apostila hidráulica- v2-atualizada_

UNIVERSIDADE FEDERALCENTRO DE ENGENHARIA

CURSO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTASCENTRO DE ENGENHARIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

HIDRÁULICA

Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes

Colaboração: Michael Lopes Honscha

PELOTAS - RS

AGOSTO - 2015

DE PELOTAS

Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes

Colaboração: Michael Lopes Honscha

2

ÍNDICE

UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA ................. ................................................................... 6 1.1 Introdução .................................... ......................................................................................... 6 1.2 Evolução da Hidráulica ........................ ................................................................................. 7 1.3 Panorama e escopo atual na área de Engenharia C ivil .............................................. ........ 8 1.4 O curso de Hidráulica na UFPel ................ ......................................................................... 10

UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB RE GIME PERMANENTE .... 12 2.1 Conceitos ..................................... ....................................................................................... 12

2.1.1 Condutos forçados ......................................................................................................... 12 2.1.2 Número de Reynolds ...................................................................................................... 12 2.1.3 Viscosidade .................................................................................................................... 13 2.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos .............................................................. 14

2.2 Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey) ......................... 14 2.3 Perda de Carga ................................ .................................................................................... 16

2.3.1 Conceito ......................................................................................................................... 16 2.3.2 Classificação .................................................................................................................. 16 2.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e uniforme e escoamento incompressível .................................................................................. 17 2.3.4 Perda de carga acidental ............................................................................................... 25

2.4 Conduto com uma tomada intermediária .......... ................................................................ 34 2.5 Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso ou condutos com serviço em trânsito .................. ........................................................................ 36 2.6 Condutos equivalentes ......................... .............................................................................. 44

2.6.1 Condutos em série ......................................................................................................... 44 2.6.2 Condutos em paralelo .................................................................................................... 46

2.7 Sifões ........................................ ........................................................................................... 52 2.7.1 Funcionamento .............................................................................................................. 52 2.7.2 Condições de Funcionamento ........................................................................................ 53 2.7.3 Exercício de Aplicação ................................................................................................... 56

2.8 Reservatórios de Compensação ou Reservatório de Sobras .......................................... 60 2.9 Exercícios de Fixação ......................... ................................................................................ 64

UNIDADE 3 – BOMBAS HIDRÁULICAS .................... ................................................................... 69 3.1 Introdução .................................... ....................................................................................... 69 3.2 Bombas hidráulicas ............................ ................................................................................ 69

3.2.1 Classificação das bombas hidráulicas ............................................................................ 70 3.3 Bombas ........................................ ........................................................................................ 70

3.3.1 Órgãos principais de uma bomba ................................................................................... 70 3.3.2 Classificação das Bombas ............................................................................................. 71

3.4 Altura Manométrica da Instalação .............. ....................................................................... 75 3.4.1 Primeira Expressão da Altura Manométrica (Hm) ............................................................ 75 3.4.2 Segunda Expressão da Altura Manométrica (Hm) ........................................................... 76

3.5 Escolha da Bomba e Potência Necessária ao seu F uncionamento ................................ 77 3.5.1 Vazão a ser recalcada (Q).............................................................................................. 77 3.5.2 Altura Manométrica de Instalação (Hm) .......................................................................... 77

3

3.5.3 Cálculo dos Diâmetros de Sucção e de Recalque .......................................................... 77 3.5.4 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba (Pot) .............................................. 79 3.5.5 Potência Instalada ou Potência do Motor (N) ................................................................. 80

3.6 Peças Especiais numa Instalação Típica de Bomba ........................................................ 80 3.6.1 Na linha de sucção ......................................................................................................... 80 3.6.2 Na linha de recalque ...................................................................................................... 81

3.7 Semelhança entre Bombas ....................... ......................................................................... 83 3.7.1 Conceitos ....................................................................................................................... 83 3.7.2 Funcionamento de Bombas Semelhantes ...................................................................... 84 3.7.3 Velocidade Específica ou Coeficiente de Rotação Unitária (ns) ...................................... 85

3.8 Curvas Características das Bombas ............. .................................................................... 87 3.8.1 Caso de Bombas Centrífugas para n = cte ..................................................................... 87 3.8.2 Caso de Bombas Axiais para n = cte .............................................................................. 88 3.8.3 Caso de Bombas Diagonais ou Mistas para n = cte ....................................................... 88 3.8.4 Algumas conclusões tiradas das curvas características das Bombas Centrífugas e Axiais................................................................................................................................................ 89

3.9 Curvas Características do Sistema ou da Tubulaç ão ...................................................... 90 3.9.1 Tubulação Única (Curva Típica) ..................................................................................... 90

3.10 Estudo conjunto das curvas características da Bomba e do Sistema .......................... 92 3.11 Variação das Curvas Características das Bombas ......................................................... 93 3.12 Variação da Rotação do Rotor (D = cte) ....... ................................................................... 94 3.13 Variação do Diâmetro do Rotor (n = cte) ...... ................................................................... 96 3.14 Associação de Bombas ......................... ........................................................................... 97

3.14.1 Introdução .................................................................................................................... 97 3.14.2 Associação em Paralelo ............................................................................................... 97 3.14.3 Associação em Série .................................................................................................... 99

3.15 Rendimento Total ou Rendimento da Associação ( ηηηηt) ................................................. 101 3.16 Cavitação – Altura de Instalação da Bomba .... ............................................................. 104

3.16.1 Introdução .................................................................................................................. 104 3.16.2 Pressão de Vapor....................................................................................................... 105 3.16.3 Ocorrência da Cavitação ............................................................................................ 105 3.16.4 Altura Máxima de Sucção das Bombas ...................................................................... 107 3.16.5 NPSH disponível na instalação e NPSH requerido pela bomba ................................. 110 3.16.6 Medidas destinadas a dificultar o aparecimento da cavitação pelo usuário ................ 112

UNIDADE 4 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANE NTE E UNIFORME ........ 113 4.1 Conceito ...................................... ...................................................................................... 113 4.2 Elementos geométricos da seção do canal ....... ............................................................. 113

4.2.1 Seção transversal ........................................................................................................ 113 4.2.2 Seção longitudinal ........................................................................................................ 114

4.3 Classificação dos escoamentos ................. ..................................................................... 114 4.3.1 Em relação ao tempo (t) ............................................................................................... 114 4.3.2 Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t) .................................................. 115 4.3.3 Em relação ao número de Froude (Fr) .......................................................................... 115 4.3.4 Exemplos de regime de escoamento ........................................................................... 117

4.4 Escoamento em regime fluvial permanente e unifo rme ............................................... .. 118

4

4.5 Equações utilizadas no dimensionamento de canai s operando em regime permanente e uniforme ........................................ ....................................................................................... 120

4.5.1 Equações para o cálculo das seções transversais usuais ............................................ 121 4.5.2 Seções de máxima eficiência ....................................................................................... 122

4.6 Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinaç ões admissíveis para os taludes dos canais ............................................ .......................................................................................... 124 4.7 Folga dos canais .............................. ................................................................................. 126 4.8 Velocidade máxima e vazão máxima em canais circ ulares ........................................... 127 4.9 Diagrama para canais circulares funcionando par cialmente cheios ............................ 130

4.9.1 Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a seção cheia (A0) .................................................................................................................... 130 4.9.2 Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R0) .. 131 4.9.3 Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V0) ........... 131 4.9.4 Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazão a seção plena (Q0) ......................... 131 4.9.5 Relação entre um perímetro molhado qualquer (P) e o perímetro molhado a seção plena (P0) ........................................................................................................................................ 131

4.10 Dimensionamento das seções dos canais ........ ............................................................ 132 4.10.1 Seções circulares ....................................................................................................... 132 4.10.2 Seções trapezoidais e retangulares ........................................................................... 134 4.10.3 Seções triangulares .................................................................................................... 136

4.11 Exercícios de Aplicação ...................... ........................................................................... 136 4.11.1 Quando se conhece as dimensões do canal .............................................................. 136 4.11.2 Quando se deseja conhecer as dimensões do canal .................................................. 140

4.12 Exercícios de Fixação ........................ ............................................................................. 146

UNIDADE 5 – VERTEDORES ...................................................................................................... 149 5.1 Conceito ...................................... ...................................................................................... 149 5.2 Partes constituintes .......................... ................................................................................ 149 5.3 Classificação ................................. .................................................................................... 149

5.3.1 Quanto à forma: ........................................................................................................... 149 5.3.2 Quanto à espessura (natureza) da parede (e) .............................................................. 149 5.3.3 Quanto ao comprimento da soleira (L) ......................................................................... 150 5.3.4 Quanto à inclinação da face de montante .................................................................... 151 5.3.5 Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P’) e a altura do vertedor (P): ......... 151

5.4 Equação geral da vazão para vertedores de pared e delgada, descarga livre, independentemente da forma geométrica ............. ............................................................... 152

5.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em condições de descarga livre ..................... 155 5.4.2 Vertedor triangular de parede delgada em condições de descarga livre....................... 157 5.4.3 Vertedor trapezoidal de parede delgada em condições de descarga livre .................... 159 5.4.4 Vertedor retangular de parede espessa ....................................................................... 160

5.5 Instalação do vertedor e medida da carga hidráu lica (H) .......................................... ..... 162 5.6 Exercícios de Fixação ......................... .............................................................................. 163

UNIDADE 6 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERV ATÓRIOS ............................. 166 6.1 Orifícios ..................................... ........................................................................................ 166

6.1.1 Conceito ....................................................................................................................... 166

5

6.1.2 Finalidade .................................................................................................................... 166 6.1.3 Classificação ................................................................................................................ 166 6.1.4 Fórmula para cálculo da vazão .................................................................................... 170

6.2 Bocais ou Tubos Curtos ........................ ........................................................................... 177 6.2.1 Conceito ....................................................................................................................... 177 6.2.2 Finalidade .................................................................................................................... 177 6.2.3 Classificação ................................................................................................................ 177 6.2.4 Fórmula para cálculo da vazão .................................................................................... 179 6.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento de reservatórios de seção constante) . 181 6.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais ........................................................................... 184 6.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas.............................................................................................................................................. 185

6.3 Exercícios de Fixação ......................... .............................................................................. 190

Apêndice 1. Condutos Forçados ..................... .......................................................................... 194

Apêndice 2. Deduções das equações para o cálculo da s grandezas geométricas das seções dos canais ........................................ ........................................................................................... 205

Apêndice 3. Condutos Livres: tabelas e figuras .... ................................................................... 218

Apêndice 4. Vertedores, Orifícios e Bocais ........ ...................................................................... 226

6

UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA 1.1 Introdução

Teoricamente, o termo “hidráulica” advém do grego hydor (água) e aulos (tubo, condução)

significando condução de água. Por definição, hidráulica é o estudo do equilíbrio e comportamento

da água e de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento.

Dessa forma, a Hidráulica se divide em Hidrostática, que estuda as condições de equilíbrio

dos líquidos em repouso, e Hidrodinâmica, que trata dos líquidos em movimento.

Quanto à aplicação dos conceitos, a hidráulica pode ser dividida em:

• Hidráulica Geral ou Teórica: estuda as leis teóricas da Mecânica aplicadas ao repouso e ao

movimento dos fluidos ideais, ou seja, líquidos sem coesão, viscosidade e elasticidade.

• Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica: aplica os princípios e leis estudadas na Hidráulica

Teórica nos diferentes ramos da técnica.

De acordo com Azevedo Netto et al. (1998), as áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou

Hidrotécnica são:

I) Urbana:

a. Sistemas de abastecimento de água;

b. Sistema de esgotamento sanitário;

c. Sistemas de drenagem pluvial;

d. Canais;

II) Agrícola:

a. Sistemas de drenagem;

b. Sistema de irrigação;

c. Sistemas de água potável e esgotos;

III) Instalações prediais:

a. Industriais;

b. Comerciais;

c. Residenciais;

d. Públicas;

IV) Lazer e paisagismo

V) Estradas (drenagem)

7

VI) Controle de Enchentes e Inundações;

VII) Geração de energia

VIII) Navegação e obras marítimas e fluviais

Durante a prática profissional, o engenheiro hidráulico deverá utilizar os seguintes

instrumentos:

• Analogias: utilizar da experiência adquirida em outras ocasiões para solucionar problemas

atuais;

• Cálculos teóricos e empíricos;

• Modelos físicos reduzidos: utilizar modelos reduzidos para resolver problemas maiores;

• Modelos matemáticos de simulação: dependendo do problema será necessário utilizar

ferramentas avançadas de cálculo, com o uso de computadores capazes de resolver

equações de grande complexidade;

• Hidrologia: o dimensionamento de estruturas hidráulicas deve ser acompanhado de um

minucioso estudo hidrológico visando determinar a vazão de projeto para um determinado

período de retorno.

Os conhecimentos de hidráulica podem ser aplicados em diversos empreendimentos como,

por exemplo:

• Aterros

• Barragens

• Bombas

• Cais de porto

• Canais

• Comportas

• Diques

• Dragagens

• Drenos

• Eclusas

• Enrocamentos

• Flutuantes

• Medidores

• Orifícios

• Poços

• Reservatórios

• Tubos e canos

• Turbinas

• Válvulas

• Vertedores

• Etc.

1.2 Evolução da Hidráulica

A Hidráulica esteve presente ao longo de praticamente toda a história da humanidade, em

função da necessidade essencial da água para a vida humana. De fato, tendo em vista que a água

distribui-se de forma irregular, no tempo e no espaço, torna-se necessário o seu transporte dos

locais onde está disponível até os locais onde o seu uso é necessário (BAPTISTA & LARA, 2003).

8

Assim, tendo em vista a necessidade absoluta da água, a história da Hidráulica remonta ao

início das primeiras sociedades urbanas organizadas, quando tornou-se necessário efetuar-se a

compatibilização da sua oferta e demanda. Na Mesopotâmia, por exemplo, existiam canais de

irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e Eufrates e, em Nipur (Babilônia),

existiam coletores de esgoto desde 3750 a.C.

Importantes empreendimentos de irrigação também foram executados no Egito, 25 séculos

a.C., sob a orientação de Uni. Durante a XII dinastia, realizaram-se importantes obras hidráulicas,

inclusive o lago artificial Méris, destinado a regularizar as águas do baixo Nilo. O primeiro sistema

público de abastecimento de água de que se tem notícia, o arqueduto de Jerwan, foi construído na

Assíria, 691 a.C. Alguns princípios de Hidrostática foram enunciados por Arquimedes (287 – 212

a.C), no seu “Tratado Sobre Corpos Flutuantes”, 250 a.C.

No século XVI, a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos

projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi que Leonardo da

Vinci (1452 – 1519) apercebeu-se da importância das observações nesse setor. Um novo tratado

publicado em 1586 por Simon Stevin (1548 – 1620), e as contribuições de Galileu Galilei (1564 –

1642), Evangelista Torricelli (1608 – 1647) e Daniel Bernoulli (1700 – 1783) constituíram a base

para o novo ramo científico.

Apenas do século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido,

capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o crescimento das cidades e a

importância cada vez maior dos serviços de abastecimento de água e, ainda, em consequência do

emprego de novas máquinas hidráulicas, é que a Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado

(AZEVEDO et al., 1998).

O processamento de dados com o auxílio de computadores, além de abreviar cálculos, tem

contribuído na solução de problemas técnico-econômicos para o projeto e implantação de obras

hidráulicas, e propiciado a montagem de modelos de simulação que permitem prever e analisar

fenômenos dinâmicos até então impraticáveis de se proceder, ou feitos com tão significativas

simplificações, que comprometiam a confiabilidade (AZEVEDO et al., 1998).

1.3 Panorama e escopo atual na área de Engenharia C ivil

Atualmente, pode-se definir a Hidráulica como sendo a área da engenharia correspondente

à aplicação dos conceitos de Mecânica dos Fluidos na solução de problemas ligados à captação,

armazenamento, controle, adução e uso da água. Desta forma, percebe-se que a Hidráulica

desempenha um papel fundamental em diversas modalidades de engenharia, integrando

também em diversos outros campos profissionais.

Dentro do campo de trabalho do

praticamente todos os tipos de empreendimentos que possuem a água como agente principal,

como, por exemplo, sistemas hidráulicos de geração de energia, obras de infraestrutura, entre

outros.

Como exemplo de grande empreendimento de geração de energia elétrica, a

Hidrelétrica de Itaipu, localizada no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai,

com vazão média diária de cerca de 12.000 m

nominal de 12.870 MW, gerou 98.287 GWh no ano

Figura 1 . Usina hidrelétrica de Itaipu

A análise dos problemas ligados ao projeto e gestão de reservatórios, a propagação de

cheias e a delimitação de áreas inundáveis, entre outros, utilizam a Hidráulica como

ferramenta de trabalho.

Em Saneamento Básico, a área de Hidráulica desempenha também um papel importante

em muitos empreendimentos. Com efeito, encontra

distribuição de águas de abastecimento urbano e indus

esgotamento sanitário e de drenagem pluvial. Nas estações de tratamento de água e esgoto é

fundamental nos processos físicos inerentes ao processo.

Dentro da área de Engenharia Ambiental

estudos envolvendo cursos d’água, como à preservação dos ecossistemas aquáticos, dispersão de

poluentes, problemas relacionados com erosão e assoreamento, entre outros.

9

desempenha um papel fundamental em diversas modalidades de engenharia, integrando

também em diversos outros campos profissionais.

Dentro do campo de trabalho do Engenheiro Civil, a Hidráulica encontra

mente todos os tipos de empreendimentos que possuem a água como agente principal,


Como exemplo de grande empreendimento de geração de energia elétrica, a


com vazão média diária de cerca de 12.000 m3s-1 e equipada com 18 turbinas com capacidade

nominal de 12.870 MW, gerou 98.287 GWh no ano de 2012 (Figura 1).

Usina hidrelétrica de Itaipu – Fonte: Itaipu Binacional


cheias e a delimitação de áreas inundáveis, entre outros, utilizam a Hidráulica como


em muitos empreendimentos. Com efeito, encontra-se presente desde a captação, adução e

distribuição de águas de abastecimento urbano e industrial, até os sistemas de controle e


fundamental nos processos físicos inerentes ao processo.

Dentro da área de Engenharia Ambiental, a hidráulica ganha importância



desempenha um papel fundamental em diversas modalidades de engenharia, integrando-se

, a Hidráulica encontra-se presente em

mente todos os tipos de empreendimentos que possuem a água como agente principal,


Como exemplo de grande empreendimento de geração de energia elétrica, a Usina


equipada com 18 turbinas com capacidade

Fonte: Itaipu Binacional.


cheias e a delimitação de áreas inundáveis, entre outros, utilizam a Hidráulica como importante


se presente desde a captação, adução e

trial, até os sistemas de controle e


a hidráulica ganha importância principalmente nos



10

As obras de infraestruturas, tais como bueiros e pontes, além de portos, hidrovias e eclusas,

são empreendimentos importantes na área de Transportes, que necessitam dos conhecimentos de

Hidráulica.

1.4 O curso de Hidráulica na UFPel

Em termos gerais, o curso de Hidráulica, disponibilizado pelo Curso de Engenharia Civil da

Universidade Federal de Pelotas – UFPel, é dividido em escoamentos forçados e livres.

O escoamento forçado, ou escoamento em condutos fechados, é caracterizado por

apresentar pressão diferente da pressão atmosférica, seja maior (pressão positiva) ou menor

(pressão negativa). O escoamento livre, ou escoamento em canais abertos, é caracterizado pela

presença de uma superfície em contato com a atmosfera, submetido, portanto, à pressão

atmosférica.

Ao passo que nos escoamentos em condutos forçados as condições de contorno são

sempre bem definidas, nos escoamentos livres essas condições podem ser variáveis no tempo e

no espaço. Esta variação faz com que haja três diferentes regimes: crítico, subcrítico e supercrítico.

O regime crítico, de forma geral, acontece quando a declividade do fundo do canal se iguala com a

declividade da superfície da água, sendo caracterizada por uma velocidade crítica e uma

profundidade crítica.

Quando estas declividades são diferentes o regime de escoamento ora é subcrítico ora é

supercrítico. Em geral, o regime subcrítico, ou fluvial, acontece quando o escoamento é dito

tranquilo, ou seja, a velocidade de escoamento é menor que a velocidade crítica e a profundidade

de escoamento é maior que a profundidade crítica. O regime supercrítico ou torrencial é o oposto,

ou seja, a velocidade de escoamento é maior que a velocidade crítica e a profundidade de

escoamento é menor que a profundidade crítica.

A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e

em saídas de comportas, por exemplo. Em geral, essa passagem não é feita de modo gradual.

Com efeito, observa-se uma situação de ocorrência do fenômeno bastante importante em

Hidráulica, o Ressalto Hidráulico, que corresponde a um escoamento bruscamente variado,

caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia.

Entretanto, o dimensionamento dos canais apresentado no curso é feito considerando o

regime crítico permanente e uniforme. Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de

grande comprimento, ou seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal

(com as mesmas dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além

da mesma rugosidade das paredes.

11

O dimensionamento dos condutos forçados é feito por meio do estudo das equações de

energia adicionado com a dissipação de energia (perda de carga) dentro dos condutos. Esta perda

de carga é analisada por meio de equações teóricas (Fórmula Universal) e empíricas (Equação de

Hazen-Williams, por exemplo). Algumas abordagens dentro de condutos forçados, como

tubulações de múltiplas saídas, sifões, associação de condutos, também é feita no curso de

Hidráulica.

É abordado também o assunto Hidrometria em Condutos Livres e Forçados, onde é

estudado o escoamento em vertedores, orifícios e bocais, além de apresentar os medidores Venturi

e Diafragma.

Posteriormente é feita a análise dos sistemas de recalque. Define-se instalação de recalque

o conjunto de tubulações e peças especiais que transporta o fluido de uma cota inferior para uma

cota superior, sendo o escoamento submetido à presença de uma bomba hidráulica, a qual é um

dispositivo responsável por fornecer energia ao fluido.

De inúmeras aplicações na Engenharia Civil, as instalações de recalque estão presentes

em praticamente todos os empreendimentos que necessitam da utilização de bombas, como

projetos de estações de tratamento de água e esgoto, sistemas urbanos de abastecimento

doméstico, captação de águas subterrâneas, drenagem, entre outros.

12

UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB RE GIME PERMANENTE

2.1 Conceitos 2.1.1 Condutos forçados

São aqueles nos quais o fluido escoa com uma pressão diferente da pressão atmosférica,

podendo ser maior, como em instalações de linhas de recalque, ou menor, como em instalações de

linhas de sucção, ambas pertencentes a projetos de instalações de bombeamento.

Os condutos forçados são geralmente circulares e de seção constante (L ≥ 4000D).

2.1.2 Número de Reynolds

É a relação existente entre a força de inércia (ou de aceleração) e a força de viscosidade

dinâmica.

amFi = (1)

y∂

V∂AFv µ= (2)

TA

Fv = (3)

em que:

Fi = força de inércia;

Fv = força de viscosidade dinâmica, F;

T = tensão de cisalhamento ou deformação, F.L-2;

µ = viscosidade absoluta, que é função da coesão entre as moléculas de fluido, M.L-1.T-1;

[ ] TFLLT

L

L

F

V∂

Z∂

A

FTML 2-

1-2v1-1- ====µ (4)

[ ] 2-42-32-i TLLTLMLTF ρ=ρ== (5)

[ ] 1-21-

2v TL

L

LTLF µ=µ= (6)

µρ=

µρ=

µρ=

µρ== VLLLTTL

TL

TL

F

FyRe

1-1-2

1-2

2-4

v

i (7)

13

1-2TLVDVD

yRe =ν

=µ

ρ= (8)

ρµν = (9)

em que:

ν = viscosidade cinemática, L-2.T-1;

ρ = massa específica, M.L-3;

L = comprimento característico, que pode ser o diâmetro (D) da tubulação ou o raio

hidráulico (Rh) no caso de outras formas geométricas.

2.1.3 Viscosidade

É a propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força cisalhante

(deformação).

Assim:

Y∂

V∂AF

dY

dV

Y

VY

VAF

Y

VA∝F⇒NEWTON

V

V

V

µ=

=

µ=

Como V é dado em função de outras grandezas além de Y, é mais exato do ponto de vista

conceitual usar derivadas parciais.

14

2.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos

Figura 2 . Detalhe da rugosidade interna da parede da tubulação.

Sendo:

Rugosidade absoluta (ε): valor médio das alturas das irregularidades.

Rugosidade relativa

εD

: relação entre ε e D.

2.2 Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey)

a) Laminar : as partículas do fluido se movem em camadas ou lâminas segundo trajetórias retas e

paralelas (isto é: não se cruzam).

A força da viscosidade predomina sobre a força de inércia.

Para o caso de seções retas circulares, Rey ≤ 2000.

b) Turbulento : as partículas do fluido se movem de forma desordenada, podendo ocupar diversas

posições na seção reta (ao longo do escoamento).

Para o caso de seções retas circulares, Rey ≥ 4000. A força de inércia predomina sobre a

força de viscosidade.

c) Zona de transição ou zona crítica : região em que a perda de carga não pode ser determinada

com segurança. O regime de escoamento não é bem

definido (2000 < Rey < 4000).

15

Escoamento permanente : constância das características do escoamento no tempo, em uma

seção definida. Aquele em que as grandezas físicas de interesse não variam, com o decorrer do

tempo, em um ponto previamente escolhido, do fluido.

0t

P;0

t;0

t

V =∂∂=

∂ρ∂=

∂∂

(10)

Escoamento uniforme : quando não há mudança na magnitude e direção das grandezas físicas de

interesse ao longo do escoamento para um determinado tempo.

0t∂

V∂ = (11)

Escoamento incompressível : escoamento para o qual a variação de densidade (d) é considerada

desprezível, caso contrário o escoamento é dito compressível. O critério para definir esse tipo de

escoamento é o número de Mach (M) que exprime a relação entre a raiz quadrada das forças de

inércia (Fi) e de compressibilidade (FE), ou seja:

[ ] 2-42-3i TLLTLamF ρ=ρ== (12)

[ ] 2E ELAEF == (13)

2-23-

2-2-

3-

2-TL

LM

LMLT

LM

LFE ===ρ

(14)

CLTTLE 1-2-2 ===ρ (15)

E

TL

EL

TL

F

FM

2-2

2

2-4

E

i ρ=ρ== (16)

C

V

E

VEV

M ===

ρρ

2

(17)

em que:

P = pressão (kgf.m-2);

V = a velocidade média de escoamento (m.s-1); e

C = velocidade do som no fluido (celeridade), sendo C = 1425 m.s-1, quando o fluido é a

água e C = 340 m.s-1, quando o fluido é o ar.

16

Para M ≤ 0,3 (o que significa uma variação de 2% na densidade), o escoamento pode ser

considerado incompressível.

2.3 Perda de Carga 2.3.1 Conceito

É um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um fluido para

vencer as resistências do escoamento. Essa energia se perde sob a forma de calor.

Para exemplificar, seriam necessários 100 m de tubulação para a água ter um aumento de

temperatura de 0,234 ºC.

2.3.2 Classificação

Na prática as tubulações não são constituídas apenas por tubos retilíneos e de mesmo

diâmetro. Há também as pecas especiais como: curvas, joelhos ou cotovelos, registros, válvulas,

reduções, ampliações etc, responsáveis por novas perdas.

As perdas se classificam em:

a) Perda de carga contínua ou distribuída ou perda por atrito (h f): ocasionada pela resistência

oferecida ao escoamento do fluido ao longo da tubulação. A experiência demonstra que ela é

diretamente proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante.

b) Perda de carga acidental ou localizada ou singul ar (h a): ocorre todas as vezes que houver

mudança no valor da velocidade e/ou direção da velocidade (módulo e direção da velocidade).

c) Perda de carga total (h t):

ht = hf + ha (18)

A perda de cara acidental é importante em tubulações curtas; em tubulações longas seu

valor é frequentemente desprezado na prática.

17

2.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e uniforme e escoamento incompressível

Existem muitas fórmulas para o calculo da perda de carga contínua. Neste curso serão

abordadas apenas as mais difundidas, ou seja:

a) Fórmula racional ou universal;

b) Fórmula de Hazan – Willians;

c) Fórmula de Flamant;

d) Fórmula de Fair – Whipple – Hisiao;

e) Fórmula para tubos de PVC;

f) Fórmula de Darcy – Weisbach.

As fórmulas mencionadas acima, com exceção da formula racional ou universal, são as

chamadas fórmulas práticas ou empíricas.

2.3.3.1 Fórmula racional ou universal

A fórmula racional ou universal (Equação 19) pode ser utilizada para qualquer tipo de fluido

e é valida para qualquer regime de escoamento, sendo laminar ou turbulento.

g2

V

D

Lfhf

2= (19)

em que:

hf = perda de carga contínua (L);

f = fator de atrito;

L = comprimento retilíneo de tubulação (L);

D = diâmetro da tubulação (L);

V = velocidade de escoamento (L.T-1); e

g = aceleração da gravidade (L.T-2)

A fórmula universal pode ser escrita sob a forma:

g2

V

D

1fJ

L

hf 2

== (20)

em que:

18

J = perda de carga unitária (L.L-1), ou seja, a perda de carga que ocorre em um metro de

tubulação.

Por exemplo: para o valor de perda de carga unitária (J) igual a 0,0052 m.m-1 significa que

em um metro de tubulação ocorreu uma perda de carga (hf) de 0,0052 m.

A perda de carga unitária pode ser definida como a tangente do ângulo de inclinação da

linha piezométrica, quando a tubulação for horizontal e de seção constante, como mostra a Figura

3.

Figura 3 . Tubulação horizontal e de seção constante com piezômetros instalados.

Como se evidencia na Figura 3, tem-se:

JL

hftg ==θ (21)

A maior dificuldade no uso da fórmula universal para o cálculo da perda de carga consiste

no conhecimento do valor do coeficiente de atrito f.

2.3.3.1.1 Resistência das paredes internas do conduto ao escoamento

Para um melhor entendimento da determinação do valor de f é imprescindível o estudo da

resistência das paredes internas do conduto ao escoamento.

Sabe-se que para Rey ≤ 2000, o regime de escoamento é laminar (no caso de tubos de

seção reta circular) e quando Rey ≥ 4000, o escoamento é dito turbulento. Mesmo no escoamento

turbulento ainda persiste junto às paredes internas da tubulação uma película laminar que exerce

grande influencia sobre o escoamento. A espessura dessa película pode ser calculada pela

expressão devida a Prandtl:

19

fyRe

D5,32=β (22)

em que:

β= espessura da película laminar.

Nota-se que quanto maior o valor do número de Reynolds (Rey), menor é a espessura da

película laminar.

Relacionando-se o valor de β com a rugosidade absoluta (ε) pode-se dizer que: se β for

suficiente para cobrir as asperezas ε, o escoamento é dito turbulento de parede lisa (Figura 4); se

β for da ordem de grandeza de ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de parede

intermediária ou turbulento de transição ( Figura 5); e caso β seja menor que ε, o escoamento é

dito turbulento de parede rugosa ou francamente turbulen to (Figura 6).

Figura 4 . Detalhe da parede lisa (β ≥4ε) de uma tubulação. Sendo f = f1 (Rey).

Figura 5. Detalhe da parede de rugosidade intermediária (ε/6 <β < 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f2 (Rey,

ε/D).

20

Figura 6 . Detalhe da parede rugosa (β ≤ 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f3 (ε/D).

É interessante ter em mente que β decresce com o aumento do valor de Rey. Por isso, um

tubo pode-se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro.

Ainda para um mesmo fluido, um tubo pode se comportar como liso nas baixas velocidades

e rugoso nas altas velocidades.

2.3.3.1.2 Determinação do coeficiente de atrito (f) da fórmula universal para condutos comerciais

O coeficiente de atrito pode ser representado graficamente conforme a Figura 7 de acordo

com a proposta de Nikuradze.

Figura 7 . Gráfico de valores do coeficiente de atrito (f) em função do número de Reynolds (Rey) e da

rugosidade relativa (Ɛ/D).

21

No gráfico apresentado na Figura 7 pode-se identificar três regiões distintas:

Região I: regiões de escoamento laminar (Rey ≤ 2000); o coeficiente de atrito é calculado de

acordo com Poiseuille (Equação 23). Por meio da equação, o valor de f pode ser calculado para

qualquer que seja a rugosidade relativa Ɛ/D.

yRe

64f = (23)

Região II, III, IV: regiões de escoamento turbulento (Rey ≥ 4000), sendo o valor de f calculado por:

+ε−=

fyRe

51,2

71,3

D/log2

f

1 (24)

A equação (24) foi obtida por Colebrook e White através da aplicação da teoria da

turbulência e comprovada por experimentação.

Região II : região de escoamento turbulento de parede lisa, em que f = f(Rey) e independente de

ε/D. Portanto pode-se usar na expressão de Colebrook e White, desprezando-se o primeiro termo

entre parênteses. Desta forma:

)fylog(Re251,2log2fyRe

51,2log2-

f

1 +−==

8,0)fylog(Re2f

1 −= (25a)

A equação (25a) é conhecida como expressão de Prandtl e é válida para

104 ≤ Rey ≤ 3,4.106.

Região III: região de escoamento turbulento de parede intermediária, em que f = f(Rey,εD

) . Para

esta situação, a fórmula de Colebrook e White representada na equação (24) deve ser utilizada e é

válida para 14 < fyReD

ε < 200.

22

Região IV: região de escoamento de parede rugosa ou de escoamento francamente turbulento em

que f = f(ε/D) e independente de Rey. Portanto pode-se usar a expressão de Colebrook e White

(equação 24), desprezando-se o segundo termo entre parênteses. Com efeito:

71,3log2D

2log - )71,3

D/log(2-

f

1 +ε=ε=

1387,1D

2log - f

1 +ε= (25b)

A equação (25b) é conhecida como expressão de Nikuradze .

Para simplificar a solução das equações anteriores, o Prof. Podalyro elaborou fluxogramas

que levam o seu nome (Fluxogramas de Podalyro), cujo uso é bastante simplificado. Esses

fluxogramas foram implementados com base nas equações apresentadas anteriormente para o

cálculo do fator de atrito f (Figuras 1A, 1B e 1C do Apêndice 1).

2.3.3.2 Fórmula de Hazen-Willians

Para aplicação desta fórmula algumas restrições são feitas:

a) A água sob escoamento deve estar à temperatura ambiente;

b) As tubulações devem ter diâmetro maior ou igual a 2”ou 50 mm, o que indica que o

escoamento é turbulento de paredes rugosas o completamente turbulento;

c) O escoamento deve ser turbulento. A maioria dos problemas de natureza prática são

turbulentos, quando o fluido é a água.

A fórmula Hazen-Willians é descrita pela equação (26).

825,1

87,4f C

Q.

D

L.646,10h

= (26)

em que:

hf = perda de carga contínua, m;

L = comprimento retilíneo de tubulação, m;

D = diâmetro, m;

Q = vazão, m3 s-1; e

23

C = coeficiente de Hazen-Willians, que depende da natureza (material e estado de

conservação) das paredes dos tubos e está intimamente relacionado com ε/D e

independente de Rey para D ≥ 50 mm (Tabela 1D do Apêndice 1).

2.3.3.3 Fórmula de Flamant

Para a aplicação desta fórmula existem algumas limitações, que são:

a) Uso para instalações domiciliares (prediais);

b) Aplicável a tubulações com diâmetro entre 12,5 e 100 mm.

c) Aplicável para escoamento de água à temperatura ambiente; e

d) Mais utilizada para tubos de ferro e aço-galvanizado.

A fórmula de Flamant é apresentada na equação (27):

75,175,4f Q.

D

L.b.11,6h = (27)

em que:

hf = perda de carga contínua, m;

L = comprimento retilíneo de tubulação, m;

D = diâmetro, m;

Q = vazão, m3 s-1;

b = coeficiente de Flamant.

Na Tabela 1 estão apresentados alguns valores de coeficiente de Flamant em função do

material do conduto.

Tabela 1 . Valores de alguns coeficientes de Flamant

Material do tubo b

Ferro fundido ou aço em serviço (usado acima de 10 anos) 0,00023

Ferro fundido ou aço ou canalização de concreto (novo) 0,000185

Chumbo 0,000140

Cimento amianto 0,00062

Plástico 0,000135

24

2.3.3.4 Fórmulas de Fair-Whipple-Hisiao (recomendadas pela ABNT)

As limitações à sua aplicação são:

a) Usada para encanamentos de diâmetro entre 12,5 e 100 mm, ou seja, para instalações

domiciliares (prediais); e

b) Aplicável a escoamento de água.

As fórmulas indicadas pela ABNT são apresentadas a seguir de acordo com o tipo de

material do tubo.

2.3.3.4.1 Para tubos de aço ou ferro galvanizado conduzindo água em condições normais (20°C)

53,06,2 JD113,27Q = (28)

em que:

Q = vazão, m3s-1;

D = diâmetro, m; e

J = perda de carga unitária, m.m-1;

2.3.3.4.2 Para tubos de cobre ou latão

Para a situação de condução de água quente, tem-se:

57,071,2 JD281,63Q = (29)

Para a situação de condução de água fria, tem-se:

57,071,2 JD934,55Q = (30)

2.3.3.5 Fórmulas para tubos de PVC

2.3.3.5.1 Para 3 x 10-3 < Rey < 1,5 x 105

76,124,1-4- VD10.37,5J= (31)

25

A equação (31) é usada para água à temperatura ambiente.

2.3.3.5.2 Para 1,5 x 105 < Rey < 106

80,120,1-4- VD10.79,5J= (32)

A equação (32) também é usada para água à temperatura ambiente.

2.3.3.6 Fórmulas de Darcy-Weisbach

g2

V

D

Lfh

2

f = (33)

em que:

f = coeficiente de atrito tabelado para tubos de concreto, ferro fundido e aço de diâmetros

acima de 13 mm (1/2”), conduzindo água fria.

2.3.3.7 Conclusões a respeito da perda de carga contínua

Pode-se concluir com relação a perda de carga contínua:

a) É diretamente proporcional ao comprimento da canalização;

b) É inversamente proporcional a uma potencia do diâmetro;

c) É proporcional a uma potencia da velocidade;

d) É variável com a natureza das paredes (material e estado de conservação), no caso de regime

turbulento. No caso de regime laminar depende apenas de Rey;

e) Independe da posição do tubo; e

f) Independe da pressão interna sob a qual o líquido escoa.

2.3.4 Perda de carga acidental

Estas perdas, também conhecidas como localizadas, singulares ou secundárias, ocorrem

sempre que haja mudança no módulo e, ou na direção da velocidade. Uma mudança no diâmetro

(ou na seção do escoamento) implica uma mudança na grandeza da velocidade.

Estas perdas ocorrem sempre na presença das chamadas peças especiais, ou seja, curvas,

válvulas, registros, bocais, ampliações, reduções etc.

26

Se a velocidade for menor que 1 m.s-1 e o número de peças for pequeno, as perdas

acidentais podem ser desprezadas. Também podem ser desprezadas quando o comprimento for

maior ou igual a 4000 vezes o seu diâmetro. No caso de trabalhos de pesquisa, elas devem ser

sempre consideradas.

2.3.4.1 Método dos comprimentos virtuais ou equivalentes

O método consiste em adicionar à canalização existente, apenas para efeito de cálculo da

perda de carga, comprimentos de tubo (de mesmo diâmetro que o da canalização existente) que

causaria a mesma perda de carga na peça especial (Figura 8).

Figura 8. Esquema de reservatório e tubulação dotada de peças especiais.

Na Figura 8 o valor de L4 representa o comprimento virtual da canalização responsável pela

mesma perda de carga que as peças especiais existentes ao longo da tubulação.

Desse modo, o cálculo passa a ser feito com uma das fórmulas já vistas para a perda de

carga contínua.

O comprimento virtual é dado em tabelas e é função apenas das peças e do diâmetro da

mesma (Tabela 1E do Apêndice 1).

27

2.3.4.2 Método dos diâmetros equivalentes

Nesse caso, o comprimento virtual (LV) de casa peça especial é calculado a partir da

equação (34).

LV = n.D (34)

em que:

n = número de diâmetros tabelado em função do tipo de peca especial (Tabela 1F do

Apêndice 1), adimensional; e

D = diâmetro da peça especial, m.

A perda de carga acidental é novamente calculada por uma das fórmulas de perda de carga

contínua.

Exercícios de Aplicação

1. A tubulação da figura abaixo é de PVC e tem diâmetro de 200 mm. Determinar a vazão,

adotando f = 0,024.

Solução:

Aplicando a equação da energia entre os pontos (0) e (4):

28

)4-0(a)4-0(f4

244

0

200 hhZ

g2

VPZ

g2

VP++++

γ=++

γ

g2

V

D

Lf0,21

g2

V05,3000

24V

24 +++=++

)D

Lf1(

g2

V5,9 V

24 +=

O cálculo de LV é dado por: LV = L + ∑LF

O valor do comprimento fictício, utilizando o Método dos Comprimentos Equivalentes é

calculado consultando a Tabela 1F do Apêndice 1. Ou seja:

- Entrada normal: 1 un x 3,5 = 3,5 m

- Cotovelo 90°: 2 un x 5,5 = 11,0 m

- Saída livre: 1 un x 6,0 = 6,0 m

- ∑LF = 20,5 m

O comprimento virtual será: LV = L + ∑LF = 120 m + 20,5 = 140,5 m

Desta forma:

)200,0

5,140024,01(

g2

V5,9

24 +=

23,3V4 = m.s-1

Como 4V > 1 m.s-1, então as perdas acidentais devem ser consideradas.

102,023,3.4

2,0V

4

DQ

22

=π=π= m3s-1= 102 L.s-1

OBS: Se considerássemos escoamento ideal teríamos:

Isto mostra que a perda de carga é importante e deve ser considerada.

2. O projeto de uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250 L.s

adutora medindo 1300 m de comprimento foi executada em tubos de concreto com

acabamento comum e diâmetro de 600 mm.

Colocando em funcionamento, verificou

obstrução deixada em seu interior, por ocasião da construção. Calcular a perda de carga

provocada pela obstrução (usar fórmula de Hazen

acidentais.

Equação da energia entre (0) e (1):

29

21g2

V5,30

2th +=

65,13Vth = m.s-1

65,13.4

2,0V

4

DQ

2

th

2

thπ=π=

428,0Qth = m3s-1= 428 L.s-1


uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250 L.s


acabamento comum e diâmetro de 600 mm.

Colocando em funcionamento, verificou-se que a vazão era de 180 L.s


provocada pela obstrução (usar fórmula de Hazen-Willians), desprezando as demais perdas

Equação da energia entre (0) e (1):


uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250 L.s-1. A


80 L.s-1 devido a alguma


Willians), desprezando as demais perdas

30

)1-0(f1

214

0

200 hZ

g2

VPZ

g2

VP+++

γ=++

γ

)1-0(00000 fhH +++=++

)1-0(fhH =

Pela fórmula de Hazen-Willians:

54,063,0 JD.C.355,0V =

54,063,02

2

JC355,0D

Q4D

Q4

A

QV

=π

π==

63,254,0

D.C..355,0

Q4J

π=

Não considerando obstrução:

3-54,0/1

63,210.39,1

6,0.120..355,0

25,0.4J =

π= m.m-1

H1 = hf1 = J1L = 1,39. 10-3.1300 = 1,807 m

Considerando obstrução:

4-54,0/1

63,210.56,7

6,0.120..355,0

18,0.4J =

π= m.m-1

H2 = hf2 = J2L = 5,56. 10-4.1300 = 0,983 m

A perda acidental será, portanto:

ha = 1,807 – 0,983 = 0,824 m

31

OBS:

• o estudante deverá fazer este problema usando as demais fórmulas para avaliar a diferença

nos resultados; e

• a energia disponível (H) passou de 1,807 m para 0,983 m.

3. Uma canalização de tubos de ferro fundido novo (ε = 0,26 mm) com diâmetro de 250 mm é

alimentada por um reservatório cujo nível da água situa-se na cota de 1920 m. Calcular a vazão

e a pressão no ponto E de cota 1750 m, distante 1500 m do reservatório, sabendo-se que a

descarga se faz livremente na cota 1720 m. Use a fórmula Universal e de Hazen-Willians.

Dados:

L1 = 1500 m

L2 = 1000 m

D = 0,250 m

f = 0,03

Q = ?

PE = ?

L = L1 + L2

Solução :

Uso da fórmula universal

3.1) Cálculo da Vazão

)10(f1

211

0

200 hz

g2

VPz

g2

VP−+++

γ=++

γ

0 + 0 + 1920 = 0 + g

V

2

2

+ 1720 + f g

V

D

L

2

2

200 =

+250,0

03,0.25001

g2

V 2

32

200 = )301(g2

V 2

s/m61,3V301

81,9.2.200V 2 =⇒=

Desta forma:

Q = 4

25,0xV

4

D 22 π=π x 3,61

Q = 0,177 m3s-1 = 177 L.s-1

3.2) Cálculo de pE:

)E0(fE

2EE

0

200 hz

g2

VPz

g2

VP−+++

γ=++

γ

0 + 0 + 1920 = g2

61,3

25,0

150003,01750

g2

61,3P 22E +++γ

γEP

= 49,78 m.c.a

Uso da fórmula de Hazen - Willians

Neste caso muda apenas a maneira de calcular hf

e.3) Cálculo da vazão

200 = )10(f

2

hg2

V−+ (35)

V = 0,355 C D0,63 J0,54

Do Apêndice 1: C = 130

33

V = 0,355 x 130 x 0,250,63 J0,54

240

V

25,0x130x355,0

VJ

852,154,0

1

63,0≅

=

hf = J L = 852,1852,1

V43,10240

V2500 = (36)

Substituindo a equação (36) em (35), tem-se:

852,12

V43,10g2

V200 += (37)

Fazendo a primeira aproximação 0g2

V 2

= encontra-se V = 4,93 m.s-1, que substituída na

equação (37), fica:

200 = 1,24 + 200,18 (38)

ou seja, ainda não há igualdade entre os termos.

Adotando V = 4,92 m.s-1, e substituindo novamente na equação (37), tem-se 200 ≅ 200,80

então a igualdade foi atingida.

Q = 4

25,0x 2π x 4,92 = 0,241 m3.s-1 = 441 L.s-1

34

2.4 Conduto com uma tomada intermediária

Seja a situação apresentada na Figura 9:

Figura 9 . Esquema de reservatório e tubulação com tomada de água intermediária.

Se q = 0, ou seja, para a situação em que não há sangria, a perda de carga total seria

(desprezando as perdas acidentais e V2/2g na saída):

hf = f g2

V

D

L 2

2D

Q4V

π=

Logo:

( )215

2

5

2

42

2

f LLD

QKL

D

QK

D

Q16

g2D

Lh +==

π= (39)

em que:

K = g2.

f162π

35

No entanto, para q ≠ 0, tem-se:

( )

15

2a

1f LD

qQKh

+= (40)

25

2a

2f LD

QKh = (41)

Substituindo (39), (40) e (41) em hf = hf1+hf2, vem:

( ) ( )25

2a

15

2a

215

2L

D

QkL

D

qQKLL

D

QK +

+=+

Q2 (L1 + L2) = (Qa + q)2 L1 + Qa2 L2

Q2 (L1 + L2) = Qa2 L1 + 2 qQa L1 + q2 L1 + Qa

2 L2

Q2 (L1 + L2) = (L1 + L2) Qa2 + 2q L1 Qa + q2 L1

0QLL

LqQ

LL

Lq2Q 2

21

12a

21

12a =−

++

++

2

Q4L

Lq4

L

Lq4

LL

Lq2

Q

212

2

21

2

21

1

a

+−++

−=

L

LqQ

L

Lq

2

2

L2

Lq2Q 122

2121

a −+

+−=

L

LqQ

L

Lq

L

LqQ 122

2121

a −+

+−= (42)

A equação (42) é válida para condutos com uma tomada intermediária.

36

2.5 Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso ou condutos com serviço em trânsito

Figura 10 . Esquema de reservatório e tubulação com distribuição em marcha.

Seja o conduto indicado na Figura 10, no qual o escoamento se faz com vazão variável e

diâmetro da tubulação constante. Consideremos um trecho de comprimento elementar dx, distante

x da seção inicial. Nesse comprimento elementar dx, pode-se considerar a vazão constante, de

forma que a perda de carga elementar (em dx) pode ser calculada por:

d hf = dxQKg2D

Q16

D

dxf

g2

V

D

dxf 2

)x(22

2)x(

2=

π= (43)

É bom salientar que a vazão (Q) é constante no trecho elementar dx, mas é uma função de

x, logo, Q = f(x), ao longo do comprimento da tubulação (L).

A integral de (43) ao longo de L é:

∫=L

0)x(

2f dxQKh (44)

A solução do problema consiste no conhecimento da função Q2(x).

37

Na prática o que se faz é admitir uma distribuição de vazão linear ao longo do conduto, ou

seja: a vazão qm se distribui uniformemente em cada metro linear do tubo.

Observando a Figura 10, temos no trecho elementar dx:

Q(x) = QM – qm x (45)

ou

Q(x) = QJ + (L – x) qm (46)

Comparando (45) com (46), encontra-se:

xqLqQxqQ mmjmM −+=−

LqQQ mjM =− (47)

Substituindo (45) em (44), encontra-se:

hf = k ∫L

0

(QM – qmX)2 dx = K ∫L

0

(QM2 – 2 QM qmX + qm

2x2) dx

L

0

32

m

2

mM2

Mf 3

xq

2

xqQ2xQKh

+−=

+−=

3

LqLqQLQKh

22

m2

mM2

Mf

+−=

3

LqLqQQLKh

22

mmM2

Mf (48)

Se substituirmos qm2

3

L2

por qm2

4

L2

, o erro relativo (e) será:

( )12

Lq

12

L3L4q

3

Lq

3

Lqe

22

m

222

m22

m22

m =−=−=

38

em compensação transformamos a expressão dentro do colchete em um trinômio quadrado

perfeito. Então:

2

mM

22

mmM2

Mf 2

LqQLK

4

LqLqQQLKh

−=

+−= (49)

OBS.:

• quando se faz 4

Lq

3

Lq 22m

22m = está se introduzindo uma diminuição em hf; e

• quando se admite qm constante ao longo da tubulação está se introduzindo um acréscimo

em hf, ou seja, uma observação “compensa” a outra.

Substituindo (47) em (49), tem-se:

2

JMM2

JMMf 2

QQQ2LK

2

QQQLKh

+−=

−−=

2

JMf 2

QQLKh

+= (50)

Fazendo: fJM Q

2

QQ=

+

em que:

Qf = vazão fictícia, m3s-1.

E ainda:

52 Dg2

f16K

π= =

52 Dg

f8

π

E substituindo na equação (50), encontra-se:

39

2f52

2f52f Q

Dg.

Lf8Q

D

Lf

g2.

16h

π=

π=

Tudo se passa como se a tubulação transportasse uma vazão constante (Qf), que é a média

aritmética das vazões de montante e jusante. Basta, portanto nesse tipo de problema, trabalhar

com Qf e qualquer uma das fórmulas de perda de carga contínua já vistas para escoamento

permanente.

40

Exercícios de Aplicação :

a) No encanamento da figura a seguir os trechos AB e EF são virgens. O trecho intermediário

BE distribui em marcha 20 L.s-1 e o EF conduz ao reservatório 5 L.s-1.

Quais os diâmetros destes trechos se as pressões em B e E são 55 m.c.a e 5,7 kgfcm-2

respectivamente? (Usar a fórmula de Hazen-Willians para C = 100).

Solução :

)B1(fB

2BB

1

211 hz

g2

VPz

g2

VP−+++

γ=++

γ

0 + 0 + 320 = 55 + g2

V 2B + 260 + )B1(fh −

Sendo g2

V 2B desprezível, tem-se:

=− )B1(fh 5 m.c.a.

Diâmetro do trecho AB

Q1 = Q2 + Q3 = 20 + 5 = 25 L.s-1 = 0,025 m3 s-1

41

)B1(fh − = 5 m.c.a

850

5

L

hJLJh

1

f111)B1(f === m.m-1

V1 = 0,355 C D10,63 J1

0,54 = 0,355 x 100 x D10,63

54,0

850

5

54,063,0

1

21

1

21

1 850

5Dx100x355,0

4

DV

4

DQ

π=

π=

54,063,2

1 850

5Dx100x355,0x

4025,0

π=

( )mm200m200,0D

10x44,1D∴10x44,1D

1

64,2

12

1263,2

1

≅≅

==

Como V1 = 0,80 L.s-1, logo, g

VB

2

2

=0,032 m, isto significa que g2

V 2B pode ser desprezado.

Diâmetro do trecho EF

)2E(f2

222

E

2EE hz

g2

VPz

g2

VP+++

γ=++

γ

0g2

V

g2

V 22

2E ==

57 + 0 + 250 = 0 + 0 + 300 + )2E(fh −

)2E(fh − = 7 m

Q3 = 0,005 m3 s-1

42

815

7

L

hJ

3

)2E(f3 == −

m.m-1

005,0JDC355,04

Q 54,03

63,233 =π=

354,0

63,23 10x342,2

815

7x100x355,0x

005,0x4D −=

π

=

D3 ≅ 0,100 m ≅ 100 mm

Diâmetro do trecho BE

)EB(fE

2EE

B

2BB hz

g2

VPz

g2

VP−+++

γ=++

γ

0g2

V

g2

V 2E

2B ==

55 + 260 = 57 + 250 + )EB(fh −

)EB(fh − = 8 m.c.a.

l152

525

2

QQ

2

QQQ 31JM

f =+=+

=+

= L.s-1 = 0,015 m3 s-1

870

8

L

hJ

2

)E-B(f2 == m.m-1

54,063,2

2f 870

8xDx100x355,0x

4015,0Q

π==

D2 ≅ 0,150 m ≅ 150 mm

43

b) O trecho de uma tubulação com serviço em trânsito mede 100 m. A vazão fictícia é 4 L.s-1.

Sabendo-se que a vazão da extremidade de jusante é de 3 L.s-1, pede-se a vazão

distribuída em marcha (qm).

Solução :

L = 100 m

Qf = 4 L.s-1

QJ = 3 L.s-1

qm = ?

Qf = 2

QQ JM +

QM = QJ + qm L

4 = 2

3QM + ⇒ QM = 5 L.s-1

5 = 3 + 100 qm

qm = 100

2 qm = 0,02 L.s-1.m-1

2.6 Condutos equivalentes

Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão, com a

mesma perda de carga total.

Devem-se considerar dois casos:

• Condutos em série: as perdas de cargas se somam para uma mesma vazão.

• Condutos em paralelo: as vazões se somam par

2.6.1 Condutos em série

Figura

Desprezando-se as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica pode ser

representada como apresentado na Figura 11

perda de carga (para uma mesma Q) e maior também a inclinação da linha piezométrica.

O problema consiste em substituir a tubulação

único diâmetro, ou seja:

44

conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão, com a

se considerar dois casos:

Condutos em série: as perdas de cargas se somam para uma mesma vazão.

Condutos em paralelo: as vazões se somam para uma mesma perda de carga.

Figura 11. Esquema de condutos em série.

se as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica pode ser

da como apresentado na Figura 11. Desta forma, quanto menor o diâmetro, maior a


O problema consiste em substituir a tubulação na Figura 11 por uma equivalente, de um

conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão, com a

Condutos em série: as perdas de cargas se somam para uma mesma vazão.

mesma perda de carga.

se as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica pode ser

quanto menor o diâmetro, maior a


por uma equivalente, de um

45

Figura 12. Esquema de conduto equivalente.

Utilizando-se da fórmula universal de perda de carga, pode-se escrever:

a) Para o conduto em série:

51

115

1

112

2

41

2

2

1

11

21

1

111f D

LfK

D

Lf

q2.

Q16

g2D

Q16

D

Lf

g2

V

D

Lfh =

π=

π== (51)

52

222f D

LfKh = (52)

53

333f D

LfKh (53)

b) Para o conduto equivalente (de diâmetro único):

5fD

LfKh = (54)

Sendo que:

3f2f1ff hhhh ++= (55)

Substituindo as equações (51) a (54) na equação (55), encontra-se:

53

335

2

225

1

115 D

LfK

D

LfK

D

LfK

D

LfK ++=

ou generalizando:

5n

nn5

3

335

2

225

1

115 D

Lf...

D

Lf

D

Lf

D

Lf

D

Lf ++++= (56)

Se no lugar da fórmula Universal, fosse usada a de Hazen-Willians, teríamos:

46

87,4n

85,1n

n87,4

285,1

2

287,4

185,1

1

187,485,1 DC

L...

DC

L

DC

L

DC

L +++= (57)

2.6.2 Condutos em paralelo

Figura 13 . Esquema de condutos em paralelo.

5

2

142

22

fD

QLfK

g2D

Q16

D

Lf

g2

V

D

Lfh =

π==

Lf

D

K

hQ

fK

D

L

hQ

5

1

f

1

5f2 =⇒= (58)

11

51

1

f1 Df

D

K

hQ = (59)

22

52

2

f2 Df

D

K

hQ = (60)

Como:

Q = Q1 + Q2 (61)

47

Substituindo as equações (58), (59), (60) em (61), tem-se:

22

52

11

51

5

Lf

D

Lf

D

Lf

D += (62)

Para a fórmula de Hazen-Willians:

54,0

2

63,22

254,01

63,21

154,0

63,2

L

DC

L

DC

L

DC += (63)

Exercício de Aplicação:

a) Na figura a seguir pA = 7,4 kgf.m-2 e para todos os tubos f = 0,03. Qual a pressão em B,

desprezando-se as perdas localizadas ou acidentais?

Solução :

As tubulações E e F estão em paralelo. Para se saber a pressão em B, tem-se que

conhecer a perda de carga que ocorre nessas duas tubulações (no caso, tanto faz percorrer A E B

ou A F B, que a perda será a mesma). O problema fica mais simples, se substituirmos as

tubulações A E B e A F B por uma única equivalente. O esquema ficaria assim:

A B

D, L, f=0,03

Q = 500 L.s-1 Q = 500 L.s-1

48

Tubulação substitutiva das duas anteriores

22

52

11

51

5

Lf

D

Lf

D

Lf

D +=

f = f1 f2

475

500,0

600

300,0

L

D 555+= = 8,245 x 10–3

D5 = 6,8 x 10–5 L

Nesse caso devemos admitir um valor ou para L ou para D; admitindo para D = 400 mm

(poderia ser outro valor), vem:

L =150 m

m08,9g2400,0

5,0.4

400,0

15003,0h

42

22

f =π

=

Portanto, pB = pA – hf(A – B) = 74 – 9,08

pB = 64,92 m

Se admitíssemos :

D = 500 mm

L ~ 460 m

g2x5,0

500,04

500,0

46003,0h

42

22

fπ

=

hf = 9,1 m

pB = pA – BAfh

− = 64,90 m

49

b) Sendo de 1,20 m.s-1 a velocidade no trecho de comprimento L1 do sistema de tubulações da

figura a seguir, determinar a diferença de nível H (C = 120).

Os comprimentos L1 e L2 estão em paralelo, assim como os comprimentos L4 e L5.

Vamos transformá-los em um comprimento, a ser calculado, de um único diâmetro; o mais

simples é transformá-los no diâmetro de 450 mm = D3.

Com efeito:

Para os trechos L1 e L2:

54,0

63,2

254,0

63,2

154,0

63,2

305

300,0C

305

200,0C

L

45,0C +=

Como: C = C1 = C2

2

54,0

263

54,0

54,0

2

54,0

63,2

10x67,5

305

45,0

Lou

305

10x67,5

L

45,0−

−==

L0,54 = 47,41 L = 1270 m para D = 0,450 m

50

Para os trechos L4 e L5:

54,0

63,2

54,0

63,2

54,06

63,2

610

3,0

610

3,0

L

45,0 +=

63,2

54,0

63,2

54,06

3,0x2

610

45,0

L=

452,130,0

45,0

2

1

610

L63,254,0

=

=

610

L = 2 L = 1220 m para D = 0,450 m

Então, o sistema de tubulações da figura anterior, é equivalente ao:

H = hf = J L

V = 0,355 C D0,63 J0,54

Precisamos conhecer a vazão que circula pela tubulação.

No esquema fornecido, observe que a perda de carga para L1 e L2 é a mesma (as

tubulações estão em paralelo). Então:

Para L1:

V1 = 0,355 C D10,63 J1

0,54

51

1,20 = 0,355 x 120 x 0,2000,63 J10,54

J1 = 8,8 x 10–3 m.m-1

1fh = J1 L1 = 8,8 x 10–3 x 305 = 2,684 m

Para L2:

2fh =

1fh = J2 L2

J2 = 305

684,2 = 8,8 x 10–3 m.m-1

V2 = 0,355 x 120 x 0,3000,63 (8,8 x 10–3)0,54 = V2 = 1,549 m.s-1

Portanto a vazão que circula por todo o sistema é:

549,1x4

3,0x20,1x

4

2,0xQ

22 π+π=

Q = 0,147 m3/s

Utilizando o conduto equivalente (D = 0,450 m e L = 2795 m),

V = 925,045,0x

147,0x4

D

Q422

=π

=π

m.s-1

0,925 = 0,355 x 120 x 0,450,63 J0,54

J = 2,11 x 10–3 m.m-1

H = hf = J L = 2,11 x 10–3 (1270 + 305 + 1220)

H ≅ 5,90 m

52

2.7 Sifões

Sifões são condutos forçados em que parte da tubulação se acha situada acima do nível da

água do reservatório (acima do plano de carga efetivo) que os alimentam, de modo que o líquido é

elevado acima daquele nível e depois é descarregado em ponto mais baixo que o mesmo (do que

o nível).

2.7.1 Funcionamento

Para o sifão entrar em funcionamento, deve estar escorvado, ou seja: todo o ar existente

deve ser eliminado. Isto se faz enchendo o mesmo com o líquido a ser sifonado, por exemplo. Uma

vez escorvado o sifão, a pressão atmosférica faz o líquido subir no ramo ascendente (já que a

pressão aí é menor do que Patm); assim se estabelece um regime permanente de escoamento.

Figura 14. Funcionamento de um sifão

Em que:

53

• A – Boca de entrada;

• C – Boca de saída;

• B – Vértice;

• Coroamento – curva superior a B;

• Crista – curva inferior a B;

• AB – ramo ascendente (L1);

• BC – ramo descendente (L2).

Observação: naquelas seções onde se faz referência à pressão de vaporização (PV) do líquido,

trabalha-se com as pressões na equação de Bernoulli (ou da energia) em valores absolutos, tendo

em vista que a PV é tabelada em valores absolutos.

2.7.2 Condições de Funcionamento

São estabelecidas pela equação da energia e despreza-se ha. Aqui aplica-se o conceito de

pressão absoluta.

1a condição:

Aplicando-se a equação da energia entre (0) e (C) com referência em C, tem-se (para fazer

referência a H):

0Pγ

+ 02

v2g

+ 0z = CPγ

+ C2

v2g

+ zC

+ hf (0−C)

atmPγ

+ 0 +H = atmPγ

+2

v2g

+ 0 +hf (0−C)

v = 2g H−h

f (0−C)( )

Para haver escoamento, v > 0⇒H−hf (0−C) > 0⇒H > hf (0−C).

Isto leva à conclusão de que, devendo a velocidade ser positiva, H deverá ser maior que

zero (e necessariamente maior que hf) devendo estar portanto a boca de saída abaixo do plano de

carga piezométrico.

O esquema seguinte exemplifica a primeira condição de funcionamento.

54

Figura 15. 1a condição de funcionamento.

2a condição:

Aplicando-se a equação da energia entre (0) e (B); com referência no plano de carga efetivo

(para fazer referência à H1).

Observação: aqui trabalha-se com o conceito de pressão absoluta.

0Pγ

+ 02

v2g

+ 0z = BPγ

+ B2

v2g

+ Bz + f (0−B)h

atmPγ

+ 0 + 0 = Bab

Pγ

+2

v2g

+ 1H + f (0−B)h

2v2g

= atmPγ

− Bab

Pγ

+ 1H + f (0−B)h

v = 2g atmPγ

− Bab

Pγ

+ 1H + f (0−B)h

Para haver escoamento, v > 0. Tem-se, portanto que:

atmPγ

− Bab

Pγ

+H1 +hf (0−B)

> 0

55

atmPγ

> Bab

Pγ

+H1+ h

f (0−B)

H1 < atmP

γ− B

abPγ

+hf (0−B)

Esta equação traduz a 2a condição de funcionamento, ou seja, a localização do vértice do

sifão deve estar sempre abaixo do valor da pressão atmosférica do local.

Se Bab

P γ pudesse anular-se (vácuo perfeito) e se

atmP γ = 10,33mca,

H1 < 10,33 mca −hf (0−B).

Este seria o máximo valor de H1; entretanto, raramente atinge 6m (para a água) porque

acima desse valor a pressão no vértice favorece o desprendimento de bolhas de ar e vapor que se

acumulam no ápice (ponto de menor pressão) dificultando ou interrompendo o funcionamento do

sifão. Aliado a isso, ainda deve-se ter em mente que atmPγ

< 10,33mca . Na realidade deve ser

maior ou igual a pressão de vapor do líquido na temperatura de escoamento (Tabela 1H do

Apêndice 1).

O máximo valor de H1 é atingido quando Bab

Pγ

= vPγ

, à temperatura de escoamento do líquido.

3a condição:

Aplicando a equação da energia entre (B) e (C) com referência em C e trabalhando com o

conceito de pressão absoluta, tem-se:

BPγ

+ B2

v2g

+ Bz = CPγ

+ C2

v2g

+ Cz + f (B−C)h

Considerando Bv = Cv = v :

Bab

Pγ

+2

v2g

+H2

= atmPγ

+2

v2g

+ 0 + hf (B−C)

Bab

Pλ

56

H2

= atmPγ

+hf (B−C)

− Bab

Pγ

Se:

• Bab

Pγ

= 0 (vácuo perfeito); e

• atmPγ

= 10,33 mca (pressão atmosférica normal),

a equação pode ser escrita como:

H2 = 10,33 + f (B−C)h

Na prática H2 não ultrapassa 8 a 9 m já que Bab

Pγ

≥ VPγ

do líquido e atmPγ

< 10,33mca .

2.7.3 Exercício de Aplicação

a) O N.A. de um reservatório deve ser regulado por uma bateria de sifões que deverá

descarregar 111 m3/s. Cada sifão tem D = 1,10m e CQ = 0,64. Se o desnível entre a água no

reservatório e a boca de saída for de 7,5m, quantos sifões deverão ser usados?

Solução:

57

Obs.: não foi dada a perda de carga mas foi dado CQ para corrigi-la.

Bernoulli entre (0) e (1):

atmPγ

+ 02

v2g

+ 7,5 = atmPγ

+ th2

v2g

+ 0

th2

vγ

= 7,5⇒ thv = 2g.7,5 (velocidade teórica)

thv = 12,13m s

sendo:

thQ = π 2D4 thv (vazão teórica)

Q = QCπ 2

D4 thv (vazão real), temos:

Q = 0,64 *2

1,14

*12,13 = 7,373

ms

número de sifões = n = 1117,37

≈ 15 sifões

b) Por meio de um sifão deseja-se manter constante o nível da água em um reservatório

(temperatura da água = 50oC) e situado a 1800 m de altitude.

Se os tubos empregados tem f = 0,02 e as perdas locais na entrada valem , qual a

altura máxima do vértice em relação ao N.A. do reservatório, se o ramo ascendente mede 5,0 m, o

diâmetro 350 mm e a água deve escoar com 5 m/s de velocidade média? Qual o desnível máximo

entre o N.A. e a saída do sifão para um comprimento de 20m?

1,42

v2g

58

Solução:

L1 = 5 m

D = 350 mm

f = 0,02

v = 5 m/s

L2 = 20 m

Obs.: a pressão mínima em (2) é a VPγ

.

Equação da energia aplicada entre (1) e (2), com referência em (1):

1Pγ

+ 12

v2g

= 2Pγ

+ 22

v2g

+ h+ ht(1−2)

1Pγ

+ 12

v2g

= 2Pγ

+ 22

v2g

+ h+1,42

v2g

+ f.LD

.2

v2g

1Pγ

+ 12

v2g

= 2Pγ

+ 22

v2g

+ h+1,42

v2g

+ 0,02.5

0,35.

2v2g

atmPγ

= VPγ

+ h+ 2,6852

v2g

59

Como:

atmPγ

= 8,20mca e VPγ

= 1,255mca (Tabelas 1G e 1H do Apêndice 1)

Tem-se:

8,2 = 1,255 + h+ 2,685.

252g

h = 3,52 m

Equação da energia entre (2) e (3), com referência em (3):

2Pγ

+ 22

v2g

+ z2

= 3Pγ

+v

32

2g+ z

3+h

f (2−3)

2Pγ

+ z2

= z3

+ hf (2−3)

Somando atmPγ

a ambos os membros, tem-se:

2Pγ

+ atmPγ

+ z

2= atmP

γ+ z

3+h

f (2−3)

2ab

Pγ

+ z2

= atmPγ

+ z3

+ hf (2−3)

fazendo 2ab

Pγ

= VPγ

(para obtenção do máximo valor de H):

VPγ

+ z2

= atmPγ

+ z3

+ hf (2−3)

1,255 + h+H( ) = 8,20 + 0 + f

L2

Dv2

2g

1,255 + 3,52 +H = 8,20 + 0,02

200,35

52

2.9,81

H = 4,88 m

60

2.8 Reservatórios de Compensação ou Reservatório de Sobras

Em certas horas do dia o consumo de água no meio urbano pode crescer a tal ponto até

alcançar de duas ou mais vezes o consumo médio diário. Para atender as horas de máxima

demanda, o diâmetro R1A ser determinado em função dessas condições. Todavia essa solução

não é econômica, pois o trecho R1A, geralmente longo, teria diâmetro muito grande e na maior

parte do dia a solicitação é pequena. Utilizando o reservatório de sobras, pode ser calculado um

diâmetro menor no trecho R1A tendo em vista que nas horas de menor consumo, R1 contribui com

R2 e nas horas de maior consumo R2 contribui juntamente com R1 para atender a maior demanda.

Em geral, o reservatório R2 é pequeno e o trecho de tubulação R2A também é curto e de diâmetro

pequeno, o que torna mais econômico o investimento.

Este sistema também é muito utilizado para solucionar problemas de crescimento

populacional acima do previsto.

Outra vantagem que pode ser acrescentada é o seu funcionamento automático.

Sejam dois reservatórios, R1 (principal) e R2 (sobras) interligados entre si, cujos níveis,

mantidos constantes, tem uma diferença de cotas h.

As situações possíveis são as seguintes, desprezando-se as perdas de carga acidentais e

as variações de energia cinética:

61

• Não existe solicitação em A:

Nesse caso Qn = 0, a linha piezométrica é representada pela reta MBN e a pressão

disponível em A é AB (dada pelo piezômetro).

Assim, o reservatório R1 somente abastecerá o reservatório R2 (o que ocorrerá

eventualmente à noite ou quando o registro no duto de solicitação estiver fechado).

Deste modo, a perda de carga unitária (J) o diâmetro (D) e a vazão (Q) que chega ao

reservatório de sobras, serão dadas por (quando se usa a fórmula universal de perda de carga):

J = h

1L + 2L (aplicação da eq. da energia entre (1) e (2))

D = 16f

π 2 2g

Q2

hL

1+L

2( )

0,2

(usando a fórmula universal)

Q = π 2 2g16f

D5 hL1 +L2

0,5


• Existe solicitação em A:

Então Qn > 0 e a linha piezométrica deixará de ser representada por MBN porque a pressão

agora será menor no ponto A.

A medida que a vazão solicitada for aumentando, a pressão irá caindo em A. Ainda assim o

reservatório de sobras continuará recebendo água de R1, embora com vazões menores, até que a

pressão em A seja igual a AC e a linha piezométrica, MCN. Nessa situação, o reservatório de

sobras não recebe água de R1, então a perda de carga (J1), e a vazão solicitada (Qn = Q1) serão

dadas por:

J1 = hL

1

(desprezando a carga cinética em A, considerando-se que seja pequena)

Q1

= π 2.2g16f

.D5.hL1

0,5


Daí para a frente, se a vazão solicitada for maior que Q1, a pressão em A será menor que

AC e a linha piezométrica ficará abaixo da MCN (digamos MEN). Para situações como estas é que

funciona o reservatório de sobras, contribuindo com o reservatório principal na alimentação da rede

de distribuição de água.

62

A perda de carga (J) e a vazão solicitada (Qn), serão dados por (chamando AE = y), com a

aplicação da equação da energia entre R1 e A e, após, entre R2 e A, com referência em A. Assim,

as equações geradas são:

P1

γ+

v12

2g+ z

1=

PA

γ+

vA2

2g+ z

A+ h

f (1−A) (64)

P2

γ+

v22

2g+ z

2=

PA

γ+

vA2

2g+ z

A+h

f (2−A) (65)

como:

z1 = h+EC + y

PA

γ= y

zA = 0

z2 = EC + y

P1

γ=

P2

γ= 0

v12

2g=

v22

2g= 0

vA2

2g≅ 0 (para efeito de simplificação e, por ser pequeno), tem-se, substituindo estes valores

em (64) e (65):

h+EC + y = y +hf (1−A)

EC + y = y + hf (2−A)

⇒

hf (1−A) = h+EC

hf (2−A)

= EC

j(1−A) = h +EC

L1

e j(2−A) = ECL

2

Qn

= 2g.π 2

16f.D5.

h+ECL

1

12

+ 2g.π 2

16f.D5.

ECL

2

12

ou

Qn = 2g.π 2

16f.D5

12

.h+EC

L1

12

+ ECL2

12

63

Note que:

a) h + EC = Cota de R1 – cota de E

EC = Cota de R2 – cota de E

b) A vazão máxima na derivação se obtém quando a pressão em A for nula, sendo as linhas

piezométricas: MA e NA. Todavia, é recomendável que a pressão em A seja de pelo menos

5 mca para evitar eventuais entradas de ar e poluentes na junção em A.

64

2.9 Exercícios de Fixação

OBS: As respostas são aproximadas!

1) Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois

reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m, para transportar

uma vazão de água (Ʋ = 1,01 x 10-6 m2/s) de 30 L/s. Material da tubulação, aço galvanizado com

costura novo, Ɛ = 0,15 mm.

2) Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo Ɛ = 0,10 mm, enterrada, está

ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em

dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 m e a

vazão, de 38,88 L/s, e no ponto B, 643,43 m e 31,81 L/s. A que distância do ponto A deverá estar

localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Willians.

3) A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações

em paralelo. A primeira com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f =

0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3/s de água. Determine a vazão transportada pela segunda

tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024.

4) Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma

tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D = 50 mm, de PVC rígido, como mostra o esquema

da figura abaixo. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um

registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é Le = 20,0 m, e usando a

equação de Hazen-Willians, adotando C = 145, determine a vazão na canalização supondo que o

registro esteja colocado no ponto A.

65

5) Em um ensaio de perda de carga de uma luva de redução de 2” x 1 ½”, o comprimento

equivalente da peça, em relação ao tubo de menor diâmetro (1 ½”), foi determinado igual a 0,38 m.

Assumindo, por simplificação, que o coeficiente de atrito f para os dois tubos seja o mesmo,

determine o comprimento equivalente da luva em relação ao diâmetro de montante (2”).

6) Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que a diferença entre

as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mca, determine o comprimento equivalente do registro

colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2° em relação a

horizontal, conforme a figura abaixo.

7) Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de

comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm

de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é

0,025 m3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão

de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja

nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da

adutora.

8) Por uma tubulação de 27” de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de 0,28

m3/s de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18” de

diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos,

toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma

vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída

uniformemente ao longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito f = 0,024

e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre

as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares.

66

9) O sistema de distribuição de água mostrado na figura abaixo tem todas as tubulações do mesmo

material. A vazão total que sai do reservatório I é de 20 L/s. Entre os pontos B e C, existe uma

distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 L/(s.m). Assumindo

um fator de atrito constante para todas as tubulações f = 0,020 e desprezando as perdas

localizadas e a carga cinética, determine:

a) a cota piezométrica no ponto B;

b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m;

c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.

10) No sistema de abastecimento de água mostrado na figura abaixo, todas as tubulações têm fator

de atrito f = 0,021 e, no ponto B, há uma derivação de 5,0 L/s. Desprezando as perdas de carga

localizadas e as cargas cinéticas, determine a carga de pressão disponível no ponto A e as vazões

nos trechos em paralelo.

67

11) Um reservatório alimenta uma tubulação de 200 mm de diâmetro e 300 m de comprimento, a

qual se divide em duas tubulações de 150 mm de diâmetro e 150 m de comprimento, como

apresentado na figura abaixo. Ambos os trechos estão totalmente abertos para a atmosfera nas

suas extremidades. O trecho BD possui saídas uniformemente distribuídas ao longo de seu

comprimento, de maneira que metade da água que entra é descarregada ao longo de seu

comprimento. As extremidades dos dois trechos estão na mesma cota geométrica e 15 m abaixo

do nível d’água do reservatório. Calcule a vazão em cada trecho adotando f = 0,024, desprezando

as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações.

68

Gabarito:

1) D = 0,15 mm

2) a) x = 355 m b) x = 275 m

3) Q = 0,258 m3/s

4) Q = 4,37 L/s

5) Le = 1,60 m

6) Le = 25,79 m

7) ht = 19,61 m

8) ∆H = 4,35 m

9) a) C.PB = 586,42 m; b) PC/γ = 5,52 mca; c) Q4” = 5,2 L/s

10) PA/γ = 21,20 mca; Q6” = 8,12 L/s; Q8” = 16,88 L/s

11) QAB = 0,076 m3/s; QBC = 0,033 m3/s; QBD = 0,043 m3/s

69

UNIDADE 3 – BOMBAS HIDRÁULICAS

3.1 Introdução

Máquina é a designação dada a tudo aquilo capaz de transformar energia. A máquina pode

absorver energia numa forma e restituí-la em outra (por exemplo: o motor elétrico é uma máquina,

porque absorve energia elétrica e restitui energia mecânica) ou absorver energia em uma forma e

restituí-la na mesma forma (por exemplo: um torno mecânico absorve energia mecânica e restitui

energia mecânica). As máquinas podem ser agrupadas em máquinas de fluido, elétricas e de

ferramentas. As primeiras são capazes de promover intercâmbio entre a energia do fluido e a

energia mecânica; elas se classificam em máquinas hidráulicas e térmicas. Nas primeiras, o fluido

utilizado para promover o intercâmbio de energia não varia sensivelmente de peso específico ao

atravessá-las, sendo, portanto, o escoamento através delas considerado como praticamente

incompressível. As bombas hidráulicas, as turbinas hidráulicas e os ventiladores são exemplos de

máquinas hidráulicas (no caso do ventilador, o escoamento do ar pode ser tratado como

incompressível, visto que a diferença de entrada e a saída do ar nessa máquina é menor ou igual a

um metro de coluna de água).

As máquinas térmicas caracterizam-se por uma variação sensível no peso específico do

fluido que as atravessa. As turbinas a vapor d’água e os compressores de ar são exemplos

clássicos desses tipos de máquinas.

As máquinas hidráulicas classificam-se em motoras (ou motrizes) e geradoras (ou

geratrizes). As motoras transformam energia hidráulica (recebida do fluido) em energia mecânica e

as geradoras, energia mecânica em energia hidráulica. São exemplos de máquinas hidráulicas

motoras as turbinas hidráulicas e as rodas d’água, e de máquinas hidráulicas geradoras as bombas

hidráulicas e os ventiladores.

3.2 Bombas hidráulicas

São máquinas que recebem trabalho mecânico e o transformam em energia hidráulica,

fornecendo energia ao líquido.

A equação de Bernoulli, aplicada entre a seção de entrada (seção 1) e a seção de saída

(seção 2) de uma bomba, fornece:

P1

γ+

v12

2g+ z

1+H

m=

P2

γ+

v22

2g+ z

2 e (66)

H

m=

P2

−P1

γ+

v22 − v

12

2g+ z

2− z

1( ) , (67)

70

em que:

Hm = energia fornecida ao fluido, na saída (altura manométrica da bomba);

P

2−P

1

γ = energia de pressão ou energia estática;

v

22 − v

12

2g = energia cinética ou dinâmica; e

(z2 – z1) = energia potencial.

3.2.1 Classificação das bombas hidráulicas

• Bombas Volumétricas: são as bombas de êmbolo ou pistão e as de diafragma. Diz-se que o

intercâmbio de energia é estático. O movimento é alternativo. O órgão fornece energia ao

fluido em forma de pressão.

• Turbobombas ou Bombas Hidrodinâmicas: o órgão (rotor) fornece energia ao fluido em

forma de energia cinética, sempre com movimento rotativo.

3.3 Bombas

São máquinas que fornecem energia ao fluido, através do rotor, na forma cinética.

3.3.1 Órgãos principais de uma bomba

• Rotor: órgão móvel que fornece energia ao fluido. É responsável pela formação de

depressão no seu centro, para aspirar o fluido, e de sobrepressão na periferia, para recalcá-

lo (Figura 16).

• Difusor: canal de seção crescente, no sentido do escoamento, que recebe o fluido vindo do

rotor e o encaminha à tubulação de recalque, para transformar energia cinética em energia

de pressão (Figura 16).

Figura 16. Órgãos principais de uma bomba.

71

3.3.2 Classificação das Bombas

a) Quanto à Trajetória do Fluido Dentro do Rotor:

• Bombas Radiais ou Centrífugas: caracterizam-se pelo recalque de pequenas vazões e

grandes alturas. A força predominante é a centrífuga. O fluido entra no rotor na direção axial

e sai na direção radial (Figura 17).

Figura 17. Rotor de bomba centrífuga.

• Bombas Axiais: caracterizam-se pelo recalque de grandes vazões a pequenas alturas. A

força predominante é a de sustentação (são projetadas de acordo com a teoria da

sustentação das asas). O fluido entra e sai na direção axial (Figura 18).

Figura 18. Rotor de bomba axial.

• Bombas Diagonais ou de Fluxo Misto: caracterizam-se pelo recalque de médias vazões a

médias alturas. Nesse caso, as forças centrífugas e de sustentação são importantes. O

fluido entra no rotor na direção axial e sai numa direção entre a axial e a radial (Figura 19).

72

Figura 19. Rotor de bomba diagonal.

b) Quanto ao Número de Entradas para Aspiração ou S ucção:

• Bombas de Sucção Simples ou de Entrada Unilateral: a entrada do líquido dá-se por meio

de uma única boca de sucção (Figura 20).

Figura 20. Rotor de bomba de sucção simples.

• Bombas de Dupla Sucção ou de Entrada Bilateral: a entrada do líquido dá-se por duas

bocas de sucção, paralelamente ao eixo de rotação. Esta montagem equivale a dois rotores

simples montados em paralelo (Figura 21).

Figura 21. Rotor de bomba de dupla sucção.

O rotor de dupla sucção apresenta a vantagem de proporcionar o equilíbrio dos empuxos

axiais, o que acarreta melhoria no rendimento da bomba. Elimina a necessidade de rolamento de

73

grandes dimensões para suportar a carga axial sobre o eixo. É muito usado nas bombas de

descargas médias.

c) Quanto ao Número de Rotores Dentro da Carcaça:

• Bombas de Simples Estágio ou Unicelulares: contêm um único rotor dentro da carcaça.

Teoricamente, é possível projetar uma bomba com um único estágio para qualquer situação

de altura manométrica e de vazão. As dimensões excessivas e o baixo rendimento fazem

com que os fabricantes limitem a altura manométrica para 100m, embora existam alguns

que constroem bombas para alturas manométricas maiores que esse limite.

• Bombas de Múltiplos Estágios ou Multicelulares: contêm dois ou mais rotores dentro da

carcaça. São o resultado da associação de rotores centrífugos ou radiais, em série, dentro

da carcaça (Figura 22).

Figura 22. Rotor de bomba de múltiplos estágios.

Essa associação permite a elevação do líquido a alturas maiores do que 100m.

d) Quanto ao Posicionamento do Eixo:

• Bomba de Eixo Horizontal: é a concepção construtiva mais comum (Figura 23).

Figura 23. Bomba de eixo horizontal e sucção negativa.

74

• Bomba de Eixo Vertical: é usada na extração de água de poços profundos (Figura 24).

Figura 24. Bomba de eixo vertical.

e) Quanto à Pressão Desenvolvida:

• Bomba de baixa pressão: Hm ≤ 15 m.

• Bomba de média pressão: 15 m < Hm < 50 m.

• Bomba de alta pressão: Hm ≥ 50 m.

f) Quanto ao Tipo de Rotor:

Há três tipos de rotor: aberto, fechado e semifechado (Figura 25).

Figura 25. Tipos de rotor: (a) aberto, (b) fechado e (c) semifechado

• Rotor aberto: usado para bombas de pequenas dimensões. É de pouca resistência

estrutural e baixo rendimento. Dificulta o entupimento, podendo ser usado para

bombeamento de líquidos sujos.

• Rotor fechado: usado no bombeamento de líquidos limpos. Contém discos dianteiros

as palhetas fixas em ambos. Evita a recirculação de água (retorno da água à boca de

sucção).

• Rotor semifechado: contém apenas um disco, onde são afixadas as palhetas.

g) Quanto à Posição do Eixo da Bomba em Relação ao Nív el da Água (N.A.)

• Bomba de sucção positiva:

sucção (Figura 26).

• Bomba de sucção negativa ou afogada:

reservatório de sucção (Figura

3.4 Altura Manométrica da Instalação

3.4.1 Prim eira Expressão da Altura Manométrica (H É usada para o caso da bomba em funcionamento (bomba já instalada).

A equação de Bernoulli, aplicada nas seções de entrada (e) e de saída (s) da bomba

(Figura 26) com referência em (e), fornece:

Pe

γ+

ve2

2g+ z

e+H

m=

Ps

γ+

vs2

2g

H

m=

Ps

−Pe

γ+

vs2 − v

e2

2g+ z

s−

Figura 26. Bomba de sucção positiva (instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à

Pela Figura 26 tem-se:

75

usado no bombeamento de líquidos limpos. Contém discos dianteiros


contém apenas um disco, onde são afixadas as palhetas.

Quanto à Posição do Eixo da Bomba em Relação ao Nív el da Água (N.A.)

ão positiva: o eixo da bomba situa-se acima do N.A. do reservatório de

Bomba de sucção negativa ou afogada: o eixo da bomba situa-se abaixo do N.A. do

reservatório de sucção (Figura 23).

.4 Altura Manométrica da Instalação

eira Expressão da Altura Manométrica (H m)

É usada para o caso da bomba em funcionamento (bomba já instalada).


) com referência em (e), fornece:

+ zs

− ze

Bomba de sucção positiva (instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à

entrada).

usado no bombeamento de líquidos limpos. Contém discos dianteiros com


contém apenas um disco, onde são afixadas as palhetas.

Quanto à Posição do Eixo da Bomba em Relação ao Nív el da Água (N.A.) :

se acima do N.A. do reservatório de

se abaixo do N.A. do

É usada para o caso da bomba em funcionamento (bomba já instalada).


(68)

(69)

Bomba de sucção positiva (instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à

76

Ps

−Pe

γ= M− V

γ (70)

Na equação 69, pode-se fazer

vs2 − v

e2

2g≈ 0 (muito pequeno ou nulo) e (71)

zs − ze = y ≈ 0 (muito pequeno ou nulo). (72)

Substituindo as equações 70, 71 e 72 na Equação 69, tem-se:

H

m= M− V

γ, (73)

que permite calcular a altura manométrica da bomba já instalada.

Observação: Nas bombas de sucção positiva, como na Figura 26, a pressão no ponto (e) é

negativa; já no caso das bombas afogadas ou de sucção negativa, o valor da pressão pode ser

negativo ou positivo.

3.4.2 Segunda Expressão da Altura Manométrica (H m)

A equação da energia aplicada entre os pontos (1) e (2) da Figura 26, fornece, com

referência em (1):

P1

γ+

v12

2g+ z

1+H

m=

P2

γ+

v22

2g+ z

2+h

t(1−2) (74)

H

m=

P2

−P1

γ+

v22 − v

12

2g+H

G+ h

t(1−2) (75)

em que:

ht(1-2) = ht é a perda de carga total,

P2

−P1

γ≅ 0 - reservatórios sujeitos à pressão atmosférica e (76)

v22 − v

12

2g≈ v2

2g - perda da saída. (77)

Computando a equação 77 na perda de carga total (ht) e substituindo a equação 76 na

equação 75, tem-se:

77

Hm = HG + ht(1−2)

, (78)

que permite calcular a altura manométrica da bomba a ser instalada.

3.5 Escolha da Bomba e Potência Necessária ao seu F uncionamento

Basicamente, a seleção de uma bomba para determinada situação é função da vazão a ser

recalcada (Q) e da altura manométrica da instalação (Hm).

3.5.1 Vazão a ser recalcada (Q)

A vazão a ser recalcada depende, essencialmente, de três elementos: consumo diário da

instalação, jornada de trabalho da bomba e número de bombas em funcionamento (bombas em

paralelo).

3.5.2 Altura Manométrica de Instalação (H m)

O levantamento topográfico do perfil do terreno permite determinar o desnível geométrico

da instalação (HG), o comprimento das tubulações de sucção e de recalque e o número de peças

especiais dessas tubulações. Com os comprimentos das tubulações e o número de peças

especiais, a perda de carga é facilmente calculada pelo conhecimento dos diâmetros de sucção e

de recalque. A altura manométrica será calculada pela equação 78.

3.5.3 Cálculo dos Diâmetros de Sucção e de Recalque

a) Diâmetro de Recalque (D R):

• Fórmula de Bresse: é recomendada para o funcionamento contínuo da bomba, ou seja, 24

horas/dia.

DR = K Q (79)

em que:

DR em m e Q em m3/s; e

K = 0,8 a 1,3 (valor comum K = 1)

O valor de K está também relacionado com a velocidade, ou seja:

78

v = 4Q

πDR2

= 4

πDR2

DR2

k2 (80)

v = 4

π1

k2 (m/s) (81)

• Fórmula Recomendada pela ABNT: fórmula recomendada na NB – 92/66 pela Associação

Brasileira de Normas Técnicas; é indicada para o funcionamento intermitente ou não-

contínuo (menos de 24 horas/dia).

DR = 1,3

T24

0,25

Q (82)

sendo:

DR em m e Q em m3/s; e

T = jornada de trabalho da instalação, h/dia.

b) Diâmetro de Sucção (D s):

É o diâmetro comercial imediatamente superior ao diâmetro de recalque calculado conforme

as fórmulas 79 ou 82.

Observações importantes:

• O correto é fazer um balanço econômico do custo da tubulação de recalque e do custo da

manutenção do sistema (Figura 27). A manutenção do sistema envolve gastos com energia

elétrica (ou combustível), lubrificantes, mão-de-obra etc.

Recomenda-se a análise de cinco diâmetros comerciais, sendo o intermediário calculado

pela equação 79, para K = 1.

• Quando o diâmetro calculado pelas Equações 79 ou 82 não coincidir com um diâmetro

comercial, é procedimento usual admitir o diâmetro comercial imediatamente superior ao

calculado para a sucção e o imediatamente inferior ao calculado para o recalque.

Figura 27. Representação gráfica dos custos envolvidos em um sistema de bombeamento.

• Além das fórmulas vistas para o cálculo dos diâmetros, pode

chamadas velocidades econômicas, cujos limites são:

i) Na sucção: Vs < 1,5 m/s (no m

ii) No recalque: VR < 2,5 m/s (no máx. 3,0 m/s)

Como valores médios, podem se adotar V

Os diâmetros são facilmente calculados pela equação da continuidade, já que se conhece a

vazão (Q = AV), ou seja:

DS = 4Q

π.vS

e

DR = 4Q

π.vR

3.5.4 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba (Pot)

A potência absorvida pela bomba é calculada por:

Pot =

γ Q Hm

75η (cv) ou

79

Representação gráfica dos custos envolvidos em um sistema de bombeamento.

Além das fórmulas vistas para o cálculo dos diâmetros, pode-se adotar ainda o critério das

chamadas velocidades econômicas, cujos limites são:

< 1,5 m/s (no máx. 2,0 m/s)

< 2,5 m/s (no máx. 3,0 m/s)

Como valores médios, podem se adotar Vs = 1,0 m/s e VR = 2,0 m/s.


.5.4 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba (Pot)

ncia absorvida pela bomba é calculada por:

Representação gráfica dos custos envolvidos em um sistema de bombeamento.

se adotar ainda o critério das


(83)

(84)

(85)

80

Pot =

0,735γ Q Hm

75η (kW) (86)

sendo η o rendimento da bomba.

3.5.5 Potência Instalada ou Potência do Motor (N)

O motor que aciona a bomba deverá trabalhar sempre com uma folga, ou margem de

segurança, a qual evitará que ele venha, por razão qualquer, operar com sobrecarga. Portanto,

recomenda-se que a potência necessária ao funcionamento da bomba (Pot) seja acrescida de uma

folga, conforme especificação do Quadro 1 (para motores elétricos).

Quadro 1. Folga para motores elétricos

Para motores a óleo diesel, recomenda-se margem de segurança de 25% e à gasolina,

50%, independentemente da potência calculada.

Finalmente, para a determinação da potência instalada (N), deve-se observar que os

motores elétricos nacionais são fabricados com as seguintes potências comerciais em cv (Quadro

2):

Quadro 2. Potências comerciais para motores elétricos (cv)

3.6 Peças Especiais numa Instalação Típica de Bomba

3.6.1 Na linha de sucção

a) Válvula de Pé e Crivo:

Potência exigida pela bomba (Pot)

Margem de segurança recomendável para motores elétricos

até 2 cv 50%de 2 a 5 cv 30%de 5 a 10 cv 20%de 10 a 20 cv 15%acima de 20 cv 10%

1/4 1/3 1/2 3/4 1 1 ½ 23 5 6 7 ½ 10 12 1520 25 30 35 40 45 5060 100 125 150 200 250 300

81

Instalada na extremidade inferior da tubulação de sucção, a válvula de pé e crivo é

unidirecional, isto é, só permite a passagem do líquido no sentido ascendente. Com o desligamento

do motor de acionamento da bomba, esta válvula mantém a carcaça (corpo da bomba) e a

tubulação de sucção cheias de líquido recalcado, impedindo o seu retorno ao reservatório de

sucção ou captação. Nessas circunstâncias, diz-se que a válvula de pé e crivo mantém a bomba

escorvada (carcaça e tubulação de sucção cheias do líquido a ser bombeado). Outra finalidade

desta válvula é a de impedir a entrada de partículas sólidas ou de corpos estranhos como folhas,

galhos etc. A válvula deve estar mergulhada a uma altura mínima (h), (para evitar a formação de

vértices e a entrada de ar) dada pela equação:

h = 2,5 DS + 0,1 (h e DS em metros) (87)

para evitar a formação de vértices e a entrada de ar.

b) Curva de 90 o:

É imposta pelo traçado da linha de sucção.

c) Redução Excêntrica:

Liga o final da tubulação de sucção à entrada da bomba, de diâmetro geralmente menor.

Visa evitar a formação de bolsas de ar na entrada da bomba. O seu uso é aconselhável sempre

que a tubulação de sucção tiver diâmetro superior a 4” (100mm).

3.6.2 Na linha de recalque

a) Ampliação Concêntrica

Liga a saída da bomba de diâmetro geralmente menor à tubulação de recalque.

b) Válvula de Retenção

É unidirecional e instalada na saída da bomba, antes da válvula de gaveta.

Suas funções são:

i) impedir que o peso da coluna de água de recalque seja sustentado pela bomba, o que

poderia desalinhá-la ou provocar vazamentos;

ii) impedir que, com o defeito da válvula de pé e estando a saída da tubulação de recalque

afogada (no fundo do reservatório superior), haj

funcionar como turbina, o que lhe provocaria danos; e

iii) possibilitar, por meio de um dispositivo chamado

d) Válvula de Gaveta

É instalada após a válvula de retenção.

Suas funções são:

i) regular a vazão; e

ii) permitir reparos na válvula de retenção.

Observação: A bomba centrífuga deve ser sempre ligada e desligada com a válvula de gaveta

fechada, devendo-se proceder de modo contrário nas bombas axiais.

Figura

82

impedir que, com o defeito da válvula de pé e estando a saída da tubulação de recalque

afogada (no fundo do reservatório superior), haja o refluxo do líquido, fazendo a bomba

funcionar como turbina, o que lhe provocaria danos; e

possibilitar, por meio de um dispositivo chamado by-pass, a escorva da bomba.

É instalada após a válvula de retenção.

permitir reparos na válvula de retenção.

A bomba centrífuga deve ser sempre ligada e desligada com a válvula de gaveta

se proceder de modo contrário nas bombas axiais.

Figura 28. Instalação típica de bomba.

impedir que, com o defeito da válvula de pé e estando a saída da tubulação de recalque

a o refluxo do líquido, fazendo a bomba

, a escorva da bomba.

A bomba centrífuga deve ser sempre ligada e desligada com a válvula de gaveta

83

3.7 Semelhança entre Bombas

3.7.1 Conceitos

a) Modelo:

Objeto de estudo. Pode ser reduzido, ampliado ou inalterado.

b) Protótipo:

Objeto nas suas dimensões reais. Pode constituir-se no próprio modelo. É o primeiro tipo.

c) Semelhança Geométrica:

Haverá semelhança geométrica entre duas bombas quando a relação entre suas dimensões

lineares homólogas for constante, ou seja (Figura 29):

d1

d'1=

b2

b'2=

d2

d'2= cte (88)

Figura 29. Semelhança geométrica entre modelo e protótipo.

A condição de semelhança geométrica implica igualdade entre os coeficientes

adimensionais de interesse, os quais independem do tamanho da máquina. Isso faz com que os

dados obtidos no modelo possam ser transportados para o protótipo, mediante a igualdade desses

coeficientes, tendo em visto que o rendimento deve ser o mesmo.

84

3.7.2 Funcionamento de Bombas Semelhantes

Sejam duas máquinas, 1 e 2, geometricamente semelhantes. Então, pela igualdade dos

seus coeficientes adimensionais, tem-se para um mesmo rendimento (η):

a) Q

1

n1D

13

=Q

2

n2

D23

∴Q

1

Q2

=n

1

n2

D1

D2

3

(89)

Se o diâmetro for o mesmo (D1 = D2), tem-se:

Q1

Q2

=n

1

n2

(90)

b) ∆P

1

ρ1n

12 D

12

=∆P

2

ρ2

n22 D

22

(91)

Sendo ∆P = ρ gHm, tem-se:

ρ1

gHm1

ρ1n

12 D

12

=ρ

2g H

m2

ρ2

n22 D

22

∴H

m1

Hm2

=n

1

n2

2D

1

D2

2

(92)

Se o diâmetro for o mesmo (D1 = D2), tem-se:

Hm1

Hm2

=n

1

n2

2

(93)

c) Pot

1

ρ1n

13 D

15

=Pot

2

ρ2

n23 D

25

∴Pot

1

Pot2

=ρ

1

ρ2

n1

n2

3D

1

D2

5

(94)

Para o mesmo fluido, ρ1 = ρ2.

Para a mesma máquina, D1 = D2, então:

Pot1

Pot2

=n

1

n2

3

(95)

85

3.7.3 Velocidade Específica ou Coeficiente de Rotaç ão Unitária (n s)

É a rotação na qual a bomba-modelo deverá operar para elevar a vazão de 1 m3/s à altura

manométrica de 1 m, com o máximo rendimento.

A velocidade específica define a geometria ou o tipo de rotor da bomba (classifica as

bombas quanto à trajetória da partícula do fluido dentro do rotor).

Assim sendo:

Protótipo Modelo

Qp = Q Qm = 1 m3/s

Hp = Hm Hm = 1 m

np = n nm = ns

ηp = η ηm = η

Utilizando as equações 89 e 92, têm-se:

Q1

Q2

=n

1

n2

D1

D2

3

e (96)

Hm1

Hm2

=n

1

n2

2D

1

D2

2

, (97)

em que o índice 1 refere-se ao protótipo e o 2 ao modelo.

Substituindo os dados do protótipo e do modelo nas duas equações anteriores, obtêm-se:

Q1

= nns

D1

D2

3

e (98)

Hm

1= n

ns

2D

1

D2

2

(99)

Elevando a equação 98 à potência 1/3 e a à ½, têm-se:

Q

13 = n

ns

13 D

1

D2

e (100)

86

H

m1 2 = n

ns

D1

D2

(101)

Dividindo membro a membro as equações 100 e 101, obtém-se:

Q13

mH12

= nns

1/3 − 1

nns

−2/3

(102)

Elevando ambos os membros da equação anterior a -3/2, tem-se:

Q−1/2

Hm−3/4

= nns

∴ ns

= nH

m−3/4

Q−1/2 (103)

ou

ns = n

Q1/2

H3/4m

∴ ns = n Q

H3/4m

(104)

em que:

n = rpm;

Q = m3/s;

Hm = m.

Duas bombas geometricamente semelhantes contêm o mesmo ns, que é um coeficiente de

grande importância, por ser definido em função de grandezas físicas que constituem dados iniciais

de projeto (Q, Hm e n).

A classificação das bombas segundo o ns é feita de acorda com o Quadro 3.

Quadro 3. Classificação das bombas de acordo com ns.

Observação: a definição de ns é válida para uma bomba de simples sucção e unicelular (um

estágio). Para um número ni de sucções e um de estágios ne, a fórmula fica assim escrita:

Tipo de bomba Velocidade específica (ns)

Radial ou centrífuga 10-70Diagonal ou mista 70-120Axial 120-200

ns

=n Q / n

i

Hm

ne

3/4

3.8 Curvas Características das Bombas

Constituem-se numa relação entre a vazão recalcada, a altura manométrica, a potência

absorvida, o rendimento e, às vezes, a altura máxima de sucção.

Pode-se dizer que as curvas características constituem

bombas, nas mais diversas situações.

Essas curvas são obtidas nas bancadas de ensaio dos fabricantes. As mais comuns são:

i) Hm = f(Q);

ii) Pot = f(Q); e

iii) η = f(Q).

O aspecto dessas curvas depende do tipo do rotor e, consequentemente, do n

pode ser visto nas Figuras 30, 31 e 32

3.8.1 Caso de Bombas Centrífugas para n = cte

Figura 30. Aspecto das curvas características das bombas centrífugas.

87

.8 Curvas Características das Bombas

numa relação entre a vazão recalcada, a altura manométrica, a potência

absorvida, o rendimento e, às vezes, a altura máxima de sucção.

se dizer que as curvas características constituem-se no retrato de funcionamento das

ações.


O aspecto dessas curvas depende do tipo do rotor e, consequentemente, do n

30, 31 e 32.

.8.1 Caso de Bombas Centrífugas para n = cte

Aspecto das curvas características das bombas centrífugas.

(105)

numa relação entre a vazão recalcada, a altura manométrica, a potência

se no retrato de funcionamento das


O aspecto dessas curvas depende do tipo do rotor e, consequentemente, do ns, conforme

Aspecto das curvas características das bombas centrífugas.

88

Observação: o aspecto das curvas Hm = f(Q) e Pot = f(Q) refere-se apenas à região de rendimento

aceitável (η ≥ 40%).

3.8.2 Caso de Bombas Axiais para n = cte

Figura 31. Aspecto das curvas características das bombas axiais.

3.8.3 Caso de Bombas Diagonais ou Mistas para n = c te

Figura 32. Aspecto das curvas características das bombas diagonais.

3.8.4 Algumas conclusões tiradas das curvas características das B ombas Centrífugas e Axiais

i) O aspecto mais achatado das curvas de rendimento das bombas centrífugas mostra que

este tipo de bomba é mais adequado onde há necessidade de variar a vazão, que pode ser

variada sem afetar significativamente o rendimento da bomba.

ii) A potência necessária ao funcionamento das bombas centrífugas cresce com o aumento da

vazão e decresce nas axiais; portanto, as bombas radiais devem ser ligadas com o registro

fechado, já que a potência

bombas axiais.

iii) O crescimento da altura manométrica não causa sobrecarga no motor das bombas

centrífugas. Especial atenção deve ser dada quando a altura manométrica diminui (em se

tratando de bombas centrífugas), pois aumenta a vazão e, consequentemente, a potência

exigida para o funcionamento da bomba, o que poderá causar sobrecarga no motor:

É muito comum o erro de se multiplicar a altura manométrica calculada por um valor, por

exemplo 1,5, e com isso dimensionar um motor para trabalhar com “bastante folga”. No caso de

bombas centrífugas ou radiais (Figura

Figura 33. Consequência da diminuição de altura manométrica das bombas centrífugas.

Na Figura 33, (0) representa a curva

(1), a curva característica da bomba adotada em razão do aumento da altura manométrica.

Os pontos de projeto que deveriam ter sido adotados são Q

Os pontos de projetos adotados foram Q

potência Pot1.

Os pontos reais de funcionamento são Q

Como Pot2 > Pot1, ocorre sobrecarga no motor.

89

conclusões tiradas das curvas características das B ombas Centrífugas e

O aspecto mais achatado das curvas de rendimento das bombas centrífugas mostra que


sem afetar significativamente o rendimento da bomba.

A potência necessária ao funcionamento das bombas centrífugas cresce com o aumento da


fechado, já que a potência necessária ao acionamento é mínima. O contrário ocorre com as

O crescimento da altura manométrica não causa sobrecarga no motor das bombas


mbas centrífugas), pois aumenta a vazão e, consequentemente, a potência



com isso dimensionar um motor para trabalhar com “bastante folga”. No caso de

bombas centrífugas ou radiais (Figura 33), tem-se:

Consequência da diminuição de altura manométrica das bombas centrífugas.

, (0) representa a curva característica da bomba que deveria ter sido adotada e


Os pontos de projeto que deveriam ter sido adotados são Q0, H0 e Pot.

Os pontos de projetos adotados foram Q0, H1 e Pot1, tendo sido o motor adquirido com a

Os pontos reais de funcionamento são Q1, H2 e Pot2.

, ocorre sobrecarga no motor.

conclusões tiradas das curvas características das B ombas Centrífugas e

O aspecto mais achatado das curvas de rendimento das bombas centrífugas mostra que


A potência necessária ao funcionamento das bombas centrífugas cresce com o aumento da


necessária ao acionamento é mínima. O contrário ocorre com as

O crescimento da altura manométrica não causa sobrecarga no motor das bombas


mbas centrífugas), pois aumenta a vazão e, consequentemente, a potência



com isso dimensionar um motor para trabalhar com “bastante folga”. No caso de

Consequência da diminuição de altura manométrica das bombas centrífugas.

característica da bomba que deveria ter sido adotada e


e Pot.

, tendo sido o motor adquirido com a

90

A solução para corrigir o erro cometido é operar a válvula de gaveta até que Q1 seja igual a

Q0. Isto faz com que H2 tenda a H1 e Pot2 a Pot1, aliviando, desta forma, a sobrecarga no motor

iv) O contrário do que foi discutido no item anterior ocorre no caso de bombas axiais.

3.9 Curvas Características do Sistema ou da Tubulaç ão

3.9.1 Tubulação Única (Curva Típica)

A segunda expressão da altura manométrica fornece para reservatórios abertos:

Hm = HG + ht (78)

Em que

ht = hf + ha (106)

em que:

hf = perda de carga contínua; e

ha = perda de carga acidental.

As perdas de carga acidentais podem ser incluídas nas perdas de cargas distribuídas,

desde que se use o método dos comprimentos equivalentes. Então, com a equação de Darcy-

Weisbach:

h

t= f

LeD

16Q2

π 22gD4= KQ2 (107)

em que:

Le = comprimento real da canalização mais o comprimento correspondente às peças

especiais ou tabeladas; e

K = 16fLe

π 2 2g D5, (108)

sendo K uma característica do sistema ou da tubulação e o coeficiente de atrito.

91

Se o cálculo da perda de carga for realizado com a equação de Hazen-Willians, tem-se:

V = 0,355 C D0,63 J0,54 ou 4 Q

π D2= 0,355 C D0,63 J0,54 (109)

de onde se obtêm:

J = 4 Q

0,355 π C D2,63

1,852

(110)

ht = J Le = Le

4 Q

0,355 π C D2,63

1,852

(111)

ht = Le

4 Q

0,355 π C D2,63

1,852

Q1,852 = K 'Q1,852 (112)

em que:

K ' = Le

4 Q

0,355 π C D2,63

1,852

; e (113)

C = coeficiente de Hazen-Willians.

Então:

Hm = hG +KQ2 (114)

utilizando a equação de Darcy-Weisbach, ou

Hm = Hg +K 'Q1,852 (115)

utilizando a equação de Hazen-Willians.

Quando representadas graficamente, as equações

(Figura 34).

Figura 34. Representação da curva característica da tubulação

3.10 Estudo conjunto das curvas características da B omba e do Sistema

Define-se o ponto de operação ou ponto de trabalho da bomba.

A Figura 35 mostra a curva característica da bomba associada à curva característica do

sistema.

A intersecção das duas curvas define o ponto de trabalho ou o ponto de operação da

bomba, ou seja: para a vazão de projeto da bomba, a altura manométrica desta é igual à exigida

pelo sistema.

Na Figura 35, P0 define o o ponto de trabalho da bomba, com a válvula d

totalmente aberta, e P1 o ponto de funcionamento, com a válvula de gaveta parcialmente aberta.

Figura 35. Associação da curva característica da bomba do sistema.

92

Quando representadas graficamente, as equações 114 e 115 têm o seguinte aspecto

Representação da curva característica da tubulação (curva típica).

.10 Estudo conjunto das curvas características da B omba e do Sistema

se o ponto de operação ou ponto de trabalho da bomba.

mostra a curva característica da bomba associada à curva característica do

ecção das duas curvas define o ponto de trabalho ou o ponto de operação da


define o o ponto de trabalho da bomba, com a válvula d

o ponto de funcionamento, com a válvula de gaveta parcialmente aberta.

Associação da curva característica da bomba do sistema.

têm o seguinte aspecto

(curva típica).

.10 Estudo conjunto das curvas características da B omba e do Sistema

mostra a curva característica da bomba associada à curva característica do

ecção das duas curvas define o ponto de trabalho ou o ponto de operação da


define o o ponto de trabalho da bomba, com a válvula de gaveta

o ponto de funcionamento, com a válvula de gaveta parcialmente aberta.

Associação da curva característica da bomba do sistema.

93

3.11 Variação das Curvas Características das Bombas

As curvas características das bombas podem variar:

i) Com o tempo de uso;

ii) Com a variação da rotação do rotor (para um mesmo diâmetro).

Observação: os recursos (i) e (ii) são muito utilizados na prática (diminuição no valor da rotação ou

do diâmetro), para evitar sobrecarga no motor.

iii) Com a variação do diâmetro do rotor (para uma mesma rotação).

iv) Com a variação do diâmetro do rotação do rotor ao mesmo tempo.

v) Com a variação da forma do rotor: isto compete ao fabricante. Os rotores mais largos e com

pás mais retas fornecem curvas mais achatadas (Figura 36), podendo a vazão ser

modificada sem que seja alterada, significativamente, a altura manométrica. Os rotores mais

estreitos e com pás mais inclinadas fornecem curvas mais inclinadas (Figura 37), em que a

vazão é modificada às custas da grande variação na altura manométrica.

Figura 36. Rotores mais largos e com pás mais retas.

Figura 37. Rotores mais estreitos e com pás mais inclinadas.

3.12 Variação da Rotação do Rotor (D = cte)

Neste caso, o diâmetro é mantido constante e o

as rotações (a rotação conhecida e a rotação a ser calculada).

As equações utilizadas (mantendo

Q1

Q2

=n

1

n2

Hm1

Hm2

=n

1

n2

2

Pot1

Pot2

=n

1

n2

3

Essas fórmulas foram originadas da semelhança geométrica de bombas (veja item

São recomendadas, na prática, para uma variação na rotação da ordem de 30 a 40% no máximo,

para que o rendimento seja considerado aproximadamente o mesmo.

A variação na rotação do rotor poderá ser conseguida:

i) Quando variar a aceleração por meio de uma alavanca, no caso de motores à combustão

interna;

ii) Com um variador mecânico de rotação entre o motor e a bomba, para o caso de motor

elétrico; e

iii) Por meio de polias e correias.

No caso da variação na rotação por meio de polias e correias planas, o cálculo das polias

pode ser feito como na Figura 38

Figura 38. Acoplamento motor

94

.12 Variação da Rotação do Rotor (D = cte)

Neste caso, o diâmetro é mantido constante e o rendimento deve ser o mesmo para ambas

as rotações (a rotação conhecida e a rotação a ser calculada).

As equações utilizadas (mantendo-se constantes o diâmetro e o rendimento) são:

Essas fórmulas foram originadas da semelhança geométrica de bombas (veja item


para que o rendimento seja considerado aproximadamente o mesmo.

A variação na rotação do rotor poderá ser conseguida:

Quando variar a aceleração por meio de uma alavanca, no caso de motores à combustão

Com um variador mecânico de rotação entre o motor e a bomba, para o caso de motor

Por meio de polias e correias.


38.

Acoplamento motor-bomba, por meio de polia e correia.

rendimento deve ser o mesmo para ambas

se constantes o diâmetro e o rendimento) são:

(90)

(93)

(95)

Essas fórmulas foram originadas da semelhança geométrica de bombas (veja item 3.7.2).


Quando variar a aceleração por meio de uma alavanca, no caso de motores à combustão

Com um variador mecânico de rotação entre o motor e a bomba, para o caso de motor


bomba, por meio de polia e correia.

95

A velocidade periférica (V1) da polia da bomba pode ser calculada por:

V1

=W1 d1

2 (116)

em que:

W1 = velocidade angular da polia da bomba; e

d1 = diâmetro da polia da bomba.

A velocidade periférica (V2) da polia do motor é calculada por:

V2

=W2 d2

2 (117)

em que:

W2 = velocidade angular da polia do motor; e

d2 = diâmetro da polia do motor.

As velocidades angulares relacionam-se com as rotações de acordo com as equações:

W1 = 2 π n1 (rd/min), (118)

sendo n1 a rotação da polia da bomba e

W2 = 2 π n2 (rd/min), (119)

sendo n2 a rotação da polia do motor.

Já que V1 = V2, após substituir as equações 118 e 119 nas equações 116 e 117,

respectivamente, obtém-se:

n1d

1= n

2d

2 (120)

Como os pontos pertencentes às curvas de mesmo rendimento (curvas de isoeficiência)

obedecem às equações 90, 93 e 95, combinando as duas primeiras, tem-se:

H

m1

Hm2

=Q

1

Q2

2

ouH

m1

Q12

=H

m2

Q22

= cte (121)

96

A equação 121, chamada de parábola de isoeficiência, é usada para se obterem pontos

homólogos.

3.13 Variação do Diâmetro do Rotor (n = cte)

Operação que consiste na usinagem (raspagem) do rotor até um valor correspondente a

20%, no máximo, do diâmetro original, sem afetar sensivelmente o seu rendimento.

É mais indicada para bombas centrífugas, já que as faces do rotor são praticamente

paralelas. Não é recomendada para bombas diagonais ou axiais. A rotação é mantida constante.

As equações utilizadas, mantendo-se constantes a rotação e o rendimento, são:

Q1

Q2

=D

1

D2

2

(122)

segundo Louis Bergeron e outros (equação experimental).

Q1

Q2

=D

1

D2

(123)

segundo J. Karassik (equação experimental).

Hm1

Hm2

=Q

1

Q2

2

∴H

m1

Q12

=H

m2

Q22

= cte (121)

equação que permite traçar a parábola de isoeficiência e

Pot1

Pot2

=D

1

D2

3

(124)

equação experimental.

Observações:

a) O corte no rotor da bomba afasta a hipótese de semelhança geométrica entre o rotor

original e o usinado. Daí o fato de as expressões Q = f(D), Hm = f(D) e Pot = f(D) não terem

obedecido à lei de semelhança geométrica, como no item 3.7.2; elas foram obtidas

experimentalmente.

b) A fim de admitir que a vazão varia diretamente com o diâmetro, Stepanoff introduz a

seguinte correção (Quadro 4) para bombas centrífugas):

97

Quadro 4. Correção de Stepanoff para a equação de J. Karassik.

Se, por exemplo, D2 for igual a 200 mm e a relação calculada (D1/D2) igual 0,80, o Quadro 4

fornecerá, para a relação necessária:

D1

D2

= 0,83 ∴ D1

= 166 mm (diâmetro do rotor usinado).

3.14 Associação de Bombas

3.14.1 Introdução

Razões de naturezas diferentes diversas levam à necessidade de associar bombas. Dentre

elas, podem-se citar:

a) Inexistência, no mercado, de bombas que possam, isoladamente, atender à vazão de

demanda.

b) Inexistência, no mercado, de bombas que possam, isoladamente, atender à altura

manométrica de projeto.

c) Aumento da demanda com o decorrer do tempo.

As associações podem ser em paralelo, em série e mistas (série-paralelo).

As razões (a) e (c) requerem a associação em paralelo e a razão (b), sem série. As razões

(a), (b) e (c), em conjunto, requerem a associação mista.

3.14.2 Associação em Paralelo

Para a obtenção da curva característica das bombas associadas em paralelo, as vazões

somam-se para a mesma altura manométrica.

Essa associação é muito usada em abastecimento de água de cidades (sistema de

distribuição de água) e de indústrias.

Relação Calculada

0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

Relação Necessária

0,71 0,73 0,78 0,83 0,87 0,915 0,955

1D2D

= 1Q

2Q

1D2D

Uma bomba de dupla sucção possui dois rotores em paralelo, em que vazões se somam

para a mesma altura manométrica (é

A interseção entre a curva característica da associação e a curva característica do sistema

indica o ponto de trabalho da associação em paralelo.

Seja o esquema de uma associação em paralelo (Figura

Figura 39. Esquema de instalação de duas bombas associadas em paralelo.

As curvas características das bombas B

a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bombas (1 + 2) em

paralelo.

Na Figura 40, P1 e P2

isoladamente, e P3, o ponto de trabalho da associação em paralelo.

A Figura 40 permite tirar as seguintes conclusões:

i) Se as duas bombas funcionassem isoladamente, a

vazão total Q1 + Q2, maior que a vazão Q da associação em paralelo Q

diferença de vazão será tanto mais acentuada quanto mais inclinada for a curva do sistema

ou quanto mais achatadas forem as curvas car

ii) Na associação em paralelo, a vazão de cada bomba é obtida projetando

horizontalmente, o ponto P

vazão da bomba B1 igual a Q

98


para a mesma altura manométrica (é um caso particular de associação em paralelo).


indica o ponto de trabalho da associação em paralelo.

Seja o esquema de uma associação em paralelo (Figura 39).

Esquema de instalação de duas bombas associadas em paralelo.

As curvas características das bombas B1 e B2 estão apresentadas na Figura


são os pontos de trabalho das bombas B

, o ponto de trabalho da associação em paralelo.

permite tirar as seguintes conclusões:

Se as duas bombas funcionassem isoladamente, a vazão de cada uma seria Q

, maior que a vazão Q da associação em paralelo Q


ou quanto mais achatadas forem as curvas características das bombas).

Na associação em paralelo, a vazão de cada bomba é obtida projetando

horizontalmente, o ponto P3 até encontrar a curva característica de cada bomba, sendo a

igual a Q1’ e a vazão da bomba B2 igual a Q2’.


um caso particular de associação em paralelo).


Esquema de instalação de duas bombas associadas em paralelo.

estão apresentadas na Figura 40, bem como


são os pontos de trabalho das bombas B1 e B2, funcionando

vazão de cada uma seria Q1 e Q2 e a

, maior que a vazão Q da associação em paralelo Q1 + Q2 > Q (esta


acterísticas das bombas).

Na associação em paralelo, a vazão de cada bomba é obtida projetando-se,

até encontrar a curva característica de cada bomba, sendo a

Figura 40

iii) Na situação de a curva característica coincidir com P4 ou ficar à sua esquerda, a bomba

(B1) não conseguirá atingir a altura manométrica da associação em paralelo. Sendo assim,

a bomba (B2) fornecerá toda a

paralelo, pois ocorrerá um sobreaquecimento da bomba (B

a altura manométrica (situação perigosa).

3.14.3 Associação em Série

Para o traçado da curva característica das

manométricas somam-se para uma mesma vazão.

Na Figura 41 é mostrado o esquema da instalação de duas bombas associadas em série e

na Figura 42 as curvas da associação em série.

99

40. Associação de duas bombas em paralelo.

Na situação de a curva característica coincidir com P4 ou ficar à sua esquerda, a bomba

) não conseguirá atingir a altura manométrica da associação em paralelo. Sendo assim,

) fornecerá toda a vazão. Nesse caso, não tem sentido a associação em

paralelo, pois ocorrerá um sobreaquecimento da bomba (B1), a qual não conseguirá atingir

a altura manométrica (situação perigosa).

Para o traçado da curva característica das bombas associadas em série, as alturas

se para uma mesma vazão.

é mostrado o esquema da instalação de duas bombas associadas em série e

as curvas da associação em série.

Na situação de a curva característica coincidir com P4 ou ficar à sua esquerda, a bomba

) não conseguirá atingir a altura manométrica da associação em paralelo. Sendo assim,

vazão. Nesse caso, não tem sentido a associação em

), a qual não conseguirá atingir

bombas associadas em série, as alturas

é mostrado o esquema da instalação de duas bombas associadas em série e

Figura 41. Esquema da associação de

Figura 42. Curvas características da associação de duas bombas em série.

Nas bombas de múltiplos estágios, os rotores estão associados em série numa mesma

carcaça. Na associação em série, deve

carcaça a partir da segunda bomba suportam as pressão desenvolvidas.

100

Esquema da associação de duas bombas em série.

Curvas características da associação de duas bombas em série.


carcaça. Na associação em série, deve-se ter o cuidado de verificar se a f

carcaça a partir da segunda bomba suportam as pressão desenvolvidas.

duas bombas em série.

Curvas características da associação de duas bombas em série.


se ter o cuidado de verificar se a flange de sucção e a

As curvas características das bombas B

como a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bo

em série.

Na Figura 42, P0 é o ponto de trabalho da bomba B

ponto de trabalho da associação em série.

Na associação em série, a altura manométrica de cada bomba é obtida projetando

verticalmente, o ponto P3 até encontrar a curva característica de cada bomba. Assim, a altura

manométrica da bomba B2 (da associação) é Hm

Observação: se a bomba B1 for desligada, a B

curva característica do sistema situa

sobreaquecimento do líquido (situação perigosa).

3.15 Rendimento Total ou Rendimento da Associação

a) Para bombas em paralelo (Figura

Figura

101

As curvas características das bombas B1 e B2 estão apresentadas na F

como a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bo

, P0 é o ponto de trabalho da bomba B1 funcionando isoladamente e P

ponto de trabalho da associação em série.

Na associação em série, a altura manométrica de cada bomba é obtida projetando

até encontrar a curva característica de cada bomba. Assim, a altura

(da associação) é Hm2’ e da bomba B1, Hm1’.

for desligada, a B2 não conseguirá vencer a altura manométrica (a

curva característica do sistema situa-se acima da curva da bomba B2) e haverá recirculação e

sobreaquecimento do líquido (situação perigosa).

.15 Rendimento Total ou Rendimento da Associação (ηηηηt)

s em paralelo (Figura 43)

43. Associação de três bombas em paralelo.

estão apresentadas na Figura 42, assim

como a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bombas (1+2)

funcionando isoladamente e P3, o

Na associação em série, a altura manométrica de cada bomba é obtida projetando-se,

até encontrar a curva característica de cada bomba. Assim, a altura

não conseguirá vencer a altura manométrica (a

) e haverá recirculação e

102

O ponto P1 de funcionamento da bomba B1 na associação é Q1, H e η1 e a potência

solicitada pela bomba é:

Pot1

=γ Q

1H

75 η1

(125)



Pot

2=

γ Q2

H

75 η2

(126)



Pot

3=

γ Q3 H

75 η3

(127)

O ponto P de funcionamento da associação das três bombas em paralelo é Q, H, ηt, sendo

a potência solicitada calculada por:

Pot = γ Q H

75 ηt

(128)

Como:

Q = Q1 + Q2 + Q3 (129)

e

Pot = Pot1 + Pot2 + Pot3 (130)

tem-se, substituindo as equações 125, 126, 127, 128 e 129 na equação 130,

γ Q1H

75 η1

+γ Q

2H

75 η2

+γ Q

3H

75 η3

=γ Q

1+ Q

2+ Q

3( ) H

75 ηt

(131)

que se simplifica em:

Q1

η1

+Q

2

η2

+Q3

η3

=Q1 + Q2 + Q3

ηt

(132)

Para um número (n) qualquer de bombas associadas em paralelo, pode-se escrever:

Qi

ηii=1

n

∑ =Q

ii=1

n

∑

ηt

b) Para bombas em série

Considere-se a associação de duas bomba

Figura

O ponto P1 de funcionamento da bomba B

bomba calculada por:

Pot

1=

γ Q H1

75 η1

103

se a associação de duas bombas em série, conforme a Figura 44

Figura 44. Associação de duas bombas em série.

de funcionamento da bomba B1 na associação é Q, H1, η

(133)

s em série, conforme a Figura 44.

η1, sendo a potência da

(134)

104

O ponto P2 de funcionamento da bomba B2 na associação é Q, H2, η2, sendo a potência

solicitada por essa bomba dada por:

Pot

2=

γ Q H2

75 η2

(135)

O ponto P de funcionamento da associação das duas bombas em série é Q, H, ηt, sendo a

potência solicitada calculada por:

Pot = γ Q H

75 ηt

(136)

Já que:

H = H1 + H2 (137)

e

Pot = Pot1 + Pot2 (138)

tem-se, substituindo as equações 134, 135, 136 e 137 na equação 138:

γ Q1H

1

75 η1

+γ Q

2H

2

75 η2

=γ Q H

1+H

2( )75 ηt

(139)

que se simplifica em

H1

η1

+H

2

η2

=H

1+H

2

ηt

(140)

Generalizando, para um número (n) qualquer das bombas associadas em série, tem-se:

Hi

ηii=1

n

∑ =H

ii=1

n

∑

ηt

(141)

3.16 Cavitação – Altura de Instalação da Bomba

3.16.1 Introdução

A cavitação é o fenômeno observável somente em líquidos, não correndo sob quaisquer

condições normais em sólidos ou gases.

Pode-se, comparativamente, associar a cavitação à ebulição em um líquido.

Na ebulição, um líquido “ferve” quando a sua temperatura au

mantida constante. Sob condições normais de pressão (760 mmHg), a água ferve a 100

Na cavitação, um líquido “ferve” quando a sua pressão diminui, com a temperatura sendo

mantida constante. À temperatura de 20

17,4 mmHg. A pressão com que o líquido começa a “ferver” chama

de vapor. A tensão de vapor é função da temperatura (diminui com a diminuição da temperatura).

Ao atingir a pressão de vapor

se vaporiza.

Observação: A palavra “ferver” está associada à liberação de bolhas de vapor d’água.

3.16.2 Pressão de Vapor

Pressão de vapor de um líquido (ou tensão de vapor), a dada

o líquido coexiste nas duas fases: líquida e vapor.

Na Figura 45 é mostrada a curva da pressão de vapor.

Para uma mesma temperatura (por exemplo T

submetido, for maior que a pressão do vapor do líquido (p

contrário (p < pV), haverá somente a fase de vapor. Quando p for igual a p

líquida e de vapor.

Figura

A pressão de vapor é tabelada

3.16.3 Ocorrência da Cavitação

Uma pressão absoluta na entrada da bomba, menor ou igual à pressão de vapor no líquido,

na temperatura em que este se concentra, poderá ocasionar os seguintes efeitos:

105

Na ebulição, um líquido “ferve” quando a sua temperatura aumenta, com a pressão sendo

mantida constante. Sob condições normais de pressão (760 mmHg), a água ferve a 100


mantida constante. À temperatura de 20oC a água “ferve” à pressão absoluta de 0,24 m.c.a. ou

17,4 mmHg. A pressão com que o líquido começa a “ferver” chama-se pressão de vapor ou tensão


Ao atingir a pressão de vapor, o líquido libera bolhas de ar (bolhas de ar), dentro das quais

A palavra “ferver” está associada à liberação de bolhas de vapor d’água.

Pressão de vapor de um líquido (ou tensão de vapor), a dada temperatura, é aquela na qual

o líquido coexiste nas duas fases: líquida e vapor.

é mostrada a curva da pressão de vapor.

Para uma mesma temperatura (por exemplo To), se a pressão (p), à qual o líquido estiver

são do vapor do líquido (pV), haverá somente fase líquida. Em caso

), haverá somente a fase de vapor. Quando p for igual a p

Figura 45. Curva de pressão de vapor.

A pressão de vapor é tabelada em função da temperatura, em termos absolutos.

.16.3 Ocorrência da Cavitação



menta, com a pressão sendo

mantida constante. Sob condições normais de pressão (760 mmHg), a água ferve a 100oC.


à pressão absoluta de 0,24 m.c.a. ou

se pressão de vapor ou tensão


, o líquido libera bolhas de ar (bolhas de ar), dentro das quais

A palavra “ferver” está associada à liberação de bolhas de vapor d’água.

temperatura, é aquela na qual

), se a pressão (p), à qual o líquido estiver

), haverá somente fase líquida. Em caso

), haverá somente a fase de vapor. Quando p for igual a pV, ocorrerão as fases

em função da temperatura, em termos absolutos.



a) se a pressão absoluta do líquido na entrada da bomba for menor ou igual à pressão de

vapor e se estender a toda a seção do escoamento, poderá formar uma bolha de vapor

capaz de interromper o escoamento;

b) se esta pressão for localizada a alguns pontos da entrada d

liberadas serão levadas, pelo escoamento, para regiões de altas pressões (região de saída

do rotor). Por ser a pressão externa maior que a pressão interna, ocorre a implosão das

bolhas (colapso das bolhas), responsável pelos seg

(ocorrem simultaneamente esses efeitos):

• químico – com as implosões das bolhas são liberados íons livres de oxigênio que atacam as

superfícies metálicas (corrosão química dessas superfícies);

• mecânico – quando a bolha

(inicia-se o processo de condensação da bolha), sendo a água circundante acelerada no

sentido centrípeto. Com o desaparecimento da bolha (condensação da bolha), as partículas

de água aceleradas chocam

golpe de aríete e, com ele, uma sobrepressão que se propaga em sentido contrário,

golpeando com violência as paredes mais próximas do rotor e da carcaça, danificando

(Figura 46).

Figura 46

106

ressão absoluta do líquido na entrada da bomba for menor ou igual à pressão de


capaz de interromper o escoamento;

se esta pressão for localizada a alguns pontos da entrada da bomba, as bolhas de vapor



bolhas (colapso das bolhas), responsável pelos seguintes efeitos distintos da cavitação

(ocorrem simultaneamente esses efeitos):

com as implosões das bolhas são liberados íons livres de oxigênio que atacam as

superfícies metálicas (corrosão química dessas superfícies);

quando a bolha atingir a região de alta pressão seu diâmetro será reduzido

se o processo de condensação da bolha), sendo a água circundante acelerada no


ocam-se, cortando umas o fluxo das outras. Isso provoca o chamado


golpeando com violência as paredes mais próximas do rotor e da carcaça, danificando

46. Efeito mecânico da cavitação em bombas.

ressão absoluta do líquido na entrada da bomba for menor ou igual à pressão de


a bomba, as bolhas de vapor



uintes efeitos distintos da cavitação

com as implosões das bolhas são liberados íons livres de oxigênio que atacam as

atingir a região de alta pressão seu diâmetro será reduzido

se o processo de condensação da bolha), sendo a água circundante acelerada no


se, cortando umas o fluxo das outras. Isso provoca o chamado


golpeando com violência as paredes mais próximas do rotor e da carcaça, danificando-as

3.16.4 Altura Máxima de Sucção das Bombas

Para que uma bomba trabalhe sem cavitar, torna

líquido na entrada da bomba seja superior à pressão de vapor, à temperatura de

líquido.

Considerando-se a Figura 47

com referência em (o),

Po

γ+

vo2

2g+ z

o=

P1

γ+

v12

2g+ z

1+

Figura

Como a pressão efetiva P

somando Patm/γ a ambos os membros da equação

Patm

γ+

vo2

2g+ o =

P1ab

γ+

v12

2g+H

em que:

Patm = pressão atmosférica; e

P1ab = pressão absoluta à entrada da bomba.

Explicitando Hs na equação

H

s=

Patm

−P1ab

γ+

vo2 − v

12

2g− h

107

.16.4 Altura Máxima de Sucção das Bombas

Para que uma bomba trabalhe sem cavitar, torna-se necessário que a pressão absoluta do

líquido na entrada da bomba seja superior à pressão de vapor, à temperatura de

se a Figura 47 e aplicando a equação da energia entre as seções (o) e (1),

+ht(o−1)

Figura 47. Destaque para a altura de sucção.

Como a pressão efetiva Po/γ é igual a zero (reservatório de captação aberto), tem

a ambos os membros da equação 142:

Hs

+ ht(o−1)

= pressão atmosférica; e

= pressão absoluta à entrada da bomba.

na equação 142a, chega-se a:

ht(o−1)

se necessário que a pressão absoluta do

líquido na entrada da bomba seja superior à pressão de vapor, à temperatura de escoamento do

e aplicando a equação da energia entre as seções (o) e (1),

(142)

é igual a zero (reservatório de captação aberto), tem-se,

(142a)

(143)

108

Se possível desprezar as perdas de carga e a variação da energia cinética, a equação

poderia ser escrita como:

H

s=

Patm

−P1ab

γ (144)

Para as condições ideais de temperatura e pressão, tem-se:

Patm = 1 atm = 10,33 m.c.a. = 10330 kgf/m2 (nível do mar)

P1ab = 0 (vácuo perfeito)

γ = 1000 kgf/m3 (peso específica da água a 4 oC)

Levando esses valores à equação 144, tem-se:

Hs = 10330 − 0

1000= 10,33 m.c.a. (valor teórico)

Essa seria a altura de sucção máxima (teórica) com que poderia ser instalada uma bomba

comum (bomba sem dispositivos especiais que permitem elevar o valor de Hs).

Na prática, não são desprezíveis as perdas de carga (e, às vezes, a variação de energia

cinética), P1ab ≥ PV, Patm < 1 atm e T > 4 oC. Tudo isso faz com que a Hs seja menor do que o valor

teórico, podendo-se adotar (na prática) Hs ≤ 5 m para instalações usuais. Para a situação em que a

temperatura do líquido é alta (caso de caldeiras, por exemplo) e a altitude é elevada (o que implica

em pressão atmosférica baixa), o valor de Hs pode chegar a valores negativos, significando que a

bomba deve trabalhar afogada.

Retomando a equação 143, pode-se escrever, fazendo P1ab = PV (pressão do vapor), em

que Hs = Hsmáx:

H

smáx≤

Patm

−PV

γ+

vo2 − v

12

2g− h

t(o−1) (145)

Nota-se, por esta equação, que PV, v1 e ht agem desfavoravelmente quanto à altura de

sucção, ou seja: quanto maiores, menor deverá ser a altura de sucção. Os valores de v1 e ht

poderão ser reduzidos, utilizando-se tubulações de sucção com diâmetros grandes (maior do que o

diâmetro de recalque). O valor de PV poderá ser reduzido, operando-se com líquidos a baixa

temperatura.

109

Na equação 145, Patm e PV são tabelados conforme Tabela 1H do Apêndice 1. Na falta de

tabela, a pressão atmosférica poderá ser calculada por:

Patm

γ= 10,33 − 0,0012 A (146)

sendo A a altitude em metros.

Na equação 145 levou-se em conta apenas a perda de carga (ht) existente até a entrada da

bomba. Considerando que as bolsas de vapor serão levadas para a saída do rotor, deve-se

adicionar à referida equação a perda de carga ∆H*, que leva em conta a perda entre a entrada da

bomba e a saída do rotor (porque é na saída que ocorre o colapso das bolhas). Essa perda, ∆H*,

não é calculada pelas equações usuais de perda de carga.

Sendo assim, a equação 145 pode ser reescrita da seguinte forma:

H

smáx≤

Patm

−PV

γ+

vo2 − v

12

2g− h

1− ∆H* (147)

O termo ∆H* tem capital importância no cálculo de Hsmáx. Juntamente com v

12

2g, constitui as

grandezas relacionadas com a bomba.

A experiência revela que

∆H* = σ Hm (148)

em que:

σ = coeficiente de cavitação da bomba ou coeficiente de Thoma, adimensional.

O coeficiente de Thoma é uma medida da sensibilidade da bomba à cavitação (quanto

maior σ, maior a tendência de a bomba cavitar).

Segundo Stepanoff, nas proximidades do ponto de rendimento máximo da bomba tem-se:

σ = 1,2x10−3 n

s43 (149)

Por terem maior ns, as bombas axiais são mais sujeitas à cavitação (ns está definido na

equação 104).

110

3.16.5 NPSH disponível na instalação e NPSH requeri do pela bomba

O NPSH (net positive suction head) é uma sigla americana, para a qual não se conseguiu

tradução satisfatória para o português. Tentou-se traduzi-la para APLS (altura positiva líquida de

sucção), ficando sem o devido sentido físico. Continua, portanto, sendo conhecida tecnicamente

como NPSH, ou seja, a altura que limita a altura de sucção da bomba.

Retomando a equação:

H

smáx≤

Patm

−PV

γ+

vo2 − v

12

2g− h

1− ∆H* (147)

e separando, para o primeiro membro, as grandezas que dependem das condições locais da

instalação (condições ambientais), e, para o segundo, as grandezas relacionadas com a bomba,

tem-se, desprezando v

o2

2g (por ser muito pequeno):

H

smáx−

Patm

γ+

PV

γ+h

t≤ −∆H* −

v12

2g∴ (150)

Patm

γ− Hsmáx +

PV

γ+ ht

≥ ∆H * +

v12

2g (151)

sendo

Patm

γ− Hsmáx +

PV

γ+ ht

= NPSHd

(152)

∆H* +

v12

2g= NPSH

r (153)

O NPSH disponível na instalação da bomba (NPSHd) é uma preocupação do técnico de

campo. O NPSH requerido pela bomba (NPSHr) poderá ser fornecido pelo fabricante ou calculado

com o auxílio das equações 148 e 149.

Para que a bomba trabalhe sem cavitar, deve ser atendida a condição:

NPSHd ≥ NPSHr (154)

O NPSHr e o NPSHd podem ser representados graficamente, conforme a Figura 48.

Figura 48.

Como é mostrado na Figura

perigo da cavitação. Na prática, deve

NPSHd > NPSHr.

Observações:

• Em lugar da curva (Q, NPSH

para bombas operando com água fria ao nível do mar, devendo

condições diferentes;

• v

12

2g é uma parcela de energia responsável pela entrada do líquido na bomba, daí

fazer parte do NPSH

• O sinal (-) deverá ser usado para H

afogada.

• Na prática, o NPSH

NPSHd ≥ 1,15 NPS

• Para duas ou mais bombas operando em paralelo, devem

especiais no funcionamento de uma só bomba, pois neste caso a vazão cresce,

crescendo também a potência exigida

bomba opera isoladamente, precisa ser verificado se o NPSH

assim, a ocorrência da cavitação. Além disso, o motor selecionado deve ter

capacidade suficiente para atender a esse ponto de funcionament

• Quando maior o NPSH

devem-se selecionar bombas com valores de NPSH

111

Figura 48. Representação gráfica do NPSHr e NPSHd.

Como é mostrado na Figura 48, a bomba poderá operar até a vazão Q

Na prática, deve-se trabalhar com uma vazão de projeto Q

Em lugar da curva (Q, NPSHr), alguns fabricantes apresentam a curva (Q, H

para bombas operando com água fria ao nível do mar, devendo

condições diferentes;

é uma parcela de energia responsável pela entrada do líquido na bomba, daí

fazer parte do NPSHr;

) deverá ser usado para Hsmáx na equação, quando a bomba estiver

Na prática, o NPSHd deverá ser maior que o NPSHr em pelo menos 15% (

SHr).

Para duas ou mais bombas operando em paralelo, devem


crescendo também a potência exigida pela bomba e o NPSH

bomba opera isoladamente, precisa ser verificado se o NPSH


capacidade suficiente para atender a esse ponto de funcionament

Quando maior o NPSHr, maior a tendência da bomba à cavitação; por esta razão,

se selecionar bombas com valores de NPSHr pequenos.

, a bomba poderá operar até a vazão Q1, sem que ocorra o

se trabalhar com uma vazão de projeto Q2 < Q1, em que

), alguns fabricantes apresentam a curva (Q, Hsmáx)

para bombas operando com água fria ao nível do mar, devendo-se corrigi-la em

é uma parcela de energia responsável pela entrada do líquido na bomba, daí

na equação, quando a bomba estiver

em pelo menos 15% (

Para duas ou mais bombas operando em paralelo, devem-se tomar cuidados


pela bomba e o NPSHr. No ponto onde a

bomba opera isoladamente, precisa ser verificado se o NPSHd > NPSHr, evitando,


capacidade suficiente para atender a esse ponto de funcionamento.

, maior a tendência da bomba à cavitação; por esta razão,

pequenos.

112

3.16.6 Medidas destinadas a dificultar o aparecimen to da cavitação pelo usuário

a) Trabalhar sempre com líquidos frios (menor temperatura, menor PV).

b) Tornar a linha de sucção o mais curta e reta possível (diminui a perda de carga).

c) Selecionar o diâmetro da tubulação de sucção, de modo que a velocidade não

ultrapasse 2 m/s.

d) Usar redução excêntrica à entrada da bomba (evita a formação de bolsas de ar).

Instalar a válvula de pé, tomando-se o cuidado de evitar a sucção de ar.

113

UNIDADE 4 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANE NTE E UNIFORME

4.1 Conceito

Canais são condutos no qual a água escoa apresentando superfície sujeita à pressão

atmosférica.

4.2 Elementos geométricos da seção do canal 4.2.1 Seção transversal

4.2.1.1 Profundidade de escoamento (y): é a distância vertical entre o ponto mais baixo da seção

e a superfície livre. No regime de escoamento uniforme, y = yn (profundidade normal) e no regime

de escoamento crítico, y = yc (profundidade crítica).

4.2.1.2 Seção molhada (A): é toda seção perpendicular molhada pela água.

4.2.1.3 Perímetro molhado (P): é o comprimento da linha de contorno molhada pela água.

4.2.1.4 Raio hidráulico (R): é a relação entre a área molhada e o perímetro molhado.

4.2.1.5 Profundidade média ou profundidade hidráuli ca (ym): é a relação entre a área molhada

(A) e a largura da superfície líquida (B).

4.2.1.6 Talude (z): é a tangente do ângulo (α) de inclinação das paredes do canal.

Na Figura 49 são apresentados os elementos geométricos da seção transversal dos canais.

Figura 49. Elementos geométricos da seção transversal dos canais.

114

4.2.2 Seção longitudinal

4.2.2.1 Declividade de fundo (I): é a tangente do ângulo de inclinação do fundo do canal (I = tgθ).

4.2.2.2 Declividade de superfície (J): é a tangente do ângulo de inclinação da superfície livre da

água (J = tgλ).

Na Figura 50 são apresentados os elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.

Figura 50. Elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.

4.3 Classificação dos escoamentos

4.3.1 Em relação ao tempo (t)

a. Permanente ou estacionário: quando grandezas físicas de interesse como velocidade

(V), pressão (p) e massa específica (ρ) permanecem constantes com decorrer do tempo (t) num

determinado ponto do escoamento, ou seja:

0=∂∂

t

V ; 0=

∂∂

t

p ; 0=

∂ρ∂t

b. Não Permanente ou transitório: quando grandezas físicas de interesse (V, p e ρ),

variarem com decorrer do tempo (t) num determinado ponto do escoamento, ou seja:

0≠∂∂

t

V ; 0≠

∂∂

t

p ; 0≠

∂ρ∂t

115

4.3.2 Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t)

a. Uniforme: quando a velocidade média for constante em qualquer ponto ao longo do

escoamento, para um determinado tempo, ou seja:

0=∂∂L

V

b. Não Uniforme ou variado: quando a velocidade média variar em qualquer ponto ao

longo do escoamento, para um determinado tempo, ou seja:

0≠Ld

dV

A Figura 50 é um exemplo de escoamento não uniforme.

4.3.3 Em relação ao número de Froude (F r)

O número de Froude (Fr) expressa à raiz quadrada da relação existente entre as forças de

inércia e de gravidade, podendo ser escrito como:

m

rgy

VF = (adimensional)

sendo:

V - a velocidade média de escoamento.

a. Regime de escoamento crítico: ocorre para Fr = 1. Nesse caso a profundidade de

escoamento (y) é igual à profundidade crítica (yc), ou seja y = yc, podendo-se dizer que o

escoamento ocorre em regime uniforme crítico. Pode-se afirmar também que V = Vc e I = Ic, sendo

Vc a velocidade crítica e yc a profundidade crítica.

b. Regime de escoamento supercrítico ou torrencial ou rápido (T): ocorre para Fr > 1 e

a profundidade do escoamento (y) é menor que a profundidade crítica (yc), ou seja: y < yc, sendo V

> Vc e I > Ic.

116

c. Regime de escoamento fluvial ou subcrítico ou le nto ou tranquilo (F): ocorre para Fr

< 1 e y > yc, sendo V < Vc e I < Ic.

Na Figura 51 estão apresentados os regimes de escoamento em relação ao número de

Froude, sendo SC a Seção de Controle.

Figura 51. Seções de controle em um perfil de linha d’água.

Fonte: Baptista e Lara (2003)

A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e

em saídas de comportas, por exemplo. Em geral essa passagem não é feita de modo gradual. Com

efeito, observa-se uma situação de ocorrência de fenômeno bastante importante em Engenharia

Hidráulica, o Ressalto Hidráulico , que corresponde a um escoamento bruscamente variado,

caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia.

A condição de profundidade crítica implica em uma relação unívoca entre os níveis

energéticos, a profundidade, a velocidade e a vazão, criando assim uma Seção de Controle , na

qual são válidas as equações vistas no item anterior.

Em termos gerais, o nome Seção de Controle é aplicado a toda seção para a qual se

conhece a profundidade de escoamento, condicionada pela ocorrência do regime crítico ou por

uma estrutura hidráulica, ou uma determinada condição natural ou artificial qualquer, que de

alguma forma controla o escoamento. Assim, as seções de controle podem ser divididas em três

tipos distintos: “controle crítico”, “controle artificial” e “controle de canal”.

O controle crítico é aquele associado à ocorrência da profundidade crítica, separando,

portanto, um trecho de escoamento supercrítico de outro de escoamento subcrítico. Em geral

ocorre na passagem do escoamento subcrítico a supercrítico, como na crista de vertedor de

barragem, por exemplo. A passagem do escoamento supercrítico para o escoamento subcrítico

ocorre através do ressalto, não sendo possível definir-se a seção de ocorrência do regime crítico,

ou seja, a seção de controle.

117

O controle artificial ocorre sempre associado a uma situação na qual a profundidade do

fluxo é condicionada por uma situação distinta da ocorrência do regime crítico, seja através de um

dispositivo artificial de controle de vazão ou através do nível d’água de um corpo de água. Assim, a

ocorrência de um controle artificial pode ser associada ao nível de um reservatório, um curso

d’água, ou uma estrutura hidráulica, como uma comporta, por exemplo.

O controle de canal ocorre quando a profundidade de escoamento é determinada pelas

características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência do escoamento

uniforme.

As seções de controle desempenham papel extremamente importante na análise e nos

cálculos hidráulicos para determinação do perfil do nível d’água. Esta importância é devida tanto ao

fato de conhecermos a profundidade de escoamento na seção como também pela sua implicação

com o regime de escoamento, condicionando as características do fluxo. De fato, as seções de

controle constituem-se nos pontos de início para o cálculo e o traçado dos perfis de linha d’água.

De um ponto de vista prático pode ser citado que os conceitos relativos às seções de

controle permitem a adequada definição da relação “nível d’água (cota)/vazão”. Assim, para efetuar

medidas de vazões em cursos d’água, busca-se identificar seções de controle e, a partir das

equações do regime crítico, pode-se avaliar a vazão diretamente a partir da geometria,

prescindindo da determinação da velocidade de escoamento.

4.3.4 Exemplos de regime de escoamento

a. Água escoando por um canal longo, de seção constante com carga constante: o

escoamento é classificado como permanente e uniforme;

b. Água escoando por um canal de seção molhada constante, com carga crescente ou

decrescente: o escoamento é classificado como não permanente e uniforme;

c. Água escoando por um canal de seção crescente com carga constante: o escoamento é

classificado como permanente e não uniforme; e

d. Água escoando através de um canal de mesma seção reta, com seção molhada

constante, mesma declividade de fundo e mesma rugosidade das paredes: o escoamento é

classificado como permanente e uniforme. Canais com estas características são chamados de

canais prismáticos.

118

4.4 Escoamento em regime fluvial permanente e unifo rme

Do ponto de vista cinemático duas condições devem ser satisfeitas:

0=∂∂

t

V e 0=

∂∂

L

V

Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de grande comprimento, ou

seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal (com as mesmas

dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além da mesma

rugosidade das paredes. Nesse caso a superfície da água, a linha de energia e o fundo do canal

apresentam a mesma declividade (I = J).

Quando a declividade (I) é forte (I > Ic) o escoamento permanente uniforme supercrítico só

é atingido após passar por um trecho denominado zona de transição (onde o escoamento é não

uniforme ou variado), cujo comprimento dependerá principalmente das resistências oferecidas ao

escoamento (Figura 52).

Figura 52. Perfil longitudinal para um escoamento supercrítico (yn < yc).

Quando a declividade (I) é fraca, o escoamento permanente uniforme subcrítico é atingido

logo após a seção A do escoamento (Figura 53). Havendo queda na extremidade final do canal, o

escoamento deixa de ser uniforme passando a não uniforme ou variado.

Para os casos em que a declividade (I) é crítica, o escoamento se realiza em regime

permanente uniforme crítico em toda a sua extensão (Figura 54). Essa situação é instável e

dificilmente ocorre em canais prismáticos. Pode ocorrer em trechos ou seções dos canais

projetados especificamente para determinados fins como a medição de vazão, por exemplo. Na

Figura 53 pode-se observar a ocorrência do regime crítico nas seções (A) e (B) onde y = yc.

119

Figura 53. Perfil longitudinal para um escoamento subcrítico (yn > yc).

Figura 54. Perfil longitudinal para um escoamento crítico (yn = yc).

Pela ação da gravidade, nos canais de declividade fraca (Figura 53), a velocidade cresce a

partir da seção (A) para jusante e cresceria indefinidamente na ausência do atrito entre o fundo e

as paredes do canal com o líquido. O atrito, entretanto, dá origem à força de atrito ou tangencial

que se opõe ao escoamento; essa forca é proporcional ao quadrado da velocidade. É de se

esperar, portanto que a velocidade ao atingir certo valor, estabeleça um equilíbrio entre as forças

de atrito e a gravitacional; daí para frente, o escoamento é dito uniforme.

Havendo uma queda, uma mudança de seção, uma mudança de declividade (o que

provoca uma variação na velocidade) o escoamento deixa novamente de ser uniforme, passando a

não uniforme.

O estudo apresentado daqui pra frente refere-se a casos de canais operando em regime

fluvial permanente e uniforme .

120

4.5 Equações utilizadas no dimensionamento de canai s operando em regime permanente e uniforme

a) Equação de Chézy

RICV = (155)

em que:

C – coeficiente de Chézy, e pode ser calculado pelas equações apresentadas em (b) e (c), a

seguir:

b) Equação de Bazin

R

RC

+γ87=

(156)

em que: γ - coeficiente de Bazin, pode ser obtido da Tabela 3A (Apêndice 3).

c) Equação de Manning

n

RC

/ 61

= (157)

em que: n - coeficiente de Manning, pode ser obtido da Tabela 3B (Apêndice 3).

Substituindo-se a equação 157 na equação 155, a velocidade se escreve como:

21321 // IRn

V = (158)

Para a vazão, a equação de Manning se escreve como:

2/13/2== IRn

AAVQ

(159)

121

Os coeficientes C, n e γ são grandezas dimensionais, dependendo os seus valores

numéricos do sistema de unidades adotado. As equações apresentadas anteriormente são válidas

para o sistema MKgfS, ou SI (MKS) sendo: Q em m3s-1, V em ms-1, R em m; A em m2 e I em mm-1.

4.5.1 Equações para o cálculo das seções transversa is usuais

Na Tabela 2 estão apresentadas as equações para o cálculo das seções transversais

usuais de canais. Ressalta-se que todas as equações estão deduzidas no Apêndice 2.

Tabela 2. Equações para canais de seção transversal usual

Seção Área

molhada (A) Perímetro

molhado (P)

Raio hidráulico

(R)

Largura da superfície

(B)

Profundidade média (ym)

( )nn zyby +

12 2 ++ zyb n

P

A nzyb 2+

B

A

2nzy 12 2 +zyn

12 2 +z

zyn

nzy2 2ny

nby nyb 2+ P

A b ny

D2

8θ - senθ( )

θ =rd

2

Dθ

θ =rd

θ =rd

2

θsenD

θ =rd

−

28 θ

θθsen

senD

θ =rd

8

2Dπ

2

Dπ

24nyD = nyD 2=

8

Dπ

122

Ainda para o canal circular:

−=2

12

θcos

Dyn

(160)

−=D

yarccos n212θ

(161)

4.5.2 Seções de máxima eficiência

Analisando a equação:

2/1I3/2Rn

AQ =

Uma maior vazão (Q) poderá ser conseguida:

a. Aumentando-se a área (A), o que implica em maiores custos;

b. Aumentando-se a declividade de fundo (I), o que implica em perigo de erosão além de

perda de altura, para terrenos com baixa declividade; e

c. Diminuindo-se a rugosidade (n), o que implica em paredes e fundo do canal revestidos,

aumentando os custos.

A solução viável é o aumento do raio hidráulico (R) mantendo-se as outras grandezas

constantes, ou seja: para uma mesma área, uma mesma declividade de fundo e a mesma

rugosidade (n), uma maior vazão é conseguida com um aumento do raio hidráulico (R). Como R =

A/P, e já que A deverá ser mantida constante, o perímetro molhado deverá ser diminuído. Quando

o perímetro molhado for mínimo, R será máximo e Q também.

Na Tabela 3 estão apresentadas equações a serem utilizadas no dimensionamento de

canais de seções de máxima eficiência. Cabe ressaltar novamente que as equações aqui

apresentadas estão deduzidas no Apêndice 2.

123

Tabela 3. Equações para canais de máxima vazão também chamados de: canais de mínimo perímetro molhado, canais de seção econômica, canais de máxima

eficiência, canais de mínimo custo.

Seção Área molhada (A)

Perímetro molhado (P)

Raio hidráulico

(R)

Largura superficial

(B)

Profundidade média (ym)

Largura de fundo (b)

( )zzyn −+ 22 12 ( )zzyn −+ 2122 2ny

212 zyn + ( )

2

2

12

12

z

zzyn

+

−+ ( )zzyn −+ 212

22 ny ny4 2

ny ny2 ny ny2

α =45°

2ny ny22

22ny

ny2 2

ny b = 0

124

4.6 Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinaç ões admissíveis para os taludes dos canais

No dimensionamento dos canais, devemos levar em consideração certas limitações

impostas pela qualidade da água transportada e pela natureza das paredes e do fundo do canal.

Assim, a velocidade média V do escoamento deve enquadrar-se em certo intervalo:

Vmín < V < Vmáx.

Determina-se à velocidade mínima (Vmín) permissível tendo em vista o material sólido em

suspensão transportado pela água. É definida como sendo a velocidade abaixo da qual o material

sólido contido na água decanta, produzindo assoreamento no leito do canal.

A velocidade máxima (Vmáx) permissível é determinada tendo em vista a natureza das

paredes do canal. É definida como sendo a velocidade acima da qual ocorre erosão das paredes e

do fundo do canal.

O controle da velocidade, no dimensionamento das seções dos canais, pode ser feito

atuando:

a) na declividade de fundo (para evitar grandes velocidades); e

b) nas dimensões da seção transversal ou na sua forma (para evitar pequenas velocidades).

Assim, por exemplo, podem-se evitar velocidades excessivas, fazendo variar a declividade

de fundo com a formação de degraus (Figura 55a) ou construção de muros de fixação do fundo

(Figura 55b).

(a) (b)

Figura 55. Variação da declividade com a formação de degraus (a) e muros de fixação do fundo (b).

A necessidade de evitar pequenas velocidades ocorre, geralmente, em canais com grande

descarga sólida (caso dos coletores de esgotos sanitários) ou em canais submetidos a grandes

variações de vazões (caso dos canais de retificação dos cursos de água naturais).

No caso de canais submetidos a grandes variações de vazão no decorrer do ano, a seção

do canal deve ser dimensionada para suportar a vazão de cheia ou vazão de enchente. Nos

períodos de seca a velocidade pode se tornar inferior à mínima permitida. Consegue-se contornar

125

este inconveniente adotando formas de seção especiais (seções compostas) como às indicadas na

Figura 56.

(a) (b) (c)

Figura 56. Seções transversais compostas para canais com grandes variações de vazão.

Na Tabela 4 a seguir são apresentados os limites aconselháveis para a velocidade média

nos canais, transportando água limpa.

Tabela 4. Velocidades média e máxima recomendada para canais em função a natureza das paredes.

Natureza das paredes do canal Velocidade (ms-1) Média Máxima

Areia muito fina 0,23 0,30 Areia solta-média 0,30 0,46 Areia grossa 0,46 0,61 Terreno arenoso comum 0,61 0,76 Terreno silt-argiloso 0,76 0,84 Terreno de aluvião 0,84 0,91 Terreno argiloso compacto 0,91 1,14 Terreno argiloso, duro, solo cascalhento 1,22 1,52 Cascalho grosso, pedregulho, piçarra 1,52 1,83 Rochas sedimentares moles-xistos 1,83 2,44 Alvenaria 2,44 3,05 Rochas compactas 3,05 4,00 Concreto 4,00 6,00

Havendo material sólido em suspensão, recomenda-se:

a. Velocidades médias mínimas para evitar depósitos:

Águas com suspensões finas 0,30 ms-1

Águas transportando areias finas 0,45 ms-1

Águas residuárias (esgotos) 0,60 ms-1

b. Velocidades práticas:

Canais de navegação, sem revestimento até 0,50 ms-1

Aquedutos de água potável 0,60 a 1,30 ms-1

Coletores e emissários de esgoto 0,60 a 1,50 ms-1

126

Outra limitação prática que deve ser levada em consideração, na definição da forma da

seção do canal, principalmente no caso das seções trapezoidais, é a inclinação das paredes

laterais. Esta inclinação depende, principalmente, da natureza das paredes, estando indicados na

Tabela 5, valores máximos aconselháveis para o caso das seções trapezoidais e triangulares.

Tabela 5. Valores máximos aconselháveis para inclinação das paredes laterais dos canais trapezoidais e triangulares

Natureza das paredes do canal θ z = tgθ Canais em terra sem revestimento 68,2° a 78,7° 2,5 a 5 Canais em saibro, terra porosa 63,4° 2 Cascalho roliço 60,2° 1,75 Terra compacta sem revestimento 56,3° 1,5 Terra muito compacta, paredes rochosas 51,4°. 1,25 Rocha estratificada, alvenaria de pedra bruta 26,5°. 0,5 Rocha compacta, alvenaria acabada, concreto 0° 0

4.7 Folga dos canais

Na prática é sempre conveniente reforçar, por medida de segurança, as dimensões do

canal. Depois de dimensionado o canal para escoar a vazão de projeto, é usual estabelecer uma

folga de 20 a 30% na sua altura (yn). Esta folga além de contrabalancear a diminuição de sua

capacidade, causada pela deposição de material transportado pela água e crescimento de

vegetação (caso de canais de terra), evita também transbordamento causado por água de chuva,

obstrução do canal etc.

O procedimento adotado é o seguinte:

a. Traça-se o canal conforme o cálculo, isto é, conservam-se os valores de b, z, yn;

b. Aumenta-se a altura yn de 20 a 30% e traça uma paralela ao fundo do canal, passando pelo

novo valor de yn; e

c. Prolonga-se a reta correspondente ao talude do canal até tocar a paralela.

Deste modo, somente a largura da superfície do canal (B) é alterada.

127

4.8 Velocidade máxima e vazão máxima em canais circ ulares

De acordo com as equações 158, 159 e Tabela 2, observa-se que:

21321 // IRn

V = (158)

2132 // IRn

AQ =

(159)

−=θ

θsenDR 1

4

(162)

( )θθ senD

A −=8

2

(163)

Substituindo a equação 164 em 160, vem:

32

32

213221

32

14

14

1/

/

///

/sen

n

IDI

senD

nV

−=

−=θ

θθ

θ

Derivando V em relação à θ para D, n, I constantes e igualando a zero, tem-se:

0=

θθ−θ��θ−

θθ−1

32

4=

θ∂∂

2

3/1−

3/2

2/13/2 sensen

n

IDV

0=− θθθ cossen (: cosθ )

θθ =tg

°== 257494 rd,θ (para V máximo)

Pela equação 162, sabe-se que:

−=2

θcos1

2

Dyn

−=2

257cos1

2

Dyn

D,yn 810= (para V máximo)

128

Substituindo, agora, a equação 164 e 165 em 161, vem:

( )

( ) ( )32

35

313

213832

313

2138

21

322

21

2

148

1

/

/

/

///

/

//

/

/

sen

n

IDsensen

n

IDQ

IsenD

senD

nQ

θθθ

θθθθ

θθθθ

−=

−−=

−

−=

Derivando Q em relação à θ , para D, n, I constantes, igualando a zero e fazendo as

devidas simplificações, chega-se à seguinte expressão:

032 =+− θθθθ sencos

cuja solução é:

3083795 == rd,θ ° (para Q máximo)

Usando novamente a equação 162 vem:

−=2

12

θcos

Dyn

−=2

3081

2cos

Dyn

Dyn 95,0= (para Q máximo)

Resumindo, tem-se:

a. Para V máximo: °= 257θ e D,yn 810=

b. Para Q máximo: °= 308θ e D,yn 950=

Observação : A partir de yn = 0,95D, pequenos acréscimos em yn ocasionam pequenos acréscimos

na área molhada e maiores acréscimos no perímetro molhado, o que diminui o raio hidráulico (R),

diminuindo consequentemente a vazão (Q), o que pode ser melhor entendido no exemplo

apresentado a seguir.

Mantendo-se, n, I constantes e D = 1 m, pela equação 161, tem-se:

129

2132 // IRn

AQ =

Fazendo: Kn

I /

=21

, tem-se: 32 /KARQ = , sendo k uma constante e para yn = 0,95D chega-

se a:

yn = 0,95 m

−=D

yarccos n2

12θ

ord, 3083795 ==θ

( )θθ senD

A −=8

2

7710,A = m2

68922

,D

P == θ m

2870,P

AR == m

( ) K,,,KQ / 335028707710 32 == (máxima vazão)

Aumentando o valor de ny para 0,98 m:

°==

−= 5327715212 ,rd,D

yarccos nθ

85522

,D

P == θ m

( ) 78108

2

,senD

A =−= θθ m2

130

273014

,senD

R =

−=θ

θ m

( ) K,,,KQ / 329027307810 32 ==

Nota-se que quando yn aumenta de 0,95 m para 0,98 m, a vazão diminui, passando de

0,355k para 0,329k.

Observações:

a. Nas condições se máxima vazão, o escoamento é hidraulicamente instável, podendo o canal

circular trabalhar como conduto forçado para um acréscimo de ny , o que seria desastroso no caso

de uma rede de esgoto. Por medida de segurança, aceita-se como limite prático a relação:

750,D/yn = (NBR-568).

b. A vazão escoada para a relação yn = 0,82 iguala-se a vazão escoada para o canal a seção plena

(ver Figura 3A, Apêndice 3).

c. A velocidade média a plena seção é igual à velocidade média a meia seção porque o raio

hidráulico é o mesmo; em razão disto a vazão a plena seção é o dobro da vazão a meia seção, já

que a área a plena seção é o dobro da área a meia seção (Ver Figura 3A, Apêndice 3).

4.9 Diagrama para canais circulares funcionando par cialmente cheios

Este estudo é de grande importância, pois como os canais circulares dificilmente

funcionam a plena seção (seção cheia), os cálculos da velocidade, do raio hidráulico, da vazão,

entre outros, à seção parcialmente cheia, são facilmente obtidos com o uso desse diagrama. O

diagrama é obtido relacionando-se os elementos do canal de seção qualquer com esses mesmo

elementos a seção plena, como apresentado a seguir (ver Tabela 2), lembrando que para todas as

relações, θ deve ser tomado em radianos ( θ = rd).

4.9.1 Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a seção cheia (A 0)

( )θ−θ8

=2

senD

A e 4

2

0

DA

π=

π2

1

0

=A

A ( )θθ sen− sendo

−=D

yarccos n212θ

131

4.9.2 Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R 0)

−=θ

θsenDR 1

4 e

44

2

0

D

D

D

R ==π

π

θ

θsen

R

R −= 10

4.9.3 Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V 0)

3232212132 1

4

11//

/// senDI

nIR

nV

−

==θ

θ e 21

32

0 4

1 //

ID

nV

=

32

0

1/

sen

V

V

−=θ

θ

4.9.4 Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazã o a seção plena (Q 0)

( )32221

2132 148

//// senD

senD

n

IIR

n

AQ

−−==θ

θθθ 32221

0 44

// DD

n

IQ

= π

( )3532

0

12

12

1//

sensensen

Q

Q

−=

−−=θ

θπθ

θθθθ

π

4.9.5 Relação entre um perímetro molhado qualquer ( P) e o perímetro molhado a seção plena (P0)

2

DP

θ= e DP π=0 π

θ20

=P

P

De posse dessas relações

etc,

R

R,

Q

Q

00

, e variando-se a relação D/yn no intervalo de

0 ≤ D/yn ≤ 1, traçam-se gráficos que facilitam grandemente os trabalhos de cálculo dos

elementos hidráulicos dos canais de seção circular (Figura 3A, Apêndice 3).

132

4.10 Dimensionamento das seções dos canais

A fórmula de Manning (equação 59) para o cálculo da vazão é dada por:

2132 // IRn

AQ =

Sendo p

AR = , a equação acima pode ser escrita como:

2132

3521

321 /

/

//

/

IP

A

nI

P

A

n

AQ =

=

Separando-se as variáveis de projeto, supostamente conhecidas (n, Q, I), vem:

32

35

/

/

P

A

I

nQ = .

Nesta equação válida para qualquer seção, o segundo membro depende somente da

geometria da seção do canal. Apresenta-se a seguir, a adequação da referida equação para as

seções: circulares, trapezoidais, retangulares e triangulares.

4.10.1 Seções circulares

32

35

/

/

P

A

I

nQ = (164)

( )θθ senD

A −=8

2

(165)

2

DP

θ= (166)

133

Substituindo as equações 165 e 166 em 164, vem:

n Q

I=

D2

8θ − senθ( )

53

θ D2

23

(167)

Supondo conhecido D, além de n, Q, I, a equação (167) pode ser escrita como:

( )( )

32313

3538

32

352

2

2

8//

//

/

/

senD

D

senD

I

nQ

θθθ

θ

θθ−=

−

= (168)

( )32313

35

38 2 //

/

/

sen

ID

nQ

θθθ −=

O ângulo θ pode ser calculado por:

−=D

yarccos n212θ

(161)

Atribuindo-se valores a /Dyn , no intervalo 1/Dyn ≤≤0 , calcula-se θ pela equação (161) e

consequentemente ID

nQ/ 38

, pela equação 168. Assim é possível construir parte da Figura 3B

(curva 1, Apêndice 3).

Por outro lado, quando se conhece ny , além de n, Q, I e dividindo-se ambos os membros

da equação 167 por 38/ny , tem-se:

( )3/23/13

3/53/8

3/8 2

-

θθθ sen

D

y

Iy

nQ n

n

−

= (169)

134

Novamente, atribuindo-se valores a D/yn calcula-se θ pela equação 161. Com D/yn e

θ calcula-se Iy

nQ/

n38

pela equação 169. Assim, é possível construir a outra parte da Figura 3B

(curva 2, Apêndice 3).

4.10.2 Seções trapezoidais e retangulares

4.10.2.1 Determinação da largura de fundo (b)

Neste caso supõem-se conhecidos n, Q, I, z e ny . Tomando-se a equação geral para o

cálculo da vazão, tem-se:

32

35

/

/

P

A

I

nQ = (164)

Para canais trapezoidais (Tabela 2), tem-se:

( )nn zybyA += e 12 2 ++= zybP n

Substituindo-se A e P na equação 164, escreve-se:

( )[ ][ ] 3/2

23/2

3/53/5

3/22

3/5

1+2+

+

=1+2+

+=

zy

by

zy

byy

zyb

zyby

I

nQ

nn

nnn

n

nn

3/22

3/5

3/83/2

2

3/5

3/2

3/10

1+2+

+

=

1+2+

+

=

zy

b

zy

b

y

zy

b

zy

b

y

y

I

nQ

n

nn

n

n

n

n

32

2

35

38

12/

n

/

n

/n

zy

b

zy

b

Iy

nQ

++

+

=

(170)

135

Fixando-se z e atribuindo-se valores a b/yn , pode-se calcular Iy

nQ

n3/8 pela equação 170

e deste modo construir a curva 2 da Figura 57.

Para canais retangulares, basta usar a curva construída para z = 0.

4.10.2.2 Determinação da profundidade normal ( ny )

Supõem-se conhecidos agora: n, Q, I, z e b.

Retornando-se a equação 164, e procedendo-se analogamente ao que foi feito para

obtenção da equação 170, tem-se:

32

35

/

/

P

A

I

nQ = (164)

( )[ ][ ] 3/2

2

3/5

3/22

3/5

1+2+1

+1=

1+2+

+=

zb

yb

b

yzby

zyb

zyby

I

nQ

n

nn

n

nn

32

232

35

310

32

2

35

2

121

1

121

1

/

n/

/

nn/

/

n

/

nn

zb

yb

b

yz

b

yb

zb

yb

b

yz

b

yb

I

nQ

++

+=

++

+=

322

35

38

121

1

/

n

/

nn

/

zb

y

b

yz

b

y

Ib

nQ

++

+= (171)

Fixando-se z e atribuindo-se valores a b/yn , pode-se calcular Ib

nQ/ 38

pela equação 171,

obtêm-se assim a Figura 58.

Para casos de canais retangulares basta usar a curva construída para z = 0.

136

4.10.3 Seções triangulares

Supõem-se conhecidos n, Q, I e z, onde a incógnita do problema é a profundidade normal (

ny ).

Procedendo-se analogamente ao que foi feito para obtenção das equações 170 e 171, tem-

se:

32

35

/

/

P

A

I

nQ = (164)

2nzyA = e 12 2 += zyP n

( )( ) ( ) ( ) 32

2

3538

32

310

322

35

322

352

121212/

//

n/n

/n

/

/

/

n

/

n

z

zy

y

y

z

z

zy

zy

I

nQ

+=

+=

+=

( ) 322

35

38

12/

/

/n z

z

Iy

nQ

+=

(172)

Atribuindo-se valores a z, pode-se calcular Iy

nQ/

n38

pela equação 18, construindo-se assim

a Figura 59.

4.11 Exercícios de Aplicação 4.11.1 Quando se conhece as dimensões do canal

É o caso do canal já construído, onde se utilizam as equações:

21321 // IRn

V = e AVQ =

R e A são tirados das Tabelas 2 (canais de seção qualquer) ou Tabela 3 (canais de seção de

máxima eficiência).

Pode-se também utilizar as Figuras 55 a 59, para a obtenção de resultados aproximados, e

de modo mais rápido.

137

a. Tem-se um canal de seção trapezoidal com talude 1:1, executado em concreto não muito liso,

com declividade de 0,4%. Determinar qual a vazão capaz de escoar em regime uniforme, com uma

profundidade da água de 0,40 m e uma largura de fundo de 0,30 m.

n = 0,014 (Tabela 7)

z = 1

b = 0, 30 m

yn = 0,40 m

I = 0,4% = 0,004 mm-1

Solução:

a.1. Uso das equações (Tabela 2):

43112 2 ,zybP n =++= m

( ) 280,zybyA nn =+= m2

1960,P

AR == m

5111 2132 ,IRn

V // == ms-1

4230511280 ,,.,AVQ === m3s-1 = 423 Ls-1 (resultado mais preciso)

a.2. Uso da Figura 57:

331300

400,

,

,

b

yn ==

Para z = 1, tem-se pela Figura 10:

1138

,Ib

nQ/

=

431,0=014,0

004,040,0×1,1=5,03/8

Q m3s-1= 431 Ls-1


138

Para b/yn = 1,33 e z = 1, tem-se:

4238

,Ib

nQ/

=

437,0=014,0

004,0.3,0.4,2=5,03/8

Q m3s-1= 437 Ls-1

b. Calcular a vazão de uma calha de seção triangular de estrada de rodagem para: z = 2, n =

0,017, yn = 0,07 m e I = 0,03 mm-1. Qual é a perda de carga no canal (hf) para um comprimento (L)

de 500 m?

Solução:

b.1. Uso das equações (Tabela 2):

009802 ,zyA n == m2

313012 2 ,zyP n =+= m

031310,P

AR == m

0111 2132 ,IRn

V // == ms-1

010,0=01,1×0098,0=.= VAQ m3s-1 10= Ls-1

15=500×03,0== ILhf m

b.2. Uso da Figura 59:

Para z = 2, tem-se pela Figura 59:

2138

,Ib

nQ/

=

010,0=017,0

03,0.07,0.2,1=5,03/8

Q m3s-1 = 10 Ls-1

c. Um canal de seção trapezoidal, de taludes inclinados de α = 45° e de declividade de fundo de

40 cmkm-1, foi dimensionado para uma determinada vazão Q0, tendo-se chegado às dimensões da

figura apresentada a seguir. Nestas condições pede-se para n = 0,02, o valor da vazão de projeto

Q0.

139

Solução:

c.1. Uso das equações (Tabela 2)

n = 0,02

tg α = tg 45º = 1

I = 40 cmkm-1 = 0,0004 mm-1

yn = 1,50 m

b = 1,66 m

90351151266112 2 ,.,.,zybP n =++=++= m

( ) 74451166151 ,),.,.(,zybyA nn =+=+= m2

8030,P

AR == m

8640000408030020

11 21322132 ,,.,,

IRn

V //// === ms-1

095,4=864,0×74,4== AVQ m3s-1= 4095 Ls-1 (resultado mais preciso)

c.2. Uso da Figura 57:

903,0=66,1/5,1=/byn

Para z = 1, tem-se, pela Figura 57:

140

4138

,Ib

nQ/

=

1,4=02,0

0004,0.5,1.4,1=5,03/8

Q m3s-1 = 4100 Ls-1

c.3. Uso da Figura 58:

Para b/yn = 0,90 e z = 1, tem-se:

06,1=3/8 Ib

nQ

095,4=02,0

0004,0×66,1×06,1=5,03/8

Q m3s-1= 4095 Ls-1

d. Verificar se o canal do exercício anterior será de mínimo perímetro molhado, caso o nível da

água atinja o nível de transbordamento.

Solução:

yn = 1,50 + 0,5 = 2,0 m

n = 0,02

z = 1

I = 0,0004 mm-1

b = 1,66 m

Se o calculo do perímetro molhado (P1) feito com a equação da Tabela 2, coincidir com o

perímetro (P2) feito com a equação da Tabela 3, o canal será de mínimo custo.

31,7=1+12.2+66,1=1+2+= 21 zybP n m

( ) 22122 22 .zzyP n =−+= ( ) 3171112 ,=−+ m

O canal será, portanto de mínimo custo para yn = 2,0 m.

4.11.2 Quando se deseja conhecer as dimensões do ca nal

141

Neste caso se conhece a vazão de projeto (Q), a declividade de fundo (I), a rugosidade das

paredes (n) e o talude das paredes do canal (z).

A solução desse tipo de problema é bastante simplificada com o uso das Figuras 3A a 3E

do Apêndice 3. Pode-se também utilizar com um grau de dificuldade maior as equações 158 e 159,

associadas as equações das Tabelas 2 e 3.

a. Supondo que o projeto do exercício c do item 4.11.1 venha a ser refeito com a vazão Q1 = 8 m3/s

e que a seção deva ser retangular, qual a sua profundidade a fim de que o canal seja de mínimo

perímetro molhado?

Solução:

Trata-se do dimensionamento de um canal retangular de máxima vazão.

Para z = 0, b/yn = 0,5 (Tabela 2)


Para z = 0 e b/yn = 0,5, tem-se:

3,13/8

=Iy

nQ

n

98,1=

0004,0×3,18×02,0=

8/3

5,0ny m


Levando o valor de b/yn = 0,5 à Figura 58, tem-se:

Ib

nQ3/8

= 0,2

b =( ) 4=

0004,02,08×02,0

8/3

2/1

m

50,yn = b 2=ny m

a.3. Uso da equação 158 e Tabela 3:

142

2132 // IRn

AQ =

8

000402020

28

3

502

=

=

n

,nn

y

,y

,

y

2=ny m

b. Um canal de seção triangular de mínimo perímetro molhado, revestido de tijolos rejuntados com

argamassa de cimento, tem uma descarga de 4 m3s-1. Supondo que a declividade seja de 0,0016,

calcular a altura do nível da água no canal.

Solução:

z = 1 (mínimo perímetro molhado)

n = 0,013 (Tabela 7)

Q = 4 m3s-1

I = 0,0016 mm-1

yn = ?

b.1. Uso da Figura 59:

Para z = 1:

Iy

nQ

n3/8

= 0,5

43,1=

0016,0×5,04×013,0=

5,0=

8/3

2/1

8/3

2/1I

nQyn m

b.2. Uso das equações da Tabela 2:

2/13/2 IRn

AQ = onde:

2nyA= e

22

yR n=

5,03/22

0016,0

22013,0=4 nn yy

6238 ,y /n = ∴ 43,1=ny m

143

c. Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão

de 2,365 Ls-1 quando estiver 75% cheia. Que diâmetro deverá ser usado?

Solução:

n = 0,016 (Tabela 7)

I = 0,0002 mm-1

Q = 2,365 m3s-1

yn/D = 0,75

c.1. Usando a curva 1 da Figura 56:

Para D/yn = 0,75, obtém-se:

28038

,ID

nQ/

=

33,2=

0002,0×28,0365,2×016,0=

28,0=

375,0

5,0

375,0

2/1I

nQD m

c.2. Usando a curva 2 da Figura 56:

6038

,Iy

nQ/

n

=

375,0

5,0

0002,0×6,0365,2×016,0=ny

75,1=ny m

75,0/ =Dyn ∴ 332,D = m

c.3. Usando a curva de vazão da Figura 55:

Para 75,0/ =Dyn , tem-se:

9300

,Q

Q = , sendo 1/22/30

00 IR

n

AQ =

2/13/22

2/13/20

0

44π93,0=93,0= I

DD

nIR

n

AQ

144

5,03/83/5 0002,0×

414,3

016,093,0=365,2 D

30,2=D m

d. Para abastecer Belo Horizonte, a adutora do Rio das Velhas tem um trecho em canal com seção

circular, construído em concreto moldado no local, por meio de formas metálicas. Os dados deste

trecho são:

D = 2,40 m I = 1 mkm-1 n = 0,012

O abastecimento foi previsto para três etapas:

1ª etapa: Q1 = 3 m3s-1;

2ª etapa: Q2 = 6 m3s-1;

3ª etapa: Q3 = 9 m3s-1.

Pede-se:

a. A velocidade máxima e a vazão máxima;

b. Os valores das alturas de lâmina de água em cada etapa.

Solução:

a. Velocidade máxima e a vazão máxima:

a.1. Uso da Figura 3A, Apêndice 3:

Para 95,0/ =Dyn , onde ocorre a vazão máxima, tem-se:

07510

,Q

Qmáx =

Para 81,0/ =Dyn , onde ocorre a velocidade máxima, tem-se:

13910

,V

Vmáx =

52,44

2

0 == DA

π m2

60,040 == D

R m

145

( ) 473800104

600

0120

524 5032

21320

00 ,,

,

,

,IR

n

AQ ,

/// =

== m3s-1

87,14,2

473,842

0

00 =

××==

πA

QV ms-1

Qmáx = 1,075 Q0 ∴ Qmáx = 9,092 m3s-1

Vmáx= 1,139 V0 ∴ Vmáx = 2,13 ms-1

a.2. Uso da Figura 3B, Apêndice 3:

Para Dyn / = 0,95. Usando a curva 1 da Figura 9 para 0,95/Dyn = tem-se:

33038

,ID

nQ/

máx =

012,0001,0×4,2×33,0=

2/13/8

máxQ

98,8=máxQ m3s-1

3795,=θ rd (para Qmáx)

( ) 43,48

2

=−= θθ senD

A m2

03,2=43,498,8==

A

QV máx

máx ms-1

b. Valores das alturas de lâmina de água em cada etapa:

b.1. Usando a Figura 3A, Apêndice 3:

35404738

3

0

1 ,,Q

Q== ; 40901 ,

D

yn = ; 9801

,yn = m

70804738

6

0

2 ,,Q

Q== ; 6102 ,

D

yn = ; 4612

,yn = m

0614738

9

0

3 ,,Q

Q== ; 8603 ,

D

yn = ; 0623

,yn = m

146

b.2. Usando a Figura 56:

11,0=001,04,2

3×012,0= 2/13/82/13/81

ID

nQ

22,0=001,04,2

6×012,0= 2/13/82/13/82

ID

nQ

33,0=001,04,2

9×012,0= 2/13/82/13/83

ID

nQ

Pela curva 1 da Figura 56, tem-se:

4,0=1

D

yn ∴ 96,0=40,2×4,0=

1ny m

6,0=2

D

yn

m ∴ 44,1=40,2×6,0=

2ny m

86,0=3

D

yn ∴ 06,2=40,2×86,0=

3ny m


1) Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5:1,

declividade de fundo Io = 30 cm/km, foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Qo,

tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b = 1,75 m e altura de água yo = 1,40 m.

a) Qual a vazão de projeto?

b) A seção encontrada é de mínimo perímetro molhado?

c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m3/s e a seção é retangular, em concreto,

qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior?

2) Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n =

0,013 e declividade de fundo Io = 2,5 x 10-3 m/m transporta, em condições de regime permanente e

uniforme, uma vazão de 1,20 m3/s.

a) Dimensione a altura d’água.

b) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão?

147

3) Um canal trapezoidal, em reboco de cimento não completamente liso, com inclinação dos

taludes 2:1, está sendo projetado para transportar uma vazão de 17 m3/s a uma velocidade média

de 1,20 m/s. Determine a largura de fundo, a profundidade em regime uniforme e a declividade de

fundo para a seção hidráulica de máxima eficiência.

4) Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m3/s, com uma

declividade de fundo Io = 0,0005 m/m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A

inclinação dos taludes é de 0,5:1 e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em

condições regulares. Determine a altura d’água e a largura de fundo.

5) Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da

meia seção para a seção de máxima velocidade?

6) Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas

canalizações em série, com as seguintes características:

Trecho 1 – Diâmetro: D1 = 150 mm; Declividade: I1 = 0,060 m/m.

Trecho 2 – Diâmetro: D2 = 200 mm; Declividade: I2 = 0,007 m/m.

Determine as vazões máxima e mínima no trecho para que se verifiquem as seguintes condições

de norma:

a) Máxima lâmina d’água: y = 0,75D.

b) Mínima lâmina d’água: y = 0,20D.

c) Máxima velocidade: V = 4,0 m/s.

d) Mínima velocidade: V = 0,50 m/s.

Coeficiente de rugosidade de Manning, n = 0,013.

7) Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4:1,

transporte 6 m3/s, com uma velocidade média igual a 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade, n =

0,025.

8) Determine a relação de vazões entre um canal trapezoidal em taludes 1:1, largura de fundo igual

a três vezes a altura d’água e um canal trapezoidal de mesmo ângulo de talude, mesma área

molhada, mesma rugosidade e declividade de fundo, trabalhando na seção de mínimo perímetro

molhado.

148

9) Demonstre que o raio hidráulico de um canal trapezoidal na seção de mínimo perímetro

molhado, para qualquer ângulo de talude, é igual à metade da altura d’água.

10) Uma galeria de águas pluviais de diâmetro D transporta uma determinada vazão com uma área

molhada tal que Rh = D/6. Nestas condições, calcule as relações V/Vp e Q/Qp.

11) Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de

mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em

regime permanente e uniforme.

Gabarito:

1) a) Q = 4,35 m3/s; b) Não; c) yo = 1,57 m

2) yo = 0,82 m; b) Q = 1,29 m3/s

3) b = 1,13 m; yo = 2,39 m; Io = 0,00022 m/m

4) yo = 1,56 m; b = 1,95 m

5) ∆Q = 97,6%

6) Qmáx = 0,025 m3/s; Qmín = 0,0033 m3/s

7) Imín = 3,2 x 10-4 m/m

8) Q1/Q2 = 0,95

9) -

10) V/Vp = 0,762; Q/Qp = 0,183

11) Ic/Ir = 0,84

149

UNIDADE 5 – VERTEDORES

5.1 Conceito

Vertedores são estruturas hidráulicas utilizadas para medir indiretamente a vazão em

condutos livres por meio de uma abertura (entalhe) feita no alto de uma parede por onde a água

escoa livremente, apresentando, portanto a superfície sujeita à pressão atmosférica.

São utilizados na medição de vazão de pequenos cursos d’água, canais ou nascentes,

geralmente inferiores a 300 L/s.

5.2 Partes constituintes

Na Figura 57 tem-se a representação esquemática das partes componentes de um vertedor.

H = carga hidráulica;

P = altura do vertedor;

B= largura da seção transversal do

curso d`água;

L = largura da crista da soleira do

vertedor.

Figura 57. Vista transversal de um vertedor.

5.3 Classificação 5.3.1 Quanto à forma:

Os vertedores mais usuais possuem as seguintes formas de seção transversal: retangular,

triangular, trapezoidal e circular. Ressalta-se que na Figura 57 está apresentado um vertedor

retangular.

5.3.2 Quanto à espessura (natureza) da parede (e)

• Parede delgada (e < 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor não é suficiente para

que sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.

• Parede espessa (e > 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor é suficiente para que

sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.

150

Figura 58. Vista longitudinal do escoamento da água sobre a soleira do vertedor.

5.3.3 Quanto ao comprimento da soleira (L)

• Vertedor sem contração lateral (L = B): o escoamento não apresenta contração ao passar

pela soleira do vertedor, se mantendo constantes antes e depois de passar pela estrutura

hidráulica (Figuras 59a, 59b).

• Vertedor com contração lateral (L < B): nesse caso a linha de corrente se deprime ao

passar pela soleira do vertedor, podendo-se ter uma (Figuras 59c, 59d) ou duas contrações

laterais (Figuras 59e, 59f)

(a) (b)

(c)

(e) Figura 59. Vertedor: (a) sem contração lateral; (b) vista de cima sem contração

contração lateral; d) vista de cima com uma contração lateral

duas contrações laterais; e (f) vista de cima com duas contrações laterais

direito e esquerdo).

5.3.4 Quanto à inclinação da face de montante

Denomina-se face de montante o lado da estrutura do vertedor que está em contato com a

água, conforme apresentada na Figura 60

(a)

Figura 60. Face de montante: (a) na

5.3.5 Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P ’) e a altura do vertedor (P):

O vertedor pode funcionar de duas diferentes formas. Quando operado em condições de

descarga livre, o escoamento acontece livremente a jusante da parede do vertedor, onde atua a

pressão atmosférica (Figura 61a). Esta é a situação que mais tem sido estudada e a mais prática

para a medição da vazão, devendo por isso ser observada quando na instalação do

A situação do vertedor afogado

poucos estudos sobre ela e é difícil medir a carga hidráulica H para o cálculo da vazão. Além disso,

o escoamento não cai livremente a jusante do vertedor.

151

(d)

(f)

Vertedor: (a) sem contração lateral; (b) vista de cima sem contração

contração lateral; d) vista de cima com uma contração lateral – linha de corrente deprimida (lado direito); (e)

duas contrações laterais; e (f) vista de cima com duas contrações laterais – linha de corrente deprimida (lado

Quanto à inclinação da face de montante

se face de montante o lado da estrutura do vertedor que está em contato com a

onforme apresentada na Figura 60.

(b)

Face de montante: (a) na vertical; (b) inclinado a montante; e (c) inclinado a jusante.

Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P ’) e a altura do vertedor (P):


, o escoamento acontece livremente a jusante da parede do vertedor, onde atua a

a). Esta é a situação que mais tem sido estudada e a mais prática

para a medição da vazão, devendo por isso ser observada quando na instalação do

vertedor afogado (Figura 61b) deve ser evitada na prática, pois existem


o escoamento não cai livremente a jusante do vertedor.

Vertedor: (a) sem contração lateral; (b) vista de cima sem contração lateral; (c) com uma

linha de corrente deprimida (lado direito); (e)

linha de corrente deprimida (lado

se face de montante o lado da estrutura do vertedor que está em contato com a

(c)

vertical; (b) inclinado a montante; e (c) inclinado a jusante.

Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P ’) e a altura do vertedor (P):


, o escoamento acontece livremente a jusante da parede do vertedor, onde atua a

a). Esta é a situação que mais tem sido estudada e a mais prática

para a medição da vazão, devendo por isso ser observada quando na instalação do vertedor.

b) deve ser evitada na prática, pois existem


152

(a) (b)

Figura 61. (a) vertedor operado em condições de descarga livre (P > P’); e (b) vertedor afogado (P < P’).

5.4 Equação geral da vazão para vertedores de pared e delgada, descarga livre, independentemente da forma geométrica

Para obtenção da equação geral da vazão será considerado um vertedor de parede delgada

e de seção geométrica qualquer (retangular, triangular, circular etc), desde que seja regular, ou

seja, que possa ser dividida em duas partes iguais. Na Figura 62 está apresentada uma vista

longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção de vertedor.

As seguintes hipóteses são feitas na dedução da equação geral:

• Escoamento permanente;

• A pressão na cauda é nula (abaixo e acima da cauda tem-se Patm);

• O valor de P é suficientemente grande para se desprezar a velocidade de aproximação (V0);

• Distribuição hidrostática das pressões nas seções (0) e (1);

• Escoamento ideal entre as seções (0) e (1), isto é, ausência de atrito entre as referidas

seções e incompressibilidade do fluido (densidade constante);

• Par de eixos coordenados (x, y) passando pelo centro da soleira do vertedor, de modo a

dividi-la em duas partes iguais; e

• Seção (1) ligeiramente a jusante da crista do vertedor.

153

Figura 62. Vista longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção do vertedor.

Sendo o escoamento permanente, considerando a seção (1) localizada ligeiramente à

jusante da crista do vertedor (onde a pressão é nula) e empregando a equação de Bernoulli entre

as seções (0) e (1), para a linha de corrente genérica AB, com referência em A, tem-se:

1

21

0

2

Zg2

VPZ

g2

VP100 ++

γ=++

γ (173)

Considerando o plano de referência passando pelo ponto A, tem-se:

)yH-H(g2

V000H 0

2th

0 +++=++ (174)

Para todas as situações em que o escoamento for tratado como ideal, a velocidade será

sempre ideal ou teórica (Vth), como aparece na equação (174). Pela mesma razão quando se trata

da vazão, ela também será ideal ou teórica (Qth).

Da equação (174) chega-se a:

)y-H(g2Vth = (distribuição parabólica) (175)

A vazão teórica que escoa através da área elementar dA mostrada na Figura 62, é dada

por:

154

dAV2

dQth

th = (176)

sendo:

dyxdA = (177)

Dessa forma, a vazão teórica elementar é dada por:

dyxV2dAV2dQ ththth == (178)

Subtituindo a equacao (175) na (178), chega-se a:

dyx)y-H(g22dQth = (179)

que integrada nos limites de zero a H, permite calcular a vazão teórica para todo vertedor, ou seja:

dy)yH(xg22QH

0

21

th ∫ −= (180)

em que x é função de y.

Na equação (180) deve ser introduzido um coeficiente (CQ), determinado experimentalmente,

o qual inclui o efeito dos fenômenos desprezados nas hipóteses feitas na dedução da equação

geral. Desta forma, para condições de escoamento real sobre um vertedor de parede delgada, a

expressão geral para a vazão (Q) é dada por:

dy)yH(xCg22QH

0

21

Q ∫ −= (181)

O coeficiente CQ, denominado de coeficiente de vazão ou de descarga, corrige todas as

hipóteses feitas na dedução da equação (181). Vale a pena salientar que esta equação só se

aplica aos casos em que o eixo y divide o vertedor em duas partes iguais, que são os casos mais

comuns na prática.

Será apresentada na sequência a obtenção da equação 181 para os casos particulares de

vertedor retangular e triangular em condições de descarga livre.

155

5.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em cond ições de descarga livre

De acordo com a Figura 63 pode-se observar que x (metade da soleira L) é constante para

qualquer valor de y, podendo-se escrever:

2

L)y(fx == (182)

Figura 63. Vertedor retangular sem contrações laterais.

Substituindo a equação (182) na equação (181), tem-se:

dy)yH(LCg22dy)yH(2/LCg22QH

0

21

Q

H

0

21

Q ∫∫ −=−= (183)

Fazendo: H – y = u, diferenciando-se e mudando os limites da integral para variável (u),

tem-se:

-dy = du (184)

u = H (para y=0) (185)

u = 0 (para y = H) (186)

Substituindo as equações (184), (185), (186) na parte que se refere a integral da equação

(183), tem-se:

2/3H

0

2/10

H

2/1H

0

2/1 H3

2duu)du-(udy)y-H(∫ === ∫∫ (187)

Substituindo a equação (187) na equação (183), chega-se a:

156

2/3Q HLCg2

3

2Q = (188)

que é a equação válida para vertedor retangular de parede delgada, sem contrações laterais.

O valor de CQ (coeficiente de descarga) foi estudado por vários pesquisadores como: Bazin ,

Rehbock , Francis , sendo encontrado em função de H e de P na Tabela 4A do Apêndice 4.

Francis obteve, por meio de estudos experimentais, o valor de CQ para vertedor retangular

sem contração lateral igual a 0,6224. Substituindo na equação (188) o valor do CQ obtido por

Francis e g igual a 9,81 m.s-2, tem-se:

Q = 1,838 L H3/2 (189)

em que:

Q = vazão (m3s-1);

L = comprimento da soleira (m); e

H = altura de lamina (m).

Deve-se salientar que na equação (188), o valor da aceleração da gravidade (g) já esta

implícito no coeficiente numérico apresentado, devendo-se respeitar as unidades apresentadas

para L, H e Q.

� Com contração lateral (correção de Francis)

Quando o vertedor possui contrações laterais pode-se deduzir a equação como feita para o

caso anterior. Por razões de simplicidade, Francis propôs usar a equação (189) trocando-se L por

L’, conforme apresentado na Figura 64a e b:

(a) (b)

Figura 64. Vertedor com uma (a) e duas contrações laterais (b).

157

Segundo Francis, para cada contração, o comprimento da soleira (L) deve ser reduzido em

10% da altura da lâmina vertente (H), para fins de obtenção do comprimento da soleira (L’) e

cálculo da vazão

O valor de L’ é usado na equação (189) no lugar de L, sendo o CQ o mesmo para os casos

de vertedores sem contração lateral. Logo, as equações (190) e (191), já incorporando a correção

proposta por Francis, devem ser usadas para obtenção da vazão em vertedores retangulares com

1 e 2 contrações laterais, respectivamente.

Q = 1,838 (L - 0,1H)H3/2 (190)

Q = 1,838 (L - 0,2H)H3/2 (191)

No caso de vertedor retangular de parede delgada com duas contrações laterais, pode-se

utilizar diretamente a equação proposta por Poncelet para a obtenção da vazão, não sendo

necessária a correção de Francis em função do número de contrações laterais.

Na falta de informações pode-se tomar CQ = 0,60, valor este dado por Poncelet, ficando a

fórmula para vertedores com duas contrações laterais escrita como:

Q = 1,77 L H3/2 (192)

5.4.2 Vertedor triangular de parede delgada em cond ições de descarga livre

Na prática, o vertedor triangular de parede delgada normalmente apresenta um entalhe em

forma de um triângulo isósceles, o que permite utilizar a equação (181) para a dedução da equação

utilizada na medição de vazão, uma vez que o eixo das ordenadas (y) divide a seção em duas

partes iguais (Figura 65).

Figura 65. Vertedor triangular.

158

Nesse caso, a função x = f(y) pode ser escrita como:

2tg.yx

θ= (192)


dy)yH(y2

tgCg22QH

0

2/1Q ∫ −θ= (193)

Fazendo:

(H - y)1/2 = u (194)

H – y = u2 ∴ H – u2 = y (195)

dy = -2udu (196)

Trocando os limites de integração, tem-se:

u = H1/2 (para y = 0) (197)

u = 0 (para y = H) (198)

Substituindo-se as equações (196), (197) e (198) na integral da equação (193), tem-se:

)duu2(u)uH(dy)yH(y 20

H

H

0

2/1

2/1

−−=− ∫∫ (199)

du)uHu(2duu)uH(2 42H

0

H

0

22

2/12/1

−=− ∫∫ (200)

−=

−=

5

HH

3

H2

5

u

3

uH2

2/52/3

H532/1

(201)

2/52/52/5

H15

4

15

H3

15

H52 =

−= (202)


2/5Q H

2tgCg2

15

8Q

θ= (203)

que é válida para o cálculo da vazão em vertedores triangulares isósceles.

159

O valor de CQ poderá ser encontrado em tabelas, em função de θθθθ, H e P. Na falta de

informações pode-se adotar como valor médio CQ = 0,60.

Se θ = 90o, tg 2

θ = 1, e a fórmula anterior se simplifica para:

Q = 1,40 H5 (204)

em que:

Q = vazão (m3s-1); e

H = altura da lâmina vertente (m).

OBS.: Para pequenas vazões o vertedor triangular é mais preciso que o retangular (aumenta o

valor de H a ser lido quando comparado com o retangular), entretanto, para maiores vazões

ele passa a ser menos preciso, pois qualquer erro de leitura da altura de lâmina vertente (H)

é afetado pelo expoente 5/2.

5.4.3 Vertedor trapezoidal de parede delgada em con dições de descarga livre

Menos utilizado do que os vertedores retangular e triangular. Pode ser usado para medição

de vazão em canais, sendo o vertedor CIPOLLETTI o mais empregado. Esse vertedor apresenta

taludes de 1:4 (1 na horizontal para 4 na vertical) para compensar o efeito da contração lateral da

lâmina ao escoar por sobre a crista (Figura 66).

Figura 66. Vertedor trapezoidal de CIPOLLETTI.

Neste caso, a equação geral (181) também pode ser usada para a dedução da equação

particular do vertedor trapezoidal. Por razões de simplicidade, a vazão pode ser calculada como a

soma das vazões que passam pelo vertedor retangular e pelos vertedores triangulares, ou seja:

160

2/5Q

2/3Q H

2tgCg2

15

8HLCg2

3

2Q

21

θ+= (205)

2/3QQ HL

2tgC

L

H

5

4Cg2

3

2Q

21

θ+= (206)

Fazendo:

θ+=2

tgCL

H

5

4CC

21 QQQ (207)

a equação (206) pode ser escrita como:

2/3Q HLCg2

3

2Q = (208)

A experiência mostra que CQ = 0,63. Usando a recomendação de Cipolletti, a fórmula

anterior é simplificada para:

Q = 1,86 L H3/2 (209)

5.4.4 Vertedor retangular de parede espessa

A espessura da parede (e) é suficiente para garantir o paralelismo entre os filetes, ou seja,

as linhas de corrente são paralelas, o que confere uma distribuição hidrostática de pressões sobre

a soleira do vertedor (Figura 67).

Figura 67. Vertedor de parede espessa (vista longitudinal).

161

Aplicando a Equação de Bernoulli entre (0) e (1), para a linha de corrente AB, com

referência em AB, tem-se:

1

211

0

200 z

g2

VPz

g2

VP++

γ=++

γ (210)

0g2

Vh00H

2th ++=++ (211)

g2)hH(V th −= (212)

)hH(g2h.LV.h.LV.AQ ththth −=== (213)

( ) 2/132th hHhg2LQ −= (214)

Bélanger observou que quando o escoamento se estabelecia sobre a soleira:

H3

2h = (215)


2/132

th H3

2H

3

2Hg2LQ

−

= (216)

2/133

th H27

8H

9

4g2LQ

−= (217)

2/133

th 27

H8

27

H12g2LQ

−= (218)

2/32/1

th H27

4g2LQ

= (219)

Levando-se em conta o coeficiente corretivo da vazão (CQ), tem-se:

2/3Q HLg2C.385,0Q = (220)

que é a equação válida para vertedor retangular de parede espessa.

162

Experiências realizadas levam à conclusão de que CQ = 0,91, podendo a expressão (220)

ser escrita como:

Q = 1,55 L H3/2 (221)

em que:

Q = vazão (m3s-1);

L = comprimento da soleira (m); e

H = altura da lâmina vertente (m).

OBS:

a) O ideal é calibrar o vertedor no local (quando sua instalação é definitiva) para obtenção do

coeficiente de vazão (CQ).

b) O vertedor de parede delgada é empregado exclusivamente como medidor de vazão e o de

parede espessa faz parte, geralmente, de uma estrutura hidráulica (vertedor de barragem, por

exemplo) podendo também ser usado como medidor de vazão.

5.5 Instalação do vertedor e medida da carga hidráu lica (H)

Vale ressaltar que a determinação da altura da lâmina vertente (H) não é feita sobre a crista

do vertedor e sim a uma distância à montante suficiente para evitar a curvatura da superfície líquida.

Os seguintes cuidados devem ser tomados na instalação e na medida de H:

• Escolher um trecho de canal retilíneo a montante e com pelo menos 20H de comprimento

(na prática, considerar no mínimo 3 metros);

• A distância da soleira ao fundo (P) deverá ser superior a 3H (≅ 0,50 m) e da face à margem,

superior a 2H (≅ 0,30 m). Quando P ≅ 3H pode-se assumir g2

V 20 ≅ 0;

• O vertedor deve ser instalado na posição vertical, devendo estar a soleira na posição

horizontal;

• Não permitir que haja qualquer escoamento lateral ou por baixo do vertedor;

• A ventilação sob a cauda deve ser mantida para assegurar o escoamento livre; e

• O valor de H deve ser medido a uma distância da soleira de 10H. Na prática, adotar a

distância de aproximadamente 1,5 m.

163

O procedimento a ser utilizado na medição de H é ilustrado nas figuras a seguir. Destacam-

se duas situações: vertedor móvel (Fig. 68a), utilizado para medições esporádicas da vazão, em

que o topo da estaca tangencia o nível da água; e vertedor fixo (Fig. 68b), utilizado para medições

frequentes da vazão, em que o topo da estaca fica em nível com a crista do vertedor.

(a) (b)

Figura 68. Vertedores móvel (a) e fixo (b).


1) Durante um teste de aferição de um vertedor retangular de parede delgada, sem contrações

laterais, a carga foi mantida constante e igual a 30 cm. Sabendo que o vertedor tem 2,40 m de

largura e que o volume de água coletado em 38 s foi de 28,3 m3, determinar o coeficiente de vazão

do vertedor.

2) Você foi encarregado de construir um vertedor triangular de 90º, de paredes delgadas, para

medição de vazão do laboratório de pesquisas na sua faculdade. Sabendo que a vazão máxima a

ser medida é de 14 L/s, determine a altura mínima do vertedor, contada a partir do seu vértice, para

medir a vazão máxima necessária.

3) Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de soleira, localizada a 70 cm do

fundo do curso d’água. Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.

164

4) Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir uma vazão de 500 L/s.

Determine a largura da soleira desse vertedor, para que a altura d’água não ultrapasse a 60 cm.

5) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é

colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o

vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar:

a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais;

b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e

triangular for máxima;

Utilizar as equações de Thompson e Francis.

6) Um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais, é colocado em um canal

retangular de 0,50 m de largura. No tempo t = 0, a carga H sobre a soleira é zero e, com o passar

do tempo, varia conforme a equação H = 0,20 t, com H (m) e t (min). Determinar o volume de água

que passou pelo vertedor após 2 minutos.

7) Calcule a vazão teórica pelo vertedor de parede fina mostrado na figura abaixo. A carga sobre a

soleira é de 0,15 m.

165

8) As seguintes observações foram feitas em laboratório, durante um ensaio em um vertedor

retangular de largura L = 1,50 m.

h (m) 0,061 0,122 0,183 0,244 0,305 0,366 0,457

Q (m3/s) 0,0240 0,0664 0,1203 0,1838 0,2554 0,3342 0,4639

Se a relação de descarga é dada por Q = K L hn, determine os parâmetros K e n.

9) Se a equação básica para um vertedor retangular, de soleira fina, sem contrações laterais, for

usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa, de igual largura, qual deve ser

o coeficiente de vazão Cq naquela equação? Despreze a carga cinética de aproximação.

10) Na tentativa de evitar o efeito da contração e a depleção da veia líquida, comum nos vertedores

retangulares, pretende-se utilizar vertedores triangulares e trapezoidais. Para tornar mais

comparáveis os resultados obtidos nas várias opções disponíveis de vertedores, a carga de cálculo

será fixada em 0,5 m, a área molhada em 2 m2 e a velocidade de aproximação considerada nula.

Mantendo estes referenciais, determine as vazões dos seguintes vertedores:

OBS: Compare as vazões obtidas com a vazão do vertedor retangular.

a ) Vertedor triangular

b ) Vertedor trapezoidal com ângulo θ/2 = 45°

c ) Vertedor Cipoletti

Gabarito:

1) CQ = 0,427

2) H = 15,9 cm

3) Q = 0,698 m3/s

4) L = 0,58 m

5) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m

6) Volume = 11,16 m3

7) Q = 40,23 L/s

8) K = 0,976; n = 1,47

9) Cq = 1/√3

10) a) Q = 2,00 m3/s; b) Q = 2,443 m3/s; c) Q = 2,489 m3/s; Vertedor Retangular: Q = 2,60 m3/s.

166

UNIDADE 6 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERV ATÓRIOS 6.1 Orifícios 6.1.1 Conceito

Orifícios são aberturas de perímetro fechado (geralmente de forma geométrica conhecida)

localizadas nas paredes ou no fundo de reservatórios, tanques, canais ou canalizações, sendo

posicionadas abaixo da superfície livre do líquido.

6.1.2 Finalidade

Os orifícios possuem a finalidade de medição de vazão, sendo utilizados, também, para a

determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance de jatos.


I) Quanto à forma geométrica: podem ser retangulares, circulares, triangulares etc.

II) Quanto às dimensões relativas:

Analisando a Figura 69, os orifícios podem ser considerados: a) Pequeno : quando suas dimensões forem

muito menores que a profundidade (h) em que se encontram. Na prática, d ≤ h/3.

b) Grande : d > h/3

em que;

d = altura do orifício; e

h = altura relativa ao centro de gravidade do orifício.

Figura 69. Esquema de orifício instalado em

reservatório de parede vertical.

167

III) Quanto à natureza das paredes: Os orifícios podem ser considerados de:

a) Parede delgada (e < d): a veia líquida toca apenas a face interna da parede do reservatório, ou

seja, o líquido toca o perímetro da abertura segundo uma linha (Figura 70a).

b) Parede espessa (e ≥ d): a veia líquida toca quase toda a parede do reservatório (Figura 70b).

Esse caso será enquadrado no estudo dos bocais (os orifícios de parede espessa funcionam como

bocais).

(a) (b)

Figura 70. Orifícios de parede delgada (a) e espessa (b).

IV) Quanto à posição da parede:

(a) (b)

Figura 71 . Orifícios de parede vertical (a) e parede inclinada para montante (b).

168

(c) (d)

Figura 72. Orifícios de parede inclinada para jusante (a) e parede horizontal (b).

Quando a parede é horizontal e h < 3.d ocorre o chamado vórtice ou vórtes, o qual afeta o

coeficiente de descarga (CQ).

V) Quanto ao escoamento:

O escoamento em um orifício pode ser classificado como livre ou afogado conforme

apresentado na Figura 73.

(a) (b)

Figura 73. Orifícios com escoamento livre (a) e afogado (b).

VI) Quanto à contração da veia:

O jato que sai do orifício sofre uma gradual contração, ficando a sua seção menor que a da

abertura, pois pela inércia das partículas, a direção do movimento não se altera bruscamente

(Figura 74).

169

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 74. Orifícios com contração do tipo completa [(a) e (e)] e incompleta [(b), (c) e (d)].

� Seção contraída (Vena Contracta)

Seção contraída é aquela seção do orifício na qual observa-se uma mudança nas linhas de

corrente do jato d’ água ao passar pelo orifício. Diz-se que a contração é incompleta quando a

água não se aproxima livremente do orifício de todas as direções, o que ocorre quando o mesmo

não está suficientemente afastado das paredes e do fundo. A experiência mostra que, para haver

contração completa, o orifício deve estar afastado das paredes laterais e do fundo de, ao menos, 3

vezes a sua menor dimensão. Como a contração da veia líquida diminui a seção útil de

escoamento, a descarga aumenta quando a contração é incompleta.

As partículas fluidas escoam para o orifício vindas de todas as direções em trajetórias

curvilíneas. Ao atravessarem a seção do orifício continuam a se moverem em trajetórias curvilíneas

(as partículas não podem mudar bruscamente de direção, devido à inércia das partículas,

obrigando o jato a contrair-se um pouco além do orifício, onde as linhas de corrente são paralelas e

retilíneas) (Figura 75).

L = distância entre o lado interno da parede do reservatório até o ponto onde as linhas de corrente do jato contraído são paralelas. L = 0,5 a 1 d L = 0,5 d ⇒ para orifício circular

CC C

A

A= ⇒ coeficiente de contração

AC = área da seção contraída A = área do orifício.

Figura 75 . Seção contraída do jato de água que

escoa pelo orifício.

170

6.1.4 Fórmula para cálculo da vazão

6.1.4.1 Orifícios afogados de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração completa)

Neste caso admite-se que todas as partículas que atravessam o orifício têm a mesma

velocidade e que os níveis da água são constantes nos dois reservatórios.

Considerando a Figura 76, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos (0) e (1)

situados na linha de corrente 0-1, com plano de referência passando pelo ponto (1).

Figura 76. Esquema de dois reservatórios interligados por um orifício.

1

211

0

200 Z

g2

VPZ

g2

VP++

γ=++

γ (222)

sendo: ,VVeldesprezíveV;PP

th10atm0 =≈γ

=γ

tem-se:

0g2

Vhh00

2th

10 ++=++ (223)

)hh(g2Vhhg2

V10th10

2th −=⇒−= (224)

(velocidade teórica na seção contraída)

Na prática a velocidade real (V) na seção contraída é menor que Vth, devido às perdas

existentes (atrito externo e viscosidade - atrito interno). Chamando de Cv (coeficiente de

velocidade) a relação entre V e Vth, tem-se:

171

thvth

v VCVV

VC =⇒= (225)


)hh(g2CV 10V −= (226)

(velocidade real na seção contraída)

OBS: O valor de Cv é determinado experimentalmente e pode ser encontrado em tabelas, sendo

que o valor de Cv varia em funcão do diâmetro e forma do orifício e altura de lâmina d’ água h0 - h1.

Na prática pode-se adotar Cv = 0,985.

A vazão (Q) que atravessa a seção contraída (e também o orifício), é dada por:

)hh(g2ACVAQ 10CVC −== (227)

thth AVQ = (228)

em que;

Ac = área da seção contraída, L2.

Chamando de CC (coeficiente de contração) a relação entre AC e A (área do orifício), vem:

ACAA

AC CC

CC =⇒= (229)


)hh(g2ACCQ 10CV −= (230)

Definindo como coeficiente de descarga (CQ) o produto CV.Cc, vem:

CQ = CV . CC (231)

OBS: o valor de CQ é função da forma e diâmetro do orifício e da lâmina de água h0-h1. Na prática

pode-se adotar Cc = 0,62.

172


)hh(g2ACQ 10Q −= (232)

que é a vazão volumétrica para orifícios afogados de pequenas dimensões localizados em

reservatórios de parede delgada. Na prática pode-se tomar o valor de CQ como: CQ = CV . CC =

0,985 x 0,62 = 0,61.

6.1.4.2 Orifícios com escoamento livre de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração

completa)

Nesse caso h1 = 0 e h0 = h, então a equação (232) passa a ser escrita como:

hg2ACQ Q= (233)

Em iguais condições de altura de lâmina d’água acima do orifício (h ou h0 - h1), CQ é um

pouco maior para escoamento livre. Em casos práticos, podem-se adotar os mesmos valores para

CQ.

6.1.4.3 Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas (contração completa)

Nesse caso não se pode mais admitir que todas as partículas possuem a mesma

velocidade, devido ao grande valor d. O estudo é feito considerando-se o grande orifício dividido

em um grande número de pequenas faixas horizontais de alturas infinitamente pequenas, onde

pode ser aplicada a equação deduzida para orifícios pequenos (Figura 77).

Figura 77. Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas.

173

Considerando-se, portanto, um orifício de formato qualquer, a faixa elementar terá área de:

dA = x dh (234)

A velocidade teórica na área elementar será:

Vth = gh2 (235)

A descarga elementar será:

Q = CQ . A . Vth (236)

Derivando em relação a área, tem-se:

dQ = CQ Vth dA (237)

Substituindo (234) e (235) em (237), tem-se:

dQ = CQ x dh gh2 (238)

Sendo, x = f(h), logo:

dhhg2xCQ 2/1h

h

Q

1

0

∫=

dhhxg2CQ 2/1h

h

Q

1

0

∫= (para qualquer seção) (239)

Para o caso de orifícios com seção retangular (x = L):

)h-h(L3

2dhhLdhhLdhhx 2/3

02/3

12/1

h

h

2/1h

h

2/1h

h

1

0

1

0

1

0

=== ∫∫∫

)h-h(g2LC3

2Q 2

3

02

3

1Q= (240)

(orifício retangular de grandes dimensões)

174

OBS: Se h0 = 0, o orifício deixa de funcionar como tal e passa a ser um vertedor.

Para o caso de orifícios com seção triangular (Figura 78):

Figura 78. Seção transversal de um orifício triangular.

De acordo com a Figura 78, por semelhança de triângulos, tem-se que:

)h-h(d

bx⇒

d

h-h

b

x1

1 ==

Como 2

tgd2bθ= , tem-se:

)hh(2θ

tgd2=x 1 - (241)


( ) ( ) dhhhh2

tgg2C2dhhhh2

tg2g2CQ 2/1h

h

1Q2/1

h

h

1Q

1

0

1

0

∫∫ −θ=−θ=

sendo:

( ) ( ) )h-h(5

2)h-h(h

3

2dhhhhdhhhh 2/5

02/5

12/3

02/3

11

h

h

2/32/11

2/1h

h

1

1

0

1

0

=−=− ∫∫

tem-se:

175

( ) ( )

−θ= 2/50

2/51

2/30

2/311Q h-h

5

2h-hh

3

2

2tgg2C2Q (242)

(para orifícios triangulares de grandes dimensões)

6.1.4.4 Relação entre CV, CC e CQ

A vazão teórica que atravessa o orifício é dada por:

thth AVQ = (243)

A vazão real que atravessa o orifício é dada por:

VAQ C= (244)

Dividindo (244) por (243):

QQ

th

= CQ = AA

c

VV

th

⇒ CQ = CCCV (245)

6.1.4.5 Orifício de contração incompleta

Quando o orifício é de contração incompleta, a vazão é calculada pela mesma fórmula que

para orifício de contração completa, ou seja:

gh2ACQ 'Q= (pequenas dimensões) (246)

sendo o coeficiente CQ’ (coeficiente de vazão para contração incompleta) relacionado com o

coeficiente de vazão para contração completa (CQ) pela seguinte expressão obtida

experimentalmente por Bidone:

Q'

Q C)K15,01(C += (247)

em que: K = relação entre o perímetro da parte não contraída do orifício, para o perímetro total do

orifício.

Exemplo :

Calcular o coeficiente de vazão para os orifícios de contração incompleta, conforme figuras

apresentadas a seguir (considere C

Caso 1

Caso 1:

K =

Caso 2:

)db(2

bK

+=

Caso 3:

db(2

bd2K

++=

176


seguir (considere CQ = 0,62), sendo dados b = 20 cm e d = 5 cm.

Caso 2

Caso 3

6665,062,0)2

1x15,01(C

2

1

)db(2

db 'Q =+=⇒=

++

62,0)4,0x15,01(C4,0)520(2

20

)'

Q =+=⇒=+

=

62,0)6,0x15,01(C6,0)520(2

205.2

)'

Q +=⇒=+

+=


endo dados b = 20 cm e d = 5 cm.

Caso 3

6665

6572,0=

6758,0=

177

6.2 Bocais ou Tubos Curtos 6.2.1 Conceito

Bocais são pequenos tubos adaptados a orifícios de paredes delgadas por onde escoam os

líquidos dos reservatórios, canais etc.

6.2.2 Finalidade

Os bocais possuem a finalidade de dirigir o jato, regular e medir a vazão, sendo utilizados,

também, para a determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance

de jatos.


I) Quanto à forma geométrica:

Conforme apresentado na Figura 79, os bocais cilíndricos podem ser classificados como:

• interiores ou reentrantes (interesse teórico); e

• exteriores (interesse prático).

(a) (b)

Figura 79. Bocais cilíndricos interior (a) e exterior (b).

As experiências mostram que os coeficientes de descarga para os bocais exteriores são

maiores que para os bocais interiores .

Os bocais cônicos (Figura 80) podem ser classificados como:

• divergente;

• convergente.

178

(a) (b)

Figura 80. Bocais cônicos divergente (a) e convergente (b).

Outras formas de bocais podem ocorrer como, por exemplo, bocais com bordas

arredondadas.

II) Quanto às dimensões relativas:

A Figura 81 ilustra as dimensões do bocal.

De acordo com F. A. Bastos: L < D ⇒ bocal curto L ≥ D ⇒ bocal longo L = 2,5 D ⇒bocal padrão De acordo com A. Netto: L = 1,5 a 3D ⇒ bocais L = 3 a 500D ⇒ tubos muito curtos L = 500 a 4000D ⇒ tubulações curtas L > 4000D tubulações longas

Figura 81 . Esquema das dimensões de um bocal.

Os orifícios de parede espessa (e ≥ D e L ≥ D) serão tratados como bocais, isso porque a

seção contraída se forma dentro dos bocais longos.

179

O bocal curto funciona como um orifício de paredes delgadas (e<D e L<D), sendo adotado o

mesmo coeficiente usado para os dois casos, isto porque a seção contraída se forma fora do bocal

curto.

6.2.4 Fórmula para cálculo da vazão

A dedução da fórmula é feita do mesmo modo que para os orifícios, não sendo necessária a

sua repetição; obviamente o que muda é o valor do coeficiente de descarga, o qual deve ser

levantado experimentalmente ou por meio de tabelas. Dessa forma:

hg2ACQ Q= (248)

(para bocais com contração completa)

sendo que CQ é funcão do comprimento (L), diametro (D) e forma do bocal. Para L = 3D,

pode-se tomar, na prática, CQ = 0,82.

OBS: para parede delgada e parede espessa, os valores de CQ são aproximadamente iguais.

Exemplo:

Na parede vertical do reservatório A existe um orifício de pequenas dimensões afogado,

que deságua em um reservatório B (figura abaixo). Este por sua vez possui também um pequeno

orifício que deságua livremente na atmosfera.

Supondo regime permanente e sabendo que h’ = 5 m, calcular:

1) Os valores de H1 e H2

2) A vazão em regime permanente

180

Dados:

CV1 = CV2 = 0,98

CC1 = CC2 = 0,61

A1 = 2 cm2

A2 = 4 cm2

Solução:

60,05978,061,0x98,0CCCC1121 cvQQ ≈====

Fórmulas:

)h-h(g2ACQ 1011Q1 = (orifício afogado)

222Q2 Hg2ACQ = (orifício livre)

Para escoamento permanente tem-se:

21

10

2

2

1

21

222Q2

11011Q

21

)h-h(

H

A

A

Hg2AC)h-h(g2AC

QQ

=

=

=

Como:

h0 = h`+x

h1 = H2+x

181

2

2

221

2

2

21

2'

22

1

2'

2

2

1

)2(

1

)H-5(

H⇒

)H-5(

H

4

2

)H-h(

H

)xH()xh(

H

A

A

=

=

=

++=

Da figura: H1+H2 = h`= 5 m H1=4 m

))xH(-)x`h((g2x10x2x60,0Q 24-

1 ++= = 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1

ou

1xg2x10x4x60,0Q 4-1 = = 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1

6.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento d e reservatórios de seção constante)

Até agora considerou-se a carga h invariável. Se o nível da água do reservatório não for

mantido constante, h diminuirá com o decorrer do tempo e o escoamento passará a ser encarado

como não permanente. Considerando a Figura 82, e ainda:

h0 = carga inicial da água no reservatório, L;. h1 = carga final da água no reservatório, L;. S = área da seção do reservatório, L2; A = área da seção do orifício (ou do bocal), L2; t = tempo necessário para a água atingir o nível (1), T.

Figura 82 . Esquema do esvaziamento de um reservatório de seção constante.

Para um dado instante t, o orifício (ou o bocal) possui uma vazão Q sob uma carga h.

Decorrido um pequeno intervalo de tempo dt, pode-se considerar que a vazão continuará sendo a

mesma, ou seja:

182

hg2ACQ Q= (orifícios de pequenas dimensões). (249)

Para esse mesmo intervalo de tempo dt o volume elementar (dVol) do líquido escoado,

mantida a vazão Q, será:

dtQdvoldt

dvolQ =→= (250)


dtgh2ACdvol Q= (251)

Ainda no mesmo intervalo de tempo dt pode-se dizer que o nível da água baixará no

reservatório de dh, o que corresponde a um volume elementar de:

dhSdvol −= (252)

onde o sinal negativo significa que h decresce com o aumento de t.

Comparando (251) com (252):

dhSdthg2ACQ −=

dh21

hAg2QC

Sdh

21

hAg2QC

Sdt

−−=

−=

(253)

Integrando (253) no intervalo de h0 e h1,

−= 21

121

0Q

hhAg2C

S2t (254)

OBS: esta expressão é apenas aproximada por quê:

183

• CQ é função dos valores de h e d, varia com a diminuição de h;

• A partir de um certo valor h, o orifício deixará de ser considerado como “pequeno”,

passando a ser considerado como grande, e

• Considera-se orificio pequeno quando 3

hd ≤ e grande quando

3

hd > .

Exemplo :

Em uma estação de tratamento de água (ETA), existem dois decantadores de 5,50 x 16,50

m de base e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode

ser esvaziada por meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo.

Calcular a vazão inicial da comporta e determinar o tempo necessário para o esvaziamento do

decantador (CQ’ = 0,62 ⇒ coeficiente de vazão para contração incompleta).

QQ' C)K15,01(C +=

Solução :

a) Vazão inicial:

( )sL452sm452,0Q

35,3x81,9x230,0x62,0hg2ACQ

3

hd

3

35,3d

m35,315,050,3h

3

2'Q

==

==

≤∴≤

=−=

184

b) Tempo necessário para o seu esvaziamento:

= 21

1h-21

0hAg2QC

S2t

01h

m35,3h0h

=

==

s13445,035,32)30,0(x81,9x262,0

50,16x50,5x2t ==

t = 22,40 min ou 22,0 min e 24 seg (este tempo é apenas aproximado)

6.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais

Considerando a Figura 83 e as equações (255) e (256), tem-se:

gh2Vth = (velocidade teórica) (255)

1gh2V = (velocidade real) (256)

em que: h1 = parcela utilizada para produzir a velocidade real.

Figura 83 . Esquema do esvaziamento de um reservatório.

OBS: h1 < h porque uma parcela de h foi consumida para vencer as resistências ao escoamento.

Essa parcela consumida chama-se “perda de carga”, que será representada por hf.

185

Portanto:

v

thv

th

f

2th

2

f

22th

f1

C

1

V

VC

V

V

h1V

V

g2

V

hg2

V

g2

V

ouhhh

=⇒=

=

−

=−

=−

f2v

2h1

C

1

g2

V =

−

(perda de carga em orifícios e bocais.) (257)

6.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas

Esta técnica constitui-se num interessante método para a determinação da velocidade real

do escoamento, e consequentemente da vazão, desde que se despreze a resistência do ar. Sabe-

se que a pressão exercida numa superfície por um líquido é normal a essa superfície.

Para o equacionamento do problema, considere-se um orifício praticado na parede inclinada

de um reservatório conforme a Figura 84 apresentada a seguir:

Figura 84 . Orifício em parede inclinada de um reservatório.

186

As equações da cinemática são descritas abaixo:

2gt2

1t0V0ee −+= (258)

gt0VV −= (259)

em que:

e = espaço percorrido, L;

e0 = espaço inicial, L;

V = velocidade num determinado ponto, L.T-1;

V0 = velocidade inicial, L.T-1; e

t = tempo percorrido, T.

Lembrando que a posição ocupada por uma partícula assim como sua velocidade podem

ser obtidas pelas equações da cinemática, pode-se escrever para as coordenadas do ponto (1),

com o auxílio da equação (258) e considerando o movimento ascendente:

)xdireção(tVx0tV0x x0x0 =∴−+= (260)

)ydireção(gt2

1tVygt

2

1tV0y 2

y02

y0 −=∴−+= (261)

OBS: na direção y atua a força da gravidade.

As componentes das velocidades no ponto (1), com o auxílio da Figura 84 e da equação

(259) são:

gtVV

cosVVV

gtVV

0

x0x1

x0x1

−=θ==

−=

gtVsengtVV y0y1 −θ=−= (262)

Reescrevendo a equação (260), tem-se:

x0V

xt = (263)

E substituindo (263) em (261) encontra-se:

187

2x0

2

x0y0

V

xg

2

1

V

xVy −= (264)

Como θ=θ= cosVVetgV

Vx0

x0

y0, escreve-se a equação como:

)y-tgx(cos2

gxV

)1-(gx)tgxcos2-ycos2(V

gxtgxcosV2-ycosV2

cosV

x

2

g-xtgy

2

2

2222

22222

22

2

θθ=

=θθθ

=θθθθ

θ=

)ytgx(2

g

cos

xV

−θθ= (265)

A equação (265) descreve a velocidade real na saída do bocal ou orifício em função das

coordenadas x e y:

O coeficiente de velocidade (Cv) é calculado por:

gh2

)ytgx(2

g

cos

x

V

VC

gh2

V

V

VC

thv

thv

−θθ

==

==

)ytgx(h

1

cos2

xCv −θθ

= (266)

Se a parede do reservatório for vertical, 00=θ e y será sempre negativo, de tal forma que:

hy

1

2

xCv = (267)

188

Observações:

• o eixo das ordenadas y foi considerado positivo para cima e o das abscissas x para a

direita.

• as equações anteriores podem ser aplicadas a escoamentos livres em orifícios, bocais,

tubulações etc.

• se V1y for positivo, o movimento é ascendente e se V1y for negativo, o movimento é

descendente.

Exemplo

Determinar a equação da trajetória do líquido, a vazão escoada e a velocidade na posição

(1), para a figura e os dados abaixo:

- diâmetro da saída da tubulação (d=50 mm)

Solução:

a) Equação da trajetória (usar equação 261):

sm6V

)90,060tg63,3(2

81,9

60cos

63,3V

)y-tgx(2

g

cos

xV

00

=+

=

θθ=

189

2

2

00

22

2

x545,0-x732,1y

60cos6

x

2

81,9-60xtgy

cosV

x

2

g-xtgy

=

=

θθ=

b) Vazão escoada (Q):

0118,064

)050,0(V

4

dAVQ

22=π=π== m3s-1

c) Velocidade na posição 1:

360cos6cosVVV 0x0x1 ==θ== m.s-1

21,13

63,3

V

xttVx

x0x0 ===∴= s

67,621,1.81,960sen6gtVsenV 0y1 −=−=−θ= m.s-1

)edescendentémovimentooqueindicando(

Da figura tira-se que:

sm31,7V

)67,6(3V

VVV

1

2221

2y1

2x1

21

=−+=

+=

α V1x

V1y V1

190


1) Na parede vertical de um reservatório de grandes dimensões (A) existe um orifício afogado (1)

que deságua em outro reservatório (B). Este, por sua vez, possui também um orifício que deságua

livremente (2).

Supondo que o regime é permanente e, sabendo que a altura h vale 5,0 m, calcule:

a) as alturas H1 e H2;

b) a vazão que escoa pelos orifícios

Dados: Cc1 = Cc2 = 0,61

Cv1 = Cv2 = 0,98

A1 = 2 cm2

A2 = 4 cm2

2) Num bocal cilíndrico externo de 2,0 cm2 de área e coeficiente de vazão de 0,85, verificou-se que

o jato sai com velocidade de 5,0m/s. Nestas condições, determinar a carga no bocal e a vazão que

escoa.

3) Um bocal cilíndrico interno, funcionando com veia descolada, tem área de 2,0 cm2, coeficiente

de velocidade de 0,98 e coeficiente de contração de 0,52, com carga de 2,0 m.

Qual seria a área de um bocal externo de Cv = 0,85 que, com a mesma carga, descarregaria a

mesma vazão?

4) Através de uma das extremidades de um tanque retangular de 0,90 m de largura, água é

admitida com vazão de 57 L/s. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7,0 cm de

diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de

191

parede fina, com altura P = 1,20 m e largura da soleira igual a 0,90 m. Determine a altura d’água Y

no tanque e a vazão pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a equação de Francis.

5) Um vertedor triangular com ângulo de abertura de 90º descarrega água com uma carga de 0,15

m em um tanque, que possui no fundo três orifícios circulares de parede delgada, com 40 mm de

diâmetro. Na condição de equilíbrio, determine a vazão e a profundidade da água no tanque.

6) Um reservatório de barragem, com nível d’água na cota 545,00 m está em conexão com uma

câmara de subida de peixes, através de um orifício circular com diâmetro D1 = 0,50 m. Essa

câmara descarrega na atmosfera, por outro orifício circular de diâmetro D2 = 0,70 m, com centro na

cota 530,00 m. Após certo tempo, cria-se um regime permanente (níveis constantes). Sabendo-se

que os coeficientes de contração dos dois orifícios são iguais a Cc = 0,61 e os coeficientes de

velocidade, iguais a Cv= 0,98, calcular qual é a vazão e o nível d’água na câmara de subida de

peixes.

7) Um reservatório de seção quadrada de 1,0 m de lado possui um orifício circular de parede fina

de 2 cm2 de área, com coeficiente de velocidade Cv = 0,97 e coeficiente de contração Cc = 0,63,

situado 2,0 m acima do piso, conforme a figura abaixo. Inicialmente, com uma vazão de

192

alimentação Qe constante, o nível d’água no reservatório mantém-se estável na cota 4,0 m. Nestas

condições, determine:

a) a vazão Qe;

b) a perda de carga no orifício;

c) a distância x da vertical passando na saída do orifício até o ponto onde o jato toca o solo

(alcance do jato);

d) interrompendo-se bruscamente a alimentação, Qe = 0, no instante t = 0, determinar o tempo

necessário para o nível d’água no reservatório baixar até a cota 3,0 m.

8) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é

colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o

vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar:

a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais;

b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e

triangular for máxima;

Utilizar as equações de Thompson e Francis.

9) Em um recipiente de parede delgada, existe um pequeno orifício de seção retangular junto ao

fundo e afastado das paredes verticais. Sabendo-se que a perda de carga no orifício é 5% da carga

H, determinar a velocidade real e o coeficiente de velocidade Cv.

10) Um reservatório de forma cônica, cuja área superior é S e a área do orifício no fundo é So, tem

coeficiente de descarga, supostamente constante, igual a Cq. Qual é o tempo necessário para seu

esvaziamento total?

193

Gabarito:

1) H1 = 4,0m; H2 = 1,0 m; Q1 = Q2 = 1,06 L/s

2) H = 1,77m; Q = 1,0 L/s

3) A = 1,2 cm2

4) Y = 1,29; Q = 0,0447 m3/s

5) Q = 0,0122 m3/s; y = 1,44 m

6) Q = 1,80 m3/s; N.A. = 533,10 m

7) a) Qe = 0,77 L/s; b) ∆h = 0,118 m; c) x = 3,88 m; d) t = 16,50 min

8) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m

9) Vr = 4,315 √�; Cv = 0,975

10) T = 25

Sh

CqS

o2gh

194

Apêndice 1. Condutos Forçados

195

Tabela 1A. Valores de viscosidade cinemática da água Temperatura,

oC Viscosidade, cinemática

v, m-2s-1 Temperatura,

oC Viscosidade,

cinemática v, m-2s-1 0 0,000 001 792 20 0,000 001 007 2 0,000 001 763 22 0,000 001 960 4 0,000 001 567 24 0,000 001 917 6 0,000 001 473 26 0,000 001 876 8 0,000 001 386 27 0,000 001 839 10 0,000 001 308 30 0,000 001 804 12 0,000 001 237 32 0,000 001 772 14 0,000 001 172 34 0,000 001 741 16 0,000 001 112 36 0,000 001 713 18 0,000 001 059 38 0,000 001 687

Tabela 1B. Valores de viscosidade cinemática de alguns fluídos

Fluído Temperatura,

oC Peso

específico, kg.m-3

Viscosidade cinemática v, m-2s-1

Gasolina

5 737 0,000 000 757 10 733 0,000 000 710 15 728 0,000 000 681 20 725 0,000 000 648 25 720 0,000 000 621 30 716 0,000 000 596

Óleo combustível

5 865 0,000 005 98 10 861 0,000 005 16 15 588 0,000 004 48 20 855 0,000 003 94 25 852 0,000 003 52 30 849 0,000 003 13

Ar (pressão atmosférica)

5 1,266 0,000 013 7 10 1,244 0,000 014 1 15 1,222 0,000 014 6 20 1,201 0,000 015 1 25 1,181 0,000 015 5 30 1,162 0,000 016 0

196

Tabela 1C. Valores adotados na PNB 591 da rugosidade uniforme equivalente ε (em mm) para tubos usuais

I. TUBO DE AÇO: JUNTAS SOLDADAS E INTERERIOR CONTÍNUO ε 1.1. Grandes incrustações ou tuberculizações 2,4 a 12,0 1.2. Tuberculização geral de 1 a 3 mm 0,9 a 2,4 1.3. Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume em camada espessa 0,6 1.4. Leve enferrujamento 0,25 1.5. Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 0,1 1.6. Revestimento com argamassa de cimento obtido por centrifugação 0,1 1.7. Tubo novo previamente alisado internamente e posterior revestimento de esmalte,

vinyl ou epoxi obtido por centrifugação

0,06 II. TUBO DE CONCRETO 2.1. Acabamento bastante rugoso: executado com formas de madeira muito rugosas:

concreto pobre com desgastes por erosão; juntas mal alinhadas

2,0 2.2. Acabamento rugoso: marcas visíveis de formas 0,5 2.3. Superfície interna alisada a desempenadeira; juntas bem feitas 0,3 2.4. Superfície obtida por centrifugação 0,33 2.5. Tubo de superfície lisa, executado com formas metálicas, acabamento médio com

juntas bem cuidadas.

0,12 2.6. Tubo de superfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas,

acabamento esmerado, e juntas cuidadas

0,06 III. TUBO DE CIMENTO AMIANTO 0,10 I.V. TUBO DE FERRO FUNDIDO 4.1. Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida por centrifugação

com ou sem proteção de tinta a base de betume

0,1 4.2. Não revestido 0,15 a 0,6 4.3. Leve enferrujado 0,30 V. TUBO DE PLÁSTICO 0,06 VI. TUBOS USADOS 6.1. Com camada de lodo inferior a 5,0 mm 6.2. Com incrustações de lodo ou de gorduras inferiores a 25 mm 6,0 a 30,0 6.3. Com material sólido arenoso depositado de forma irregular 60,0 a 30,0 NOTA: – Valores mínimos a adotar com tubos novos (ef. item 5.8.1.9. da PNB 591): – Para adutoras medindo mais de 1.000 m de comprimento: 2,0 vezes o valor encontrado na

tabela acima para o tubo e acabamento escolhidos. – Para adutoras medindo menos de 1.000 m de comprimento: 1,4 vezes o valor encontrado na

tabela para o tubo e acabamento escolhidos.

197

Tabela 1D. Valores de C (fórmula de Hazen-Willians) Material C

Aço corrugado (Chapa ondulada) 60 Aço com juntas “Lock-Bar” novas 130 Aço galvanizado (novo e em uso) 125 Aço rebitado novo 110 Aço rebitado em uso 85 Aço soldado novo 120 Aço soldado em uso 90 Aço salgado com reve. esp. novo e em uso 130 Chumbo 130 Cimento amianto 140 Cobre 130 Concreto bem acabado 130 Concreto acabamento comum 120 Ferro fundido novo 130 Ferro fundido em uso 90 Ferro fundido revestido de cimento 130 Grés cerâmico vidrado (manilha) 110 Latão 130 Madeira em aduelas 120 Tijolos condutos bem executados 100 Vidro 140 Plástico 140

198

Tabela 1E. Equivalência das perdas de cargas localizadas em metros de canalização de PVC rígido ou cobre

Diâmetro D

Joelho 90o

Joelho 45o

Curva 90o

Curva 45o

Tes 90o Passagem

Direta

Tes 90o Saída

de Lado

Tes 90o Saída

Bilateral

Entrada Normal

Entrada de

Borda

Saída de

Canali-zação

Válvula de pé e

crivo

Válvula de Retenção Registro de Globo Aberto

Registro de Gaveta

Aberto

Registro Ângulo Aberto

Tipo Leve

Tipo Pessado

mm pol.

20 (1/2) 1,1 0,4 0,4 0,2 0,7 2,3 2,3 0,3 0,9 0,8 8,1 2,5 3,6 11,1 0,1 5,9

25 (3/4) 1,2 0,5 0,5 0,3 0,8 2,4 2,4 0,4 1,0 0,9 9,5 2,7 4,1 11,4 0,2 6,1

32 (1) 1,5 0,7 0,6 0,4 0,9 3,1 3,1 0,5 1,2 1,3 13,3 3,8 3,8 15,0 0,3 8,4

40 (1 ¼) 2,0 1,0 0,7 0,5 4,5 4,6 4,6 0,6 1,8 1,4 15,5 4,9 7,4 22,0 0,4 10,5

50 (1 ½) 3,2 1,3 1,2 0,6 2,2 7,3 7,3 1,0 2,3 3,2 18,3 6,8 9,1 35,8 0,7 17,0

60 (2) 3,4 1,5 1,3 0,7 2,3 7,6 7,6 1,5 2,8 3,3 23,7 7,1 10,8 37,9 0,8 18,5

75 (2 ½) 3,7 1,7 1,4 0,8 2,4 7,8 7,8 1,6 3,3 3,3 25,0 8,2 12,5 38,0 0,9 18,0

85 (3) 3,9 1,8 1,5 0,9 2,5 8,0 8,0 2,0 3,7 3,7 26,8 9,3 14,2 40,0 0,9 20,0

110 (4) 4,3 1,9 1,6 1,0 2,6 8,7 8,3 2,2 4,0 3,9 28,6 10,4 15,0 42,3 1,0 22,1

140 (5) 4,9 2,4 1,9 1,1 3,3 10,0 10,0 2,5 5,0 4,9 37,4 12,5 19,2 50,9 1,1 26,2

160 (6) 5,4 2,6 2,1 1,2 3,6 11,1 11,1 3,6 5,6 5,5 43,4 13,9 21,4 56,7 1,2 28,9

199

Tabela 1F . Perdas localizadas expressas em diâmetros de canalização retilínea (comprimentos equivalentes)

Peça Comprimentos expressos em diâmetros (números de diâmetros)

Ampliação gradual 12 Cotovelo de 90o 45 Cotovelo de 45o 20 Curva de 90o 30 Curva de 45o 15 Entrada normal 17 Entrada de borda 35 Junção 30 Redução gradual e excêntrica 6 3/4 aberto = 35D Registro de gaveta, aberto 8 1/2 aberto = 170D Registro de globo, aberto 350 1/4 aberto = 900D Registro de ângulo, aberto 170 Saída de canalização 35 Tê, passagem direta 20 Tê, saída de lado 50 Tê, saída bilateral 65 Válvula-de-pé e crivo 250 Válvula de retenção 100

Curvas de aço em segmentos 30o – 2 segmentos 7 45o – 2 segmentos 15 45o – 3 segmentos 10 60o – 2 segmentos 25 60o – 3 segmentos 15 90o – 2 segmentos 65 90o – 3 segmentos 25 90o – 4 segmentos 15

200

Figura 1A . Fluxograma de Podalyro para determinação da perda de carga (hf).

201

Figura 1B . Fluxograma de Podalyro para determinação da vazão (Q).

202

Figura 1C . Fluxograma de Podalyro para determinação do diâmetro (D).

203

Tabela 1G. Pressão de vapor da água em função da temperatura.

Tabela 1H. Pressão Atmosférica em Função da Altitude.

204

Pressão Atmosférica em Função da Altitude.

205

Apêndice 2. Deduções das equações para o cálculo da s grandezas

geométricas das seções dos canais

206

2.1 Seções usuais 2.1.1 Seção Trapezoidal

a. Área molhada (A)

)+(=+=

=∴=α

+=2

2+=

2

nn

nn

nn

nnnn

zybyA

zybyA

zyxy

xtg

xybyyx

byA

b. Perímetro molhado (P)

1+2+=

1+=→+=+=

2+=

2

2222222

zybP

zyTyyzyxT

TbP

n

nnnn

c. Raio hidráulico (R)

( )

12 2 ++

+==

zyb

yby

P

AR

n

nn

d. Largura da superfície (B)

nzybB

xbB

2+=2+=

2.1.2 Seção retangular

Basta fazer z = 0 nas fórmulas deduzidas para canal trapezoidal, obtidas anteriormente.


nbyA =


nybP 2+=


n

n

yb

by

P

AR

2+==

2.1.3 Seção triangular

Basta fazer b = 0 nas equações deduzidas para o canal trapezoidal.

207


Basta fazer b = 0 nas equações deduzidas para o canal trapezoidal.


208


2= nzyA


1+2=+2= 2222 zyyyzP nnn


P

AR = =

12 2 +z

zyn

2.1.4 Seção circular

a. Perímetro molhado (P)

2θ=∴

θπ2=π D

Pr

P

D (θ em radiano)

b. Profundidade normal (yn)

Pelo triângulo retângulo OSN:

209

2

-

22

2-

22--

4

2 πθθππθππβ =+=

=

( )

=

=

=

==

2-0

22-

22-

2222-

--

2-

2222-

θ

θππθ

πθβ

cosDD

ny

cossencossenDD

ny

acossenbbcossenabasen

senD

senDD

ny

2θ1

2= sco

Dyn - ∴

D

ycos n2=

2θ1-

2θο=21 sc

D

yn-

=Dny

arccos 2-12θ

θ−1=2

cos2

Dyn

c. Largura da superfície (B)

Pelo triangulo retângulo OSN:

SN = B/2 (metade da largura da superfície)

210

−

=

+

=

−−+

=

−

−+

=

−+

=

221

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2222

2

2

2

2

2

221

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

θ

θ

θ

θ

cosDB

cosDBD

Dcos

DDBD

Dcos

DBD

Dny

BD

2

22222

2

2

2

2

θ

θθ

DsenB

senDB

senDB

=

=→

=

d. Área molhada (A)

A1= Área hachureada do canal

A1= Área do setor (A2) – área do triângulo (A3)

A2 = Área do setor circular OMN

A3 = Área do triângulo isósceles OMN

4

2DA

π= - A1

2Β=

=2

D-y

2

D-y

2

ΜΝΑ nn3

=

−

=2

θcos

2

θsenD

4

1-

2

θcos

2

D

2

θDsen

2

1A 2

3

θ−π2

π2=π

2

2

A

/4D

−=

=242

-2

4

22

2

θπθπ DDA

2

θcos

2

θsenD

4

1

2

θ-π

4

DA 2

2

1 +

=

211

−=

−+−=

222

8

222

24

1

82

4

2

4

2

θθθ

θθθππ

cossenD

A

cossenDDDD

A

222

θθθ sencossen = (tabelas trigonométricas)

( )θθ senD

A -8

2= (θ em radiano)

e. Raio hidráulico (R)

( )

θθ1

4=

θ2θθ

8==

2

senDR

Dsen

D

P

AR

-

-

2.1.5 Canal semicircular

Neste caso basta usar as equações deduzidas para canal de seção circular, fazendo θ=π.

a. Perímetro molhado(P)

2

π=2

θ= DDP

b. Profundidade normal (yn)

2

21

221

2

Dny

cosD

cosD

ny

=

−=

−= πθ

212

c. Largura da superfície (B)

DB

DsenDsenB

=

==22

πθ

d. Área molhada(A)

( ) ( )

8

28

2

8

2

DA

senD

senD

A

π

ππθθ

=

−=−=

e. Raio hidráulico (R)

4

2-1

42-1

4

DR

senDsenDR

=

=

= πθ

Observa-se que o raio hidráulico do canal semicircular é igual ao raio hidráulico do canal circular

funcionando a plena seção.

213

2.2 Seções de máxima eficiência 2.2.1 Seção trapezoidal de máxima eficiência

Da Tabela 2 tira-se que:

122 ++= znybP (1)

( )nzybnyA += (2)

nzyb + = nnn

zyy

Ab

y

A −=⇒ (3)

(3) em (1):

2212

02122

212

ny

Azz

zzny

A

ndy

dP

znynzyny

AP

=−+

=++−−=

++−=

)zz(nyA −+= 2122 (4)

(4) em (3):

nzyzznyb −

−+= 212

214

−+= zznyb 212 (5)

(5) em (1):

212212 znyzznyP ++

−+=

−+= zznyP 2122 (6)

( )( ) 2

=→−+122−+12==

2

22n

n

n yR

zzy

zzy

P

AR

(7)

Observação: havendo a possibilidade de escolher o valor de z (z é função da natureza das paredes

do canal) para a seção de máxima eficiência, este será substituído, yn de (4) em (6):

2/1

2

−+12=

zz

Ayn

( )zzzz

AP −+12

−+122= 2

2/1

2

( ) 2/122/1 −+122= zzAP elevando ambos os membros ao quadrado

( )[ ]zzAP −+124=5,022 derivando, vem:

22

2

2

2

2

+1=4+1=2

0=1−+1

2

0=1

1−

+1

22=

1−

+1

24=2

zz

zz

z

z

Pz

zA

dz

dP

z

zA

dz

dPP

215

α=3

1=

tgz

z

°30=α

O canal trapezoidal de máxima eficiência, quando z puder ser fixado, é um semi-hexágono,

como mostrado a seguir (n = número de lados; Si = soma dos ângulos internos; i = valor de um

ângulo interno):

Semi-hexágono

( )( )

( )

6=2=6−3

2=2−3

°120=2−°180==

2−°180=

n

nn

nnn

n

n

Si

nS

i

i

2.2.2 Seção retangular de máxima eficiência

z = 0, que substituindo nas equações (4), (5), (6) e (7), fornece:

2=

4=2=2= 2

n

n

n

n

yR

yP

yb

yA

216

2.2.3 Seção triangular de máxima eficiência


2= nzyA (1)

2+12= zyP n (2)

z

Any = que substituindo em (2), fornece:

( )

+14=+14=

+12=

22

2

zz

Azz

AP

zz

AP

Derivando P em relação à z, vem:

°90=θ→α2=θ°45=α→1=→1=2

0=

21−14=2

zz

zA

dz

dPP

Levando z às expressões (1) e (2), tem-se:

n

n

yP

yA

22=

= 2

Pela definição de raio hidráulico, chega-se a:

22

= nyR

217

2.2.4 Seção circular de máxima eficiência


2

θ= DP e ( )θ−θ

8=

2

senD

A

θθ−1

12Α8=

θ−θθ

28=

θ−θ8=

sensen

AP

sen

AD

0=θd

dP

Efetuando a derivada e simplificando, vem:

( ) ( )θθθθ cos12 −=− sen

A solução da equação acima é:

°== 180πθ , que levada às expressões de A e P fornece:

2

DP

π= e 8

2DA

π=

Deste modo pode-se observar que o canal circular de máxima eficiência trabalha a meia

seção (o canal é chamado de semicircular).

218

Apêndice 3. Condutos Livres: tabelas e figuras

219

Tabela 3A. Valores de γ para a fórmula de Bazin

Natureza da parede Estado da parede

Perfeito Bom Regular Mau

Cimento liso 0,048 0,103 0,157 0,212

Argamassa de cimento 0,103 0,157 0,212 0,321

Aqueduto de madeira aparelhada 0,048 0,157 0,212 0,267

Aqueduto de madeira não aparelhada 0,103 0,212 0,267 0,321

Canais revestidos de concreto 0,157 0,267 0,377 0,485

Pedras brutas rejuntadas com cimento 0,430 0,594 0,870 1,142

Pedras não rejuntadas 0,870 0,142 1,303 1,419

Pedras talhadas 0,212 0,267 0,321 0,430

Paredes metálicas de seção semicircular lisa 0,103 0,157 0,212 0,321

Paredes de chapas corrugadas, em seção semicircular 0,733 0,870 1,007 1,142

Paredes de terra, canais retos e uniformes 0,430 0,594 0,733 0,870

Paredes de pedra, lisas em canais uniformes 0,870 1,142 1,308 1,419

Paredes rugosas de pedras irregulares 1,419 1,169 1,965 -

Canais de terra com grandes meandros 0,733 0,870 1,007 1,142

Canais de terra, dragados 0,870 1,007 1,142 1,308

Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas

margens de terra 0,870 1,142 1,419 1,690

Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 1,025 1,142 1,308 1,419

Canais naturais

a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas mortas

profundas 0,870 1,007 1,142 1,308

b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra 1,142 1,308 1,419 1,690

c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda,

limpa 1,419 1,690 1,965 2,240

d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e seção

menor 1,60 1,965 2,240 2,515

e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas

margens 1,308 1,419 1,690 1,965

f) Mesmo que d) com pedras 1,965 2,24 2,515 2,780

g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas

mortas profundas 2,240 2,78 3,340 3,880

h) Zonas com muita vegetação 3,610 4,98 6,360 7,720

220

Tabela 3B. Valores de n para as equações de Manning

Natureza da parede Estado da parede

Perfeito Bom Regular Mau

Cimento liso 0,010 0,011 0,012 0,013

Argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015

Aqueduto de madeira aparelhada 0,010 0,012 0,013 0,014

Aqueduto de madeira não aparelhada 0,011 0,013 0,014 0,015

Canais revestidos de concreto 0,012 0,014 0,016 0,018

Pedras brutas rejuntadas com cimento 0,017 0,020 0,025 0,030

Pedras não rejuntadas 0,025 0,030 0,033 0,035

Pedras talhadas 0,013 0,014 0,015 0,017

Paredes metálicas de seção semicircular lisa 0,011 0,012 0,0275 0,030

Paredes de terra, canais retos e uniformes 0,017 0,020 0,0225 0,030

Paredes de pedra, lisas em canais uniformes 0,025 0,030 0,033 0,035

Paredes rugosas de pedras irregulares 0,035 0,040 0,045 -

Canais de terra com grandes meandros 0,0225 0,025 0,0275 0,030

Canais de terra, dragados 0,025 0,0275 0,030 0,033

Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas

margens de terra 0,025 0,030 0,035 0,040

Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 0,028 0,030 0,033 0,035

Canais naturais

a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas


b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra 0,030 0,033 0,035 0,040

c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda,

limpa 0,035 0,040 0,045 0,050

d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e

seção menor 0,040 0,045 0,050 0,055

e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas

margens 0,033 0,035 0,040 0,045

f) Mesmo que d) com pedras 0,045 0,050 0,055 0,060

g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas


h) Zonas com muita vegetação 0,075 0,100 0,125 0,150

221

Figura 3A . Elementos Hidráulicos de uma tubulação de seção circular.

Observações:

a) O máximo de Q ocorre quando yn/D = 0,95;

b) O máximo de V ocorre quando yn/D = 0,81;

c) Q a plena seção é igual a Q quando yn/D = 0,82;

d) R a meia seção (yn/D = 0,5) é igual a R a plena seção (yn/D=1);

e) Q a plena seção (yn/D = 1,0) é o dobro de Q a meia seção (yn/D=0,5);

f) V a meia seção (yn/D = 0,5) é igual a V a plena seção (yn/D = 1,0);

g) Onde R é máximo, V é máximo;

h) Onde Q é máximo, R/R0 = 1,15;

i) Onde V é máximo, R/R0 = 1,22.

222

Figura 3B. Dimensionamento de canais circulares.

Observações:

a. Relação para vazão máxima: yn/D = 0,95

b. Curva (1): relaciona yn/D com nQ/D8/3I1/2

c. Curva (2): relaciona yn/D com nQ/yn8/3I1/2

223

Figura 3C . Determinação da largura de fundo (b) para canais trapezoidais e retangulares

(z = 0)

Figura 3D . Determinação da profundidade (y

m = z 0

yn/b 0,5

224

. Determinação da profundidade (yn) para canais trapezoidais e retangulares (z=0)

Relações para vazão máxima:

0,5 1 2 3

0,809 1,207 2,118 3,081

) para canais trapezoidais e retangulares (z=0)

4

3,081 4,061

225

Figura 3E . Determinação da profundidade (yn) para canais triangulares.

z

226

Apêndice 4. Vertedores, Orifícios e Bocais

227

Tabela 4A. Valores de C da fórmula Q = CLH3/s de vertedores retangulares em

= QCg23

2C paredes delgadas sem contrações laterais

Fórmula Altura

vertedor p (m)

Carga H (m)

0,05 0,10 0,15 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50

Bazin 0,20 2,03 2,03 2,07 2,17 2,28 2,42 2,46 2,50 2,54 Rehbock 0,20 1,86 1,89 1,98 2,13 2,44 2,88 3,23 3,55 4,02 Francis 0,20 1,81 1,84 1,90 1,95 2,02 2,13 2,16 2,18 2,22 Soc. Suiça 0,20 1,85 1,90 1,99 2,10 2,23 2,36 2,40 2,45 2,48 Bazin 0,50 1,99 1,95 1,94 1,97 2,08 2,14 2,22 2,27 2,32 Rehbock 0,50 1,83 1,82 1,88 1,93 2,04 2,12 2,21 2,28 2,39 Francis 0,50 1,82 1,81 1,87 1,91 1,99 2,02 2,05 2,06 2,10 Soc. Suiça 0,50 1,82 1,81 1,88 1,94 2,06 2,12 2,20 2,24 2,30 Bazin 1,00 1,99 1,92 1,90 1,90 1,94 2,03 2,10 2,15 2,21 Rehbock 1,00 1,83 1,79 1,84 1,86 1,91 2,00 2,08 2,13 2,20 Francis 1,00 1,82 1,79 1,85 1,86 1,89 1,95 1,99 2,02 2,04 Soc. Suiça 1,00 1,82 1,79 1,85 1,87 1,93 2,02 2,09 2,14 2,18 Bazin 1,50 1,99 1,92 1,90 1,88 1,89 1,90 1,96 2,01 2,06 Rehbock 1,50 1,82 1,78 1,84 1,85 1,86 1,88 1,94 1,99 2,03 Francis 1,50 1,81 1,78 1,86 1,86 1,87 1,87 1,91 1,94 1,97 Soc. Suiça 1,50 1,82 1,78 1,84 1,88 1,89 1,90 1,96 2,01 2,05 Bazin ∞ 2,06 1,93 1,88 1,86 1,82 1,81 1,81 1,80 1,79 Rehbock ∞ 1,88 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,79 1,78 1,78 Francis ∞ 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 Soc. Suiça ∞ 1,89 –1,82 1,82 1,82 1,82 1,81 1,81 1,81 1,81

� Correção de Francis.

Se o vertedor retangular tem largura L, menor que a largura do canal B, em virtude da

contração da veia, há uma diminuição de vazão. Como resultado de suas experiências, Francis

concluiu que, relativamente à descarga, tudo se passa como se o vertedor tivesse uma largura

fictícia L` = L – 0,2 H (contração nas duas faces) ou L’ = L – 0,1 H (contração em uma das faces).

228

Tabela 4B. Valores de CQ no caso de orifício retangular em parede delgada vertical Carga na borda

superior do orifício

Altura dos orifícios

> 0,20 m 0,10 m 0,05 m 0,03 m 0,02 m 0,01 m

0,005 m – – – – – 0,705 0,010 – – – – – 0,701 0,015 – 0,593 0,612 0,632 0,660 0,697 0,020 0,572 0,596 0,615 0,634 0,659 0,694 0,030 0,578 0,600 0,620 0,638 0,659 0,688 0,040 0,582 0,603 0,623 0,640 0,658 0,683 0,050 0,585 0,605 0,625 0,640 0,658 0,679 0,060 0,587 0,607 0,627 0,640 0,657 0,676 0,070 0,588 0,609 0,628 0,639 0,656 0,673 0,080 0,589 0,610 0,629 0,638 0,656 0,670 0,090 0,591 0,610 0,629 0,637 0,655 0,668 0,100 0,592 0,611 0,630 0,637 0,654 0,666 0,120 0,593 0,612 0,630 0,636 0,653 0,663 0,140 0,595 0,613 0,630 0,635 0,651 0,660 0,160 0,596 0,613 0,631 0,634 0,650 0,658 0,180 0,597 0,615 0,630 0,634 0,649 0,657 0,200 0,598 0,615 0,630 0,633 0,648 0,655 0,250 0,599 0,616 0,630 0,632 0,646 0,653 0,300 0,600 0,616 0,629 0,632 0,644 0,650 0,400 0,602 0,617 0,628 0,631 0,642 0,647 0,500 0,603 0,617 0,628 0,630 0,640 0,644 0,600 0,604 0,617 0,627 0,630 0,638 0,642 0,700 0,605 0,616 0,627 0,629 0,637 0,640 0,800 0,605 0,616 0,627 0,629 0,636 0,637 0,900 0,605 0,615 0,626 0,628 0,634 0,635 1,00 0,605 0,615 0,626 0,628 0,633 0,632 1,10 0,604 0,614 0,625 0,627 0,631 0,629 1,20 0,604 0,614 0,624 0,626 0,628 0,626 1,30 0,603 0,613 0,622 0,624 0,625 0,622 1,40 0,603 0,612 0,621 0,622 0,622 0,618 1,50 0,602 0,611 0,620 0,620 0,619 0,615 1,60 0,602 0,611 0,618 0,618 0,617 0,613 1,70 0,602 0,610 0,616 0,616 0,615 0,612 1,80 0,601 0,609 0,615 0,615 0,614 0,612 1,90 0,601 0,608 0,614 0,613 0,612 0,612 2,00 0,601 0,607 0,613 0,612 0,612 0,611

> 3,00 0,601 0,603 0,606 0,608 0,610 0,609

229

Tabela 4C. Valores de CQ no caso de orifício circular em parede delgada vertical Carga no centro dos orifícios

Altura dos orifícios 0,30 m 0,18 m 0,06 m 0,03 m 0,015 m 0,006 m

0,12 m – – – 0,618 0,631 – 0,15 – 0,592 0,600 0,615 0,627 – 0,18 – 0,593 0,601 0,613 0,624 0,655 0,21 0,590 0,594 0,601 0,611 0,622 0,651 0,24 0,591 0,594 0,601 0,610 0,620 0,648 0,27 0,591 0,595 0,601 0,609 0,618 0,646 0,30 0,591 0,595 0,600 0,608 0,617 0,644 0,40 0,593 0,596 0,600 0,605 0,613 0,638 0,60 0,595 0,597 0,599 0,604 0,610 0,632 0,90 0,595 0,598 0,599 0,603 0,606 0,627 1,20 0,596 0,597 0,599 0,602 0,605 0,623 1,80 0,596 0,597 0,598 0,600 0,604 0,618 2,40 0,596 0,596 0,598 0,600 0,603 0,614 3,00 0,595 0,596 0,597 0,598 0,601 0,611 6,00 0,594 0,596 0,596 0,596 0,598 0,601

30,00 0,592 0,592 0,592 0,592 0,592 0,592

230

Tabela 4D . Valores dos coeficientes médios de bocais Casos Cc Cv Ca Observações

0,62 0,985 0,61 Valores médios para orifícios comuns em parede delgada

0,52 0,98 0,51 Veia livre

1,00 0,75 0,75 Veia colada

0,62 0,985 0,61 Veia livre (valores médios)

1,00 0,82 0,82 Veia colada

1,00 0,98 0,98 Bordos arredondados acompanhando os filetes líquidos

apostila hidráulica- v2-atualizada_

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