apostila fisica 2

FSICA E LABORATRIO DE FSICA II

ENGENHARIA DE PRODUO EAD

Fsica e Laboratrio de Fsica II Prof. Ms. Yuri Santana de Macedo

Meu nome Yuri Santana de Macedo. Sou Licenciado em F-sica pela Universidade do Estado de Santa Catarina (Udesc), campus Joinville, e mestre em Engenharia Nuclear pelo Insti-tuto Militar de Engenharia (IME). Atualmente, sou professor de Fsica e Laboratrio de Fsica, nos cursos de Engenharia Eltri-ca, Mecnica e Mecatrnica das Faculdades Claretianas de Rio Claro.E-mail: [email protected]

FSICA E LABORATRIO DE FSICA IIGuia de Estudos da Disciplina

Yuri Santana de Macedo

BatataisClaretiano

2014

Ao Educacional Claretiana, 2012 Batatais (SP)Trabalho realizado pelo Claretiano - Centro Universitrio

Cursos: GraduaoDisciplina: Fsica e Laboratrio de Fsica II

Verso: ago./2014

Reitor: Prof. Dr. Pe. Srgio Ibanor PivaVice-Reitor: Prof. Ms. Pe. Jos Paulo Gatti

Pr-Reitor Administrativo: Pe. Luiz Claudemir BotteonPr-Reitor de Extenso e Ao Comunitria: Prof. Ms. Pe. Jos Paulo Gatti

Pr-Reitor Acadmico: Prof. Ms. Lus Cludio de Almeida

Coordenador Geral de EaD: Prof. Ms. Artieres Estevo RomeiroCoordenador de Material Didtico Mediacional: J. Alves

Corpo Tcnico Editorial do Material Didtico Mediacional

Preparao Aline de Ftima Guedes

Camila Maria Nardi Matos Carolina de Andrade Baviera

Ctia Aparecida RibeiroDandara Louise Vieira Matavelli

Elaine Aparecida de Lima MoraesJosiane Marchiori Martins

Lidiane Maria MagaliniLuciana A. Mani Adami

Luciana dos Santos Sanana de MeloLuis Henrique de Souza

Patrcia Alves Veronez MonteraRaquel Baptista Meneses Frata

Rosemeire Cristina Astolphi BuzzelliSimone Rodrigues de Oliveira

RevisoCeclia Beatriz Alves TeixeiraFelipe AleixoFilipi Andrade de Deus SilveiraPaulo Roberto F. M. Sposati OrtizRafael Antonio MorottiRodrigo Ferreira DaverniSnia Galindo MeloTalita Cristina BartolomeuVanessa Vergani Machado

Projeto grfico, diagramao e capa Eduardo de Oliveira AzevedoJoice Cristina Micai Lcia Maria de Sousa FerroLuis Antnio Guimares Toloi Raphael Fantacini de OliveiraTamires Botta Murakami de SouzaWagner Segato dos Santos

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo, a transmisso total ou parcial por qualquer forma e/ou qualquer meio (eletrnico ou mecnico, incluindo fotocpia, gravao e distribuio na web), ou o arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permisso por escrito do autor e da Ao Educacional Claretiana.

Claretiano - Centro UniversitrioRua Dom Bosco, 466 - Bairro: Castelo Batatais SP CEP 14.300-000

[email protected]: (16) 3660-1777 Fax: (16) 3660-1780 0800 941 0006

www.claretianobt.com.br

SUMRIO

GUIA DE ESTUDOS

1 ORIENTAES PARA O ESTUDO DA DISCIPLINA ............................................ 82 DESCRIO DAS UNIDADES DE ESTUDO ........................................................ 16

INFORMAO: Este Guia de Estudos desenvolvido com Contedos Bsicos de Referncia preexistentes na Biblioteca Virtual Pearson e artigos disponveis na internet. Isso significa que, neste caso, no so disponibilizados na Sala de Aula Virtual (SAV) os contedos referentes a esta disciplina, mas sim um Guia de Estudos no qual constam as orientaes que iro ajud-lo no decorrer de seus estudos, bem como as referncias bibliogrficas (disponveis na Biblioteca Virtual Pearson, na SAV) que fundamentam esta disciplina.Lembre-se de que, para o melhor aproveitamento de seus estudos, voc contar tambm com as orientaes do seu tutor a distncia.

1GUIA DE ESTUDOS

Este Guia de Estudos foi elaborado para auxili-lo durante o estudo de Fisca e Laboratrio de Fsica II. Portanto, sugerimos que fique atento a informaes aqui contidas.

Neste Guia de Estudos, voc ter acesso aos seguintes t-picos: Orientaes para o Estudo, Descrio das Unidades, Consi-deraes Gerais, Bibliografia Bsica, Bibliografia Complementar e E-referncia.

Contedos Gravitao; Oscilaes; Ondas em Meios Elsticos; Ondas Sonoras; Esttica dos Fluidos; Dinmica dos Fluidos; Termodinmica: calor, primeira lei da termo-dinmica, segunda lei da termodinmica e entropia; Teoria Cintica dos Gases.

GE

Guia de Estudos Fsica e Laboratrio de Fsica II

8 Claretiano - Centro Universitrio

1. ORIENTAES PARA O ESTUDO

Apresentao

Seja bem-vindo!

Voc iniciar o estudo de Fsica e Laboratrio de Fsica II, que um dos contedos que compem o curso de Bacharelado em Engenharia de Produo e que ser desenvolvido na modalidade EaD.

Nesta disciplina, voc estudar como se d o movimento dos planetas em torno do Sol e aprender a calcular a fora que man-tm os planetas presos em suas rbitas. Conhecer as caracte-rsticas do movimento harmnico simples (MHS) e ver que, para uma situao particular, o movimento pendular tambm poder ser considerado um MHS. Posteriormente, iniciaremos o estudo da mecnica dos fluidos, no qual estudaremos os fluidos em repouso e em movimento. Outro ramo da Fsica que analisaremos a ter-mologia. Nela diferenciaremos calor de temperatura e veremos as consequncias que uma variao de temperatura pode causar em um corpo. Por fim, analisaremos a primeira lei da termodinmica e enunciaremos a segunda lei.

Abordagem Geral Prof. Ms. Yuri Santana de Macedo

Neste tpico, apresenta-se uma viso geral do que ser es-tudado neste Guia de Estudos. Aqui, voc entrar em contato com os assuntos principais deste contedo de forma breve e geral e ter a oportunidade de aprofundar essas questes no estudo de cada unidade. Desse modo, essa Abordagem Geral visa fornecer--lhe o conhecimento bsico necessrio, a partir do qual voc pos-sa construir um referencial terico com base slida cientfica e cultural para que, no futuro exerccio de sua profisso, voc a exera com competncia cognitiva, tica e responsabilidade social.



Vamos comear nossa aventura pela apresentao das ideias e dos princpios bsicos que fundamentam este Guia de Estudos.

A Fsica e Laboratrio de Fsica II tem como objetivo apre-sentar os conceitos relacionados ao movimento dos planetas, mo-vimento peridico, mecnica dos fluidos, termologia, ondas mec-nicas e termodinmica.

A Unidade 1 ser dividida em duas partes. Na primeira, ser analisado o movimento dos planetas, no qual veremos as trs leis de Kepler e a lei de Newton da gravitao. J na segunda parte, ser analisado o movimento peridico, mais precisamente o MHS.

A parte da Fsica relacionada mecnica dos fluidos ser abordada na Unidade 2. Estudaremos a esttica e dinmica dos fluidos.

Na Unidade 3, sero apresentadas as ondas mecnicas. Ana-lisaremos as caractersticas dessas ondas e estudaremos um tipo de onda mecnica que est muito presente em nosso diaa-dia, o som.

Por fim, na Unidade 4, sero abordados os conceitos de tem-peratura e calor, bem como, suas respectivas diferenas. Veremos, ainda, as diferentes escalas termomtricas existentes e aprendere-mos como determinar a dilatao que os corpos sofrem com a va-riao da temperatura. O equilbrio trmico entre corpos tambm ser estudado nesta unidade.

Na quinta e ltima unidade, estudaremos a primeira lei da termodinmica e enunciaremos a segunda lei. Alm disso, vere-mos como determinar o trabalho realizado por um gs e como de-terminar o rendimento de uma mquina trmica.

Para este Guia de Estudos, utilizaremos como referncia a obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II Termodi-nmica e ondas, que est disponvel na Biblioteca Digital Univer-sitria Pearson. Visando cumprir a Ementa, estudaremos os nove



captulos do livro. Nem todos os tpicos presentes nos captulos sero abordados, abordaremos somente os mais relevantes.

Desejamos que voc se sinta motivado e desafiado neste es-tudo agora iniciado.

Glossrio de Conceitos

O Glossrio de Conceitos permite a voc uma consulta r-pida e precisa das definies conceituais, possibilitando-lhe um bom domnio dos termos tcnico-cientficos utilizados na rea de conhecimento dos temas tratados no Guia de Estudos Fsica e La-boratrio de Fsica II. Veja, a seguir, a definio dos principais con-ceitos desta disciplina:

1) Calor: energia trmica em trnsito.2) Densidade: relao entre a massa e o volume que um

corpo ocupa.3) Empuxo: fora vertical exercida de baixo para cima por

um fluido em um corpo. Numericamente igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

4) Equilbrio trmico: ocorre quando dois corpos atingem a mesma temperatura.

5) Frequncia: ciclos por unidade de tempo. No Sistema In-ternacional de Unidades (SI), nmeros de ciclos em um segundo (Hertz).

6) Massa: relao entre a fora aplicada em um corpo e a acelerao linear que este adquire.

7) Onda mecnica: propagao de uma perturbao no meio. No carrega massa, somente energia.

8) Perodo: tempo para completar um ciclo.9) Peso: relao entre a massa de um corpo e a acelerao

da gravidade.10) Processo adiabtico: processo em que no existe troca

de calor.11) Processo isobrico: processo em que no existe varia-

o da presso.



12) Processo isocrico: processo em que no existe variao no volume.

13) Processo isotrmico: processo em que no existe varia-o da temperatura.

14) Temperatura: est relacionada com a energia cintica das molculas do corpo.

Esquema dos Conceitos-chave

Para que voc tenha uma viso geral dos conceitos mais importantes deste estudo, apresentamos, a seguir (Figura 1), um Esquema dos Conceitos-chave. O mais aconselhvel que voc mesmo faa o seu esquema de conceitos-chave ou at mesmo o seu mapa mental. Esse exerccio uma forma de voc construir o seu conhecimento, ressignificando as informaes a partir de suas prprias percepes.

importante ressaltar que o propsito desse Esquema dos Conceitos-chave representar, de maneira grfica, as relaes en-tre os conceitos por meio de palavras-chave, partindo dos mais complexos para os mais simples. Esse recurso pode auxiliar voc na ordenao e na sequenciao hierarquizada dos contedos de ensino.

Com base na teoria de aprendizagem significativa, entende--se que, por meio da organizao das ideias e dos princpios em esquemas e mapas mentais, o indivduo pode construir o seu co-nhecimento de maneira mais produtiva e obter, assim, ganhos pe-daggicos significativos no seu processo de ensino e aprendiza-gem.

Aplicado a diversas reas do ensino e da aprendizagem es-colar (como planejamentos de currculo, sistemas e pesquisas em Educao), o Esquema dos Conceitos-chave baseia-se, ainda, na ideia fundamental da Psicologia Cognitiva de Ausubel, que estabe-lece que a aprendizagem ocorre pela assimilao de novos concei-



tos e de proposies na estrutura cognitiva do aluno. Assim, novas ideias e informaes so aprendidas, uma vez que existem pontos de ancoragem.

Tem-se de destacar que aprendizagem no significa, ape-nas, realizar acrscimos na estrutura cognitiva do aluno; preci-so, sobretudo, estabelecer modificaes para que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Para isso, importante con-siderar as entradas de conhecimento e organizar bem os materiais de aprendizagem. Alm disso, as novas ideias e os novos concei-tos devem ser potencialmente significativos para o aluno, uma vez que, ao fixar esses conceitos nas suas j existentes estruturas cog-nitivas, outros sero tambm relembrados.

Nessa perspectiva, partindo-se do pressuposto de que voc o principal agente da construo do prprio conhecimento, por meio de sua predisposio afetiva e de suas motivaes internas e externas, o Esquema dos Conceitos-chave tem por objetivo tor-nar significativa a sua aprendizagem, transformando o seu conhe-cimento sistematizado em contedo curricular, ou seja, estabele-cendo uma relao entre aquilo que voc acabou de conhecer com o que j fazia parte do seu conhecimento de mundo (adaptado do site disponvel em: . Acesso em: 11 mar. 2010).



Figura 1 Esquema dos Conceitos-chave de Fsica e Laboratrio de Fsica II.

Como pode observar, esse Esquema oferece a voc, como dissemos anteriormente, uma viso geral dos conceitos mais im-portantes deste estudo. Ao segui-lo, ser possvel transitar entre os principais conceitos e descobrir o caminho para construir o seu processo de ensino-aprendizagem. O Esquema dos Conceitos-cha-ve mais um dos recursos de aprendizagem que vem se somar queles disponveis no ambiente virtual, por meio de suas ferra-mentas interativas, bem como queles relacionados s atividades didtico-pedaggicas realizadas presencialmente no polo. Lem-bre-se de que voc, aluno EaD, deve valer-se da sua autonomia na construo de seu prprio conhecimento.

Questes Autoavaliativas

No final de cada unidade, voc encontrar algumas questes autoavaliativas sobre os contedos ali tratados, as quais podem ser de mltipla escolha, abertas objetivas ou abertas dissertati-vas.

Responder, discutir e comentar essas questes, bem como relacion-las com a prtica do ensino de Engenharia de Produo pode ser uma forma de voc avaliar o seu conhecimento. Assim, mediante a resoluo de questes pertinentes ao assunto tratado, voc estar se preparando para a avaliao final, que ser disser-



tativa. Alm disso, essa uma maneira privilegiada de voc testar seus conhecimentos e adquirir uma formao slida para a sua prtica profissional.

As questes de mltipla escolha so as que tm como respos-ta apenas uma alternativa correta. Por sua vez, entendem-se por questes abertas objetivas as que se referem aos contedos matemticos ou queles que exigem uma resposta determinada, inalterada. J as questes abertas dissertativas obtm por res-posta uma interpretao pessoal sobre o tema tratado; por isso, normalmente, no h nada relacionado a elas no item Gabarito. Voc pode comentar suas respostas com o seu tutor ou com seus colegas de turma.

Bibliografia Bsica

fundamental que voc use a Bibliografia Bsica em seus estudos, mas no se prenda s a ela. Consulte, tambm, as biblio-grafias apresentadas neste Guia de Estudos.

Figuras (ilustraes, quadros...)

Neste material instrucional, as ilustraes fazem parte inte-grante dos contedos, ou seja, elas no so meramente ilustra-tivas, pois esquematizam e resumem contedos explicitados no texto. No deixe de observar a relao dessas figuras com os con-tedos, pois relacionar aquilo que est no campo visual com o con-ceitual faz parte de uma boa formao intelectual.

Dicas (motivacionais)

O estudo deste Guia de Estudos convida voc a olhar, de for-ma mais apurada, a Educao como processo de emancipao do ser humano. importante que voc se atente s explicaes teri-cas, prticas e cientficas que esto presentes nos meios de comu-nicao, bem como partilhe suas descobertas com seus colegas, pois, ao compartilhar com outras pessoas aquilo que voc observa,



permite-se descobrir algo que ainda no se conhece, aprendendo a ver e a notar o que no havia sido percebido antes. Observar , portanto, uma capacidade que nos impele maturidade.

Voc, como aluno do curso de Bacharelado em Engenharia de Produo na modalidade EaD, necessita de uma formao con-ceitual slida e consistente. Para isso, voc contar com a ajuda do tutor a distncia, do tutor presencial e, sobretudo, da interao com seus colegas. Sugerimos, pois, que organize bem o seu tempo e realize as atividades nas datas estipuladas.

importante, ainda, que voc anote as suas reflexes em seu caderno ou no Bloco de Anotaes, pois, no futuro, elas pode-ro ser utilizadas na elaborao de sua monografia ou de produ-es cientficas.

Leia os livros da bibliografia indicada, para que voc amplie seus horizontes tericos. Coteje-os com o material didtico, discu-ta a unidade com seus colegas e com o tutor e assista s videoau-las.

No final de cada unidade, voc encontrar algumas questes autoavaliativas, que so importantes para a sua anlise sobre os contedos desenvolvidos e para saber se estes foram significativos para sua formao. Indague, reflita, conteste e construa resenhas, pois esses procedimentos sero importantes para o seu amadure-cimento intelectual.

Lembre-se de que o segredo do sucesso em um curso na modalidade a distncia participar, ou seja, interagir, procurando sempre cooperar e colaborar com seus colegas e tutores.

Caso precise de auxlio sobre algum assunto relacionado a este Guia de Estudos, entre em contato com seu tutor. Ele estar pronto para ajudar voc.



2. DESCRIO DAS UNIDADES DE ESTUDO

A seguir ser apresentada a descrio das unidades.

Unidade 1 Gravitao e Movimento Peridico

1. Objetivos Determinar a fora que mantm os planetas em suas r-

bitas. Verificar como se d a diminuio da acelerao da gravi-

dade com o aumento da distncia em relao superfcie terrestre.

Apresentar as leis de Kepler para a gravitao. Definir e equacionar o movimento harmnico simples.

Associar o movimento pendular com o movimento har-mnico simples.

2. Contedos Lei de Newton da gravitao. Leis de Kepler. Movimento harmnico simples.

3. RefernciaYOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Fsica II: termodinmica e ondas. 12. ed. So Paulo: Pearson (Addison Wesley), 2008.

4. Competncias

Ser capaz de:

Determinar a fora gravitacional entre os corpos.

Calcular a acelerao da gravidade para diferentes altitu-des.



Utilizar as equaes do movimento harmnico simples para determinar a frequncia, o perodo, a posio, a ve-locidade, a acelerao e a energia de um corpo oscilante.

5. Orientaes para o estudo da unidade

Importante Sugerimos, para o estudo desta unidade, que voc releia, no Guia Acadmico do seu curso, as informaes referentes Biblioteca Virtual Pearson, Meto-dologia e Forma de Avaliao de Fsica e Laboratrio de Fsica II. Alm disso, na Sala de Aula Virtual SAV, ferramenta Cronograma, sero disponibilizadas algumas instrues referentes maneira como voc dever proceder em rela-o s atividades e s interatividades ao longo deste estudo. O intuito facilitar a visualizao de informaes importantes e, com isso, possibilitar um melhor aproveitamento em seus estudos.

Esta unidade dividida em duas partes:

Na primeira, estudaremos a parte da Fsica relacionada gravitao. Veremos como estabelecer a fora gravitacional entre o Sol e a Terra e como podemos determinar a acelerao da gravi-dade no topo do Monte Everest. Veremos, tambm, que os plane-tas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol e aprenderemos algumas caractersticas dessas rbitas.

Para o estudo desta primeira parte, sugerimos que voc con-sulte o Glossrio de Conceitos e inicie a leitura do Captulo 12 (p. 1-8 e 13-17) da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Na segunda parte, comearemos o estudo do movimento peridico. Veremos que, para este movimento existir, necessria a presena de uma fora restauradora. Analisaremos o movimento harmnico simples, um caso particular do movimento peridico, no qual a fora restauradora deve ser diretamente proporcional posio. Para finalizar, estudaremos em que condies especiais o movimento pendular tambm pode ser considerado um oscilador harmnico.



Para o estudo dessa segunda parte, sugerimos que voc con-sulte o Glossrio de Conceitos e inicie a leitura, do Captulo 13 (p. 36-49 e 52-54), da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Voc encontrar essa obra em nossa Biblioteca Virtual Uni-versitria Pearson, cujo link est disponvel na Sala de Aula Virtual.

6. Gravitao

Atualmente, todo o mundo sabe que a Terra orbita em torno do Sol, mas nem sempre se pensou assim. Imagine que voc no tenha essa informao. Voc acorda de manh vendo o Sol nascer ao leste. Conforme o dia vai passando, voc observa que ele vai mudando de posio at que, ao meio-dia, est no topo do cu, pondo-se no oeste ao final do dia. Com essa observao, podemos facilmente chegar falsa concluso de que o Sol que orbita em torno da Terra. Mas, hoje, sabemos que isso no verdade.

difcil imaginar que somente por meio da observao do cu se conseguia chegar concluso de que a Terra que orbita em torno do Sol. Tambm, veremos que Kepler conseguiu, entre outras descobertas, descrever o formato das rbitas dos planetas em torno do Sol.

Veremos, no estudo da gravitao, as trs leis de Kepler e a lei de Newton da gravitao. Apesar de historicamente Newton aparecer aps as descobertas de Kepler, iniciaremos o nosso es-tudo com a lei de Newton da gravitao. Pois desse modo que o contedo apresentado nesse Guia de estudos.

Lei de Newton da gravitao

Newton queria descobrir qual fora mantinha os planetas orbitando em torno do Sol, pois, se no existisse uma fora, os planetas deveriam se desprender de suas rbitas, no ficando presos ao Sol. Para compreender de forma mais clara essa lei, su-gerimos a leitura do tpico Lei de Newton da gravitao, de Young e Freedman (2008, p. 1).



No ano de 1687, Newton publicou sua lei da gravitao.

O seu enunciado diz: Cada partcula do universo atrai qualquer outra partcula com uma fora diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre as partculas (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 1).

Ou seja, toda massa atrai qualquer outra massa. Observe a Figura 1. Nela podemos ver duas massas, m1 e m2, separadas por uma distncia r.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 2).Figura 1 Foras gravitacionais entre duas partculas.

Com isso, o mdulo da fora com que cada massa se atrair ser dado pela seguinte equao 1.1.

1 22g

Gm mFr

= (1.1)

Em que: Fg mdulo da fora gravitacional (N); m1 e m2 massa (kg); r distncia entre as massas (m);

G constante gravitacional 2

1126,67 10

Nmkg

.



importante que neste momento voc faa o exemplo 12.1, localizado na pgina 4, da obra de Young e Freedman (2008), inti-tulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Vimos, no Guia de Estudos de Fsica e Laboratrio de Fsica I, que a acelerao da gravidade diminui conforme vamos aumen-tando a distncia em relao ao nvel do mar. No prximo tpico, veremos como podemos calcular essa variao.

Acelerao da gravidade altura

Sabemos que, no nvel do mar, a acelerao da gravidade tem o valor aproximado de 29,80 m / s . No entanto, conforme va-mos aumentando a altura em relao ao nvel do mar, esse valor tem uma pequena diminuio. Sugerimos a leitura desse contedo na obra de Young e Freedman (2008, p. 5), tpico Peso.

Vimos, no Guia de Estudos de Fsica e Laboratrio de Fsica I, que a fora peso dada pelo produto da massa do objeto pela acelerao da gravidade local. A fora peso nada mais que uma fora gravitacional envolvendo a Terra e outro corpo.

Logo, se substituirmos, na equao 1.1, o mdulo da fora gravitacional pela equao da fora peso, ficamos com a seguinte equao:

2TGm mmg

r= (1.2)

Podemos cancelar a massa do objeto nos dois lados da equa-o.

Logo:

2TGmg

r= (1.3)

Quando consideramos a distncia entre dois corpos, sempre consideramos a distncia entre o centro de massa de ambos. Com



isso, podemos substituir o valor de r pelo raio da terra mais a altu-ra em que o corpo est em relao superfcie terrestre.

2( )T

T

GmgR h

=+

(1.4)

Em que: mT massa da Terra ( )245,97 10 kg ; RT raio da Terra ( )66,38 10 m ; h altura do corpo em relao superfcie terrestre.

Com essa equao, podemos determinar o valor da acelera-o da gravidade para qualquer altitude.

Para ficar mais claro, vamos resolver o seguinte exemplo: sa-bendo que o pico do Monte Everest est a 8848 m acima do nvel do mar, determine o valor da acelerao da gravidade nesse local.

Pela equao 1.4, temos:

11 242

2 6 2

6,67 10 5,97 10 9,76m / s( ) (6,38 10 8 848)

T

T

GmgR h

= = =

+ +

Logo a acelerao da gravidade no pico do Monte Everest vale 29,76 m / s .

Para finalizarmos o assunto de gravitao, faremos uma bre-ve abordagem sobre as leis de Kepler.

Leis de Kepler

Kepler (1571-1630), por meio da observao e dos trabalhos de Tycho Brahe (1546-1601), descobriu empiricamente as trs leis que descrevem com grande preciso o movimento dos planetas. As leis esto detalhadas, na obra de Young e Freedman (2008, p. 13), no tpico As leis de Kepler e o movimento dos planetas e nos so apresentadas a seguir:



1) Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos (lei das rbitas).

2) O raio que liga o Sol a um planeta descreve reas iguais em tempos iguais (lei das reas).

3) O perodo, ao quadrado, de um planeta dividido pelo raio mdio de sua rbita uma constante (lei dos per-odos).

Vamos analisar cada uma dessas leis de forma mais detalha-da.

Leis das rbitas

Para entendermos um pouco melhor as leis das rbitas, va-mos recordar quais so as caractersticas de uma elipse; para isso, vamos analisar a Figura 2 a seguir.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 14).Figura 2 rbita elptica de um planeta em torno do Sol.



A elipse apresenta dois focos, representados por S e S na Fi-gura 2. Ela apresenta um semieixo maior (a) e uma excentricidade (). Temos a distncia (c), que referente distncia de um dos focos at o centro da elipse. Com isso, a excentricidade pode ser calculada pela diviso de (c) por (a). A excentricidade um nmero que varia entre zero e um. Se a excentricidade for igual a zero, a elipse uma circunferncia, e quanto mais prximo de 1 for o va-lor da excentricidade, mais achatada ela .

A rbita dos planetas tem o formato de uma elipse, no en-tanto, para a Terra, ela bem prxima de uma circunferncia, ten-do como valor 0,007.

Para o ponto mais afastado entre a Terra e o Sol d-se o nome de aflio, e para o mais prximo, perilio.

Lei das reas

A lei das reas est representada na Figura 3, a seguir.

Fonte: adaptado de Young e Freedman (2008, p. 15).Figura 3 Lei das reas.

Se a rea descrita pelos pontos 1, 2 e o Sol for igual rea descrita pelos pontos 3, 4 e o Sol, o tempo que o planeta leva para ir do ponto 1 at o ponto 2 ser o mesmo tempo para ir do ponto 3 at o ponto 4. Isso porque a velocidade de translao da Terra no constante.



A fora que age entre o Sol e a Terra a fora gravitacional. Vimos que essa fora inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre os corpos. Como a distncia entre o Sol e a Terra no aflio maior que no perilio, a fora gravitacional no aflio ser menor que no perilio.

Note, tambm, que, quando a Terra est indo do aflio para o perilio, a componente da fora gravitacional tem o mesmo sen-tido e direo da velocidade; com isso, o movimento acelerado. Quando a Terra est indo do perilio para o aflio a componente da fora gravitacional tem seu sentido oposto ao da velocidade, desse modo, o movimento retardado.

Lei dos perodos

O perodo de um planeta o tempo que ele demora para descrever uma rbita completa, ou seja, o tempo de um ano. Podemos representar as leis dos perodos pela equao 1.5.

2

3 constanteO

TR

= (1.5)

Em que: T perodo de translao de um planeta (anos terres-

tres);

Ro raio mdio da rbita do planeta (m).

Logo, se essa diviso tem um valor constante, podemos che-gar seguinte concluso:

2 2 2

3 3 3

T .Terra Marte Saturno

Terra Marte Saturno

o o o

T T etcR R R

= = =

Assim, tendo os dados do perodo de dois planetas e o raio da rbita de um dos planetas, possvel determinar o raio da rbi-ta desconhecido. Veja o exemplo a seguir:



Sabendo que o raio da rbita terrestre vale 111,50 10 m , e que o perodo de Jpiter vale 11,86 anos, determine o raio da rbita de Jpiter.

Sabemos que o perodo da Terra igual a um ano, com isso:

22

3 3

T

Terra Jpiter

JpiterTerra

o o

TR R

= 2 2

11 3 3

1 11,86(1,50 10 )

JpiteroR

=

11 3 23

2

(1,50 10 ) 11,861Jpiter

R =

117,8 10 mJpitero

R =

Com a lei dos perodos, encerramos a primeira parte da Uni-dade 1, ltimo assunto referente gravitao. Agora iniciaremos o contedo de movimento peridico, no qual analisaremos o movi-mento harmnico simples.

7. Movimento peridico

Um movimento peridico aquele que se repete com o pas-sar do tempo.

Podemos citar, como exemplo, os ponteiros de um relgio, um pndulo etc.

Para que exista um movimento peridico necessria a presena de uma fora restauradora, ou seja, uma fora que sem-pre tente fazer com que o corpo oscilante volte para a posio de equilbrio. Esse assunto abordado, na obra de Young e Freedman (2008, p. 36), no tpico Causas da oscilao.

Vimos na Unidade 2 de Fsica e Laboratrio de Fsica I que a fora elstica uma fora restauradora. Com isso, vamos utilizar um sistema massa-mola para mostrarmos os parmetros de um movimento peridico.



Observe a Figura 4, a seguir.

x0

ponto de equilbrio

xA0

Fel

ponto mximo

ponto mnimo

x- A 0 A

Fel

(a)

(b)

(c)

Figura 4 Movimento peridico para um sistema massa-mola.

Podemos observar, na Figura 4 item (a), um bloco preso em uma mola ideal, em seu estado de equilbrio. Se puxarmos o corpo at o ponto A, como mostrado na Figura 4 item (b), uma fora els-tica surgir com o intuito de retornar a mola para sua posio de equilbrio. Lembre-se de que o mdulo da fora elstica direta-mente proporcional ao quanto a tiramos da posio de equilbrio e da sua constante.

Quando soltarmos a mola, ela acelerar para o lado esquer-do, aumentando sua velocidade e diminuindo a fora elstica. Quando ela retornar posio de equilbrio, no haver mais for-a.

No entanto, como o bloco ter certa velocidade, por inr-cia, ele continuar o seu movimento. Assim, o bloco comprimir a mola, e comear a aparecer uma fora elstica com o intuito de freia-lo. O bloco chegar at a posio A Figura 4, item (c) , em



que a fora elstica ser mxima e a velocidade, nula; o que far com que o bloco volte posio A.

Se considerarmos uma mola ideal e desconsiderarmos o atri-to entre o bloco e a mola, o bloco ficar oscilando infinitamente em um movimento peridico.

Vamos, agora, definir alguns parmetros do movimento pe-ridico:

A Amplitude do movimento (m) Ponto mximo e m-nimo da oscilao;

T Perodo (s) tempo para completar um ciclo (ex.: A A A);

f Frequncia (1s Hz = Hertz) ciclos por segundo;

frequncia angular (radianos/s).

A princpio, a frequncia angular pode causar certa estra-nheza, j que, na Figura 4, estvamos analisando um movimento unidimensional. A frequncia angular determinada pelas equa-es 1.6 e 1.7:

2 f = (1.6) ou

2T = (1.7)

Como j vimos, na Unidade 5 do material de Fsica I, 2 re-presenta 360o, logo, a frequncia angular tambm tem o conceito de ciclos por segundo; mas sua unidade o rad/s. No se preocu-pe, logo mais, veremos como associar o movimento da Figura 3 com um movimento circular.

Como podemos notar, a unidade do perodo o inverso da unidade da frequncia.Logo, podemos escrever a relao:



1Tf

= (1.8) e

1fT

= (1.9)

Para se familiarizar com esses novos parmetros do movi-mento peridico, importante que voc faa o exemplo 13.1, da pgina 38, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Agora iniciaremos os estudos acerca do movimento harm-nico simples, que um caso particular do movimento peridico. Veremos que, em um movimento harmnico simples, a fora res-tauradora diretamente proporcional ao deslocamento.

Movimento harmnico simples

O Movimento Harmnico Simples (MHS) um movimento peridico no qual a fora diretamente proporcional ao desloca-mento. Esse assunto descrito, de forma aprofundada, por Young e Freedman (2008, p. 38), no tpico Movimento harmnico sim-ples.

Sabemos que a fora elstica dada por elF k x=

, em que k a constante da mola, e x o quanto a mola foi tirada da posio de equilbrio.

Como trabalharemos no eixo x (ver Figura 4), podemos cha-mar a fora elstica de Fx .Como a fora elstica diretamente proporcional ao deslocamento, um sistema massa-mola um os-cilador harmnico. Observamos, na segunda lei de Newton, que

x xF m a= . Se igualarmos a equao da fora elstica com a se-gunda lei de Newton, temos:

m a k x = (1.10)



Dividindo ambos os lados pela massa:

xka xm

= (acelerao no MHS) (1.11)

A equao 1.11 d-nos a acelerao em um oscilador harm-nico. O sinal negativo, na equao, indica que a acelerao sempre ter o sinal oposto ao da posio. Note, na Figura 4, item (b), que a posio positiva (A), e a fora negativa (aponta para o lado esquerdo). Como a acelerao tem o mesmo sentido da fora, sa-bemos que ela tambm ser negativa.

Poderamos chegar nessa mesma concluso, substituindo o valor de x na equao 1.11. Outro detalhe importante notar que a acelerao depende da posio; dessa forma, a acelerao no ser constante. Com isso, ns no poderemos trabalhar com as equaes do movimento uniformemente variado (MRUV), que es-tudamos na Unidade 1 de Fsica e Laboratrio de Fsica I.

Agora, vamos relacionar o MHS com o movimento circular uniforme (MCU), para conseguirmos determinar algumas novas equaes para o MHS.

Relao entre o MCU e o MHS

Para relacionarmos o MCU com o MHS, vamos imaginar a seguinte situao: uma bola girando com uma velocidade angular constante em uma circunferncia. Consideremos que essa rotao ocorra na vertical e que seja iluminada por uma luz. Vamos colocar um anteparo acima desse nosso aparato e observar o movimento da sombra da nossa bola. Observe a Figura 5, a seguir.



Fonte: Young e Freedman (2008, p. 39).Figura 5 Comparando o MCU com o MHS.

Note que enquanto a bola est girando, a projeo da sua sombra descreve um movimento de vaivm, ou seja, um MHS. O ponto mximo e mnimo que a nossa sombra pode chegar tem relao com o raio do movimento circular. Por esse fato, a amplitu-de do movimento (A) ser igual ao raio do movimento. Com essa analogia, podemos determinar a relao que a frequncia angular tem com a constante da mola e a massa posta a oscilar.

8. Equaes

Equaes do MHS

Agora que j sabemos como comparar um movimento circu-lar com um MHS, apresentaremos alguns conceitos, os quais so abordados, na obra de Young e Freedman (2008, p. 39), no subt-pico Movimento circular e as equaes do movimento harmnico simples.

Com o auxilio da Figura 6, transformaremos a posio que a bola apresenta em seu movimento circular com uma posio no eixo x. Lembre-se de que o cosseno de um ngulo igual ao cateto



oposto dividido pela hipotenusa. Note que, se decompormos, no eixo x, o vetor que liga o centro da circunferncia com o ponto onde a bola est, determinaremos a equao da posio (x) em re-lao ao raio (amplitude) e o ngulo que a bola faz com esse eixo.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 39).Figura 6 Fazendo uma analogia entre a posio em um MCU com a posio e um MHS.

x Acos= (1.12)

Podemos fazer a mesma analogia com a acelerao. Vimos na Unidade 1 de Fsica e Laboratrio de Fsica I que a acelerao em um MCU sempre aponta para o centro da trajetria. Observe a Figura 7, a seguir.



Fonte: Young e Freedman (2008, p. 40).Figura 7 Fazendo uma analogia entre a posio em um MCU com a posio e um MHS.

Como a acelerao aponta para o centro da trajetria, sua decomposio no eixo x tambm apontar. Logo, a equao para a acelerao em x ser negativa.

x qa a cos= (1.13)

Na equao 1.13, qa representa a acelerao centrpeta. Na Unidade 1 de Fsica e Laboratrio de Fsica I, equacionamos a ace-lerao centrpeta como:

2

cvaR

= (1.14)

No entanto, tambm temos a seguinte relao:

v R= (1.15)



Substituindo a equao 1.15 na equao 1.14 e trocando o valor de R por A:

2q ca a A= = (1.16)

Logo, a equao 1.13 pode ser escrita da seguinte forma:

2xa Acos = (1.17)

Substituindo a equao 1.12 na equao 1.17, ficamos com:

( )2xa x= acelerao no MHS (1.18)

A equao 1.18 e a equao 1.11 descrevem o mesmo par-metro, a acelerao em um MHS.

Logo, por comparao, chegamos concluso de que:

2 k km m

= = (frequncia angular para o MHS)

(1.19)

Para determinarmos a frequncia, vamos substituir a equa-o 1.6 na equao 1.19, ficando com:

1 2

kfm

= (frequncia no MHS)

(1.20)

E, por fim, usando a relao 1.8 na equao 1.20, temos:

2 mTk

= (perodo no MHS) (1.21)



Note que as trs equaes 1.19, 1.20 e 1.21 dependem so-mente da constante da mola e da massa oscilante, no dependen-do, portanto, da amplitude de oscilao. Com isso, se voc tirar um sistema massa-mola do ponto de equilbrio em 20 ou 40 cm , o perodo de oscilao ser o mesmo para os dois casos.

Para verificar como devemos utilizar essas novas equaes, faa o exemplo 13.2, localizado na pgina 41, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Afim de verificar a veracidade das equaes, aqui apresen-tadas, assista o vdeo disponibilizado na Sala de Aula Virtual. Para assistir ao vdeo, pela Sala de Aula Virtual, clique no cone Video-aula, localizado na barra superior. Em seguida, selecione o nvel de seu curso (Bacharelado em Engenharia de Produo), a categoria (Disciplinar) e a Disciplina (Fsica e Laboratrio de Fsica II Com-plementar 1).

O vdeo apresenta um experimento realizado com um siste-ma massa-mola, no qual determinada a frequncia e o perodo de oscilao experimentalmente e posteriormente utilizando as equaes 1.20 e 1.21.

Equaes da posio para um MHS

Vimos que podemos determinar a posio do corpo oscilan-te em um MHS pela equao 1.12. Agora, vamos escrever este n-gulo em termos de e o tempo de oscilao.

Estudamos, na Unidade 5 da disciplina Fsica e Laboratrio de Fsica I, que a velocidade angular em um MCU igual variao do ngulo em relao ao tempo.

Logo, o ngulo dado por:

t = (1.22)



Podemos substituir a equao 1.22 na equao 1.12, ficando com:

( )x Acos t= (1.23)

No entanto, essa equao s serve para o caso em que o movimento se inicia na amplitude. Para confirmar essa afirmao, substitua zero no valor do tempo e perceba que a posio ser igual a A (amplitude). Para casos onde o movimento se inicia em uma posio diferente da amplitude, ser necessrio acrescentar essa defasagem do movimento. Nossa equao dever ser escrita da seguinte maneira:

( ) ( ) tx Acos t = + (posio no MHS) (1.24)

Em que: x(t) posio em funo do tempo (m);

A amplitude do movimento (m); frequncia angular (rad/s);

t tempo (s); ngulo de fase (rad) representa onde iniciou o

movimento.

Com a equao 1.24 podemos determinar a posio do cor-po oscilante para qualquer momento desejado. Como estamos trabalhando com a unidade radianos, necessrio que a calcula-dora esteja nessa funo.

A seguir deduziremos a equao para a velocidade.

Equao da velocidade em um MHS

Agora que j determinamos a equao da posio em um MHS, ser fcil determinar a equao da velocidade. Sabemos que a velocidade a derivada da posio em relao ao tempo.



Logo:

[ ( )]x

dx d Acos tvdt dt

+= = (1.25)

Como o parmetro a ser derivado est dentro da funo cos-seno, ser necessrio utilizar a regra da cadeia. Com isso o resulta-do da equao 1.25 ser:

( )( )

txv Asen t = + (velocidade no MHS) (1.26)

Em que: vx(t) velocidade em funo do tempo (m/s);

Com a equao 1.26, podemos determinar a velocidade do corpo oscilante para qualquer momento desejado. Vamos, agora, deduzir a equao para a acelerao.

Equao da acelerao em um MHS

Agora que j determinamos a equao da velocidade em um MHS, ser fcil determinar a equao da acelerao. Sabemos que a acelerao a derivada da velocidade em relao ao tempo.

Logo:

[ ( )]x

dv d Asen tadt dt

+= = (1.27)

Como o parmetro a ser derivado est dentro da funo seno, ser necessrio utilizar novamente a regra da cadeia. Com isso, o resultado da equao 1.27 ser:

( )( )] a Acos t = + (acelerao no MHS) (1.28)



Em que: ax(t) acelerao em funo do tempo (m/s

2);

Com a equao 1.28, podemos determinar a acelerao do corpo oscilante para qualquer momento desejado. importante ressaltar que, para as equaes 1.24, 1.26 e 1.28, a unidade do n-gulo o radiano e, com isso, para realizar os clculos, necessrio que a calculadora esteja nessa unidade.

Agora que j vimos as equaes para a posio, velocidade e acelerao para o MHS, importante aprendermos como de-terminar o valor da amplitude e do ngulo de fase, parmetros necessrios para utilizarmos as equaes.

Determinando o valor de

Vamos aprender como determinar o valor do ngulo de fase por meio da posio e da velocidade inicial. Sabemos que os par-metros iniciais ocorrem em t = 0.

Logo 0x e 0v sero iguais a:

0x Acos= (1.29)

0v Asen = (1.30)

Agora, vamos dividir a equao 1.30 pela equao 1.29:

0

0

v Asenx Acos

= (1.31)

Podemos cancelar as amplitudes e dividir a equao por ( ) . Tambm sabemos que a diviso de seno por cosseno igual tangente.

Logo:



0

0

vtgx

= (1.32)

Para determinarmos o valor de , ser necessrio utilizar a funo arco tangente.

1 0

0

vtgx

=

(1.33)

Note que ( )1tg a nomenclatura para arco tangente. No se esquea: utilize a calculadora na funo radianos.

A seguir compreenderemos como determinar a amplitude do movimento.

Determinando o valor de A

Vamos determinar o valor da amplitude a partir da posio e da velocidade inicial. Para isso, ser necessrio elevar ao quadrado as equaes 1.29 e 1.30.

2 2 2x A cos (1.29a)

2 2 2 20 ( )v A sen = (1.30a)

Vamos dividir a equao 1.30a por ( )2 e som-la com a equao 1.29a.

22 2 2 200 2 ( )

vx A sen cos

+ = + (1.34)

Sabemos que seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado igual a 1.



Logo, se tirarmos a raiz quadrada da equao, determinare-mos o valor da amplitude.

22 00 2

vA x

= + (1.35)

Lembre-se de que a amplitude indica o valor mximo e mni-mo do movimento, com isso, o sinal em frente da raiz justificado.

Sugerimos que treine essas equaes resolvendo o exem-plo 13.3, localizado na pgina 45, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas. No se esquea de colocar a calculadora na funo radianos.

Vimos como podemos determinar a velocidade do nosso corpo, oscilando para qualquer tempo que desejarmos. Agora, vamos determinar uma equao para a velocidade em funo da posio do nosso corpo. Para isso, teremos de analisar a energia em um MHS.

Energia no MHS

Estudamos, na Unidade 3 de Fsica e Laboratrio de Fsica I, que a energia mecnica de um sistema dada pela soma da ener-gia cintica (energia ligada ao movimento) e da energia potencial (energia ligada posio). Estamos trabalhando com o movimen-to harmnico de um sistema massa-mola que ocorre somente no eixo x. Com isso, teremos dois tipos de energia: a cintica e a po-tencial elstica. Lembre-se de que a energia total de um sistema sempre conservada.

Como trabalharemos em um sistema ideal, sem perdas de energia, a soma da energia cintica com a energia potencial elsti-ca sempre ter o mesmo valor, o qual representa a energia mec-nica do sistema. Para podermos definir uma equao de velocida-de em funo da posio, observe a Figura 8.



Figura 8 Definindo a energia mecnica em um MHS.

Na Figura 8(a), o corpo est na posio mxima, ou seja, est na amplitude do movimento. Sabemos que neste ponto a velo-cidade do corpo nula, consequentemente sua energia cintica tambm ser nula e a energia mecnica do sistema ser dada so-mente pela energia potencial elstica.

J, na Figura 8(b), como o corpo iniciou o seu movimento, ele apresenta certa velocidade. Note que, como a mola ainda no atingiu sua posio de equilbrio, nesse ponto, tambm, haver energia potencial elstica. Assim, a energia mecnica ser a soma das duas energias.

Sabemos que a energia mecnica de um sistema constan-te, logo, o valor da energia mecnica, na Figura 8(a), igual ao valor da energia mecnica na Figura 8(b). Sendo isso verdade:

2 2 2

2 2 2xmv kx kA+ = (1.36)

Isolando a velocidade, na equao 1.36, temos:



2 2x

kv A xm

= (1.37)

Com a equao 1.37, podemos determinar o mdulo da ve-locidade do sistema para qualquer posio desejada. Note que esta equao, sempre, nos dar um resultado positivo para a ve-locidade. Cabe a voc determinar, pelo sentido do movimento, o sinal da velocidade. Lembre-se de que ns j havamos determina-do uma equao para a acelerao em funo da posio.Reveja a equao 1.11.

importante, antes de prosseguir com a matria, que voc faa o exemplo 13.4, localizado na pgina 47, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Vamos analisar outro tipo de movimento que, em situaes especficas, tambm, pode ser analisado como um MHS.

Pndulo simples

Um pndulo simples, abordado na obra de Young e Freed-man (2008, p. 52), no tpico O pndulo simples, constitudo de um corpo de massa pontual suspenso em um fio ideal inextensvel e desprovido de massa. Observe, na Figura 9, todos os parmetros desse movimento.



Fonte: Young e Freedman (2008, p. 53).Figura 9 Pndulo simples.

Na Figura 9, temos uma massa m presa a um fio de com-primento L. Note que, quando o corpo solto, o ngulo ,entre a posio do fio e sua posio de equilbrio, vai variando. Podemos decompor a fora peso em xp e yp , conforme est demonstrado na figura. O yp vai se anular com a trao no fio, e o xp far o pa-pel da fora restauradora.

Desse modo, xp dado por:

xp m g sen= (1.38)

Lembre-se de que, para termos um MHS, a fora restaurado-ra precisa ser diretamente proporcional posio, e, nesse caso, a fora proporcional ao seno de um ngulo.



Isso poderia ser um grande problema; no entanto, note que para pequenos ngulos, sen . Observe:

( )0,1 0,1sen rad ; ( )0,2 0,2sen rad ; ( )0,3 0,3sen rad ;Logo, se utilizarmos pequenos ngu-

los de oscilao ( 15 o ), a fora restauradora dada por:

F m g = (1.39)

Note que, para pequenas oscilaes:

x xsenL L

= = (1.40)

Substituindo a equao 1.40, na equao 1.39, temos:

xm gF x

L

= (1.41)

Com isso, para pequenos ngulos de oscilao, o movimento pendular pode ser descrito em termos de um MHS. Comparando a equao 1.41 com a equao da fora elstica, podemos chegar seguinte concluso:

mgkL

= (1.42)

Substituindo a equao 1.42, nas equaes 1.19, 1.20 e 1.21, temos:

( )gL

= frequncia angular para o movimento pendular (1.43)



( )12

gfL

= frequncia para o movimento pendular (1.44)

( )2 LTg

= perodo para o movimento pendular (1.45)

Em que: L comprimento do fio (m); g acelerao da gravidade local (m/s2).

No se esquea de que as equaes 1.42 a 1.44 so para um movimento pendular com pequenas oscilaes. Para finalizarmos esta primeira unidade, faa o exemplo 13.8, localizado na pgina 54 da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: ter-modinmica e ondas. Observe que h um pequeno equvoco na digitao do exemplo. Onde est escrito que o comprimento de 1000 m, entenda como 1,000 m.

Com o movimento pendular possvel determinar o valor da acelerao da gravidade. Para compreender, de forma mais clara, assista ao vdeo na Sala de Aula Virtual.

Vdeo complementar Neste momento, fundamental que voc assista ao vdeo complementar. Para assistir ao vdeo, pela Sala de Aula Virtual, clique no cone Videoaula,

localizado na barra superior. Em seguida, selecione o nvel de seu curso (Graduao), a categoria (Disciplinar) e a Disciplina (Fsica e Laboratrio de Fsica I Complementar 1).

Para assistir ao vdeo, pelo seu CD, clique no Boto Vdeos e selecione: Fsica e Laboratrio de Fsica I Vdeos Complementares Complementar 1.



9. Consideraes

Encerramos o assunto da nossa primeira unidade, na qual analisamos o movimento dos planetas e o movimento harmni-co simples. Vimos que, para pequenas oscilaes, o movimento pendular tambm pode ser trabalhado em termos de um MHS. importante que, neste momento, voc resolva as questes autoa-valiativas, antes de iniciar a prxima unidade.

Na Unidade 2, estudaremos a mecnica dos fluidos, anali-sando os fluidos em repouso e em movimento.

10. Contedos Complementares

Nesta unidade, fizemos um estudo sobre o movimento de um pndulo simples. Nesse tipo de pndulo, temos uma massa pontual oscilando em um fio ideal. Mas, se ao invs de uma massa pontual, tivermos um corpo extenso oscilando, como ficariam as equaes para este movimento?

Para esse movimento, denominado de pndulo fsico, ne-cessrio considerar o momento de inrcia do corpo, contedo vis-to na Unidade 5 de Fsica e Laboratrio de Fsica I. O estudo do pndulo fsico feito nas pginas 54-56 da obra de Young e Freed-man (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

11. Questes Autoavaliativas

Confira, a seguir, as questes propostas, para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade:

1) Duas massas m1 e m2, mantidas fixas, esto a uma distncia d e se atraem com uma fora F. Se a distncia for duplicada, qual ser o valor da nova fora?

2) Sabendo que o perodo de Urano igual a 84,02 anos, o raio de sua rbita vale 122,87 10 m , e que o perodo de Netuno vale 167,8 anos, determine o raio da rbita de Netuno.



3) Uma massa de 1,0 Kg presa a um fio ideal de 50,0 cm. Se puxarmos a mas-sa lateralmente e a colocarmos para oscilar como um pndulo simples, qual ser sua frequncia e o seu perodo de oscilao?

4) Uma massa de 0,50 Kg est presa a uma mola de constante elstica igual a 150,0 N/m e oscila em um MHS. Sabendo que no instante inicial sua posio e velocidade valem, respectivamente, 0,025 m e 0,40 m/s, determine:

a) O valor da frequncia angular e do ngulo de fase.b) As equaes da posio, deslocamento e acelerao em funo do tem-

po.c) A posio da massa no instante 4.0 s.

Resoluo comentada

Confira, a seguir, as respostas corretas para as questes au-toavaliativas propostas:

1) Utilizando a equao 1.1, podemos determinar a fora em relao s massas, a constante gravitacional e a distncia entre as massas. Depois, alteramos a distncia para (2d); no se esquea de que, na equao 1.1, a distncia est elevada ao quadrado. Com isso, a nova fora F ser igual a F/4.

2) Para resolver esta questo, necessrio utilizar a equao 1.5, que relaciona o perodo dos planetas com o raio das rbitas. Com isso, determinaremos que o raio da rbita de Netuno vale 124,55 1 0 m .

3) Lembre-se de que o valor do comprimento precisa estar em metros. Utilize a equao 1.44 para determinar a frequncia. O perodo pode ser determina-do pela equao 1.8 ou 1.45. Portanto:

0,70Hzf = e 1,43sT = .

4) Respostas:

a) Primeiro, necessrio determinar a frequncia angular pela equao 1.19: ( 17,3 rad / s) = . Depois, podemos determinar a amplitude pela equao 1.35: (A = 0,034 m). Para o ngulo de fase, utilize a equao 1.34: ( 0,75 rad) = . No se esquea de que a calculadora precisa estar em radianos. Para montar as equaes, basta voc substituir os valores nas equaes 1.24, 1.26 e 1.28.

b) ( ) 0,034 (17,3 0,75)tx cos t=

( ) (17,3)(0,034) (17,3 0,75)tv sen t=

2( ) (17,3) (0,034) (17,3 0,75)ta cos t=



c) Agora, s substituir o valor de t na equao da posio, lo

(4,0) 0,027 mx = .

12. Referncias bibliogrficasRESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fsica: gravitao, ondas e termodinmica. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros: mecnica, oscilaes e ondas, termodinmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 1.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Fsica II: termodinmica e ondas. 12. ed. So Paulo: Pearson (Addison Wesley), 2008.

Unidade 2 Mecnica dos Fluidos

1. Objetivos Definir e equacionar densidade e presso.

Apresentar o conceito e a equao de empuxo.

Deduzir a equao da continuidade.

Apresentar a equao de Bernoulli.

2. Contedos Esttica dos fluidos

Densidade.

Presso.

Empuxo.

Dinmica dos fluidos.

Equao da continuidade. Equao de Bernoulli.

3. RefernciaYOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Fsica II: termodinmica e ondas. 12. ed. So Paulo: Pearson (Addison Wesley), 2008.



4. Competncias

O aluno dever ser capaz de:

Determinar a densidade de diferentes objetos.

Calcular a presso que um fluido exerce em diferentes profundidades.

Determinar o peso aparente de um corpo.

Utilizar, de forma correta, a equao da continuidade e a de Bernoulli.


Nesta unidade, estudaremos de forma breve a mecnica dos fluidos. A mecnica dos fluidos dividida em duas partes: a est-tica e a dinmica.

Na primeira parte, estudaremos os conceitos de densidade, presso e empuxo. J na segunda, estudaremos o movimento dos fluidos. O estudo desse movimento no simples. No entanto, estudaremos um modelo idealizado que representar, de forma mais simples, algumas situaes. Veremos a equao da continui-dade e a equao de Bernoulli.

Para o estudo desta unidade, sugerimos que voc consulte o Glossrio de Conceitos e inicie a leitura integral do Captulo 14 (Mecnica dos fluidos) da obra de Young e Freedman (2008), inti-tulada Fsica II: termodinmica e ondas.

6. Esttica dos fluidos

Iniciaremos, agora, o estudo da esttica dos fluidos, em que analisaremos os conceitos de densidade, presso e empuxo.

Densidade

A densidade de um material, contedo apresentado na obra de Young e Freedman (2008, p. 72), no tpico Densidade, uma



relao da massa do material e o seu volume, como podemos ob-servar na equao 2.1:

mV

= (2.1)

Em que: m massa [kg]; V volume [m3]; densidade [kg/m3].

Todos os objetos confeccionados com ferro tero a mesma densidade, porque a relao entre a massa e o volume ser uma constante que representa a densidade do ferro. A densidade de alguns materiais ser mostrada na Tabela 1.

Tabela 1 Densidade de alguns materiais.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 73).



Por exemplo: voc compra uma pea retangular de metal com massa igual a 0,0158Kg e dimenses de 5,0 15,0 30,0 mm . O vendedor diz que o metal ouro. Para verificar se verdade, voc deve calcular a densidade mdia da pea. Qual o valor obtido? Voc foi enganado? (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 93)

Como, na Tabela 1, as densidades esto em 3/Kg m , vamos, inicialmente, passar as dimenses, que esto em milmetros, para metro. Para isso, podemos multiplicar os valores por 103.

Para determinar a densidade, precisamos calcular o volume da pea. A pea retangular, logo, o seu volume ser a multiplica-o das trs dimenses. Com isso:

6 32, 25 10 mV =

A densidade da pea ser:

36 3

0,0158 kg7,02 102,25.10 m

mV

= = =

Como a densidade do ouro 3 319,3 10 kg / m , voc foi en-ganado.

Agora que j sabemos como determinar a densidade de um material, compreenderemos como determinar a presso que um fluido exerce.

Presso em um fluido

Antes de entrarmos no conceito de presso em fluidos, va-mos entender o conceito geral de presso.

Quando estamos assistindo a uma partida de futebol, utiliza-mos o conceito de presso. Imagine uma partida entre dois times, A e B, e que, em certo momento, o narrador diz que o time A est pressionando o time B.



O que isso significa? Quando o time A est pressionando o time B, o time A est diminuindo o espao do time B. Temos vrios jogadores do A no campo de ataque. Ou seja, estamos aumentan-do a fora e diminuindo a rea. E esse o conceito de presso.

Presso uma relao entre a fora e a rea em que ela aplicada, como nos apresentado na equao 2.2. Para maior compreenso desse assunto, leia o tpico Presso em um fluido na obra de Young e Freedman (2008, p. 72).

FPA= (2.2)

Em que: F fora aplicada perpendicularmente superfcie [N]; A rea [m2]; P presso [N/m2] = [Pascal, Pa].

A unidade de presso, no sistema internacional, o Pascal. No entanto, estamos acostumados a utilizar presso na unidade de presso atmosfrica (atm). A relao de Pascal e atm descrita a seguir:

51 atm 1,013 10 Pa =

Quando estamos descendo a serra, percebemos certo des-conforto em nosso ouvido. Isso ocorre porque h um aumento da presso. Quanto maior a coluna de ar sobre a nossa cabea, maior ser a presso. Como determinar a diferena de presso para dife-rentes profundidades? Vejamos.

A Figura 1 apresenta um recipiente contendo certo lquido em repouso. Vamos separar um pequeno retngulo nesse lquido e analisar as foras que atuam nele.



Figura 1 Foras atuantes em um elemento de fluido em repouso.

Como o fluido est em repouso, o somatrio das foras que atuam sobre ele ser nulo. Logo, as foras laterais, por estarem na mesma profundidade, sero iguais. Temos uma fora aplicada aci-ma do nosso elemento de fluido ( 1F ) e uma abaixo ( 2F ). Tambm teremos o peso deste fluido (p), que sempre aponta para o centro da Terra. Como o fluido est em repouso, teremos a seguinte re-lao:

1 2 0F p F+ = (2.3)

Podemos modificar a equao 2.2, deixando-a da seguinte maneira:

F P A= (2.4)

Substituindo a equao 2.4 na equao 2.3 e lembrando que a fora peso igual massa multiplicada pela acelerao da gravi-dade, ficamos com:

1 2 0P A m g P A + = (2.5)

Podemos modificar a equao 2.1 para a seguinte forma:



m V= (2.6)

Vamos substituir a equao 2.6 na equao 2.5. Lembre-se de que o volume de um corpo retangular igual rea da base multiplicada pela altura.

1 2 0P A A H g P A + = (2.7)

Dividindo a equao pela rea e reajustando os termos, te-mos:

2 1P P gH= + (2.8)

Se tivermos um recipiente aberto, contendo certo lquido em seu interior, a presso, em um ponto desse lquido, ser igual presso atmosfrica somada com o produto da densidade do lqui-do com a acelerao da gravidade e a altura da coluna de lquido acima deste ponto.

Pela equao 2.8, podemos perceber que a presso depende da altura da coluna de fluido acima do ponto, e no do volume de fluido. Por esse fato, os pontos A, B e C, da Figura 2, apresentam a mesma presso.

Figura 2 Pontos isbaros.



Com esse conceito, Torricelli (1608-1647) conseguiu deter-minar o valor da presso que a atmosfera faz sobre ns. Ele pegou um tubo de vidro com cerca de 1.0 m de comprimento e o encheu completamente de mercrio. Ele tampou a extremidade do tubo e o colocou em outro recipiente que tambm havia mercrio, obser-vando a diminuio do nvel de mercrio no tubo.

A Figura 3 ilustra o procedimento.

Figura 3 Ilustrao do experimento de Torricelli.

Como os pontos A e B esto no mesmo nvel, eles esto so-frendo a ao da mesma presso. Com isso, Torricelli concluiu que a presso que a atmosfera faz sobre ns, no nvel do mar, igual presso de uma coluna com 76,0 cm de mercrio.

Faa o clculo. Voc sabe que a presso da coluna de merc-rio pode ser determinada pela equao 2.8. Como acima do mer-crio ns temos vcuo, P1 igual a zero. Voc deve encontrar o mesmo valor que utilizamos para converso, de atm para Pascal:

51.013 10 Pa .

Veremos, agora, a teoria que envolve um elevador hidruli-co. Seu princpio baseado na Lei de Pascal.



Lei de Pascal

Veremos que, utilizando uma pequena fora, poderemos equilibrar o peso de um carro. Antes de esquematizar o princpio do elevador hidrulico (Figura 4), entenderemos o que diz a Lei de Pascal.

Lei de Pascal: A presso aplicada a um fluido no interior de um recipiente transmitida sem nenhuma diminuio a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente (YOUNG; FREE-DMAN, 2008, p. 76).

Figura 4 Elevador hidrulico.

Logo, se a presso, em todos os pontos do fluido que esto no recipiente da Figura 4, a mesma, podemos falar que a presso no ponto 1 igual presso no ponto 2. Utilizando a equao 2.2 temos:

1 2

1 2

F FA A

=

(2.9)

Como as reas so diferentes, para manter o pisto em equi-lbrio, a fora aplicada, na rea 1, ser menor que a fora aplicada na rea 2. Veja o exemplo:



No mbolo maior de um elevador hidrulico, foi colocado um carro com 1.000,0 Kg de massa. Para manter o sistema em equilbrio, qual fora deve ser aplicada no mbolo menor? Dados: r

1 = 0,25m e r

2 = 1,5m.

Resoluo:

Sabemos que a rea de um crculo igual a ( )2r . Traba-lhando no Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

1 2 12 2

1 2

(1000,0)(9,8)(1,5) 0,25

F F FA A

= =

Logo:

1 35,28 NF =

Essa fora pode ser conseguida com um corpo de 3,6Kg. Lembrando que esta a fora para manter o elevador em equil-brio. Para subir o carro, ela precisa ser maior que 3,6N .

Voc j reparou que mais fcil carregar uma pessoa dentro de uma piscina, do que fora dela? Por que um objeto, dentro da gua, aparenta ser mais leve? Para responder essa pergunta, intro-duziremos o conceito de empuxo. O empuxo explicado, na obra de Young e Freedman (2008, p. 79), no tpico Empuxo.

Empuxo

Quando temos um corpo flutuando em um fluido, neces-srio que exista uma fora de baixo para cima que equilibre a fora peso do corpo; caso contrrio, esse corpo afundaria.

Ao colocarmos um objeto em um recipiente completamen-te cheio de gua, observamos que um pouco dessa gua sai do recipiente. O volume de gua que sai do recipiente ser igual ao



volume, submerso, do objeto. A fora de empuxo, fora que o flui-do exerce sobre o corpo, ser igual ao peso do volume de lquido deslocado. Vamos exemplificar por meio da Figura 5.

Figura 5 Corpo em equilbrio em um fluido.

Se o corpo da Figura 5 est em equilbrio, o mdulo fora peso do corpo deve ser igual ao mdulo da fora de empuxo. Com isso:

cp E=

(2.10)

Lembre-se de que a fora peso o produto da massa pela acelerao da gravidade, e que a massa pode ser determinada conforme a equao 2.6. Logo:

lE gV=

(2.11)

Em que: E

empuxo (N);

densidade do lquido (kg/m3); lV volume de lquido deslocado (m3).



Note que, quando o corpo est totalmente submerso, o vo-lume de lquido deslocado ser igual ao volume do corpo. No en-tanto, se o corpo no estiver totalmente submerso, o volume de lquido deslocado ser igual ao volume do corpo que est submer-so.

Para fixar melhor o contedo, faa o exemplo 14.5, localiza-do na pgina 80, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

J analisamos os parmetros de um fluido em repouso. Ago-ra analisaremos alguns aspectos da dinmica dos fluidos.

7. Dinmica dos fluidos

O estudo da dinmica dos fluidos pode ser de extrema di-ficuldade. No entanto, para alguns casos especiais, esse estudo pode ser simplificado. Para facilitar o nosso aprendizado, traba-lharemos somente com fluidos incompressveis e que apresentem um escoamento laminar. A diferena de um escoamento laminar e turbulento pode ser verificada na Figura 6.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 82).Figura 6 Escoamento da fumaa de incenso.



Podemos notar, na Figura 6, que, no comeo, a fumaa do incenso apresenta um escoamento laminar, com todas as suas ca-madas lado a lado. Quando aumentamos a distncia, o comporta-mento da fumaa mais catico, apresentando um escoamento turbulento.

Compreendemos em quais situaes o escoamento de nos-so fluido analisado. Observe, agora, duas equaes para esse movimento: a da continuidade e a de Bernoulli.

Equao da continuidade

Ao utilizar uma mangueira, voc j deve ter reparado que, quando diminumos o orifcio de sada da gua, a velocidade de es-coamento aumenta. Com a equao da continuidade, determina-remos essa variao de velocidade. Para aprofundar seus conheci-mentos nesse assunto, faa a leitura do tpico Escoamento de um fluido na obra de Young e Freedman (2008, p. 82).

Na Figura 7, podemos observar o escoamento de um fluido em um tubo com diferentes dimetros. Em um mesmo intervalo de tempo (dt), a massa que passa pela rea 1 deve ser a mesma que passa na rea 2 1 2( )dm dm= .



Fonte: Young e Freedman (2008, p. 83).Figura 7 Escoamento de um fluido incompressvel por meio de um tubo com diferentes dimetros.

Lembre-se de que a massa pode ser determinada pela equa-o 2.6, e o volume igual a rea da base multiplicada pela altura. A altura, referente ao volume 1 e 2, na Figura 7, igual ao desloca-mento sofrido no intervalo de tempo. Na Unidade 1 de Fsica e La-boratrio de Fsica I, estudamos que a velocidade igual variao do espao pelo tempo. Com isso, a variao do espao ser igual velocidade multiplicada pelo tempo.

Logo:

1 2dm dm= (2.12)

1 2V V = (2.13)

1 1 2 2A v dt A v dt = (2.14)



Cancelando a densidade e a variao do tempo em ambos os lados, temos:

1 1 2 2A v A v = (2.15)

Com essa equao, podemos determinar a variao da velo-cidade de escoamento para um fluido incompressvel que percorre um tubo com reas diferentes.

importante que neste momento voc faa o exemplo 14.6, localizado na pgina 83, da obra de Young e Freedman (2008), inti-tulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Como podemos determinar a presso que um fluido exerce, dentro de um cano, em diferentes pontos? Para responder esta pergunta, precisamos entender a equao de Bernoulli.

Equao de Bernoulli

Vimos como a velocidade pode variar durante um escoamen-to. Agora entenderemos como a presso, a velocidade e a altura podem influenciar o escoamento. Para isso, apresentaremos equa-o de Bernoulli, retratada na obra de Young e Freedman (2008, p. 84), no tpico Equao de Bernoulli.

A equao de Bernoulli nos diz que a soma da presso com a energia potencial gravitacional e a energia cintica, em qualquer ponto do nosso escoamento, um valor constante, como pode-mos ver na equao 2.16, a seguir:

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

P gy v P gy v + + = + + (2.16)

Em que: P presso ( Pa );

densidade do fluido (3/Kg m );



y altura do ponto em relao ao referencial (m); v velocidade do fluido.

Para a deduo desta equao, precisamos nos lembrar de alguns contedos estudados em Fsica e Laboratrio de Fsica I. Entre eles, destacamos o trabalho de uma fora, a energia cintica, a energia potencial gravitacional e a energia mecnica. A deduo est descrita nas pginas 84 e 85 da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

J vimos o que diz a equao de Bernoulli, mas como pode-mos utiliz-la na prtica?

Para verificar a aplicao da equao, faa o exemplo 14.7, localizado na pgina 85, da obra de Young e Freedman (2008), inti-tulada Fsica II: termodinmica e ondas.

8. Consideraes

Nesta unidade, estudamos os fluidos em sua forma esttica e dinmica. Vimos que no estudo da dinmica, para facilitar os cl-culos, trabalhamos somente com alguns casos especiais de fluidos e escoamento.

Na prxima unidade, iniciaremos o estudo das ondas mec-nicas. Veremos os tipos de onda e sua descrio matemtica. Pos-teriormente, estudaremos uma onda mecnica que est sempre presente em nosso dia a dia, o som.

9. Contedos Complementares

Para o estudo da dinmica dos fluidos, desconsideramos o atrito interno de escoamento, ou seja, no consideramos a viscosi-dade do fluido, e consideramos somente um escoamento laminar.

Sugerimos o estudo sobre o escoamento de um fluido visco-so e, tambm, de um escoamento turbulento nas pginas 88 a 90 da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodi-nmica e ondas.



10. Questes Autoavaliativas

Confira, a seguir, as questes propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade:

1) Dois lquidos no miscveis esto em equilbrio, conforme indica a Figura 8, a seguir. Calcule a relao entre as densidades dos lquidos 1 e 2. Tendo

1 10h cm= e 2 12h cm= .

Figura 8 Dois lquidos no miscveis em equilbrio em um vaso comunicante.

2) Uma mangueira com dimetro de 2.0 cm jorra gua a uma velocidade de 1.0 m/s. Se o dimetro for diminudo para 1.0 cm, qual ser a nova velocidade da gua?

3) Um objeto de volume desconhecido pesa no ar 15,0 N. Quando ele sus-penso em um dinammetro e o objeto totalmente submerso na gua, o valor lido no dinammetro de 10,0 N. Determine o volume do objeto.

Resoluo comentada

Confira, a seguir, as respostas corretas para as questes au-toavaliativas propostas:

1) Como os dois pontos esto no mesmo nvel, a presso em 1 e 2 ser a mes-ma. Podemos utilizar a equao 2.8 para cada ponto. Como a presso a

mesma igualaremos as duas equaes, logo: 1

2

1, 2

= .

2) Para resolver esta questo, utilize a equao 2.15. Considere que a sada da

mangueira circular para os dois casos, portanto 2 4,0 /v m s= .

3) O empuxo ser igual a 5.0 N. Pela equao 2.11 podemos determinar o volume do objeto ( 4 35,1 10 m ). Note que a densidade da gua vale



3 31,0 10 /Kg m , e como o objeto est totalmente submerso, o volume de lquido deslocado ser igual ao volume do corpo.

11. E-refernciaFigura 3 Ilustrao do experimento de Torricelli. Disponvel em: . Acesso em: 17 abr. 2013.

12. Referncias bibliogrficasRESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fsica: gravitao, ondas e termodinmica. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros: mecnica, oscilaes e ondas, termodinmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 1.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Fsica II: termodinmica e ondas. 12. ed. So Paulo: Pearson (Addison Wesley), 2008.

Unidade 3 Ondas Mecnicas

1. Objetivos Verificar como se calcula a velocidade de uma onda.

Apresentar a equao da posio para uma onda mecni-ca peridica.

Verificar que a intensidade de uma onda sonora diminui com o inverso do quadrado da distncia.

Definir a escala decibel.

Conceituar e equacionar o efeito Doppler.

2. Contedos Ondas mecnicas.

Intensidade e potncia sonora. Escala decibel. Efeito Doppler.



3. RefernciaYOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Fsica 2: termodinmica e ondas. 12. ed. So Paulo: Pearson (Addison Wesley), 2008.

4. Competncias

O aluno dever ser capaz de:

Determinar a posio, no eixo y, para qualquer tempo, que uma partcula de uma corda, oscilando periodica-mente, est.

Calcular a variao da intensidade sonora para diferentes distncias da fonte.

Determinar o valor de uma intensidade sonora na escala decibel.

Calcular a variao da frequncia de uma fonte sonora em movimento.


Nesta unidade, analisaremos algumas caractersticas da onda mecnica, seja ela transversal ou longitudinal. Veremos que uma onda mecnica no transporta matria, somente energia. Analisaremos, tambm, uma onda mecnica muito presente em nosso dia a dia, o som.

Para o estudo desta unidade, sugerimos que voc consulte o Glossrio de Conceitos e inicie a leitura do Captulo 15 (p. 103-110, 113, 114 e 118) e do Captulo 16 (p. 151 - 153 e 162-166) da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

6. Ondas mecnicas

Uma onda mecnica a propagao de uma perturbao no meio, seja esse meio slido, lquido ou gasoso. O som uma onda mecnica, por isso, ele precisa de um meio para se propagar. Sabe-



mos que, no espao, temos vcuo; logo, diferentemente do que os filmes mostram, no espao no temos a propagao do som, pois no temos um meio de propagao.

Estudaremos dois tipos de onda: a transversal e a longitudi-nal. Para aprofundar seus conhecimentos acerca desse assunto, leia, na obra de Young e Freedman (2008, p. 103), o tpico Tipos de ondas mecnicas. Para exemplificar essas ondas, vamos analisar a Figura 1.

Fonte: adaptado de Young e Freedman (2008, p. 104).Figura 1 (a) Onda transversal; (b) Onda longitudinal.

Na Figura 1(a), temos uma corda com uma das pontas fixa. Na ponta livre, podemos segurar a corda e aplicar um movimento para cima e para baixo. Ao fazer isso, veremos uma onda se propa-gando da esquerda para a direita. Note que, enquanto a onda se move para a direita, as partculas da corda fazem um movimento para cima e para baixo, transversalmente propagao da onda. Logo, esta onda recebe o nome de onda transversal.

Na Figura 1(b), temos o exemplo de uma onda longitudinal. Nela vemos um fluido preso em um recipiente fechado com um mbolo mvel na extremidade esquerda. Quando o mbolo se move da esquerda para a direita, uma onda gerada, movendo-se para a direita. medida que a onda se propaga, as partculas do fluido se movem para frente e para trs, na mesma direo em que a onda se propaga.



importante ressaltar que uma onda mecnica no trans-porta matria, somente energia. Estudaremos um caso particular das ondas mecnicas, as ondas peridicas. A seguir, detalharemos as caractersticas desse tipo de onda.

Onda peridica

J estudamos as caractersticas do movimento peridico na Unidade 1. Agora aplicaremos alguns daqueles conceitos para o movimento ondulatrio, esse assunto tratado de forma mais am-pla na obra de Young e Freedman (2008, p. 105), no tpico Ondas peridicas.

Imagine a mesma corda da Figura 1(a), s que, ao invs de ficar balanando a corda com a mo, vamos fixar a corda em uma massa e coloc-la para oscilar em uma mola, executando, assim, um movimento harmnico simples (MHS). Observe a Figura 2, a seguir.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 105).Figura 2 Onda transversal peridica.

O sistema massa-mola oscilar entre a amplitude (A) e (A), conforme estudamos na Unidade 1. Com isso, teremos uma onda mecnica movendo-se para a direita, e as partculas da corda exe-cutando um movimento para cima e para baixo com a mesma fre-quncia do sistema massa-mola.



Comparando o sistema massa-mola com a nossa onda trans-versal, temos a amplitude (A) na massa-mola equivalente crista da onda, j a amplitude (A) equivale ao ventre.

No sistema massa-mola, um perodo equivale a um ciclo completo (A A A). Para a nossa onda, um ciclo completo pode ser representado pela distncia de dois ventres consecutivos ou pela distncia de duas cristas consecutivas. Essa distncia recebe o nome de comprimento de onda ( ) .

Sabemos que o tempo necessrio para a onda percorrer um comprimento de onda igual ao o perodo de oscilao. Lembran-do que a velocidade a variao do espao pelo tempo, podemos expressar a velocidade de uma onda transversal com as equaes 3.1 e 3.2.

vT

= (3.1)

v f= (3.2)

Em que: v velocidade de propagao da onda (m/s); comprimento da onda (m); T perodo de oscilao (s); f frequncia de oscilao (Hz).

Para voc se familiarizar com essa nova equao, faa o exemplo 15.1, localizado na pgina 107, da obra de Young e Freed-man (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Agora que j sabemos como determinar a velocidade de uma onda, vamos apresentar uma equao com a qual podemos determinar a posio que uma partcula da onda se encontra em um determinado instante.



Funo de uma onda senoidal

Note, na Figura 1, que, em um mesmo instante (t), cada par-tcula da corda encontra-se em uma determinada posio (y). Ou seja, teremos de determinar a posio (y) que cada partcula, no eixo (x) da corda, encontra-se em um determinado instante (t).

Com isso, a posio (y) depender da posio (x) e do tempo (t). A equao 3.3 descreve essa posio para uma onda que se move no sentido positivo de x, e a equao 3.4 descreve uma onda que se move no sentido negativo de x.

( , ) ( )y x t Acos kx t= (3.3)

( , ) ( )y x t Acos kx t= + (3.4)

Em que, (k) denominado nmero de onda, podendo ser calculado pela equao 3.5. A unidade de k o rad/m.

2k

= (3.5)

As equaes 3.3 e 3.4 so equaes com duas variveis, j que a posio no eixo y depende da posio no eixo x e do tempo. Ela pode assustar de incio, mas trabalhar com ela no complica-do. importante frisar que, para utilizar as equaes 3.3 e 3.4, necessrio que a calculadora esteja em radianos.

No deduzimos a equao 3.3 neste Guia de Estudos. No entanto, voc encontrar essa deduo nas pginas 108 e 109 da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodin-mica e ondas.

Neste momento, faa o exemplo 15.2, localizado na pgina 110 da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: ter-modinmica e ondas. Neste exemplo, utilizaremos todas as equa-es que vimos at o momento nesta unidade.



Vimos como podemos determinar a velocidade de uma onda mecnica pela sua frequncia e o seu comprimento de onda. Ago-ra veremos como determinar essa velocidade em termos da ten-so aplicada na corda e a sua densidade linear.

Velocidade de uma onda transversal em uma corda

Nos instrumentos de corda, como em uma guitarra, verifi-camos que existem cordas de diferentes espessuras. Observamos que quanto mais fina a corda (menor massa), mais rpido ela vi-bra. Na verdade, seria correto dizer que quanto menor a densida-de linear (massa por comprimento) da corda, mais rpido se pro-pagar uma onda. Ou seja, a velocidade da onda inversamente proporcional densidade linear da corda.

Tambm podemos notar que quanto mais apertamos a tar-raxa (maior tenso na corda), mais rpido a corda vibrar. Com isso, conclumos que a velocidade de uma onda transversal em uma corda diretamente proporcional tenso aplicada e inversa-mente proporcional densidade linear da corda. Essa velocidade pode ser determinada pela equao 3.6.

Fv

= (3.6)

Em que: v velocidade da onda (m/s); F fora tenso aplicada (N); densidade linear da corda (kg/m).

Para determinar a densidade linear de uma corda homognea, basta dividir a massa pelo comprimento da corda. No se esquea de trabalhar no Sistema Internacional de Unidades (SI). O exemplo 15.3, localizado na pgina 115, da obra de Young



e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas, mostra-nos como podemos trabalhar com essa nova equao. Antes de prosseguir com o contedo, resolva-o.

Agora que j vimos algumas propriedades do movimento ondulatrio, estudaremos um caso especial das ondas mecnicas, o som. Veremos como a intensidade de um som varia com a dis-tncia, a escala decibel e o efeito Doppler.

Intensidade de uma onda sonora

Antes de iniciar os estudos deste tpico, sugerimos a leitura do subtpico Intensidade de uma onda, da obra de Young e Freed-man (2008, p. 118).

Podemos, agora, definir intensidade sonora (I) da seguinte maneira: a taxa mdia de tempo em que a energia transpor-tada pela onda, por unidade de rea sobre uma superfcie per-pendicular direo de propagao (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 118). Como o som viaja nas trs dimenses, a melhor forma geomtrica para se trabalhar com a sua intensidade uma esfera. Observe a Figura 3, a seguir.



Fonte: Young e Freedman (2008, p. 118).Figura 3 Intensidade distncia da fonte.

Logo, a intensidade ser igual potncia da fonte dividida pela rea da esfera:

24otPIr

= (3.7)

Em que: I intensidade (W/m2); Pot potncia (W); r distncia da fonte at o local desejado (m).

Sabemos que a potncia da fonte um valor constante; logo, se quisermos comparar a diferena da intensidade em dois pontos diferentes, podemos isolar a potncia da equao 3.7 e igualarmos a equao para cada ponto.



2 21 1 2 24 4r I r I = (3.8)

Trabalhando com a equao, podemos dizer que a relao entre as intensidades igual a:

21 2

22 1

I rI r

= (3.9)

A equao 3.9 conhecida como a lei do inverso do qua-drado e mostra-nos que a intensidade diminui com o inverso do quadrado da distncia. Aqui, a utilizaremo-na para determinar a intensidade sonora; no entanto, a intensidade de uma fonte radio-ativa segue a mesma lei.

Para entender como trabalhar com a equao 3.9, faa o exemplo 15.5, localizado na pgina 118 da obra de Young e Freed-man (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas.

Voc j deve ter visto a intensidade sonora expressa na es-cala decibel. Mas, como ser que relacionamos essa escala com a intensidade que estudamos anteriormente?

Escala decibel (dB)

Como o ouvido humano capaz de detectar um grande in-tervalo de intensidade sonora ( 12 210 W / m , limiar da audio, a 1.000Hz e 21 W / m , limiar da dor), foi desenvolvida a escala deci-bel. Nela, o limiar da audio ser igual a zero decibel, e o limiar da dor, 120 decibis. Leia a respeito desse assunto no subtpico A es-cala decibel, disposto na obra de Young e Freedman (2008, p. 151).

Para determinar o valor da intensidade sonora na escala de-cibel, utiliza-se a seguinte converso:

0

(10dB) IlogI

= (3.10)



Em que: intensidade na escala decibel (dB); I intensidade que deseja converter ( 2/ mW ); I0 limiar da audio humana (

12 20 10 / mI W

= ).

A Tabela 1 mostra-nos uma comparao entre os valores de intensidade sonora, nas duas escalas, para algumas fontes.

Tabela 1 Intensidades sonoras para algumas fontes.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 152).

O exemplo 16.9, localizado na pgina 152, da obra de Young e Freedman (2008), intitulada Fsica II: termodinmica e ondas, nos mostra uma aplicao direta da equao 3.10. muito impor-tante que voc resolva-o antes de prosseguir com a matria.

O exemplo 16.10, tambm localizado na pgina 152, j um pouco mais trabalhoso. Ele analisa como se d a variao da in-tensidade sonora, na escala decibel, com o aumento da distncia. Mesmo sendo um pouco mais complicado, veja a resoluo no li-vro.


75 Claretiano

apostila fisica 2

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