apostila nivelamento 1

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE JOINVILLE

AAPPOOSSTTIILLAA DDEE NNIIVVEELLAAMMEENNTTOO

-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA BBÁÁSSIICCAA --

VVEERRSSÃÃOO 11..00

JJOOIINNVVIILLLLEE –– AAGGOOSSTTOO,, 22000088

Apostila de Nivelamento

- Matemática Básica -

1

ÍÍNNDDIICCEE 11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS ......................................................................................... 2

1.1 Definição_______________________________________....... 2 1.2 Notação de Conjuntos____________________________....... 2 1.3 Tipos de Conjuntos________________________................... 3 1.4 Propriedades de Conjuntos________________________...... 3

22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS....................................................... 5 2.1 Adição_________________________________________....... 5 2.2 Subtração_______________________________________ ..... 6 2.3 Multiplicação____________________________________...... 8 2.4 Divisão_________________________________________...... 9 2.5 Potenciação_____________________________________.... 11

33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS ............................................................................. 15 3.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 15 3.2 Multiplicação e Divisão____________________________ ... 15

44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 16 55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 17

5.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 17 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________ ......... 17

5.2 Multiplicação____________________________________.... 20 5.3 Divisão_________________________________________.... 21 5.4 Potenciação_____________________________________.... 21 5.4 Radiciação_____________________________________...... 22

66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS.......................................................................... 23 6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________.... 23 6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________ ... 24 6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______ ... 24

77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU ................................................................ 26 7.1 Equação do 1º Grau______________________________..... 26

88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE........................................................................ 27 5.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 27

99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS........................................................................................ 28 RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS ............................................................... 32



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11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS 1.1 Definição_______________________________________ Conjunto é um grupo de objetos sendo que cada objeto que forma o conjunto é chamado de elemento. Exemplos:

a) Conjunto de vogais do alfabeto Elementos: a, e ,i, o, u

b) Conjunto das cores da bandeira brasileira Elementos: verde, amarelo, azul, branco

1.2 Notação de Conjuntos____________________________ Existem duas maneiras de descrevermos elementos de um conjunto: Notação entre chaves Os elementos do conjunto são colocados entre chaves e separados por vírgula.

A = conjunto de vogais do alfabeto A = {a, e, i, o, u}

B = conjunto das cores da bandeira brasileira B = {verde, amarelo, azul, branco}

Notação por diagrama Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma linha fechada.



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1.3 Tipos de Conjuntos________________________ Conjunto unitário É o conjunto que possui um único elemento.

• A é o conjunto de letras que recebem cedilha: A = {ç} Conjunto vazio É o conjunto que não possui nenhum elemento.

• B é o conjunto de vogais que recebem cedilha: A = { } 1.4 Propriedades de Conjuntos________________________ Pertinência Para o conjunto A de vogais do alfabeto, pode-se dizer que u pertence ao conjunto A e que c não pertence ao conjunto A. Assim, matematicamente:

• u ∈ A (u pertence ao conjunto A) • c ∉ A (c não pertence ao conjunto A)

Relação entre conjuntos Sejam, A o conjunto de números de 1 a 7 e B o conjunto de números pares de 1 a 6. Pela notação entre chaves:.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {2, 4, 6}

Pela notação por diagrama:



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Por esta notação pode ser observado que todo elemento de B é também elemento de A. Assim, a relação entre estes dois conjuntos pode ser:

• A ⊂ B (A contém B) • B ⊃ A (B está contido em A) • A ⊄ 10 (A não contém o elemento 10)

Da mesma forma, A o conjunto de números pares de 1 a 7 e B o conjunto de números 1, 2, 3, 5 e 7. Pela notação entre chaves:.

A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3, 5, 7}

Para estes conjuntos, pode-se afirmar:

• C = A ∪ B (A união B) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• D = A ∩ B (A interseção B) D = {2}

Para estas propriedades, verifica-se que a união representa a adição de conjuntos, sendo portanto interpretado como A e B. Da mesma forma, a interseção representa a seleção de elementos comuns, que estão contidos nos conjuntos A ou B.



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22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS 2.1 Adição_________________________________________ Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. A adição com expressões numérica pode ser representada de duas formas:

Observação: Da mesma forma, a adição pode ser realizada para expressões algébricas, sendo que neste caso a adição é feita entre variáveis iguais.

(3a+5b)+(6a+3b) Propriedades da Adição______________________________ Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma, isto é, trocando a ordem das parcelas o resultado é o mesmo:



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• se x + y = z, logo y + x = z 2+4=6 logo 4+2=6 a+b = b+a

Associativa: Na adição de três ou mais números, pode-se substituir duas parcelas quaisquer pela sua soma. Ou seja, o agrupamento das parcelas não altera o resultado:

• se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w (20+8)+14=42 logo 20+(8+14)=42 (a+b)+c = a+(b+c)

Elemento neutro da adição: O zero é chamado "elemento neutro" da adição, pois o 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas:

• x + y = z, logo x + y + 0 = z (34+22) = 56 logo (34+22+0) = 56

Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. 2.2 Subtração_______________________________________ A subtração é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico (minuendo) se dele for removido outro valor numérico (subtraendo). A adição com expressões numérica pode ser representada de duas formas:



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Assim, a subtração é o mesmo que a adição por um número de sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição. Observação: A subtração, como a adição, pode ser realizada para expressões algébricas, sendo feita entre variáveis iguais.

(3a+5b)-(6a+3b) Propriedades da Subtração___________________________ Propriedade fundamental da subtração: A diferença é o número que, somado ao subtraendo, resulta no minuendo:

• 45-25 = 22, logo 25+22 = 45 a-b = c ou b+c = a

Elemento neutro: O zero é chamado "elemento neutro" da subtração, pois não altera a diferença, em qualquer posição:

• x-0 = x, y-0 = y, e x-0-y = x-y, sendo x diferente de y 18-0 = 18

Anulação: Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0 (zero).



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2.3 Multiplicação____________________________________ A multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes, fatores ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador

Propriedades da Multiplicação________________________ Comutativa: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim,

• se x.y = z, logo y.x = z Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim,

• s.(x.y).z = w, logo x.(y.z) = w



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Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim,

• x.(y+z) = (x.y)+(x.z) Elemento neutro: O um é chamado "elemento neutro" da multiplicação, pois não altera o resultado dos demais fatores. Assim,

• se x.y = z, logo x.y.1 = z Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim,

• -1.x = -x e -1.y = -y, para y diferente de x Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim,

• x.0 = 0, e y.0 = 0, com x diferente de y 2.4 Divisão_________________________________________ A divisão é a operação matemática que determina a quantidade de vezes (quociente) que um número (divisor) está contido dentro de outro número (dividendo). A divisão é a operação inversa da multiplicação.



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Propriedades da Divisão_____________________________ Divisor neutro: Qualquer número dividido por 1 (um) terá como quociente o próprio número dividido. Anulação: Qualquer número dividido por ∞ (infinito) ou -∞ (menos infinito) será sempre zero. Indeterminação: As divisões 0÷0 e ∞÷∞ não têm um quociente determinado; sendo que qualquer número pode ser usado como solução. Divisão por zero: O resultado de uma divisão de um número não-nulo por 0 tende ao infinito e o resultao de 0 dividido por 0 é indeterminado. Observação: O resto de uma divisão nunca pode ser um número maior ou igual ao divisor. Representação______________________________________ Sendo a o "dividendo" e b o divisor, a representação da operaçào de divisão pode ser:

• como uma fração: ba

• com uma barra: ba

• com o sinal de divisão: ba ÷ • usando dois pontos: ba :



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• usando o sinal de inverso: 1−⋅ ba Divisibilidade_______________________________________ Sejam algumas divisões:

É possível observar que nem sempre a divisão resulta no quociente zero, ou seja, nem sempre a divisão é exata. Quando isso ocorre, diz-se que é uma divisão com resto:

2.5 Potenciação_____________________________________ Exponenciação ou potenciação é uma operação a usada em aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela mesma, tantas vezes quanto indicar o expoente.

Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um número natural maior do que 1. A exponenciação é representada por um número e o expoente sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando a base do expoente (2^3).



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Expoente Um e Zero_________________________________ Analisando um número qualquer com expoente zero ou um:

• qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo:

• qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1:

Expoentes Fracionários______________________________ Seja expressão,

Esta pode ser usada para provar que:

Para que essa expressão seja válida para números racionais, devemos ter:



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Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando:

Expoentes Decimais______________________________ No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.

Indeterminações____________________________________ Na exponenciação, é possível chegar à formas de indeterminação:

Potências cujo expoente não altera o resultado__________ Potências de 0 Como visto, a matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 00, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. Potências de 1 As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de n, 1n será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.



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Potências de 10 Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal.

106 = 1000000 (igual a um milhão, 1 seguido de 6 zeros). Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica:

299792458 = 2,99792458 × 108 ≅ 2.998 × 108 (velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo)

Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 103 = 1000, logo, um quilómetro é igual a 1000 metros. Potências de 2 Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2n valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória.

1 kilobyte = 210 = 1024 bytes



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33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS 3.1 Adição e Subtração_______________________________ Sinais iguais Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Exemplos:

3.2 Multiplicação e Divisão____________________________ Sinais iguais Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Exemplos:



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44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS Regra: As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:

1º Potenciação e Radiciação; 2º Multiplicação e Divisão; 3º Adição e Subtração.

Por sua vez, essas operações são assim realizadas:

1º Parênteses; 2º Colchetes; 3º Chaves.



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55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS 5.1 Adição e Subtração_______________________________ Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;

• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador comum;

• Simplificar resultado sempre que possível. Exemplos:

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________ Para entender o que é mínimo múltiplo comum, deve-se saber achar os múltiplos de um número. Exemplo:

Quais são os múltiplos de 2? São todos os números que resultam da multiplicação de um número natural por 2.



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E quando é dado um número como saber se esse número será múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante? Basta fazer a operação inversa à multiplicação: divisão.

Regras: Múltiplo de 2 Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em par, então será múltiplo de 2. Múltiplo de 3 Todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos deve resultar em um número múltiplo de 3 Múltiplo de 5 Todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Outros Múltiplos Para descobrir se um número é múltiplo de outros números, deve-se utilizar a divisão pelo múltiplo a ser verificado. Se essa operação der exata (resto igual a zero) é por que ele será múltiplo deste número. Exemplo:

O número 1232 será múltiplo de 2, 3 e 5?



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• 1232 termina em par, então ele será múltiplo de 2; • somando os algarismos do número 1232 tem-se:

1+2+3+2 = 8, 8 não é múltiplo de 3, então 1232 também não vai ser

múltiplo de 3; • 1232 termina em 2, assim não é múltiplo de 5.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC): Cálculo do MMC pelo menor múltiplo O cálculo o MMC de 2 ou mais números consistem em achar o menor múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números. MMC(15, 20) = ? Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e depois de 20.

M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ... M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ...

Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo comum é o 60, portanto:

MMC(15, 20) = 60 Cálculo do MMC utilizando a fatoração Outro método para achar o MMC de números consiste em dividir os números por números primos Número primo é aquele número que é divisível apenas por um e por ele mesmo. Como 2, 3, 5, 7, 11.... É interessante ressaltar que o único número par primo é o 2, os outro são todos ímpares. MMC(15, 20) = ?



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Para calcular MMC(15,20) utilizando a fatoração no processo de decomposição simultânea, utiliza-se:

Observa-se que foram divididos os números 15 e 20 apenas por números primos em seqüência. Então, multiplicando-se os números primos 2, 2, 3, 5 é obtido o MMC dos números 15 e 20:

2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o MMC(15,20) = 60 5.2 Multiplicação____________________________________ Para multiplicar frações, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Multiplicar os numeradores entre si; • Multiplicar os denominadores entre si; • Simplificar a fração resultante sempre que possível.

Observação: Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuar a operação. Exemplos:



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5.3 Divisão_________________________________________ Para dividir frações, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração;

• Simplificar a fração resultante sempre que possível. Exemplos:

5.4 Potenciação_____________________________________ Para elevar uma fração a um determinado expoente, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Elevar o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplos:



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5.4 Radiciação_____________________________________ Para obter a raiz de uma fração, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Extrair a raiz do numerador e do denominador. Exemplos:



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66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS Os Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, como mostram as regras a seguir. 6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________ Regra: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:



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6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________ Regra: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______ Regra: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.



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Exemplos:



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77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU 7.1 Equação do 1º Grau______________________________

Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da



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88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE 5.1 Adição e Subtração_______________________________ Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da seguinte maneira:

• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;

• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador comum;

• Simplificar resultado sempre que possível. Exemplos:



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99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 9.1 Operações Aritméticas____________________________ 01) Efetue as operações matemáticas de adição e subtração: a) 0,1 + 50,43 b) 13,45 + 34,90 c) 2,09 + 3,09 d) 0,43 + 1,02 e) 34,04 + 2 f) 21,2 + 2 + 45,09 g) 45 – 34,9 h) 23 – 0,09 i) 34 – 20,8 j) 9,89 – 2,1 k) 134,10 – 18,56 02) Efetue as operações matemáticas de multiplicação e divisão: a) 2,4 x 3 b) 18,9 x 200 c) 3,55 x 3,2 d) 10,2 x 5,3 e) 6,09 x 4 f) 18 : 3,6 g) 8 : 1,25 5 h) 144,2 : 7 03) Escreva os seguintes números em notação científica: a) 3400000 b) 700000 c) 12000 d) 5000000000 e) 2000



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f) 150 g) 0,0001 h) 0,00014 i) 0,0000006 j) 0,06 8 k) 0,8 l) 0,010 m) 0,90 n) 0,00004 o) 0,444 p) 0,0008 q) 0,55 r) 329000 s) 45000000 t) 219000000 u) 459900000 v) 400000000 x) 455,9000 9.2 Regra dos Sinais e Seqüência de Operações__________ 01) Calcular as expressões matemáticas: a) (+5) + (-5) + (-2) – (+4) – (-2) b) -1 +2 – 9 + 7 – 3 – 5 + 2 c) – (+1) + (+3) + (-4) – (+2) – (-7) + (-3) d)-(+4-3)+(-7+2)-[(-1)+(-2+3)] e) (-2) . (+3) – (-3) . (-8) + (-3) . (-4) f) -5 . 3 – 9 . (-2) + (-5) . (-9) . 2 - 2 . (-2) g) -1 - 3 . [-5+2 . (-1 - 9 .2) + 5] – (-1) h) -5.(-3)–4.{-2.[-1+3.(-4.5-3.2)]-(-4)}+1 i) -5 . 3-9 : (-3)+(-5) . (-9) . 2-2 . (-2) j) {[(-5.3) –9] :9-3)+(-5)} .(-9) .[2-2 .(-2)]



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9.3 Operações com Frações___________________________ 01) Simplificar as frações: a) 12/18 b) 136/170 02) Qual dos números a seguir é o maior? a) 25/16 b) 9/8 c) 43/32 d) 5/2 e) 9/4. 03) As frações 9/16 e 3/4 são equivalentes? 04) Calcular: as frações: a) 3 + 1/5 : 7/2 b) (-1/2 + 7/8) : (-4/3) c) (3/7 – 1/21 – 11/3) . (4 + 1/2) d) (-5 -1/4) : (-3 + 1/8) e) – 1 – 3/2 : (5/4) – 2 : (-3/4) f) (2/9) : (7/4) g) (-2/3) : (1/5) h) (1/4) : (1/8) i) (2/3) : (1/5) j) (14/5) : (2/21) k) 3 - 1/2 : 1/4 l) 8 + 1/2 : 1/6 m) (-1/2 + 4/5) : (-2/7) n) (-1/4+ 1/8) : (1/2) o) (2/7) : (7/4) p) (3/10) : (4/5) q) (5/6) : (4/7) 04) Determinar o MMC: a) mmc (12,4) b) mmc (36,144) c) mmc (300, 180)



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d) mmc (-78,130) e) mmc (10,42,63,35) f) mmc (2,5,13) g) mmc (100,200,400) h) mmc (20,50,130) i) mmc (25,50,75) j) mmc (30,32,63,90) k) mmc (3,30,63,90) l) mmc (4,42,80,120) m) mmc (8,12,80,140) n) mmc (5,10,15,150) o) mmc (40,68,220,240) p) mmc (225,625) q) mmc (144,120) r) mmc (625,1300) s) mmc (480,840)



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RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS [1] http://afrobras.org.br/images/stories/mat-basica.pdf [2] http://pt.wikipedia.org/wiki/ [3] http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/ [4]

apostila nivelamento 1

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