application of the bem in biopotential problems

13
Application of the BEM in biopotential problems Chris Bradley a , Andrew Pullan b, * a University Laboratory of Physiology, Parks Rd, University of Oxford, Oxford OX1 3PT, UK b Department of Engineering Science, The University of Auckland, Private Bag 92019, Auckland, New Zealand Received 8 October 2000; revised 10 May 2001; accepted 17 October 2001 Abstract We describe how the boundary element method BEM) can be used in the general ®eld of biopotential problems. We present here a cubic Hermite boundary element procedure for this purpose and show how this approach is computationally more ef®cient than traditional BEM procedures for solving potential-related problems. We also show how these C 1 interpolation functions can be used to model the complex domains that are present in many biopotential problems. Illustrative biopotentials results for two different clinically important areas are given. The ®rst area deals with potentials generated by the heart electrocardiography) while the second ®eld is related to potentials arising from brain activity electroencephalography). q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: High-order BEM; Biopotential problems; ECG modelling; EEG modelling 1. Introduction Biopotential problems deal with potential ¯ow generated from electric sources within biological tissues and struc- tures. These include, at the small scale, investigations of ionic current ¯ow through cellular membranes through to the study of potential ¯ow inside the entire body. The recording and analysis of potentials from biological tissues is of major clinical interest. Perhaps the most common clin- ical diagnostic tool dealing with potential ¯ow is the elec- trocardiogram ECG), which involves the recording, at the body surface, of potential generated by the heart. Other clinical areas involving potential ¯ow inside biological tissues include electroencephalography EEGÐthe record- ing, on the scalp, and analysis of electrical signals generated by the neurons in the brain) and electromyography EMGÐ the recording and analysis of electrical signals generated by muscular contractions). Of great interest in the clinical analysis of biopotential recordings is the relationship between the generator of the signals and the recorded response itself. One of the major features of such recordings is that they are non-invasive methods for obtaining information about the behaviour of an internal organ or structure. Clinicians are therefore trained to try and interpret electrical recordings in terms of underlying organ function. This can be a dif®cult process, and as the number of recording electrodes increases as is the trend in some EEG and ECG work), the ability of a clinician to extract all the relevant information about the underlying organ function diminishes, and model-based interpretation is needed. A good model on which to base the interpretation will typically have at least two compo- nentsÐone being an anatomically realistic representation of the appropriate organ or structure of interest and the other being the ability to solve the equations governing the potential in that structure. The ¯ow of potential through any biological tissue is governed, as for any electric ®eld, by Maxwell's equations. On a scale signi®cantly larger than that of a cell, the human body essentially behaves as a resistive network i.e. propa- gative, capacitive and inductive effects can be ignored due to the physical properties of the human body, its relatively small size and the low frequency components of most bio- logical signals. This is known as the quasistatic assumption [1]. What this means is that large-scale) potential ¯ow through passive tissues and organs of the human body must satisfy the generalised Laplace equation i.e. 7´s7F 0 1 where F is the potential and s is the conductivity tensor for the region. If the region of interest includes active or applied current sources, then the governing equation is Poisson's Engineering Analysis with Boundary Elements 26 2002) 391±403 0955-7997/02/$ - see front matter q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0955-799701)00109-6 www.elsevier.com/locate/enganabound * Corresponding author. Tel.: 164-9-373-7599x8399; fax: 164-9-373- 7468. E-mail addresses: [email protected] C. Bradley), [email protected] A. Pullan).

Upload: chris-bradley

Post on 05-Jul-2016

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Application of the BEM in biopotential problems

���������� � ��� �� � ����������� ��������

����� �������� ����� ��������

���������� �� ��� � � ���� � �� ����� ��� ��������� � ��� ��� ��� �� ��� ���� ��������� ��� � !���������� "#���#�� ��� ��������� � $%#������ ������� &�� '()�'� $%#������ *�+ ,������

�������� � ������� !!!" ������� #! ��� !!#" �������� #$ ������� !!#

��������

%� �������� ��� ��� ������� ������ ������ & ��' �� �� ���� � ��� (����� )��� � ����������� ��������* %� ������ ���� � �����

+������ ������� ������ ��������� �� ���� ������� �� ���� ��� ���� �������� �� �������������� ���� �)���� ��� ���������� ��

���������� �� �����( ��������,������� ��������* %� ���� ���� ��� ����� -# ����������� ������ �� �� ���� �� ����� ��� ������-

������ ���� ��� ������ � ��� ����������� ��������* .����������� ������������ ������� �� ��� ������ ��������� �������� ����� ���

(���* /�� )��� ���� ����� ���� ��������� (������� �� ��� ����� &�������������(�����' ����� ��� ����� )��� �� ������� �� ��������� �����(

��� ���� �������� &���������������(�����'* � !! �������� 0����� 1��* ��� ��(��� ��������*

��+ ���2 +�(�,����� ��" ���������� ��������" ��3 �������(" ��3 �������(

� ���� ������

���������� �������� ���� ���� �������� 4�� (�������

��� �������� ������� ����� �����(���� ������� �� �����,

�����* /���� ������� �� ��� ����� ������ ������(����� �

���� ������ 4�� �����(� �������� �������� �����(� ��

��� ����� � �������� 4�� ����� ��� ����� ����* /��

�������( �� ������� � ��������� ��� �����(���� �������

�� � ��5�� ������� �������* ������� ��� ���� ����� ���,

���� ���(����� ���� �����( ���� �������� 4�� �� ��� ����,

���������(��� &��3'� ����� ������� ��� �������(� �� ���

���� ������� � �������� (������� �� ��� �����* �����

������� ����� ������( �������� 4�� ����� �����(����

������� ������ ���������������(����� &��36��� ������,

�(� � ��� ������ �� ������� � ���������� ��(��� (�������

�� ��� ����� � ��� ����' �� ����������(����� &��36

��� �������( �� ������� � ���������� ��(��� (������� ��

�������� ����������'*

� (���� ������� � ��� ������� ������� � �����������

�������(� �� ��� ����������� ������ ��� (������� � ���

��(��� �� ��� �������� ������� �����* �� � ��� ��5��

������� � ���� �������(� �� ���� ���� ��� �,�������

������� �� ������( �������� ����� ��� ��������� �

� ������ ��(� �� ���������* �������� ��� ��������

������ �� ��� �� �������� ���������� �������(� � �����

� �������( ��(� �����* /��� �� �� � ��)���� ��������

�� �� ��� ����� � �������( ���������� �������� &�� ��

��� ���� � ���� ��3 �� ��3 ���7'� ��� ������� � �

������� �� �-����� ��� ��� ������� �������� ����� ���

�������( ��(� ����� ���������� �� �����,�����

������������ �� �����* � (��� ����� � ����� �� ����

��� ������������ ���� ��������� ���� �� ����� ��� �����,

���6�� ���( � ����������� ��������� ������������

� ��� ����������� ��(� �� ��������� � ������� �� ���

����� ���( ��� ������� �� ����� ��� �8������ (�����(

��� �������� � ���� ���������*

/�� 4�� � �������� �����(� �� �����(���� ������ ��

(������� �� �� �� �������� )���� �� ��-����9� �8������*

� � ����� ��(�)����� ���(�� ��� ���� � � ����� ��� ����

���� ���������� ������� �� � ��������� �����7 �*�* �����,

(������ ���������� �� �������� ����� �� �� �(���� ���

�� ��� �������� ���������� � ��� ���� ����� ��� ����������

����� ��:� �� ��� ��� ��8���� �������� � ���� ���,

��(���� ��(���* /��� �� 7�� �� ��� .%��������# ���% ��� �

;#<* %��� ���� ���� �� ���� &���(�,�����' �������� 4��

�����(� ������� ������� �� ��(�� � ��� ���� ����

���� ������ ��� (��������� 1������ �8����� �*�*

�/����� � ! �#�

������ �� ��� �������� �� � �� ��� ����������� ����� ��

��� ��(��* . ��� ��(�� � ������� ������� ������ �� �������

������ �������� ��� ��� (�����( �8����� �� ������9�

�(�����( ������� ���� ������ ������� = & !! ' >?#@A!>

!?BB,$??$C! CD , ��� ��� ������ � !! �������� 0����� 1��* ��� ��(��� ��������*

�..2 0!?BB,$??$&!#'!!#!?,=

���*��������*���C������C�(������

� ����������( ������* /��*2 �=A,?,>$>,$B??-�>??" �-2 �=A,?,>$>,

$A=�*

!0 ��� ���������1 �����*�������E�������*�-*��*�7 &�* ������'�

�*�����E���7���*��*: &�* �����'*

Page 2: Application of the BEM in biopotential problems

�8����� �*�*

�/����� � 2 � � ������ 2� �� ��� ��������� ������ ������ ������ ������*

�� ��� �����,������ � �� � �����(������ ����������

�����* +������� � � �������� ���(�� ������ ��� �������

��(�� �� �� ���������� ��� � �������� 4�� ���� �

����� �� �� ����(����� �� ���������* /��� �� ������������

���� ��� �����( ���� ���������� ��������� �������� �����,

������6��������� � �������� �� ��������� �� ��

�����( �-���� ������ � ������ ����������� �����

����� ���� ������� ������ &����� ��� ���� �-������� �*(*

�7������ ������� ����� �� �� 7�� ���� ��� �����������

���( ������ )���� �� ��(��� ��� ������ ����� ��� ���

� ���� ����� �� �� ��)���� �� ����� ���� ������ )��� �����,

��� � � ������ �� ������ �����'* /���� �� ��� ��8�����

�� ����� �8* &#' ��C�� �8* & ' � � ��������� ����(�����

�����*

/�� ������� ������ ������ & ��' �� � ����� �������

��������� �� ��� ��������� ����(����� 1������ �8�����

�� ��� ������ �8����� ���� ������� ������ ����� &�

����� ������ �� �������� �������( �����(���� �������'

�������� �����* /�� ��� � �� ������� ��� ����

��(��� �������� ��� �� �������� ����� � ���� ���������

����������� ������������ ��� ��� 8�������� � ������� ���

������ ��������� �� ������� &���� ����� ��� ���� ���

�������� �� ������� ���������'* .� ������ �� ���� ���� �

�� �� ��������� � ��� )� ������� ����� ��� �������� ������

��(��� &�*(* ����� ��� ����� ������ �� ���� ����� ���

����'� ��� ��� �������� ����� ��������� � ����� ��(��

����� ������� ��� ��� � � ������� ��������� ������� �

�����( ���� � ���������� �����(����� �8�����*

+������� ���� ���� ��� �� ����� �������� �� �� ��

����� �������� �� ����� ��� ��������( ������ �����*

F�(* # �� � ��������� ����������� � � ��������� ����(�,

���� ������ ��������* +��� ��� ������ ����� �� ���

����� &�� � ��3 �������' �� ��� ���� &�� � ��3

�������' �� ����� ������ ���� ��(��� �� ��(� �� ���

�7���* � ��� ������� � ���� �����(����� ����������

� �������� �� ����� ������ ������ ��� ������� (��� ����

�� � ����� � �������#� # ����� ��* F�� � �������

������ ��(��� &�' �� &3' ���� ����������� ������ ������ ��3�� ������������� �������� � �������� (����

���� � ��3� �>�

����� � &�' �� ��� �������� ���( ��� ������� � ��(�� &�'*

�������� � ����� ������ (����

�����������/���� � ����3����3��/��3� �A�

����� ���� �� ��� ��� ������� ����� ���( ��� ������� �

��(�� &�'*

/�� ������� �������� �� � ��������� ����(����

������ �������� ������� ������ � � )-�� G��������

������� �� ���� ���� � � � ����� �� ������ ��� ����,

��� �������� �� ��� )��� �� � H���� ������� � ������ ���������� �� �8* &A' �� ��� �����C�����@��� �������

�*�* �����/� � ! � � *

� ����������� �� ��� ���������

(4�4 5� ����# ���

F�� ��� ����������� �������� ����� ���� � ���� ������ ���

(������� � ��� ������� ����� �� � �������� ���������*

+���� �� � ��� ��)���� ����� � �����( ���(�,����� �����,

������ �������� �� ������( � ����������� ��������� �����

� ��� ������� ����� &������� �� �� ��� ����� ���� �� ����

����� ���������'* F�� ��� (�������� �������( �������� �����

+������ ����� ������ ��� ����* /�� ����� �� ���� ������

�� ���� ����� +������ ����� ������ ��� ���������� ���

���� �� ������� � �������������� �)���� ����� ���

���� �� �������� ��������� ����������� ������������ ��� �����

; <* � �,����� )���( ��������� ��� ��������� �� �-���

��� �����8�� �������� � ��* ; < �� ����� �� �� ����� �

����� ������� � ��(��* /�� ��� ������� � ���� ������ ���

��� (��� � ��* ;><* F�� ������������ � ������� �

���� � ��� 7�� ����� �� (��� � ���� ������*

.� ������ �� ���� ����� � ���� ����������� ��������� ���

�������� (������� ��� ��� (������ ��� ��� (��������

(�������* /���� ��� ����� � ������� ��(����,�,������

���� ��� ��8����� �� ���������� ����� ��� �������� )��� ��

������� (������ ��� ��� ����� � (�������� ��(����,�,

������ �� ���� ��)���� � ��� (�������� ���� ��

������� ��8����� �� ������� �����(���* � ���( � )���(

��������� �� �� (�� � ������(� � ���� � �� ����� ���

� �������� ����� ��� ��)���� ������� ���� �� �������

��� (�������� �����*

(4(4 -%��# 6�� ��� ������ ���� �

/�� ������� ��,��������� ����� 1�(��(� �����

������ ���

�#��� � #� �� � ��� � � �B�

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�>?

F�(* #* 0�������� � � (����� ���(� ����� ����������� �������* �# �� ���

����� �� ���� ��(�� &����� ��� ����� � ����� � ��� ��(��� �*(* ��(�

�� �7���' �� � �� ��� ����� �� ���� ��(�� &��� ��(�� ������( ���

�������� �������'* ���� ��(�� ��� ��� �� ������������ �� �� ��������

)���� � *

Page 3: Application of the BEM in biopotential problems

����� � �� � ����� ��������� � ��� ������ &�����( ��� !

�� ����� ��� # �� # �� ����� ��� '* /�� ����� �����������

������ �� ���� ���� ��

���� � ������� ��� � #� � �=�

���� � �#���� # � � ���� �$�������� �� ��� ����� �� �� ��� � * 0��� � �������������������� �������� ������ �������� ��� ���� �� ��������

����� ��������* �-����� � ���� ���� �� ���� ��� ��

�������� �� ������ �� ���( � ����� � �������� � ����

��������*

. ������� �� ����� ��� ��,��������� ����� +������

����� ������ ���

� !# ��� � #� >� � � >� � #

# ��� � ���� #� �

� ! ��� � � �>� ��� � #

��� � � ��� #����

/�� �-�������

���� � � �������

�� �� � � !� #� � � #� �

� � !# ���� # �� #

# ��� ������#�� !

���� �� # ��� ��

����

�?�

�� � ����������� � � ���� ��������� �������� �

����� �� ���������� ������ ������ ���������*

+���� ���! �� ��� ����� � � �� ��� � �� ��

�# ���� �� ��� � *

/� ����� ��� ����� ����� +������ ����������� �

��������� � ������ ���� �� ��8�����* /�� ����������

������� ��)�� �� ��� � �� ������� � ��� �����

������ � ,��������� �� �� ��������� � (������ ������

� ��� ��� ��5���� �������* /�������� �� ����� � ��������

���������� � ��� �� ���� �� ���

������ ������

� ��

� ��

�#!�

�� �������� �������� +��� ��� �� � �������� ���,

��(�� ����������� � � ��� �� �� ��� (����� ��� �����

� ����� ��� � � ������ �� �� ������ �� � ������

�#��� ��#� �� "�� ����� ������ ��� ���,��(�� ����������

�� ��� � ,��������� ����������* /���� ��� �� ��������� ���� �������� ������ ������ ��������� ������ ��� ����/�� �-����� �� ��� �������� �� ��������� � ��* ; <

�� (���� � � ���#� ��� �� ���# � �� ��� ��������������*

/� ������ -# ��������� ��� ������� +������ �����

������ ���� �� ������ ����� �*�* ��� ���� ����� ����� ��

���� �� � (��� ��� ��(������� � ��� ������ ������ ;><

�� ��� ������ ��� �� ��� � �� ���,��(�� �������� �*

F�� ������������ ���������� ��� ����� ������ ��� ����� ��

�� ��� �����(� � ��� ��� ��(��� � ������ ���� � ��� ���*

. �������� �� ����� ���� �� ���� ���,��(�� ������������

��� (�������� ���,��(�� ���������� ������ �� � ��� ����

���� ��� ��(������ ���� ��

��

��

�������� � # �##�

����� �/� �������� ��� �������� �������* /��� ������

���� �� ���� �������� ���� ������� �� � �������� ���������

������ ��� ���� ������� �� � ������������ ��������� � */�� ��� � ���� ����������� �� �� ����� +������ ����,

������� ���� ������ ��� ��� � ���� ������ &�� ����,

����'� ��� ��� � ���� ���,��(�� ����������� �� ��� ���

� ����� ������*

(4�4 * ���� �

/� ������� ��� ������ � ��� ������( ������� � ����

������ �� ������ ����� � ����� ������� � ������ ���� �

� ���� � �� �������* /��� ����������� ������ �� ���� ����

� %���� ��� ��� ����������� ����� ������ �� ��� ���� �

������ &�*(* ������� 1�(��(�� ������� +������ ���*' ��

������� � ��� ������� &��,� ���, �� �����,���������'*

F�� �-����� � � � I�J �� ��� ������ �� � ����� +������

������� ��� � %���� ��� ��� ����� +������ ����� ������

����� � ��(�� ��� # �� �� % ��(�� ��� ! �� #* .�

�������� � � I�#� � J �� ��� ������ �� � ������� +������

������� ��� � ��(�� ��� # �� A� % ��(�� ��� ! �� > ��

� %���� �� ��� ����������� ����� ����� �� ��� ���� ����������

�%� /�� ���� ��������� ��� ��)�� �� ������2 ���! � ��

���# � ��

��#� ��� � ��

�� � ���> � ��

��# � � ���*+���� �� � ������� +������ ������� ��� �����������

����� � > ��� ���������� ��� ���� �������� �

�> � �

��# � �� ���� ��� ����������� ����� ��

� # ��#�� #

# �� �� /�� ����� ������ �� ��� +������ ��������,

��� ��� ������ �� ��� ���������� � � ����������� �����

����� "�% ��)�� �� ������2 "�! � #� "�# � ��# � "

� � ��

"�> � ��#�

� � ���* F�� 1�(��(�� ����� ������� ��� ����,

������� ����� ������ ��� ��� ��* /�� (����� ��� � ���

����������� ������ �� �������� �� ���

���� � � %������

�%"����%� �# �

(4<4 ���� =�����

/� �������� � (�������� ���� ���( ����� +������

�������� �� �������� �� �� � )���( �������* /��

(�������� )���( ������� ��� (��� � ��� � ���� ��)�(

���� (������� &�*(* ��� ������ ���� ������� ��� �

��. &��(���� ������� ���(�' �� �������� ����(�����

&�/' ���(�'� �� )� ��� ���� �������� �� ����������� ��

� (��� ���� ���� �������� ��� ����� � ��� ����

�����-������ �� ��� ����* /�� ������� �� ����� �� ����

���� ����� �� ���5��� �� �����(����� ��� ��� ������

����� �� ���� ��� ��� ����� ���� ��� ���5������ ��

��5��� ��� (�������� ��(����,�,������ � ��� ���� �

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� >?>

Page 4: Application of the BEM in biopotential problems

����� �� ������ ��� ������� �����* /��� �� �� ��������� ��

� ����������� ������� ;><* 0��� ����� ��� ����� � ���

���,��(�� �� ��� ������ �� ��� ����������� ������

��� ����������� � ��� ������� ������� ��������� �����

��� ��� ���� ����������� � � �,����� ������ ���

��� ��� �� ����� ���,��(�� ����������� &������ ���

�-�������� ���� ��� ��� �� �� ���� �������� � ����,

���� ������� ����������' ��� �������� ����( )���( ���

���� �� ��� ���� �� �� ��� � �,����� )���( ���������*

/��� ��������� ��������� ��� ���� )���( ������� �� �

�,����� ����������� ������� ���� �,����� ���������

�� ���� � �8* &#>'

��%���� � ������

���� � �/��� � ������ � ��

���5��� �� � ��

����

� �� �

�#>�

+��� � �� � ������ � ���� ���������� &��������� ������,

������ ���*'� �� � ������ � ��� ������ �������� � ��� �����,

(��� ���5������ � ��� ���� ����� ��� ��� ����� �&����' ��

� ������� � ��� ����� � ��� ���� ��� ��� ���� ������ � �� ������� � ����� ����� � ��� ���� ����������� � � ������

� ����� ����� �� �&�' � ������ � �,����� ���������*/�� ������� � ����� ���� ��� ��� �8���� � ��� ��������

������� ������ ���� ���� ���� �� ��� �����(��� ���5��,

��� ��� ��� ���� �*�*

� ���� � �� � ������� � ��� ��� �#A������ �� �� ��� ���(�� ���������� ���� ���� ���� �� ��� ���(�������� ������� ������ � ���� ���� � � ����� ��

���� � �� �� ��� ������� ������ � ��� ������� ���5����� &��

��� ���� (��� �� ��� ������ � �' � ���� ���� ���� ��� ���

����*

/�� �,����� ��������� ���� ����� ���� ��� ������,

����� ��� ���� ���� � -# �������� ������ �� ������� ��

���� ��� ����������� ��� ������ �� � �������� ���,��(��* /���

���� � ����������� ������� �� �� ������ ���� �������

��������� �,����� ����������� ���7�(�� ���� ��

H�0�1 ;A<*

.� �� ��� �������� �� ��� ������ ����� �� ��� ��5������

�����6�� ���� ���� ������� ��� )� �� ����������

������� ���� �� ���7��� ����� �� ����� ��� ��� ����

������� ��� ������� �� ��� ���� ������ � ������� ������

���� �����* ���� ���� � ���� �� �� ��������� �� �� ����,

���� �� �� ���� �� 8����� ��� ��������� � ��� ����* ��

��� � ���( ���� �� �� ���������( ��� 0������ ����� � ���

���� ;B<* /�� ��� ����� ���(���� 0������ ��� ��� ���

�8�����

���+������ ���.�!

��� 3�.

+�3.�

� �# �3

���������� �#B�

����� +�3 ��� ��������� ���(���( ������ ������� �� ���

�������� � �� �� � ������� ������� �� ��#� � � ���

������ ����������* . ��� 0������ ��� �� ��)�� ����

��� ����� ���� &+ ��� ���� ���� �������'� ��� ��� 0���,

��� ����� �� �� ���������� ��

5��� ������������ �#=�

����� � �� ��� ���� �����*

. ��� 0������ ���(��� ��� ��������� �� ��� ������

+!! � !� +#! � +!# � �� + ! � +! � � +## � &� � ���������' �� +�3 � ! ���������� ��� ��� ���(��� �������

5������ ���

��

�#

����������

��

��������

� �

� �

� #

����������

� �

�# �

����������

� �

����������

� ������

�#$�+��� � �� ������� �� ���������� ����� &� ������� � ��(��'�

����� �� ������� �� �����,���������� ����� &�������(

��� ���(� � ����������'* H��� ���� � �� �� ���� ��

����(�� � �� �������( ��� ���������� ����� �� ���������

� ��� ����* %�� 0������ �������( �� ������� � ���

��5������ ������ ��� )� ���� ��� �� �������� ��� 0������

����� �� K�����( ��� ���� ����9* /�� ��� ���� ��� ���� �����

�� ��� 0������ ����� ��� ���������� ���������� ����

���� ���� ���� �� ��7� �� ������ ����� ����������� �� ���

��5������ �����* /�� �������� �������� ������ � ����

������� ��� �� ���(�� �� ������( ��� ������ � ��� * /�� ������ � ���(��� �� ���������� ��� ���� ��

����� �������� �� ����

#* /�� 0������ ����� ���� �� ��������� ��� )���(

������� �� ���� � ��(��� ���� ��� ���� �� ��������

� ��� ����*

* /�� ��������� � ����� �� ��������� ��� �������*

������� ������� ���( ��� ����� ������� �� �����

������� ��(�� � � ���� �� ����� ����� ���� ���

�������� � ���* ;>�=<* .� �� ����� �����( ��� ���� ����,

������ �� ������� ��� ���� �� ����� ��� ������� ��(�� ��

����� ��� �������� � ��� ����* F�� ������� �� ����� ���

��� ��( � � ����� �� ���� � F�(* � ��� $� ���� ��

�! ������� +������ ������� &$B! ��(����,�,������'

���� ����� �� ������ � ����� ��� ��� $$! ���� �����

������� ��� ��. ���(��* /�� ����� ��� � ��0 ����� �

#*= ��� ����� ���� ���� ���� ��� � ��������� ����� �

��*

� �������� �������� ����� ���

���� ���� �������� (���������� �)����� �� ��

�-�������� �� ���� ����� ���� ��� ������������ ���������

���� � ���� ���� �-������ ������� �)�������* � �����(��,

������ ���������� � � ������� ������ ��������� ��

1������9� �8����� ������ ��� # ������ ��� � %����

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�>?A

Page 5: Application of the BEM in biopotential problems

�������� �.%��� � ;$<

-��!����!� ���+��� �!� .����

�+��� �!�

�����

� ������

�#������� . � �����/� �� ��� ����� K������9 &�������� ���

����� ������ �� ��� �(����� � ���� �� ���������

������ 4��� ��� �������� �� �(����� ��������'� � � �������������� � ��� ������ ����� ��� ������ � ���

������� ������ �! �� ��� ���� � �������� -��!�� �

���)���� ��������� �� � ����������� ������ �! ��

��� ������� �� +��� �!� �� ��� �������� 3���9� �����(��� ��

+��� �!� ��#

�� � � G

#

A��� >G

��� ��� �#?�

����� � � �� �! �� � � ����/�� ������� ������� ������ �������� �������

�����( ��� ���� �! �� ���� ��� � ��� ������� ����*

+������� ��� ���( ����� +������ ����� ������� �����

��� ������� �7��� �� ���� ��� &������ � �����,

��������� � � ���#� ��� �� ���# � � ����� �#�� � ��� �,������� ���,��(�� ������ ����������' ��

��� ������� �������� ���� �� (������ ��)���� �8��,

����* �� ��� �� (������ �-��� �8������ �� �� ����� ���

���� �! �� �,���� ��������� ������(� ���� � ����������

��������� ���� �� ������ (������� � ��� � �������

�������� �8������* � ���������� ��������� �� ���

�� �������� ����� �� �� ���������� ��� ���������

������� ���(��� �8����� �� �! &�������� �� ��� ������

�� �� ������ �� ��� �����' � � &��������' ��������� �����,

��� �! &���� ��!� � #�� /��� (���� � ���������� � %����

�������� �.%��� �� �*�*

���!��!

���

+��� �!��!

.����

� +��� �!�� �!

����� �

�����

� !�

����� +��� �!��� �! �� � �������(���� 3���9� ��,

��� (��� ��

+��� �!�� �!

�#

�� �/�! �

��/�!���/���

� �� G

#

A��>�/�! �

>��/�!���/���

� �� >G

���� ����

� #�

�� ���� ���(�� ��� ���(��� �-������� �8* & !' �� ����

��)��* %��� �! ������ � ��� ������� � ��� ������

��� ����� ���(��� �� �������(����* � ���7 ��(����

������ � �8* & !' �� �� ������� �� ��7�( �! �� ���

������� � ��� ���� ���� �� ���� � ��� ����������

��������� � ��� ��������� ������� ���(��� ������,

��� &�*�* ����(�( ��� ����� ����� ��� ����������� ����,

��� ����� �����( �! �� ���� ���� �� ��� ��������

����7�( ��� ����� ���7 �� ��� ���(��� ��:�'* /�� )��

+���� ����%��� ���������� �������� �.%��� � ��

��

+��� �!�� �!

���������!�� ����!�/��� �!�������

���

+��� �!��!

.����

� ����!�/����� �

����� & '

.� ������ �� ���� ���� (���� ���� ����� ��� �� �� ��7� �

��������( ����� ���(���� ��� �! �� � ��� ������� �� ������� ���������� ��(����* . �������� ��� �������� � �����

�� ���������� ��� ������� ���(��� �8������ �!� �� ����

� �����( � ��� �������� ������� �������* ���� �-������

�����(� �� ��� ��� ���� ��� ���� ������� ���� �������

���( ��� ��������� ������� ���(��� �8* &#�' ��

���( �8* & ' ���� �! ����� �� �� � ��� �# ��������

�� ���,��������� ��������� �� �� �����,���������

��������� ��� ���� ������� ���� ������� ���� �! ����� ��

�� � ��� �# �� � ��������� �� ��� ���)����� ����������

���� ���# � ������� &�*(* �8* &� !''* /���� � �����,

��������� ��� ��������� ������� ���(��� �8* &#�'

�� ��� ���������� �8������ � ��� ��� � �8* & ' ���

(������� �� ���� ���* F��� ������� � ��� �������������

���������� ��������� �� �������� ������� � ����� �����,

��(���� ������� ���(��� �8������ �� �� ��� �

���* ;��?<*

/� ����� �� ������� ������ ����� �� �� �������� �

������ ���� ���� �� ������� � ��� ������� ���(���

�8������* F�� � ������ ���� ��(����� �� ��������

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� >?B

F�(* * ��(�� ������� ����8�� ���� � ��� )���� ���� ��� ��( ������*

Page 6: Application of the BEM in biopotential problems

(��� �� ��� ������ �� ������� �� ��� ���� �!� �8* &#�'

�������

-��!����!�� >������!�

���+��� �!� .����

�+��� �!�

�����

� ������ � >�

����� >������!� �� ��� ���,����� �������� ��� �� �

�������� ������ ������ �� �� (��� ��

>����� �!� ���/�

��� � G

�/�

A��� >� >G

��� ��� � A�

+��� � � �! � � �� � �� ��� ����������� � ��� �����*

. �� ���� ���������� ������� ���(��� �8������� � ����

�� ��� ������ ������ ���� ���� �� ������� �*�* ��� ������,

���� ������� ���(���� �8* & !'� �������

���!��!

�>��� ���!�

�!

���

+��� �!��!

.����

� +��� �!�� �!

����� �

����� � B�

�����

>����� �!��!

�#

��� �/�! �

��/�!���/���

� �� G

�#

A��� >�/�! �

>��/�!���/���

� �� >G

���� ����

� =�

��������( �8�* & >' �� & B' � ��� ���� ���� ��

���� �� �8�* &#�' �� & !' ������ � �����- ������ �

��� ���

��� � � ��

�� �� � $�

����� � �� ��� ������ ������ ��� �� �� �������*

/�� ����� �������� ������ ��� ��� � ����� +������

����������� �� ���� ��� (������� �� �������� � * .

����� +������ ����� ������ ��� ���� ���� �� ����������

��� ����� �������� ��� ���� ���� �� ��7� �� �����

+������ ������� �� �� ����� �������� � ���������

������ �������� ��������� .�� �� �� ��8�� �� ����

;#!<* ���������� � ��� ����������� � . �� �� ���� ��

����� ���� ������� ;?<* G������ � ���� ��� (��� �

������- �*

�4�4 2������� #%�����

� ���� �������� � ���(�,����� ����������� ��������

��� ������ ��������� �� �������* +������� ����� ���

���� ������� ����� ���������� � ������ ������� ���

�� ��������� �*(* ��� ������ ��)����������* ������ ����(��

���� �������� �� ��� ��8����� � ����� ��(���* /� �����,

���� � ������ ������ ������ ���� �8* & !' ��� �� ����

����� �! �� ����� �� �� ��� ���� � ������� �� �! ��7� ���� �� ! �� "* /�� ��� � �� ���� �������� � �)����

��������� �� ����� ������ ������� �� ��� �� ����������

��� �� ����� ��������*

# $������������ ��%�����&

����� ��� ��� ������� ��������� ������� � (��������

�)����� � ���( ����� +������ ������� ���� �����

1�(��(� ������� ; �><� � ��������� ������(� � ���,

�������� �������� �� ��� ������� �� ���������� (�������

&����� ��� ������� ������� �� ��� �������' ��������* . �

�������� ���( ����� ����� ������� (������� ��� ���

��� ���������� �� ������� � ���� ������ �� �����

���(� ������ ���� �� ���� �� ������� (������ ��������*

+��� ���� (������ �������� �� ������� �������� ��

���� � ��� �������� ����� ������ ������ � � ����������

�������� � ���� ��:� �� ������� � (��� �������� �

(������*

/� ���� ��� ������������ �)����� � � ��������

������� � ����� � ���������� ���� �� �������� �

����� ��� �������� ������� �� �������� �(���� �

7��� �� �������� �������* /�� ������������ �����,

���� � ��� ����� +������ ������� ������ ���������

� ����������� �������� �� ������(��� ������� � ��*

;##<* +������� �� �� ����������� �� ����4� ������� ���

������������ ������� ����� ������������ ��� ���������

�(���� ���� ���������� �� ����������� �� ���� ��

������� ��� ���� � ��� ��������� ���������� �������

�����*

. ����� �� ������� � ������� �������� � ��� ��������

�� �����(��� ���� � ��� -# ��������� ��� �����

�������� ��� ����* /�� )��� ����� ������� ���� �� ��� ����

��� �8���� &��0' � ��� ����� � ��� �������6� ����

����� �������* . I� ��-���J ��� ��� ������ � ��� �-��� ����,

��� �� ��� � � #�?�* ���� �� I� ���������J ��� ��� �����,

�����( �������� ������� �� ����� ���� ��� ��� �@"

��� � �� ��)�� ��

��0 ����� �

��������������������������������*��#

� ��-��� �� �

��������

� � *

������ � ��

/�� ����� ������� � ����� ���� �� ��� ��������� ���(���

� ��� ������� ������ ��� �-��� �� �������� ��������

�8����� &H.G0'6� ���(��� ����� �������* /�� *2�"

��� � �� ��)�� ��

H.G0 ����� �

��������������������������������������������������-�������������������� ������

���-������ �����

������� � ?�

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�>?=

Page 7: Application of the BEM in biopotential problems

����� � &�' �� ��� ������ � �������* H���2 /�� ���(����

������( ��� �������� ������� ��� ��������� ���( 3���,

��� 8��������� ������� ��� ���(���� ������( ��� �-���

������� ��� ��������� �����������* /�� ����� � ��� �-���

������� &�� ���� � ��� �������' �� ���������� �� � ���

���� ���� ���� � ��� �-��� (�������* /�� H.G0 �����

������� �� ���� 7�� �� ��� �������� ������� �������

&�G�' ;# <*

/� 8����� ��� ����� � ��)���� �� ��� �������� ���

�������� ��� ���� ����* /�� )��� �� ��� ��������������

������ ��:�� �� ����� �� ��)�� �� ��� �����(� ������

��(�� �� ��,��������� ������� �� ��� �8���� ����

� ��� �����(� ������ ���� �� ���,��������� �������*

/�� ����� ������� ���� �� ��� ����� � ������� ��(����,

�,������ &��'� � �������� ���������� ������������ � ���

������� � � �������*

<4�4 �+ 0�� ���� ��� ��� �� ���� �� ��� �

/�� )��� ������ ���� ������� �� ���� � � ������ ������ �

��� ����(�� ��������� ���( ��� ,�-�� ����� � ������ �

������ �� ��� ����������� ���� � � ����� ������ 4��

������� �������* /�� �������� � ��� ��� ������� ��

& �!' �� )-�� �� :���*

. ����� �� ������� ��� �������� �� �����(��� �

������ ������������� ���� ������� �� ������ ���( �����

1�(��(� ����� ������ �� (������� �� �������

��������� ����� +������ ����� ������ �� (������� ��

������� �������� �� ����� +������ ����� ������ ��

(������� ��� ����� 1�(��(� ����� ������ �� �������

��������* /�� ���� ���� �� �� �������� ��� ��� ���� � (��,

����� ��� ��� ������� �������� ����������� �����*

/���� ����� ����� ��� ������ �����C������ �����C�����

�� �����C����� ������������* /�� ����� � �������

���� � ��� ������� ��� �� #=� > � =A �� # � �� ���

�����C����� ���� �� #=� > � =A� # � �� B= �� ���

�����C����� �� �����C����� �����* . ��� ������ ��� ����

�������� ��� ���������� �� ���� ���� ��� �-����� � ��� ������*

/�� ������� �� ���� ���� ������� ��� ���� � F�(�* &>'@

&='* F�� ���� ����� ��� ������� ����� �� ��� ���(��� � ���

�������� �8����� �� #� � �� ��� ��-���� �������� ��(�,

���� � �������� �� !*#B? *

/�� ������ � ��� �����(��� ���� ���� ������� �� ��0

����� � F�(* > ��� *!B �� ��� �����C����� ���� &�*�* �&� '

�����(���'� A*! �� ��� �����C����� ���� &�*�* �&�A'

�����(���' �� A*!# �� ��� ����� +������ ���� &�*�*

�&�A' �����(���'* /�� ������ � ��� �����(��� ����

� F�(* A ��� ��� �(����� � ��� ������ � ��� ���� �

F�(* > �� ��� ����� � ������� ��(����,�,������

�������� �� ��� ���� ���� �� � ��������� �� ���� ����

�������* H��� ���� ������(� ��� �����C����� ���� ��������

��� ���� �����(��� ���� �� ��� �����C����� ���� � F�(* >�

�� ���� �� ���� ������ ��� ����� � �������*

F��� F�(�* B �� =� ��� ������ ���� ������� �� H.G0 �����

�� �������������� ������ ��:� ��� *! � *!! �� A*## ��

��� �����C������ �����C����� �� �����C����� ������ ���,

���������* /�� ������ ���� ������� �� H.G0 ����� ��

����� � ������� ��(����,�,������ ��� ��� �(����� �

��� ������ ���� ������� �� H.G0 ����� �� ��������������

������ ��:�*

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� >?$

F�(* >* L������� � ��� ��0 ����� � �������� �� � ����� � ��� ����,

���������� ������ ��:�� �� �� ��� ������ ������ � � ������ ���� �������* /��

����������� ���� �� �����)�� �� (�������C������� ��������*

F�(* A* L������� � ��� ��0 ����� � �������� �� � ����� � ��� �����

� ������� ��(����,�,������ &��' �� ��� ������ ������ �� � ������ ����

�������* /�� ����������� ���� �� �����)�� �� (�������C�������

��������*

F�(* B* L������� � ��� H.G0 ����� � �������� �� � ����� � ��� ����,

���������� ������ ��:�� �� �� ��� ������ ������ � � ������ ���� �������* /��

����������� ���� �� �����)�� �� (�������C������� ��������*

Page 8: Application of the BEM in biopotential problems

<4(4 �����0�� ���� ��� ��� �� ���� �� ��� �

/�� )��� �����,��������� ���� ������� �� ���� � �

������ ������ � ��� ����(�� ��������� ���( ��� �,�-��

����� � ������ � ��� ������ �� ����������� ���� � �,

4�- ������� �������* /�� �������� � ��� ��� ������� ��

�!� !��#� �� )-�� �� :���*

�(��� � ����� �� ������� ��� �������� �� ��,

���(��� � ������ ����������� �������� ����

������� �� ������ ���( ������� 1�(��(� ����� ��,

���� �� (������� �� ������� ��������� �������

+������ ����� ������ �� (������� �� �������

�������� �� ������� +������ ����� ������ �� (��,

����� ��� ������� 1�(��(� ����� ������ �� ����,

��� ��������* /�� ����� � ������� ���� � ���

������ ���� �� A � A� #=� ���� �� A ������� � ��� ������,

������� &�' �������� �� A ������� � ��� �:������� &� '

��������* 1��(�� ������ ������( � � �� # � # ��

#= � #= ������� ��� �����8����� ���� � ��� �����(���

�������* . ��� ������ ��� ���� �������� �� ���� ����

��� ���������� �� ���� ���� ��� �-����� � ��� ���������

������*

/�� ������� �� ���� ���� ������� ��� ���� � F�(�* &$'@

&#!'* /�� ������� ����� �� ��� ���(��� � �������� �8�����

�� ���� ���� �� >�A� �� ��� ��-���� �������� ��(�����

�� �������� �� !* >�$*

/�� ����� � ��� �����(��� ���� ���� ������� �� ��0

����� �� �������������� ������ ��:� � F�(* $ ��� *$A �� ���

������� 1�(��(� ����� #*=B �� ��� �������C������� ����

�� >*$# �� ��� ������� +������ ����* /�� ���� � �����,

(��� �� ��� ������� 1�(��(� ���� �� � ������ ��(��� ���

����� �������� �� �-������ �� ����� �����������* %��

��������( ��� �����(��� ����� ���� ������� �� ��� ����,

���� ���(��� ������� &�� �������' ��� ����� ���� �� #*?>

�������� ���� A*#= �� ��� ������� ����* /�� ����� � ���

�����(��� ���� ���� ������� �� ��0 ����� �� ����� �

������� ��(����,�,������ � F�(* � �� �#*#� �� ���

������� ����� �!*$� �� ��� �������C������� ���� ��

�#*$ �� ��� ������� +������ ����*

F��� F�(�* ? �� #!� ��� ������ ���� ������� �� H.G0 �����

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�>?�

F�(* =* L������� � ��� H.G0 ����� � �������� �� � ����� � ��� �����

� �������� ��(����,�,������ &��' �� ��� ������ ������ �� � ������ ����

�������* /�� ����������� ���� �� �����)�� �� (�������C�������

��������*

F�(* $* L������� � ��0 ����� ���� �������������� ������ ��(�� �� ����,

�� ����������� ������ �� ��� ���� �� ��)�� ���� � ������ ������* /��

����� ������� � � ��(�� ������� ������ ������ � ��� ������ ��

�����������* /�� ������� ������ ����� A � A� � � �� # � # �� #= � #=

������� � ��� ������������� �� �:������� ���������* /�� �����������

���� �� �����)�� �� (�������C������� �� �� ������ &�����' 1�(��(� ��

&�����' +������*

F�(* �* L������� � ��0 ����� ���� ��� ����� � ������� ��(����,�,

������ �� ������ ����������� ������ �� ��� ���� �� ��)�� ���� �

������ ������* ���� �� F�(* $ �� � ���������� � ��� ������� �� ��(��*

F�(* ?* L������� � H.G0 ����� ���� ���(�( �������������� ������ ��(��

�� ������ ����������� ������ �� ��� ���� �� ��)�� ���� � ������ ������*

���� �� F�(* $ �� � ���������� � ��� ������� �� ��(��*

Page 9: Application of the BEM in biopotential problems

�� �������������� ������ ��:� ��� *�!� #*� �� >*?= ��

��� �����C������ �����C����� �� �����C����� ������ ������,

������* /�� ������ ���� ������� �� H.G0 ����� �� ����� �

������� ��(����,�,������ ��� �#* !� �!*�= �� �#*�A*

. �������� ��� ������� ������� �������� (���� � ����

� �����(��� � � ����� �&� '� �������� �&�>'� �� ���

������� ������� �������� (���� � ���� � �����(��� �

�&�A'*

/� ������ ���� ��� ������������ ��������� � �����,

��������� ��� ��������� ���� ������� � ��� �� ��* ;#>< ��

�������* /��� ����� ������� � ����� �������� ������� �

����� �*!� �*B �� ?* ��* /�� ��� �� ����� ������� ����

������������� � !*>> 0 ��#� ����� ��� ������ ������ ��� �

����������� � !*!!A 0 ��#* /� ������ ��� ����� ��� ��

������ ������ �������� ������� ������ �������� ��

��(����� �������� ������� ��� ����* F�� ��� ��������

������� ��� ������ �� ������� � ��� �,�-�� ���� � �������,

���� � !*= ���� ������� �� ��� ����� ������ ������* /��

��-���� �������� � ��� ����� ������ ������ �� ����

���� ������� �� !*!!B=BA �� ��� ������ ������� !*!#>�#

�� ��� ������ �������� ������ �� !*!!$A�# �� ��� ��(�,

���� �������� ������*

/�� ������� � ��� �����(��� ������� ��� ���� �

F�(�* ## �� # *

F������ ������������ ����� ��� (��� � ��* ;##<*

���(�� ����� ���(�� ��* ;##< ����������� ���� ��� �����

+������ ������� ������ ��������� ���� �����(�� �����

��� � ���������� ������� ������ ���������� (�������

�������� � ��(��� ��������� �� � (��� ����� � ���,

��������� ��(����,�,������ �� �������� ������� ������

���� � ������ ������� ����� ������������ ����*

<4�4 -%����%�� # ���#�� � ���� �� ��� �

�� � ���� � ��� ���� � ��� ��������� ���������� �

��� ������� ��������� � ������(���� � ����� ������

� ��� ���� ������- (������� � � ����� ����� � �����

����� �� ��������* /�� ������ ���� ���� � F�(* #>

��� B ������� ����� ��� ����� �� # ������� �����

��� �����* /�� ������� ����� ��� ��� �����������

����������*

/�� ���� ������� �����( ��� �������� �� ���� ��� � ���

���� �������( �� ��� ������� ����� (��� ��

� � � � �� �>!�

�� �����( �� ����� ������*

/�� ������� �� ������ ���� �� ������� ��������� ������,

���� �� ��� ���,��(�� ����������� � ����� ������* F��

��� ���� ���� ��������� ����������� ��� ������ � �.�� ������������� ���

�.

�� �/6����� �>#�

����� 6&� ' �� ��� 6������ � ��� �������� ����� ������

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� >??

F�(* #!* L������� � H.G0 ����� ���� ��� ����� � ������� ��(����,�,

������ �� ������ ����������� ������ �� ��� ���� �� ��)�� ���� �

������ ������* ���� �� F�(* $ �� � ���������� � ��� ������� �� ��(��*

F�(* ##* L������� � ��� ��0 ����� � �������� � ��� ����� ������ �� ���

���� �� ��)��* /�� ����� ������� � ��� ���� ����� � ��* ;#><* /���

����� ������� � ����� �������� ������� � ����� �*!� �*B �� ?* ��* /��

��� �� ����� ��(��� � ���� ����� ���� � ����������� � !*>> 0 ��# ��

��� ������ ��(�� ��� � ����������� � !*!!A 0 ��#* /�� ������� ���

������ ������� �� ��� ����� � ��� ������ �� � ��� � �-�� ���� �����������

!*= ���� ������� �� ��� ����� ������ ������*

F�(* # * L������� � ��� H.G0 ����� � �������� � ��� ����� ������ �� ���

���� �� ��)��* /�� ����� ������� � ��� ���� ����� � ��* ;#><* ����

�� F�(* ## �� � ���������� � ��� �������*

Page 10: Application of the BEM in biopotential problems

� ���� ����� ��

6��� � �

� �

������

������ �

�> �

/�� �����(��� ���� ���� ������� �� ��0 ����� ��� ����

� F�(�* #A �� #B* /�� ��-���� �������� ��(����� � ���

������ �� BB>*=*

/�� ������ � ��� �����(��� ���� � F�(* #A ��� #*=

�� ��� �����C����� ���� �� #*$ �� ��� �����C����� ����

������� ��������� ����������* %�� ��������� ����������

��� �������� ��� ����� �� ��� �����C����� ���� ������

������� �� *?�* /�� ������ � F�(* #A ���� ������� ��

��0 ����� �� ����� � ������� ��(����,�,������ ���

��� �(����� � ��� ������ ���� ������� �� ��������������

������ ��:�*

' � ������� ������������ �������

A4�4 � ������� B + �� ��� �� ���

/�� �������� ��������� � ��� ����� �� ������ ��

�-������� ������ ����(��( ���������� ���(�� ���� (��

�����(���� � � ���������� ����� �����(� ��� �����

������* �� �� ������ � ����� ��� ���� � ���� �����(��,

�( ���������� ���� �� �� �������� � ��� ���� ������* �

(���� ��������� �� ��� ��� ���� �� ��� ������� ������

��(�� ���� �� ��������� ����� ��� ���������� ��(��� �� ����

��� �������� �� ��� ���� ������* /�� ����� ������� ��3

)��� �� ������� �� ����( �� �������� ����� �� ����������

���7 ���7����� ��� ��� �������� ��3 ��������� ��

��7� � ���(���� � ��� ������� � ��� �����* /�� ��

��������� �������� ������� ��� ��� ���� �� ������(��� ���

���� � ��� ���� � ��� �����,(������� ���������* �������

� ���� ����� ��� �������� � ��* ;#A<* � ����������� � ���

��������� � ��� ����� �� ���7 � &��-���� ��������� � ���

����� ���������' �� ���� � F�(* #=* /�� ����� ��������

������ ��� ���������� ���( ��� ����� ����� +������

�� ���������*

F������ ���7 � ��� ���� �� �������� ����� ���( ���

�� �����8���� ��(����� ���� ������ ������� �����

��������� �� ��� �� �������� ��������� ����� �����

��������� ;=<*

A4(4 � ������� B + �� ��� ����

������ �������� 4�� ������� ������(���� ���( ���

�� ������� ��� ���������� � ��� ����� ��������� ����

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�A!!

F�(* #A* L������� � ��� ��0 ����� � ��� ����� ������ �� � ����� �

��� �������������� ������ ��:�� �� �� ��� ���,��������� ����� ����� �

����� ���� �������* /�� ����������� �� �����)�� �� (�������C�������

�������� �� ��������� ���������� ��� &��' �� ��� �� &� ��' ����*

F�(* #B* L������� � ��� ��0 ����� � ��� ����� ������ �� � ����� �

��� ����� � ������� ��(����,�,������ &��' �� ��� ���,���������

����� ����� � ����� ���� �������* /�� ����������� �� �����)�� �� (�������C

������� �������� �� ��������� ���������� ��� &��' �� ��� �� &� ��'

����*

F�(* #>* ���� �� ��� ���,��������� ����� ����� � ����� ���� �� �����

������*

Page 11: Application of the BEM in biopotential problems

��� ���� (������� � ������� �� � ������ ���� ��7� �

����7* 0��� � ���7�� �������� �� �� ���� �� ���� �����,

��� ��� �-��� � �����( ���� �� ��� ��7��� ����(�� ����

� ��� �������� �������� � ������ �����( ��������

����������* /��� �� �� ��� ��� �� ������� ���,

����( �������� ����� ��(��� �(���� ����� �������� ��

���������� ���( � ������� ���5���* /�� ��������(� �

��� ��(��� �� ���������� ���� ��� �����(���� � ���

���� �������� ��� ��� ������� �� ��� ����� �� ���

������ � ������� ������� � ��� ��(�� �� � ��������

� ����(�* /�� �����(���� � ��� �������� ���� ��������

��� �������� ���( � ����� � ����( �������� �������

��������� ���( ��� 7�� ��������� �������� � ���

�������� ��������* � >,����� �7��� ����� ��� ���������

�� ���� ����������6��� ����� ��� �� �7� ������� ����

�������� �� ����(����� ��������� ;#B<* � ���� � ���

�������� )��� � ��� ����� ������ ���������� ���( ����

����� �� ���� � F�(* #$*

( $����������

/��� ����� ������� � ����� +������ ������� ������

��������� �� �����( �������� 4�� �������� � �������

��(��� � ��� ���� ����* � )���( ��������� ��� ����

�� ������ ����������� ��������� ������ � ����� � ��� ����

���( ����� -# ����������� ������* 0��� � ��������

�������� �)���� ������ � (������������ ������- ������*

� ���������� ������� ������ ��������� ��� ���� �� �����

�� ��� �������� � ����� ����������* /��� ������ �� ��(�),

����� �������� �� ��� ���������� ����� ������� ������

��������* /�� �������� � ���� ������ ��� ����������� �

��� ������ �� ������( �������� 4�� � ��� ����� �� ���

����� ������( �������� 4�� � ��� ����* /�� �-������

�������� ���� ���������� ���� ��� �� �� �� �������,

���� ������� �� ��������� ��������� ������� ��������

������� � ��� ������- ������ ���� ��7� �� ��� ����

����* ���������� � �� � ���� ����� ������ �� �� (��

������ ���(��� ��� ���� ������- �������� �� ����� �����

����� � ��� ��3 �� ��3 )����*

����� �� $�������� ����������� ��� ������ ����������������������

������� ��� ������(2

.�� �

������/�� � ��

��

����

����

� ���#�

.�� �

������/�� � �

����

�� ���� �

��

����

� ��� �

.�� �

������/�� � �

�� ��� �

��

����

��>�

.�� �

������/�� � �. �� � �

�3

�3��

����

��A�

/�� )��� ���� � �8* &�A' �� ��� ���,��(�� ���������� � ���

����� ������ � ��� �������� � ��� ����� ���� �� ����

���� ���,��(�� &������ ��'* /�� ����� ���� ������� �

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� A!#

F�(* #=* /�� �������� )��� � ��� ����� ���������� ��� ��� ��������� �

��� ������ � ��� ����� �� ��� ������ ����������( �� ���7 � ����

&��-���� ��������� � ��� ���������'* ��� �������� ����� � ��������

�������� �� ���� �������� ����� � �(����� ��������*

F�(* #$* /�� �������� )��� ��� �� � ������� ������ ������� ����� ��� ����

�� ��������� � ��� ����� ������ ���������� ��� � >,����� �7��� �����*

��� �������� ����� � �������� �������� �� ���� �������� ����� � �(�����

��������*

Page 12: Application of the BEM in biopotential problems

#%����%�� # ���#�� �� ���3������������ ������� �� ���

����� ������ �� ��� ���,��(�� ����������� � ��������*

. ��� ��������� ���������� ��� ��� ���� ���� �� �� ����,

���� ������ ������� �� ������ ����� �� �� ����������

��� ��� 7�� (������� � ���� ������* /� ��������� ����

����� ��� �� ���� �

����

� ��� �

/#

"����B�

�� ��� ����� ��� � ����� � ������* +���� ���� ��8�����

��� ���������� � ���� �� ����� �� ��� �� ��������( ���

��� ����� �� � ���� ��

� � ��

� ���� ��=�

����� �� �� ��� K�,���������9 ����� �� ��� ���� �� ��

(��� ��

�� � � ���

�#�! ��$�

� ���,��������� ��

�� � � �#

�>�

��>�#

� �

� ���

�>�#

�#�

��#�#

�>�

� �!

��#�#

� �

�� �#

�#�

� �" &��'

� �����,��������*

+����

� ��

��

� �� ����

� ���� �

��

� ��� ��?�

H���

� ���� �

���/ ��

� �� ���

� �/ ��

� ���#!�

���������

� ��

��

� �� ���� �/

��

� �

� ���

� ��� �

��

� �� �/

��

� �

� ��

� �����##�

����� ���� � �� �� ��� �� ����������( ������ �8�*

&�$' �� &�#!' ���� ������� �� � �*G���������( �8* &� ' �� � � # ���� ������� �� � (����

��� �������� ��������� �� ��� �����,���������� ����� �*�*

. �> �

�#����/��

� �

� �3�

�3����#

�� ���� �

��

����

� �� ���# �

.�> �

�#����/��

� ����#

�3�

�>�

�� �3 ����

� �

�� ��

���3

�3 ��

����

��

��

���� �3

�&�#>'

/� )� ����� � ��� ��� � �����#���3�� �� ���� �3���������

�# � �

�#

� ��

�#

�3�

�3

� �

� �3�# �

�3�

���#

�3�

�� �3��#A�

+����

���#

�3�

�� �3� �

�# � �

�3�# �

�3��#B�

�� ����

���#

�3�

>�

�� �3 ����

� >�

�# � ���� �

�3�# �

�� ���� ��#=�

���#

�3�

��

�����3

� ���#�

���

�3�#�

���3

��

��#$�

0���������( �8�* &�#=' �� &�#$' � �8* &�#>' �� ������,

��( ������

.�> �

�#����/��

� �

� >�

�# � ���

���# �

���

���3

�3�# �

��

� �

���3

�3�# �

� �

�# ��

���

� �

� ��

���#

��#��

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)�A!

Page 13: Application of the BEM in biopotential problems

.�> �

�#����/��

� �

� �. �> � � ���# �

� ��

� ����3

�3�# �

� ��

� � �

�� �

� �3

�3�# �

� � �

�# �

� ��

���

� � �

� �

� ��

���#

&�#?'

/�� )��� ���� � �8* &�#?' �� ��� �����,���������� � ���

����� ������ ��� ��� ����� ���� �� ���(� ���� ���,

��(��* /�� �����8��� ����� � �8* &�#?' ������ ���

��������� ����������* /�� ���� ��� � ����� ������ ��������

����� �������� � ���� ���� ������ ����� � ��� ���

���� � ������ ��� � � � ������� ��� �����

��� # �� ��� � ����� ��� �7��* M���� ����

������� ���� �� )��� ��������� �� ���� �� �����-�����

����� � ����� � 7�� ������ ��� ��������� ��������� ��

��� �����,���������� ���� ���� �� ����������* +�������

�� ��� �� ����� ���� ������� �� �� �� ��� �����,�����������

� ��� ����������� ������� �� ��� ��� ��� ���� � * /����

��� ��������� ��������� ����������� ������ �� ��� �����

������ ��

.��� � � %����. ��%"

����%� �� !�

����� % �� ������ ��� ! �� �� .��% �� �� ��)�� ��

.��! � �.� �� % � ! �� �� �8* &�A' �� % � #� � ����� �. ��

��� ������ � ��� �������� � ��� ����� �� ��� ������ ����

���� �� ���(� ���� ���,��(��*

)���������

;#< ������ �* ���������� �������* H�� N��72 ��3��� +���� #?=?*

; < H����� ��F� 1� 3���� .O� 0����� +� +���� �O* ������������

����� � (������� �� )����� ��������� � ��� �����* �� O �������

#??#" =!2+#>=B@$� +���� ���� ������� ?*

;>< ������ ��� ����� �O� +���� �O* 3�������� ������( � ��� ����

����� ���( ����� +������ �������* � ����� �(( #??$" B2?=@

###*

;A< 3��� ��� ������ %� 0������ ��� %��(�� �+* M���9� (���� ��

H�0�1 &������ A*!'2 � ����� ���7�(� �� ������ ���(�����(*

/������� ������ 0�1 �=, � G�������� � ��������� ���������

0����� M��������� #?�=*

;B< N��( ��� +���� �O� 0����� +* ���������� ������ ��������� ���

������� �(��(����* ������ L���� 3������� .��(� �������

#?�?"A$2###@ $*

;=< ������ ��� H��� ��� ���( 1P� ����� �O� ������� GO* �������,

������(������ ������ ��������� �����2 ����� ���������� �� ����,

�����(�* F�0� O !!!"#A&A'2�AA *

;$< ����� �O* � ��(�,����� ������� )��� ������C������� ������

����� �����* .��� /��� ����� �(( #??="A>&>'2 ? @�*

;�< ����� �O� ������ ��* � ������� ����� +������ )��� ������C

������� ������ ��������� �� �������������(������ ��������*

������ ���� #??="#�&B'2>B=@=�*

;?< /������ P�� ������ ��� ����� �O* � ��� ������ � � ����������

������� ������ ��������� ���( +������ �����������* .� O

H���� ������� �(( #??=">?2AB#@=�*

;#!< G������� OF� F��� �/* +������� ����� ������� ������ �� ���

��������� �������� ��������* .� O H���� ������� �((

#??!">!2#!B#@= *

;##< ������ ��� +����� 3�� ����� �O* /�� ������������ ���������

� � ��(�,����� ������� ��C��� ��������� � ���������������

��������* .��� /��� ����� �(( !!#"A�&##'2# >�@B!*

;# < ���5� O%+� %���� �%� ������ �O� �� �������� �* � ��� ����,

���� �������� � ��� ������� ������ ������* .��� /��� �����

�(( #?�?">=&#!'2#!>�@A?*

;#>< ��� O�� P��� 0�� F���� G+* 1������ � ������� � ���7�� �����

���������2 ���������� �� �7��� �� ����� ����7�����* .��� /���

����� �(( #?�#" �&='2AA$@B *

;#A< ������ ��� ����� �O� +���� �O* ����� � �������� ���������� ��

(������� � �������������(������ ������ ����������* � �����

�(( !!!" �&$'2$ #@A#*

;#B< +����� 3�* �������( ��� �������� �������� ������� ���( �

����������� �������� ����� � ��� ���� ����* ������9� /������

/�� M�������� � ���7���� H�� Q������ #??=*

-4 &������ $4 �%���� 7 !���������� $������ +��� & %���� !�� ���� (8 9())(: �'�;<)� A!>