approcci alla geometria

Approcci alla Geometria

30 Novembre 2010Liceo Scientifico

“Cassini”Genova

Autori :

Alessandro RivellaMatematica IISC “Vittorio Emanuele-Ruffini” [email protected]

Monica TesteraMatematica e Scienze, IC Carcare (SV)[email protected]

Esperienze condivise:

Seminari Invalsi Progetto Lauree ScientifichePiano Nazionale [email protected] LIMEmer.Mat 09/10

Perché ……..

……un’area di criticità della nostra scuola è certamente la conoscenza relativa agli ambiti di Numeri e Spazio e figure (geometria) da parte degli studenti più deboli e in qualche misura anche di quelli con livelli di abilità intermedia. ……..

Da Invalsi:Sintesi_Rapporto_Prova_nazionale_2009_2010

Da Invalsi:Sintesi_Rapporto_Prova_nazionale_2009_2010

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1. Le INDICAZIONI NAZIONALI2. Approcci divergenti3. Spunti didattici guidati dalle

INDICAZIONI NAZIONALI4. Qualche quesito geometrico da

INVALSI e PISA5. Discussione

Traguardi per lo sviluppo delle competenze (Primaria)

Percepisce e rappresenta forme,relazioni e strutture che si trovano in natura o sono state create dall’uomo, utilizzando in particolare strumenti per il disegno geometrico e i più comuni strumenti di misura

Traguardi per lo sviluppo delle competenze (Primaria)

Riconosce che gli oggetti possono apparire diversi a seconda dei punti di vista

Descrive e classifica figure in base a caratteristiche geometriche e utilizza modelli concreti di vario tipo anche costruiti o progettati con i suoi compagni

Traguardi per lo sviluppo delle competenze (Secondaria 1° grado)

Percepisce, descrive e rappresenta forme relativamente complesse, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo

Ha consolidato le conoscenze teoriche acquisite e sa argomentare, grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni

Quadro di Riferimento di Matematica per la costruzione delle prove di valutazione Invalsi ( primo ciclo )


1. Le INDICAZIONI NAZIONALI

2. Approcci divergenti3. Spunti didattici guidati dalle

INDICAZIONI NAZIONALI4. Qualche quesito geometrico da

INVALSI e PISA5. Discussione

Approccio Metodologico proposto nella presentazione

Le definizioni, ma anche le idee e i concetti geometrici, vengono dopo l’uso

Insegnamento di una geometria per problemi, nella quale le definizioni non siano punti di partenza ma un conquista, una sintesi finale di un percorso didattico


Equilibrio tra le fasi operative e le graduali sistemazioni teoriche, in modo da favorire nei ragazzi il passaggio da evidenze visive ad argomentazioni sempre più rigorose

Abituare gli alunni ad una visione dinamica e non statica degli oggetti geometrici


oggetti → manipolazione → costruzione → rappresentazione → comunicazione

tagli, piegature, assemblaggi e sovrapposizioni


Sottolineare i rapporti tra geometria e ambiente, interpretando la prima come momento di comprensione - rappresentazione del secondo.

Nell’ambiente gli elementi si muovono e si relazionano tra loro. Non si tratta quindi solo di osservare l’ambiente e i suoi elementi, ma anche le loro relazioni ed i loro movimenti


Ogni volta che è possibile, richiedere agli alunni di:- descrivere per iscritto l’attività svolta, spiegando le motivazioni delle scelte fatte e delle strategie utilizzate, le difficoltà incontrate- ripercorrere il tragitto seguito- indicare quelle che Polya ha definito “le acquisizioni metodologiche”.

Approcci divergenti(libro di testo A - secondaria di 1° grado)

Approcci divergenti (libro di testo A)

Approcci divergenti (libro di testo B)


1. Le INDICAZIONI NAZIONALI2. Approcci divergenti

3. Spunti didattici guidati dalle INDICAZIONI NAZIONALI

4. Qualche quesito geometrico da INVALSI e PISA

5. Discussione

Spunti didattici guidati dalle INDICAZIONI NAZIONALI su:

Orientamento, percorsi, riferimenti Geometria in laboratorio Descrivere e riprodurre figure Modelli geometrici Trasformazioni Argomentare e dimostrare Alcuni anni dopo…

verso la scuola secondaria di 2^ grado

Orientamento, percorsi, riferimentiIndicazioni Spunti didattici

III primaria: Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare le istruzioni a qualcuno perché compia un percorso desiderato

V primaria: Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti

III sec di I grado: In particolare, rappresentare punti, segmenti e figure sul piano cartesiano.

Percorso IC Carcare -

La casetta (1^-2^ primaria)

Caccia al tesoro –battaglia navale –lettura di cartine

Il figlio del Re e il messaggero (1^-2^ sec di I ) (Relazioni e funzioni)

Percorso IC Carcare

Ultimo anno scuola dell’infanzia

La casetta

Già dalla prima classe giocare con una casetta di cartone a dimensione di bambino (spazio interno e esterno)

Fotografarla da diverse angolature e farle poi riconoscere dai bambini

Costruire la mappa di un villaggio di casette su carta quadrettata

Realizzare percorsi nel villaggio ( caccia al tesoro-qual è il percorso più lungo? Chi arriva prima? C’è un solo modo per arrivare a..? Puoi arrivare a .. passando da… ?)

La casetta ( Da UMI 2001)

La casetta

La piantina

Battaglia navale

Altri esempi

Grafico Cartesiano

Il Figlio del Re ( rivisitato da UMI 2001 )

La proposta è costituita da una situazione problema, che si colloca in un contesto narrativo (racconto liberamente tratto da “I sette messaggeri” di Dino Buzzati), dove il rapporto spazio/tempo gioca un ruolo primario.

Il figlio del Re

Ciascuno dei due personaggi copre ogni giorno la stessa distanza, ma diversa da quella percorsa dall’altro.

Il figlio del re procede in avanti e si trova ogni giorno più lontano dal castello.

Il messaggero torna più volte al castello.

Fra un incontro e l’altro dei due personaggi intercorre un certo tempo.

Il figlio del Re

Dopo quanti giorni dall’inizio del viaggio sono avvenuti il secondo ed il terzo incontro? In quale giorno avverrà il quarto incontro? e il quinto? e il sesto? ...

Simulazione di quello che accade nei giorni successivi aiutandosi con disegni……

… e schemi …

Distanza dal castello alla sera del

Giorni trascorsi dalla partenzadal castello

Figlio del re Messaggero

1 50 50

2 100 50

3 150 150 Incontro

4 200 50

5 250 50

6 300 150

7 350 250

8 400 350

9 450 450 Incontro

10 500 350

11 550 250

12 600 150

13 650 50

14 700 50

15 750 150

16 800 250

17 850 350

18 900 450

19 950 550

20 1000 650

21 1050 750

22 1100 850

23 1150 950

24 1200 1050

25 1250 1150

26 1300 1250

27 1350 1350 Incontro

28 1400 1250

29 1450 1150

30 1500 1050

Il figlio del Re

L’insegnante invita gli alunni a rappresentare la storia con un grafico cartesiano, registrando i tempi sull’asse delle ascisse e le distanze dal castello sull’asse delle ordinate.

Il figlio del Re … con Excel

Dal registro grafico a quello verbale

Infine, il docente propone agli alunni il seguente problema:

quale storia racconta il grafico assegnato?

Gli alunni devono individuare gli elementi caratteristici della storia, possono costruire la tabella e descrivere verbalmente quello che accade.

Dal registro grafico a quello verbale

Esempio di verifica

Esempio di verifica

Luca e Andrea, due fratelli, vanno a scuola insieme. Una mattina uno dei due dimentica la merenda a casa e corre indietro a prenderla e poi raggiunge, sempre di corsa, il fratello davanti alla scuola.

a) Quale dei due fratelli ha dimenticato la merenda? Quanto tempo impiega per tornare a casa dal momento in cui se ne accorge?

b) A che velocità va rispetto a quella del fratello per raggiungerlo?

c) L’altro fratello si ferma o rallenta per aspettarlo, o prosegue con il suo solito passo?

d) A che distanza sta la scuola dalla casa dei due ragazzi?

Orientamento, percorsi, riferimenti

Invalsi classe II Primaria a.s. 09/10

Orientamento, percorsi, riferimenti

Invalsi I secondaria di I grado 09/10

Geometria in laboratorio con Geogebra (software open source). Alcuni esempi:

Operare in un riferimento cartesiano (es: Figlio del Re e il Messaggero)

Operare nel piano Euclideo(es: punti medi quadrilatero)

Lavorare con aree e perimetri Costruire un geopiano virtuale

(Th.Pick: argomentare e dimostrare) Trasformare figure

(es: simmetrie e traslazioni)

Il figlio del Re … con Geogebra

Descrivere e riprodurre figureIndicazioni Spunti didattici

III primaria: Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche.

V primaria: Descrivere e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.

Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni…

III sec di I grado: Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri.

Riprodurre figure e disegni geometrici in base a una descrizione e codificazione fatta da altri.

Il coordinamento dei punti di vista(1^-2^ primaria)

Dettatura di forme geometriche(2^primaria)

Giochiamo con la geometria (4^-5^ primaria, 1^ secondaria 1^ grado)

Il coordinamento dei punti di vista (da UMI2001: 1^ e 2^ Primaria)

Scopo: rappresentazione dell’immagine globale di un oggetto o di un insieme di oggetti attraverso l’organizzazione di immagini (visuali) ottenute da punti di vista diversi.V. Casetta da: Orientamento, percorsi, riferimenti

I nodi cruciali del percorso:Costruire la visuale a partire dalla posizione dell’osservatoreCostruire la posizione dell’osservatore a partire dalla visualeComprendere che se cambia la posizione dell’osservatore cambia la visualeComprendere che se cambia la visuale è cambiata la posizione dell’osservatoreEsprimere correttamente relazioni spaziali tra oggetti nel microspazioFinalizzare la verbalizzazione alla costruzione efficace della visualeRiflettere sulle strategie usate per costruire la visuale

Il coordinamento dei punti di vista (da UMI2001: 1^ e 2^ Primaria) 1 - Costruzione di un paesaggio da parte di due bambini:

un bambino/a costruisce il paesaggio. un compagno/a senza vedere deve costruire lo stesso paesaggio

secondo le indicazioni del primo.…4 - Confronto in discussione orale tra tutti i disegni per mettere in evidenza le differenze tra il paesaggio costruito e i disegni: allineamento degli oggetti del paesaggio, presenza di elementi affettivi, diversità dei punti di vista …

6 - Copia dal vero di oggetti tridimensionali che si trovano in aula, presentati uno per volta a tutta la classe (i bambini sono posizionati intorno all’oggetto).7 - Confronto e discussione dei disegni realizzati, evidenziando le differenze dovute al diverso punto di vista.La discussione “ cosa vuol dire punto di vista”, che dovrebbe emergere dall’attività precedente ha lo scopo di avviare la costruzione scientifica del concetto di punto di vista (il punto di vista è la posizione, fissa, da cui un occhio guarda parte del mondo visibile, senza cambiare direzione dello sguardo).

…

10 – Partendo da disegni dati individuare la posizione di chi li osserva…

13 – Copia dal vero del banco14 – Confronto e discussione sulla rappresentazione del banco

Il Coordinamento dei punti di vista: Elementi di verifica

Dettatura di forme geometriche in 2^ elementare(Brunetto Piocchi, rivista Centro Morin vol.33 7/10)

MATERIALI: blocchi logici di legno FASE1: Ogni gruppo sceglie 10 pezzi per elaborare una

costruzione, nota solo al gruppo. Il gruppo disegna la costruzione e poi la “detta” agli altri alunni che provano a riprodurla sul quaderno.Risultati. Nessuno rappresenta correttamente la figura a causa di termini quali: triangolo diritto, rettangolo lungo e largo, triangolo appiccicato, triangolo con la punta in giù, …

FASE2 (italiano): le figure prodotte diventano personaggi di un testo narrativo fantastico “Storia geometrica”FASE2 (matematica): perché disegni tanto diversi?

FASE3: gioco semplificato (5 figure e regole condivise)

Giochiamo con la geometria (da IC Castelnuovo, Emer.Mat. 09/10)

... proporre agli alunni delle classi IV e V della scuola primaria I della secondaria di 1^ grado un lavoro a coppie sulla costruzione di figure piane.

.. due ruoli:a) un alunno dà istruzioni su come disegnare una figura a lui nota,b) un altro la disegna seguendo le istruzioni impartite dal compagno, ma non sapendo di quale figura si tratti.

A chi riceve istruzioni viene dato un foglio a quadretti. …Ogni istruzione deve essere registrata su un’apposita scheda che sarà consegnata ad entrambi i componenti della coppia.

Descrivere e riprodurre figure (v.PISA 2003 TRIANGOLI)

INVALSI 1^ Secondaria 1^ grado 2010

Descrivere e riprodurre figure INVALSI 5^ Primaria 2010

Descrivere e riprodurre figure INVALSI 5 ^ Primaria 2009

Modelli geometriciIndicazioni Spunti didattici

III primaria: costruire modelli materiali anche nello spazio, utilizzando strumenti appropriati

V primaria: Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione

III sec di I grado: Conoscere definizioni e proprietà significative delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio)

Il villaggio delle fiabe

(1^-2^ primaria)

Dal parallelogramma al ……

( 4^-5^primaria)

Costruire poligoni

( 1^ secondaria di I )

Progettazione e costruzione di un cubo in cartoncino (da “ Il villaggio delle fiabe”UMI 2001)

Costruire un cubo simile al modello (realizzato in polistirolo o legno e avente lo spigolo di 10 cm)

Quando i bambini individuano le facce del cubo come quadrati, il cubo modello viene ricoperto con quadrati di cartoncino di colore diverso secondo la loro posizione (sopra/sotto giallo,destra/sinistra blu, davanti/dietro rosso).

Disegno del quadrato su carta quadrettata e su carta bianca.

Disegnare il quadrato su carta quadrettata non comporta problemi: basta contare quadretti.

Quando invece i bambini dovranno disegnare il quadrato su carta bianca sorgerà la necessità di costruirsi un modello di angolo retto altrimenti il disegno ottenuto non sarà quello di un "vero" quadrato. Si può farne costruire uno con la piegatura della carta o ritagliare uno degli angoli dei quadrati di cartoncino che ricoprono le facce del cubo.

Dal parallelogramma al …..

Modelli

Parallelogrammi dalle diagonali

Costruire poligoni ( da [email protected] )

L’insegnante chiede agli alunni: “Dati tre segmenti è sempre possibile costruire un triangolo avente i segmenti dati come lati ?”

Modelli

Tabella costruibilità triangoli

Lunghezza dei latiin cm

Lunghezza del lato

maggiore in cm

Somma delle lunghezzedegli altri due lati in

cmSi forma il triangolo?

7 - 7 - 7 7 14 SI

10 - 10 - 10 10 20 SI

18 - 18 - 18 18 36 SI

7 - 7 - 10 10 14 SI

7 - 7 - 18 18 14 NO

10 - 10 - 7 10 17 SI

10 - 10 - 18 18 20 SI

18 - 18 - 7 18 25 SI

18 - 18 - 10 18 28 SI

7 - 10 - 18 18 17 NO

Con riga e compasso

Disegna, utilizzando riga e compasso, il triangolo di lati 8 cm, 6 cm e 4 cm.

Disegna il segmento AB= 8 cm

Punta il compasso in A con apertura 6 cm e traccia il cerchio relativo

Punta in B con apertura 4 cm e disegna ancora il cerchio relativo.

I due cerchi si incontrano nel punto C; hai ottenuto il triangolo ABC cercato.

Ne hai trovato solo uno ?

Proprietà

La circonferenza

Misurare la lunghezza del contorno di oggetti rotondi

Poi misurare il diametro e calcolare il rapporto tra le misure delle lunghezze della circonferenza e del diametro . Raccogliendo i dati …..

Modelli geometrici Da Invalsi classe V primaria a.s. 09/10

Trasformazioni geometricheIndicazioni Spunti didattici

III primaria: …costruire modelli ….

V primaria: Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse.

Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad esempio la carta a quadretti)

III sec di I grado: Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre in scala una figura assegnata.

Ombre

( 1^- 2^ primaria)

Simmetrie

(5^ primaria – I sec di I )

La foto ( 2^ sec di I )

Ombre ( IC Carcare)

Ricerca di ombre presenti nell’ambiente . Collegamento tra ombra e corpo opaco che la produce / Produzione di ombre:

si “gioca” a riconoscere compagni e oggetti ( rapporto tra posizione oggetto e luce)

Piegatura del foglio (da UMI 2001)

Approccio operativo alle proprietà della simmetria assiale

Viene fornito ad ogni ragazzo un foglio bianco sul quale devono disegnare a piacere alcuni punti e una retta. Gli allievi piegano il foglio lungo la retta scelta e procedono a forare il foglio piegato con spilli in corrispondenza dei punti disegnati precedentemente. Attraverso l’osservazione delle coppie di fori, guidata con opportune domande, sul foglio è possibile fare le prime scoperte sulle proprietà di questa corrispondenza fino alla caratterizzazione di due punti simmetrici rispetto ad una retta.

Emergono le prime osservazioni sulla simmetria assiale:“Ad ogni punto di un semipiano corrisponde un punto nell’altro semipiano”“Punti distinti vanno in punti distinti”“Stabilito un punto di arrivo, è possibile risalire al punto di partenza”“Un punto della retta-piegatura corrisponde a se stesso”

Punti simmetrici

Per arrivare alla caratterizzazione di due punti simmetrici rispetto ad una retta si propone la seguente consegna:“Riprendi il foglio di carta bianca e fissa l’attenzione su una coppia di punti corrispondenti. Con un’altra piegatura del foglio individua la retta che passa per essi”.

Gli alunni vengono guidati a scoprire le condizioni di simmetria di due punti P, P’ risp. alla retta-piegatura r:a) P e P’ sono alla stessa distanza da r;b) La retta PP’ è perpendicolare alla retta r.In questa fase si incontra la perpendicolarità fra rette; con la piegatura della carta è immediato riconoscere rette perpendicolari come rette che dividono il piano in quattro parti sovrapponibili.

Figure simmetriche

Si può ora passare alla determinazione della figura simmetrica di una figura data rispetto a una retta con le seguenti attività: foratura con spilli, uso di uno specchio, ricalco della figura su un foglio trasparente e ribaltamento dello stesso foglio attorno all’asse, disegno, ecc…

La foto ( [email protected])

La foto

Situazione-problema

Luca guardando una sua vecchiafoto di quando aveva 5 anni dice a Piero: “ Guarda come ero piccolo! Quanto sono

cresciuto in questi anni!” Piero: “Sarebbe carino sapere quanto sei cresciuto.” Luca:” Ma come si fa, non so quanto ero alto quando avevo cinque anni. E nemmeno la mamma se lo ricorda”.

La foto

L’insegnante, utilizzando ad esempio una domanda-stimolo del tipo: Di quali dati hanno bisogno Piero e Luca per risolvere il problema?induce sia la riflessione individuale che la discussione di gruppo.

Gli alunni faranno anche questa volta diverse proposte:

usiamo la statura della mamma di Luca come confronto;

utilizziamo l’altezza di un oggetto presente……

La foto

Si raccolgono nuovamente le proposte alla lavagna e, discutendo, si potrebbe giungere a scegliere di utilizzare l’altezza di un oggetto contenuto nella foto che deve però essere disponibile per la misura ancora oggi.

Dalla discussione emerge il fatto che l’oggetto nella foto deve avere le seguenti caratteristiche:

essere in posizione verticale; essere allineato di fianco a Luca.

Trasformazioni geometriche (v.Geogebra, esempio “F”)

Da Invalsi classe V primaria a.s. 09/10

Argomentare e dimostrareIndicazioni Spunti didattici

III primaria:

V primaria: Impara a costruire ragionamenti (se pure non formalizzati) e a sostenere le proprie tesi, grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni.

III sec di I grado: Ha consolidato le conoscenze teoriche acquisite e sa argomentare (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione), …

Quanti punti in un segmento? ( PLS UniGe)

Verifica del teorema di Pitagora

Rettangoli isoperimetrici ( PLS UniGe)

Argomentare e dimostrare

Tutte attività proposte con

la stessa metodologia didattica del confronto

e lo stesso obiettivo avvio alla

dimostrazione L’analisi più fine delle risposte dei ragazzi ha messo in luce

come le maggiori debolezze dei nostri ragazzi si hanno quando viene loro richiesto di argomentare, spiegare, motivare le proprie affermazioni……(Bolondi www.ilsusssidiaro.net)

Argomentare e dimostrare Da Invalsi Esame I ciclo a.s. 09/10

Alcuni anni dopo…verso la Secondaria di 2^ grado

Da INVALSI a PISA-15 anni … … verso INVALSI 2^ anno e 5^anno secondaria 2^ grado (5/2011)

Il volume della scatola:- Scuola Primaria- Secondaria 1^grado- Biennio Secondaria 2^grado- Triennio Secondaria 2^grado

Da PISA (15 anni) – V. INVALSI 1^ sec.1^grado 2010

TRIANGOLI

Da PISA (15 anni)

DADI

PISA (DADI) e INVALSI (5^ Primaria 2010)

PISA (DADI) eINVALSI (3^ Secondaria 1^ grado 2009)

PISA (DADI) eINVALSI (3^ Secondaria 1^ grado 2008)

Volume della scatola (Primaria) Ritagliare fogli con

altezza diversa (fig.2) e costruire scatole con capacità diversa (fig.3)

Misurare la capacità/volume della scatola in funzione della lunghezza del taglio

Volume della scatola (Secondaria di 1^ grado)

D3 INVALSI 3^ sec.1^ grado 2009.In un foglio di cartoncino si ritaglia un quadratino di cm.1 (…) per poter costruire una scatola ripiegando le strisce laterali. Qual è il volume della scatola ottenuta ripiegando le strisce laterali?

Volume della scatola(Biennio Secondaria di 2^ grado)

Classe 1^Da un foglio rettangolare (dimensioni 10x8) si tagliano agli angoli quattro quadratini di lato x. Scrivi in forma normale il polinomio che esprime il volume della scatola ottenuta ripiegando le strisce laterali.

Classe 2^ (da libro di testo):Determina il lato dei quattro quadratini da eliminare da un quadrato grande di lato 122cm affinché la figura risultante sia equivalente a un quadrato di lato 82cm.

Volume della scatola (Triennio Secondaria di 2^ grado)

Determina la dimensione del taglio (x) che rende massimo il volume della scatola. Due strategie:

Analitica v(x)=x*(10-2x)*(8-2x) ->

v(x)=4x3-36x2+80x

Numerica/graficaFoglio di Calcolo

Materiale didattico

Software didattici e siti utilizzati:http://www.ivanasacchi.it http://www.iprase.tn.it http://www. chiesi.net http://www.istitutopalatucci.it http://www.dienneti.it http://digilander.libero.it/sussidi.didattici/ http://www.bibliolab.it/

approcci alla geometria

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