apostila variáveis complexas

5/28/2018 Apostila Variveis Complexas

1/38

VARIAVEIS COMPLEXAS

Prof. Daniel Brandao

2010


2/38

Sumario

1 Numeros Complexos 2

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 A Algebra dos Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Variaveis Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Regras para o Conjugado Complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Propriedades do Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 A Representacao Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 O Teorema de Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Razes de Numeros Complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 As n-esimas Razes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Funcoes, Limites e Continuidade 9

2.1 Funcoes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Limites de uma Funcao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Discos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Limites Envolvendo Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 As Funcoes Derivadas e Analtica 14

3.1 A Derivada Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Regras para Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 As Regras do Produto e do Quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 As Equacoes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 A Representacao Polar das Equacoes de Cauchy-Riemann. . . . . . . . . . 163.6 Funcoes Harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Integracao Complexa 19

4.1 O Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.1 Domnios Simplesmente e Multiplamente Conexo . . . . . . . . . . 214.1.2 Teorema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.3 Teorema de Cauchy-Goursat para Domnios Multiplamente Conexos 22

4.2 Formulas Integrais de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.1 Primeira Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Segunda Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1


3/38

5 Series e Resduos 27

5.1 Sequencias e Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Series de Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Serie de Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5 Zeros e Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5.1 Classificacao de pontos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.5.2 Zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.6 Resduos e o Teorema do Resduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2


4/38

Captulo 1

Numeros Complexos

1.1 Introducao

Nos primeiros dias da Matematica moderna, as pessoas ficavam perplexas diante deequacoes como esta:

x2 + 1 = 0.

A equacao parece bastante simples, mas no seculo sexto as pessoas nao faziam ideiade como resolve-la. Isso se dava porque, para a mente do senso comum, a solucao parecianao ter sentido:

x=1.Por esta razao, os matematicos chamaram

1 de um numero imaginario. Nos oabreviamos escrevendo i em seu lugar, ou seja:

i=1.

1.2 A Algebra dos Numeros Complexos

Numeros complexos mais gerais podem ser simplificados. Na verdade, usando os numerosreais ae b nos podemos formar um numero complexo:

c= a+bi.

Nos chamamosade parte real(Re(c)) do numero complexo ebde parte imaginaria(Im(c))de c. Os Numeros ae b sao numeros reais ordinarios.

Agora, sejamc= a+ib e k= m+in dois numeros complexos.Podemos encontrar a soma e a diferenca de dois numeros complexos adicionando (sub-

traindo) suas partes reais e imaginaria independentemente:

c+k = (a+ib) + (m+in) = (a+m) +i(b+n)

c k = (a+ib) (m+in) = (a m) +i(b n)Para multiplicar dois numeros complexos, nos simplesmente multiplicamos as partes

reais e imaginarias termo a termo e usamos i2 =1, depois agrupamos as partes real eimaginaria:

ck= (a+ib)(m+in) = (am bn) +i(an+bm)

3


5/38

Para dividir dois numeros complexos e escrever o resultado na forma de c = a+ ib,nos vamos precisar de um novo conceito, chamado conjugado complexo.

Nos encontramos o conjugado complexo de qualquer numero complexo fazendoi i.Usamos c para indicar o conjugado de um numero complexo c. Entao

c= a ib

Da definicao, segue que:

c= ac= a= a c= ibc= ib=ib=c c= a ib= a+ib= c

cc= a2 +b2

Chamamos a quantidade cc de modulo de c e escrevemos

|c|2 =cc

O modulo de um numero complexo tem significancia geometrica como veremos maisa frente.

Agora, Podemos encontrar o resultado de c/k, desde que k= 0. Temos:c

k =

am+bn

m2 +n2 +i

bm anm2 +n2

= ck

|k

|2

Dizemos que dois numeros complexos sao iguais se, e somente se, suas partes reais eimaginarias forem iguais. Isto e, c= a+ib e k= m+in sao iguais se, e somente se:

a= m e b= n.

1.3 Variaveis Complexas

O primeiro passo na direcao de um calculo baseado em numeros complexos e a abstracaoda nocao de um numero complexo numa variavel complexa.

Nos usaremos zpara representar uma variavel complexa.Suas partes real e imaginaria sao representadas pelas variaveis reaisx e y , respectiva-

mente. Assim, nos escrevemos

z= x+iy.

O conjugado complexo e, entao

z=x iy.

Se z e raiz de um polinomio com coeficientes reais, entao z tambem e uma raiz do

polinomio.O modulo da variavel complexa z e dado por

|z|2 =x2 +y2 |z|=

x+y2

4


6/38

Nos podemos plotar numeros complexos no plano xy , que chamaremos de plano com-plexo.

O eixo y e o eixo imaginario e o eixo x e o eixo real.z=x+iy pode ser descrito como um vetor, no plano complexo, com comprimento r

dado pelo seu modulo:r=|z|=

x2 +y2.

Cuidaremos tambem do angulo que este vetor faz com o eixo real.O conjugado complexo e um vetor refletido ao longo do eixo real.

1.4 Regras para o Conjugado Complexo

Sejam z=x+iy e w= u+iv duas variaveis complexas. Entao

z+w = z+ w zw = zw z

w

= z

w

Exemplo 1.4.1. Encontre o conjugado complexo, a soma, o produto e o quociente dosnumeros complexosz= 2 3i ew = 1 + 1i.Exemplo 1.4.2. Mostre que

Re(z) =z+ z

2e

Im(z) =zz

2i

Exemplo 1.4.3. Demonstre que1/i=i

1.5 Propriedades do Modulo

O operador de valor absoluto satisfaz varias propriedades. Sejamz1, z2,...,zn, numeroscomplexos. Entao

|z1z2|=|z1||z2| |z1z2...zn|=|z1||z2|...|zn|

5


7/38

z1z2 = |z1||z2|

Uma relacao chamada de desigualdade triangular merece atencao especial:

|z1+z2| |z1||z2| |z1+z2+...+zn| |z1| + |z2| +...+ |zn| |z1+z2| |z1| |z2| |z1 z2| |z1| |z2|

1.6 A Representacao Polar

Usando coordenadas polares, nos podemos fazer uma representacao polar equivalente de

um numero complexo.Para escrever a representacao polar, nos comecaremos com a definicao das coordenadas

polares (r, ):x= r cos e y=r sin

Sabendo quer=|z|=

x2 +y2

Podemos entao escrever z=x+iy como:

z = x+iy = r cos +ir sin

= r(cos +i sin )

O valor de para um dado numero complexo e chamado de argumento de z ou arg z.

1.7 Formula de Euler

A formula de Euler nos permite escrever a expressao cos + i sin em termos de umaexponencial complexa.

ei = cos +i sin

ei = cos

i sin

Essas formulas podem ser invertidas usando-se a algebra para se obter as seguintesrelacoes:

cos =ei +ei

2

sin =ei ei

2i

Essas relacoes nos permitem escrever um numero complexo na forma exponencialcomplexa, ou mais comumente, na forma polar. Esta e dada por:

z=rei

Como os exponenciais sao muito simples de se trabalhar, essa forma pode nos ajudarem alguns calculos, tais como:

6


8/38

zw = rei(+)

zw

= rrho

ei()

zn =rnein

z=rei

Exemplo 1.7.1. Demonstre quecos z= cos x cosh y i sin x sinh y.Exemplo 1.7.2. Demonstre queeln z =rei.

1.8 O Teorema de Moivre

Sejamz1=r1(cos 1+i sin 1) ez2 = r2(cos 2+i sin 2). Usando identidades trigonometricas

e alguma algebra nos podemos demonstrar que z1z2=r1r2(cos(1+2) +i sin(1+2)) z1

z2= r1

r2(cos(1 2) +i sin(1 2))

A formula de De Moivre e a seguinte:

zn = [r(cos +i sin )]n =rn(cos n+i sin n)

1.9 Razes de Numeros Complexos

Um mumero e dito uma raz n-esima de um numero complexo zsewn =z, e escrevemosw= z1/n. Do teorema de De Moivre podemos mostrar que, se n e um inteiro positivo,

z1/n = {r(cos +i sin )}1/n

= r1/n

cos

+ 2k

n

+i sin

+ 2k

n

k= 0, 1, 2,...,n 1.

donde se segue que existem n valores diferentes para z1/n, isto e, n diferentes razes n-esimas de z, desde que z= 0.

1.10 As n-esimas Razes da Unidade

Considere a equacaozn = 1

onde n e um inteiro positivo.As enesimas razes da unidade sao dadas por

zn = cos 2k/n+i sin2k/n= e2ki/n, k= 0, 1, 2,...,n 1.

Se w= e

2i/n

, entao asn razes sao 1, w , w

2

,...,w

n

1

.Exemplo 1.10.1. Encontre as quartas razes de 2.

Exemplo 1.10.2. Encontre todas as razes cubicas dei.

7


9/38

1.11 Exerccios

1. Reduza a forma a+bi cada uma das expressoes dadas abaixo

a. (3 2i) i[2 i(3 + 4)]b. (1 + 1

3)(6

5+ 3i)

c. 7 2i(2 2i5)

d. (2 + 3i)2

e. 3i2i1

f. 43ii1

g. 1(1+i)2

h. 1+i1i30

2. Mostre quen=0

N in = 1, 1 +i, i ou zero, conforme o resto da divisao de N por 4

seja zero, 1, 2 ou 3, respectivamente.

3. Mostre que (x+iy)2 =x2 y2 + 2ixy.4. Mostre que (x yi)2 =x2 y2 2ixy.5. Mostre que (x+iy)2(x iy)2 = (x2 +y2)2.6. Mostre que (x+iy)n(x iy)n = (x2 +y2)n.

7. Mostre que 1i22+i = 1.

8. Mostre que Re[i(2 3i)2] =12.

9. Mostre que Im(1i3)2i2

= 2(1+2

3

5

10. Mostre que 1+i tan 1i tan = cos 2+i sin2.

11. Nos itens abaixo, reduza os numeros z1 e z2 a forma polar e determine as formaspolares de z1z2 e z1/z2. Represente esses quatro numeros num grafico.

a. z1= 3 + 3i, z2 = 3i3

2 .b. z1= 1 i, z2=1 +i

3.

c. z1= 1 + 2i, z2 = 2 +i.

12. Prove que

cos3= cos3 3cos sin2 e sin3= sin3 + 3 cos2 sin .

13. Mostre que

2+i2i3

2

= 57

e(3+i)(13i)

5

= 2

2.

14. Supondo que|z2|>|z3|, prove que z1z2+z3 |z1||z2| + |z3| e

z1z2 z3 |z1||z2| |z3| .

8


10/38

15. Prove que|z| |x| + |y| 2|z|, onde z= x+iy.16. Prove que|z1| |z2| |z1 z2|, quaisquer que sejam os numeros complexosz1 ez2.

17. Reduza a forma r= e

i

cada um dos numeros complexos dados abaixo:a. 1 +i

b. 1 ic. 1 +i

3

d.3 ie. i

1+i

f. 1+i3

3i

18. Estabeleca as formulas de Euler:

cos =ei +ei

2 e sin =

ei ei2i

19. Sendo z=rei, prove que|eiz|= er sin .

9


11/38

Captulo 2

Funcoes, Limites e Continuidade

2.1 Funcoes Complexas

Nos definimos uma funcao de uma variavel complexa w = f(z) como sendo uma regraque atribui a cada zCum numero complexo w.

Se a funcao for definida somente para um conjunto restritoS, entaow = f(z) atribuiraa cada zSo numero complexo w e nos chamaremos Sde domnio da funcao.

O valor da uma funcao emz= a e indicada escrevendo-se f(a).

Exemplo 2.1.1. Considere a funcaof(z) =z3 e calcule seus valores paraz=i, z= 1+i.

Exemplo 2.1.2. Suponha quef(z) =z2z. Encontref(1 +i).

Exemplo 2.1.3. Qual o domnio de definicao paraf(z) = 11+z2 .

Da mesma forma que um numero complexo, podemos escrever uma funcao complexaem termo das partes real e imaginaria.

Podemos escrever f(z) =f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y). A parte real de f e dada por

Re(f) =u(x, y).

E a parte imaginaria de f e dada por

Im(f) =v(x, y).

Note que podemos simplificar o conjugado complexo de uma fun cao. Com f(z) =f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y), o conjugado complexo e dado por

f(z) = f(x+iy) =u(x, y) iv(x, y)

E facil provar que

u(x, y) =f(z) + f(z)

2e

v(x, y) =f(z) f(z)

2i.

Exemplo 2.1.4. Qual o conjugado complexo def(z) = 1/z?

10


12/38

Exemplo 2.1.5. Quais sao as partes real e imaginaria def(z) =z+ (1/z)

Nos apredemos que um numero complexoz=x + iy pode ser escrito na representacaopolarz=rei. O mesmo e valido para as funcoes complexas. Isto e, nos podemos escrever

f(z) =f(rei).

A funcao tambem pode ser escrita em termos das partes real e imaginaria que saofuncoes das variaveis reais r e . Isto e feito como segue:

f(rei) =u(r, ) +iv(r, ).

Exemplo 2.1.6. Escreva a funcao f(z) = z+ 1z

na representacao polar. Quais sao aspartes real e imaginaria da funcao?

2.2 Limites de uma Funcao Complexa

Nossa primeira incursao na aplicacao do calculo a funcoes de uma variavel complexa seda com o estudo dos limites.

Considere um ponto no plano complexo z=a e quef(z) seja definida e de valor unicoem alguma vizinhanca em torno de a.

A vizinhanca pode incluir o ponto a, ou podemos omitir a, em cujo caso nos diremosque a funcao e definida e de valor unico numa vizinhanca excluda de a.

O limite L de f(z) comza e

limza f(z) =L

Formalmente, o que isso significa e que para qualquer numero > 0 nos podemosencontrar um >0 tal que|f(z) L|< sempre que 0


13/38

Seja f=u+iv, z=x+iy, z0=x0+iy0 e w0=u0+v0. Entao

limza

f(z) =w0

Se, e somente se,

limza

u(x, y) =u0 e limza

v(x, y) =v0

2.3 Discos Abertos

Frequentemente na analise complexa, nos queremos considerar uma regiao circular noplano complexo. Nos chamamos tal regiao de disco.

Suponha que o raio seja a. Se os pontos na borda do disco, isto e, os pontos que seencontram na curva circular que define a borda do disco nao estiverem includos na regiaoconsiderada, nos diremos que o disco e aberto.

Considere, por exemplo, um disco de raio 1, centrado na origem. Nos o indicamosescrevendo|z|< 1.

Se o disco de raio r estiver centrado, ao inves, num ponto a, entao nos escrevemos|z a|< r.Exemplo 2.3.1. Calcule limz3(iz 1)/2 no disco aberto|z|< 3Exemplo 2.3.2. Calcule limzi(z2)(z+i).

Exemplo 2.3.3. Demonstre que o limitelimz

0z/znao existe.

2.4 Limites Envolvendo Infinito

Um limite limzaf(z) colapsa ou tende para o infinito limzaf(z) =se, e somente se,

limza

1

f(z)= 0.

O limite a medida que ztende para o infinito e igual a L se, e somente se,

limz0 f(1/z) =L

Se a equacao acima for verdadeira, entao nos podemos escrever limzf(z) =L.Finalmente, lim z f(z) =se, e somente se,

limz0

1

f(1/z)= 0

Exemplo 2.4.1. Demonstre que

limz2

z+ 5

z+ 2

=

.

12


14/38

2.5 Continuidade

Uma funcaof(z) e contnua, em um ponto z= a, se as seguintes condicoes sao satisfeitas:

limzaf(z) existir; f(a) existe; limzaf(z) =f(a).

Exemplo 2.5.1. Suponha que

f(z) =

z2 paraz=i0 paraz= i

Demonstre que a funcao nao e contnua.

Exemplo 2.5.2. Demonstre quef(z) =z3 e contnua emz=i.

2.6 Exerccios

1. Determine as partes real e imaginaria de cada uma das funcoes abaixo:

a. w= z2 5z+ 3b. w= 3z5

c. w = z+2z2d. w= z4i

z+3i

e. w= z3izzi

f. w= ez(z i)

2. Calcule os limites das funcoes de variaveis complexas abaixo:

a. limz3i(z2 5z)b. limzi 7z2+1c. limzi 4z+iz+1 =

5i1+i

d. limzz+ 1/z2 + 7

e. limz0z2/|z|2f. limz0z2/z

g. limz0Re(z)/z

h. limz0[Im(z)]2/z

i. limzi 6z+72z3

j. limziz3

27

z3

l. limz0(1+z)1/41

z3

13


15/38

3. Sendo ae bnumeros complexos constantes, prove que

limz>z0

(az+b) =az0+b e limz>z0

(az2 +bz+c) =az20+bz0+c.

4. Determine se as seguintes funcoes sao contnuas em z0= 0

a. f(z) = z2/z2 se z= 0 e f(0) = 0.b. f(z) = [sin(x)y]

x + i[1+cos(y)]

y se z= 0 e f(0) =i.

c. f(z) = (ez 1)/zse z= 0 e f(0) = 1.

14


16/38

Captulo 3

As Funcoes Derivadas e Analtica

3.1 A Derivada Definida

Considere um ponto z0 no plano complexo quef(z) seja uma funcao tal que seu domniocontenha uma vizinhanca de z0.

A derivada de f(z) no ponto z0 e definida pelo limite

f(z0) = limzz0

f(z) f(z0)z z0

Se esse ponto existir para todos os pontos num domnioD, nos diremos que f(z) ediferenciavel em D.

No ponto dado, se o limite existir, nos diremos que f(z) e diferenciavel no pontoz0.Podemos reescrever esse limite, fazendo h = z z0 e h0, da seguinte forma

f(z0) = limh0

f(z0+h) f(z0)h

Definicao 3.1.1. Suponha que f(z) e diferenci avel em uma vizinhanca do ponto z0.Isto e, n os definimos o domnio D tal que|z z0|< para qualquer >0.

Sef(z) existir para todo zD, entao nos dizemos quef(z) e analtica no ponto z0.Sef(z) for analtica em todo o plano complexo, entao nos diremos que a funcao f(z)

e inteira.

Exemplo 3.1.1. Sendo f(z) =z2, encontre sua derivada em qualquer ponto z.

Tendo em vista a definicao de derivada, quando f(z) existe, temos

lim0

[f(z0+ ) f(z0)] = lim0

f(z0+ ) f(z0)z

lim0

z= 0

Assim,f e necessariamente contnua em todo ponto z0 onde sua derivada existe.A continuidade da funcao, porem, nao implica na derivabilidade da mesma, como por

exemplo a funcao f(z) =|

z|2. Ela e contnua em todos os pontos, mas sua derivada so

existe no ponto z= 0.

15


17/38

3.2 Regras para Diferenciacao

ddz

a= 0, onde a e uma constante complexa;

d

dzaf(z) =af(z); d

dzzn =nzn1

ddz

(f+g) =f+g

Se f(z) =n=0anzn, entao f(z) =n=1nanzn1Exemplo 3.2.1. Encontre a derivada def(z) = 5z2 + 3z 2.

ddz

ez =ez

ddzsin z= cos z d

dzcos z= sin z

ddz

sinh z= cosh z

ddz

cosh z= sinh z

3.3 As Regras do Produto e do Quociente

As regras do produto e do quociente tambem se mantem para o caso de variaveis com-plexas. Temos:

ddz

(f g) =f+g

ddz

fg

= f

ggfg2

Exemplo 3.3.1. Encontre as derivadas def(z) = z+12z+1

.

Teorema 3.3.1. Sejam f(z) eg(z) duas funcoes analticas no ponto z0. Entao, desdequeg(z0)= 0, sef(z0) =g(z0) = 0, entao

limzz0

f(z)g(z)

= limzz0

f(z)g(z)

Exemplo 3.3.2. Encontre o seguinte limite

limzi

z iz2 z+ 1 +i

16


18/38

3.4 As Equacoes de Cauchy-Riemann

Teorema 3.4.1. Se a derivadaf(z)de uma funcaof=u + iv existe num pontoz, entaoas derivadas parciais de primeira ordem, em relacao ax ey, de cadas uma das partesu

ev, existem nesse ponto e satisfazem as condicoes de Cauchy-Riemann:

u

x=

v

y e

u

y =v

x.

Tambem, f(z) e dada em termos dessas derivadas parciais pela fomula:

f(z) =u

x+i

v

x=

u

y iv

y

Teorema 3.4.2. Sejamu(x, y)ev(x, y),funcoes contnuas com derivadas parciais contnuas

para todo (x, y). Logo,se estas funcoes satisfazem as equacoes de Cauchy-Riemann paratodo (x, y), entao a funcaoof(z) =u(x, y) +iv(x, y) e analtica.

Exemplo 3.4.1. Verifique se as seguintes funcoes sao analticas:

a. f(z) =z2

b. f(z) =Re(z)

c. f(z) =|z|2

d. f(z) = ez

3.5 A Representacao Polar das Equacoes de Cauchy-

Riemann

Em muitos casos, e conveniente trabalhar-se com a representacao polar de uma funcaocomplexa, onde escrevemoszna forma z= ei. Assim

f(z) =u(r, ) +iv(r, )

Nesse caso, as equacoes de Cauchy-Riemann assumem a forma

u

r =

1

r

v

e

v

r =1

r

u

Essas Equacoes se mantem validas, desde que f(z) esteja definida em toda uma viz-inhanca de um ponto z0 = r0e

i0 diferente de zero, e as derivadas parciais de primeiraordem ur, vr, u, e v, existam e sejam contnuas em toda a vizinhanca .

Exemplo 3.5.1. Seja f a funcao quadrada principalf(z) =

z comz = rei definidode tal forma quer >0 e < < . Essa funcao e analtica?Exemplo 3.5.2. A derivada def(z) = 1/zexiste? Se sim, quem ef(z)na forma polar?

Definicao 3.5.1. Suponha que uma funcao f(z) nao seja analtica em algum pontoz0,mas seja analtica em uma vizinhanca que contenhaz0. Nesse caso, dizemos quez0 e umasingularidade ou um ponto singular def(z).

17


19/38

Sejam f(z) e g(z) duas funcoes analticas, em algum domnio D. Entao:

f g tambem sao analticas em D.

f(z)g(z) e analtico emD. Se g(z)= 0 para todo ponto de D, entao f(z)/g(z) sera analtico em D. A composicao de duas funcoes analticas g(f(z)) ou f(g(z)) e analtica em D. Sef(z) = 0 em toda a parte de um domnioD, entaof(z) devera ser constante em

D.

Exemplo 3.5.3. Determine se a funcaof(z) = (z3+1)/[(z+2)(z2+3)]e ou n ao analticae determine suas singularidades.

3.6 Funcoes Harmonicas

Uma importante classe de funcoes conhecidas como funcoes harmonicas desempenham umimportante papel em muitas areas da matematica, fsica e engenharia aplicadas. Dizemosque uma funcaou(x, y) e uma funcao harmonica se ela satisfizer a equacao de Laplace emalgum domnio do plano x-y:

2u

x2+

2u

y2 = 0

Aqui, nos presuminos que u(x, y) tem a primeira e segunda derivadas parciais contnuas,

tanto em relacao a xquanto a y.Ve-se que as equacoes de Cauchy-Riemann podem nos ajudar a encontrar funcoes

harmonicas, como o proximo teorema ilustra.

Teorema 3.6.1. Suponha quef(z) =u(x, y) + iv(x, y) seja uma funcao analtica em umdomnio D. Segue-se queu(x, y) ev(x, y) sao funcoes harmonicas.

Definicao 3.6.1. Suponha queuev sejam duas funcoes harmonicas em um domnio D.Se suas derivadas parciais de primeira ordem satisfazem as equacoes de Cauchy-Riemann,entao diremos quev e o conjugado harmonico deu.

Teorema 3.6.2. Uma funcao f(z) = u(x, y) +iv(x, y) sera analtica se, e somente se,v(x, y) for o conjugado harmonico deu(x, y).

Exemplo 3.6.1. A funcao u(x, y) =ey sin x e uma funcao harmonica? Se sim, escrevauma funcao analticaf(z) tal queu seja a parte real.

3.7 Exerccios

1. Mostre que o produto de duas funcoes analticas f e g e uma funcao analtica, comderivada (f g) = fg+f g.

2. Prove que o quociente de duas funcoes analticas f eg num pontoz, ondeg(z)= 0,e funcao analtica e (f /g) = (gf f g)/g2.

3. Calcule as derivadas das funcoes dadas abaixo:

18


20/38

a. f(z) = 1 z2 + 4iz5b. f(z) = (z2 i)2(iz+ 1)2c. f(z) = z3i

z+3i

d. f(z) = 1z

4. Use as equacoes de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funcoesdadas abaixo. Em caso positivo, calcule a derivada f(z).

a. w= z3

b. w= ez

c. w = z

d. w= (ey +ey)sin x+ (ey ey)cos x

e. w= ey

(cos x+i sin x)f. w= ey(cos x+i sin x)

g. w=

z=

r[cos(/2 +i sin(/2)], 0<


21/38

Captulo 4

Integracao Complexa

Definicao 4.0.1. Dizemos queC C e uma curva de extremos P e Q se existe umafuncao contnua: [a, b] C tal que

C ={(t) =x(t) +iy(t); t[a, b], (a) =P, (b) =Q}Neste caso, (t) e dita uma parametrizacao deCe a orientacao da curva sera aquela emque(t) esta sendo percorrida, isto e, deP ateQ.

PorC denotaremos a mesma curva anterior com a diferenca de ser percorrida emsentido contario, isto e, de Q ate P, neste caso, podemos parametrizar esta curva daseguinte forma

C={1(t) =(t); t[b, a]}

Definicao 4.0.2. Dizemos queC e uma curva simples se alguma parametrizacao (t) einjetiva. A curva e dita fechada se seus extremos coincidem. A curva sera dita fechadasimples se for fechada e a parametrizacao (t) : [a, b] C for injetiva em [a, b].Exemplo 4.0.1. A curvaC ={(t) = cos(t)eit; t [0, 4 +/2} nao e simples

nem fechada.

A curvaC ={(t) =eit; t[0, 2]} e fechada simples. A curvaC ={(t) =eit; t[0, 4]} e fechada mas nao e simples.De acordo com um teorema famoso devido a Jordan, toda curva fechada simples

Cdivide o plano complexo em duas regioes tendoC como fronteira, uma regiao interior, ,limitada e outra exterior, C , ilimitada. Alem disso, ambas as regioes sao conexas,mais ainda, a regiao interior e conexo simples.

Definicao 4.0.3. Dizemos que um conjunto conexo w e conexo simples se o interior detoda curva fechada inscrita em esta contida em . Isto e, e um conexo que naocontem buracos.

Definicao 4.0.4. Seja : I C, onde I e um intervalo da reta. Dizemos que (t) ediferenciavel por partes em I, se for contnua e (t) for contnua exceto num numerofinito de descontinuidadest1, ...tn, e em cada descontinuidade, os limtes

(t+i ) = limtt+i

(t), (ti ) = limtti

(t)

existem.

20


22/38

Seja (t) =x(t) +iy(t), t[a, b] uma curva no plano complexo. Definimos a integralde curva como sendo b

a

(t)dt:=

ba

x(t)dt+i

ba

y(t)dt

Entao sao validas as seguintes propriedades: se (t), (t) sao duas funcoes definidasno intervalo [a, b] e c e uma constante complexa, entao

ba

(t) +(t)dt=ba

(t)dt+ba

(t)dt

ba

c(t)dt= cba

(t)dt

ba (t)dt

ba|(t)|dtDefinicao 4.0.5. SejaCuma curva contida em Cde extremosP eQ parametrizadapor z(t) = x(t) +iy(t), a

t

b, diferenciavel por partes, com extremos z(a) = P e

z(b) = Q. Entao a integral complexa de uma funcao complexa contnuaf : C Cao longo deC no sentido deP aQ e

C

f(z)dz=

QP

f(z)dz:=

ba

f(z(t))z(t)dt

Observacao 4.0.1. Sef(z) =u(x, y) +iv(x, y), entao

f(z)dz = (u+iv)(dx+idy)

= udx vdy +i(udy+vdx)

isto e, C

f(z)dz=

C

udx C

vdy +i

C

udy+

C

vdx

Lembre-se que a definicao de integral de linha e:Cudx=

ba

u(x(t), y(t))x(t)dt.

Exemplo 4.0.2. SendoC ={z(t) =eit; t[0, 2]}, calcule as integrais:a.

C

1z

dz

b.Cz

ndz.

Teorema 4.0.1. Sef : C e contnua e possui uma primitiva F : C, isto e,F(z) =f(z)para todoz C, entao para toda curva contnua eC1 por partes de extremosP eQ tem-se Q

P

f(z)dz=F(Q) F(P)

Teorema 4.0.2. Independencia de parametrizacao: Sejaz1(t), t [a, b] e supon-hamos quet = h(s)ondeh : [c, d][a, b]e crescente sobrejetiva e com derivada contnua,denotaremos comz2(s) =z1(h(s)) assim

C=

{z1(t); t

[a, b]

}=

{z2(s); s

[c, d]

}Entao, C

f(z)dz=

ba

f(z1(t))z1(t)dt=

ba

f(z2(s))z2(s)ds.

21


23/38

As seguintes propriedades sao validas para a integracao complexa:

Cf(z) +g(z)dz= Cf(z)dz+ Cg(z)dz

Ckf(z)dz=k Cf(z)dz, para k

C

Cf(z)dz= Cf(z)dz C f(z)dz+

C f(z)dz, paraC=C C

Teorema 4.0.3. Sef : C e contnua e possui uma primitiva F : C, isto e,F(z) =f(z)para todo z, entao para toda curva contnua eC1 por partes de extremosP eQ tem-se: Q

P

f(z)dz=F(Q) F(P)

Exemplo 4.0.3. Calcule Cf(z)dz onde:

f(z) = sin(z)C =segmento de reta deP= 0 aQ= i f(z) =ez,C =circunferencia unitaria no sentido antihorario.

Exemplo 4.0.4. CalculeCzdz, deP = 0 aQ= i+ 1, atraves da curva

a. Retay = x

b. Parabolay = x2.

Exemplo 4.0.5. CalculeC(x

2 +iy2)dz, ondeC e o contorno que vai de0 a1 + i e de1 +i a1 + 2i

Exemplo 4.0.6. CalculeCzdzonde o contornoC e definido porx= 3t+it2 ey =t2,1t4.

4.1 O Teorema de Cauchy-Goursat

4.1.1 Domnios Simplesmente e Multiplamente Conexo

Na discussao que segue nos concentraremos em integrais de contorno onde o contornoCe uma curva fechada simples com uma orientacao positiva (sentido anti-horario).

Relembrando, um domnio D e dito simplesmente conexo se todo contorno fechado

simplesC que se estende inteiramente em D puder ser contrado em para um ponto semdeixar D. Em outras palavras, D nao possui buracos. Um domnio que possui buracosedito multiplamente conexo.

4.1.2 Teorema de Cauchy

Em 1825, o matematico frances Cauchy provou um dos mais importantes teoremas emanalise complexa. O teorema de Cauchy diz:

Suponha que uma funcao f seja analtica em um domnio simplesmente conexo De que f seja contnua em D. Entao, para todo contorno fechado simplesC em D,Cf(z)dz= 0.

Em 1883, o matematico frances Edouard Goursat demonstrou o teorema de Cauchysem a consideracao da continuidade de f. A vesao modificada resultante do teorema deCauchy e conhecida como Teorema de Cauchy-Goursat:

22


24/38

Teorema 4.1.1. Suponha que uma funcao f analtica em um domnio simplesmenteconexo D. Entao, para todo contorno Csimples fechado emD, Cf(z)dz= 0.Exemplo 4.1.1. Calcule

Ce

zdzondeC e a curva mostrada na figura abaixo.

Exemplo 4.1.2. CalculeCdzz2

, ondeC e a elipse(x 2)2 + (y5)24

= 1.

4.1.3 Teorema de Cauchy-Goursat para Domnios Multiplamente

ConexosSe ffor analtica em um domnio multiplamente conexo D, entao podemos concluir queCf(z)dz= 0 para todo contorno fechado simples C em D.

23


25/38

Para comecar, suponha queD seja um domnio duplamente conexo e que CeC1sejamcontornos simples fechados de modo que C1 cerque o buraco no domnio e seja interiora C.

Suponha tambem que f seja analtica em cada contorno e em cada ponto interior deC, mas exterior a C1.

Quando introduzimos o corteAB apresentado na figura anterior (b), a regiao limitadapelas curvas e simplesmente conexa.

Agora, a integral deA ateB tem um valor oposto ao da integral de B paraA, e assim

C1

f(z)dz= 0 ou C

f(z)dz=

C1

f(z)dz

O ultimo resultado e algumas vezes chamado de princpio de deformacao de contornos.pois podemos pensar o contorno C1 como uma deformacao contnua de C.

Exemplo 4.1.3. Calcule C

dz

z i ,

ondeC e o contorno exterior indicado na figura:

24


26/38


5z+ 7

z2 + 2z 3dz,

ondeC e o crculo|

z

2|= 2

Se C, C1 e C2 forem os contornos fechados simples (como na figura abaixo) e se ffor analtica em cada um dos tres contornos, bem como em cada ponto interior a C masexterior tanto a C1 como a C2, entao introduzindo cortes, obtemos a partir do Teoremade Cauchy-Goursat que

C

f(z)dz+C1

f(z)dz+C2

f(z)dz= 0. Logo,

C

f(z)dz=

C1

f(z)dz+

C2

f(z)dz

O proximo teorema resumira o resultado geral para um domnio multiplamente conexocom n buracos:

Teorema 4.1.2. Considere C, C1,...,Cn curvas fechadas simples com uma orientacaopositiva de modo queC, C1,...,Cn sejam interiores aCporem as regi oes interiores a cadaCk, k= 1,..n, nao tenham pontos em comum. Sef for analtica em cada contorno e emcada ponto interior aCporem exterior a todosCk, k= 1,..n, entao

C

f(z)dz=n

k=1

Ck

f(z)dz.

Exemplo 4.1.5. Calcule

C

dz

z2 + 1

ondeC e o crculo|z|= 3.

25


27/38

4.2 Formulas Integrais de Cauchy

Ja vimos a importancia do teorema de Cauchy-Goursat no calculo das integrais de con-torno.

Nesta secao, examinaremos diversas outras consequencias do Teorema de Cauchy-Goursat.

4.2.1 Primeira Formula

Iniciaremos pela formula integral de Cauchy. A ideia para o proximo teorema e a seguinte:sef for analtica em um domnio simplesmente conexo ez0 e qualquer ponto de D, entaoo quociente f(z)/(z z0) nao e analtico em D.

Entao, a integral de f(z)/(z z0) nao e necessariamente zero, porem tem, conformeveremos, o valor 2if(z0).

Teorema 4.2.1. Sejaf analtica em um domnio simplesmente conexo D, e sejaC umcontorno fechado simples localizado inteiramente no interior de D. Se z0 for qualquerponto dentro deC, entao

f(z0) = 1

2i

C

f(z)

z z0 dzou

C

f(z)

z z0 dz= f(z0)2i

Exemplo 4.2.1. Calcule

C

z2

4z+ 4

z+ 1 dz

ondeC e o crculo|z|= 2Exemplo 4.2.2. Calcule

C

z

z2 + 9dz

ondeC e o crculo|z 2i|= 4.

4.2.2 Segunda Formula

Podemos agora, usar o Teorema anterior para demontrar que uma funcao analtica possuiderivadas de todas as ordens; isto e, se f for analtica em um ponto z0, entaof

, f, f,...,f(n),...e assim por diante sao tambem analticas em z0.

Alem disso, os valores das derivadas f(n)(z0), n = 1, 2, 3,... sao definidos por umaformula silimar a do teorema anterior.

Teorema 4.2.2. Considerefanaltica em um domnio simplesmente conexo D, eCumcontorno fechado simples localizado inteiramente dentro deD. Sez0 for qualquer pontointerior aC, entao

f(n)(z0) = n!2iC

f(z)(z z0)n+1 dz.

26


28/38


z+ 1

z4 + 4z3dz,

ondeC e o crculo|

z|= 1.


z2 + 3

z(z i)2 dz,

ondeC e o contorno da figura abaixo:

27


29/38

Captulo 5

Series e Resduos

5.1 Sequencias e Series

Definicao 5.1.1. Uma sequencia{zn} e uma funcao cujo domnio e o conjunto de inteirospositivos; em outras palavras, para cada inteiro n = 1, 2, 3,... designamos um numerocomplexo zn.

Por exemplo, a sequencia{1 +in} e1 +i, 0, 1 i, 2, 1 +i, ...

n= 1, n= 2, n= 3, n= 4, n= 5 ...

Se limnzn=L, dizemos que a sequencia {zn} econvergente. Em outras palavras,{zn} converge para todo numero L se, para cada numero positivo , um N puder serdeterminado de modo que|zn L|< sempre que n > N.

Confome indicado na figura abaixo, quando uma sequencia{zn} converge para L,todos os termos da sequencia (exceto um numero finito) estao no interior de qualquervizinhanca de L.

Exemplo 5.1.1. A sequenciain+1

n

converge, pois

limn

in+1

n = 0.

Conforme vemos

1, i2

,1

3,...

28


30/38

e da figura 5.2, os termos das sequencia giram em formato espiral em direcao ao pontoz= 0.

O seguinte teorema e intuitivo:

Teorema 5.1.1. Uma sequencia{zn}converge para um numero complexoL se e somenteseRe(zn) convergir paraRe(L) eIm(L) eIm(zn) convergir paraIm(L).

Exemplo 5.1.2. Verificar a convergencia de

nin+2i

Definicao 5.1.2. Uma serie infinita de numeros complexos

i=1

zk=z1+z2+z3+z4+...+zn+...

e convergente se a sequencia de somas parciais{Sn}, ondeSn=z1+z2+...+zn,

convergir. SeSnL quando n , dizemos que a soma da serie eL.Definicao 5.1.3. A serie

k=1

azk1

e chamada series geometrica e converge para

a

1 zquando|z|< 1 e diverge quando|z| 1.Exemplo 5.1.3.

k=1

(1 + 2i)k

5k

Teorema 5.1.2. Se

k=1zk e convergente, entao limnzn = 0.

Teorema 5.1.3. Se limnzn= 0, entao

k=1zk e divergente.

Exemplo 5.1.4. k=1

k+ 5i

k

29


31/38

Definicao 5.1.4. Uma serie

k=1zk e absolutamente convergente se

k=1 |zk|convergir.Assim como em Calculo real, convergencia absoluta implica em convergencia.

Exemplo 5.1.5. Verifique se a serie

k=1(i

k

/k

2

) e absolutamente convergente.Os dois teoremas a seguir sao as versoes complexas dos testes da razao e da raiz

encontrados no calculo:

Teorema 5.1.4. Supondo que

k=1zk sendo uma serie de termos complexos nao nulosde modo que

limn

zn+1zn =L.

1. SeL 1 ouL=, entao a serie diverge.3. SeL= 1, o teste nao e conclusivo.

Teorema 5.1.5. Supondo que

k=1zk sendo uma serie de termos complexos nao nulosde modo que

limn

n

|zn|= L.

1. SeL 1 ouL=, entao a serie diverge.3. SeL= 1, o teste nao e conclusivo.

5.2 Series de Potencia

A nocao de uma serie de potencias e importante no estudo de funcoes analticas. Umaserie infinita da forma:

k=0

ak(z z0)k =a0+a1(z z0) +a2(z z0)2 +...

onde os coeficientes ak sao constantes complexas, e chamada serie de potencias emz z0. A serie de potencias acima, esta centrada emz0, e o ponto complexo z0 e referidocomo o centro da serie. E conveniente tambem definir (zz0)0 = 1 mesmo quandoz=z0.

Toda serie de potencias complexas tem um raio de convergencia R. Analogo ao con-ceito de um intervalo de convergencia no calculo real, quando 0 < R R.

O raio Rde convergencia pode ser:

zero (nesse caso a serie converge somente em z= z0). um numero finito (nesse caso a serie converge em todos os pontos interiores do

crculo|z z0|= R), ou

30


32/38

(nesse caso a serie converge para todo z).Exemplo 5.2.1. Encontre o raio de convergencia da serie

k=1

(zk+1/k)

.

Exemplo 5.2.2. Encontre o raio de convergencia da serie

k=1

(1)k+1(z 1 i)kk!

.

Exemplo 5.2.3. Encontre o raio de convergencia da serie

k=1

6k+ 1

2k+ 5

(z 2i)k

.

5.3 Serie de Taylor

A correspondencia entre um numero complexo zdentro do crculo de convergencia e onumero para o qual a serie

k=1ak(z z0)k converge tem valor unico.

Desse modo, uma serie de potencia define ou representa uma funcao f; para um zespecificado no interior do crculo de convergencia, o numero L para o qual a serie depotencias converge e definido como sendo o valor de f em z, isto e, f(z) = L. Vamos

aprender agora alguns fatos importantes a respeito da natureza dessa funcao f.Na secao anterior, vimos que toda serie de potencias tem um raio de convergencia R.

Consideraremos nas discurssoes dessa secao que uma serie de potencias

k=1ak(z z0)ktem um raio de convergencia R positivo ou infinito.

31


33/38

Os proximos tres teoremas apresentarao alguns fatos importantes a respeito da na-tureza de uma serie de potencias dentro do seu crculo de convergencia|zz0| = R,R= 0.

Teorema 5.3.1. Uma serie de potenciask=1ak(zz0)k representa uma funcao contnua

fno interior do seu crculo de convergencia|z z0|= R, R= 0.Teorema 5.3.2. Uma serie de potencias

k=1ak(zz0)k pode ser integrada termo a

termo no interior do seu crculo de convergencia|zz0| = R, R= 0, para qualquercontorno C que se localize inteiramente dentro do crculo de convergencia.

Teorema 5.3.3. Uma serie de potencias

k=1ak(z z0)k pode ser diferenciada termo atermo no interior do seu crculo de convergencia|z z0|= R, R= 0.

Suponha que uma serie de potencias represente uma funcaofpara |zz0|< R,R= 0;isto e

f(z) =k=0

ak(z z0)k =a0+a1(z z0) +a2(z z0)2 +a3(z z0)3 +...(1)

As derivadas de f sao

f(z) =k=1

kak(z z0)k1 =a1+ 2a2(z z0) + 3a3(z z0)2 +...(2)

f(z) =

k=2

k(k 1)ak(z z0)k2 = 2.1a2+ 3.2a3(z z0) +...(3)

f(z) =k=3

k(k 1)(k 2)ak(z z0)k3 = 3.2.1a3+...(4)

e assim por diante.Cada uma das series diferenciaveis tem o mesmo raio de convergencia da serie original.

Alem disso, como a serie de potencias original representa uma funcao diferenciavel fdentro do seu crculo de convergencia, concluimos que, quando R= 0, uma serie depotencias representa uma funcao analtica no interior do seu crculo de convergencia.

Existe uma relacao entre os coeficientes ak e as derivadas de f. Calculando (1), (2),(3) e (4) em z=z0, obtemos

f(z0) =a0, f(z0) = 1!a1, f(z0) = 2!a2 e f(z0) = 3!a3

respectivamente. em geral, f(n)(z0) =n!an ou

an =f(n)(z0)

n! , n0.(5)

Quandon = 0, interpretamos a zero-esima derivada comof(z0) e 0! = 1. Substituindo

(5) em (1), temos

f(z) =k=0

f(k)(z0)

k! (z z0)k.(6)

32


34/38

Esta serie e denominada Serie de Taylor para fcentrada em z0.Vimos que uma serie de potencias com raio de convergencia nao nulo representa uma

funcao analtica. Por outro lado, se nos for dada uma funcao f que seja analtica emalgum domnio D, podemos representa-la por uma serie de potencias da forma (6)?

Como uma serie de potencias converge em um domnio circular, e um domnio Dgeralmente nao e circular, a questao se torna: podemos expandir fem uma ou mais seriesde potencia que sejam validas em domnios circulares, todos contidos em D? Esta questaoe respondida no proximo teorema.

Teorema 5.3.4. Considerefanaltica no interior de um domnio D e sejaz0 um pontoemD. Entao f tem uma representacao em serie

f(z) =k=0

f(k)(z0)

k! (z z0)k(7)

valida para o maior crculo Ccom centro emz0 e raio R que se localiza inteiramente nointerior deD.

Uma serie de Taylor com centro z= z0

f(z) =k=0

f(k)(0)

k! zk

e referida como serie de Maclaurin.

Exemplo 5.3.1. Determine a expansao em serie de Maclarin def(z) =

1

(1z)2

Exemplo 5.3.2. Expandaf(z) = 11z em uma serie de Taylor comz0= 2i.

5.4 Serie de Laurent

Se uma funcao complexaf nao for analtica em um ponto z= z0, entao esse ponto e ditoser uma singularidadeou um ponto singularda funcao.

Por exemplo, os numeros complexos z = 2i e z =2i sao singularidades da funcaosao singularidades da funcao f(z) =z/(z2 + 4), pois f e descontnua em cada um desses

pontos.Nesta secao, estamos interessados em um novo tipo de expansao em serie de potencias

de f em torno de uma singularidade isolada z0. Essa nova serie envolvera potenciasinteiras negativas e nao negativas de z z0.Definicao 5.4.1 (Singularidades Isoladas). Suponha quez= z0 seja uma singularidadede uma funcao complexaf. O ponto z=z0 sera uma singularidade isolada da funcao fse existir alguma vizinhanca retirada, ou disco aberto perfurado, 0


35/38

Se z = z0 for uma singularidade isolada de uma funcao f, entao certamente f naopode ser expandida em uma serie de potencias com z0 como o seu centro.

Entretanto, em torno de uma singularidade isoladaz=z0 e possvel representar fporum novo tipo de serie envolvendo potencias inteiras negativas e nao negativas de z

z0;

isto e

f(z) = + a2(z z0)2 +

a1(z z0)+a0+a1(z z0) +a2(z z0) +

Utilizando a notacao de somatorio, a ultima expressao pode ser escrita como a somade duas series

f(z) =k=1

ak(z z0)k +k=0

ak(z z0)k(1)

As duas series no lado direito de (1) possuem nomes especiais. a parte com potenciasnegativas de z z0, isto e,

k=1

ak(z z0)k = k=1

ak(z z0)k

e denominada parte principal da serie (1) e convergira para [1/(z z0)]< r, ou de modoequivalente, para|z z0|> 1/r= r

A parcela constituda pelas potencias nao negativas de z z0,k=1

ak(z z0)k

e denominada parte analtica da serie (1) e convergira para|zz0| < R. Portanto, asoma dessas partes converge quandoztanto

|z

z0|

> rcomo|

z

z0|

< R, isto e, quandoz for um ponto de um domnio anular definido por r


36/38

5.5 Zeros e Polos

Suponha que z= z0 seja um singularidade isolada de uma funcao fe que

f(z) = k=

ak(z z0)k = k=1

ak(z z0)k + k=0

ak(z z0)k

seja a representacao em serie de Laurent de f valida para o disco aberto perfurado 0

apostila variáveis complexas

Documents