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TOM M.APOSTOL

CLCULOVOLUME2Clculo com funes de vrias variveis e lgebra Linear, com aplicaes s equaes diferenciais e s probabilidaddes

EDITORIAL REVERT, S. A.Barcelona- Bogot- Buenos Aires - Caracas -Mxico

Ttulo da obra Original: CALCULUS, Onc-Variable Calculus, With an introduction to Linear Algebra Second Edition. Volume 2 Ediiio original em lingua inglesa publicada por:. Blaisdell Publishing Company, Waltbam, Massachusetts, USA

Copyright by Blaisdell Publishing CompanyTradup de: Joaquim Ferreira Marques Doutor em Cincias Exactas

Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 e-mail: reverte@rcverte.com www.reverte.comProibida a reproduo de toda ou parte desta obra, sob qualquer forma, sem por escrito do editor.Reservados todos os direitos Edio em portugusauloriza~o

EDITORIAL REVERT, S. A., 1996Reimpresin: octubre de 2004 lmpreso enEspana~

Printed in Spain

ISBN:84-291-5016-I ISBN: 84-291-5014-5

Tomo2 Obra completa

Depsito Legal: B-44494-2004 lmpreso por Domingraf lmpressors Pol. lnd. Can Magarola 08100 Mollet del Vai ls (Barcelona)

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Jane e Stephen

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PREFCIO

Este livro a continuao do livro do autor Cdlculo, volume I, Segunda Edio. O presente volume foi escrito com a mesma ideia fundamental que norteou o primeiro. Uma adequada orientao para a. tcnica ligada a um rigoroso e profundo desenvolvimento terico. Procurou-se fazer chegar ao estudante o esprito da materntica moderna sem exagerar o formalismo. Como no Volume I. incluem-se notas histricas para dar ao estudante uma ideia da evoluo do pensamento matemtico. O segundo volume est dividido em trs partes, intituladas Anlise Linear. Anlise no Linear e Tpicos Especiais. Os dois ltimos captulos do Volume I repetem-se aqui, constituindo os dois primeiros captulos deste Volume, com a finalidade de que todo o material relativo lgebra Linear se apresenta de forma completa em cada um dos volumes. A Parte I contm um introduo lgebra linear, incluindo transformaes lineares, matrizcs, determinantes, valores prprios e formas quadrticas. Fazem-se algumas aplicaes Anlise, em particular ao estudo das equaes diferenciais lineares. Com a ajuda do clculo matricial estudam-se os sistemas de equaes diferenciais. Demonstram-se teoremas de existncia e unicidade por intermdio do mtodo de Picard das aproximaes sucessivas, que tambm se trata na teoria dos operadores de contraco. Na Parte 2 estuda-se o clculo para funes de vrias variveis. O clculo diferencial unificado e simplificado com auxlio da lgebra linear. Incluem-se a generalizao da regra de d~rivao de uma funo composta para campos vectoriais e escalares e aplicaes s equaes de derivadas parciais e a problemas de extremos. O clculo integral inclui os integrais de linha, integrais mltiplos, e integrais de sup_erfcie, com aplicaes Anlise vectorial. Aqui a exposio segue mais ou menos a linha clssica e no inclui um desenvolvimento formal das formas diferenciais. Os tpicos especiais tratados na Parte 3 so Prohabilidade.f e Anlise Numrica. A parte referente s Probabitidades est dividida em dois captulos, um que trata o

VII

VIII

Prefcio

assunto considerando o conjunto fundamental (ou espao amostra) finito ou infinito numervel; o outro em que se consideram conjuntos fundamentais no numerveis, variveis aleatrias e funes de. repartio. Fazem-se algumas aplicaes no estudo de variveis aleatrias uni e bidimensionais. O ltimo captulo contm uma introduo Anlise Numrica, dando-se particular nfase ao estudo de diferentes tipos de aproximao polinomial. Aqui, mais uma vez se procura a unificao das ideias pela notao e terminologia da lgebr-a linear. O livro termina co.m o estudo de frmulas de integrao aproximada, tais como a regra de Simpson, e com uma discusso da frmula de somao de Euler. Contm este volume matria suficiente para um curso anual com trs-ou quatro tempos semanais. Pressupe a conhecimento do clculo para funes de uma varivel tal como se estuda na maior parte dos primeifos anos dos cursos de clcuio. O autor idealizou a matria exposta para um curso com quatro aulas semanais, duas de exposio por parte do professor e duas para questes postas aos alunos. desenvolvido ao longo de dez semanas para cada parte e omitindo as seces assinaladas com um asterisco. Este segundo volume foi planeado de maneira a poderem omitirse vrios captulos em cursos abreviados. Por exemplo, o ltimo captulo de cada uma das partes pode ser omitido, sem que tal origine descontinuidade na exposio.- A Parte I proporciona material para um curso combinado de lgebra linear e equaes diferenciais ordin.rias. Cada professor pode escolher os tpicos adequados s suas necessidades e preferncias por consulta do diagrama da pgina seguinte que coindencia a interdependncia lgica dos captulos. Mais uma vez agradeo com prazer a colaborao de muitos amigos e colegas. Ao preparar a segunda edio recebi valiosa ajuda dos Professores Herbert S. Zuckcrman da Universidade de Washington e Basil Gordoh da Universidade da Califrnia, Los Angeles, tendo cada um deles sugerido vrias modificaes. Agradecimento so tambm devidos ao pessoal da B\aisde\1 Publishing Company pela sua assistncia e cooperao. Como noutras ocasies, para mim uma satisfao especial exprimir a minha gratido a minha esposa pela sua valiosa e variada colaborao. Em sinal de reconhecimento dedico-lhe gostosamente este livro. T. M.A. Pasadena. Califrnia

I ESPAOS LINEARES

_I2 TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZES

15 INTRODUO ANLISE NUMRICA

3 DETERMINANTES

6 EQUA0ES DIFERENCIAl LINEARES

I r7

SISTEMAS DE EQUAOES plFERENCIAI

4 VALORES PRPRIOSE VECTORES PRPRIOS 5 VALORES PRPRIOS DE OPERADORES QUE ACTUAM EN ESPAOS EUCLIDEANOS

8 CLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

10 NTEGRAIS DE LINHA

13 FUNOES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTAR

-I~LTIPLO11 NTEGRAI

I14 FLCULO DA PROBABILIDADES~

h9 APLICA0ES DO CLCULO DIFERENCIAL

I12 INTEGRAIS DE SUPERFICIE

NDICE ANALTICO

PARTE I. ANALISE LINEARI. !.I.

ESPAOS LINEARES

1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.1.7.

1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16.

1.17.

Introduo 3 Definio de espao linar 3 5 Exemplos de espaos lineares Consequncias elementares dos axiomas 6 Exerccios 8 9 Subespaos de um espao linear 10 Conjuntos dependentes e independentes num espao linear Bases e dimenso 13 Componentes 15 Exerccios 15 Producto interno. espaos eUclidianos. Normas 16 Ortogonalidade num espao euclidiano 20 Exerccio~ 23 Construao de cnjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonais. Projecces 30 . A melhor aproximao de elementos de um espao euclidiano por elementos de um subespao de dimenso finita 32 Exerccios 34

25

2.2.1. 2.2. 2.3.

TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZES37

Transformaes lineares 35 Espao nulo e contradomnio Nulidade e ordem 38

Xl

XII2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19: 2.20. 2.21. Exerccios 39 Operaes elgbricas relativas a transformaes lineares 41 Inversas 43 Transformaes lineares biunvocas 46 Exerccios 48 Transformaes lineares com valores determinados 50 Representao matricial das transformaes lineares 51 Construo de uma representao matricial. na. forma diagonal Exerccios 56 Espaos lineares de matrizes 58 Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes 59 Multiplicao de matrizes 61 Exerccios 64 Sistemas de equaes lineares 66 Tcnicas de clculo 68 Inversas de matrizes quadradas 73 Exerccios 76 Exerccios variados sobre matrices 77

ndice analtico

54

3.3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

DETERMINANTES

3.8.3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17.

Introduo 79 Justificao da escolha dos axiomas para a funo determinante 80 Um conjunto de axiomas para a funo determinante 82 Clculo de determinantes 84 O teorema de unicidade 88 Exerccios 89 Producto de determinantes 91 Determinante da matriz inversa de uma matriz no singular 92 Determinantes e independncia de vectores 93 Determinante de uma ma triz diagonal por blocos 93 Exerccios 95 Frmulas para o desenvolvimento de determinantes. Menores e complementos algbricos 96 .Existncia da funo determinante 100 O determinante da matriz transposta 102 A matriz complementos algbricos 103 Regra de Cramer I OS Exerccios 1064. VALORES PRPRIOS E VECTORES PRPRIOS

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4,5.

Transformaes lineares representadas por matrizes diagonais 109 Valores prprios e vectores prprios de urna transformao linear 110 Independncia linear de vectores prprios correspondentes a valores prprios distintos 113 Exerccios 113 O caso de dimenso finita. Polinmios caractersticos 116

indice analtico4.6. Clculo de valores prprios e vectores prprios no caso de dimenso finita 117 4.7. Trao de uma matriz 120 4.8. Exerccios 121 4.9. Matrizes representarido a mesma transformao linear. Matrizes semelhantes 123 4.10. Exerccios 127 5. VALORES PRPRIOS DE OPERADORES. EM ESPAOS EUCLIDIANOS

XIII

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.5.5. 5.6.

5.7.5.8.

Valores prpios e productos in~ernos 129 Transformaes hermticas e hemihermticas 130 Valores prprios e vectores prprios de operadores hermticos e hemi-hermticos . 132 Ortogonalidade de vector"es prprios correspondentes 133 a valores prprios distintos Exerccios 134 Existncia de um conjunto ortonormal de vectores prprios para operadores hermticos e hemi-hermticos em espaos de dimenso finita 135 Representao matricial de operadores hermticos 137 e hemi-hermticosMatrizes ht::nnliCas e hemi-hermticas. A associada de uma matriz 138

5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. *5.16.

Diagonalizao de uma matriz hermtica ou hemi-hermtica 138 Matrizes unitrias. Matrizes ortogonais 139 Exerccios 140 Formas quadrticas 143 Reduo de uma forma quadrtica real forma diagonal 145 Aplicaes geometria analtica 147 151 Exerccios Valores prprios de uma transformao simtrica obtidos como valores de sua forma quadrtica 152 *5.17. Propriedades extremais dos valores prprios de uma transformao simtrica 154 *5.18. O caso de dimenso finita 155 5.19. Transformaes unitrias 155 5.20. Exerccios 158

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES

Introduo histrica 161 Reviso dos resultados j establecidos relativos s equaes diferenciais 162 lineares de primeira e de segunda ordem Exerccios 164 Equaes diferenciais lineares de ordem n 165 O teorema de existncia e unicidade 166 A dimenso do espao sOluo de .uma equao linear homognea 167

XIV6.7. 6.8.6.9. 6.10. 6.11.

lndice analticoA lgebra de operadores de coeficientes constantes 168 Determinao de uma base de solues para equaes lineares com coeficientes constantes por factorizao de operadores 170 Exerccios 175 Relao entre as equaes homogneas e no homogneas 177 Determinao de uma soluo particular da equao no homognea. O mtodo de variao das constantes 178 No singularidade da matriz wronskiana de n solues independentes de uma equao linear homogea 182 Mtodos especiais para determinao de soluoes particulares de equaes no homogneas. Reduo a um sistema de equaes lineares de primeira ordem 184 O mtodo do anulador para determinao de uma soluo particular da equao no homognea 185 Exerccios 188 Exerccios variados sobre equaes diferenciais lineares 189 191 Equaes lineares de segunda .ordem com coeficientes analticos A equao de Legendre 194 Os polinmios de Legendre 197 Frmula de Rodrigues para os polinmios de Legendre 199 200 Exerccios O mtodo de Frobenius 204 A equao de Bessel 206 Exerccios 212

6.12. 6.13.

6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24.

7.7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7.

SISTEMAS DE EQUAOES DIFERENCIAIS

Introduo 215 218 Conceitos do clculo para funes matriciais Sries de matrizes. Normas de matrizes 218 220 Exerccios A matriz exponencial 221 222 A equao diferencial verificada por e 1A Teorema da unicidade para a equao diferencial matricial F' (t) = AF(t) 223 7.8. Regra do producto de exponenciais de matrizes 224 7.9. Teoremas de existncia e unicidade para sistemas lineares homogneos 7.10. O problema do clculo de etA 226 7.11. O teorema de Cayley-Hamilton 228 7.12. Exerccios 230 7.13. Mtodo de Putzer para o clculo de tfA 231 7.14. Outros mtodos para calcular e 1A em casos particulares 235 238 7.15. Exerccios 7.16. Sistemas lineares no homogneas com coeficientes constantes 239 7.17. Exerccios 241 7.18. O sistema linear geral Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t) 244 7.19. Resoluo de sistemas lineares homogneos por intermdio de sries de potncias 248 7.20. Exerccios 249

225

ndice analtico7 .21. 7 .22. 7 .23. Demostrao do teorema de existncia pelo mtodo das aproximaes sucessivas 258 O mtodo das aproximaes sucessivas aplicado a sistemas no lineares 255 de primeira ordem Demostrao de um teorema de existncia e unicidade para sistemas no lineares de primeira ordem 257 Exerccios 259 Aproximaes sucessivas e pontos fixos de operadores 261 Espaos lineares normados 262 Operadores de contraco . 263 . Teorema do ponto fixo para operadores de contraco 264 Aplicaes do teorema do ponto fixo 266

XV

7'.24. *7.25. *7.26. *7.27. *7.28. ~1 .29.

PARTE 2. 8.

ANALISE NAO LINEAR

CALCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

Funes de Rn em Rm. Campos vectoriais e escalares 273 Bolas abertas e coujontos abertos 274 Exerccios 276 Limites e continuidade 278 8.4. Exerccios 282 8.5. A derivada de um campo escalar relativamente a um vector 283 8.6. Derivadas direccionais e derivadas parciais 286 8.7. 8.8. 287 Derivadas parciais de ordem superior 8.9. Exerccios 287 288 8.10. Derivadas direccionais .e continuidade 290 8.11. A diferencial 291 8.12. Gradiente de um campo escalar 293 8.13. Uma condio suficiente de diferenciabilidade 8.14. Exerccios 295 8.15. Gener~lizao do regra de derivao .de funes compostas para derivadas de campos escalares 296 8.16. Aplicaes geomtricas. Conjuntos de nvel. Planos tangentes 298 8.17. Exerccios 301 8.18. Derivadas de campos vectoriais 303 8.19. A diferenciabilidade implica a continuidade 304 8.20. Generalizao da regra de d~rivao da funo composta para derivadas de campos vectoriais 305 8.21. Forma matricial da regra de derivao para a composio 306 8.22. Exerccios 309 '8.23. Condies suficientes para a igualdade das derivadas parciais mistas 8.24. Exerccios variados 3158.1.

8.2. 8.3.

311

9.9.1.

APLICAES DO CALCULO DIFERENCIAL319

Equaes de derivadas parciais

XVI9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17.

lndice ana/iticoUma equao de derivadas parciais de primeira ordem 320 com coeficientes constantes Exerccios 322 - A equao unidimensional das ondas 324 Exerccios 329 331 Derivadas de funes implcitas Exemplos resolvidos 335 Exerccios 340 Mximos, mnimos e pontos sela 341 Frmula de Taylor de segunda ordem para campos escalares 346 A natureza do ponto de estacionaridade determinada pelos valores prprios da matriz Hessiana 348 Critrio das derivadas de segunda ordem para extremos de funes de duas variveis 351 Exerccios 351 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 353 EXerccios 357 Teorema do valor extremo para campos escalares continuas 358 O teorema da continuidade uniforme para campos escalares contnuos

361

10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12. .10.13. 10.14. 10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21.

INTEGRAIS DE LINHA

363 Integrais de linha e linhas de integrao 363 Outras notaes para os integrais de linha 364 Propriedades fundamentais dos integrais de linha 366 Exerccios 368 369 O conceito de trabalho como um integral de linha 370 Integrais de linha relativos ao comprimento de arco Outras aplicaes dos integrais de linha 371 Exerccios 372 Conjuntos conexos abertos. Independncia da linha 374 374 O segundo teorema fundamental do clculo para as integrais de linha Aplicaes mecnica 376 Exerccios 378 379 O primeiro teorema fondamental do clculo para integrais de linha Condies necessrias e suficientes para que um campo de vectores seja um gradiente 381 Condies necessrias para que um campo vectorial seja um gradiente 382 Mtod~s especiais de construo de funes potenciais . 384 Exerccios 387 Aplicaes s equaes diferenciais exactas de primeira ordem 389 Exerccios 392 393 Funes potenciais em conjuntos convexos

Introduo

11. 11.1.

INTEGRAIS MLTIPLOS

Introduo

397

ndice ana/itico11.2. 11.3. 11.4.11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. 11.10. 11.11. 11.12. 11.13. 11.14. 11.15. 11.16. 11.17. 11.18. 11.19. 11.20. 11.21. Parties de retngulos. Funes em escada 398 O integral duplo de uma funo em escada 399 A definio de integral duplo de uma funo definida e limitada num retngulo 401 Integrais duplos superior e inferior 402 403 Clculo de um integral duplo por integrao unidimensional repetida Interpretao geomtrica do integral duplo como um volume 404 Exemplos resolvidos 405 Exerccios 407 Integrabilidade de funes continuas 408 Integrabilidade de funes limitadas com descontinuidades 409 Integrais duplos estendidos a regies mais gerais 410 Aplicaes a reas e volumes 414 Exemplos resolvidos 415 Exerccios 417 Outras aplicaes dos integrais duplos 419 Dois teoremas de Pappus 422 Exerccios 424 Teorema de Green no plano 425 Algumas aplicaes do teorema de Green 429 Uma condio necessaria e suficiente para que um campo vectorial bidimensional seja um gradiente 430 Exerccios 433 Teorema de Green para regies multiplamente conexas 435 O nmero de giros 437 Exerccios 439 441 Mudana de variveis num integral duplo Casos particulares da frmula de mudana de variaveis 445 Exerccios 449 Demonstrao da frmula de mudana de variveis num caso particular 450 Demonstrao da frmula de mudana de variveis no caso geral 453 Extenses a um nmero superior de dimenses 455 Mudana de variveis num integral n-mltiplo 457 Exemplos resolvidos 459 Exerccios 463

XVII

11.22. *11.23. *11.24. *11.25. 11.26. 11.27. 11.28. 11.29. 11.30. 11.31. 11.32. 11.33. 11.34.

12.12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9.

INTEGRAIS DE SUPERF!CIE

Representao paramtrica de uma superfcie 467 O producto vectorial fundamental 471 O producto vectorial fundamental definido uma normal superfcie 474 Exerccios 475 rea de uma superfcie na representao param~rica Exerccios 481 Integrais de superfcie 481 Mudana de representao paramtrica 484 486 Outras notaes para os integrais ?e superfcie

475

XVIII489 12.10. Exerccios 490 12.11. O teorema de Stokes 493 12.12. O rotacional e a divergncia de um campo vectorial 495 12.13. Exerccios 496 12.14. Outras propriedades do rotacional e da divergncia 500 . 12.15. Exerccios *12.16. Reconstruo de um campo vectorial a partir do seu rotacional *12.17. Exerccios 506 507 12.18. Extenses do teorema de Stokes 511 12.19. O teorema da divergncia (teorema de Gauss) 515 12.20. Aplicaes do teorema da divergncia 517 12.21. Exerccios

lndice analtico

502

PARTE 3. TEMAS ESPECIAIS 13.13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13.11. 13.12. 13.13. 13.14. 13.15. 13.16. 13.17. 13.18. 13.19. 13.20. 13.21. 13.22. 13.23.

FUNES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTAR

Introduo histrica 525 526 Funes de conjunto completamente aditivas Medidas finitamente aditivas 528 Exerccios 529 A definio de probabilidade para conjuntos fundamentais finitos 530 Terminologia peculiar da teoria das probabilidades 533 Exerccios 534 Exemplos resOlvidos 535 Exerccios 537 Alguns princpios bsicos de anlise combinatria 539 Exerccios 544 Probabilidade condicionada 545 Independncia aleatria 547 Exerccios 549 551 Experincias compostas Esquema de Bernoulli 555 O nmero mais favorvel de ocorrncias do acontecimento favorvel .em n experincias dum esquema de Bernoulli 557 Exerccios 560 Conjuntos numerveis e no numerveis 562 Exerccios 566 Definio de probabilidade para conjuntos fundamentais infinitos numerveis 567 Exerccios 569 Exerccios variados sobre probabilidades 569

14.14.1.

CALCULO DAS PROBABILIDADES

14.2.

A d~finio de probabilidade para conjuntos fundamentais no numeraveis 573 Numerabilidade de conjuntos de pontos com probabilidade positiva

574

/ndice analitico14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12, 14.13 .. 14.14. 14.15. 14.16. 14.17. 14.18. 14.19. 14.20. 14.21. 14.22. 14.23. 14.24. 14.25. 14.26. 14.27. 14.28. 14.29. 14.30. 14.31. Variveis aleatrias 575 Exerccios 577 Funes de repartio 578 Discontinuidades das funes de repartio 582 Distribues discfetas. Funes de massa probabilstica 585 Exerccios 588 Distribuies continuas. Funes densidade 591 Distribuio uniforme num il.tervalo 592 Distribuio de Cauchy 597 Exerccios 598 Distribuies exponenciais 599 602 Distribuies normais Indicaes referentes a distribuies mais gerais 606 Exerccios 607 Distribuies de funes de variveis aleatrias 608 Exerccios 609 Distribuio de Variveis aleatrias bidimensionais 610 Distribuies discretas bidirnensionais 613 Distribuies bidimensionais continuas. Funes densidade 614 Exerccios 616 Distribuio de funes de duas variveis aleatrias 618 Exerccios 622 Esperana matemtica e varincia 625 Esperana matemtica de uma funo de urna varivel aleatria 630 Exerccios Desigualdade de Tchebycheff 632 Leis dos grandes nmeros 634 Teorema limite central do clculo das probabilidades 637 Exerccios 639 Bibliografia 641

XIX

629

15. 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. . 15.9. 15.10. 15.11.

INTRODUO A ANALISE NUMERICA

Introduo histrica 643 Aproximao p'olinornial 644 Aproximao polinomial e espaos lineares normados 646 Problemas fundamentais da aproximao polinorpial' 648 Exerccios 650 652 Polinmios interpoladores Pontos de interpolao igualmente separados 655. Anlise do erro na interpolao polinomial 656 Exerccios 659 Frmula de interpolao de Newton 662 Pontos de interpolao igualmente espaados. O operador das diferenas sucessivas 664 15.12. Polinmios factoriais 666 15.13. Exerccios 66 7 15.14. Um problema de nmero relativo n~Jrma maximal 669

XX15.15. 15.16. 15.17. 15.18. 15.19. 15.20. 15.21. 15.22. 15.23. Polinmios de Tchebycheff 670 Uma propriedade de mnimo dos polinmios de Tchebycheff 674 Aplicao formuia de erro na interpolao Exerccios 675 Integrao aproximada. A regra trapezoidal 677 Regra de Simpson 680 Exerccios 685 A frmula de somao de Euler 688 Exerccios .694 Bibliografia 697699

lndice analtico672

Solus dos exerccios

lndice alfabtico

745

:

..

'-'

,

Clculo

.

PARTE IANLISE LINEAR

1ESPAOS LINEARES

1.1. Introduo . No desenvolvimento da Matemtica encontramos muitos exemplos de objectos matemticos que podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por nmeros reais. O primeiro exemplo de tais objectos so os prpriOs nmeros reais. Outros exemplos so as funes reais. os nmeros complexos. as sries infinitas, os vectores num espao n dimensional e as funes vectoriais. Nestt: captulo vamos analisar um conceito matemtico geral, chamado espao linear, que inclui todos estes exemplos e muitos outros como casos particulares. Em resumo, um espao linear um conjunto de elementos de natureza qualquer no qual se efectuam certas operaes (chamadas adio e multiplicao por nmeros). Ao definir-se um espao linear, no necessrio e.\peciftcar a natureza dos elementos nem dizer como se realizam entre eles as operaes acabadas de referir. Em vez disso, exige-se que as oper_aes gozem de certas propriedades que se tomam como axiomas do espao linear. Vamos precisamente, em seguida, faze:r uma descrio pormenorizada desses axiomas. 1.2. Definio de espao linearS~ja V um conjunto no vazio de objectos, chamados elementos. O conjunto. V chama-se um espao linear se satisfaz aos dez axiomas que a seguir se enunciam, divididos em trs grupos.

Axiomas de fecho.AXIOMA I. FECHO A RESPETTO DA ADIO. A todo o par de elementos x e)' de V corresponde um nico elemento de V. chqmado soma de x e y e representado p"or x + y.

4AXIOMA 2. FECHO A RESPEITO DA MULTIPLICAO POR NMEROS REAIS.

Clculo A todo o

x de V e todo o nmero real a corresponde um elemento de V, chamado o produto de a por x e representado por ax. Axiomas parti a adio.AXIOMA 3. PROPRIEDADE COMUTATIVA.

Para todo o X e jJ de V. temse

X+

y

=y

+X.

AXIOMA 4. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA.

Para todo

O

X,

y e

Z

de V, tem-se

x+(y+z)=(x+y)+z.AXIOMA 5. EXISTCNCJA DE ELEMENTO ZERO.

Existe um elemento em V, representado

pelo smbolo O, tal que x + O= x para todo o x de V.

AXIOMA 6. EXISTINCIA DE SIMTRICOS. Para todo o X de V, o elemento (- 1 )x tem a propriedade

x+(-!)x=O.Axiomas pala a multiplicao por nmeros.AXIOMA 7. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA~

Para todo o

X

de V, e todo o par de nmeros

reais a e h. tem-se

a(bx)

=

(ab)x.

AXIOMA 8. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO EM

V. Para todo o par

x e y de V e todo o real a. tem-se

a(xAXIOMA

+ y) =

ax

+ ay.

9. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO DE NMEROS. Para todo

o x em V e todo o par de reaL'f a e b tem-se

(a+ b)x = ax

+ bx.Para todo x em V, tem-se

AXIOMA 10. EXISTINCIA DE ELEMENTO IDENTIDADE.

lx= x.Os espaos lineares. como foram definidos atrs, so muitas vezes chamados espaos lineares reais, para fazer ressaltar o facto de que se multiplicam elementos de V por nmeros reais. Se nos Axiomas-2. 7, 8 e 9 substiuimos nmero real por nmero

Espaos lineares

5

complexo, a estrutura resultante chama-se lim espao /ineaJ' complexo. Por vezes um espao linear chama-se tambm espao vectorial linear. ou mais simpleSmente espao vectorial; os nmeros usados como multiplicadores diamam-se escalares. Um espao

linear real admite os nmeros reais como escalares, um espao linear complexo admite os nmeros complexos como escalares. Embora se considerem aqui fundamentalmente exemplos de espaos vectoriais lineares reais, todos os teoremas so verdadeiros igualmente para os espaos vectofiais complexos. Quando fazemos uso da expresso espao linear, sem qualquer designao suplementar, deve subentender-se que o espao pode ser real ou complexo.1.3. Exemplos de espaos lineares

Se especificamos qual o. conjuil.to V e dizemos como somar os seus elementos e como multiplic-los por nmeros, obtemos um exemplo concreto de um espao linear. O leitor pode facilmente verificar que cada um dos seguintes exemplos satisfaz a todos os axiomas para um espao linear real.EXEMPLO I. Seja V= R o conjuntO dos. nmeros reais, e sejam x multiplicao usuais de nmeros reais.

+ y e ax a adio e

EXEMPLO 2. Seja V~ C o conjunto dos nmeros complexos, seja x + y a adio ordinria de nmeros complexos e ax a multiplicao de nmeros complexos x pelo nmero real a. Embora os elementos de V sejam nmeros complexos, este um espaO linear real porque os escalares so reais.EXEMPLO 3. Seja V= Vn o espao vcctorial dos sistemas de n nmeros reais, com a adio e a multiplicao por escalares definida da maneira usual em funo das componentes.

e

EXEMPLO 4. Seja V o conjunto de todos os vectores em V" ortogonais a um dado vector no nulo N. Se n = 2, este espao linear uma recta que passa por O, ad~intin do N como vector normal. Se n = 3, um plano que passa por O com N como vector normal.Os exemplos que se seguem dizem-se espaos funcionaiS. Os elementos de V sO funes reais, com a adio de duas funes f c g definidas na forma usual: (f+ g)(x)

= f(x) + g(x)

para todo o real x pertencente interseco dos domnios de f e g. A multiplicao de uma funo f por um escalar real a define-se do modo seguinte: af a funo cujo valor para cada x no domnio de f e af(x). O elemento zero a funo cujos valores so sempre zero. O leitor verificar com facilidade que cada um dos conjuntos seguintes ~ um espao funcionaL

;EXEMPLO 5. O EXEMPLO 6. O

Clculo conjunto de todas as funes definidas num dado intervalo. conjunto de todos os polinmios.

EXEMPLO 7. O conjunto de todos os polinmios de grau ;:i n, com n fixo. (Sempre que se considera este conjunto subentende-se que o polinmio zero est tambm incluido). O conjunto de todos os polinmios de grau igual a n no um espao linear porque os axiomas de fecho nO so satisfeitos. Por exemplo, a soma de dois polinmios de grau n no ter necessariamente grau n. EXEMPLO 8. O conjunto de todas as funes contnuas num dado intervalo. Se o intervalo [a, bl representamos este espao linear por C(a, b). EXEMPLO 9. O

conjunto de todas as funes derivveis num dado ponto. conjunto de todas as funes integrveis num dado intervalo.

EXEMPLO 10. O

EXEMPLO 11. O conjunto de todas as funes f definidas no ponto I, comf(l)~ O: O nmerO O fundamental neste exemplo. Se substituirmos O por um nmero c no nulO, violamos os axiomas de fecho. EXEMPLO 12. O conjunto de todas as solues de uma equao diferencial linear homognea y- + ay' + by =O, com a e b constantes. Aqui mais uma vez o O essencial. O conjunto de solues de uma equao diferencial no homognea no satisfaz aos axiomas de fecho.

Estes .exemplos e muitos outros mostram bem quanto o conceito de espao linear est estendido Algebra, Geometria e Anlise. Quando se deduz um teorema a partir dos axiomas de um espao linear, obtemos, de uma vez, um resultado vlido para cada exemplo concreto. Unificando diferentes exemplos desta maneira ganhainos um conhecimento mais aprofundado de cada um. Algumas vezes o conhecimento de um exemplo particular ajuda-nos a antecipar ou interpretar resultados vlidos para outros exemplos e pe em evidncia relaes que de outro modo poderiam passar desPerebidas.IA. Consequnciils elementares dos axiomas

Os teoremas que se seguem deduzem-se facilmente dos axiomas para um espao linear.TEOREMA 1.1. UNICIDADE DO ELEMENTO ZERO.

Em qualquer espao linear existe

um e um s elemento zero. Demonstrao. o axioma 5 diz-nos que existe pelo menos um elemento zero. Suponham.os que existiam dois, por exemplo o, e o,. Tomando X~ o, 'e o~ o, no Axiom

Espaos lineares

7

5, obtemos O,+ O,= O,. Analogamente, tomando x =O, e O= O,, encontramos O,+ O,= O,. Mas O,+ O,= O,+ O,, devido propriedade comutativa, pelo que

o,= o,.

TEOREMA 1.2. UNICIDADE DOS ELEMENTOS SIMETRICOS. Em qualquer espao linear

todo o elemento Qdmite unicament um simtrico, isto , para todo o x existe um e um s y tal que x + y= O.

Demonstrao. O Axioma 6 di~-nos que cad x admitepelo menos um simtrico, a saber ( -l)x. Admitamos agora que x tinha dois simtricos, y, e y,. Ento x + y, =O e x + y, = O. Somando y, a ambos os membros da primeira igualdade e utilizando osAxiomas 5, 4 e 3, encontramos

y,e

+ (x + y 1 )

= y, +O= y,,

Portanto y,Notao.

=

y,, pelo que x tem precisamente um simtrico, o elemento (- l)x.X

soma y + ( -x).

o simtrico de

representa-se por

-X.

A diferena y:.......

X

definida pela

O teorema seguinte refere um certo nmero de propriedades que regemo.s c.lculos algbricos elementares num espao linear.TEOREMA i .3. Num dado espao linear, sejam x e Y elementos arbitrrios e a e b escalares arbiJrrios. Ento verificam-se as seguintes propriedades: (a) Ox =O.

(b)a0=0. (c) ( -a)x = - (ax) = a( -x). (d)Seax=O, entoou a=Ooux=D. (e) Se ax = ay e a >' O, ento x = y. (f) Seax = bx e x >'O, ento a= h. (g) -(x + y) = (-x) + (-y) = - x - y. (h) x + x = 2x, x + x + x = 3x, e em geraldo leitor.

L;=l x = nx.

Vamos demonstrar (a), (b) e (c), deixando as demonstraes das restantes ao cuidadoDemonstrao de (a). Seja z = Ox. Desejamos provar que z =O. Somando z a si prprio e aplicando o Axioma 9, verificamos que .z

+z

= Ox

+ Ox = (O+ O)x =

Ox = z.

Adiconamos agora -z a ambos o"s membros e obtemos z = O.

8

ClculoSI

Demonstrao de (b). Seja z ~aO; adicionemos z a maS.

prprio e utilizemos o Axio-

Demonstrao de (c). z ~ ( -a)x. Adicionando z a ax e utilizando o Axioma 9, verificamos que z

+ ax =

( -a)x

+ ax =

(-a

+ a)x =

Ox = O,

pelo que z o simtrico de ax, z ~ -(ax). Analogamente, se adicionamos a( -x) a ax eutilizamos o Axioma 8 e a propriedade (b), encontramos que a( -x) ~ -(ax).

1.5. ExercciosNos Exerccios I a 28, determinar se cada um dos conjuntos dados um espao linear real, com a adio e a multiplicao por escalares reais definidas da forma usual. Para os Exerccios em que assim no seja, dizer quais so o-s axiomas que no se verificam. As funes nos Exerccios I a 17 so reais. Nos Exerccios 3, 4 e 5 cada funo tem um domnio contendo O e I. Nos Exerccios 7 a 12, o domnio e o conjunto de todos os nmeros reais. I. Todas as funes racionais. 2. Todas as funes racionais_f/g, com o-grau de f;;[: que o grau de g(incluindof = 0). 3. Todas as funesfcomf(O) ~/(1). 4. Todas as funes f com 2{(0) ~f'( I). 5. Todas as funesfcomf(l) ~ I + f(O). 6. Todas as funes em escada definidas em escada [0, I L 7. Todas as funes comf(x) ___.,O quando x- + oo~ 8. Todas as funes pares. 9. Todas as funes mpares. 10. Todas as funes limitadas. I I. Todas as funes crescentes. 12. Todas as funes peridicas de perodo 2n. 13. Todas as funesfntegraveis em [0, 1], com J~f(x)dx =O. 14. Todas as funes/integrveis em [0, 11, comJ~f(x)dr f:; O. 15. Todas as funes verificando f(x) ~ /(1 - x) para todo o x. 16. Todos os polinmios de Taylor de grau ~ n para um n dado (incluindo o polinmio zero). 17. Todas as solues da equao diferencial linear homognea de segunda ordemy- + P(x)y' + Q(x)y =O, com P e Q funes dadas e contnuas para todo x. 18. Todas as sucesses reais limitadas. 19. Todas as sucesses reais convergentes. 20. Todas as sries reais convergentes. 21. Todas as sries reais absolutamente convergentes. 22. Todos os vectores (x, y, z) de V 3 com z =O. 23. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com- x =O ou y =O. 24. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com y = 5x. 25. Todos os vectores (x. y, z) de V3 com 3x + 4y = 1, Z =O. 26. Todos os vectores (x, y, z) de V 3 que so mltiplos escal:ires de (I, 2, 3). 27. Todo~ os vectores (x. y, z) de V3 cujas componentes satisfa!m a um sistema de trs equaes lineares de forma:

Espaos lineares

9

28. Todos os vectores de V,1 que so combinaes lineares de dois vectores dados A e B. 29. Seja V= R+. o conjunto dos nmeros reais positivos. Defina-se a ~soma" de dois elementos x e y em V como sendo o seu produto xy(no sentido usual) e defina-se"multiplicao" de um elemento x de V por um escalar c como sendo xc. Provar que -v um espao linear real com I como elemento zero. 30. (a) Provar que o Axioma lO pode ser provado a partir dos outros axiomas. (b} Provar que o Axioma to no pode ser deduzido dos outros Axiomas se o Axioma 6 for substitudo pelo Axioma 6':1 "Para todo x em V existe um elemento y de V tal que X+ _V= ON. . 31. SejaS o conjunto de todos os pares ordenados (x 1, x 2 ) de Omeros reais. Em cada alnea determinar se sim ou no S um espao linear com as "operaes de adio e multiplicao por escalares ddinidas como se indica. Se o conjunto no fr um espao linar. dizer quais os axiomas que no so verificados. a(x1 , x 2) ~ (ax1 , O). (a) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 + y 1 ,x2 + y 2 ), (b) (x1 ,x2) + (y1 ,y2 ) ~ (x1 + y 1 ,0), a(x1 , x 2) = (ax1 , ax 2). (c) (x1 ,x2) + (y.,y2 ) ~ (x1 ,x2 + y 2 ), a(x1 , x 2) = (ax1 , ax2 ). (d) (x1 ,x2 ) + (y1 ,y2 ) ~ (lx1 +x2 (,(y. + y 2 (), a(x1 , x 2) ~ (lax1 (, (ax2 1). 32. Demonstrar as partes da d at h do Teorema 1.3.

e

1.6. Subespaos de um espao linear Dado um espao linear V, seja S um conjunto no vazio de V. Se S tambm um eSpao linear. com as mesmas operaes de adio e multiplicao por escalares. ento S diz-se um subespao de V. O teorema que apresentamos a seguir d um critrio simples para determinar se sim ou no um subconjunto de um espao linear um subespao.TEOREMA 1.4. Se S um subconjunto no vazio de um espao linear V, ento S um subespao se e s se S satisfaz aos axiomas de fecho.

Demonstrao. Se S um subespao, verificam-se todos os axiomas para um espao linear e por conseguinte, ~m particular, verificam-se os axiomas de fecho. Demonstremos agora que st: S satisfaz aos axiomas de fecho, satisfaz igualmente aos outros. As propriedades comutativa e associativa para a adio (Axiomas 3 e 4) e os axiomas para a multiplicao por escalares (Axiomas 7 e lO) so automaticamente satisfeitos em S porque so vlidos para todos os elementos de V. Falta verificar os Axiomas 5 e 6, a existncia em S do elemento zero e a existncia do simtrico de cada elemento de S .. Seja x um qualquer elemento de S. (S tem pelo menos um elemento visto que no vazio.) Pelo -Axioma 2, ax est em S para todo o escalar a. Fazendo a= O, resulta que Ox est em S. Mas Ox ~ O, pelo teorema 1.3(a), pelo que O E Se o Axioma 5 satisfeito. Fazendo a~ - I, vemos que (- I )x pertenece a S. Mas x + (- I )x ~ O visto que quer x, quer (-J)x esto em V, e consequentemente o Axioma 6 satisfeito em S. Deste modo S subespao de VDEFINIO. S~ia

S um subconjunto no vazio de um espao linear V. Um elemento x

de V da forma

10

Clculo

onde x . X2, ... , xk. pertencem todos aS e c,, C2 , , ckso escalares, diz-Se uma combinao linear finita de elementos de S. O conjunto de todas as combinaes lineares finitas de

elementos de S verificam os axiomas de fecho e por conseguinte um subespao de V. Chama-se este o subespao gerado por S. e representa-se por L(S). Se S vazio. definimos L(S) como I OI, o conjunto constando unicamente do elemento :era.

Conjuntos distintos podem gerar o mesmo subespao. Por exemplo, o espao V, gerado por cada um dos seguintes conjuntos de vectores {i, jl, {i, j, i+jl. {0, i-i, }-j. i+jl. O espao de todos os polinmios np(t) de grau ;:;; n gerado pelo conjunto de n + I polinmios.

tambm gerado pelo conjunto \1, t/2, t'/3, ... , t!(n + I )I, e por li, (I + t), (I + t)', .. . , (I+ t}'>}. O espao de todos os polinmios gerado pelo conjunto infinito dos polinmios li, t.t', ... }. Um certo nmero de perguntas se podem pr ao chegarmos a este ponto. Por exemplo, que espaos podem ser gerados por um conjunto finito de elementos? Se um espao pode ser gerado por um conjunto finito de elementos, qual o nmero mnimo de elementos necessrios? Para analisar estas e outras questes, introduzimos os conceitos de dependncia e independncia linear, bases e dimenso. Estas noes j (oram referidas no captulo 12 quando do estudo do espao vectorial V,. Agora apenas as vamos generalizar aos espaos lineares de tipo qualquer.

1.7. Conjuntos dependentes e independentes num espao linearDEFINICO. Um conjunto S de elementos de um espao linear V diz-se dependente se existe um conjunto finito de eli!menlos distintos de S; por exemplo X 1, X 2 , ... , xk e um correspondente conjunto de escalares C1 , c2 , . , ck. no conjuntamente todos nulos, tais que

L CJXi =o.i=l

k

Uina eqao 1=1 C;X; =O com algum C; =I= O diz-se ser uma.- representao nao trivial de O. O conjunto S diz-se linetirmente independente se no e dependente, isto . quGi.'lquer que sejam os elementos distintos x 1 , x 2 , . , Xk de Se Os escalares C1 , c2 , , Ck,

l

i=l

1: c,x, =o

k

implica

-Embora a dependncia e irldependncia sejam propriedades dos conjuntos de el( _mentos, aplicam-se habitualmente estas designaes aos prprios elementos dess1

Espaos lineares

11

mesmos conjuntos. Por exemplo, os elementos de um conjunto independente dizemse linearmente independentes. Se S um conjunto finito, a definio precedente concorda com a dada no Captulo 12 para -o espao Vn Contudo, a presente definio no est rest_ringida a conjuntos finitos.EXEMPLO l. Se um subconjunto T de um conjunto S dependente, ento S tambm dependente. Isto logicamente equivalente afirmao de que cada subconjunto de um conjunto independente ' independente.

EXEMPLO 2. Se um elemento de S um mltiplo escalar do outro, ento S dependente.EXEMPLO 3. Se O E S. ento S dependente.EXEMPLO

4. O conjunto vazio independente.

No Volume I foram discutidos muitos exemplos de conjunts dependentes e independentes de vectores de Vn Os exemplos seguintes ilustram esses conceitos em espaos funcionais. Em. cada caso o espao linear fundamentalmente V o conjunto de todas as funes reais definidas na recta real.EXEMPLO 5. Sejam u,(l) = cos 2 1, u 2 (1) = sen 2 1, u,(l) =I, para todo o nmero real

A identidade de Pitgoras mostra que u, u,, U 2 , U3, so dependentes.

+ u2 -

u3

= O,

t:

pelo que as trs funes

EXEMPLO 6. Seja u,(l) = 1' para k .~ O, I, 2, ... , e 1 real. O conjuntoS= {u,, u,, ... } independente. -Para demostrar isto, basta provar que para cada n. os n + I po1inmios u0 , U 1 , , u" so independentes. Uma relao da formaLc~k =O significa que

(1.1)

para todo o real I. Quando I= O; encontramos c0 =O. Derivando (1.1) e fazendo 1 =O, encontramos c, =O. Repetindo o processo, verificaffios que cada coeficiente ck zero.EXEMPLO

7. Se- a 1, , a, so nmeros reais distintos, as n funes exponenciais

so independentes. Podemos demonstr-lo por induo relativamente a n. O resultado verifica-se trivialmente quando n= I. Admitamos por conseguinte que verdadeira para n- l funes exponenciais e consideremos os escalares c1,.c1,. , c, tais que

12

Clculo

(1.2) Seja aMo maior-dos n nmeros a,; a,, ... , a . Multiplicando ambos os membros de (1.2) por e- 0 MX, obtemos (1.3)

cke(a~;-a.I()X = o. Lk=l

Se k#: M. o nmero ak- aM negativo. Deste modo. quando x- + oo na equao ( 1.3), cada termo com k M tende para zero e encontramos que eM~ O. Suprimindo o termo de ordem M em ( 1.2) e aplicando a hiptese de induo, encontramos que cada um dos n- 1 restantes coeficientes ck zero.

*

TEOREMA 1.5. Se S ~ lx,, x, . ... , xd um conjun(o independente formado por k elementos de um espao linear V e se L(S) o subespao gerado por S, ento todo o conjunto de k + I elementos de L(S) dependente.

Demonstrao. A demonstrao faz-se por induo em k. que representa o nmero de elementos de S. Em primeiro lugar suponhamos k ~ I. Ento, por hiptese, S formado por um nico elemento x" com x, 1=0, visto que S independente. Consideremos agora dois quaisquer elementos distintos y, e y 2 em L(S). Ento cada um destes elementos um escalar multiplicado por X 1 seja y, = c,x 1 e y 2 = c2x" onde c, e Cz so ambos diferentes de o_ Multiplicando yl por Cz e Yz por CI e subtraindo, obtemos

Esta uma representao no trivial de O, pelo que y 1 e y 2 sero dependentes; est, pois, demonstrado o teorema quando k = l. Admitamos agora que o teorema verdadeiro para k- 1 e provemos que ainda verdadeiro para k. Tomemos um conjunto de k + I elementos em L(S), digamos T = {_r" y 2 , ___ , J'k+l }_ Desejamos provar que T dependente. Visto que cada y,- est em L(S) podemos escreverk

(1.4)

Yi = Laii.iij=l

para cada i= I, 2, ___ , k + I_ ExaminemOs todos os escalares a,-1 que multiplicam x, e para tal devdamos a demonstrao em duas partes conforme todos estes escalares so ou no nulos_CASO I. a 1, ~O para cada i~ I, 2, ... , k +I. Neste caso a soma em (1.4) no contm Xp pelo que cada y,- em T est no subespao linear gerado pelo conjunto s ;= lx,, ... , x,}. Mas S' independente e consta de k- I elementos. Pela hiptese

Espaos lineares

13

de induo, o teorema verdadeiro para k- I pelo que o conjunto T dependente. Est assim demonstrado o teorema no Caso I.CASO -2. Nem todos os escalares G; 1 so nulos. Admitamos que 0 11 *O. (Se-necessrio, podemos numerar de novo os y de modo a que isso se verifique.) Fazendo;= I na equao (IA) c multiplicando ambos os membros por c;. com C;= a;Ja 11 , obtemos c,y1 = anx 1 Se a-esta subtrairmos,mem~ro

+L c1a 11x 1 i=2

k

a membro, a equao (1.4)-resultak

c,y 1

-

y, = L(cia 11.i=2

-

a 11 )x1 ,

para i= 2,; .. , k + i. Esta equao exprime cada um dos k elemen~os C;J' 1 - Y; como uma COf!lbinao linear de k- 1 elementos independentes x2 ... ' Xk. Pela hiptese de indtio, os k elementos C;J 1 - Y; devem ser dependentes. Consequente-mente para determinada escolha dos escalares 12 , , tk+l no simultneamente nulos, temosk+l

2t,(c,y1i=2

-

y,) =O,

donde resulta

Esta, porm, uma combinao linear no trivial de y 1 , , Yk+l que representa o elemento zero, pelo que os elementos y~> ... , Yk+ 1 devem ser dependenteS, ficando assim completado a demonstrao.

1.8. Bases e dimensoDEFINIO. Um conjunto finito S"de elementos num espaO linear_ V chama-se uma base finita de V se S independente e gera V. O espao V diz-se de dimenso finita se tm uma base finita. ou se V forf!1ado unicamente por O. Caso contrrio V diz-se de dimenso infinita.TEOREMA 1.6. Se V um espao linear de dimenso finita,' ento cada base finita de V tem o mesmo nmero de elementos.

e

'

Demonstrao. Sejam S e T duas bases finitas de V. Suponhamos que S formado por k elementos e T formada por m elementos. Uma vez que S independente a gera V, o teorema 1.5 diz-nos que cada conjunto de k + I elementos de V dependente. Por conseguinte, todo o conjunto de mais do que k elementos de V dependente. Visto

I

'

14

Clculo

que T um conjunto independente. devemos ter m s k. O mesmo raciocnio com S e T permutados mostra que k:::; m. Portanto k = m.DEFINIO. Se um espao linear V tem uma base com n elementos, o inteiro n chamase dimenso de V, e escreve-se n = dim V. Se V= 10} diz-se que V tem dimenso O.EXEMPLO 1. O espao V n tem dimenso n. Urna base deste espao o conjunto dos n vectores coordenados unitrios.EXEMPLO 2. O espao de todos os polinmios p(t) de grau ,;; n tem dimenso n + I. Uma base o conjunto de n + I polinmios\1, I, I', ... , l"l. Todo o polinmio de grau;;::: n uma combinao linear desses n + I polinmios. EXEMPLO 3. O espao das solues da equao diferencial y"- 2r- 3r ~ O tem dimenso 2. Uma base consiste das duas funes u 1(x) =e-x, u 2 (.~) = e'x. Toda a soluo uma combinao linear destas duas. EXEMPLO 4. O espao de todos os polinmios p(l) de dimenso infinita. O conjunto infinito li, I, t', ... \gera este espao e nenhum conjuntofinilo de polinmios gera .o espao.

TEOREMA 1.7 Seja V um espao linear de dimenso finita com dim V= n. Ento verifica-se que: (a) Todo o conjunto de elementos independientes de V um subconjunto de alguma base de V. (b) Todo o conjunto de n elementos independentes uma base para V.

DemOnstrao. Para demonstrar (a), designamos por S = {x 1 , , xk} qualquer conjunto independente de elementos de V. Se L(S) ~ V, ento S uma base. Caso contrrio, existe algum elemento y em V, o qual no pertencer a L(S). Juntemos este elemento aS e consideremos o novo conjuntoS'= {x1 , , xk>y}. Se este conjunto fosse dependente existiriam escalares c 10 ..:..... ck+., no todos nulos, tais que

I c,x, + cHY = O .

Mas ck + 1 O visto x 1, , x k serem independentes. Consequentemente. podemos resolver esta equao em relao a y, chegando concluso de que y E L(S), o que contradiz o facto de que y no pertence a L(S). Portanto, o conjuntos independente e contm k + I elementos. Se L(S) ~ V, ento S uma base e, visto ser S um sul>conjunto de S , a alnea (a) est demonstrada. Se S no uma base, podemos raciocinar de novo com s' como o flZemos com S, obtendo um novo conjuntos- o qual conter k + 2 elementos e ser independente. Se S- uma base, ento a alnea (a) est demonstrada. Caso contrrio, repete-se o processo. Devemos assim chegar a uma base ao fim de um nmero finito de etapas, doutro. modo obteramos eventualmente um conjunto independente com n + I elementos, contradizendo o teorema 1.5. Por isso, a alnea (a) do teorema 1.7 est demonstrada.

*

i=l

Espaos lineares

15

Para demonstrar a alnea (b), designemos por S qualquer conjunto independente formado por n elementos. Devido alnea (a), S um subconjunto de certa base, por exemplo B. Mas pelo teorema 1.6, a base B tem precisamente n elementos, e assims~

B.

1.9. Cnrnp(_mcntes

Seja V um espao linear de dimenso n e consideremos uffia base cujos elementos e., ... , en se tomam segundo determinada ordem. Representamos uma tal base ordenada por um n-sfstema {e,, ... , en). Se x E V, podemos exprimir x como uma combinaOIIinear destes elementos da base:n

(1.5)

x=:ciei.i=l

Os coeficientes nesta igualdade determinam um n-sistema de nmeros (c" c2 , , cn) o qual fia univocamente determinado para x. Com efeito, se tivessemos outra representao dex como combinao linear de e 1, , e"' por exemplo x = 2 '!= 1 d;e 1, ento subtraindo membro a membro de (1.5), encontramos 27~ 1 (c,- d,)e,~O. Mas porque os elementos de base so independentes. a igualdade anterior implica c;= d; para todo o i~ 1, 2, ... , n, pelo que ser (c,, c,, ... , c.)= (d,, d,, ... , d.). Os elementos do n-sistema ordenado (c,," c,, ... , cJ definidos por (1.5) dizem-se ascomponentes de X relativamente buse ordenada(e~"

e 2, , e,n)-

1.1 O. ExercciosEm cada um dos Exerccios I a 10, S o conjunto de todos os vectores (x, y, z) de V3 cujas componentes satisfazem condio dada. Determinar-se S um subespao de V3 Se S for um subespao, calcular dim S.1. X= 0, 2. X+ y = 0.

J. X+ y

+Z=

0:

4. X =y. 5. x = y =z.

6. X= J OU X =_z. 7.x2 -y2 =0. 8. X+ y = 1. 9. y = 2x e z = 3x. 10. X + y + Z = 0 e X

-

y -

Z

= 0.

Seja P, o espao linear de todos os polinmios de grau -;;;,- n, com n fixo. Em cada um aos Exerccios 11 a 20, representeS o conjunto de todos os polinmios f em P, satisfazendo s condies dadas. Determinar se sim ou no S um subespao de P,. Se S for um subespao, calcular dim S.11. J(O) ~O. 12.['(0) =0. 13. J"(O) ~O. 14.[(0) +['(O) ~o.15.[(0) =[(1).

16. [(O)

~ [(2).

17.f par. 18. f mpar. 19. f tem grau,; k, com k < n, ou f= O. 7.0.ftem grau k, com k < n, ou f~ O.

16

Clculo

21. No espao linear de todos os polinmios reais p{t), descrever o subespao gerado por cada um dos seguintes subconjuntos de polinmios e determinar a dimenso-desse sUbespao. (a) {I, 12 , t 4 ); (b) {t, 13, t 5); (c) {1, 12}; (d) {I + t, (I + 1)2}. 22. Neste Exerccio, L(S) repfescnta o subespao gerado por um subconjunto S de um espao linear V. Provar cada uma das proposies seguintes de (a) a (f). (a) S c;;L(S). (h) Se S T s; V e se T um subespao de V, ento L(S) T. Esta propriedade enuncia-se dizendo que L(S) o menor subespao de V que contm S. (c) Um subconjuntoS de V um subespao de V se e s se L(S) =S. (d) Se S ; T ; V, ento L(S) c;;L(n. (e) Se Se T so subespaos de V, ento tambm o S n T. (f) Se Se Tso subconjuntos de V, ento L(S n 7) c;;L(S) nL(n. (g) Dar um exemplo no qual L(S n 7) L(S) n L(7). 23. Seja V o espao linear de todas as funes reais definidas na recta real. Determinar se cada um dos seguintes subconjuntos de V C-dependente ou independente. Calcular a dimenso do subespao gerado por cada conjunto. (a) {I, e"", e'"), a T' h. (f) {cos x, sen xl. (b) (e"", xe""). (g) {cos' x, sen' xl. (c) (I, e"", xe""). (h) {I, cos 2x, sen' xl. (d) (e"", xe"", x 2e""). (i) {sen x .. sen 2xl. (e) kT, e-.T, ch x\. (j) {ex cos x, e-x.sen x}. 24. seja V um espao linear de dimenso finita e S um subespao de V. Demonstrar cada uma das seguintes proposies. (a) S tem dimenso finita e dim S :5 dim V. (b) dim S = dim V se e s se S = V. (c) Toda a base de S parte de uma base de V. (d) Uma base de V no contm necessariamente uma base de S.

*

1.11. ProdUto interno, espaos euclidianos. Normas

Na geometria euclidiana, aqu.elas propriedades que contam com a possibilidade de medio de comprimento de segmentos de recta e ngulos definidos por rectas chamam-se propriedades mtricas. No nosso estudo de Vn, definimos comprimento e ngulos a partir do produto escalar. Desejamos agora generalizar aquelas noes a espaos lineares mais gerais. Introduziremos em primeiro lugar uma generalizao do produto escalar que designaremos agora por produto interno e definiremos comprimentos e ngulos em funo do produto interno. O produto escalar x y de dois vectores x = (x 1 , x 2 , , Xn) e y = {y~" )-'2 , , Yn) em Vn foi definido, no Capitulo 12, pela frmula (1.6).n

(1.6)

x. y = LxiYii=l

Num espao linear qualquer, escrevemos (x, y), em vez de x y, para o produto interno e definimos este axiomaticamente, em vez de o fazermos por uma frmula especfica, isto , estabelecemos um certo nmero de propriedades que pretendemos que o produto interno possua e consideramo-las como axiomas.

Espaos lineares

17

DEFINIO. Define-se mim espao linear real V um produto interno se a cada par de elementos x e y em V corresponde um nico nmero real (x, y) satisfazendo aos seguintes axiomas. quaisquer que sejlim x. y e z de V e qualquer que seja o escalar real~(I) (x,y) ~ (y, x) (comutatividade, ou simetria). (2) (x, y + z) ~ (x, y) + (x, z) (distributividade, ou linearidade). (3) c(x, y) ~(ex, y) (associatividade. ou homogeneidade). (4) (x, x) >o se x O (positividade). Um espao linear dotado com a operao produto interno diz-se um espao eucli-

*

diano real.Nota.Fazendo c= O em (3), encontramos (0, y) =O para todo o y.

Num espao linear complexo, um produto interno (x, y) um nmero complexo satisfazendo aos mesmos axiomas que_ os do produto interno real, excepto o axioma de simetria que substituido pela relao(!')

(x, y) = (y, x),

(simetra hermticat)

onde (y, x) representa o complexo conjugado de (y, x). No axioma da homogeneidade, o factor escalar c pode ser qualquer nmero complexo. Do axioma da homogeneidade e (I ) obtemos a relao(3') (x, cy) = (cy, x) = c(y, x) = c(x, y).

Um espao linear complexo dotado de produto interno chama-se um espao euclidiano complexo. (Algumas vezes tambm se usa a designao espao unitrio). Um exemplo o espao vectorial complexo V,(C) j referido na Seco 12.16 do Volume I. Embora o nosso interesse resida fundamentalmente nos exemplos de espaos euclidianos reais, os teoremas que se apresentam a seguir so vlidos igualmente para espaos euclidianos complexos. Quando usarmos a expresso espao euclidiano, sem fazer qualquer referncia complementar, subentender-se- que o espao pode ser real ou complexo. O leitor verificar que cada um dos exemplos seguintes satisfaz a todos os axiomas

do produto interno.EXEMPLO I.

Em v. seja (x, y)~

~

x y, o produto escalar usual de x por y.~

EXEMPLO 2. Se x (x, y) pela frmula

(x,, x,) e y

(y,, y,) so dois vectores quaisquer de V,, definir

(x, y) = 2x,y1

+ x 1y 2 + x,y + x,y,.1

(t) Em honra de Charles Hermite (1822-1901). um matemtico francs que contribuiu muito para o desenvolvimento da lgebra e anlise.

18

C/cu/c

Este exemplo mostra que _pode estar definido mais do que Um produto interno num dado espao linear.EXEMPLO 3. Represente C(a. h) o espao linear de todas as funes reais contnuas definidas num intervalo la, hl. Definamos o produto interno de duas funes f e g pela frmula

(f, g)

=I:

/(t)g(t) dt.

Esta frmula anloga Equao (1.6) que define o _produto escalar de dois vectores de v. Os valores das funes f(t) e g(t) desempenham o papel das componentes x; e Yi e a integrao substitui a somao.EXEMPLO

4. No espao C(a, b), definimos(f, g) =

J: w(t)f(t)g(t) dt,

com w uma funo positiva dada em C( a, b). A funo w diz-se a funo peso. No exemplo 3 temos w(t) = I para todo o t.EXEMPLO 5. Nb espao linear dos polinmios reais, definimos

u. g) =

r

.-'j(i)g(t) dt.

Em virtude do factor exponencial, este integral imprprio convci"ge para todo o par de polinmiosfe g.TEOREMA 1.8. I'lum espao euclidiano V, todo o produto interno verifica a desiguq/dade de Cauchy:Schwarz:

j(x,y)j'

~

(x, x)(y,y)

quaisquer que sejam x e y em V.

Alm disso. o sinal de igualdade verifica-se se e s se x e y so dependentes.Demonstrao. Se acontece que ou x = O ou y = O' a demonstrao trivial, pelo que supomos que ambos X e y so no nulos. Seja z = ax + by, com a e b escalares a serem especificados mais adiante. Temos a desigualdade (z, z) i: O para todo o par a e b. Quando explicitamos esta desigualdade em funo de x e y com uma escolhe. adequada de a e b, obtemos a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para exprimir (z, z) em funo de x e y servimo-nos das propriedades ( !'), (2) e (3.) e conclumos que

r

Espaos lineares

19

(z, z)

= (ax + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by) = a(x, x) + ah(x,y) + b(y, x) + bh(y,y);?: O.

fomando a= (r, y) e suprimindo na desigualdade o factor positivo (y, y) resulta' (y,y)(x, x) Faamos agora b =tomando a forma

+ h(x,y) + b(y, x) + bh;?: O.b= (y, x) e a ltima desigualdade simplifica-se,

-

(x, y). Ento

(y, y)(x, x) :?: (x, y)(y, x) = i(x, y)l'. o que prova a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O sinal de igualdade vlido atravs da demonstrao, se e s se:::= O.lsto verifica-se, em particular, se e s se x e y so dependentes. EXEMPLO. Aplicando a teorema 1.8 ao espao C(a, b) com o produto interno (f, g) = J;;f(t)g(t)dt, encontramos para a desigualdade de Cauchy-Schwarz

(J:

f(t)g(t) dt)'

:o;; ({' f'(t)

ar)(J: g'(t) ar).

O produto interno pode ser usado para introduzir o conceito mtrico de comprimento em qualquer espao euclidiano.

DEFtNtO. Num espao euclidiano V. o nmero no negativo 11 xll definido pela igualdade

llx !Ichama-se a norma do elemento x.

= (x,

x)li

Exprimindo a desigualdade de Cauchy-Schwarz em .termos de

no~mas

escreve-se

l(x,y)l :o;; llxll llyllVisto ser possvel definir um produto interno de diferentes maneiras, a norma de um elemento depender da escolha do produto inerno. Esta falta de unicidade era de esperar. Tal facto anlogo ao de podermos atribuir diferentes nmeros medida do comprimento de. dado segmento de recta, dependendo da escolha da unidade de medida. O teorema seguinte define propriedades fundameiltais das normas que no dependem da escolha do produto interno.

20

Clculo

TEOREMA 1.9. Num espao euclidiano, toda a norma goza das seguintes propriedades para todos os elementos x e y, e todo o escalar c:

(a) 11 xll ~O se x ~ O. (blllxii>O se x*O. (c) llcx~~kl~xll (d) llx + Yll ,; llxll +li .vil

(positividade). (homogeneidade). (desigualdade triangular).

O sinal de igualdade verifica-se em (d) se x

= O. se y =O. ou se y =ex para algum c> O.

Demonstrao. As propriedades (a), (b) c (c) deduzem-se imediatamente dos axiomas do produto interno. Para demonstrar (d), observemos quellx

+ yll' = (x + y, x + y) = (x, x) + (y,y) + (x,y) + (y, x)=

llxll' + llyll' + (x,y) + (x,y).

A soma (x, y) + (x, y) real. A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra quel(x, _v)l ;" ~ xll ~Y~ e l(x, y)l o llxl[ll.vll. pelo que se tem

llx + yll' :S: Jlxll' + llyll' + 211xll llyll

=

(llxll + llyll)'.

o que demonstra (d). Cuandoy ~ex, com c> O, temos

Jlx + yll = llx + cxJI = (I +c) llxJI = JlxJI + llcxJI = Jlxll + llyll.DEFINIO. Num espao euclidiano real V, o ngulo definido por dois elementos no nulos x e y define-se como sendo o nmero O do intervalo O ::;; O :s: n dado por

(1.1)

cosO =

(x, y) .

llxJIJiyJINota: A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra que o valor do quociente-no segundo membro de ( 1.7) pertence ao interValo [-I, li, pelo que existe um e um s 8 no intervalo lO, nl cujo cosseno igual ao valor daquele quociente.

1.12. Ortogonalidade num espao euclidianoDEFINIO. Num espao euclidiano V. dois elementos x e y dizem-se. ortogonais se o correspondente produto interno for zero. Um subconjunto S de V diz-se um subconjunto ortogonal se (x, y) ~O para cada par de elementos distintos x e y de S. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se cada um dos seus elementos tem norma l.

Espaos lineares

21

O element zero ortogonal a todo o elemento de V; o nico elemento ortogonal a si prprio. O teorema seguinte mostra uma relao entre oitogonalidade e dependncia.TEOREMA 1.10. Num espao euclidiano V. todo o conjunto ortogonal de elementos no nulos independente. Em particular, num espao euclidiano de dimenso finita com dim V= n, todo o conjUnto ortogonal formado por n elementos no nulos define uma base de V.

Demonstrao. Seja S um conjunto ortogonal de elementos no nulos de V, e suponhamos .que certa combinao linear finita de elementos de S igual a zero, qu~r dizerk

:2cixi=O,i=l

onde cada xiES: Multiplicando escalarmente ambos os membros por x, e tendo presente que (x,, x;) =O se i =F I, encontramos que c,(x 1 , x 1 ) =O. Mas (x 1 , x,-) *O visto que X 1 *O, donde resulta c 1 =O. Repetindo o raciocnio com x 1 substituido por x_;. enContramos cada c1 = O, o que prova que S independente. Se dim V= n e se S formado por n elementos, o teorema 1.7(b) mostra que S uma base de V.EXEMPLO. No espao linear real C(O, 2") com o produto interno (f, g) = (i."f(x)g(x) dx, seja S o conjunto de funes trigonomtricas (u 0 , u 1 , ) definido da seguinte maneira

u0 (x) = I,

u 2 n_ 1 (x) = cos nx,

para n = 1,2, ....

Se rn

* n, temos as relaes de .ortogonalidade"'" u,(x)um(x) dx = J,O,

e portanto S um conjunto ortogonal. Visto que nenhum elemento de S o elemento zero, S independente. A norma de cada elemento de S calcula-se facilmente. Temos (u0 , u 0 ) = f~ n dx = 2n e, para n ~ I, temos(uz.11 _ 1 ,U 271 _ 1 )

=

f.

,,

0

~os

2

nx dx

=

7T,

(u 211 , u 211 ) =

. . f." sen0

2

nx dx

=

7T.

Por conseguinte, 11 u,l = ..(hr e 11 u,ll = .,;;; para n f; I. Dividindo cada u, pela respectiva norma, obtemos um conjunto ortonormado {~ 0 , rp,, ~, ... } com 1{1, = u,~lu,,ll. Ento resulta

22. 2, ento n multip/o de 4. A demonstrao.basejasc em dois lemas muito simples referentes ao espao n dimensionaL Demonstrar cada um de..;scs lemas e aplid.-los s linhas da matriz de Hadamard para d~monstrar o teorema.

x Lcos

o~

LEMA 1.

Se X. Y, Z so vecJOres ortogonais de V11 ento tem-se(X+ Y)(X+Z)=

IIXII'

LEMA 2. Escrever X~ (x, .... , Xn). Y =(y, .... , Yn). Z = (z,, ... , Zn)- Se cada componente .\f. y,.; ou I ou-~. ento o produto (x1 +.H;) (x;+ z;) ou O ou 4.

JDETERMINANTES

3.1. IntroduoEm muitas aplicaes da lgebra linear geometria e anlise, o conceito de determinante desempenha um papel importante. Neste captulo estudam-se as propriedades fundamentais dos dctermirlantes c algumas das suas aplicaes. Os determinantes de segunda c terceira ordem foram introduzidos no volume I como pretexto para uma notao conveniente, e sobretudo compacta, em certas frmulas. Recordamos que um determinante de segunda ordem foi definido pela frmula(3.1)

Iconceitu.ilmcnt~

Oua:u

ai.' = aua!z - auazia~2

I

A despeito da semelhana de notao, o determinante verticais) distinto da matriz [011

I

011

a:u]

au Gzz

I

(escrito com traos

012

(escrita com parntcSis

a2l

Gzz

rectos). O determinante um nmero atribudo matriz e que se calcula segundo a frmula (3.1 ). Para acentuar esta ligao tambm se escreve

No volume I definiram-se ainda os determinantes de terceira ordem em funo de determinailles de segunda ordem pela frmula 79

.

80a,.(3.2) det [::: ::: :::] =Ouaal Oa2 a33

C/cu{(

la,,

Este captulo trata do problema mais geral. o determinante de uma matriz quadrada de ordem n com n um inteiro qualquer~ I. O nosso ponto de vista consiste em tratar o determinante como uma funo que atribui a cada matriz quadrada A um nmero chamado o determinante de A e que se representa por det A. possvel definir esta funo por intermdio de uma frmula que generaliza (3.1) e (3.2). Essa frmula uma soma de n! produtos de elementos de A. Para grandes valores de na frmula de difcil manejo e raramente se usa na prtica. Parece assim prefervel estudar determinantes de um outro ponto de vista, o qual por em evidncia as suas propriedades fundamentais. Estas propriedades, de grande importncia nas aplicaes, sero consideradas comq axiomas para a funo determinante. Em princpio, o nosso programa consiste de trs pontos: (I) justificar a escolha dos axiomas; (2) deduzir outras propriedades dos determinantes a partir dos axiomas~ (3) provar que existe uma e uma s funo que satisfaz aos axiomas.

3.2. Justificao da escolha dos axiomas para a funo determinanteNo volum.e I provmos que o produto misto de trs vccto_rcs A 1 , A!. AJ no espao EJ pode exprimir-se como o determinante de uma matriz cujas linhas so as componentes dos vectorcs. Assim temos anA1X

A 2 A 3 = de~ a;.n [

a,

a, a,.

onde A 1 = (a 1 " 0 12 , a~.~), A 2 = (a 21 a 21 ,a~.~>. c AJ = (a.1 " an, a 1 _1 ). Se as linhs so linearmente independentes. o produ.to misto Cdiferente de zero: o valor absoluto do produto igual ao volume do paralelippedo definido pelos trs Vl'dores A1 , A 2 , A 3 Se as linhas so dependentes o produto misto zero. Neste caso os Vl.'Ltorcs A 1 , A 1 e A.1 so complanarcs c o paralelipipedo degenera numa figura plana. nHn voluni.e nulo. Algumas das propriedades do produto misto serviro de justificao escolha dos axiomas para a funo determinante no caso de maior nmero de dimenscs. Para cstahcleccr estas propriedades de uma maneira adequada generalizao. consideramos o produto misto como uma fun dos trs vcctorcs linha A., A~. A_1 Representamos tal funo por d: assim.d(A 1 , A,, A 3) = A 1

x A, A,.

,, ! ., Determinantest~Centramos a nossa ateno nas seguinles propriedades:

@

~

81

;~;

(a) Homogeneidade em cada linha. Por exemplo, a propriedade de homogeneidade na primeira linha significa que_

.i J. \

.

d(tA,, A,,

A,)~

rd(A,, A,, A,)

para todo escalar t.

(b) Aditividade em cada tinha. Por exemplo; a propriedade de aclltividade na se-

gunda linha significar que

/

d(A 1 , A:+ C, A,)= d(A,, A,, A,)+ d(A;, C, A,)para todo o vector C. (c) O produto misto nulo se duas das filas so iguais . (d) Normalizao: d(i,j, k)

!,

.

= I,

onde

i= {1, O, 0), j-= {0, I, 0), k

= (0, 0;1).

Cada uma destas propriedades pode ser facilmente verificada a partir das propriedades dos produto escalar e produto vectorial. Algumas so sugeridas pela interpretao geomtrica do produto misto como o volume do paralelippedo determinado pelos vectores geomtricos A1 , A2 , A 3 O significado geomtrico da propriedade aditiva (b) num caso particular de especial interesse. Se tomarmos C~ A, em (b), o segundo termo do segundo membro nulo devido a (c), e a relao (b) vem

l- {3.3)

d(A,, A,+ A,, A,)= d(A,, A,, A,).

Esta propriedade est representada na figura 3.1. na qual se mostra um paralelippedo definido por A,, A,, A,, e outro paralelippedo definido por A, A, +A,, A,. A equao (3.3) estabelece, apenas, que estes dois paralelippedos tm iguais volumes. Isto, geometricamente, evidente devido ao facto de que os paralelippedos tm bases de ras iguais e a me...o:;ma altura.

l:l(i_ J.l.

lntcrprctao geomtrica Ja propricJaJc d(A,, .-l~. A.,)= d(A 1, A, +A:, A,).

Os dois paralelipipedos tm volumes iguais.

8233. Um conjunto de axiomas para a funo determinante

C/cu/

As propriedadeS do produto misto mencionadas na Seco anterior podem ser convenientemente generalizadas e usadas como axiomas para determinantes de ordem n. Se A= (ai;) uma matr.iz n X n com elementos reais ou complexos. representemos as suas linhas por A1 , , A 11 Assim, a linha de ordem i de A um vector no espao En dimensional definido por

Consideremos o determinante como uma funo das n linhas A1 , mos o seu valor por d(A, .... A.) ou por det A.

,

An e represente-

DEFINIO AXIOMTICA DE UMA FUNO DETERMINANTE. Uma funo d de valores reais ou complexos, definida para cada sisteina ordenado de n vectores A 1 , , Ande En. diz-se uma funo determinante de ordem n se verifica os seguintes axiomas, quaisquer que sejam os vectores A~> ... , An e C em En: AXIOMA I. HOMOGENEIDADE EM CADA LINHA. Se a linha de ordem k, Ako se multiplica por um escalpr t, ento o determinante vem tambm multiplicado por t:

d( ... , tA., ... )= t d(... , A., ... ).AXIOMA 2. ADITIVIDADE EM CADA LINHA. Para todo k tem-se

d(A 1 ,

,

A

+ C, ... , A.) =

d(A 1 ,

,

A, ... , A.)

+ b(A 1 , ,

C, ... , A.).

AXIOMA 3. O DETERMINANTE ANULA-SE SE DUAS LINHAS SO IGUAIS:

d(A 1 ,

,A.)= O

se Ai = A;

para quaisquer i e j. com i =F j.

AXIOMA 4. O DETERMINANTE DA MATRIZ IDENTIDADE E IGUAL A I:

d(I~> . .. , In)= I, com h o vectOr co~rdenado unitrio de ordem k.

Os dois primeiros axiomas afirmam que o determinante de uma matriz uma funo linear de cada uma das linhas. Isto muitas vezes referido dizendo que o determinante uma funo multilinear das suas linhas. Por aplicao reiterada da propriedade de linearidade, a primeira linha pode escrever-se

d(i tC, A,, ... ,A.) =i t d(C., A,, ... , A.),k=l k=l

Determinantesoncte- t 1 , tP so escalare:, e C 1 , CP so vectores quaisquer -de En Por- vezes utiliza-se uma.forma.mais fraca do Axioma 3: :

83

AXIOMA 3'. O DETERMINANTE ANUALA-SE SE DUAS UNHAS CONSECUTIVAS SO IGUAIS.

d(A,, ... , A.)= U

se

A,= A,+l para algum k = I, 2, .. , n- I.

um facto notvel que para um dado n existe uma e uma s funo d que verifique os axiOmas 1, 2, 3' e 4. A prova deste facto, um dos resultados importantes deste captulo, ser apresentada adiante. O teorema seguinte d-nos propriedades dos determinantes deduzidas unicamente a partir dos Axiomas I, 2 e 3'. Uma destas propriedades o Axioma 3. Deve ter-se presente que o Axioma 4- no intervm na demonstrao do teorema. Esta observao ser til mais tarde quando se demonstrar a unicidade da funo determinante.TEOREMA 3.1. Uma funo determinante satisfazendo aos Axiomas I. 2 e 3" possui ainda mais as seguintes propriedades: (a) O determinante anula-se se tivt;r alguma linha de zeros:

d(A,, .. : , A.) = O

se A.t = O

para cuaisquer k.

(b) O determinante muda de sinal se permutam duas filas consecutivas:

d(... , A., A>+ 1 ,

.)

= -d(... , A>+.,

A,,... ).

(c) O determinante muda de sinal se duas quaisquer linhas Ai e Aj. com i* j, se permutam. (d) O determinante anula-se se duas quaisquer linhas so iguais:

d(A,, ... , A.)

=O

se

A,

= A1

quaisquer que sejam i e j com i

* J.

(e) O determinante anula-se se as suas linhas so linearmente dependentes.

Demonstrao. Para demonstrar (a) basta tomar t = .Q no Axioma l. Para demonstrar (b), designamos por B a matriz com as linhas iguais s de A, excepto para as linhas de ordem k e k + I. Sejam as linhas Bk e Bk+ iguais a Ak + Ak+ .. Ento devido ao Axioma 3', det B =O. Podemos pois escreverd(... , A,+ A,+l, A.+ A,+l, .. .) =O.

84Aplicando a propriedade aditiva s linhas k e k dade anterior naforma

Clculo

+ I podemos de novo escrever a igual-

d( ... , A., A,, ...)+ d( ... , A,, A,..,, ... )+ d( ... , A..._,, A. ;.)

+ d(... , Am~ Am, .. .) =OOs primeiros e quarto termos -so nulos devido ao Axioma 3 . Por conseguinte os segundo e terceiro termos so simtricos, o que demonstra (b). Para provar (c) podemos admitir que i< j. Podemos permutar as linhas A1e Ajefectuando um nmero mpar de permutaes de linhas consecutivas. Permutamos em primeiro lugar Ai sucessivamente com cada uma das linhas que a precedem A1_" Ai_,, ... , A,. No total temosj- i permutaes. Em seguida permutamosA 1sucessivamente com as linhas que se segl.fem A;+ 1 , Ai+2 .. , A 1_ 1 No total temos j - i- I permutaes de linhas consecutivas. Em cada uma de trs permutaes o sinal do determinante muda. Uma vez que so U- 1) +U-i- I)= 2U- 1)- I permutaes ao todo (um nmero mpar), o determinante muda de sinal um nmero mpar de vezes, o que demonstra (c). Para demonstrar (d), seja 8 a matriz deduzida de A por permutao das linhas A 1 e Ai. Uma vez que A 1 = Ai tem-se 8 =A e por conseguinte det 8 = det A. Mas por (c), det B = -det :.4 e consequentemcnte det A= O. Para a demonstrao de (e) admite-se a existncia de escalares C 1 C2 , , cn. no todos nulos, tais que IL 1 c,A, =O. Ento qualquer linha A, com c,* O pode exprimir-se como uma combinao linear das outras linhas. Por comodidade, admitamos que A 1 uma combinao linear das restantes, por exemplo A1 = !Z= 2 tkAk. Devido propriedade de linearidade da primeira linha temos

d(A" A 2 ,

,

A,)= d(t.A,, A 2 ,k=2

,

A.) = i;t. d(A., A 2 ,k=2

,

A,).

Mas cada termo d(A,, A,, ... , An) na ltima soma zero, visto ser A, igual a pelo menos um dos A 2 , , A 11 Por tal razo a soma total zero. Se a linha Ai uma combinao-linear- das outras linhas, raciocinamos da mesma maneira, utilizando a linearidade na linha de ordem i, e assim est demonstrada (e). 3.4. Clculo de determinantes Ao chegarmos a este ponto ser conveniente calcularmos alguns determinantes, servindo-nos unicamente dos axiomas e das propriedades dadas no teorema 3.1, pressupondo sempre que as funes determinante. existem. Em tada um dos exemPlos apresentados no aplicaremos o Axioma 4 at derradeira fase do Clculo.EXEMPLO

I. Determinante de uma matriz 2 X 2. Vamos provar que

(3.4)

Determinantes

85

Escrevamos os vectores linha como combinaes lineares. dos vectores unitrios coordenados i= (I, O) ej= (0, 1):

Usando a linearidade na primeira linha temosd(A 1 , A 2 ) = d(a11i

+ a.,j, AJ =

a 11

d(i, A 2)

+

a 12

d(j, A,).

Usando agora a line.ridade na segunda linha obtemosd(i, A,)

= d(i, a21i + a,,J) = a 21 d(i, i) + a., d(i,j) = a,. d(i,j), = d(j, a 21i +a22j) = a 21 d(j, i) =d(A 1 , A,) = (a 11a22-

Do mesmo modo se encontrad(j, A.)-a21 d(i,j).

Finalmente, obtemosa 1,a,J d(i,j).

Mas d(i, j) = I pelo Axioma 4, pelo que d(A 1 , A2) = a 11 a 22 - - a 12 a21 , como seafirmara. Este raciocnio mostra que se existe uma funo determ.nante para matrizes 2 X 2, ento ela ter necessariamente a forma (3.4). Reciprocamente, fcil verificar que esta frmula define, na realidade, uma funo determinante de ordem 2. Por conseguinte est demonstrado que existe uma e uma s fraco determinante de. ordem 2.EXEMPLO

2. Determinante de uma matriz diagonal. Uma matriz quadrada da formaa11

Oa,.

OO

O

d1z-se uma matriz diagonal: Cada elemento a,j no pertencendo diagonal (i* j) zero. Provaremos que o determinante de A igual ao produto dos elementos pertencentes diagonal principal (ou primeira diagonal),det A = a 11aZ2 . ann.

- (3.5)

A linha de ordem k de A o produto de um escalar pelo k-simo vector coordenado unitrio, tlk= akklk. Aplicando a propriedade da homogeneidade, repetidas vezes, obtemos

86

Clculo

Esta frmula pode escrever-se det A = a 11

ann det I,

com I a matriz identidade. O Axioma 4, porm, diz-nos que det I= I, pelo que se obtem (3.5).EXEMPLO 3. Determinante de uma matri::: triangular superior. Uma ma'triz quadrada

da forma

U=

o odiz-se uma matriz triangular superior. Todos os elementos abaixo da diagonal princi-

pal so nulos. Vamos demonstrar que o determinante de tal Inatriz igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. det U = UnUz2 Unn Provemos em primeiro lugar que det U =-0 s.e algum elemento da diagonal u;i= O. Se fr nulo- o ltimo elemento Unno ento a ltima linha O e det U = O, devido ao Teorema 3.1 (a). Suponhamos, ento, que algum dos elementos precedentes na diagonal, uu. zero. Para especificar, admitamos u 22 = O. Erito cada um dos n ~ I vectores linhas U2 , , 'Un tem as das primeiras componentes nulas. Daqui resulta que estes vectores geram um subespao de dimenso no mximo, n- 2. Deste modo estas n- I linhas (e consequentemente todas as linhas) so dependentes. Pelo teorema 3.1 (e), det U =O. Do mesmo modo verificamos que det U =O se for nulo qualquer elemento da diagonal principal. Consi.deremos agora o caso geral. Seja primeir 1 a primeira linha de cada menor A11 resulta multiplicada porte o a1, no afectado, pelo que mais um~ vez t~mos J,(tA 1 , A,, ... , A.) = tf,(A,, A,, ... , A.,).

i~

Em concluso cadalj homogriea na primeira linha. Se a linha de ordem k de A multiplicada por I, com k > I, o menor A,, no afectado, mas vem multiplicado por r, pelo que[, homognea na linha k. Se j-::t- k, o coeficiente a11 no afectado, mas algunla linha de A1, vem multiplicada por 1. Consequentemente cada.lj homognea na linha k. Um raciocnio anlogo conduzir demonstrao de que cadaJj aditiva relativamente a .qualquer linha, pelo que f satisfaz aos.Axiomas I e 2. Provemos agora que[ satisfaz ao Axioma 3', uma verso fraca do Axioma 3. Do teorema 3.1 resulta que f satisfaz ao Axioma 3. Para verificar que f satisfaz ao Axioma 3', admitamos que duas linhas consecutivas

a,,

ir:

102

Clculo

de A so iguais. isto Ak= Ak+'" Ento, excepto para_ as matrizes menores A/cl e A+. cada menor Ap tem duas linhas iguais pelo que det A1, =O. Quer dizer que a soma (3.26) consta unicamente dos dois termos correspondentes a j = k e j = k + I, (3.27)f(A" . .. , A.) = (-!)'+'a.. det A.,

+ (-l)k+'a..,, . det A>+11 .

Mas At, = Ak+. e ak, = at+ 1 , 1 j que At= Ak+,. Deste modo, os do~s termos em (3.27) diferem unicamente pelo sinal, logo /(A,, ... , A.)= O. Assim se provou que f verifica o Axioma 3". Finalmente verifiquemos quef satisfaz ao Axioma 4. Quando A = I temos a., = i e aj, =O para j > I. Deste modo A., a matriz identidade de ordem n -1, pelo que cada termo de (3.26) zero excepto o primeiro, que igual a I. Assim/(/,, ... I.)= i e/satisfaz ao Axioma 4. Na demonstrao anterior poderia ter-se utilizado uma funo f definida em funo das matrizes (fik menores relativos coluna k em vez das matrizes Ai menores relativas primeira coluna. om efeito, se fizermos (3.28)f(A 1 , ,

A.)= 2( -l)'+>a,. det A,.,I=~

n

exactamente o mesmo tipo de demonstrao permitir conclUir que esta funo f satisfaz- aos quatro axiomas de uma funo determinante. Visto que as funes determinantes so nicas, as frmulas de desenvolvimento (3.28) e (3.21) so ambas iguais ao det A. As frmulas de desenvolvimento (3.28) no s estabelecem a existncia de funes determinantes, mas revelam ainda um novo aspecto da teoria dos determinantes- uma conexo entre as propriedades relativas a linhas e as propriedades relativas a colunas. Esta conexo analisada na seco seguinte.3.14. O determinante da matriz transposta

Associada a cada matriz A existe outra matriz chamada a transposta de A e que se representa por A 1 As linhas de A 1 so colunas de A com a mesma ordem. Por exemplo, se

6

3]

ento A'

= [:

:l

Uma definio rigorosa pode ser dada do modo seguinte:

DeterminantesDEFINIO DE TRANSPOSTA. A transposta de uma matriz m X n, matriz, n X m, At cujo elemento i,j a1;.A~ (au)7.'j~

103

1

a

Embora a transposio -possa ser efectuada sobre qualquer matriz rectangular vamos confinar-nos s matrizes quadradas, provando de imediato que a transposio de ~ma matriz quadrada no altera o seu determinante.TEOREMA 3.11. Para qualquer matriz A. n

x n, tem-se

det A = det A'.Demonstrao. A demonstrao faz-se por induo em n. Para n = I e n = 2 o resultado verifica-se imediatamente. Admitamos, pois, que o teorema verdadeiro para matrizes de ordem n- I. Seja A = (a,) e 8 = A'~ (b,). Desenvolvendo det A segundo os elementos da primeira coluna e det B segundo os elementos da primeira linha temos

det A= I(-l}'+'a;~ det A11 ,i-I

n

n

det B = I(-1) 1+Ibli det Bli.i-I

Mas, considerando a definio de transposta de uma matriz, temos h, 1 = a11 e Blj = (A 11 ) 1 Uma vez que estamos a admitir que o teorema verdadeiro para matrizes de ordem n- I, temos det 8 11 = det A1,. Deste modo as somas anteriores so iguais,

termo a termo, pelo que det A = det B.

3.15. A matriz complementos algbricos

O teorema 3.5 mostrou que se A no singular ento det A =1=- O. O teorema que se segue prova o inverso, isto , se det A =F O, ento existe A-1 Alm disso d uma frmula explcita para expressar A-1 em funo de uma matriz formada a partir dos complementos algbricos dos elementos de A. No;teorema 3.9 provmos que o complemento algbrico i, j de au igual a ( -1) 1+j det Ai], sendo AiJ a matriz menor i, j de A. Representemos este complemento algbrico por Cal a 1j. Ento. por definio,Cal a., = ( -l)'+i det A.,.DEI'INIO DA MATRIZ COMPLEMENTOS ALGBRICOS. A matriz cujo elemento i, j Cal a~1 diz-se a matriz complementos algbricos de A e representa-se por Cal A. Assim tem-se

Na literatura acerca de matrizes, especialmente nos tratados clssicos, a transposta da matriz complementos algbricos, dizem-se adjunta de A. Contudo, a nomenclatura aciual reserva-se a palavra adjUnta para outra coisa completamente distinta, que ser tratado na seco 5.8.

104

Clculo

O teorema seguinte mostra que o produto de A pela sua adjunta (a transposta da matriz complementos algbricos) , a menos de um factor escalar, a matriz identi~ dade /.

TEOREMA 3.12. Para qualquer matriz A. nx n. com n 2o 2 tem-se

(3.29)

A(CalA)' = (det A)!.

Em particular. se det A

* O a inversa dP A existe e definida porA- 1 = - - (CalA)'. det A1

Demonstrao. Usando o teorema 3.9 exprimimos det A em funo dos complementos algbricos referentes aos elementos da linha k pela frmulan

(330)

det A= 1a.,Cala,,.;~1

Consideremos k fixo e apliquemos esta relao a Uma nova matriz B, cuja linha de ordem i igual linha de ordem k de A para algum i* k, e cujas restantes linhas so as mesmas de A. Ento det B= O porque so iguais as linhas i e k de B. Exprimindo o det B por intermdio dos complementos algbricos da linha i temos(3.31)

det B =

i=l

1 b0

n

Cal b0 =O.

Mas porque a linha de ordem i de B igual linha de ordem k de A temose

Cal b., =Cala._,

para todo j.

Por este motivo (3.31) significa que(3.32) .n

!a.tjCal a"= Oi=l

sek,..i.

As equaes (3.30) e (3.32) podem escrever-se conjunamente

(3.33)

2ak Caln1i-1

aH

=

( det

A

0

se se

i= k i,..k.

Mas a soma figurando no primeiro membro de (3.33) o elemento k, i do produto A(adj A)~ Consequentemente 13.33) implica (3.29).

Determinantes

105

Como um colorrio directo dos teoremas 3.5 e 3.12 temos a seguinte condio necessria e suficiente para que uma matriz quadrada seja no singular.TEOREMA

3.13. Uma matriz quadrada A no singular se e s se det A

* O.

3.16. Regra de Cramer

O teorema 3.12 pode tambm utilizar-se para resolver um sistema de equaes lineares, desde que a matriz dos coeficientes seja no singular. As frmulas que se obtm traduzem a chamada regra de Cramer, em honra do matemtico suio Gabriel Cramer (1704-1752).TEOREMA

3.14. REGRA DE CRAMER. Se num sistema de n equaes linares com nXnn

Incgnitas(3.34)

X

I

i=l

2ai 1x 1 = b;,

(i = 1, 2, ... , n)

a matriz dos coeficientes A

=

(au) no singular, existe uma nica soluo para o siste-

ma definida pelas formulas1 n X;=detA "2.,b,Calah,k=l

para j= 1,2, ... ,n.

Demonstrao. O sistema pode escrever-se na forma matricial atravs da nica

equaoAX=B,

oom X ' ' '""

=""" '"'""' X

[] ,

existe uma _nica soluo

Xdefinida por. X = A-'B = -

(3.35)

detA

1 - (Cal A)'B.

A frmula (3.34) obtm-se igualando as componentes em (3.35). Deve observar-se que a frmula para xi em (3.34) pode expressar-se como cociente de dois determinantes

106X----

Clculo

det c, . '-detA'

onde Cj a matriz obtida de A pela substituio da colunaj de A pela matriz coluna B.

3.17. ExercciosJ. Determinar a matriz complementos algbricos de cada uma das seguintes matrizes: I (a) [:2

4 '

2]

o-I3

5

-22

2. Determinar a inversa de cada uma das matrizes no singulares do_ Exerccio I. 3. Determinar todos os valores de J . para os qua_is .\./-A singular, se A igual a

(b)

[~ -~2 -2

_:]'

(c) [ ::

o

=: ,:] .2 -5

-8

4. Se A uma matriz n X n com n 2:. 2, provar cada uma das propriedades seguintes da correspondente matriz complementos algbricos:_ (a) Cal (A) ~ (adj A)'. (b) (adj A )'A~ (delA)/. (c) A(adj A)'~ (adj A)'A (A permuta com a adjunta). 5. Resolver cada um dos sistemas seguintes, utilizando a regra de Cramer:(a)x+2y+3z~8, 2x-y+4z~7, -'-y+z~l.

(b) x +y +2z ~o, 3x- y -z ~3, 2x +5y +3z ~4. 6. (a) Justificar que cada uma das equaes Que se seguem a equao cartesiana de uma recta, no plano XOY, a qual passa pelos pontos (x 1 , y 1) e (x 2 , f2).

(b) Estabelecer e demonstrar relaes anlogas para um plano, no espao tridimensional, passando por trs pontos no colineares. (c) Estabelecer e demonstrar relaes anlogas para uma circunferncia, no plano XOY, que passa por trs pontos no colineares. 7. Dadas n 2 funes /;j cada uma das quais derivvel no intervalo (a, b), definir F(x) = det l[;ix)l para cadax em (a, h). Provar que a derivada F'(x) uma soma de n determinantes

F' (x) ~

I det A,(x),i=l

107onde A;(x) a matriz obtida por derivao das funes-da linha i de lj1 (x)l. 8. Uma matriz n X n de funes da forma W(x) = lu~i-IJ(x)I. na qul cada linha depois da primeira a derivada da linha anterior, chama-se a matriz Wronskiana, em homenagem ao matemtico polaco J. M. H. Wronski (1778-1853). Provar que a derivada do determinante de W(x) o determinante da matriz obtida derivando cada um dos elementos da ultima linha de W(x). -(Sugesto: utilizar o Exerccio 7.1

w Determinantes

4VALORES PRPRIOS E VECTORES PRPRIOS

4.1. Transformaes lineares representadas por matrizes diagonais Seja T: V- V uma transformao linear dcfinida_num espao linear V de dimenso finita. As propriedades de T, que so independentes de qualquer sistema de coordenadas (base) definido em V, dizem-se propriedades intrnsecas de T. Elas estaro presentes em todas as representaes matriciais de T. Se puder st!r escolhida uma base de maneira que a matriz dai resultante tenha uma forma particularmente simples. poder tornar-se possvel a deteco de certas propriedades intrnsecas directamente a partir de representao matricial. Entre os mais simples tipos de matrizes esto as matrizes diagonais. Portanto_ser de pr a questo de se saber se cada transformao linear pode representar-se mediante una matriz diagonal. No captulo 2 tratmos do problema de determinao de uma representao da transformao linear T: V ...... W por uma matriz diagonal, com dim V= n e dim W = m. No teorema 2.14 prov mos que existe sempre uma base (e 1 , , en) para V e uma base (w~> ... , w111 ) para W, tais que a matriz de T relativa a este par de bases uma matriz diagonaL Em particular, se W = V a maiz ser uma matriz diagonal quadrada. O aspecto novo do problema reside agora no facto de pretendermos usar a mesma base para V e W. Com esta restrio nem sempre possvel determinar uma matriz diagonal para a representao de T. Voltamos, ento, ao problema da determinao daquelas transformaes que admitem uma representao por uma matriz.diagonal.NotaO: Se A = (a;j) uma matriz diagonal, escrevemos A = diag (a11 , a 22 , ,

ann).

fcil estabelecer uma condio necessria c suficiente para que uma transfor~ mao linear tenha uma representao matricial diagonal.109

-

110

Clculo

TEOREMA 4.1. Seja T: V- V urna transformao linear, com dim V~ n. Se T admite uma representao matricial diagonal. ento existe em V um conjunto independente de elementos u 1, . uk e um correspondente conjunto de escalares 1, ... n tais que (4.1)

T(u.)= ..Uk

para k = 1,:2, ... ,n.

Inversamente, se existe um conjunto independente u1, , Un de elementos de V e um correspondente conjunto de escalares 1 , n verificando (4.1). ento a matrizA = diag (u ... , .) uma representao de T. relativa base (u 1, Un)Demonstrao. Admitamos em primeiro lugar que T admite uma representao matricial diagonal, A~ (a;;). relativa a determinada base (e,, ... , e.). A aco de T sobre os elementos da base dada pela frmulaT( ek) =

,L aikeii=l

= akkek

j que ail,