apostila fenomenos transportes 1 - roberaldo
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA
Engenharia Ambiental Engenharia Civil Engenharia Qumica
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA(EAMB023); (ECI026); (EQUI 031)
FENMENOS DE TRANSPORTE IOrganizao: Manuella Suellen Vieira Galindo (PET/Eng. Civil)Marianna Luna Sousa Rivetti (Monitora/Eng. Civil) Prof. Roberaldo Carvalho de Souza
Macei, fevereiro/2010
Esse material corresponde s atividades realizadas durante a monitoria de Fenmenos de Transporte I referente aos semestres2008.1e2008.2. Elefoielaboradocomoobjetivodefacilitar a didtica entre os alunos e a matria, atravs de uma apostila contendo notas de aula e alguns exerccios para uma melhor aprimoramento do conhecimento acerca destadisciplina.
Sumrio 1. 2. 3. 4. PROPRIEDADESDOFLUIDO.............................................................................................................1 ESTTICADOSFLUDOS ................................................................................................................12 . CINEMTICADOSFLUDOS...........................................................................................................22 DINMICADOSFLUDOS...............................................................................................................33
1. PROPRIEDADES DO FLUIDO Referencias bibliogrfica: 1) Introduo Mecnica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edio (1995). Captulos 1 e 2. 2) Mecnica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 1. 3) Fenmenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Captulos 1 e 2. 4) Mecnica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edio (1982). Captulo 1. 5) Mecnica dos Fluidos Franco Brunetti Pearson Education (2005). Captulo 1. 6) Fenmenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Captulo 1. 7) Fundamentos de Fenmenos de Transporte Celso P. Livi, LTC (2004). Captulo 1. 8) Fundamentos da Mecnica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Captulo 1. MASSA ESPECFICA OU DENSIDADE (ABSOLUTA):
- Anlise dimensional:
- Unidades: PESO ESPECFICO:
- Anlise dimensional: - Unidades: DENSIDADE RELATIVA:
4
PESO ESPECFICO RELATIVO:
VOLUME ESPECFICO:
VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINMICA:
- Anlise dimensional: - Unidades: VISCOSIDADE CINEMTICA:
- Anlise dimensional:
- Unidades: MDULO DE ELASTICIDADE:
COEFICIENTE DE COMPRESSIBILIDADE
5
1.
Exerccios resolvidos a) A
1. Um lquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa especfica de 850 kg/m. Calcule: viscosidade cinemtica em unidades do S.I. b) A viscosidade dinmica em unidades do CGS. Soluo: a) b)
2. A viscosidade cinemtica de um leo 0,028 m/s e o seu peso especfico relativo 0,85. Determinar a viscosidade dinmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. Soluo:
No MK*S:
No SI:
No CGS:
6
3. A viscosidade dinmica de um leo 5x10-4 kgf.s/m e o peso especfico relativo 0,82. Determinar a viscosidade cinemtica nos sistemas MK*S, SI e CGS. (g=10m/s; H2O=1000 kgf/m). Soluo:
No MK*S e no SI:
No CGS:
4. O peso de 3 dm de uma substncia 23,5 N. A viscosidade cinemtica 10-5 m/s. Se g=10m/s, qual ser a viscosidade dinmica nos sistemas MK*S e SI. Soluo:
No SI:
No MK*S:
5. So dadas duas placas planas paralelas distncia de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior fixa. Se o espao entre as placas for preenchido com leo (=0,1 St; =830 kg/m), qual ser a tenso de cisalhamento que agir no leo?
7
Soluo: Obs: =0,1 St= 10-5 m/s
6 Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30, sobre uma fina pelcula de leo. A velocidade da placa tem um valor constante de 2 m/s. Qual a viscosidade dinmica do leo se a espessura da pelcula 2 mm?
Soluo: De acordo com a 2 Lei de Newton: Fresultante = m.a . Onde a= Assim: Px *rea = m. 20.sen 30 Assim, Sabemos que: = 10 N/m * 12 = 0, pois a velocidade constante, ou seja, = 0.
7. Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parbola tem seu vrtice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tenso de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centipoises.
Soluo: Obs.: 400 centipoises= 4 poises= 4 dina.s/cm 1 V Como o perfil de velocidade parablico: V(y)= a1+ a2y + a3 y Condies de contorno: y=yo =Vmx = 2,5 m/s a1+ a2y0 + a3 y0=2,58
2 Vy=0 = 0 3y=yo
a1=0 a2 + 2y0 a3=0 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5. Da,
=0
Assim: a2y0 + a3 y0=2,5. Para y0= 10 cm= 0,1m. a3= -250 e a2=50. Perfil parablico obtido:
V(y)= 50 y 250 y Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: = 50-250y y=yo = 25 Tenso de cisalhamento:y=yo=
8. Uma pequena esfera slida, com 4,02 mm de dimetro e uma densidade relativa de 0,91, colocada em repouso num recipiente contendo um lquido cuja densidade relativa de 0,8. Sabendo que a esfera est submetida fora gravitacional (calculada atravs do produto da massa pela acelerao da gravidade), ao empuxo (que representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a fora de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a rea frontal de contato entre o slido e o fluido vezes a metade do produto do peso especfico do fluido e o quadrado da velocidade dividido pela acelerao da gravidade, no caso de uma esfera: Afrontal= de nmero de Reynolds, Fa = Cd. Afrontal. a esfera atingir a velocidade terminal. Soluo: Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre:fluido.
e Cd = 24/Re, onde Re (=
chamado
). Calcule o tempo mnimo decorrido para
w = m.g
E= E=
fluido.
Volume
Fa= Cd. Afrontal. Fa= Fa=
fluido. fluido.
w= esfera. Volume. g w= *. H2O .Volume. g
fluido.
.
.
9
Sabemos que: Fr=m.a w- Fa- E =esfera. esfera.
Volume. fluido.
.g-
=
esfera.
.
=g-
Sendo a= g -
, e b=
Teremos:V = Vmx (1- e-bt)
= a bV
Adotando V=99%Vmx: s 9. Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina pelcula de leo de espessura h mm em um plano inclinado de um ngulo . Determine uma expresso para o comprimento do plano em funo da velocidade mxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no leo = c y1/3, onde c uma constante determinada pela condio de contorno da velocidade mxima no leo ser igual velocidade do bloco e y a distncia do plano no leo, 0 y h.
Soluo: Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco. Diagrama de corpo livre:
10
Logo:
Sabemos que: Fr= w.sen - Fa
a=
Fr=m.a -
- Fa = (m) -
Condio de contorno: Se y=h: V(y) = Vbloco= V(y) = Note que: = c y1/3
Voltando para a expresso obtida ao analisar a fora resultante teremos: -
Seja
e
, teremos:
.
Assim,
Seja
:11
2. ESTTICA DOS FLUDOS Referencias bibliogrfica: 1) Introduo Mecnica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edio (1995). Captulos 3. 2) Mecnica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 3. 3) Fenmenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Captulos 4. 4) Mecnica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edio (1982). Captulo 2. 5) Mecnica dos Fluidos Franco Brunetti Pearson Education (2005). Captulo 2. 6) Fenmenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Captulo 2. 7) Fundamentos de Fenmenos de Transporte Celso P. Livi, LTC (2004). Captulo 3. 8) Fundamentos da Mecnica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Captulo 2. EQUAO GERAL DA ESTTICA DOS FLUDOS (1-D)
Lquido em repouso:
Princpio
de
Pascal
P1 .dA P2 .dA W = 0 W = .g .dA.dz P1 PExpanso em srie de Taylor
P2 = P1 +
dP .z dz
Assim,
PdA ( P + dP).dA .g.dA.dz = 0 dP = .g.dz
12
APLICAES: FLUDO INCOMPRESSVEL
FORAS EM SUPERFCIES PLANAS - Usando
- Outra forma
Ponto de aplicao desta fora (zf)
EQUAO GERAL DA ESTTICA DOS FLUDOS (2-D)
APLICAES:
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MOVIMENTO RELATIVO LINEAR
Sistema em Repouso
Sistema em Movimento
MOVIMENTO RELATIVO CIRCULAR
2. Exerccios resolvidos
1. Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule: a) A presso efetiva do Gs 2; b) A presso efetiva do Gs 1, sabendo que o manmetro indica uma presso de 15000 N/m3 ; c) A presso absoluta do Gs 1, considerando a presso atmosfrica local igual a 730 mmHg. Dados: leo = 8000 N/m3 , Hg = 133280 N/m3 , gua = 9800 N/m3
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Soluo: a) P1 = Pleo + Pgs e P2 = PHg + Pgua P1 = P2 leo . ( h1 + h2 ) + Pgs = Hg . h4 + gua . h3 8000 . (35 . 10-2) + Pgs = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 Pgs = 32970 N/m3 b) Pgs 1 = Pgs 2 Pmanmetro Pgs 1 = 17970 N/m3 c) P2 = PHg + Pgua + Patm e P1 = Pgs 2 + Pleo + Pgs 1 PHg + Pgua + Patm Pgs 2 Pleo = Pgs 1 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 32970 -8000 . 35 . 10-2 = Pgs 1 Pgs 1 = 97294,4 N/m3 P abs gs 1 = 115265 N/m3 2. O tanque mostrado no esquema da figura contm um leo com massa especfica . Determine o mdulo da fora resultante exercida pelo leo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.
Soluo:
, onde
2)
3. A figura mostra um esquema de uma janela circular de dimetro D=2 m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a forca resultante exercida pela gua sobre a janela a) b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)
15
Soluo: a) Em coordenadas polares: dA=r.d.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.sen
b)
Substituindo,
Temos ,
16
4. A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a forca resultante exercida pela gua sobre a janela a) b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)
Soluo: a) Temos e
Substituindo,
b)
Substituindo, Temos,
.
17
5 A figura mostra um esquema de um reservatrio com gua. A comporta retangular de altura L e largura B est articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constitudo de um material com massa especfica B, est imerso em gua. O cabo possui massa desprezvel. Estando a comporta na posio vertical, determine: A forca resultante exercida pela gua sobre a comporta; a) b) O momento de forca, em relao ao ponto O, devido distribuio de presses exercida pela gua; c) O volume mnimo V do bloco necessrio para manter a comporta na posio vertical.
Soluo: a)
b)
Deve-se achar zf:
Temos,
18
Substituindo,
Temos, Em relao ao ponto O temos a distncia D, que igual a : D=H-zf Calculando o momento,
c)
Temos em relao ao ponto O,
Pelo Diagrama do Corpo Livre:
Sendo,
Ento fica assim,
Isolando V,19
6. Deve-se transportar um aqurio que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de gua voc pode deixar no aqurio de modo a ficar razoavelmente certo de que no transbordar no transporte?
Soluo: Equao da superfcie livre: dP=0
Se no houver transbordamento:
No h transbordamento: Vi=Vf
Achando a altura da gua h: (1) = (2)
Sabe-se que Substituindo os valores,20
Calculando o volume:
7. Um vaso cilndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com lquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante () em torno do seu eixo central. Aps um curto perodo, no h movimento relativo (o lquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rgido). Qual o valor de (rpm) para no haver transbordamento?
Soluo: Equao da superfcie livre: dP=0
Se no houver transbordamento:
21
Substituindo os valores, No h transbordamento: Vi=Vf
(1)
Substituindo valores,
.
. Igualando os volumes: Achando o valor de : Equao (1) = Equao (2). Da,
3. CINEMTICA DOS FLUDOS Referencias bibliogrfica: 1) Introduo Mecnica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edio (1995). Captulo 5 e 6. 2) Mecnica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 9 e 11. 3) Fenmenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Captulos 9, 10 e 11. 4) Mecnica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edio (1982). Captulo 7. 5) Mecnica dos Fluidos Franco Brunetti Pearson Education (2005). Captulo 3. 6) Fenmenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Captulo 3. 7) Fundamentos de Fenmenos de Transporte Celso P. Livi, LTC (2004). Captulos 4, 5 e 6. 8) Fundamentos da Mecnica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Captulos 4 e 6.
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OPERADOR NABLA ( ): Coordenadas retangulares:
Coordenadas cilndricas:
OPERADOR LAPLACE ( Coordenadas retangulares:
):
Coordenadas cilndricas:
VELOCIDADE: Coordenadas cartesianas: Coordenadas polares: ACELERAO:
- Sistema Euleriano
Coordenadas polares:
VAZO
Vazo em volume: V=velocidade A=rea Vazo em massa: Vazo em peso:
EQUAO DA CONTINUIDADE
- Regime permanente (independe do tempo)23
- Fludo incompressvel (=constante):
Velocidade maior nas sees de menor rea Coordenadas cartesianas
Coordenadas polares
EQUAO DA IRROTACIONALIDADE Coordenadas cartesianas
Coordenadas polares
EQUAO DA TRAJETRIA:
FUNO CORRENTE ()
- Satisfaz a equao da continuidade FUNO POTENCIAL ()
- Satisfaz a equao da irrotacionalidade RELAES DE CAUCHY-RIEMMAN Coordenadas cartesianas
Coordenadas polares
EQUAO LAPLACE
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TIPOS DE ESCOAMENTO FONTE
- Q = Constante - Vr0 - V=0
VRTICE
- circulao constante - V0 - Vr=0
TIPO CANTO
UNIFORME
25
UNIFORME+FONTE
- Ponto de estagnao: velocidade nula - Equao do semi-corpo de Rankine :
FONTE+SUMIDOURO
DIPOLO
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FONTE+SUMIDOURO+UNIFORME
UNIFORME+DIPOLO (AO REDOR DE UM CILINDRO)
- =0 , r=a -
UNIFORME+DIPOLO+VRTICE(CILINDRO COM CIRCULAO)
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Exerccios resolvidos
1. Considere um campo de escoamento incompressvel bidimensional dado pela funo corrente (x,y) = ax-ay, com a=3s-1 e x e y em metros. a) b) c) Mostre que o escoamento irrotacional. Determine o potencial de velocidade para este escoamento. Qual a vazo que passa entre uma assntota e a linha de corrente dada por =cte=2?
Soluo: a) Um escoamento irrotacional quando xV=0 Sabemos que: xV = x ; = 0.
-2a+2a=0 0=0 O escoamento irrotacional. b)
; Logo: =12.
c) Sabemos que a vazo dada pela diferena entre dois psis, ou seja, Q= assntota e2=2,
Se
1=
teremos: Q= 2m/s.
2. Demonstre a Equao da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilndrica plana.
28
Soluo:
Sabemos que: Taxa que entra Taxa que sai = Variao interna + + =
+ =Desprezvel
-
-
-
-
-
-
=== Logo: + + + + + =0 =0 -
-
-
Obs.: De acordo com a Regra do produto:
=
+
Equao da continuidade em coordenadas polar
Desta forma, provamos que:
+
=0
3. Demonstre a Equao da Continuidade e a Equao da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimenses.
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Soluo: Devemos lembrar que: r=cos + sen j = -sen + cos j r. r=1 ; r . =0 . =1 ; r x = k .+
= -sen
+ cos j=
= - cos - sen j= = 0, ou seja:
De acordo com a Equao da Continuidade: =0
=0 =0 =0
=0 =0 + =0 = 0, ou seja:
De acordo com a Equao da Irrotacionalidade: x+ +
=0 =0 =0 =0
=0, ou seja,
-
4. Qual o valor da acelerao de um escoamento cujo campo de velocidade dado por ? Esse escoamento real ? Soluo: Por no depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. No d para dizer se o fluido compressvel ou no, pois no temos informaes suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimenses. a local= =0
a convectiva= a convectiva= a convectiva= Componentes da acelerao: ax= ay=30
O escoamento s existir se a equao da Continuidade for obedecida. Desta forma, + = 0.
deveremos provar que:
Tendeazero,poisoescoamento nodependedotempo.
Oescoamentonoreal.
5. Seja
. Veja se o escoamento desse fluido real. Em caso afirmativo, defina
a equao de sua trajetria. Soluo: O escoamento s existir se a equao da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que:Tendeazero,poiso escoamento
+
= 0.
Oescoamentoreal.
Encontrando a Equao da trajetria:
Equaodatrajetria.31
6. A superfcie matemtica do slido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposio de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geomtrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20 km/h em direo ao monte, pergunta-se:
Qual a velocidade do vento na superfcie do monte em um ponto verticalmente acima a) da origem? b) Qual o valor da vazo do escoamento do vento entre duas superfcies que passam pelos pontos de estagnao e (x=50; y=90)? Soluo: a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine formado pela superposio de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equao de Laplace podemos dizer que: U/F = U + F = Para =0:
Para =:
Logo: 0 = Para =/2:
Para =0:
32
Logo: V= 3,54 r + 5,56 e V = 6,59 m/s b) 0 = Na linha de corrente o =0 quando =0 e r=h=100: Sabemos que: x= r cos=50 y= r sen=120 r=130m tg= =1,18 rad
Sabemos que a vazo pode ser calculada atravs da diferena entre dois psis, Q= o a, sendo o o ponto de estagnao teremos o =0.
Q= o - a= Q= 319 m/s
4. DINMICA DOS FLUDOS
Referencias bibliogrfica:1) Introduo Mecnica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edio (1995). Captulos 5 e 8. 2) Mecnica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 5 e 6. 3) Fenmenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Captulos 10 e 12. 4) Mecnica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edio (1982). Captulos 3 e 5. 5) Mecnica dos Fluidos Franco Brunetti Pearson Education (2005). Captulo 4 e 9. 6) Fenmenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Captulo 5. 7) Fundamentos de Fenmenos de Transporte Celso P. Livi, LTC (2004). Captulo 5. 8) Fundamentos da Mecnica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Captulo 6.
TEOREMA DE BERNOULLI
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- Conservao de energia - Vlido na mesma linha de corrente - Escoamento em regime permanente - Fludo ideal Viscosidade nula Fludo incompressvel - Usamos para determinar fora de arraste (FA) e fora de sustentao (Fs)
- Aplicaes: TUBO DE VENTURI
- serve para monitorar vazes - para achar o valor da vazo: 1) aplica Bernoulli 2) usa equao da continuidade 3) leitura manomtrica TUBO DE PITOT
- serve para medir o valor da velocidade em um ponto 1) aplica Bernoulli 2) leitura manomtrica
34
RESERVATRIO IDEAL
- Nvel do reservatrio constante Achar o valor da velocidade de sada: 1. Aplica Bernoulli
Para achar o valor da vazo de sada: 2. Aplica equao da continuidade
FLUDOS REAIS
Coeficiente de Descarga:
Coeficiente de Velocidade:
Coeficiente de Contrao:
RESERVATRIO Tempo para o reservatrio encher: - Considerar fludo real - Fazer balano de massa Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variao interna Tempo para o reservatrio esvaziar: - Considerar fludo real - Fazer balano de massa (taxa que entra=0) 0 - taxa que sai = taxa de variao interna35
Tempo para o nvel do reservatrio permanecer constante : - fludo ideal - fazer balano de massa (taxa de variao interna=0) - encontra zeq - calcula o tempo para z=0,99zeq, pois tcte>tFLUDOS VISCOSOS
EQUAO DE NAVIER-STOKES:
- Idealizaes: 1) escoamento permanente 2) escoamento laminar 3) escoamento completamente desenvolvido 4) fludo incompressvel 5) Problema de COUETTE
- Condies: 1) velocidade s tem componente na direo do escoamento e est em funo da outra direo. , na direo de x e em funo de y 2) escoamento s ocorre devido a diferena de presso e a presso depende de x.
se o escoamento s ocorrer devido a gravidade : Para resolver o problema aplicamos as idealizaes e condies na equao de NAVIERSTOKES e encontramos:
Com as condies de contorno achamos c1 e c2
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Problema de HAGEN-POISEUILLE:
- Condies: 1) velocidade s tem componente na direo do escoamento e est em funo da outra direo. , na direo de z e em funo de r 2) escoamento s ocorre devido a diferena de presso e a presso depende de z.
se o escoamento s ocorrer devido a gravidade : Para resolver o problema aplicamos as idealizaes e condies na equao de NAVIERSTOKES e encontramos:
Com as condies de contorno achamos c1 e c2 .
4. Exerccios resolvidos
1. O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensvel e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionrio, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade. Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (*=10-3) atinge 180 km/h; a temperatura externa 7,00C. Um barmetro dentro da cabana d uma leitura de 720mm de mercrio; a presso atmosfrica fora tambm de 720 mmHg. A cabana tem um dimetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a fora que tende a levantar a cabana das suas fundaes. Sabendo que
Soluo:
37
cilindro: r=a
Sendo, D=6m L=24m a=3m h=720mm =720.10-3m Achar P1: P=.g.h P1= *Hg.gua.g.h Substituindo os valores, P1=9,6 Pa V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s Achar V2: Vr=0 V=-2.U0.sen |V|=2.U0.sen *=10-3 ento, =1 kg/m3 Achar : = .g =9,8 N/m3 Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 V1=U0 P1=9,6 Pa Teremos ento, z2=a.sen V2=2.U0.sen P2
Fica assim, Achar Fa:
Calculando, Obtm-se, Achar
Fs:
38
Calculando, Obtm-se,
Substituindo os valores,
2. Dado o perfil de velocidade
e sabendo que foi medido com tubo de
pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazo, sendo a=0,1m e 0ra. Soluo:
r=0,3
Teremos,
Ento,
3. Dado um reservatrio com uma sada lateral,achar a vazo que sai quando o nvel do reservatrio no muda.(vazo ideal) Soluo: Aplicando Bernoulli: H1=H2 z2=0 z1=z V1=0 V2 P1=Patm P2=Patm Videal=39
Pela continuidade:
4. Um grande reservatrio, com 4,0m de altura de gua, em forma cilndrica com dimetro de 3,2m, possui um pequeno orifcio lateralmente na sua base com dimetro de 6,0 cm. O reservatrio encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifcio est aberto jorra gua a 2,0m de distncia do orifcio. O coeficiente de contrao do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatrio, assumindo que o nvel do reservatrio no varia por um tempo de 1,5 horas? b) Quanto tempo leva para o nvel do reservatrio diminua de 1,0m? c) Para o caso do item (b) a idealizao do item (a) vlida? Soluo: H=4m; D=3,2m; Cc=0,9; t=1,5 horas=5,4 r=3cm=3.10-2m Ab=rea do bocal; AR=rea do reservatrio -considera-se o reservatrio cheio seg; d=6cm;
a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9 achar Cv: temos que e que
substituindo os valores,temos Ento, achar Cd: Cd=Cv.0,9
achar Ab:
40
achar AR:
- t>1,5 horas: o nvel do reservatrio varia, vamos considerar Q0=0
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variao interna 0. Desenvolvendo, . = =
Ento, (1) achar a:
achar zeq: -considerar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq t=1,01.5,4 seg t=5,45 s Ento, utilizando a equao (1)
Teremos,
41
Substituindo os valores,
c)
Utilizando a equao, Obtemos,
4. Para o escoamento de um fluido com propriedades fsicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2 uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento devido a um gradiente de presso constante na direo X (dP/dX). a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equao de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizaes de COUETTE,pode ser escrita como: onde B uma constante que depende do gradiente de presso,a,Uo e da viscosidade. b) Ache uma expresso adimensional u, levando-se em conta as condies de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manomtrica de 20 mmHg (*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazo desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 a velocidade medida no tubo de Pitot. Soluo: - Condies:
- Analisando equao de NAVIER-STOKES:
Como, Substituindo temos,
42
Ento, a) Adimensionando:
Substituindo,
Derivando,
Derivando novamente,
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b) 1)
Condies de contorno: U|y*=1=0
2)
V|y*=-1=0
Ento,
c)
achar U0: manometria:
achar
:
z1=0 U0 P1
Aplicando Bernoulli: H1=H2 z2=0 V2=0 P2
Substituindo os valores,
44
Para y=0 a velocidade mxima - dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua Substituindo em
Temos,
achar Vmx: Como j foi dito Vmx ocorre quando y=0, ento
-achar Q:
Substituindo valores,
5. Usando o princpio da conservao de energia, determine o sentido do escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual =8500 N/m3 e =0,05 kg/m.s e ache a vazo deste escoamento em litros por segundos.
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Dado: PA=20 kPa; PB=30 kPa; L=40 m; D=10 cm Inclinao da tubulao: 300
Soluo: Para analisar o sentido do escoamento preciso verificar em qual seo h maior energia, ento aplicaremos Bernoulli :
-pela equao da continuidade : e Ento, Considerando ,
-analisando a energia no ponto A:
-analisando a energia no ponto B:
A energia em A maior que em B, o fludo escoa de A para B. Calculando a vazo: -condies:
-analisando equao de NAVIER-STOKES:
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Como, Substituindo temos,
Ento, -condies de contorno: V|r=0=Vmx V|r=a=0
3) c1=0 4)
Ento ,
-achar Q:
-achar K:
-achar Vmx:
Substituindo os valores,
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6. Uma correia larga se movimenta num tanque que contm um lquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia vertical e ascendente e a velocidade da correia Vo. As foras viscosas provocam o arrastamento de um filme de lquido que apresenta espessura h. Note que a acelerao da gravidade fora o lquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equao para a velocidade mdia do filme de lquido a partir das equaes de Navier Stokes. Admita que o escoamento laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanente.
Soluo: Ns s consideraremos o componente na direo y do vetor velocidade porque a formulao do problema estabelece que o escoamento unidimensional (assim, u=w=0). A . O regime do escoamento o permanente e ento equao da continuidade indica que . Nestas condies ns encontramos que v= v(x). A aplicao da equao de Navier Stokes na direo x e na direo z resulta em: e . Este resultado indica que a presso no varia em qualquer plano horizontal. Ainda possvel concluir que a presso no filme constante e igual a presso atmosfrica porque a presso na superfcie do filme (x=h) a atmosfrica. Nestas condies, a equao do movimento na direo y fica reduzida a:
1
Integrando a equao acima chegaremos a: Condies de contorno: x=h=0: A segunda integrao da equao, , fornece:
2
V x=0=V0:48
Desta forma:
A vazo em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade:
A velocidade mdia do filme pode ser definida como
. Assim:
7. A gua escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de Pitot esto em um manmetro diferencial contendo um lquido com *=0,82. Achar uA e uB. Dados: A=3 ft; B=2 ft; g=32,17 ft/s.
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