apostila solver

SOLVER(E XCEL): MANUAL DE REFERNCIA

Alosio de Castro Gomes Jnior Marcone Jamilson Freitas Souza

Projeto patrocinado pelo programa PR-ATIVA da UFOP

DEPARTAMENTO DE COMPU TAO UNIVERSI DADE FEDERAL DE OURO PRETO JANEI RO DE 2004

Contedo1 SOLVER (EXCEL) 1.1 O que o SOLVER? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemplos de como Modelar usando o SOLVER do Excel . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 B ibliogra a Problema da Fbrica de Automveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema do Emprstimo do Banco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 6 8 10 15 19

Problema da Fbrica de Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema da Escolha de Carteira de Investime ntos . . . . . . . . . . . . . . Problema da Mistura de Petrleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lista de Figuras1.1 Modelagem do Exemplo da seo 1.2.1 no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Janela da ferrame nta SOLVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Escolha da Clula de Destino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Janela do Solver aps a designao das clulas variveis . . . . . . . . . . . . . . . Formato da entrada da 1a e 2a restries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Janela de entrada dos parmetros do SOLVER para o Exemplo da seo 1.2.1 . . . Janela de Opes do SOLVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 5 5 7 7 7 9 9 9 11 11 11 13 13 14 14 16 17 18

Opes de Resultado da ferrame nta SOLVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados inseridos na planilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Modelagem do Exemplo da seo 1.2.2 no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Janela de entrada dos parmetros do SOLVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.12 Resultados inseridos na planilha para o exemplo da seo 1.2.2 . . . . . . . . . . . 1.13 Modelagem do Exemplo da seo 1.2.3 no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Janela de entrada dos parmetros do SOLVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



1.21 Resultados inseridos na planilha para o exemplo da seo 1.2.5 . . . . . . . . . . .

ii

Captulo 1

SOLVER (EXCEL)1.1 O que o SOLVER?

O Solver faz parte de um conjunto de programas algumas vezes chamado de ferrame ntas de anlise hipottica. Com o Solver voc pode localizar um valor ideal para uma frmula em uma clula chamada de clula de destino em uma planilha. clulas relacionadas ajusta O Solver trabalha com um grupo de O Solver

direta ou indiretame nte com a frmula na clula de destino.

os valores nas clulas variveis que voc especi car chamadas de clulas ajustveis Voc pode

para produzir o resultado especi cado por voc na frmula da clula de destino.

aplicar restri es para restringir os valores que o Solver poder usar no modelo e as restries podem se referir a outras clulas que afetem a frmula da clula de destino. Poderemos visualizar isto melhor atr avs de exemplos. No nosso curso, usaremos o SOLVER para resolver Problemas de Programao Linear.

1.2

Exemplos

de como Modelar usando o SO LVER do Excel

Para familiarizarmos com o uso do SOLVER utilizaremos uma srie de exemplos para a xao de seus principais comandos.

1.2.1

Problema

da Fbrica de Autom veis

Alfa Inc. deve produzir 1000 automveis Alfa. A empresa tem quatro fbricas. Devido a diferenas na mo-de-obra e avanos tecnolgicos, as plantas diferem no custo de produo unitrio de cada carro. Elas tambm utilizam diferentes quantidades de matria-prima e mo-de-obra. O custo

de operao, o tempo necessrio de mo-de-obra e o custo de matria-prima para produzir uma unidade de cada carro em cada uma das fbricas esto evidenciados na tabela abaixo.

1

Fbrica 1 2 3 4

Custo Unitrio (em R$1.000,00) 15 10 9 7

Mo-de-Obra (horas de fabricao) 2 3 4 5

Matria-Prima (unidades de material) 3 4 5 6

Um acordo trabalhista assinado requer que pelo menos 250 carros sejam produzidas na fbrica 3. Existem 3200 horas de mo-de-obra e 4000 unidades de material que podem ser alocados s quatro fbricas. O modelo de deciso do problema dado abaixo, onde xj represe nta a qua ntidade de autom veis a serem fabricadas na fbrica j = 1, 2, 3, 4. min s.a 15x1 2x1 3x1 x1 x1 + + + + , 10x2 3x2 4x2 x2 x2 + + + + , 9x3 4x3 5x3 x3 x3 x3 + + + + , 7x4 5x4 6x4 x4 x4 3200 4000 = 1000 250 0

Para resolvermos este PPL utilizando o Excel, devemos primeirame nte designar uma clula para represe ntar cada uma das seguintes entidades: Funo Objetivo (FO) (Expresso a ser minimizada ou maximizada); Varveis de Deciso (variveis que o modelador pode alterar seu valor); Para cada restrio temos uma clula represe ntando o lado esquerdo da restrio (LHS) e outra represe ntando o lado direito darestrio (RHS).

Figura 1.1: Modelagem do Exemplo da seo 1.2.1 no Excel A gura 1.1 aprese nta uma das possveis maneiras de represe ntar o PPL em uma planilha do Excel. Nesta planilha as clulas a seguir designaro cada uma das entidades citadas anteriorme nte.

B7 ir represe ntar o valor da FO a ser minimizada; B6 a E6 represe ntaro os valores que as variveis de deciso assumiro na soluo; F11 a F14 iro represe ntar os LHS das 4 restri es; G11 a G14 iro represe ntar os RHS das 4 restri es. Para que possamos de nir cada uma das clulas anteriorme nte citadas necessitamos inserir uma srie de parmetros do nosso PPL, tais como todos os coe cientes das restries e da FO. Para lembrar o que cada clula represe nta aconselhvel a colocao de ttulos que especi quem o contedo de cada clula (clulas com texto). As clulas B5 a E5 so utilizadas para inserir os valores dos coe cientes da FO, enquanto as clulas de B11 a E14 represe ntam os coe cientes das 4 restri es. Agora devemos de nir cada uma das entradas citadas anteriorme nte. A tabela a seguir representa as frmulas colocadas em cada uma destas clulas. Frmulas utilizadas nas clulas da modelagem do Exemplo 1 =B5*B6+C5*C6+D5*D6+E5*E6 FO =B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6+E11*$E$6 LHS da 1a restrio =B12*$B$6+C12*$C$6+D12*$D$6+E12*$E$6 LHS da 2a restrio =B13*$B$6+C13*$C$6+D13*$D$6+E13*$E$6 LHS da 3a restrio =B14*$B$6+C14*$C$6+D14*$D$6+E14*$E$6 LHS da 4a restrio

B7 F11 F12 F13 F14

Obs.: os smbolos $ signi cam que a linha e a coluna so xos. Precisamos agora avisar ao Excel quais so as clulas que represe ntam nossa FO, as variveis de deciso, as restries do modelo, e nalmente, mandar o Excel resolver para ns. Isto feito utilizando a ferrame nta SOLVER do Excel. Para tal, clique com o boto esquerdo do mouse sobre o menu FERRAMEN TAS e logo em seguida em SOLVER, caso a ferrame nta SOLVER no esteja disponvel, clique no menu FERRAMEN TAS e depois em SUPLEMENTOS e marque a opo

SOLVER para que a mesma que disponvel, o Excel instalar a ferrame nta tornando-a disponvel para uso. Aps este procedimento aparecer na tela a janela represe ntada pela gura 1.2. Nesta janela que sero informadas ao software as clulas que represe ntaro a FO, as variveis de deciso e as restri es. Na parte superior da janela da gura 1.2 aparece um campo para a entrada de dados chamado "De nir clula de destino" que represe ntar o valor da FO. Existem duas maneiras para designar esta clula. A primeira clicar sobre o cone que est do lado direito do campo, que levar voc

a planilha de dados, nesse ponto devemos clicar sobre a clula que represe nta a FO e pressionar a tecla ENTER para voltar a janela do SOLVER. A segunda digitar o nome da clula (B7 no nosso exemplo) no campo. Realizando uma das duas maneiras, a janela resulta nte aprese ntada na gura 1.3. Na linha seguinte so aprese ntadas as opes de maximizar, minimizar e atingir valor. Dependendo do problema devemos clicar sobre uma das trs, no nosso exemplo devemos clicar sobre Min, pois nosso exemplo de minimizao. A opo "Valor de" pode ser utilizada em anlise do tipo ponto de equilbrio, onde desejamos que a funo Lucro (por exemplo) atinja o valor de 0. Nos casos de Programao Linear esta opo no ser utilizada. Na prxima linha h um campo denominado "Clulas Variveis". Neste campo sero inseridas as clulas que represe ntaro as variveis de deciso. Os valores podem ser inseridos como o caso da FO, isto , clicando sobre o cone direita do campo e marcando as clulas escolhidas ou simplesmente digitando seus nomes utilizando as regras do Excel para tal. Utilizando uma das maneiras, a janela ter o formato da gura 1.4. O prximo passo designar as restries do problema. Devemos inserir uma restrio ou um grupo de restries (desde que as restries tenham o mesmo sinal de restrio e estejam adjace ntes) de cada vez. Para inserir a 1a restrio devemos clicar no boto "Adicionar" para aparecer uma janela de entrada de restri es. A janela de entrada de restries tem trs campos, que represe ntam o LHS - "Referncia de clula:" ( esquerda), o sinal da restrio (ao centro), e o RHS - "Restrio" ( direita). Como j mencionado anteriorme nte, o LHS represe nta a equao do lado esquerdo da restrio (o lado esquerdo do dicionrio modi cado). O RHS represe nta o lado direito da restrio (a consta nte do dicionrio). A gura 1.5 represe nta a entrada da 1a e 2a restries. Para entrar com os valores nos campos, deve-se proceder como nos casos anteriores, usando o cone direita ou digitando o nome da clula. O passo seguinte ser o de clicar no boto "OK", no caso de no haver nenhuma outra restrio, ou no boto "Adicionar" para con rmar esta restrio e abrir espao para uma nova entrada. No nosso exemplo, devemos clicar em "Adicionar" e inserir as outra restries. Ao nal de todas as entradas a janela do SOLVER ter a forma da gura 1.6. Devemos agora inserir as restries de no-negatividade e de nir que o modelo de Programao Linear, para isto, devemos clicar no boto "Opes" e marcar as opes "Presumir modelo linear" e "Presumir no negativos" como mostrada na gura 1.7 e depois clique no boto "OK" para

Figura 1.2: Janela da ferrame nta SOLVER

Figura 1.3: Escolha da Clula de Destino

Figura 1.4: Janela do Solver aps a designao das clulas variveis

Figura 1.5: Formato da entrada da 1a e 2a restri es

con rmar. Uma vez inserido o modelo e suas caractersticas, devemos efetivamente resolv-lo. Para tanto basta clicar no boto "Resolver" na janela dos parmetros do SOLVER do Excel. Se o modelo foi corretame nte inserido, ser processado e o resultado aparecer automaticame nte na planilha. Aparecer uma janela como a mostrada na gura 1.8. Se observarmos valores incoerentes ou

inesperados, devemos neste ponto clicar na opo "Restau rar Valores Originais" para restaurar os valores iniciais do modelo. Existe ainda a opo de requisitar trs tipos de relatrios (lado direito da janela). Ao clicar no boto "OK", a janela de Resultados do SOLVER ser apagada e os resultados aparecero na planilha como mostrado na gura 1.9.

1.2.2

Problema

do Emprstimo

do Banco

O Banco Municipal de Ouro Preto (BMOP) est formulando sua poltica de crdito para o prximo trimestre. Um total de 12 milhes ser alocado s vrias modalidades de emprstimo que ele

pretende conceder. Sendo uma instituio de atendime nto pleno, obriga-se a atender a uma clientela diversi cada. A tabela abaixo prev as modalidades de emprstimos praticadas pelo Banco, as taxas de juro por ele cobradas e a possibilidade de dbitos no honrados, medida em probabilidade, com base nas experincias passadas. Ti po de Emprstimo Pessoal Compra de autom vel Compra de casa prpria Agrcola Comercial Taxa de Juro 0,140 0,130 0,120 0,125 0,100 Probabilidade de Dbito no honrado 0,10 0,07 0,03 0,05 0,02

Os dbitos no honrados so assumidos como irrecuperveis e, portanto, no produzem retorno. A competio com outras instituies similares, nas reas mencionadas, requer que o Banco aloque, pelo menos 40% do total disponvel, em emprstimos agrcolas e comerciais. Para apoiar a indstria da construo civil na regio, os emprstimos para compra da casa prpria devem ser, pelo menos, 50% do total alocado para emprstimos pessoais e destinados a compra de carro. Alm disso, o Banco deseja incluir na sua poltica de emprstimos a condio de que a razo entre o total de dbitos no honrados em todos os emprstimos e o total emprestado, no exceda 0,04. Formule um modelo de programao linear para otimizar a poltica de crdito do Banco. O modelo de deciso do problema dado abaixo, onde xj represe nta a qua ntidade de dinheiro alocado para emprstimos do tipo j = (1=Pessoal, 2=Compra de Automveis, 3=Compra de Casa

Figura 1.6: Janela de entrada dos parmetros do SOLVER para o Exemplo da seo 1.2.1

Figura 1.7: Janela de Opes do SOLVER

Figura 1.8: Opes de Resultado da ferrame nta SOLVER

Prpria, 4=Agrcola e 5=Comercial). max s.a 0, 126 x1 x1 0, 05x1 0, 06 x1 x1 + + + , 0, 121 x2 + x2 + 0, 05 x2 0, 03x2 x2 + , 0, 116 x3 + x3 + x3 0, 01 x3 x3 + , 0, 119 x4 x4 x4 0, 01x4 x4 + + + , 0, 098x5 x5 x5 0, 02x5 x5 12 4,8 0 0 0

Para resolvermos este PPL, devemos proceder da mesma forma aprese ntada no exemplo da seo 1.2.1, s que o modelo deve ser parecido com o da gura 1.10. A gura 1.10 aprese nta uma das possveis maneiras de represe ntar o PPL em uma planilha do Excel. Nesta planilha as clulas a seguir designaro cada uma das entidades: B7 ir represe ntar o valor da FO a ser maximizada; B6 a F6 represe ntaro os valores que as variveis de deciso assumiro na soluo; G11 a G14 iro represe ntar os LHS das 4 restri es; H11 a H14 iro represe ntar os RHS das 4 restri es. As frmulas utilizadas so aprese ntadas na tabela a seguir. Frmulas utilizadas nas clulas da modelagem do Exemplo 2 B7 =B6*B5+C6*C5+D6*D5+E6*E5+F6*F5 G11 =B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6+E11*$E$6+F11*$F$6 G12 =B12*$B$6+C12*$C$6+D12*$D$6+E12*$E$6+F12*$F$6 G13 =B13*$B$6+C13*$C$6+D13*$D$6+E13*$E$6+F13*$F$6 G14 =B14*$B$6+C14*$C$6+D14*$D$6+E14*$E$6+F14*$F$6 A janela com os parmetros do SOLVER aprese ntado na gura 1.11 e a planilha com os resultados mostrada na gura 1.12.

1.2.3

Problema

da Fbrica de Motores

A LCL Motores Ltda., uma fbrica de motores especiais, recebeu recenteme nte R$90.000,00 em pedidos de seus trs tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado nmero de horas de trabalho no setor de montagem e de acabame nto. A LCL pode terceirizar parte da sua produo. A tabela a seguir resume estes dados. Modelo Demanda Mo ntagem Acabame nto Custo Pr oduo Terceirizado 1 3000 unid. 1 h/unid. 2,5 h/unid. R$50 R$65 2 2500 unid. 2 h/unid. 1 h/unid. R$90 R$92 3 500 unid. 0,5 h/unid. 4 h/unid. R$120 R$140 TO TAL 6000 unid. 6000 h 10000 h

Figura 1.9: Resultados inseridos na planilha

Figura 1.10: Modelagem do Exemplo da seo 1.2.2 no Excel

Figura 1.11: Janela de entrada dos parmetros do SOLVER

A LCL Motores deseja determinar quantos motores devem ser produzidos em sua fbrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para atender demanda de pedidos. Seja Fi o nmero de motores fabricados pela LCL do modelo i (i=1,2,3) e Ti o nmero de motores terceirizados pela LCL do modelo i(i=1,2,3). O modelo de deciso do problema dado a seguir. min s.a 50F1 F1 2, 5F1 F1 + + + + 90F2 2F2 F2 F2 + + + + F3 + 120F3 0, 5F3 4F3 + 65T1 T1 + 92T2 + 140T3 6000 10.000 = 3.000 = 2.500 = 500

T2 T3

Fi , Ti 0, i=1,2,3

Para resolvermos este PPL, devemos proceder da mesma forma aprese ntada no exemplo da seo 1.2.1, s que o modelo deve ser parecido com o da gura 1.13. A gura 1.13 aprese nta uma das possveis maneiras de represe ntar o PPL em uma planilha do Excel. Nesta planilha as clulas a seguir designaro cada uma das entidades: B7 ir represe ntar o valor da FO a ser minimizada; B6 a G6 represe ntaro os valores que as variveis de deciso assumiro na soluo; H11 a H15 iro represe ntar os LHS das 5 restri es; I11 a I15 iro represe ntar os RHS das 5 restri es. As frmulas utilizadas so aprese ntadas na tabela a seguir. Frmulas utilizadas nas clulas da modelagem do Exemplo 3 =B6*B5+C6*C5+D6*D5+E6*E5+F6*F5+G6*G5 =B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6+E11*$E$6+F11*$F$6+G11*$G$6 =B12*$B$6+C12*$C$6+D12*$D$6+E12*$E$6+F12*$F$6+G12*$G$6 =B13*$B$6+C13*$C$6+D13*$D$6+E13*$E$6+F13*$F$6+G13*$G$6 =B14*$B$6+C14*$C$6+D14*$D$6+E14*$E$6+F14*$F$6+G14*$G$6 =B15*$B$6+C15*$C$6+D15*$D$6+E15*$E$6+F15*$F$6+G15*$G$6

B7 H11 H12 H13 H14 H15

A janela com os parmetros do SOLVER aprese ntado na gura 1.14 e a planilha com os resultados mostrada na gura 1.15.

1.2.4

Problema

da Escolha de Carteira

de Investime ntos

A LCL Investime ntos S.A. gerencia recursos de terceiros atravs da escolha de carteiras de investimentos para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes exige que:

Figura 1.12: Resultados inseridos na planilha para o exemplo da seo 1.2.2



- No mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um nico investime nto. - Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em ttulos de maturidades maiores que 10 anos. - O total aplicado em ttulos de alto risco deve ser, no mximo, de 50% do total investido. A tabela a seguir mostra os dados dos ttulos selecionados. Determine qual perce ntual do total deve ser aplicado em cada tipo de ttulo. Ttulo Ttulo Ttulo Ttulo Ttulo Ttulo 1 2 3 4 5 6 Retorno Anual 8,7% 9,5% 12,0% 9,0% 13,0% 20,0% Anos para Vencime nto 15 12 8 7 11 5 Risco 1 - muito baixo 3 - regular 4 - alto 2 - baixo 4 - alto 5 - muito alto

Seja Pi o perce ntual do total aplicado no ttulo do tipo i = 1, . . . , 6. max s.a6 X j= 1

cj Pj + + P2 P2 + + P3 + P4 + P5 P5 P5 + + P6 P6 = 100 50 50

P3 + Pi 25, i = 1, . . . , 6 Pi 0, i = 1, . . . , 6 P1 0, 00087 P2 0, 00095

P1 P1

0, 00120 e P= P3 onde c= 0, 00090 P4 0, 00130 P5 0, 00200 P6 Para resolvermos este PPL, devemos proceder da mesma forma aprese ntada no exemplo da seo 1.2.1, s que o modelo deve ser parecido com o da gura 1.16. A gura 1.16 aprese nta uma das possveis maneiras de represe ntar o PPL em uma planilha do Excel. Nesta planilha as clulas a seguir designaro cada uma das entidades: B7 ir represe ntar o valor da FO a ser maximizada; B6 a G6 represe ntaro os valores que as variveis de deciso assumiro na soluo; H11 a H19 iro represe ntar os LHS das 9 restri es; I11 a I19 iro represe ntar os RHS das 9 restri es. As frmulas utilizadas so aprese ntadas na tabela a seguir.



B7 H11 H12 H13 H14 H15 H16 H17 H18 H19

Frmulas utilizadas nas clulas da modelagem do Exemplo 4 =B6*B5+C6*C5+D6*D5+E6*E5+F6*F5+G6*G5 =B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6+E11*$E$6+F11*$F$6+G11*$G$6 =B12*$B$6+C12*$C$6+D12*$D$6+E12*$E$6+F12*$F$6+G12*$G$6 =B13*$B$6+C13*$C$6+D13*$D$6+E13*$E$6+F13*$F$6+G13*$G$6 =B14*$B$6+C14*$C$6+D14*$D$6+E14*$E$6+F14*$F$6+G14*$G$6 =B15*$B$6+C15*$C$6+D15*$D$6+E15*$E$6+F15*$F$6+G15*$G$6 =B16*$B$6+C16*$C$6+D16*$D$6+E16*$E$6+F16*$F$6+G16*$G$6 =B17*$B$6+C17*$C$6+D17*$D$6+E17*$E$6+F17*$F$6+G17*$G$6 =B18*$B$6+C18*$C$6+D18*$D$6+E18*$E$6+F18*$F$6+G18*$G$6 =B19*$B$6+C19*$C$6+D19*$D$6+E19*$E$6+F19*$F$6+G19*$G$6




1.2.5

Problema

da M istura de PetrleoCada tipo de petrleo possui uma planilha de

Uma re naria processa vrios tipos de petrleo.

custos diferente, expressando, condies de trans porte e preos na origem. Por outro lado, cada tipo de petrleo represe nta uma con gurao diferente de subpr odutos para a gasolina. Na medida em que certo tipo de petrleo utilizado na produo da gasolina, possvel a programao das condies de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam na classi cao do tipo de gasolina obtida. Supondo que a re naria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petrleo e deseje produzir as gasolinas amarela, azul e superazul, programar a mistura dos tipos de petrleo atendendo s condies que se seguem nas tabelas a seguir: Qua ntidade Disponvel de Petrleo Qua ntidade Mxima C ustos Dis pon vel (barril/dia) 3.500 2.200 4.200 1.800

Ti po de Petrleo 1 2 3 4

por B arril/dia (R$) 19 24 20 17

Perce ntuais para Limites de Qualidade das Gasolinas Ti po de Gasolina Es peci cao Preo de Venda (R arril) $/B Su perazul No mais que 30% de 1 35 No menos que 40% de 2 No mais que 50% de 3 No mais que 30% de 1 Azul 28 No menos que 10% de 2 Am rela a No mais que 70% de 1 22 Onde xij nmero de barris de petrleo de tipo j (j = 1, 2, 3, 4) que sero destinados produo da gasolina i (i = A-gasolina Amarela, Z-gasolina aZul e S-gasolina Superazul). O modelo de deciso para este problema aprese ntado a seguir: (a) Funo Objetivo: Maximizar Q(x) = 3xA1 2xA2 + 2xA3 5xA4 + 9xZ 1 + 5xZ 2 + 8xZ 3 + xZ 4 + 16xS1 + 11xS2 + 15xS3 + 8xS4

(b) Restries Tecnolgicas: 1) xA1 + xZ 1 + xS1 3.500 2) xA2 + xZ 2 + xS2 2.200 3) xA3 + xZ 3 + xS3 4.200

4) xA4 + xZ 4 + xS4 1.800 5) 0, 7xS1 0, 3xS2 0, 3xS3 0, 3xS4 0 6) 0, 4xS1 + 0, 6xS2 0, 4xS3 0, 4xS4 0 7) 0, 5xS1 0, 5xS2 + 0, 5xS3 0, 5xS4 0 8) 0, 7xZ 1 0, 3xZ 2 0, 3xZ 3 0, 3xZ 4 0 9) 0, 9xZ 1 0, 1xZ 2 0, 1xZ 3 0, 1xZ 4 0 10) 0, 3xA1 0, 7xA2 0, 7xA3 0, 7xA4 0 11) xA1 , xA2 , xA3 , xA4 , xZ 1 , xZ 2 , xZ 3 , xZ 4 , xS1 , xS2 , xS3 , xS4 0 J de nido o problema vamos agora model-lo no Excel. Para resolvermos este PPL, devemos proceder da mesma forma aprese ntada no exemplo da seo 1.2.1, s que o modelo deve ser parecido com o da gura 1.19.

Figura 1.19: Modelagem do Exemplo da seo 1.2.5 no Excel A gura 1.19 aprese nta uma das possveis maneiras de represe ntar o PPL em uma planilha do Excel. Nesta planilha as clulas a seguir designaro cada uma das entidades: C7 ir represe ntar o valor da FO a ser maximizada; C6 a N6 represe ntaro os valores que as variveis de deciso assumiro na soluo; O11 a O20 iro represe ntar os LHS das 10 restri es;

P11 a P20 iro represe ntar os RHS das 10 restri es. As frmulas utilizadas so aprese ntadas na tabela a seguir. Frmulas utilizadas nas clulas da modelagem do Exemplo 5 =C6*C5+D6*D5+E6*E5+ . . . +M6*M5+N6*N5 =C11*$C$6+D11*$D$6+E11*$E$6+ . . . +M11*$M$6+N11*$N$6 =C12*$C$6+D12*$D$6+E12*$E$6+ . . . +M12*$M$6+N12*$N$6 =C13*$C$6+D13*$D$6+E13*$E$6+ . . . +M13*$M$6+N13*$N$6 =C14*$C$6+D14*$D$6+E14*$E$6+ . . . +M14*$M$6+N14*$N$6 =C15*$C$6+D15*$D$6+E15*$E$6+ . . . +M15*$M$6+N15*$N$6 =C16*$C$6+D16*$D$6+E16*$E$6+ . . . +M16*$M$6+N16*$N$6 =C17*$C$6+D17*$D$6+E17*$E$6+ . . . +M17*$M$6+N17*$N$6 =C18*$C$6+D18*$D$6+E18*$E$6+ . . . +M18*$M$6+N18*$N$6 =C19*$C$6+D19*$D$6+E19*$E$6+ . . . +M19*$M$6+N19*$N$6 =C20*$C$6+D20*$D$6+E20*$E$6+ . . . +M20*$M$6+N20*$N$6

C7 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20




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