apostila hidrodinâmica

8/16/2019 Apostila Hidrodinâmica

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Hidráulica Geral – BC&TProf. Rui Domingues

Hidrodinâmica


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DefiniçõesEscoamento

O cisalhamento deforma o fluido, dando a este apropriedade de escoar, ou seja, de mudar de formafacilmente. Portanto, o escoamento é a fácil mudança deforma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É achamada fluidez.

Corrente fluidaÉ o escoamento orientado do fluido, isto é, seudeslocamento com direção e sentido bem determinados.


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DefiniçõesMétodo de Lagrange

Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é ode Lagrange, que descreve o movimento de cadapartícula, acompanhado-a na trajetória total. Apresentagrandes dificuldades nas aplicações praticas.

Método de EulerConsiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolherum ponto do espaço e considerar todas as partículas quepassam por este ponto. Neste método observador é fixo, eé o preferido para se estudar o movimento dos fluidos.


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DefiniçõesLinhas de corrente

No método de Euler, tomemos os vetores v 1, v2, v3, etc., querepresentam as diversas velocidades da partícula nos instanteconsiderados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva queseja tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade(v1, v2, v3, etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente oulinha de fluxo. A linha de corrente é uma curva imaginaria.

As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em casopositivo a partícula teria velocidades diferentes ao mesmotempo, o que não é possível. Em cada instante e em cadaponto, passa uma e somente uma linha de corrente.Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cadainstante, o fluido move-se sem atravessá-la.


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Classificação de escoamentos


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Classificação de escoamentosEscoamento Laminar

As trajetórias das partículas em movimento são bemdefinidas, não se cruzam

Escoamento turbulento As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica oescoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e.encontrado nas obras de engenharia, adutoras, vertedoresde barragens, etc.


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Experimento de ReynoldsFez experiência variando o diâmetro da tubulação e aviscosidade do liquido

v Dv D Re

v = velocidade de escoamento (m/s)D = diâmetro (m) υ = viscosidade cinemática (m

2/s).

Re = 4 000 Regime turbulento


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Experimento de ReynoldsExemplo

Qual a máxima velocidade de escoamento da água a40ºC numa tubulação de 20 polegadas sob regimelaminar ? Dados: visc. cin água = 0,66.10-6 m2/s.


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Classificação de escoamentosMovimento Permanente Uniforme (MPU)

O movimento permanente é uniforme quando a velocidademedia permanece constante ao longo da corrente. Nestecaso as seções transversais da corrente são iguais.

Ex. Canal com mesma declividade, rugosidade, seção e vazão.


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Classificação de escoamentosMovimento Permanente Variado (MPV)


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Classificação de escoamentosEscoamento não permanente

Neste caso a velocidade varia com o tempo. Varia tambémde um ponto a outro.

Ex. Durante uma cheia num rio ocorre o movimento não

permanente.


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Equação da continuidadeSeja um cubo elementar de dimensões dx, dy e dz,situado no interior da massa de um fluido emmovimento. A massa do fluido contida neste cubo será

m = dx dy dz ρ Admitindo que a massa específica ρ do fluido queatravessa o cubo varia com t, em um intervalo de

tempo dt:

dt dx xv

vdz dy

dt dz dyv

dz dydxt

m

x x

x

)(

A

B

C

D

Pode-se considerar que pela face ABCDentra a massa:

E sai a massa:

(1)

(2)

(3)


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Equação da continuidade

0

0

0)()()(

)()()(0

)(

z v

y

v

xv

vt

z v

y

v

xv

t

dz dydx z

v

dz dydx y

v

dz dydx x

v

dz dydxt

dt dz dydx xv

z y x

z y x

z y x

x

(2) – (3) idem para y e z

Igualando a (1)

Equação dacontinuidade

Para fluidos incompressíveis, ρ = cte


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Equação da continuidade Aplicação

Suponhamos um fluido ideal em escoamentopermanente, através de um tubo de corrente. Naentrada do tubo temos A1, ρ 1 e V 1 . Decorrido uma certaunidade de tempo, teremos a saída do tubo (a direita nafigura) A2, ρ 2 e V2 que são os novos valores dasgrandezas indicadas.


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Qv Av A

Av Avmm

dt dm

sa ientra

2211

222111

0

Equação da continuidade Aplicação

Fluido incompressível

AVQ


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Exemplo A velocidade de escoamento em uma linha de recalqueé de 1,05 m/s. A vazão de bombeamento é de 450 m 3/h.Determine o diâmetro da linha.


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Teorema de Bernoulli

Considerando oescoamento de um fluidoIDEAL em regimepermanente)

“a variação da energia cinética de um sistema éigual ao trabalho por todas as forças do sistema”


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cte z z p p

g

v

g

v

z z p pv g

v g

g

z z p pvv

V mV m

z z V V pV pvmvm

z z V dS dA pdS dA pvmvm

z z wdS dF dS dF Ec EcV w

dA pdF

vm Ec

)(2

1

2

1

:)(*

)(21

21

)/(*

)(21

21

)//(*

)(2

1

2

1

)(21

21

)(

21

2121

21

22

21212

12

2

21212

12

2

21212

112

22

212221112

112

22

21221112

2

Teorema de BernoulliDevido a pressão

Devido ao peso


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cte z P

g v

z P

g v

22

22

11

21

22

“ao longo de qualquer linha decorrente é constante o somatóriodas energias piezométrica, cinéticae potencial”


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O teorema de Bernoulli não é senão o principio deconservação da energia. Cada um dos termosrepresenta uma forma de energia


cte z P g

v z P g

v 2

22

21

12

1

22

Energia cinética

Energia de pressão (piezométrica)

Energia potencial


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Teorema de BernoulliVisualização gráfica


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Teorema de BernoulliExtensão a casos práticos

No teorema de Bernoulli admite-se que:O escoamento do líquido é ideal (sem atrito, viscosidade,coesão, elasticidade, etc)O movimento é permanenteO líquido é incompressível

Entretanto, os fluidos reais se afastam do modelo perfeito. Aviscosidade e o atrito do fluido nas tubulações sãoresponsáveis por diferenças em cálculos e observaçõesexperimentais.

Essa perda de energia é denominada PERDA DE CARGA(energia dissipada na forma de calor).


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Teorema de BernoulliExtensão a casos práticos

Note que a perda de carga tem unidade decomprimento:

m z

mmkgf

mkgf P

m sm sm g v

3

2

2

222

/

/

//2


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Teorema de BernoulliDemonstração experimental

Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-se que a água sobe a alturas diferentes; nas seções demenor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto,também é maior a carga cinética, resultando menorcarga de pressão.


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas

Teorema de TorricelliSeja um recipiente de paredes delgadas com a área dasuperfície livre constante, contendo um fluido ideal,escoando em regime permanente através de um orifício

lateral.

ghv

g v

h

h z

z P

g v

z P

g v

2

2

22

2

22

1

22

22

11

21

A1


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas - Medidores de vazão

Freqüentemente, é necessário medir a vazão quepassa por uma tubulação. Existem diferentesdispositivos capazes de efetuar esta medição,divididos principalmente em duas classes:instrumentos mecânicos e instrumentos de perda decarga. Os instrumentos mecânicos medem a vazãoreal do fluido, retendo e medindo uma certa

quantidade. Os dispositivos de perda de cargaobstruem o escoamento, causando a aceleração deuma corrente fluida.


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas – Tubo de venturi

O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição davazão ou da velocidade em uma tubulação. Consiste emuma redução da seção do escoamento, provocando um

aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral,os medidores são fundidos e usinados com pequenastolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto.

A perda de carga total é baixa. A diferença de pressão entreum ponto no escoamento e um ponto no estrangulamento émedida através de um líquido manométrico


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas – Tubo de Venturi

2

1

2

21

21

22

22

21

2211

22

21

22

21

22

22

11

21

1

)(2

12

)(*

12

)(*

22

2

A

A

P P v

A

Av P P

Av Av

v

vv P P

g

z P g

v z P g

v

22

1

2

21

22

1

)(2

)(*

A

A A P P Q

AvQ


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas – Tubo de Pitot

A

m A

m A

m DC

A D

AC

A A

hh g v

g hh P P hh g P P

gh P P

gh P P

g P

g v

g P

z P

g v

z P

g v

))((2

))(()(**

*

*

2

22

12

1

1212

12

11

22

22

11

22

22

11

21

1

D

C

2

h 2h

1


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas – Tubo de Pitot

O tubo de Pitot é utilizado como medidor de velocidadeem aeronaves

Acidente AirFrance 447


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Teorema de Bernoulli Aplicações imediatas - Sifão

Um sifão é um dispositivo para transportarum líquido de uma altura para outra mais baixa,passando por um ponto mais alto


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Teorema de BernoulliExemplos A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seçãovaria do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm2 para 50cm2. Em 1, a pressão é de 0,5 kgf/cm 2 e a elevação 100m, ao passo que no ponto 2, a pressão é de 3,38kgf/cm2 na elevação 70 m. Calcular a vazão em litrospor segundo. (R.: 281 L/s)


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Teorema de BernoulliExemplos

Tome-se o sifão da figura. Retirado o ar da tubulação por algum meiomecânico ou estando a tubulação cheia de água, abrindo-se C pode-seestabelecer condições de escoamento, de A para C , por força dapressão atmosférica. Supondo a tubulação com diâmetro de 150mm,calcular a vazão e a pressão no ponto B, admitindo que a perda de

carga no trecho AB é 0,75m e no trecho BC é 1,25m.

R.: Q= 0,124 m 3 /s; P B /γ = -5,05 mca


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FAÇAM A LISTA DE EXERCÍCIOS

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