ou "interrupções" em um determinado ponto (xo, / (xo) )

no traçado da curva que representa o gráfico de uma função / , isto é, o fato de o gráfico de / ser representado por uma curva contínua em um certo intervalo (a,b), pode ser descrito afirmando-se que "quanto mais próximo x estiver de xo, mais próximo / ( x ) estará de / (xo)" , o que, como já vimos, significa dizer em linguagem matemática que lim / ( x ) = / (xo) , qualquer que seja o ponto xo no intervalo (a, b).

X—>XQ

Estas observações conduzem, naturalmente à definição a seguir.

109

110 Cap. 8 Continuidade

8.2 Definição de continuidade Dizemos que uma função f é contínua em um ponto XQ se:

(i) Existe f(xo)

(ii) Existe o lim / ( x ) X—>XQ

(iii) lim f(x) = f(xo) X—>XQ

A condição (i) nos diz que o ponto xo é um ponto do domínio de /. Portanto, podemos resumir a definição de continuidade dizendo que / é contínua em um ponto de seu domínio se lim f(x) = f(xo).

x—>XQ Esta definição se refere à continuidade de uma função em um ponto, mas o conceito de continuidade começa a ficar

realmente interessante quando estudamos as funções que são contínuas em todos os pontos de algum intervalo. Assim, se f é contínua em xo, qualquer que seja o ponto Xo em um certo intervalo (a, b), dizemos que / é contínua em (a, b). Do mesmo modo podemos definir as funções que são contínuas em toda a reta.

No caso de um intervalo fechado [a, b], dizemos que / é contínua em [a, b] se

(i) / é contínua em (a,b)

(ii) lim / ( x ) = / ( o ) x—*a+

(iii) lim f(x) = f(b). X—>0

Da mesma maneira, a função / será contínua na união de intervalos se as três condições acima forem válidas para cada um dos intervalos considerados.

Punções contínuas em intervalos são usualmente consideradas como especialmente "bem comportadas". Na rea-lidade, continuidade é a primeira condição a ser exigida para que uma função seja considerada "razoavelmente bem comportada". Neste sentido, funções contínuas são definidas, intuitivamente, como aquelas cujos gráficos podem ser traçados sem "tirarmos o lápis do papel".

Examinando a função y = xsen(^) ao lado, vemos que a des-crição intuitiva de continuidade é um pouco otimista (por quê?) e que por isso devemos, além de usar a nossa intuição, por me-lhor que ela seja, sempre apoiar as nossas conclusões em definições matemáticas precisas ou em resultados já demonstrados a partir dessas definições.

Existem muitos resultados importantes envolvendo funções que são contínuas em intervalos. Estes teoremas, em geral, são muito mais difíceis de demonstrar rigorosamente (veja seção: Propriedades Especiais das Funções Contínuas) do que os resultados enunciados a seguir, que lidam com continuidade em um único ponto.

A maioria destes últimos resultados decorre, imediatamente, das regras operatórias envolvendo limites. No entanto, existe um teorema simples que faz a ligação entre continuidade em um ponto e o comportamento da função num certo intervalo. (Veja Propriedade da Manutenção do Sinal para Funções Contínuas.)

Exercício 1

1. Usando a definição de função contínua e as propriedades operatórias de limite vistas no Cap. 6, prove que a soma e o produto de funções contínuas são funções contínuas.

2. Se g(xo) 0, prove que ^ é contínua em x = XQ (veja próxima seção).

3. Decida se a função g definida como sendo 1 para os valores de x maiores ou iguais a zero e —1 para os valores de x menores que zero é contínua em x = 0.

Exemplo 1 Polinómios Pelo Exercício 1, as funções polinomiais são contínuas em toda reta real, isto é, estas funções são contínuas em qualquer ponto i E l .


8.3 Funções racionais e tipos de descontinuidade Se p(x) e q(x) são polinómios, então as regras para limite e a continuidade dos polinómios implicam que

lim É É . = P ^ = P(xo) i - « » q(x) lim q(x) q(xo)'

X—TXQ

desde que q(x0) ^ 0. p(x^) Assim, toda função racional f(x) = é contínua em todos os pontos de seu domínio, isto é, estas funções q{x)

são contínuas em todos os pontos da reta, exceto em seus pólos. Nestes casos, dizemos que a função racional não é contínua ou é descontínua naquele ponto.

Existem diversos tipos de descontinuidades. Os exemplos a seguir abordam este problema.

Exemplo 1 Descontinuidade removível Considere a função g(x) = ^rfif • Abaixo, com a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função.

> g : = x - > ( x ~ 2 - 4 ) / ( x - 2 ) ;

g := x -

> p l o t ( g ( x ) , x = - 2 . . 4 ) ;

x2-4 x-2

Embora o ponto x = 2 seja um pólo da função g, isto é, embora g não esteja definida em x = 2, o gráfico sugere que o lim g(x) — 4. Repare que o Maple ignora o fato de a função g não estar definida em x = 2 e traça o seu gráfico

X-+2

como uma linha contínua. O diagrama ao lado ressalta o fato de que, em-

bora g não esteja definida em x — 2, o limite nesse ponto existe e é igual a 4.

Entender o que leva o Maple a ignorar que g não está definida em x = 2 e traçar o gráfico dessa função como uma linha contínua nos fornece uma pista bastante boa sobre o comportamento característico desta função nas proximidades deste ponto.

Observe que na fração XXZ^, x — 2 é um fator tanto do denominador quanto do numerador, pois x2 — 4 = (x — 2) (x + 2). Antes de traçar o gráfico dessa função, o Maple simplifica a expressão que a define e obtém

- 4 x-2

= x + 2.

e x + 2 coincidem em todos os pontos Repare que a simplificação acima é válida desde que x ^ 2. As funções ^ ^ da reta real, exceto em x = 2, onde a primeira função não está definida.

O gráfico de g(x) = ^Ey, obtido com a ajuda do Maple, e as observações anteriores sugerem que existe uma função contínua h, definida em toda a reta real, tal que h(x) — g(x) em todos os pontos do domínio de g, isto é, h coincide com g em toda a reta, exceto no ponto x — 2. A função h pode ser definida da seguinte maneira:

í g(x) = x + 2, sex^2 h(x) = 4 = lim g(x), se x = 2

I x—

Observe que o Maple traçou o gráfico desta função h, e não da função g original.


Dizemos, nesse caso, que a função g tem uma descontinuidade removível em x = 2. Este tipo de descontinuidade ocorre quando existe o limite da função no ponto em questão, mas, ou a função não está definida, ou o seu valor é diferente do limite neste ponto. Podemos, então, "remover" essa descontinuidade definindo, a partir de g, uma nova função cujo valor no ponto em questão seja igual ao limite da função nesse mesmo ponto, como fizemos.

Exemplo 2 Descontinuidade infinita Considere agora a função p(x) = ^rzj- • Esta função se comporta, nas proximidades do pólo, de uma maneira

completamente diferente da função g estudada no exemplo anterior. Observe o gráfico de p, traçado com a ajuda do Maple.

10 i i

> p :=x -> (x~2+l ) / (x - l ) ; 8 6

i

x2 + l p := x

x — 1

4 2-

> p l o t (p (x ) , x= -5 . . 5 , y= -5 . . 10 ) ; - 4

^ ^ - 4 A i

2 X 4

Repare que neste exemplo o numerador e o denominador não têm fatores comuns, mas, como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, podemos efetuar a divisão e escrever p(x) na forma

2 p(x) = (x + 1) + - .

Assim, podemos ver claramente que quando x —> 1 + , p(x) —> +oo, e quando x —> 1~, p(x) —> —oo. Neste caso dizemos que p apresenta uma descontinuidade infinita em x = 1. Observe estas afirmações ilustradas nos diagramas a seguir.

Considere uma função racional geral f(x) = e um ponto x = x0 tal que q(x0) = 0. Conclusões

Considere ui Os exemplos anteriores nos ajudam a concluir que existem duas possibilidades a serem consideradas:

(i) Se p{xo) / 0, então / tem uma descontinuidade infinita em x = xo-

(ii) Se P(XQ) = 0, / pode ter uma descontinuidade removível em x = XQ.

Além destes tipos de descontinuidade, existe ainda um outro tipo, que é ilustrado no seguinte exemplo:

Exemplo 3 Descontinuidade essencial de salto

Considere a função f(x) = l ^ X Se X ~ Ü . ^ ' \ x - 1 se x > 2 Nesse caso, notamos que, embora a função seja definida no ponto 2, não existe lim / (x ) , pois lim / ( x ) = 0

x—>2 x — e lim f(x) = 1. Veja os gráficos a seguir, que evidenciam este fato. Observe que, nesse caso, como os limites x->2+ laterais existem, são finitos mas diferentes, não importa qual seja o valor de /(2), a função sempre apresentará uma descontinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a função / apresenta, nesse ponto, uma descontinuidade essencial de salto. (Esta terminologia enfatiza o fato de o gráfico da função apresentar neste um ponto um "salto" ou "pulo" finito.)


Exemplo 4 Usando o Maple para estudar a continuidade de uma função Neste exemplo, mostramos como usar o Maple para estudar a continuidade de uma função em um ponto.

2x7 - 4 x 5 + 2 Vamos verificar se a função f(x)

x2 + x — 1 é contínua no ponto x = 1. Caso a função seja descontínua

nesse ponto, vamos classificar o tipo de descontinuidade e, se possível, definir uma função g , contínua em x = 1, que coincida com / em todos os pontos exceto em x = 1. Começamos por definir e traçar o gráfico desta função com a ajuda do Maple.

> f:=x->(2*x~7-4*x~5+2)/(x~3-x"2+x-l);

2x7 — 4 x5 + 2 f:=x

3 — X2 + X — 1 X

> p l o t ( f ( x ) , x = - 2 . . 2 , y = - 5 . . 5 ) ;

Chamando de p e q, respectivamente, o numerador e o denominador desta função e fatorando numerador e deno-minador, temos que

> p:=numer(f(x)):

> q:=denom(f(x)):

> factor(p);

2 (x - 1) (x3 + x2 + 1) (x3 - x - 1)

> factor(q);

(x - 1) (x2 + 1) Assim o numerador p(x) = 2xr — 4x5 + 2 = 2 (x — 1) (x3 — x — 1) (x3 + x2 + 1) e o denominador q(x) =

x3 — x2 + x — 1 = (x — 1) (x2 + 1) apresentam (x — 1) como fator comum e, portanto, / ( x ) têm uma descontinuidade removível em x = 1 (como sugeria o gráfico, traçado com a ajuda do Maple!).

Definamos, então, a função g cancelando este fator comum e a seguir calculemos lim g(x) e g(l). x—»1

> g:=normal(p/q);

> g:=unapply(g,x);

> g(l);

> limit(g(x),x=l);

„ X 6 + x 5 — x 4 - x 3 — X 2 - X - 1 n x6 + x5 - x4 — x3 - x2 — x - 1

ã? + í

- 3

Como lim g(x) = g( 1), temos que g é contínua em x = 1 e, além disso, g(x) = / ( x ) para todo x ^ 1. x—>1


8.4 Composição de funções e continuidade Freqüentemente nos deparamos com funções cujas expressões nos parecem "complicadas", mas que na verdade são o que chamamos de composição de funções. O problema abaixo ilustra, por meio de um exemplo simples, a composição de funções.

Problema Considere um quadrado cujo lado tem x cm de comprimento. Sua área A, então, é uma função de x cuja expressão

analítica é dada por A = A(x) = x2. Suponha, agora, que o comprimento do lado varie com o tempo t, dado em segundos, e seja, portanto, uma função de t. Por exemplo, x = x{t) = bt + l. Assim, a área A do quadrado também varia com o tempo, ou seja, A = A(x) = A (x ( t ) ) = (51 + l)2.

A função A (x(t ) ) = (5 t+1)2 é o que chamamos de função composta formada pela composição da função quadrática A(x) = x2 com a função linear x(t) = 5t + 1.

Definição De um modo geral, dadas as funções y = f(x) e y = g(x), a função composta h = g o f é definida por

h{x) = (g o / ) (x ) = g(f(x)).

Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de f estiver contida no domínio de g. Repare também que, em geral, g o f ^ / o g, como acontece no exemplo abaixo.

Exemplo 1 Considere as funções g(x) = 3x2 + 2 e f(x) = y/x. Então:

(g ° f){x) = g(f(x)) = = 3(\/x)2 + 2 = 3x + 2,

(/ o 9){x) = f{g{x)) = / (3x 2 + 2) = \/3x2 + 2. Claramente, g o f ^ / o g, neste caso.

Usando o Maple, podemos compor funções utilizando o símbolo @ . Assim, podemos fazer as composições do exemplo anterior da seguinte maneira:

> f :=x ->x~( l / 2 ) ; / := x y/x

> g:=x->3*x~2+2; g := x 3x2 + 2

> (g@f ) (x) ; 3x + 2

> Cf ®g) Cx);

V3x2 + 2.

Exercício 3 Determine o maior domínio onde as funções desse exemplo estão definidas.

8.4.1 Continuidade da função composta A composta de duas funções contínuas é uma função contínua. Mais precisamente, se f é contínua em XQ e g é contínua em f(xo), então, g o / é contínua em XQ. Assim, podemos escrever

lim g(f(x)) = g(f(x0)) = g{ lim / (x) ) . X^*XQ X—>X0

A demonstração deste fato decorre do uso apropriado da definição de limite e é deixada como exercício (Veja a demonstração do teorema 9 da seção 6.3).

Exercício 4 Seja / uma função contínua e n um inteiro positivo. Mostre que lim / ( x ) ^ = (lim f(x)) " , x—>a \x—>a /

onde n é par se lim / ( x ) > 0.

• I I f ij* ^ ^ Q

Exemplo 2 Considere as funções f(x) = x ^ e y{x) — \ 2 \ n' Vamos mostrar, usando o Maple, que a L X X ^ \J

função / og é contínua em toda a reta real. Primeiro definimos / e g e calculamos a composta fog:

> f : = x - > ( x + a b s ( x ) ) / 2 ;

t 1 x 1 ! / := x - x + - \x\

> g : = x - > p i e c e w i s e ( x < 0 , x , x > = 0 , x ~ 2 ) ;

g := x —• piecewise(x < 0, x, 0 < x, x2)

> (f ®g) (x) ; x < 0N 1 , f -x, x < 0N

> simplifyC/.) ;

Í0, \x 2 ,

x < 0 0 < x

A seguir, traçamos o seu gráfico:

> p l o t ( ( f @ g ) ( x ) , x = - 2 . . 2 , a x e s = b o x e d ) ;

Na realidade, se tivéssemos observado que tanto / como g são funções contínuas em toda a reta real, usando o resultado que enunciamos acima sobre continuidade da função composta poderíamos ter concluído de imediato, sem precisar calcular explicitamente f o g , que esta última função é contínua em toda a reta real. Para comprovarmos facilmente que as funções / e g são contínuas em toda a reta, basta observarmos seus gráficos a seguir (o de / à esquerda e o de g à direita) e que estas funções são contínuas em x — 0, sendo, portanto, contínuas em toda a reta. (Por quê?)

Exercício 5 Em cada um dos itens abaixo, determine para quais valores de x as funções compostas g o / e f o g são contínuas:

(a) / ( x ) = x + \ x \ e 9(x) = { x x < 0 x2 x > 0

t( \ J 1 I x I ^ 1 1 \ I 2 - x2 I x I < 2 (b) / ( * ) H 0 x = Ixl > 2

8.5 Propriedades especiais das funções contínuas Apresentamos, a seguir, algumas propriedades especiais de funções contínuas que são usadas freqüentemente em cálculo. Embora essas propriedades pareçam óbvias quando interpretadas geometricamente, suas demonstrações rigorosas são muito mais difíceis do que sua interpretação geométrica leva a crer.

Bernard Bolzano (1781-1848), matemático alemão, foi um dos primeiros a reconhecer que essas propriedades sobre funções contínuas, que parecem "óbvias", necessitavam de uma demonstração matemática rigorosa. Suas observações sobre continuidade foram publicadas em 1850 em um importante livro para a época, chamado Paradoxien des Unan-dlichen.

As demonstrações das propriedades que enunciamos e exemplificamos a seguir se encontram no Apêndice A.

Teorema de Bolzano Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado [a, e / (a ) e f(b) têm sinais

contrários, então, existe pelo menos um ponto c € (a, b), tal que f(c) = 0.

Essa propriedade foi demonstrada como um teorema e publicada por Bolzano em 1817 e é conhecida, agora, como Teorema de Bolzano. Veja este teorema ilustrado no seguinte gráfico:

m I

j j a cj \b

f(a)

Essa propriedade é muito usada para garantir a existência de raízes de uma equação da forma f(x) = 0 em um dado intervalo. (Veja projeto Encontrando as raízes de uma equação: Método da Bisseção)

A demonstração do teorema de Bolzano é baseada em outra propriedade evidente, do ponto de vista geométrico, das funções contínuas:

Propriedade da manutenção do sinal para funções contínuas

Seja f uma função contínua em um ponto c e suponha que f(c) ^ 0. Então, existe uma vizinhança de c, isto é, um intervalo aberto I da forma (c — 5, c + S), com S > 0, tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(c), para todo ponto x G I.

Veja a interpretação geométrica dessa propriedade ilustrada a seguir:

f(c)

C-èc c+g

Esse teorema, ao contrário dos outros, é facilmente demonstrado usando-se a definição formal de limites: Demonstração Vamos supor, primeiramente, que f(c) > 0. Sabemos que, por hipótese, / é contínua em c. Queremos demonstrar que existe um intervalo I, do tipo (c—S, c+S),

com S > 0 tal que f(x) > 0 qualquer que seja x pertencente a este intervalo. Esta última afirmação é equivalente a dizer que existe um número 5 > 0 tal que f(x) > 0 para todo x que satisfaça a desigualdade | x — c | < S.

Como / é contínua em c, sabemos que lim f(x) = f(c), ou seja, dado e > 0, existe um S > 0 tal que | f(x) — f(c) | < x —>0

£ para todo x que satisfaça | x — c \ <5. Seja £ = / ( c ) > 0. Então, pela definição de limite, sabemos que existe um 5 > 0 tal que | f(x) — f(c) | < f(c) para

todo x no intervalo (c — 5, c + <5). Mas | f(x) — f(c) | < f(c) = > 0 < f(x) < 2 f(c), isto é, existe um número positivo S tal que f(x) > 0 para todo x

no intervalo (c — S, c + S), como queríamos demonstrar.

No caso em que f(c) < 0, basta, na demonstração acima, escolher e = —f(c) > 0. Uma conseqüência imediata do teorema de Bolzano é o teorema do valor intermediário para funções contínuas

enunciado a seguir.

Teorema do valor intermediário

Seja f uma função contínua definida em [a,ò]. Escolha pontos arbitrários m e n em [a,b], tal que f(m) < /(n). Então, f assume todos os valores entre f(m) e f(ri), isto é, se k é um número tal que f(m) < k < f(ri), então, existe pelo menos um número c 6 (m, n), tal que f(c) = k.

Vamos ilustrar algebricamente este teorema. Considere a função f(x) = x2 — 5 definida no intervalo [3, 4]. Como esta função é contínua neste intervalo e além disso / (3) = 4 e / (4) = 11, o teorema acima garante que, qualquer que seja o número k, escolhido entre 4 e 11, existe um número x, entre 3 e 4, tal que f(x) = k , isto é, a equação x2 — 5 = k tem solução, qualquer que seja o número k entre 4 e 11.

Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário afirma que se f é contínua em algum intervalo fechado contendo os pontos m e n e que se escolhemos um número k, no eixo y, entre /(ra) e / (n) , a reta horizontal que passa por k deve cortar o gráfico de / em algum ponto (c, / ( c ) ) cuja coordenada c é um ponto entre m e n. Veja o gráfico a seguir e, na versão eletrônica, com a ajuda do Maple, veja a animação que ilustra o significado geométrico desse teorema.

/

f(n) /

f(n) /

K /

K /

f(m) f(m) / \

Esta é uma outra maneira de dizer que o gráfico de / não tem "saltos" nem "buracos" e sugere, uma vez mais, a noção intuitiva de que o gráfico de uma função contínua pode ser traçado sem "tirar o lápis do papel".

Agora, considere a função h definida como

, , , f x2 - x + 2 se 1 < a; < 4 h(x) = < w l se x = 1

Observe que h não é contínua em a — 1 e que, qualquer que seja k € (—1,2), não existe nenhum c G (1,4), tal que h(c) = k. A continuidade nos extremos do intervalo é uma condição necessária para que valha o teorema do valor intermediário. O exemplo acima mostra que esta condição é essencial, também, para que o teorema de Bolzano seja válido.

Exercício 5 Considere a função f(x) = x2. Use o teorema acima para provar que existe um número c entre 1 e 2 tal que / ( c ) = 2, isto é, prove que existe um número real c, entre 1 e 2, cujo quadrado é dois e, portanto, existe a raiz quadrada de 2.

8.6 Problemas propostos

1. Tomando como base o gráfico da função / , dado a seguir,

(a) determine os pontos de descontinuidade de / .

(b) para cada um dos pontos determinados no item anterior, classifique o tipo de descontinuidade apresentada.

2. Uma peça de metal cilíndrica deve ter uma seção reta com 30 cm de diâmetro, e o erro permitido na área desta seção não deve ultrapassar 5 cm2. Quão cuidadosamente se deve medir o diâmetro para que a peça fabricada esteja dentro das especificações técnicas requeridas.

3. Em cada um dos itens abaixo, determine o maior domínio de continuidade da função / , isto é, determine o maior conjunto possível onde a função seja contínua. Para cada ponto xo onde a função / não seja contínua, decida se é possível atribuir um valor a / (xo) que torne a função contínua em XQ.

(a) f(x) = (d)

(b) /(*) = (e) (<o / ( * ) = ( f ) 4. (a) A função f(x) = onde o [[x]] denota o maior inteiro menor ou igual a x, é contínua no ponto zero?

(b) Seja / ( x ) = 0 se x é um número racional e f(x) = 1 se x é um número irracional. Prove que / é descontínua para todo número real.

(c) Seja / ( x ) = 0 se x é um número racional e / (x ) = x2 se x é um número irracional. Prove que / é contínua somente no ponto zero.

(d) Para cada número real a, defina uma função que seja contínua em a e descontínua em todos os outros pontos da reta.

(e) Mostre que se f é contínua em [a, 6], é possível definir uma função g, contínua em toda a reta, tal que g(x) = / (x ) , para todo x no intervalo [a, 6].

(f) Dê um exemplo de uma função / contínua em (a, b) que não pode ser estendida continuamente a toda reta, isto é, dê um exemplo que mostre que nem sempre é possível definir uma função g, contínua em toda a reta, que coincida com / no intervalo (a, 6).

5. (a) Mostre que se f é uma função contínua em um intervalo (a, b), então a função g — | / ( x ) | também é contínua neste intervalo.

(b) Dê exemplo de uma função / descontínua em (a, b), mas tal que | / | seja contínua em todos os pontos deste intervalo.

6. (a) Seja f(x) = 1 + x2. Determine g tal que f(g(x)) = 1 + x2 — 2x3 + x4. (b) Seja g(x) = 1 + y/x . Determine / tal que f(g(x)) = 3 + 2 y/x + x.

7. (a) Se / ( x ) = f^f , calcule g(x) = / ( / ( x ) ) . Encontre o domínio de / e o domínio de g.

(b) Seja h(x) = Calcule h(h(x)) e especifique seu domínio.

8. Considere a função / que a cada número real x associa um par ordenado da forma (x, —x) e a função g que a cada par ordenado da forma (x, —x) associa a sua coordenada que é positiva. Seja h(x) = g(f(x)).

(a) Determine o domínio e a imagem da função h. (b) Determine uma expressão analítica para a função h e esboce o seu gráfico.

9. Uma fábrica produz peças especiais de metal. O processo de fabricação é composto de duas etapas. Na primeira delas um cronômetro controla a quantidade de metal derretido que é vertido no molde. Depois que o metal esfria, a peça bruta é polida para se obter o acabamento final. Esse processo pode ser descrito por duas funções:

/(*) = /(*) = -7Í /(*) =

X — 1 2 - l

X < 0

x > 0

-1 , x 1

f(t) = 2,411 e g(m) = m — — j . A função f(t) fornece a massa da peça bruta como uma função do tempo

em que o metal derretido é vertido no molde. A função g(m) fornece a massa da peça acabada em função da massa da peça bruta. O tempo é medido em minutos e a massa em quilogramas. Decida por quanto tempo o metal derretido deve ser vertido no molde, para que a peça acabada tenha uma massa de 1 kg, com erro máximo de 2 g.

10. Aplique o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação x3 — 4x + 1 = 0 tem três raízes reais distintas e localize os intervalos onde elas ocorrem.

11. (a) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que todo número positivo a tem uma raiz quadrada. (b) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que se n é um inteiro positivo e se a é um número

real positivo, então existe exatamente um número positivo b tal que bn = a. O número b é a raiz de ordem n do número positivo a.

(c) Use a teoria de limites e o Teorema do Valor Intermediário para provar que todo polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

12. Um ponto fixo de uma função / é um número c do seu domínio tal que f(c) = c. (A função / não muda o valor do ponto c, que permanece fixo, daí o nome ponto fixo.)

(a) Esboce o gráfico de uma função contínua / cujo domínio e imagem seja o intervalo [0,1]. Localize o seu ponto fixo.

(b) Tente esboçar o gráfico de uma função contínua / cujo domínio e a imagem seja o intervalo [0,1], que não tenha nenhum ponto fixo. Qual é o obstáculo?

(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que qualquer função contínua cujo domínio e a imagem seja o intervalo [0, lj tem necessariamente um ponto fixo.

8.7 Exercícios adicionais 1. Decida se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em x = a. No caso de serem descontínuas, classifique

as descontinuidades. ( 5 í v /y+ 5

y = 0 (e) M =

í , ' y = 0 (f) f(x) = X + 1 — |x

r 2x + 3, + 1|, a= - 1

x < 1

(g) II 1 8 — 3x , l x + 3,

1 < x < 2 2 < x

(a) / ( x ) = <j x^4,a = 4 U , x = 4

X'^ -f- X -f- 6 (b) g(x) = — — , i / - 3 , a = - 3 X T O

( -1, x < 0 (c) f(x) = < 0, x = 0, a = 0

l x , 0 < x x — 3 (d) h(x) = |x _ 3|. x jí 3, a = 3

2. Determine a e (3 para que a função abaixo seja contínua em x = 1 e x = 4.

{x ,. x < 1

ax + P, 1 < x < 4 —2x, 4 < x 3. Determine se as funções a seguir são contínuas ou descontínuas em cada um dos intervalos indicados :

(a) / ( x ) = ^ f 2 e x í - 2 ' ( ° ' 4 ] ; ( " 2 ' 2 ) ; ( 2 ' + °° ( ~ 4 ' 4 ) "

1 , x ± 3 (b) / ( x ) = { V3 + 2x — x2 , (—1,3); [-1,3]; [ -1 ,3) ; ( -1,3] .

0, x = 3


f(t) — 2,411 e g(m) = m ( 1 — I. A função f(t) fornece a massa da peça bruta como uma função do tempo

em que o metal derretido é vertido no molde. A função g(m) fornece a massa da peça acabada em função da massa da peça bruta. O tempo é medido em minutos e a massa em quilogramas. Decida por quanto tempo o metal derretido deve ser vertido no molde, para que a peça acabada tenha uma massa de 1 kg, com erro máximo de 2 g.

10. Aplique o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação x3 — 4x + 1 = 0 tem três raízes reais distintas e localize os intervalos onde elas ocorrem.

11. (a) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que todo número positivo a tem uma raiz quadrada. (b) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que se n é um inteiro positivo e se a é um número

real positivo, então existe exatamente um número positivo b tal que bn = a. O número b é a raiz de ordem n do número positivo a.

(c) Use a teoria de limites e o Teorema do Valor Intermediário para provar que todo polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

12. Um ponto fixo de uma função / é um número c do seu domínio tal que / ( c ) = c. (A função / não muda o valor do ponto c, que permanece fixo, daí o nome ponto fixo.)

(a) Esboce o gráfico de uma função contínua / cujo domínio e imagem seja o intervalo [0,1], Localize o seu ponto fixo.

(b) Tente esboçar o gráfico de uma função contínua / cujo domínio e a imagem seja o intervalo [0,1], que não tenha nenhum ponto fixo. Qual é o obstáculo?

(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que qualquer função contínua cujo domínio e a imagem seja o intervalo [0,1] tem necessariamente um ponto fixo.

8.7 Exercícios adicionais 1. Decida se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em x = a. No caso de serem descontínuas, classifique

as descontinuidades.

(b) g(x) = X x ^ - 3 , a = - 3 X O

(f) / ( x ) = x + 1 - \x + 1|, a = - 1

x — 3 (d) h(x) = -j -7, x ^ 3, a = 3

2. Determine a e 0 para que a função abaixo seja contínua em x = 1 e x = 4.

3. Determine se as funções a seguir são contínuas ou descontínuas em cada um dos intervalos indicados :

(a) f{x) = { x + 3, x / 2 e x / - 2 2, x = 2 e x = —2 (0,4]; ( -2 ,2 ) ; ( - oo , -2] ; (2,+ oo ); ( -4 ,4 ) .

(c) f(x) = - H - , (3,7); [-6,4]; ( - o o , 0); ( -5 ,+oo ) . X H~ O

(d) g{x) = y ( - o o , - 3 ) ; ( -3 ,3 ) ; [-3,3]; [ -3,3) ; [3,4); (3,4]; [4,+oo); (4,+oo).

4. Determine o maior domínio de continuidade das funções abaixo:

(a) g(x) = H i— + V3x - 2. (c) /i(^) = - yfW- z-2. x — 1 a: + 2

(b) / ( « ) = - = 1 = - v ^ ^ . V4m — 1

5. Suponha que g seja uma função contínua em [—2,3], e que, além disso, g(—2) = g(—1) = —1, g(0) = 2, g(l) = 2, g(2) = —2 e 5(3) = 4. Qual é o número mínimo de zeros da função g no intervalo considerado?

8.8 Para você meditar: O problema do andarilho Uma trilha vai da base de uma montanha até o topo. Um andarilho começa a subir a trilha às 6 horas da manhã e chega ao topo às 6 horas da tarde do mesmo dia. Durante o percurso ele pode parar, voltar atrás, correr, fazer o que quiser, desde que chegue ao topo às 6 horas da tarde do mesmo dia.

Na manhã seguinte ele começa a descer a trilha às 6 horas da manhã do modo como ele quer e chega à base exatamente às 6 horas da tarde do mesmo dia.

Prove que existe pelo menos um lugar na trilha pelo qual ele passa na mesma hora de cada dia.

8.9 Projetos

8.9.1 Encontrando as raízes de uma equação O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. No século XVII, um matemático norueguês, Niels Abel (1802-1829), que, apesar de sua curta vida, contribuiu com vários resultados notáveis e importantes para o desenvolvimento da matemática, provou que não existe uma fórmula geral para o cálculo das raízes exatas de uma equação polinomial de grau maior ou igual a 5. Nesses casos, e mesmo em casos mais simples, muitas vezes é necessário recorrer a métodos numéricos para calcular aproximações para as raízes reais de uma dada equação.

Existem vários métodos recursivos ou iterativos (do latim iterare = repetir, fazer de novo) para calcular apro-ximações numéricas para as raízes reais de uma equação.

Esses métodos consistem em, partindo de uma estimativa inicial, repetir o mesmo procedimento várias vezes, usando-se a cada vez como estimativa o resultado obtido na vez anterior, isto é, na última iteração feita, até se alcançar a precisão desejada. Abaixo descrevemos um desses métodos. Outros métodos deste tipo serão descritos no decorrer desse texto.

Método da Bisseçao

Este método consiste em encontrar por inspeção dois pontos xq e X\ tais que f(x0) e f(x 1) tenham sinais contrários. Se f(x0) = 0 ou f(x 1) = 0 você encontrou a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0, entre XQ e x\.

1. Para que tipo de funções esta última afirmação é verdadeira?

2. Que teorema garante este resultado?

Seja X2 = x<>2Xl • Somente três casos podem acontecer: se f (x 2 ) = 0, a raiz procurada é igual a x2\ caso contrário, ou f(x2) e f(x 1) têm sinais contrários e a raiz está entre x2 e xx, ou f(x2) e f(x0) têm sinais contrários e a raiz está

entre x2 e Xo- Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento é a metade do comprimento do intervalo anterior.

Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximação para a raiz da equação com a precisão desejada.

1. Por que este método é chamado método da bisseção?

2. Para que funções esse método funciona e que teorema garante a sua validade?

3. Como você pode estimar o erro cometido na enésima aproximação da raiz?

4. Quando devemos parar o procedimento acima?

5. Prove que a equação x5 — 5 x2 + 3 = 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [—3, —2] e use o método acima para calcular essa raiz com erro menor que 0,01.

6. Use o método acima para determinar aproximações para as raízes reais da equação x3 — 2 x2 + 4x + 12 = 0 com erro menor que 0,001.

7. Uma árvore de 20 metros de altura está a 4 metros de um muro de 2 metros de altura. Após uma ventania, a árvore se quebra a uma altura de x metros. A árvore cai de tal maneira que, quando a sua extremidade toca o solo, do outro lado do muro, seu tronco apenas toca a parte superior do muro, sem derrubá-lo. Determine o valor de x. Sugestão: Com o auxílio de triângulos semelhantes e do Teorema de Pitágoras, mostre que i é a raiz de uma equação do terceiro grau. Use o método acima para encontrar aproximações para as raízes da equação que você encontrou e decida qual dessas raízes é a solução do problema.

8.9.2 Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo

Como conseqüência do Teorema do Valor Intermediário, podemos demonstrar que, qualquer que seja o número real positivo a e n inteiro positivo, existe um número real b tal que bn = a , isto é, existe um número b que é a raiz enésima de a. (Veja Problema 7, na seção Problemas Propostos).

Os antigos babilônios desenvolveram um processo eficaz para gerar uma seqüência de aproximações cada vez melhores para a raiz quadrada de qualquer número positivo a que descrevemos a seguir.

Suponha que se conheça uma aproximação inicial XQ para y/ã . Por exemplo, x = 3 e x = 4 são, respectivamente, aproximações por falta e por excesso para \/T3.

Se X0 > 0 é uma aproximação por falta para y/ã, então é claro que XQ < y/ã => A= < — e daí Ja < —. Portanto, •\J CL XQ XQ podemos concluir que ^ é uma aproximação por excesso para y/ã. Conseqüentemente, vale a desigualdade x0 < y/ã < ^ ou, equivalentemente, y/ã 6 (x0,

Da mesma maneira, se x0 é uma aproximação por excesso para Ja, temos Jã < Xo =>• < ~7= e daí — < y/ã. XQ -y' a XQ * Então, ^ < y/ã < xo ou, equivalentemente, y/ã G xo). Logo, em qualquer dos dois casos y/ã estará sempre entre zo e

x + —

Assim, usando a mesma idéia do Método da Bisseção, o ponto médio x\ = do intervalo considerado deve ser uma nova e melhor aproximação para y/ã. Repare que se xi < y/ã, temos, como anteriormente, que y/ã £ (xi, e se xi > y/ã, vale que y/ã G xi). Podemos, portanto, repetir esse procedimento tantas vezes quanto desejarmos de modo a melhorar, a cada passo, a precisão do resultado obtido.

1. A partir de uma estimativa inicial xo e usando a fórmula iterativa

X„-l + t Xfi- i •n — „

deduzida pelos babilônios, calcule a raiz quadrada aproximada para \/l3 com 11 casas decimais exatas.

2. O que acontece se iniciarmos o processo com uma estimativa inicial xq negativa?

3. Use a fórmula iterativa 3Cji — õ para obter uma aproximação de 12d) com 8 casas decimais exatas.

entre x2 e XQ. Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento é a metade do comprimento do intervalo anterior.

Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximação para a raiz da equação com a precisão desejada.

1. Por que este método é chamado método da bisseção?

2. Para que funções esse método funciona e que teorema garante a sua validade?

3. Como você pode estimar o erro cometido na enésima aproximação da raiz?

4. Quando devemos parar o procedimento acima?

5. Prove que a equação x5 — 5 x2 + 3 = 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [—3, —2] e use o método acima para calcular essa raiz com erro menor que 0,01.

6. Use o método acima para determinar aproximações para as raízes reais da equação x3 — 2 x 2 + 4 x + 12 = 0 com erro menor que 0,001.

7. Uma árvore de 20 metros de altura está a 4 metros de um muro de 2 metros de altura. Após uma ventania, a árvore se quebra a uma altura de x metros. A árvore cai de tal maneira que, quando a sua extremidade toca o solo, do outro lado do muro, seu tronco apenas toca a parte superior do muro, sem derrubá-lo. Determine o valor de x. Sugestão: Com o auxílio de triângulos semelhantes e do Teorema de Pitágoras, mostre que i é a raiz de uma equação do terceiro grau. Use o método acima para encontrar aproximações para as raízes da equação que você encontrou e decida qual dessas raízes é a solução do problema.

8.9.2 Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo

Como conseqüência do Teorema do Valor Intermediário, podemos demonstrar que, qualquer que seja o número real positivo a e n inteiro positivo, existe um número real b tal que bn = a , isto é, existe um número b que é a raiz enésima de a. (Veja Problema 7, na seção Problemas Propostos).

Os antigos babilônios desenvolveram um processo eficaz para gerar uma seqüência de aproximações cada vez melhores para a raiz quadrada de qualquer número positivo a que descrevemos a seguir.

Suponha que se conheça uma aproximação inicial xq para y/ã . Por exemplo, i = 3 e i = 4 são, respectivamente, aproximações por falta e por excesso para \/l3.

Se xo > 0 é uma aproximação por falta para y/ã, então é claro que xo < y/ã => < ^ e daí y/ã < ^. Portanto, podemos concluir que ^ é uma aproximação por excesso para y/ã. Conseqüentemente, vale a desigualdade XQ < y/ã < ^ ou, equivalentemente, y/ã G (Xq,

Da mesma maneira, se XQ é uma aproximação por excesso para y/ã, temos y/ã < XQ => < -4= e daí — < y/ã. y/ã Então, ^ < y/ã < x0 OU, equivalentemente, y/ã G xo). Logo, em qualquer dos dois casos y/ã < XQ e xo

/ x+ — Assim, usando a mesma idéia do Método da Bisseção, o ponto médio x\ = — ^ do intervalo considerado deve ser

uma nova e melhor aproximação para y/ã. Repare que se X\ < y/ã, temos, como anteriormente, que y/ã G (x\, e se Xi > y/ã, vale que y/ã G Xi). Podemos, portanto, repetir esse procedimento tantas vezes quanto desejarmos de modo a melhorar, a cada passo, a precisão do resultado obtido.

1. A partir de uma estimativa inicial xo e usando a fórmula iterativa

*n-1 + ^ T 2

deduzida pelos babilônios, calcule a raiz quadrada aproximada para a/Í3 com 11 casas decimais exatas.

2. O que acontece se iniciarmos o processo com uma estimativa inicial XQ negativa?

3. Use a fórmula iterativa X ji — 2 p3Xcl obter uma aproximação de 12l-3)com 8 casas decimais exatas.


4. Estude a eficiência do algoritmo xn = para obter aproximações para a raiz fc-ésima (k > 3) de um número positivo a. (Para justificar por que o algoritmo acima funciona para obter aproximações cada vez melhores para as raízes quadráticas e cúbicas de um número positivo a e não funciona para k > 3 veja o projeto Tangentes, Orbitas e Caos do Cap. 20.)

Capítulo 9

A Derivada de uma Função

9.1 Definição No Cap.5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função / , em um ponto (XQ, F{Xo)), é obtido tomando-se o limite das declividades de uma seqüência de retas secantes que convergem para a tangente; mais precisamente, o coeficiente angular m da tangente é dado por

r /(*) ~ f(xo) m = lim X—>XO X — XQ

conforme mostra o diagrama a seguir:

M V' Ir-—1—

> > Esta definição do coeficiente angular da tangente ao gráfico de uma função / , no ponto (xo• f(xo)) , nos leva à

definição de derivada de uma função em um ponto.

Definição A derivada de uma função f em um ponto XQ do seu domínio, denotada por f'(xo) (lê-se f linha de x zero), é

f(x0) = Hm rtO-rt*), x—>XQ X — Xo

se esse limite existir. Neste caso, dizemos que a função f é derívável ou diferenciável nesse ponto. Se f for derivável em todos os pontos

do seu domínio, dizemos, simplesmente, que f é derivável ou diferenciável.

í / \ f ( x ) A razão é chamada de razão incremental ou quociente de diferenças.

x — XQ

E importante notar que f'(xo) é a declividade da reta tangente ao gráfico de / no ponto (XQ, f(xo)). Assim, a função / é derivável em XQ se e somente se existe a reta tangente (não-vertical) à curva y = / ( x ) , no ponto ( X Q , / ( X Q ) ) .

9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos Exemplo 1 Considere a função / ( x ) = x 0. Para determinar a derivada dessa função, em um ponto XQ qualquer,

J~ (x"} f (x J~Y 1 fY ^ precisamos calcular lim , isto é, estudar o comportamento da razão incremental — - , quando

x->x0 x — Xo x — Xo

123

124 Cap. 9 A Derivada de uma Função

x se aproxima de XQ. Neste exemplo particular

/ ( * ) - /(aro) X — XQ

XQ

X — XQ

Com a experiência adquirida no estudo de limites, sabemos que o comportamento desta razão, quando x se aproxima de XQ, se torna claro após algumas manipulações algébricas. Assim, simplificando a fração, obtemos:

1 XQ—X XQ X XQ X — XQ

X — Xo X — XQ

A partir desta igualdade vemos imediatamente que

1 (x — XQ) XXQ XXQ

1 1 1_ f'(xo) = lim ^ Ï2. = lim —

X^IO X — XQ X^XO X XQ X, 0 Examinando o gráfico da função / (veja a seguir) podemos verificar que o resultado obtido é consistente com o

significado geométrico da derivada de uma função. Como x\ é sempre positivo, a derivada f'(xo) = — é sempre negativa. Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao gráfico da função / descem em direção à direita. (Por

é um número negativo de valor absoluto muito grande e, xn 1

quê?) Além disso, quando XQ está próximo de zero, portanto, a reta t quase horizontal. portanto, a reta tangente é quase vertical; quando XQ cresce em valor absoluto, — é quase zero e a reta tangente é

Na realidade, mais tarde, em vez de usarmos o gráfico da função para verificar se a derivada foi calculada correta-mente, como foi feito neste exemplo, usaremos a derivada para nos ajudar a traçar gráficos de funções.

Exemplo 2 Considere a função f(x) = x3. Como das vezes anteriores, para calcular a derivada desta função

no ponto XQ é preciso calcular o lim — —. x—>xo X — XQ

incremental, como se segue: Este limite pode ser calculado facilmente simplificando-se a razão

x • zj) (x — XQ) (X2 + a XQ + XQ)

X — XQ

Daí, concluímos imediataménte que X — XQ

rj.3 lim = lim ( X 2 + XXQ

x—>x0 X — XQ x—>x0

X + XXQ + XQ

XQ2) = S X Q 2 .

Exemplo 3 De um modo geral, o raciocínio empregado no exemplo anterior para calcular a derivada da função f(x) = x3 pode ser empregado no cálculo das derivadas das funções f(x) — xn, onde n é um inteiro positivo em um ponto xo qualquer. Para isso é necessário calcular o

lim í x—>x0 X — Xo

Como (x — Xo) é um fator do polinómio x" — Xq, para calcular o limite acima basta, como no exemplo anterior, simplificar o quociente • Nesse caso geral, teremos:

- = x^" 1 ) + x0 x ( n " 2 ) + xo2 x(""3 ) + . . . + x < r 2 ) z + 4 n _ 1 ) -X — XQ


Desta última expressão, sem dificuldade, obtemos

Xn — Xq (ra-l) um = nxX , x^x0 X — XQ

qualquer que seja o ponto Xo. Assim, se n é um inteiro positivo, / ' ( x ) =

Exemplo 4 Vamos, agora, calcular a derivada da função / ( x ) = y /x, em um ponto Xo > 0 qualquer. Para isso temos que calcular

i - > i o X — X o

Como (y/x - y/xõ) (y/x + y/xõ) = x — xq, temos que

y/X - y/X^ _ (y/X - y/xp) _ 1 X - X 0 (y/x - y/x^) (y/x + y/x^) y/x + y/xõ'

Logo, lim — - — ^ ^ = lim * — —— X^XO X — X o X->X0 y/x + y/xõ 2 y/XQ

Observe que este limite não existe quando Xo = 0. Deste modo, o domínio de / ' é o intervalo (0, +00), que é menor que o domínio da função / .

9.2.1 Exercícios 1. Seja / ( x ) = x2.

(a) Calcule a derivada de / nos pontos x = 1, x = |, x = —2. (b) O que representa, geometricamente, o valor encontrado em cada um dos pontos dados no item anterior?

2. (a) Levando em conta a definição geométrica da derivada de uma função, o que se pode concluir a respeito da derivada de uma função constante?

(b) Prove a sua conclusão, isto é, usando a definição, mostre que se f(x) = c, c um número real qualquer, então f'(x) = 0 para todo x.

(c) Qual o maior domínio da derivada calculada no item anterior? (d) Os itens anteriores mostram que a reta tangente ao gráfico de uma função constante coincide com o gráfico

desta função. Dê exemplo de uma função não constante, cujo gráfico coincida com a sua reta tangente em todos os pontos de seu domínio. Neste caso, o que se pode afirmar a respeito da derivada desta função? (Veja o próximo exercício.)

3. (a) Se o gráfico de y = f(x) é uma reta, qual a derivada de / ? (b) Qual a derivada da função f(x) = ax + bl (Observação: Você não precisa fazer nenhuma conta para

responder às perguntas anteriores!) (c) Se / ( x ) é a função definida no item anterior, prove, analiticamente, que f'(x) = a. (d) Qual o maior domínio da derivada calculada no item anterior?

4. (a) Qual a declividade da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 no ponto (2,8). (b) Seja g a reta tangente ao gráfico de / no ponto (a, a3). Ache uma equação desta reta. (c) Se a / 0, mostre que / e g se interceptam em dois pontos.

5. Use a fórmula obtida no Exemplo 3 para calcular a derivada de: (a) / ( x ) = x5 (b) f(x) = x100

6. Suponha que / ( x ) = x3. Calcule: (a) / ' (9) , / '(25), / ' (36) (b) / ' (32 ) , / ' (52 ) , / ' (6 2 ) (c) f'(a), / ' (a 2 ) , / ' (x 2 ) .


7. Se f(x) é uma função diferenciável e c um número real qualquer, use o significado geométrico da derivada de uma função para obter uma fórmula para g'(x) em cada um dos seguintes itens: (Veja Atividades de Laboratório.) (a) g{x) = f(x) + c (c) g(x) = cf(x) (e) g(x) = cf(cx) (b) g(x) = f(x + c) ( d ) g ( x ) = f(cx)

(f) Use a definição de derivada para comprovar a sua intuição geométrica. (g) Use os resultados obtidos acima para calcular f'(x), nos seguintes casos:

i. f(x) = (x + 3)5 iii. f(x) = 2(x4- 3) v. f(x + 3) = (x + 5)7

ii. f(x) = x5 + 100 iv. f(x + 3) = x5

9.3 Outras notações para a derivada de uma função Na definição de derivada de uma função / em um ponto XQ,

f ( x o ) = lim / ( X ) - / ( X 0 ) x—>x0 X — XQ

fazendo x — XQ = A x, ou seja, x = xo + A x, o limite acima se transforma em

'f(x0 + Ax)-f(x0) f'(x0) = lim Ax—>0 Ax

Quando não estamos interessados em caracterizar um determinado ponto xo, escrevemos simplesmente para um ponto x qualquer:

-f(x + Ax)-f(xY f'(x) = lim Ax—>0 Ax

Esta notação nos mostra claramente que a cada x associamos o valor f'(x), obtendo assim uma nova função / ' , a derivada da função original / . O domínio de / ' é o conjunto de todos os pontos x do domínio de / tais que este limite existe.

Outros símbolos podem ser empregados para denotar a derivada de uma função. As vezes pode ser conveniente denotar f'(x) por D X ( f ( x ) ) . O índice x, em D, tem por objetivo designar a variável

independente em relação à qual estamos calculando a derivada da função / . Por exemplo, se a função / é uma função da variável independente t, escreve-se f'(t) = D t ( / ( í ) ) . Quando não houver possibilidade de dúvida em relação a esta variável, isto é, quando a variável independente for claramente explicitada, podemos escrever D(f(x)) ou, simplesmente, D ( / ) para designar a derivada da função / em relação a sua variável independente. Os símbolos Dx , Dj e D são chamados operadores diferenciais, porque quando aplicados a uma função têm o efeito de uma operação, cujo resultado é a derivada (ou diferencial) da função dada. Os símbolos, acima, isoladamente, não têm significado algum, no entanto quando aplicados a uma expressão obtém-se a sua derivada.

Veja os exemplos abaixo: (a) Dx{3x2 - 5x + 4) = D(3x 2 - 5x + 4) = 6x- 5 ( b )D f(x) = f'(x) (c) Dx(ax + b) = a

O Maple usa o símbolo D para calcular a função derivada de uma dada função / . Veja como isto pode ser feito nos exemplos abaixo:

> f:=x->3*x~2-5*x+4;

f : = x - + 3 x 2 - 5 x + 4 > derivada:=D(f);

derivada := x —> 6x — 5 > D(f)(x);

6 x — 5 > D (f )(2);

> g:=y->a*y+b;


> D ( g ) ;

g:=y-Kiy + b

y-^a

9.3.1 A notação de Leibniz Leibniz, ao desenvolver sua versão do cálculo (por volta de 1675), denotou as derivadas pelo símbolo j^, em vez de / ' (x) . Sua notação provém da definição de derivada e nos ajuda a ter em mente seu significado geométrico.

Para explicar a notação de Leibniz, vamos começar com uma função y = f(x) e escrever o quociente • Este quociente, que representa, geometricamente, a declividade da reta secante à curva y = f(x), que passa pelos pontos (xo, f(xo)) e (x , / (x) ) , pode ser escrito na forma , onde A i = x — x0 e A y — f(x) — /(xo). O denominador, portanto, é a diferença de dois valores de x e o numerador, a diferença correspondente nos valores de / . Por este motivo é chamado de quociente de diferenças. Este fato é ilustrado no desenho:

É importante ressaltar que, neste contexto, A y não é uma diferença entre quaisquer dois valores da função / , mas o incremento ocorrido nos valores da função / quando a variável independente muda de XQ para XO + A x, isto é, quando há um incremento de valor A i na variável independente. Por este motivo este quociente é também chamado de razão incremental e pode ser interpretado como a razão da variação de y pela variação de x ao longo da curva y = / (x ) . (Veja o capítulo Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação.)

O limite deste quociente de diferenças quando A x tende a zero é, como já vimos, a derivada da função / , isto é, se y = f(x),

f(x)= lim J v ' Í M Ü A X

dy Leibniz usou a notação — (leia-se: a derivada de y em relação a x ou, simplesmente, dy dx) para denotar este

dx limite. Assim, usando a notação de Leibniz, temos que

dy .. A y — = lim - — , dx Ai-íO Ax

isto é,

dv Note que — , apesar da forma como é escrito, é um único símbolo individual, não o quociente de duas quantidades,

dx dy e dx, que, até agora, não foram definidas. (Para entender como é possível definir dy e dx de tal modo que o símbolo

usado para denotar a derivada de uma função y = / (x ) , seja realmente a razão entre duas quantidades. Veja o Cap.19)

A notação de Leibniz apresenta a vantagem de nos fazer lembrar, rapidamente, de todo o processo de se formar o quociente de diferenças ^ e calcular o seu limite quando A x — 0 (a passagem ao limite é simbolicamente expressa pela substituição da letra grega A pela letra d).

Há muitas variações sobre esta notação, escolhidas de acordo com as conveniências do contexto onde são emprega-das. Por exemplo, se

2 , _ ^ dv

ou, ainda, se

y = 2x + x -f- =4x + l, dx

x ~ 2 df „ , d (2 x + x) f(x) = 2x +x — = 4 x + l , ou, ainda, — — - = 4 x + l . dx dx

Todas estas são maneiras aceitáveis de se dizer que a derivada da função definida por / ( x ) = 2 x2 + x é uma outra função dada por f'(x) = 4x + 1.

De maneira análoga, d * . ^ = 10 í - 4, e se z = 12 x2 — 4, então = 24 x. A notação -r-

dt ~ " u c ac ^ — ií, 1, cuutR/ dx

expressa a derivada da função y = / ( x ) calculada no ponto x = XQ, isto é, se X = X Q

= /'(aro) •

A notação de Leibniz é particularmente apropriada nas aplicações. Além disso, certas regras fundamentais e propriedades operatórias são mais fáceis de lembrar e usar quando as derivadas são escritas na notação de Leibniz. (Veja o capítulo Teoremas e Propriedades Operatórias.)

O Maple usa o comando d i f f (f ,x) para calcular a derivada de uma função ou expressão algébrica em relação à variável x. O programa usa também uma simbologia um pouco diferente para designar derivadas com a notação de Leibniz arredondando a letra d. Você verá posteriormente em Cálculo II a utilização deste símbolo para designar derivadas parciais para funções de várias variáveis. Assim, para o Maple, - f - = —— / . Veja os exemplos abaixo:

dx ax

> diff(x~2,x);

2x > f:=x->x~2;

/ := x —> x2

> diff(f(x),x);

2x > D i f f ( f ( x ) , x ) = d i f f ( f ( x ) , x ) ;

J^x2 = 2x

9.3.2 Exercícios 1. As afirmações abaixo foram escritas usando-se a notação de Leibniz para derivadas. Interprete cada uma delas.

(a) f ^ i l » " 1 ) (b) Se z = então £ = —\ \ J y' dy yJ

( c ) d[f(x)+c] = df(x) ^ ' dx dx

2. Seja y = f(x) e z = y + c. Calcule

9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade Pela nossa experiência no estudo de retas tangentes é fácil concluir que existem funções que, em alguns pontos, não têm reta tangente; portanto, em tais pontos, / ' não está definida. Conseqüentemente, em alguns casos o domínio de / ' é um conjunto menor que o domínio de / .

Vamos ilustrar esta afirmação com alguns exemplos.

Exemplo 1 Considere a função f(x) = | x |. Já vimos, geometricamente,

que não existe reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (0, 0). Geometricamente também é fácil ver que, para cada x > 0, a inclinação da reta tangente a esse gráfico é 1 (por quê?); e que, para cada x < 0, a inclinação da tangente é — 1 (por quê?).

Na primeira seção deste capítulo, definimos a derivada de uma função em um ponto xo como a declividade da reta tan-gente ao seu gráfico neste ponto. Vamos usar esta definição para mostrar, rigorosamente, que a função f(x) = | x | não tem

derivada no ponto (0,0), portanto, não existe reta tangente ao gráfico desta função neste ponto. Para isso vamos r / \ p / \

calcular o lim —— , para x0 — 0. Neste caso particular, x^O X — X(j

lim Í { X ) ~ f { X o ) = lim 111. •

x->0 X — Xq X->0 X

i i X l i X Como, — = 1, para x > 0, então lim = 1, e como '-^r = —1, para x < 1, temos que lim = —1. x z—>o+ x _ x^0~ x

Como os limites laterais são diferentes, podemos concluir que nao existe o limite procurado. Os dois limites laterais calculados no exemplo anterior são chamados derivada lateral à direita e derivada

lateral à esquerda, respectivamente, da função / no ponto zero. A derivada desta função existe em qualquer outro ponto Xç> / 0. De fato,

í\x) = 1, X > 0

-1, x < 0 -0.4 -0.6 -0.8

0.2 0.4x0.6 0.8 1

Repare que f'(x) não está definida para x = 0e, portanto, / não é diferenciável neste ponto.

Exemplo 2 Uma dificuldade semelhante àquela apresentada no exemplo anterior ocorre com a função

x2 , se x > 0 —x, se x < 0

f (x) (O') No ponto xç, = 0. temos que = < — x > 0 . /(ar) - / (0 )

E x . o u seJa' x < 0

x X

x, x > 0 -1, x < 0 . Conseqüentemente,

lim M Z 1 M = O x->0+ X

lim M Z I M = a;->0- X

f(x) y(o) Como as derivadas laterais são diferentes, podemos concluir que não existe / ' (0) = lim , isto é, / não x—>0 X

é diferenciável em zero. Novamente, podemos facilmente concluir que f ' (x ) existe para qualquer outro ponto XQ ^ 0.

{ 2x, x > 0 x < 0'

Os gráficos de / e de f , respectivamente, são mostrados a seguir. 2-

yi-/ -2 -1 0 1 2 X

-2J

1 2 X

Exemplo 3 Vamos examinar agora a função f(x) = x^ ) cujo gráfico traçamos abaixo. Convém observar aqui que o Maple define esta função apenas para valores positivos de x. Se quisermos considerar esta função definida em toda a reta real usando o Maple, precisamos utilizar uma sub-rotina, chamada surd, que faz esta conversão automaticamente da seguinte maneira:

Se x > 0, então surd(a;, n) = xd\ Se x < 0, então surd(or, n) = —(—x^).

Abaixo, utilizamos este comando para traçar o gráfico desta função no intervalo [—2,2].

> f : = x - > s u r d ( x , 3 ) :

> p l o t ( f ( x ) , x = - 2 . , 2 , y = - 2 . .2) ;

Neste caso, para Xg = 0, f(x) - /(O) 1

x x ajCs) A expressão acima se torna arbitrariamente grande quando x —> 0; portanto, a função / não é diferenciável no

. - . f m - / (o ) zero, pois nao existe o íim . x-^0 x Observe os diagramas a seguir e examine o comportamento das retas secantes à curva passando pela origem e por

um ponto (x, f(x)) qualquer da curva à medida que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, respectivamente.

Geometricamente, este comportamento significa que, embora / não seja diferenciável em (0,0), o gráfico de / apresenta uma reta tangente vertical neste ponto.

Exemplo 4 A situação se torna um pouco pior quando examinamos a função y = y/\x\, cujo gráfico é seguinte:

\ 30 / N^ 25 /

20 / \ /

\ 1 5 /

\ \ / 5'

- 1 0 0 0 - 6 0 0 - 2 0 0 0 200 400x600 8001000

Calculando o quociente de diferenças para x() = 0, obtemos:

y/x - ~ í i / ( * ) - / ( 0) _ H r , z > 0 j 7 5 x 1

x>0 x<0

Neste caso, mais uma vez, como os limites laterais não existem, / ' (0) = lirn também não existe e, conseqüentemente, / não é diferenciável em xo = 0. Além disso,

/(ar) — /(0) .. 1 lim rí-L^—±±-L = hm = + 0 0 , X cc—»0+ y/X

pois os valores de ^ se tornam arbitrariamente grandes quando x se aproxima de zero pela direita e,

r f(x) -/(0) 1 lim — ^ — = lim y = = - o o ,

X x-*0- w—x


pois, quando x se aproxima de zero pela esquerda, os valores de —^7= se tornam arbitrariamente grandes em valor absoluto, mas são sempre negativos.

O diagrama a seguir ilustra estas afirmações.

Estes dois últimos exemplos motivam a definição dada a seguir.

Definição: Reta tangente vertical

A curva y = f{x) admite uma reta tangente vertical no ponto ( x o , / ( x o ) ) se f é continua em xç> e f'(x) tende a +00 ou —00 quando x —* xj e/ou quando x —> Xq . Se f'(x) tender a +00 por um lado e a —00 por outro, dizemos que a função tem uma cúspide em xo.

(A exigência de que / seja contínua em x = xo implica que /(x0) deve ser definida neste ponto, pois não teria sentido exigir uma reta (vertical ou não) tangente a uma curva y = / ( x ) em um ponto xo onde a função não estivesse definida.)

Desses exemplos podemos concluir que, graficamente, o domínio de / ' é o conjunto de todos os pontos para os quais a função original / tem uma tangente não-vertical. Portanto, a função / não é diferenciável nos pontos onde o seu gráfico forma "bicos" ou muda abruptamente de direção quer nos pontos onde a reta tangente é vertical quer nos pontos onde ela não é contínua. Nos exemplos dados, o domínio de / ' está contido (estritamente) no domínio de / .

Até agora estudamos a diferenciabilidade de funções em determinados pontos. Como foi feito no estudo de conti-nuidade (Cap.8), podemos estender este conceito a todo um intervalo. As definições a seguir têm este objetivo.

Definição: Diferenciabilidade em intervalos abertos

Dizemos que uma função é diferenciável em um intervalo aberto (a,b) se o é para todo ponto xo em (a,b).

Esta definição é estendida, naturalmente, às funções definidas em intervalos do tipo (a, 00), (—00, a) ou a toda reta.

Definição: Diferenciabilidade em intervalos fechados

Uma função f é diferenciável em um intervalo fechado [a, b] se é diferenciável em (a, b) e se existem as derivadas laterais à direita no ponto a e à esquerda no ponto b, isto é, se existem os limites

lim / ( " + * ) - / ( « > c l i m M i l . /i—0+ h h^o- h

Se / está definida em um intervalo [a, b], as derivadas laterais acima nos permitem, também, definir a declividade da reta tangente à curva y = / ( x ) nos pontos (a, f (a ) ) e (&,/(&)). Assim, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (a, / (a)) é dado por

Um f(g + h)-f(a) h—>0+ h

e o coeficiente angular da reta tangente no ponto (6,/(&)) por

lim M l M . fe—o- h

Veja os gráficos a seguir, onde a função y = —x2 + 4 está definida no intervalo fechado [a, 6] = [—2, 2], O primeiro mostra a derivada lateral à direita em a = —2; o segundo, a derivada lateral à esquerda em 6 = 2.


Utilizando-se as derivadas laterais em um dos extremos, define-se de maneira análoga a diferenciabilidade em intervalos da forma [a, b), [a, oo), (a, 6] e (—oo, b],

Da mesma maneira, dizemos que uma curva y = / ( x ) tem uma reta tangente vertical no extremo de um intervalo fechado onde estiver definida se / for contínua neste ponto e se as derivadas laterais (à esquerda ou à direita, conforme o caso) crescerem sem limite, em valor absoluto. Veja o gráfico a seguir que exemplifica esta situação para a função y = y/x cujo domínio é o intervalo [0, oo).

9.4.1 Exercícios 1. (a) Calcule a derivada da função f(x) = [[a:]], onde o símbolo [[ . ]] denota o maior inteiro menor ou igual a x.

(b) Calcule lim — e lim ^ ^ — q q u e s ign i f i c a m estes limites? x 2 — x

(c) Qual o domínio de / ' .

2. Mostre que a função f(x) = — x^ apresenta uma reta tangente vertical em (0,0).

9.5 Diferenciabilidade e continuidade Na seção Derivadas Laterais e Diferenciabilidade, estudamos alguns exemplos de funções que são contínuas mas não são diferenciáveis. Quando estudamos funções contínuas, afirmamos que ser contínua seria a primeira propriedade que uma função "razoavelmente bem comportada" deveria satisfazer. De uma certa maneira, as funções diferenciáveis têm um "comportamento melhor" do que aquelas que simplesmente são contínuas. Neste sentido, ser diferenciável é uma condição mais forte que ser contínua. O teorema abaixo torna clara esta última afirmação.

Teorema

Se f é uma função diferenciável em um ponto x0, então f é contínua em x0.

Demonstração Para mostrar que / é uma função contínua, precisamos provar que lim / ( x ) = f(xo). Isto é equivalente a mostrar X—fXo que lim (f(x) — f(xo)) = 0. Como x XQ (por quê?), temos que

X — > X o

lim ( / (x) - / (xo)) = lim ( / W - / ( » » ) ) X—>x0 x—>x0 (^X — XQ)

f(x1 f( 1 Como, por hipótese, / é diferenciável em Xo, existe o lim , e este limite é igual a f'(xo). Estes fatos X—>®0 X — XQ


nos permitem afirmar que

lim gf(x)-f(xo)){x-xo) ®->x0 \ (x — Xo)


f(x)-f(x o)\ = lim x-*x0 \ X — Xo . . lim (x - xo) = f'(x0).0 = 0,

J X—>XO

É muito importante lembrar que a recíproca do teorema acima não vale. Uma função diferenciável é contínua, mas uma função contínua não precisa ser, necessariamente, diferenciável (se você se lembrar da função f(x) = | x |, jamais esquecerá qual dessas duas afirmações é a verdadeira e qual é a falsa).

As funções contínuas, examinadas na seção Derivadas La-terais e Diferenciabilidade, são diferenciáveis, exceto em um ponto. E fácil dar exemplos de funções contínuas que não são diferenciáveis em vários pontos, até mesmo em um número in-finito de pontos (veja figura ao lado).

Existem exemplos muito piores do que esse. Existem funções que são contínuas em todos os pontos da reta mas não são di-ferenciáveis em nenhum!

Em 1872, o matemático alemão Weierstrass chocou a comu-nidade matemática com um exemplo deste tipo, apresentando a seguinte função:

A A V5 l\ l\ A 1 l i h / V>-s M ! 1 M

s S í , í '1 I \ l\ l\ \ ! \ 1 \ í

1 i 1 1 i f ! '•'

-ib ! 1 1 -0U/

U 1

Vi r \j

V

f(x) = 1£ÒnCOS(lT7TX) n=0

Evidentemente, num curso de Cálculo I não é possível demonstrar esta afirmação mas você pode ter uma idéia geométrica desta função observando o gráfico abaixo para n = 15 e deduzindo como seria uma função deste tipo. Para maiores detalhes, veja [4].

9.5.1 Exercícios Exercício 1

1. Dê exemplo de uma função / : K —>• R contínua em toda a reta e que não tenha derivada em x = 2.

2. A figura a seguir mostra o gráfico da derivada de uma função / . Sabendo que / é contínua em x = 1, trace um esboço do seu gráfico.

9.6 Derivadas de ordem superior Vimos nas seções anteriores que, por meio do processo de derivação, é possível obter, a partir de uma dada função / , uma outra função / ' , a derivada de / , cujo domínio pode ser consideravelmente menor do que o domínio da função /

original. É claro que a noção de derivabilidade e o processo de derivação podem ser aplicados a esta nova função / ' , definindo-se, assim, uma outra função ( / ' ) ' , cujo domínio consiste de todos os pontos XQ tais que / ' é derivável em XQ. A função ( / ' ) ' é denotada, simplesmente por / " (lê-se: f duas linhas) e chamada a derivada segunda de / . Se f"(x0) existe, então dizemos que / é duas vezes derivável (diferenciável) em x0, e o número f"(xo) é a derivada segunda de / calculada no ponto x = xg.

Da mesma maneira podemos definir a derivada terceira de / como / ' " = ( / " ) ' , e assim por diante. De uma maneira geral, se k é um inteiro positivo, então / ^ denota a derivada de ordem k de / , que é obtida derivando-se / , sucessivamente, k vezes. As várias funções para k >2 são, usualmente, chamadas derivadas de ordem superior de / . Às vezes, é conveniente pensar na função original como a derivada de ordem zero e escrever / = f(°\

Muitas notações podem ser empregadas para as derivadas de ordem superior de uma função. Usando a notação de operadores escrevemos

f"{x) = D X { f\x) ) = Dx(Dx(f(x))) = Dx2 (f(x))

e, de maneira geral, f(kHx)=Dxkf(x).

Quando não houver possibilidade de dúvidas a respeito da variável independente, podemos escrever, simplesmente, / " = D2 / e /(fc) = Dk / .

d2 f(x) Usando a notação de Leibniz escreve-se f"(x) = ——^— e, de maneira geral,

dk f(x) dxk

fW(x)

De maneira análoga, o Maple denota estas derivadas usando a seguinte notação:

Os exemplos a seguir mostram como as derivadas de ordem superior estão relacionadas com a função original.

9.6.1 Exemplos

Exemplo 1 Seja f(x) = x2. Então, é fácil verificar que f'{x) = 2x, f"{x) = 2 e f(k\x) = 0, para k > 3. Observando os gráficos destas funções, traçados a seguir, tente relacionar as principais características da função

original com o comportamento das suas duas primeiras derivadas.

Exemplo 2

Um exemplo mais ilustrativo é dado pela função f(x) = / x \ X ^ ^. É fácil ver que f'(x) = j ' ^ —X , X 0+ X X X-+0- X

então /'(O) = 0. Resumindo, f'(x) = 2 | x \. Veja os gráficos de / e / ' , a seguir.

- 2 - 1 ..

- 2 - 1

Neste caso, f"(x) = 2 , x > 0 - 2 , x<Q e, como já vimos, não existe /"(O). Veja, abaixo, o gráfico de f"

- 2 - 1

Repare que mesmo funções aparentemente "suaves", como a analisada neste exemplo, revelam um certo tipo de irregularidade quando se examina a sua segunda derivada. Portanto, exigir que uma função seja duas vezes derivável (diferenciável) é mais restritivo do que exigir, simplesmente, que ela seja derivável. De um modo geral, quando dizemos que uma função é "bem comportada" estamos afirmando que tal função é pelo menos duas vezes derivável em todos os pontos do seu domínio.

Exemplo 3 Derivando funções com o auxilio do Maple Veja como é possível usar o Maple para calcular as três primeiras derivadas da função f (x )

definimos a função / x . Primeiro,

> f:=x->x~4;

e a seguir calculamos as suas derivadas:

> D i f f ( f , x ) = d i f f ( f ( x ) , x ) ;

> D i f f ( f , x , x ) = d i f f ( f ( x ) , x , x ) ;

> D i f f ( f , x , x , x ) = d i f f ( f ( x ) , x , x , x ) ;

ou, equivalentemente: > D i f f ( f , x $ 3 ) = d i f f ( f ( x ) , x $ 3 ) ;

f := x —> x4

â f =

&f = 12*2

&f = 24*

m*f = 24*

Observe agora como podemos definir as três primeiras funções derivadas de / usando o Maple:

> D(f);

> D ( D ( f ) ) ;

> (D@@2)(f);

> (D@@2) (f) (x) ;

x —> 4x3

x 12 x2

x -»• 12 x2

12 x2

9.6.2 Exercícios 1. Ache f"(x) se:

(a) / ( x ) = x3 (c) f'(x) = x4

(b) f(x) = x5 (d) f(x + 3) = x5

2. Seja f(x) = j ^ ' 3 ® ^ J. Calcule f'(x) e / " (x ) . Existe / " ' (x ) , para todo x?

9.7 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labder.mws da versão eletrônica deste texto.

9.8 Exercícios adicionais 1. Considere o gráfico da função y — f(x):

(a) Se f'(x 1) = a, quanto vale / '(x2)?

(b) Existe f'(x3)? Justifique geometricamente sua resposta. (c) Qual o sinal de /'(x4) e de /'(X5)? Justifique geometricamente sua resposta.

2. Nos exercícios abaixo, supondo-se conhecido o valor de / ' (x0), calcule f'(—x0) se:

(a) / é uma função ímpar, isto é, / ( x ) = —/(—x) em todos os pontos do seu domínio. (b) / é uma função par, isto é, / ( x ) = /(—x) em todos os pontos do seu domínio. (c) Prove que, se f é uma função ímpar, então / ' ( x ) é par. (d) Prove que, se f é uma função par, então / ' (x) é ímpar. (e) Se f é par, o que se pode afirmar a respeito de / " ? E se / é ímpar? (f) Ilustre estes fatos usando funções polinomiais.

3. Em cada um dos itens a seguir, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = / ( x ) no ponto (xi, yi). Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Ache os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. (a) y = 9 - x2 (b) y = £ (c) y = v ^ + T

4. (a) Mostre que os gráficos das equações y = 3x2ey — 2x3 + l têm a mesma tangente no ponto (1,3). (b) Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (3, —2) e são tangentes à curva y = x2 — 7. (c) Ache duas retas que passam pelo ponto (2,8) que sejam tangentes à curva y = x3 .

5. Em cada um dos itens abaixo, encontre os valores de a e/3 para que exista / ' ( 1). í \ fí \ f x 2 , x < 1 fu\ tf \ í a x 2 + P > x < 1 ( a ) / ( l ) = i « ^ , x > 1 ( b ) F{X) = { ^ , X>1

6. Em cada um dos itens abaixo:

(a) Determine se f é contínua em xi. (b) Encontre as derivadas laterais de / no ponto x±, se existirem. (c) Decida se f ê diferenciável em x\.

L ' < * > = { & l t \ -ii. f(x) = 1 + | a; + 2 |, xi = 2

iii. / ( x ) = | p T F ' X x t r } v x1 = - l

iv. / ( x ) = { p ^ ' x1 = l

Ísfx, x < 25

^ + x > 25, x1 = 25 e x 1 = 5 0 lOx + 75, x > 50 f xn x > 0

7. Seja / ( x ) = j g ' ^ < g' P r o v e flu e existe para todo n e para todo (ache uma fórmula para estas

derivadas).

9.9 Problemas propostos 1. Com os conhecimentos obtidos nesse capítulo, você é capaz de resolver completamente o problema da caixa,

proposto na seção Motivação do Cap.4 ? Isto é, qual o tamanho do corte que se deve fazer nos cantos de uma folha de plástico quadrada de 20 cm de lado, de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maior volume de água possível quando completamente cheia? Sugestão: Nessa mesma seção do Cap. 4 vimos que, para resolver esse problema, era necessário encontrar o valor do corte x, entre 0 e 10, para o qual a função V = x (20 — 2x)2 atinge o seu valor máximo. Caracterize geometricamente esses pontos. Use a definição de derivada e a caracterização geométrica desses pontos para resolver esse problema.

2. Suponha que a reta L é tangente à curva y = / (x ) no ponto (1, 1) como indicado na figura.

Sabendo que a reta L corta o eixo x no ponto (3,0), ache / (1) e / ' (1) .

3. A curva a seguir representa a derivada de uma função y = / (x ) .

(a) Esboce

(b) Qual o

(c) Qual o

(a) Ache a

y? •7T?

4. (a) Ache a equação da reta tangente à curva y = x4 — 2 x2 — x no ponto (1, —2).

(b) Verifique que a reta obtida no item anterior tangencia a curva em outro ponto e ache este ponto.

(a) Determine o valor de k, sabendo que a reta 3x — 4y = 0 é tangente à curva y = x3 + k, definida para x > 0.

(b) Ache uma equação da reta que passa pelo ponto (1,5) e é tangente à curva y = x3. (c) Ache duas retas passando pelo ponto (2,8) que sejam tangentes à curva y — x3. (d) Determine as constantes a, b, c e d para que a curva

y — a x3 + b x2 + cx + d tenha tangentes horizontais nos pontos (0,1) e (1,0). (e) Prove que a curva y = x5 + 2 x não tem tangentes horizontais. Qual é o menor coeficiente angular que uma

reta tangente a esta curva pode ter? (f) Ache a declividade máxima do gráfico de

y = —x3 + 3 x2 + 9 x — 27. (g) Seja f(x) = x3 — x2 — 4 x + 4. O ponto (a,6) pertence ao gráfico de / e a reta tangente ao gráfico de / em

(a,b) passa pelo ponto (0, —8) que não está no gráfico de / . Ache o valor de a e b.

6. (a) Considere a função g(x) = | ^sen(a.), x ^ 0

Observe que | g(x) \ < x, para todo x. Esta função é dife-renciável no zero?

\ 0.4-\ \ \ \ 0.21

\ y ^ s-fC /

-0.4 \ -64 ^ -o-?

x y / 0.4

-0.4 - \

í x2 sení —) x =7 0 (b) A seguir traçamos o gráfico de uma função g(x) = ^ n x q • Observe que | g(x) \ < x , para todo x.

0,

i. Prove que g'(0) = 0 e que o mesmo acontece para toda função com a propriedade acima. ii. Verifique que g'(x) não tem limite quando x tende a zero.

(Os dois exercícios acima mostram que quando calculamos a derivada g'(x) de uma função g em um ponto qualquer X, o cálculo de g'(Xo) só é possível se a derivada g' for contínua em XQ).

iii. As funções / ( x ) = x |x|, g(x) = x2 \x\, h(x) = x3 |x| possuem derivada no ponto zero? Em caso afir-mativo, quanto vale a derivada neste ponto?

7. Utilize o gráfico de ^ = / ' (x ) = (x — 1) (x — 2)2 (x — 3)3 a seguir para esboçar o gráfico de y = f(x).

-0 .2 4 -0.4 I -0.6 | - 0 . 8 |

\ / 2 ^T 3 4 ~ 5

8. (a) Seja P um ponto da curva y = x3 e suponha que a reta tangente à curva em P intercepta-a novamente em Q. Mostre que a inclinação da reta tangente em Q é quatro vezes a inclinação da reta tangente em P.

(b) Encontre os pontos P e Q na parábola y = 1 — x2, tais que o triângulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes ao gráfico em P e Q seja equilátero.

(c) Considere a parábola y = x2 e um ponto XQ / 0 no eixo das abscissas. Por xo, traça-se uma paralela ao eixo das ordenadas que ao interceptar a parábola, determina Qo- Por Qo traça-se a reta normal à parábola cuja interseção com o eixo das ordenadas determina P0. Este procedimento define uma função / que a cada XQ 0 associa PQ = f (x0 ) . Determine, se existir, a posição limite de PQ quando xq — 0 tende a zero.


9.10 Para você meditar: Um sofisma Sabemos (seção Diferenciabilidade e Continuidade) que se uma função y = f(x) é diferenciável em um ponto Xo, então é necessariamente contínua neste ponto. No entanto, a interpretação geométrica de derivada parece nos levar ao paradoxo descrito a seguir. O gráfico a seguir mostra uma função contínua com a sua reta tangente no ponto de abscissa XQ .

Não existe nenhuma dúvida quanto ao fato de a curva ser diferenciável em XQ. Considere, agora, uma nova função f(x) obtida a partir da função anterior "cortando-se" a curva dada no ponto x0 e transladando-se para cima "a parte da direita do seu gráfico".

q Y i 2 3 4 5 6 7 8

"Por construção, vemos que, no ponto de abscissa XQ, a declividade da tangente ao arco de curva à esquerda (derivada lateral à esquerda) é igual à declividade da tangente ao arco de curva à direita (derivada lateral à direita). Portanto, o caso acima é um exemplo de uma função derivável em XQ e, evidentemente, descontínua neste ponto, o que contradiz o teorema citado!"

- Mostre onde está o erro no raciocínio acima, reafirmando, assim, a veracidade do teorema.

9.11 Um pouco de história: Curvas sem tangentes e movimento Browniano

Vimos, na seção Diferenciabilidade e Continuidade, que existem curvas contínuas sem derivada em nenhum ponto, ou seja, funções contínuas cujos gráficos não têm tangente em nenhum ponto. Vários matemáticos, dentre eles Bolzano (1781-1849) e Weierstrass (1815-1897), construíram funções deste tipo. O exemplo que atraiu mais atenção foi o que Weierstrass apresentou à Academia de Berlim em 1872. Embora a idéia geométrica da construção de tais funções possa parecer simples (trata-se de obter, por um processo de limite, uma função cujo gráfico seja composto somente por pontos angulosos!), a construção analítica de uma função com esta propriedade é um processo muito delicado, que não cabe fazer num curso de Cálculo.

A idéia de curva contínua sem tangente não condiz com a nossa intuição geométrica. Seria de esperar que tais curvas não passassem de exemplos matemáticos, sem aplicações no mundo físico. No entanto, acontece o contrário! Existe na natureza um tipo importante de movimento, chamado movimento Browniano, cuja trajetória é uma curva contínua sem tangente.

Em 1827, um botânico escocês chamado Robert Brown (1773-1858), investigando o processo de polinização numa certa espécie de flor, observou no microscópio um rápido movimento desordenado de partículas em suspensão num meio fluido.

Os físicos só começaram a estudar este movimento muito mais tarde, sem resultados significativos, até que, em 1905, Albert Einstein, num estudo memorável sobre o efeito fotoelétrico, lançou a idéia deste movimento ser devido à agitação térmica das partículas.

Nesta época, as idéias de átomos e moléculas eram mais usadas pelos físicos como um meio de explicar determinados fenômenos e muito pouco como partículas com existência real. Einstein procurou deduzir conseqüências que pudessem ser verificadas experimentalmente, o que confirmaria a existência dessas partículas atômicas.

Procedendo deste modo e considerando que partículas em suspensão num fluido sofrem o impacto de inúmeras moléculas à sua volta, Einstein foi levado a prever um movimento desordenado das partículas, o chamado movimento


Browniano. É curioso notar que Einstein descobriu esse fenômeno num estudo puramente teórico, só vindo a conhecer os estudos anteriores sobre este movimento depois de ter terminado suas investigações.

Na década de 1920, o matemático americano Norbert Wiener (1894-1964) iniciou uma teoria matemática sobre o movimento Browniano, dando uma interpretação precisa de "movimento ao acaso" de uma partícula. Neste trabalho, ele demonstrou que a trajetória de uma partícula em suspensão num fluido é uma curva contínua sem tangente em nenhum ponto. Isto acontece porque a partícula, a cada instante, está recebendo o impacto desordenado das moléculas do fluido, de maneira que, em seu movimento, muda continuamente de direção, não possuindo velocidade instantânea definida em nenhum ponto.

Capítulo 10

Teoremas e Propriedades Operatórias

Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de limites seja bastante boa, utilizar direta-mente a definição para calcular derivadas de funções é uma tarefa um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformar num processo penoso e cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras gerais que permi-tam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar qualquer função que possa ser obtida, a partir daquelas outras, por meio de operações elementares, isto é, adição, multiplicação por constante, multiplicação e divisão. Este é o objetivo das regras que iremos ver a seguir, que, uma vez demonstradas, transformam o processo de derivar funções em simples manipulações algébricas, o que torna esta tarefa menos penosa e até mesmo fácil e agradável.

10.1 Regras de derivação

10.1.1 Derivada de uma função constante

Teorema 1 Se f(x) — c, para todo x do seu domínio, então f é derivável e f'(x) = 0 para todo x do domínio de f.

Esta primeira regra de derivação diz que a derivada de uma função constante é identicamente igual a zero. Este resultado se torna óbvio se lembrarmos que a derivada de uma função pode ser interpretada como a declividade da reta tangente ao seu gráfico em cada ponto. O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, que é sua 22-própria tangente, cujo coeficiente angular é igual a zero em qualquer ^ um de seus pontos. Veja ao lado a figura, onde tomamos a função i.e-f(x) = c = 2. Observe que o quociente ^ ^ Z ^ " ^ = = 0, para x ^ XQ. Como a razão incremental acima é zero, concluímos que: ^ • • • • • ^

f'(x) = lim M - f{x 0) = 0. X—>Xo X — Xo

10.1.2 Derivada de uma constante vezes uma função Seja / uma função derivável e c uma constante qualquer. Defina g como o produto de c por / , isto é,

g(x) = (cf)(x) = cf(x).

Podemos, agora, enunciar a segunda regra de derivação, dada pelo teorema a seguir.

Demonstração

g ( i + A i ) - g ( i ) _ c / ( x + A x ) - c / ( i ) Ax

141

142 Cap. 10 Teoremas e Propriedades Operatórias

Q(X ^ x") — o(x) Assim, como por hipótese / é derivável, segue que lim — — — existe e, portanto, g é derivável. Além A1-.0 Ax

disso, usando a definição de derivada e os cálculos acima,

, = lim 9(x + Ax)-g(x) ___ üm (cf)(x + Ax)-(cf)(x) A n O Ax Ai^O Ax

= lim C ^ + A A ^ - c / ^ = c ( l i m ^ + A x ^ f ^ ) = c f ' ( x ) A x—»0 Ax A x—>o Ax

Simbolicamente, escrevemos simplesmente (c / ) ' = c f .

Exemplo A função g(x) = 5.x pode ser vista como o produto da constante 5 pela função f(x) = x. Assim, a derivada g'(x) = (5x)' = 5 (x)' = 5.

10.1.3 Derivada da soma Teorema 3 A regra da soma

Seja h a função definida como a soma de duas funções deriváveis f e g, isto é,

h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Então h é derivável e

tí{x) = {f + g)'{x)=f{x)+g'{x).

Demonstração Como h(x) = f(x) + g(x), então:

h(x + Ax)-h(x) = (,f + g) (x + Ax) - f + g(x) = f(x + Ax)-f(x) g{x + Ax)-g{x) Ax Ax Ax Ax

Assim, como / e g, por hipótese, são deriváveis, existe o limite de cada uma das parcelas do lado direito da expressão acima. Logo, pela linearidade do limite (o limite da soma é igual a soma dos limites), a função h é derivável e segue, imediatamente, que:

h'(x) = (f + g)'(x) lim (f + 9)(* + Ax)-(f + g)(x)= (f(x + Ax) - f(x) g(x + Ax) - g(x)\ ' A x^o Ax A x—>0 \ Ax Ax J

= f(x + Ax)-f(x) g(x + Ax)-g(x) XAx^0 Ax ' Ax ' K ' W

Quando não há dúvida sobre a variável que estamos considerando nas derivadas, simplesmente escrevemos

(/ + 9)' = f + g'

ou seja, a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas. Usando a notação de Leibniz, podemos escrever esta regra como

d(f + g) = df | dg dx dx dx

Observação Podemos aplicar a regra da soma, repetidamente, para achar a derivada da soma de três ou mais funções deriváveis. Por exemplo,

(f + 9 + h)' = (f + g)' + tí = f' + g' + h'.

As duas regras anteriores têm como conseqüência imediata os corolários a seguir:

Corolário 1 Derivada de uma combinação linear Se f e g são duas funções deriváveis e a e b são dois números reais fixos, então a função h = af + bg é derivável e

ti = (af + bg)' = af + bg'


Observação Se a e b são dois números reais quaisquer, a expressão af + bg é denominada uma combinação linear de f e g .

Corolário 2 Derivada de um polinómio Para n inteiro positivo, já vimos que (xn)' = n x n _ 1 . Aplicando este resultado e as regras obtidas acima ao

polinómio p(x) = ao + ai x + x2 + ... + an xn,

obtemos imediatamente que

p'(x) = ai + 2 a2x + ... + n an

Com este resultado fica muito fácil determinar a equação de uma reta tangente ao gráfico de um polinómio.

Exercício 1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5x 3 — 3x 2 + 10 no ponto (1, 12).

10.1.4 Derivada do produto Seria natural pensarmos, tendo em vista a regra da soma para derivadas, que a derivada do produto de duas funções deriváveis seria o produto das suas derivadas. Será esta afirmação verdadeira? Considere, por exemplo, a função / ( x ) = x2 = xx. Se, por um lado, (x2)' = 2 x, por outro x' = 1. O que nos leva, no caso da afirmação acima ser verdadeira, a concluir que 2x = 1!

O exemplo acima nos mostra que, de um modo geral, a derivada de um produto não é o produto das derivadas. Para descobrir qual é a regra que nos fornece a derivada que estamos procurando calcular, é preciso observar, com um pouco mais de atenção, a razão incremental da definição de derivada para o produto de duas funções

( /g ) (x + A x ) - ( / g ) ( x ) = f(x + Ax)g(x + Ax)-f(x)g(x) Ax Ax

e, a partir desta observação, tentar, de alguma maneira, relacionar esta expressão com as derivadas de / e g. A interpretação geométrica do numerador como áreas de retângulos nos dá uma pista de como isto pode ser feito:

g(x+ AX)

f(x) f(x+ Ax)

A área do retângulo maior, formado pelos quatro menores, representa o produto f(x + A x) g(x + Ax) , e a área do retângulo escuro, o produto de / ( x ) g(x). A diferença entre esses dois fatores é a soma das áreas dos retângulos I, II e III, isto é,

(f(x + A x) - f(x)) g{x) + ( / (x + A x) - / (x ) ) {g{x + A x) - g(x)) + f(x) (g(x + A x) - g(x)).

Assim, podemos escrever a razão incremental da derivada / g como:

/ ( x + A x) g(x + A x) — / ( x ) g(x) _ f f{x + Ax) - f{x)\ + f g(x + Ax) - g(x)

+

Ax j ; • j \ / y ^x

( / ( x + A x) - / (x ) ) (ff(x + A x) - g (x)) Ax

Como / e g são deriváveis, existe o limite das duas primeiras parcelas do lado direito da expressão acima. Além disso, como g é derivável, então é contínua (veja Diferenciabilidade e continuidade) e, portanto, lim g(x + A x) =

A x—>0

g(x). Logo, supondo / e g deriváveis, podemos concluir que o limite da terceira parcela da expressão anterior também existe, pois

l i m ( / (x + A x) — f(x)) + A x ) — g(x)) _ / f{x + Ax)-f{x)\ = =

x—>o Ax \ A n o A l J ) >> \ ) A X—>O

Daí, concluímos que

lim KX + ^X)~KX) _ l i m f{x + Ax)g(x + Ax)-f(x)g(x) A I - > 0 A X AX—>O A X

existe e, portanto, h é derivável. Calculando este limite, temos que:

h'{x) = (fg)'(x) = lim ( / f l ) (* + A x ) - ( / g ) ( x ) w u w A ^ O A x

lim m x + i x ) - f { x ) ] ) g { x ) + f ( x ) ( lim A x J / J \ > yAx—>o A x y ( / (x + a x) - / (x ) ) (5(x + A x) - g(x))

+ l Í m A

A n G A x

Como vimos, o limite da terceira parcela desta última expressão é zero, e daí temos a fórmula ti(x) = (fg)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

Se não houver possibilidade de dúvidas sobre qual é a variável independente, podemos escrever simplesmente

( / 3 ) ' = /'<? + /<?'•

Demonstramos, portanto, o seguinte teorema:

Teorema 4 Regra do produto Se f e g são duas funções deriváveis, então h = f g é derivável e

(fgY(x) = f(x)g(x) + f(x)g'(x).

Usando a notação de Leibniz, este resultado pode ser escrito da seguinte maneira

d(fg) = fdf \ g + f (dg dx \dx J \dx

Observação Podemos aplicar a regra do produto, repetidamente, para achar a derivada do produto de três ou mais funções deriváveis. Por exemplo,

(fghy = (fgyh+(fg) ti = (f'g + fg')h + fgti = f'gh + fg'h + fgti.

Exemplo Calcule a derivada de f(x) = (20 x5 - 3x4 + x3 + 4x2) (x7 - 8x5).

Solução Podemos, primeiro, efetuar a multiplicação e depois derivar ou usar a regra do produto. Usando a regra do produto, temos:

f(x) = ((20 x5 — 3x4 + x3 + 4x2 ) (x7 — 8x5)) ' = (20 x5 - 3 x4 + x3 + 4 x2) ' (x7 - 8 x5) + (20 x5 - 3 x4 + x3 + 4 x2) (x7 - 8 x5) ' = (100 x4 - 12 x3 + 3 x2 + 8 x) (x7 - 8 x5) + (20 x5 - 3 x4 + x3 + 4x2) (7x6 - 40 x4)

A regra do produto pode ser aplicada para determinarmos a derivada da potência de uma função. Este resultado é estabelecido no corolário a seguir.


Corolário 3 Regra da potência generalizada (para n inteiro positivo)

Seja n um inteiro positivo, se f é uma função diferenciável, então

(fny(x) = nfn-1(x)f(x),

onde, como usualmente, por fn estamos denotando o produto de n fatores iguais a f. Para demonstrar este corolário basta aplicar a regra da derivada, deduzida nesta seção, ao produto de n fatores

iguais a /.

Exemplo Seja g(x) = (x3 — 17x + 35)2. Vamos aplicar as regras de derivação já estabelecidas para calcular g'(x).

Como g(x) = ( / (x ) ) n , onde f(x) = x3 - 17x + 35, pelo Corolário 3, temos que g'(x) = 2 (x3 - 17x + 35) f'(x). Pelas regras da soma, da potência e da multiplicação por constante, sabemos que / ' ( x ) = 3x2 — 17.

Assim, g'(x) = 2(x3 - 17x + 35) (3x2 - 17).

Exercício 2

1. Mostre que é obtido o mesmo resultado se efetuarmos primeiro a operação (x3 — 17 x + 35)2 e depois derivarmos a expressão resultante.

2. Derive a função g(x) = (x4 - 2x3 + 18x2 + 14)100.

10.1.5 Derivada do quociente Da mesma forma que na regra do produto, a derivada do quociente de duas funções não é o quociente das derivadas. (Você consegue dar um exemplo que mostre a veracidade desta afirmação?) A regra do quociente é estabelecida no teorema abaixo:

Teorema Regra do quociente f f(x) Se f e g são duas funções deriváveis e g(x) / 0, então h(x) = (—)(x) = ——- é derivável e 9 9{x)

= f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

(9(x))2

Demonstração O numerador da razão incremental apresenta a mesma dificuldade que apareceu no estudo da regra do produto. A

solução é fazer o que fizemos naquele caso, ou seja, somar e subtrair determinados termos. Assim,

/(s + As) _ Í M rf I \ \ / \ í/ W , A ^ g(x+Ax) g(x) = / ( x + A x ) ff ( x ) - / ( x ) ff ( x + A x )

A x Ax(ff (x +Ax ) f f ( x ) ) / ( x + A x) g(x) - / ( x ) ff(x) + / ( x ) ff(x) - f(x) ff(x + A x)

Ax(f f (x +Ax ) f f ( x ) ) f(x + Ax ) — / ( x ) ^ ( gjx) \ ( f(x) \ fg(x + A x ) — g(x)

A x ) \g(x + A x ) f f ( x ) / \ff(x + Ax)ff(x)

Por hipótese / e g são deriváveis e, observando que g é contínua (por quê?), temos também que lim g(x + A x) = A X ^ O

f(x+Ax) _ f(x)

ff(x). Logo o limite îm^ e x j s t e e , conseqüentemente, h é derivável e

f(x+Ax) f(x) ti(x) = lim ~ 9&J = l i m f(x + 9(x) - / ( x ) g(x + A x)

Axô A x Aiô A x (ff(x + Ax)ff(x))


lim f(x + Ax) g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f{x) g(x + A x) Ai^o Ax (g(x + Ax) g(x))

f(x + Ax)-f(x) m g{x + Ax)-g{x) = As—>0 A l ' JK a a ^ o Ax _

( lim g(x + Ax))g(x) A x—>0 f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

G9(x)f

Usando a notação de Leibniz, podemos escrever esta regra como:

d f f (ãí) dx \gj g2

Exemplo Calcule a derivada de f(x) = fq^ã •

Solução _ (2 - x2)' (3 + x3) - (2 - x2) (3 + x3)' —2 (3 + x2) — (2 — x2) 3 x

f { X ] ~ (3 + x3)2 ~ (3 + x3)2

Em particular, a regra do quociente nos permite obter os dois resultados expressos nos corolários abaixo.

Corolário 4 Derivada da recíproca de uma função Se f é uma função diferenciável em x e f(x) 0, então, a função g = 4 é diferenciável e

Exercício Calcule a derivada das seguintes funções:

( a) /(*) = ^ (b) /(*) = ^

Corolário 5 Regra da potência para n inteiro qualquer

Se n é um número inteiro, então (xn)' = M ' " - 1 ' .

Já vimos, como conseqüência direta da definição de derivada, que se n é um inteiro positivo então (xn)' = M ' " - 1 ' , - Utilizando o corolário anterior, prove que esta regra vale para n inteiro negativo. - Se n = 0, como é possível interpretar este corolário?

10.2 Exercícios adicionais 1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

(a) f(x) = (2*2 + l ) ( i + 4x + 8) (f) g ( x ) = m f í

(b) f(x) = (x3 + X2)5 (x4 --99) (g) y = x3 (x2 + 1) (x + 1)

(c

) g{x) 1 7x+27 (h) y=(x5 + ±)(x5 + 1)

(d) g{x) _ 2^x+xi ~ O+l) x3 (i) / ( S ) = V 3 ( S 3 - S 2 )

1 (e) f(x) 0) h(y) = ^


2. Ache uma função de x cuja derivada seja a função dada a seguir: ( a ) / ( x ) = 3 x 2 (d) f{x) = - à (b) f(x) = 4 x3 + 3 x2 (e) / ( x ) = On xn + a„_i x ^ 1 ) + ... + a0

(c) / ( x ) = 3x2 + 2x — 5

(f) Nos itens anteriores, ache outra função de x cuja derivada seja a função dada.

3. Calcule as quatro primeiras derivadas de: (a) y = 8x — 3 (d) h(x) = x4 - 13x3 + 5x 2 + 3x - 2 (b) / ( x ) = 8 x2 - 11 x + 2 (e) y(x) = > (c) ff(x) = 8 x 3 + 7 x 2 - x + 9

4. Calcule a derivada indicada em cada caso: (a) y"sey = ^-x (c) £ ^

d2 + (b) y" se y = x2 - £

Determine u V= ih

(e) onde / ( x ) = x131 - 3x79 + -

(d)

5. Determine uma fórmula geral para y í n í , em cada caso: ( b ) y = ( c) y = i f i

6. Ache todas as derivadas não nulas de / ( x ) = x6 — 2 x4 + 3 x3 — x + 2

10.3 Problemas 1. Se / ( x ) = para x + - 1 , calcule / ' (1) e / " (1) .

2. Sejam / e g duas funções diferenciáveis cujos valores e os de suas derivadas nos pontos x = 1 e x = 2 são dados na tabela abaixo.

X /(*) 9{x) 9'{x) 1 3 2 5 4 2 2 7T 6 7

Determine o valor da derivada de: (a) f + g em x = 2 (b) / g em x = 1 e em x = 2 (c) - em x — 1 . v ' 9

(d) ^ em x = 2 (e) 4 / em x = 1 (f) g2 em x = 2

3. Sejam / e g as funções cujos gráficos são mostrados abaixo e seja u(x) = / ( x ) g(x) e v(x) = ^y. (a) Calcule u'(l) (b) Calcule v'(6)

4. (a) Se / + g é derivável em xo, / e g são necessariamente deriváveis em xo? (b) Se / f f e / são deriváveis em Xo, que condições / deve satisfazer para que se possa garantir que g seja

diferenciável em XQ?

5. Sejam g e h funções diferenciáveis, definidas em toda a reta e que satisfazem as seguintes propriedades: (i) g(x)2 + h(x)2 = 1 (ii) g'(x) = h(x)2 (iii) h{x) > 0, em todo o seu domínio.

Prove que h'{x) = —g(x) h(x).

6. Mostre que as tangentes às curvas y = x e y = em x = 3 são perpendiculares entre si.

7. (a) Esboce o gráfico da função g{x) = \x2 — 4| — \x2 — 9|. (b) Calcule g'(x) e explicite o seu domínio.

8. A seguir traçamos, em conjunto, o gráfico da função y = j^j e da sua derivada, para n = 0,1,2 e 3. n=0 n=1

(a) Identifique, em cada caso, qual o gráfico da função e qual o gráfico da sua derivada. (b) Mostre que, para n — 0 e n = 2, existe um único ponto no gráfico da curva y = f(x) onde a reta tangente

é horizontal. (c) Mostre que, para n = 1, há dois pontos no gráfico da curva y = f(x) em que a reta tangente é horizontal. (d) Mostre que, para 3 < n, (0,0) é o único ponto no gráfico da curva y — em que a reta tangente é

horizontal. (e) Parece haver dois pontos no gráfico da curva y = J^J em que a reta tangente tem coeficiente angular igual

a 1. Determine estes pontos. (f) Seja V — I+J2- Parece haver três pontos no gráfico da curva y — f'(x) em que a reta tangente é horizontal.

Determine estes pontos.

9. (a) Se / ( x ) = obtenha uma fórmula para f{n){x), onde n é um inteiro positivo. Quanto vale 1) ? (b) Se f(x) = y/x, obtenha uma fórmula para f^n\x), onde n é um inteiro positivo. (c) Se f(x) é um polinómio de grau n, mostre que, se n < k, f^k\x) = 0.

10. (a) Se f(x) = xz , tente achar uma fórmula para f^n\x). (Você deve se convencer de que, desta maneira, os cálculos são por demais trabalhosos, tornando esta tarefa quase impossível!)

(b) Use a identidade x (^x) = x ~ ^ T P a r a calcular as derivadas mais facilmente e, então, achar uma expressão para f ^ ( x ) . Observação: Este método de dividir uma fração em frações mais simples é denominado decomposição em frações parciais e será visto em detalhes no capítulo Técnicas de Integração.

11. (a) Obtenha um polinómio f(x) de grau 2, tal que / (0) = 5, / ' (0) = 3, / " (0 ) = - 4 .

(b) Obtenha um polinómio f(x) de grau 2, tal que / (1) = 5, / ' (1) = 3, / " (1) = —4.

12. Sabendo que (1 + x)n é um polinómio de grau n, isto é,

(1 + x)n = ao + ai x + ct2 x2 + . . . + a„ xn

prove a fórmula do Binómio de Newton. Sugestão: Derive sucessivamente ambos os membros da equação acima e calcule o valor dos coeficientes fazendo x = 0, em cada uma das expressões encontradas.

13. Seja P(x) = (x - r) (x - s).

(a) Mostre que se r / s, então P(r) = P(s) = 0, mas P'(r) / 0 e P ' ( s ) / 0. (b) Mostre que se r = s , então P(r) = 0 e P'(r) = 0

Observação: Os números r e s, soluções da equação P(x) = 0, são chamados raízes do polinómio P. Se r =<s, então r é uma raiz dupla. O problema acima mostra que r é uma raiz dupla se, e somente se, P(r) = 0 e P'(r) = 0. Assim, em um ponto que é raiz dupla, o gráfico de P é tangente ao eixo dos x (Por quê?).

14. Considere o polinómio P(x) = (x — ri) (x — . . . (x — rm), onde ri, r2-..rm são números reais chamados raízes de P.

(a) Mostre que se não há raízes iguais, então P(rj) = 0, mas P'(rj) ^ 0, para cada j. (b) Mostre que se rj = r*, e k j, então P'(rj) = 0 e (x — rj) é um fator tanto de P quanto de P'.

10.4 Para você meditar: Uma "demonstração" mais simples da regra do quociente - o que está faltando?

Usando a regra do produto, "demonstramos" a seguir a regra do quociente: /

Sejam f e g duas funções diferenciáveis e seja h = —, definida nos pontos onde g ^ 0. Então / = hg e, aplicando a regra do produto à função f, temos que: f' = tig + hg'

Daí, obtemos:

9 Substituindo o valor de h nesta última expressão, vem que

h, = r - j g ' = r__ij_ = f g - f g ' g g g2 g2

o que demonstra a regra do quociente.

Você é capaz de descobrir o "erro" nesta demonstração? Em outras palavras, se todos os algebrismos aplicados na "demonstração" estão corretos, você é capaz de explicar por que este raciocínio não demonstra a regra do quociente?

Capítulo 11

Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação

11.1 Introdução Até aqui entendemos a derivada de uma função como a inclinação da reta tangente ao seu gráfico. Veremos a seguir que o conceito de derivada está relacionado a muitas outras interpretações. Dentre estas, talvez a mais importante seja o problema de calcular a velocidade de um objeto móvel. Os conceitos de velocidade e de aceleração, definidos como taxas de variação instantânea, desempenharam um papel de primordial importância no desenvolvimento do Cálculo feito por Newton, em seus esforços para descobrir os princípios da Dinâmica e compreender os movimentos dos planetas. As idéias a serem discutidas nesta seção mostram que a interpretação da derivada como taxa da variação entre duas quantidades, ou melhor, como uma razão de variação entre a variável dependente e a variável independente é importante em vários ramos da Ciência, incluindo as Ciências Biológicas e Sociais e a Economia.

11.2 Velocidade média Suponha que você faça uma viagem de carro do Rio a São Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio você zera o hodômetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorrido e a distância percorrida.

Percurso Rio t 0

s(t) 0

B. do Pirai 1.5 100

Resende 2

150

Taubaté 2.7 240

Ap. do Norte 3

280

S. Bernardo SP 4 5

350 420

A partir dos dados desta tabela é possível calcular a velocidade média desta viagem. Como sabemos, a velocidade média é definida como:

, . j j -j. distância percorrida velocidade media = -j — t— tempo transcorrido

Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso completo do Rio a S. Paulo foi de = 84 km/h.

Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como função do tempo:

150


Podemos calcular, facilmente, a velocidade média, vm, entre cada cidade do percurso assinalada na tabela. Assim, a velocidade média desenvolvida por este automóvel no trecho Rio-Barra do Pirai foi de —— = 66,67; no trecho Barra 1,5 do Piraí-Resende, — = 100; no trecho Resende-Taubaté, — — — — = 128,6, e assim por diante. 2 — 5 2i, 7 2

Note que estas velocidades médias correspondem às declividades das retas que ligam os pontos cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no gráfico ao ponto (0, 0) = (0, s(0))) a Barra do Pirai (ponto (1.5,100) = (1, 5; s(1.5)), no gráfico) a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 66,7 km/h pois,

distância percorrida s(l, 5) — s(0) 100 ^ ^ tempo transcorrido 1,5 1,5 '

Geometricamente, este valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0,0) a (1.5,100). De modo geral, a velocidade média, desenvolvida pelo automóvel no percurso Rio de Janeiro, ponto (to, s(to)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (í, s(í)), é dada pela fórmula

_ s(t) - s(t0) _ As V m ~ t - t 0 ~ Ã i "

A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante todo o trajeto, ou parte dele, mas a questão que se coloca agora é como determinar a velocidade que o velocímetro do automóvel indicava no exato instante em que passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo km 78 da rodovia.

A leitura do velocímetro mede o que chamamos de velocidade instantânea, ou, simplesmente, velocidade do au-tomóvel, e é este conceito que abordaremos no exemplo estudado na próxima seção.

11.3 Velocidade instantânea Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância ao solo em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = —t2 + 41 metros .

> s:=t->-t~2+4*t;

s '.= t —> —í2 + 4í > p l o t ( s ( x ) , x = 0 . . 5 , s = 0 . . 5 ) ;

O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto é, determinar a velocidade instantânea da bola para cada t fixado, por exemplo em í0 = 1 segundo.

Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas e nem mesmo como definir matema-ticamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema.

Parece razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no instante to = 1, a velocidade média calculada sobre um intervalo de tempo At = t — to, com t próximo de to. Por exemplo, para t — 2 segundos, temos A í = 1 e

A í

Calculando este valor, obtemos: > s (2 ) - s ( l ) ;

Para t = 1,5 segundos, temos A t = 0, 5 e

Vm = s(l + At) — s(l) s ( l , 5 ) - s ( l )

A í 0,5

Calculando este novo valor, obtemos:

152 Cap. 11 Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação

> (s (1 .5 ) - s ( l ) ) / 0 .5 ; 1.500000000

Para t = 1,01 segundos, temos A t = 0,1 e

s(l + A í ) - s ( l ) s ( l , l ) - s ( l ) Vm = At 0,1

e daí, obtemos: > ( s ( l . l ) - s ( l ) ) / 0 . 1 ;

1.9

Prosseguindo com este raciocínio, tomando valores de t cada vez mais próximos de 1, isto é, fazendo At se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma seqüência de valores para vm que parece convergir para dois, como mostra a tabela a seguir:

1.500000000 1.250000000 1.125000000 1.062500000 1.031250000 1.015625000 1.007812500 1.003906250 1.001953125 1.000976563

Vm

1.500000000 1.750000000 1.875000000 1.937500000 1.968750000 1.984375000 1.992187500 1.996093750 1.998046875 1.999023438

Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em t = 1, basta calcularmos a velocidade média sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observações indicam que é possível definir a velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades médias. Assim, temos:

w(l) = lim s(t) - s(l)

e este limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente:

/ N // N A s v(t)=s'(t)= lim — . At—o At

Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 s é dada por

v(l)=s'(l)= Dt{-t2+át)\t=1= —21 + 4|í=1 = 2 m/s ,

ou, usando o Maple: > v:=D(s) ;

> v( l ) ; v:=t^ —2t + 4

De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto to qualquer é definida por:

= lim s(to + At)-s(to) = s{t)-s(to) = K J A t—>0 At t - t 0 t-to

Como vimos no parágrafo anterior, conhecendo-se a função s(t), que fornece, para cada instante de tempo t, a distância percorrida por uma partícula em movimento, a velocidade média desta partícula, calculada em um intervalo de tempo At = t — to, coincide com a inclinação da reta secante ao gráfico da função s(t) que passa pelos pontos (ío, s(to)) e (í, s(í)). Sabemos que, à medida que estes dois pontos se aproximam um do outro, isto é, quando

A í —• O, a inclinação da reta secante ao gráfico de s(í) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em í = í0. Assim, o valor da velocidade instantânea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no instante t = to.

Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo to, a distância percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s'(£o) fornece a velocidade da partícula neste instante, e esta velocidade pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função s no ponto to-

Tornando a observar o gráfico da função s(t), vemos que, em determinados pontos, por exemplo, em t0 = 3, a inclinação da reta tangente à curva é negativa. Isto indica que a velocidade da bola, neste instante, também é negativa.

• Como é possível interpretar, fisicamente, este resultado?

Exemplo Considere uma bola lançada do solo, cuja altura em cada instante t (segundos) é dada por s(t) = - 4 í 2 + 20í (metros).

(a) Qual a velocidade da bola no instante do lançamento?

(b) Em que instante sua velocidade é igual a zero?

(c) Em que intervalos de tempo a velocidade da bola é positiva? Em que intervalos é negativa?

(d) Qual a altura máxima atingida pela bola?

(e) Estude geometricamente o movimento da bola.

Solução Vamos resolver este problema usando o Maple para efetuar os cálculos necessários. (a) Primeiro, definimos a função s, que fornece a altura da bola para cada instante de tempo t: > s:=t->-4*t~2+20*t;

s '.— t —• - 4 í 2 + 20í A velocidade da bola é dada pela derivada de s: > v : = u n a p p l y ( d i f f ( s ( t ) , t ) , t ) ;

v := t - 8 í + 20 No instante do lançamento, temos t = 0. Conseqüentemente, a velocidade da bola neste instante será dada por: > v (0 ) ;

20

(b) Para calcular o instante em que a velocidade é zero, precisamos resolver a equação v(t) = 0. Assim > f s o l v e ( { v ( t ) = 0 } , { t } ) ;

{t = 2.500000000} (c) Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade é positiva e onde ela é negativa é equivalente a resolver

as desigualdades v(t) > 0 e v(t) < 0, para t variando no intervalo onde s(t) - a função deslocamento - é positiva. Resolvendo estas desigualdades, temos:

> so lve (v ( t )>0) ; 5

RealRange(—oo, Open(-))

> so lve (v ( t )<0) ; 5

RealRange(Open(-), oo) Como s(t) > 0, para t em (0, 5), temos que v(t) > 0 para t em [0, 2.5) e v(t) < 0 para t em (2.5, 5).

(d) A bola atingirá a altura máxima quando a velocidade for zero, ou seja, para t = 2.5. Até este instante a bola estará subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela começa a cair (velocidade negativa). A altura máxima será, portanto, dada por

> s ( 2 . 5 ) ) ; 25

(e) Os gráficos fornecem, respectivamente, a posição e a velocidade da partícula para cada instante de tempo t e descrevem, geometricamente, o seu movimento.


11.4 Taxas de variação A velocidade média e a velocidade instantânea são exemplos dos conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, respectivamente, que são básicos para todas as ciências.

Nas aplicações, encaramos o quociente como uma taxa de variação média da função s(í) quando t varia num intervalo do tipo [to, t]. Tomando o limite desta razão quando A í = t — to tende a zero, encontramos a taxa de variação da função s(í), no instante to. Quando s é uma função que fornece a posição de um objeto móvel, para cada instante de tempo t, a diferença s(í) — s(ío) é uma mudança de posição. Dividindo esta diferença pelo tempo t — to, gasto para atingir a nova posição, temos a velocidade média deste objeto (razão entre variação do espaço percorrido e o tempo transcorrido), calculada sobre o intervalo [ío, í] ou, em outras palavras, a taxa de variação média de s sobre este intervalo. Nessa terminologia, a velocidade instantânea é, simplesmente, a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. (Quando o tempo é a variável independente, omitimos, freqüentemente, a frase "com relação ao tempo" e falamos somente "taxa de variação".)

De um modo geral, se f e uma função da variável independente x, então

lim ^ + = lim A n O A x A ai—>0 A x

é chamado de taxa de variação instantânea de y = / ( x ) em relação a x, calculada no ponto x = a. Como o limite acima é a derivada da função / no ponto a, esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea da função em relação à sua variável, neste ponto. Intuitivamente, esta é a variação em y, que seria produzida por um acréscimo de uma unidade em x se a derivada de / permanecesse constante.

A notação de Leibniz (Veja Gap.9) é particularmente apropriada nessas aplicações. Por exemplo, se s(t) é a função que fornece a posição de um móvel no instante t, então, na notação de Leibniz, a velocidade no instante t (a derivada da função posição) é representada por -^f. Esta notação tem a vantagem de exibir as unidades apropriadamente: se s é dado em metros e í em segundos, a velocidade jj é dada em metros/segundo, como é sugerido pela notação.

11.4.1 Exemplos Exemplo 1

Um tanque cilíndrico contém inicialmente 400 litros de água. Suponha que uma torneira existente na base do tanque seja aberta no instante í = 0. Suponha ainda que o volume V de água no tanque, após í minutos, seja dado por V(t) = ( j)(40 — í)2 litros. Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar completamente após a torneira ser aberta, calcule:

1. A taxa média de escoamento da água do tanque durante os 10 minutos entre os instantes í = 10 e t = 20 minutos.

2. A taxa instantânea segundo a qual a água está escoando do tanque nos instantes í = 10 e í = 20.


Veja a animação no texto eletrônico que ilustra esquematicamente este problema.

Solução O volume da água contida no tanque em qualquer instante de tempo t é dado por: > v := t -> l /4* (40 - t ) "2 ;

4 0 - í ) 2

Observe o gráfico desta função: > plot(VCt) , t=0. .45) ;

400-

3 0 0 - \

100

10 20 t 30 40

Para achar a taxa média de escoamento da água do tanque durante o intervalo de tempo dado, precisamos calcular azão ^C20)^^10) • Assim, temos: > Vm:=(v(20)-v(10))/10;

- 2 5 Vm:= — = -12.5 A taxa negativa significa que o volume d'água no tanque está diminuindo, ou seja, a água está escoando a uma

velocidade média de 12,5 l/min. A taxa de variação instantânea nos instantes t = 10 e t = 20 será dada por V'(10) e V'(20), respectivamente. Usando o Maple para fazer estes cálculos, teremos:

> Diff C V ( t ) ' , t ) = D ( V ) ( t ) ;

a.V(t) = ~20+U > Diff CV(10) ' ,t)=D(V) (10) ;

> Diff CV(20) ' ,t)=D(V) (20) : õt V(10) = - 1 5

| V(20) = - 1 0

Exemplo 2

1. Determine a taxa de variação média do volume de uma esfera em relação ao seu raio r, quando o raio varia entre 2 e 4 metros.

2. Mostre que a taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio é igual à área da superfície da esfera.

Solução (a) O volume de uma esfera de raio r (metros) é dado por V(r) = 4 y (metros cúbicos). Assim a taxa média de variação do volume da esfera, quando o raio r varia de 2 a 4 metros é dada pelo quociente í^ffir^X2) Utilizando o Maple para efetuar estes cálculos, teremos:

> V:=r->4/3*Pi*r~3;

V :=r 47T r3

> taxa_media:=(V(4)-V(2))/2; 112

taxajmeaia := 7r 3

(b) A taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio será dada pela derivada da função V(r) e, portanto, será igual a


> taxa_instantanea:=dif f (V(r) ,r ) ;

taxa.instantânea := 4irr2,

que é a área da superfície desta esfera.

11.5 Aceleração e outras taxas de variação

11.5.1 Aceleração A velocidade é importante para estudar o movimento de um móvel ao longo de uma reta, mas a maneira como a velocidade varia também é muito importante.

Em física, a aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, isto é, se a velocidade no instante t é dada por v(t), então a aceleração neste instante será v'(t).

No caso de um objeto em queda livre, veremos que a velocidade é um polinómio do primeiro grau, v(t) = a + bt.

Em física, definimos densidade linear de uma barra, haste ou fio como sendo a sua massa por unidade de comprimento. Além disso, uma barra, haste ou fio de um material qualquer é dito não-homogêneo quando algumas de suas partes são mais pesadas por unidade de comprimento do que outras.

Suponha que uma haste reta, não-homogênea, de comprimento L, esteja disposta ao longo do eixo dos x de tal maneira que uma de suas extremidades coincida com a origem e todos os seus pontos possam ser identificados com um número do intervalo [0,LJ. Como é possível encontrar a densidade linear da haste em um ponto c qualquer da mesma? E fácil obter uma resposta aproximada para este problema: poderíamos cortar um pequeno pedaço da haste, por exemplo o pedaço de c até c + h, com h > 0, pesar este pedaço e dividir a massa por h (comprimento do pedaço). Quanto menor for o comprimento do pedaço, melhor será a aproximação para a densidade no ponto c. Vamos chamar de M(x) a massa do pedaço da haste entre 0 e qualquer um de seus pontos x. Então, M(c + h) — M(c) é a massa do pedaço compreendido entre c e c + h, e conforme explicamos acima, M(c+fe.)-M(e) é uma aproximação da densidade desta haste em c. Esta aproximação melhora à medida que h se torna pequeno. Assim, a densidade em c pode ser obtida fazendo-se na razão acima h —• 0, isto é, se M(aj) é a função que fornece a massa da haste em cada pedaço do tipo [0, x], a densidade desta haste no ponto c é definida como:

Exemplo Uma haste está situada entre os pontos x = 0 e i = 1 do eixo das abscissas e a sua massa em cada pedaço do tipo [0, x] é dada por M(x) = 5 x — 2 x2.

(a) Ache a densidade da haste em qualquer um dos seus pontos x. (b) Qual das suas extremidades é mais densa: i = 0 ou i = 1?

(a) A densidade em qualquer ponto x da haste é dada por m'(x) = 5 — 4x.

(b) A densidade em i = 0 e em i = 1 é dada, respectivamente, por M'{0) e M'{ 1). Como M'(0) = 5 e M'( 1) = 1, concluímos que a densidade em x = 0 é maior que a densidade no ponto x = 1.

11.5.3 Crescimento populacional Uma função que fornece o número de objetos em alguma coleção sobre um certo intervalo de tempo é chamada uma função de população. As funções que fornecem o número de habitantes da Terra, o número de bactérias numa colônia ou o número de reais em uma conta bancária, num determinado instante de tempo, são exemplos de funções deste tipo.

v Neste caso, a aceleração é v'(t) = lim = b. v v ' t-to t - to

11.5.2 Densidade

Densidade em c — M'(c) = lim M(c + h) — M(c) h

Solução


A taxa de variação de funções de população é geralmente dada como um aumento ou decréscimo percentual na unidade de tempo. Por exemplo, tomando-se como base os dados do censo de 1991, sabemos que a população do Brasil está aumentando a uma taxa de 1,7% ao ano; tomando-se por base a meia-vida do radio radioativo, podemos afirmar que a quantidade de radio numa determinada amostra decresce a uma taxa de 35% por milênio e que uma determinada quantia aplicada em caderneta de poupança rende 6% de juros reais ao ano.

Estas taxas são dadas em percentual em lugar de valores absolutos, porque, ao menos em curto prazo, taxas percentuais são mais constantes que taxas absolutas. Esta afirmação é particularmente verdadeira no caso de amostras radiativas. Na realidade, a lei do decaimento radiativo estabelece que o decréscimo percentual no número de átomos de um determinado elemento radiativo presentes em uma amostra é realmente uma constante dada por , onde A(í) é a função que fornece o número de átomos presentes na amostra no instante t. A razão acima depende somente de h, portanto, podemos escrever

A(t0) - A(t0 + h) A(t0) = f(h).

Como A(to+h^ Mto) _ _ /Wjl ( to ) ; fazendo h tender a zero, obtemos a seguinte relação entre a função A(t) e a sua derivada:

r A(*o + h ) - A(*o) ». AU ^ = h = -kA(ío)'

M h, '

A'(to)

onde k é uma constante dada por k = lim O projeto 0 Método de Euler e o Pára-quedista (Cap.19) estabelece um método de "reconstruirmos" a função A(t)

a partir da relação acima. Posteriormente, neste texto, aprenderemos como obter, analiticamente, a função A(t) a partir desta relação.

Para obter a relação acima, consideramos intervalos de tempo suficientemente pequenos, isto é, tomamos o limite quando t —> 0. Há uma objeção séria a este raciocínio. Para um intervalo de tempo suficientemente pequeno, a variação da população é um ou zero, e o seu gráfico é parecido com a figura:

As retas tangentes a este gráfico são todas Ou horizontais ou verticais. Considerar que a função A(í), neste caso, é derivável exige uma hipótese simplificadora: o gráfico verdadeiro é substituído por uma curva suave.

Repare, ainda, que esta é uma hipótese bastante razoável considerando que, em comparação ao grande número de átomos presentes em qualquer amostra, a variação de um átomo é praticamente desprezível.

Com algumas outras hipóteses simplificadoras, a mesma espécie de lei se aplica ao crescimento de populações, como a de pessoas ou de bactérias, isto é, podemos considerar que o crescimento (ou decrescimento) de uma população é proporcional ao seu tamanho naquele instante. Chamando de P(t) o número de indivíduos ou bactérias que compõem a população em estudo, teremos que

P'(t) = kP(t),

onde k representa a taxa de crescimento vegetativo da população, isto é, a diferença entre a taxa de natalidade e a de mortalidade daquela população, podendo, portanto, ser positivo ou negativo.

11.5.4 Taxa de reação Uma reação química, chamada produto, resulta da formação de uma ou mais substâncias iniciais, chamadas reagentes. Por exemplo, a equação 2 H2 + O2 —> 2 H20 indica que duas moléculas de hidrogênio e uma molécula de oxigênio formam uma molécula de água.

Considere a reação A + B —• C, onde A e B são os reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente A é o número de moles (6,022 x 1023 moléculas) por litro e é denotada por [A]. A concentração varia durante uma reação. Desse modo [A], [B] e [C] são todas funções do tempo t. A taxa média de reação do produto C no intervalo ti < t < t2 é dada por

A[C] = [C}(t2)-[C](h) At t2 — ti

Em Química, porém, estamos mais interessados na taxa de reação instantânea, que é obtida tomando-se o limite da taxa média de reação^uahdo o intervalo de tempo At se aproxima de zero, isto é

® = ^ ^ dt At—>0 Aí]

Como a concentração do produto aumenta à medida que a reação prossegue, a derivada ^jp é positiva. A concentração dos reagentes, entretanto, decresce durante a reação, e como [A] e [B] decrescem à mesma taxa em que [C] aumenta, temos que ^jyl = + ^ j f^ -

Geralmente, se temos uma reação da forma

aA + bB —• cC + dD,

então _1 dJA] _ 1 d\B\ _ _1 d\C] _ 1 d [D]

a dt b dt c dt d dt Existem técnicas que permitem, a partir da taxa de reação, determinar uma fórmula explícita para a concentração como função do tempo. O projeto O Método de Euler e o Pára-quedista (Cap.19) mostra como isto pode ser feito numérica e graficamente.

11.5.5 Aplicações à Economia Em Economia, a taxa de variação de uma quantidade Q com relação a uma conveniente variável independente é chamada, usualmente, "Q marginal". Assim, temos custo marginal, receita marginal, lucro marginal, etc. Considere, por exemplo, uma operação de venda em que as quantidades a serem medidas são o número x de itens vendidos, o custo de sua produção C(x), a receita obtida com a venda R{x) e o lucro líquido (L(x)) resultante. Então as derivadas C'(x), R'(x) e L'(x) são chamadas, respectivamente custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitos casos, x é um número grande, e assim 1 é pequeno comparado com x, daí, C'(x) = ^ é aproximadamente igual a C{x + 1) — C(x). Por esta razão, muitos economistas descrevem o custo marginal como "o custo de produzir uma peça a mais". Esta mesma observação vale para a receita e o lucro marginais.

Enquanto R' for maior que C', o lucro pode ser aumentado pela produção (e venda) de mais itens, pois R' > C' significa, simplesmente, que um pequeno aumento no número de itens produzidos e vendidos causa um aumento maior na receita do que nos custos. Se R' < O, menos itens deveriam ser produzidos. Quando R' = C', podemos ter esperança de que o lucro esteja maximizado.

A objeção ao fato de tomarmos derivadas, que foi levantada na discussão do aumento populacional, se aplica aqui ainda mais fortemente. Sua refutação é a mesma: o processo exige uma hipótese simplificadora, que é razoável se uma grande quantidade de itens é fabricada e vendida.

11.6 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labtaxa.mws da versão eletrônica deste texto.


11.7 Exercícios 1. Considere o gráfico da função k:

6 A /

5-/

3-

2- /

A 0" 3 4 5 V

(a) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é maior?

(b) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é negativa?

(c) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é próxima de zero?

(d) Entre quais pares de pontos consecutivos as taxas médias de variação de k são próximas?

2. Um boêmio, perambulando pela calçada numa noite escura, observa ao passar sob um poste iluminado que o comprimento de sua sombra varia com sua posição em relação ao poste. Suponha que o poste tenha 9 metros de altura e o boêmio 1,80 metros. Considere ainda que o boêmio caminhe a uma velocidade de 1 m/s. Pede-se:

(a) a velocidade com que sua sombra cresce;

(b) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta do poste;

(c) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta da lâmpada do poste.

3. Prove que a taxa de variação do volume de um cubo em relação ao comprimento de sua aresta é igual à metade da área da superfície do cubo.

4. Considere um cilindro cuja altura é sempre igual ao dobro do seu raio. Mostre que a taxa de variação de seu volume em relação ao raio é igual à área de sua superfície total.

5. Uma bola é lançada num instante t = 0 (s) de cima de um edifício de altura 60 metros. Sua altura do chão em cada instante é dada por s(t) = — y + ^ + 60. Calcule a velocidade de impacto quando a bola toca o chão.

6. Uma pedra é lançada em um lago, gerando uma onda circular que se propaga a partir do ponto de impacto a 3 m/s. A que taxa m2 /s a área do círculo está aumentando 20 segundos após o lançamento?

7. Uma bola de neve com raio de 6 metros começa a degelar e seu raio decresce numa taxa constante. Ela demora 3 horas para derreter totalmente.

Calcule a taxa de variação do volume da bola depois de 2 horas.

8. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então, s = 100t2 + 1001.

Com que velocidade a bola atingirá a tabela, a partir da posição inicial que está a 39 cm?

9. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina t minutos após o escoamento ter começado, onde V = 250(40 — t)2, encontre com que rapidez a água flui da piscina 5 minutos após ter começado o escoamento?

10. Se um cilindro reto de base circular tem altura de 10 cm, encontre a razão de variação instantânea do volume em relação ao raio de sua base quando o raio é 5 cm.


11.8 Problemas propostos 1. A figura a seguir mostra o gráfico de três funções posição s(t), de três funções velocidade v(t) e de três funções

aceleração a(í), mas a velocidade em uma coluna não corresponde necessariamente à função posição da mesma coluna, o mesmo acontecendo para as funções aceleração. Para cada função posição no primeiro grupo, escolha a velocidade e a aceleração que lhe corresponde no segundo e terceiro grupos, respectivamente.

Punção Velocidade

(II)

Função Aceleração

(b) (c)

2. A posição de uma partícula se deslocando durante 10 minutos em linha reta é dada em cada instante por s(t) = t3 — 1412 + 501. Analise graficamente o movimento da partícula respondendo às seguintes questões:

(a) A partícula está se afastando ou se aproximando do seu ponto de partida para t entre 3 e 6? E entre t = 1 e t = 21 Por quê?

(b) Para quais valores de t a velocidade da partícula é zero? A que distância do ponto de partida isto ocorre? (c) Para quais valores de í a velocidade é positiva e para quais ela é negativa? (d) O gráfico da velocidade mostra que a partícula está se aproximando ou se distanciando do ponto de partida

para t > 8? Que propriedade geométrica do gráfico evidencia esta questão?

(e) Para que valores de t a partícula atinge a maior velocidade? E a menor?

3. A população de uma cidade t anos após 1980 é dada por P(t) = 20 + 21 — 0,112 + 0,01213 (milhares).

(a) O gráfico de P(t) mostra que a população cresceu na década de 1980? Explique sua resposta. (b) O gráfico da derivada P'(t) confirma a resposta dada em (a)? Explique por quê. (c) Observando o gráfico de P'(t), em que ano se deu a menor taxa de crescimento da população durante a

década de 1980?


(d) Que pontos do gráfico de P'(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantânea de variação de P é igual à sua taxa média de variação durante a década de 1980?

4. Uma função custo C(x) é conhecida para um determinado produto. Em cada um dos itens abaixo, ache a função custo marginal e compare o custo marginal da produção de 100 itens desse produto com o custo marginal da produção de 101 itens. (a) CO) = 420 + 1,5 x + 0,002 x2 (c) C{x) = 2500 + 2 y/x (b) C(x) = 1200 + ^ + i5o5õ

5. A figura a seguir fornece o gráfico do custo C(x) de produção de x itens (pontilhado) e o gráfico da receita R(x) da venda de x itens.

(a) Em que intervalo a operação dá lucro? (b) Quando o lucro é máximo? (Primeiro procure o lucro máximo

diretamente no gráfico, depois use a condição R' = C'). (c) Construa o gráfico do lucro líquido. (Note que L(x) = r(x) —

C(x).) (d) Esboce o gráfico do lucro marginal.

6. Se uma molécula do produto C é formada de uma molécula do reagente A e uma molécula do reagente B, e a concentração inicial de A e B é dada por [A] = [£?] = a moles/l, então [C] = a2 a , onde k é uma constante.

(a) Ache a taxa de reação em um instante t.

(b) Se [C] = x, mostre que ~ = k(a — x)2.

7. Se R denota a reação de um corpo a qualquer estímulo de magnitude x, a sensitividade S é definida como a taxa de variação da reação em relação a x. Por exemplo, quando uma fonte luminosa aumenta de intensidade, o olho humano reage decrescendo o raio R da pupila. A fórmula experimental

40 + 24 x0'4

l + 4x°>4

descreve a dependência de R em relação a x, onde R, é medido em mm2 e x pela unidade apropriada de brilho.

(a) Ache a sensitividade.

(b) O que acontece com os valores de R e de S para valores pequenos de x?

8. Investigando a queda dos corpos, Galileu Galilei descobriu, experimentalmente, que este movimento era gover-nado pela lei s — ct2, onde s era o espaço percorrido pelo objeto em queda em t segundos. Em 1604, no auge da sua carreira científica, Galileu conjecturou que no movimento retilíneo acelerado a velocidade aumentava proporcionalmente à distância percorrida pelo móvel.

(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo percorre uma distância s(t) em t segundos e s'(t) é propor-cional a s, então s não pode ser uma função da forma s(t) — ct2.

(b) Se s é da forma s(t) — prove que:

i. s"(t) = a (a aceleração é constante). ii. s'(t) = y/2as{t)

(c) Se um objeto se move de tal maneira que sua velocidade v está relacionada com a sua posição s pela equação v = y/2 g s + c, onde g e c são constantes, mostre que a sua aceleração é constante.


11.9 Um pouco de história: Velocidade instantânea, movimento contínuo e o princípio da incerteza

A velocidade instantânea é um conceito teórico, uma abstração que não corresponde precisamente ao que se passa no mundo real. Quando medimos velocidades, realmente calculamos velocidades médias considerando intervalos de tempo muito pequenos. Tal procedimento não fornece uma resposta exata, mas esta resposta pode estar tão próxima do valor-limite quanto queiramos (lembre-se de que a velocidade s'(t) não é ^jl^*0 '1 para nenhum valor de t, mas este quociente se aproxima de s'(t) à medida que t se aproxima de to.

Por outro lado, quando descrevemos um movimento por meio de funções deriváveis e, portanto, contínuas, estamos criando uma idealização da situação física. A idéia do movimento contínuo não é tão simples como pode parecer à primeira vista. A idéia de velocidade, como vimos acima, está necessariamente ligada à consideração do que se passa com a partícula em um certo intervalo de tempo, por menor que ele seja. Por outro lado, quando consideramos a posição de uma partícula, temos de imaginá-la num determinado instante de tempo, portanto, sem se mover! Assim, se determinarmos a posição perdemos o controle sobre a velocidade; esta, por sua vez, só pode ser determinada num intervalo de tempo A t, quando não sabemos a posição exata da partícula. Tais fatos nos conduzem a uma contradição, pois o movimento de uma partícula é determinado por sua posição e sua velocidade, em cada instante de tempo t.

Os gregos, no século V a.C., já haviam sentido a dificuldade em conceber o movimento contínuo, como ficou evidente no famoso paradoxo de Zenão que "prova" a impossibilidade do movimento. Zenão argumentava que para ir de uma posição A para outra posição B, o móvel tem que passar por uma posição intermediária C e, antes desta, por uma posição intermediária entre A e C, e assim por diante. Como o móvel tem de passar por uma infinidade de posições intermediárias num tempo finito, ele nunca chega a se mover!

Um outro aspecto vulnerável da Mecânica é o próprio conceito de partícula: um ponto dotado de massa! No estudo do movimento planetário, que florescia no século XVII, todos os astros, incluindo o Sol, são considerados partículas, e esta simplificação é factível devido as dimensões destes planetas serem muito pequenas, quando comparadas às suas distâncias relativas. No entanto, no estudo do movimento de um corpo qualquer, que em geral tem dimensões não desprezíveis, o que significa a ordenada s = s(t) da sua trajetória? Poderíamos considerá-la como a função que descreve a trajetória do centro de massa do corpo? Neste último caso, não poderíamos assegurar nem a derivabilidade de s(t) e sequer a sua continuidade!

No início do século XX, os físicos descobriram que as idéias de ponto material, velocidade instantânea e movimento contínuo, que tinham sido tão bem sucedidas para descrever o fenômeno do movimento em Mecânica Clássica, eram insuficientes para a descrição dos movimentos no domínio atômico e subatômico.

Em 1926, Werner Heisenberg (1901-1976), um dos fundadores da Mecânica Quântica, formulou um dos princípios básicos deste novo ramo da Ciência, o chamado princípio da incerteza, segundo o qual não é possível determinar, simultaneamente, a posição e a velocidade de uma partícula. Quanto maior for a precisão usada para se especificar a sua posição, maior será o grau de incerteza do seu momento, definido como o produto da sua massa pela sua velocidade. Esta é uma exigência intrínseca da natureza, não importando a precisão das medições realizadas.

11.10 Para você meditar: Calculando velocidades Problema 1

Um certo helicóptero, em condições atmosféricas favoráveis (sem vento), desenvolve uma velocidade de cruzeiro de 100 km/h. Numa certa viagem, de uma cidade A a uma cidade B, localizada 100 km ao norte de A, o piloto do helicóptero enfrenta um vento contrário que sopra a uma velocidade de 50 km/h. Sua velocidade de cruzeiro, em relação ao solo, se reduz, portanto, a 50 km/h. Ao atingir a cidade B, o piloto dá a volta e regressa ao ponto de partida. Agora o vento de 50 km/h sopra a seu favor e o helicóptero desenvolve uma velocidade de 150 km/h em relação ao solo.

1. Qual a velocidade média desenvolvida pelo helicóptero em todo o percurso (ida e volta)? Atenção: A resposta não é 100 km/h!

2. Use um argumento vetorial para mostrar que um vento soprando em qualquer direção sempre aumentará o tempo total de um percurso de ida e volta.

Problema 2 Numa prova contra-relógio entre duas cidades A e C, distantes 10 km uma da outra, um ciclista queria fazer uma média de 40 km por hora. Uma povoação B fica situada exatamente a meia distância entre A e C, no topo


de uma longa subida que começa em A. Quando o ciclista, depois da escalada, atingiu B, calculou que a sua velocidade média não tinha ido além de 20 km/h. • A que velocidade o ciclista deve descer de B para C, se ainda quiser atingir a velocidade média global de 40 km por hora?

Problema 3 Você está dirigindo por uma auto-estrada e a cada cinco minutos calcula a velocidade média da sua viagem dividindo a distância percorrida desde o começo da viagem pelo tempo em que você está dirigindo. Se a velocidade marcada no seu velocímetro aumenta, isto significa que a velocidade média da sua viagem também está aumentando? Um possível gráfico da distância percorrida (em km) pelo tempo transcorrido (em minutos) é dado a seguir.

Problema 4 Imagine uma rodovia onde o limite de velocidade é especificado para cada ponto do percurso. Em outras palavras, há uma certa função L tal que, a x quilômetros do começo da rodovia, o limite de velocidade é dado por L(x). Dois carros A e B estão viajando nesta rodovia. A posição do carro A no tempo t é dada por a(t) e a posição do carro B, por b(t).

1. Escreva a equação matemática que expressa o fato do carro A viajar sempre no limite de velocidade permitido. Atenção: A resposta não é a'(t) = L(t)\

2. Suponha que A viaje sempre no limite de velocidade permitido e que a posição do carro B no instante t seja sempre igual à posição do carro A no instante t — 1. Mostre que B também viaja no limite de velocidade permitido durante todo o percurso.

Capítulo 12

Funções Trigonométricas e suas Derivadas

12.1 Motivação

Um agrimensor quer medir a distância entre dois pontos opostos de um lago, como na figura ao lado. Ele não pode medir AB diretamente, mas pode medir CB e o ângulo 9. Como é possível determinar, a partir desses dados, a medida de AB?

Este problema é equivalente ao de determinar os catetos de um triângulo retângulo, conhecidos um dos seus ângulos agudos e o a hipotenusa.

O problema da "resolução de triângulos", que consiste em determinar os seis elementos de um triângulo (3 lados e 3 ângulos) quando se conhece 3 deles, motivou, há mais de dois mil anos, o desenvolvimento da Trigonometria (do grego trígono = triângulo + métron = medida).

12.2 Uma pequena revisão de trigonometria

12.2.1 Razões trigonométricas A idéia central da Trigonometria, como já vimos, é associar a cada ângulo 9 de um triângulo retângulo certos números, ditos cosseno de 9 (cos 9) e seno de 9 (sen 9), cuja definição é baseada na semelhança de triângulos.

Os triângulos OAAi, OBBi, OCCi são semelhantes (por quê?), portanto, valem as relações:

(1)

(2)

A Ai BBi CCi OA OB OC

OAi OBi OCi OA OB OC

Agora, se definirmos

(3) cos 9 •

(4) sen 9

O Ai OA

AA\ ~ÕÃ

as relações (1) e (2) garantem que as definições acima não dependem do triângulo retângulo particular usado para defini-las.

164

Pelo Teorema de Pitágoras conclui-se imediatamente que

(5) cos2 9 + sen2 0 = 1,

que é a relação trigonométrica fundamental. • Como é possível dessa maneira definir o seno e o cosseno de um ângulo obtuso?

12.2.2 O círculo trigonométrico e a função de Euler Em Cálculo, a unidade utilizada para medir ângulos é o radiano. Veremos mais adiante a vantagem de se considerar esta unidade de medida.

Um radiano é o ângulo que, colocado no centro de uma circunferência de raio r, subtende um arco cujo comprimento é igual a r. Um ângulo central de 9 radianos, subtende um arco cujo comprimento é 8 vezes o raio r, isto é, S = r 9.

Como o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2 7r r, então, 360 graus correspondem a 2 ir radianos. Assim, 1 radiano é equivalente a = 57, 296 graus e 1 grau a jfg = 0,0175 radianos.

Com o surgimento e o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral foi necessário considerar, em aplicações físicas importantes, as funções seno, cosseno e as outras funções trigonométricas correlatas, definidas para todo número real t.

A transição da definição de seno e cosseno de um ângulo para a definição de seno e cosseno de um número real é feita por meio do círculo trigonométrico e de uma função E, dita função de Euler, que definiremos a seguir.

Definição: Círculo trigonométrico O círculo trigonométrico Si é definido como sendo uma circunferência de centro na origem e raio igual a uma unidade de comprimento, orientada no sentido anti-horário.

Um ângulo 9 > 0 é marcado no círculo trigonométrico medindo-se sobre a circunferência, a partir do ponto (1,0), um arco de comprimento 9, percorrendo-se a circunferência no sentido positivo (anti-horário), e um ângulo 9 < 0 é marcado medindo-se na circunferência, a partir do ponto (1,0), um arco de compri-mento |0|, percorrendo-se a circunferência no sentido negativo (horário). Repare, ainda, que neste caso a medida do ângulo 9, dada em radianos, coincide com a medida do arco por ele subtendido.

E possível associar a todo número real 9 um ponto Pg sobre Si da seguinte maneira:

1. Seja um número 9 > 0. Considere um ponto Pg sobre Sx de tal maneira que, percorrendo-se Si no sentido anti-horário, o comprimento total do arco Po Pe seja igual a 9.

2. Seja um número 9 < 0. Considere um ponto Pg sobre Si de tal maneira que, percorrendo-se Si no sentido horário, o comprimento total do arco Po P$ seja igual a | ô\.

Estas regras definem uma função E : R —> S\, que a cada número real 9 associa um ponto Pg = E{9) sobre Si. Esta função é chamada função de Euler.

Note que Pg+2n = Pe para todo número real 9, porque adicionar 2 ir a qualquer número 9 significa, simplesmente, que a partir do ponto Pg damos uma volta completa no círculo trigonométrico, terminando no mesmo ponto que começamos. Analogamente, Pg-2-K = Pe e Pe+2kv = Pe, qualquer que seja o número inteiro k.

Esta observação mostra que a função de Euler é periódica de período 27r, isto é, E(9) = E(9 + 2kir).

166 Cap. 12 Funções Trigonométricas e suas Derivadas

12.2.3 As funções trigonométricas Usando a função de Euler, podemos estender o domínio das funções trigonométricas a toda reta real. Para isso, considere um número real í. Como já vimos, no círculo unitário existe um ponto Pt de coordenadas (x,y) que é a imagem de t pela função de Euler. As funções trigonométricas são definidas a partir das coordenadas de Pt como

sení = y; cosi = x; tgí = f , para x ^ 0

cotgí = para j/ / 0; secí = i , para i / O e cossecí = para y 0.

Observação: Repare que, para 0 < t < a definição das funções trigonométricas coincide com as mesmas definições obtidas para um ângulo 8 = Pt O Po a partir do triângulo retângulo, como mos-tra a figura ao lado.

^F t=(x,y)

sen e \ 1 0 cose 1 po

Em particular, como na circunferência unitária a medida do ângulo em radianos foi definida como o comprimento do arco subtendido por este ângulo, quando escrevemos, por exemplo, sen(t), é indiferente considerarmos t como um número real qualquer ou como o ângulo 8 = Pt O Po, cuja medida em radianos é igual a t.

12.2.4 Algumas propriedades das funções trigonométricas Evidentemente, as funções trigonométricas são periódicas. Além disso, usando as definições dadas acima, podemos deduzir, facilmente, a maioria das fórmulas que usualmente aparece em trigonometria. Por exemplo, como (x, y) é um ponto sobre o círculo unitário, deduzimos, imediatamente, que x2 + y2 = 1 e, portanto, provamos o teorema a seguir.

Teorema 1 Relação trigonométrica fundamental

Para todo número real t, vale a relação sen2 t + cos21 = 1

Observando que P0 = (1, 0), P* = (0, 1), P = (—1, 0), PV,L = (0, —1) e P 2 n = (1,0), segue, imediatamente, que

0 71-/2 7T 3?r/2 2TT s e n 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1

Podemos concluir, também, que a função sen(x) é crescente nos intervalos (0, f ) e 2 ir) e é decrescente em ( f > enquanto o cosseno é decrescente em (0, 7r) e crescente em (7T, 2^r). E fácil concluir também que —1 < sen(x) < 1 e - 1 < cos(x) < 1, qualquer que seja o número real x (por quê?).

A partir destas informações podemos ter uma idéia dos gráficos destas funções no intervalo [0, 2 7r]:

Seno Cosseno

-0 .2 :

-0.4--0.6--0.8-

1 2 3 \ 4 5 6 / -0.2. —0.4 ^ -0.6 -0.8:

. 2 3 4 / 5

Além disso, como estas funções são periódicas de período 2 TT, estes ciclos se repetem por toda a reta. Os gráficos das demais funções trigonométricas podem ser vistos a seguir.


Tangente Cossecante 3-

/ / 3

2 \ / y 1 / Y

y 1-

0 1 2 4 s X u

/ '

1 2 3 4 5 6

/ -2

-3 / ! -3 / \

Secante Cotangente

2 3 4

\ 3 2 y \

\ \ X

\ \

5 6 0 i ^^ 3X 4 \ e 1 \ \

-2 \ \ -3 \ \

Outras propriedades das funções trigonométricas são enunciadas nos teoremas a seguir e podem ser facilmente demonstradas.

Teorema 2 Para todo número real t, temos

sen(-t) = —sen(í), cos(-í ) = cos(í), tg(—t) = - tg ( í ) ,

cotg(—í) = —cotg(í), sec(—t) = sec(t), cossec(—í) = —cossec(t). Demonstração Como os pontos Pt e P-t são simétricos em relação ao eixo x, se Pt = (x, y) temos P-t = (x, —y).

Aplicando-se as definições das funções trigonométricas ao ponto (x, —y), seguem as relações acima.

Teorema 3 Seja P = (x,y) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio r e seja Pt o ponto sobre a

circunferência unitária determinado pela sua interseção com o segmento OP. Então,

Além disso

x = rcos(t) e y = rsen(í).

sen(í) = cos(í) = f e tg(í) = ^ para x £ 0,

cotg(í) = | para y ^ 0, sec(í) = ^ para i ^ O e cossec(t) = ^ para y ^ 0

Demonstração Use as definições de seno e cosseno e a semelhança de triângulos conforme sugere a figura:

Teorema 4 Lei dos Cossenos

Na figura ao lado, se o ângulo ACB é igual a 6, então B

c2 = o2 +b2 -2a6cos(6») \ a \

c

\

\ b A

Demonstração Pelo teorema anterior, B = (acosi(9), asen(O)). Como A = (b, 0), a fórmula de distância entre dois pontos implica que

c 2 = (acos(0) — b)2 + (asen(9) — O)2 = a2 cos(0) — 2abcos(é>) + b2 + a2 sen2 9

= a2 (cos2 9 + sen2 9) + b2 - 2 abcos(0) = a2 + b2 - 2 abcos(9),

o que prova o teorema.

Teorema 5 Cosseno da diferença Para todo 9 e </>, temos que

cos(9 — (f>) = cos(0) cos(</>) + sen(#) sen(</>)

Demonstração Sem perda de generalidade, podemos su-por O < 0 < 0 < 2 7T. Assim, se na figura ao lado conside-rarmos a circunferência unitária, o ângulo Pi O Po igual a 4> e o ângulo P2 O Po igual a 9, é claro que o ângulo P-2 O Pi é igual a 9 — cfi. A lei dos cossenos implica que

(1) c2 = l 2 + l 2 - 2cos(0 - 4>) = 2 - 2cos(9 - </>).

Como, P2 = (cos(0), sen(0)) e Pi = (cos(</>), sen(</>)), a fórmula da distância entre dois pontos implica que

(2) c2 = (cos(0) - cos(^))2 + (sen(6>) - sen(0))2

= cos2 9 — 2 cos 6 cos <f> + cos2 9 + sen2 9-2 sen (0) sen(^) + sen2 9 = (cos2 9 + sen2 9) + (cos2 <j> + sen2 <f>) - 2 (cos(9) cos(<j>) + sen(6>) sen(<j>)).

Igualando (1) e (2) obtemos o resultado desejado.

Corolário 1 Para todo 9 valem as igualdades

cos(f - 9) = sen(0) e sen(f - 9) = cos(9).

Demonstração Decorrência imediata do Teorema 5.

Observação O nome cosseno é uma alusão a este corolário. A palavra cosseno vem do latim complementi sinus e significa seno do complemento.

Teorema 6 Cosseno da soma Para todo 9 e (f> vale a igualdade

cos(9 + </>)= cos(0) cos(<f>) — sen(9) sen(^).

Demonstração Decorre imediatamente do teorema anterior, substituindo-se (p por —<f>.

Teorema 7 Seno da soma Para todo 9 e <f>, temos que

sen(9 + 4>) = sen(0) cos(0) + cos(0) sen(^).

Demonstração Pelo Corolário 1 sabemos que

x,y)

/ /

/ /4fird sen e \

COS 9 J1

sen(0 + <p) = cos(| - (0 + <t>)) = cos([| - 9) - <£) = cos(^ - 0) cos(çí)) + sen(| - 9) sen(<p)

= sen(0) cos(</>) + cos(0) sen(^)


Teorema 8 Continuidade das funções seno e cosseno

As funções / ( x ) = sen(x) e g[x) = cos (x ) são contínuas em toda a reta.

Demonstração Faremos a demonstração para a função seno; a demonstração para o cosseno é análoga e é deixada como exercício (veja Problemas Propostos 2).

Em primeiro lugar, vamos provar que as funções sen(x) e cos(x) são contínuas no zero. Para isto, basta observar a figura a o lado e lembrar como estas funções foram definidas. Veja que quando 9 —> 0, quer pela direita, quer pela esquerda, o ponto (x, y) se aproxima do ponto (1,0). Como x = cos(0) e y = sen(0), temos que lim. sen(0) = 0 = sen(0) e lim cos(0) = 1 = cos(0), o que prova que estas funções são contínuas no zero.

Devemos mostrar, agora, que lim sen(x) = sen(xo), qualquer que seja o número real XQ. Tomando-se x = XQ + h X—>XQ

de modo que h = x — XQ, temos que h —> 0 quando x —> x0- Assim, lim sen(x) = lim sen(xo + h), e precisamos x—>x0 h—y 0

mostrar somente que este último limite é igual a sen(xo). Aplicando a fórmula do seno de uma soma, temos que

lim sen(x0 + h) = lim (sen(x0) cos(x0) + cos(xo) sen(/i)) = sen(xo) (lim cos(/i)) + cos(xo) (lim sen(M). h—> 0 h—>0 h—>0 h—>0

Como as funções seno e cosseno são contínuas no zero (primeira parte da demonstração), temos que lim cos(h) = 1 h—>0 e lim sen(h) = 0 e, portanto, h—>0

lim sen(xo + h) = sen(xo), h—>0 o que prova a continuidade da função sen(x) em toda a reta.

12.3 Derivadas das funções trigonométricas

12.3.1 A derivada da função seno Aplicando a definição de derivada à função sen(x), obtemos

sen(x + A x) — sen(x) sen'(x) = lim A x

e daí, como sen(x + A x) = sen(x) cos(A x) + sen(A x) cos(x), temos que

. sen(x) cos(A x) + sen(A x) cos(x) — sen(x) sen (x) = lim — ^ Ai^O A x , w ,. c o s ( A x ) - l . sen(Ax), = sen(x) ( lim ) + c o s ( x ) ( l i m f - ) . V A X ' V N A ^ O A x '

Na próxima seção, vamos mostrar que

cos(Ax) —1 (!) lim — - i r 1 = 0 A x—>0 Ax

e que

(2) sen(Ax)

lim : = 1. A n O A l Uma vez demonstrados estes fatos, segue, imediatamente, que

sen'(x) = cos(x).

Observação Examinando cuidadosamente os limites que aparecem em (1) e (2), veremos que ambos têm uma curiosa forma. Como cos(0) = 1, o limite dado em (1) pode ser escrito como

lim Ai->0 cos(0 + A x) - cos(0)

e este limite, por definição, é igual a cos'(0). Da mesma forma, como sen(0) = 0 , o segundo limite pode ser escrito como

sen(0 + A x) - sen(0) lim -A i - » o A x

e, usando a definição de derivada uma vez mais, concluímos que este limite é igual a sen'(0). Assim, se provarmos que cos'(0) = 0 e sen'(0) = 1, teremos mostrado que sen'(x) = cos(x), o que é feito na próxima

seção.

12.3.2 O limite trigonométrico fundamental O limite

lim ^ = 1 x—>0 X

que aparece durante os cálculos feitos no processo de derivação de funções trigonométricas tem considerável importância no Cálculo Diferencial.

Na demonstração consideraremos apenas valores positivos para x, pois, se substituirmos x por —x na expressão sen(xS>; o valor da razão permanece inalterado. Isto implica que, se lim s e n ( x ) _ ^ então lim demonstração é baseada na seguinte figura:

sen(x) = L. A

x x^O- X

Dessa figura podemos concluir que, para 0 < x < ^,

a área do AOPS < à área do setor circular OQS < à área do AOQR,

ou seja cos(x) sen(x) x tg(x)

2 - 2

Da primeira desigualdade, concluímos que

Da segunda,

sen(x) 1 x cos(x)

, . sen(x) cos(x) < ^


razao

Assim, como lim cos(x) = 1 e lim T-T-x—»0 x—>0 C O S ( x )

sen(x) = 1 (por quê?), o teorema do sanduíche garante que, quando x —• 0, a

1. sen(x)

Uma vez estabelecido que lim = 1, é fácil provar que x—>0 X

cos(x) — 1 lim — — = 0. x—»0 X Assim,

cos(x) — 1 n /cos(x) — 1\ /cos(x) + l\ cos (x) - 1 lim = hm -r-c = hm — ^ — x x—»o \ x J \cos(x) + 1 / x — x (cos(x) + 1) x—>0

= lim ( — x—>0 sen2 x 1 1

. . i — lim —sen(x) lim s e n ( x ) lim cos(x) + 1 ) x—>0 x—>0 X x—>0 cos(x) + 1

= ° - 1 - 2 = °

12.3.3 A derivada da função cosseno Da mesma forma que foi feito para a função seno, aplicando-se a definição de derivada à função cosseno obtemos:

.. cos(x + A x ) — cos(x) cos(x) cos(Ax) — sen(x) sen(Ax) — cos(x) cos (x) = lim = hm A x—>0 A x Ai-tO A x . . cos(Ax) —1 . . sen(Ax) = cos(x) lim sen(x) hm ; A x—»0 A x A x—>0 A x

= —sen(x).

12.3.4 As derivadas das demais funções trigonométricas A partir das fórmulas sen'(x) = cos(x) e cos'(x) = —sen(x) e aplicando-se as regras de derivação, facilmente podemos obter as derivadas das demais funções trigonométricas, como é proposto no exercício:

Exercício Prove que

1. tg'(x) = sec2 x 2. cotg'(x) = —cossec2x

3. sec'(x) = sec(x)tg(x) 4. cossec'(x) = — cossec(x) cotg(x)

Observação No Maple, os comandos usados para as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante são, respectivamente:

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

12.4 Por que se usa radianos em Cálculo Já vimos na revisão de trigonometria que a um ângulo de a graus corresponde um ângulo de x = f ^ radianos. Assim, sen(a) = sen(f^) .

i 7- sen(a) cos(a) — 1 Use a relação acima para calcular o valor de lim e hm e use estes limites para provar que a a^o a a—>0 a derivada de sen(a), com a dado em graus, é

sen (a) = sen ——- = —— cos(——) = —— cos(a) v ! V180/ 180 180 180 v ;

Veja que aparece o fator ^ = 0,01745329252 multiplicando a derivada do seno, o que causa um certo transtorno nas operações. Isto não acontece quando trabalhamos com radianos, o que simplifica muitos cálculos. Além disso, nas aplicações é mais conveniente entendermos as funções trigonométricas com domínio em toda a reta e não como uma medida de ângulos.

12.5 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labtrig.mws da versão eletrônica deste texto.

12.6 Exercícios 1. Calcule os seguintes limites:

sen(3x) x™ x ... x - s e n ( x ) ... .. 1 - 2cos(x) + cos(2x)

2 (f) lim T-4 (j) lim (M lim x + sení^) x U x™ a; sen(x) sen(2x) l i m 6 x - s e n ( 2 x ) (c) lim 1 ~ C 0 S { X ) ( g ) xsen(3x) ^ 0 2x + 3sen(4x)

a;->-o sen(x) te-M , 2 s e n 2 x - 6 x 3

sen(2 x") 00 1 llmn ^ (d) lim S 6 n ( 2 a ; x 1 > sen(2x) x v ; x >0 x x c os (x ) ... X , . ,. C O S ^ x )

MO \ (i) lim 7-r (m) lim — -. , ,. sen(12x) x^o cos(x) x—f- sen(x) - 1 (e) lim / w

x-*o sen(3 x) í sen(x) x ~~ 2. Calcule os limites laterais, caso existam, de flx) = < , n „ í , quando x —> f . Existe o lim f(x)7 ' J y J |cos(x) x < Y 4 ( f )

3. Calcule as derivadas das funções abaixo: (a) / ( x ) = sen(x) cos(x) ( c) y = sec(x) + tg(x) sen(x) - cossec(x) _ ix_x4

(b) 9{x) = ^ f ^ T ) (d) h(x) = cos2 x - sen2 x ^ I [ X ) ~ s»(*3+2)

4. (a) Raciocinando geometricamente, faça uma previsão plausível para ^sen(ax). Você é capaz de provar que a sua resposta está correta. (Veja: Atividades de Laboratório)

(b) Usando o resultado do item anterior, determine o ângulo com que a curva y = sePg3 x^ corta o eixo x.

12.7 Problemas propostos 1. Usando o processo abaixo, mostre que a área do círculo de raio r é ir r2.

(a) Mostre que a área do polígono de n lados inscrito no círculo é \ [nr2 sen(^ :)]. (b) Calcule a área do círculo fazendo n —> oo na expressão encontrada no item anterior. Por que este limite é

igual à área do círculo?

2. Mostre que a função g(x) = cos(x) é contínua em todo o conjunto dos números reais.

3. Determine o domínio máximo de continuidade da função f(x) = sen(\/x3 — 9x) ( sen(x) / p.

4. Decida se f(x) = < x > s e x r u £ contínua em x = 0. Caso esta função seja descontínua, classifique a LO, se x = 0

descontinuidade em removível ou essencial.

5. (a) Mostre que a função f(x) = j x s e n ( a ; ) ' s e x ^ ® não é derivável em x = 0. I 0 j se x — 0 Sugestão: Mostre que existem valores arbitrariamente pequènos de h tais que = 1 e ^ ^ = — 1-

(b) Seja / ( x ) = { ? ' se x / 0 Aplique a definição de derivada para mostrar que f é derivável em I 0 se x — 0

x = 0 e que /'(O) = 0.

6. Seja / ( x ) = | sen(x) — \ Calcule o valor máximo atingido por / .

7. Seja / ( x ) = x + sen(x).

(a) Encontre os pontos onde / ' = 0. (b) Mostre que em todos os outros pontos / ' > 0. (c) Esboce o gráfico de / .

8. Uma partícula se move sobre o eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t é dada por v(t) = sen(2í). Em t = 0, a partícula está na origem.

(a) Para 0 < t < 7r, ache todos os valores de t para os quais a partícula se move para a direita. (b) Você é capaz de achar a função que fornece a posição da partícula em qualquer instante de tempo í? (c) Se você resolveu o item (b), ache a velocidade média da partícula no intervalo 0 < t < (d) Ache a aceleração da partícula em í = f •

9. Um semicírculo com diâmetro PQ é colocado sobre a base de um triângulo isosceles, formando a figura mostrada ao lado. Se A(d) é a área do semicírculo e

B(9) é a área do triângulo, ache ^ ^ lim B(ey

10. Um objeto com peso W é puxado sobre um plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda amarrada ao objeto. Se a corda faz um ângulo 9 com o plano, então a magnitude da força é dada por 'F =

TTTTT—7õ\ , onde u é uma constante chamada coeficiente de atrito.

(a) Ache a taxa de variação de F em relação a 0. (b) Quando esta taxa de variação é nula? (c) Se W = 50 e /J, — 0,6, com a ajuda do Maple trace o gráfico de F como uma função de 9 e use este gráfico

para localizar os valores de 0 para os quais ^ = 0. Este valor está de acordo com a resposta que você encontrou no item anterior?

12.8 Um pouco de história: O problema da navegação e as primeiras noções de trigonometria

12.8.1 O problema da navegação Na Antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso entre as localidades eram penosamente construídas, em geral usando mão de obra escrava. Para percorrer grandes distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marítimas que costeassem ilhas e continentes. A partir da necessidade de se navegar em alto-mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um navio em alto-mar.

Os navegantes gregos, que por volta do século V a.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronômicos dos babilônios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.

Para os navegantes no hemisfério norte, a latitude de um lugar é o ângulo formado pela Estrela Polar e o horizonte naquele ponto. A latitude de uma pessoa no pólo norte é de 90°, pois nesse ponto a Estrela Polar está diretamente sobre a sua cabeça (na realidade, existe um pequeno desvio angular, pois a Estrela Polar não se encontra exatamente sobre o pólo norte). Navegando para o norte, a cada noite um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto no céu. Navegando para o sul, aconteceria o contrário. Medindo a elevação angular da Estrela Polar, um marinheiro poderia obter uma medida acurada da distância para o sul ou para o norte. No hemisfério sul, a determinação da latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevação angular da estrela chamada Sigma Oitante, que representa o Distrito Federal na bandeira brasileira.

No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessária além da latitude, que determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direção Leste-Oeste.

Os alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude transportando um relógio preciso a bordo de seu navio. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante

(a) Encontre os pontos onde / ' = 0. (b) Mostre que em todos os outros pontos / ' > 0. (c) Esboce o gráfico de / .

8. Uma partícula se move sobre o eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t é dada por v{t) = sen(2í). Em t = 0, a partícula está na origem.

(a) Para 0 < t < n, ache todos os valores de t para os quais a partícula se move para a direita. (b) Você é capaz de achar a função que fornece a posição da partícula em qualquer instante de tempo í? (c) Se você resolveu o item (b), ache a velocidade média da partícula no intervalo 0 < t < (d) Ache a aceleração da partícula em í = f •

9. Um semicírculo com diâmetro PQ é colocado sobre a base de um triângulo isósceles, formando a figura mostrada ao lado. Se A{9) é a área do semicírculo e

B(9) é a área do triângulo, ache lim — — . 9—0+ B{9)

10. Um objeto com peso W é puxado sobre um plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda amarrada ao objeto. Se a corda faz um ângulo 9 com o plano, então a magnitude da força é dada por 'F =

7#rr-—rsr, onde u é uma constante chamada coeficiente de atrito.

(a) Ache a taxa de variação de F em relação a 9.

(b) Quando esta taxa de variação é nula? (c) Se W = 50 e /i = 0,6, com a ajuda do Maple trace o gráfico de F como uma função de 9 e use este gráfico

dF de para localizar os valores de 9 para os quais ^ = 0. Este valor está de acordo com a resposta que você

encontrou no item anterior?

12.8 Um pouco de história: O problema da navegação e as primeiras noções de trigonometria

12.8.1 O problema da navegação Na Antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso entre as localidades eram penosamente construídas, em geral usando mão de obra escrava. Para percorrer grandes distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marítimas que costeassem ilhas e continentes. A partir da necessidade de se navegar em alto-mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um navio em alto-mar.

Os navegantes gregos, que por volta do século V a.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronômicos dos babilônios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.

Para os navegantes no hemisfério norte, a latitude de um lugar é o ângulo formado pela Estrela Polar e o horizonte naquele ponto. A latitude de uma pessoa no pólo norte é de 90°, pois nesse ponto a Estrela Polar está diretamente sobre a sua cabeça (na realidade, existe um pequeno desvio angular, pois a Estrela Polar não se encontra exatamente sobre o pólo norte). Navegando para o norte, a cada noite um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto no céu. Navegando para o sul, aconteceria o contrário. Medindo a elevação angular da Estrela Polar, um marinheiro poderia obter uma medida acurada da distância para o sul ou para o norte. No hemisfério sul, a determinação da latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevação angular da estrela chamada Sigma Oitante, que representa o Distrito Federal na bandeira brasileira.

No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessária além da latitude, que determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direção Leste-Oeste.

Os alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude transportando um relógio preciso a bordo de seu navio. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante


toda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotação completa (360°) em 24h, a cada hora gira 15°. Assim, o navegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do relógio quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabeça. Sua longitude em relação a Alexandria seria o produto de 15° pela diferença em horas entre o meio-dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relógio.

Infelizmente, não havia relógios portáteis, à disposição dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos para manter um registro contínuo das horas durante uma longa viagem. As dificuldades práticas para a determinação da longitute eram tão grandes que este dado deixou de ser levado em consideração na prática da navegação durante um grande período.

12.8.2 As primeiras noções de trigonometria

Tentando resolver o problema da navegação, os gregos se interessaram, também, em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou o surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 a.C.), o bibliotecário de Alexandria. Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul. Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na figura seguinte, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de Assuã, ponto B; portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele também sabia que em Assuã no dia 21 de junho, solstício de verão no hemisfério norte, ao meio dia, o sol incidia diretamente sobre as suas cabeças, junto a primeira catarata do Nilo. Portanto, neste momento, seus raios formavam um ângulo de zero grau com a vertical, não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um ângulo de 7 \ graus com a vertical em Alexandria.

Devido à grande distância, os raios do sol ao atingirem a Terra, podem ser considerados paralelos, portanto, os ângulos AOB e DÀS são iguais, conforme mostra a figura ao lado.

Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria era igual a 7 \ graus, 7 —

calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporção ^ = uma vez que 360° correspondem a circunferência inteira da Terra.

O cálculo feito por Eratóstenes para a circunferência da Terra (38.400 km) foi um resultado fantástico se conside-rarmos que, na época de Colombo, os mais reputados geógrafos acreditavam que o valor correto para a circunferência da Terra era cerca de 27200 km. De fato, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talvez nunca tivesse se arriscado a viajar para a índia!

O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferência por 2 7r (aproximadamente igual a 6,28).

Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8.800 km (o raio terrestre é cerca de 6.378 km). De posse desse valor, ele tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir.

Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos situa-dos no equador, quando ela estiver diretamente sobre um desses pontos, conforme mostra a figura ao lado.

No mesmo instante, um observador em C vê a Lua nascer no horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco estimou a medida do ângulo A. Como a distância AC era igual ao raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos um dos lados (8.800 km) de um triângulo retângulo e um de seus ângulos (A), determinar a hipotenusa AB.

Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos retângulos semelhantes as razões, constantes, en-tre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas. Hiparco organizou diversas tabelas relacionando as razões trigonométricas com ângulos.

D

c


As relações trigonométricas num triângulo retângulo constituíram um avanço no estudo das relações métricas nos triângulos porque estabelecem fórmulas que relacionam entre si medidas de segmentos, enquanto que as razões trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).

12.9 Para você meditar: Outra forma de definir as funções seno e cosseno

Se f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), então temos que as seguintes condições se verificam

( a ) f ' = g, ( b ) g ' = - f , (c) /(O) = 0, (d) g(0) = 1.

• E possível que haja um outro par de funções satisfazendo estas mesmas condições? Sugestão Suponha que F(x) e G(x) são um par qualquer de funções com as mesmas propriedades. Mostre que a derivada da função H definida por H(x) = (F(x) — / (x ) ) 2 + (G(x) — g{x))2 é igual a zero e daí deduza que tipo de função é H.

A resposta a esse problema tem um significado notável: tudo que é conhecido sobre as funções seno e cosseno ou mesmo tudo que venha a ser conhecido sobre elas está implicitamente contido nas condições (a)-(d). Isto é, o seno e o cosseno são completamente caracterizados pelas condições

sen' = cos, cos' = —sen, sen(0) = 0, cos(0) = 1.

1. Use as propriedades acima para mostrar que sen2 x + cos2 x = 1. (Na realidade você já demonstrou esta igualdade no item anterior!)

2. Prove que as funções seno e cosseno satisfazem a seguinte equação funcional y" + y = 0.

3. Seja h(x) = asen(x) + òcos(x), onde a e b são constantes quaisquer. Prove que a função h também satisfaz a equação dada no item anterior.

4. Você é capaz de provar alguma outra propriedade das funções seno e cosseno utilizando somente as propriedades de (a)-(d)? Voltaremos a este problema mais tarde.

Capítulo 13

Regra da Cadeia

13.1 Motivação A área A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento é dada por A = x2. Podemos encontrar a taxa de variação da área em relação à variação do lado:

d A , . -— = 2 x cm /cm dx

Suponha, agora, que o comprimento do lado aumente com o tempo, segundo a lei x = 51 + 2, onde t é dado em segundos. Então, a área do quadrado em um determinado instante t é dada por:

A = (5t + 2)2 = 2512 + 20 f + 4

A área, portanto, é uma função do tempo t, e podemos calcular a taxa de variação da área em relação à variação do tempo

dA — = 50Í + 20 cm2 /s

Note a diferença entre as duas taxas de variação calculadas acima. Quando í = 10, x = 52 e

d4- = 520 cm2 /s dt '

e d A , , — = 104 cm /cm dx

Observe que neste exemplo a área A é uma função de x, isto é, A = A(x) e x é uma função do tempo t, ou seja, x = x(t). Temos, portanto, uma composição de duas funções, e a área pode ser entendida como uma função do tempo: A(x(t)).

Repare, ainda, que podemos reescrever -^r, assim:

d A = 2 ( 5 í + 2)5

dt

dA dx Observe que 2(5í + 2) = 2x = — e que —- = 5. Logo, temos:

dx dt

d A _ d A dx

dt dx dt'

Esta formulação para ^ é conhecida como regra da cadeia para funções compostas e nos fornece uma regra prática para resolver problemas do tipo descrito acima, isto é, calcular a derivada de uma função obtida por composição de outras funções.

Usando a notação "linha" para derivadas, esta regra pode ser enunciada como:

(AoXy(t) = (A(x(t)))'(t) = A'(x(t))x'(t)

176

13.2 Derivadas de funções compostas: A Regra da Cadeia Teorema Regra da cadeia

Se uma função f é derivável em XQ e g é derivável em f(xo)), então, a composta h = g o / é derivável em XQ e

h'{xo) = Gg o f)'(xo) = g'(f(x0)) /'(*„).

Note que, embora a derivada de h — g o f seja o produto das derivadas de g e / , estas derivadas são calculadas em pontos diferentes. A derivada g' é calculada no ponto / ( x 0 ) e a derivada / ' é calculada em XQ.

Exemplo 1 Seja y = g(u) = u3 + 1, u — f(x) = 4x + 5, e h função composta h(x) = g(f(x)) = (4x + 5)3 + 1. A derivada de h

calculada no ponto x = 1 será:

h'( 1) = <?'(/( 1)) /'(1) = g'(9) / ' ( 1 ) = (243) (4) = 972

Uma outra maneira de chegarmos a este resultado seria calcular h'(x) num ponto x qualquer, como abaixo

/ I ' (X ) = « / ( / ( X ) ) / ' ( X ) = 3 ( 4 X + 5 ) 2 4

e, então calcular o valor desta nova função no ponto x = 1. Assim, obtemos, como anteriormente

h'(l) = 3. (92). 4 = 972

Demonstração da regra da cadeia Supondo f(x) ^ f(xo), temos que

9(f(x))-g(f(xo)) = fg(f(x))-g(f(xo))\ íf(x)-f(x0)\ x - x 0 V f(x) - f(Xo) / V X-Xo ) '

Como por hipótese f e g são deriváveis, e portanto contínuas, quando x —xo, f(x) —> / (xo ) e a igualdade acima

implica na existência de lim 9Ífix))—g(f(xo)) ^ p o r ^ a n t o ^ £ derivável. Além disso, I-Ho X — XQ

, fV, , 9(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0) ( g ° f ) ( x o = lim = lim J^-T 77—r

X^FXO X — XQ X-+X0 f ( x ) — F ( x o ) X — Xo

= lim g(/(»))-g(/y) Iim m - f ( x o ) X^xo f(x) — j[x o) x^x0 X — Xo

= g'(.f(x o ) ) f'(x o)

Note que, na demonstração dada acima, foi necessário supor f(x) / f(xo) pelo menos para valores de x próximos de XQ. Porém, pode acontecer que f(x) = f(xo), para algum x, ou mesmo para todos os valores de x próximos de Xo-Por exemplo, ao calcularmos a derivada de f(g(x)) = sen(x2) no ponto xo escrevemos

sen(x2) - sen(x02) T/sen(x2) - seníxo2)^ / x 2 - x o 2 x i lim = hm X-^XO X — Xo X 2 — X o 2 J \ X — XQ

Neste caso, não podemos garantir que x2 ^ xo2 quando x ^ xo, pois (—x0)2 = xo2. No entanto, tomando x bem próximo de xo, que é o que nos interessa para o cálculo do limite, evitamos a possibilidade de termos x — XQ. Este mesmo raciocínio vale no caso geral, quando temos que

lim * ( / ( * ) ) - 3 ( / ( * o ) ) = l i m x - í i o X — XO x-i-xo

g(f(x)) - g(f(xo)) f(x) - / (xo ) / ( x ) - / ( x 0 ) X - Xo

desde que possamos garantir que para valores de x bem próximos de Xo se tenha / ( x ) / f(xo). Resta observar o que acontece quando temos / ( x ) = / (xo ) , para valores de x arbitrariamente próximos de xo.

ffx\ - flx0) Ora, neste caso, devemos ter, obrigatoriamente, f'(xo) = 0. Isto acontece porque a razão será zero para

x — XQ valores de x arbitrariamente próximos de x0 , de forma que o único valor possível para o limite é zero.

178 Cap. 13 Regra da Cadeia

Neste caso, repare que a regra acima permanece válida, pois, para calcular a derivada de g(f(x)) em x0, podemos utilizar o fato de que g(f(x)) = g(f(x0)), quando f(x) = f(x0).

Assim, podemos escrever:

9 ( f ( x ) ) - g ( f ( x o ) ) 9 ( f ( x ) ) - g ( f ( x o ) )

X — Xq

f ( x ) - f ( x 0 ) X — XQ

f(x) ? f(xo) f(x) - f(xo)

0 / ( x ) = f(x o)

Tomando o limite na expressão acima, vemos que

lim 9(f(x))-g{f{xo)) _Q

x-*x0 X — Xo

pois, se f(x) t / (xo ) , a expressão ( 9 } / { ) ( M l M ) ) tende a V f(x)-f(xo) J \ X-Xo ' )

g'(f(xo))f(xo)=g'(f(xo)0 = 0

e quando f(x) = / ( x 0 ) , tem-se, obviamente, o valor zero.

Exemplo 2 Derive (a) sen(x2) (b) sen2 x.

Solução (a) Se y = sen(x2), então y = g(u), onde g(u) — senu e u(x) = x2 . Assim, a regra da cadeia nos diz que

y'{x) = g'(u) u'(x), ou, usando a notação de Leibniz, & = ^ Logo, como g'(u) = COS(M) e u'(x) = 2x, temos que

// \ áy . <2\ y (x) = — = 2xcos(x J.

(b) Se y = sen2x, então y = g(u), onde g(u) = u2 e u = senx. Assim, pela regra da cadeia, temos que y'{x) = g'(u) u'(x) ou ^ = ^ Como ^(w) = 2 « e w'(x) = cosx, obtemos

,, . áy y (x) = — = 2 senx cosx.

dx

Podemos usar as identidades trigonométricas para escrever a resposta acima como sen2x ou podemos, simples-mente, deixá-la na forma anterior.

No Exemplo 2, combinamos a regra da cadeia com as regras de derivação de funções trigonométricas. Em geral, se y = senu e u é uma função (derivável) de x, então, usando a regra da cadeia, podemos escrever

dy dy du du . — — — — — — COS U-— = u cos u. dx du dx dx

De maneira análoga, podemos combinar a regra da cadeia com as fórmulas de derivação das demais funções trigo-nométricas.

Exemplo 3 Se / ( x ) = sen(cos(tgx)), então

f'(x) = cos (cos (tg x)) ~ cos(tgx) = cos(cos(tg x)) [—sen(tgx)] - f - (tgx) dx dx

= —cos(cos(tg x)) sen(tg x) sec2 x .

Note que, neste exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes.

Corolário: Generalização da regra da potência

Seja y = xr, onde r = com p e q números inteiros não-nulos, então y' = r x ^ - 1 ' .

Demonstração Note que y = x1" í ' <=i> yq = xp . Repare que, no lado esquerdo da igualdade, temos uma função g(y) = yqy onde y = f (x) = xr. Como p e q são números inteiros, podemos usar a regra da potência para derivar ambos os lados desta igualdade e usar a regra da cadeia no seu lado esquerdo para obter


qyíi-Vy' =px(p~1)

isto é, Y = V- T ( P - D „(1-9) = £ ^ ( P - ! ) Í^H^-l) = P T(f-1)

Logo y' = rx

2/ = t x(p-1) yd-9) = £ X(p-D (a;(f))(- ~ q q q

Observação Usando o corolário acima e a regra da cadeia podemos encontrar uma regra para derivar funções do tipo y = (f(x))r, onde r = sendo p e q inteiros não-nulos. Neste caso, temos a composição de y = ur com u = f(x). Aplicando a regra da cadeia em conjunto com o item anterior, obtemos

y' = r{f{x)t~V f { x ) .

Exemplo 4 Calcule a derivada de y = (3 x2 + y/5x3 — x2)§.

Solução Chamando 3x2 + t/5 x3 — x2 = u, temos a composta de y = u* com u = 3 x2 + y/hx3 — x2. Aplicando o corolário obtemos:

13.3 Exercícios 1. Nos itens abaixo, determine / o g e g o / . Determine, também, em cada caso, o domínio das funções compostas

e calcule (fog)' e (g o f ) ' .

(a) fix) = 1 - x2 e g(x) = 2x + 3 , . . , , . /í-, , N , ^ -w J w ; , , , (d) f(x) = x^3> e q(x) = A/cos(x) + 1 (b) / ( x ) = x3 - 4 e g { x ) = (x + 4)(l) ' _ ^ { ) V (c ) f(x) = - 1 7 e g(x) = | x | ( e j n X ) ~ -2"1 6 9 { X ) ~ Sen[X)

2. Nos itens abaixo, determine uma função f(x) = xk e uma função g tais que f(g(x)) — h(x) e calcule h'(x). (a) h(x) = (2 + 3x)2 (c) h(x) = (5 - x2)(§) (e) h(x) = (b ) h(x) = V2x-x2 (d ) h(x) = ^

3. Encontre as funções / e g , tais que, ( / o g)(x) = h(x) e calcule h'(x): (a) h ( x ) = cos ( tan x) ( c ) h ( x ) = (y/x)3 + y/x + 5

(b) h(x) = sen2 (3x) (d) h(x) = cos2x - 5 cos x + 10

4. Determine a derivada das funções abaixo: (a) f{x) = sen(2x3 + 5x2 - 10) (e) y = s e n ( x 3 _ 2a :)sec(x - 1) (M v = (3x2-2)5

( b ) y = X 2 C O S ( 3 X 2 - 2 X ) m „ = S E N ( 5 * > 2 , S 3 " 3

(c) y = tan(sen(3 x + 1)) (i) y = y/7 (d) y = Vsen2 x + 5 ^ y ~ ««tf*) (j) V = y/7 + y/7 - x

13.4 Problemas propostos x — 3 1. Se f(x) = —-j-y, calcule g(x) = f(f(x)). Encontre o domínio de / e o domínio de g e calcule g'(x).

2. Se / e g são as funções cujos gráficos são mostrados a seguir, sejam u(x) = f(g(x)), v(x) = g(f(x)) e w(x) g(g(x)). Ache o valor de cada uma das derivadas abaixo, caso existam: (a) u'( 1) (b) i / ( l ) (c) «,'(1)

180 Cap. 13 Regra da Cadeia

3. O raio de um balão esférico, que está sendo inflado, é dado por r(t) = 3 y/t + 8, onde t é dado em segundos e está variando no intervalo [0, 10]. Determine:

(a) O raio do balão no início do processo. (b) O volume do balão como uma função do tempo. Especifique o domínio dessa função.

Sugestão: O volume de uma esfera de raio r é dado por . (c) A taxa de variação do volume em relação ao tempo.

4. Uma partícula move-se ao longo de uma reta, onde sua posição em cada instante t (segundos) é dada por s(t) = 4sen(3í2) (metros). Pede-se:

(a) Qual a velocidade instantânea da partícula quando t = ls? (b) A velocidade e a aceleração instantânea quando t = y ^ s ?

5. A freqüência de vibração da corda de um violino é dada por / = ^ o n d e L é o comprimento da corda, T a sua tensão e p sua densidade linear. Ache a taxa de variação da freqüência em relação,

(a) ao comprimento L (considere T e p constantes). (b) à tensão T (considere L e p constantes). (c) à densidade linear p (considere L e T constantes).

6. Uma massa atada a uma mola oscila verticalmente e tem a sua posição y determinada em qualquer instante de tempo t pela função y(t) = Asenwt, onde A é a amplitude de suas oscilações e w é uma constante. Este movi-m e n t o é chamado movimento harmônico simples (veja Funções Trigonométricas: Atividades de Laboratório).

(a) Determine a velocidade e a aceleração da massa como função do tempo. (b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento y. (c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é zero.

Capítulo 14

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio de uma expressão definida em termos de x. No entanto, na resolução de problemas práticos, freqüentemente a relação entre y e x é determinada por uma equação da forma F(x, y) = 0, que não está resolvida para y.

Pode ser que não exista nenhum ponto (x, y) do plano que satisfaça a equação F(x, y) = 0. Neste caso, esta equação representa um conjunto vazio. Caso contrário, uma equação do tipo acima representa uma curva no plano que pode ser o gráfico de uma ou de várias funções da forma y = f(x). Isto acontece porque uma equação em duas variáveis x e y pode ter uma ou mais soluções para y em termos de x ou para x em termos de y. Dizemos, então, que estas soluções são funções definidas implicitamente pela equação F(x, y) = 0.

14.1.1 Exemplos Exemplo 1 Uma hipérbole equilátera pode ser representada pela equação xy = 1, obtida usando-se o comando

impl i c i tp lo t do pacote p lo ts do Maple. > i m p l i c i t p l o t ( x * y = l , x = - 5 . . 5 , y = - 5 . . 5 ) ;

\ - 4

Esta equação simples determina uma função implícita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = ^.

Exemplo 2 A circunferência de centro na origem e raio 1 é representada no plano xy pela equação x2 + y2 = 1. Tal equação define implicitamente 4 funções contínuas: duas funções de y em relação a x, a saber

y = -v/1 — x2 e y = — Vl — x2, para x em [—1,1]

X

e duas funções de x em relação a y, a saber

x = y/l - y2 e x = -y/l - y2, para y em [-1,1] ,

181

182 Cap. 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Os gráficos das duas primeiras se sobrepõem para formar a circunferência unitária, o mesmo acontecendo com o gráfico das duas últimas funções.

Exemplo 3 A equação x3 +y3 — 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. Com a ajuda do Maple podemos traçar seu gráfico.

> plots[implicitplot](x~3+y~3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2.,3,numpoints=2000);

>1

- ! -1 11

-1

'x 2

\

Embora o problema de resolver explicitamente esta equação em termos de y seja muito complicado, podemos notar que existem retas verticais que interceptam o gráfico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 funções definidas implicitamente por esta equação. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendo x = 1 na expressão x3 + y3 — 4 xy = 0 e resolvendo a equação resultante para y, obtemos:

> s:=subs({x=l},x~3+y~3-4*x*y=0); s := 1 + y3 - 4y = 0

> s l : = f s o l v e ( s , y ) ; sl := -2.114907541, .2541016884, 1.860805853

Neste caso particular, para x = 1 existem três valores correspondentes para y, o que mostra que a equação dada define, pelo menos, três funções implícitas de x.

Exemplo 4 Nem toda equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de a; ou a: como função de y. Por exemplo, a equação x2 + y2 + 4 = 0 não define função alguma, pois esta equação não tem solução real (x, y). Ela representa apenas o conjunto vazio.

14.2 Derivação implícita Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos os pontos do seu domínio. As funções que aparecem no Exemplo 2 não são deriváveis nos pontos extremos dos intervalos onde elas estão definidas. Exatamente nestes pontos, as retas tangentes às curvas são verticais. Em um curso de Cálculo avançado se estudam condições que garantem quando uma função definida implicitamente é derivável. Aqui, procederemos como se as funções definidas implicitamente fossem deriváveis em quase todos os pontos de seu domínio.

Admitindo que a função y = f(x), definida implicitamente pela equação F(:r, y) = 0, seja derivável, podemos calcular a derivada ^ sem ser necessário primeiro resolver a equação F(a:, y) = 0, para y. O processo consiste em,-utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equação, considerando x como a variável independente, e y, sempre que esta variável aparecer, como uma função de x. Resolvemos, então, a equação resultante em relação à derivada f'(x). Este processo é chamado de derivação implícita.

Exemplo 1 Supondo que a função y = f{x), definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1, seja derivável,


podemos usar a regra da cadeia para obter f'(x). Assim, substituindo y por f(x) na equação dada, obtemos

+ ( / (z ) ) 2 = 1-

Derivando ambos os lados da equação acima em relação a x, obtemos:

2x + 2f{x) f'(x) = 0

que é equivalente a 2x + 2y^-=0.

dx

Para completar o processo, resolvemos esta última equação considerando como a incógnita. Neste exemplo, temos que

dy x dx y

Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressão tanto x como y, mas esta fórmula pode ser tão útil quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usá-la para calcular o coeficiente angular da

3 5 ' 5 ' reta tangente ao círculo x2 + y2 = 1 no ponto ( |, — |) e obter

dy

dx _3_ _ 3 —4 ~ 4

Lembramos que o resultado obtido é válido qualquer que seja a função y = f(x) definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1. Neste exemplo específico, é fácil concluir que existem duas funções contínuas definidas a partir da equação dada: y = \/l — x2 e y = — \/l — x2. No primeiro caso,

dy x x

dx Vl - x2 y '

no segundo, dy x x

dx Vl - x2 y '

o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivação implícita.

Exemplo 2 Vamos agora determinar a equação da reta tangente ao gráfico do folium de Descartes

xz + y3 = 4 xy

no ponto (2, 2). Supondo que y — y(:r), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação acima. Assim, temos que

3x2 + 3 y2 y' = Ay + Axy'

Resolvendo esta equação para y', vem que , _ Ay — 3x2

^ 3 y2 — 4 x Calculando o valor da expressão acima no ponto (2, 2), obtemos que y' = —1. Este resultado fornece a declividade

da reta tangente à curva no ponto dado. Logo, a equação da reta tangente à curva x3 + y3 = 4 xy no ponto (2, 2) é dada por y — 2 = —(x — 2), ou x + y — 4 = 0.

Observação Você pode conferir os cálculos feitos acima através do comando implic i tdi f f do Maple, usado para calcular derivadas implícitas, como fazemos a seguir:

> d y d x : = i m p l i c i t d i f f ( x ~ 3 + y ~ 3 = 4 * x * y , y , x ) ;

3 X 2 - 4 y dydx :=

—3yí + 4 a; > s u b s ( { x = 2 , y = 2 } , d y d x ) ;

- 1


Exemplo 3 O método descrito nesta seção também se aplica ao cálculo de derivadas de ordem superior de funções definidas

implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da função y = y(x), definida implicitamente pela equação x2 — xy + y2 = 16 . Derivando esta equação implicitamente com res-peito a x, obtemos:

que é equivalente a dy y — 2 x

dx 2 y — x ,2

Para obter a derivada segunda de y em relação a x, isto é j^r, derivamos, outra vez, a expressão obtida acima, implicitamente, com relação a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue:

d2x = ( f - 2 ) ( 2 y - x ) - ( y - 2 x ) ( 2 ( ^ ) - l ) = 3 x ( f ) - 3 y dx2 (2 y - x ) 2 (2 y - x ) 2

Para finalizar, substituímos nesta última expressão o valor encontrado no primeiro passo, para Assim,

rf2x = 3 x [ f ^ f ] - 3 y = 6 (x2 — xy + y2) dx2 (2 y - x ) 2 (2 y - x ) 3

Observando que x2 — xy + y2 = 16, podemos simplificar ainda mais a expressão acima e concluir, finalmente, que

d2 x _ 96 dx2 (2 y — x)3

O resultado obtido acima pode ser conferido com a ajuda do Maple: > implicitdiff (x~2-x*y+y~2=16,y,x,x) ;

x2 — xy + y2

x3 — 6 x2 y + 12 x y2 — 8 y3

Como 2 x — 6 x y + 12 x y —8 y = (x — 2 y)3 e x2 — xy + y = 16, este resultado confere com aquele que obtive-mos acima.

14.3 Taxas relacionadas

14.3.1 Motivação Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80 km/h. O policial deve ou não multar o motorista?


Neste problema, as distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao ponto da rodovia mais próximo da árvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, ^ quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos determinar ^ , isto é, a velocidade desenvolvida pelo automóvel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone).

Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as distâncias x, y e z estão relacionadas pela equação

(1) z2 = 122 + y2.

A partir desta equação, o processo de derivação implícita nos permite encontrar a relação entre a taxa de variação de z e a taxa de variação de y e então resolver o problema proposto.

Este problema é um exemplo típico de uma das aplicações elementares do Cálculo: a solução de problemas de taxas relacionadas. O método de resolução é descrito a seguir.

Derivando implicitamente a equação (1) obtemos

dz „ dy 2z — = 2y-r

dt dt

e daí, dy z dz

dt y dt '

que é a relação que procurávamos. Quando y = 16 m = 0,016 km, a leitura do radar nos diz que 70 km/h, e, usando outra vez o teorema de

Pitágoras, podemos deduzir que, neste momento, z — 20 m = 0,02 km. Usando estes dados, a relação acima nos permite concluir que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada é de

> 70*0.02/0.016.; 87.50000000

que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado. Os exemplos a seguir ilustram este método aplicado a outras situações.

Exemplo Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmara de televisão montada no nível do chão. A medida que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmara e o balão e o ângulo que a câmara faz com o chão. (Veja animação no texto eletrônico.)

Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:

(a) Quando o balão estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmara?

(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, com que velocidade a câmara estará girando para filmar a subida do balão?

Vamos denotar por h a altura que o balão está do solo, por d a distância do balão à câmera e por w o ângulo que a câmara faz com o solo.

Todas estas variáveis são funções do tempo decorrido, isto é, h = h(t), d = d(t) e w = w(t). Para resolver o item (a), podemos usar o teorema de Pitágoras a fim de obter uma equação que relacione as

variáveis d e h. Assim, temos que (1) h2 + 1002 = d2.


Derivando esta equação, implicitamente, com relação ao tempo, obtemos:

(2) 2 hti = 2 dd'

Conhecemos h' (velocidade com que o balão está subindo) e queremos determinar d' (velocidade com que o balão se afasta da câmara) no instante em que /i = 75, isto é, quando o balão está a 75 metros de altura. Pela equação (1) sabemos que d = y/h2 + 1002. Fazendo h = 75 nesta última expressão, obtemos que, neste instante, d = y/752 + 1002

= 125. Substituindo estes valores na equação (1) temos que

(75)(6) = 1 2 5 d ' ^ d ' = 7 ^ = f .

Para resolver o item (b), conhecendo = 6 m/s, precisamos determinar quando t — 5 s. Para isto, como fizemos ao resolver o item (a), é necessário obter uma expressão que relacione as funções h e w e depois derivar a expressão obtida implicitamente para obter uma relação entre as taxas de variação citadas.

Novamente, observando o diagrama traçado na figura anterior, podemos concluir que

tg(«0 -

Derivando implicitamente esta equação, obtemos:

2 s I dw\ 1 dh (3) ( S e c ^ - j = - - .

Precisamos agora determinar sec2 w quando t = 5s. Nesse instante, temos que h = 30 m, e daí, usando novamente o teorema de Pitágoras, obtemos

d = y/l002 + 302 = 10 y/109.

Como s e c H = ^ temos que sec2 w = í 1 2 ^ 5 ) 2 = *§§. De (3) obtemos

dw 1 dh

~dt ~~ 100 sec2 w ~dt Assim, substituindo os valores obtidos para sec2 w e nesta última expressão, temos que

dw 6 ~dt = 109

Esta razão representa a velocidade angular com que a câmara gira ao acompanhar a ascensão do balão, expressa em radianos por segundo.

Método de resolução esquematizado

Os exemplos anteriores ilustram os passos que devemos seguir para resolver problemas de taxa relacionada que envolvem uma situação geométrica:

1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo as variáveis dependentes e a variável independente. Explicite claramente quais são os dados do problema e qual a taxa de variação que se quer calcular.

2. Use o seu diagrama para determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema.

3. Derive, implicitamente, esta equação em relação à variável independente.

4. Na equação obtida após o processo de derivação, substitua os valores numéricos dados e resolva a equação resultante em relação à incógnita do problema.

14.4 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no árquivo labimpli.mws da versão eletrônica deste texto.


14.5 Exercícios 1. Determine "^f, por derivação implícita:

(a) xy = 10 (c) y/i + y/y = y/2

(b) 3x2 - 4y2 = 5 (d) x2 ( x - y ) = y2 (x + y) (e) 3x3 + 5 y 3 = 15 (f) x2 + xy + y2 - 9

2. Supondo que y seja definido implicitamente pelas equações dadas, determine e (a) x2 + y 2 = 4 (c) sen(y) = xy

(d) x2 + xy + y2 = 3 (b) i + i = l (e) y3 + x2 + x = 5

3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida pela equação dada, no ponto P:

(a) Folium de Descartes: x3 + y3 = 2 xy ; P = (1, 1)

\ \

\ \

(b) Cardióide: x2 + y2 + x = y/x2 + y2 ; P =

1

(c) Lemniscata de Bernoulli: (x2 + y2)2 = x2 - y2 ; P =

-!1 -0 .8-0 .6-0 .4-0 .2 /

\ 0.2 0.4 0.6 0.8

(d) Astróide: a;(§) +t / ( f ) = l ; p =

(e) x + 4 y2 = 6 xy, P = (2, 1) ( f ) i ^ i i = 5 : c + 2 / 2 ; p = ( _ 1 ) 3 )

v

\ /

(g) x2 y3 = 2y + x; P = (—1, 1)

4. Encontre os pontos da curva em que a reta tangente é horizontal e os pontos em que ela é vertical: (a) x4 + y4 + 2 = 4 xy3 (b) ( x 2 + y2f = x2 - y2 (c)x3+y3 = 2xy



1. Use derivação implícita para mostrar que qualquer reta tangente em um ponto P{x, y) de uma circunferência de centro em C(xo,yo) é perpendicular ao raio OP.

2. A luz de um farol giratório deve acompanhar um navio que se move paralelamente à costa. Sua posição, considerada a partir do ponto em que ele é perpendicular à costa, é dada por s(t) = t2. Sabendo-se que a distância do navio à costa é de 2 km, calcule a velocidade angular do farol após o início do seu movimento.

3. Uma lâmpada colocada num poste está a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?

4. Um ponto se move ao longo da parte superior da parábola y — y/x, de modo que sua abscissa cresce na razão constante de 3 m/s. A projeção de P sobre o eixo x é M. Com que velocidade varia a área do triângulo OMP, onde O é a origem, quando a abscissa de P é igual a 4 m.

5. Enche-se de gás um balão esférico à razão de 4 m3/min. Com que velocidade cresce o raio do balão no instante em que mede 1 m?

6. Um bote está sendo puxado para o cais por meio de uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e a outra passando por uma roldana fixada no cais, 1,5 m acima do nível do bote. Se a corda é puxada à razão de 0,5 m/s, com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que ele está a 3 m da roldana?

7. Acumula-se areia em um monte de forma cónica, à razão de 0,5 m3. O raio da base do monte é sempre igual à metade da sua altura. Com que velocidade cresce a sua altura quando ela está a 2 m?

8. Uma fonte luminosa aproxima-se perpendicularmente de uma parede com velocidade constante de 2 m/s, pro-jetando uma imagem circular sobre esta. Sabendo-se que a abertura do facho de luz é de j radianos, calcule a velocidade com que a área iluminada sobre a parede está diminuindo quando a distância da fonte à parede é de 1 m.

9. Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3 m/s. Quando o balão está a 48 metros do solo passa exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20 m/s. Quatro segundos após este instante, com que velocidade varia a distância entre eles?

10. Um quadro de 1 metro de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variando quando o observador estiver a 2 metros da parede?

14.7 Um pouco de história: Um desafio a Fermat

Descartes suspeitou que o sucesso do método das secantes utilizado por Fermat para determinar a equação da tangente a uma curva dependia da existência de uma relação explícita entre y e x, da forma y = f(x) e, então, desafiou-o a encontrar tangentes à curva x3 + y3 = nxy, com n = 1, 2, — Por isso, esta curva ficou conhecida como o Folium de Descartes. Neste caso, não é possível explicitar y como função de x, portanto, para resolver o problema é preciso empregar o processo de diferenciação implícita, como foi feito neste capítulo.

Fermat aceitou o desafio proposto por Descartes e não encontrou dificuldades em resolver este problema. Usando a idéia de que a reta tangente a uma curva qualquer, num ponto (x, y), poder ser obtida como o limite de

retas secantes que passam pelos pontos (x,y) e (x + h, y + k), quando h e k tendem a zero, Fermat calculou o valor da expressão F(x, y) — 0 no ponto (x + h,y + k) e "passou o limite", desprezando todos os termos contendo potências de h e k ou seus produtos (repare que se h e k são números pequenos, para n > 2, hn, kn e hk são desprezíveis em relação à unidade). A declividade da reta tangente seria dada, então, pela razão

Embora o método por ele empregado fosse mais complicado do que aquele que empregamos hoje e envolvesse um conceito nebuloso de limites, funcionava em problemas do tipo daquele proposto por Descartes.


14.8 Para você meditar: Quando as contas não fazem sentido! Existe esta "curva"? Considere a seguinte equação x (x + 6) + y2 — 4 y + 14 = 0. Considerando que esta equação define implicitamente y como função de x e usando o Maple para calcular a derivada dessa função, obtemos:

> Diff (y,x)=implicitdif f (x*(x+6)+y~2-4*y+14=0,y,x) ;

dxV y _ 2

(a) Explique por que a expressão acima é completamente sem sentido. Sugestão: Que curva plana é definida pela equação x (x + 6) + y2 — 4y + 14 = 0?

Derivando equações ou qual o sentido da derivação implícita? Considere a equação cúbica x3 — 3 x + 8. Derivando ambos os membros desta equação em relação a x, obtemos 3x2 = 3. Esta última equação admite duas soluções, x = l e x = —1, mas nenhum destes valores é solução da equação original. ,

(a) O que está errado? Afinal, em vários exemplos deste capítulo derivamos ambos os membros de uma equação. Este procedimento é correto ou não? Por que o processo de derivação implícita é válido para calcular a derivada de uma função definida por uma expressão do tipo f(x, y) = 0 e não pode ser aplicado no contexto do exemplo acima?

= 0 a tangente à curva f(x, y) = 0 é horizontal? (xo,yo)

O problema a ser estudado aqui é o de calcular os pontos no gráfico da equação x3 +y3 = 3 x y — 1 nos quais a reta tangente à curva seja horizontal. Para resolver este problema é preciso encontrar os pontos onde ^ = 0. Usando o processo de derivação implícita, temos

> Dif f (y ,x)=implic itdi f f (x~3+y~3 = 3*x*y - l , y ,x ) ;

JLV= x 2 - y f ) r y 9 I

—y + x

Desta última expressão resulta que = 0 se e somente se y = x2 e x ^ y2.

(a) O ponto (1,1) pertence à curva dada e satisfaz a relação y = x2. Neste ponto a tangente ao gráfico da curva é horizontal?

(b) Mostre que não há pontos no gráfico da curva x3 + y3 = 3xy — 1 onde a reta tangente seja horizontal. Sugestão: Use o comando implic i tplot do Maple para traçar o gráfico desta equação.

Capítulo 15

Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

15.1 Motivação Na Seção 4.1.1, estudamos o problema da caixa, onde queríamos montar uma caixa recortando retângulos nos quatro cantos de uma lâmina de plástico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho do corte a ser feito nos cantos da folha de plástico, a fim de obter a caixa de volume máximo. O volume da caixa é uma função do tamanho do corte, que representamos por x, e é dado por V = x (20 — 2 x)2, onde 0 < x < 10.

O problema da caixa é um exemplo típico de problemas de determinação de máximos e mínimos de funções definidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definições e do estabelecimento de critérios que permitam determinar facilmente estes pontos.

15.2 Máximos e mínimos absolutos Definição 1

Seja / uma função definida no intervalo .fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] é chamado ponto de máximo absoluto de / ou, simplesmente, ponto de máximo se f(x) < f(c) para todo x em [a, 6], O valor / ( c ) é chamado de valor máximo absoluto de / neste intervalo ou, simplesmente, valor máximo de / .

Um ponto d de [a, ò] é chamado ponto de mínimo absoluto de / ou, simplesmente, ponto de mínimo de / se f(d) < f(x) para todo x em [a, 6]. O valor f(d) é chamado valor mínimo absoluto de / neste intervalo ou, simplesmente, valor mínimo de / .

Assim, se / ( c ) é o máximo e f(d) é o mínimo de / em [a, 6], teremos

O teorema abaixo garante que toda função contínua em um intervalo fechado tem sempre um máximo e um mínimo absolutos.

Teorema dos valores extremos Seja f uma função contínua definida em um intervalo fechado [a,b]. Então existem números c e d no intervalo

[a, í>], tais que, f(c) é o valor máximo e f (d) é o valor mínimo de f em [a, b}.

A demonstração deste teorema poderá ser encontrada no apêndice deste volume.

valor máximo 40-

vator mínimo

190

Os exemplos abaixo mostram que se / não é contínua ou se o intervalo não é fechado, / pode não atingir valores máximo e mínimo.

Exemplo 1 Seja f(x) = x2 definida no intervalo [0,1), isto é, seu domínio é um intervalo semi-aberto à direita. Observando o gráfico de / vemos, claramente, que esta função atinge o mínimo em x = 0 porém não atinge um valor máximo. O candidato a ponto de máximo seria x = 1, porém este ponto não pertence ao domínio de / . Como / é crescente neste intervalo, qualquer que seja o valor de f(xi) com X\ < 1, existirá sempre um x2, tal que x\ < x2 < 1 e f(xi) < f(x2).

Exemplo 2 A função / definida no intervalo [0,2] por

m = í j .

= < X — 1

l i X ^ 1

X = 1

não é contínua no ponto x = 1. Seu limite lateral à esquerda lim — X—>1— X — 1

lim = +oo. Portanto, esta função não atinge valor máximo nem mínimo em [0, 2], x-fl+ x — 1

— — oo e seu limite lateral à direita

Exercício Esboce o gráfico de uma função definida em [0,1] que seja descontínua e tenha um máximo e um mínimo absolutos.

15.2.1 Máximos e mínimos locais Vimos que o teorema dos valores extremos garante a existência de máximos e mínimos de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b\. A questão natural que se coloca agora é saber onde, exatamente, se localizam estes máximos e mínimos? Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos examinar alguns exemplos.

Exemplo 3 Considere a função f(x) = x3, que é contínua e crescente no intervalo [—1,1]. Neste intervalo, o valor mínimo desta função é — 1 e o valor máximo é 1. Estes valores ocorrem nos pontos i = - l e i = l, respectivamente, que são os extremos do intervalo considerado.

Exemplo 4 Considere a função f(x) = —x2 no intervalo [—2,2]. Esta função é contínua neste intervalo e, portanto, o teorema dos valores extremos garante a existência de um máximo e de um mínimo globais.

Neste caso, o máximo global da função f(x) = —x2 é zero e ocorre em x — 0. O valor mínimo é —1 e ocorre em x = — 1 e x = 1.

Exemplo 5 Vamos examinar agora a função f(x) = x3 — Ax2 — x + 10 definida em [—2,5]. Veja o seu gráfico traçado a seguir, à esquerda.

192 Cap. 15 Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

Os valores máximos e mínimos desta função ocorrem em 5 e —2, respectivamente, que são os extremos do intervalo. No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo onde a função atinge um máximo para valores de x, por exemplo, entre — l e i . Da mesma forma, existe um ponto onde / atinge um mínimo se considerarmos valores de x entre, por exemplo, 0 e 4. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [—1,3.5], ilustra esta afirmação.

/ 8- \

/ ei \ 4- \

2: \

-1 ü; • • i x 2\ 3 / -2- \ —

Estes pontos são ditos máximos e mínimos locais, ou, genericamente, extremos locais de f, e são caracterizados na definição a seguir.

Definição 2 Dizemos que um ponto c é um ponto de máximo local ou relativo de f se f(x) < / ( c ) para todo x suficientemente

próximo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo x que esteja no domínio de f, em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f(d) < f{x), para todo x suficientemente próximo de d.

A questão que se coloca agora é descobrir algum critério que nos permita identificar com precisão os extremos relativos de uma função. A reta tangente nos dá uma pista para localizá-los. Ob-serve o diagrama ao lado e conclua o que é possível afirmar a respeito destes pontos.

A primeira vista, parece ser possível afirmar que, nestes pon-tos, a reta tangente é horizontal e, portanto, a derivada da função é zero. No entanto, os exemplos a seguir mostram que extremos relativos podem ocorrer em pontos onde a função sequer é de-rivável e que existem pontos, onde a derivada é zero, que não são nem máximo e nem mínimo locais.

Exemplo 6 Examine a função / ( x ) = 3 — | x — 2 | definida em [1,4].

O ponto x = 2 é um ponto de máximo relativo desta função (na realidade este ponto é um máximo global para esta função no intervalo considerado) e / não é derivável neste ponto.

Exemplo 7 Em x = 0, a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 é horizontal e, portanto, a derivada desta função é zero neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto x = 0 não é nem ponto de máximo e nem ponto de mínimo local para esta função.

O teorema a seguir esclarece estes fatos.

Teorema Caracterização dos máximos e mínimos locais Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f'(c) ^ 0 então

Os valores máximos e mínimos desta função ocorrem em 5 e —2, respectivamente, que são os extremos do intervalo. No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo onde a função atinge um máximo para valores de x, por exemplo, entre — l e i . Da mesma forma, existe um ponto onde / atinge um mínimo se considerarmos valores de x entre, por exemplo, 0 e 4. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [—1,3.5], ilustra esta afirmação.

Estes pontos são ditos máximos e mínimos locais, ou, genericamente, extremos locais de f, e são caracterizados na definição a seguir.

Definição 2 Dizemos que um ponto c é um ponto de máximo local ou relativo de f se f(x) < f(c) para todo x suficientemente

próximo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo x que esteja no domínio de f, em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f(d) < f{x), para todo x suficientemente próximo de d.

A questão que se coloca agora é descobrir algum critério que nos permita identificar com precisão os extremos relativos de uma função. A reta tangente nos dá uma pista para localizá-los. Ob-serve o diagrama ao lado e conclua o que é possível afirmar a respeito destes pontos.

A primeira vista, parece ser possível afirmar que, nestes pon-tos, a reta tangente é horizontal e, portanto, a derivada da função é zero. No entanto, os exemplos a seguir mostram que extremos relativos podem ocorrer em pontos onde a função sequer é de-rivável e que existem pontos, onde a derivada é zero, que não são nem máximo e nem mínimo locais.

Exemplo 6 Examine a função f(x) = 3 — | x — 2 | definida em [1,4].

1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 3.23.43.63.8 4

O ponto x = 2 é um ponto de máximo relativo desta função (na realidade este ponto é um máximo global para esta função no intervalo considerado) e / não é derivável neste ponto.

Exemplo 7 Em x = 0, a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 é horizontal e, portanto, a derivada desta função é zero neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto x = 0 não é nem ponto de máximo e nem ponto de mínimo local para esta função.

O teorema a seguir esclarece estes fatos.

Teorema Caracterização dos máximos e mínimos locais Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, 6) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f'(c) 0 então

f(c) não é máximo nem mínimo local de f .

Demonstração Se f'(c) O, então f'(c) > 0 ou f'(c) < 0. Vamos supor, primeiro, que f'(c) > 0. Então, para x suficientemente

próximo de c, temos

x — c

Logo, se x < c , tem-se x — c < 0, o que implica f(x) < / (c) . Agora, se x > c, tem-se x — c > 0, o que implica f(x) > / (c ) . Assim, c não é extremo relativo de / .

Supondo, agora, f'(c) < 0, tem-se (—/)'(c) > 0. Logo, pelo caso anterior, c não é extremo relativo de (—/) e assim, obviamente, c não é ponto de máximo nem mínimo relativo de / . (Por quê?)

Observe que o teorema é equivalente a dizer que se f é derivável em (a,b) e c é um ponto de máximo ou mínimo local de / , então, f'(c) = 0.

Atenção!!! Cuidado!!! Esta condição é necessária mas não suficiente. Como o Exemplo 7 mostrou, nem sempre é verdade que se f'(c) = 0, então / ( c ) é um extremo local.

15.3 Determinação dos pontos de máximo e mínimo de uma função Dos exemplos, definições e teoremas estudados na seção anterior podemos concluir que:

Toda função contínua definida em um intervalo fechado [a, b] possui um máximo e um mínimo global.

O máximo e o mínimo para estas funções só podem ocorrer

nas extremidades a e b do intervalo

nos pontos onde a derivada f se anula ou

nos pontos onde a derivada f não existe

Definição 3 Ponto crítico Um ponto c no domínio de f é dito um ponto crítico de f se f'(c) = 0 ou se f'(c) não existe.

Assim, para localizar os pontos extremos de uma função contínua / definida em [a, b}, proceda da seguinte maneira:

1. Determine os pontos críticos de / .

2. Calcule os valores de / em cada um dos seus pontos críticos.

3. Calcule / (a) e /(&).

4. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor.

5. Conclua: o maior dentre estes valores será o máximo absoluto de / e o menor será o mínimo absoluto de /•

15.4 Exemplos Os exemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar os cálculos necessários.

Exemplo 1 Determine os valores máximos e mínimos de f(x) = x3 — 3x2 — 9x + 3, nos intervalos

(a) [-4, 6] (b) [-4, 2] (c) [-2, 4]


Solução Primeiro definimos a função / e calculamos a sua derivada: > f:=x->x~3-3*x~2-9*x+3;

/ := x x3 - 3x2 - 9a;+ 3 > Diff (f (x) ,x) :'/.=diff (f (x) ,x) ;

^ (x3 - 3a:2 - 9x + 3) = 3x2 - 6x - 9

Observe que a função / é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a extremos desta função são os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes últimos pontos, basta resolver a equação / ' (x ) = 0:

> solve(diff(f(x),x)=0,x);

- 1 , 3

Nestes pontos críticos os valores de / são, respectivamente, > f(-1);f (3);

8 - 2 4

Para responder ao item (a) é preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de / nas extremidades —4 e 6 do intervalo considerado. Temos

> f(-4);f(6);

- 7 3 57

Comparando os valores obtidos, concluímos que o maior é 57 e o menor é —73, isto é, os pontos de máximo e de mínimo desta função ocorrem nos extremos do intervalo considerado. Assim, o valor máximo de / é 57 e ocorre em x = 6, que é o ponto de máximo absoluto da função neste intervalo; o valor mínimo de / é —73 e ocorre em x = —4, que é o ponto de mínimo absoluto de / em [—4, 6].

Como o ponto crítico 3 não pertence ao intervalo [—4,2], para responder ao item (b) basta comparar os valores de / no ponto crítico — 1 e nos extremos —4 e 2 do intervalo.

> f ( 2 ) ; - 1 9

Logo, o valor mínimo desta função, em [—4,2], é —73. Este valor ocorre em x = —4, que é o seu ponto de mínimo. Da mesma forma, o valor máximo de / , neste intervalo, é 8. Este valor ocorre em x = —1, que é o seu ponto de máximo.

Para responder ao item (c) vamos calcular os valores de / nas extremidades do intervalo [—2,4] e compará-los com os valores de /(—1) e / (3) obtidos acima. Temos

> f(-2);f (4);

1 - 1 7

Assim, concluímos que — 1 é o ponto de máximo e 3 é o ponto de mínimo de / , em [—2,4].

• Quais os valores máximo e mínimo de / neste intervalo? Observe o gráfico de / : > p l o t ( x ~ 3 - 3 * x ~ 2 - 9 * x + 3 , x = - 4 . . 6 ) ;

40 /

20 x /

/ -20

/ -40

- 6 0 /

Exemplo 2 Determine os pontos de máximo e de mínimo de g(x) = y/\ x | no intervalo [—2,1].

Solução Como no exemplo anterior, vamos definir a função e achar a sua derivada com o auxílio do Maple. > g :=x->sqrt(abs(x) ) ;

g~x^ y/\x\ > d i f f ( g ( x ) , x ) ;

1 abs(l, x)

2 > /N Na derivada acima, a expressão abs(l,x) é a notação usada pelo Maple para a derivada de | x |, isto é, para a função

que vale 1 para x > 0 e — 1 para x < 0. Claramente, vemos que a derivada de g não existe no zero e que esta derivada não se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu único ponto crítico é o zero. Comparando os valores de g em —2, 1 (extremos do intervalo) e 0 (ponto crítico), concluímos que —2 é o ponto de máximo de g e 0 é o ponto de mínimo. A lista de valores de g e o gráfico da função comprovam estas conclusões.

> g ( - 2 ) ; g ( l ) ; g ( 0 ) ;

V2 1 0 > plot(g(x),x=-2..l ,y=0..sqrt(2),axesfont=[TIMES,ROMAN,8]);

-I -0.8 -0.4 °0.2 0.4 0.6 0.8

Exemplo 3 Determine os pontos de máximo e mínimo de

-2 -L 2 x < 1 h(x) = x _ 4 — x2 x > 1

no intervalo [—1,2]. \ 3" A

/ \ \ 2.5- / \

\ \ 1.5-

1-

0.5

\

\ \

Solução Observando o gráfico desta função concluímos que o ponto x = 1 é um ponto crítico para a função h, pois neste ponto a derivada não existe. De fato, as derivadas laterais em x = 1 são diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmação! Assim, para

determinar os extremos desta função, precisamos comparar os valores de h, em x = 1 com os valores que ela assume nas extremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple:

> h:=x->piecewise(x<=l,x~2+2,x>l,4-x~2): > h ( - l ) ; h ( l ) ; h ( 2 ) ;

3 3 0

Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de máximo e um de mínimo que são, respectivamente, —1, 1 e 2.

15.5 Problemas envolvendo máximos e mínimos em intervalos fechados Problema 1

Um fio com 4 m de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles formaremos um círculo e com o outro um quadrado.

(a) Como devemos cortar o fio para que a soma das áreas limitadas pelo círculo e pelo quadrado seja máxima? (b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas seja mínima? (Os dois casos extremos são admitidos, ou seja, é permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um

círculo.) Solução Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja x o comprimento de um dos pedaços. Obviamente, o

comprimento do outro pedaço será 4 — x. Além disso, pela geometria do problema, os valores possíveis para x estão compreendidos no intervalo [0,4].


Formando um círculo com o pedaço de comprimento x, temos que 2wr = x, ou seja, r = ^ . Assim, a área do círculo será dada por

2 2 9 7T X X C(x) = irr2 = —. = —

4TT2 4 7T

e a área do quadrado, por = ( ^ p ) 2 . A área total será, portanto, dada por

A(x) = C(x) + Q(x) = — + 47T

(4 - x f 16

Esta função é uma parábola, sendo, conseqüentemente, derivável em qualquer ponto x do intervalo [0,4]. Assim, os pontos extremos de A(:r) estarão entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas extremidades do intervalo. Abaixo derivamos a função A(x), calculamos as raízes s da equação A'(x) = 0 e comparamos os valores de A(s), A(0) e A(4).

> A : = x - > x " 2 / ( 4 * P i ) + ( 4 - x ) " 2 / 1 6 :

> d i f f ( A ( x ) , x ) ;

> s:=solve(°/0) ;

> A(s ) ;A(0) ;A(4) ;

1 x _ 1 1 2 w ~ 2 + 8 X

s : = 4 4 + 7T

7T

(4 + tt)2

> s i m p l i f y ( A ( s ) ) ;

— (4 — 4 ———)2 16 4 + tt ;

1 4 7T

4 + 7T

Observando estes valores, podemos concluir que o máximo ocorre no ponto i = 4 e o mínimo no ponto x = . Assim, para que a área A(x) seja máxima não cortamos o fio e formamos apenas um círculo. Para que a área A(x) seja mínima devemos cortar o fio no ponto x = O círculo terá um raio r igual a e o quadrado terá um lado de comprimento

Problema 2 Considere as parábolas y = x2 — Aey = —x2 + 4. Determine as dimensões de um retângulo cujos vértices inferiores

estão sobre a parábola y = x2 — 4 e os superiores sobre a parábola y = —: seja máxima.

4, de tal forma que a área desse retângulo

Solução Observe no diagrama que o valor da área depende da posição dos vértices do retângulo.

Devemos determinar as dimensões que fornecerá a área máxima. Pela simetria da figura anterior, superior à direita, temos que a área A(x) é dada por A(x) —4xy — —éx3 + 16x, para x variando no intervalo [0, 2]. Como A(x) é contínua nesse intervalo, o teorema dos valores extremos garante que esta função tem um máximo absoluto em [0, 2].


Além disso, este máximo ocorre em um dos extremos do intervalo ou num ponto crítico da função. Como a derivada da função A(x) ê um polinómio do segundo grau, os únicos pontos críticos de A são os pontos onde a sua derivada se anula. Determinar estes pontos críticos, portanto, é equivalente a resolver a equação A'(x) = 0. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para fazer as contas:

> A:=x->-4*x~3+16*x: > c r t : = { s o l v e ( d i f f ( A ( x ) , x ) = 0 , x ) } ;

crt :={| 73, V3}

O ponto crítico que nos interessa é o ponto x — pois o outro não pertence ao intervalo [0,2]. Comparando os valores da função A neste ponto e nos pontos 0 e 2 (extremidades do intervalo), obtemos:

> A(0) ;A(2) ;A(2 /3*sqrt (3) ) ;

0 o 64 0 y V 3

Portanto, o ponto de máximo para esta função ocorre e m i = conseqüentemente, o retângulo de área máxima terá base de comprimento igual a e altura ^ .

Problema 3 Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto

com raio 7/2 cm e altura 6 cm.

Solução Veja a figura ao lado, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema proposto. O volume do cilindro é dado por V — n r2 h. Para expressar o volume em termos de uma única variável, precisamos de outra equação envolvendo r e h.

Usando semelhança de triângulos, temos -§• = ou seja, h = 6 - i f ^ . Logo,

/ 6 - h r \ / 1 \

V(r) = irr2 (6 — ) = 6irr2 12ttH

Esta função é contínua em [0, 7/2], logo tem um valor máximo absoluto neste intervalo. Vamos, então, derivar a função V para encontrar os seus pontos críticos:

V := r —> 6 irr — 1 2 7T r 3

> d i f f ( V ( r ) , r ) ; 36 , 127rr 7T 7

Como esta derivada está definida em toda a reta, os únicos pontos críticos de V são os pontos onde a derivada se anula. Resolvendo a equação V'(x) — 0, obtemos

> pontos_c r i t i c o s := { so lve (d i f f (V ( r ) , r )=0 ) } ; 7

pontos-críticos := {0, — }

Comparando os valores de V nos pontos críticos e nos extremos do intervalo, temos > V(0) ;V(7 /2 ) ;V(7 /3 ) ;

0 n 9 8 0 7T 9


Logo, o valor máximo de V será V(|) = ^fp, que é atingido em r = Como h = 6 — , o cilindro de volume máximo terá raio r = | e altura h = 2 cm.

15.6 Exercícios 1. Em cada um dos itens abaixo, decida se a função dada atinge um valor máximo ou um valor mínimo ou ambos,

no intervalo indicado. Se necessário, esboce um gráfiôo da função. (a) f(x) — 1 — x em [-1,1) „ , ' ' ,r\ , , x i mm (b) / ( x ) = I x I em (-1 1) ( d ) f i - x ) = x + 1 e m [ " U ] ( f ) / ( X ) = ^ e m I2' 31 (c) f { x ) = (0,1] ( 6 ) Í { X ) = ^ 6 m ° 0 ) ( g ) / ( X ) = e m

2. Em cada um dos itens abaixo, determine os valores máximo e mínimo atingidos pela função dada, no intervalo fechado indicado. (a) / ( x ) = 3 x - 2 em [-2,3] (e) / ( x ) = x + A em [2,6] (b) f(x) = 4 - x2 em [1, 3] (f) g(x) = | 2 x - 3 | em [1, 2] (c) g{x) = (x - l )2 em [ -1 ,4] (g) / ( x ) = ^ em [0,3] (d) h{x) = x3 - 3 x em [-3,5] (h ) f(x} = x e m i]

3. (a) Seja f(x) = Ax + B. Explique por que os valores máximo e mínimo de / , em um intervalo [a, 6] qualquer, devem ocorrer necessariamente nos pontos extremos do intervalo.

(b) Prove que toda função quadrática / ( x ) = ax2 + bx + c, onde a ^ 0, tem exatamente um ponto crítico em toda a reta.

(c) Explique por que a função polinomial cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico em toda a reta. Dê exemplos que ilustrem cada um dos casos.

(d) Se / tem um valor mínimo em x = c, mostre que a função g(x) = —f(x) tem um valor máximo neste mesmo ponto.

15.7 Problemas propostos 1. Prove que o retângulo de área máxima e perímetro dado é o quadrado.

2. Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vértice na origem, um vértice sobre o eixo x, um vértice sobre o eixo y e o quarto vértice sobre a reta 2 x + y = 100. Qual a área máxima de tal retângulo?

3. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que passa pela metade custa R$ 10,00 por metro e a outra R$ 25,00 por metro, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser fechado com um custo de R$4.800,00.

4. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio que mede 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, qual o traçado do cabo mais barato para a companhia?

5. Uma companhia de aviação freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento:

(a) Cada passageiro pagará 600 reais se todos os 50 lugares forem vendidos. (b) Cada passageiro pagará um adicional de 30 reais por lugar não vendido.

Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda máxima?

6. Seja / ( x ) = x2, para x pertencente ao intervalo [0, 1]. Determine a reta r tangente ao gráfico de f(x), tal que o triângulo determinado por r, a reta x = 1 e a reta y = 0 tenha a maior área possível.


7. Num certo país, endividado até o pescoço, descobriu-se que a solução de todos os problemas estava na criação de um combustível para substituir as importações de petróleo. Após muitas pesquisas foi criado o Tomatóleo, uma mistura de extrato de tomate e gasolina. O litro de extrato de tomate (ET) custa R$ 0,30 e o de gasolina (GS) custa R$ 0,50. Porém, um litro de Tomatóleo, com x litros de ET, dá para um carro médio percorrer quilómetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilómetro.

8. Dada a função f(x) = 1 + >/l8 - 2x2 , para x € [—3,3] e o ponto P = (2,1). Determine a maior e a menor distâncias de P aos pontos do gráfico de / .

9. Com a finalidade de evitar a construção de prédios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do Sonho D o u r a d o a seguinte lei: "É obrigatória a existência de uma área livre em torno da área construída, com largura mínima de 50 cm por metro de altura da construção, medidos a partir dos limites do terreno". Ass im, em Sonho Dourado, um prédio de 20 m de altura deverá ser construído em centro de terreno a uma distância de, pelo menos, 0, 5 x 20 = 10 m dos limites do terreno. Supondo que você

(a) more em Sonho Dourado. (b) tenha um terreno de 30 m por 30 m. (c) deseja construir um prédio em forma de paralelepípedo que tenha volume máximo. (d) seja um cidadão respeitador das leis.

Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensões do prédio a ser construído?

10. Determine as dimensões do cilindro de área máxima inscrito em um cone circular reto dado.

11. Determine o retângulo de maior área inscrito na região acima da parábola y = x2 e abaixo da parábola y = — 2 x2 + 3, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.

12. Em um terreno com a forma de um semicírculo de 25 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma de um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao diâmetro do círculo e um vértice no semicírculo. Calcule as dimensões da piscina de área máxima.

13. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é 2 m, encontre as dimensões da janela para que penetre o máximo de luz possível.

14. Sabendo que a resistência de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura de sua seção transversal, quais serão as dimensões da viga a ser cortada de um toro cilíndrico de raio r para assegurar a maior resistência possível?

15. Um segmento de reta, de comprimento fixo L, une o vértice de um retângulo ao ponto médio do lado oposto. Qual a maior área possível de tal retângulo?

16. Uma tipografia dispõe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 3.600 cópias por hora. Custa R$ 5,00 para preparar cada impressora para a operação e 10 + 6 n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 50.000 cópias de um cartaz de forma a obter um lucro máximo?

17. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 900 alqueires de grãos. Cada trabalhador pode colher 5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$ 1,00 por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz a R$ 10,00 por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8,00 com refeições por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? De quanto será então o custo do alqueire colhido?

18. Uma companhia tem fábricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos A(0,1), B(0, —1) e C(3,0). A companhia planeja construir uma central de distribuição elétrica no ponto P{x, 0). Qual o valor de x que minimiza o custo de distribuição da energia elétrica produzida?

19. Um gramado circular de 20 m de raio é circundado por um passeio, e uma lâmpada é colocada no cimo de um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lâmpada para que o passeio receba iluminação máxima? Observação: a intensidade de iluminação de uma superfície é dada por I = onde D é a distância da fonte de luz à superfície, 0 é o ângulo segundo o qual a luz atinge a superfície e k é uma constante positiva.

20. Cinco placas de metal retangulares medem 210 cm por 336 cm cada. Cortam-se pedaços quadrados iguais de cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco caixas sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados são reunidos em grupos de quatro e soldados para formar cinco quadrados maiores, que por sua vez são soldados de modo a formar uma caixa cúbica sem tampa, de modo que nenhum material é desperdiçado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caixas assim formadas seja o maior possível?

21. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilíneos, paralelos e de igual comprimento, unidos por dois semicírculos nas extremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5 km. Quais são as dimensões da pista que maximizarão a área retangular interna?

22. Um objeto é arrastado num plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a corda faz um ângulo 9 com o plano, então a magnitude da força é dada por

F , fi sen 9 + cos 9'

onde [i é uma constante positiva chamada coeficiente de fricção e 0 < 9 < §. Mostre que F é minimizada quando tg9 = /x

15.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru Um vendedor foi à feira de Caruaru com sua balança de dois pratos defeituosa, pois tinha um braço mais curto do que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a mercadoria. Por exemplo, se alguém desejava dois quilos de açúcar, o vendedor lhe dava um quilo com excesso (pesado usando-se üm dos pratos da balança) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado). • Quem ganha com este processo? Sugestão: Use a Lei das alavancas para obter uma relação entre o peso da mercadoria e o tamanho dos braços da balança.

Capítulo 16

Traçado de Gráficos

16.1 Introdução

Em capítulos anteriores, tivemos a oportunidade de observar a utilidade da representação gráfica de uma função: um gráfico, adequadamente traçado, pode e deve mostrar características importantes do comportamento da função, daí a necessidade de sabermos esboçar gráficos de funções de uma maneira precisa. Já vimos também que um programa de computador, como o Maple, traça gráficos de quaisquer funções em questões de segundos. Por que, então, nos preocuparmos em aprender técnicas para traçar gráficos?

Esta seção tem como objetivo mostrar que o computador e o Maple, quando corretamente utilizados, podem nos fornecer todas as informações importantes a respeito de uma função, mas para isso é preciso entender e utilizar o conceito de derivada para traçar o gráfico de funções. Nos exemplos estudados a seguir, mostraremos como o potencial e as facilidades computacionais do Maple podem ser usados para entender os conceitos matemáticos utilizados na construção do gráfico de uma função e como é possível utilizar estes conceitos matemáticos, em conjunto com o Maple, para obter uma representação gráfica adequada da função em exame.

Nesta seção faremos uma discussão puramente geométrica dos vários conceitos matemáticos envolvidos no traçado do gráfico de uma função. As demonstrações das conclusões a que chegarmos neste capítulo serão apresentadas nos capítulos a seguir.

16.2 Discussão geométrica

Como o gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (x , / (x ) ) , a primeira idéia que surge ao tentarmos traçar um gráfico é marcar alguns destes pontos no sistema de eixos coordenados e ligá-los por segmentos de reta. Este método, além de primitivo, pode levar a uma série de equívocos. Vejamos alguns exemplos do que pode acontecer:

Exemplo 1 Considere a função / ( x ) = x4 — 5x2 + 4. Veja a seguir a figura obtida unindo, por seguimentos, os pontos (—2,0), (—1,0), (0,4), (1,0) e (2,0), que fazem parte do gráfico desta função.

Será esta uma representação adequada para o gráfico da função / ( x ) = x4 — 5x2 + 4? A segunda idéia que temos, como dignos representantes de uma espécie racional, habitantes do planeta Terra, em

pleno século XXI, é lançar mão de um computador e usar um programa que nos salve. Mesmo usando um programa como o Maple, podemos ser levados a erros. Veja o resultado que obtivemos usando este recurso computacional:

201

202 Cap. 16 Traçado de Gráficos

O gráfico parece indicar que a função assume somente valores positivos. No entanto, por simples inspeção consta-tamos que, para alguns valores de x, a função deve assumir valores negativos. Usando o Maple para calcular os valores desta função em alguns pontos obtemos:

> f 1 : = x - > x ~ 4 - 5 * x ~ 2 + 4 ;

> v a l o r e s _ f : = [f 1 ( - 2 ) ,f 1 ( - 1 . 5 ) ,f 1 ( - 1 ) ,f 1 ( - 0 . 5 ) ,f 1 (0) ,f 1 (0.5) ,f 1 (1) ,f 1 (1.

> 5),f1(2)] ;

valores_/ := [0, -2.1875, 0, 2.8125, 4, 2.8125, 0, -2.1875, 0]

o que mostra que nossa conjectura era verdadeira. O comportamento desta função é melhor representado pelo gráfico a seguir, onde os intervalos de variação de x e de y foram escolhidos criteriosamente.

> p l o t ( x ~ 4 - 5 * x ~ 2 + 4 , x = - 5 . , 5 , y = - 3 . . 6 ) ;

Este exemplo nos leva a pensar que o problema de traçar adequadamente gráficos de funções estará resolvido se desenvolvermos uma grande habilidade com os comandos do Maple na manipulação de gráficos, em particular na escolha da melhor "janela" para o traçado do gráfico em questão. O próximo exemplo nos mostra que a questão não é tão simples quanto parece.

. Exemplo 2 Vamos tentar achar a melhor "janela" para obter, com a ajuda do Maple, uma representação gráfica adequada para a função g(x) = — 2 Veja a seguir o resultado de nossas tentativas. Observe em cada caso a "janela" escolhida para o traçado do gráfico, isto é, os intervalos de variação de x e de y.

> g : = x - > l / x ~ 1 2 - 2 * ( 1 0 0 0 / x ) " 6 ;

1 2000000000000000000

> p l o t ( g ( x ) , x = - 1 0 . . 1 0 , a x e s f o n t = [ T I M E S , R O M A N , 6 ] ) ;


-Je+32

-2e+32

-3e+32

-4e+32

> p l o t ( g ( x ) , x = - l . . l , a x e s f o n t = [ T I M E S , R O M A N , 6 ] ) ;

2e+40

-0.8 -0.6 - S Ã - 3 Ü 0.2 0.4 0.6 0.5

> plot Cg(x),x=-0.01..0.01,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

> p l o t ( g ( x ) , x = - 0 . 0 0 0 0 1 . . 0 . 0 0 0 0 1 , a x e s f o n t = [ T I M E S , R O M A N , 6 ] ) ;

-le-05 -8e-06 -6e-06 -4e-06 -2e-06 2e-06 4«s-06 fe-06 8e-06 le-05

> p l o t ( g ( x ) , x = - 0 . 0 0 1 . . 0 . 0 0 1 , y = - 4 ~ 1 0 0 . . 4 ~ 1 0 0 , a x e s f o n t = [ T I M E S , R O M A N , 6 ] ) ;


1.6e+60 1 4e+60 1.2e+60 le+60

yx._--.vj 6e+59 4e+59 2e+59

0.0002 0.0004 0.00)6 0.0008 0.001 —ie+59 -6e+59 -8e+59 -le+60

-1.2e+60 -1.4e+60 -l.õe+60

Os gráficos obtidos não nos fornecem nenhuma informação a respeito do comportamento desta função, por isso não são uma representação gráfica adequada para a mesma. Usando a versão eletrônica deste texto, tente obter uma representação melhor para o gráfico desta função! Este exemplo nos faz concluir que para traçar o gráfico de algumas funções teremos que ter muita habilidade (ou sorte) no uso do Maple para conseguirmos alguma coisa razoável. Tanta habilidade que talvez seja mais fácil (e útil) aprender cálculo!

Os exemplos seguintes ilustram que, além do problema da escolha da melhor "janela", outras dúvidas podem surgir ao tentarmos traçar gráficos de funções.

Exemplo 3

> p l o t ( x ~ 3 , x = - 2 0 . . 2 0 , a x e s f o n t = [ T I M E S , R O M A N , 6 ] ) ;

Será que a concavidade deste gráfico se mantém para valores grandes de x? Vamos tentar responder a esta questão com a ajuda do Maple, traçando este mesmo gráfico no intervalo (—oo, +oo). Veja o resultado obtido!

> p l o t ( x ~ 3 , x = - i n f i n i t y . . i n f i n i t y ) ;

Será esta uma representação adequada para a função f(x) = x3? Vamos repetir o mesmo procedimento para a função f(x) — x2. Veja o gráfico obtido:

> p l o t ( x ~ 2 , x = - i n f i n i t y . . i n f i n i t y ) ;

infinity

-infinity u x infinity

Estranho, não? Estivemos sempre errados ou é o Maple que não serve para traçar gráficos de funções?

16.3 Derivadas e traçado de gráficos No Cap.5 vimos que a reta tangente é aquela que aproxima a curva próximo ao ponto de tangência. Programas de computador como o Maple utilizam esta propriedade para traçar o gráfico de uma função (Veja no mesmo capítulo o projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções). Vimos também que a derivada de uma função num dado ponto é definida, geometricamente, como a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, portanto, a derivada de uma função deve, de alguma maneira, fornecer informações a respeito do gráfico da função. Vamos agora tentar estabelecer a relação que existe entre o gráfico de uma função / e sua derivada.

Considere a função f(x) = x2 + 3. Sabemos que o gráfico desta função é uma parábola, portanto, a figura ao lado é uma representação adequada para esta função. Além disso, podemos observar que esta função é decrescente para valores de x < 0 e é crescente para valores de a; > 0. Não custa lembrar que, em matemática, dizemos que uma função é crescente num certo in-tervalo do eixo x se, quaisquer que sejam os pontos x\ e x2

desse intervalo, tais que X\ < x2, tivermos necessariamente f{xi) < f(x2). Geometricamente, isto significa que o gráfico da função é ascendente quando o percorremos da esquerda para a direita. Analogamente, a função é dita decrescente em um certo intervalo (isto é, o seu gráfico é descendente quando per-corrido da esquerda para a direita) se, quaisquer que sejam xi e x2 no intervalo considerado, tais que x\ < x2, tivermos necessariamente f(x 1) > f{x2).

Para esboçarmos o gráfico de uma função qualquer, é importante conhecermos os intervalos onde ela é crescente e aqueles em que é decrescente. A derivada nos fornece uma importante informação a esse respeito. Observe no diagrama a seguir, as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função, em vários de seus pontos.

Se lembrarmos que o coeficiente angular de uma reta é positivo se ela aponta para cima, à direita, e negativo, se ela aponta para baixo, à direita, é fácil concluir que existe uma relação entre os intervalos de crescimento e decrescimento

de uma função e o sinal de sua derivada. Veja a seguir, o gráfico da função e de sua derivada, traçados na mesma janela.

É geometricamente fácil perceber que nos intervalos onde a derivada é positiva a função é crescente, e onde a derivada é negativa a função é decrescente. A demonstração desta afirmação, no entanto, depende de um dos teoremas mais importantes de Cálculo, chamado Teorema do Valor Médio. Este teorema e a demonstração da afirmação acima serão vistos na próxima seção. Por ora, vamos nos deixar guiar por nossa intuição geométrica e considerar verdadeira a afirmação feita. Assim, o problema de determinar os intervalos onde uma função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente se reduz a determinar os valores de x para os quais a derivada da função é positiva, isto é, resolver uma inequação da forma f'(x) > 0, e os intervalos onde ela é negativa, isto é, determinar os valores de x para os quais f ( x ) < 0.

Podemos usar o Maple para determinar tais intervalos usando o comando solve:

> df :=x->di f f (x~2+3,x) ; df := x diff (x2 + 3, x)

> d f ( x ) ; 2x

> so lve ( {d f (x )>=0 } , { x } ) ; {0 < x}

Podemos, agora, usar o comando signum, que fornece o sinal de uma função qualquer, para obter o sinal da derivada de / (que chamamos de df).

> p lot (s ignum(df (x ) ) ,x=-5 . .5 ) ;

O gráfico indica que a derivada de / é positiva para x > 0 e negativa para x < 0. Portanto, a função é decrescente para x < 0 e crescente para 0 < x.

16.4 Derivada primeira e extremos locais

Vamos aplicar as conclusões obtidas na seção anterior para estudar o comportamento da função f(x) = sen(x). Em que intervalos esta função é crescente? Em que intervalos é decrescente?

Observe o diagrama a seguir. Neste diagrama, o gráfico da função seno é traçado em linha cheia, e o da sua derivada, a função cosseno, em linha pontilhada. Estes gráficos estão de acordo com as conclusões a que chegamos?

Este diagrama nos ajuda a deduzir outras informações importantes a respeito da relação entre os gráficos da função e da sua derivada.

E claro que uma curva suave só pode mudar de crescente para decrescente passando por um pico, onde o coeficiente angular da reta tangente, isto é, a sua derivada é zero. Analogamente, ela só pode mudar de decrescente para crescente passando por uma depressão, onde o coeficiente angular da reta tangente também é zero. Na versão eletrônica, execute a animação correspondente, desta vez quadro a quadro, para visualizar geometricamente esta afirmação.

Como foi visto no capítulo anterior, nos pontos de picos ou de depressão ocorrem, respectivamente, um valor máximo ou um valor mínimo (relativos) da função. Vimos também que estes valores devem ocorrer nos pontos onde a derivada se anula ou nos pontos onde a derivada não existe. Vimos ainda que existem pontos onde a derivada é zero ou onde ela não existe que não são nem máximo local, nem mínimo local para a função dada. Os exemplos a seguir ilustram os problemas que podem ocorrer.

Exemplo 1 f(x) = x3 + 1

Neste exemplo, em i = 0 o gráfico não tem pico nem depressão, mas simplesmente se achata, momentaneamente, entre dois inter-valos, em cada um dos quais a derivada é positiva.

Neste outro exemplo, em x = 0 ocorre um máximo local (que é também um máximo global) da função. Neste ponto a derivada não existe (por quê?), mas a função passa de crescente a decres-cente, isto é, a sua derivada é positiva à esquerda de zero e é negativa à direita.

Estas observações nos permitem deduzir um critério que leva em conta o sinal da derivada na vizinhança de um ponto crítico para determinação dos pontos de máximo e de mínimo locais de uma função, critério que é enunciado a seguir.

16.4.1 Teste da derivada primeira para determinação de extremos locais Seja c um ponto crítico de uma função f pertencente ao interior de um intervalo I onde f está definida. Suponha que f seja continua e derivável em I, exceto eventualmente em c. Então:

1. Se f'(x) < 0 à esquerda de c e f'(x) > 0 à direita de c, então f(c) será um mínimo local de f em I.

2. Se f'(x) > 0 à esquerda de c e f'(x) < 0 à direita de c, então f(c) será um máximo local de f em I.

3. Se f'(x) < 0 tanto à esquerda como à direita de c ou se /'(:r) > 0 tanto à direita como à esquerda de c, então f(c) não será máximo nem mínimo local de f.

Demonstração Demonstraremos apenas o item (1). Os outros itens são demonstrados de maneira análoga.

Exemplo 2 f(x) = 1 — \x\

/ \ \ \ / 0.6

/ \

/ 0.4

/ / /

/ 0.2

\ \ \

Para demonstrar que f(c) é um mínimo local de / , é preciso provar que / (c ) < / (x ) , qualquer que seja x numa vizinhança de c, isto é, para todo x num intervalo aberto (a, b) que contém c.

Suponhamos que as hipóteses do teorema se verifiquem, isto é, que / seja contínua em J, que c seja um ponto crítico de / e que / seja derivável em I exceto, eventualmente, em x = c. Suponhamos também que f'(x) < 0 à esquerda de c e que f'(x) > 0 à direita de c. Isto quer dizer que existem dois intervalos (a, c) e (c, b), ambos contidos em I, tais que f'(x) < 0 em (a, c), o que implica que / é decrescente em (a, c] e f'(x) > 0 em (c, b) e, conseqüentemente, / será crescente em (c, 6] (note que ainda precisamos provar estas duas afirmações!).

Consideremos um ponto x pertencente ao intervalo (a, b). Então, ou x < c e, portanto, x estará em (o, c), ou x = c, ou x > c e, então, estará em (c, b). Se £ € (a,c), como / é decrescente em (a,c], teremos que / ( c ) < f(x). Se x £ (c,b), como / é crescente em (c,b], teremos que / ( c ) < f(x). No caso restante, f(c) = / (x ) . Assim, teremos que / ( c ) < / ( x ) para todo x em (a, b) e, portanto, / ( c ) é um mínimo local de / .

Em resumo O teste acima afirma que, se c é um ponto crítico de / , f(c) será um extremo local de / se a derivada primeira

mudar de sinal em uma vizinhança de c. Se o sinal de / ' mudar de positivo para negativo, isto é, se a função / crescer à esquerda de c e decrescer a sua direita, / ( c ) será um máximo local. Se o sinal de / ' mudar de negativo para positivo (a função decresce à esquerda de c e cresce a sua direita), f(c) será um mínimo local. O intervalo I, onde / está definida, pode ser toda a reta.

Exemplo 3 Voltemos ao estudo da função f(x) = x4 — 5 x2 + 4, apresentada no Exemplo 1, tentando, desta vez, pensar um pouco antes de tentar traçar cegamente o seu gráfico.

Uma informação importante a respeito de uma função e que, portanto, deve ser claramente mostrada no seu gráfico, são os seus zeros, isto é, as raízes da equação f(x) = 0. Geometricamente, os zeros de uma função correspondem aos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. O comando solve do Maple pode nos ajudar a determinar tais pontos:

> solve({x~4-5*x~2+4=0},{x}); {x = l } , {x = 2}, {x = —2}, {x = - l }

A seguir, vamos calcular a derivada desta função, pois, como já vimos, a derivada fornece informações a respeito dos intervalos de crescimento e decrescimento da função dada.

> d i f f (x~4-5*x~2+4,x) ;df 1 :=unapplyC/,,x) ; 4x3 — 10 x

dfl : = X - > 4 X 3 - 1 0 X

Esta função é contínua e derivável em toda a reta e, portanto, os seus únicos pontos críticos são aqueles onde / ' ( x ) = 0. Usando o comando solve para calculá-los, obtemos:

> s o l v e ( { d f l ( x ) = 0 } ) ;

{ x = 0}, {x = 1 VlÕ}, {x = - 1 y i õ } Calculando os valores da função / nestes pontos, obtemos os seguintes pontos que pertencem ao gráfico de /

= Í Õ , P 2 = ( 0 , 4 ) P3 = ( I Y /LÕ,

Vamos agora, com a ajuda do Maple, determinar o sinal da derivada de / e usar o teste da derivada primeira para classificar os seus pontos críticos.

> p lo t ( s ignum(df l (x ) ) , x= -2 . .2 ) ;

0.8-0.6-0.4-0.2-

- 2 - 1 : ' 2 - 0 . 2 - * -0 .4-—0.6 --0.3-

O gráfico indica que f'(x) < 0 em (—oo, — e em (0, portanto / é decrescente nestes intervalos e f'(x) > 0 em ( — 0 ) e em oo), sendo / crescente nestes intervalos.

• Você é capaz de determinar analiticamente o sinal de / ' (x )?

Pelo teste da derivada primeira podemos concluir que os pontos Pi e P3 são pontos de mínimo locais e que P2 é um ponto de máximo local. Marcando estes pontos em um sistema coordenado e fazendo uso das informações acima, obtemos o seguinte gráfico para a função / :

> p l o t ( x ~ 4 - 5 * x ~ 2 + 4 , x = - 2 . . 2 ) ;

A / 2 -

• / *

/

\ \ \ \

i /< t \ / \ 1 V / -2- V j

No entanto, sem contrariar nenhuma das informações que já conhecemos a respeito do comportamento desta função, o seu gráfico pode ser qualquer um dos dois traçados a seguir:

1 \ 3 \ /• \ 1: \ f

•4 -3 -fe 41 o \ / -1 1/ -

\ 1 3 4

V

1 6-

/ 1 r

i 1 \ j

\ 1 \ \ 1 •4 -3 -

I A % 3 4

Para que possamos afirmar com segurança qual dos gráficos é o correto, necessitamos de informações adicionais a respeito da concavidade da função, isto é, precisamos saber o sentido em que o gráfico se curva. Quando o gráfico, percorrido da esquerda para a direita, se curva para cima, dizemos que a função é convexa (ou côncava para cima); quando o gráfico se curva para baixo dizemos que a função é côncava (ou côncava para baixo).

16.5 Derivada segunda e concavidade No exemplo anterior, observamos que as duas alternativas apresentadas para o gráfico da função em estudo diferiam pelârtipo de concavidade da função para x < — 2 e para x > 2. O estudo da concavidade é feito por meio da derivada segunda da função. Observe os diagramas a seguir. O primeiro deles mostra o gráfico da função f(x) = x2, que é côncava para cima, traçado em conjunto com o de sua derivada. O segundo diagrama traça o gráfico da função f(x) — —x2, que é côncavo para baixo, juntamente com o gráfico da sua derivada. O que é possível concluir a partir destes dois exemplos?

Eles nos permitem concluir que, nos intervalos onde a derivada primeira é crescente, a função é côncava para cima, e nos intervalos onde a derivada primeira é decrescente, a função tem sua concavidade voltada para baixo. Mas, para saber em que intervalos a derivada primeira é crescente e onde é decrescente precisamos estudar o sinal da sua derivada, isto é, precisamos estudar o sinal da derivada segunda de / .

Assim, se a derivada segunda é positiva, a derivada primeira é crescente e a função é côncava para cima. Isto significa que, quando nos movemos ao longo da curva, a tangente ao gráfico da função gira no sentido anti-horário e a curva está acima da sua reta tangente, exceto no ponto de tangência.

Analogamente, se a derivada segunda é negativa, a derivada primeira é decrescente e a função é côncava para baixo, e a tangente gira no sentido horário quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita. Neste caso,

o gráfico da função fica abaixo da sua reta tangente, exceto no ponto de tangência. Execute as animações da versão eletrônica deste texto para comprovar visualmente a veracidade destas afirmações.

Os gráficos seguintes mostram a função e suas derivadas primeira e segunda. Comprove a influência do sinal da derivada segunda na concavidade do gráfico da função.

Exemplo 1 Voltemos a examinar a função f(x) = x4 — 5x2 + 4. Calculemos sua derivada segunda e estudemos o seu sinal:

> d i f f (x~4-5*x~2+4,x ,x ) ; 12 x2 - 10

Repare que a derivada segunda da função / é uma função do segundo grau cujas raízes são:

> solve ( {d i f f (x~4-5*x~2+4 ,x ,x )=0} ,x ) ;

{x = | V3Õ>, {x = - i v / 3 0 }

Portanto, esta função será negativa para valores de x entre — e e será positiva para x > ^^ e x < — . Assim, a função / é côncava para cima para a; < — e x > e é côncava para baixo para x entre — e Como / ( - - J p ) = f (^p - ) = H, t e m o s que nos pontos (—yj^ , j§) e ("^pi H) a concavidade troca de sentido. Vejf o gráfico da função / , traçado em conjunto com o gráfico da sua derivada segunda.

%/3Õ \/3Õ „ Vãõ

\ \A \J / V * /

\Á i l\J \ \ y \-6 1

Como a curva examinada neste exemplo, a maioria das funções são côncavas para cima em alguns intervalos e côncavas para baixo em outros. Um ponto no qual o sentido da concavidade muda chama-se um ponto de inflexão. Assim, temos a seguinte definição:

Definição: Ponto de inflexão Um ponto xo é chamado ponto de inflexão de uma função f, se f é contínua em XQ e se O gráfico de f muda de

concavidade em P = (xo, f(xo)).

E usual chamarmos o ponto P = (xo, f(xo)) também de ponto de inflexão.

No exemplo acima, os pontos x\ = e x2 = (—jp são os pontos de inflexão da função / .

Se f"{x) é contínua e tem sinais opostos em cada lado de P — (x0, f(xo)), deve se anular em xo- Assim, a busca de pontos de inflexão se reduz, basicamente, a uma questão de resolver a equação f"(x) = 0 e conferir o sentido da concavidade em ambos os lados de cada raiz. Note que pontos de inflexão podem ocorrer, também, nos pontos onde a derivada segunda não esteja definida, como mostra o gráfico a seguir. Neste caso, na busca por pontos de inflexão devemos examinar também os pontos onde a derivada segunda não existe.

16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinação de extremos locais A derivada segunda nos fornece, também, um critério para a determinação dos máximos e mínimos locais de uma função. Como vimos neste capítulo, os máximos e mínimos locais de uma função derivável / só podem ocorrer em um ponto crítico c onde f'(c) — 0, de modo que a tangente à curva y = / ( x ) no ponto (c, / (c ) ) seja horizontal. No entanto, como vimos, esta condição é necessária mas não suficiente: existem pontos onde a derivada é zero que não são nem máximos nem mínimos locais. Um exemplo deste tipo de comportamento ocorre na função / ( x ) = x3. No ponto x = 0 a derivada desta função é zero (a reta tangente ao gráfico é horizontal), mas este ponto não é um extremo local.

Vimos que o teste da derivada primeira fornece um bom critério para decidir se um ponto crítico é um máximo ou um mínimo local. Este teste se baseia na observação de que, em curvas suaves, um pico (máximo local) ou uma depressão (mínimo local) só pode ocorrer se a função passar, naquele ponto, de crescente para decrescente ou de decrescente para crescente, respectivamente.

Suponhamos agora que num ponto c, onde f'(c) = 0, o gráfico de y = f(x) se encurve para cima numa vizinhança de c, isto é, em algum intervalo aberto contendo o ponto crítico x = c. Neste caso, é claro que / ( c ) é um mínimo local. Analogamente, / (c ) deve ser um valor máximo local de / se f'(c) = 0 e se o gráfico de / se encurvar para baixo numa vizinhança de c, como mostram as figuras:

f(c

\ / \ / f<C f(c f<C

/ / /

/

\

c / \ / c 1

Como o sinal de / " ( x ) nos diz se o gráfico está se encurvando para cima ou para baixo, o critério a seguir, baseado neste sinal e conhecido como teste da derivada segunda, nos permite decidir quando um ponto crítico é um extremo d e / .

Teste da derivada segunda Considere uma função f duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crítico c, i.e., f'(c) = 0.

1. Se f"(x) > 0 para todo x G I, então / ( c ) é um ponto de mínimo de f em I.

2. Se f"(x) < 0 para todo x 6 I, então f(c) é um ponto de máximo de f em I.

Demonstração Demonstraremos apenas a parte (1), a parte (2) é análoga.

Se / " ( x ) > 0 para todo x & I, então / ' é uma função crescente em I. Desde que / ' ( c ) = 0, se tomarmos

x < c => / ' (x ) < / ' ( c ) = 0

e se tomarmos X > c => / ' ( * ) > / ' ( c ) = 0

Pelo teste da derivada primeira, concluímos que c é um ponto de mínimo de / em I. O critério a seguir mostra que, para decidir se um ponto crítico é de máximo ou mínimo local, basta calcular o

valor da derivada segunda neste ponto.

Teste da derivada segunda para extremos locais Suponhamos que a função f seja duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crítico c, i.e.,

f ( c ) = 0.

1. Se f"(c) > 0, então / ( c ) é um mínimo local de f em I.

2. Se f"(c) < 0, então / ( c ) é um máximo local de / em I.

Demonstração Demonstraremos apenas a parte (1). A parte (2) se demonstra analogamente. Pela definição de derivada, temos que

X^c X — C z—>C X — C

f ( x ) Se / " ( c ) > 0, pela definição de limite, existe um <5 > 0, tal que — — > 0, para todo x que satisfaz 0 < |x — cl < ô.

x — c Logo, /'(se) e x — c têm o mesmo sinal. Assim, f'(x) < 0 para todo x € (c — á, c) e f'(x) > 0 para todo x € (c, c + 5). Logo, pelo teste da derivada primeira / ( c ) é um valor mínimo local de / .

Exemplo 2 Considere a função f(x) = x3 — 3x2 + 3. Temos que / ' ( x ) = 3x (x - 2) e / " ( x ) = 6(x — 1). Então, / tem dois pontos críticos, x = 0 e x = 2. Como / " (0) < 0, o teste da derivada segunda implica que / (0) = 3 é um máximo local de / , e como / " (2 ) > 0, temos que / (2) = —1 é um mínimo local.

Observação O teste da derivada segunda nada nos diz sobre o que acontece quando / " ( c ) = 0. Na realidade, se f'(c) = 0 e / " ( c ) = 0, qualquer coisa pode acontecer. Considere, por exemplo, as funções y = x4, y = —x4 e y = x3. Nos três casos temos que / ' (0) = 0 e / " (0 ) = 0, e, como mostram os seus gráficos, o ponto (0,0) é, respectivamente, mínimo local, máximo local e ponto de inflexão.

O teste da derivada segunda é muito útil na resolução de problemas de máximos e mínimos, como veremos no Cap. 18.

16.6 Traçado de gráficos - Resumo A experiência acumulada no estudo dos exemplos apresentados neste capítulo sugere algumas regras informais que serão úteis no esboço do gráfico de uma função / . Se possível, devemos:

1. Determinar o domínio e as interseções do gráfico da função com os eixos coordenados.

2. Procurar por simetrias e periodicidade. (Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho. Por exemplo, se a função / for par, isto é, se / ( x ) = /(—x), o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Assim, se conhecermos o gráfico da função para x > 0, para obter o gráfico completo basta refletir a parte conhecida em relação ao eixo y, o que reduz à metade o trabalho de traçar o gráfico desta função. Se a função for periódica de período p e conhecermos o seu gráfico em um intervalo de comprimento p, podemos obter o gráfico inteiro por meio de translações do pedaço conhecido.)

3. Determinar os pontos críticos e os valores críticos de / .

4. Determinar o sinal de / ' ( x ) entre os pontos críticos e, a partir daí, os intervalos onde / é crescente e os intervalos onde é decrescente.

5. Determinar os máximos e os mínimos locais de / .

6. Determinar os pontos críticos de /' e os valores de /, nestes pontos.

7. Determinar o sinal de f"(x) entre os pontos críticos de / ' e, a partir daí, os intervalos onde / é côncava para cima e os intervalos onde é côncava para baixo.

8. Determinar os pontos de inflexão de / .

9. Determinar as assíntotas horizontais ao gráfico de f . Para isso é preciso estudar o comportamento de / quando x —> +oo e quando x —> —oo.

10. Determinar as assíntotas verticais ao gráfico de / .

11. Esboçar o gráfico de / .

Exemplo Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = x$_ ;1. O domínio desta função éM\{ —1,1} e esta função nunca se anula. Sua derivada é dada por

> d f : = n o r m a l ( d i f f ( 1 / ( x ~ 2 - l ) , x ) ) ;

df : = - 2 x

0x2 - l )2

cujo domínio é o mesmo da função original. Seus pontos críticos, portanto, serão as raízes da equação f'(x) = 0. Neste caso, x = 0. Como o denominador da derivada é sempre positivo, esta derivada será positiva quando x < 0 e negativa quando x > 0. Assim, a função é crescente em (—oo, 0) e decrescente em (0, oo). Logo, o ponto (0, —1) é um ponto de máximo local. A derivada segunda é dada por:

> d f 2 : = n o r m a l ( d i f f ( 1 / ( x ~ 2 - l ) , x , x ) ) ;

3ir2 + 1 := 2 (x2 - l )3

cujo domínio é o mesmo da função original. Pela expressão acima para a derivada segunda podemos concluir que esta derivada nunca se anula e, portanto, não existem pontos de inflexão. Como o numerador é sempre positivo, o seu sinal depende do sinal do denominador, que será positivo nos pontos onde x2 — 1 > 0, isto é, para x > 1 e x < —1, e negativo quando x2 — 1 < 0 , isto é para x € (—1,1).

Assim, temos que a função / é côncava para cima em (—oo, —1) e (1, oo) e é côncava para baixo em (—1,1). Seu comportamento no infinito é determinado por lim — = 0 e lim — = 0. Estes limites mostram que a

x—>oo X — 1 x—* — oo x — 1

reta y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico da função. Vamos agora estudar o comportamento desta função na vizinhança dos pontos — l e i , onde ela não está definida. Temos que

1 1 hm —= = -foo e hm = —oo x ^ - i - x z — 1 X-+-1+ x z — 1

1 1 lim — = —oo e lim —r = +oo xz — 1 x—»1+ xz — 1

Estes limites indicam que as retas x = 1 e x = — 1 são assíntotas verticais ao gráfico da função. Reunindo todas as in-formações obtidas acima, podemos traçar com segurança o gráfico ^ da função. Repare que o gráfico está de acordo com todas as conclusões ob-tidas anteriormente.

16.7 Atividades de laboratório Utilizando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labgraf.mws da versão eletrônica deste texto.

16.8 Exercícios 1. A seguir traçamos o gráfico da derivada primeira / ' de uma função / definida no intervalo [—4,6] . Determine

os valores de x para os quais / é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo.

/ \

2. Determine os intervalos onde as funções são crescentes e onde são decrescentes, bem como os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo. Determine e classifique os extremos da função e os seus pontos de inflexão.

(a) f(x) = x3 + 9x

(b) f(x) = x 2 - 3 x + 2 (c) f(x) = x4 - 8x 3 + 24x2

(d) f(x) = X x2 - 1

3. Esboce o gráfico das seguintes funções:

(a) f(x) = 3 x5 — 25 x3

(b) M = ^

(c) m = x 2 ~ 2 _ x 2 + 1

(d) / ( x ) = x + sen(x)

(e) f(x) =

(f) f{x) =

((g) 9(x) =

00 f{x) =

x2 - 4 x2

3x + 4 x2 - 4 x3 — 4x

(e) f(x) =

(i) / ( x ) = x ( i ) + 2 x ( f )

1 1

(j) / ( x ) = v / 8 T i -x2 - 4 x < 3 x2 - 9 x + 20

(k) f(x) = x2 — 7 x + 12 2 x — 14

x — 6

3 < x < 4

x > 4

4. (a) Esboce o gráfico de uma função h com as seguintes características: i. h(—2) = 8, h(0) = 4, h(2) = 0

ii. h'(x) > 0 para | x | > 2 iii. h'{2) = h'{-2) = 0 iv. h'(x) < 0 para | x | < 2 e a ; / l

v. h"(x) < 0 para x < 0 e h"(x) > 0, para x > 0 e x ^ 1 vi. lim h(x) = +oo e lim h(x) = —oo

X^OO X—•( — cx>)

vii. lim h(x) = 3 e lim h(x) = 4. X—>1— x—>1 +

(b) Em quantos pontos a função h(x) se anula? Justifique sua resposta.

5. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições enumeradas:

(a) / ' ( - 1 ) = / ' (2 ) - 0, / ( - 1 ) = / ( 2 ) = - 1 e / ( - 3 ) = 4 (b) / ' ( x ) = 0 se x < - 3 ; / ' ( x ) < 0 em ( - 3 , - 1 ) e (0,2); / ' ( x ) > 0 em ( - 1 , 0 ) e (2, oo)

(c) f"(x) > 0 em ( - 3 , 0 ) e (0,5); f"(x) < 0 em (5, oo)

6. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições enumeradas:

(a) / ' (2 ) = 0, / (2 ) = - 1 e / (0 ) = 0 (b) / ' ( x ) < 0 se 0 < x < 2; f ( x ) > 0 se x > 2 (c) f"(x) < 0 s e 0 < x < l o u x > 4 ; / " ( x ) > 0 s e l < x < 4 (d) lim f(x) = 1 X—VOO (e) f(—x) = f(x) para todo x

7. Esboce o gráfico de uma função / que satisfaça todas as condições enumeradas:

(a) / ' (2) = 0, /'(O) = 1 (b) f ( x ) > 0 se 0 < x < 2; / ' ( x ) < 0 se x > 2 (c) f"(x) < 0 se 0 < x < 4; f"(x) > 0 se x > 4 (d) lim / ( x ) = 0

x — > o o

(e) /(—x) = — / ( x ) para todo x

8. (a) Para que valores de a e b a função / ( x ) = x3 + a x2 + b x + 2 tem um máximo local em x = —3 e um mínimo local em x = —1?

(b) Se / ( x ) = ax3 + bx2, determine a e b para que o gráfico de / tenha um ponto de inflexão em (1,2). (c) Se / ( x ) = ax3 + bx2 + cx, determine a, b e c de maneira que o gráfico de / tenha um ponto de inflexão em

(1, 2) e tal que a inclinação da tangente neste ponto seja igual a —2. 9. A seguir, traçamos na mesma janela o gráfico da função f , da sua derivada / ' e da sua derivada segunda derivada

/ " . Identifique cada um dos gráficos, justificando a sua resposta.

10. Estabeleça a correspondência entre as funções (de (a) a (d)) com o gráfico da respectiva derivada (de (i) a (iv)). Justifique suas escolhas.

(a) (b) (c) (d)

O

j\ \ / \ /

(ü) (i O (iv)

11. Estabeleça a correspondência entre as funções (gráficos de (a) a (f)) e suas respectivas derivadas segundas (gráficos de (i) a (vi)). Justifique suas escolhas.

(a)

\ \ / \ ^

\ / x ,/ i

(b) (c) (d)

(i) (ü) (i 0 (iv)

1. A função f(x) = x3 + x — 1, sendo um polinómio de terceiro grau, corta o eixo x (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz real. Examinando f'(x), mostre que esta função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que f(x) = 2 x5 + 5 x3 + 3 x — 17 tem uma e somente uma raiz real.

2. Considere a função y = xm (1 — x)n, onde m e n são inteiros positivos, e mostre que:

(a) se m é par, y tem um mínimo em x = 0.

(b) se n é par, y tem um mínimo em x = 1.

(c) y tem um máximo em x = independente da paridade de m e n.

3. Dê uma expressão analítica para uma função / que apresente um máximo local em x = — 2 e um mínimo local em x = 1.

4. (a) Prove que a desigualdade (1 + x)n > 1 + nx é verdadeira para x > 0 e n > 1. Sugestão: Mostre que a função / (x ) = (1 + x)n — (1 + nx) é crescente em [0,oo).

(b) Prove que, para x > 0, as desigualdades abaixo são verdadeiras: T 3 T2

í. sen x > x — u. cos x > 1 — =y.

(c) Mostre que o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c não tem ponto de inflexão.

(d) Dê uma condição para que o gráfico desta função seja i. côncavo para cima ii. côncavo para baixo. (e) Mostre que um polinómio cúbico y = ax3 + bx2 + cx + d tem um único ponto de inflexão e três formas

possíveis, conforme seja 3 ac < b2, b2 = 3 a c ou b2 < 3 ac. Esboce estas possíveis formas.

(f) Prove que um polinómio de quarto grau ou não tem pontos de inflexão ou tem exatamente dois pontos de inflexão.

(g) Mostre que a função y = x2 + ^ tem um mínimo mas não um máximo, para qualquer valor da constante a. Esboce o gráfico desta família de funções.

5. Suponha que todas as funções a seguir sejam duas vezes diferenciáveis.

(a) Se f é uma função positiva e côncava para cima em um intervalo I, mostre que a função g(x) — ( f ( x ) ) 2 é côncava para cima em I.

(b) Se / e gr são funções crescentes, positivas e côncavas para cima, mostre que a função produto / g é côncava para cima.

(c) Suponha que as funções / e g sejam côncavas para cima no intervalo ( — 0 0 , 0 0 ) . Que condições sobre / garantem que a função composta h = f(g(x)) é côncava para cima?

6. Prove que a função / ( x ) = x101 + x51 + x + 1 não tem máximo nem mínimo local.

7. Suponha que a pressão p (em atmosferas), o volume V (em centímetros cúbicos) e a temperatura T (em kelvins) de r\ moles de dióxido de carbono {CO2) verifiquem a equação de Van Der Waals

( ; p + r ^ ) ( V - n b ) = nRT,

onde a, b e R são constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte experimento para determinar os valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO2 à temperatura constante de 304 K. Os dados pressão-volume (pV) foram então anotados e verificou-se que o gráfico da pressão como função do volume apresentava um ponto de inflexão horizontal em V = 128,1 e p = 72, 8. Com estes dados calcule a, b e R.

16.10 Para você meditar: Interpretando gráficos

1. Considere a função f(x) = 6x (2s+3)77-^)+41' a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função no intervalo [-1000,1000].

> plot((6*x~3-41*x~2-24*x+41)/((2*x+3)*(7-x)) ,x=-1000.. 1000,y=-1000..1000);

- 1 0 0 0 - 6 0 0 - 2 0 0 -200

too - 6 0 0

- 8 0 0

- 1 0 0 0

200 400x600 800 1000

Evidentemente, esta não é uma representação gráfica adequada para a função considerada; no entanto, esta imagem sugere uma característica especial e importante do gráfico desta função. Que característica é esta?

2. Considere a função / ( x ) = x3 /X-I^X-T)49 • Dividindo o numerador pelo denominador obtemos:

x + 3 - ? 1 14 1 5 x — 2 5 x — 7

Esta expressão indica que, para valores grandes de x, a função dada deve se comportar como a reta y = x + 3. De fato, calculando os limites

x3 — 6x2 — 12x + 49 l l m 7 ^ Kx + 3) z^-oo L (x - 2) (x - 7) v n

r x 3 - 6 x 2 - 12x + 49 . l l m 7 ^ ( x + 3 ) x^oo (x - 2) (x - 7)

podemos provar que esta reta é uma assíntota inclinada ao gráfico da função dada. Calcule estes limites e explique como eles provam que a reta y — x + 3 é realmente uma assíntota inclinada ao gráfico da função.

3. A seguir traçamos o gráfico desta função

4-

A imagem parece indicar que o gráfico da função intercepta a sua assíntota em algum ponto entre —10 e —5. De fato, resolvendo a equação / ( x ) = x + 3, concluímos que as duas curvas se interceptam em x = —7.

(a) Use o comando solve para resolver a equação acima e comprovar a afirmação feita. (Contrariando a opinião popular, você está vendo que é possível o gráfico de uma função interceptar o gráfico da sua assíntota.)

(b) Explique por que a interseção de / ( x ) com a sua assíntota y = x + 3 em x = —7 implica, necessariamente, a existência de um ponto de inflexão de / , para x < — 7. Determine este ponto e esboce "à mão" o gráfico de / .

1. A função f(x) = x3 + x — 1, sendo um polinómio de terceiro grau, corta o eixo x (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz real. Examinando f'(x), mostre que esta função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que f(x) = 2 x5 + 5 x3 + 3 x — 17 tem uma e somente uma raiz real.

2. Considere a função y = xm (1 — x)n, onde m e n são inteiros positivos, e mostre que:

(a) se m é par, y tem um mínimo em x = 0.

(b) se n é par, y tem um mínimo em x = 1.

(c) y tem um máximo em x = independente da paridade de m e n.

3. Dê uma expressão analítica para uma função / que apresente um máximo local em x = —2 e um mínimo local em x = 1.

4. (a) Prove que a desigualdade (1 + x)n > 1 + nx é verdadeira para i > 0 e n > l . Sugestão: Mostre que a função f(x) = (1 + x)n — (1 + nx) é crescente em [0,oo).

(b) Prove que, para x > 0, as desigualdades abaixo são verdadeiras: I3 •• ~t T2

í. sen a; > x — n. cosa; > 1 —

(c) Mostre que o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c não tem ponto de inflexão.

(d) Dê uma condição para que o gráfico desta função seja i. côncavo para cima ii. côncavo para baixo. (e) Mostre que um polinómio cúbico y — ax3 + bx2 + cx + d tem um único ponto de inflexão e três formas

possíveis, conforme seja 3ac < b2, b2 = 3ac ou b2 < 3ac. Esboce estas possíveis formas.

(f) Prove que um polinómio de quarto grau ou não tem pontos de inflexão ou tem exatamente dois pontos de inflexão.

(g) Mostre que a função y = x2 + ^ tem um mínimo mas não um máximo, para qualquer valor da constante a. Esboce o gráfico desta família de funções.

•5. Suponha que todas as funções a seguir sejam duas vezes diferenciáveis.

(a) Se f é uma função positiva e côncava para cima em um intervalo J, mostre que a função g(x) = (f(x))2 é côncava para cima em I.

(b) Se f e g são funções crescentes, positivas e côncavas para cima, mostre que a função produto f g é côncava para cima.

(c) Suponha que as funções / e g sejam côncavas para cima no intervalo ( — 0 0 , 0 0 ) . Que condições sobre / garantem que a função composta h = f(g(x)) é côncava para cima?

6. Prove que a função f(x) = 2101 + x51 + x + 1 não tem máximo nem mínimo local.

7. Suponha que a pressão p (em atmosferas), o volume V (em centímetros cúbicos) e a temperatura T (em kelvins) de n. moles de dióxido de carbono (CO2) verifiquem a equação de Van Der Waals

n2 n ( P + 1 ^ ) ( V - n b ) = nRT,

onde a, b e R são constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte experimento para determinar os valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO2 à temperatura constante de 304 K. Os dados pressão-volume (pV) foram então anotados e verificou-se que o gráfico da pressão como função do volume apresentava um ponto de inflexão horizontal em V = 128,1 e p = 72,8. Com estes dados calcule a, b e R.

16.10 Para você meditar: Interpretando gráficos

1. Considere a função f(x) = 6 x (2f+*3) j72í ' )+41- Com a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função no intervalo [-1000,1000].

> plot((6*x"3-41*x~2-24*x+41)/((2*x+3)*(7-x)) ,x=-1000..1000,y=-1000..1000);

Evidentemente, esta não é uma representação gráfica adequada para a função considerada; no entanto, esta imagem sugere uma característica especial e importante do gráfico desta função. Que característica é esta?

2. Considere a função f(x) = x ^-2) (x-7)49 • Dividindo o numerador pelo denominador obtemos:

o 9 1 14 1 x + 3 - - r + -5 x - 2 5 x-7

Esta expressão indica que, para valores grandes de x, a função dada deve se comportar como a reta y = x + 3. De fato, calculando os limites

rx3 — 6 x2 — 12 x + 49 i i m — 7 T^r? ^ (X + J) x^-oo L ( x - 2 ) ( x - 7 ) K n

x3 — 6 x2 — 12 x + 49 . l l m 7 —T7 (x + 3) x-oo L ( x - 2) (x - 7) v

podemos provar que esta reta é uma assíntota inclinada ao gráfico da função dada. Calcule estes limites e explique como eles provam que a reta y = x + 3 é realmente uma assíntota inclinada ao gráfico da função.

3. A seguir traçamos o gráfico desta função

14| 12| i o |

H / 61 / W/

f\

y

1 0 - 8 - 6 ^ 4 è j 8 10 12 14 - 2 | X —4| - e l - 8 |

-10

A imagem parece indicar que o gráfico da função intercepta a sua assíntota em algum ponto entre —10 e —5. De fato, resolvendo a equação f(x) = x + 3, concluímos que as duas curvas se interceptam em x = —7.

(a) Use o comando solve para resolver a equação acima e comprovar a afirmação feita. (Contrariando a opinião popular, você está vendo que é possível o gráfico de uma função interceptar o gráfico da sua assíntota.)

(b) Explique por que a interseção de f(x) com a sua assíntota y = x + 3 em x = —7 implica, necessariamente, a existência de um ponto de inflexão de / , para x < —7. Determine este ponto e esboce "à mão" o gráfico de / .


16.11 Projetos

16.11.1 Determinando a janela adequada para o traçado de gráficos em computador Observe o gráfico da função y = (x (x — 1) (2 x — l))2 , traçado com a ajuda do Maple.

> p l o t ( ( x * ( x - 1 ) * ( 2 * x - l ) ) ~ 2 , x = - l . . 2 , y = - l . . 6 ) ;

1. Determine os extremos locais desta função e trace o seu gráfico numa janela onde estes extremos sejam claramente visíveis.

2. Idem para / ( x ) = (*-i))4_

3. Considere a função y = 10000 x3 — a x2 + b x + c, onde os coeficientes a, b e c são definidos por a = 30011 + 2 n, b = 30022 + 4n e c = 10010 + 2 n e n é um número qualquer entre 0 e 9, gerado pela linha de comando abaixo:

> c l : = r a n d ( l . . 9 ) : n : = c l ( ) ;

(a) Execute este comando e calcule os valores de a, b e c, executando as linhas de comando abaixo. > a:=30011+2*n; > b:=30022+4*n; > c:= 10010+2*n;

(b) Ache os pontos de máximo e mínimo locais e o ponto de inflexão de / . (c) Faça um gráfico de / que exiba claramente estes pontos.

(Se não for possível obter este gráfico no computador, trace-o manualmente.) (d) Idem para a função

y = x7 + 5 x6 — 11 x5 — 21 x4 + 31 x3 — 57 x2 — (101 + 2 n) x + (89 - 3 n)

4. Considere a função f(x) = (x (1 — x) (2 x — 1) (4 — 9x))2 . Afirmamos que / tem pelo menos quatro mínimos locais, três máximos locais e seis pontos de inflexão em [0,1]. Faça um gráfico de / , em uma escala adequada, onde apareçam claramente todos estes pontos.

5. Ache os extremos locais da função f(x) = ^tj — 2 ( ^ p ) 6 . Trace um gráfico desta função, em uma "janela" adequada, onde estes pontos apareçam claramente.

16.11.2 Aproximando os zeros de uma função - Método de Newton Vimos que, para funções suaves, a reta tangente é aquela que se confunde com a curva perto do ponto de tangência. Então, o seguinte raciocínio, devido a Isaac Newton, parece ser válido:

Suponha que você, de alguma maneira (experimentos numéricos, dedução física, inspiração divina ou outro meio qualquer), saiba que o zero da função y = f{x) está perto do ponto x = a. Como a equação da reta tangente à curva y = f(x) nesse ponto é dada por y = D ( / ( a ) ) (x — a) + fia), onde por D ( / ( a ) ) estamos denotando a derivada da função f calculada em x = a, é um exercício de álgebra elementar calcular o ponto b onde esta reta intercepta o eixo x. Então, como a curva é suave, o seu gráfico e o gráfico da sua reta tangente no ponto (a, / ( a ) ) estão próximos, portanto, o ponto b deve estar bastante próximo do zero procurado da função.

Embora esta explicação esteja repleta de expressões que pecam por falta de precisão e rigor matemáticos, vamos tentar esclarecer o método com um exemplo numérico.


Considere o polinómio y = x5 + 9 x4 — 19 x3 — 241 x2 — 150 x + 200 . Tracemos o seu gráfico com a ajuda do Maple: > plot(x~5+9*x~4-19*x~3-241*x~2-150*x+200,x=-10..10);

140000 120000

100000

80000

60000

40000 20000

-Ir'-8 —6 —4 -2 u

Para tentar localizar os seus zeros, que parecem estar todos localizados nesse intervalo, vamos traçar um outro gráfico, restringindo agora a variação de y:

> plot(x~5+9*x~4-19*x~3-241*x~2-150*x+200,x=-10..10,y=-10..10);

-6| •H -10-i

Embora este gráfico pareça nos dar menos informações que o anterior, ele nos permite afirmar que, aparentemente, o ponto x = 1 está próximo de um dos zeros dessa função (os outros zeros devem estar próximos de 5, —1, —5 e —8). No entanto, calculando o valor da função nesse ponto, vemos que x = 1 não é um zero para essa função:

> f:=x->x~5+9*x~4-19*x~3-241*x"2-150*x+200; x5 + 9x4 - 19 x3 - 241 x2 - 150 x + 200 f : = x

f (1) ; - 2 0 0

Vamos agora traçar o gráfico dessa função e da sua reta tangente no ponto (1, —200) na mesma janela: > m:=D(f);

TO := x 5 x4 + 36 x3 - 57 x2 - 482 x - 150 > x0:=l ;

x0 := 1

> m(x0); -648

> T0:=x->m(x0)*(x-x0)+f(x0); TO := x m ( x 0 ) (x - xO) + f(x0)

> p l o t ( [ f ( x ) , T 0 ( x ) ] , x = - l . , 3 , y = - 3 0 0 . . 5 0 ) ; 50-

V. « 0 -50

V \ -100 \ y-150 \ -200- \ -250--300-

Por este gráfico podemos ver claramente que a interseção da reta tangente com o eixo x é uma aproximação melhor que x = 1 para este zero da função. De fato:

> xl : =solve (TO (x) =0, x) ; xl : =evalf ('/,) ;


xl 81

xl := .6913580247 Calculando o valor da função em x\ podemos constatar que, de fato, este valor é uma aproximação melhor para o

zero da função: > y l : = f ( x l ) ;

yl := -22.9604001

Para conseguir uma aproximação ainda melhor, podemos repetir todo o processo considerando, agora, o ponto (xi, f (x i ) ) como o novo ponto de tangência. A equação da nova tangente será dada por:

> T l :=x ->m(xl )* (x -x l )+ f (x l ) ; Tl := x —> m(a:1) (x - xl) + f(xl)

Vamos, novamente, traçar o gráfico da função e dessa nova reta tangente para comprovar o aumento da precisão. > p l o t ( [ f ( x ) , T 1 ] , x = 0 . 5 . . 0 . 7 5 , - 2 5 . . 2 ) ;

\ \ \

Nesse ponto, a reta tangente e o gráfico da função estão tão próximos que não é mais possível distingui-los. A nova aproximação para o zero da função será dada por:

> x2:=solve(Tl (x)=0,x) ; x2 := .6452009558

Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos: > f ( x 2 ) ;

-.5363646 Repetindo o processo mais uma vez, teremos: > T2:=x->m(x2)*(x-x2)+f(x2);

T2 := x m{x2) (x - x2) + f(x2)

> x3:=solve(T2(x)=0,x) ; x3 := .6440698133

> f ( x 3 ) ; -.0003232

Note que x3 já deve ser uma razoável aproximação para o zero da função.

1« Trace na mesma janela os gráficos de / e de T3 para ilustrar essa última afirmação.

2. Claramente podemos repetir este processo quantas vezes quisermos. O que aconteceria se tivéssemos iniciado o processo acima com um valor diferente de x = 1, para construir a primeira tangente?

3. Vamos automatizar o procedimento acima:

(a) Sejam xo, x\,..., xn as primeiras n aproximações para a raiz da equação f(x) = 0, dadas pelo Método de Newton. Supondo XQ conhecido, deduza uma fórmula para obter x\.

(b) Como é possível obter x2 a partir de xi? (c) Supondo x/c a k-ésima aproximação para a raiz da equação conhecida, deduza uma fórmula que permita

obter a próxima aproximação, isto é, Xk+i-

(d) Usando a estrutura f o r . . . from . . . to . . . do . . . od; do Maple, implemente um algoritmo no computador para calcular as primeiras n aproximações da raiz da equação / ( x ) = 0 a partir de uma primeira aproximação inicial xq e do número n de iterações.

(e) Quando devemos parar o processo acima? (Para responder a essa pergunta, note que a seqüência formada por x\, x2, £3, • • •, é uma seqüência conver-gente e, portanto, deve satisfazer o critério de convergência de Cauchy, isto é, podemos tornar a diferença (em valor absoluto) entre os termos da seqüência tão pequena quanto quisermos, a partir de um certo n, desde que este n seja suficientemente grande. Se isto acontecer, a diferença, em valor absoluto, entre os termos da seqüência e o seu limite será da mesma ordem de grandeza.)

(f) O que acontece se a inclinação da reta tangente for muito pequena, em valor absoluto, isto é, se a declividade da tangente for por exemplo 0,001, isso afetará os cálculos?

(g) Suponha que, por sorte, nossa primeira aproximação x0 venha a ser a raiz da equação f(x) = 0, que estamos procurando. O que podemos dizer sobre xi, x2, • • •?

4. Use o seu algoritmo para achar aproximações para os outros zeros da função estudada no exemplo desse projeto explicitando a precisão do resultado obtido.

5. Aplicando o Método de Newton à equação x2 — a = 0, mostre que aproximações numéricas para a raiz quadrada de um número positivo a qualquer podem ser encontradas por iterações sucessivas da expressão xn+i = • Z Xji

6. Mostre que esta fórmula é a mesma usada pelos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo. (Veja: pro je to Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo.)

7. Usando o Método de Newton, calcule \/TÕ com duas decimais exatas.

8. Aplique o Método de Newton para encontrar uma fórmula que forneça aproximações sucessivas para a raiz enésima de um número a. Use a sua fórmula para calcular a raiz cúbica de três com duas casas decimais exatas.

9. Mostre que x3 + 3x2 — 6 = 0 tem somente uma raiz real e calcule-a com duas casas decimais de precisão.

10. A equação x2 + 1 = 0 não tem soluções reais. Tente achar uma solução pelo Método de Newton e descreva o que acontece. Use a estimativa inicial Xo = 2.

11. O Método de Newton não se restringe à solução de equações polinomiais. Ele pode ser aplicado também a qualquer equação contendo funções cujas derivadas possam ser calculadas. Por exemplo, ache uma aproximação para o recíproco de um número positivo C, definindo a função / ( x ) = - — C e aplicando o Método de Newton descrito acima. Observação: O Método de Newton aplicado a essa função nos permite calcular o inverso de um número sem efetuar nenhuma divisão! Este método é útil porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operação de divisão consome mais tempo do que várias multiplicações e adições juntas.

12. Use o Método de Newton para achar aproximações para todas as raízes reais da equação x2 = cosx.

13. Um grande problema de Arquimedes consistiu em utilizar um plano para cortar uma esfera em duas partes com volumes em uma dada razão prefixada. Arquimedes mostrou que o volume de uma parte altura h de uma esfera de raio r é dado por V = 7rh

(a) Se um plano à distância x do centro de uma esfera de raio 1 corta a esfera em duas partes, uma com o dobro do volume da outra, mostre que x é a raiz da equação 3 x3 — 9 x + 2 = 0.

(b) Aplique o Método de Newton para achar uma aproximação para x com quatro decimais exatas.

14. Em alguns casos, a seqüência das aproximações produzida pelo Método de Newton pode deixar de convergir para a raiz procurada. Os exemplos a seguir ilustram os problemas que podem surgir:

(a) Mostre que o método de Newton aplicado à função y = x ^ leva a x\ = 2xo e é, portanto, inútil para calcular x tal que / ( x ) = 0. Esboce um gráfico para ilustrar essa situação.

(b) Considere a função y = / ( x ) definida por / ( x ) = < ^ x .—-— X ^ a . ! \ / CL X X CL

Mostre que, para todo número positivo r, se x\ = a + r, então x2 — a — r, e se x\ — a — r, então x2 = a + r. Esboce um gráfico que ilustre essa situação.

Capítulo 17

Teorema do Valor Médio

17.1 Introdução Vimos no Cap.16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando funções crescentes e decrescentes com o sinal da derivada fosse muito sugestivo, não pode ser entendido como uma prova das afirmações feitas. Para uma demonstração rigorosa da relação existente entre o crescimento ou decrescimento de uma função e o sinal da sua derivada precisamos de um resultado conhecido como teorema do valor médio. O teorema do valor médio é um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial e é usado, principalmente, na demonstração de outros teoremas.

O teorema do valor médio é a tradução matemática para um fato que aparece de forma corriqueira em muitas situações de nossa vida. Por exemplo, se a média de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra é de 80 km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro deve ter marcado 80 km.

Vamos traduzir a afirmação acima em termos matemáticos. Seja s(t) a posição do carro, em cada instante de tempo t. Se a viagem começa em t = a (horas) e termina em t = b (horas), a velocidade média é dada por

A afirmação de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantânea deve ser igual à velocidade média significa que para algum instante de tempo c entre a e b tem-se

O teorema do valor médio estabelece as condições mínimas que uma função s deve satisfazer para que a igualdade acima seja verdadeira.

Antes de provar o teorema do valor médio, enunciaremos um de seus casos particulares, que ficou conhecido como teorema de Rolle, em homenagem a Michel Rolle (1652-1719), que o demonstrou em 1690.

17.1.1 Teorema de Rolle

Considere uma função f satisfazendo as seguintes condições:

.Demonstração Como / é contínua em [a, ò], pelo teorema dos valores extremos f assume um valor máximo e um valor mínimo em [a, b}. Sejam m e n os pontos de [a, ò] onde estes valores são atingidos, isto é, sejam m e n tais que f(n) < f(x) < f(m), para todo x em [a, b].

Existem dois casos a serem considerados: (i) A função / é constante em [a, 6].

Neste caso, f(x) = f(a) = f(b) para todo x de [a,b]. Assim, f'{x) = 0 para todo x de (a, ò). (ii) f(x) ^ f(a) = f(b) para algum x no intervalo aberto (a,ò).

Neste caso, ou m ou n é diferente das extremidades a e b do intervalo considerado. Sem perda de generalidade,

s(b) — s(a)

b — a

s(b) - s(a) , = b _ a =v(c) = s(c).

222

suponhamos que seja m este ponto. Como m é um ponto de máximo e está no intervalo aberto (a, b) onde / é derivável, tem-se f'(m) = 0. Logo, o ponto c = m satisfaz a conclusão do teorema.

Observação As hipóteses do teorema de Rolle são essenciais para que a conclusão se verifique, isto é, se uma das condições do teorema não for verificada, poderá não existir o ponto c que satisfaz / ' (c) = 0. Os exemplos a seguir ilustram como este teorema pode ser aplicado e mostram como o teorema falha, caso qualquer uma de suas hipóteses não se verifique.

Considere a função / ( x ) = _ í ( z - l ) 2

Exemplo 1 ' , 1 < x < 1,5

v ( x - 2 ) 2 , 1,5 < 2 Esta função é contínua no intervalo [1,2], / (1) = / (2) = 0

mas não é derivável em (1,2). Repare que não existe nenhum ponto da curva y = f(x) no qual a reta tangente a esta curva seja zero. Em outras palavras, não existe c em (1,2) tal que f'(c) = 0. O teorema de Rolle não pode ser aplicado a este caso porque a função dada não é derivável no intervalo (1,2).

0.24 ! 0.221 0.21

0.181 0.161

0 . 1 4 1 0.121

0.1 0.081 0.061 0 . 0 4 1 0.021

A

Exemplo 2

Seja / ( x ) í x2 , i /

l 1, * = 0

= 0 definida no intervalo [—1,1]. Temos

que /(—1) = / (1) = 1, mas / não é contínua no zero. Não existe c em (—1,1) tal que / ' ( c ) = 0. O teorema de Rolle falha neste caso porque / não é contínua em [—1,1].

Exemplo 3 Determine um ponto c que satisfaça o teorema de Rolle para as seguintes funções: (a) / ( x ) = 2 + yfx — -s/x3 definida em [0, 1]. (b) f{x) = 2 + senx definida em [0, 2ir].

Solução (a) A função / é contínua em [0, 1] e derivável em (0,1).

Mesmo que ela não seja derivável no zero, isto não importa: o teorema exige apenas que / seja derivável em (0,1). Também temos que / (0) = / (1) = 2, de modo que todas as condições do teorema de Rolle são satisfeitas. Assim, existe um ponto c em (0,1), tal que f(c) = 0. Como / ' ( x ) = - ^ = esta derivada será zero para x — |. Logo, no ponto c = | a reta tangente à curva é horizontal.

(b) Neste caso / é contínua e derivável em [0, 2-k] e / (0) = f(2n) = 2. Assim, pelo teorema de Rolle, existe um ponto c em (0, 2ir)), tal que / ' ( c ) = 0. De fato, usando o Maple para resolver esta última equação, obtemos

> f :=x->2+sin(x) :

> s o l v e í d i f f ( f ( x ) , x ) = 0 , x ) ;

Portanto, c = f . Veja o gráfico a seguir.

1 2*

> p l o t ( [ f ( x ) , f ( P i / 2 ) , [ [ P i / 2 , 0 ] , [ P i / 2 , f ( P i / 2 ) ] ] ] , x = 0 . . 2 * P i , c o l o r = [ r e d . b l u e ] ) ;

224 Cap. 17 Teorema do Valor Médio

/ \ \ / /

0 1 2 3 4 5 6 x

Observe que, neste exemplo, existe um outro ponto c em (0, 2 7r), a saber, c = no qual a reta tangente ao gráfico da função também é horizontal. Isto não contradiz o teorema de Rolle. Este teorema garante a existência de pelo menos um ponto no intervalo considerado, tal que / ' ( c ) = 0. Como vimos no exemplo acima, pode existir mais de um ponto com esta propriedade.

17.1.2 Teorema do valor médio Considere uma função f satisfazendo as condições:

(1) f é contínua no intervalo fechado [a, b] (2) f é derivável no intervalo aberto (a, b)

Então, existe um número c em (a, b), tal que / ' ( c ) =

Geometricamente, o teorema do valor médio diz que se f ê uma função "suave" que liga os pontos A = (a, / (a)) e B = (&,/(&)), existe um ponto c, entre a e b, tal que a reta tangente ao gráfico de / em c é paralela à reta secante que passa por A e por B.

B

A

a c b

Demonstração A demonstração é feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a função d(x) = f(x) — g(x), onde g(x) é a reta que une os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), isto é, g(x) = / (a ) + (x — a).

Repare que a função d{x) assim definida, mede, para cada x, a distância vertical entre os pontos (x,f(x)), do gráfico de / , e (x,g(x)), na reta suporte do segmento AB.

A função d(x) satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, isto é, d é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b), pois / e g o são, e, além disso, d(a) — d(b) = 0. Assim, existe um ponto c £ (a, b) onde d'(c) = 0.

Note no diagrama a seguir que a reta tangente ao gráfico de / é paralela ao segmento AB exatamente no ponto em que a diferença d(x) atinge o seu maior valor.

^ ^ ^ ^ Logo, 0 = d'(c) = / ' ( c ) - g'{c) = f'{c) - ou seja, f(c) =

17.1.3 Conseqüências do teorema do valor médio A primeira conseqüência é a recíproca do fato trivial de que a derivada de uma função constante é igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é zero, a função é constante. A princípio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro.


Será que não poderia existir uma função desconhecida, estranha e não constante, cuja derivada fosse zero? Usando o teorema do valor médio podemos provar que tal função estranha não existe. Isto é feito no Corolário 1

a seguir. Nesse corolário e nos seguintes, consideramos f e g contínuas no intervalo fechado [a, 6] e deriváveis em (a, b).

Corolário 1 (Funções com derivada zero) Se f'(x) = 0 em (a, b), então f é uma função constante em [a, b], isto é, existe um número real k, tal que f(x) = k,

qualquer que seja o ponto x de [a, ò].

Demonstração Seja x g (a,b]. Apliquemos o teorema do valor médio em [a, x]. Então existe c e (a, x), tal que

f(x) - / (a ) = / ' ( c ) (x - a).

Como / ' ( x ) = 0 em (a, b), tem-se f'(c) = 0. Assim, f(x) = / (a) , para todo x em (a, 6]. Porém, obviamente, esta igualdade vale para todo x em [a, 6]. Assim, / é constante em [a, 6],

Corolário 2 (Funções com derivadas iguais) Suponha que / ' ( x ) = g'{x) para todo x no intervalo (a,ò). Então, f e g diferem por uma constante, isto é, existe

um número real k, tal que / ( x ) = g(x) + k,

para todo x em \a,b}.

Demonstração Considere a função h(x) = f(x) — g(x). Então, h'(x) = f'{x) — g'(x) = 0, para todo x em (a, b). Logo, pelo

Corolário 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma constante k real, ou seja, / ( x ) — g(x) = k, que é equivalente a / ( x ) = g(x) + k.

Interpretação geométrica

/

-j—

i / / / i

Como as duas funções / e g diferem por uma constante, o gráfico de / pode ser obtido a partir do gráfico de g, ou vice-versa, por uma translação vertical. Além disso, como estas funções têm a mesma de-rivada em cada ponto x de [a, 6], seus gráficos têm retas tangentes / paralelas nos correspondentes pontos (x , / (x ) ) e (x,g(xj). Por isso es- __ tes gráficos são ditos paralelos. 2.

Exemplo 1 Se / ' ( x ) = 3senx e /(O) = 2, determine a função / .

Solução Observe que a derivada da função g(x) = — 3cosx é igual a 3senx = f'(x). Assim, f e g diferem por uma constante, isto é, / ( x ) = g(x) + k = —3cosx + k, onde k é um número real qualquer.

Como /(O) = 2, temos que /(O) = — 3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim,

f(x) = —3cosx + 5.

Exemplo 2 Suponha que / ' ( x ) = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que / é uma reta.

Solução Seja g(x) = kx + b. Então, g'(x) = k. Logo, / e g diferem por uma constante, ou seja, / ( x ) = g(x) + c, onde c é real. Assim,

/ ( x ) = kx + b + c = kx + d,

onde d = b + c. Logo, / é uma reta.

Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes) (i) Se f'(x) > 0 para todo x em [a, b], então f é uma função crescente em [a, 6].

(ii) Se f'(x) < O para todo x em [a, ò], então f é uma função decrescente em [a, 6].

Demonstração Vamos demonstrar o primeiro item; a demonstração do segundo é análoga. Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o teorema do valor médio no intervalo [m, n], Como este

intervalo está contido em [a, 6], as hipóteses do teorema do valor médio continuam válidas em [m, n}. Assim, existe um ponto c em (m, n), tal que

/ (n ) - f(m) = / ' ( c ) (n - m).

Como, por hipótese, f'(c) > 0 e (n — m) > 0, segue que

f(n) - f(m) > 0, isto é, / (m) < / (n) .

Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que / é uma função crescente em [a, b].

Corolário 4 (Teorema do valor médio generalizado) Sejam f e g contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b) e suponha, além disso, que g'(x) 0 para a < x < b. Então,

existe pelo menos um c entre a eh, tal que f(ç) = m - /(«) g'(c) g(b) — g(a)

Demonstração Repare que se g(a) = g(b), pelo teorema de Rolle g'(x) se anula em algum ponto entre a e b, o que contradiz

a hipótese. Portanto, g(a) / g(b), e o segundo membro da igualdade acima faz sentido. Para provar o corolário, considere a função

F(x) = ( f (b ) - / (a) ) (g{x) - g(a)) - ( / ( * ) - / (a) ) (g(b) - g(a)).

E fácil ver que esta função satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle. Logo, existe um ponto c, entre a e b, tal que F'{c) = 0. Esta última afirmação é equivalente a

(m - /(a)) 9\c) - f'(c) (g(b) - g(a)) = 0,

que, por sua vez, é equivalente à afirmação que se quer provar. Repare que se g(x) = x, este corolário se reduz ao teorema do valor médio e, portanto, é uma generalização deste

teorema.

17.2 Exercícios 1. (a) Nos itens a seguir, mostre que a função dada satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [a, b]

indicado e ache todos os números c em (a, b) que verificam a conclusão do teorema: i. f{x) =x2-2xem [0,2] iii. f(x) = em [-1,1]

ii. f(x) = 9x2 -x4 em [-3,3]

(b) Nos itens a seguir, mostre que a função dada não satisfaz a conclusão do teorema de Rolle no intervalo indicado. Explicite que hipótese do teorema não é satisfeita.

i. f(x) = 1 - | x | em [-1,1] iii. f(x) =x4 + x2 em [0,1] ii. f(x) = 1 - (2 -x) t em [1,3]

2. (a) Em cada um dos itens a seguir, decida se o teorema do valor médio se aplica. Em caso afirmativo, ache um número c em (a, b), tal que f(c) = • Esboce um gráfico mostrando a tangente passando por (c, / (c ) ) e a reta passando pelos pontos extremos do gráfico em [a, 6], indicado em cada caso.

i. f(x) = l em [1,2] vii. f(x) = sjl - x2 em [-1,0] ii. f(x) = A em [ -1 , 2] viii. f(t) = t2 (t - 1) em [0,1]

iii. f(x) = x3 em [0,1] ix. f(x) = x§ em [ -1 , 27] iv. f{x) = x3 em [-1,0] x_ f { x ) = f 1 0 < * m [ _ M ]

v. g(x) = sen(x) em [0, f ] LO x<0 vi. h(x) =tg (x ) em [ f ,


(b) Como vimos no item (ix) acima, o teorema do valor médio não se aplica à função f(x) = xJ no intervalo [—1,27]. No entanto, mostre que existe um número c em (—1,27), tal que / ' ( c ) = ^^- ( - í ) 1 ^ •

(c) Explique por que o teorema do valor médio não se aplica à função f(x) = \x;\, no intervalo [—1,2],

3. Para as funções dadas em cada um dos itens a seguir, determine os intervalos abertos em que cada uma delas é crescente ou decrescente. Com base nas respostas encontradas, faça a correspondência de cada função com um dos gráficos dados.

(c) f{x)=x2 - 4x + l (a) f(x) = 4-x2

(b) f(x)=x2-2x + l (d) f(x) (e) f(x) = 2x + l

— 3x (f) f(x) = 2x-zr-*r

) V ! \ I

I

- 2 0 \ 2 x / 4

- 2

(a) Use o teorema de Rolle para mostrar que a equação ^x5 — x4 + 2x3 — 2x2 — x — 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1).

(b) Se f(x) é um polinómio de grau 3, use o teorema de Rolle para provar que / tem no máximo três zeros reais. Generalize este resultado para polinómios de grau n.

(c) Nos itens seguintes, mostre que a equação dada tem exatamente uma solução no intervalo indicado. i. x5 + 2 x - 3 = 0 em [0,1] - 3 x = 20 em [2,3]

11. x 10 = 1000 em [1,2]

5. (a) Nos itens seguintes, determine a função / que satisfaz as condições dadas: i. f(x) = 4x ; / (0) = 5 iii. / ' (* ) = / (0) = 3

ii. f'(x) = vTz); / (0) = 4 i v . f»(z) = 0; / ( o ) = § e / ' (0) = |

(b) Em cada um dos itens, ache todas as funções / , tais que: i. f'(x)—senx ii. f"(x)=x3 iii. f"'(x)=x + x2

17.3 Problemas propostos 1. (a) Seja f(x) = x2. Neste caso, mostre que para qualquer intervalo [a, 6] o ponto c dado pelo teorema do valor

médio é em realidade o ponto médio c = do intervalo [a, b]. (b) Mostre que o resultado acima vale para qualquer polinómio do segundo grau f(x) = c2 x2 + ci x + Co-(c) Ache uma função / para a qual o "ponto de valor médio" c não é o ponto médio de [a, 6].

2. (a) Prove que a função f(x) = (1 + x)i — — 1 é crescente em (0, oo). Conclua então que (1 + x)% > 1 + para todo x > 0.

(b) Mostre que V z < l + f s e x > 0 .

3. Mostre que (tg2 x) = (sec2x) no intervalo aberto ( — § ) • Conclua que existe uma constante C tal que tg2 x = sec2 x + C para todo x em (—§, §)• Calcule C.

4. (a) Suponha que haja n pontos distintos em [a, b] nos quais a função derivável / se anule. Prove que / ' deve se anular em pelo menos n — 1 pontos de [a, 6].

(b) Suponha que a função / seja derivável em [—1,1] e tal que /(—1) = —1 e / (2) = 5. Prove que existe um ponto no gráfico de / em que a reta tangente é paralela à reta de equação y = 2x.

5. Suponha que as funções f e g sejam contínuas em [a, 6] e diferenciáveis em (a,b). Suponha também que f(a) = g(a) e que f'(x) < g'(x) para a < x <b. Prove que f(b) < g(b). Sugestão: Aplique o teorema do valor médio à função h = / — g.

6. Usando o teorema de Rolle, prove que, qualquer que seja o valor de m, a função fm(x) = x3 — 3 x + m não pode ter duas raízes reais em [0,1]. Para entender geometricamente o que acontece, trace na mesma janela os gráficos de /o e fi e conclua como seria o gráfico de fm, para m qualquer.

7. Seja f(x) = A e g(x) = | i ^ x < 0 l1-16 f'(x) = d'(x) P a r a todo x nos seus domínios. É possível concluir que / — g é constante?

8. (a) Se / é um polinómio de grau menor ou igual a um, sabemos que f"(x) = 0 para todo x. Demonstre a recíproca desta afirmação, isto é, se / é uma função qualquer, tal que f"(x) = 0 para todo x, então / ( x ) = ai x + a0, onde ai = /'(O) e a0 = /(O).

(b) Se f é um polinómio de grau menor ou igual a dois, sabemos que f"'(x) = 0 para todo x. Demonstre a recíproca desta afirmação, isto é, se / é uma função qualquer, tal que / ' " (x ) = 0 para todo x, eiitão / é um

2 polinómio de grau menor ou igual a dois. De fato, f(x) = /(O) + /'(O) x + f"(x).

(c) Suponha que fn(x) = 0, para todo x. Caracterize / e demonstre a sua resposta.

9. (a) Suponha que / (1) = 1, / ' (1) = 3, / " (1 ) = 6 e f"'(x) = 0 para todo x. Demonstre que, para todo x, f"(x) = 6, / ' ( x ) = 6x - 3 e que f(x) = 3x2 - 3x + 1.

(b) Suponha que c ê uma constante e que / ( c ) = ao, / ' ( c ) = ai, f"(c) = e f"'(x) = 0 para todo x. Demonstre que / ( x ) = (x - c)2 + a\(x — c) + a0.

(c) Suponha que c é uma constante e que / ( c ) = ao, f'(c) — a\, ..., f^n\e) = an e / ( n + 1 ) (x ) = 0, para todo x. n

Demonstre que / ( x ) = / ( c ) + (x - c) / ' ( c ) + ^ ^ /"(c) + ... + /(n)(c), onde n! = JJ fc.

fc=i 10. Às duas horas da tarde, o velocímetro de um carro marca 30 km/h. Às duas horas e dez minutos, marca 50

km/h. Mostre que, em algum instante entre duas e duas e dez, a aceleração deste carro foi exatamente igual a 120 km/h2.

11. Dois corredores começam uma disputa ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que, em algum instante durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade. Sugestão: Considere a função f(t) = g(t) — h(t), onde g e h são as funções que fornecem as posições dos dois corredores para qualquer instante de tempo t.

12. Uma função f, não necessariamente derivável, definida em um intervalo I, é chamada convexa em I se

f(x2)-f(x1) K / ( x 3 ) - f ( x 2 ) ^ x2 — X\ ~ X3 - X 2

sempre que X\ < x2 < X3 forem três pontos de I. Veja a figura a seguir à esquerda e interprete geometricamente a definição dada.

(a) Demonstre que se / ' existe em I e é crescente, então / é convexa. (b) Demonstre que se f " é maior ou igual a zero em todo o intervalo I, então / é convexa em I.

(c) Mostre que se x\ < x2 < as duas condições abaixo são equivalentes:

2/2 - 2/1 . 2/3 - 2/2 ^ , . 2/3 - 2/1 , X < <í=> V2 < 2/1 + 1 — (^2 - xi) X2 - x-y x3- X2 x3 - Xi

(Esta última condição fornece uma outra definição geométrica alternativa para convexidade: entre dois pontos quaisquer X\ e x2 de I, o gráfico de f fica abaixo da reta que passa por Pi = (xi, f(x 1)) e P3 = (rr3, f(x3)), como mostra a figura a seguir à direita.

17.4 Para você meditar: O significado de c Em muitas situações físicas, os fenômenos observáveis são apresentados em tabelas, que relacionam a velocidade de um automóvel com a distância percorrida até que o mesmo pare, após acionados os freios.

velocidade (km/h) 40 60 80 100 120 distância (m) 8 18 32 50 72

Fonte: Revista Quatro Rodas - Automóvel Fiat Uno

A partir de tabelas deste tipo, tentamos deduzir a lei ou função matemática que melhor se ajusta aos dados apresentados. Muitas vezes, precisamos fazer uma estimativa de um valor da variável dependente (neste exemplo, a distância percorrida pelo automóvel) correspondente a um valor da variável independente (neste caso a velocidade do automóvel), que não faz parte da tabela. Por exemplo, qual a distância percorrida por um automóvel que viaja a 70 km/h, antes que este pare completamente?

Em geral, para obter uma resposta aproximada para esta pergunta usamos interpolação linear, isto é, aproximamos o gráfico da função que modela o problema por segmentos de reta que ligam os pontos da tabela e estimamos o valor pedido como se a função procurada variasse linearmente entre os pontos dados.

No exemplo apresentado, a equação da reta que liga os pontos (60,18) e (80,32) é > f :=unapply ( interp( [60 ,80] , [18 ,32] ,x ) ,x ) ;

J 10

Usando esta equação para calcular uma estimativa para o valor pedido, temos: > f ( 7 0 . ) ;

25.00000000

Como as grandezas anteriores claramente não estão relacionadas por uma linha reta, o valor calculado envolve um erro que, a priori, nada garante que seja pequeno.

1. Explique como o teorema do valor médio está relacionado com o erro máximo cometido ao usarmos interpolação linear para estimarmos os valores correspondentes a pontos que não estão explicitados na tabela.

2. Observando os valores apresentados na tabela dada, você é capaz de deduzir a lei que governa o fenômeno? (Use a técnica da enésima diferença - seção Para meditar, do Cap. 7 - para tentar chegar a uma conclusão, e o comando interp do Maple para conferir a sua resposta.)

3. Faça um gráfico da interpolação linear e da função deduzida no item acima para tentar concluir se 25 m é uma "boa" resposta para a indagação feita. Esta estimativa é por falta ou por excesso?

4. Use a função deduzida acima e o teorema do valor médio para, usando interpolação linear, estimar o erro máximo cometido ao calcularmos a distância que um automóvel percorre antes de parar completamente, após acionados os freios.

17.5 Projetos

17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado Suponha que uma partícula esteja se movendo, de acordo com uma determinada lei, ao longo de uma reta. Se você imaginar que o movimento se dá ao longo do eixo y, então o movimento pode ser descrito por uma função s, isto é, para cada tempo t do intervalo I, s(í) fornece a posição da partícula neste instante.

Na figura a seguir, a partícula se move durante o intervalo de tempo [ti, Í4]. Além disso, o movimento começa em t = t\ quando a partícula está no ponto y = 1; no intervalo de tempo [ti, £2], a partícula se move do ponto y = 1 até o ponto y = 4; no intervalo \p2, Í3], a partícula retrocede e muda da posição y — 4 para y = — 1; e no intervalo [Í3, Í4], a partícula avança de y = — 1 até y — 6.

A figura mostra o movimento restrito a um intervalo de tempo I — [íi, Í4] finito. Mais geralmente, a função s pode ser definida num intervalo de tempo da forma / = [ t\, 00) ou mesmo / = R = (—00, 00). Mas, na maioria das vezes, na Terra, os movimentos começam em algum instante de tempo to e terminam quando a partícula se choca com alguma coisa, ou por alguma outra razão, cessa de se movimentar de acordo com a lei dada.

Como já vimos no Cap. 11, desde que a função s seja derivável - o que ela usualmente é a velocidade da partícula, em cada instante de tempo t, é dada pela derivada de s, isto é, v(t) = s'(t). Desde que a função v seja derivável, o que ela usualmente é, a aceleração da partícula é dada, em cada instante de tempo t, pela derivada de v, isto é, a(t) = v'(t) ou a(t) = s"(t). (Observe que para movimentos no plano ou no espaço a velocidade e a aceleração em um dado instante devem ser entendidas como quantidades vetoriais, isto é, como grandezas que têm, também, sentido e direção. Somente para movimentos retilíneos podem ser descritos como fizemos acima, pois sobre uma reta a direção está definida e o sentido é determinado pelo sinal da velocidade.)

Há ainda uma quarta função associada ao movimento da partícula, que denotaremos por F. Essa função F representa, em cada instante de tempo t, a resultante das forças F(t) que agem sobre o corpo no instante t.

O objetivo deste projeto é descrever por meio de equações matemáticas o movimento de uma partícula em queda livre. Antes de podermos trabalhar matematicamente com este problema, precisamos estabelecer as hipóteses físicas a serem consideradas.

A Segunda Lei de Newton afirma que a aceleração de um corpo em movimento é proporcional à força dividida pela massa do corpo, isto é,

a(t) = t ^ 1 (ki= constante). (1)

Para um corpo caindo em queda livre (ou um projétil lançado verticalmente para cima), a força é a resultante do peso (que atua para baixo) e da resistência do ar (que atua no sentido contrário ao do movimento). Se a velocidade do corpo não é muito grande, a resistência do ar pode ser desprezada. Assim, temos que

F(t) = P(t) < 0 (2)

(o peso é negativo porque "puxa" o objeto para baixo). "Obviamente" o peso não varia somente porque o tempo está passando, mas na realidade depende de y, isto é,

da altitude do corpo no qual a gravidade está agindo: quanto maior a altitude, menor a força com que a Terra atrai o corpo. Por outro lado se a altitude não é muito grande, o peso pode ser considerado constante. Para todos os fins práticos, podemos considerar o peso de um objeto caindo em queda livre, próximo à superfície da Terra, como constante. Assim, temos

F(t) = k2< O (k2 = constante). (3)

Como já vimos que o peso é a resultante das forças que atuam sobre a partícula de (1) e (3), temos que

a(t) — ^ < 0 para todo t, onde k3 = k\ k2.

Esta última equação diz que para cada corpo caindo em queda livre existe uma constante que é igual a sua aceleração, independentemente do tempo que dure o movimento.

Permanece, entretanto, uma questão fundamental: existe uma constante que descreve a aceleração de todos os corpos em queda livre, caso contrário, a constante de aceleração depende de qual propriedade do corpo?

Por muito tempo pensou-se que esta constante dependia da massa m do corpo, isto é, a lei que governa a queda de corpos pesados (balas de canhão, por exemplo) deveria ser diferente da lei que governa a queda de corpos leves (por exemplo, bolas de pingue-pongue).

De fato, até a época de Galileu pensava-se que corpos pesados caíssem mais depressa. A história conta que para provar a falsidade desta hipótese Galileu apelou para a força bruta: deixou cair do alto da Torre de Pisa duas bolas de ferro de tamanhos diferentes, provando, assim, que elas chegavam ao chão ao mesmo tempo.

Esta constante, que independe da massa do corpo e que fornece a aceleração de qualquer objeto em queda livre, é chamada aceleração da gravidade e é denotada, usualmente, pela letra g. Se a distância é medida em metros (m) e o tempo em segundos (s), numericamente, temos que g é aproximadamente igual a 10 m/s2.

Os resultados desta discussão podem ser resumidos da seguinte maneira:

Se a resistência do ar puder ser desprezada e se considerarmos desprezível a variação do peso devido à altitude, a aceleração de um corpo em queda livre é dada pela equação

a(t) = ~9, onde g é uma constante e vale aproximadamente 10 m/s2.

A discussão precedente serviu para tentarmos mostrar por que a afirmação acima, sob certas hipótese razoáveis, é uma boa tradução matemática para o problema em questão. Nós não provamos que esta afirmação é sempre correta ou para que valores limites ela vale. Esta não é uma questão matemática, mas algo com que os físicos se preocupam e tentam corroborar por meio de experimentos.

A questão matemática que queremos resolver é a de encontrar funções que satisfaçam a equação

a(t) = f"(t) = -g

Esta equação é um exemplo do que em matemática chamamos de equação diferencial ordinária, porque estabelece uma relação entre a função e suas derivadas. Para resolver esta equação é necessário encontrar a função / que satisfaça a relação dada.

Esta questão é adequadamente formulada no problema a seguir.

Problema Ache a função s que satisfaz as seguintes propriedades: (a) s"(t) — —g para todo t. (b) s'(0) é um dado número vo-(c) s(0) é um dado número SQ. Este problema pode ser interpretado em termos físicos da seguinte maneira:

Conhecendo-se a aceleração da gravidade g, a velocidade inicial vo e a posição inicial SQ, determine a lei que governa o movimento de queda livre de um corpo, no vácuo.

Problemas envolvendo equações diferenciais onde são conhecidos os valores da função e suas derivadas em um determinado ponto são conhecidos como problemas de valor inicial.

Este problema pode ser generalizado como se segue:

Se I é um intervalo de tempo qualquer (finito ou infinito) e to é um ponto qualquer de I, determine a função s que satisfaz as seguintes condições:

(a) s"(t) = —g para todo t. (b) s't0 = v0. (c) St0 = SQ.

A solução deste último problema é exatamente igual à do anterior.


1. Tendo em vista a discussão acima e usando o que vimos até agora sobre derivadas de funções, resolva o problema proposto, isto é, determine a lei que governa a queda livre dos corpos.

2. Se você resolveu corretamente o item acima, em algum momento da dedução deve ter usado uma conseqüência importante do teorema do valor médio. Especifique que resultado foi e onde ele foi usado.

3. Em cada um dos itens a seguir ache a função desconhecida que satisfaz as condições dadas. Em todos os itens, exceto em um deles, as condições dadas são suficientes para determinar a função. Nesse único item, entretanto, há infinitas possibilidades. Neste caso, tente determinar que tipo de funções satisfazem as condições dadas.

4. Para resolver os itens a seguir, não aplique fórmulas. Escreva as equações que modelam o problema e resolva o sistema resultante.

(a) Um projétil é lançado verticalmente para cima, da superfície da Terra, num tempo t = 0, com velocidade inicial de 3 m/s. Quando ele atingirá o solo novamente? Para que intervalo de tempo o movimento é descrito pela condição a(t) = —g?

(b) Um projétil é lançado verticalmente para cima e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual era a sua velocidade inicial?

(c) Uma bola de bilhar é deixada cair do alto de um edifício e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual é a altura do edifício?

(d) Queda livre perto da superfície da Lua funciona da mesma maneira que queda livre perto da superfície da Terra, exceto pela aceleração da gravidade — g^, que é diferente por causa da massa menor da Lua. Suponha que você está na Lua e deixa cair uma bola de bilhar, descobrindo, então, que a bola cai 1 m, no primeiro segundo. O que você pode concluir a respeito de g^l

(a) f'(t) = 3í + 4, / ( 0 ) = 4 (b) f'(x) = x3 — 7x + 5, /(0) = - l

(c) f"(t) = - 1 , /'(O) = 2, /(O) = 3 (d) / " ( z ) = 3z2 , / ' (1) = 0

Capítulo 18

Problemas de Máximos e Mínimos em Intervalos Quaisquer

18.1 Introdução No Cap.15 estudamos o problema de determinar máximos e mínimos globais para funções contínuas definidas em intervalos fechados. Visto que o teorema dos valores extremos para funções contínuas garante, para estas funções, a existência de extremos globais, e como tais extremos só podem ocorrer nos pontos críticos da função ou nas extre-midades do intervalo onde esta função está definida, o critério empregado foi o de comparar os valores da função / calculados nos extremos do intervalo com os valores de / nos seus pontos críticos. No entanto, em vários problemas a função / que descreve a grandeza a ser maximizada é definida em um intervalo aberto (a, b) e até mesmo em um in-tervalo não limitado, por exemplo, (0, oo). Neste caso, não podemos empregar a técnica descrita acima. Não podemos nem sequer garantir, a priori, a existência de máximos e mínimos globais. O teste da derivada segunda é útil nestes casos.

Suponhamos que queiramos maximizar, ou minimizar, uma função derivável / num intervalo aberto I, e consta-temos que / tem apenas um ponto crítico em I, isto é, um número c para o qual f'(c) = 0. Se f"(x) tiver o mesmo sinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c é um extremo absoluto de / em I. Este extremo será um mínimo se / " ( c ) > 0 e, um máximo se f"(c) < 0.

Os exemplos a seguir ilustram o uso deste teste.

18.2 Exemplos Exemplo 1 Um fabricante de latas cilíndricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume Vó- Quais as dimensões que minimizarão a área lateral da superfície de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la?

Solução Sendo r eh, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica, seu volume será dado por

(1) Vo = n r2h

e a área lateral por

(2) A = 2irr2 + 2nrh.

Queremos minimizar A, que é uma função de duas variáveis relacionadas pela equação (1). Resolvendo (1) para h e substituindo em (2),

> h:=solve(V[0]=Pi*r"2*h,h);

> subs(h=V[0]/(Pi*r~2),A=2*Pi*r~2+2*Pi*r*h);

A = 27rr24-2 — ,

r onde r pertence ao intervalo (0, oo). Como sabemos, os extremos desta função, caso existam, estarão localizados em um de seus pontos críticos. Assim, derivamos a equação acima e resolvemos a equação resultante ao igualarmos esta derivada a zero:

233

234 Cap. 18 Problemas de Máximos e Mínimos em Intervalos Quaisquer

> diff(2*Pi*r~2+2*V[0]/r,r);

A' :=47rr-2^|

Mas, Airr — = 0 s e r = (|^)3. A derivada segunda desta função é dada por > diff(2*Pi*r~2+2*V[0]/r,r,r);

Vn A" = 4TT + 4^|

que é sempre positiva, pois r é positivo. Assim, a função A(r) é côncava para cima em todo o seu domínio, e o ponto crítico 47T + é um mínimo absoluto

para esta função. Veja o gráfico de A para VQ = 500 ml

10 12 14 16 18 20

As dimensões da lata de custo mínimo podem ser obtidas, a partir da equação (1), calculando-se o valor de h, correspondente ao valor de r, onde a função A atinge o seu mínimo. Assim,

Vo = j < £ > 4 -l 7T

Note que h = 2 r. Do ponto de vista de diminuir custos de matéria-prima, esse resultado revela que a "melhor" proporção para uma

lata cilíndrica é aquela em que a altura é igual ao diâmetro da base. Esta é a proporção usada em latas de leite em pó, salsichas, extrato de tomate, etc. Você é capaz de explicar por que esta não é a proporção empregada na fabricação de latas de óleo de cozinha?

Exemplo 2 Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio R.

Solução As figuras mostram um cilindro inscrito numa esfera juntamente com um corte transversal do mesmo:

O volume do cilindro será dado, então, por V = 2irx2 y. Além disso, pelo teorema de Pitágoras podemos concluir que as variáveis x e y estão relacionadas pela equação x2 + y2 = R2.

Podemos perceber, também, que V é pequeno quando x está perto de zero ou quando x está perto de R, portanto, entre estes extremos existe uma posição de volume máximo. Para achá-la, substituímos o valor de x2 na equação que define V e obtemos a equação V = 2ivy{R2 — y2). Derivando esta equação em relação a y, temos

> diff(2*Pi*y*(R~2-y~2),y);

V = 2 7T (R2 — y2) — 47t y 2

> simplify O/o);

V' = 2 TT R2 — 6 ir y2

Resolvendo a equação V'(y) = 0, obtemos > solve({diff(2*Pi*y*(R~2-y~2),y)=0},{y});

Aplicando o teste da derivada segunda, comprovamos que o ponto y = é realmente um ponto de máximo para a função, pois

> derivada_segunda=diff(2*Pi*y*(R~2-y~2),y,y);

derivada segunda = —12 ir y e esta derivada é negativa para valores positivos de y. Substituindo o valor positivo encontrado para y na igualdade x2 + y2 = R2, obtemos x — . Concluímos então que a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume inscrito numa esfera de raio R é

y = V2 x 2

Exemplo 3 Determinar o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente através da quina de um corredor de 2 m de largura para outro de 4 m de largura, conforme é esquematizado no desenho a seguir.

Solução Conforme mostra a figura, o comprimento desejado é o compri-mento mínimo L = Li + L2 da vara. Pelos dois triângulos seme-lhantes da figura, vemos que

4 2 — = sen(0) e — — cos(0) L i L2

de modo que

Li = 4 csc(9) e L2 = 2sec(d). Portanto, o comprimento L = Li + L2 da vara é uma função de 0, dada por

L{9) = 4csc(6>) + 2 sec(6>),

onde 8 varia no intervalo aberto (0, f ). Note que L —> oo quando 0 —> 0 pela direita ou quando 9 —> f pela esquerda. (Por quê?) Calculando a derivada de L(6) e igualando a expressão resultante a zero, temos

> diff(4*csc(theta)+2*sec(theta).thêta);

- 4 csc(9) cot(9) + 2 sec[9) tan(0) > solve(-4*csc(thêta)*cot(thêta)+2*sec(theta)*tan(theta)=0,theta);

arctan(21/3), arctan(-i 21/3 + \ I V 3 21/3), arctan(- i 2 ^ _ I j ^3 21/3) £ Li £ Zi

Logo, 9 = arctg(2?) é a raiz que nos interessa. Este valor é aproximadamente igual a

> evalf(arctan(2~(1/3)));

.8999083481

Vamos agora calcular a derivada segunda da função L, para comprovar que o ponto que achamos é, de fato, o mínimo da função L.

> derivada_segunda:=diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta,theta);

derivada segunda := 4 csc(<9) cot(<9)2 - 4 csc(0) ( - 1 - cot(é»)2) + 2 sec(6>) tan(0)2 + 2 sec(<9) (1 + tan(0)2)

> evalf(subs(theta=0.9,derivada_segunda));


24.97376536 Como a derivada segunda no ponto crítico é positiva e este é o único ponto crítico da função (as demais raízes da equação L'{0) = 0 são complexas), vemos que o mínimo absoluto de L e, portanto, o comprimento máximo da vara, é cerca de

> evalf(4*csc(0.9)+2*sec(0.9));

ou seja, aproximadamente 8,32 metros.

Exemplo 4 Reflexão da luz

3.323876472

Um raio de luz parte de um ponto A, atinge um ponto P sobre um espelho plano, sendo então refletido e passando por um ponto B, como mostra a figura ao lado. Medidas acuradas mostram que o raio incidente e o raio refletido formam ângulos iguais com o espelho, isto é a = /?. Suponha que o raio de luz siga o caminho mais curto de A a B, passando pelo ponto P no espelho. Prove a lei de reflexão, mostrando que o caminho APB é mais curto quando a = (3. -H

Solução Repare que o ponto P pode assumir várias posições no espelho e cada uma destas posições é determinada por um valor de x. Vamos considerar, portanto, o comprimento L do caminho percorrido pelo raio de luz como uma função de x. A partir da figura, podemos concluir que

L = y/a2 + x2 + y/b2 + (c-x)2.

Derivando esta função, temos

> L:=x->sqrt(a~2+x~2)+sqrt(b~2+(c-x)~2):

> diff(L(x),x);

L'(x) = X 1 -2c + 2x

y/a2 + x2 2 y/b2 + c2 — 2 cx + :

Minimizamos L ao igualar esta derivada a zero, obtendo:

c — x V a2 + x2 \/b2 + c2 — 2 c x + x2

e daí, podemos concluir que cos(a) = cos(/3). Como a e (3 estão no primeiro quadrante, segue que a = (3. Para verificar que realmente minimizamos L, basta calcular a derivada segunda de L e observar que esta derivada

é sempre positiva para qualquer valor de x. De fato,

d2 L Hx2

+ b2

( a 2 + x 2 ) ( i ) (62 + ( c - x ) 2 ) ( í)

Exemplo 5 Refração da luz

O raio de luz refletido que acabamos de discutir no exemplo anterior mantém a velocidade constante quando atravessa um único meio. No entanto, em meios diferentes (ar, água, vidro) a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a água, é refratado passando a ter uma direção mais próxima da perpendicular à interface. Veja a figura a seguir:


O percurso APB, nitidamente, não é mais o caminho mais curto de A até B. Em 1621, o cientista holandês Snell descobriu, empiricamente, que o caminho real do raio de luz é o que satisfaz a relação = constante, onde esta constante é independente das posições de A e de B. Esse fato é chamado lei de refração de Snell.

Prove a lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o tempo total de percurso.

Solução Se a velocidade da luz no ar é v a e na água é vw, então o tempo total de percurso T é a soma do tempo que a luz gasta atravessando o ar com o tempo gasto para atravessar a água e é dado por

T = y/a2 + x2 | Vb2 + {c-x)2

Calculando a derivada dessa função e observando o seu significado geométrico em termos da figura, obtemos: > T:=x->sqrt(a~2+x~2)/v[a]+sqrt(b~2+(c-x)~2)/v[w];

? y/a2 + x2 y/b2 + (c - x)2

Va Vw

> diff(T(x),x)=sen(alpha)/v[a]-sen(beta)/v[w] ;

x 1 - 2 c + 2 a; + -T'{x) = y/a2 + x2 vc

sen(a) sen(/3) 2 y/b2 + c2 —2 cx + x2 vv

Para conseguir o tempo mínimo de percurso, igualamos essa derivada a zero, obtendo

sen(a) sen(/3)

ou sen(a) va — - — = constante sen(p) vw

Esta é a forma mais reveladora da lei de Snell, porque nos dá o significado físico da constante que aparece na equação. Esta constante é a razão entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na água. Essa constante chama-se índice de refração da água. Se, nesse exemplo, a água for substituída por qualquer outro meio translúcido, tal com álcool, glicerina ou vidro, então a constante terá um valor numérico diferente que será dado pelo índice de refração do meio em questão.

Como no exemplo anterior, podemos verificar que a resposta obtida realmente minimiza T, calculando a segunda derivada e observando que esta é positiva. De fato,

d? T dx2

+ b2

a(a2+x2YD vw (b2 + (c — x)2)(i) > 0.

18.3 Problemas propostos 1. Determine a constante a de modo que a função f(x)=x2 + ^, para x 0, tenha um mínimo relativo em x = 2.

2. Uma grande vara deve passar por um canto retangular de um corredor, seguindo de uma parte de largura a para outra de largura b. Se o comprimento da vara é L, qual a largura mínima 6 para que a manobra seja possível?

3. Uma caixa retangular com base quadrada deve ser feita de madeira compensada. Sendo dado o seu volume, ache a forma (razão entre a altura e o lado da base) que minimiza a quantidade de madeira compensada necessária. Resolva este problema supondo, agora, que a caixa é aberta em cima.

4. Ache o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone de altura H e raio da base R.

5. Ache a altura do cone de máximo volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R.

6. Um tanque cilíndrico sem tampa deve ter um volume especificado. Se o custo do material usado para a base é três vezes maior que o custo daquele usado para a lateral encurvada, ache a razão entre a altura e o diâmetro da base para a qual o custo total é mínimo.

7. (a) Calcule as coordenadas do ponto do gráfico da função y — y/x mais próximo do ponto (|, 0). Sugestão: Minimize o quadrado da distância do ponto dado ao ponto (x, y/x).

(b) Generalize o item anterior: ache o ponto sobre o gráfico de y — y/x que está mais próximo do ponto (a, 0) para a > 0, qualquer.

(c) Determine o ponto da parábola y = x2 mais próximo do ponto (6,3).

8. (a) Suponha que / seja uma função derivável definida em toda a reta e que o gráfico de / contenha um ponto Q(x,y) que está mais perto do ponto P(xo,yo) que não está no gráfico. Mostre que f'(x) = — xyZ/j/0 > e m Q-Conclua que o segmento PQ é perpendicular à reta tangente à curva em Q.

(b) Use o resultado acima para mostrar que a distância mínima do ponto (xo, yo) a um ponto da reta Ax + By + C = 0 é .

9. Duas discotecas, uma delas quatro vezes mais barulhenta do que a outra, estão situadas em extremidades opostas de um quarteirão de 1.000 m de comprimento. Qual é o ponto menos barulhento entre as discotecas? A intensidade do ruído em um ponto distante da fonte é diretamente proporcional ao ruído e inversamente proporcional ao quadrado da distância à fonte.

10. (a) Um triângulo isósceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se x é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando x = 3R. Sugestão: Minimize A2.

(b) Se a figura descrita em (a) for girada ao redor da altura do triângulo, o resultado é um cone inscrito numa esfera de raio R. Mostre que o volume do cone é mínimo quando x = 4 R e que esse volume é o dobro do volume da esfera.

11. (a) Um silo tem parede cilíndrica, piso plano circular e teto hemisférico. Para um dado volume, ache a razão entre a altura total e o diâmetro da base que minimiza a área da superfície total.

(b) No item anterior, se o custo de construção por metro quadrado do teto hemisférico é o dobro do custo da parede e do piso, ache a razão entre a altura total e o diâmetro da base que minimiza o custo total de construção.

12. Qual o menor valor da constante a para o qual a desigualdade 2 y/2 < ax + ^ seja válida para todos os números positivos x?

13. Um espião é deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praia reta com direção norte-sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6 km ao norte de P. Remando, ele percorre 3 km/h andando, 5 km/h. Sua intenção é remar em direção a um certo ponto ao norte de P e depois andar o resto do caminho.

(a) A que distância ao norte de P ele deve desembarcar para chegar à casa no menor tempo possível? (b) Qual a duração da viagem? (c) Quanto tempo a mais ele gastará se remar diretamente a P e depois andar até a casa? (d) Mostre que a resposta do item (a) deste problema não se altera se a casa estiver a 8 km ao norte de P. (e) Se o bote do espião estiver munido de um pequeno motor que desenvolva uma velocidade de 5 km/h, então,

utilizando apenas o nosso bom senso, é óbvio que a rota mais rápida será a que for percorrida exclusivamente de bote. Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rápida?


18.4 Um pouco de história: Princípio do tempo mínimo de Fermat

As idéias do Exemplo 5 foram descobertas em 1657 pelo grande matemático francês Pierre Fermat, e por essa razão a afirmação de que um raio de luz atravessa um sistema ótico percorrendo o caminho que minimiza o tempo total de percurso chama-se princípio do tempo mínimo de Fermat. E importante ressaltar que quando um raio de luz percorre um único meio uniforme, "caminho mais curto" é equivalente a "tempo mínimo", e assim o Exemplo 4 recai também neste mesmo princípio.

Durante os dois séculos seguintes, as idéias de Fermat estimularam um amplo desenvolvimento da teoria geral de máximos e mínimos, levando primeiro à criação por Euler (1701-1783) do Cálculo Variacional - um ramo da matemática que procura achar os extremos de funções em um contexto mais geral do que aquele estudado no Cálculo Diferencial - e depois, ao princípio da mínima ação, de Hamilton (1805-1865), que se tornou um dos princípios unificadores mais profundos da Física. Euler expressou seu entusiasmo com as seguintes palavras memoráveis: "Como a estrutura do mundo é a mais perfeita e foi estabelecida pelo mais sábio Criador, tudo que ocorre nesse mundo obedece a algum princípio de máximo ou mínimo."

18.5 Para você meditar: Como os gregos eram espertos, ou uma demonstração sem palavras

A lei de reflexão discutida no Exemplo 4 já era conhecida pelos gregos da Antiguidade. No entanto, o fato de que um raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no século I d.C. A demonstração geométrica de Heron é simples, porém engenhosa. O desenho a seguir ilustra o argumento empregado por ele. • Demonstre a lei da reflexão usando a figura abaixo para justificar seu raciocínio. Nesta figura B' é a imagem especular de B.

18.6 Projetos

18.6.1 Um problema de otimização

Otimizar é uma das mais importantes aplicações de derivada. Os problemas aplicados que usualmente são estudados num curso de Cálculo são, necessariamente, muito simples para que a aplicação dos conceitos matemáticos não seja sobrepujada por cálculos longos e cansativos. O objetivo deste projeto é apresentar um problema um pouco mais real. Nele, você é o gerente de planejamento de uma companhia elétrica, e a você é designada a seguinte tarefa:

A Companhia deve estender um cabo de alta tensão partindo de uma usina localizada dentro de uma reserva florestal até uma fábrica em construção. A fábrica está a 2,3 km ao norte e a 5,2 km a leste da usina, junto a uma área de propriedade particular de 1,3 km de largura (direção leste-oeste) entre a usina e a fábrica. O cabo de alta tensão deve passar pela propriedade particular. Veja o mapa:


O custo de instalação do cabo é de R$0,15 por metro através da reserva florestal e R$2,25 por metro na propriedade particular.

Sua tarefa é achar o tamanho (diâmetro) ótimo do cabo, determinar a rota de menor custo e, finalmente, determinar o custo total mínimo do projeto.

Etapa I: Minimizar o custo por metro relacionado ao tamanho do cabo. O custo por metro de aquisição do cabo, Ca, é diretamente proporcional à espessura do fio, isto é, varia de acordo

com a quantidade de cobre usada por unidade de área da sua seção reta A. O departamento de compras providenciou às seguintes cifras:

Ca (RS) A (mcm2) 0,25 167

(a) Usando os dados da tabela, ache uma equação para Ca-De acordo com a teoria da eletricidade, a resistência do material do cabo causa uma perda de potência resultante da dissipação de energia em forma de calor. O custo por metro desta perda, Cp, é inversamente proporcional à área da seção reta, A, do fio. Depois de alguns testes o departamento de engenharia chegou aos seguintes dados:

Cp (R$) A (mcm2) 0,2385 105

(b) Usando estes dados, ache uma equação para Cp.

(c) Defina o custo por metro de cabo adquirido, como função da sua seção reta A. Ache a seção reta Amín, em mcm2, que minimiza o custo. Determine este custo mínimo C(Amin) Etapa II: Determinar o caminho de custo mínimo e o seu comprimento O custo total de instalação do cabo, Ci, é dado por Ci = 0,75 w + 2,25 x, onde w é a distância percorrida na reserva florestal e x a distância através da propriedade particular.

(d) Usando os dados fornecidos, expresse w como uma função de x.

(e) Minimize Ci em relação a x, especificando o intervalo de variação de x.

(f) Com o valor de x, que fornece o menor custo de instalação, ache w e o comprimento total L = w + x do cabo. Etapa III: Calcular o custo total do projeto

(g) Combine os resultados das Etapas I e II e ache o custo total mínimo do projeto. Etapa Final: Relatório

(h) Envie um relatório com as suas conclusões e o custo mínimo estimado do projeto ao diretor da companhia. Observação: Um relatório mínimo deve incluir respostas justificadas às questões propostas e um gráfico mos-trando o percurso mínimo que você encontrou.

Capítulo 19

Funções Inversas e suas Derivadas

19.1 Motivação

Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidas ...-•"" por medidas de segurança especiais para impedir atos de vanda-lismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento c

paralela à parede onde um quadro famoso está exposto. Calcule o ângulo a de visão de um observador junto à corda em função da distância x da corda à parede. Considere que a altura média (a) d

dos visitantes é de 1,70 m, a distância da base do quadro ao solo b (b) é de 2,70 m e que a altura do quadro (c) é de 3 m, conforme mostra o esquema ao lado.

X

Este cálculo é importante para se determinar a distância da corda de isolamento que permita um ângulo máximo de visão ao observador.

De acordo com o nosso conhecimento de funções trigonométricas, as grandezas estão relacionadas pelo seguinte sistemas de equações

, / c + d tg(a + (3) =

Para resolver o problema proposto, é necessário determinar o valor de um ângulo sabendo-se o valor do seu seno ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto é, conhecendo-se x encontrar a, tal que, por exemplo, sen(a) = x. Isto equivale a achar uma função g tal que g{x) = a.

Em muitas situações práticas, como a do problema anterior, é preciso refazer uma seqüência de passos desfazendo o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir são dados outros exemplos em que este procedimento é usado:

1. Qual o número que multiplicado por cinco e somado com três é igual a 18?

2. Qual o número positivo que elevado ao quadrado é igual a 4?

3. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posição em cada instante de tempo t é dada pela equação s = vt + SQ, onde so representa a posição do trem no momento em que se iniciou a contagem do tempo. Você é capaz de achar a expressão que define t como uma função de s? (Para o chefe da estação, as duas informações são importantes, a primeira para que ele possa programar as partidas dos trens que saem de sua estação em sentido contrário, e a segunda para informar a hora de embarque aos que desejam viajar.)

O problema acima é equivalente a: sendo dada uma função arbitrária y = f(x), determinar x como função de y, isto é, a partir da função y = f(x), determinar x = g{y). Neste caso, dizemos que / e g são funções inversas. Os exemplos estudados na próxima seção determinam as condições necessárias à resolução de problemas deste tipo.

241

242 Cap. 19 Funções Inversas e suas Derivadas

19.2 Funções inversas

Considere as funções s(x) = x2 e f(x) — x3 e seus respectivos gráficos:

\ 1 0 0 - / \ 8 0 - / \ \ \

/ \ \ \ 6 0 - / \ 4 0 -

\ 2 0 - y7 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 u 2 4 x 6 8 1 0

- 1 0 HB - 6 - 4 - V

/ - 10

/ -20 / 1 - 3 0 J

2 4 x 6 8 1 0

A função / (x ) = x3 goza das seguintes propriedades:

1. Cada reta horizontal corta o gráfico de / no máximo uma vez (veja o gráfico à esquerda, a seguir).

2. Para cada número y no conjunto imagem de / , a equação y = f(x) = x3 tem exatamente uma solução (veja o gráfico à direita). Por exemplo, tomando-se y = —8, temos —8 = x3ox = —2, e mais geralmente, y — x3 <£> i x = y 3.

- 1 0 - 8 - 6

M0 - 2 0 -

- 3 0 :

2 4 x 6 8 1 0

3. Se você refletir o gráfico de / em relação à diagonal principal, o novo conjunto obtido é o gráfico de uma função. Em verdade, é o gráfico da função g(x) = x*.

2n :

y i -

s S

i X — —

-2 - 1 ^ ^ 1 2 X

— — ~ 1

/ / J

Neste caso, dizemos que x = (/ 1)(y) = g(y). As funções / e g são ditas inversas. Além disso, como g deve "desfazer ou anular" o efeito de / , temos também que

(/ ° 9){y) = Vi qualquer que seja y no domínio de g e (.9 0 f)(x) = xi qualquer que seja x no domínio de / .

Vamos examinar agora a função s(x) = x2. Esta função não goza de nenhuma das propriedades enunciadas acima para a função / , a saber:

1. Retas horizontais cortam duas vezes o gráfico de s.

2. Para y > 0, a equação y = x2 tem duas soluções: x = ^fy e x = —yfy. Veja as figuras:


3. Se você refletir o gráfico de s em relação à diagonal principal, o novo conjunto de pontos obtido não é o gráfico de nenhuma função, pois retas verticais interceptam este gráfico duas vezes.

As observações anteriores permitem concluir que esta função não é invertível. Se você raciocinar um pouco chegará à conclusão de que as três condições enunciadas são equivalentes. Neste caso,

dizemos que a função é biunívoca.

Definição 1 Uma função f é dita biunívoca quando uma reta horizontal cortar o seu gráfico em apenas um ponto, ou, equiva-

lentemente, quando a equação y = f(x) tiver uma única solução.

Esta condição pode ser expressa em termos algébricos da seguinte maneira:

Definição 1' Sejam x\ e x2 no domínio de f , tais que X\ ^ x2. Dizemos que f é biunívoca se f(xi) ^ f(x2).

Assim, se uma função / é biunívoca, a equação y — f(x) pode ser resolvida para x, ou seja, é possível determinar a função g tal que x = g{y). Neste caso, / é invertível e g é a função inversa de / .

Definição 2 Uma função f , biunívoca, é também invertível e sua inversa é uma função g calculada da seguinte maneira:

x = g(y) y = f{x).

Repare que o domínio de g é a imagem de / e a imagem de g é o domínio de / . Para a função f(x) = x3, temos y = f{x) y — x3 x = yã. Assim, a inversa da função f(x) = x3 é a função

g(x) = x3". Como seria de se esperar, o procedimento inverso de "elevar ao cubo" é "extrair a raiz cúbica".

Se / e g são funções inversas, a definição acima nos diz que o ponto (x, y) está no gráfico de / se, e somente se, o ponto (y, x) está no gráfico de g. Vamos interpretar geometricamente esta informação:

A reta y = x é formada pelos pontos que têm abscissa igual à ordenada. Assim, dado um ponto qualquer (x, y) do plano, o ponto (y, x) é o seu simétrico, isto é, a sua imagem espelhada em relação a esta reta. Em outras palavras, a reta y = x é a mediatriz do segmento que liga (x, y) a (y, x). (Veja o gráfico à esquerda.) Assim, podemos obter o gráfico de uma função a partir do gráfico da sua inversa e vice-versa, refletindo cada um dos pontos de um dos gráficos em relação à reta y = x (observe o gráfico a seguir, à direita).

Como vimos, a função s(x) = x2, definida em toda a reta não é biunívoca, portanto, não tem inversa. No entanto, se restringirmos o domínio dessa função ao intervalo [0, +oo), esta nova função é biunívoca e a reflexão do seu gráfico em relação à reta y = x dá origem ao gráfico de uma outra função que será a sua inversa. Esta inversa é a raiz quadrada positiva, porque se x > 0,

y = x2 x = y/y.

ao intervalo [0, +oo).

19.3 Derivada da função inversa O objetivo desta seção é deduzir uma maneira de calcular a derivada da inversa de uma função derivável / . Para isso vamos raciocinar geometricamente. Considere um ponto (xi, yi) do gráfico de / - 1 . O ponto correspondente no gráfico de / é o ponto (yi, x±). E inteiramente razoável supor que, se o gráfico de / tem uma tangente, não-vertical, no ponto (yi> ^í); então o gráfico obtido pela reflexão deste último em torno da reta y = x tem uma tangente, não-vertical, em {xi, yi), e a tangente do gráfico refletido é a reflexão da tangente ao gráfico original, como ilustra a figura à esquerda. A declividade da reta original é dada por TOI = A declividade da reta refletida é m2 = • Conseqüentemente, rri2 = se mj =/ 0. Veja o gráfico à direita.

<b,a)

Vamos retornar agora à função / e à sua inversa / _ 1 . Suponha que / tenha uma reta tangente com declividade TO2 / 0 em (yi, xi). Então, a declividade da reta tangente à / _ 1 , em (xi, yi) é Mas, m2 = f'(yi) e yi = / _ 1 ( x i ) . Conseqüentemente,

m 2 = f ' ( r \ x 1 ) ) ^ m 1 = f i { f _ \ { x i ) y

Mas mi é precisamente o valor da derivada de / - 1 em x = x\. Assim, obtemos a fórmula:

1 (*) (r1)' ) = ru-^x o )

e esta fórmula vale qualquer que seja o ponto x = x\ do domínio de / _ 1 , tal que o denominador da fração acima seja diferente de zero. Uma vez que se saiba isto, a fórmula acima pode ser deduzida como uma aplicação simples da regra da cadeia. Como / e / - 1 são funções inversas, temos / ( / _ 1 ( x ) ) = x. Usando a regra da cadeia para derivar esta equação, obtemos f'(f~1(x)) \Df~1{x)} = 1, e daí segue a fórmula (*). Esta segunda maneira de deduzir a fórmula (*) é mais fácil de usar que a própria fórmula. Vamos exemplificar com alguns casos que já conhecemos.

Exemplo 1 A função raiz cúbica A função raiz cúbica f(x) — x^) satisfaz a equação

(1) [f{x)f = {x^f=x.

(Repare que com isto estamos afirmando que f é a função inversa de g(x) = x3.) Derivando a equação (1), obtemos

3 / 2 / ' = l

e daí vem que

/ ' ( * ) = 1 1 X " f 3 f2(x) 3x1

Exemplo 2 A função raiz enésima A função f(x) = X", para 0 < x < oo, satisfaz a equação

[/(x)]n = x, paraO < x < oo,

pois / é definida como sendo a inversa de g(y) = yn, 0 < y < oo. Supondo que / tem derivada, podemos derivar ambos os lados da equação e obter

n [ / ( z ) ] ( " - 1 ) / ' < » = 1, para 0 < x < oo,

logo,

f { x ) = n [/(*)]<-!> = ^ f e ) = ^ T - p a r a 0 < * <00

Quando n é ímpar, o mesmo raciocínio se aplica para —oo < x < oo e não somente para 0 < x < oo. A fórmula deduzida acima conduz diretamente a fórmula análoga para a derivada de Usando a notação de

Leibniz, temos

d(x(™)) m dx n

Os exemplos acima sugerem que as derivadas das funções inversas podem ser facilmente calculadas, mas em cada caso foi necessário supor, de partida, que a derivada existia. Esta hipótese é justificada pelo teorema a seguir, que mostra que, em todos os casos razoáveis, a função inversa realmente possui derivada.

Teorema da função inversa Suponha que o domínio de g é um intervalo aberto I e que (i) 9'(y) > 0 para todos os pontos y em I ou (ii) g'(y) < 0 para todos os pontos y em I. Então, g é biunívoca (o que implica que g tem uma inversa), e a sua inversa f tem derivada em todos os pontos do

seu domínio. Além disso,

f(x) = - 1

Observação: A demonstração desse teorema é complicada, mas, como já vimos antes, geometricamente é fácil observar que o resultado é verdadeiro. Se g'(y) > 0 ou (g'(y) < 0), para todos os y em I a função g é crescente (ou

decrescente) e possui uma tangente não horizontal em todos os pontos deste intervalo, cuja inclinação é dada por g'. O gráfico refletido terá, portanto, uma tangente não-vertical, e a inclinação desta tangente fornece o valor de / ' .

Para calcular a derivada da inversa de uma função, procedemos como nos exemplos dados, simplificando, no passo final, a expressão g'(f(x)). Os detalhes desta simplificação dependem da função que está sendo derivada.

19.4 As funções trigonométricas inversas e suas derivadas

Nenhuma função trigonométrica é invertível, pois, como estas funções são periódicas, retas horizontais cortarão seu gráfico um número infinito de vezes. Assim, dado um número entre [—1,1], a equação x = sen(ff) tem uma infinidade de soluções. Veja esta afirmação ilustrada no gráfico da função seno.

> plot([sin(x),0.5],x=-30..30);

No entanto, como no caso da função f(x) = x2, podemos restringir o domínio das funções trigonométricas de tal modo que elas sejam invertíveis em algum intervalo.

19.4.1 As funções arcsen(x) e arccos(x)

Define-se o valor principal da função seno como sendo a restrição do seno ao intervalo [—§]• Continuamos denotando esta função por seno (sen).

A função valor principal do seno tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco seno (arcsen). Assim,

Repare abaixo o gráfico da função arcsen(x), obtido a partir de uma reflexão em relaçao à diagonal principal do gráfico da função y = sen(x), definida no intervalo [—f, §]•

> plot(arcsin(x),x=-l..1,scaling=constrained);

y = arcsen(a;) <ï4> x = sen(y).

• Qual o domínio da função arco seno? Qual a sua imagem? • Qual o valor de arcsen(|)? E de arcsen(—1)?

1.5

/

/ -1-

-1.5

De maneira análoga, definimos o valor principal do coseno como sendo a restrição do cosseno ao intervalo [0, 7r], a qual continuamos chamando de coseno. Esta função é invertível e sua inversa denotada por arccos(a;) .

\ 3~ 2 . 5

2 -

1 .5

0 . 5

\ - 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 ° 0 . 2 0 . 4 x 0 . 6 0 . 8 1

Pelo teorema da função inversa,

arcsen'(x) =

Seja arcsen(x) = 9. Sabemos que

1 cos(arcsen(x)) para todo x em (—1,1).

3(6») = ± V l - sen2 9 = ±y/l - [sen(arcsen(x))]2 = ±y/T

Como para — ? <9 < cos (9) > 0, tem-se

arcsen'(x) = v / T 3 ^ 2

para x € (—1,1).

Note que, para x € (—1,1), arcsen'(x) é sempre positiva, como o gráfico dessa função mostrava que deveria ser. Nos pontos extremos deste gráfico as tangentes são verticais.

De maneira semelhante prova-se que arccos'(x) = — p a r a x £ (—1,1). Esta derivada é negativa, como o gráfico do arco cosseno indicava.

19.4.2 As funções arctg(x) e arcsec(x) Define-se o valor principal da função tangente como sendo a restrição da tangente ao intervalo (—f, §)•

Continuamos denotando esta função por tangente (tg).

A função valor principal da tangente tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco tangente (arctg) . Assim

y = arctg(x) x = tg(y)

• Qual o domínio da função arco tangente? Qual a sua imagem? • Qual o valor de arctg(l)? E de arctg(—1)?

Observe os gráficos das funções tg(x) e arctg(x). T g ( x )

3-

2-y

1-

-1.5 - 1 0.5 x 1 1.5

S - 2 -

/ - 3 -

• Quais são as assíntotas horizontais ao gráfico dessa função? Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos calcular a derivada da função arctg. Pelo teorema da função

inversa, arctg' (x) = para todo x real.

[sec(arctg(x))J/

Seja 9 = arctg(x). Como sec2 9 = 1 + tg2 9,

[sec(arctg(x))]2 = 1 + [tg(arctg(x))]2 = 1 + x2

Logo,

arctg'(x) = para todo x real. 1 + x2

Para a função secante, a situação é um pouco pior. Examine o gráfico desta função:

! 4-

Em primeiro lugar, é preciso escolher um intervalo apropriado onde esta função tenha inversa e, portanto, seja possível aplicar o teorema da função inversa para calcular a sua derivada. O gráfico da secante consiste de várias partes às quais o teorema se aplica, por exemplo, uma para 0 < 9 < j e outra para \ < 9 < ir. Consideraremos o primeiro intervalo e definiremos uma nova função g como a restrição da secante ao intervalo (0, isto é,

g{9) = sec(9), para 0 < 9 <

Como g'(9) = sec(0)tg(#), temos que para 0 < 9 < g'{9) > 0, e o teorema da função inversa garante que a função inversa de g, que designaremos por arcsec(x), tem derivada e que

arcsec'(x) = sec(arcsec(x)) tg(arcsec(x))

Já sabemos que sec(9) — x. Precisamos simplificar o fator tg(arcsec(x)). Para isso, como das outras vezes, vamos chamar arcsec(x) = 9. Usando a igualdade sec2 9 = tg2 9 + 1, temos que tg(arcsec(x)) = ±\/x2 — 1. Como 0 < 9 < vemos que tg(0) = tg(arcsec(x)) > 0. Portanto, podemos abandonar o radical negativo. Assim,

arcsec'(x) = 1

r, para 1 < x < oo. x \/x2 — 1

Refazendo os cálculos acima, considerando agora g{9) = sec(0) para ^ < 9 < ir, obtemos

1 arcsec'(x) = para —oo < x < — 1.

Combinando estes dois resultados, obtemos uma função cujo domínio consiste nos dois intervalos (—oo, —1) e (1, oo). Veja o seu gráfico:

1 3

/ 2.5

2

»1.5

0.5 1 i

- 3 - 2 - 1

Observe que o termo 1 t/X^—Ï não está definido para | x | < 1. Para x = l e x = — 1, o gráfico da função arcsec(x)

apresenta uma tangente vertical e, portanto, a derivada não existe nestes pontos. Para x < —1 e x > 1, podemos combinar os dois resultados obtidos acima e escrever que

Exemplo 3 Retornando ao problema da corda de isolamento de um quadro, tínhamos que

. „ c + d tg(a + 0) =

tg(/5) = - -x

Assim, a, que é o ângulo que queremos tornar máximo, pode ser expresso como

.c + d. ,d. a — arctgí I — arctg( —).

x x

Substituindo os valores de c e d, derivando esta função e igualando o resultado a zero, obtemos:

> f:=x->arctan(4/x)-arctan(l/x):

> g:=diff(f(x),x);

4 1 +

> g l :=s impl i fy (g ) ;

gl := —3• (:r2 + 16) (x2 + 1) > so lve(g l=0,x) ;

2, -2.

Como i é a distância da parede ao observador, podemos desprezar a raiz negativa. Vamos agora usar o teste da derivada primeira para comprovar que este é o ponto de máximo procurado. Como o denominador da expressão ~ (s2+i6)~{x^+í) ® s e m P r e positivo, o sinal da derivada depende do termo —3 a;2 +12. Como —3x2 + 12 > 0 para x < —2 e —3 x2 + 12 < 0 para x > 2, concluímos, imediatamente, que no ponto x — 2 o ângulo a atinge o seu máximo absoluto. Devemos, portanto, colocar a corda de isolamento a dois metros da parede onde o quadro está pendurado.

19.5 Exercícios

1. Considere a função dada pela tabela:

x - i -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 m 0,1 0,12 0,15 0,2 0,25 0,31 0,39 0,5 0,6 0,7 1

(a) Determine o domínio e a imagem de / .

(b) Construa a tabela da função g inversa de /.

2. (a) Mostre que / ( x ) = 3x — 5 é invertível e ache sua inversa g. Calcule f(g(x)) e g{f{x)).

(b) Calcule a função g(x) inversa de f(x) — . Verifique que f(g(x)) — g(f(x)) — x.

(c) De um modo geral, se a, b, c, d são constantes tais que ad — bc jí 0 e f(x) = f f+g, existe uma função d(x) = "x+s 3 u e f(9Íx)) = 9Íf(x)) = x• Calcule as constantes a, /?, 7, ô em função de a, b, c, d. Por que a condição ad — bc / 0 é necessária? Qual a relação existente entre / e g?

3. Ache expressões algébricas para as seguintes funções, especificando o seu domínio: (a) sen(arctg(a:)) (b) tg(arcsen(a;)) (c) cos(arctg(a;))

19.6 Problemas propostos 1. Prove que cada uma das funções dadas abaixo é invertível no intervalo considerado. Deduza a fórmula para a

derivada da sua inversa e esboce o gráfico desta inversa especificando o seu domínio. (a) g(9) = cotg(0), 0 < 9 < 7T. (b) g(9) = cossec(é>) 0 < | 9 \ < §.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de uma função / no ponto (2, / (2)) , sabendo que / (2) = 7 e D( / " 1 ) (7 ) = 8.

3. Seja /(ar) = y/x3 + 3 para 0 < x < oc. Usando o teorema da função inversa, mostre que / é invertível e calcule ( / _ 1 ) ' ) (2 ) . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f~l no ponto (2,1).

4. Seja a função /(ar) — x5 + x3 + 3 x.

(a) Em que conjunto a função admite inversa? Justifique. (b) Determine ( / _ 1 ) ' (5 ) .

5. Use o teorema da função inversa para mostrar que /(ar) = (x5 + 7)3, x > 0 é invertível e calcule ( / _ 1 ) ' (2 ) . Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de / - 1 no ponto (2,1).

6. Seja /(ar) = arctg(^ — x), x > 1.

(a) Usando o teorema da função inversa, mostre que / é invertível e calcule D( / _ 1 ) (0 ) . (b) Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de / _ 1 no ponto (0, / - 1 ( 0 ) ) .

7. Use o teorema da função inversa para mostrar que / ( x ) = arctg(x2 — 1), x > 0 é invertível e calcule D ( / - 1 ) ( f )•

19.7 Para você meditar: Inversas? Vimos que se / e g são funções inversas, então f(g(x)) = x e g(f(x)) = x. Observe os gráficos das funções sen(arcsen(x)) e arcsen(sen(x)): > plot(sin(arcsin(x)),x=-10..10); > plot(arcsin(sin(x)),x=-10..10);

1. Observando os gráficos acima, é possível concluir que se g e / são funções inversas tem-se que f(g(x)) = x e 5 ( / ( x ) ) = x?

2. Para que valores de x valem essas identidades?

3. Qual o domínio da função arcsen(sen(x))?

4. Em que intervalo essa função coincide com a função h(x) = x?

5. Em que intervalos a função y = sen(x) é invertível?

6. Trace os gráficos de arcsen(sen(x)) e sen(arcsen(x)) e explique a diferença para o exemplo anterior.

7. Faça essa mesma análise para os pares de funções abaixo: (a) arccos(x) e cos(x) (b) arctg(x) e tg(x) (c) x2 e -y/x.

8. Para que valores de x é possível calcular arcsen(sen(x)).


9. Explique por que arcsen(sen(|)) = arcsen(sen(^1)).

10. O que se pode afirmar a respeito do valor de arcsen(sen(a; + 2 ir))?

11. Calcule essa função nos seguintes casos: (a) para x em [— f ] . (b) para x em . (c) para x em [(2 k — 7r, (2 k + ir] onde k é um inteiro qualquer. (d) para x em [(2 k + ir, (2 fc + |) 7r] onde k é um inteiro qualquer.

Capítulo 20

Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente

20.1 Introdução

Como já vimos, a derivada / ' ( :r) de uma função y = / ( x ) pode ser definida como

f'(x)= lim J v ! A x—>0 A x

onde Axé uma variação não-nula na variável independente x, e A y = / ( x + A x) — f{x) é a variação correspondente em y. No Cap.9 , introduzimos a notação de Leibniz ^ para a derivada da função y = / ( x ) e enfatizamos que esta notação era apenas um símbolo e não uma fração. No entanto, é verdade que parece uma fração, e em alguns contextos funciona como tal.

O exemplo mais importante disto se dá na regra da cadeia, que, usando-se a notação de Leibniz, pode ser enunciada da seguinte maneira:

dy dy dx dt dx dt '

Neste caso, a fórmula correta para a derivada de uma função composta y(x(t)) parece ser obtida cancelando-se dx como se as derivadas ^ e fossem de fato frações.

O objetivo deste capítulo é dar significado aos termos dy e dx, de tal modo que o seu quociente seja a derivada / ' ( x ) . Para isso é preciso estabelecer a relação entre o acréscimo ou incremento Ay e a derivada (taxa de variação) da função / . Neste capítulo, daremos uma resposta aproximada para esta questão. A resposta exata para esta pergunta é dada pelo teorema do valor médio.

20.2 Aproximação pela reta tangente Seja / uma função derivável definida num intervalo fechado [a, b]. O problema que se coloca é como estimar, de maneira rápida e simples, a variação ocorrida em y = f(x), quando x varia de um certo valor original xo para um novo valor XQ + A x . O valor exato desta variação, como sabemos, é o incremento correspondente em y, dado por A y = f{xo + A x ) — / (xo) , como mostra a figura abaixo.

Nem sempre é possível calcular exatamente este valor. Por exemplo, seja / ( x ) = \/1 + x. Para calcular a variação ocorrida em y = / ( x ) , quando x varia de zero a 0,05, seria necessário conhecermos o valor exato de yj1,05. Como é sempre fácil calcular valores de funções cujos gráficos são retas (para isto basta saber somar e multiplicar), a idéia

252


é comparar a variação efetiva A y com a alteração que ocorreria no valor de y se a função / continuasse a variar à taxa fixa / ' (x 0 ) , enquanto a variável independente passasse de xo para xo + A x , isto é, aproximar a variação ocorrida nos valores de y pela variação correspondente ocorrida sobre a reta tangente à curva y = f(ar). Esta variação, que notaremos por dy, é chamada de diferencial de y. (Veja a figura abaixo.)

A diferencial de y é, portanto, a variação ocorrida na altura de um ponto que se move ao longo da reta tangente à curva y = f(x), quando x varia de xo a XQ + A x, e é dada por dy = f'{x) Ax. Quando Axé pequeno, a diferencial dy é uma "boa" aproximação para o incremento A y. Na figura acima, o erro que cometemos ao aproximarmos A y por dy é a diferença entre Ay e dy. Observe, no diagrama abaixo, como este erro diminui à medida que A x tende a zero.

Assim, quando A x é pequeno, temos que A y « dy . Lembrando que A y = / ( x o + A x ) — f(x o) e dy = f'(x o) Ax , tem-se que f(xo + A x) « f(xo) + f'(xo) A x. Como A x = x — Xo, tem-se ainda que

/ ( x ) « / ( x 0 ) + / ' ( x o ) ( x - x o ) , (20.1)

e esta aproximação será tanto melhor quanto mais perto x estiver de XQ. Repare que o lado direito da expressão acima representa a equação da reta tangente à curva y = / ( x ) no ponto (xo, / (xo)). Por isso, dizemos que a reta tangente é uma boa aproximação da função / para valores próximos ao ponto de tangência, ou que esta é a aproximação linear da função / na vizinhança do ponto x = xo-

Vamos usar o resultado obtido acima para calcular um valor aproximado para \/25,4. Para isso consideraremos / ( x ) = s/x e Xo = 25 (porque 25 é o ponto mais próximo de 25,4 no qual sabemos calcular o valor exato de / (x ) ) . Neste caso, A x = 0,4, / ' (xo) = 2 e a fórmula acima fornece

V ^ I = / ( x 0 + A x ) « / ( x 0 ) + / ' ( x 0 ) A x = V25+ - ^ t = 5,04. 2 V25

O valor de -y/25,4 com 9 casas decimais, fornecido pelo Maple é > sqrt(25.4);

5.039841267 Conseqüentemente, o erro E da nossa aproximação é dado por > E=abs(sqrt(25.4)-5.04);

E = .000158733 que não é de todo mal. Lembre-se de que a aproximação acima só deve ser "boa" quando A x for muito pequeno e A x = 0,4 não é muito pequeno. Se usarmos A x = 0,1, obteremos y/25,1 s» 5,01, e o erro neste caso será dado por

254 Cap. 20 Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente

> E=abs(sqrt(25. D-5.01) ;

E = .9980 IO"5

Define-se o erro absoluto em um valor medido ou aproximado como a diferença entre o valor aproximado e o valor verdadeiro. O erro relativo ou médio é a razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro. Assim, nos dois exemplos anteriores os respectivos erros relativos de

^ = ^ = 0 , 0 8 = 8% x 5

e de ^ = ^ = 0 , 0 2 = 2%

x 5 em x conduzem a um erro relativo no valor estimado de

> E[r]=abs(sqrt(25.4)-5.04)/sqrt(25.4);

Et = .00003149563480 e de

> E[r]=abs(sqrt(25. D-5.01)/sqrt(25.1);

Er = .1992019936 IO"5

isto é, 0,003% e 0,0001%, respectivamente. E natural perguntar por que a aproximação

dy = f'(x 0)Ax

é tão boa, como ficou mostrado nos exemplos acima. Como vimos no diagrama anterior, quanto menor for A x, mais próximos da reta tangente estarão os pontos

correspondentes na curva y = f(x). A diferença entre as alturas de dois desses pontos para uma determinada escolha de A i é dada por A y — dy e concluímos que A y — dy tende para zero quando Axé pequeno. Na realidade, a diferença A y — dy é pequena, mesmo em comparação com A x. Para mostrar esta afirmação, basta observar que

Ay-Jy = / ( » + A » ) - / ( » ) _ / / ( x ) = ^ ^ ^

portanto, lembrando a definição de derivada, podemos concluir que o erro relativo é uma função de A i que se aproxima de zero quando A x tende a zero. Assim, quando A x tende a zero, o erro na aproximação A y « dy não é simplesmente pequeno, mas duplamente pequeno, pois A y — dy = E(A x) A x é um múltiplo pequeno de um número pequeno, isto é, muito, muito pequeno.

20.3 Diferenciais e funções diferenciáveis Costuma-se definir dx = Ax escrevendo-se, então, a fórmula 20.1 como:

f(xo + dx) « f(xo) + f'{xo) dx .

Neste caso, dx é uma variável independente, chamada diferencial de x. Definem-se, assim, as diferenciais de x e de y como

dx = Ax

e dy = f(x)Ax = f'{x)dx.

Além disso, dizemos que uma função é diferenciável em xo quando existe uma função linear K e uma função E, definida na vizinhança de XQ, tais que

Af = K(Ax) + AxE(Ax)

onde E(Ax) n lim —^ '- = 0 .

Ax—>0 Ax


Como neste contexto as funções lineares K são da forma K(A x) = m A x, onde m é uma constante, pelo que vimos neste capítulo m = f'(xo), e a igualdade acima significa dizer que a função / pode ser aproximada, localmente, pela reta tangente. Por causa desta propriedade, estas funções são ditas localmente lineares. No caso em estudo, dizer que uma função é diferenciável é equivalente a dizer que a função é derivável.

Da definição de diferenciais, decorre, imediatamente, que

Note que a expressão acima mostra que a derivada de uma função, de acordo com a notação de Leibniz que utilizamos até agora, é realmente a razão entre duas quantidades: as diferenciais dy e dx.

Na realidade, Leibniz concebeu a notação diferencial visualizando incrementos "infinitesimais" dx e dy, cuja razão ^ seria o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x), como mostra a figura à esquerda.

A chave da descoberta de Leibniz na década de 1670 foi o seu entendimento de que, se dy e dx forem suficientemente pequenos (infinitesimais), então o segmento da curva y = f(x) e o segmento de reta que une os pontos (x,y) e (x + dx, y + dy) serão virtualmente indistinguíveis, como mostra a ampliação à direita.

A notação diferencial nos fornece uma forma conveniente de escrever fórmulas para derivadas. Por exemplo, as regras da soma, do produto e do quociente de duas funções u e v podem ser escritas, respectivamente, como:

d(u + v) = du + dv

d(uv) = udv + vdu

u. v du — udv

Além disso, seu — f(x) e v = g(u), como dv — g'(u) du e du = f'(x) dx, obtém-se

dv = g'(u)f(x)dx = g'(f(x))f'(x)dx.

Assim, a regra da cadeia pode ser obtida como se fosse o resultado de manipulações puramente algébricas da notação para diferenciais.

O método das diferenciais é útil, em particular, na derivação implícita. Suponha, por exemplo, que y seja uma função derivável de x, que satisfaça a relação x2 y3 — 2 x y + 5 = 0. Podemos usar diferenciais para achar uma expressão para Assim, calculando a diferencial de cada termo da equação e usando as regras de derivação, temos

2 x y3 dx + x2 3 y2 dy - 2 ydx - 2 xdy = 0

e daí (3a-2y2 -2x) dy = (2y-2xy3) dx

o que conduz ao resultado dy 2 y — 2 xy3

dx 3 x2 y2 — 2 x


20.4 Exercícios 1. Nos itens abaixo, determine a aproximação linear para a função dada na vizinhança de um ponto xo = 0:

(a) / ( x ) = vT + í (c) / ( x ) = - j — (e) / ( x ) = (1 - x)3 (g) / ( x ) = cos(x) (b) / ( x ) = ( l + x ) 2 Y (f) / ( x ) = sen(x)

(d) f{x) = -vl+ x

2. Uma fórmula de aproximação padrão usada em física é dada por sen(x) ss x. Esta aproximação vale quando x « 0. Explique como esta fórmula está relacionada com as idéias discutidas nesta seção.

3. Uma outra fórmula padrão de aproximação é dada por (1 + nx)n « 1 + nx e vale para pequenos valores de x. Explique a validade desta fórmula tendo em vista a teoria que desenvolvemos acima.

4. Usando uma aproximação linear, estime o valor dos seguintes números: (a) 736/7 (c) \/lÕ3 (e) sen(0,5432) (b) 15(3) (d) cos(43°) (f) sen(

20.5 Problemas 1. Mede-se o raio de uma bola esférica, obtendo-se 10 cm, com erro máximo de ^ cm. Qual é o erro máximo

resultante no cálculo do volume desta bola? Com que precisão se deve medir o raio da bola para assegurar um erro máximo de 1 cm3 no cálculo do volume?

2. A lei da gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de massas mi e m2 é dada por F = 9 ms2m2, onde g é uma constante e s é a distância entre as partículas. Se s = 20 cm, use diferenciais para obter uma aproximação da variação em s que aumente F em 10%.

3. A Lei de Boyle afirma que, entre a pressão p e o volume v de um gás confinado, existe a relação pv = c, onde c é uma constante. Mostre que entre dp e dv existe a relação pdv + vdp= 0.

4. O raio equatorial da Terra é de aproximadamente 6378 km. Imagine um fio firmemente enrolado ao longo do equador terrestre. De quanto se deve aumentar o fio para que ele possa dar a volta à Terra, fixado no topo de postes de 10 metros de altura acima do solo?

20.6 Um pouco de história: Os mitos leibnizianos e o começo do cálculo infinitesimal

O conceito moderno de limite só apareceu no começo do século XIX, e assim nenhuma definição de derivada parecida com a equação

dy A y — — lim - — dx A x^o A x

era possível para Leibniz e seus sucessores. A maior parte do pensamento matemático produtivo desse período estava baseada numa outra forma da noção

de "infinitamente pequeno". Leibniz entendia a equação acima como o quociente de duas quantidades infinitesimais, denotadas por dy e dx e chamadas de diferenciais. Na imaginação de Leibniz um infinitésimo era uma espécie particular de número que não era nulo e ainda assim era menor do que qualquer outro número. Uma versão geométrica dessas idéias era aquela em que uma curva era pensada como um conjunto infinito de segmentos de reta infinitamente pequenos. A reta tangente a uma curva era, portanto, uma reta que continha um desses minúsculos segmentos. Talvez Leibniz tenha introduzido as diferenciais dx e dy para denotar correspondentes variações infinitesimais nas variáveis x e y. Para se ter uma idéia de como essas diferenciais eram usadas, suponha que essas variáveis estejam ligadas pela equação y = x2. Leibniz substituiria x e y por x + dx e y + dy para obter

y + dy = (x + dx)2 = x2 + 2 xdx + dx2.

Como y — x2, obteria dy — 2 xdx + dx2.


Neste estágio Leibniz descartava o termo dx2, e justificava este passo argumentando que o quadrado de um número infinitamente pequeno é "infinitamente infinitamente pequeno" ou um "infinitésimo de ordem superior", e portanto inteiramente desprezível. Assim, chegava à fórmula que conhecemos hoje

dy = 2 xdx,

que, após divisão por dx, toma a forma fracionária

dx

Para Leibniz, a derivada era um quociente genuíno, um quociente de infinitésimos, e sua forma de cálculo veio a ser largamente conhecida como "cálculo infinitesimal".

As idéias de Leibniz funcionaram efetivamente, quase como por milagre, e dominaram o desenvolvimento do Cálculo e das Ciências Físicas por quase 150 anos. No entanto, essas idéias eram falhas, já que os infinitésimos, no sentido descrito acima, claramente não existem, pois não existe um número positivo que seja menor que todos os outros números positivos. Por todo esse período de tempo, o enorme sucesso do Cálculo como instrumento de resolução de problemas era óbvio para todos, embora ninguém fosse capaz de dar uma explicação logicamente aceitável do que era o Cálculo. Essa explicação só foi dada no começo do século XX, pela teoria clássica dos limites. Embora os argumentos usados por matemáticos como Leibniz, os Bernoulli, Euler, Lagrange e outros não fossem rigorosos do ponto de vista moderno, esses pioneiros tiveram profundos sentimentos intuitivos sobre o que era razoável e correto nos problemas que estudavam e raramente se perdiam nas suas conclusões. As diferenciais de Leibniz foram eliminadas do Cálculo pela teoria dos limites; contudo, permanecem como uma parte da história do desenvolvimento da matemática.

20.7 Projetos

20.7.1 O método de Euler e o pára-quedista Como sabemos, a derivada de uma função / num ponto xo determina a declividade da reta tangente à curva y — / ( x ) no ponto (xo, yo)• Nesta seção usamos a reta tangente para estimar valores de / em pontos próximos ao ponto de tangência: para pontos próximos de xo, a diferencial dy é uma boa aproximação para o valor exato A y e para estimar f(a + Ax) por / (a ) + / ' (a) Ax . Esta técnica é especialmente útil quando os valores de / são difíceis de calcular. A linearidade local das funções diferenciáveis tem outra importante aplicação na resolução dos problemas de valor inicial. Resolver um problema de valor inicial é encontrar a função / ou "reconstruir" o seu gráfico conhecendo-se a sua derivada / ' (x ) e um ponto, o valor inicial, do seu gráfico.

O objetivo deste projeto é usar a reta tangente e a linearidade local das funções diferenciáveis para resolver problemas deste tipo.

Vamos primeiro esclarecer o que entendemos por reconstruir / . Em vez de procurarmos uma expressão analítica (fórmula) para / , construiremos uma tabela, que fará corresponder a cada valor de x escolhido o respectivo valor de f(x). Estas tabelas podem conter quantos pontos quisermos. A escolha do número de pontos dependerá da precisão exigida para o resultado, do equipamento e tempo disponíveis e da natureza matemática do problema.

Assim, antes de começar nossos cálculos, devemos decidir qual será o tamanho da tabela a ser construída. Usu-almente consideramos os valores de x, que vão constituir o total de entradas da tabela, igualmente espaçados. Neste caso, o domínio da função (intervalo onde o problema será resolvido) e o número de entradas escolhido determinam o valor de A x (distância entre dois valores consecutivos de x na tabela). A tabela é construída da maneira descrita a seguir.

A partir do ponto inicial (xo, yo) e conhecendo-se o valor f'(xo), é possível usar a reta tangente para calcular um valor aproximado de y\ = / ( x i ) , onde x\ = xo + A x é o próximo valor de x para o qual se quer calcular o valor da função, isto é, a próxima entrada da tabela. Como a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (xo, yo) é dada por

/ ( x ) - f(xo) = f'(xo) (x - Xo), um valor aproximado para yi = f (x i ) será dado por

Vi = f'(xo) (zi - xo) + / ( x 0 ) = / ' ( x 0 ) Ax + y0-

Tendo-se calculado o valor de / ( x i ) = y\, o par (xi, / ( x i ) ) será o próximo valor da tabela. Repete-se, então, o mesmo processo tomando-se agora o ponto (xi, / ( x i ) ) como o valor inicial. A partir deste ponto e conhecendo-se o valor de


f'(xi) é possível usar a reta tangente, como anteriormente, para calcular um novo par ( , f{x2)), ou seja,

f(x2)=y2 = f'(xi)Ax + f(x1)

que será acrescentado à nossa tabela. Usamos este novo par (x2, f(x2)) como o novo valor inicial e repetimos todo o processo até preenchermos toda a tabela.

Este método de gerar novos valores de / numa tabela seguindo a direção da reta tangente é conhecido como o método de Euler. A figura a seguir ilustra a construção dos primeiros três pontos de uma tabela gerada pelo método de Euler.

No gráfico a seguir, traçamos a função y = x + S6n^ X solução do problema de valor inicial

f'(x) = l + cos(2x)

/(O) = 0 e a solução aproximada obtida pelo método de Euler com o tamanho da tabela determinado pelas seguintes condições:

(i) Intervalo onde vai ser determinada a solução do problema: de x = 0 até x = 3.

(ii) Número de entradas na tabela: 51 (50 valores calculados + o ponto inicial).

(iii) Tamanho do passo: Ax = ^ ^ = 0,06.

Vamos resolver o problema de valor inicial f'(x) = x2 — f(x)2, /(O) = 1 no intervalo [0,5; 1], passo a passo. Para isso, arbitramos o valor do passo: A i = 0,1. A tabela a ser construída terá, portanto, 6 entradas: 1 valor inicial + 5 valores a serem estimados.

Temos então que: > Df:=x->x~2-(f(x))"2;

Df~x^x2- f(x)2

> x[0]:=0.5;

xq := .5 > f ( x [ 0 l ) : = 1 . 0 ;

/( .5) := 1.0 > dx:=0.1;

dx := .1


Vamos agora calcular as próximas entradas da tabela: > x[l] :=x[0]+dx;

X\ := .6 > f (x [1] ) : =f (x [0] ) +Df (x [0] ) *dx;

/ ( .6) := .925 > x[2] :=x[l]+dx;

x2 := -7 > f(x[2]):=f(x[l])+Df(x[l])*dx;

/( .7) := .8754375 > x [3] : =x [2] +dx;

: = .8

> f (x[3]) :=f (x[2])+Df (x[2])*dx;

/( .8) := .8477984184 > x [4] : =x [3] +dx;

X4 := .9 > f (x [4] ) : =f (x [3] ) +Df (x [3] ) *dx;

/( .9) := .8399222026 > x[5] :=x[4]+dx;

x5 := 1.0

> f(x[5]):=f(x[4])+Df(x[4])*dx;

/(1.0) := .8503752720 A nossa tabela está pronta. Basta imprimir os seus valores desta forma:

> tabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..5)];

tabela := [[.5, 1.0], [.6, .925], [.7, .8754375], [.8, .8477984184], [.9, .8399222026], [1.0, .8503752720]]

ou desta outra: > arrayCl..6,1..2,tabela);

.5 1.0

.6 .925

.7 .8754375

.8 .8477984184

.9 .8399222026 1.0 .8503752720

Podemos inclusive traçar o "gráfico" da solução aproximada assim obtida ligando por segmentos de reta os pontos calculados:

> plot(tabela);


Para "suavizar" esta curva basta aumentarmos o número de pontos usados na construção da tabela. Evidentemente, da maneira como calculamos os pontos da tabela, um aumento no número de pontos ou no tamanho do intervalo considerado acarretará um aumento considerável de trabalho (pelo menos de digitação de comandos!). Por isso é recomendável que automatizemos o procedimento, usando a estrutura f o r . . from . . to . . do . .od : Por exemplo, para estender a solução do problema ao intervalo [0,5; 2,5], o que, com o passo fixado em 0,1, gerará uma tabela com 21 entradas, basta calcularmos os valores (xí, f ( x i ) ) da seguinte maneira:

> f o r i from 0 to 19 do > x [ i + l ] :=x[i]+dx; > f ( x [ i + l ] ) : = f ( x [ i ] ) + d x * D f ( x [ i ] ) ; > od: > Novatabela: = [ seq ( [x [ i ] , f ( x [ i ] ) ] , i=0 . .20 ) ] > array( l . .21 ,1 . .2 ,Novatabela) ;

.5 1.0

.6 .925

.7 .8754375

.8 .8477984184

.9 .8399222026 1.0 .8503752720 1.1 .8780614617 1.2 .9219622687 1.3 .9809608262 1.4 1.053732412

_ 1.5 1.138697212 > plot(Novatabela);

1.6 1.234034078 1.7 1.337750067 1.8 1.447792543 1.9 1.562182218 2.0 1.679140890 2.1 1.797189477 2.2 1.915200475 2.3 2.032401189 2.4 2.148335730 2.5 2.262801089

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Ao dar entrada nos valores iniciais não esqueça de escrevê-los na forma decimal (ponto flutuante). O Maple calcula de formas diferentes / (1) e /(1.0).

Use o Método de Euler para resolver os problemas abaixo:

1. Uma cultura de Paramecium caudatum, cresce de acordo com a lei P'(t) = (1,2875 — 0,0061P)P, onde P{t) é o número de bactérias presentes na colônia em cada instante de tempo t(horas). Sabendo que inicialmente a colônia era composta de 8 bactérias, construa uma tabela com valores estimados de t e P no intervalo [0,8] e faça um gráfico correspondente aos pontos calculados.

2. Um pára-quedista pula de um avião voando a 500 m de altitude e cai livremente durante 5 s (durante este tempo supõe-se desprezível a resistência do ar. Quando seu pára-quedas abre, a resistência do ar é proporcional à velocidade da queda. A partir deste momento, a velocidade da queda é governada pela lei v'(t) = g — 2, li>(í), onde g é a aceleração da gravidade. Estime a velocidade de queda do pára-quedista quando ele atinge o solo.

20.7.2 Aproximando funções por polinómios - O polinómio de Taylor No Exercício 1 deste capítulo, vimos que a função y = x é uma aproximação linear para a função y = sen(:r) e que esta é uma boa aproximação para valores de x próximos de zero. Este fato pode ser visualizado traçando-se na mesma janela os gráficos destas duas funções:

> plot([sin(x),x],x=-2*Pi..2*Pi,y=-l..1,color=[red.blue]);

11 /A / \ 0.8- / \

/ \ 0.6- / \ / \ & / \ / \ 1 \ 02 / \ / \

—6 —4 \ —2 u 2 jí 4 & \ - 0 . 2 / /

\ " ° - 7 \ / \ /

\ -4«• v/L, \J

Na realidade, podemos provar que sen(x) < x para x > 0. Para isso observe que a função f(x) = x — sen(x) se anula para x — 0 e é não decrescente para x > 0, pois a sua derivada f'(x) = 1 — cos(x) é sempre maior ou igual a zero.

1. Usando um raciocínio análogo, mostre que, para x > 0 valem as seguintes desigualdades: (a) sen(x) + ^ - x > 0 (b) -sen(x) +

Veja estas desigualdades ilustradas no gráfico:

2. Combine as partes (a) e (b) do item anterior para mostrar que, para x > 0,

X3 ^»3 RP 5 / v JÜ JU x - - < s e n ( x ) < x - y + — .

3. Use a estimativa obtida para mostrar que sen(l) = com um erro máximo de

4. Observando os gráficos traçados, tente determinar para que valores de x o polinómio x — fornece uma "boa" aproximação para sen(x). Idem para o polinómio x — + ^Q.

Estimativas deste tipo, envolvendo polinómios, permitem que se calcule valores aproximados para funções tri-gonométricas ou exponenciais utilizando-se apenas as quatro operações básicas - adição, subtração, multiplicação e divisão. Como, na verdade, estas são as únicas operações que sabemos efetuar, qualquer cálculo algébrico deve, em última análise, se reduzir a estas operações. Por isso, estimativas obtidas via polinómios são freqüentemente utiliza-das em calculadoras, computadores e rotinas computacionais para obter valores aproximados de várias funções. Por exemplo, quando apertamos a tecla sen na calculadora ou quando utilizamos o comando sin(x) do Maple para calcular o valor da função seno no ponto x = 1, o cálculo é feito utilizando aproximações por polinómios. Note também que aproximações são necessárias, pois números da forma 7r OU VTÜ não nos dizem nada, a menos que saibamos calcular uma estimativa para eles. Por exemplo, não é claro, a priori, que ir < \/lÕ, mas esta desigualdade se torna óbvia calculando-se aproximações decimais para estes números, como é feito a seguir com a ajuda do Maple.

> evalf(Pi);

3.141592654 > sqrt(lO-);

3.162277660 O objetivo deste projeto é construir polinómios que forneçam aproximações para uma dada função. Além disso, o

método empregado permitirá obter estas aproximações com uma precisão prefixada. Como foi visto neste capítulo, a reta tangente à curva y = f(x), cuja equação é dada por T(x) = f'(xo) (x —

x0) + F{Xo), se aproxima da curva na vizinhança do ponto de tangência (XQ, F(Xo)). Além disso, da equação da reta

tangente, podemos concluir imediatamente que T(x0) = / (xo) e que T"(x0) = f'(xo), isto é, a reta tangente coincide com a função no ponto de tangência e a inclinação (derivada) desta reta coincide com a inclinação (derivada) da curva naquele ponto. Assim, existe um polinómio de grau um, a saber T\(x) = Co — C\{x — XQ), tal que T\{xo) = Co = / (xo) e T[{xo) = C\= f'(xo), que aproxima a curva para valores de x, próximos ao ponto de tangência. Veja esta afirmação ilustrada no gráfico:

Será possível construir polinómios de grau maior do que um que, de alguma maneira, generalize as propriedades da reta tangente e, portanto, forneça aproximações melhores para a função y = í(x)? O exemplo estudado no início deste projeto indica que a resposta a esta pergunta é afirmativa. Considere, portanto, um polinómio de grau n,

Tn{x) = Co + Ci (x - xo) + C2 (x - x0)2 + ... + Cn{x- x0)n

A questão que se coloca é como escolher os coeficientes desse polinómio de forma a garantir que Tn(x) esteja próximo de / (x ) . Sabemos responder a esta pergunta quando n = 1. Neste caso, o polinómio T\ (x) deve coincidir com a reta tangente à curva y = / ( x ) e, então, Co = f(xo) e C% = f'(xo). Como queremos estender as propriedades da reta tangente a polinómios de grau maior que um, é razoável supor que, para aproximar a curva na vizinhança de um ponto xo, o polinómio que buscamos deve coincidir com a função y = / ( x ) no ponto xo, e todas as suas derivadas, até a ordem n, calculadas no ponto x = xo, devem coincidir com as derivadas de / , até a ordem n, respectivamente, neste ponto.

1. Determine as constantes Co, C\, C2 de tal modo que o polinómio de grau dois

T 2 ( X ) = Co + Ci (x - x0) + C2 (x - x0)2 ,

verifique as seguintes propriedades: (a) r 2 (x 0 ) = / (xo) (b) T2'(xO) = / ' (xo) (c) T2"(x0) = / " (x 0 ) .

2. Aplique o resultado obtido para calcular o polinómio de grau dois associado à função cosseno e use o Maple para traçar na mesma janela os gráficos de cos(x) e de T2(x), no caso em que Xo = 0.

3. Para que valores de x você acha que este polinómio fornece "boas" aproximações da função cosseno?

4. Seguindo o raciocínio anterior construa Tn(x) impondo que dd^kn (x0) = ^ í ( x 0 ) , para k = 0,1, 2 , . . . n. Os polinómios desta forma são chamados de polinómios de Taylor de grau n para / em torno de xo.

5. Determine os polinómios de Taylor de grau 3, 4 e 5, em torno do zero, para as funções y = sen(x) e y = cos(x).

6. Use o Maple para traçar, em cada caso, os gráficos das funções dadas e de seus polinómios de Taylor na mesma janela. O que você pode observar?

7. Se / ( x ) = ao + ai x + a2 + x2 + . . . + an xn, qual o seu polinómio de Taylor em torno de xo = 0? E em torno de x0 = 1?

A questão agora é saber quão bons são estes polinómios para aproximar funções. Para responder a esta pergunta é necessário calcular o erro que cometemos ao aproximarmos o valor de uma função usando o seu polinómio de Taylor, isto é, precisamos calcular ou pelo menos estimar o valor de Rn(x) = / (x ) — Tn(x). No caso mais simples (n = 0), é fácil estimar este valor. O polinómio de Taylor de grau zero, To(x) é dado por TQ(X) = /(xo). Assim, temos que Ro{x) = / ( x ) — / (xo) e daí, aplicando-se o teorema do valor médio à função / (x ) , obtemos Ro{x) = (x — xo) f'(c) para c entre x e Xo-

Mesmo não conhecendo o valor de c, sabemos que | i?o | < | x — xo | M, onde M é tal que \ f'(x)\ < M no intervalo (x, XQ). Repare que, se / fosse constante, sua derivada seria zero e a aproximação, perfeita. A derivada da função / mede,

de uma certa maneira, quanto / se afasta da horizontal, por isso é razoável esperar que a exatidão da aproximação seja controlada pelo máximo de / ' no intervalo considerado. Neste caso,

/ ( x ) = Tn(x) + Rn{x) = f{xo) + f'(c)(x - xo)

para algum c entre x e x0. Consideremos agora o caso em que n = 1. Temos que T\{x) = / (xo) + f'(xo) (x — xo) e, portanto,

-Ri(x) = f(x) - f(xo) - f'(xo) (x - x0).

Esta última expressão para R\ (x) permite concluir que Ri(xo) = 0, R[ (x) = / ' ( x ) — f'(x o). Daí, temos que R'{(x) = f"{x). Pelo teorema do valor médio, aplicado à função / " no intervalo (x,xo), sabemos que existe c entre x e xo tal que f"(c) = f'(x)xZfx'0(xo) • Assim R[(x) = f"{c) ( x - x 0 ) . Daí, podemos concluir que Rx(x) = f"{c) {x~*o)2 + C. Como, Bi(xo) = 0, temos que C = 0, e finalmente obtemos Ri(x) = /"( (X-XQ)

2 Como no caso anterior,

/ ( x ) = / (xo) + / ' (xo) (x - x0) + / " ( c ) ( X ~ 2 X o ) 2

para algum c entre x e Xo-Repare, também, que o erro cometido ao aproximarmos os valores da função / pela sua reta tangente depende

do máximo de / " no intervalo considerado.(Explique!) Se / ' fosse constante, o gráfico de / seria uma linha reta e a aproximação pela reta tangente seria ótima. Quando / ' varia, / " mede o quanto / se desvia de sua reta tangente, portanto, é razoável esperar que a precisão da aproximação seja controlada pelo máximo de / " .

1. Generalize este resultado, isto é, mostre que / (x ) = Tn(x) + Rn(x) onde

para algum c entre x e Xq- Rn{x) é chamado resto de Lagrange do polinómio de Taylor de grau n. Determine, também, condições sobre / que garantam a validade dos cálculos feitos.

2. Use o resultado acima para provar que, para / ( x ) = sen(x), o polinómio de Taylor de grau 5 difere do valor exato de sen(x) por no máximo 0,00002, para todo x no intervalo [—0.5, 0.5].

3. Como você justificaria a fórmula rs 1 + x + x2 . . . xn paxa | x | < 1?

4. O comando do Maple tay lor í f (x) ,x,n+l) calcula o polinómio de Taylor de grau n da função / : > t a y l o r ( s i n ( x ) , x , 6 ) ;

O termo "0( x6)" representa o resto. Use o comando convert para remover este termo e converter o resultado anterior em um polinómio.

> convert(%,polynom); 1 , 1 ,

Para visualizar a convergência do método de aproximação, descrito neste projeto, trace um gráfico na janela [—8,8] x [—3,3] que mostre, em conjunto, as funções sen(x), T3(x), T5(x) e Tn(x).

5. Observando o gráfico traçado no item anterior, indique um intervalo no qual o gráfico de T5(x) pareça coincidir com o gráfico de sen(x) e um intervalo onde o gráfico de Tn{x) pareça coincidir com o gráfico de sen(x). Use a fórmula do erro de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximarmos os valores de sen(x) por T$(x) e Tn(x), respectivamente, em cada um dos intervalos que você achou.

6. Como Tn(x) é um polinómio e — 1 < sen(x) < 1, Tn(x) pode ser uma boa aproximação para sen(x) para todos os valores de x?


7. Por que não se pode usar o polinómio de Taylor para aproximar a função f(x) = arcscn(sen(x)j no intervalo [ -71- , 7R]?

8. Ache o polinómio de Taylor que aproxima a função f(x) = sen(.-r) -f sen^4 x no intervalo [—3,3] com erro máximo não superior a 0,5. Trace na mesma janela o gráfico desta função e do polinómio de Taylor que você calculou para visualizar a aproximação obtida.

20.7.3 Polinómios de Taylor - Aplicações à física Polinómios de Taylor (veja o projeto Aproximando funções por polinómios) são usados com freqüência em Física. Com o objetivo de compreender melhor o fenômeno descrito por uma dada função, os físicos em geral simplificam esta função considerando apenas os dois ou três primeiros termos de sua fórmula de Taylor. Em outras palavras, os físicos usam o polinómio de Taylor para aproximar a função que modela o fenômeno e, em alguns casos, podem ainda estimar a precisão desta aproximação. O objetivo deste projeto é estudar alguns modelos físicos que exemplificam como este tipo de aproximação ajuda a compreender o fenômeno estudado.

Radiação de um corpo escuro

Todo objeto emite radiação quando aquecido. Um corpo escuro é um sistema que absorve toda a radiação que incide sobre ele. A lei de Rayleigh-Jeans, do final do século XIX, expressa a densidade de energia de radiação de um corpo escuro, de comprimento de onda A, por /(A) = S n X iT , onde A é medido em metros, T é a temperatura dada em graus Kelvin e k é a constante de Boltzmann. A lei de Rayleigh-Jeans concorda com medidas experimentais para comprimentos de onda longos, mas discorda drasticamente para comprimentos de onda curtos. Neste caso, a lei prevê que /(A) —> oo quando A —> 0+ . No entanto, experimentalmente, verifica-se que /(A) —> 0. Este fato é conhecido como catástrofe ultravioleta. Em 1900, Max Planck formulou um modelo mais fiel para a radiação de um corpo escuro,

conhecido hoje como lei de Planck. Por esta lei temos que /(A) = ^ , onde h é a constante de Planck e c A5 — 1

é a velocidade da luz.

1. Trace, na mesma janela, os gráficos das funções / dadas pelas duas leis e comente as semelhanças e diferenças. Para isso, use T = 5700 K (temperatura do sol), h = 6.6262 x 10"34 J, c = 2.99792 x IO8 m/s e k = 1.3807x 10~23

J/K

2. Usando o polinómio de Taylor, mostre que para comprimentos de onda longos, a lei de Planck fornece, aproxi-madamente, os mesmos valores obtidos pela lei de Rayleigh-Jeans.

Resistividade

A resistividade r de um fio condutor é o recíproco da sua condutividade e é medida em ohm por metros (Í2.m). A resistividade de um determinado metal depende de sua temperatura de acordo com a lei r{t) = r2ç e^a ( í - 2 0)) , onde t é a temperatura em graus Celsius e r2o é a resistividade do material a 20° C. Existem tabelas que listam os valores de a, denominado coeficiente de temperatura, e de r2ç, para diversos metais. Exceto em temperaturas muito baixas, a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, sendo comum aproximar-se a expressão para r(t) por polinómios de grau um ou dois em torno de r = 20.

1. Encontre expressões para estas aproximações linear e quadrática.

2. Para o cobre, as tabelas fornecem a = .0039° C e r20 = 1 . 7 O i n . Faça os gráficos da resistividade do cobre e de suas aproximações linear e quadrática para temperaturas entre —250 e 1000 graus Celsius.

3. Para que valores de t a aproximação linear concorda com a expressão exponencial com erro inferior a 1%?

Velocidade de propagação de ondas Se uma onda, de comprimento L, se propaga na água com velocidade v ao longo de uma região com profundidade d. então v2 = ^ tgh(2-^), onde tgh(x) = e g é a aceleração da gravidade.

1. Se a região é profunda, mostre que ^ ~


2. Se a região é rasa, use o polinómio de Taylor em torno do zero para aproximar a função tgh(x) e mostre que v ss yfgd, ou seja, em águas rasas a velocidade de propagação da onda tende a ser independente do seu comprimento.

3. Mostre que, se L > 10d, então yfgd aproxima a velocidade de propagação da onda com erro de 0, 014gL.

20.7.4 Polinómios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno

A expansão da função f(x) = sen(x) pela fórmula de Taylor permite calcular o valor do seno de um número real qualquer utilizando-se apenas as quatro operações básicas. No entanto, a fórmula de Taylor em torno de XQ, só é uma boa aproximação para a função / numa vizinhança desse ponto. Por outro lado, sabemos que esta aproximação será cada vez melhor à medida que considerarmos mais e mais termos na expansão.

1. Comprove, numericamente, a afirmação acima construindo os polinómios de Taylor de graus 1, 3, 5, 7 e 9 da função seno em torno de xo = 0.

2. Calcule sen(y^) usando o Maple e usando as aproximações polinomiais que você construiu. O que você pode observar?

3. Faça o mesmo para calcular sen(^L ) . O que aconteceu?

Embora exista a alternativa de trocarmos o ponto Xo em torno do qual a fórmula esteja sendo calculada, no caso do seno, em termos computacionais, é mais conveniente fazer a expansão em torno de xo = 0 e explorar a periodicidade desta função.

Siga o roteiro dado a seguir para reproduzir a seqüência de procedimentos efetuados quando o comando sin (.) do Maple é utilizado.

Suponha que queremos calcular sen(x):

1. Ache x* em [0, 2n], tal que sen(x) = sen(x*), caso isto não se verifique inicialmente.

2. Determine y* em [0, -|], tal que | sen(x*) | = sen(y*). Crie um marcador m para guardar a informação do sinal de sen(x*) do seguinte modo: m = 1 se x € [0, 7r] e m = — 1 se x 6 [ir, 2 7r].

3. Se y € [0, considere a fórmula de Taylor para a função seno em torno de XQ = 0. Se y* £ ( j , considere a fórmula de Taylor para a função cosseno em torno de xo = 0 e utilize a identidade cos(.z) = sen(y*) se z = §-«/* (Repare que, neste caso, z € [0, Qual a vantagem de trabalhar com valores entre 0 e j ?

4. Use a fórmula do resto de Lagrange para determinar o grau do polinómio necessário para calcular sen(x) com erro menor do que 10~8, isto é, com oito dígitos corretos.

5. Observe que as fórmulas de Taylor para as funções seno e cosseno envolvem termos da forma Use a relação nT = (n-21! (n-i) n P a r a calcular os termos dos polinómios de maneira eficiente. Por exemplo:

0,83 0,85 0,87 senO,8« — + — - —

e podemos aproveitar cada termo para calcular o termo seguinte. Assim, = 0,8(2^-); = M_ ^ ^ y , e assim por diante.

6. Organize as idéias acima na forma de uma seqüência de procedimentos encadeados também chamada de algoritmo para o cálculo eficiente de sen(x), onde x é um número real qualquer, com precisão de p dígitos corretos.

7. Faça alguns testes com diferentes valores de x, comparando os valores obtidos pelo seu algoritmo com aqueles fornecidos usando-se a função s i n ( . ) do Maple.


20.7.5 Tangentes, órbitas e caos Escolha um número xo qualquer e calcule o seu cosseno. Calcule o cosseno do resultado obtido. Repita esse proce-dimento um grande número de vezes. Para isso utilize, em seqüência, os comandos abaixo, repetindo o último um grande número de vezes:

> xo:=2.;

> cos(xo);

> cos ('/.);

O procedimento descrito acima é ilustrado na animação (veja versão eletrônica) e no gráfico:

1. O que você pode concluir? Que equação você resolveu?

2. Teste o método descrito no item anterior para calcular as raízes reais de x2 = x, tomando como valor inicial xo = \ e x0 = 2.

Observe as animações (versão eletrônica) e os gráficos a seguir para ajudá-lo a tirar conclusões.

Definição Dizemos que um número p é um ponto fixo da função y = f(x), quando f(p) = p.

1. Qual o ponto fixo da função y = cos(x).

2. Que equação você resolveu para achar este valor? Como é possível encontrar graficamente este valor?

3. Sabemos que zero é um ponto fixo da função sen(x). Use o método descrito acima para tentar resolver a equação sen(x) = x tomando como valor inicial xo = 0,5.

4. Qual o ponto fixo da função / ( x ) = e c o s ^ ?

5. Escolha vários valores iniciais xo e estude o comportamento da seqüência de valores /(xo), / ( / (xo ) ) , / ( / ( / ( x o ) ) ) v onde / ( x ) = ecos(x).

6. O método descrito acima funciona para calcular pontos fixos de qualquer função?

Entender o comportamento e predizer o que acontece com repetidas iterações de uma função é o objetivo deste projeto.

Seja / uma função contínua e Xo um número real qualquer, tomado como valor inicial. A órbita de Xo é uma seqüência sn definida, a partir da função / , da seguinte maneira:

s0 = x0, si = /(xo), s2 = f(xi) = / ( / ( x 0 ) ) = / 2 (x0) S3 = (X2) = / ( / ( / M ) ) = f3 Oro), . . . , * „ = f(xn-1) = /" (xo).

1. Prove que se lim sn = l, então l é um ponto fixo de / . n—>00

O nosso objetivo agora é determinar condições sobre / que garantam a convergência da seqüência sn. Deste modo poderemos saber que equações podem ou não ser resolvidas usando-se o método do ponto fixo, descrito acima.

1. O gráfico abaixo mostra que a equação e~x = x tem uma única raiz. Use a técnica de zooms sucessivos para encontrar um valor aproximado para esta raiz. Observe que, usando esta técnica (zooms sucessivos), é possível observar como a função f(x) = e~x se comporta localmente.

2. Use zooms sucessivos para determinar o comportamento local das funções dos exemplos dados neste projeto.

3. Que tipo de funções se comportam localmente como uma reta?

4. Levando em conta o comportamento local dessas funções, uma boa pista para determinar as condições de con-vergência da seqüência sn deve ser obtida a partir do estudo do que acontece com esta seqüência quando f(x) = mx + b. (Por quê?) Assim, vamos tentar começar a tirar conclusões estudando os pontos fixos e a convergência das órbitas para funções deste tipo. Quais os pontos fixos da função f(x) = mx + 6?

5. Use as animações acima para conjecturar em que casos a seqüência sn converge para o ponto fixo de / . Estude os casos em que m > 1, m < 1 e m / 0, m = 1, m = - 1 . O que você pode concluir? O que acontece quando TO = 0?

6. Suponha que p seja o ponto fixo da função / ( x ) = mx + b, isto é, f(p) = mp + b = p. Se sn é a enésima iteração na órbita do valor inicial Xo, prove que sn — p = mn (xo — p) • Sugestão: Use indução sobre n (veja projeto O maple e o princípio da indução matemática).

7. Use o resultado do item anterior para provar a conjectura feita para a convergência da seqüência sn, quando f(x) = mx + b.

8. Generalize suas conclusões para o caso de funções localmente lineares e aplique essas conclusões para explicar o que acontece quando aplicamos este método à função y = ecos^.

X+BL f 9. Explique por que é possível usar a função f(x) = 2X para calcular uma aproximação numérica para a raiz

quadrada de um número positivo R.

10. Use a função anterior para calcular uma aproximação numérica para \/2 com seis casas decimais exatas.

11. Que critério você usou para garantir a precisão do resultado?

12. Mostre que o ponto fixo da função f(x) = ^ ^ ® a r a i z fc-ésima do número positivo a. Explore o que acontece com as órbitas desta função para valores de k = 3,4, 5 e 6.

13. Tente explicar por que o método do ponto fixo aplicado à função / = sen(x) converge muito lentamente e por que este mesmo método, quando aplicado à função / = , converge muito rapidamente para v R.

(k - 1) (k + ^èrr) 14. Explore os pontos fixos da função f(x) — — . Por que as iterações dessa função funcionam tão

k bem para estimar o valor da fc-ésima raiz do número positivo R?

2 15. Quais são os pontos fixos da função f(x) — \— 1? Tente obter aproximações para estes pontos fixos como

limite das órbitas tomando diferentes valores para x0- O que você pode observar? Mude a expressão da função de iteração para tentar achar todos os pontos fixos de f(x) = ^— 1.


16. Descubra que funções devem ser iteradas para obtermos, por esse método, as raízes da equação x2 = 2X.

17. Encontre aproximações para as três raízes reais da equação x'lü = 2®.

18. Considere a função f(x) = 2 x2 — 1. As soluções da equação f(x) = x são x = 1 e x = —0, 5. Como /(O, 5) = —0, 5, a órbita cujo valor inicial é XQ = 0,5 conduz diretamente (após a primeira iteração) ao ponto fixo x = —0, 5. Con-sidere valores bem próximo de XQ = 0,5, por exemplo XQ = 0,51, e examine o que acontece com a órbita de / para este valor inicial. Examine também o comportamento das órbitas desta função para valores iniciais muito próximos do outro ponto fixo de / .

O comportamento das órbitas desta função nos fornece um exemplo do que, em matemática, é chamado um comportamento caótico. A sensibilidade dos sistemas caóticos aos dados iniciais foi descrita por James Gleick no seu livro Chãos: Making a New Science (1987) como o "efeito borboleta", que serve para ilustrar a idéia do quão sensível é o tempo do nosso planeta às condições iniciais que "o simples bater de asas de uma borboleta, hoje, em Pequim, pode se transformar numa tempestade nos próximos meses em Nova York". E muito difícil para nós sequer imaginarmos um sistema que tenha um comportamento tão frágil e tão sensível aos dados iniciais. Felizmente, ou infelizmente, estamos nos conscientizando cada vez mais de que o comportamento caótico é uma descrição melhor do nosso mundo do que os sistemas bem comportados aos quais estamos acostumados.

19. Considere a função f(x) = ax2 — 1. Você é capaz de determinar quais valores de a determinam funções que geram seqüências convergentes, quais geram ciclos e quais geram seqüências caóticas?

20. Mostramos que o ponto fixo da função f(x) = é a raiz fc-ésima do número positivo a. Apesar disto, vimos que para k > 3 não é possível usar esta função para obter aproximações para esta raiz. Estude o comportamento das órbitas desta função para k = 4 e k = 6.

20.7.6 Crescimento de populações - Gerenciando um pesque e pague A proposta de utilizar a matemática para descrever o crescimento de uma população começou com o economista inglês T. R. Malthus (1798). Malthus, em seu modelo, considerava que o crescimento de uma população era proporcional à população presente em cada instante-, desta forma, a população humana cresceria sem limite (por quê?).

Este modelo propunha um crescimento de vida ótimo, sem fome, sem guerra, epidemias ou qualquer outra catástrofe, onde todos os indivíduos seriam idênticos, com o mesmo comportamento. O objetivo principal de Malthus ao formular este modelo foi o de chocar a opinião pública da época, uma vez que estabelecia um crescimento em progressão geométrica para a população, enquanto que a alimentação crescia em progressão aritmética.

Os modelos matemáticos para descrever o crescimento de uma população passaram por várias modificações após Malthus. Um dos modelos mais importantes e conhecidos é o do sociólogo belga P. F. Verhulst (1838), que supõe que qualquer população é predisposta a sofrer inibições naturais em seu crescimento, devendo tender a um valor-limite constante com o transcorrer do tempo.

Este modelo é mais significativo e realista do ponto de vista biológico. Sabemos que nenhuma população cresce indefinidamente. Existem limitações estabelecidas pela disponibilidade de alimentos, por falta de espaço, por condições físicas intoleráveis ou por uma série de fatores que agem como mecanismos de controle. Todos estes elementos inibidores fazem com que uma população tenda a um máximo sustentável (ponto de equilíbrio) quando o tempo aumenta.

O objetivo deste projeto é aplicar o método do ponto fixo, introduzido no projeto Tangentes, Orbitas e Caos, para determinar pontos de equilíbrio para populações cujo crescimento é regido pelo modelo de Verhulst, também conhecido como lei logística para o crescimento populacional.

O modelo de Verhulst propõe que a taxa de crescimento relativo da população em cada instante seja uma função da população, decrescendo linearmente quando a população aumenta. Seja P(t) o número de indivíduos presentes na população em cada instante de tempo t. A hipótese acima pode ser expressa, matematicamente, pela equação

ou, equivalentemente,

com a e ß, positivos.

í dt 1 = a - ß P ,

f = (a-ßP)P,

Considerando a população inicial, P(0) = Po, conhecida, o objetivo é prever o que acontece com P(t) quando t cresce. A função f(P) — é uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo, que é zero quando P = 0 e P = ^.Portanto, intuitivamente, é fácil prever que a partir de uma população inicial Po ^ 0 e Po < a população P cresce até estabilizar, quando a sua taxa de crescimento for zero, em algum valor próximo de P = que é a capacidade limite do meio ambiente.

Os parâmetros a e (3 devem refletir o fato de que, para populações pequenas, o crescimento é quase ilimitado, enquanto que a competição entre os membros de uma população grande forçará uma diminuição gradual da taxa de crescimento até que a capacidade limite do meio ambiente seja atingida e o crescimento da população se estabilize.

Vamos modificar um pouco o nosso modelo e considerar ^E. = / ( P ) = r P — Londe r é uma constante positiva, que reflete a taxa ótima (sem restrições ambientais) de crescimento para a população P, e L ê a capacidade limite de um determinado meio ambiente. A variável P, restrita ao intervalo [0,L], representa a fração da população limite atingida a cada período de tempo t. Assim, temos que Pi = Po + /(Po), P2 = Pi + f{Pi) e, de uma maneira geral, P n + i = Pn + /(Pn). Raciocinando como anteriormente, a população estará estabilizada quando a taxa de crescimento, / (P n ) , for igual a zero. Isto implica que Pn+1 = Pn. Mas, então, teremos que Pn = Pn + f(Pn) e calcular o limite atingido por uma determinada população se reduz a encontrar os pontos fixos da função G(P) = P + f(P).

Vamos, por exemplo, examinar o crescimento de uma população de coelhos com uma taxa de crescimento irrestrita de 80% ao ano, em uma reserva florestal com capacidade limite de 10.000. Para simplificar os cálculos, faremos 10.000 coelhos igual a 1 unidade. Como vimos, o problema de determinar o comportamento da população de coelhos ao longo do tempo se reduz a calcular os pontos fixos da equação G(P) = 1 ,8P — 0,8P2 , isto é, resolver a equação P = 1, 8 P — 0, 8P 2 . Este processo pode ser visualizado na animação (versão eletrônica) e no gráfico a seguir, onde cada passo representa a fração da capacidade limite atingida pela população em cada período de tempo fixado, neste exemplo, um ano.

Vemos claramente neste exemplo que não importa qual seja a população inicial de coelhos: com o passar do tempo esta população crescerá até atingir a capacidade limite do meio ambiente (aqui 1 = 10.000), estabilizando neste patamar. (Nos gráficos, este é o ponto de interseção da parábola G(P) — 1,8 P — 0,8 P 2 com a reta y = P.)

Suponhamos agora que queiramos liberar a caça de coelhos nesta reserva florestal. Precisamos estudar como a caça afetará o crescimento desta população, isto é, o que acontecerá a longo prazo com a população levando-se em conta vários níveis possíveis de caça.

1. Pense um pouco e explique por que, se permitirmos que K coelhos sejam caçados por ano, a função G(P), que permite determinar o comportamento da população com o passar do tempo será dada por G(P) = 1 ,8P — 0, 8P 2 — K. Observe o diagrama e repare o que acontece com o número limite de coelhos à medida que o valor de K aumenta.

2. O que acontecerá, a longo prazo, com a população de coelhos se for permitida a caça de 2.500 coelhos por ano?

3. Se você fosse definir a política a ser seguida, qual o número máximo de coelhos que permitiria fossem caçados por ano? Se esse nível for mantido ao longo do tempo, qual será a população limite de coelhos na reserva? Justifique a sua resposta.


4. Você pretende construir na sua fazenda serrana um lago com capacidade de sustento para 20.000 trutas e permitir a pesca no sistema pesque e pague. Para iniciar a sua criação você coloca no lago 5.000 trutas. Antes que se permita a pesca, é necessário que a população de trutas do lago esteja próxima à população limite. Supondo que, inicialmente, nenhuma pesca seja permitida, e que a população de trutas, em ambiente favorável (sem limitações), cresça a uma taxa de 70% a cada ano, desenvolva um sistema que modele o crescimento da população de trutas ao longo do tempo. Quanto tempo levará para que a população do lago atinja o limite de 20.000 trutas?

5. Um dos seus sócios está impaciente e não quer esperar até que a população de trutas atinja o limite ambiental e então sugere que se dê uma mãozinha à mãe natureza, colocando-se no lago, por algum tempo, uma população adicional de 5.000 trutas por ano. Se isto for feito, quanto tempo passará até que a população de trutas atinja o seu valor-limite? Se a pesca nunca for permitida e se este número adicional de trutas continuar a ser colocado no lago a cada ano, o que acontecerá, a longo prazo, com a população de trutas do lago? Faz sentido que este limite seja diferente da capacidade original do lago?

6. Após muitas discussões, vocês colocaram no lago 10.000 trutas e abriram o pesque e pague imediatamente. Vocês esperam que os visitantes pesquem 2.500 trutas por ano. Qual será o efeito deste nível de pesca na população do lago a longo prazo? Mantidas estas condições, poderá a população de trutas sobreviver a um desastre ecológico que mate 50% dos peixes existentes no lago?

7. As condições se mostram favoráveis por dois anos e o seu pesque e pague se torna um sucesso. Como resultado do aumento de visitantes, são pescadas agora 4.000 trutas por ano. Se a pesca for mantida a esta taxa e nenhuma reposição for feita, quanto tempo a população de trutas do lago poderá sobreviver?

8. Seu sócio percebe que as trutas correm o perigo de se extinguir e decide estabelecer um número máximo de trutas a serem pescadas por ano. Qual o número máximo de trutas que podem ser pescadas por ano a fim de garantir a sobrevivência da população do lago? Neste caso, qual será a população de equilíbrio para este sistema?

9. Se nenhuma catástrofe ambiental ocorrer nos próximos anos, para que possa ser permitida a pesca de 4.500 trutas por ano, quantas trutas vocês precisarão colocar no lago, por ano, para manter a estabilidade da população?

Capítulo 21

Introdução à Integral: Cálculo de Areas e Integrais Definidas

21.1 Introdução Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de idéias geométricas relativas a curvas. A derivada provém da construção das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos próximos capítulos, a integral, tem origem no cálculo de área de uma região curva.

Como vimos no início deste livro, o problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicações práticas, grande interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem conhecidas desde esta época, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer.

Nos meados do século XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos (veja o projeto Arquimedes e a Quadratura da Parábola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava relacionado com o Cálculo Diferencial. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do cálculo e é um dos resultados mais importantes de toda a matemática.

Como vimos, a derivada tem aplicações que transcendem a sua origem geométrica. Nos próximos capítulos, veremos que o mesmo acontece com a integral.

A fim de tornar clara a discussão sobre áreas, vamos introduzir na próxima seção uma notação matemática padrão usada para abreviar somas que envolvem um número muito grande de parcelas.

21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas As somas dos n primeiros termos de uma uma progressão geométrica (PG) de razão r, bem como de uma progressão aritmética (PA) de razão d, podem ser escritas, respectivamente, como:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar ( n _ 1 )

Tn = a + (a + d) + (a + 2 d) + . . . + (a + (n - 1) d).

Existe uma notação abreviada para escrever somas desse tipo que, além de tornar mais fácil escrevê-las, facilita enormemente várias manipulações algébricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a\ + a2 + a3 +.... + an. Podemos escrevê-la usando a notação abaixo:

n Sn = ^ ' ai

i= 1 (Lê-se: somatório de ai para i variando de 1 até n.) Essa notação significa que devemos substituir todos os valores inteiros de i, de 1 até n, na expressão envolvendo i, no caso a*, que segue o sinal de somatório (E) e então adicionar os resultados.

271

272 Cap. 21 Introdução à Integral: Cálculo de Areas e Integrais Definidas

Note que a fórmula depois do sinal de somatório fornece o i-ésimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro, para i = 2 o segundo, e assim por diante. Assim, as somas das progressões geométrica e aritmética podem ser reescritas como

n n—l

Sn=Y, arí*-1) e Tn = ^ (a + id) i=1 i = 0

Uma soma infinita de termos pode ser representada assim:

ai + 0-2 + a3 + • • • = »=i

Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razão r é assim representada:

oo

a + ar + ar2 + ar3 + . . . + ar(™_1) + . . . = ^ ar i = l

Exemplo 1 Considere a soma Rn = l 2 + 22 + 32 + . . . + n2. Usando a notação de somatório, podemos escrever n

Rn = Yl i=1

Exemplo 2 Considere a soma ^ ^ (i2 — 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos: i=2

5

^ (Í2 - 1) = 22 - 1 + 32 - 1 + 42 - 1 + 52 - 1 = 22 + 32 + 42 + 52 - 4 = 50. i=2

Exercícios

1. Converta cada uma das somas indicadas em notação de somatório: (a) l 2 + 22 + 32 + . . . + n2 + ( n + l ) 2 (c) k2 + (fc + l )2 + (fc + 2)2 + . . . + (n - l )2

(b) 32 + 4 2 + . . . + fc2 (d) 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . .

2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo : 5 n

( a ) ^ ( ò í + 2c i) i = 3 i=m

3. Com a expressão 0,99999 . . . queremos representar a soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + Escreva essa soma usando a notação de somatório.

4. E verdade que: n n n h h h3 U

(a) } kai = k (y ai)? (b) > (— )2 — = — > i2? Justifique sua resposta. ' n n nd

1=1 i= 1 i = 1 1=1

21.3 O cálculo de áreas como limites Em geral, a definição formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes dificuldades ao tentarmos formalizar uma definição para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A formalização do conceito de área apresenta dificuldades semelhantes.

Em geometria elementar, são deduzidas fórmulas para áreas de muitas figuras planas, mas se pararmos para pensar um pouco chegaremos à conclusão de que uma definição matematicamente aceitável de área raramente nos é fornecida.

A área de uma região é definida, às vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que "cabem" numa dada região. Desse modo, obtivemos fórmulas para áreas de figuras planas tais como quadrados, retângulos, triângulos, trapézios, etc. Basta, no entanto, que a região seja um pouco mais complicada para que esta definição


se mostre inadequada. Como poderíamos calcular, por exemplo, o número de quadrados de lado 1, ou ou que cabem em um círculo unitário?

Neste capítulo, tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região limitada pelo gráfico de uma função y — f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura para a função y = x2.

0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 2 . 2 2 . 4 2 . 6 2 . 8 3

O conhecimento de um método de resolução deste problema particular é suficiente para tratar regiões mais com-plicadas. O cálculo da área de uma região cuja fronteira seja uma curva pode, com freqüência, ser reduzido a este problema mais simples.

No Cap. 3 vimos que soluções aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0,1] em subintervalos e calculando-se a soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos à figura, como é mostrado a seguir.

À medida que aumentamos o número de subdivisões do intervalo e, conseqüentemente, o número de retângulos considerados, a soma das áreas desses retângulos se aproxima cada vez mais da área da região dada. Veja esta afirmação ilustrada na figura seguinte à esquerda, onde consideramos retângulos inscritos. Observe, também, a figura à direita, considerando retângulos circunscritos. (Execute na versão eletrônica as animações correspondentes.)

1 . 8 5 1 8 5 1 8 5 2 1 . 9 6 8 7 5 0 0 0 0 2 . 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 . 0 8 7 9 6 2 9 6 4

. Z ,

hffl 2 . 1 2 2 4 4 8 9 8 1 2 . 1 4 8 4 3 7 5 0 0 2 . 1 6 8 7 2 4 2 8 0 2 . 1 8 5 0 0 0 0 0 0

jm

uÉII m 2 . 1 9 8 3 4 7 1 0 7 2 . 2 0 9 4 9 0 7 4 1 2 . 2 1 8 9 3 4 9 1 1 2 . 2 2 7 0 4 0 8 1 6

rffí

2 . 8 5 1 8 5 1 8 5 2 2 . 7 1 8 7 5 0 0 0 0 2 . 6 4 0 0 0 0 0 0 0 2 . 5 8 7 9 6 2 9 6 4

tfflj ttfffl kffl 2 . 5 5 1 0 2 0 4 0 9 2 . 5 2 3 4 3 7 5 0 0 2 . 5 0 2 0 5 7 6 1 3 2 . 4 8 5 0 0 0 0 0 0

m Wj UÉ U 2 . 4 7 1 0 7 4 3 8 0 2 . 4 5 9 4 9 0 7 4 1 2 . 4 4 9 7 0 4 1 4 2 2 . 4 4 1 3 2 6 5 3 1

No primeiro caso, a estimativa obtida para a área da região é menor do que o seu valor exato; no segundo, maior. Assim, podemos afirmar que o valor exato da área está entre os dois valores obtidos usando-se as aproximações acima. Desta maneira, o erro cometido é menor do que a diferença entre estes dois valores.

Vamos provar que, à medida que aumenta o número n de retângulos considerados nestes cálculos, o erro diminui, e tanto a soma das áreas dos retângulos inscritos quanto a soma das áreas dos retângulos circunscritos se aproximam de um mesmo valor. Definiremos, então, a área da região dada como sendo igual ao valor deste limite único.

Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o método funciona e obter um valor aproximado para a área da região limitada pela função f(x) — x2, pelas retas i = l e x = 2 e pelo eixo x.

Primeiro dividimos o intervalo [1,2] em n partes. Assim, temos que

{1= Xo < Xl < X2 < ••• < Xi-1 < Xi < ... < xn = 2} . Em matemática, uma divisão deste tipo é chamada de partição do intervalo [1,2]. No nosso caso, vamos considerar uma partição ou divisão do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos da forma [x,_i,xj], para 1 < i < n, são iguais e a partição do intervalo é dita regular. Usaremos o símbolo Ax para denotar este comprimento, isto é,

2 — 1 1 A X = Tl - Xo = X2 - Xi = X3 - X2 = • • • = Xi - X— . . . = xn - Xn-1 = n

A soma das áreas dos retângulos inscritos, chamada soma inferior, será dada por: n — l

SI = f(c0) A x + f{Cl) A X + ... + f(cn^) A X = J ] f(Ci) A: i=0

onde / (c j ) é o menor valor da função / em cada subintervalo [xí-i, Xj\. No exemplo que estamos estudando, este valor ocorre em extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior será dada por

n—l SI = f{x0) A X + / ( x i ) A X + . . . + / ( x „ _ i ) A X = ^ f(Xi) A x.

i=o A soma das áreas dos retângulos circunscritos, chamada soma superior, será obtida calculando-se:

n SS = f(Wl)Ax + ... + f(wn)Ax = J2 / K ) A x

i=i onde fiyüi) é o maior valor da função / no intervalo [xj_i, Xj]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em x,, que é o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superior será dada por

Assim,

SS = f(xi) A x + . . . + / ( x n ) A x = f(Xi) A x. i=1

SI < área da figura < SS.

Para obtermos estimativas para a área da figura dada nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI e SS. Do modo como foi definida a partição, temos que:

1 1 2 3 , n „ xi = 1 + - ; x2 = xi + - = 1 + - ; x3 = 1 + - ; . . . ; xn = 1 + - = 2 . n n n n n

Lembrando que neste exemplo particular f(x) = x2, o valor da soma inferior será dado por: i

«-1 (1 + - ) 2

SI:=J2 " i—O n

Veja o diagrama a seguir, onde foram construídos retângulos inscritos para n = 3,5,8,11,14 e 17, sucessivamente. Lembre-se de que o valor de n define o número de subintervalos e, conseqüentemente, de retângulos determinados pela partição.

/ L / /

A Â A / L

A Iniiiiiiiiiiii

i s/fam


Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressão

» ( 1 + 1 ) 2

SS:=Y- n i= 1 que fornece o valor da soma das áreas de n retângulos circunscritos à figura.

Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que à medida que n cresce, a diferença entre SS e SI tende a zero, e a soma das áreas, quer dos retângulos inscritos, quer dos retângulos circunscritos, converge para o mesmo limite.

Para isso, primeiro definimos a função f e o valor de A i > f:=x->x~2;

/ := x —> x2

> Delta_x:=l/n;

Deltajx := — n

A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar as expressões obtidas

> SI:=Sum(f(l+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(l+i*Delta_x)*Delta_x,i > =0 . .n -1 ) ;

> s impl i fy (SI) ;

iZ.1 (1 + ~)2 S I . y — W 7 3 1 1 1

' ^ n 3 2 n 6 n2 2=0

1 ^ , ,2 1 14n2 — 9n + 1 i h (n + i)2 = - ã ni — 6 i=0

> SS:=Sum(f(l+i*Delta_x)*Delta_x,i=l..n)=sum(f(l+i*Delta_x)*Delta_x,i=l > . . n ) ;

SS — V + - n + 1 + ( n + 1 ) 2 _ n + 1 + I ( r t + 1 ) 3 _ i ( " + l)2 1 w + 1 _ 1 n n n2 n2 3 n3 2 n3 6 n3 n i=1

> simplify(SS);

1 - A , n9 1 14n2 + 9 n + 1 (n + iy = ^ n3 ' 6 n2

i= 1

• Você é capaz de provar que as fórmulas obtidas acima para SI e SS são verdadeiras? (Veja o projeto O maple e o principio da indução matemática.)

Calculando a diferença SS — SI,

> Erro:=SS-SI; Err _ n+1 ( n + 1 ) 2 n + 1 1 (n + 1 ) 3 1 (n +1 ) 2 l n + 1 1 1 7 1 1

n n2 n2 3 n3 2 n3 6 n3 2 n 3 6 n2

> simplify(Erro) ;

3 — n

verificamos facilmente que esta expressão tende a zero quando n —• oo e, conseqüentemente, SI e SS convergem para o mesmo valor, neste caso I . (Examine as expressões de SI e SS e comprove que realmente lim SI = lim SS = —.) n—>oo n—y oo 3


No exemplo estudado, a função / é crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferença SS — SI é dada por

(f(xi) - /(aro) + f(x2) - / ( x 1) + . . . + f{xn-1) + / ( i n ) ) A i = / ( 2 ) - / ( l )

2.328125000 2.330000000

Esta última expressão torna fácil verificar que, para funções crescentes (ou decrescentes!), quando n cometido na aproximação por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).

Podemos repetir o processo acima, considerando retângulos cuja altura seja o valor da função em qualquer ponto do subin-tervalo [x,_ 1, Xi], por exemplo, o ponto médio de cada subin-tervalo. (Veja a figura abaixo.)

A soma das áreas dos retângulos assim construídos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos a seguir.

Considere a soma, SM, das áreas dos retângulos cujas alturas são o valor da função / , calculada no ponto médio de cada subintervalo [xj_ 1, xi\, isto é, no ponto 1 + ÍJ§-£. Com a ajuda do Maple, obtemos

00, o erro

2.324074074

bff ÍDj iil 2.331018519 2.331632654 2.332031250

•fftíírl ktfí 2.332304526 2.332500000 2.332644628

SM:=X; -1 (l + + J1)

n 2 n i=0 n

7 3

1 1 12 n2

(Para provar a fórmula acima veja o projeto O Maple e o princípio da indução matemática.)

Calculando o limite desta expressão quando n oo, temos 7 _ J_ _ 7

n->oo 3 12 n2 3

Destes cálculos, podemos concluir que, à medida que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmo número, que será o valor da área da região considerada.

Note que a partição do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que à medida que n cresce o valor de A x tende a zero. Esta propriedade é fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a área da região. Considere, por exemplo, a seguinte partição em 20 partes (n = 20) do intervalo [1,2]:

> particao: = [ s e q ( 2 - l / i , i = l . . n ) ] ;

- r i - - - - — 15 15 I I 19 21 23 2 5 2 7 2 9 3 1 3 3 3 5 3 7 3 9

parhcao : _ [1, - , - , - , - , —, —, — , —, —, — , ^ —, —, —, —, 2 Q , 2j

O diagrama ilustra o que pode acontecer para várias partições deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente): 1.106481481

4. 3. 2. 1.

0

4. 3 2 1

5 1. 1.5

1.367606481

A

.5 1. 1.5 2.

1.658122331

0 .5 1 . 1 á 5 2.

Observe que, neste caso, mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das áreas dos retângulos inscritos, jamais se aproximará da área da região em questão. Como mostra este exemplo, o importante não é a divisão em partes iguais, mas o fato de o comprimento de cada um dos subintervalos [x*, Xj+i] tender a zero à medida que se aumenta o número de divisões do intervalo.

Chegamos, assim, à seguinte definição:

Definição

Considere a região limitada pelo gráfico de uma função continua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x. Considere uma partição do intervalo [a, b]

a = xo < X\ < X2 < • • • < xn-i < xn = b

tal que, para todo i, A Xi —> 0 quando n —> oo, onde A comprimento de cada subintervalo da partição. Então, a área da região é dada por

n — l l im V / ( C Í ) A I n—>00 —J

i=0

onde Ci é um ponto qualquer do subintervalo 1, Xi].

Vamos ilustrar esta definição com outro exemplo. Considere a função g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, 7r]. Queremos calcular a área hachurada mostrada na figura:

1

0.8 / / \

\

0.6 / \ y

0.4

/ \ \ \

\ 0.2 /

/ / /

\ \ \ \ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Primeiro dividimos o intervalo [0, 7r] em n partes iguais. Neste caso, = Considerando retângulos cujas alturas são iguais ao valor da função na extremidade Xi-1 de cada subintervalo 1, xj], obtemos as seguintes aproximações para a área quando dividimos o intervalo [0, 7r] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:

1.813799365 1.896118898 1.933765598 /n f\

1.954097234 1.966316679 1.974231603 / n .

-í \ h

Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade Xi de cada subintervalo [xí-I, x,], obtemos as aproximações mostradas na figura a seguir, à esquerda. Da mesma maneira, tomando retângulos cujas alturas são o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [XÍ, xl+i], obtemos as aproximações mostradas na figura à direita.

278 Cap. 21 Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas

1.813799365 1.896118898 1.933765598

7 /-A m

/ / l\

1.954097234 1.966316679 1.974231603

\

2.094395102 2.052344307 2.033281478 f f t

T \ t \

2.023030320 2.016884178 2.012909086

/ h As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a área procurada deve ser igual a 2. Vamos usar o

Maple para calcular as somas que aparecem nos três casos considerados e calcular o seu limite quando o número de retângulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SNI a soma das áreas dos retângulos cujas alturas são as extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,

* (EsenOl SNI := — \i=0

Simplificando a soma acima, obtém-se: /n—l

\i=0 sen( —) n

,71" , n n( c o s ( - ) - l ) n

Calculando o limite desta expressão quando n —>• oo, tem-se que % 7T

" - 1 sen(—) 7r I i m y a — = 2

i=0 n

Da mesma maneira, considerando-se retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade Xn de cada subintervalo i, Xj], obtém-se:

v=I 7Tsen( —) n

7T n (cos( —) — 1)

lim n—>oo

\i=l = 2

Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xj_i, Xj], temos também

/ ( i + ^ T T

n V 7 T s e n ( — )

n ir

n ( c o s ( — ) — 1 ) n

(n-l

E' i-0

lim n—>OG

n )) = 2

O valor do limite será o mesmo para qualquer soma do tipo ^ ^ / (c j ) Ax* escolhida, onde Cj G [xi-i,xi\. Este i

limite único é, por definição, a área da região R limitada pelo gráfico de uma função / contínua e positiva, pelo eixo x e pelas retas x — a e x = b.

21.4 A integral definida

21.4.1 Definição Vimos na seção anterior como calcular a área A de uma região limitada por uma função positiva, pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, 6] em n partes iguais e aproximar o valor da área

n por somas do tipo T /(c») A i . Vimos que, à medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta

i=1 definição para áreas de regiões motiva a extensão deste procedimento a outras funções que não sejam necessariamente positivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma função / , onde / é uma função qualquer definida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisão do intervalo [a, 6], em n partes

a — xq < x\ < X2 < ••• < Xi-i < ... < xn-i < xn — b. Esta divisão, como já vimos, define uma partição do intervalo a, 6], que chamaremos de P. Seja A

tal que, para todo i, À ^ —» 0 quando n —> +00. Formemos a soma n

= f(Ci)AXi, i= 1

onde Ci é um ponto qualquer do subintervalo [xj_i, x*]. Esta soma é chamada soma de Ríemann para / associada à partição P. (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matemáticas rigorosas.)

Se existir o limite n n 1= lim Sn — lim f(ci) Axí= lim V " / ( c ; ) A x í n—too n—too 1' Aii->0 ' i=l i=1

para toda soma de Riemann associada à partição P de [a, b], dizemos que a função / é integrável em [a, b] e que a í b

integral definida de / , de a até b, denotada por / / ( x ) dx, é este limite, isto é,

rb n 1=1 f(x) dx = lim Sn = lim V f(a) A

Ja Aa^O f-^

O maior dos números Axt é chamado norma da partição P e denotado por ||P||. Usando esta notação e a definição rigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo £ > 0 existe um ó > 0, tal que se P é uma partição de [a, b] sendo ||P|| < S, então

£ / ( q ) A X , - / , i=1

< £

para qualquer escolha dos números Cj nos subintervalos [xj_i, Xi}. A notação para integrais foi introduzida pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646-1716). O símbolo f é

uma estilização da letra S da palavra Summa e é chamado sinal de integral. Os números a e b são chamados, respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A função / é chamada de integrando, e o símbolo dx indica que a função está sendo integrada com respeito à variável independente x, que neste contexto não deve ser confundido com a diferencial de x. A variável x na integral é o que chamamos de uma variável muda. Ela pode ser substituída por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f é integrável em [a, b], podemos escrever

rb çb rb / f(y) dy= / ( x ) dx= f{z) dz ... etc.

J a J a J a

Na definição de integral, temos que a < b, mas é conveniente também definirmos integral no caso em que b < a. Neste caso, definimos

rb pa / f(x) dx = - / / ( x ) dx,

Ja Jb desde que esta última integral exista.

Além disso, se / (a ) existe, então / f(x) dx = 0. J a

Na definição de integral não impomos restrições sobre a função / , apenas sobre a partição do intervalo [a, 6]. Isto nos leva à questão de saber quais funções são integráveis. O exemplo a seguir mostra que existem funções que não o são.

Exemplo 1 Considere a função / definida em [0, 1] por:

J0, para x racional \ 1, para x irracional '

Qualquer que seja a partição do intervalo [0,1], os subintervalos associados a essa partição sempre conterão pontos n

racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo ^ ^ f(ci) A x. onde cada c, seja racional X=1

e outra onde cada Ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostra que o limite depende da soma particular considerada, portanto, / não é integrável.

Exemplo 2 Considere a função / definida em [0, 1] por

{ — , se x 0

1, se x = 0

Temos que lim / ( x ) = oc. Então, no primeiro subintervalo [0, x\] de qualquer partição P de [0, 1] podemos x—»0+ achar um número a tal que / (c ; ) A x, supera qualquer número dado M. Assim, para qualquer partição P podemos encontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o número real I, existem somas de Riemann Rp associadas a qualquer partição P do intervalo [0,1] tais que \Rp — I\ é arbitrariamente grande. Isto implica que / não é integrável. Por argumentos análogos, podemos mostrar que qualquer função que se torne ilimitada em qualquer ponto de um intervalo [o, 6] não é integrável. Assim:

Se f é integrável em [a, b], então é limitada em [a, 6], isto é, existe um número real M tal que | / (x ) | < M para todo x em [a, 6].

Observações

1. Repare que | f(x) | < M significa, geometricamente, que o gráfico de / está entre as duas retas horizontais y = M e y = —M. Em particular, se / tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a,b], então / não é limitada e, portanto, não é integrável, como foi mostrado no Exemplo 2.

2. Um conjunto bastante amplo de funções que são integráveis é o conjunto das funções contínuas, isto é, se f é uma função contínua em [a,b], então f é integrável em [a, 6].

3. Se f é descontínua em [a, 6], então J^ f(x)dx pode existir, ou não. Se / tem somente um número finito de descontinuidades no intervalo [a, b] e todas elas são descontinuidades de salto, então / é dita contínua por partes e é integrável em [a, 6]. (Veja Problema 5.)

4. Repare ainda que se f é integrável em [a, b], então o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja a escolha dos pontos q em cada subintervalo [xj_ i, Xj]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos Cj, se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher Cj sempre como o extremo direito, ou como o extremo esquerdo, ou como o ponto médio de cada subintervalo, ou como o número onde ocorre o máximo ou o mínimo da função em cada intervalo i, x,]. Além disso, como o limite independe da partição considerada (desde que sua norma seja suficientemente pequena), a definição de integral pode ser simplificada pela utilização de somas


de Riemann associadas a partições regulares, isto é, constituídas de subintervalos de mesmo comprimento. Neste caso,

ii . b — a \\P\\=Ax=—,

e quando n —• oc, A :r —> 0. A integral de / é dada por

pb n n

1 = / f(x)dx= lim V / ( c i ) A x = Hm V / ( C i ) A x .

Em particular, como toda função contínua em [a,b] é integrável em \a,b], esta observação se aplica a funções contínuas.

21.4.2 Interpretação geométrica da integral definida Como aplicação imediata da definição de integral, quando / é uma função contínua, positiva, definida em [a, 6], a f^ f(x) dx nos fornece o valor da área da região limitada pelo gráfico de / , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a função / for uma função contínua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, 6], então o valor da integral será a diferença entre o valor da área da região que está acima do eixo x e o valor da área da região que está abaixo do eixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definição, a integral é o limite de somas de Riemann. As parcelas f(ci) A x que correspondem aos retângulos que estão abaixo do eixo x são negativas, e seus valores absolutos fornecem o valor das áreas de cada um destes retângulos.

21.4.3 Propriedades da integral definida A partir da definição de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedades fundamentais.

Propriedade 1 Se f é uma função constante definida por f(x) = k para todo x em [a, 6], então f é integrável e

í b / kdx = k(b — a).

J a

Demonstração Seja P uma partição de [a, b}. Então, para toda soma de Riemann de / , n n n

f(ci)Axi = kAxi = k(Yl Axi"> ~ k(b — a), i=1 i—í n=1

pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da partição é o comprimento do intervalo [a, &], independente do valor de n. Conseqüentemente,

isto é,

lim f ( c i ) A Xi = k (b — a), % i= 1

í b I kdx = k(b — a).

J a

Esta igualdade está de acordo com a discussão de área feita anteriormente, pois se k > 0, então o gráfico de / é uma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a região limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = 6 é um retângulo de lados k e (b — a). Logo, sua área é dada por k(b — a). No caso especial em que k = 1, temos que raidx = b — a, que é igual ao comprimento do intervalo [a, b}.

Propriedade 2 Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [a, b] e

pb pb / kf(x)dx = k / f{x)dx.

J a J a

Demonstração Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, então, que k / 0. Como / é integrável, temos que existe um número I tal que I = J^ / ( x ) dx.

n Seja P uma partição de [a, b\. Então, toda soma de Riemann para a função k / tem a forma ^ k f(ci) A Xj, onde,

2 = 1

para cada i, Ci está no subintervalo [xj-i, Xj]. Seja e > 0 dado. Devemos mostrar que existe um S > 0 tal que, se

||P|| < S, então | k f(ci) A x^) — k I \ < e, para todo c, em [xj_i, xi\.

Se observarmos que Y, kfic^AxA - kl = \ k \ £ / ( < * ) A X Í ) - I

a conclusão se verifica imediatamente, pois, como / é integrável, tem-se que, qualquer que seja £\ > 0, existe um ô > 0 tal que, se ||P|| < 5, então | / (c j ) AXÍ) - 1 1 < £\.

i Assim, basta escolhermos ei = jfy para obter o resultado desejado. Costuma-se enunciar a conclusão desta propriedade dizendo-se que constantes "podem ser retiradas do sinal de

integral".

Propriedade 3 Se f e g são integráveis em [a, 6], então f + g é integrável em [a, 6] e

pb pb rb / (/(x) + 9(x)) dx= f{x) dx+ g(x) dx .

J a J a J a Demonstração Por hipótese, existem números reais I\ e I2, tais que fa f(x) dx = I\ e fa g(x) dx — I2. Seja P uma partição de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitrária para / + g associada à partição P, isto é,

n „ n n RP = Y +9Ící)) A XÍ = {J2 /(c*)A xi) + (5Z9(cí) A '

2 = 1 i= 1 2=1 onde Ci está em [xj_i, Xj] para cada i.

Seja e > 0. Devemos mostrar que existe um S > 0 tal que, se ||P|| < S, então |i?p — (ii 4- h)\ < £ • Por hipótese ( / e g integráveis), sabemos que qualquer que seja £i> 0, existem 5i e $2 positivos tais que, se ||P|j

< <$i e ||P|| < 62, então

E fici)AXi j - h < £1 Y g(ci)Axi -12 < £1

Seja £i = | e s e j a í o menor dos números ái e 82- Assim, se ||P|| < S, as duas desigualdades acima se verificam, e daí, como

| P p - ( / i + / 2 ) | =

< ^ f ( C i ) A x , - J i + Y g(ci)Axi 1 _ / 2

tem-se \Rp — (ii + Z2)| < § + § = e, que é o resultado que queríamos demonstrar.

Observações

1. Vale um resultado análogo para diferenças, isto é, se / e g são integráveis em [a, b], tem-se rb rb rb rO rO rO

/ (f(x) - 9ÍX)) dx= f(x) dx- g(x) dx J a J a J a

2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funções. Especificamente, se fi, f2,..., fn sao in-tegráveis em [a, 6], sua soma g = / i + fi + ... + fn também o é e

pb pb pb pb

/ g(x) dx = / fi(x)dx+ / f2{x)dx + ...+ / fn(x)dx. J a J a J a J a

3. Se / e g são funções integráveis em [a, b] e se k\ e k2 são reais arbitrários, pelas Propriedades 2 e 3 temos que fb rb rb

/ (fei f(x) + k2 g(x)) dx = ki / f(x) dx + k2 / g(x) dx . J a J a J a

Além disso, se k\, k2,..., kn são reais arbitrários e se / i , f2,..., fn são funções integráveis em [a, 6], o resultado análogo vale para a função g = k\ fi + k2 f2 + ... + kn fn.

Como já vimos, se f é contínua e positiva em [a, 6], então f(x)dx é a área sob o gráfico de / limitada pelas retas x = a e x = b. De modo análogo, se a < c < b, então as integrais f(x) dx e f(x) dx são as áreas sob o gráfico de / de a até c e de c até b, respectivamente. Segue, imediatamente, que

rb rC rb

/ f(x) dx= f(x) dx+ f(x) dx . J a J a J c

A próxima propriedade mostra que esta igualdade também é verdadeira sob hipóteses mais gerais.

Propriedade 4 Se a < c <b e f é integrável tanto em [a, c], como em [c, 6], então f é integrável em [a, ò] e rb rc rb

/ f{x) dx= f(x) dx+ f(x) dx . J o J a J c

Demonstração Por hipótese, existem números reais I\ e I2 tais que f^ f(x) dx = I\ e f f(x) dx = I2. Sejam P\ uma partição de [a,c], P2 uma partição de [c,b] e P uma partição de [a,b]. Denotaremos por Rp1, Rp2 e

RP as somas de Riemann arbitrárias associadas a Pi, P2 e P, respectivamente. Devemos mostrar que dado um e > 0, existe um S > 0 tal que, se ||P|| < S, então \Rp — (li +12)\ < e.

As hipóteses sobre / implicam que, dado ei = existem números positivos <5i e õ2 tais que, se ||Pi|| < <5i e ||P2|| 2, então

\RPí-h\<ei e \RP2-I2\<£-.

Seja 5 o menor dos números <5i e S2. Então ambas as desigualdades são verdadeiras, desde que tenhamos ||P|| < S. Além disso, como / é integrável tanto em [a, c] como em [c, 6], é limitada em ambos os intervalos e, assim, existe um número M tal que | f(x) | < M para todo x em [a, 6],

Suponhamos agora que além da exigência anterior feita sobre 5, tenhamos também que 8 < Seja P uma partição de [a, 6], tal que ||P|| < S, como escolhido acima. Se as subdivisões que determinam P são

a = Xq, Xi, x2,..., xn = b, então existe um único intervalo semi-aberto da forma (xk-i, Xk] que contém c.

S e R P = ^2 f(wi) A Xi, podemos escrever

/fc-l \ / n Rp= (^/(wOAxi \+f(wk)Axk+í ^ f{wi) A :

\ i = l / \ i = f c + l

Seja Pi a partição de [a, c] determinada por {o, xi, x2,.. .Xk-i, c} e P2 a partição de [c, b) determinada por {c, Xk, • • •, xrli, b}. Consideremos agora as somas de Riemann

Rp, = [J2 A + (c " ^ - i ) e RPi = f (c) (c - + ( ê A • \j=i / \i=fc+i /

Então, como ||P|| < ô, temos

(Af + M) £ £ (*) I RP - (RPl + RP2) I = I f{wk) - f(c)I Axfc < |/(iüfc)| + |/(c)| Ax f c < 4 M 2

(**) IRPl + RP2 - (H - I2)I < IRPl -H\- \RP2-I2\< I .

Agora, desde que

IRp - (h + h)\ = |Rp - (RPl + RP2) + (RPl + RP2) - (h + h)I < | RP- (.RPl +RP2)\ + \RPi+ RP2 - ( h + h) |

as desigualdades (*) e (**) implicam que

| P p - ( / i + / 2 ) | < f + § = e

para toda soma de Riemann Rp, o que completa a demonstração.

Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c não está necessariamente entre a e b. (Veja Problema 8.)

Propriedade 5 Se f é integrável em [a, ò] e f{x) > 0 para todo x em [a, b], então

0 < / f{x)dx J a

Demonstração Seja I = f/ f(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0. 71

Seja P uma partição de [a, b] e seja Rp — /(CÍ) A xt uma soma de Riemann qualquer, associada a P. Como, i= 1

por hipótese, / (c , ) > 0, para todo c, no intervalo [xí_I, Xi], temos que Rp > 0. Seja £ = — | > 0 , então, como / é integrável em [a,b], desde que ||P|| seja suficientemente pequena, temos que

| Rp — 11 < £ = — Daí, Rp 0.

Uma conseqüência imediata desta propriedade é expressa na propriedade a seguir, cuja demonstração é deixada a cargo do leitor. (Veja Problema 9.)

Propriedade 6 Se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) < f(x) para todo x em [a, b], então

pb pb / g{x)dx< I f(x)dx.

Ja Ja

21.5 Valor médio de uma função e o teorema do valor médio para integrais definidas

A média aritmética de n números a\, a2, ... , an é definida por:

_ (ai + a2 + • • • + an) _ 1 am — — — / . aí n n

Agora, pense no seguinte problema: Suponha que você tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T(x), que varia em cada

ponto x da barra. Como calcular a temperatura média Tm da barra? A dificuldade, neste caso, é que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A idéia é estabelecer um

sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema, e aproximar a temperatura média pela média das temperaturas de n pontos da barra, a saber,

0 = xo < x\ < ... < xn = L tomados como referência, isto é,

1 n Tm~-Y] T{Xi) n J

i=1

Claramente, à medida que aumentamos o número n de pontos considerados neste cálculo, o valor do lado direito da expressão anterior se aproximará cada vez mais da temperatura média Tm da barra.

Observe, agora, que a soma anterior é muito parecida com a soma de Riemann para a função T(x). Para transformar esta expressão na soma de Riemann para a função T, basta multiplicar e dividir, a soma obtida por Ax = —. Assim, temos

Agora sim! O último somatório é a soma de Riemann para a função T no intervalo [0,L]. Assim,

TM = \ lim V T(XÍ) Ax = \ F T(x) dx L n — > o o — ' L Ia i=1 J ü

De um modo geral, define-se o valor médio de uma função y = f(x), contínua em um intervalo [a, 6], como

1 fb fm = T / f{x) dx

b~a Ja

ou

/ f(x) dx — fm (b - a). J a

Se f(x) > 0 em [a, b], esta última igualdade significa, geometricamente, que a área sob o gráfico de / , desde a até b, é igual à área de um retângulo de altura fm e base b-a.

Exemplo Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm é dada por T(x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a

sua temperatura média.

Solução

3 Jo 2

No gráfico a seguir a área hachurada tem o mesmo valor da área do retângulo escuro.

Note que o valor Tm é atingido em algum ponto c de [a, 6]. Neste exemplo, precisamente em c = |. O teorema do valor médio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que. se f é contínua, isto é sempre verdade.

21.5.1 O teorema do valor médio para integrais definidas Teorema

Se f é contínua em um intervalo fechado [a, ò], então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que

fb f(x)dx = f(c)(b-a). J a

Observações Se f(x) > 0 em [a. b\. o teorema admite uma interpretação geométrica interessante. Neste caso, como já vimos, S = J^ f(x) dx é a área limitada pelo gráfico de / . o eixo x e as retas x = a e x = b. 0 teorema garante a existência de um número c, abscissa de um ponto P do gráfico de / . tal que a área da região retangular limitada pela reta horizontal que passa por P. pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressão, f(c) (b — a), ê igual a S. Veja as figuras.

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 .2 1 .4 1 . 6 1 .8 2

O número c não é necessariamente único. Por exemplo, se f é uma função constante, todos os números c do intervalo [a, b] satisfazem a conclusão do teorema. O teorema garante a existência de pelo menos um número c em [a, b] com a propriedade enunciada.

Demonstração Sejam m = f(d) o mínimo de / em [a. b] e M = / (e) o máximo de / em [a. 6]. Pela Propriedade 6,

pb pb pb pb -

/ mdx < / f{x)dx e / f(x)dx< / M dx. isto é,

1 fb 1 fb m < / f(x) dx e / fix) dx < M .

~ b- a JaJy ' b- a JaJy ~

Como / é contínua e y = f(x) dx é um número entre m e M, pelo teorema do valor intermediário existe um número c entre a e b, tal que

f(c) = f(x) dx

Exemplo Seja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, &]. Então, a velocidade média do objeto é dada por

1 vm = b — a

v(t) dt

W. Bianchini, A.R.Santos 287

O teorema do valor médio para integrais definidas nos diz que a velocidade média vm é atingida pelo objeto em algum instante c de [a, b], isto é, vm = v(c).

O teorema do valor médio para integrais definidas pode ser usado na demonstração de vários outros teoremas relevantes. Um dos mais importantes é o teorema fundamental do cálculo, que será visto no próximo capítulo.

21.6 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades texto.

propostas no arquivo labint.mws da versão eletrônica deste

21.7 Exercícios n (n + 1)

1. (a) Mostre a identidade ^ i = i= 1 2

Sugestão: Some as equações ^ ^ í = l + 2 + . . . + n e i=1

n Y^ i = n + (n - 1) + (n - 2) + . .. + 1. i=1

(b) Escreva as n equações que se obtém substituindo os valores de k = 1, 2, 3 , . . . , n na identidade (fc + 1)3 — fc3 = 3 k2 + 3 k + 1. Adicione essas equações e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a fórmula

y - -2 _ n ( n + l ) ( 2 n + l ) 6

2. Para cada uma das funções abaixo

(a) calcule aproximadamente a área da figura limitada pela curva y = f{x), as retas x = a, x = b e o eixo x, utilizando os comandos l e f t b o x e r ightbox do Maple.

(b) calcule aproximadamente o valor destas áreas com os comandos leftsum e rightsum.

(c) monte uma tabela com os valores obtidos para várias partições do intervalo. (d) use o comando l i m i t para calcular exatamente o valor da área. (e) compare os resultados obtidos.

i. / ( x ) = yfx para x £ [0,1] ii. f(x) = sen(x) para x £ [0, 2 ir] iii. f(x) = a/4 — x2 para x £ [—2,2].

3. Use a definição para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu raciocínio e a interpretação geométrica da integral; depois, se ainda for necessário use os comandos leftsum e rightsum do Maple para ajudá-lo nos cálculos. ,

(a) f-2 3 dx (c)f_2x*dx (e)Ccos(x)dx 2

(b) J\2xdx (d) fjfsen(x)dx (f) fi cos(x) dx K6J Jo

4. Interprete geometricamente e calcule a integral J"f2 \J4 — x2 dx.

2 2 5. O gráfico da equação 2 + = 1 para 0 < b < a é uma elipse. Esboce este gráfico e use o valor da integral

y/a2 — x2 dx para achar a área limitada por uma elipse.

6. Sabendo-se que o valor médio de y = f{x) no intervalo [0, 7] é igual a 4. qual o valor de f j f(t) dt?

7. Ache o valor médio de / ( x ) = y/l — x2 no intervalo [0,1].

21.8 Problemas Mostre que se f é uma função contínua e monótona em um intervalo [ a , b ] , o erro na aproximação da f ^ f ( x ) d x pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos é limitado por

| / ( ò ) - / ( a ) | (b-a)

2. Para cada integral dada abaixo, seja J^ f ( x ) d x = L. Levando-se em conta a definição de integral, dada neste capítulo, a igualdade acima significa que para todo e > 0, existe um inteiro positivo N tal que

f n \

Y /(cfe)Axfc 1—1/ < e Kk=1 /

para todo n > N . Seja A n = ^ ^ e e = 0,01. Considere c^ como sendo a extremidade direita do fc-ésimo subin-tervalo da partição do intervalo [a, 6] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | (X)fc=i /(cfc) A x k ) — L \ < e, para n > N .

f 3 z1 /*1,75 (a) / x 1 + 1 d x (b) / cos(x) d x (c) / sen(z2) d x

J1 J 0 J 0,5

3. (a) Mostre que /02 sen2 x d x = J ^ cos2 x d x . Sugestão: Mostre que as duas áreas em questão são congruentes usando uma reflexão em torno da reta r = -x 4.

(b) Mostre que f 0 2 1 — sen2 x d x = | — f Q 2 sen2 x d x . Sugestão: Use a interpretação geométrica das duas integrais e use uma reflexão em torno da reta y —\ para mostrar que as duas áreas em questão são iguais.

(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que f Q 2 sen2 x d x = f 0 2 cos2 x d x = j .

(d) Calcule f * sen2 x d x e JQ2 n cos2 x d x .

4. Obtenha uma fórmula para f ^ 111 d t , válida para (a) x > 0 (b) x < 0 (c) qualquer que seja x , positivo, negativo ou nulo. (d) Esboce um gráfico que represente geometricamente esta questão.

f - 1 , se t < 0 5. Considere a função s n ( t ) (sinal de t ) definida por s n ( t ) = < 0, se t = 0 .

I 1, se 0 < í É claro que a função s n ( t ) não é contínua em zero, mas f ^ s n ( t ) dt pode ser definida da mesma maneira que para funções contínuas. Por exemplo, f * s n ( t ) dt é a área limitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim, f * s n ( t ) dt = 1. Da mesma maneira, s n ( t ) dt — —1; Jq3 s n ( t ) dt = 3; s n ( t ) dt — 0 e assim por diante. Obtenha uma fórmula válida para f ^ s n ( t ) dt quando (a) x > 0 (b) x < 0 (c) qualquer que seja x , positivo, negativo ou nulo.

6. Explique por que (a) f \ x273 dx = 0 (b) 0 < \ d t < \ |

7. (a) Dê exemplo de uma função contínua no intervalo (0,1), tal que f * f ( x ) d x não exista.

(b) Dê exemplo de uma função que não seja contínua em [0,1], tal que exista f * f ( x ) d x .

8. Mostre que se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b e c são três números quaisquer deste intervalo, então /ab f ( x ) d x = £ f ( x ) d x + / c & f ( x ) d x .

9. (a) Se / (x ) < M para todo x em [a, b], prove que f(x) dx < M (b — a). Ilustre o resultado graficamente.

(b) Se TO < f(x) para todo x em [a, b], prove que m(b — a) < f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.

(c) Mostre que se / e g são integráveis em [a, 6] e g(x) < f(x) para todo x em [a, 6], então J^ g(x) dx < f(x) dx

(d) Seja / integrável em [a, fo]. Mostre que fa f(x)dx < fa |/(x)| dx

10. Seja f(x) = 1 + xA. Ache o valor médio de / no intervalo de 0 até 0.001, com dez casas decimais exatas. Sugestão: A resposta deve ser dada rapidamente. Se você não consegue perceber como isto pode ser feito, calcule a resposta usando força bruta. O número obtido sugere como os cálculos poderiam ter sido evitados.

11. Se f(x) = k para todo x em [a, b], prove que todo número c em [a, b] satisfaz a conclusão do teorema do valor médio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.

12. Se / ( x ) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um número c em (a, b) tal que f(x) dx = f(c) (b — a).

21.9 Um pouco de história Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura li-mitada por curvas foi Hipócrates de Chios, o mais famoso ma- /TTTTTIX temático grego do século V a.C.. Ele calculou a área da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta /\ 08BBff\ figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0) j \ e raio unitário e o círculo centrado em (0 , -1) e passando pelos l pontos (1,0) e (—1,0)) recebeu o nome de lúnula de Hipócrates, \ ~1

em homenagem àquele que descobriu que a sua área é igual à área do quadrado cujo lado é o raio do círculo.

O problema da quadratura de um círculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente à de um círculo de raio dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade. Hipócrates "quadrou a lúnula", embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do círculo.

Os geómetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do círculo é impossível de resolver utilizando-se apenas régua e compasso.

A primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geómetras, sem aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos capítulos, veremos que muitos conceitos importantes de Física, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas idéias utilizadas neste capítulo para o cálculo de áreas.

21.10 Projetos

21.10.1 Somas de Riemann aleatórias Uma soma de Riemann de uma função / definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral

S = / ( c i ) (x2 - xi) + /(ca) (x3 - x2) + . . . + f{cn-i) (xn - xn-i),

onde a = Xi < x2 < .... < xn = b ê uma partição do intervalo [a, 6] e cada c, é tal que Xj_i < Cj < x». O objetivo deste projeto é calcular somas de Riemann para a função / (x ) = x3 + 3 x2 + 2 x — 5, definidas por

meio de uma partição do intervalo [0,1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter números aleatórios, vamos utilizar o comando rand O do Maple. Cada vez que este comando é executado, um número entre 1 e 1012 é escolhido ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma seqüência de 31 = 2.15 + 1 números aleatórios entre 1 e IO12. Execute-o várias vezes!

> n ú m e r o s : = [ s e q ( r a n d ( ) , k = l . . 3 1 ) ] ; k : = ' k ' :


números := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844, 134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456, 898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619, 154912668026, 856069438450, 681407641506. 962917791070, 874166946435, 905950292905, 549552888716, 84125842236. 67060541266, 621757734462, 223575905687. 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856, 234450269247, 606386273485]

Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0,1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acima para este intervalo, por uma mudança de escala:

> p t s : = m a p ( x - > e v a l f ( x / 1 0 ~ 1 2 ) , n ú m e r o s ) ;

pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728. .1340503658, .7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295. .8987248808, .4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680, .8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929, .5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057, .2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692, .6063862735]

Para formar os pontos da partição, precisamos colocar esta última seqüência em ordem crescente. Isto é feito utilizando-se o comando sort:

> p a r t : = s o r t ( p t s ) ;

part [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658. .1408108569, .1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995, .3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020. .5495528887, .6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473. .6741982728, .6814076415. .7548695826, .7804227316, .8560694385. .8741669464, .8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911, .9877856403]

Podemos agora calcular a soma de Riemann associada a esta partição do intervalo [0.1], como se segue. > f : = x - > x ~ 3 + 3 * x " 2 + 2 * x - 5 ;

/ := x x3 + 3 x2 + 2 x — 5 > S : = s u m ( f ( p a r t [ 2 * j ] ) * ( p a r t [ 2 * j + l ] - p a r t [ 2 * j - l ] ) , j = l . . 1 5 ) ;

S := -2.403062293

1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a média das suas 6 tentativas e descreva como este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximação do valor da integral da função no intervalo [0,1]. Ilustre geometricamente.

2. Explique como é possível melhorar a precisão do resultado e aplique as suas conclusões para melhorar o resultado obtido acima.

3. Ache por este processo uma aproximação para a integral da função f(x) = x3 + x + 2 no intervalo [0,1].

21.10.2 Somas de Riemann e funções monótonas O objetivo deste projeto é calcular integrais de funções monótonas por meio de somas de Riemann com um erro máximo prefixado.

1. Considere a função f(x) = x3 + x + 2.

(a) Mostre que / é monótona no intervalo [0,2].


(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integral da função dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos na região delimitada pela função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.

(c) Determine o menor valor de n (números de retângulos) que garanta uma estimativa para a integral da função com erro máximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)

(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a área da região limitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.

(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como função do número n de retângulos usados. (f) Use o comando l imi t ( . . . ,n=infinity) e a expressão que você encontrou no item anterior para obter o

valor exato da área da região.

2. Considere a função g(x) = cos(|).

(a) Mostre que g é monótona em [0,1], (b) Obtenha uma expressão geral para uma subestimativa para a área limitada pela curva y = g{x), pelo eixo

x e pelas retas i = 0 e i = l . (c) Calcule o erro máximo que se comete ao aproximar a área da região descrita acima pela soma das áreas de

10 retângulos inscritos na região. (d) Obtenha o valor exato desta área. (e) Use as conclusões obtidas nos itens anteriores e a função f(x) = V i — x2. definida em [a, 6] = [0,1] , para

obter aproximações de ^ com erro menor que Aj.

3. Nem todas as funções são monótonas, entretanto, as idéias estudadas aqui podem ser estendidas a funções que não são monótonas. Descreva como é possível estender as idéias estudadas neste capítulo a funções contínuas mais gerais a fim de garantir que as aproximações de f(x) dx. obtidas por meio de somas de Riemann, tenham uma precisão fixada.

4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto médio de cada subintervalo de uma partição P do intervalo [a, 6] também fornecem uma aproximação para a área da região delimitada por uma função / , positiva, definida em [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funções monótonas, a aproximação obtida utilizando-se o ponto médio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.

(a) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subin-tervalo fornece uma subestimativa para a área de uma região delimitada pela função dada, pelo eixo x e por duas retas verticais.

(b) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subin-tervalo fornece uma superestimativa para a área da região descrita acima.

5. Podemos obter aproximações para regiões do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferior e o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma partição do intervalo [a, h]. A média aritmética das aproximações assim obtidas é conhecida como regra do trapézio para o cálculo destas áreas.

(a) Explique o porquê deste nome e estabeleça um critério geométrico que permita afirmar quando a regra do trapézio fornece uma subestimativa para a área da região e quando esta regra fornece uma superestimativa.

21.10.3 O Maple e o princípio da indução matemática O princípio da indução é uma das mais importantes (e úteis) técnicas de demonstração em matemática. Este princípio, em geral, é usado quando precisamos demonstrar que uma determinada fórmula vale para todos os números naturais. Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4. 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poderíamos conjecturar que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n2, isto é. l + 3 + ...+ (2?í — 1) = n2. O princípio da indução matemática afirma que uma fórmula, P{n). é verdadeira para todo número natural n se

1. P( 1) é verdadeira.


2. considerando P(k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P(k + 1) é verdadeira.

Estas duas condições garantem que P(n) é verdadeira para todo n. De fato, se P( 1) é verdade, então (usando (2) no caso particular em que k =1), segue que P(2) é verdade. Agora, como P(2) é verdade (usando (2) no caso particular em que k =2), segue que P(3) é verdade, assim por diante.

Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o número n, ele será alcançado por um número suficiente de passos, como descrito acima.

Para ilustrar o raciocínio que se esconde por trás do princípio da indução, imagine uma linha infinita de pessoas numeradas da seguinte maneira P(l ) , P(2), P(3), Um segredo é contado à primeira pessoa da fila (P(l ) conhece o segredo) e cada pessoa tem a instrução de contar o segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o número seguinte ao seu próprio (se P(k) conhece o segredo, P(k+ 1) conhece o segredo). Então, está claro que cada pessoa da fila acabará conhecendo o segredo!

n Para provar a conjectura feita acima, isto é, ^ ^ (2í — 1) = n2, precisamos, portanto,

i=1 1. provar que esta fórmula vale para n = 1. (O que é óbvio, pois 1 = 1.)

2. supondo que esta fórmula valha para n = k, mostrar que ela é verdadeira para n = k + 1.

O objetivo deste projeto é mostrar como usar o Maple para obter fórmulas do tipo anterior e ainda verificar a validade de P( l ) e fazer as contas necessárias para estabelecer que a validade de P(k) implica na validade de P(k+1).

Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte QTRMaple InputSum podem ser usados para obter as fórmulas a serem provadas. Assim,

> Sum(2* i - l , i= l . .n )=sum(2* i - l , i= l . .n ) ; n

^(2i - 1) = (n+ l)2 -2n- 1 i = 1

> simplify(°/o);

X > í - l ) = n 2

Agora, podemos construir a função que a cada n associa esta soma: > P:=n->Sum(2*i - l , i=l . ,n)=sum(2*i - l , i=l . . i i ) ;

n n

2 i - l ) = £ ( 2 i - l ) 8 = 1 Z— 1

Deste modo, podemos calcular o valor de P(n), qualquer que seja o número natural n, simplesmente calculando o valor da função P, neste ponto:

> P(3); 3

£ ( 2 i - l ) = 9

> P(7); 7

£ ( 2 i - l ) = 4 9

i=1

Assim, fica claro que P( l ) é verdade, pois > P(l);

i £ ( 2 i - l ) = l i=l

> value CÁ); 1 = 1

Suponhamos agora que P(k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que


> P(k); k

1 ) = (fc + l )2 - 2 f c - 1 1 = 1

> simplify(P(k));

£ ( 2 i - l ) = fc2

2=1 seja verdadeira. Precisamos provar que P{k + 1) é verdadeira. Para isto, vamos somar (2fc+l) (o próximo número ímpar) a ambos os lados desta equação, o que não altera a igualdade. Assim, temos:

> lhs(P(k))+(2*k+l)= rhs(P(k))+(2*k+l) ; k

( 2 i - l ) ) + 2 f c + l = (fc + l)2

2=1 fc + 1

E óbvio que o lado esquerdo da equação acima é a soma 1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1) + (2 fc + 1) = (2 i - !)• 2 = 1 k

Assim, mostramos que a validade da fórmula para n = k, isto é, ^ ^ (2 i — 1) = k2 implica a validade da fórmula 2 = 1

fc+i para n = fc+1, isto é, (2i — 1) = (fc + l)2 e, portanto, a fórmula é válida para todo inteiro positivo.

2=1 Num exemplo mais complicado, poderíamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da última equação

obtida é igual a P(fc+1) e assim estabelecer que a validade de P(k) (se a fórmula é válida para os primeiros k números ímpares) implica a validade de P(fc + 1) (a fórmula será válida para os primeiros fc+1 números ímpares). Para isto, basta calcular

> P(k+1);

fc+i ^ ( 2 i - l ) = (fc + 2 ) 2 - 2 f c - 3 2=1

simplificar a expressão resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente. > simplifyC/O;

fc+i ^ ( 2 i - 1) = fc2 +2fc + 1

> factor CÁ); fc+i £ ( 2 i - l ) = (fc + l)2

1. Use o Maple e obtenha fórmulas, válidas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixo e verifique, usando indução matemática, que estas fórmulas são válidas para todos os inteiros positivos: (a) E (b) E (c) E 2T2TI) (d) E .(2+1H2+2)

2. Vamos usar indução para "provar" que 1 + 2 + 3 + ...+ n = " +2"+1 •

Seja P(n) = n +2n+1 • Supondo válida esta afirmação para n — k, vamos mostrar que a mesma é válida para n = k+1. Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ fc = fc2+2fe+1. Somando k+1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:

, 0 0 , „ fc2 + fc + l , , fc2 + fc + l 2 fc + 2 fc2 + 3 fc + 3 1 + 2 + 3 + ...k+ (k+ 1) = + ( f c + l ) = + — - — =

Cap. 21 Introdução a Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas

[k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1 = (/c + l)2 + ( f c+ l ) + l 2 ~ 2

e, portanto, P(k + 1) é verdade. Assim, como a validade de P{k) implica a validade de P(k+ 1), temos que P(n) é verdadeira para todos os números naturais.

• Evidentemente, como a soma dos n primeiros números naturais não é dada por " +2"+1 (qual a fórmula verdadeira?), existe uma falha na demonstração acima. Que falha é esta?

Capítulo 22

O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

22.1 Introdução

Calcular integrais usando somas de Riemann. tal qual vimos no capítulo anterior, é um trabalho penoso e por vezes muito difícil (ou quase impossível). Felizmente, existe um método muito eficiente e poderoso que permite calcular integrais de uma maneira muito mais simples. Este método, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostra que se uma determinada quantidade pode ser calculada por exaustão (somas de Riemann. por exemplo), então pode ser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivação, entendida como o processo de achar uma função conhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do cálculo e é um dos mais importantes de toda a matemática. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas são, de uma certa maneira, "operações inversas".

Este fato é evidenciado pela seguinte situação física. Considere uma partícula deslocando-se em linha reta, com velocidade conhecida v(t) > 0, em cada instante í, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(í) fornece a posição da partícula em cada instante t, o espaço total percorrido pela partícula em um intervalo de tempo [a, b] é dado por s(b) — s(a).

Considere agora uma partição P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espaço percorrido pela partícula em cada subintervalo de tempo [ ti-1, í;], de comprimento A í , da partição P, pode ser aproximado por v(ci) A í , onde Ci é um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espaço total percorrido pela partícula no intervalo de tempo [a,

n b], pode ser aproximado pela soma ^ ^ V(CÍ) A í . Esta aproximação será cada vez melhor à medida que A í for cada

i = l vez menor. Assim, temos que o valor exato do espaço percorrido será dado pelo limite da soma acima, ou seja,

n pb pb s(b) — s(a) = lim V « ( c , ) A í = / v(t)dt= / s'(t)dt.

Ja Ja

Este resultado é o chamado teorema fundamental do cálculo .

22.2 O teorema fundamental do cálculo

A abordagem de Newton do problema do cálculo de áreas parece, à primeira vista, paradoxal e consiste em substituir o problema do cálculo da área de uma região fixa (figura à esquerda) pelo cálculo da área de uma região variável, produzida quando a extremidade direita do intervalo é considerada móvel, de modo que a área seja uma função de x, como é ilustrado no diagrama da figura à direita.

295

296 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3

É fácil descobrir qual é a função que nos dá a área da região variável, como mostra a primeira parte da demonstração do teorema fundamental do cálculo enunciado a seguir.

Teorema fundamental do cálculo Seja f uma função continua definida no intervalo fechado [a, &].

1. Se a função A é definida em [a, b] por

A (® )= r f(t)dt, J a

então, A!{x) = /(x) para todo x em [a, b]. Uma função com tal propriedade é chamada de primitiva ou antide-ef

2. Se F é uma primitiva de f em [a, b], então

f J a f(x) dx = F(b) — F(a).

Antes de demonstrarmos o teorema, vamos salientar alguns aspectos geométricos da fórmula do item 2. Se / é positiva em [a, 6], então a função A definida em 1 representa a área sob o gráfico de / desde t = a até t = x (figura seguinte à esquerda).

E claro que A cresce com x. Se A x > 0, a diferença A A = A{x + A i ) - A(x) é a área sob o gráfico de / de x até I + A I , que corresponde à área da faixa mostrada na figura seguinte à direita.

Mostraremos que A(x + A i ) - A(x)

A x = f(c), onde c está entre x e x + Ax . Intuitivamente percebemos que se A x tende a zero, então c —> x e / ( c ) — f ( x ) , que é o resultado que queremos provar. Este resultado nos diz, simplesmente, que a taxa de variação da área A em relação a x é igual ao comprimento do lado esquerdo da região.

Demonstração

1. Seja A x > 0 . S e x e x + A x pertencem a [a, 6], então, pela definição da função A(x) e pelas propriedades das integrais definidas, temos que

PX+AX RX rx rx+Ax A(x + A x) - A(x) = / f(t)dt - f(t)dt= f(t)dt+ f(t) dt - f(t)dt

J a J a J a J x J a

' I .

x+A x f(t) dt

Assim, podemos escrever A(x + Ax)-A(x) 1 ,,

Como / é contínua, pelo teorema do valor médio para integrais sabemos que existe um número c (que depende de A x ) no intervalo (x, x + Ax) , tal que

fX-\-A x / f{t) dt = f(c) A i

J X

e, portanto, A(x + A x) - A(x) ,, ,

Ã í = / ( C ) * Como I < C x+

lim ^ + A X—»0+ A l ^ w

_ . „ , , A(x + Ax) - A(x) „. . be A i < 0, demonstra-se, analogamente, que lim = fíx). Ax-^o- Ax Os limites laterais acima implicam que

dA A(x + Ax) -A(x) .. . — l i m Ã = / w , dx A ^ O Ax J w

o que queríamos demonstrar.

2. Seja A(x) — / / ( í ) dt como definida em 1. Então, A(a) = 0 e A{b) = / f(t) dt. J a J a

Pela parte 1, A'{x) = f(x). Por hipótese, temos também que F'(x) = f(x). Logo, pelo corolário 2 do teorema do valor médio, as funções A e F diferem por uma constante, isto é,

A{x)=F{x)+C.

Para x = a, temos 0 = A{a) = F(a) + C, isto é, C = —F(a). Assim, A(x) = F{x) — F(a). Logo, para x = b,

A(6 )= [b f(t)dt = F(b)-F(a) J a

e o teorema está demonstrado.

Observações

1. A igualdade A'(x) — f(x) que aparece na parte 1 do teorema fundamental do cálculo pode ser reescrita como

e nos mostra que a derivada desta função é, simplesmente, o valor do integrando calculado no limite superior da integral. Temos também que

e por sua vez

l m * - l ± m * .

r Jt F(t) & = F{x) - F(a>.

Neste sentido, diz-se que as operações de derivação e integração são inversas uma da outra.

2. Usa-se a notação F(x)\b para representar a diferença F(b) — F(a). Assim, escrevemos

fb f(x)dx = F (x)\ba = F (&)- F (a). J a

3. Qualquer primitiva de f(x) servirá para o cálculo da J / ( x ) dx. A veracidade desta afirmação é facilmente comprovada se lembrarmos que quaisquer duas primitivas de / diferem por uma constante. Assim, se F é uma primitiva de / , então qualquer outra primitiva desta função é obtida adicionando-se uma conveniente constante C à função F para obter F + C. Deste modo, como

(F(x) +C)\ba = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a),

a constante arbitrária C não tem efeito sobre o resultado, portanto, podemos sempre escolher C = 0 quando estamos achando primitivas com o propósito de calcular integrais definidas.

4. Este teorema torna o difícil problema de calcular integrais definidas por meio do cálculo do limite de somas num problema muito mais fácil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de Jb f(x) dx não precisamos mais calcular limites de somas de Riemann: simplesmente achamos, da maneira que for possível (por inspeção, por algum cálculo inteligente, por inspiração divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitiva F da função que queremos integrar e calculamos o número F(b) — F(a).

5. A tarefa de encontrar primitivas de funções não é trivial e, em alguns casos, é impossível determinar primitivas em termos de funções elementares - polinómios, senos e cossenos. logaritmos e exponenciais, ou combinações e composições destas funções. No entanto, a função A(x) definida no teorema fundamental do cálculo existe sempre que o integrando for uma função contínua no intervalo [a, x], mesmo que não saibamos calculá-la explicitamente, e é contínua, pois é derivável. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma fórmula explícita para a integral

/ sen(x2) dx J a

está fora do nosso alcance. Entretanto, se em vez de procurarmos uma fórmula explícita para esta integral quisermos apenas uma função bem definida, a expressão F(x) = f* sen(x2) dx servirá como uma boa definição para a função procurada. (Veja o Exemplo 5.)

Exemplo 1 Se n é um inteiro positivo, calcule uma primitiva de xn e use este resultado para calcular f^ x5 dx.

Solução Como

cálculo obtemos:

d Íx^+V dx \ n + 1

xn. temos que — éa primitiva procurada. Assim, pelo teorema fundamental do o

x° dx = — 6

26 6

("l)e 63

T

Exemplo 2 Calcule \ x2 — x | dx .

Solução Como x2 — x < 0 em (0,1) e x2 — x > 0 em (—1,0) e (1,2), usando as propriedades da integral definida, temos

\x — x \ dx = C° 2 f1 f2 2 x — xdx + x — x dx + x — xdx -i J o J1

~ x 3 X21 0 rx2 X 3 '

3 2 -f- 2 3

- f í - l ) 3 ( - 1 ) 2

1 I - f í 3 2 ) 1

J i

22 1 1 11 2 3 2 6

Exemplo 3 Considere a função f(x) = 2x3 + 2x2 — 4x


(a) Calcule / ( x ) dx. (b) Ache a área da região limitada pelo gráfico de / e o eixo x.

Solução (a) Como a função F(x) = + ^f 2 x2 é uma primitiva de f(x) = 2x3 + 2x2 — 4x, tem-se que

í 2x3 + 2x2 - Axdx = + - 2 i 2 j - 2 2 3

(b) Observe o seguinte gráfico da função / :

1 2 „ (—2) 2 (-2 3 , 9 = —í 2 - ^ i - + -A >— - 2 - 2 2) = 2 3 v 2 3 y '' 2

\ 3-\V

R1 \ 1

- 3 -j2 - 1 R 2 / I X 2 3

A região limitada pelo gráfico de / e o eixo x é composta de duas regiões RI e R2. A área de RI é dada por

(_2)4 2 (—2)3 x 2 x 2 x3 + 2 x2 — 4x dx = — + — 2 x

No intervalo (0,1) a função é negativa, de modo que, para obter a área (positiva) da região R2, devemos mudar o sinal da integral de / neste intervalo. Assim, a área de R2 será dada por

- 2x6 + 2xz -4xdx = -J o

x4 2 x3 , T + - T " 2 *

, 1 2 5 = - ( õ + õ - 2 ) = « -* 2 3 6

Logo, a área R da região pedida será

Este raciocínio é equivalente a integrarmos o valor absoluto de / no intervalo considerado, pois

r = r i + r 2 = 1 4 + I = T 3 6 6

/

I M pl

\f(x)\dx= / f(x)dx- / f(x)dx, 2 J-2 J0 e esta soma fornece a área que queremos calcular. Esta conclusão é ilustrada pelo gráfico de y = j / ( x ) |, mostrado a

seguir. Compare este gráfico com o de y = f(x) traçado anteriormente.

- 3 - 2 - 1 1 x 2 3

dy Exemplo 4 Calcule — , se

dx (a) y = f(x)= t3 sen (í) dt r 2

(b) y = h(x) = t3 sen(í) dt J o

Solução (a) A primeira parte do teorema fundamental do cálculo afirma que a derivada de uma integral em relação ao seu limite superior é igual ao valor do integrando naquele limite. Assim, se y(x) = f* t3 sen (i) dt, temos, imediatamente, que ^ = x3sen(x).


(b) Este caso é um pouco mais complicado, pois o limite superior da integral é uma função da variável em relação ã qual desejamos derivar a função dada. Neste caso, seja u = g(x) = x2. Assim, se

ÇU

F(u) = / t3sen(t) dt J o

então, h{x) — {F o g)(x). Pela regra da cadeia.

dh dF du — = ——— = u3 sen(u)2x = x6sen(x2) 2x = 2x7seníx2) dx du dx

Exemplo 5 A integral S(x) = f* sen dt é chamada função de Fresnel e apareceu pela primeira vez no trabalho do físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por suas contribuições em ótica sobre a difração de ondas de luz.

(a) Para que valores de x esta função tem máximos locais.

(b) Em que intervalos esta função é côncava para cima?

Solução (a) A primeira parte do teorema fundamental do Cálculo nos mostra que

S'(x) = sen •

A partir desta informação, podemos aplicar os métodos do cálculo diferencial para analisar esta função. Como S' é contínua em toda a reta, os pontos críticos de S só poderão ocorrer onde S'(x) = 0, ou seja, onde sen = 0- Daí, decorre que x = para k — 0,1,2 —

Para decidir quais destes pontos são máximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como S"(x) = 7T x cos temos que, para valores ímpares de k, S"(\/2~fc) será negativa e, portanto, os pontos x = V2k (k impar) serão máximos locais da função S.

A análise é análoga para o caso em que x = -y/2k. O ponto (0,0) é um ponto de inflexão da função S. (Confira!)

O item (b) é deixado como exercício para o leitor. Veja abaixo, à esquerda, o gráfico desta função traçado com a ajuda do Maple e abaixo à direita um detalhe do

mesmo (para x variando de 0 até 2,5) traçado em conjunto com a sua derivada. Observe que as conclusões obtidas acima coincidem com os gráficos apresentados.

22.3 Integrais indefinidas

f b Uma integral como / f(x) dx é chamada integral definida de f. Uma função F, tal que F'(x) = f(x), é uma primitiva

J a de f(x), assim como F(x) + C, onde C é uma constante real qualquer. A medida que variamos C, obtemos o conjunto de todas as primitivas de / . Podemos representar este conjunto por

J f(x) dx = F(x) + C.


A integral que aparece nesta expressão é chamada integral indefinida de f e é usada para especificar a primitiva mais geral de / . Assim,

J f(x) dx = F(x) + C se e somente se F'(x) = f(x)

e podemos escrever que

^ J f(x)dx = -^(F(x) + C) = f(x) e J f(x)dx = J ^ F(x) dx = F(x) + C.

A constante C é chamada de constante de integração. Para cada valor de C temos uma primitiva de / . Veja a figura a seguir, onde traçamos o gráfico de várias primitivas da função / ( x ) = (x — 2)2, obtidas pela variação do valor da constante C.

Em geral, não se explicita o domínio de F. Supõe-se sempre escolhido um intervalo em que / seja integrável. Tal como no caso de integrais definidas, aqui também é irrelevante o símbolo adotado para a variável de integração, por exemplo, J f(t) dt, f f(u) du, etc. originam sempre a mesma função F. Como a integral indefinida de / é uma primitiva desta função, o teorema fundamental do cálculo nos dá a seguinte relação entre integrais definidas e indefinidas:

f(x) dx ~ a

Assim, conhecida a integral indefinida de uma função / , podemos calcular qualquer integral definida desta mesma função. Além disso, a partir das propriedades operatórias de derivação, podemos estabelecer algumas regras básicas para as integrais indefinidas. Por exemplo, a propriedade operatória para derivar somas de funções pode ser traduzida em termos de integrais indefinidas como

J J a f{x) dx =

J(f(x) + g(x)) dx = J f{x) dx + J g(x) dx.

Da mesma forma, se C é uma constante arbitrária,

J C f(x) dx = C J f(x)dx.

Assim, tal como no caso de integrais definidas, toda regra de derivação pode ser transformada em uma regra de integração. Por exemplo, como

Esta observação nos permite construir uma tabela de integrais "invertendo" uma tabela de derivadas, como é feito nos exemplos a seguir.

Exemplo 1 A regra da potência para integrais definidas é dada por

/ xn dx = b C, para todo racional n — 1. J n+1

Exemplo 2 Da mesma maneira, valem as regras

Jsen(x) dx = —cos(x) + C Jcossec2(x) dx = —cotg(x) + C

Jcos(x) dx = sen(x) + C j ^ ^ 2 dx = arctg(x) + C

J sec2(x) dx = tg(x) + C / 1 = dx — arcsen(x) + C

Como já dissemos, a tarefa de encontrar primitivas e, portanto, de calcular integrais indefinidas, não é trivial. Nos próximos capítulos, desenvolveremos métodos que serão úteis no cálculo de integrais indefinidas.

22.4 Exercícios 1. Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do cálculo:

(a) I x2 dx (c) I cos(x) dx „ Ji Jo , s f 4 2 . „7T „1 (e) / sec x dx

(b) / sen(x)dx (d) / 5 x3 — 4 x2 + 2 dx J o Jo Jo

2. Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:

(a) / 5 x5 + 3 x3 + sen(2 x) dx (d) / V 3 x — J-1 J 2 V x ( \ f

rir rir lêj / (b) / sen(x) cos(x)dx (e) / cos(5x)dx x7

J o Jo f

(c) J V 3 X - 2 d x (f) J

r2 x3 + x4

x dx

—T —% dx (h) / 2xcos(x2) dx

Jo

3. Usando as propriedades das integrais definidas e o teorema fundamental do cálculo, prove que a integral de um polinómio de grau n é dada por:

rb n n , c

3 i=0 i=o v x ( i + 1 )

b

4. Seia f(x) — < X ^ 5 !!. Calcule í f(x)dx. J J w | cos(x) x > o y_1 J v '

5. Em cada um dos itens abaixo, determine um número c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio para integrais definidas:

(a) í v í + 1 dx (c) í 3x3 + 2dx Jo J-i

(b) J (2 x + l)2 dx (d) J ^dx

6. (a) Se / (x ) = x2 + 1, determine a área da região sob o gráfico de / de —1 a 2. (b) Se / (x ) = x3, determine a área da região sob o gráfico de / de 1 a 3.

7. Use integração para calcular a área do triângulo delimitado pela reta y = 2 x, pelo eixo x e pela reta x = 3. Confira sua resposta usando geometria.

8. Use uma integral definida para provar que a área de um triângulo retângulo de base b e altura a é dada por -y.

9. Cada uma das curvas a seguir tem um arco acima do eixo x. Calcule a área da região sob o arco. (a) y — -x3 + 4 x (c) y = 2 x2 — x3

(b) y — x3 — 9x (d) y = x4 - 6 x 2 + 8 .

10. Ache a fórmula geral para F(x) — t2 + 2t + 5 dt. Idem para f* t5 - 2t3 + 1 dt.

11. Ache a primeira e a segunda derivada de cada uma das funções dadas abaixo:

(a) f(X) = fxt2dt (c) h(x) = J^yr^dt L 3 (e) f(x)= - dt, para x > 0.

(b) g(x)= / t3 + ldt (d) g(x) = / (l + i3)1 0 0dí J x

J 7T Jx

22.5 Problemas 1. Ache a área sob o gráfico de y = ^ desde x = 1 até x = 2.

(A menos que você consiga se lembrar de alguma função cuja derivada seja > v o c ê não terá como resolver este problema. O radical no denominador sugere que, de alguma forma, você deve tentar usar a fórmula (y/J)' =

2. Calcule J t ^ dt. Sugestão: Esboce o gráfico desta função e explique por que o valor desta integral pode t /_i y/¥+1

ser determinado sem ser necessário fazer nenhum cálculo!

3. Calcule / sen(x) (cos(x) + 3x2 — a; sen(a;)) dx. f

(Se você achou este problema difícil, use o Maple para traçar o gráfico do integrando e conclua por que não é necessário nenhum cálculo para resolver esta integral!)

4. (a) Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(—x) = —f(x), mostre, geométrica e analiticamente, que J"" f(x)dx = 0.

(b) Se f(x) é uma função par, isto é f(—x) — f(x), mostre, geométrica e analiticamente, que f(x)dx = 2f0af(x)dx

5. O gráfico de y = x2, x > 0, pode ser considerado como sendo o gráfico de x = y/y, y > 0. Mostre, por geometria, 2

que isto implica a validade da equação /Qa x2 dx + f° y/y dy — a3, a > 0. Confira este resultado calculando as integrais.

6. Para calcular a integral f^ dx, um aluno de Cálculo I raciocinou da seguinte maneira: Seja F(x) = —-. Como F'(x) = , temos que

f_i^2dx = F{l)-F{-l) = - l - { - ± i ) = - 2 .

O resultado acima representa, geometricamente, a área sob o gráfico da curva y = ^, de x = —1 até x = 1 que, evidentemente, não pode ser negativa. Qual a falha no raciocínio deste aluno?

7. (a) Seja um ponto P que se move com velocidade contínua v numa reta coordenada. Mostre que a velocidade média deste ponto, no intervalo [a, &], é igual à média de v em [a, b\.

(b) Se / tem derivada contínua em [o, 6], mostre que a taxa média de variação de f(x) em relação a x em [a, b] é igual ao valor médio de / ' em [a, b]. *

8. Uma pedra cai de um edifício de 40 metros de altura. Ache a velocidade média da pedra se ela demora 18 segundos para atingir o solo.

9. A temperatura média da praia de Copacabana em um dia de verão das 8 da manhã às 6 da tarde é dada, aproximadamente, por T(t) = 25 + 16sen(y^). Considerando t = 0 às oito da manhã, calcule a temperatura média da areia no período de 10 horas discriminado acima.

10. Os itens abaixo se referem à função F(x) = Jq jt^ dt, qualquer que seja x real. (a) Ache F(0) e F' ( l ) . (b) Justifique por que F(3) - F(l) < 1.

(c) Justifique por que F(x) + F(—x) = 0, qualquer que seja o número real x.

(d) Mostre que F é invertível em toda a reta e calcule {dFdx * )(1)-

11. (a) Ache a área A, como uma função de k, da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta y = k, k > 0, e pelo gráfico da função y = x3.

(b) Qual o valor de A quando k = 1? (c) Se a reta y = k está se movendo para cima a uma taxa constante de ^ unidades de comprimento por

segundo, qual a taxa de variação de A quando k = 11

12. Seja g(x) = f(t) dt, onde f é a função cujo gráfico é mostrado a seguir.

(a) Calcule g(4), g(-4), g(-3), g(0) e g{2). (b) Em que intervalos g é crescente? (c) Em que ponto g atinge o seu valor máximo? (d) Esboce o gráfico de g. (e) Use o gráfico obtido no item anterior para esboçar o gráfico de g'. Compare o gráfico assim obtido com o

gráfico de g.

/ V ^ \0.8-i w -

/ o i--A -2

-0.2--0 .4 --0.6--0.8-

\ 2 ,4

13. Suponha que g'{x) < 0 para todo i > 0 e seja F(x) = f* t g'{t) dt, para todo x > 0. Justifique a veracidade ou a falsidade das afirmações: (a) F é negativa para todo x > 0. (c) F'(x) existe para todo x > 0. (b) F é contínua para todo x > 0. (d) F é uma função crescente.

14. Seja f(x) uma função duas vezes diferenciável, tal que f" é contínua em toda a reta. Sabendo que / (0) = - 4 , / (1) = 3, / ' (0) = 5, / ' (1) = 2, / " (0 ) = 3 e / " (1 ) = 1, calcule £ f"{x) dx e £ f(x) dx.

15. Mostre que { f f(t)dt \ = f{u2ix)) ( - f(uAx)) f ^ r ^ Y Use este resultado para calcular dx yJmix) J \ dx J \ dx J

22.6 Um pouco de história: A integral de Lebesgue O método de calcular áreas e volumes de figuras geométricas complicadas por meio de áreas e volumes de figuras mais simples, já era usado por Arquimedes (287-212 a.C.). Tal idéia foi o germe do que se convencionou chamar de cálculo infinitesimal. Embora esta idéia seja tão antiga, sua formalização matemática, denominada teoria da integração, teve seu apogeu no século atual. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embrionária, nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o Método da Exaustão criado por Eudoxo (408-355 a.C.), no cálculo de comprimento de curvas, de áreas e de volumes de figuras geométricas. Um dos resultados obtidos por Arquimedes com o emprego deste método é descrito no projeto Arquimedes e a quadratura da parábola.

Ainda que os conceitos de derivada como coeficiente angular da tangente e da integral definida como área sob uma curva fossem familiares a muitos pensadores desde a Antiguidade, dizemos que Newton e Leibniz lançaram as bases do cálculo diferencial e integral porque eles, trabalhando quase ao mesmo tempo e independentemente um do outro, foram os principais descobridores do teorema fundamental do cálculo e aqueles que primeiro compreenderam


a sua importância, começando a construir a necessária teoria para o estabelecimento destas noções em bases sólidas, aplicando os seus resultados, com sucesso espetacular, a problemas de mecânica e geometria.

Entretanto, Newton e Leibniz não possuíam com clareza a noção de limite, deixando duvidosos e obscuros vários pontos de seus trabalhos, com a introdução do conceito de infinitésimo.

Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866), o conceito de integral foi estabe-lecido em bases matemáticas rigorosas, tornando-se para a época um instrumento poderoso na resolução de inúmeros problemas.

Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integração baseada nas idéias de Riemann. Esta teoria, entre-tanto, contém certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de vários problemas da análise matemática. Na seção Para você meditar, deste capítulo, focalizamos um desses inconvenientes.

Como a noção de integral de Riemann apresenta certas deficiências que a tornam ineficaz para a resolução de um grande número de problemas, fez-se necessária a reformulação de tal conceito, com o objetivo de se obter uma integral sem as deficiências da integral de Riemann e a contendo como um caso particular. Dito de outro modo, dever-se-ia obter uma integral tal que a nova classe de funções integráveis contivesse a classe de funções integráveis a Riemann (onde as duas integrais deveriam coincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desaparecessem ou, pelo menos, fossem minimizados.

O passo decisivo no sentido de se obter uma definição de integral que eliminasse as deficiências existentes na integral de Riemann foi dado por Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosa tese de dou-toramento, intitulada "Intégrale, longuer, aire", que atualmente está contida no livro Leçons sur l'Intégration et la Recherche des Fonctions Primitives. O conceito de integral originalmente proposto por Lebesgue baseia-se na noção de medida de conjuntos, e as suas idéias se afastaram tanto dos cânones da época que foram, a princípio, refutadas e severamente criticadas. Todavia, a originalidade de suas idéias encontrou crescente reconhecimento, vindo a completar definitivamente certas lacunas inerentes à integral de Riemann.

A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frutífera de organização matemática da noção de integral. Neste sentido, costuma-se dizer que a teoria de integração foi criada no século XX.

22.7 Para você meditar: Uma conclusão intuitiva ou um erro teórico?

Dizemos que uma função u:(a, b) —> K é uma função escada quando existe uma partição do intervalo (a, b) tal que u é constante em cada subintervalo desta partição. No capítulo anterior, utilizamos áreas de retângulos inscritos (ou circunscritos) a uma região para obter aproximações para áreas sob gráficos de funções / positivas. Observe o gráfico a seguir e conclua que, se m; é o menor valor da função / em cada subintervalo da partição, a área dos retângulos inscritos é a área sob o gráfico de uma função escada que assume o valor mi em cada subintervalo considerado.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

No capítulo anterior concluímos, também, que o valor exato da área sob uma curva poderia ser obtido tomando-se o limite das áreas desses retângulos. Seguindo o mesmo raciocínio, podemos observar que à medida que o número de intervalos considerados na partição aumenta, a seqüência de funções escadas un associadas, da maneira descrita acima, a cada subintervalo das partições, converge para a função / , isto é, lim un = / , e desse modo,

rb fb fb

lim / un(x)dx= / lim un(x)dx= / f(x)dx. n — > o o „ l „ n—>co / J a J a J a

Estas afirmações são ilustradas no diagrama:

-j-rfíf

LÀ Considere agora a seqüência de funções gn definidas por

2 n 2 x,

gn(x) = 2n - 2n2x, ^ < x < ^

0 < x < ~ — — 2, n

o, < x < 1

Observe os gráficos de g\{x) e g2(x):

A / \

0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 0.2 0.4 x 0.6 0.6 1

É fácil ver que, à medida que n cresce, para cada x fixado, a seqüência gn{x) converge para zero. Assim, podemos dizer que lim gn{x) = 0. No entanto, para cada n, temos que f^ gn{x) dx = \ (por quê?) e, portanto,

lim I gn(x) dx = ^ ^ 0 = / lim gn(x) dx 7o ^ Jo n^oo

í b < E agora, será que a nossa definição de área sob uma curva está errada, pois não é verdade que lim / un (x) dx = n—too I „ J a

Í J a lim un(x)dx?

• Se a conclusão no primeiro exemplo apresentado acima é correta, qual a diferença entre os dois exemplos dados? Por que no primeiro caso vale a igualdade

lim n—>oc rb nb

I un(x) dx = / lim un{x)dx /„ n—too J a J a

e no segundo este resultado não se aplica? (Sugestão: O cerne deste problema está na definição de convergência para seqüência de funções. O modo como as seqüências acima convergem para a função limite é diferente nos dois casos apresentados. Tente entender onde está esta diferença!)

22.8 Projetos

22.8.1 Arquimedes e a quadratura da parábola Vamos examinar o procedimento utilizado por Arquimedes para calcular a área de um segmento parabólico, isto é, a área da região limitada por uma parábola e pela reta AB, como mostra a figura à esquerda.


Para calcular a área desta região, Arquimedes utilizou triângulos da maneira descrita a seguir. Sua primeira aproximação foi o triângulo ABC, onde o vértice C é escolhido como o ponto em que a tangente à parábola é paralela à reta AB. (Veja figura à direita.)

Sua segunda aproximação foi obtida juntando-se ao triângulo ABC os dois triângulos ACD e BCE, onde o vértice D é o ponto em que a tangente é paralela à reta AC e o vértice E é o ponto em que a tangente é paralela à reta BC, continuando com este processo, até "exaurir" a área do segmento parabólico.

Desta maneira, Arquimedes calculou a área do segmento parabólico e mostrou que existe uma relação entre esta área e a área do primeiro triângulo utilizado para este cálculo.

O objetivo deste projeto é utilizar conhecimentos de cálculo, para descobrir no procedimento descrito acima a relação existente entre as áreas do segmento parabólico e do primeiro triângulo utilizado por Arquimedes em um caso particular.

1. Considere a reta y = mx + b e a parábola y = x2. Determine o ponto P no arco AOB da parábola que maximize a área do triângulo APB, onde A e B são os pontos de interseção da reta e da parábola e O é a origem do sistema de coordenadas.

2. Relacione a área deste triângulo ótimo com a área da região delimitada pela reta e pela parábola.

3. Usando o teorema do valor médio, mostre que no ponto P a reta tangente à parábola é paralela à reta AB.

4. Use os itens anteriores para concluir qual a relação estabelecida por Arquimedes no seu trabalho sobre a qua-dratura da parábola.

22.8.2 Separação de variáveis, velocidade de escape e buracos negros Grande parte da inspiração original para o desenvolvimento do Cálculo veio da Física, mais especificamente, da Mecânica, e estas ciências continuam ligadas até hoje. A Mecânica é baseada em certos princípios básicos que foram formulados por Newton. O enunciado destes princípios requer o conceito de derivada, e suas inúmeras aplicações dependem do conceito de integral aplicado à resolução de equações diferenciais: equações que envolvem uma função e suas derivadas.

Resolver uma equação diferencial significa encontrar uma função incógnita a partir de informações dadas a respeito de sua taxa de variação. Essas equações aparecem tão freqüentemente em problemas físicos, biológicos e químicos que seu estudo, hoje, constitui-se num dos principais ramos da Matemática.

No projeto Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado, vimos como a partir de leis físicas (no caso a segunda Lei de Newton) foi possível obter uma equação diferencial que modela a queda livre de corpos e então deduzir várias fórmulas para este movimento que usamos desde o segundo grau, sem uma justificativa mais profunda.

Nos exemplos estudados naquele projeto, tratamos a aceleração da gravidade como se fora uma constante e vimos que esta hipótese é razoável para corpos que se movem próximos à superfície da Terra. No entanto, para estudar o movimento de um corpo que se move para fora da Terra, no espaço, devemos levar em conta que a força da gravidade varia inversamente com o quadrado da distância do corpo à Terra.

Esta lei, conhecida como lei da gravitação de Newton, em homenagem ao grande matemático e físico que a estabeleceu, afirma que duas partículas quaisquer de matéria no universo se atraem com uma força proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. O objetivo deste projeto é utilizar esta lei e nossos conhecimentos sobre integrais para estabelecer a velocidade necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da Terra.


Equações diferenciais e separação de variáveis

Vimos que a equação f f(x) dx = F{x) é equivalente a F'(x) = f(x). Esta afirmação pode ser interpretada de duas maneiras.

(a) Podemos pensar no símbolo J. dx operando sobre a função f(x) para produzir sua primitiva. Dessa maneira, o sinal de integral e o símbolo dx são, juntos, parte de um mesmo símbolo. O sinal de integral especifica a operação, e o único papel de dx é assinalar qual é a variável de integração.

(b) Uma segunda interpretação para a equivalência acima é baseada na notação e no conceito de diferencial de uma função introduzido no Cap.20. Usando diferenciais, a igualdade F'(x) = f(x) pode ser escrita como dF{x) = f(x) dx, onde f(x) dx é encarada como a diferencial da função F(x). Segundo este ponto de vista, o sinal de integral pode ser entendido como um operador que age sobre a diferencial de uma função, ou seja, sobre f(x) dx, retornando, como resultado, à própria função. Assim, o símbolo de integral significa a operação que é a inversa da diferenciação.

Esta segunda interpretação é particularmente conveniente para a resolução de certas equações diferenciais simples. Como dissemos na introdução, uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função (a incógnita do

problema) e suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que ocorre na equação. Ao integrarmos uma função qualquer, estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. Assim, usando notação diferencial, a equação ^ = 3x2 é equivalente a dy = 3 x2 dx. Para resolver esta equação diferencial, basta integrarmos

J dy = J 3 x2 dx =>• y = x3 + C.

Esta solução é chamada solução geral da equação diferencial dada, e escolhas diferentes para a constante de integração C fornecem soluções particulares.

De um modo geral, se uma equação diferencial pode ser escrita na forma

g{y) dy = f(x) dx,

com as variáveis x e y "separadas" em diferentes membros da igualdade acima, podemos integrar ambos os lados da identidade para obter a solução da equação.

Velocidade de escape

Suponha que um foguete seja lançado para cima com velocidade inicial VQ e depois disso se mova sem nenhum gasto posterior de energia. Para valores grandes de u0, este foguete sobe bastante antes de atingir o repouso e iniciar sua queda de volta à Terra. O problema que propomos é o de calcular a menor velocidade vo para que o foguete jamais atinja o repouso e, por causa disso, escape da atração gravitacional da Terra.

De acordo com a lei da gravitação de Newton, a força F que atrai o foguete para a Terra é dada por F = —G^^j11), onde G é uma constante positiva, M e m são as massas da Terra e do foguete, respectivamente, e s é a distância do foguete ao centro da Terra (neste caso toda a massa da Terra está concentrada no seu centro). Como pela segunda lei do movimento de Newton, F = ma, temos que

d2 s Mm d2 s GM

Esta equaçao nos diz que o movimento do foguete não depende da sua massa. Além disso, podemos determinar o tf s dt5 valor da constante G se lembrarmos que, quando s = R (raio da Terra), a aceleração 4r# é igual a —g (aceleração a

gravidade). Então, temos que GM = gR2, e como = podemos escrever (*) como

, , dv gR2

Como, pela regra da cadeia, ~ = = a equação (**) se transforma em


1. Separe as variáveis e integre para obter a solução geral desta equação diferencial.

2. Use a condição inicial v = vo, quando s = R, para determinar, dentre todas as soluções possíveis da equação, a solução particular que nos interessa, isto é, determine o valor da constante de integração a fim de que a solução encontrada satisfaça os dados iniciais do problema em estudo.

3. Examinando a solução encontrada, determine a velocidade de escape da Terra. (Lembre-se de que a velocidade do foguete deve ser sempre positiva, pois se a velocidade se anular, o foguete pára e, então, cai de volta à Terra.)

4. Estime o valor da velocidade de escape usando para g o valor de 9,8 m/s2 e para R, 6, 37 x 106 m.

5. Como vimos nesta discussão, a lei da gravitação de Newton implica que a gravidade na superfície de um planeta ou qualquer outro corpo celeste é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado do seu raio.

(a) Se gL denota a aceleração devida à gravidade da Lua, use o fato de que a Lua tem, aproximadamente, ^ do raio e da massa da Terra para mostrar que gL é aproximadamente igual a

(b) Calcule a velocidade de escape para a Lua. (c) Explique por que se o raio de um corpo diminui e sua massa se mantém constante a velocidade de escape

para este corpo cresce.

Buracos negros

A maioria das estrelas normais é mantida em seu estado gasoso em virtude da pressão de radiação de dentro, que é gerada pela queima de combustível nuclear. Quando o combustível nuclear se distribui, a estrela sofre um colapso gravitacional, transformando-se numa esfera muito menor com, essencialmente, a mesma massa.

A matéria comprimida e degenerada dessas estrelas que caíram em colapso pode alcançar dois tipos de equilíbrio, dependendo da massa da estrela. As estrelas anãs brancas são as que se formam quando a massa é menor que cerca de 1,3 massas solares, e estrelas de nêutrons aparecem quando a massa está entre 1,3 e 2 massas solares. Para estrelas mais pesadas, o equilíbrio não é possível e o colapso continua até que a velocidade de escape na superfície atinja a velocidade da luz. Estrelas em colapso deste tipo são completamente invisíveis, pois não emitem nenhuma radiação. Estes são os chamados buracos negros. • Se o sol pudesse ser concentrado numa esfera menor com a mesma massa, qual seria um valor aproximado do seu raio para que a velocidade de escape em sua superfície fosse igual à velocidade da luz (aproximadamente 300.000 km/s)?

Capítulo 23

Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição

23.1 Integração por substituição em integrais indefinidas 0 teorema fundamental do cálculo permite que se resolva rapidamente a integral

/ f(x) dx, J a

desde que se conheça uma primitiva F para a função / . Como vimos no capítulo anterior, em alguns casos achar uma primitiva é bastante fácil: basta olharmos uma tabela

de derivadas ao contrário. Assim, concluímos imediatamente que

/d

cosia;) dx = senía;) + C , visto que — (sen(x) + C) = cos(x). dx Embora a integral f cos(2 x) dx seja semelhante à anterior, neste caso existe uma pequena diferença. Como

4- (sen(2 x)+C) =2 cos(2 x), dx

a primitiva procurada será dada por sen(2 x)

e assim,

/.„ , , sen(2x) „ cos(2 x) dx = + C.

Repare que para obter este resultado não foi suficiente usar uma tabela de derivadas ao contrário. Para resolver esta última integral foi necessário perceber que sen(2 x) difere da derivada de cos(2 x) apenas por um fator constante, reduzindo a tarefa de achar uma primitiva para esta última função a uma pequena manipulação algébrica.

No entanto, a tarefa de achar primitivas e, portanto, de integrar uma função nem sempre é tão simples como o exemplo acima parece indicar. Ao contrário, na maioria dos casos é impossível determinar rapidamente, com uma simples olhada, a primitiva de uma função, o que nos leva a estudar métodos gerais de integração.

Estes métodos, em geral, se originam das regras de derivação. A regra da cadeia para a derivada de funções compostas dá origem ao método de integração chamado de integração por substituição ou de mudança de variável, que é um dos métodos de integração mais poderosos.

Na introdução desta seção, foi possível concluir que

í . . 7 sen(2x) / cos(2 x) dx = 1 — - + C ,

porque percebemos que, de alguma maneira, a integral / cos(2 x) dx estava relacionada com a integral conhecida f cos(x) dx = sen(x) + C.

Da mesma forma, parece razoável supor que a integral

J cos(3x + 1) dx

310

também esteja relacionada com a integral da função cosseno. Para ver como isto acontece, fazemos

u = 3x + 1.

Deste modo, cos(3 x + 1) = cos(w),

como queríamos. Repare que se u = 3x + 1, então a diferencial de u é du = 3 dx. Note que se o termo dx que aparece na notação

de integral pudesse ser interpretado como uma diferencial, teríamos

u = 3x + l<i=?du = 3 dx.

Assim, formalmente, sem justificar nossos cálculos, poderíamos escrever

J cos(3 x + 1 ) dx = ^ J 3 cos(3 x + 1) dx = i J cos(u) ^ = s e n ^ ) + c = s e n ( 3 x + l ) + ^

Derivando a função sen(333:+1) C, podemos verificar, facilmente, que o resultado encontrado acima é correto. As manipulações algébricas feitas no exemplo estudado são justificadas pela regra da cadeia. Este método pode

ser interpretado como o inverso desta regra e é um caso especial da fórmula mais geral

J f{g{x))g'{x)dx = j f(u) du,

onde u = g(x) e du = g'(x)dx, como explicamos a seguir.

Recorde que se F e g são funções conhecidas, pela regra da cadeia a derivada da composta F o g é

{Fog)\x) = F\g{x))g\x).

Assim, podemos escrever

j F'{g{x)) g'(x) dx = (Fog)(x) + C = F(g(x)) + C.

Se F for uma primitiva de / , isto é, F' — f, teremos

(Fogy(x) = f(g(x))g'(x)), isto é,

' f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C.

Por outro lado, ' f(u) du = F(u) + C,

assim, chamando u = g{x) e comparando as duas igualdades acima, conclui-se que du = g'(x)dx. Este método chama-se integração por substituição porque depende de uma substituição ou mudança de variável

para simplificar a integral. O ponto essencial a ser lembrado quando utilizamos este método é que a substituição u = g(x) implica que du = g'(x) dx.

Exemplo 1 Calcule J"2xcos(x2) dx.

Solução Fazendo u = x2 du = 2 x dx e desse modo a integral acima se reduz a / cos(tt) du. Conseqüentemente,

/ 2 x cos(x2) dx = J cos („) d . = sen(u) + C = sen(x2) + C .

312 Cap. 23 Resolvendo integrais pelo método de substituição

Exemplo 2 Calcule as seguintes integrais (a) J x3 \/x4 + 2 dx

Solução Observe que (x4 + 2)' = 4x 3 . Isto sugere a substituição u = x4 + 2. Neste caso, du = 4x3 dx =>• x3 dx = Assim,

" 1

f x2 + 1 (b) J (x3 + 3 x)2 **

Solução Aqui, fazemos a substituição u = x3 + 3x, obtendo dw = (3x2 + 3) dx, o que acarreta (x2 + 1) dx = Assim,

x2 + l , f du 1 1 , ^ 1 1 J 3M2 dx= -—r = --- + c = -~—0—— +C.

(x3 + 3x)2 J 3u2 3 u 3 x3 + 3 x

(c) j sen(x) cos(x) dx

Solução Nesta integral, tanto podemos fazer a substituição u = sen(x) como u = cos(x). Optando pela primeira, temos que du = cos(x) dx. Assim,

/r sen2 x

sen(x) cos(x) d x = / udu = — + C = — 1- C

Exercício Resolva esta mesma integral usando a segunda opção e tente chegar ao mesmo resultado.

Como os exemplos acima mostram, é difícil, de fato impossível, dar uma regra geral dizendo, em cada caso, que substituições devem ser feitas, isto é, como escolher a função u de maneira a obter a melhor simplificação. O sucesso deste método depende de se ter uma integral em que uma parte do integrando seja a derivada de uma outra parte, a menos de um fator constante (fatores constantes podem ser "ajustados", como foi feito nos exemplos anteriores). Para resolver uma integral por este método, você deve, portanto, procurar partes do integrando que são derivadas de outras partes, como no primeiro exemplo, onde 2x é a derivada de x2.

23.2 Integração por substituição em integrais definidas Vejamos agora o que acontece quando empregamos o método da substituição para calcular integrais definidas. Vamos examinar um exemplo bem simples e interpretá-lo geometricamente. Calcular a integral f3 (x — 2)2 dx é equivalente a encontrar a área sob o gráfico da função y — (x — 2)2, limitada pelas retas x = 3 e x = 4 (figura a seguir à esquerda). Esta área é igual a área sob a curva y = x2 e entre as retas x = l e x=2 (figura a seguir à direita).

meio de uma translação, 2 unidades para direita. Neste caso, temos que

J (x - 2)2 dx = J u2 du (*)


Esta identidade pode ser obtida aplicando-se o método da substituição para resolver a primeira integral. Assim, seja u = x — 2. Então, dw = dx, e, desse modo, temos que f(x — 2)2 dx = J u2 du.

Esta substituição, porém, não resolve inteiramente o problema proposto. Para calcularmos a integral definida e, portanto, a área da região representada por esta integral é necessário calcularmos os novos limites de integração.

Os limites de integração na primeira integral significam que queremos calcular a área sob o gráfico da curva y = / (x ) , para x variando entre as retas x = 3 e x = 4. Mas, como u = x — 2 quando x varia de 3 até 4, u varia de 1 até 2, e daí, segue (*).

Neste ponto, observando que uma primitiva da função u2 é podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo para resolver a integral transformada e então obter a área procurada, como a seguir:

J {x - 2)2 dx = ^ 2 , U3 u du = —

O

2 23 l 3 _ 7 ~3 ~ ~3 ~ 3

Um caminho alternativo para resolver este problema é usar o método da substituição para integrais indefinidas, como foi descrito na seção anterior, com o objetivo de encontrar uma primitiva da função que se quer integrar e, então, usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do cálculo para resolver o problema proposto.

Assim, como vimos acima, fazendo a substituição u = x — 2 na integral J(x — 2)2 dx obtemos a identidade f(x — 2)2 dx = f u2 du. Esta última integral é fácil de calcular. De fato,

f 2 , w3 ^ u3 (x - 2)3 / u2 du = — + C, mas — + C = -——— + C. J 3 3 3

Assim,

/ (x — 2)2 dx = (X o2)S +C,

que é a primitiva que procurávamos. Para calcular a integral definida f3(x — 2)2 dx basta, agora, usar esta primitiva e o teorema fundamental do cálculo

para obter

í \ x - 2 ) 2 d x = { ^ J 3

(4 - 2)3 _ (3 - 2)3 _ 8 _ 1 _ 7 3 3 ~ 3 ~ 3 ~ 3'

como antes. Para aplicar o método da substituição para calcular integrais definidas temos, portanto, dois caminhos:

1. Podemos, fazendo uma substituição adequada, encontrar o novo integrando e os novos limites de integração (estes novos limites vão depender da substituição empregada) e, então, resolver o problema encontrando uma primitiva para o novo integrando e aplicando o teorema fundamental do cálculo tendo em vista os novos limites de integração.

2. Usar o método da substituição para encontrar uma primitiva da função original, isto é, resolver a integral indefinida voltando, após a integração, à variável original do problema e, então, usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do cálculo para resolver a integral definida.

Ilustramos estes dois caminhos no exemplo a seguir.

Exemplo Calcule a integral / x \Jx2 + 1 dx .

Solução Para resolver esta integral, devemos fazer a substituição u = x2 + 1, obtendo du = 2x dx. Pelo primeiro caminho, como u = u(x) = x2 + 1, então, para x = 1 temos u = 2 e para x = 4, u = 17. Assim,

1 7 = i [ 1 7 ( D - 2 ( Í ) ] , 2

3

pois a função é uma primitiva de y/u.

314 Cap. 23 Resolvendo integrais pelo método de substituição

Pelo segundo caminho, temos:

Assim,

Vx2 + ldx 1 f yfãdu= +C =\(x2+ +C. £ J o o

[4 xVx2 + ldx = l (x2 + 1)1 4 = i [17<5) -2 (i)] . J i 3 i 3

23.3 Exercícios Resolva as seguintes integrais por substituição e verifique a sua resposta usando o MapleV e a sub-rotina changevar: , i

/

r 2 2x

sen(x) cos3 x dx (f) / • 9 dx r jo vi-x2 (i) / x y r + x

x dx

2 f cos(^x) ( g ) r 8 c o s ( a ;4 + 1 } d x y v ^ J (m) / , dx

; J 7 ( 3 - 4 x3)4 : dx

, (n) / . dx ^ f y/l + V^ j z-3 J V 1 + 4 X + 3X2

(d) J K dx (Í) / (x + l)( = )dx „2 (o) / \/z2 + x4 dx

'dx

( m ) / (c) J x^/^F+ldx , s r 2 + 3x

f X 2

( e ) i V P + T ^ Ü) | ( 3 x + 2)5

23.4 Problemas 1. Explique o aparente paradoxo:

Usando a linearidade da integral, temos que f x + ldx = ^-+x + C. Resolvendo esta mesma integral usando a substituição u = x + 1, obtemos f x + ldx = Judu=1Y + C= + C.

2. (a) Mostre que se m / n, então, f j cos (mi) cos(nx) dx — f^ sen (mi) sen(nx) dx = 0, porém se m = n, então, cada integral é igual a |.

(b) Mostre que i. Se n — to é ímpar, então f * cos (mi) sen(nx) dx = „ s 2 . ^ .

ii. Se n — to é par, então J" cos(mx) sen(nx) dx = 0 . Sugestão: Use as identidades sen(a + 6) = sen(a) cos(6) + sen(fe) cos(a) e cos(a + fe) = cos(a) cos(ò) — sen(a) sen(ò)

3. Ache a integral F(x) de ^/x tal que F(9) = 9.

4. (a) Se f é contínua e /Q4 / ( x ) dx = 10, calcule /Q2 / ( 2 x ) dx.

(b) Se f é contínua e JQ9 / ( x ) dx = 16, calcule JQ3 x / ( x 2 ) dx.

(c) Se f é contínua, mostre que /(—x) dx = J_6a / ( x ) dx. r2 p2 — c

(d) Sabendo que / é contínua em toda a reta e / / ( x — c) dx = 5, onde c é uma constante, calcule / / (x )dx . Ji A - c

i 5. Calcule / —== dx. Sugestão: Faça a substituição Vx — sen(y) e use identidades trigonométricas para

J o v l — x resolver a integral resultante.

6. Considere a integral definida I = / x/(sen(x)) dx, onde / é uma função contínua definida no intervalo [0,1]. J o

Use a substituição x = 7T — y para mostrar que 1 = f Jô f(sen(x))dx.


23.5 Para você meditar: Resolvendo integrais com o auxílio do Maple ou por que devo aprender técnicas de integração?

Você pode verificar os resultados das integrais dos exemplos e exercícios apresentados neste capítulo usando o comando int ( f (x) ,x) do Maple. Por exemplo:

> Int(x~3*sqrt(x~4+2),x)=int(x~3*sqrt(x~4+2),x)+C;

J x 3 yf^F+ldx = i (x4 + 2)3/2 + C.

Então você deve estar se perguntando: Por que devo aprender métodos de integração para resolver integrais tão complicadas, se elas podem ser resolvidas sem nenhum esforço com o auxílio do Maple ?

Primeiro porque conhecer métodos gerais de integração para um aluno de Cálculo é como aprender tabuada no primeiro ano do primário. E útil e economiza tempo. As máquinas devem ser utilizadas rotineiramente para ganhar tempo e facilitar as contas, não o contrário. Já imaginou se não tivéssemos aprendido tabuada e, desse modo, fosse necessário recorrer a máquinas para calcular, por exemplo, 9 x 7 ? Que absurdo, não?

Da mesma maneira, se você conhece um método que permita resolver uma integral rapidamente, sem ser necessário utilizar uma máquina, você ganha tempo. E claro que, se a integral é muito complicada, você pode e deve utilizar os recursos existentes.

Embora muitos sistemas de computação algébrica, tais como o Maple, venham sendo cada vez mais usados no cálculo de integrais, eles não fazem milagres e nem substituem, graças a Deus, a inteligência e a criatividade do homem. Neste texto veremos exemplos de algumas integrais que o Maple não é capaz de resolver.

No entanto, podemos usar o Maple, inteligentemente, para executarmos passo a passo o método da substituição. Isto é possível porque o Maple possui uma sub-rotina, changevar(u = g(x), Int(f (x) ,x) ,u), que permite que se calculem integrais usando uma substituição de variáveis indicada por nós. Esta sub-rotina pertence ao pacote student. Portanto, antes de utilizá-la, você precisa, primeiro, usar o comando with(student), como fazemos a seguir.

> with(student):

> changevar(u=x~4+2,Int(x~3*sqrt(x~4+2) ,x) ,u);

J\Vüdu

> value(7o);

- U 3 /2 6

> subs (u=x~4+2,'/,);

Í (X 4 +2)3 /2

Nos capítulos seguintes veremos que existem integrais perfeitamente resolvíveis por substituição, mas que o Maple e outros sistemas de computação algébrica semelhantes não conseguem resolver. No entanto, se usarmos a sub-rotina acima, dizendo ao programa que substituição deve ser feita, a cada passo, "ensinamos" ao computador como calcular a integral em questão. Você poderia se imaginar como um professor de Cálculo do seu computador? Que bom que podemos pensar criativamente!

Capítulo 24

Aplicações da Integral Definida

24.1 Introdução As integrais surgiram no estudo das áreas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicações. Mostraremos neste e nos próximos capítulos como as integrais aparecem no cálculo de posições, áreas, volumes, comprimento de arco, massa, probabilidade, momentos, centros de gravidade e trabalho.

O raciocínio empregado em cada um dos casos é sempre o mesmo e segue os seguintes passos:

1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de uma função.

2. A solução exata para o problema é obtida pela passagem ao limite.

3. O limite das somas de Riemann é identificado à integral de uma função.

24.2 Distância O problema é deduzir a mudança de posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta com velocidade v(t) conhecida para todos os instantes t de um certo intervalo de tempo [a, b], Se conseguirmos, de algum modo, determinar a posição s(t) da partícula para qualquer instante de tempo t do intervalo [a, b], a mudança de posição da partícula em relação ao instante inicial t = a, será dada por s(b) — s(a).

Existem duas maneiras de abordarmos este problema. A primeira delas foi utilizada na motivação do teorema fundamental do cálculo e consiste em considerar a velocidade da partícula constante em cada subintervalo de uma partição do intervalo [a, 6], Assim, seja Tj um ponto qualquer de cada subintervalo [t»_i, U] da partição considerada. Em cada um desses subintervalos, considerando a velocidade da partícula igual a V(TÍ), podemos aproximar a mudança de posição da partícula por

v(n) (u - ti-x) = v(n)Ati. Dessa maneira, a mudança total de posição será aproximadamente igual a

n

A medida que o comprimento A U de cada subintervalo se torna menor, esta soma se aproxima, cada vez mais, do valor exato da mudança de posição da partícula. Como

n .b lim v(Ti) Ati = / v(t) dt,

temos que a mudança de posição da partícula de t = a até t = b é dada pela integral b

v(t) dt.

Podemos obter este mesmo resultado aplicando, diretamente, o teorema fundamental do cálculo à função v(t) = s'(t). Desse modo,

t>b i>b s(b) — s(a) = / s'(t) dt = / v(t)dt,

J a J a

l

316

como antes. E importante observar que quando v < 0, a partícula se move para a esquerda e a função posição, s(t), decresce.

A integral Jbv(t)dt fornece, portanto, a variação líquida de posição da partícula. A distância total percorrida pela partícula neste intervalo de tempo será dada por | v(t) | dt.

Da mesma maneira, conhecendo-se a aceleração da partícula para todos os instantes t do intervalo [a, 6], podemos determinar a sua velocidade. Como a aceleração da partícula é a taxa de variação da sua velocidade em relação ao tempo, isto é, a(t) = if(t), aplicando, novamente, o teorema fundamental do cálculo, a velocidade da partícula em qualquer instante de tempo t será dada por

v(t) — v(a) = / v'(u)du= / a(u)du J a J a

ou, equivalentemente,

v(t) =vo+ a(u) du, J a

onde VQ é a velocidade da partícula no instante inicial t = a. Repare que, como no caso anterior, a integral | a(t) \ dt fornece a variação total de velocidade da partícula no intervalo [a, b}.

Exemplo

1. Sabendo que uma partícula, com velocidade inicial VQ e posição inicial so, se desloca com aceleração a constante, determine a sua velocidade e posição em qualquer instante de tempo.

Solução A velocidade da partícula, em qualquer instante de tempo t, será dada por

v(t) = v(0) + í adt. J o

Assim, v(t) = vo + at em qualquer instante de tempo t. Do mesmo modo, a sua posição é dada por

ÍT aT2 s(T) — s(0) = / v0+atdt = v0T+ — Jq 2

para qualquer instante de tempo T, ou equivalentemente,

aT2 s(T) = s0 + v0T+ — .

2. Uma partícula se desloca em linha reta com velocidade dada por v(t) = t2. Qual o deslocamento total da partícula entre t = 1 e t = 2?

Solução Como a velocidade é positiva, o deslocamento total da partícula será dado por

s(2) — s(l) = J t2dt.

Como a função F(t) = y é uma primitiva de f(t) = t2, o teorema fundamental do cálculo garante que

i: t3

t2 dt = — 3 ! ~ 3 3 ~ 3

318 Cap. 24 Aplicações da Integral Definida

24.3 Area de regiões planas

Na introdução do estudo de integral, vimos como é possível calcular a área sob o gráfico de uma função contínua e positiva / , definida em um intervalo [a, 6]. A solução deste problema motivou a definição de integral como limite de somas de Riemann.

Vamos abordar agora o problema da determinação de áreas de regiões planas mais gerais, limitadas lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função contínua / e inferiormente por outra função contínua g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g{x) < f(x) em [a, b] . As ilustrações mostram regiões deste tipo.

í (f(x)-g(x))dx>Q.

Vamos provar que a integral acima fornece a área A, da região hachurada. Para isso vamos construir somas de Riemann para a função h(x) = f(x) — g(x).

Considere uma partição a = xo < x\< ... < i < Xi < ... < xn = b do intervalo [a, 6], em n subintervalos iguais de comprimento A x . Seja cx um ponto qualquer de cada subintervalo [ Xi-1, x,]. Denotando-se por A Ai a área da região entre os gráficos de / e g, sobre o i-ésimo intervalo [xj_i, x2]. então A A j é aproximadamente igual à área de um retângulo de altura / ( c j ) — g(ci) e base A x , ou seja,

AAi = (f(ci)-g(*))Ax,

como mostra a figura:

Somando as áreas dos n retângulos assim construídos sobre o intervalo [a,b], temos uma aproximação para a área A dada por:

n n

i=1 i=1

A medida que se aumenta o número de pontos considerados na partição do intervalo [a, 6] esta aproximação se torna cada vez melhor. Veja esta afirmação ilustrada no diagrama:


bt±±i /

z

A Á ptf

•ti j 0 á Á

Desse modo, n n

A= lim lim V (f(a) - g(ct)) Ax. n—>00 — n — t o o x— i=l i=1

n Note que a soma ^ ^ if{ci) — g{ci)) Axé uma soma de Riemann para a função h(x) = f(x) — g{x), de modo que:

2 = 1

n n .b ^2(f(ci) -g{ci)) Ax = lim^ h(d) Ax = / h(x)dx= f(x)-g(x)dx, i—l ra—>oo j a j a

lim n—>oo i= 1

como queríamos mostrar.

Exemplo 1 Nos exemplos a seguir, calcule a área da região limitada pelas curvas dadas

(a) j; = j , i = 0 e y = 4 (situada no primeiro quadrante). Esta região é mostrada na primeira figura ao lado. Solução A área da região hachurada é dada pela integral

f J o

X J A X 4 -dx = 4 x 4 12 32 ~3'

Note que a integral acima pode ser escrita como:

/ 4 — — dx = 4 dx — / — dx. J o 4 J o J o 4

Geometricamente, a primeira integral calcula a área do quadrado de lado igual a 4 e a segunda integral calcula a área da região sob gráfico da função no intervalo [0, 4], ou seja, a área da região hachurada é a área do quadrado de lado 4 menos a área hachurada da figura ao lado.

(b) y = x2 e y = 2x. Esta região corresponde à parte hachurada da figura ao lado. A área desta região é dada pela integral 2 x — x2 dx, pois os pontos de interseção das curvas y = x2 e y = 2x são x = 0 e x = 2. Além disso, como a função F(x) = x2 — é uma primi-tiva da função f(x) = 2x — x2, o teorema fundamental do cálculo garante que

/ 2 x — x2 dx = x2 — ~ J o 3

= 2 23 3

4 3'


(c) y = x2 — 1 e y = x + 5. Veja esta região no gráfico ao lado. Para calcular a área da região hachurada é necessário determinar os pontos de interseção das curvas y = x2 + 1 e y = x + 5. Para isto basta resolver a equação x2 + 1 = x + 5. Usando o comando solve do Maple, obtemos

> f :=x->x+5:g:=x->x~2-l: > s o l v e ( { f ( x ) = g ( x ) } , x ) ;

{x = - 2 } , {x = 3} A área da região hachurada é dada, portanto, pela integral:

1-2 - 2

125

x — y = 4.

6 — x2 dx = —+6x — íd o

Exemplo 2 Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2 x e Esta região é esboçada na figura ao lado. Observe que a curva dada pela equação y2 = 2 x define, implicita-mente, duas funções de x, a saber: fi(x) = \[2x e f2(x) = —y/2x. Na ilustração, o gráfico da função / i é a parte da parábola y2 = x, situada acima do eixo x, e f2 é a parte situada abaixo. O ponto de interseção da função f2 com a reta y = x — 4 é o ponto (2, —2), e o ponto de interseção da função / i com a mesma reta é o ponto (8,4).

Assim, a área da região hachurada é dada por: /»2 /»8 2

/ V2x - (~V2x) dx + V2x-(x-4)dx= (2V2xi) + {V2x§ - ^ + 4x) J 0 J 2 0

= 18

Outro modo de calcular esta área é integrar em relação à variável y, isto é, pensar em y como a variável independente, como é ilustrado no gráfico ao lado. Neste caso, a área da região hachurada pode ser calculada por meio de uma única integral, a saber:

y + 4-V—dy= £+4y+£ = 18. - 2

Em resumo, Para achar a área de uma região por integração, devemos:

1. Esboçar a região cuja área se quer determinar.

2. Achar os pontos de interseção das curvas que delimitam a região.

3. Decidir se, para integrar, é mais fácil considerar faixas verticais ou horizontais, isto é, se é mais fácil considerar a região limitada por curvas do tipo y = f(x) ou do tipo x = g(y).

4. Expressar a área da região como uma integral definida, onde os limites de integração e o integrando são encon-trados examinando-se o esboço feito.

5. Resolver a integral resultante.

V 24.4 Áreas e cálculo de probabilidades (opcional) Em matemática, a palavra probabilidade significa uma medida numérica da possibilidade de um certo evento acontecer. Consi-dere, por exemplo, o alvo desenhado ao lado. Um ponto deste alvo é escolhido ao acaso quando alguém, com os olhos vendados, i lança um dardo contra ele. Admitindo-se que é tão provável que I o dardo atinja um determinado ponto como um outro qualquer, I a probabilidade de que o ponto escolhido esteja na mosca (região central mais escura) deve expressar a razão entre o número de pontos existentes na áxea central e o número total dos pontos do alvo.

E intuitivamente claro que esta probabilidade é igual à razão entre a área da região central e a área total do alvo. Dessa maneira, se os discos acima têm raios 1/2, 2 e 4, respectivamente, a probabilidade de que um ponto, escolhido ao acaso, esteja na região central é de j^. Do mesmo modo, a probabilidade de que o dardo, lançado por alguém de olhos vendados, atinja a coroa externa mais escura é de

Esta probabilidade, em termos estatísticos, significa que, se for feito um grande número de lançamentos ao acaso, a razão entre o número de lançamentos que atingem o aro externo e o número de lançamentos totais é de 1 para 4, e esta razão teórica se aproxima cada vez mais da razão experimental à medida que aumentamos o número de lançamentos.

Uma aplicação da integral definida no cálculo de probabilidades aparece no célebre problema da agulha de Buffon, inventado pelo cientista francês Buffon, no início do século XVIII. Este problema consiste em calcular a probabilidade de que uma agulha de L cm de comprimento, lançada ao acaso num assoalho feito de tábuas corridas de L cm de largura, caia atravessando uma das junções.

A posição em que a agulha cai no chão pode ser descrita por duas variáveis, x e 0, onde x é a distância do ponto médio O da agulha à junção mais próxima e 0 é o menor ângulo que a reta horizontal que passa pelo ponto médio da agulha faz com ela própria. Veja a figura ao lado, onde a agulha está representada pelo segmento de reta inclinado e m = L .

Repare que um lançamento da agulha corresponde a uma escolha aleatória das variáveis x e 0 nos intervalos [0, jrj e [0, ^j, respectivamente, que, por sua vez, corresponde a uma escolha ao acaso de um ponto no retângulo [0, f ] x [0, §].

2 Além disso, a queda da agulha atravessando uma junção das

tábuas corresponde à desigualdade x < L . Esta desigual-dade é descrita pela região hachurada sob o gráfico da função x = Lc°s(e) , como mostrado na figura ao lado, no caso particular 1 em que L = 4. Portanto, a probabilidade de a agulha cair atra-vessando uma junção das tábuas é igual à razão entre a área da região hachurada e a área do retângulo. 0" — 2

Usando integral definida para calcular a área sob o gráfico da curva, temos que a probabilidade que queremos calcular é dada por

7r f f 9 - / c o s ( 0 ) d 0 = ~ . 2 7o n

Essa expressão pode ser usada para estimar, empiricamente, o valor do número n. Se realizarmos, de fato, o experimento de lançar um número grande de vezes uma agulha sobre um piso de tábuas cuja largura é igual ao comprimento da agulha e contarmos cuidadosamente o número k de vezes em que a agulha cai atravessando uma junção, a probabilidade acima deverá ser, aproximadamente, igual à razão onde n é o número de lançamentos

k 2 efetuados. Esta aproximação melhora à medida que o numero de lançamentos cresce. Assim, lim — = —. Este limite n—> oo n 7r significa que o número 7r pode ser aproximado pela razão para grandes valores de n. Este método, além de tedioso,

não permite grande precisão pelos erros inerentes em todas as medições. Outro exemplo do uso de integrais para o cálculo de probabilidades pode ser encontrado no Projeto Calculando a

probabilidade de que uma equação quadrática tenha raízes reais.

24.5 Volume de um sólido de revolução: Método do disco Um sólido de revolução é obtido fazendo-se girar uma superfície plana em torno de um eixo. Esferas, cones, bolas de futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume da esfera já era conhecido desde o século III A.C., quando Arquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integração para calculá-lo. (Veja a seção Um pouco de História.)

Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do eixo x, a região limitada por uma função / contínua, positiva e definida em um intervalo fechado [a, 6]. Por exemplo, vamos considerar a região limitada pela curva y = f(x) — (2 — x)3 + 2, pelo eixo x e pelas retas x = a = l e x = 6 = 3, como é mostrado na figura a seguir à esquerda. Girando-se esta região em torno do eixo x, obtemos o sólido mostrado à direita.

Neste caso, o eixo x é dito eixo de revolução. O problema que se coloca é como calcular o volume de um sólido deste tipo ?

Se a curva y = f(x) fosse uma reta, o sólido resultante seria um cilindro do qual conhecemos o volume. Veja a figura a seguir, onde a geratriz do cilindro é a reta y = 3.

Para calcular o volume de um sólido de revolução mais geral, isto é, de um sólido obtido pela rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo x, como descrevemos anteriormente, a idéia é dividir este sólido por planos perpendiculares ao eixo x, em fatias muito finas, como é mostrado na figura a seguir à esquerda, e, depois, aproximar o volume de cada pequena fatia pelo volume de um cilindro. Veja a figura à direita, onde aproximamos uma dessas fatias por um cilindro.

Para "fatiar" o sólido de revolução, dividimos o intervalo [a, 6] em n partes iguais, isto é, consideramos a seguinte partição do intervalo [a, 6]:

a = x0 < x\ < X2 < • • • < Xi < Xi+1 < ... xn — b,

onde |XÍ+I — Xi\ = ^ ^ = A x. Assim, cada ponto Xi desta partição é da forma Xi = a + i Ax. Logo, a i-ésima fatia


pode ser aproximada por um cilindro de altura Ax e raio f ( c i ) , onde Cj é um ponto qualquer no intervalo [xí-i , Xi). (Repare que, para esta aproximação, estamos considerando a função / constante e igual a / (Q) , em cada subintervalo da partição.) O volume do i-ésimo cilindro é, portanto, tt f(ci)2 Ax. Então, uma aproximação para o volume total do sólido, denotado por V, pode ser obtida pela soma dos volumes dos n cilindros considerados, isto é,

n V « ^ t t / ( C i ) 2 A X .

t=i

SM»——fejcnsffíí-

Execute, na versão eletrônica, a animação que mostra que, à me-dida que aumentamos o número n de cilindros considerados neste processo, a soma dos volumes dos n cilindros se aproxima, cada vez mais, do volume que queremos calcular. Execute-a passo a passo para melhor visualizar esta afirmação! A seguir mostramos a aproximação obtida quando consideramos cinco subintervalos na partição, o que corresponde à construção de cinco cilindros da maneira descrita anteriormente.

A soma acima fornece, portanto, o volume de uma seqüência de n cilindros. A medida que a espessura desses cilindros tende para zero, a soma se aproxima cada vez mais do volume do sólido em questão. Podemos concluir, portanto, que o volume do sólido é dado por

lim V 7r/(ci)2 A x = lim V t t / ( q ) 2 A n—»oo ' Ax—>0 ' X .

i=1 Como já vimos em outros exemplos, tentar calcular somas deste tipo "no braço" não é uma tarefa nem muito

fácil, nem muito eficiente, mesmo fazendo uso de Um programa de computador do tipo do Maple. Podemos fazer algo melhor que isso! Se estudarmos com afinco os capítulos anteriores, podemos observar, sem dificuldade, que a soma

7T f(ci)2 Ax é uma soma de Riemann para a função y ~ ir f(x)2, portanto, o limite acima nada mais é do que a integral desta função, isto é,

V = lim im V 7 t / ( C í ) 2 A x = / \ r / ( x ) 2 dx

e, graças ao teorema fundamental do cálculo, podemos calcular esta integral sem necessidade de usar limites de nenhuma espécie. Podemos, agora, com a ajuda do Maple e usando a igualdade acima, verificar, facilmente, que o volume do sólido obtido no caso que estamos estudando é dado por

r3 V = J^{{2 - x 2 )

2 dx = 26,03033913

Resolva você esta integral e comprove o resultado acima por seus próprios meios! Conclusão Para uma função qualquer / , contínua e positiva em [a, b], o volume do sólido de revolução obtido

ao girarmos a região limitada pelo gráfico de / , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = 6 em torno do eixo x é dado por

n çb lim V 7 T / ( C i ) 2 A x = / 7T/(x)2 dx.

Um resultado semelhante poderia ser obtido considerando-se uma função x = g(y) contínua, definida em um inter-valo [c, áj: girando-se a região limitada por g, pelo eixo y e pelas retas y = c e y — d em torno do eixo y, o volume V, do sólido de revolução obtido, é dado por

V dy

Exemplo 1 Se / ( x ) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico

de / , de —1 a 1.

Solução A figura a seguir ilustra o sólido obtido e uma fatia cilíndrica típica.


Como o raio de cada fatia cilíndrica é dado por f(xi) = x 2 + 1 para algum ponto do subintervalo considerado, temos que seu volume será dado por ir (x2 + l)2 A i . Assim, o volume do sólido será

V = J 7T (x2 + l)2 dx = ir J dx = 7T / X + 2 x2 + 1 dx = 7T x5 2x3 56 7T

Exemplo 2 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por y = x3,y=l, y = 8eo eixo em torno deste eixo.

Solução A figura a seguir ilustra o sólido e uma fatia cilíndrica típica.

Como o raio da fatia cilíndrica típica, neste caso, é dado por f{y%) = y^3 para algum ponto do subintervalo consi-i 8 1 2 derado, temos que seu volume será dado por ir(yi3)2 Ay. Assim, o volume do sólido será dy. Resolvendo

esta integral temos que

V =7T í 8 J y2'3 dy = 7T | yf 8 24 9 / , 3. i = 7 r ( _ 8 2 / 3 _ _ ) .

24.6 Volume de um anel de revolução Considere uma região do plano limitada acima pela curva y = / ( x ) e abaixo pela curva y = g(x). onde / e g são duas funções contínuas e positivas (veja figura a seguir à esquerda). Ao girarmos esta região em torno do eixo x, obtemos um sólido de revolução, chamado anel de revolução (figura à direita).

O volume do anel será dado, então, pela diferença entre o volume do sólido obtido ao girarmos a região limitada pela curva y = / (x ) , definida no intervalo [a, 6], pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x (figura a seguir à esquerda), e o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos, em torno do mesmo eixo, a região limitada pela curva y = g(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b (figura à direita).


Assim, o volume do anel de revolução é dado por

rb rb rb

/ 7T f{x)2 dx — TTg(x)2dx= / TT {f(x)2 - g(x)2) dx. J a J a J a

Exemplo 1 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela revolução, em torno do eixo x, da região limitada pelos gráficos de x2 = y — 2, 2y — x — 2 = 0, i = 0 e i = l.

Solução Como a rotação é feita em torno do eixo x, é necessário exprimir y como uma função de x. Assim, a primeira equação dada é equivalente ay = x2+2ea segunda, a y — § + 1. Um esboço da região limitada pelo gráfico dessas funções e pelas retas dadas é mostrado na figura a seguir à esquerda. O sólido obtido pela revolução desta região em torno do eixo x é mostrado na figura à esquerda.

O volume deste sólido será dado por

V = J o

X* + 2)2 - ( - + l)2} dx = 7T 2 J o

/V+ J o

1 5 a;2

3]dx.

Como F(x) = %- + ^f y + 3 s é uma primitiva da função f(x) = x + ^f x + 3, a integral acima é igual a _ 79 7r F(l) - F(0) 20

Exemplo 2 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da mesma região descrita no Exemplo 1 em torno da reta y = 3.

Solução Girar a região dada em torno da reta y = 3, é equivalente a girar a região limitada pelas funções y = x2 + 2 — 3 = x2 — l e y = f + l — 3= f — 2 em torno do eixo x, isto é, a transladar verticalmente toda a região, três unidades para baixo, de modo que a reta y — 3 passe a coincidir com o eixo x. Veja os gráficos:

Raciocinando como no item anterior, temos que o volume do sólido gerado pela revolução desta nova região em torno do eixo x é dado por

f 1 r r w V = n [(*L-2)2-(x2-l)2]dx = v Jo [3- 9 x 2 4 l , 5 1 7T

2z+ — - x }dx = —


Exemplo 3 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região do primeiro quadrante, limitada pelos gráficos dey=^-ey = 2x, em torno do eixo y.

Solução : A figura seguinte, à esquerda, mostra a região a ser girada em torno do eixo y e a figura à direita, o sólido de revolução obtido.

Como devemos integrar em relação a y, expressamos as equações dadas como funções do tipo x = g(y). Assim temos, respectivamente, que x = 2ys e x =

Os pontos de interseção destas duas curvas são y— 0 e y = 8. Daí, o volume do sólido resultante da rotação desta região em torno do eixo y será dado por

fSr, 2 y1^ , 5127T

24.7 Comprimento de arco O problema da retificação de arcos

Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos, A e B, especificados. Fisicamente, é fácil calcular o comprimento de um arco de uma determinada curva. Esticamos um pedaço de barbante, ajustando-o à curva de A até B; "endireitamos", isto é, retificamos o fio, e medimos o seu comprimento com uma régua (daí o termo retificar um arco).

Matematicamente, o problema é um pouco mais complicado: na realidade, é possível dar exemplo de uma curva contínua, que não tem comprimento definido! Esse fato, bastante surpreendente, sugere que a teoria necessária ao cálculo de comprimentos de arcos é mais complicada do que parece.

Embora, desde a Antiguidade já fosse conhecido o comprimento de um arco de circunferência, até meados do século XVII pensava-se que o problema de retificação de curvas algébricas era impossível de ser resolvido. Em 1650, William Neil, usando técnicas do cálculo diferencial e integral, calculou pela primeira vez o comprimento de um arco da parábola semicúbica y2 = x3.

O método empregado no cálculo de comprimentos de arcos consiste em um procedimento de aproximação e passagem ao limite, que se presta a um tratamento matemático, como é descrito na próxima seção.

Calculando comprimentos de arcos

Dizemos que uma curva no plano xy, descrita pelo gráfico de uma função y — f(x), é suave ou lisa quando / tem derivada contínua em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto significa que uma pequena variação em x produz uma pequena variação no coeficiente angular f'{x), da tangente ao gráfico de / . Assim, não há bicos no gráfico de uma função suave.

O problema que se coloca é como calcular o comprimento de arco entre dois pontos A e B de uma curva lisa. Obviamente, se a curva dada fosse um segmento de reta, o comprimento seria dado pela distância entre as suas

extremidades. (Se / é suave em um intervalo fechado [a,b], os pontos A = (a,f (a ) ) e B = (b,f(b)) são chamados extremidades do arco AB.)

A idéia, então, é dividir a curva em pequenos segmentos de reta e aproximar o comprimento do arco em questão pela soma do comprimento de cada um destes pequenos segmentos de reta. Isto é, aproximamos o comprimento do arco pelo comprimento de uma poligonal de n lados, cujos vértices estão sobre o arco dado.

Para diminuir o erro cometido nesta aproximação, basta dividir o arco em um número maior de segmentos. Ou seja, à medida que n cresce, o comprimento da poligonal se aproxima cada vez mais do comprimento do arco em questão.

Para precisar matematicamente esta idéia, vamos considerar uma partição regular do intervalo [a, b], ou seja, vamos dividir o intervalo [a, b] em n partes iguais, a saber, a — x0 < xi < ... < x„_i < xn = b, onde cada subintervalo [XÍ-I, x,;j tem o mesmo comprimento, dado por

CC — CO 2 CC —2. •

A cada ponto da subdivisão do intervalo [a, b] corresponde um ponto [XÍ, f(xi)] sobre a curva y = f{x). Estes pontos serão os vértices da poligonal. Observe o gráfico ao lado, onde dividimos o intervalo [a, ò] em cinco partes iguais e construímos a poligonal correspondente.

Veja agora, no diagrama a seguir, como à medida que n cresce, a poligonal de n lados se aproxima da curva e como o comprimento desta poligonal se aproxima de um limite. Este limite é o comprimento do arco em questão.

11.62591907 22.47158240 24.11035914

A partir desta idéia geométrica, é fácil obter, analiticamente, uma fórmula que forneça o comprimento da poligonal considerada. O comprimento de cada segmento de reta desta poligonal é dado por

distância(Pi_!, P;) = yj{xí - + (f(xi) - /(x t-_i))2 (*)

Como, por hipótese, / é uma função contínua, pelo teorema do valor médio aplicado ao subintervalo [XÍ_I, Xi], existe um ponto C; neste intervalo, tal que,

f(Xi) - f(xt-1) = f{Ci){Xi - Xi-!) = f i a ) A x .

Substituindo este valor em (*), temos

distância(P,_iP*) = ) / ( A x ) 2 + [(/'(<*)) Ax]2 = y/l + (/'(q))2 A x .

A soma do comprimento de todos os segmentos de reta que compõem a poligonal nos dará o comprimento total dela. Assim, o comprimento da poligonal será dado por ^ '

] r / t + ( / ' ( C l ) ) 2 A x i=i

Se, à medida que aumentarmos o número n de lados da poligonal, esta soma se aproximar de um limite, o arco será dito retificável e o comprimento L do arco da curva considerada será dado por

lim ] T sJl + {f'{ci))2Ax. n—>oc L — J v

i=1 Lembrando a definição da integral definida, concluímos que:

L= lim £ \A + ( / ' ( c í ) ) 2 A x = [b Jl + (f'(x))2dx. n—too ' Y / „ " i= 1 J a

Assim, se f é uma função suave no intervalo [a, b], a fórmula acima fornece o comprimento do arco do gráfico de / do ponto A = (a, f(a)) até o ponto B = (b, f(b)).


No caso de um arco de curva suave dado como gráfico de x = g(y), para y variando no intervalo [c,d\, começando com uma partição do intervalo [c, d\ e usando argumentos análogos aos empregados no caso anterior, podemos deduzir a fórmula

rd L J yjl + (g'(y))2dy.

A maioria dos matemáticos lembra das fórmulas sem necessidade de memorizá-las, mas raciocinando de tal forma que seja rápido e fácil deduzi-las, sem perigo de errar.

No caso de comprimentos de arcos, se usarmos a notação de Leibniz para derivadas, existe uma abordagem intuitiva que torna estas fórmulas muito mais fácil de entender e de memorizar.

Vamos denotar por s o comprimento de arco variável de A até um ponto qualquer na curva. Se denotarmos por ds um pequeno acréscimo no comprimento s, isto é, se entendermos esta grandeza como a diferencial da função comprimento de arco, ds pode ser tomado tão pequeno que esta parte da curva se confunde com a hipotenusa de um pequeno triângulo retângulo de catetos dx e dy, que correspondem às mudanças ocorridas nas variáveis x e y, quando o comprimento do arco cresce de s para s + ds (veja a figura ao lado).

Aplicando o teorema de Pitágoras a este pequeno triângulo, temos que ds2 = dx2 + dy2 e, desta equação simples, podemos deduzir todas as fórmulas de comprimento de arco. Assim,

ds = 1Jdx2 + dy2 = + dx

Podemos entender, também, o comprimento total do arco AB como a soma (ou integral) de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde A até B. Desse modo, temos que

comprimento do arco AB =

Da mesma maneira, tratando x como função de y obtemos

/ > / y

ds = \jdx2 + dy2 = ^ ) 2 + ldy.

Nesse caso, a integral para o comprimento do arco AB é dada por:

É muito fácil esquecer fórmulas, mas é quase impossível esquecer um conjunto de idéias, quando verdadeiramente compreendidas!

Exemplo Calcule o comprimento de arco da parábola semi-cúbica y = x 'i no intervalo [0,5],

Solução: Como y l + (-^f)2 = y l + = 9 x > temos que o comprimento em questão será dado por

, [ 5 V 4 + 9 x j 1 f 4 4 3 35 l = / dx = — / v m du = —-

Jo 2 18 y4 27


A 24.8 Area de uma superfície de revolução Vamos considerar uma curva suave que esteja acima do eixo x. A rotação desta curva ao redor do eixo x gera uma superfície de revolução. Veja o gráfico a seguir que mostra a superfície obtida pela rotação da curva y = em torno do eixo x, para x variando no intervalo [1,3].

De um modo geral, uma superfície de revolução é a superfície obtida fazendo-se um arco de curva girar em torno de uma reta situada no mesmo plano que ele. Nosso problema é o de calcular a área de tal superfície.

Podemos obter uma aproximação para esta área considerando a superfície gerada pela revolução, em torno do eixo x, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco, descrito pela curva geratriz da superfície original. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotação gerará um tronco de cone, como é ilustrado abaixo.

Desse modo, se conhecermos a área lateral de um tronco de cone, poderemos calcular de um modo razoavelmente simples a área da superfície de revolução.

A área lateral S de um tronco de cone com raio médio rm = Tl~^T2, onde ri e r2 são, respectivamente, os raios da base menor e da base maior do tronco, e geratriz (altura inclinada) L é dada pela fórmula S = 2 tt rm L. (Veja Problema 10).

Assim, podemos calcular uma aproximação para a área da superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo x, do arco suave y — / (x ) , com x variando no intervalo [a, 6], dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento A x e, tal como no estudo que fizemos para o comprimento do arco, aproximar o arco subtendido pelos pontos Pi = (x,, f (xi) ) e P t- i = (xí-i , / (^ i - i ) ) pelo comprimento do segmento retilíneo que une estes dois pontos, ou seja,

arcoiPi-x Pi) « | Pi.a Pi \ = y/l + tf' ( c ; ) ) 2 Ax ,

para algum ponto ct, no i-ésimo subintervalo [x,_i, Xj] da partição considerada. Repare que o tronco de cone obtido pela revolução deste segmento de reta em torno do eixo x tem geratriz

Li = \Pi-i Pi\ e raio médio rm i = ^ ^ - ' W ) 1 * ) _ Como a função / é contínua e rmi está entre dois valores desta função ( / (Xj - i ) e f (xi)) , o teorema do valor intermediário para funções contínuas garante que existe um ponto di no intervalo [xj_i, Xj], tal que rmi = f(di). Pela fórmula estabelecida para a área de troncos de cones, temos que a área deste tronco de cone é dada por

2tt rmi Li = 2Ttf(di) y/l + tf' (cj))2 A x .

Somando-se as áreas desses cones obtemos a área da superfície aproximadora n

A = ] T 271-/(^)^/1 + ( / ' (c í ) ) 2AX. i=1

Se Ci e di fossem o mesmo ponto do intervalo [xj_i, x j , então esta soma seria a soma de Riemann para a integral


L b

2TT/(X) Vi + (f'(x))2dx.

Intuitivamente, é claro, que embora os números ct e dl não sejam iguais, quando A x tende a zero, a diferença entre Ci e di também tende a zero, portanto, a soma aproximadora tende para a integral acima, quando A x tende a zero. (Veja Problema 11.)

Tendo em vista o exposto acima, define-se a área A da superfície gerada pela revolução em torno do eixo x, do arco suave y = f(x), para x em [a,b], pela fórmula

A = lim Y ^ T T / ^ ) %/l + (f(ci))2Áx = [b2 7Tf(x) Vi + (f'(x))2dx,

sde que o limite acima exista. Escrevendo-se y em vez de / ( . ) e ds em vez de fi^dx podemos abreviar a fórmula acima ;

í b A= 2-iryds.

J a

Esta última fórmula é fácil de guardar, se pensarmos em 2ny ds como a área de um tronco de cone estreito, obtido pela revolução do pequeno arco ds em torno do eixo x. Nesse caso, y = f(x) é o raio médio desse tronco estreito.

Uma fórmula semelhante pode ser obtida se girarmos a curva y = f(x), em torno do eixo y. Neste caso, temos que

A = Jc 2 7 r y N / l + ( ( / - i ) W

(Veja Problema 12.)

Exemplo: Um parabolóide de revolução é a superfície obtida ao girarmos um ramo de parábola em torno de seu eixo. Ache a área do pabolóide de revolução obtido pela rotação do arco da parábola y = x2, para x em [0, \/2], em torno do eixo y. Veja ao lado o gráfico desta superfície.

Solução Usando a última fórmula dada, tem-se

A = 27T í Xy/l + (2x)2 dx = J í Vl + udu = . Jo 4 J0 3

24.9 Trabalho Quando a bateria do carro descarrega e você precisa empurrá-lo para que o motor "pegue no tranco", você está realizando um trabalho, e o efeito deste trabalho é fazer o carro funcionar e se movimentar. Nosso objetivo nesta seção é mostrar o papel da integral no estudo do conceito de trabalho. Quando você empurra o carro para ele "pegar no tranco", o motor vai ser acionado dependendo da força F que você está aplicando e da distância d, durante a qual a força F é aplicada. Assim, força e distância são os ingredientes na definição de trabalho.

Definição Quando uma força constante de módulo F move um objeto de uma distância d, então definimos o trabalho W

realizado pela força F sobre o objeto como sendo

W — F d.

Exemplo 1 Se você aplica uma força constante F = 50 N (newtons) para empurrar um carro por uma distância de 10 metros, o trabalho realizado será

W = 50 N . 10 m = 500 (N.m) (newtons-metros).

Agora, se uma força variável F(x) movimenta uma partícula ao longo do eixo x de um ponto a até outro ponto b, qual o trabalho exercido pela força F(x)7

A idéia é fazer uma partição do intervalo [a, b] em n subintervalos suficientemente pequenos nos quais a força F não varie muito e possamos aproximá-la por uma constante. Assim, podemos usar a definição acima em cada subintervalo para obter um valor aproximado do trabalho realizado em cada subintervalo. O trabalho realizado ao longo do intervalo [a, b] será aproximado pela soma de Riemann dos valores obtidos em cada subintervalo. Tomando-se o limite da soma de Riemann iremos obter uma integral para o trabalho realizado ao longo de [a, b].

Para isto, considere uma partição xo = a < X\ < ...< Xi-i < Xi < ... < xn = b do intervalo [a, 6], Assim, o trabalho Wj realizado no subintervalo i, Xi] é aproximado por

Wi « F ( c ; ) A x ;

onde Axí = Xi — Xi-i e c, é um ponto qualquer do subintervalo i, Xi}. Somando-se estas aproximações, obtém-se a seguinte soma de Riemann, que aproxima o trabalho W realizado ao longo de [a, b]:

n n W = £ W Í K ^ T F Í C O A Z Í

2 = 1 i=l Tomando-se o limite quando n —• oo, com a condição de que A x j 0, obtém-se a integral

rb W = l im YF(CÍ)AXÍ= F (x)dx

2=1

Exemplo 2 Suponha que você deseja tirar água de uma cisterna com 12 metros de profundidade. O balde pesa 2 kg, tem capacidade para 10 litros d'água, e a corda pesa 0,10 kg/m. Acontece que o balde tem um furo no fundo, de modo que ele chega na boca da cisterna com apenas metade de sua capacidade. Suponha que você puxe o balde com velocidade constante e que a água saia pelo buraco também com razão constante. Determine o trabalho realizado para puxar o balde até a boca da cisterna. Considere que a água pesa 1 kg por litro.

Solução Considere um sistema de coordenadas com x = 0 na boca da cisterna e x = 12 no nível d'água. A força total F(x) que é exigida para puxar o balde, Fb(x), a água, Fa(x), e a corda, Fc(x), é dada por:

F(x) = Fa(x) + Fb(x) + Fc(x)

- A força produzida pelo balde é uma constante, uma vez que o peso em qualquer profundidade é constante e igual a 2 kg. Assim, Fb(x) = 2.

- A força produzida pela corda varia com a profundidade. Quando a corda está esticada x metros, o peso dela será de 0,10 kg/m vezes xm = 0, lx kg, isto é, Fc(x) = 0,1 x kg.

- Já que o balde tem um furo vazando água, o peso da água varia com a profundidade x. Quando o balde começa a subir, ele contém 10 litros d'água pesando 10 kg, e quando chega ao topo ele contém apenas 5 litros d'água pesando 5 kg. Supondo que o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a água vaza também a uma razão constante 2 kg/s, o tempo t que ele leva para chegar até a boca da cisterna percorrendo 12 m é o mesmo tempo para ele ficar com 5 kg de água, o que nos dá:

t _ 5 _ 12 i z _ 12 z v ' v 5

Agora, o peso da água restante após um tempo tép = 10 — zteo comprimento da corda é x — 12 — vt. Resolvendo esta equação para t, substituindo na equação do peso e usando o fato de que ~ = obtemos

„„ z (12 — x) „ 5 x v 12

Assim, K(x) =

Logo, a força exigida para puxar o balde, a corda e a água a uma profundidade de x metros é

F(x) = 5 + ^ | + 2 + 0, l x = 7 + 0,52x

Assim, o trabalho realizado para puxar o balde é

,12 w = / 7 + 0,52 X dx = 121,44 m-kg

J o Exemplo 3 Um reservatório de álcool tem a forma de um cone circular reto invertido com 10 metros de altura e 8

metros de diâmetro no topo. Ele contém álcool até a altura de 8 metros. Encontre o trabalho realizado para bombear o álcool para o topo do tanque. (A densidade do álcool é aproximadamente de 1000 kg/m3.)

Solução Veja a figura a seguir onde colocamos o eixo x apontando para baixo e a origem no topo. O álcool vai de uma profundidade de 2 até 10 metros. Considerando uma partição 2 = Xo < X\ < x2 < ... < xn = 10 do intervalo [2,10] em n partes iguais, tem-se uma divisão do reservatório cónico em n partes na forma de um tronco de cone com altura A x = ^ . Escolhendo em cada subintervalo x,] um ponto Cj, podemos aproximar o volume do í-ésimo tronco de cone pelo volume de um cilindro de raio f(ci) e altura A x, onde / é a função geratriz do cone, isto é, / ( x ) =

Assim, 4 (10 - a |2

Vi = irf(ci) Ax = v ; A 25

X

e sua massa e , • , , , 1000 7T 4 (10 — cA2 A , „ *

rrii = densidade .volume « - — Ax = 160 ir (10 — Cj) Ax. 25

Assim, o trabalho exigido para bombear este elemento até o topo será igual a Wj = FÍCÍ = m.igci, que é aproxima-damente igual a

Wi = [9,8] 160 7T (10 - Cif a A x = 1570 ir (10 — Cj)2 a A x.

Logo, o trabalho realizado é dado por 71 ,io -t c^n ofMQ

W = lim V 1 5 7 0 T T ( 1 0 - C í ) 2 C í A X = / 1570TT (10 - x)2 xdx = „ . J 2 3

24.10 Exercícios 1. Calcule a área da região limitada pelas curvas:

(a) y = x2 e y = —x2 +4x (b) y2 = 2x - 2 e y = x - 5 (c) y = sen(x) e y = cos(x) , para x em [—§,§] (d) y = 2sen(x) e y = — 3sen(x), para x em [0, 27r]

(e) v = 7 t = i e y = °> P a r a x e m [ - i / 2 » ! / 2 ] (f) y = x4 — 2 x2 e y = 2 x2

(g) y = f ( x ) = x 3 — 3x + 3, y = 0, x = a e x = b, onde a é o ponto de máximo local de / e b é o ponto de mínimo local.

(h) x2 — y2 = a2 e x = 2 a (i) j / = | x + l| + |x|,y = 0, x = —2ex = 3 (j) y = x2 e x2 = 18 - y


(k) y = x3,y = 2xey = x

2. A área da região delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4 é dividida em duas partes iguais pela reta x = a. Determine a.

3. Calcule c > 0, de modo que a área limitada por y = x2 — cey — c — x2 seja igual a 9.

4. Cada uma das integrais abaixo representa a área de uma região R. Faça um esboço da região e calcule a sua área.

r1 í° x í2

(a) / 4x + l dx (c) / x + 6-{~-)dx+ x + 6 - x3 dx 2 J o f l J~t J ° (e) / y2-(2y2-4)dy

(b) / 4 — x2 dx (d) / x-x3dx J~2 Jo J o 5. Nos itens abaixo, esboce a região limitada pelos gráficos das equações dadas e determine a área dessa região por

dois processos: («) integrando em relação a x e (n) integrando em relação a y. (a) y = -x2 e y = x2 — 8 (c) 2 y2 = x + 4 e x = y2

(b) y 2 = 4 — x e x + 2y—1 = 0

6. Prove que o volume de uma esfera de raio R é igual a 4 7T R

7. Ao girarmos o segmento de reta y = ax, a > 0, com x no intervalo [h,H], em torno do eixo x, obtemos um tronco de cone. Calcule seu volume.

8. Determine o volume do elipsóide gerado pela rotação da elipse ^ + fy = 1 em torno do eixo x.

9. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva y = y/x em torno do eixo y, para y entre 0 e 1.

10. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos de y = x2 e y = 4 em torno: (a) da reta y = 4 (b) da reta y = 5 (c) da reta x = 2

Sugestão: O volume não se altera se as regiões são transladadas.

11. Cada uma das integrais abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Descreva o sólido correspondente em cada caso.

ç4 ^ ro, (a) / 7TX2 dx (c) —— / a2 - x2 dx

°4 a x

(b) / 7T y dy (d) 7r / x4 — x6 dx Jo Jo

12. Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos a região plana limitada por y = y/A — x2, y = 2y/2x e y = —2\/2x em torno do eixo x.

13. Um torneiro vazou uma esfera sólida de metal de raio 5 cm com uma broca de 6 cm de diâmetro, passando o furo pelo centro da esfera. Determine o volume do sólido que restou.

14. Num copo cilíndrico de raio 2 e altura 8 cheio de água, coloca-se um parabolóide de revolução voltado para cima com o vértice centrado no fundo do copo. Calcule o volume de água entre o copo e o parabolóide. (O parabolóide de revolução é obtido ao girarmos uma parábola em torno de seu eixo de simetria.)

15. (a) Para cada x pertencente ao intervalo [0,1], seja Tx o-triângulo cujos vértices são (0,0), (1,0) e (x, 1). Que valor (ou valores) de x fornece o sólido de volume máximo, quando Tx é girado em torno do eixo xl

(b) Suponha que o triângulo Tx seja girado em torno do eixo y. Que valores de x fornecem o sólido de volume máximo?

2 2

16. Considere as elipses de equação + = 1, que têm a soma dos dois semi-eixos igual a 2, isto é, (a + b) = 2. Qual dessas elipses giradas em torno do eixo x fornecerá um elipsóide de volume máximo?

17. Mostre graficamente que a circunferência de raio 1 pode ser aproximada por uma poligonal e calcule, desse modo, uma aproximação para o valor de 7r. Compare a aproximação que você achou com o resultado obtido usando a fórmula do comprimento de arco.


18. Em cada caso, estabeleça a integral que fornece o comprimento do arco indicado. No estágio em que estamos, você é capaz de calculá-las? (a) y — y/x para x no intervalo [1,4] (c) y — x3 para x no intervalo [0,1] (b) y = x2 para x no intervalo [0,1] (d) a parte de y = —x2 + 4 x — 3 acima do eixo

x. 19. Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva dada em torno do eixo indicado:

(a) y = y/x, para x em [0,1], em torno do eixo x (b) y — x3, para x em [1,2], em torno do eixo x

(c) y = + —j3, para x em [1,2], em torno do eixo y.

20. Você pode obter uma esfera de raio r fazendo girar o gráfico de f(x) = vV2 — x2, para x variando no intervalo [—r, r], em torno do eixo x. Calcule a área desta esfera.

21. (a) Calcule o comprimento de arco total da astróide a^i) + y(i) = 1. (b) Determine a área da superfície gerada pela revolução da astróide do item anterior em torno do eixo y.

24.11 Problemas 1. Uma partícula se move ao longo do eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t

é dada por v(t) = sen(2í). Em t = 0, a partícula está na origem.

(a) No intervalo de tempo [0, 7r], ache todos os valores de t para os quais a partícula está se deslocando para a esquerda.

(b) Determine a posição da partícula em qualquer instante de tempo t.

(c) Determine o valor médio da função posição encontrada em (b), no intervalo [0, f ] .

2. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t) — 2t — 10 + ^ para t > 1.

(a) Sabendo que u(l) = 9, determine a velocidade da partícula para t > 1. (b) Para que valores de t, no intervalo [1, 3], a velocidade atinge seu valor máximo? Justifique a sua resposta. (c) Sabendo que s(l) = —16, determine a posição s(t) da partícula para t > 1.

3. Uma partícula se move ao longo do eixo x de tal maneira que a sua aceleração em qualquer instante de tempo t > 0 é dada por a(t) = | — Quando t = 1, sua velocidade é igual a yg m/s e sua posição em relação à origem é — m e 48 m .

(a) Ache a velocidade da partícula como função do tempo.

(b) Ache a distância da partícula à origem em t = 2.

4. Seja R a região limitada pelo gráfico de (x — 4)2 + y2 = 9.

(a) Exprima a área A de R como uma integral. (b) Determine A sem integrar.

5. Se A é a área da região limitada pelos gráficos d e 2 x + 3y = 6, x = 0 e y = 0, exprima o valor de A como uma integral. Determine o valor de A sem integrar.

6. Calcule os valores de m para os quais a reta y = mx e a curva y = x/+1 delimitam uma região fechada. Calcule a área de tal região.

7. Calcule a área acima do eixo x, limitada pela curva y = \ e pelas retas x = 1 e x = b, onde b é um número qualquer maior que um. O que acontece com essa área quando b —» oo?

8. Resolva o problema anterior para a região limitada pelas mesmas retas e pela curva y = onde p é um número positivo maior que um. O que acontece quando p é um número positivo menor que um?

9. Se lim V 7T Xi4 A x representa o limite de uma soma de Riemann para uma função / no intervalo [0,1], resolva A x—»0

i

os itens abaixo:

(a) Determine o valor do limite. (b) Interprete o limite como a área de uma região do plano xy. (c) Interprete o limite como o volume de um sólido de revolução.

10. Mostre por cada um dos métodos a seguir que a área de um cone circular reto cuja geratriz tem comprimento l e cuja base tem raio r é irrl.

(a) Corte o cone ao longo de uma das suas geratrizes e "desenrole-o". Sua superfície forma, então, uma fração de um círculo de raio l, cuja área você pode calcular facilmente.

(b) Imagine que o cone é constituído por n triângulos de altura l e base (esta hipótese se torna cada vez melhor à medida que n cresce). Deduza a partir deste raciocínio a fórmula para a área da superfície do cone.

(c) Da fórmula obtida para a área da superfície do cone, deduza uma fórmula para a área de um tronco de cone reto com raios ri(base menor) e ^(base maior) e geratriz (altura inclinada) L. (A área de um tronco de cone pode ser obtida como a diferença das áreas de dois cones, um com base r2 e geratriz L2, e o outro com base rj e geratriz Li = L2 — L.) •

11. Este problema se destina a formalizar as idéias intuitivas empregadas para estabelecer a fórmula para a área de uma superfície de revolução.

< M em [a, 6]. Mostre a partir do teorema do valor médio que

\f(xi)~f(x2)\ <M ln-zal,

se Xi e x2 estão em [a,ò]. (b) Suponha que x;_i < a < X;. Mostre que

I f(xi) + f(xi-1) - 2 fia) I < 2 M \xí — Xi—i I ,

isto é, que / (x j ) + f(xi-1) não pode diferir de 2 / (c ; ) por mais do que 2M {x í — Xj_i). (c) Mostre que se todos os intervalos na partição a = xo < ... < xn = b têm comprimentos menores ou iguais

a A x, então cada termo da soma

(*) Ç 7T (f(Xi) + / ( X ^ O ) V l + ( / ' ( C i ) ) 2 A X i i

difere do termo correspondente da soma

^ 2 itfía) y/l + ( / ' (ci))2 A x j i

por não mais que 2 ir M A x y/l + M2 A Xj. (d) Mostre que a diferença entre as duas somas anteriores é menor ou igual a

2TTM AX V T T M 2 (b - a)

e, portanto, é desprezível quando A x é pequeno. Assim, tanto (*) quanto (**) tendem para o mesmo limite quando A x tende para zero.

12. Prove a fórmula A = J^2ttx \jl + (J|)2 dx para a área de uma superfície de revolução obtida pela rotação da curva suave y = / (x ) , em torno do eixo y, para x em [a, 6].

13. Resolva o Exemplo 3 com o reservatório tendo a forma de uma esfera com 5 metros de raio e estando totalmente cheio.

(a) Suponha que


24.12 Um pouco de história No século III a.C., Arquimedes considerou a esfera como um sólido de revolução ao estabelecer a sua famosa fórmula V = 4 7 y para o volume de uma esfera de raio r.

Para chegar a este resultado, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nesta seção para o cálculo de áreas de superfícies de revolução, e não cilindros, como fizemos para o cálculo de volumes.

Além de descobrir o volume de uma esfera, Arquimedes encontrou também a área de sua superfície, relacionando estas duas quantidades de uma forma brilhante. Sua idéia foi dividir a esfera sólida em um grande número de pequenas "pirâmides" da maneira descrita a seguir.

Imagine a superfície da esfera dividida em muitos pequenos "triângulos". Como não há linhas retas na superfície esférica, estas pequenas figuras não são triângulos de verdade, no entanto, se elas forem suficientemente pequenas, cada figura está em um plano aproximador e pode ser considerada, aproximadamente, como triângulos. Suponha que cada "triângulo" seja usado como base de uma pirâmide de altura r (raio da esfera) e com vértice no centro da esfera. Se Ak é a área da base de uma destas pequenas "pirâmides" e Vk o seu volume, sabemos que Vk = para todo k (este fato foi descoberto por Demócrito, em V a.C.). Assim,

N N A N

k=i fc=i fc=i

Como todas as pirâmides preenchem a esfera sólida, esta fórmula nos diz que o volume da esfera e a sua área estão relacionados pela equação

Ao descobrir o volume da esfera, Arquimedes, usando esta fórmula, concluiu também que

4TT r3 _ Ar 3 = X '

Logo, A = 4itr2 é a área da esfera de raio r.

24.13 Para você meditar

24.13.1 Regiões ilimitadas têm, necessariamente, áreas infinitas? O teorema fundamental do cálculo não se aplica ao cálculo de integrais definidas em intervalos onde o integrando não seja uma função contínua. Em especial, não é possível aplicar este teorema para o cálculo de integrais em intervalos onde o integrando se torna ilimitado. Um exemplo deste tipo de situação foi explorado no Problema 7 do Cap. 22. Naquele problema, ao aplicar o teorema fundamental do cálculo para resolver a integral f^ dx, obtivemos para ela um valor negativo, o que é, evidentemente, um absurdo, visto ser o integrando sempre positivo. No entanto, usando um processo de limite, é possível calcular esta integral de uma maneira bastante fácil e intuitiva. Sua tarefa é descobrir como isto é possível. (O Problema 7, deste capítulo fornece uma pista de como isto pode ser feito.)

Use suas conclusões para calcular a integral acima. Interprete o resultado obtido como a área de uma região do plano. Você é capaz de achar um exemplo de uma região ilimitada cuja área seja finita?

24.13.2 Volumes iguais? Sejam T e T" triângulos com um dos seus lados sobre o eixo x. Se T e T' têm a mesma área, os sólidos obtidos quando estes triângulos são girados em torno do eixo x terão o mesmo volume?

24.13.3 A raiz quadrada de 2 é igual a 1? Qualquer que seja o arco de curva definido pelo gráfico de uma função suave y = f(x), desde o ponto A = (a, f(a)) até o ponto B = (b, f{b)), existe uma seqüência de funções escada (veja no Cap.22, seção Para você meditar) que converge para o arco em questão. Execute a animação do texto eletrônico ou examine os gráficos a seguir que ilustram passo a passo esta idéia para a função y = x.


õ 1. 1. t. Em cada passo, a soma dos comprimentos dos n segmentos de reta que compõem a função degrau é igual a 1,

pois esta soma é igual ao comprimento do intervalo [0,1]. Como esta seqüência de funções converge para a diagonal do quadrado de lado 1, temos que \/2 = 1, pois, no limite, a soma dos n segmentos de reta, que é sempre constante e igual a 1, deve convergir para a diagonal do quadrado unitário. Se temos certeza que \/2 / 1, onde está o erro do raciocínio acima?

24.14 Projetos

24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equação quadrática ter raízes reais

O objetivo deste projeto é calcular a probabilidade P de que uma equação quadrática do tipo x2 + bx + c = 0, onde b e c são constantes aleatórias reais, tenha raízes reais.

Para isso siga os seguintes passos:

1. Determine a condição algébrica sobre os coeficientes c e b para que a equação acima tenha raízes reais.

2. Determine, graficamente, a região do plano bc que satisfaz a condição anterior, isto é, marque no eixo das abscissas os valores de b e, no das ordenadas, os valores de c e determine a região que satisfaz a condição imposta.

3. Reduza o problema dado ao problema mais simples de calcular a probabilidade P(N) de os valores de b e de c, escolhidos aleatoriamente num retângulo do tipo [—N, iV], caírem na região que satisfaz a condição imposta no primeiro item.

4. Resolver o problema proposto originalmente é equivalente a permitir que, no valor calculado no item anterior, N aumente sem limite. Calcule P e interprete em termos estatísticos o resultado encontrado.

5. Os comandos a seguir calculam as raízes da equação x2 + bx + c — 0 , onde os coeficientes b e c são números no intervalo [—1,1], gerados aleatoriamente. Execute estes comandos um grande número de vezes, por exemplo 100 vezes, e verifique, experimentalmente, que a probabilidade P(N) (N = 1) que você encontrou está correta. Repita esta tarefa para valores sucessivamente maiores de N e verifique, também, que à medida que o valor de N aumenta, P(N) se aproxima cada vez mais de P.

> N:=l:

> nl:=rand():n2:=rand(l..2):n3:=rand():

> b:=N*evalf(nl()*(-1) ~(n2())/10"12);

> c:=N*evalf(n3()*(-1)~(n2())/10~12)

> ;

> solve(x~2+b*x+c,x);

b := -.009104967988 c := .4668664455

.004552483994- .6832610924/, .004552483994+ .6832610924/


6. A equação quadrática mais geral ax2 + bx + c = 0 pode ser reduzida ao caso anterior dividindo-se ambos os membros por a ^ 0. No entanto, neste caso, a probabilidade das raízes desta equação serem reais diminui bastante. Comprove experimentalmente esta afirmação executando os comandos abaixo um grande número de vezes e justifique este fato, mesmo que intuitivamente.

> N:=l:

> nl:=rand():n2:=rand(-l..0):n3:=rand():n4:=rand(): > b:=N*evalf(nl()*(-l)~(n2())/10~12);c:=N*evalf(n3()*(-1)~(n2())/10~12) > ;a:=N*evalf(n4()*(-l)~(n2())/10~12);

> solve(x~2+b/a*x+c/a,x);

24.14.2 Volumes de sólidos: Seções retas Suponha que um sólido qualquer esteja situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro em x = b. Se um plano perpendicular ao eixo x intercepta o sólido, a região comum ao plano e ao sólido é chamada seção reta ou seção transversa do sólido.

Todas as seções transversas de sólidos de revolução obtidas pela interseção de planos perpendiculares ao eixo de revolução com o sólido são circunferências. A figura à esquerda ilustra esta afirmação no caso do sólido ser um cone de revolução. Esta propriedade foi usada neste capítulo ao obtermos uma fórmula para o cálculo do volume de sólidos de revolução. Quando todas as seções retas de um sólido forem iguais, o sólido será considerado um cilindro. A figura a seguir à direita mostra um cilindro onde todas as seções retas são parábolas idênticas.

Se estamos interessados apenas na parte do gráfico limitada pelos planos que passam pelos pontos de coordenadas x = a e x = b (na figura da direita, a = 0 e 6 = 1), então as seções transversas, limitadas por estes planos, são chamadas bases do cilindro e a distância entre as bases é a sua altura.

O objetivo deste projeto é estabelecer uma fórmula para calcular volumes de cilindros e de sólidos mais gerais, isto é, de sólidos tais que a área das seções retas seja dada por uma função A(x), onde A é uma função contínua em [o, 6],

1. Estabeleça uma fórmula para calcular volumes de cilindros sendo conhecidas a área da sua base e a altura. Como caso especial, mostre que o volume de um cilindro circular reto com raio da base r e altura h é 7r r2 h.

2. Utilizando a idéia de dividir o sólido em fatias finas e aproximar o seu volume somando os volumes de cada uma dessas fatias, estabeleça uma fórmula para calcular o volume de um sólido cuja área de cada seção reta seja dada por A(x), onde A é uma função contínua em [a, b}.

3. O cone mais geral é gerado por todas as retas que passam por um ponto dado V (o vértice) e por uma região plana dada (a base). Imagine um eixo vertical com origem em V e a base B de um cone contida no plano y = h. Mostre que a área da seção reta passando por y0 é (^f)2 A, onde A é a área da base dada B. Use este resultado e a fórmula que você obteve no item anterior para mostrar que o volume de um cone é 4p.

4. Determine, por integração, o volume de uma pirâmide reta se a sua altura é h e a base, um retângulo de lados

5. Mostre que a fórmula obtida para calcular volumes de sólidos de revolução pelo método do disco é um caso particular do método das seções retas, onde cada seção reta é um disco cujo raio é conhecido.

b := .1079981641 c := .5820868907

a := -.2641263567 -1.294094224, 1.702982475

uT5 02 õ ^ T e ^

a e 2a.

6. Demonstre o teorema de Cavalieri: "Se dois sólidos têm alturas iguais e se todas as seções transversas por planos paralelos às suas bases e à mesma distância delas têm áreas iguais, então os sólidos têm o mesmo volume."

24.14.3 Volumes de sólidos de revolução: Método das cascas cilíndricas O método das seções retas (projeto anterior) é geral e se aplica, teoricamente, a qualquer problema de cálculo de volume de sólidos, isto é, é sempre verdade que V = A(x) dx. No entanto, na prática, esta fórmula não é muito útil.

Considere, por exemplo, o sólido gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico da função y = cos(x) e pelas retas i = 0 e i = |, em torno do eixo y. O volume de tal sólido será dado por fQ A (y) dy = f^ n [arccos(y)]2 dy. Esta última integral é bastante difícil de calcular.

O objetivo deste projeto é ilustrar um outro método, útil em muitas situações, para calcular volumes de sólidos de revolução. Em vez de aproximarmos o sólido por discos finos, a idéia é aproximá-lo por cascas cilíndricas finas, por este motivo este método é chamado método das cascas cilíndricas.

Uma casca cilíndrica é a região obtida ao girarmos em torno do eixo y um retângulo com base sobre o eixo x. Veja a figura superior ao lado

Como dissemos acima, a idéia é aproximar o volume do sólido que queremos calcular pela soma do volume de cascas cilíndricas muito finas.

Assim, podemos aproximar o volume de um sólido gerado pela revolução em torno do eixo y, de uma região limitada pelo gráfico da função y = / (x ) , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, pela soma dos volumes de i cascas cilíndricas concêntricas, cujas espessuras recobrem o intervalo [a, b], de tal modo que a altura da i-ésima casca seja dada por f(xi). A medida que a espessura de cada casca se aproxima de zero, a soma de seus volumes se aproxima cada vez mais do volume do sólido, da mesma forma como as camadas concêntricas de uma cebola preenchem o seu volume. Veja a figura inferior ao lado, onde esta idéia é ilustrada.

1. Mostre que a área de um anel circular de raios ri e r2 é dada por

7T (r22 - ri2) =Tr(r2- ri) {r2+r1) = 2 7rrm Ar ,

onde rm é o raio médio do anel e A r a sua espessura.

2. Mostre que o volume de uma casca cilíndrica de raios ri e r2 e altura h é dada por

7T h(r2 — ri) (r2 + ri) = 27r hrm Ar.

3. Seja A o conjunto {{x, y); a < x 0ej</no intervalo [a, b}. Um sólido de revolução é gerado fazendo-se A girar em torno do eixo y. Mostre que o volume do sólido é dado por fa 2 7T x ( / (x) -g{x))dx.

4. Use a fórmula acima para determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos de y = 4 — x2 e y = 0 em torno do eixo y.

5. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio a e o anel altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de a.

24.14.4 Usando matemática para modelar um objeto real Muitos objetos com que lidamos na vida cotidiana são exemplos de sólidos de revolução. Uma forma de pudim é exemplo de um desses objetos. O objetivo deste projeto é descrever um objeto real, no caso uma forma de pudim, como um sólido de revolução e obter o seu volume pelos métodos tratados neste capítulo. Para isso, siga os seguintes passos:


1. Aproxime a seção reta da forma por uma função conhecida.

2. Seja / uma função positiva, definida num intervalo [a,6]. Sabemos que, no plano yz, onde z é o eixo vertical e y o horizontal, a região limitada pelo gráfico da função z = f(y) e pelo eixo y, ao ser girada em torno do eixo gera um sólido de revolução. A superfície deste sólido pode ser descrita em função dos parâmetros y e do ângulo de giro í. Mostre que as coordenadas de um ponto genérico desta superfície podem ser dadas por (y sen(í), ycos(í), f(y)).

3. Use a função obtida no primeiro item e o comando plot3d do Maple para visualizar a sua forma de pudim. Para isso, no comando abaixo substitua f(y) pela função que você definiu no primeiro item e as constantes a e b pelo correto intervalo de variação de y.

> p l o t 3 d ( [ y * s i n ( t ) , y * c o s ( t ) , f ( y ) ] , t = 0 . , 2 * P i , y = a . . b ) ;

4. Calcule o volume da sua fôrma pelos métodos estudados nesta seção.

5. Meça o diâmetro, o diâmetro do canudo central e a profundidade de uma forma de pudim. Ajuste o seu modelo teórico às dimensões verdadeiras (faça uma redução em escala, se necessário) e calcule o volume da sua fôrma teórica depois do ajuste feito. Verifique a validade do modelo teórico: descubra qual a capacidade da fôrma real (em litros, por exemplo) e compare o resultado teórico com o volume real.

Capítulo 25

Logaritmo e Exponencial

25.1 Introdução No início do século XVII, a ciência na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experiências concretas. O progresso nos diversos campos do conhecimento exigia uma teoria digna de crédito, e para isso medições mais acuradas e operações algébricas mais sofisticadas eram necessárias.

Uma das grandes dificuldades dessa época residia no fato de que todas as contas eram feitas manualmente. Somar grandes quantidades e principalmente multiplicar números gigantescos não eram tarefas fáceis. A multiplicação de dois números de cinco algarismos, por exemplo, envolve 25 multiplicações e uma adição!

Um dos métodos utilizados para efetuar grandes multiplicações era o uso de tábuas de funções trigonométricas, conhecidas desde os tempos de Ptolomeu (século II d.C.), operadas da maneira descrita abaixo.

Para multiplicar dois números a e b, primeiramente mudava-se a posição relativa das vírgulas e os sinais até que os números a e b ficassem entre 0 e 1, então, procurava-se na tábua ângulos a e /? tais que sen(a) = a e cos(/3) = b. Aplicando-se a fórmula

sen(a + f3) + sen(a - (3) = sen(aj cos(p)

obtinham-se, por meio da tábua trigonométrica, os valores de sen(o: + 0) e de sen(a — (3) e daí o produto desejado. Uma outra idéia seria a de fazer uma tábua de multiplicações, só que tal tábua para números naturais de 1 a

10.000.000, exigiria meio trilhão de multiplicações, o que para ser efetuado tomaria muito tempo. (Cerca de 600.000 mil anos à base de 1/2 minuto por conta, sem dormir e sem comer, sem ir ao banheiro e sem namorar.)

Usando a idéia básica das tábuas trigonométricas de transformar multiplicações em somas, Napier construiu, em 1614, a primeira tábua de logaritmos, que listava os logaritmos dos números maiores do que 1 numa enorme tabela. O sucesso do projeto de Napier foi de grande ajuda para pessoas como Johann Kepler, cujas análises de observações astronômicas exigiam cálculos laboriosos.

Os logaritmos gozam da seguinte propriedade operatória:

log(a b) = log a + log b

o que possibilitava que grandes multiplicações fossem efetuadas com esforço mínimo e, ainda, removia muitas das dificuldades do processo trigonométrico, possibilitando, por exemplo, a multiplicação de três ou mais fatores sem muito trabalho.

Essas tabelas deram origem às famosas réguas de cálculo que eram usadas por engenheiros, físicos e economistas até o início da década de 70, quando a popularização dos computadores e das máquinas de calcular tornou completamente obsoletas tanto as ditas réguas como as famigeradas tabelas (graças ao bom e misericordioso Deus!).

Hoje em dia os logaritmos não são mais utilizados explicitamente para cálculos corriqueiros e não tem mais sentido aprender ou ensinar o uso das tais tábuas. A função logaritmo, que estudaremos a seguir, continua, no entanto, mantendo sua importância teórica no estudo das funções reais e das equações diferenciais.

25.2 Motivação Suponha que / seja uma função tal que f'(x) = - para todo i > 0 e / (1) = 0. Vamos mostrar que f(xy) = f(x) + f(y). Para isso, considere a função g definida por g{x) = f(xy). Então,

g'(x) = f(xy)y=y- = - . xy x

341

342 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

Conseqüentemente, como / e g têm a mesma derivada, diferem por uma constante, isto é,

g(x) = f(x) + C.

Como / (1) = 0, então C = g( 1) = f(y). Logo,

g(x) = f(xy)=f(x) + f(y).

Assim, a função que transforma produtos em somas (logaritmo), que desde o século XVII os matemáticos procuravam definir, deve ser aquela cuja derivada seja igual a ^ e tal que / (1) = 0. A função L(x), definida por L(x) = J* j dt, satisfaz estas duas propriedades, portanto é razoável definirmos a função ln(x) (logaritmo natural ou neperiano de x) como

íx 1 ln(s) = / ~dt

J i t e, a partir daí, deduzir as suas propriedades. Isto é feito nas seções a seguir.

25.3 Logaritmo natural Definição

Define-se o logaritmo natural de um número positivo x como

í x 1 ln(x) = / -dt. J i t

Geometricamente, isto significa que quando x > 1 o logaritmo natural de x é igual ao valor da área da região plana limitada pela curva y =\, pelo eixo das abscissas e pelas retas t = 1 e t — x (veja a figura seguinte, à esquerda).

Quando 0 < x < 1, como f* | dt — — /J \ dt, temos que ln(a;) — —A{x), onde A{x) é a área da região limitada pelo gráfico da curva y = pelo eixo das abscissas e pelas retas t = x et — 1 (veja figura à direita).

Conseqüências da definição de logaritmo

Pelo teorema fundamental do cálculo temos, imediatamente, que

Além disso, a função logaritmo natural é uma função crescente, pois ln'(x) = ^ > 0, para x > 0. Temos, também, que ln"(a;) = — ^ < q para todo x > 0. Portanto, o gráfico de ln(a;) é côncavo para baixo. Deixamos como exercício a demonstração de que lim ln(x) = —oo e lim ln(ai) = oo. (Veja Exercício 4-)

x—>0+ x—too Com estas informações é possível esboçar o gráfico de y = ln(x).

Principais propriedades

Se a e b são números reais positivos e r é um número racional, então:

1. ln(aè) = ln(a) + ln(6)

2. In{br) = r ln(6)

3. ln( f ) = ln(a) - ln(6)

Demonstração

1. Observe que ln'(xò) = — (xb)' = — = ln'(x). Portanto, ln(x&) = ln(x) + C. xb x

Para x — 1, temos ln(6) = C. Assim, ln(aò) = ln(a) + ln(6).

2. Como ln'(xr) = x^-V = - = (r ln(x))',

segue que ln(xr) = rln(x) + C.

Mas, para x = 1, temos C = 0. Assim, ln(òr) = rln(6).

3. A demonstração da terceira propriedade é conseqüência direta das duas primeiras, bastando para isso observar que ln(f ) =ln(aò("1 ) ) .

25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos A função logaritmo natural f(x) = ln(| x |) é definida para todo x / 0. Se x > 0, então | x | = x e tem-se f'(x) = K Se x < 0, então | x | = — x e, neste caso, f'(x) = = K Logo,

(ln(|x|))' = i x

para todo x ^ 0. Quando se tem uma composta y = ln(| u |), onde u = u(x), isto é, y = ln(| u[x) j), então, usando a regra da cadeia

tem-se y'= (ln(l u{x) D' = —7-r, u(x)

desde que u = u(x) seja derivável e diferente de zero. Assim,

/ ^ d x = ln{\u{x)\) + C

ou, simplesmente,

/

— du = ln(| u I) + C, pois, du = u'(x)dx u

f 1 Exemplo Calcule / dx.

J 2 x — 3

Solução Se u — 2x — 3 du = 2dx Assim,

J1-du=1-H\u\) + C=1-H\2x-3\)+C.

Aqui, subentende-se que estamos calculando a integral para os valores de x para os quais a função / ( x ) = 2 x S definida, isto é, para x / Assim,

/I I 3 f 1 1 3

-dx= - ln(2 x — 3) + C , se x > - e dx = - ln{3 - 2x) + C, se x < - . Z X o Z Z J Z X — o z z


25.5 Função exponencial Definição

Define-se a função exponencial y = exp(x) como sendo a inversa da função logaritmo, isto é,

y = exp(x) x = In(y)

Da definição acima podemos concluir que o domínio da função exponencial é toda a reta real e a imagem é o intervalo aberto (0,+oo).

Além disso, como a exponencial é a inversa do logaritmo, seu gráfico é obtido pela reflexão do gráfico do logaritmo em torno da reta y = x.


1. exp(x) exp(y) = exp(x+ y)

2. (expx)r = exp(ra), para todo número racional r

3. exp (—a;) = ^

Demonstração

1. Usando a primeira propriedade de logaritmo, tem-se

ln(exp(a;) exp(y)) = ln (exp (a;)) + ln(exp(t/)) = x + y.

Assim, pela definição de exponencial, obtemos

exp(x+ y) = exp(a;)exp (y).

2. Pela segunda propriedade de logaritmo,

In (expo;)'" = rln(exp(a;)) = rx.

Logo, pela definição de exponencial vem que

(expa;)r = exp(ra).

3. A propriedade (3) decorre imediatamente de (1). Se y = —x, tem-se exp(x) exp(—x) = exp(0) = 1, o que implica

exp(—x) = —-—. exp x

25.6 Função exponencial em uma base qualquer Definição

Considere um número real a > 0 ea^l. Definimos a função exponencial de um número real qualquer x na base a como sendo:

y = ax = exp (x ln(a))

Para a > 0 e 6 e c reais quaisquer, tem-se:

(a) ln(a6) = òln(a)

(b) abac = a(b+c*>

( c ) (ab)° = abc

Demonstração A propriedade (a) decorre imediatamente da definição da função exp(a;). A propriedade (b) também

decorre imediatamente da definição de exp(i) e de sua primeira propriedade

abac = exp(61n(a))exp(cln(a)) = exp((6 + c) ln(a)) = a ( 6 + c ) .

A propriedade (c) é uma extensão da propriedade (2) da função exp(x) e decorre da definição e da propriedade (a), acima. Assim,

(ab)c = exp(cln(a6)) = exp(c61n(a)) = abc.

O número e

Note que a definição de exponencial em uma base a qualquer se torna mais simples se escolhermos uma base a, tal que ln(a) = 1.

Definimos o número e como sendo o número tal que ln(e) = 1. Evidentemente, como a função logaritmo é contínua e injetora, tal número existe. Assim,

exp(ln(e)) = e ou exp(l) = e e

ex = exp(x), ou seja, a função definida anteriormente como y = exp (x) é a função exponencial na base e.

Exercício Mostre que o número e pode ser obtido como

e = lim + h—>0 Sugestão:

M l n ( * ) ) ' = l i m l n ( í + / l ) - l n ( í ) t fr—>o h

Use propriedades de logaritmo para mostrar que

ei = lim (1 + -h^O t

25.7 Logaritmo em uma base qualquer Definição

Considere um número real a > 0 ea/1. Define-se a função logaritmo em uma base a como sendo a inversa da função exponencial na base a, isto é,

V = log0(:r) <!=> ay = x. Observe que loge(x) = y ev = x, e como = x, tem-se

loge(x) = ln(x).


As propriedades de logaritmos em uma base a são as mesmas do logaritmo natural e são facilmente dedutíveis das propriedades de exponencial em uma base qualquer a.

(a) loga(xy) = loga(x) + logQ(y)

(b) loga(xf) =y log a (x )

(c) log a ( f ) = loga(x) - loga(y)

Mudança de base

Se a > 0 e a ^ 1, o problema que temos é como obter loga(x) conhecendo-se o logaritmo natural ln(x). Observe que x = a l o & a ^ = e ^ 0 8 " ^ 1 " ^ . Assim, ln(x) = loga(x) ln(a), e, portanto, tem-se a fórmula de mudança da base e para a base a

W (x) = ^ ° g a W ln(a)'

Agora, para x = e, tem-se i / ^ l n( e) 1

log„(e) = ln(a) ln(a) Assim,

ln(x) = loga(x)ln(a) = log0(a),

e temos a fórmula de mudança da base a para a base e.

25.8 Derivadas e integrais Derivada e integral de exp(x) = ex

Pelo teorema da função inversa temos

<*'>' = m -»-«•• Assim,

ex dx = ex +C

Exemplo 1 Calcule a derivada de y = ex .

Solução Se u = x2, pela regra da cadeia sabemos que

djl=dj_du=eU2x = e X > 2 x

dx du dx

Exemplo 2 Calcule f x ex^ dx

Solução Se u = x2 =4- ^ = 2 xdx. Assim, J x e*2 dx = ~ J eu du = ^ eu + C = ^ e*2 + C.

Derivada e integral de ax

Da definição de exponencial em uma base a qualquer e da regra da cadeia/, temos

(o*)' = ( e ^ 1 ^ » ) ' = e (a ; ln(a»(zln(a))' = ax ln(a),

isto é, ^ ^ = ax ln(a). Logo, [ ax dx — + C. dx J m(a)

Derivada e integral de xb

Considere a função y = / ( x ) = xb, definida para x > 0 e b um número real não nulo. Então,

(Xby = (e(hln(z))\' = e(61n(«)) & = x b h _ = bx(b~ 1)_ X X

Assim, finalmente, provamos a fórmula

dx para qualquer número real n e, conseqüentemente,

= „ M )

/ r ( n + l )

xn dx = + C n + 1

para qualquer número real n ^ - 1 .

Derivada de Ioga(x)

Da fórmula de mudança de base temos

x

25.9 Exercícios 1. Calcule as derivadas das funções abaixo:

(a) y = ln(x2 + 1) (g) y = x e(x2+1) (m) y = lnex + e ^ (b) y = sen(ln(x)) (h) y = sen(x) (n) y = 2 ^ (c) y = xln(x) (i) y = e c o s ^ (Q) y = (d) y = ln(Vx3 + 2x) (j) y = v 7 ^ (p) y = (e) ln2 (sen(x)) (k) y = (sen(e<"*)))2 (q) y = log10(3x + 2) ( f ) y = e(4x+5'> (1) y = Cos(esenW) (v) y = xx

(s) y = sen(x) c o s^

2. Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita: (a) x2 ey + ex = y (c) ex — ey = xy (e) xln(y) = yex

(b) ex + ev = exy (d) x ey + y ex = x y

3. Calcule as integrais abaixo:

« / . v w e > / í 4 > * ü> r^Mé, 1—2 X

dx (b)/«(,)<-<•>* fej/dh"* w J 2 + 3x

(c) (l± îdx fh)l (,) /feWl! J Vx W J x J X

( d ) J x e ^ d x (i) J * ^ d x H

( n ) / 1 + S S e n ( ! ) dx

4. Prove que lim ln(x) = oo e lim ln(x) = —oo. ~ — x—>0+

Sugestão: Considere x grande e n o maior inteiro, tal que x > 2™. Aplique logaritmo nesta desigualdade,

i- ln(x) Mostre que lim = 0, para todo inteiro positivo n. x—too xn

Sugestão: ln(x) = Jx \dt < jx \ dt = 2 (xã — 1)

Considere a função y = f(x) = xb, definida para x > 0 e b um número real não nulo. Então,

(xbY = (e(hl»(*))Y = e<6 •"(*)>- = xb- = bx^-V. X x

Assim, finalmente, provamos a fórmula

dO71

dx Ân-l)

para qualquer número real n e, conseqüentemente,

r ro+i) xndx= —— + C n + 1

para qualquer número real n / - 1 .

Derivada de loga(x)

Da fórmula de mudança de base temos

(logQ(x))' = ( I ^ V = - i p - = —log (e). \ln(aj / xln(a) x

25.9 Exercícios 1. Calcule as derivadas das funções abaixo:

(a) y = ln(x2 + 1) (g) y = x e ^ + 1 )

(b) y = sen(ln(x)) (c) y = xln(x) (d) y = \n(Vx3 + 2x) (e) ln2 (sen(x)) (f) y = e ( 4 x + V

(h) y = sen(x) (i) y = ecos(x)

(j) y = V^fr (k) y = (sen(e(~x)))2

(1) y = cos(esen(x))

2. Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita: (a) x2 ev + ex = y (b) ex + ey = exy

(c) ex — ev = x y (d) x ev + y ex = x y

(m) y = lnex + é- x*> (n) y = 2^ (o) y = naenW (p) y = 5» (q) y = log10(3x + 2) (r) y = xx

(s) y = sen(x) c o s^

(e) xln(y) = yex

3. Calcule as integrais abaixo:

(a) J x2 e ^ d x

(b) J sen(x) ecos(x) dx

l + e^ < C ) / V * (d) J x e ( 2 ~ x 2 ) d x

f ex (e) / dx w J l + ex

(«) / 6 /

ln(x) 3

dx ln lx I

2 + 3 \px dx

ln(x) x

5 ln(x)

dx

dx

ü ) /

(1 ) J M * ) l 2

w/r

X 2 x + 1 x^ + x

dx

dx

dx

dx

cos(3 x) + sen(3 x) dx

4. Prove que lim ln(x) = oo e lim ln(x) = —oo. x—too x—>0+

Sugestão: Considere x grande e n o maior inteiro, tal que x > 2n. Aplique logaritmo nesta desigualdade.

5. Mostre que lim ln(x)

x—»00 x = 0, para todo inteiro positivo n.

Sugestão: ln(x) = f* \dt < -x dt = 2 (x* — 1)

6. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando-se a região limitada por y = ex + e X,x = 0ex — 2 em torno do eixo x.

7. Mostre que e = lim (1 + - )n. n-íoo Ti

25.10 Problemas propostos 1. (a) Esboce o gráfico da função f(x) = x2

(b) Esboce o gráfico de f(x) =

(c) Esboce o gráfico de f(x) =

(d) Qual dos dois é maior e7r ou 7re? Sugestão: Utilize o gráfico obtido no item anterior.

2. Determine os pontos do gráfico de y = x2 + 4 ln(ar), em que a tangente é paralela à reta y — 6x + 3 = 0.

3. Determine a área da região limitada pelos gráficos das equações dadas:

(a) xy =1 , y = 0, x = 1 e x = e. (b) y = e~2x, y = —e~x, x = 0 e x = 2.

4. Nos itens abaixo, calcule (a) xlii{y) - ylií(x) = 1. (d) y = (2x + 1)<Í> (4ar - l)2 (3ar + 5)4

(b) y3 + x2Hy) = 5x + 3 (e) y = (c) xev + 2x-ln(y + l) = 3 v^I(7,+2)3

5. Um número primo é um inteiro positivo que admite como fatores apenas 1 e ele mesmo. Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Denotamos por n(n) o número de primos que são menores ou iguais a n. Por exemplo, 7T(15) = 6 , pois existem 6 primos menores que 15.

(a) Calcule 7r(25) e 7r(100). Use o Crivo de Eratóstenes.

Desde que Euclides provou que o conjunto dos números primos era infinito (você conhece a demonstração desse fato?), os matemáticos tentam achar uma fórmula algébrica simples que forneça todos os números primos. Embora essas tentativas, até hoje, tenham sido malsucedidas, elas levaram, no decorrer dos séculos, à formulação de várias conjecturas a respeito desses números. Em 1792, o matemático Gauss, quando tinha apenas 15 anos, formulou uma dessas conjecturas que foi provada cem anos depois por Hadamard e de la Vallée Poussin e ficou conhecida como teorema do número primo.

Observando tabelas de números primos e tabelas de logaritmos, Gauss conjecturou que o número de primos menores ou iguais a n é aproximadamente igual a , quando n é grande. Em outras palavras, ele achou que a razão 7r(")^°(n) s e aproximava de 1 à medida que os valores de n cresciam.

(b) Confirme a validade deste resultado calculando a razão entre n(n) e para n = IO2, n = IO3, n = IO4, n = IO5, N = 106 e n = 107. Use os seguintes valores: TT(IOOO) = 168, TT(104) = 1229, TT(105) = 9592, TT(106) = 78498 e TT(107) = 664579.

(c) Use o teorema do número primo para estimar a quantidade de números primos menores ou iguais a um bilhão.

25.11 Um pouco de história: O logaritmo de Napier Considere um ponto P que se move ao longo de um segmento de reta AB de comprimento IO7, enquanto um outro ponto Q se move ao longo de uma semi-reta infinita. A velocidade de P é sempre igual à distância de P a B (em outras palavras, se P(t) é a posição de P no tempo t, então P'(t) = IO7 — P(t)) e Q se move com velocidade constante Q'(t) — IO7. A distância percorrida por Q após transcorrido um tempo t é definida como o logaritmo neperiano da distância de P a B no mesmo tempo t. Conseqüentemente,

107 t = Log_Neperiano(IO7 - P(í)) .


Essa foi a definição de logaritmo dada por Napier (1550-1617) em seu trabalho de 1614, Mirifici Logarithmonum Canonis Description (Uma Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). Note que este trabalho foi feito antes da invenção do uso dos expoentes! O número 107 foi escolhido porque a tabela de Napier (construída com o propósito de simplificar cálculos astronômicos) listava logaritmos de senos de ângulos para os quais a precisão de sete casas decimais era suficiente. Com isso, Napier quis evitar o uso de frações. Podemos mostrar que Log-Neperiano(x) = 107 ln(^-). Tente demonstrar este fato!

25.12 Para você meditar: Onde está o erro? Problema 1

Um professor propôs que seus alunos calculassem os valores de x e de y, soluções reais do seguinte sistema de equações envolvendo logaritmos:

log 1 0(xy) = 3

log10(|) = 1

Um aluno apresentou a seguinte solução:

Aplicando as propriedades dos logaritmos às duas equações anteriores, obtemos as seguintes equações equivalentes às duas dadas:

logioO) + logio (y) = 3

logioM " iogio (y) = 1

o que implica que 21og10(x) = 4. Assim, log10(:r) = 2. Aplicando a definição de logaritmos a esta igualdade, tem-se que x — 100. Substituindo o valor encontrado para x na equação log10(x) + log10(y) = 3, obtém-se 2 + log10(y) = 3.

Novamente aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos concluir, sem dificuldade, que y = 10. Portanto, os valores de x e de y que satisfazem o problema proposto são, respectivamente, 100 e 10.

Um segundo aluno resolveu o mesmo problema da seguinte maneira:

Aplicando a definição de logaritmo às duas equações propostas, tem-se

xy = 1000 e - = 10 y

Da segunda equação obtemos x = 10 y. Substituindo este valor na primeira equação, temos 10 y2 = 1000, portanto, y = 10 e y = —10. Como x = 10 y, temos também que x = 100 e x = —100.

As soluções do problema proposto são, portanto, x = 100, y — 10 e x — —100, y = —10.

Se verificarmos as soluções apresentadas, constatamos que, de fato, os pares {x = 100, y = 10} e {x = —100, y = — 10} são realmente soluções do problema apresentado. • Qual foi o erro cometido pelo primeiro aluno?

Problema 2

Pediram que um estudante de engenharia calculasse a derivada de ln(sen(x)), no ponto x = Ele, como um bom aluno, aplicou a regra da cadeia e obteve D(ln(sen(x))) = . Substituiu, então, x por ^ e calculou o resultado com o seu computador Pentium III, com 554 Mb de memória ram, HD de 20 Gb, placa de vídeo com 64 Mb de memória, "freios ABS", "airbag" e, com a ajuda do Maple VR5, obteve o seguinte resultado,

> f:=x->cos(x)/sin(x);

, cos(x) sen(x)


> f(5*Pi/3);

• A resposta acima está correta?

25.13 Projetos

25.13.1 Juros simples e compostos Um capital inicial Co empregado a uma taxa de juros de r por cento ao ano, transforma-se, ao final de um ano, em um capital CL dado por

Cx = Co + rC0 = C 0 ( l + r).

Ao final de outro ano obtém-se

C2 = Ci + rCi = Ci( l + r) = C 0 ( l + r)2.

Dessa forma, a fórmula geral para n anos será dada por

Cn = C0(l + r)n

Investidores inteligentes, como nós, aplicam o seu capital exigindo que os juros sejam capitalizados, isto é, in-corporados ao capital ao fim de um período de tempo predeterminado e então novamente aplicada a taxa de juro contratada.

A fórmula deduzida acima só serve para um número inteiro de anos, de modo que não nos fornece o capital resultante ao final de um mês, por exemplo. O capital empregado à mesma taxa r de juros deverá render, ao final de um mês, de modo que decorrido um mês o capital Co se transforma em C\ = Co(l + j^)- Assim, reinvestindo o capital resultante a cada mês, ao final de um ano obteremos um capital C\2 = Co(l + f^)12, maior que aquele obtido através dos juros simples, calculado anteriormente.

A equação C = Co(l + r)n fornece, portanto, o capital C resultante de um investimento inicial de Co reais, empre-gado a juros de r% em cada período de tempo contratado, transcorridos n desses períodos. Portanto, C é um valor a ser atingido no futuro e Co é o valor presente.

1. Usando essa equação, calcule o capital resultante de um investimento aplicado a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada de 4 em 4 meses, ao final de 5 anos.

2. Nas mesmas condições do item anterior, calcule qual a quantia que deve ser empregada hoje para que ao final de 5 anos seja obtido um capital igual a dez vezes o capital inicial.

3. Calcule o capital resultante, ao final de 5 anos, de um investimento contratado a uma taxa nominal de 10%, a ser capitalizada de 4 em 4 meses, se no primeiro mês do contrato aplica-se um capital inicial de R$ 1.000,00 e a cada 12 meses decorridos acrescentam-se mais R$ 1.000,00 a este investimento.

4. Suponha que, por trinta anos, ao final de cada mês, você deposite R$ 500,00 a uma taxa de juro nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. Use o computador e a equação anterior para calcular a quantia que você terá poupado ao final dos 30 anos (360 meses).

5. Qual o valor justo (o valor presente) de uma das 12 prestações iguais de um financiamento de R$ 1.000,00 obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizado mensalmente? Qual deve ser a prestação mensal cobrada por um financiamento de 4 anos, de um automóvel no valor de R$ 12.000,00, se a taxa de juros contratada for de 12% ao ano?

6. O valor das prestações de qualquer financiamento é composto por duas parcelas. Uma dessas parcelas corresponde aos juros devidos e a outra à amortização do débito. Em cada uma das três primeiras prestações do financiamento descrito no item anterior, calcule a parcela correspondente ao valor de juros pagos e a parcela que corresponde ao valor do débito amortizado.


7. Uma loja de variedades anunciou nos jornais de 23/08/98, o console de videogame Sega Saturn por R$399,00 a vista ou em 12 prestações de R$49,99. Qual a taxa de juros mensal cobrada nesse financiamento? (Você, certamente ficará feliz em saber que a taxa publicada no anúncio era correta !) Tendo em vista os juros médios conseguidos nos investimentos, você acha essa taxa razoável?

Juros compostos e o número e

Um investidor mais exigente desejará que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transação em que os juros são capitalizados continuamente é o que se chama de juros compostos.

Se tomarmos uma fração ^ do ano, empregando-se o capital com juros capitalizados, ao final de um ano teremos um capital total de Co — (1 + ^ ) n . Para, a partir dessa fórmula, obter uma outra que nos forneça o capital resultante de um investimento empregado a juros compostos é necessário tomar sucessivamente frações cada vez menores do ano.

Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicação feita a juros compostos será dado por

lim C0(l + -)n. n—toe Ti

O número e é em geral definido como e = lim (l + - ) n . n—too Tl

Levando-se em conta a definição acima, temos que um capital empregado a uma taxa de r por cento ao ano, a juros compostos a cada instante, será transformado depois de t anos em

lim Co (1 + —)n = Co ert. n—t co Tl

• Usando a definição acima, calcule uma aproximação para o número e com 6 casas decimais.

25.13.2 O método do carbono 14

Um dos métodos mais apurados para datar achados arqueológicos é o método do carbono 14 (14C), descoberto em 1949. O método é bem simples. A atmosfera terrestre é continuamente bombardeada por raios cósmicos. Estes raios cósmicos produzem nêutrons que, combinados com nitrogênio, produzem 14C. O 1 4C é incorporado pelo dióxido de carbono e se encontra na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de átomos de 1 4C presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de 14C é igual à quantidade de 14C desintegrado (o 1 4C é uma molécula instável, que se desintegra espontaneamente numa taxa proporcional ao número de moléculas presentes na amostra). Quando um organismo morre, cessa de ingerir 14C, portanto, sua concentração nos tecidos diminui devido à desintegração.

Em física, é uma suposição fundamental que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cósmicos tem sido sempre constante. Isto implica que se a taxa de desintegração de 14C numa amostra de madeira viva, por exemplo, fosse medida há 10.000 anos, o resultado teria que ser igual à taxa de desintegração, em uma amostra equivalente, medida hoje. Essa suposição nos permite determinar a idade de uma amostra de carvão natural.

Seja N(t) a quantidade de 1 4C presente numa amostra no instante t e No a quantidade de 1 4C presente no instante t = 0, quando a amostra foi formada, isto é, imediatamente antes de ser queimada. Se k é a constante de desintegração radiativa de 14 C, temos que

N(t) = Noe~kt.

A taxa atual R{t) de desintegração de 14C, que é proporcional à quantidade de 1 4C presente na amostra, é dada por R(t) = K N(t) = K No e~kt e a taxa original é R(0) = K N0. Assim,

Ro k

A constante k pode ser determinada conhecendo-se a meia-vida do 14C, isto é, o tempo que uma amostra leva para ficar reduzida à metade de sua quantidade inicial.

(a) Calcule k sabendo que a "meia-vida"do 14C é de 5.568 anos.

Se medirmos a taxa atual R(t) e observarmos que Ro é igual à taxa de desintegração de 14C numa quantidade equivalente de madeira viva, podemos calcular a idade aproximada t do carvão. Os dois problemas abaixo são ilustrações reais desse método.

(b) O carvão das famosas cavernas Lascaux, na França, produziu uma média de 0,97 desintegrações por minuto, por grama de material. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6,68 desintegrações por minuto por grama. Estime a idade do carvão e, então, a provável data das famosas pinturas da caverna.

(c) Nas escavações em 1950 em Nippon, uma cidade da Babilônia, o carvão de um telhado de madeira produziu uma média de 4,09 desintegrações por minuto por grama. A madeira viva numa amostra equivalente produziu 6,68 desintegrações. Supondo que o carvão foi formado durante o reinado de Hamurabi, faça uma estimativa da época em que ele reinou na Babilônia.

25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo às estrelas (ou modelando um problema real) No processo perpétuo de entender, explicar e prever resultados de fenômenos que ocorrem na natureza, o homem é levado à construção de modelos empíricos, onde leis matemáticas são obtidas pela análise de tabelas constituídas por dados experimentais. Nesse processo, o emprego de gráficos em escalas semilogarítmicas e logarítmicas desempenha um papel de primordial importância, como é ilustrado no exemplo abaixo.

O problema Em 1601, com a inesperada morte de Tycho Brahe, o astrônomo alemão e escritor de ficção científica Johann

Kepler se tornou diretor do Observatório de Praga. Kepler, antes disso, fora assistente de Brahe e ajudara a coletar dados referentes a 13 anos de observações relativas aos movimentos do planeta Marte. Em 1609, Kepler formulou suas primeiras duas leis:

1. Cada planeta se move sobre uma elipse com o Sol em um dos focos.

2. Para cada planeta, a reta que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

Kepler levou mais uma década verificando essas duas leis e formulando a terceira lei, que relaciona períodos orbitais com distâncias médias do Sol. Como todas as suas leis, essa também foi baseada em dados experimentais observados. Publicada em 1619, foi dedicada a James I, rei da Inglaterra. • Usando os dados experimentais (listados abaixo), deduza a terceira lei de Kepler.

Planeta T = Período (dias) R = Distância Média do Sol (km xl0 e ) Mercúrio 88 57,9

Vénus 225 108,2 Terra 365 149,6 Marte 687 227,9 Júpiter 4.329 778,3 Saturno 10.753 1427 Urano 30.660 2870

Netuno 60.150 4497 Plutão 90.670 5907

No esforço de encontrar uma lei matemática que descreva, apropriadamente, a relação existente entre T e R, isto é, encontrar T como função de R, a primeira tentativa a ser feita é traçar um gráfico unindo os pontos da tabela dada, como é feito a seguir:

> plot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[778.3,4329],[142 > 7,10753], [2870,30660], [4497,60150],[5907,90670]],labels=[ íR <, "T]);

Nossa tarefa agora é tentar descobrir se este é o gráfico de uma função exponencial do tipo T = C eR ou de uma função potência do tipo T = C Rn. No primeiro caso, aplicando-se logaritmo a ambos os membros da equação obtemos

> log(T)=log(C*exp(R));

ln(T) = ln(C e^)

> expand (°/0) ;

ln(T) = ln(C) + R Chamando t — ln(T) e de A o número ln(C), obtemos da expressão acima > subs({ln(T)=t,ln(C)=A},°/o);

t = A + R Assim, podemos concluir que a função procurada é do tipo exponencial, se for uma linha reta o gráfico em escala

semilogarítmica, onde o eixo das ordenadas é graduado em valores logarítmicos, isto é, no eixo vertical são marcados os valores de t = ln(T) obtidos com os dados fornecidos.

Usando o Maple com os dados do exemplo acima, obtemos: > with(plots):logplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687] ,[7 > 78.3,4329],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels > =[<R',<ln(T)<]);

Deste gráfico, concluímos, imediatamente, que a função que relaciona o período orbital com a distância ao Sol não pode ser do tipo exponencial. Tentemos agora usar o mesmo raciocínio para descobrir se a função que queremos determinar é do tipo T — C Rn.

> log(T)=log(C*R~n);

ln(T) = ln (Ci? n ) > expand (°/0);

ln(T) = ln(C) + nln(ií) Chamando de t = ln(T), r = ln(i?) e de c o número ln(C), obtemos da expressão acima: > subs ({ln(T)=t, ln(C)=c, ln(R)=r} ,°/0) ;

t = c + nr Assim, se a função que procuramos for do tipo potência, sua representação num gráfico traçado usando-se escala

logarítmica será uma linha reta. Neste gráfico, tanto o eixo das ordenadas como o eixo das abscissas são graduados em valores logarítmicos, isto é, no eixo das ordenadas são marcados os valores de t = ln(T) e no eixo das abscissas os valores de r = ln(ií).

Usando-se o Maple com os dados do exemplo anterior, obtemos: > loglogplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687] ,[778.3,4329 > ], [1427,10753],[2870,30660],[4497,60150], [5907,90670]],labels=['r','t' > ] ) ;


Este gráfico nos mostra que a função que procuramos é do tipo T = C Rn. Resta-nos agora determinar C e n. Como a equação desta reta é dada por t — c -f- nr, sabemos que ri é a declividade da reta e c o seu coeficiente linear. Como c = ln(C), temos que C = ec. Com a ajuda do Maple, podemos calcular n e C, como é feito a seguir.

> n:=evalf(slopeC[log(108.2),log(225)],[log(149.6),log(365)T));

n := 1.49327560 > c:=solve(log(225)=c+n*log(108.2),c);

c •.= -1.578374683 > C:=evalf(exp(c));

C := .2063101452 Logo, a função que procuramos será T = 0,2

Existe um modelo teórico, baseado em leis físicas do movimento, para descrever os movimentos planetários. Esse modelo usa equações diferenciais ordinárias e está fora do alcance desse curso. De acordo com esse modelo teórico, o valor de T (período orbital) para cada planeta é dado por T = > onde 7 = 6 ,67 m é a constante de gravitação universal e M = 1, 993 x IO30 kg, a massa do sol.

Como o valor de ^ ^ = 0,1999 em dias por (km 106)l, temos que T = 0,1999 . • Os valores teóricos concordam com os valores empíricos que calculamos no item anterior?

Efeito estufa: Prevendo o fim do mundo

A queima de combustíveis fósseis adiciona dióxido de carbono à atmosfera que circunda a Terra. Esse dióxido de carbono pode ser parcialmente removido por reações biológicas, no entanto, a concentração de dióxido de carbono está aumentando gradualmente. Esse aumento conduz a uma elevação na temperatura média da Terra. A tabela abaixo mostra o aumento da temperatura sobre aquela registrada em 1860.

Ano 1880 1896 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 Aumento 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,13 0,18 0,24 0,32

Se a temperatura média da Terra aumentar cerca de 7o C em relação ao valor médio registrado em 1860, isto poderá causar um dramático efeito sobre as calotas polares, sobre a temperatura do verão, do inverno, etc. Se as capas polares derreterem, haverá um volumoso aumento na quantidade de água dos oceanos e muita terra será submersa. A Grã-Bretanha, por exemplo, desaparecerá, exceto o topo das montanhas mais altas. • Usando os dados fornecidos e o método descrito na seção anterior, modele este fenômeno e use o seu modelo para prever quando a temperatura média da Terra será 7o C superior à média registrada em 1860, se as mesmas condições forem mantidas.

25.13.4 Escalas logarítmicas A escala Ritcher

A tabela abaixo fornece a intensidade dos últimos terremotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensi-dades medidas de acordo com a escala Ritcher.

Localização Chile Alasca Peru Irã México Armênia S. Francisco Data 1960 1964 1970 1990 1985 1989 1989

Intensidade 8.4 8.5 7.7 7.3 8.1 6.9 7.1

A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismólogo americano Charles F. Ritcher, baseia a medida da magnitude de um terremoto numa escala logarítmica de base 10. A intensidade M de um terremoto, medida nessa escala, é um número que varia de zero até 8,9, para o maior terremoto conhecido. Empiricamente, estima-se o valor de M pela fórmula M = — 3 ^ , onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e EQ = 7 x 10 3 kw/h.

1. Calcule aproximadamente quantas vezes a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade do México em 1985 foi maior que a intensidade do terremoto que atingiu a cidade de São Franscisco em 1989. Conclua, então, qual o significado físico da variação de um ponto nessa escala de medida.


2. Quanta energia é liberada num terremoto de grandeza 6?

3. Uma cidade com 300.000 habitantes utiliza cerca de 3 x IO5 kw/h de energia elétrica por dia. Se a energia de um terremoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia elétrica, quantos dias de fornecimento de energia elétrica para essa cidade seriam produzidos pelo terremoto do item anterior?

O pH de soluções

Em química, o pH de soluções é uma medida da sua acidez ou alcalinidade. Um valor de pH igual a 7 indica que a solução é neutra (nem ácida, nem alcalina). Um pH abaixo de 7 indica acidez; acima de 7, alcalinidade. A medida do pH obedece também a uma escala logarítmica onde a variação de uma unidade de pH representa um aumento de 10 vezes na acidez ou alcalinidade da substância.

1. Qual a base dos logaritmos usados na elaboração da escala de pH?

2. A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais ácidos que básicos (alcalinos). Observando a tabela abaixo, calcule, aproximadamente, quantas vezes o suco de limão é mais ácido do que o leite.

Substância Suco de limão

Suco de tomate

Água da torneira

Leite Leite de magnésia

PH 2,1 4,1 5,8 6,6 10

3. Faça uma pesquisa para descobrir o pH do suco de laranja e o pH do suco de acerola e em seguida determinar quantas vezes o suco de acerola é mais ácido que o suco de laranja.

4. Descubra outros problemas onde as funções logarítmicas e exponenciais são utilizadas.

25.13.5 Funções hiperbólicas

A equação x y = 1 pode ser obtida a partir da equação da hipérbole x2 — y2 = 2 por meio de uma rotação, no sentido negativo, de um ângulo a = j , isto é, a primeira equação pode ser obtida da última, fazendo-se a seguinte mudança de coordenadas x = X cos(a) — Y sen(a) e y = X sen(a) + Y cos(a).

1. Ache as equações paramétricas da hipérbole XY = 1 tomando como parâmetro ip = ln(X).

2. Use as equações deduzidas acima e a mudança de coordenadas indicada para obter uma parametrização para a hipérbole x2 — y2 = 2.

Essa parametrização, que fornece as coordenadas de um ponto que se desloca sobre a hipérbole x2 — y2 = 2, motivou a definição das chamadas funções hiperbólicas. O seno e o cosseno hiperbólicos são definidos, respectivamente, por

G X ÇX | G X

senh(x) = e cosh(x) = .

Essas funções satisfazem muitas identidades que são semelhantes às identidades satisfeitas pelas funções trigo-nométricas. No entanto, elas não são periódicas.

Prove que:

1. cosh(0) = 1 e senh(0) = 0.

2. cosh(—x) = cosh(x) e senh(—x) = —senh(x).

3. A partir das igualdades obtidas ncritem anterior, o que se pode afirmar a respeito das funções senh(x) e cosh(x)?

4. (cosh2)(x) - (senh2)(x) = 1.

5. Esboce os gráficos das funções senh(x) e cosh(x).

6. Por analogia com as funções trigonométricas, defina tgh(x) e esboce o seu gráfico.

25.13.6 As funções logaritmo e exponencial complexas

Os números complexos surgiram na matemática a fim de tornar possível a solução de equações do segundo grau do tipo a;2 + 1 = 0, que não possuem raízes reais. Definindo-se i2 = —1, essa equação passa a ter raízes +i e —i.

(a) Ache as raízes de x2 — 2 x + 5 = 0.

O teorema fundamental da álgebra, demonstrado inicialmente por Euler e D'Alembert e posteriormente, em sua forma final, por Gauss, garante que dado qualquer polinómio

P (z) = a0 + ai z + ... + an zn

existem números complexos r\, r2,..., rn, tais que

PO) -a0(z- RI) (z - r2) •. .(z - rn .

Isto implica que os números complexos ri, r2,..., rn são raízes da equação algébrica P (z) = 0. Assim, os números complexos, que foram introduzidos na matemática para resolver o problema de achar as raízes

de uma equação do segundo grau, resolveram o problema de extração de raízes de um polinómio de grau qualquer.

(b) Ache as raízes de x3 — 3 x2 + 1 x — 6 = 0.

(c) O que se pode afirmar em relação ao número de raízes reais de uma equação de grau ímpar?

A necessidade do uso dos números complexos se evidencia em vários ramos da matemática tais como: álgebra, análise, equações diferenciais, topologia e em aplicações da física-matemática.

O objetivo desse projeto é estender o domínio de definição das funções exponencial e logaritmo aos números complexos, permitindo, entre outras conseqüências, o cálculo de logaritmos de números negativos.

Sabemos que todo número complexo é expresso na forma z = a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real do complexo z e b, parte imaginária). Note que qualquer número real pode ser interpretado como um número complexo com b — 0. Nesse sentido, o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

O módulo de um número complexo z é definido por \z \ = y/a2 + b2 e o seu conjugado, z*, por a — bi.

(d) Mostre que o módulo de um número complexo z é igual ao módulo do seu conjugado.

Dados dois números complexos z = a + biew — c+ di, definimos a adição entre eles como o número complexo z + w = a + c+(b + d)iea multiplicação como o complexo z w = ac — bd + (ad + 6c) i.

(e) Prove que a multiplicação entre complexos é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição e que o número complexo 1 é o seu elemento neutro.

(f) Dado um número complexo x / 0, prove que seu inverso multiplicativo, z~l, é dado por = Iz I (g) Qual o inverso de um número complexo de módulo 1?

Podemos interpretar geometricamente um número complexo z = a + bi como o vetor (a, b) de origem em (0,0) e extremidade final no ponto (a, 6) do plano cartesiano.

(h) Dê uma possível interpretação geométrica para \z \ , z* , \z — w\, z + w.

(i) O que significa, geometricamente, a desigualdade |z + «;| < \z\ + ju>|?

(j) Como se pode descrever geometricamente o conjunto de todos os números complexos z, tais que | z \ = 1?

No Cap. 12, definimos a função E como E(t) = (cos(í), sen(t)). No contexto dos números complexos, esta definição é equivalente a E(t) = cos(í) + zsen(í).

(1) Mostre que se z =/ 0 é um número complexo, então z = | z \ E(t), onde té o arco que vai de (1,0) até a interseção de Si com a semi-reta 0z. Esta forma é chamada de forma polar do número complexo z.

(m) Use as identidades trigonométricas cos(s + t) — cos(s) cos(t) — sen(s) sen(í) e sen(s + t) = cos(s) cos(í) + sen(s) sen(t) para provar que E(s) E(t) = E(s + t), quaisquer que sejam os números reais s e i .


(n) Se w ^ O e z / O, com z = \ z\ E(t) e w = \w\ E(s), temos que zw = \z\\w\E(s)E(t) = | z\ \ w\ E(s +1). Use essa identidade para dar uma possível interpretação geométrica para o produto de dois números complexos.

A identidade E{s +1) = E(s) E(t) mostra que a função E(t) satisfaz a propriedade fundamental da função expo-nencial, o que levou Euler às seguintes definições para a função exponencial com domínio no conjunto dos números complexos: elt = E(t), isto é, elt — cos(t) +isen(t) e ez — e(a+f>^ = (e°)(cos(ò) +isen(6)).

Dessa definição resulta imediatamente que todo número complexo w 0 é da forma w = ez, para algum z.

(o) Mostre que se o número complexo w é dado na sua forma polar w = \ w | eld, então z = ln(|u)|) + i9. Este é o único valor possível para zl

Esta propriedade serviu de base para estender a noção de logaritmo aos números negativos e complexos. Euler definiu o logaritmo de um número complexo w 0, como o número 2 tal que ez = w.

Temos então que log(w) = log(| w |) + (2 k ir + d) i para qualquer inteiro k, o que mostra que o logaritmo de um número complexo tem uma infinidade de valores.

(p) Calcule log( - l ) .

(r) Se x > 0, calcule log(—x). Existe algum valor de k para o qual log(— x) seja um número real?

(s) Se x > 0, para que valores de k log(x) é real?

Se interpretarmos a expressão log(ui) como o conjunto de todos os números complexos z, tais que ez = w, então, nesse contexto, continua válida a propriedade

log(ww) = log(u;) -I- log(w).

25.14 Atividades de laboratório Faça as atividades propostas no arquivo lablog.mws da versão eletrônica deste texto.

Capítulo 26

Técnicas de Integração

Você já deve ter percebido que resolver integrais ou achar primitivas de uma função qualquer não é muito simples, por isso é necessário desenvolver algumas técnicas ou métodos gerais que facilitem esta tarefa. Mesmo programas de computador como o Maple não fazem milagres! Veja, por exemplo, o que acontece quando tentamos usar o Maple para resolver a integral f( 1 + ln(x)) y/l + (xln(a;))2 dx.

> int ( ( l+ log (x ))*sqrt ( l+ (x* log (x ) )"2) , x ) ;

J( 1 + ln(®)) y/l + x2 ln(x)2 dx

O Maple não encontrou a primitiva!! No entanto, esta integral pode ser resolvida se usarmos o método de subs-tituição de variáveis que aprendemos em capítulos anteriores. De fato, a substituição u = x ln(x) transforma esta integral em f Vl + u2 du, cuja primitiva aprenderemos a calcular, neste capítulo, usando uma técnica geral chamada substituição trigonométrica. Portanto, mesmo tendo a nossa disposição um computador com um fabuloso programa computacional algébrico, ainda assim precisamos estudar e aprender matemática porque, felizmente, só os homens (e mulheres) conseguem pensar e criar.

As próximas seções se destinam ao estudo de métodos gerais que se apliquem à resolução de tipos especiais de integrais.

26.1 Integração por partes O método de substituição de variáveis se aplica à resolução de uma integral cujo integrando envolve, essencialmente, a derivada de uma composição de funções. Essa técnica de integração estabelece, de uma certa maneira, uma regra da cadeia para integrais.

Outra importante técnica de integração é conhecida como integração por partes. Esta técnica é aplicada na resolução de uma integral que envolve o produto de duas funções e é uma conseqüência simples da regra do produto para derivadas. O exemplo a seguir ilustra o emprego e a necessidade desta técnica.

Sabemos que -—(xsen(x) + cos(x)) = xcos(x). dx

Conseqüentemente,

J x cos(x) dx = x sen(x) + cos(a;) + C.

Assim, trabalhando de trás para a frente resolvemos facilmente um problema de integração que envolve o produto de duas funções. No entanto, com as técnicas que temos disponíveis até agora para resolver integrais não conseguiríamos uma resposta para este problema se o tivéssemos proposto na ordem direta. Para resolver integrais deste tipo preci-samos de uma espécie de regra do produto para integrais. Motivados pelo exemplo acima, vamos tentar estabelecer esta regra trabalhando de trás para a frente.

A regra para a derivada do produto estabelece que

(uv)' = u' V + u v',

onde u = u(x) e v — v(x) são funções deriváveis. A fórmula acima equivale a

uv' = (uv)' — u' v.

358


Integrando esta igualdade, obtemos

Juv'dx = uv-Jvu'dx.

Como u = u(x) =>- du = u'(x)dx e v = v(x) dv = v'(x)dx, a igualdade acima pode ser escrita como

J udv = uv — J v du.

Esta é a fórmula para a integração por partes. Para aplicar esta fórmula na resolução de uma determinada integral, devemos fatorar o integrando em duas partes u e dv (daí o nome do método), levando em consideração dois princípios:

1. A primitiva v = f dv deve ser fácil de determinar.

2. A nova integral f vdu deve ser mais fácil de calcular que a integral original.

Observe que no caso de integral definida a fórmula acima é equivalente a

b

— I vdu. / udv = u(b)v(b) — u(d)v(a) — / J a J a

Exemplo 1 Calcule J xex dx.

Faça u — x e dv = ex dx. Assim, du — dx ev — j ex dx — ex. Substituindo estes resultados na fórmula de integração por partes, obtemos

I xex dx — xex - j ex dx = xex - ex + C.

2

Observe que se tivéssemos escolhido u = ex e dv = x dx, teríamos du = ex dx e v = . Neste caso, aplicando a fórmula de integração por partes transformaríamos a integral original em outra mais difícil de ser calculada, como se segue

f x"^ f XG^ l x e x d x = ^ - J - ^ d x . 2 J 2

Portanto, esta segunda escolha é inadequada para resolver a integral proposta.

Exemplo 2 Calcule J x2 ex dx. Faça u = x2 e dv = ex dx. Então, du — 2xdx e v = ex. Substituindo estes resultados na fórmula de integração por

partes, obtemos

J x2 ex dx = x2 ex - 2 J xexdx = x2 ex - 2 e* {x - 1) + C = ex (x2 - 2 x + 2) + C.

Exemplo 3 Calcule J ln(x) dx.

Para esta integral, faça u = ln(x) e dv = dx. Assim, du = ^ e v = x. Substituindo estes resultados na fórmula de integração por partes, obtemos:

J ln(x) dx = x ln(x) — J — dx = x ln(x) — x + C — x (ln(x) — 1) + C.

Exemplo 4 Calcule J xsen(x)dx. Faça u = x e dv = sen(x) dx. Então, du = dx e v = —cos(x). Assim, / x sen(x) dx = —xcos(x) — J —cos(x) dx = —xcos(x) + sen(x) + C.

360 Cap. 26 Técnicas de Integração

Exemplo 5 Calcule J arctg(x) dx.

Faça u = arctg(x) e dv = dx. Então, du = — d x e v — x. Logo, 1 + x2

J arctg(x) dx = x arctg(x) — j ^ ^ 2 dx .

Esta última integral pode ser resolvida por substituição de variáveis, fazendo-se t = 1+x2, o que implica que dt = 2xdx. Assim

Logo, /iT^H J]dt=1-Mt) + c=1-Mi + *2) + c.

j arctg(x) dx = x arctg(x) — ^ ln(l + x2) + C.

Exemplo 6 Ao aplicar o método de integração por partes, pode acontecer de retornarmos à integral original. Vamos mostrar como solucionar este problema resolvendo a integral J ex sen(x) dx.

. Fazendo u = ex e dv = sen(x) dx, temos que du = ex dx ev = —cos(x). Assim, a fórmula de integração por partes fornece

J ex sen(x) dx = —ex cos(x) + J ex cos(x) dx.

Repetindo o mesmo processo para resolver a nova integral, fazemos agora u = ex e dv = cos(x) dx. Tem-se, então, que du = ex dx e v = sen(x), e a fórmula de integração por partes, aplicada à última integral da expressão acima, resulta em

J ex sen(x) dx — -ex cos(x) + J ex cos(x) dx = —ex cos(x) + ex sen(x) - J ex sen(x) dx.

Fazendo / = J ex sen(x) dx, a igualdade acima nos diz que I = - e x cos(x) + ex sen(x) - I

que é equivalente a

r, r X / \ T / \ r cos(x) + CX sen(x) _ 21 — -ex cos(x) + ex sen(x) + C ou I = — — + C ,

isto é, -ex cos(x) + ex sen(x) J ex sen(x) dx = + C.

26.1.1 Substituição por partes usando o Maple O maple possui uma sub-rotina, intparts (Int (f (x) ,x) ,u) do pacote student, que permite a você praticar o método de integração por partes. Vamos ilustrar como isto é possível com alguns exemplos.

Exemplo 1 Vamos resolver as integrais f xex dx e x ex dx com a ajuda do comando intparts do Maple. (Não esqueça que antes de usar este comando temos que avisar o Maple que ele faz parte do pacote student. Esta é a função da linha de comando with (student).)

> with(student):

Fazendo u — x, no comando intparts), temos > Il:=intparts(Int(x*exp(x),x),x);

II :— xex — / ex dx


Neste ponto você deve decidir se a sua escolha da função u foi adequada. A resposta neste caso é sim, pois esta última integral tem uma primitiva imediata. Se quiser, você pode continuar a usar o Maple para acabar de calcular esta integral

> 12:=value(II);

12 :=xex - ex

Usando agora o teorema fundamental do cálculo, podemos resolver a integral definida x ex dx calculando /2(ò) — /2(a), onde 12 = xex — ex é a primitiva de / (x ) = xex, encontrada acima. Assim, temos

> subs(x=3,12)-subs(x=-2,12);

2 e3 + 3 e~2

Exemplo 2 Calcule J x ln(x) dx

A escolha u = x nos conduz a > J1:=intparts(Int(x*ln(x),x),x);

J1 := x (x ln(x) — x) — Jx ln(x) — x dx

Por outro lado, fazendo u = ln(x), obtemos

> J2:=intparts(Int(x*ln(x),x),ln(x));

1 f 1 J2 := - ln(x) x2 - - x dx

Z J z

Observe que a segunda escolha é mais adequada para resolver a integral dada.

Exemplo 3 Calcule j x2 sen(x) dx

Neste caso, há várias escolhas possíveis. Vamos tentar todas e observar os resultados. 1. Fazendo u = x2, obtemos

> Al:=intparts(Int(x~2*sin(x),x),x~2);

Al —cos(x) x2 — J — 2 x cos(x) dx

2. Escolhendo, agora, u = x, temos > A2:=intparts(Int(x~2*sen(x),x),x);

A2 := x (sen(x) — xcos(x)) — Jsen(x) — xcos(x) dx

3. Ou, ainda, escolhendo u = sen(x), temos > A3:=intparts(Int(x~2*sen(x),x),sen(x));

1 f 1 A3 := - sen(x) x3 — / - cos(x) x3 dx

o J o

Dos resultados obtidos, podemos concluir que a primeira escolha é a mais adequada para se calcular a integral acima

26.1.2 Exercícios 1. Calcule as integrais a seguir:

(a) f sen2 x dx (e) f cos4 x dx (i) f xfx ln(x) dx (b) f sen3 x dx (f) / e(3x) cos(2 x) dx (j) fxy/T+xdx (c) Jxcos(ax)dx (g) j x3 e^ dx (k) fxsec2xdx (d) fx2exdx (h) f x2 sen(x) dx


2. (a) Verifique a veracidade da fórmula f ln™ x dx = x ln2 x — n /ln^n 1-) x dx . Fórmulas deste tipo são chamadas fórmulas de redução. Aplicando esta fórmula n — 1 vezes, é possível calcular a integral da esquerda.

(b) Aplique a fórmula obtida no item anterior para calcular / ln3 x dx. (c) Deduza uma fórmula de redução para

i. f xn sen(x) dx ii. f xn ex dx iii. f xn ln™ x dx

3. Calcule / sen(ln(x)) dx. (Decida qual é o procedimento mais promissor e prossiga com fé!)

26.2 Integrais trigonométricas especiais Nesta seção estudaremos certas integrais em que o integrando é potência de uma função trigonométrica ou o produto de duas dessas potências, exemplificando cada um dos casos abordados.

1. Potências pares de seno e coseno

Exemplo 1 Para calcular as integrais

J sen2 x dx e J cos2 x dx

podemos proceder de duas maneiras:

(a) Usando integração por partes.

(b) Utilizando as identidades trigonométricas sen2 x — \ (1 — cos(2 x)) e cos2 x = | (1 + cos(2 x)).

Vamos resolver a primeira integral utilizando integração por partes:

j sen2 xdx = J sen(x) sen(x) dx.

Fazendo u = sen(x) e dv = sen(x) dx , temos que du = cos(x) dx e v = —cos(x). Assim,

J sen2 xdx — J sen(x) sen(x) dx = —sen(x) cos(x) — J — cos(x) cos(x) dx

= — sen(x) cos(x) + J 1 — sen2 x dx = — sen(x) cos(x) + x — J sen2 xdx.

Essa igualdade resulta em:

f 2 , 1/ , n ' , n sen(2 x) _ / sen xdx = -(—sen(x) cos(x) + x) + C = — 1- C.

Resolvendo a segunda integral utilizando a identidade trigonométrica indicada, temos

f 9 , / " l + cos(2x) , x sen(2x) / cos2 X dx = / ^ — d x = - + ^ + C.

Exemplo 2 Vamos calcular a integral f sen4 x cos2 xdx.

Para resolver esta integral, vamos utilizar a identidade sen2 x + cos2 x = 1, para escrever o integrando só em termos de senos ou só em termos de cossenos. Assim,

J sen4 xcos2 x dx = J sen4x (1 - sen2 x) dx — Jsen4 x —sen6 xdx.

A integral de sen4 x pode ser calculada, como anteriormente, usando-se a identidade trigonométrica sen2 x = \ (1 — cos(2 x)) e observando que sen4 x = (sen2 x)2; a integral f sen6 x dx pode ser resolvida por partes, observando-se que sen6 x = sen5 x sen(x).


2. Potências ímpares de seno ou coseno

Integrais do tipo / sen* x cos2 x dx são resolvidas por substituição. Para isto, basta observar que

J sen5 x cos2 xdx — J sen4 x sen(x) cos2 x dx.

Agora, fazendo u = cos(x), então du = —sen(x)dx. Assim, temos

J sen5 x cos2 x dx = J sen4 x sen(x) cos2 xdx = — J (1 — u2)2 u2 du = — J u2 — 2 u4 + u6 du

,u3 2 u5 u\ cos3 x 2 cos5 x cos7 x ^ = - ( y - — + + + — — + c.

3. Potências inteiras de tangente

Vamos calcular J tg(x) dx.

A substituição u = cos(x) e du = —sen(x)dx, resulta em

í tg(x) dx = í dx = — [ -du = —ln(| u |) + C = - ln(| cos(x) |) + C = ln(| sec(x) |) + C. J J coslxj J u

Da mesma forma é possível obter os seguintes resultados:

(a) / cotg(x) dx = ln(| sen(x) |) + C

(c) J t g 3 x d x = J tg2xtg(x)dx = J(sec2 x — 1) tg(x) dx = J sec2 xtg(x) dx— J t g ( x )dx

A primeira integral pode ser resolvida fazendo-se u = tg(x) => du = sec2 x dx, e assim,

tg3 xdx= - ln(| sec(x) |) + C.

4. Potências inteiras de secante

Exemplo 1 Calcular J sec(x) dx.

Esta integral pode ser resolvida usando-se integração por partes. Porém, um método mais rápido é obtido multiplicando-se e dividindo-se o integrando por sec(x) + tg(x) e fazendo a substituição u = sec(x) + tg(x) du = sec(x) tg(x) + sec2 (x) dx. Assim,

I sec(x) dx = J S e C { X l ^ t + ^ X ) ) dx = jl-du = ln(| u |) + C = ln(l sec(x) + tg(x) |) + C.

Exemplo 2 Calcular Jsec3 xdx.

Como u = sec(x) du = sec(x) tg(x), e dv = sec2 xdx => v = tg(x), a fórmula de integração por partes resulta em

J sec3 xdx = J sec2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x) — J tg2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x) — J (sec2 x — 1) sec(x) dx

= sec(x)tg(x) — J sec3 xdx + J sec(x) dx


2. (a) Verifique a veracidade da fórmula f \nn x dx — x\nx x— n J 1-) x dx . Fórmulas deste tipo são chamadas fórmulas de redução. Aplicando esta fórmula n — 1 vezes, é possível calcular a integral da esquerda.

(b) Aplique a fórmula obtida no item anterior para calcular f ln3 x dx. (c) Deduza uma fórmula de redução para

i. J xn sen(x) dx ii. f xn ex dx iii. f xn ln™ x dx

3. Calcule f sen(ln(x)) dx. (Decida qual é o procedimento mais promissor e prossiga com fé!)

26.2 Integrais trigonométricas especiais Nesta seção estudaremos certas integrais em que o integrando é potência de uma função trigonométrica ou o produto de duas dessas potências, exemplificando cada um dos casos abordados.

1. Potências pares de seno e coseno

Exemplo 1 Para calcular as integrais

J sen2 x dx e j cos2 xdx

podemos proceder de duas maneiras:

(a) Usando integração por partes.

(b) Utilizando as identidades trigonométricas sen2 x = \ (1 — cos(2x)) e cos2 x = | (1 + cos(2x)).

Vamos resolver a primeira integral utilizando integração por partes:

J sen2 x dx — j sen(x) sen(x) dx.

Fazendo u = sen(x) e dv = sen(x) dx , temos que du = cos(x) dx e v = —cos(x). Assim,

J sen2 x dx = J sen(x) sen(x) dx = — sen(x) cos(x) — J —cos(x) cos(x) dx

= —sen(x) cos(a:) + J 1 — sen2 xdx = — sen(ir) cos(x) + x— J sen2 x dx .

Essa igualdade resulta em:

í 2 , 1/ \ s-, x sen(2x) / sen xdx = -(—sen(x) cos(ic) + x) + C = — b O.

Resolvendo a segunda integral utilizando a identidade trigonométrica indicada, temos

f , , f l+cos(2a;) , x sen(2x) _ / cos2 xdx= dx = —I — - + C. J J 2 2 4

Exemplo 2 Vamos calcular a integral f sen4 x cos2 x dx.

Para resolver esta integral, vamos utilizar a identidade sen2 x + cos2 x = 1, para escrever o integrando só em termos de senos ou só em termos de cossenos. Assim,

J sen4 x cos2 xdx = f sen4 * (1 - sen2 x)dx = j sen4 x - sen6 x dx.

A integral de sen4 x pode ser calculada, como anteriormente, usando-se a identidade trigonométrica sen2 x = \ (1 — cos(2 x)) e observando que sen4 x = (sen2 x)2; a integral f sen6 x dx pode ser resolvida por partes, observando-se que sen6 x = sen5 x sen(x).


2. Potências ímpares de seno ou coseno

Integrais do tipo / sen5 * cos2 x d* são resolvidas por substituição. Para isto, basta observar que

J sen5 x cos2 xdx — J sen4 x sen(x) cos2 x dx.

Agora, fazendo u = cos(x), então du = —sen(x)dx. Assim, temos

J sen5 x cos2 xdx = J sen4 x sen(x) cos2 x dx = — J ( 1 — u2)2 u2 du = — J u2 — 2 u4 + u6 du

, u3 2 u5 u\ „ cos3 x 2 cos5 x cos7 x „ = — + y ) + c = - — + ^ T ~ + a

3. Potências inteiras de tangente

Vamos calcular J tg(x) dx.

A substituição u = cos(x) e du = —sen(x)dx, resulta em

í tg (x ) dx = [ ^ r l dx = - [ - du = -ln(lu\) + C = -ln(| cos(x) I) + C = ln(| secíx) I) + C. J J cos(x) J u

Da mesma forma é possível obter os seguintes resultados:

(a) J cotg(a;) dx = ln(| sen(x) |) + C

W J t g 2 x d x = J S e C 2 x - l d x = tg(x)-x+C

(c) J tg3 xdx — J tg2xtg(x)dx = J ( s e c 2 x — 1) tg(x) dx = J s e c 2 xtg(x) dx— J tg(x)dx

A primeira integral pode ser resolvida fazendo-se u = tg(x) => du = sec2 x dx, e assim,

tg3 x dx = - ln(| sec(x) |) + C.

4. Potências inteiras de secante

Exemplo 1 Calcular J sec(.-/;) dx.

Esta integral pode ser resolvida usando-se integração por partes. Porém, um método mais rápido é obtido multiplicando-se e dividindo-se o integrando por sec(x) + tg(x) e fazendo a substituição u = sec(x) -1- tg(x) du — sec(x) tg(x) + sec2 (x) dx. Assim,

í sec(x) dx = [ S6C(X) (/Se':(x) + dx = í-du = ln(| u |) + C = ln(| sec(x) + tg(x) |) + C. J W J sec(x) + tg(x) J u

Exemplo 2 Calcular J sec3 x dx.

Como u = sec(x) => du = sec(x) tg(x), e dv = sec2 x dx => v = tg(x), a fórmula de integração por partes resulta em

J sec3 xdx = J sec2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x) — J tg2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x) — J (sec2 x — 1) sec(x) dx

:(x)tg(x) — J sec3 xdx + J s e c ( x ) dx sec(

Assim,

2 J sec3 xdx = sec(x) tg(x) + J sec(x) dx , ou seja, J sec3 xdx = ^(sec(a:) tg(x) + ln(| sec(:r) + tg(x) |) + C.

26.3 Substituição trigonométrica O método da substituição trigonométrica pode ser empregado na resolução de integrais cujos integrandos envolvem expressões do tipo

y/ a2 — x2 , y/ a2 + x2 e \Jx2 — a2 .

A tabela abaixo mostra as substituições trigonométricas indicadas em cada caso. Na primeira coluna indicamos o tipo de integrando, na segunda, a substituição a fazer; e, na terceira, a identidade trigonométrica a ser usada.

y/a2 + x2 <-> x — a sen 9 <-> cos2 6 = 1 - sen2 9

y/a2 + x2 <-> x = atg9 sec2 9 = 1 + tg2 9

y/x2 — a2 <-> x = a sec 9 <-> tg26> = sec2 9 - 1

A seguir, exemplificamos cada um dos casos indicados.

Exemplo 1 Calcular j V^2dx. A substituição indicada é x = 3 sen 9, o que implica dx — 3 cos Odd e daí

/ y/9-x2 dx = 9 J y/l — sen2 9 cos{9) d0 = 9 J Vcos2 9 cos(é») d9 = 9 j 1008(0)1 cos(0) d9.

Observe que 9 = arcsen(|), para 9 no intervalo [—f, §]• Como neste intervalo cos(#) > O, temos

J y ^ d x = 9 / c o s 2 ^ = 9 / 1 + ^ <0 = 9 ( f + g S M ) + C

= 9 ( a r C S ; n ( | ) + + C = | (arcsen(f) + + c )

= ^arcsen(^) + ^-x y/9 — x2 + C. £ Ó Li

Exemplo 2 Calcular J y/A + x2 dx.

A substituição indicada neste caso é x = 2tg9 ^ dx = 2 sec2 9 d9. Daí, obtemos

J y/4 + x2 dx = J yj 4 + 4 tg2 9 2 sec2 9 d9 = A J y/sec2 9 sec2 9 d9 = 4 J | sec 9 | sec2 9 d9

= 4 Jsec39d9 = 2(sec0tg0 + ln(|sec0 + t g 0 |) + C.

Observe que a identidade inversa 9 = arctg(|) só é válida quando o ângulo 9 estiver no intervalo [ — N e s t e intervalo, sec# > 0. Por esta razão, na penúltima igualdade acima vale a substituição | sec0 | = sec0.

Para terminar a resolução da integral proposta, devemos retornar à variável x. Para isto usamos a identidade trigonométrica tg2 9 = sec2 9 — 1. Assim, temos:

Exemplo 3 Calcular í ^ dx.

J x vr — 1

A substituição x = sec 9 implica que dx = sec9tg9d9. Daí, temos

f 1

V4 + x' x C.

dx = sec9 tg 9 ^ = f tg9 ^

x 9 Vsec2 9 - 1 sec Itgôl Como a identidade 9 = arcsec x só é válida para 9 em [0, |)U ( f , 7r], tg0 > 0 em (0, e tg9 < 0 em 7r), a última integral acima se transforma em

|tg0| d9= <

j d9 = 9+ C, se 9 e (0, f )

- J d9 = -9 + C, se 9 e (§,TT)

Logo,

r v ^ 7 ! ^ _ í arcsec(x) + C , se ar > 1

1 — arcsec(x) + C , se x < — 1

Existem casos em que é necessária alguma manipulação algébrica antes de tentarmos aplicar um dos casos de substituição trigonométrica. O exemplo abaixo ilustra esta situação.

Exemplo 4 Calcular : dx. y/x2 + x - 2

Completando o quadrado no radicando, temos

/ y/x2+x-2 dX I : cfar.

A substituição x + | = => dx = § sec 9 tg 9 d9 e conduz a

1 \/x2 + x - 2

: dX = : dX =

)2-(!)2

sec 0 tg 9 d9 = ± sec9d9

\ J { x + — ( | ) 2 J ^ / s e c 2 0 " 1

n I n< 1 ( 2 x + l 2 Vx2 + x - 2 In I sec 0 + tg 0 I + C = ln 1 C.

26.4 Funções racionais e frações parciais Recordemos que uma função racional é da forma

N{x) P(x)

Q(x)'

onde N(x) e Q(x) são polinómios. Nesta seção vamos descrever um método usado para integrar funções racionais, que consiste em escrever estas

funções como a soma de funções racionais mais simples, cujas integrais sejam calculadas facilmente. Para exemplificar, vamos examinar a função P(x) = . O problema é calcular a f x2x^x5_2 dx.


Repare que _ 2 ]_ _ 2 (x + 2) - (x - 1) _ x + 5 x-1 x + 2~ (x - 1) (x + 2) ~ x2 + x -

Esta identidade permite concluir que x + 5 f 2 f 1 dx = / dx - / dx = 2 ln(| x - 11) - ln(| x + 2 |) + C. - X + - 2 J X - 1 J x+ 2

Esta conclusão não seria tão simples se não soubéssemos de antemão que 2 1 x + 5

x - 1 x + 2 x2 + x — 2 O problema de integrar a função s e r e s u m e i então, ao problema de decompor esta fração em parcelas mais simples. Este método é chamado de decomposição em frações parciais. As regras que permitem chegar a decomposições deste tipo são enumeradas a seguir.

N(x) Considere a função P(x) = . Se o grau de N(x) for maior ou igual do que o grau de Q(x), podemos efetuar Q(x)

a divisão e escrever P(x) na forma

Q(x) y J Q(x)' onde D(x) é um polinómio, o grau de R(x) é menor do que o grau de Q(x) e R(x) e Q(x) não têm fatores comuns.

Tendo em vista esta observação, o problema de calcular integrais de funções racionais se reduz ao de examinar o caso das funções onde o grau do numerador é estritamente menor do que o grau do denominador. Estas funções são ditas funções racionais próprias.

R(x) Nossa tarefa, portanto, é decompor a fração : , onde o grau de R(x) é estritamente menor do que o grau de Q(x)

Q(x), numa soma de frações mais simples, isto é,

R(X)_R1(X)IR2(X) Rn(x)

Q(x) Qi(x) Q 2 ( X ) Q„(x) esperando que cada uma dessas parcelas possa ser integrada sem muita dificuldade.

Em cursos de álgebra, mostra-se que toda função racional pode ser decomposta na forma acima e que

1. Se Q(x) = (x — ri) (x - r2) ... (x - r n _i ) (x - rn), então

R{x) Aj | A2 | | An

Q(x) x - ri x - r2 "' x - rn ' onde Ai, A2, ... An são constantes a serem determinadas.

2. Se Q(x) = (x - r)m, então R(x) AX A2 Am + . . .+ Q(x) x — r (x — r)2 '" (x — r)m '

onde Ai, A2, ... An são constantes a serem determinadas.

3. Se Q(x) = (ax2 + bx + c)k, sendo ax2 + bx + c irredutível, isto é, sem raízes reais, então Q(x) _ Aix + Bi A2x + B2 Akx + Bk

/ O . 7 R(x) ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 "' (ax2 + bx + c)k '

onde Ai e Bi para i = 1 ...k são constantes a serem determinadas. 4. Se Q(x) = (x - n ) (x — r2) ... (x — rn) (x — r)m (ax2 + bx + c)k, então

R(x) _ Aj , A2 ( + An + _Bi_ + B2 + +

Q(x) x — ri x — r2 " x — rn x — r (x — r)2 ' ' ' (x — r)r

i Ai x + Bi i A2 x + B2 Akx + Bk

ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 " (ax2 + bx + c)k' onde Ai e Bi para i — 1 ...k são constantes a serem determinadas.


Vejamos alguns exemplos para ilustar este método.

1 Exemplo 1 Calcule a integral X2 - 1

dx.

Como x2 - 1 = (x — 1) (x + 1), temos 1 A B A(x + 1) + B(x-1) . . . — I — , , , . . Assim, ( x - l ) ( x + l) x — 1 x + 1 ( x - l ) ( x + l)

1 = A (x + 1) + B (x — 1) = (A + B)x + A — B. Como dois polinómios são iguais quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, temos que

A + B = 0 A-B = 1 '

Resolvendo este sistema, obtemos A = | e = — Portanto,

1 x „ dx = -

2 - 1 2 —-— dx x - 1 2 —^ dx = i ln I x - 11 - i ln I x + 11 + C = ^ ln(

x - 1 x + 1 ) + C.

í 1 Exemplo 2 Calcule / —-.— J x(x-

1 •3)

dx.

Como Logo,

A B = 1 ——, operando algebricamente como no exemplo anterior, obtemos 1 = A(x+ 3) + Bx. : (x + 3) x x + 3'

A + B = 1 3 A = 1

Resolvendo este sistema, concluímos que 4 = ^ e B = - P o r t a n t o

1 , 1 í 1 , 1 í 1 / . dx = — f — dx — - . x (x + 3) 3 J x 3 J x + 3

dx = i (In I x I - ln j x + 3 |) + C = \ ln O ü x + 3 C.

Exemplo 3 Resolva a integral / r2 — dx. x2 + x + 1

X2 - 1 Neste caso, como o grau do numerador é igual ao do denominador, primeiro efetuamos a divisão indicada. Faremos

isto com o auxílio do Maple. Obtemos o quociente da divisão com o comando > quo(x~2+x+l,x~2-l,x, Jr');

1 e o resto dessa maneira

> r ; x + 2

Assim, x2 + x + l „ x + 2 , x + 2

= 1 + — 7 = 1 + x2 - 1 x2 - 1 (x - 1) (x + 1) •

Logo,

/ x2 + x + 1 f x + 2 dx = X + / 7 rr dx.

2 - 1 7 (x - 1) (x + 1)

Por decomposição em frações parciais, podemos escrever que

x + 2 A B (x - 1) (x + 1) x - 1 x + 1

Assim, { Z 2 ^ A = 2 e B = ~ è - L°S° '

x + 2 = A (x+ 1 )+B(x- 1).


f x2 + x + 1 f X+ 2 , 3 f 1 1 f 1 , / õ ;— dx = x + — — dx = x + - / dx - - / dx

J x2 — 1 J (x — 1) (x + 1 ) 2 J x-1 2 J x + 1 3 1

= x + - l n | x - 11 - - l n ] x +11 + C.

Exemplo A Calcule a integral / dx. J (x - 1) (x2 + 1)

Usando decomposição em frações parciais, obtemos

A Bx+C À, 2

(x - 1) (x2 + 1) x - 1 x2 + 1

Comparando os dois polinómios, podemos concluir que

+ = A(x2+ l) + {Bx + C) (x-1).

Resolvendo este sistema, concluímos que A=\ , B = —h e C = Assim,

(x - 1) (x2 + 1) dx = — [ dx H— ( f s dx + f —z dx | 2 J x - 1 2 \J x2 + l J x2 + l J

= ^ ln | x - 11 - ^ln(x2 + 1) + arctg(x) + C.

Exemplo 5 Este exemplo ilustra um caso onde o método de decomposição em frações parciais não pode ser usado. Considere a integral / —^—— dx.

5 J 2x2 + 4x + 3 O polinómio Q(x) = 2 x2 + 4 x + 3 é irredutível e o método não funciona porque não leva a nenhuma decomposição

da fração dada. (Experimente!) Neste caso, podemos completar o quadrado que aparece no denominador e tentar algum tipo de substituição, como

é feito a seguir: Q(x) = 2x2 + 4x + 3 = 2 (x2 + 2x + §) = 2 (x2 + 2x + 1 — 1 + §) = 2 ((x + l)2 + = (y/2 (x + l))2 + 1. A substituição u = y/2(x + 1), du = y/2 dx permite, então, escrever

dx — —7= / —— du— I " , du / „" , du /2 / 5 + 1 dU~ 2 I u2 + ldU J l j u2 + l J 2x2 + 4x + 3 y/2

= i ln(u2 + 1) - ~ arctg (u) + G

= ^ ln(2 x2 + 4 x + 3) - ~ = arctg (v/2 (x + 1)) + C.

26.4.1 Usando o Maple para decompor uma função racional em frações parciais O Maple tem uma sub-rotina para converter uma função racional própria em frações parciais. Isto pode ser feito com o comando convert junto com a opção parfrac. O exemplo abaixo ilustra o procedimento a ser seguido.

> p:=x->(x~2-2*x-3)/((x-1)*(x~2+2*x+2)); _ x2 - 2 x - 3

p — ( x - 1 ) (x2 + 2 x + 2) > f :=convert (p (x ) ,par frac ,x ) ;

4 1 . 1 7 + 9x 5 x — 1 5 x2 + 2 x + 2'

Assim, x 2 - 2 x - 3 f 4 (7 + 9x) / dx = — — — + . , „ rr dx . ( x - l ) ( x 2 + 2x + 2) J 5 ( x - l ) 5(x2 + 2x + 2)

Resolvendo esta última integral, obtemos > Int (f, x) : °/0=int (f , x) +c;

1 7+ 9x , 4 , , , . 9 , , 2 , „ , 2 + r TH d x = - Ê lnl ~ I + 77 l n ( x + 2x + 2) - - arctg(l + x) + C. J 5 x - 1 5 x 2 + 2 x + 2 5 l v " 10

Derivando a resposta obtida, podemos verificar a correção do resultado. > diff(-4/5*ln(x-l)+9/10*ln(x~2+2*x+2)-2/5*arctan(l+x)+c,x);

4 1 9 2x+2 2 1 5 x — 1 10 x2 + 2x + 2 5 1 + (1 + x)2 '

Simplificando esta última expressão, obtemos a função inicial. > normal ('/,);

x2 - 2 x - 3 (x - 1) (x2 + 2 x + 2)

e assim, comprovamos que a função

41n(x — 1) 9 ln(x2 + 2 x + 2) 2arctg(l + x) F(x) - - + - - + 6

. . . , , - x2 - 2 x - 3 e, realmente, uma primitiva da função (x - 1) (x2 + 2 x + 2)'

26.5 Exercícios 1. Calcule as integrais abaixo:

(a) J cos3 5 x dx (g) J cos4 x dx (m) J ^ —g dX

(b) / x2 yj A - x2 dx (h) í e ^ c o s ( 2 x ) d x (n) / ^ t ^ ~ 8 dx

(f) J sen3 x dx (1) J

cos4 x dx (m)

e{3x) cos(2x) dx (n)

(x - 2 ) ( x - 3) dX (0) 2x - 3

(x — l)(x — 7) d X (P) x + 1

(x - l )2 (x - 2) (q) x2 + x + 2 ,

2 1 d x xz — 1 (r)

y5 (C) J (a2 + x2)3 d X ( Í ) I <~ ^ d X { o ) I d x

(d) (j) J O r - l V - 7 ) ^ (P) J ^rt^**

< • > / ( k ) w / ( x - ^ : ^ • <ÍX

( x - l ) ( x 2 + l)

26.6 Para você meditar: Como usar o Maple no cálculo de integrais O programa Maple é uma ótima ferramenta para calcular integrais. Porém, como vimos no início deste capítulo, nem o melhor programa de computador consegue calcular certas integrais. Esta é uma das razões pela qual o aluno deve ter noção das técnicas de integração para reconhecer determinados tipos de integrais e decidir o caminho a seguir, mesmo que as contas sejam difíceis ou cansativas quando feitas "no braço". Este conhecimento permite que examinemos com espírito crítico a plausibilidade das respostas obtidas, quer com a ajuda do Maple, quer com a ajuda de outro programa computacional algébrico qualquer.

Vamos ilustrar com alguns exemplos como podemos fazer um bom uso dos recursos do Maple no cálculo de integrais.

Exemplo 1 Calcule f sen(5 x) sen(7x) dx.


Sem a ajuda do Maple teríamos que integrar por partes ou utilizar alguma fórmula trigonométrica para simplificar o integrando. Você pode tentar fazer isto, se quiser, para ver a dificuldade. Utilizando o Maple, temos:

> Int(sin(5*x)*sin(7*x),x):7.=int(sin(5*x)*sin(7*x),x)+C;

/ sen(5x) sen(7x) dx = ^sen(2x) — ^-sen(12x) + C.

Como saber se a resposta obtida está correta? À primeira vista, parece difícil concluir que a derivada do resultado obtido é o integrando. No entanto, uma vez mais podemos usar o Maple para executar esta tarefa para nós. Assim,

> diff(rhs CÁ),x);

^ cos(2 x) — i cos(12 x). Esta função não se parece com o integrando acima. Ainda utilizando o Maple, podemos verificar se existe alguma

identidade trigonométrica que converta o integrando na expressão obtida acima. Para isso, usamos o programa para simplificar o integrando, levando em conta as identidades trigonométricas conhecidas. Isto é feito com o comando abaixo.

> sin(5*x)*sin(7*x)=combine(sin(5*x)*sin(7*x),trig);

sen(5x) sen(7x) = i cos (2x) — ^cos(12x). Dessa maneira, mostramos que a integral em questão foi calculada corretamente.

Exemplo 2 Calcule J x7 sen(5 x) dx.

> Int (x~7*sin(5*x) ,x) :7„=valueCÁ) +C ;

f 1 7 42 42 / x7 sen(5 x) dx — — x7 cos(5 x) 4- — x6 sen(5 x) H x5 cos(5 x) x4 sen(5 x)

J y ' 5 v ' 25 v ' 125 v ; 125 v 1

168 3 . . 504 2 , e . 1008 / r . 1008 , r , ^ - — x cos(5 x) + _ x2 sen(5 x) - — sen(5 x) + — x cos(5 x) + C.

Mais uma vez, podemos utilizar o Maple para verificar a resposta obtida. > diff(rhs(%),x);

x7 sin(5 x)

Exemplo 3 Calcule í dx. J v a2 — x2

> Int (1/sqrt (a~2-x~2) ,x) :yi=value(t/„)+C;

í 1 . dx = —/ln(Ix + \/a2 - x2) + C. J v a2 — x2

O que há de errado com esta resposta estranha? Freqüentemente, o Maple nos dá respostas que à primeira vista nos parecem estranhas, mas se analisarmos com cuidado descobriremos o "erro". Na maior parte das vezes, o que para nós parece óbvio não é corretamente especificado no comando que fornecemos ao programa, daí a resposta aparentemente sem sentido. No caso, não especificamos quais valores a constante a poderia assumir. Antes de tentar utilizar o Maple para calcular esta integral, devemos informar ao programa que estamos considerando a > 0. Isto pode ser feito usando-se o comando assume.

> assume(a>0);

Agora, vamos tentar, outra vez, calcular esta integral: > Int (1/sqrt (a~2-x~2) ,x) :7.=value(7t)+c;

/ — = dx = arcsení — ) + c. V a 2 - x 2 a

A função obtida dessa vez é realmente uma primitiva de (Com o til depois da constante a, o Maple nos informa que esta constante está restrita a assumir determinados valores, no caso o resultado só é válido para valores positivos de a.)


Exemplo 4 Vamos retornar ao exemplo com o qual iniciamos este capítulo, isto é, vamos tentar encontrar uma primitiva para a função (1 + ln(x)) y/l + (xln(x))2.

Como vimos, não chegamos a nenhum resultado prático quando tentamos utilizar o Maple nesta tarefa, pois ele não consegue encontrar uma primitiva para esta função.

> int((l+ln(x))*sqrt(l+(x*ln(x))~2),x);

No entanto, se soubermos indicar ao programa o que deve ser feito, podemos "ensiná-lo" a calcular esta integral. Vamos, portanto, orientá-lo a fazer a substituição u = xln(x), como se segue:

> with(student);

> changevar(x*log(x)=u, Int((l+ln(x))*sqrt(l+(x*ln(x))~2),x), u);

J V l + u2 du

Esta integral pode agora ser resolvida por substituição trigonométrica, ou seja,

(confira!). Podemos também usar o comando int para resolver esta última integral: > int(sqrt(l+u~2),u);

- u \/l + u2 + — arcsenh(u). Usando o comando convert (expressão, ln) para obter uma outra expressão para a função arcsenh(u) em termos

de funções logarítmicas, podemos provar que os dois resultados acima são equivalentes! > convert(arcsinh(u),ln);

ln(\/l + u2 + u). Usando o comando subs, para voltar à variável x, obtemos > resposta:=subs({u=x*log(x),u~2=(x*log(x))"2 > },u/2*sqrt(l+u~2)+ln(sqrt(l+u~2)+u)/2+C);

resposta :— xln(x) y/l + x2 ln(x)2 -(- i ln(y / l + x2 ln(ar)2 + a:ln(x)) + C. Finalmente, derivando esta resposta para conferir o resultado, vem que > diff(resposta,x) ;

1 w i RR~,—2^ Í , 1 /T~i—2w \2 , 1 x\n(x)(2xln(x)2+ 2x\n(x)) - ln(x) y / l + x ln(x)2 + - y / l + x2 ln(x)2 + , - , . = — z l i y / l + x^m (x)2

1 2 x ln(x)2 + 2xln(x) 1 2 y/l + x2 ln(x)2

+ l n ( x ) + 1

2 y/l + x2ln(x)2 +x ln (x ) > simplif y(7.) ;

x2 ln(x)3 + x2 ln(x)2 + ln(x) + 1 y/l + x2 ln(x)^ '

Fatorando o numerador desta expressão, temos finalmente > primitiva:=factor(x~2*(log(x))~3+x"2*(log(x))~2+log(x)+l)/sqrt(l+(x*l > og(x))"2);

primitiva := (ln(x) + 1) y/l + x2 ln(x)2. Desse modo, concluímos que

J(1 + ln(x)) y/l + (xln(x))2 dx =

1 n(,/(l -4- x2 1nír)2)) -4- xlnír) + c

xln(x) y/(1 -{- x2 ln(x)2) 2

^ ( V í l + ^ M x ) 2 ) ) + x ln(x)

e, dessa maneira, "ensinamos" o Maple a calcular esta integral!

26.7 Projetos

26.7.1 Integração numérica: Regras do trapézio e Simpson O início do desenvolvimento do que hoje chamamos de Cálculo Diferencial e Integral se deu quando os trabalhos de Newton e Leibniz levaram à demonstração do teorema fundamental do cálculo, que estabeleceu a relação existente entre derivadas e integrais. A partir de então o problema de calcular uma integral, por exemplo / (x ) dx, foi reduzido ao de determinar uma antiderivada ou primitiva da função / . Além disso, sabemos também que se / for contínua em [a, 6], esta primitiva existe e é contínua. No entanto, como vimos neste capítulo, calcular primitivas em termos de funções elementares (combinações de somas, diferenças, produtos, quocientes, raízes e composições de polinómios, funções trigonométricas, exponenciais ou logaritmos) não é uma tarefa fácil, pelo contrário, existem funções razoavelmente simples com primitivas que não são funções elementares! Por exemplo, sabe-se que a função ex não tem primitiva elementar. Veja como o Maple determina a primitiva desta função.

> int (exp(x~2) ,x) ;

— I y/íreTf(I x).

A função erf(x), definida simplesmente como erf(x) = (^7=) JQ e^-*2) dt, é muito usada em estatística, na teoria de probabilidade. Existem muitas outras funções que não têm primitiva em termos de funções elementares, mas todos que usam cálculo como uma ferramenta aplicada à ciência ou à engenharia se defrontam, ocasionalmente, com o problema de avaliar integrais deste tipo.

O objetivo deste projeto é descrever dois métodos para calcular o valor numérico de uma integral do tipo / ( x ) dx, com o grau de precisão que for necessário. Estes métodos são baseados em procedimentos simples que podem ser aplicados independentemente de podermos encontrar ou não uma primitiva de / . As fórmulas aplicadas em cada caso usam somente aritmética e o cálculo de valores da função / num número finito de pontos do intervalo [a, 6]. Estas fórmulas são mais eficientes do que as somas de Riemann, utilizadas na definição de integral, no sentido de que dão resultados mais precisos com menos trabalho computacional.

A regra do trapézio

Considere uma partição regular do intervalo [a, b] definida pelos pontos a = XQ < xi<... < xn = b. A idéia é aproximar a área entre / (x) e o eixo x, para xk-i < x < xk, pelo trapézio cuja aresta superior é o segmento que une os pontos {xk-1, f(xk-1)) e (xk, f(xk)), como mostra a figura:

A área deste trapézio é dada por ^ 1 — 1 k — X k 1 . Como a partição é regular, temos que

/ . b — a (xk - x f c_i) — — A x.

n

Somando-se as áreas dos n trapézios considerados na aproximação, teremos que a integral f(x) dx é aproxima-damente igual a

+ / (SI) + f(x2) + ... + /(*„_!) + f-^)Ax.

Repare que cada um dos valores / (x j ) , exceto o primeiro e o último, aparece na soma duas vezes, e isso explica a diferença entre os seus coeficientes que aparecem na fórmula.

A regra do trapézio pode então ser enunciada da seguinte maneira:

Se f é contínua em [a, b] e se existe uma partição regular de [a, b] determinada pelos pontos a = xo < xi<. . . xn = b, então f{x) dx é aproximadamente igual a

(b - a) (f(x o) + 2 f(Xl) + 2 f(x2) + ... + 2 /(x^) + f(xn)) 2 n

Podemos chegar a esta mesma fórmula se considerarmos a média aritmética entre as somas de Riemann, onde / é calculada no extremo esquerdo e no extremo direito, respectivamente, de cada subintervalo da partição. (Veja projeto Somas de Riemann e funções monótonas.)

Prova-se que o erro máximo cometido ao usarmos a regra acima para aproximar a integral f(x) dx é dado por Mi2n^ ' onc^e M é um número real positivo tal que | f"(x) | < M para todo x em [a, 6].

1. Aproxime fg \J 1 — x3 dx pela regra do trapézio, dividindo o intervalo [1,2] em 4 partes iguais. Estime o erro máximo cometido.

2. Calcule um valor aproximado para ln(2) com erro menor do que um centésimo.

Regra de Simpson

A idéia básica da regra de Simpson é aproximar cada pedaço do gráfico de / por uma parte de parábola que se "ajusta" à curva, em lugar de aproximar estes pequenos pedaços por segmentos de reta, como foi feito na regra do trapézio.

Novamente, considere uma partição regular do intervalo [a, 6] em n partes iguais, onde n é um número par. Considere os três primeiros pontos da partição, a saber: a = xq, X\ e x2 e os correspondentes pontos sobre a curva y = / (x ) . Se estes três pontos não forem colineares, existirá uma única parábola, da forma y = ax2 + bx + c, passando por estes pontos. Veja o desenho.

Esta parábola pode ser escrita na forma P(x) = a (x — Xi)2 + b(x — xi) + c. Para que esta parábola passe pelos três pontos dados, três condições são necessárias:

(a) Em x = xo, tem-se a (xç, — x\)2 + b (x0 — xi) + c = / (x 0 ) .

(b) Em x = x\, c = f(xi).

(c) Em x — x2, a (x2 - Xi)2 + b (x2 - Xi) + c = f{x2).

Como a partição é regular, x2 — x\ = x\ — xo = Ax, e de (b) temos que c = f(xi). Assim,

-bAx + a(Ax)2 = f(x0)-f(x1)

bAx + a {Ax)2 = f(x2) — f{x\).

Daí vem que 2a(Ax)2 — f(xo) — 2 / ( x i ) + f(x2). Considerando que a parábola cuja equação queremos achar é uma boa aproximação para a curva y = f(x), no intervalo [XQ, Xi], temos que a integral f^1 f(x)dx é aproximadamente igual a

í J xn [a (x — xi)2 + b (x — Xi) + c]2 dx .

Calculando esta integral e expressando o resultado em termos de A x, obtemos

„ . 2 a ( A x ) 2 2 c A x + \ ; .


Substituindo nesta expressão os valores anteriormente achados para a e c, temos

(S/o - 2yi + y2) A x {y0 + 4yi + y2) A x 2 yi A a; + = ,

onde Vi = f(xi). O mesmo procedimento pode ser aplicado em cada um dos subintervalos da partição considerada. Somando todos

os resultados parciais, chegamos à fórmula

i(j/o +4yi +2y2 + ... + 4yn_i + yn)Ax

para calcular o valor aproximado da integral /a6 f(x) dx. Esta fórmula é chamada regra de Simpson. Observe que na regra de Simpson yo e yn têm coeficiente 1; os para i par, têm coeficiente 2; e os yit para i ímpar, têm coeficiente 4.

Pode-se provar que o erro máximo cometido ao aproximarmos uma integral pela regra de Simpson é dado por

M ( b - a ) (Az ) 4

180

onde M ê o valor máximo da derivada quarta de / em [a, 6].

1. O valor exato de f j y/sen(x) dx não é conhecido. Ache um valor aproximado usando a regra de Simpson com n = 4. Estime o erro cometido.

2. O valor exato de ff ^ dx não é conhecido. Ache um valor aproximado usando a regra de Simpson com n = 4. Estime o erro cometido.

3. Ache um valor aproximado para ln(2) aplicando a regra de Simpson com n = 4. Estime o erro cometido.

4. Use a fórmula \ = f* dx e a regra de Simpson com n = 4 para estimar um valor para ir. Estime o erro cometido.

5. As tabelas abaixo indicam a relação entre duas variáveis x e y. Admitindo que y — f(x) e que / seja contínua, aproxime J,f(x) dx por meio da (a) Regra do trapézio (b) Regra de Simpson

X 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 y 4,21 3,76 3,21 3,58 3,94 4,15 4,69 5,44 7,52

X 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 y 12,1 11,4 9,7 8,4 6,3 6,2 5,8 5,4 5,1 5,9 5,6

Capítulo 27

Regras de L'Hôpital

27.1 Formas indeterminadas 2X - 1

Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F(x) = . Embora F não esteja definida em x = 0, para x

traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento da função nas proximidades deste ponto, isto é, precisamos calcular os limites

2X - 1 2X - 1 lim e lim (*) X XÔ- X

Como, nestes dois casos, o limite do denominador é zero, a regra do quociente para limites não se aplica. Embora os limites acima existam, o seu valor não é óbvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da fração se aproximam de zero quando x —> 0.

f(x) 0 Quando lim f(x) = lim g(x) = 0, diz-se que o quociente tem a forma indeterminada - , em x = a.

xâ xâ g(x) 0 Formas indeterminadas deste tipo apareceram no começo de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a razão

incremental que aparece na definição de derivada

f { a ) = l i m M i M x—>a X — a

tem a forma indeterminada jj, em x = a. Quando / é uma função racional, a técnica para resolver limites deste tipo é cancelar o fator comum, quando

possível. Assim, por exemplo, x2 - 1 lim = lim (x + 1) = 2. x-»l X - 1 x->l

Outro exemplo de um limite do tipo - apareceu no estudo das funções trigonométricas, quando precisamos calcular senf x) lim . Na ocasião, tivemos que utilizar um argumento geométrico para concluir que este limite é igual a 1. x—>0 x

Para os limites que apareceram em (*), nenhuma destas técnicas funciona. ln(ir) Uma outra situação na qual o valor do limite não é óbvio ocorre quando tentamos avaliar lim — — . Este

xôo X limite aparece quando precisamos encontrar as assíntotas horizontais ao gráfico da função y — Neste caso, tanto o numerador quanto o denominador tendem a oo, quando x —> oo. Se o numerador cresce mais rápido que o denominador, o limite é infinito. Se, ao contrário, é o denominador que cresce mais rápido, o limite é zero. Se ambos crescem à mesma taxa, o limite pode ser qualquer número positivo.

fíx) Assim, se lim f(x) = lim g(x) = oo, diz-se que lim ——- é uma forma indeterminada do tipo —. Podemos ter x—>a x—>a x—+a g(x) 00

também, formas indeterminadas do tipo e dependendo dos sinais dos limites de f e de g. Outra forma indeterminada aparece quando estudamos funções da forma h(x) = /(x) — g(x). Neste caso, se

lim f(x) — lim g(x) = 00, diz-se que lim h(x) tem a forma indeterminada 00 — 00. x—>a x—>a x—â Além destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no cálculo de limites do tipo lim f(x)9^x\ Neste caso,

x—ta dependendo dos limites de / e de g, quando x —• a podemos ter indeterminações do tipo I00, 0o e 00o.

Resumindo, são 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber:

375

376 Cap. 27 Regras de L'Hôpital

2 ££ o o - o o 1 - 0° 00° e 0 oo 0 oo

Nesta seção introduziremos um método sistemático e fácil para calcular certos limites envolvendo formas indeter-minadas. Este método, chamado Regra de L'Hôpital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem ao nobre francês, Marquês de L'Hôpital (1661-1704), a quem foi atribuída a sua descoberta, mas na verdade, dizem as más línguas, o trabalho é do matemático suíço John Bernoulli (1667-1748), que o Marquês havia contratado como seu professor de matemática.

A seguir, veremos as várias formas e as aplicações do que se convencionou chamar de Regras de L'Hôpital.

27.2 Primeira regra de L'Hôpital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para todo x a em I, g'(x) 0. Se

lim f(x) = lim g{x) = 0 x — > a x — > a

/ ' ( * ) r r m r lim ——— = L , então lim = L . a;-»a g'{x) x—>a g[x)

As figuras a seguir ajudam a visualizar o porquê de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os gráficos de duas funções deriváveis / e g que se aproximam de zero quando x —• a. Na figura da direita, temos um zoom nas proximidades do ponto (a, 0) dos gráficos destas funções. Como as funções são localmente lineares, pois são deriváveis (veja Cap.20), nas proximidades deste ponto seus gráficos são quase retas. Se os gráficos destas funções fossem realmente retas, então a razão entre as funções seria dada por

mi (x — a) mi rri2 [x — a) '

que é a razão entre suas derivadas. Esta interpretação geométrica sugere que

r f{x) f'(x) hm — r = hm x^a gyx) x—ta g'[x)

Demonstração Na demonstração da regra de L 'Hôpital utilizaremos o teorema do valor médio de Cauchy. Como as hipóteses não garantem que / e g sejam definidas em x = a, consideraremos duas novas funções F e G que estendem as funções / e g e são contínuas em x = a, a saber:

Jy ' lO x = a

G(*) = { ; = / g ( x ) 0 x = a

Vamos demonstrar a regra quando x 0+. Para isso, considere x > a em I. Assim, as funções F e G são contínuas no intervalo fechado [a,x] e deriváveis em {a,x\. Logo, aplicando o teorema do valor médio de Cauchy no intervalo [a,x], tem-se

F{x) - F (a) _ F'(c) G{x)-G(a) ~ G'(c) '

onde c é algum número tal que a < c < x. Pelas definições dadas para F e G, temos

m = m g{x) g'(c)'

f(c) Como a < c < x então, quando x —» a, também c —> a. Como por hipótese lim — ^ = L, então câ g (c)

lim m = lim m = l i m r n = , 2J-XJ+ <?(x) x->a+ 5 (c)

A demonstração para o caso em que x —> a~ é análoga e é deixada como exercício.

Observação A regra também é válida se a ou L forem substituídos por +00 ou por —00. Deixamos como exercício sua demonstração.

SGIlf ^ Exemplo 1 Calcule lim .

x - » 0 X

Solução Neste caso aparece a forma indeterminada Como

(seníx2))' , . , , hm = hm cos(x2 2x = 0, x-*0 x' xÔ

1 t • , sen(x2) a primeira regra de L Hopital garante que lim = 0 . x- 0 x

Exemplo 2 Calcule lim xô sen(x)

Solução Novamente, aparece a forma indeterminada ^ e, como

(ex — e~xY ex + e~x n fim — = lim —— = 2, xô (sen(x))' x-ô cos(x)

a primeira regra de L'Hôpital garante que lim = 2. xô sen(x)

27.3 Segunda regra de L'Hôpital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para todo x a em I, g'{x) 0. Se lim / ( x ) = ±00, lim g(x) = ±00 e

x—ta x—ta

f'(x) f(x) lim = L, então lim -7-^- = L. x - + a g'(x) x ->a g[x)

Observação Os números a e L podem ser 00 ou —00.

A demonstração desta regra não será apresentada neste texto, mas pode ser encontrada em livros de Cálculo avançado.

Exemplo 1 Calcule lim xln(x). x—>0+

Solução Neste exemplo aparece uma indeterminação do tipo 0 x ( — 0 0 ) . Para podermos aplicar uma das regras de L'Hôpital, devemos transformá-la em uma das indeterminações ou

Para isso, observe que r i / v ,• M ^ ) - 0 0 lim x m(xj = fim —=— = . x—»0+ x-*0+ - 00

378 Cap. 27 Regras de L'Hôpital

Podemos agora aplicar a segunda regra de L'Hôpital e obter

ln(x) 1 . . lim — — = lim —-—s— = lim (—a;) = 0.

1^0+ - x ( - 4 r ) x—>0+ x V xz f

Exemplo 2 Calcule ex x (a) lim — (b) lim — x~>oo x x—>oo eX

e { oo \ Solução (a) lim — = ( — ). Assim, pela segunda regra de L'Hôpital,

x—>oo X V o o /

(exY ex lim -h-^— = lim ex = oo =>• lim — = oo . x—>oo (x) X—HX x—>oo x

X / OO \ (b) lim — = ( — ). Logo, pela segunda regra de L'Hôpital, x—>oo ex Voo/

(x)' 1 x lim - M - = lim — = 0 lim — = 0. X—»OO (eXY X—>00 TX X—»OO eX

Exemplo 3 Calcule lim xx. x—»0+

Solução lim xx — [0°]. No caso de formas indeterminadas envolvendo potências, utilizamos a definição destas x—»0+

funções para obter a igualdade xx = Observando, agora, que a exponencial é uma função contínua, podemos escrever

( lim x ln(x) ) lim xx = e\x^0+ / = e° = l .

Exemplo 4 Calcule lim o \x2 x2 cos(x) J '

Solução lim — —— = (oo — oo). Para aplicar uma das regras de L'Hôpital precisamos transformar a x-»0 Xa X2 COS(x)

indeterminação (oo — oo) em uma das duas formas ^ ou Em geral, isto é feito efetuando-se a operação algébrica indicada. Assim,

1 1 cos(x) — 1 x2 x2 cos(x) x2 cos(x)

Como o limite do lado direito da última expressão recai numa indeterminação do tipo ^, podemos aplicar a primeira regra de L'Hôpital e obter

(cos(x) — 1)' , —sen(x) ( 0 lim , , . . . . = lim — — 1 -x^h (x2cos(x))' xô 2xcos(x) — x2sen(x) V^

Neste caso, podemos aplicar novamente a primeira regra de L'Hôpital. Assim,

j. -sen(x) _ (—sen(x))' _ ^ -cos(x) _ 1 zô 2xcos(x) — x2sen(x) xô (2 x cos(x) + x2 sen(x))' xô 2 cos(x) + 2 x sen(x) + x2 cos(x) 2

Portanto, 1 1 \ 1

27.4 Exercícios 1. Calcule os limites abaixo:

(a) um (f) Hm ^ í l l ( k ) U m ( x + i)cotg(,) x—m x — CL x—>oo — x—>0

lnf - ) (1) lim arcseníz) cossec(#) (b) i i m ( } l i m M^L w *-*o x->n n - x ^ cotg(ar) , , v 1 1

(C) l i m ^ x + 9 r ( m ) X - W^) (n) lim x ^ arcsen(x) 1 1 -

(d) lim — fi) iim _ ± c i -, x w x—>o sen(x) x (o) lim sen i f oi _ w a;-»0

(e) lim (j) lim tg(x)cotg( :r) x-^o X x-»(f)

y/X2 ~ 1 2. Calcule lim . Você pode verificar que, neste caso, as regras de L'Hôpital de pouco adiantam.

X—too x

f sen(x) / r» 3. Seja / ( x ) = ' s e x ^ 0 Calcule /'(O) e /"(O).

(. 1, se x = 0

4. Sejam f{x) = x2sen(—) e g(x) = x. Verifique que f(x)

(a) lim f(x) = lim g(x) = 0. (b) lim = 0. V ' ' z—0 ' v ' x—>0 g(x)

f'(x)

(c) lim não existe. (Releia novamente a primeira regra de L'Hôpital e mostre o que este exercício

esclarece naquela regra!) 5. Suponha que a temperatura de uma longa e fina barra de metal colocada ao longo do eixo x seja dada inicialmente

f — se I x I < a por < 2 a ' i • Pode-se mostrar que se a difusividade térmica da barra é k, então a temperatura da [ 0 , se I x | > a barra num ponto x dela mesma, em qualquer instante de tempo t posterior, é dada por

rr,, s C f a , T[x,t) = — j = e du.

avAwkt Jo Para encontrar a distribuição de temperatura na barra resultante de uma fonte de calor inicial concentrada na origem, é preciso calcular lim T(x,t). Use a regra de L'Hôpital para calcular este limite. a—t 0

Capítulo 28

Integrais Impróprias

28.1 Introdução

A existência da integral definida f^ f(x)dx, onde / é contínua no intervalo fechado [a, 6], é garantida pelo teorema fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

1. ou o intervalo de integração não é limitado;

2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].

Nosso objetivo neste capítulo é definir e calcular integrais deste tipo, chamadas integrais impróprias.

28.2 Exemplos í°° 2

A integral / e~x dx é um exemplo do caso 1, acima. J o

_ 2

Podemos interpretar, geometricamente, esta integral como a área da região não-limitada abaixo da curva y = e x , acima do eixo i e à direita do eixo y.

Como esta região é ilimitada, poderíamos esperar que a sua área também o fosse. No entanto, o gráfico parece indicar que a partir de x = 2 a área sob a curva é muito pequena e diminui cada vez mais à medida que x aumenta.

f2 2 Dessa maneira é possível esperar que, a partir de x = 2, os acréscimos à área representada pela integral / e~x dx J o

sejam tão pequenos que a área total da região não ultrapasse um determinado valor. De fato, avaliando a integral f b 2 / e~x dx, para 6 = 2, temos

J o > eva l f ( in t (exp( -x~2) ,x=0 . .2 ) ) ;

.8820813910

Continuando a calcular o valor desta integral para valores de b sucessivamente maiores, obtemos > eval f ( int (exp( -x~2) ,x=0. .5 ) ) ;

.8862269255 > eva l f ( in t (exp( -x~2) ,x=0 . .6 ) ) ;

.8862269255 > eva l f ( int (exp( -x~2) ,x=0 . .10 ) ) ;

380


> eva l f ( int (exp( -x~2) ,x=0 . .15 ) ) ; .8862269255

.8862269255

Repare que a partir de b = 5 o valor da integral, calculado com 10 dígitos, se estabiliza e parece convergir para um determinado valor. Como o integrando é estritamente positivo, o valor da integral deve crescer à medida que aumentamos o intervalo de integração. No entanto, o valor desta integral jamais ultrapassa um determinado limite. Esta afirmação pode ser visualizada no diagrama abaixo. Neste diagrama traçamos o gráfico da função área

= e~l dt para valores de x cada vez maiores.

.8

.6

.4 •2i

.8

.6

.4 •21 r

Ó í. 2. 3. 4. Ó 1.2.á.4.á. Ó 1.2.3.4.í).6.

L De acordo com o diagrama, o gráfico da primitiva e 1 dt parece ter uma assíntota horizontal. Se usarmos o Maple para calcular o limite, obteremos

> L imit ( Int (exp( - t~2 ) , t=0 . .x ) ,x= in f in i ty ) : > °/,=limit(int(exp(-t~2) ,t=0. .x) ,x=inf inity) ;

f x _ 2 1 lim / e t dt = - y/ir. x—¥oo JQ 2

Definimos, então, a área da região ilimitada como sendo igual a este valor-limite.

Um exemplo do caso 2 é dado pela integral

ilimitada sob a curva y = de i = 0 a i = 1. / 1

y/x dx, que também pode ser interpretada como a área da região

\

K

r1 i Como no Exemplo 1, calculemos o valor da integral / —y= dx para vários valores de a, cada vez mais próximos Ja Vx

de zero: > F :=a-> int (1 / sqrt (x ) ,x=a . .1 ) : > F(0 .1 ) ;

> F(0.01) ;

> F(0.00001);

y/x

1.367544468

1.800000000

382 Cap. 28 Integrais Impróprias

1.993675445

> F(0.10-15);

> F(0.1~16);

> F(0.1~17);

> F(0.1~18);

> F(0.1~19);

> F(0.1~20);

1.999999937

1.999999980

1.999999994

1.999999998

1.999999999

2.000000000

1 Vi

í 1 1 fato, usando o Maple para calcular lim / — dt. obtemos x >0+ Jx \t

Estes valores parecem indicar que a primitiva F(x) — dt se aproxima de 2, quando x se aproxima de 0. De J X

> Limit(Int(1/sqrt(t),t=x..1),x=0,right)=limit(F(a),a=0);

lim f --pdt = 2. o +Jx Vt

Assim,' dizemos que a área da região ilimitada estudada neste exemplo é igual a 2.

Tendo em vista estes dois exemplos, podemos concluir que podemos definir integrais sobre intervalos não limitados como o limite de integrais sobre intervalos limitados (como foi feito no exemplo 1) e como o limite de integrais de funções contínuas, no caso de o integrando apresentar descontinuidades infinitas no intervalo de integração, como foi feito no segundo exemplo. Estas definições serão formalizadas nas próximas seções.

28.3 Limites de integração infinitos

Integral imprópria sobre [a, oc)

Seja f uma função contínua no intervalo [a, oo). Definimos

roo rb

/ f{x) dx = lim / f(x) dx, Ja J a

se este limite existir. Neste caso, dizemos que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe, dizemos que a integral diverge ou é divergente. Se a função f é positiva e a integral converge, ela representa a área sob o gráfico de f no intervalo [a, oo).

Exemplo Estude a convergência das seguintes integrais impróprias. poo rOO 1 roo roo -j

(a) / e^dx (b) / -dx (c) / sen(x)dx (d) / J o J i x J o J i \x + 1)3 d X -

Solução

(a) f s ( _ x ) dx = lim / e ( _ x ) dx = lim -e~x\n = lim 1 - e ( _ h ) = 1. ò—*oo In b- 0

Logo, a integral é convergente. Como o integrando é sempre po-sitivo, o valor desta integral representa a área da região ilimitada sob o gráfico da função e~x para x > 0.

/*°° 1 (b) / -dx= lim pn(s)]®=1 = l i m l n ( 6 ) = + oo. Logo, a integral é divergente. Jl X b—>oo b—>oo

/»OO

(c) / sen(a;) dx = lim [—cos(a;)] 0 = lim (1 — sen(b)). Como este limite não existe, a integral é divergente. JQ b—í-0 b—>00

f°° 1 ( d ) / (TT D :

dx = lim 6—>o = lim 2(x + l)2 J X = 1 Meo V 2(6+1)2 8

Logo, a integral é convergente e representa a área da região ilimi-tada mostrada ao lado.

Integral imprópria sobre (—oo, 6]

Seja f contínua no intervalo (—00,6]. Definimos

rb

/

O rv

f(x) dx = lim / f(x) dx a — > — 0 0 / -00 J a

se este limite existe. Neste caso dizemos que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe, dizemos que a integral diverge ou é divergente. Se f é positiva no intervalo (—00, 6], podemos interpretar esta integral como a área de uma região, como foi feito nos casos anteriores.

Exemplo Estude a convergência das seguintes integrais impróprias:

í-2 o r~í (a) /

J —< /-oo (4 - Z)2

Solução (a)

dx J—00 x

dx

L .- rirdx = lim -00 (4 -x)z a^-00 f J a (4 - xy • dx = lim 4 - x

= lim 4 -a—» — o o 4 — a 4.

Logo, a integral é convergente e seu valor representa a área da região ilimitada mostrada ao lado.

r 1 1 (b) / — dx — lim —ln(|o|) = —00. Logo, a integral diverge. J-00 x a-K-oo)


Integral imprópria sobre (—00, 00)

Seja f uma função contínua na reta,isto é, em ( — 0 0 , 0 0 ) . Definimos

/

OO pC pCO

f(x) dx= f(x) dx+ /(x) dx -OO J— OO Jc

para qualquer escolha conveniente de c, desde que ambas as integrais impróprias à direita sejam convergentes.

Observação A integral f(x) dx não é necessariamente igual a lim / / ( x ) dx (veja Exemplo (b) °° e^oc J_c

3, deste capítulo).

e Exercício

Exemplo Estude a convergência das seguintes integrais impróprias:

(a) / ISf J—co

[arctg(x)]2

+ x2 dx r

(b) / J — c

x dx

Solução (a)

r í ^ J-oo 1

arctg(x)]2

+ x2 dx —

lim [ Ja

arctg(a;)]2 dx

0 [arctg(a:)]2

1 + x2 dx + lim /•"[are

Jo 1 arctg(x)

b—>oo J0 1 -f X'

lim ía r c tg(a)]3 + l i m tarctg(ò)]3

a—»—00 3 í>—»00 3 7T3 7T3 _ 7T3

24 + 24 ~ 12'

dx

X2 C2

(b) Observe que lim ( — — ) =00, para qualquer escolha de c. Logo, a integral é divergente. Repare, porém, x - > o o y 2 2 j

que lim / x dx — 0. c^oo J_c

28.4 Integrandos infinitos em intervalos finitos

1. Se f é contínua em (a, 6] e lim f(x) = 00, define-se

•b po po I f(x) dx = lim / f(x) dx.

Ja Jt

2. Se f é contínua em [a, b) e lim f(x) x—>b~

= oo, define-se

I f(x) dx = lim / f(x) dx. Ja t^b- Ja

Em ambos os casos, se o limite existe, diz-se que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe, diz-se que a integral diverge ou é divergente.

3. Se f é contínua em [a, b], exceto em um ponto c de (a,b), e se um ou ambos os limites laterais são infinitos, define-se

pb pc pb / f(x) dx= f(x) dx+ f(x) dx,

J a J a J c desde que ambas as integrais impróprias à direita sejam convergentes.


Exemplo Estude a convergência das seguintes integrais impróprias: f4 1 f4 1 f^2 1 f^2 1 (a) / —= dx (b) / - dx (c) / . dx (d) / dx.

Jo v ^ J-2 x W 7-V2 V ' Ly/2 2 - x2

f4 1 Solução (a) lim / —= dx = lim (4 — 2 y/a) = 4. Logo o-»0+ Ja y/X a—»0+ f4 1 / — d x = 4. Neste caso, como o integrando é positivo, este va-

io VX lor representa a área da região ilimitada sob o gráfico de y = , no intervalo [0, 4].

f4 1 f° 1 f4 1 (b) / - dx — / - dx + / - dx, J-2 x J-2 ^ Jo x

se estas integrais forem convergentes.

A segunda integral f4 1 f4 1 / - dx = lim / - dx— lim (ln(4) — ln(a)) X Ja X a->0+ +00

f 1 Logo, a / — dx é divergente.

J-2 z

/Vã ! ,o x f^2 1 (c) / . dx= . dx + / ,

J-V2 J —y/2 Jo VZ^

f^ 1_ Jo \/2 =

r° i_ J-V

A integral

Da mesma maneira,

: dx = lim

: dx.

V2 - dx = — e, portanto •2 2

1_ ' J-V2 y/2^

:dx = 7T

fV2 (d) /

J-V2 1

/-V2 2 - x2

A integral

Portanto a integral

dx = ,o ! 2 !

/ õ dx + I J-V2 2 - z2 Jo 2 -

dx.

j£

1

dx = lim fb 1

Jo 2-dx = lim "f2 b = + 0 0 .

2 - x2 Jo 2 - x2 4

dx é divergente. /_V2 - x'

28.5 Teste da comparação

Algumas vezes é impossível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, mesmo assim, é importante decidir se tal integral é convergente ou divergente. O teorema a seguir é útil em tais casos.

Teorema: Teste da comparação Suponha que f e g sejam funções contínuas tais que f(x) > g(x) > 0 para todo x > a, onde a é um número real.

rOO (a) Se / f(x) dx é

J a

rOO . 9(X) J a

é convergente, então I g(x) dx também ê convergente.

rOO

(b) Se / g( J a

x) dx é divergente, então pOO / m

J a dx também é divergente.

Um teorema análogo pode ser enunciado para integrais impróprias do segundo tipo. Não faremos a demonstração deste teorema, porém este resultado é geometricamente intuitivo. Como para x > a,

representam áreas. Assim, se a área sob a curva y = f(x) rOO rOO

f e g são positivas, as integrais / f(x) dxe g(x) dx J a J a

é finita, então a área sob a curva y = g(x), que está abaixo da outra, pois f(x) > g(x) para x > a, também deve ser finita. Por outro lado, se a área sob a curva y — g(x) é infinita, o mesmo deve acontecer com a área sob a curva y = f(x).

roo _ 2 Exemplo Mostre que / e x dx é convergente.

J o

Solução Não podemos calcular este limite diretamente, pois não existe uma função elementar que seja a primitiva /*oo 2 / 2

da função y = e~x . Por isso vamos aplicar o teste da comparação para mostrar que / e~x dx é convergente. J o

Para x > 1, temos que x2 > x =>• —x2 < —x e~x < e~x. Assim, temos que

/

oo roo

e~x2dx< J e~xdx. (*)

/

OO

e~x dx é fácil de calcular. De fato, /»OO pt

/ e~xdx= lim / e~x dx = lim \-e~x}\ = lim ( - e " í + e - 1 ) = e - 1 . (**) Jl t—>00 J-y t—^OO 1 J1 t—»OO

í°° 2 Tendo em vista (*) e (**), o teste da comparação garante que / e x dx converge. Mas,

/•OO p l p OO

/ e~®2 dx = / dx+ / e^ dx = Ai + A2, J o J o Ji

onde Ai e A2 são as áreas das regiões assinaladas na figura:

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.6 2 2.22.42.62.8 3

Como Ai é a área de uma região finita e, como mostramos acima, A2 é convergente, podemos concluir que 2

/ e~x dx converge. J o

28.6 Exercícios 1. Estude a convergência das seguintes integrais:

We(-10x)dx

dx

r (a) /

J o

(b) [ ln(x) J 0

/>2a (C) J0

(d) / tg(x) dx Jo

dx

OO g(-V^) dx (e) Í

Jo y/x

/OO

dx

/OO

-OC

(h) xln2 x

(i) 1 y/b — X

(j) / xln(x)dx J 0

2. A trombeta de Gabriel é a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva y = -, 1 < x, em torno do eixo x, conforme mostra a figura ao lado.

(a) Mostre que a área sob a curva y = i , 1 < x, é infinita. (b) Mostre que o volume do sólido de revolução delimitado

pela trombeta de Gabriel é finito.

(c) Mostre que a área da superfície (veja o Cap.24-12) da trombeta de Gabriel é infinita. Sugestão: Compare com a parte (a). Moral da história: Para pintar a trombeta de Gabriel, primeiro encha-a de tinta, depois balance e jogue a tinta fora!!!

f°° l+x fc 1+x 3. Mostre que / ^ dx diverge, mas que lim / dx = ir. oo l + x2 c^oo J_c l + x2

4. A região plana limitada acima pelo gráfico de f {x) = y/x e~ *, x > 0 e abaixo pelo eixo x (veja o gráfico ao lado) é girada em torno do eixo x, obtendo-se um sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido.

5. Use o teste da comparação para decidir se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:

(a) í dx (c) [ , dx (e) [ —7= dx K ' Jl X W i l y/x*TÏ Jo V^ ,, s f°° dx p dx (b) / d / J i x + e jQ xsenx

,00 1

6. Calcule a integral / _ dx. Jo y/x (1 + x)

Observação-, Repare que o intervalo de integração é ilimitado e que o integrando se torna ilimitado em x = 0.

7. Ache os valores de p para os quais as integrais abaixo convergem:

(a) J o ^ d x (b) Jo x p lnxdx. 8. Se f(t) é contínua para t > 0, a transformada de Laplace de / é a função F definida por

/»oo F(s)= / f(t) e~st dt.

Jo O domínio de F é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge.

Cap. 28 Integrais Impróprias

(a) Ache a transformada de Laplace de f(t) = 1; f(t) = é e f(t) = t. (b) Mostre que se 0 < f(t) < M eat, para t > 0, onde M e a são constantes, então a transformada de Laplace

F(s) existe para s > a. (c) Suponha que 0 < f(t) < M eat e 0 < f'(t) < K eat para todo t > 0 onde f é contínua. Se a transformada

de Laplace de f(t) é F(s) e a transformada de Laplace de f'(t) é G(s), mostre que

G(s)=sF(s)~ f(0), s>a.

Apêndice A

Funções Contínuas

Elaine Machtyngier

A . l Teorema de Bolzano Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado [0,6], e / ( a ) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um ponto c £ (a, b), tal que f{c) = 0.

A idéia da demonstração analítica do teorema nos parece muito simples. Consideremos o conjunto A, que contém todos os números x de [a, b] tais que / é negativa em [a, x]. Como / é negativa em a e positiva em b, pela continuidade da função o conjunto A contém alguns pontos maiores do que a.

Suponhamos agora que c é o menor número que é maior que todos os elementos de A: evidentemente a < c < b. A idéia é mostrar que / ( c ) = 0. Para isso basta provarmos que as possibilidades / ( c ) < 0 e / ( c ) > 0 levam à contradição.

Se / ( c ) < 0, pela continuidade da função, existe um intervalo aberto I, pequeno, contendo c, tal que V i <G I, f(x) < 0. Em particular esta desigualdade vale para algum x maior do que c; mas como I C A, isto contradiz o fato de que c é maior do que qualquer elemento de A. Portanto, como a possibilidade f(c) < 0 conduz a uma contradição, podemos eliminá-la.

A única possibilidade que resta é se / ( c ) > 0, novamente pela continuidade da função, existe um intervalo aberto 1, pequeno, contendo c, tal que \fx € I,f(x) > 0, em particular para algum x menor do que c. Isto significa que este número não está em A, e assim poderíamos ter escolhido um número menor do que c que ainda seria maior do que todos os elementos de A. Novamente temos uma contradição. Logo, / ( c ) > 0 também pode ser eliminada. Portanto, f(c) = 0 e a demonstração está terminada.

A demonstração feita acima só foi possível por termos escolhido c como sendo o menor número que é maior que todos os elementos de A. E claro que sempre podemos escolher um número c maior que todos os elementos de A. Basta fazer, por exemplo, c = b, mas não é tão claro que podemos escolher o menor de todos. De fato, suponhamos que A seja o conjunto de todos os números racionais x > 0 tais que x2 < 2. Como o número \/2 não é racional, não existe o menor número racional maior que todos os elementos de A: para qualquer y tal que y2 > 2, racional, que escolhermos, sempre poderemos encontrar outro menor. Entretanto, sabemos que y/2 é o número real que procuramos, ou seja, neste exemplo verificamos que o conjunto dos números reais satisfaz uma nova propriedade que enunciaremos, rigorosamente, a seguir.

Definição A.1.1 Seja A um conjunto de números reais. Se existe um número x tal que x > a para todo a e A, dizemos que A é limitado superiormente, e chamamos x de cota superior de A.

Cotas inferiores são definidas de modo análogo, ou seja:

Definição A.1.2 Um conjunto A de números reais é limitado inferiormente se existe um número x tal que x < a para todo a € A, e chamamos x de cota inferior de A.

Se A é limitado superior e inferiormente, dizemos que A ê limitado. Os conjuntos M dos números reais, Z dos números inteiros e N dos números naturais são exemplos de conjuntos que

não são limitados superiormente (nem inferiormente nos dois primeiros casos). Um exemplo de um conjunto limitado superiormente é:

A = {a | 2 < a < 5} .

Para demonstrar que A é limitado superiormente basta exibir uma cota superior de A; por exemplo, 273 é uma cota superior de A, e igualmente 7,6^,5^ e 5. Evidentemente, 5 é a cota superior mínima de A. Mesmo que a expressão que acabamos de introduzir seja compreendida por si mesma, vamos dar uma definição explícita.

389

390 Ap. A Funções Contínuas

Definição A.1.3 Seja A limitado superiormente. Suponhamos que x tenha as seguintes propriedades: (a) x é uma cota superior de A; (b) se y é uma cota superior de A, então x < y. Nestas condições, x é uma cota superior mínima de A e é chamado supremo de A. Usamos a abreviação "sup" para designar o supremo de um conjunto.

Observação A.1.1 Se x = sup A e y = sup A, então x — y. De fato: x < y, pois y é uma cota superior e x = supA, e y < x, pois x é uma cota superior e y = sup A, logo x = y.

De modo análogo, definimos:

Definição A.1.4 Um número x é uma cota inferior máxima de A se: (a) x é uma cota inferior de A; (b) se y é uma cota inferior de A, então x > y. A cota inferior máxima de A é também chamada ínfimo de A. Usamos a abreviação "inf" para designar o ínfimo de um conjunto.

Exemplos (a) Seja A o conjunto de todos os números da forma l /n , com n = 1,2,3,. . . . A é limitado e supA = 1 e inf A = 0. Note que, neste caso, o sup pertence ao conjunto, enquanto o inf não pertence. De modo geral, o sup (ou o inf) de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto. (b) Seja A o conjunto de todos os números reais não negativos. A é limitado inferiormente, porém não o é superior-mente e infA = 0.

Naturalmente surge a questão: quais são os conjuntos qye têm uma cota superior mínima ou uma cota inferior máxima? Consideraremos apenas o problema das cotas superiores mínimas, já que com ele as questões relativas a cotas inferiores máximas serão resolvidas fácilmente por analogia.

Sabemos que se A não é limitado superiormente, então A não tem cota superior e portanto não tem cota superior mínima. Além disso, não podemos afirmar que todos os conjuntos que têm uma cota superior terão uma cota superior mínima, basta olharmos por exemplo o conjunto A dos números racionais positivos x, tais que x2 > 2 discutido anteriomente. Porém, existe a cota superior mínima deste conjunto se a procuramos no conjunto dos números reais.

Propriedade da cota superior mínima Se A é um conjunto não-vazio de números reais, limitado superiormente, então A tem uma cota superior mínima. Demonstração Seja Ai o seguinte conjunto de números reais: ai G Ax <=$ 3 x G A tal que ai < x. Seja A2 o conjunto de todos os reais que não estão em A\. E claro que nenhum elemento de Ai é cota superior de A, enquanto que todo elemento de A2 o é. Para mostrarmos a existência do supremo, basta verificarmos que A2 possui um mínimo.

Inicialmente observamos que todo número real está em Ai ou em A2 e nenhum número real está simultaneamente em Ai e em A2. Além disso: (a) como A ^ 0, 3 x G A, assim V a g R tal que a < x, a G Ai ==> Ai ^ 0. (b) como A é limitado superiormente, 3 y G R tal que x < y, Vx G A ==> A2 0. (c) Se ai G Ai => 3x G A tal que ai < x e x < a2,Va2 G A2. Assim, ai < a2 para todo ai G A1,a2 G A2.

Portanto, como não existem "lacunas" ou "buracos" no conjunto dos números reais, 3 7 G R tal que ai < 7 < a2

para todo ai G Ai, a2 € A2. Assim, ou Ai possui máximo, ou A2 possui mínimo. Se ai G Ai 3x G A tal que ai < x, consideremos aí G R tal que ai < a'i < x. Sendo a'i < x,a[ G Ai, de

modo que ai não é o maior número de A\. Como Ai não possui máximo, temos que A2 possui mínimo e a prova da propriedade está encerrada.

Agora podemos dar uma versão rigorosa da demonstração do Teorema de Bolzano que desenvolvemos no início da seção.

Considere o conjunto A = { x G R | a < x < 6 e f(x) < 0 em [a, x]}. Como a € A = ^ A ^ 0 e sendo f contínua em [a, b] com / (a) < 0, 3 ó > 0 tal que A contém todos os x G [a, 6] que satisfazem a < x < a + ô.

Além disso, A é limitado superiormente, pois b é uma cota superior de A. Também, sendo / contínua em [a, b] com f{b) > 0,3 5 > 0 tal que todos os x que satisfazem b — S < x 3<5 > 0 tal que f{x) < 0,Vx G (c — ô,c + S) e assim existiria X\ G (c,c + õ),c < Xi tal que f(x 1) < 0, mas isto contraria o fato de c ser o supremo de A. Logo, a hipótese de que / ( c ) < 0 é falsa.

Se / ( c ) > O =>• > O tal que f(x) > 0,Vx G (c — 5, c + <5). Como c é o supA, sabemos que 3xo G A que satisfaz c — 5 < XQ < c, e isto significa que / é negativa em [a, Xo], o que é impossível, pois / (xo) > 0. Deste modo, a hipótese f(c) > 0 também nos leva a uma contradição. Portanto, a única alternativa possível é / ( c ) = 0.

Exercícios

(1) Demonstre que existe algum x que satisfaz as igualdades abaixo:

(a) x5 + 5x4 + 2x + 1 = 0 (b) x179 + ^ = n g ( c) s e n x = x - 1. 1 + x z + sen^x

(2) Encontrar a cota superior mínima e a cota inferior máxima dos seguintes conjuntos, caso existam:

( a ) | ^ | n e N | . (e) [ x \ x2 + x + 1 > 0}.

(b) { i I n G Z e n / 0 }. (f) {x\x2 + x - l < 0 } . (g) {x | x < 0 e x2 + x - 1 < 0}.

(c) {x I x = 0 ou x = l/n para algum n G N}. f l ^ (h) - + ( - l ) n | n e N .

(d) s | 0 < a ; < V 2 e x é racional^. ^ n >

(3) Seja / uma função contínua em [a, ò] com f{a) < 0 < f{b). (a) A demonstração do teorema de Bolzano estabeleceu que existe um x mínimo em [a, b) com / ( x ) = 0. Demonstrar que existe em [a, ò] um x máximo com f{x) = 0. (b) Na demonstração do teorema de Bolzano consideramos o conjunto A = { x G M | a < x < 6 e f(x) < 0 em [a, x]}. Faça uma outra demonstração do teorema utilizando o conjunto .B = { x G K . | a < x < 6 e / ( x ) < 0}. Dê um exemplo no qual os conjuntos A e B não coincidam.

(4) Suponha que / é contínua em [a, ò] e que / (a ) = f{b) = 0. Suponha também que / (xo) > 0 para algum xo G [a, 6], Demonstrar que existem números c e d com a<c<xo<d<be tais que / ( c ) = f(d) = 0, mas / ( x ) > 0 para todo x G (c, d). Sugestão: utilize o problema anterior.

A.2 Teorema dos valores extremos Seja f uma função continua definida em um intervalo fechado [a, ò]. Então existem números c e d no intervalo [a, b] tais que f(c) é o valor máximo e f (d) é o valor mínimo de f em [a, ò].

Para demonstrarmos este teorema necessitamos definir alguns conceitos de forma rigorosa.

Definição A.2.1 Dizemos que um ponto x G M e um ponto de acumulação do conjunto A C M se para todo e > 0 existe um ponto a G A tal que \x — a\ < e, x ^ a.

Princípio do ponto de acumulação Se um intervalo finito contém uma infinidade de números, estes possuem ao menos um ponto de acumulação. Demonstração Inicialmente consideremos o intervalo de 0 até 1. Dividiremos este intervalo em 10 partes iguais por meio dos pontos 0,1, 0,2, ..., 0,9. Pelo menos um destes subintervalos deve conter uma infinidade de pontos. Suponhamos que o intervalo que começa com o número 0, ai seja aquele (ou um daqueles, se houver vários) que tem a propriedade mencionada. Subdividiremos, agora, este intervalo em 10 partes iguais empregando os pontos de subdivisão 0, ail ,0, ai2, ...,0, di9. Novamente será verdade que, no mínimo, um desses subintervalos deve conter uma infinidade de pontos; admitamos que seja o subintervalo que começa com o número 0, aia2. Mais uma vez o subdividiremos em dez partes - notando que uma dessas partes deve conter uma infinidade de pontos - e continuaremos o processo. Consideremos, agora, o número decimal

c = 0, aia2a3a4 . . . E claro que este representa um ponto de acumulação para o nosso conjunto de números. Cada intervalo, por menor que seja, em cujo interior estiver situado o ponto c, conterá subintervalos do nosso sistema de subdivisão com um certo grau de precisão em diante, e estes subintervalos contêm uma infinidade de números do conjunto.

Se o intervalo considerado fosse desde a até a + h, nada de essencial seria alterado no raciocínio. O ponto de acumulação seria representado por um número da forma a + h x 0, ai a2 as <24 ....

392 Ap. A Funções Contínuas

Demonstração do teorema dos valores extremos Vamos provar que existe c € [a, 6] tal que / ( c ) é o valor máximo da função. A demonstração da existência de um número d € [a, 6] tal que f(d) é o valor mínimo da função é feita por analogia.

Seja A = {y E R | y = f(x) para algum x G [a, 6]}. Suponhamos que A não seja limitado superiormente. Desta forma, existe uma seqüência de números xi,x2,x3, ...,xn,..., no intervalo [a, 6], para a qual f(xn) cresce além de qualquer limite. Tal seqüencia tem ao menos um ponto de acumulação x no intervalo considerado. Desta forma, 35 > 0 tal que \x - xn\ < ô e | f ( x ) — f(xn)| > 1, e a função é descontínua no ponto x, o que contradiz a hipótese. Assim, existe uma cota superior mínima M para o conjunto A. Ou há um ponto x tal que f(x) = M, e a prova do Teorema estaria terminada, ou existe uma seqüência de números x±, x2, £3, •••, xn,... no intervalo [a, b] para a qual

lim f(xn) = M n—too

De acordo com o princípio do ponto de acumulação formulado acima, podemos escolher uma subseqüência de números xn que convirja para c € [a, ò]. Chamemos tal subseqüência c±, c2l C3,..., cn,..., de modo que

lim c„ = c. n—too

E certo que lim / ( c „ ) = M.

n — t o o

Como a função é contínua no intervalo [a, 6], e, em particular, no ponto c, temos que

lim f(cn) = / (c) . n—t 00

Logo, f(c) = M. M é, portanto, o valor da função no ponto c, que está no interior ou sobre os extremos do intervalo [a, b], como queríamos demonstrar.

Respostas

Jair Salvador Seção 1.5 1 (a) [1, +oo) (b) (—oo, +oo) (C) não existe x real que satisfaz a equação (d) x = 0 (e) não existe x real que satisfaz a equação 2 (a) ( - o o , - 3 ) (b) ( -00,6) (c) (13,6) (d) ( - ± , + o o ) (e) ( - | , + o o ) (f) ( - o o , 1) (g ) ( -oo ,+oo) (h) ( - o o , U ( ^ ± ^ , + o o ) (i) (—5,3) U (4, +oo) (j) (0,1) (k) ( - o o , - l ) U( l ,+oo ) (1) ( - o o , + o o ) 3 (a) [ - l , + o o ) (b) 0 < { y - l f = y2-2y + l 4 (a) ( -2 ,2) (b) (§ ,§) (c) [1,1] (d) [1,1] (e) [2, f ) 6 a / 0; 1; -1 Seção 1.6 1 (a) W = f - L (b) b = - B 2 (a) 10 a 35 (b) 68 a 86 3 (a) ponto médio : a + ^ = ^ (b) 0 < (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 => 2ab < a2 +b2 => 4ab < a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 VÃ^b < y/(a + 6)2 Vãb < ^ 4 \a + b\ < |a| + \b\ =>• |a| = |a - b + 6| < \a - b\ + |6| =>• |a| - |6| < |a - ò| (b) |a| = |a + 6 - b\ < |a + b\ + |-6| = |a + b| + |b|=>|a|-|b|<|a + b| 5 (a) |x + y - 5| = \x - 2\ + \y - 3| < .01 + .04 = .05 (b) \Ax + 13| = \A (x + 3) + 1| < \A (x + 3)| + 1 = 4 I® + 3| + 1 < ^ + 1 = 3 = » |4x + 13 j < 3 (c) \x + y-x0+y0\ = \x - x0 + y - y0\ < \x - x0\ + \y - y0\ < § + § = e e \x - y - x0 - y0\ = \x - x0 - y - y0\ < \x - x0\ + \y - yo\ < § + § = £ (d) se |x - x0| < 1 e |x| - jx0| < |x - x0| => |x| < 1 + |x0| \xy - x0 y0\ = I x{y- y0) + y0(x- x0)| < |x| | y - y0\ + \y0\ |x - x0| < ^gfpftf + < 1 + 1 = £ (e) como |yo| - \y\ < I V - yo\ e \y - y0\ < ^f =*• |y0| - ^ < M, i-e, ^ < \y\ • Então se y ± 0, ^ < ^

_ \vo~y\ < _2 Iz/11s/oi |yo! js/o 1

£]£l! = £ (f) | X _ X o | < m i n 1) e|y-y 0 1 < m i n ( ^ , j ^ )

Seção 2.1.2 1 (a) ( - 2 , 1 ) (b) (§, +00) (c) í = f (d) t = -2 2 as escalas usadas nos eixos x e y são diferentes 3 d2(A, B) = { 1 + 3)2 + (0 - 4)2 = 32, d2(A, C) = (5 + 3)2 + (4 - 4)2 = 64 e d2{B, C) = (5 - l )2 + (4 - O)2 = 32 => d2 (A, C) = d2 (A, B) + d2(B, C), logo A, B e C determinam um triângulo retângulo 5 (a) (2,3) (b) Px = (0, y, z) (c) A(0,3,0) pertence ao eixo y, B{-2,0,0) ao eixo x e C(0,0,5) ao eixo 2 (d) R(4,0,2) pertence ao plano xz, 5(3, —2,0) ao plano xy e T(0,1, 5) ao plano yz (e) P'{2,3, 0) (f) 2, 2 e 3 , respectivamente; (g)

|z|, \y\ e |x|, respectivamente; (h) y/ (x2 - x ^ 2 + (y2 - Vlf + (z2 - Zlf ; (i) ( , Ki±l& ) Seção 2.6 1 (a) d2(A,B) = (—3 —0)2 + (—1 —2)2 = 18, d2(A,C) = ( - 4 - 0 ) 2 + (3 -2 ) 2 = 17 e cP(B,C) = ( - 4 + 3 ) 2 + (3 + l)2 = 17, como d{A, C) = d(B, C), o triângulo de vértices A, B e C é isosceles (b) d2(A, B) = d2(B, C) = d2(A, D) = d2(C, D) e d2(A, C) = d2{A, B) + d2(B, C) e d2{B, D) = d2{B, C) + d2(C, D) A,B,C e D são vértices de um quadrado (c) AB + BC = (4,8) + (2,4) = (6,8) = AC =>- A, B e C são colineares 2 (a) b = 8 (b) são paralelas (c) f; | 3 (a) k = 3 (b) k = 2 e k = - 2 (c) k = 1 e k = 6 4 (a )y = — 4x - 5 (b) 7y + 3x = 2 (c) 3y - 2x + 12 = 0 (d) y = -4 (e) x = 1 (f) 3y + x + 2 = 0 (g) 2y + x = 11 (h) 3y + 2x = 1 5 (a) mi = 2 / m2 = 3, P ( l , —2) (b) i. Se B / 0, as retas y = — ^ — e y = — ^ — são paralelas e são coincidentes se C = C\, se B — 0 as retas i = = são paralelas e são coincidentes se C = C\ ii. Se A / 0

393

394 Respostas

e B / O , então as retas y = - | e p ^ — são perpendiculares; s e A = 0 e _ B ^ 0 = > a s retas y = — e _ Bx Ci

— —Qi. cs — -g- são perpendiculares; s e B = 0 e A / 0 = í > a s retas i = - j e j / = ! j são perpendiculares 6 (b ) i. (4,9) ii. ( f , - 3 ) 7 (a) i. {x - 2)2 + (y + 5)2 = 16, C( 2, - 5 ) e i? = 4 ii. x 2 + (y + 3)2 = 7, C(0, -7) e R = V7 iii. (x + \)2 + y2 = \,

C ( - 1 , 0 ) e i? = \ i v. (x - í ) 2 + ( y + í ) 2 = |, C ( | , - i ) e fi = ^ f (b ) Se 4c < a2 + b2 (x + |)2 + (y + §)2 =

- c, < ? ( - § , - I ) e i 2 = ^ S I E Ü 8 (a) { (x ,y ) e R2 : y < x e 0 < y} (b ) {(x,y) € R2 : x = 1}; (c) {{x,y) e R2 : 1 < x < 2} Seção 2.7

(a) (b ) (c)

3 3.2 3.4 3.6 3 8 4.2 4.4 4.6 4.8 5 -3 .2 i -3.4 •] -3.6"]

v-s" 1 "T* illlllÉÉlil

5 y = x — 1 6 i. coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) é dado por m então, a equação da reta é

b-x = b, i.é, | + - 1 ii. f + 1 - 1 y = e assim, y -7 (a) 4y + 3x = 25 8 (a) S{t) = ^ t (c) m = ^ (d) a velocidade 9 (a) se ai ò2 a2 61, o sistema admite uma única solução, logo, as retas são concorrentes. Se ai ò2 = a2 61, ci ò2 = c2 61 e ai c2 = a2 Ci, o sistema admite infinitas soluções, logo, as retas são coincidentes. Se ai ò2 = a2 òi e Ci ò2 7 c2 61 ou ai c2 a2 c1? o sistema não admite solução, logo as retas são paralelas distintas; (b ) se os planos são concorrentes, i.e, a interseção é uma reta, o sistema admite infinitas soluções; se os planos são coincidentes, o sistema admite infinitas soluções; se os planos são paralelos distintos, o sistema não admite solução. Seção 4.8 2 (a) H(t) = |; domínio: [0,16] imagem: [0,2] (b ) A(z) = domínio: [0,+00); imagem: [0,+00) 3 (a) - 4 ; 10; 3 V2; 5 + 7\/2; 2 x 2 - 3 x - 4 ; 4 x 2 + 6 x - 8 ; 8x 2 + 6 x - 4 (b ) - 3 ; 42; - x 3 + 2 x 2 - 3 ; h3 + 5h2 + 7h 4 ( a ) -h*-3h-2-,x + h-3?-2xh-h*-, (b) f±£; ^ ^

5 {0 ,1 ,2 ,4 } 6 (a) [ -1 ,6 ] , [5,19] (b ) [ -2 ,3 ] , [ -6 ,14] (c) R \ { 5 / 3 } , R \ { 0 } (d ) [5/2,+00), [0,+oc) (e) [ -1 ,1 ] , [0,1] ( f ) ( - oo ,7 /3 ] , [0, +co) (g) [0,+oc), ( - o o , l ] 7 (a) R \ { - 1 , 1 } (b ) ( -00,0] U [6, +00) (c) R \ { - 3 , 2 } (d ) [0,1) U [2, +00) (e) ( -00, - 2 ] U [4, +00) ( f ) [0,7r) (g) R (h ) [1,+oc) 8 (a) sim, domínio: R\ {0} , imagem: { - 1 , 1 } (b ) sim, domínio: R; imagem: [3/4,+00) (c)

(a) (b)

- 0 . 2 -0.4 -0.6 - 0 . 8

1-3

Seção 4.9 1 C{r) = 0, + 2 7T r 2 ) 2 A{h) = {L-2h)2 +4h{L-

= ¥ +

2 h)

16 1 36 4 F(C) = 32 + 1,8C 5 S(x) = 7 funções pares (b) e (e); função ímpar: (a); nenhuma das duas: (c) e (d) (g) o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y e de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (h ) a soma de funções pares é uma função par e a soma de funções ímpares é uma função ímpar (i) o produto de funções pares é uma função par; o produto de funções ímpares é uma função par; o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar.

8 (a) > p lot ( [ [ - 5 , 0 ] , [ - 4 , - 2 ] , [ - 3 , 4 ] , [ - 1 , 1 ] , [ 0 , 2 ] , [ 1 , 1 ] , [ 3 , 4 ] , [ 4 , - 2 ] , [ 5 , 0 ] ] ) ;

12 (a) v = 60 (b) t = 2 (c) t = 65/9; v = 0 (d) t = 10; v = - 2 0 n n n

Y(k-1)2 y p m v (A : -D 2 ) frl l l - 3 n + 2 n 2 ifeí 1 2 n 2 + 3 n + l fc=1 1 h (1 - 3 n + 2n 2)

13 (a) 3 = - 2 ( b ) 3~ = « 2 (C) 3 = « 2 ! nó 6 nz nó 6 nz nó 6 nz n

fe = 1 h(n+l) (2n + l)

n3 6 n2

Seção 5.6 1 (a) y = 3 (b) P(-1,3)

2 (a) P(0,10) (b) P( l , 0) (c) P(3/4,23/8) (d) P(5,5/2) (e) ( - 3 / 2 , - 9 / 2 ) 3 f'(x) = 2ax + b, f'(x) = 0 => x = e = "b24+a4ac => o vértice da parábola é ^ f ) 4 j / = - 8 x - 7 5 (a) 0 (b) 4 (c) 4®o — 3 (d) 8xo (e) 4XQ + 6 (f) sim, pois representa o coeficiente angular da reta tangente à curva dada; neste caso, a curva é a própria reta. Seção 5.7 1 Quadrado de lado 25 cm 2 (a) (b) y = - l x + §, y = 2x - 1 (C) y = ( - 2 ^ ) X+Í+Xo2 (d) P ( l , 1) 4 (a) x = a e x — c (b) x = b; (c) positiva para x < a e para x > c (a função é crescente); negativa para a < x < c (a função é decrescente) 5 (a) 4y + 4x + 1 = 0 e 4y - 4x + 1 = 0 6 (a) i. 0,236067, ii. 0,242640; iii. 0,248456; iv. 0,249843; v. 0,249984; vi. 0,267949; vii. 0,258342; viii. 0,251582; ix. 0,250156; x. 0,250016 (b) 0,25 {c)y=\x+l 7 (a) i. - 1 ; ii. - 2 ; iii. - 2 , 5 ; iv. -3,333333; vi. -3,636363; vii. -3,603603; viii. -4,444444; ix. -4,081632 (b) - 4 (c) y — —4x + 4 Seção 6.1.2 1 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 3/4 (e) 3/4 (f) 3/4 (g) - o o (h) +oo 2 (a) —oo (b) —oo (c) —oo (d) —oo (e) +oo (f) +oo 3 (b) i. 3; ii. 1; iii. —1; iv. 3; v. não existe; vi. não existe. 4 (a) R \ {0} ( b) a reta y = 0 é uma assíntota horizontal e x = 0 ê uma assíntota vertical (c) quando x se aproxima de zero pela direita, a função cresce ilimitadamente, e quando x se aproxima de zero pela esquerda, a função decresce ilimit adamente. 5 (a) R \ {1} (b) y = 1 é uma assíntota horizontal e x = 1 é uma assíntota vertical (c) quando x se aproxima de 1 pela direita, a função cresce ilimitadamente, e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, a função decresce ilimitadamente. 6 (a) domínio: R \ {0}; imagem: R \ {(—2, 2)}; x — 0 é uma assíntota vertical e y = x é uma assíntota inclinada, (b) quando x se aproxima de zero pela direita, a função cresce sem limite, e quando x se aproxima de zero pela esquerda, a função decresce sem limite. Seção 6.6 1 (a) 6 (b) - 2 (c) 4 (d) 0 (e) 1/4

396 Respostas

2 (a) a função não está definida para x = 2, logo não podemos dividir o numerador e o denominador por x — 2 (b ) no limite, x se aproxima de 2 sem assumir o valor 2, então podemos dividir por x — 2, que está próximo de zero, mas é diferente de zero. 3 ) 3 / 4 Seção 6.7 1 (a) - 1 4 (b ) - 3 (c) - 1 (d) - 2 / 3 (e) 6 ( f ) - 1 / 9 (g) 2/3 (h) 1/4 (i) 4 ( j ) - 3 / 2 (k) 0 (m) 1 2 (a) 0 (b ) 0 (c ) 0 (d) 0 (e) se x —> 2 pela esquerda, 1; se x —> 2 pela direita, - 1 ( f ) 0 3 (a) 12 (b ) 18 (c ) 3 (d) m(e) 15 (f) —1/9 (g) 27 (h) representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função / no ponto (3, / ( 3 ) ) 4 (a) 4 x0 ( b ) 6 x0 (c ) x0 (d)*m (e) 4 x0 + 3 ( f ) - l / x 0 2 (g) 3x02

e / \ quantidade de sal rio instante t [30] 251 301 ori 0 — volume no instante t ~ 5000+25 t — 200+t l.0/ ° W ~~1' á U 7 4 8 0 9 (a) l im^oo x + ~ — x = 0 , logo a reta y = x é uma assíntota ao gráfico de y = x + ^ (b ) y = x — | Seção 6.8

1 (a) - 2 (b ) 1/2 (c ) 1/2 (d) 4 (e) ^ 2 / 4 ( f ) 2 ^ (g) 1/4 (h) 3 (i) 1 ( j ) +oo (k) - o o , se k > 0 e +oo, se k < 0 (1) 1 (m) - 1 (n) 0 (o) 0 (p) 3/2 (q) 0 (r) 0 (s) +oo (t) - o o (u) +oo (v ) 1 2 (a) b/a (b ) - 1 (c ) +oo (d ) - 1 3 (a) +oo (b ) +oo (c ) ^ (d) - o o (e) - o o 4 (a) l i m ^ i + f(x) = 1; l i m ^ i - f(x) = 5 (b ) l i m a ; ^ ( f ) + f(x) = lima ;_+( f)_ f(x) = & (c ) l imx^2+ f(x) = 1, lima;^2_ f(x) = —1 (d) no item b, pois os limites laterais são iguais a ^ 5 (a) a = 1 e b = - 1 (b ) a = 0 e b = 3 6 (a) y = —1, x = —2 e i = 2 (b ) x = -y/2 e x = y/2 (c ) y = 0, x = -2 e x = 2 (d ) y = - 3 e y = 3, x = - 5 e x = - 2 (e) y = 0, x = - 2 e x = - 3 ( f ) y = 0 e x = -2 7 (a) 4 (b) i. 1/2; ii. 0,2; iii. 0,05 8 (a) não existe; 3; 3; não existe (b ) a = 1,00001, <5 < 0,00001; a = 1,999998, S < 0, 000002 9 (a) í = min{l , f - } (b ) õ = min{|, f } Seção 8.6 1 (a) —1 , 0 e 2 (b ) descontinuidade essencial de salto em x = —1 ,descontinuidade infinita em i = 0 e descontinuidade removível em x — 2 3 (a) R - { - 1 , 1 } , / ( 1 ) = 1/2 , desc. inf. em x = - l (b ) M \ {2 } , desc. inf. e m i = 2 ( c ) l \ { - 3 , 1 } , f ( l ) = 3/4, desc. inf. em x = - 3 ; (d ) K. \ { - 1 , 1 } desc. essencial de salto (e) ( - 2 , 2 ) ( f ) M\ {0} , / ( 0 ) = 0 desc. removível (g) R \ {1} , / ( l ) = 2 desc. removível. 6 (a) g{x) = x2 - x (b ) f(x) = x2 + 2 7 (a) domínio de / : R - { - l } , g(x) = domínio de g: R \ { - 1 , 1 } (b ) domínio de h: R \ { - 1 } , g(x) = h(h(x)) = x , domínio de g : M \ {1 } Seção 8.7 1 (a) desc. inf. em x = 4 (b ) desc. inf. em x = — 3 (c ) desc. essencial de salto em x — 0 (d) desc. essencial de salto em x = 3 (e) desc. inf. em y = 0 ( f ) desc. removível em x = —1, /(—1) = 0 (g) desc. essencial de salto em x = 2 2 a = - 3 e ( á = 4 3 (a) desc. em (0,4] , - o o , - 2 ] e ( - 4 , 4 ) e cont. em ( - 2 , 2 ) , (2 ,+oo) (b)cont. em ( - 1 , 3 ) e desc. em [ -1 ,3 ] , [ - 1 , 3 ) e ( - 1 , 3 ] (c ) cont. em ( - 5 , + o o ) e (3,7) , desc. em ( - o o , 0 ) e [ -6 ,4 ] (d) cont. em ( - 3 , 3 ) , [ -3 ,3] , [ -3 ,3 ) , (4 ,+oo) e desc. em ( - o o , - 3 ) , [3,4), (3,4] e (4, +oc) 4 (a) [2/3, +oo) exceto e m i = l (b ) (1/4,1] (c) [2, +oo) 5 4 Seção 9.2.1 1 (a) 2, 4/3, —4 (b ) representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado 2 (a) 0 (c ) R (d) f(x) = mx + k, onde m e k são constantes e m diferente de zero 3 (a) O coeficiente angular da reta (b ) a (d) 71 4 (a) 12 (b ) g(x) = 3a2x-2a3 (c) x = a e x = -2a 5 (a) 5x4 (b ) lOOcc" . 6 (a) 243; 1875; 3888 (b ) 243; 1875; 3888 (c ) 3a2; 3a4; 3oc4

7 (a) f{x) ( b ) f'(x + c) (c ) cf\x) (d) cf'{cx) (e) c2f'{cx) (g) i. 5{x + 3)4; ii. 5a;4; iii. 8x3; iv. 5(x - 3)4; vi. 7{x + 2f Seção 9.6.2

1 (a) 6x; (b) 20x3 (c) 4x3 (d) 20(x - 3)3

2 / ' ( x ) = | —3x2, z i < S ; r ( x ) = : : o ; ™ = { _ 6 , : : i > ^

Seção 9.8 1) (a) a (b) não, as inclinações das retas tangentes à direita de X3 e à esquerda de X3 são diferentes (c) /'(X4) < 0 (a inclinação da reta tangente é negativa) e / ' (xs) > 0 (a inclinação da reta tangente é positiva) 3 (a) y = —2x\x + Xi2 + 9 (b) 2y = x\x — |xi2 (c) y = |±£íi=, não existe reta tangente horizontal 4 (a) / ' ( 1) = g'{ 1) = 6 (b) y = 2x - 8, P( 1, - 6 ) ; y = 10x - 32, P(5,18) (c) y = 12x - 16, P(2,8) e y = 3x + 2, P ( - l , - l ) 5 (a) a = 2 e (3 = - 1 (b) a = - 1 / 2 ; e (3 = 3/2 Seção 9.9 1 x = 10/3 cm 2 / ( 1) = 1 e / ' ( 1) = - 1 / 2 4 (a) y = - x - l (b) P ( -1 ,0 ) 5 (a) k = 1/4 (b) y = 3x + 2 (c) y = 12x - 16 e y = 3x + 2 (d) a = 2, b = - 3 , c = 0, d = 1 Seção 10.2 x ( a ) 2(12s« + 16»«+2x»-l) ( b ) 5{x3+x2)A{3x2+2x){xA_99)+4x3{xZ + x2)5 ( c ) - ( d ) _7x+5-x'i '- ( e )

^ ^ £ 2 ; (ír-f-1)2

2 (f) - 1 ( 3 8 ^ ; + 2 1 a : : 2 ) (s) 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 (h) io*"+5x«+4x'-i ( i ) V 3 ( 3 S 2 - 2 S ) (j) - I ^ ' 2 x 2 (7 —2)

3y-5 y

2 (a) x3 + C (b) x4 + x3 + C (c) x3 + x2 - 5x + C (d) l / x + C (e) a"^"1+1> + ^ T 5 " +•••+ « o 1 + C> o n d e C é

uma constante qualquer 3 (a) y' = 8, y" = y"' = y"" = 0 (b) / ' = 16x - 11, / " = 16, / ' " = / " " = 0 (c) g' = 24x2 + 14x - 1, g" = 48x + 14, g'" = 48, g"" = 0 (d) tí = 4x3 - 39 x2 + 10 x + 3, h" = 12x2 - 78 x + 10, h'" = 24x - 78, h"" = 24 (e) y' =

,, __ 15 y/x i/i 15 un _ 15 » 4 ' y 8 y/x* y 16 x y/x 4 (a) y" = ^ (b) y" = 2 - £ (c) ^ (d) 6x + ±§ (e) 0 5 (a) y M ( x ) = (b) V[n]{x) = (c) yW(a:) = ^ ^ 6 / ' ( x ) = 6 x 5 — 8 x 3 + 9 x 2 —1, / " ( x ) = 30x4 — 24x2 +18, / ' " (x ) = 120x 3 -48x , /[4](x) = 360x 2 -48 , / ^ ( x ) = 720x,

l(x) = 720 Seção 10.3 1 1/2, -1/2 2 (a) 13 (b) 22, 14 + 6 TT (C ) - 1 / 2 (d) ( 7 - 3 TT )/2 (e) 20 ( f ) 14 TT

3 (a) 0 (b) - 1 6 / 3 11 (a) / ( x ) = —2x2 + 3x + 5 (b) / ( x ) = - 2 x 2 + 7 x Seção 11.7 1 (a) CD; (b) AB e DE; (c) DE; (d) CD e EF 2 (a) 0,25 m/s (b) 1,25 m/s ; 3 V' (a) = 3 a2 = A/2 4 V (r) = 67rr2 = At

5 S"(18) = - 2 8 / 3 m/s 6 A'(20) = 3607rm2s 7 V (2) = -327rm3/h 8 S'(3/10) = 160 cm/s 9 y ' (5) = -17500 1/min 10 y (5) = 100 TT cm3/cm.-Seção 12.6 1 (a) 3 (b) 0 (c) 0 (d') 1 (e) 4 ( f ) 0 (g) 2/3 (h) 1/2 (i) 0 (j) 0 (k) 2/7 (1) 2 (m) +oo 2 l i m ^ ( f ) _ / ( x ) = l i n w ( f ) + / ( x ) = l imœ^ ( f ) / ( x ) = ^ 3 (a) cos2x — sen2x (b) sec2x — cossec2x (c) secxtgx + sec2xsenx + tgxcosx + cossecxcotgx (d) —2sen(2x) (e) (4 - 4 x3) sen (x3 + 2) - 3 x2 (4 x - x4) cos(x3 + 2)/sen2 (x3 + 2) Seção 12.7 2 l im^o cos(x + h) = cosx, para todo x real, logo g(x) = cosx é continua para todo o conjunto dos números reais

398 Respostas

3 [-3,0] U [3,+00] 4 descontinuidade removível em x = 0 7 (a) x = (2K + l)7r, para k € Z (b) f'(x) = 1 + cosx > 0, para x diferente de (2K + 1)IY 8 (a) [0,7r/2] (b) S(t) = - l /2cos(21) + 1/2 (c) 2/TT (d) - 2 Seção 13.3 1 (a) ( / O g)(x) = - 4 x 2 - 12X - 8, domínio: R, ( / o #) '(x) = -8x - 12, o f)(x) = 5 - 2x2, domínio: R, (ff 0 f)(x) — (b) ( / o </)(x) = x, domínio: R, ( / o g)'(x) — 1, (g o f)(x) = x, domínio: R, (g o f)'(x) = 1 (c) ( / o g){x) = - 1 7 , domínio: R, ( / o 5 ) ' ( x ) = 0, (g o f)(x) = 17, domínio: R, (g o f)'(x) = 0 (d) ( / o g)(x) = (cos(x) + domínio: R, ( / o g)'(x) = - sen(x) (cos(x) + l ) ( " 5 / 6 ) / 6 ; (g o f)(x) = y/cos(x(1/3')) + 1, domínio:

(ff 0 f)'(x) = - ® ( _ 2 / 3 ) sen(x(1/3^)/(6 -y/cos(x(1/3)) + 1) (e) ( / o g)(x) = (cos2 x — 2)/cos2 x, domínio: todo x real diferente de (2 fc + 1) tt/2, ( / o g)'(x) = - 4 sen x/cos3 x; (g o f)(x) = sen((x2 + l ) / ( x 2 - 1)), domínio: R \ { - 1 , 1 } , (g o / ) ' ( x ) = —4xcos((x2 + l ) (x 2 - l ) ) / ( x 4 - 2x + 1) 2 (a) / (x) = x2, ff(x) = 2 + 3x, fc/(x) = 6(2 + 3x) (b) / (x) = y/E, 5(2;) = 2x - x2, h'(x) = (1 - x)/y/2x - x2

(c) f(x) = x<2/3), <?(x) = 5 - x2, /i'(x) = - 3 x V õ ^ i 2 (d) / (x) = x ^ 1 ' , g(x) = x + 1, /i'(x) = - l / ( x + l)2 (e) / (x) = x^"1/2), 5(x) = x + 10, h'(x) = - ( x + IO)("3/2>/2 3 (a) / ( x ) = cosx, g(x) = tgx, ft/(x) = —sec2 x sen(tgx) (b) / ( x ) = x2 , g(x) = sen(3x), h'(x) = 3sen(6x) (c) f(x) = X3+X+5, g(x) = y/x, h'(x) — 3 y/x/2+1 /(2 y/x) (d) / ( x ) = x 2 - 5 x + 1 0 , g(x) = cosx, h'(x) = -sen(2x)+5senx 4 (a) f'(x) = (6x2 + 10 x) cos(2x3 + 5x 2 - 10) (b ) y' = 2xcos(3x2 - 2x) - (6x3 - 2x2 )sen(3x2 - 2x) (c ) y' = 3 cos(3 x + 1) sec2(sen(3 x + 1)) (d) y' = (e) y' = (3 x2 - 2) cos(x3 - 2 x) sec(x - 1) + sen (x3 - 2 x) sec(x -l ) tg (x - 1) ( f ) y' = 5 c o s ( 5 * ) c o s ( 2 ^ ) + 2 s e n 5 . s e n 2 s ( g ) y l = 2 x c o s ( 3 x ) _ 3 ^2 s e n 3 x ( h ) y , = _ 30 ( 3 x ^ x ^ + 3 x)

(i) y' = - V 7 ( 7 - x ) ( - 3 /4 ) /4 ( j ) y' = - 1 / ( 4 ^ 7 + 7 y / T ^ x ) Seção 13.4 1 domínio de / : R \ { - 1 } , domínio de g: R \ { - 1 , 1 } , g{x) = , g'(x) = ^ ^ 2 (a) u'( 1) = 3/4 (b ) não existe; (c ) w'( 1) = - 9 / 4 3 ( a ) r = 6 y/2, ( b ) V{t) = 3 6 TT (t + 8 ) ^ ) ( c ) V ' ( t ) = 5 4 ir V T + 8 4 (a) 5(1) = 24cos(3) m/s (b ) 5'(\/5F) = - 2 4 ^ m/s (c ) 5 " ( 0 F ) = - 2 4 m/s2

5 (a) f(L) = -*/TJ~p/(2L2) ( b ) f(T) = 1 / ( 4 i ^ T ) (c ) / ' ( p ) = 6 (a) y'(í) = V(í ) = Awcos(u;í), A(í) = -Aw2sen(wt) ( b ) A(t) = -w2y{t) (c) V(t) é máxima quando V'(t) = 0, isto é, quando A(t) = 0 Seção 14.5 1 ( a ) ~x ( b ) I f ( c ) " y l ( d ) 3s 2+2i"+! 2 ( e ) " f f 5 " 0 fa^i ,/ — — _ J_ /'VjN ,./ — _ 3 í Í _ 2j)3+2xj/2 / \ / _ y r, _ y {-y sen y-2 cos y+2 x) / , _ _ 2 _ £ + y ^ ( a ; (/ — yi y — y3 y — x2,y — xi \c) y — x - c o s ( y ) , y — (x-COsy)3 y ~ x+2y>

„ " — 18 / _ 2 i + l // _ 2 x 2 + 2 x + 3 2 * ~ (x+2 y)s y — 3y2 ' y ~ 3 (a) y = —x + 2 (b ) 9y = 13x - 1 (c ) l l y = - 2 x + 3 \/3 (d) y = x - y/2/2 (e) 2y = 3x - 4 ( f ) 14y = - 3 9 x + 3 (g) y = 3x + 4 4 (a) reta tangente horizontal nos pontos: (—1, —1) e (1,1), e vertical nos pontos: ((— j^Y1^, —3 e

(b ) reta tangente horizontal nos pontos: e e vertical nos pontos:

(1,0) e (—1,0) (c) reta tangente horizontal no ponto (^y - , e vertical no ponto - ) Seção 14.6 2 e'(t) = ^ rad/s 3 s'{t) = f m/s 4 A'(t) = |m 2 / s 5 r'(t) = \ m/min 6 x'( í ) = m/s 7 /i'(í) = m/min 8 A'(t) = -47rm2 /s 9 z'(t) = 17,8 m/s 10 9'(t) = | rad/s Seção 15.6 1 (a) valor máximo: /(—1) = 2 (b) valor mínimo: / (0 ) = 0 (c) valor mínimo: / ( 1 ) = 1 (d) valor máximo: / (1) = 2 e valor mínimo: /(—1) = 0 (e) valor máximo: / (0) = 1 (f) valor máximo: / (3) = —1/6 e valor mínimo: / (2) = —1/2 (g) valor mínimo: / ( 1 / 2 ) = 4

2 (a) valor máximo: / (3) = 7 e valor mínimo: /(—2) = —8 (b) valor máximo: / (1) = 3 e valor mínimo: / (3) = —5 (c) valor máximo: g(4) = 9 e valor mínimo: g( 1) = 0 (d) valor máximo: h(5) = 110 e valor mínimo: h(—3) = —18 (e) valor máximo: / (6) = 37/6 e valor mínimo: / (2) = 5/2 ( f ) valor máximo: <7(1) = g(2) = 1 e valor mínimo: <7(3/2) = 0 (g) valor máximo: / (3) = 3/4 e valor mínimo: /(O) = 0 (h) valor máximo: f(y/2/2) = 1/2 e valor mínimo: f (-y/2/2) = - 1 / 2 3 (a) Porque / é contínua e crescente ou decrescente em [a, 6] (b) f'(x) = 2ax + b, logo x = —b/2a é o único ponto crítico de / (c) Porque / ' é uma função polinomial de grau 2 que pode ter nenhuma, uma ou duas raízes. Ex: f{x) = x3 + x, f(x) = xs/3 -x2 + x, f(x) = xs/3 - 2x2 + 3x + 2 Seção 15.7 2 A(25) = 1250 3 Dois retângulos de 24 m por 40 m 4 O cabo terá 5 km sob a água e 2 km sobre a terra 5 35 lugares 6 v — — - -" W 3 9

7 O novo combustível se mostra antieconômico 8 A maior distância é v/26 e a menor distância é 1 9 As dimensões do prédio são: 20 m por 20 m por 10 m 10 r = R/2 e h = H/2, onde R é o raio e H é a altura do cone 11 Retângulo de base b = ^^ e altura h = 2 12 As dimensões da piscina são: 50 m por 50 y/2 m por 50 y/2 m 13 Retângulo de dimensões: base b = m e altura h = m 14 Largura i = y r e altura y = ^ r 15 A = L2

18 x = ^ 19) /i = 10 y/2 m 20 x = 60 cm 21 Dimensões do retângulo: | km por ^ km Seção 16.8 1 (a) [1,3] (b) [ -4,1] e [4,6] (c) [ -2,2] (d) [ - 4 , - 2 ] , [2,3] e [4,6] 2 (a) crescente em ( — 0 0 , 0 0 ) côncavo para cima para x > 0 e côncavo para baixo para x < 0; (0,0) é um ponto de inflexão (b) crescente para x > 3/2 e decrescente para x < 3/2; / (3 /2) = 29/4: mínimo relativo; côncavo para cima para todo x real (c) crescente para x > 0 e decrescente para x < 0; / (0) = 0: mínimo relativo ; côncavo para cima para todo x real (d) decrescente para todo x real exceto para x — — 1 e x = 1; côncavo para cima em (—00, —1) e (0,1) e côncavo para baixo em (—1,0) e (1, +00); (0,0) é um ponto de inflexão (e) crescente para K O e decrescente para x > 0; / (0) = 1: máximo relativo; côncavo para cima em (—00, — e +00); côncavo para baixo em (— pontos de inflexão: |) e §) 3 (a) domínio: R crescente em (—00, —y/5) e (-\/5, +00) e decrescente em (—y/5, y/5); máximo relativo em x = —y/5 e mínimo relativo em x = y/5; côncavo para baixo em (—00, — e (0, e côncavo para cima em (— ^rpjO) e (•^Tpj+oo); pontos de inflexão em x = 0, x = — rp e x = ^^ (b) domínio: M; crescente para i > 0 e decrescente para x < 0; (0, —1): ponto de mínimo relativo; côncavo para cima em ( — e côncavo para baixo para x < ^ e para x > pontos de inflexão: ( — — | ) e ( — — f ) ; y = 1: assíntota horizontal (c) domínio: R\ {2}; crescente para x < 1 e para x > 3 e decrescente em (1,2) e (2,3); / (1) = 0: valor máximo relativo e / (3) = 4: valor mínimo relativo; côncavo para cima para x > 2 e côncavo para baixo para x < 2; assíntota vertical: x = 2 (e) domínio: R \ {—2,2}; decrescente para todo x, exceto em x = — 2 e x = 2; côncavo para baixo em (—00, —2) e (0,2) e côncavo para cima em (—2,0) e (2, +00); (0,0): ponto de inflexão, assíntota vertical: x = 2 e x = —2, assíntota horizontal: y = 0 ( f ) domínio: R \ [—2,2]; crescente em (—2y/2, —2) e (2y/2, +00) e decrescente em (—00, 2y/2) e (2, 2y/2); ponto de mínimo relativo: {—2y[2,4) e (—2y/2,4); côncavo para cima para x < —2 e para x > 2; assíntota vertical: x = —2 e x = 2 (g) domínio: R \ {—2,2}; decrescente para todo x real, exceto para x = —2 e x = 2 (h) domínio: R \ {—1,0,1}; crescente para i > 0 e a : ^ l e decrescente para i < 0 e i / —1; côncavo para cima em (—1,0) e (0,1) e côncavo para baixo para x < — 1 e para x > 1; assíntotas verticais: x = 1 e x = —1; assíntota horizontal: y = 1 (i) domínio: R; crescente para x > —1/8 e decrescente para x < —1/8; (—1/8, —3/8): ponto de mínimo relativo; côncavo para cima para x > 1/4 U (infty, 0) e côncavo para baixo para x € (0,1/4); ponto de inflexão em i = l / 4 e i = 0 (j) domínio: [—8,8]; crescente em [—8,8]; côncavo para cima em (0,8) e côncavo para baixo em (—8,0); ponto de inflexão: (0,0)

400 Respostas

8 (a) a = 6 e 6 = 9 (b) a = - 1 e b = 3 (c) a = 4, 6 = - 1 2 e c = 10 Seção 17.3 1 (a) i. / é contínua em [0,2], diferenciável em (0, 2) e /(O) = / (2) = 0, x = 1, ii. / é contínua em [-3,3], diferenciável em ( -3 ,3 ) e / ( - 3 ) = / (3) = 0, x = 0, x = e x = ^ ü i j é c o n t í n u a e m ^ diferenciável em ( -1 ,1 ) e /(-1) = / ( l ) = 0, x = 0 (b) i. / não é diferenciável em x = 0, ii. / não é diferenciável em x = 2, iii. / (1 ) / (0) 2 (a) i. sim, c = y/2, ii. não, / é descontínua em x = 0, iii. sim, c = iv. sim, c = v. sim, c = arccos(|), vi. não, h é descontínua e m i = vii. sim, c = viii. sim, c = ix. o teorema do valor médio não se aplica, pois / não é diferenciável em x = 0 x. não, / é descontínua e m i = 0 (b) para c = ^ f'(c) = ^^-" ( -r )^ = f (c) / não é diferenciável em x = 0 3 (a) crescente em (—00,0) e decrescente em (0, +00), corresponde ao gráfico (2) (b) crescente em (1, +00) e decrescente em (—00,1), corresponde ao gráfico (6) (c) crescente em (2, +00) e decrescente em (—00, 2), corresponde ao gráfico (1) (d) crescente em (—00, —2) e (2, +00) e decrescente em ( - 2 , 2), corresponde ao gráfico (5) (e) crescente em (—00, —1) e (2,+00) e decrescente em (—1,2), corresponde ao gráfico (4) ( f ) crescente em (—3,2) e decrescente em (—00,—3) e (2, +00), corresponde ao gráfico (3) 5 (a) i. 2x2 + 5, ii. +4 , iii. 4 y/x + 3, iv. 3X + 5 (b) i . - c o s x + cii. § ~ + a x + b, iii. f^ + f^ + + onde a, b e c são constantes quaisquer. Seção 18.3 1 a = 16 2 6(arccos(f )(s)) = (L - a ^ - (£)<Í)) 3 (a) 1 (b) 1 4 r = f

6 3/2 7 (a) (1,1) (b) (c) P(2,4) 11 (a) I (b) | 12 a = 2 13 (a) | km (b) ff h (c) ^ h (d) | km (e) k m / h

Seção 19.5 2 (a) / ' (x) — 3 > 0, logo, / é contínua e crescente para todo x real, e portanto / é invertível. g(x) = f(g(x)) = x e g(f(x)) = x (b) g(x) = (c) a ~ -d, 0 = b, -y = ceS = -a. Se ad = bc, y é uma função constante e portanto não é invertível. 3 ( a ) domínio: R (b) -^JL^, domínio: ( - 1 ,1 ) (c) domínio: R Seção 19.6

3 f'(x) = 2 VX3+3 ^ P a r a 0 < x < +00, logo, / é contínua e crescente neste intervalo, e portanto, / é invertível; ( / ( -1 ) ) ' (2) = |;3y = 4 x - 5 4 (a) R , pois f'(x) > 0 para todo x real, logo / é invertível para todo x; = 1 5 / ' ( x ) = 5

*4 > 0 ) p a r a x > 0 ) l o g o y é j n v e r t í v e l e (/(-1))'(2) = f ; 5 y = I2x - 19

6 (a) / ' ( x ) = .x33;2"1„ 1 > 0, para x > 1, logo / é invertível e ( / ( - 1 ) ) ' (0 ) = | (b ) y = \x + y/Z \ 3 X) "T

7 f(x) = (a2„2f )2+1 > 0, para x > 0, logo / é invertível e f ) = ^ Seção 20.4

1. (a) 1 + i x (b) 1 + 2x (c) -±_ (d) 1 - § (e) 1 + 3x (f) x (g) 1

2 / ( x ) sa / (xo) + f'(xo)(x — Xo), onde / (x ) = senx e x0 = 0 f(x) « x. Para x próximo de zero, a função / ( x ) = senx pode ser aproximada pela reta tangente g(x) = x no ponto (0,0) 3. Seja f(x) = (1 + x)n, então / (0) = 1, / ' ( x ) = n( 1 + x )^" 1 ) e / ' (0) = n f(x) « / ( x 0 ) + / ' (x 0 ) (x - x0), e portanto, / ( x ) ~ 1 + nx 4 (a) / ( x ) = y/x, x0 = 36 e Ax = 0,7, então v/3677 « 6,058333 (b) / ( x ) = x ^ , x0 = 16 e Ax = - 1 , então 1 5 ^ « 1,96875 (c) f(x) = y/x, x0 = 100, Ax = 3, então vTÕ3 ss 10,15 (d) f(x) = cosx, x0 = f e Ax = então cos(43°) « 0,73178 (e) / ( x ) = senx, x0 = § = 0,5235, Ax = 0,0196, então sen(0, 5432) « 0,51697 ( f ) / ( x ) = senx, x0 = f e Ax = então sen(88°) « 1

Seção 20.5 1 V = Ar = 0,1 cm, = 40, 40133TT, dF = 4TT102 A r < 1, A r < 0,000795 2dS=-2 3. P ^ = C, logo d(PV) = d{C), e assim PdV + VdP = 0 Seção 21.2

1- (a) E S 1 (b) E-=3 (c) E ^ i2 (d) E ~ 0 ( -1 ) 1

2 (a) b3 + 2 c3 + ò4 + 2 c4 + b5 + 2c5; (b) m7 + (m + l)7 + (m + 2)7+ ... + n7

3 Efci 9 x 10(_i)

Seção 21.8 4 (a) £ (b) (c) sng (x) £ 5 (a) x (b) x (c) x Seção 22.4 1 (a) f (b) 2 (c) 0 (d) ff (e) 1

2 (a) 0 (b) 0 (c) (d) _ 4 - + 2V2 (e) 0 ( f ) f f (g) f§ (h) sen^2) 4 i + sen(l)

5 ( a ) f ( b ) - ! + 4 M c ) ! # ( d ) 3 6 (a) 6 (b) 20 7 9: corresponde à área de um triângulo de base 3 e a altura 6 .

8 / o T ^ = T 9 (a) 4 (b) f (c) | (d) ^

10 (a) ^ + x2 + 5x (b) ^ - ^ + x - ^ + T - a

11 (a) / ' ( x ) = x2, / " ( * ) = 2x (b) g'{x) = x3 + 1, 5 " (x) = 3x2 (c) h'(x) = h"{x) = ^ ^ (d) g'(x) = - ( 1 + x3)100 , g»(x) = —300x2 (1 + x3)99 (e) / ' ( x ) = - i /"(ar) = £ Seção 22.5 ly/5-V2 2 0 (função ímpar) 3 0 (função ímpar)

a a 2 5 Geometricamente, |0" x2 dx + /Qa y/y dy = a3 representa a área de um retângulo de base íí e altura A'* Jq X^ dx +

/ ; 2 ^ = Í + ¥ = T + ! « 3

6 f(x) é descontínua em x = 0, pois limx_j.0 f(x) = 00, logo, não podemos usar o teorema fundamental do cálculo 7 Seja s(t) o espaço percorrido pelo ponto P, no instante t, logo, a velocidade média é dada por: vm = e o valor médio de v no intervalo [a, b] é dado por: vm = JT^/q v(t) dt = 9 25 + f 10 (a) F(0) = 0, F ' ( l ) = 1/2 (c) F(x) é uma função par (d) F'(x) = > 0, para todo x real, logo, F(x) é contínua e crescente e portanto, F{x) é invertível para todo x real e (F( _ 1 ) ) ' ( l ) = 1/F'(0) = 1 11 (a) A = I*(t> (b) A = f (c) i u.a./s 12 (a) 5(4) = 0, g(-4) = 0, ff(-3) = §, g(0) = 3, </(2) = 3/2 (b) [ -4 ,0] (c) x = 0

' |x2 + 4x + 8, se x < - 3

(d) g(x) = x + X, se —3 < x < —1 3 - |x2, se - 1 < x < 1 \ — x, se 1 < x < 3 |x2 - 4x + 8, se 3 < x < 4

> g:=x->piecewise(x<-3,x"2/2+4*x+8,x<-l,x+7/2, > x<l,3-x~2/2,x<3,7/2-x,x<4,x~2/2-4*x+8);

> plot(g(x),x=-4.,4,y=0..3);

402 Respostas

>1 ,2.8 / 2.6 / 2.4 2.2 2 v1.6 1.4 1.2-1 0.8 0.6 0.4 0.2- \

-4 —2 0 1 2 3 ~4 x

> p l o t (D (g ) ( x ) , x= -4 . . 4 ) ;

0.81

0.6 i

0:4 j 0.2}

—4 í t 1 2 3 4 -0.2 ] X -0.4 ! -0.6 1 1 - 0 . 8 i

14 - 3 e 7

Seção 23.3 (a) - i c o s 4 ( x ) + C (b) 2sen(V5) + C (c) Í e M Í ! + C ( d ) 4(i+V^I> + c (e) + C (f) 2 - v ^ 3 1 ^ v^; 3 1 ^ 3 íâi ..íli (g) 2 sen(x4 + 1) + C (h) >/5 (i) f (j) ^ + C (1) - + ^ ^ + C (m) ^ ^ + C (n)

V l + 4x + 3x2 + C ( o ) + C Seção 23.4 1 + x + C e ^t^—I- C diferem apenas de uma constante 2 (a) se m ± n, então /„" cos(m x) cos(n x) dx = E ^ ^ + E E ^ ^ M =0eJ- s e n (m x) sen (n x) dx = -Sei2 (n+m)^ = 0; se to = n, então J^ cos(mx) cos(nx) dx = ^ JJ 1 + cos(2 n x ) d x = |(7r + 3en^n" ^ ) = f e

sen(m x) sen(n x) dx = 5 f* 1 — cos(2 n x) dx = \ (n — sen<£n ^ ) = f (t>) i- se n — m ê ímpar, então / ; cos(mx) s e n ( n x ) d x = \ % + + " = t S ^ + " ^ ( t ^ + + = n2-m2 ' sen — mé ímpar, n + m também é ímpar e cos((n — m)ir) = cos((n + to) TT) = 0; ii. sen — mé par, então / ; COS(TO X ) cos(n x) dx = I £ sen ( (n+m) x) sen((n-m) x) dx = + + ^ Y + = 0, pois se n — m é par, n + m. também é par e cos((n — m) 7r) = cos((n + m) 7r) = 1 3 | x ( f ) - 9 4 (a) 5 (faça a seguinte mudança de variável: u = 2x) (b) 8 (faça a seguinte mudança de variável: u — x2 j (c) Ja f(x) dx = J_^ —f(u) du = /_fea f{u) du (faça a mudança de variável u = —x) logo, f^ f(x) dx = f £ f(x) dx (d) 5 6 - - + -" 2 4 Seção 24.10 1 (a) 8/3 (b) 18 (c) 2 y/2 (d) 20 (e) TT/3 (f) 128/15 (g) 6 (h) 2 a2 y/3 - ln(2 + y/3) (i) 15 (j) 72 2 a = 22(5) 3 c = 9/4 4 (a) 3 (b) 11/3 (c) 22 (d) 1/4 (e) 32/3 5 (a) 64/3 (b) 32/3 (c) 32/3 - T/ TT a2(H3-h3) 7 V = Hj u.v. 8 V = u. v. 9 F = f u.v. 10 (a) 512/15 7T (b) 832TT/15 (C) 128 TT/3 11 (a) 647T/3 (b) 8TT (C) 4nab2/3 (d) 2TT/35 12 32tt/9 13 104 tt/3 14 16tt

16 o = 2/3 e b = 4/3 18 (a) j f y/l + áy2dy (b) f j Vl + 4x2 dx (c) f j V l + 9x 4dx (d) + (4 - 2x)2 dx 19 ( a ) ( b ) 27r ( i^ZSI _ L g õ ) 20 4?rr2

21 (a) 6 (b) 12 7r/5 Seção 24.11 l ( a ) [ f , 7 r ] ( b ) S ( í ) = i = ^ ( c ) 2 / 7 r 2 (a) v(í) = t2 — 10 í + 121n(í) + 18 (b) í = 2. A função v(t) é contínua no intervalo fechado [1,3] e, pelo teorema do valor extremo, v(t) assume um valor máximo neste intervalo. Este máximo ocorre em x = 2, que é um ponto crítico de v(t) no intervalo [1,3], e o maior valor dentre os valores v(l), v(2) e v(3) é v(2) — 2 + 12 ln(2) (c) s(t) = Ç - 512 + 12íln(í) - 12í + | 3 (a) v(t) = I + | - & (b) s(2) = ls+ ln(2) 4 (a) A = 2f17 y/9 ~ (x - 4)2 dx (b) A = 9TT u.a. 5 A — JQ 2 — ^ dx = 3: área de um triângulo retângulo de base 3 e altura 2 7A(ò) = l - | , l i m 6 ^ c o 1 - | = 1 b ' ÍLLÍLb-+ oc J-

8 A(6) = lirn^oo A(b) = se p > 1; se 0 < p < 1, A(è) = l im^« , A(b) = oo 9 (a) 7r/5 (b) área da região limitada pela curva y = f(x) = 7rx4, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 (c) volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = f(x) = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 Seção 25.9 l ( a ) ^ i ( C ) l + ln(x) (d) (e) 2cotg(x) ln(sen(x)) ( f ) 4e(4*+5) (g) (2 x2 + 1) e ^ 1 ) (h) cos x (i) -sen(x) e c o s ^ (j) (k) - 2 e ( - x W ( e ( - x ) ) cos(e(~x)) (1) -cos(x) sen(esen(x)) e s e n ^ (m) 1 - e^^ (n) 2 x ^ ( 2 ) 2 ^ ) (o) ln(7r) cos(x) tt8611^) (p) 0 (q) ln(10) ( 3 x + 2 ) (r) xx (1 + ln(x)) (s) se^x)™8^) (-sen(x)ln(sen(x)) + cos(x) cot(x)) O fn^ 2 x ey+ex e*-y e(* v) / \ e"-y / j \ y e"+ev-y / \ y (y e* - l n ( y)) * V<V x2e«-l Vu; xe{*y)-ey ey+x eHie»-! VW x-y e°>

3 ( a ) e ^ / 2 , + C (b) -eC0S^+C (c) 2 + e^7) + C (d) j2 + C (e) ln(l + ex) + C ( f ) ln(ln(x)) + C (g) 2(2 + 3 v ^ - 2 1 n ( 2 + 3 ^ ) ) / 3 + C (h) 1/2 ln2x + C (i) 1/2 ln2 ( 5 ) (j) -|ln2 (2) (k) \\n{2 + 3x2) + C (1) |ln3x + C (m) ln(x2 + x) + C (n) |ln(l + sen(3 x)) + C 6 ( 4 - ^ + 4 ) 7 r Seção 25.10 2 ( l , l ) e ( 2 , 4 + 41n(2)) 3 ( a ) l ( b ) - ^ - e ( " 2 ) + |

W - ' ( V £ S " 6 ) ( c ) - ^ e e F r (d) 4 (4x — 1) (3x + 5)3

( 1 2 0 X 2 + 1 1 3 X + 1 6 ) ( 2 X + 1 ) ( — S ) / 3 ( E ) - ( 2 * ~ 3 ) ( 4 2 * 2 - 1 3 L 3 - 1 4 8 ) V / / \ / 2 (7X+2) 4 (x+l)(2> Seção 26.1.2 1 (a) \x-s-^^ + C (b) 1 / 3 C O S 3 X - C O S X + C ( C ) < * » ( ' " ) + ; " " " ' ( ' ) + C (d) ex (x2 - 2 x + 2) + C (e) + s e n ^ £ ) + c o s (2 , ) s en (2x ) + ( J ( f ) (3 COB(2,)+2 sen(2 , ) ) + ^ ( g ) ^H^-l) + g - X2) COs(x) + 2 X Sen(x) + C

(i) 2 x ( t ' ( l n ( x ) - | ) / 3 + C (j) _ 2Í1±x^_ + c (k) x tg (x )+ ln ( cos (x ) )+C 2 (b) xln3(x) — 3xln2(x) + 6xln(x) —6x + C (c) i. — xn cos(x) + n f x(ra_1) cos(x) dx; ii. xn ex — n f x'™"1' ex dx; iii. ^ l n n x _ ^ _ f x n l n ( n - l ) x d x

3 |(xsen(ln(x)) - cos(ln(x))) + C Seção 26.5 1 (a) |sen(5x) - ^sen3(5x) + C (b) -*<4-f)<f) + ^ ^ + 2arcsen(|) + C (c) 4 a , 2 ( J + a 2 ) 2 + 8 a 4 ( 3J+ a 2 ) + ãfã arctg(f) + C (d) + C (e) Vx2 - a2 - aarcsec(f) + C, se a < x e - V x 2 - a2 + aarcsec(f) + C, se x < —a ( f ) > s 3 x - c o s x + C ( g ) ^ + + S H Í ^ Í I Í M + c (h) ^ ( 3 c o s ( 2 x ) + 2 s e n ( 2 x ) ) + C (i) —ln(x - 2) + ln(x - 3) + C (j) + 11 + C (k) ^ T - 3 1 n ( x - l ) + 3 1 n ( x - 2 ) + C (1) x + 2 1 n ( x - l ) - l n ( x + l ) + C ( m ) 4 " 5 x + ^ ln(x + 6) + \ ln(x - 1) + C (n) ^ + ^ + 4x + 2 ln(x) + 5 ln(x - 2) - 3 ln(x + 2) + C (o)

404 Respostas

^ + in(^-i) + c ^ a r c t g ^ x + i) + c ( q ) - | l n ( x - 1) - ^ln(a;2 + 2x + 2) - |arctg(x + 1) + C (r) \ ln(a: - 1) -\ ln(x2 + 1) + | arctg(x) + C Seção 27.4 1 d ? ( b ) " V " (c) 0 (d) 1 (e) ln(2) - ln(3) (f) 2 (g) 0 (h) O (i) 0; (j) 1 (k) e (1) 1 (m) (n) 1 (o) e 2 1 3 0 - 1 / 3 6 3/2

V4 7T kt Seção 28.6 1 (a) 1 (b) - 1 (c) (d) + oo (e) 2 (f) ^ (g) 2 (h) 1 (i) f ; (j) ( k) + oo. As integrais (d) e (k) divergem e as outras convergem 2 (a) Jj00 1 dx = + oo, logo a área sob a curva y = 1 < x, é infinita (b) V = n J d x = w, logo, o volume do sólido de revolução é finito. 4 V = /0°° dx = 47r u. v. 5. (a) divergente (b) convergente (c) convergente (d) divergente (e) convergente 6 7T 7 (a) p < 1 (b) - 1 < p 8 (a) i , 0 < s; ^ y , 1 < s; 0 < s (b) A existência de F(s) = /0°° f(t) dt depende da convergência de f ™ M e « * - W d t f M e l M ^ í = ü m ^ J ^ M e ^ ^ U t = l im^« , M ~1} = se a < s. Logo, a Transformada de Laplace existe para s > a (c) se F(s) = /0°° f(t) dt mostrar que G(s) = sF(s) - /(O). fD(f(t)) dt = / ( í ) e ( _ s t ) + sf f(t) dt (usando integração por partes) logo, J0°° D(f(t)) dt = lim^ f(b) _ /(0) + s fQ°° f(t) e<""> dt = -/(O) + sF(s)

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405

índice Remissivo

aceleração, 156 anel de revolução, 324 antiderivada, 296 área, 31, 277, 318 assíntota

horizontal, 73 inclinada, 102, 104 vertical, 73

circunferência, 22 coeficiente

angular, 20 linear, 21

comprimento de arco, 36, 326 concavidade, 209 constante de integração, 301 continuidade, 109

de função composta, 114 coordenada de um ponto na reta, 3 coordenadas

cartesianas, 15 no plano, 15 retangulares, 15 sistema de, 3

crescimento populacional, 156

declividade, 20, 56 densidade, 156 derivação implícita, 182 derivada, 123

de função inversa, 244 do logaritmo, 342, 343 lateral

à direita, 129 à esquerda, 129

derivadas de ordem superior, 133 descontinuidade

essencial de salto, 112 infinita, 112 removível, 111

desigualdade triangular, 7 diferenciais, 254

distância entre dois pontos, 8, 16

erro absoluto, 254

relativo, 254 exponencial, 344

derivada e integral, 346 em base qualquer, 344 propriedades da, 344

expressão algébrica, 8 extremos locais, 192, 207, 211

formas indeterminadas, 375 função

arco cossecante, 250 arco cosseno, 246 arco cotangente, 250 arco secante, 248 arco seno, 246 arco tangente, 247 biunívoca, 243 contínua, 110 definição de, 44 derivável, 123 diferenciável, 123, 254 domínio da, 44 exponencial, 344 hiperbólica, 355 imagem da, 44 inversa, 243 logarítmica, 342 racional, 98, 111, 365 trigonométrica, 166

gráfico de desigualdade, 24 de equação, 17 de função, 45 de função inversa, 243

indução matemática, 291 inequação, 9 integração

de funções trigonométricas especiais, 362-363 numérica, 372 numérica

regra de Simpson, 373 regra do trapézio, 372

por frações parciais, 365, 368 por partes, 358, 360

406


por substituição, 310, 312, 315 por substituição trigonométrica, 364

integral de Lebesgue, 304 de Riemann, 305 definida, 279 do logaritmo, 343 imprópria

em intervalos finitos, 384 em intervalos infinitos, 382-384

indefinida, 301 interpolação de Lagrange, 105 intervalo, 5

aberto, 5 fechado, 5

limite, 68, 75 inferior de integração, 279 lateral

à direita, 77 à esquerda, 77

propriedades operatórias, 78-82 superior de integração, 279

limites infinitos, 71, 77 no infinito, 72, 78

logaritmo, 342 em base qualquer, 345 mudança de base, 346 propriedades do, 343

máximos e mínimos, 35 método

de Euler, 257 de Newton, 218

módulo, 6 método

da bisseção, 120 do carbono 14, 351'

número e, 345 número 7r, 95

partição, 274 polinómio, 97 polinómio de Taylor, 260 ponto

crítico, 193 de acumulação, 391 de inflexão, 210 de mínimo

local(relativo), 192 de mínimo

absoluto, 190 de máximo

absoluto, 190 local(relativo), 192

primitiva, 296 propriedades

da exponencial, 344 da integral definida, 284 da integral definida, 281 do logaritmo, 343

refletor parabólico, 66 regra

da cadeia, 177 de L'Hôpital

primeira, 376 segunda, 377

de Simpson, 373 do trapézio, 372

relação de ordem, 4 reta

real, 3 tangente, 33 tangente vertical, 131

sólido de revolução, 322 seqüência de Fibonacci, 94 soma de Riemann, 279, 289, 290 somatório, 271 superfície de revolução, 329

taxa de variação, 154 taxas relacionadas, 184 teorema

da função inversa, 245 de Bolzano, 116, 389 de Rolle, 222 do sanduíche, 83 do valor intermediário, 117 do valor médio

generalizado, 226 para derivada, 224 para integral, 286

dos valores extremos, 190, 391 fundamental do cálculo, 295, 296

teste da derivada segunda, 211

valor mínimo

absoluto, 190 máximo

absoluto, 190 valor absoluto, 6 valor médio

de uma função, 285 teorema do, 286

valores extremos, 190 velocidade

instantânea, 32, 151 média, 32, 150

408 índice Remissivo

volume de um anel, 324 método das cascas, 339 método do disco, 322 seções retas, 338

aprendendo cálculo com maple. cálculo de uma variável - santos, a. r bianchini

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