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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA Cinemática e Dinâmica para a Engenharia Domingos Alves Rade 2009

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Apostila Dinâmica, Rade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Cinemática e Dinâmica para a Engenharia

Domingos Alves Rade

2009

 

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 – CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Grandezas cinemáticas fundamentais: posição, deslocamento, velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Velocidade e aceleração angulares de uma linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1.4 Derivadas de funções vetoriais em relação a grandezas escalares . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Movimento retilíneo da partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Interpretações geométricas no movimento retilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2 Casos particulares de movimento retilíneo. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 20

1.6 Movimento retilíneo vinculado de várias partículas . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Movimento curvilíneo plano de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.2 Componentes normal-tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.3 Coordenadas polares. Componentes radial-transversal . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Movimento curvilíneo espacial da partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8.1 Coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.2. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8.4 Transformações de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9.1 Movimento relativo plano. Eixos de referência em translação . . . . . . . . . . 48

1.9.2 Movimento relativo plano. Eixos de referência em rotação . . . . . . . . . . . . . 50

1.9.3 Movimento relativo plano. Eixos de referência em movimento plano geral 56

1.9.4 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em translação . . . . . . . . 60

1.9.5 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em rotação. . . . . . . . . . . 62

1.9.6 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em movimento geral . . . 63

1.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Movimento de translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3. Movimento de rotação em torno de um eixo fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4 Movimento plano geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1 Velocidades absolutas e relativas no movimento plano geral. . . . . . . . . . . . 72

2.4.2 Centro instantâneo de rotação no movimento plano geral . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.3 Acelerações absolutas e relativas no movimento plano geral . . . . . . . . . . . 81

2.5 Movimento com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6 Movimento Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.6.1 Velocidades absolutas e relativas no movimento geral . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.6.2 Acelerações absolutas e relativas no movimentl geral . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DA PARTÍCULA

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 As leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.2 Componentes normal-tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.3.3 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.3.4 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4 A 2ª Lei de Newton e os sistemas de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5 As quatro forças de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6 Equilíbrio dinâmico. Princípio de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Diagramas de corpo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7.1 Força gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7.2 Força eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.7.3 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.74 Forças de contato entre superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.7.5 Forças exercidas por fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.7.6 Forças exercidas por cabos flexíveis e barras rígidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.7.7 Forças exercidas por molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.7.8 Forças exercidas por amortecedores viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.8 Resolução numérica das equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.9 Quantidade de movimento linear da partícula. Princípio do impulso quantidade de movimento linear. Conservação do movimento linear. . . . . . . . .

115

3.10 Quantidade de movimento angular da partícula. Princípio do impulso – quantidade de movimento angular. Conservação da quantidade do movimento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

3.11 Métodos de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.11.1 Trabalho de uma força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.11.2 Potência de uma força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.11.3 Princípio do trabalho-energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.11.4 Forças conservativas. Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.11.5 Princípio da conservação da energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.12 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2 Forças externas e internas. Forças efetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3 Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular do sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4 Movimento do centro de massa do sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5 Quantidade de movimento angular do sistema de partículas em relação ao centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.6 Princípio do impulso-quantidade de movimento linear para o sistema de partículas. Conservação da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.7 Princípio do impulso-quantidade de movimento angular para o sistema de partículas. Conservação da quantidade de movimento angular . . . . . . . . . . . . . 140

4.8 Princípio do trabalho-energia cinética para os sistemas de partículas . . . . . . . . 142

4.9 Princípio da conservação da energia mecância para os sistemas de partículas . 145

4.10 Colisões de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.10.1 Colisões Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.10.2 Colisões oblíquas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.11 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2 Posição do centro de massa de um corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2.1 Posição do centro de massa de corpos de geometria composta . . . . . . . . . 156

5.3 Momento de inércia de massa de um corpo rígido em relação a um eixo. Raio de giração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.4 Teorema dos eixos paralelos para os momentos de inércia de massa . . . . . . . . . 159

5.5 Momentos de inércia de massa expressos em coordenadas cartesianas . . . . . . . 161

5.6 Momentos de inércia de massa em relação a um eixo orientado arbitrariamente. Produtos de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.7 Teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia e produtos de inércia expressos em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.8 Momentos e produtos de inércia de corpos de geometria composta . . . . . . . . . 171

5.9 Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

CAPÍTULO 6 – DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2 Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular de corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.3 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4 Equações de Euler para o movimento de corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.5 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.6 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento plano . . . . . 186

6.7 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

6.8 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de rotação em torno de um eixo fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.9 Energia cinética de corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.9.1 Energia cinética no movimento de translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.9.2 Energia cinética para corpos rígidos em movimento plano . . . . . . . . . . . 193

6.9.3 Energia cinética no movimento com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.9.4 Energia cinética no movimento de rotação em torno de um eixo fixo . . . . 194

6.10 Princípio do trabalho-energia cinética para os corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.11 Princípio da conservação da energia mecânica para os corpos rígidos . . . . . . . . 197

6.12 Princípio do impulso-quantidade de movimento para os corpos rígidos. Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.13 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CAPÍTULO 7 – FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.2 Princípios do Trabalho Virtual Aplciado a Sistemas de Partículas . . . . . . . . . . 201

7.3 Princípio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.4 O Princípio de Hamilton Estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.5 Número de graus de liberdade e coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.6 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

APÊNDICE A – TRANSFORMAÇÃO DE COOORDENADAS. PROBLEMA DE AUTOVALOR ASSOCIADO À DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . 218

Capítulo 1

Cinemática da Partícula

 

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

1

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

1.1 - Introdução A Cinemática trata da descrição do movimento de uma partícula, relacionando sua posição, velocidade e aceleração com o tempo, sem levar em conta os agentes que dão origem ao movimento, que são as forças. Entende-se por partícula ou ponto material, um corpo cuja forma e dimensões não são relevantes para a caracterização de seu movimento. Deve-se notar que, segundo esta conceituação, partículas não são necessariamente corpos de pequenas dimensões. Assim, por exemplo, um avião cujo movimento é monitorado por uma estação de radar, conforme ilustrado na Figura 1.1(a), pode ser considerado como uma partícula porque, na medição efetuada pelo radar, não se faz distinção entre os movimentos de diferentes pontos do avião. Por outro lado, se estivermos interessados em caracterizar, por exemplo, as acelerações dos diferentes pontos da asa do avião ao longo de sua envergadura, durante uma manobra de rolamento (rotação em torno do eixo longitudinal), teremos que considerar as posições destes pontos em relação ao eixo do longitudinal do avião, como mostra a Figura 1.1(b). Neste caso, o modelo de partícula não mais se aplica e, se admitirmos ainda que o avião não se deforma, podemos tratar o avião como um corpo rígido. Assim sendo, a modelagem de um dado corpo como partícula ou como corpo rígido depende, fundamentalmente, do tipo de problema que estamos tratando e das informações que estamos buscando mediante a resolução do problema.

(a) (b)

Figura 1.1

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

2

Este capítulo tem dois objetivos principais: 1º) conceituar as grandezas cinemáticas utilizadas para caracterizar o

movimento de uma partícula: posição, velocidade e aceleração. 2º) estabelecer as equações que permitem calcular posição, velocidade e

aceleração instantâneas da partícula, empregando sistemas de referência fixos e móveis e diferentes tipos de sistemas de coordenadas em duas e três dimensões. Este estudo é motivado pelo fato que a escolha adequada do sistema de referência pode facilitar enormemente a resolução de problemas práticos de Engenharia.

É importante ressaltar que o assunto abordado neste capítulo constitui uma etapa fundamental na resolução de problemas de dinâmica da partícula, além se aplicar diretamente ao estudo da cinemática e dinâmica dos sistemas de partículas e dos corpos rígidos, que serão enfocados em capítulos subseqüentes do curso.

1.2 – Grandezas cinemáticas fundamentais: posição, deslocamento, velocidade e aceleração

No estudo da Mecânica, a completa caracterização das grandezas cinemáticas - posição, velocidade e aceleração - requer o estabelecimento de um sistema de referência em relação ao qual estas grandezas são medidas e ao qual associamos um observador do movimento.

A escolha do sistema de referência é arbitrária, podendo ele ser fixo ou móvel. No primeiro caso, o movimento é dito absoluto e, no segundo caso, relativo.

Muito freqüentemente, o sistema de referência é representado por um conjunto de eixos orientados, perpendiculares entre si, aos quais se associa uma base de vetores unitários. A forma mais comum é o sistema de eixos cartesianos Oxyz, com sua base canônica de vetores unitários ( k,j,i

).

Quando a partícula se movimenta, o conjunto dos pontos que ela ocupa define a chamada trajetória da partícula. Quando a trajetória for uma curva, seja ela plana ou reversa, seu movimento é denominado movimento curvilíneo. Conforme mostra a Figura 1.2(a), a posição de uma partícula sobre sua trajetória, indicada por um ponto P, em relação a um sistema de referência Oxyz, fica completamente determinada pelo vetor posição tr

, que tem sua origem coincidente com a origem

do sistema de referência e sua extremidade coincidente com a posição instantaneamente ocupada pela partícula.

É evidente que, à medida em que a partícula se desloca, o vetor tr

varia em módulo e/ou direção, sendo, portanto, uma função vetorial do tempo.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

3

(a) (b)

Figura 1.2

Considerando a Figura 1.2(b), designemos por trr

e ttrr

os

vetores posição correspondentes às posições P e P , ocupadas pela partícula em dois instantes subseqüentes t e tt , respectivamente. O vetor r

, chamado vetor

deslocamento, representa a variação da posição da partícula durante o intervalo de tempo t . Este vetor indica, portanto, a variação no módulo e na direção do vetor posição. Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.2(b), podemos escrever

rrr

. Em Mecânica, estamos freqüentemente interessados em avaliar a rapidez com que o vetor posição varia com o tempo. Esta rapidez é expressa pela grandeza cinemática chamada velocidade.

Com base na situação ilustrada na Figura 1.2(b), define-se a velocidade vetorial média entre os instantes t e tt como sendo o vetor expresso sob forma:

tr

vm

(1.1)

Sendo t uma quantidade escalar positiva, observamos que, segundo a definição (1.1), mv

é um vetor que tem a direção e o sentido do vetor deslocamento

r

, ou seja, tem a direção da secante à trajetória, interceptando-a nos pontos P e P , conforme mostrado na Figura 1.3. Além disso, o módulo de mv

é igual ao módulo

de r

dividido por t . No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a velocidade vetorial média tem unidades de m/s.

trajetória da partícula

O x

z

y

tr

P

Ox

z

y

r

r

r

P

P

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

4

(a) (b)

Figura 1.3

A velocidade vetorial instantânea, ou vetor velocidade, é definida segundo:

dt

trdtr

vtvt

mt

00

limlim sm (1.2)

Observamos, na Figura 1.3(a), que quando t tende a zero, os pontos P e P

se aproximam e a direção de mv

tende a assumir a direção da tangente à trajetória. Assim, concluímos que o vetor velocidade tv

tem sempre a direção da tangente à

trajetória no ponto correspondente à posição instantaneamente ocupada pela partícula. O sentido de tv

é determinado pelo sentido do movimento da partícula

ao longo da trajetória, como mostra a Figura 1.3(b). Nesta figura, t e n designam as direções tangencial e normal à trajetória, respectivamente. É importante ressaltar que, no caso geral, o vetor velocidade não é perpendicular ao vetor posição. A velocidade escalar, denotada por v, é definida como sendo o módulo do vetor velocidade, ou seja:

t'PP

limt

trlimtvtv

tt

00

, sm (1.3)

onde PP indica o comprimento do segmento de reta que liga as posições P e P , conforme indicado na Figura 1.3(a).

Para definir uma forma alternativa, e mais conveniente, da velocidade escalar instantânea, introduzimos a coordenada curvilínea ts , medida ao longo da trajetória, a partir de uma origem arbitrária 'O , com uma orientação positiva e outra negativa, também escolhidas arbitrariamente, como mostrado na Figura 1.4. Observamos que quando t tende a zero o comprimento da corda 'PP se aproxima

do comprimento do arco de trajetóriaPP , que tem comprimento s . Assim,

podemos escrever:

O x

z

y

r

P

P

mv

r

r

t

Ox

z

y

P

v

n

r

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

5

dt

tdsts

tvt

0

lim sm (1.4)

Figura 1.4

Na equação (1.4), podemos verificar que um valor de tv positivo indica que 0ds (ou seja, s é crescente), o que significa que a partícula se desloca

instantaneamente no sentido positivo adotado para medir a coordenada s. Por outro lado, tv negativo indica que s é decrescente, ou seja, a partícula se desloca no sentido contrário à orientação positiva adotada para medir a coordenada s. No estudo da Cinemática, também nos interessamos freqüentemente em avaliar a rapidez com que a velocidade da partícula varia com o tempo. A grandeza que quantifica esta rapidez é a aceleração.

Sejam v

e v

os vetores velocidade da partícula em dois instantes subseqüentes t e tt , respectivamente, e vvv

, o vetor que representa a

variação do vetor velocidade (em módulo e direção) entre estes dois instantes, conforme ilustra a Figura 1.5.

Ox

z

y

r

r

r

Ps

s

O +

P

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

6

(a) (b)

Figura 1.5

A aceleração vetorial média entre os instantes t e tt é definida como sendo o vetor dado por:

tv

tvv

am

(1.5)

Vale notar que ma

tem a direção e o sentido do vetor v

e seu módulo é igual

ao módulo de v

dividido por t . No S.I., ma

tem unidades de m/s2. A aceleração vetorial instantânea, ou vetor aceleração, é assim definida:

dt

tvdtv

atat

mt

00

limlim [m/s2] (1.6)

Em virtude da equação (1.2), podemos escrever (1.6) sob a forma:

2

2

dt

trdta

[m/s2] (1.7)

É importante observar que a direção do vetor aceleração instantânea não

coincide, no caso geral de movimento curvilíneo, com as direções normal ou tangencial da trajetória, como podemos observar na Figura 1.6. Tudo o que se pode afirmar a respeito da direção do vetor aceleração é que ele deve apontar para o lado côncavo da trajetória, onde se localiza o centro de curvatura da trajetória, como será demonstrado mais adiante.

P(t)

P´(t+t)

v

v

t

v

v

v

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

7

Figura 1.6

1.3 – Velocidade e aceleração angulares de uma linha Conforme será visto mais adiante, muitas vezes buscaremos expressar o movimento de uma partícula em termos do movimento de um segmento de reta que liga esta partícula a um outro ponto do espaço. Assim sendo, é importante definir as grandezas cinemáticas associadas à posição, velocidade e aceleração angulares de um segmento de reta. Consideremos o segmento de reta OP que se movimenta sobre um plano que, por conveniência, fazemos coincidir com o plano x-y, conforme ilustrado na Figura 1.7. A orientação instantânea de OP é determinada pelo ângulo formado entre este segmento e uma direção de referência arbitrariamente escolhida. O sinal de é determinado pelo sentido de rotação, conforme convenção adotada. Define-se a velocidade angular instantânea do segmento OP, denotada por , como sendo a taxa de variação do ângulo com o tempo, ou seja:

dtd

tlim

0 (1.8)

No Sistema Internacional de Unidades, a velocidade angular tem unidades de rad/s. Um valor positivo de indica que o segmento OP está girando no sentido convencionado como positivo para medir o ângulo . Um valor negativo de significa que OP está girando no sentido contrário àquele convencionado como positivo para medir o ângulo .

t

O x

z

y

Pa

n

r

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

8

Figura 1.7

É conveniente definir o vetor velocidade angular, , com as seguintes características:

a) seu módulo é dado por . b) sua direção é perpendicular ao plano definido pelo segmento OP e pela

reta que estabelece a direção de referência. c) seu sentido é determinado pelo sentido de rotação de OP, de acordo com a

regra de mão direita, conforme ilustrado na Figura 1.7. Assim, para a situação ilustrada na Figura 1.7, em relação ao conjunto de

eixos de referência Oxyz, podemos expressar o vetor velocidade angular de OP sob a forma:

k [rad/s] (1.9)

A aceleração angular do segmento OP, designada por , expressa a rapidez

com que a velocidade angular varia, ou seja:

2

2

dt

ddtd , ou (1.10)

No Sistema Internacional de Unidades, a aceleração angular tem unidades de rad/s2. Um valor positivo de indica uma das seguintes situações:

o segmento OP está girando no sentido convencionado como positivo para medir o ângulo ( 0 ), com velocidade angular de módulo crescente.

o segmento OP está girando no contrário ao convencionado como positivo para medir o ângulo ( 0 ) com velocidade angular de módulo decrescente.

O

P

direção de referência

x

y

z

+

i

j

k

k

k

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

9

No caso em que o plano , sobre o qual se movimenta o segmento OP, não varia sua orientação, o vetor aceleração angular é obtido por derivação de (1.9), considerando o vetor k

como invariável. Neste caso, temos:

k

(1.11) No estudo da cinemática dos corpos rígidos é usual atribuirmos a estes corpos as grandezas cinemáticas velocidade angular e aceleração angular, devendo ser entendido que, de acordo com as definições apresentadas acima, trata-se, a rigor, da velocidade angular e da aceleração angular de um segmento de reta que podemos imaginar desenhado sobre o corpo rígido para caracterizar sua posição angular em relação a uma direção de referência. Assim, na situação ilustrada na Figura 1.8, podemos dizer que o avião está efetuando uma manobra de rolamento com velocidade angular k

e aceleração angular k

, estando estes vetores

direcionados segundo o eixo perpendicular ao plano da figura. Observe-se que indica a posição angular do avião (a qual se confunde com a posição do segmento OP), em relação à direção de referência adotada.

Figura 1.8

Nos caso mais geral em que o segmento de reta OP se movimenta sobre um plano orientado arbitrariamente em relação aos eixos de referência, conforme mostrado na Figura 1.9, podemos expressar os vetores velocidade angular e aceleração angular sob as formas:

nw

(1.12.a)

n

, (1.12.b)

onde n

designa o vetor unitário normal ao plano .

Em termos de suas componentes nas direções dos eixos cartesianos indicados, estes vetores podem ser expressos segundo:

direção de referência

O

P

,

x

y

i

j

k

k

k

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

10

kji zyx

(1.13)

com: inix

(1.14.a)

jnjy

(1.14.b)

knkz

(1.14.c)

e: kji zyx

(1.15)

com: inix

(1.16.a)

jnjy

(1.16.b)

knkz

(1.16.c)

Figura 1.9

O

x

z

y

P

n

direção de referência

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

11

As equações (1.12) a (1.16) mostram que, sendo vetores, a velocidade angular e a aceleração angular gozam de todas as propriedades atribuídas a grandezas vetoriais, dentre as quais a comutatividade da soma abba

. Entretanto,

rotações finitas não podem ser tratadas como vetores, uma vez que não satisfazem a comutatividade da soma, o que significa que a posição angular final resultante de uma seqüência de rotações sucessivas depende da ordem em que são realizadas estas rotações. Este fato é ilustrado na Figura 1.10, que mostra um objeto sofrendo duas rotações sucessivas de 90º, em torno do eixo Oy e em torno do eixo Oz, ficando evidenciado que a posição final do objeto depende da ordem de realização destas rotações, ou seja:

yzzy

Em conclusão, podemos anunciar que rotações finitas não são grandezas

vetoriais e que variações infinitesimais da posição angular e, por conseqüência, velocidades angulares e acelerações angulares, são quantidades vetoriais, podendo-se aplicar a elas todas as operações vetoriais.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

12

Posição inicial Rotação em torno de Oy: j2y

(rad)

Rotação em torno de Oz: k2z

(rad)

Posição inicial Rotação em torno de Oz k2z

(rad)

Rotação em torno de Oy j2y

(rad)

Figura 1.10

1.4 – Derivadas de funções vetoriais em relação a grandezas escalares Vimos, nas seções anteriores, que os vetores velocidade e aceleração da partícula são definidos como sendo, respectivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem do vetor posição da partícula em relação ao tempo. De forma análoga, o vetor aceleração angular é definido como sendo a derivada do vetor velocidade angular em relação ao tempo. Assim, para podermos efetuar uma análise cinemática completa, devemos ter pleno conhecimento da definição e das principais propriedades da derivada de funções vetoriais em relação a uma quantidade escalar.

A título de revisão sumarizamos, a seguir, a definição e as propriedades da derivada de funções vetoriais em relação a variáveis escalares. Para tanto, expressamos a dependência funcional de uma grandeza vetorial qualquer, Q

, em

relação a uma quantidade escalar qualquer, u, sob a forma uQQ

. O fato de Q

O

x

z

y

O

x

z

y

O

x

z

y

O

x

z

y

O

x

z

y

O

x

z

y

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

13

ser função de u significa que tanto o módulo quanto a direção de Q

variam quando o valor do escalar u é alterado, conforme ilustrado na Figura 1.11(a) A derivada primeira de Q

em relação a u é definida segundo:

uQ

duQd

u

0lim , (1.17)

Notemos que a derivada de um vetor é também um vetor que tem a direção

da tangente à trajetória desenvolvida pela extremidade do vetor Q

, como mostrado na Figura 1.11(b).

(a) (b)

Figura 1.11 Considerando duas quantidades vetoriais uQQ

e uRR

e uma

grandeza escalar uSS , todas elas funções de uma grandeza escalar u, partindo da definição (1.17) podemos facilmente verificar as seguintes propriedades: 1ª) derivada da soma de dois vetores:

duRd

duQd

duRQd

(1.18)

2ª) derivada do produto de uma função escalar por uma função vetorial:

duQd

SQdudS

duQSd

(1.19)

O x

z

y

uQ

Q

uuQ

Ox

z

y

uQ

t

duQd

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

14

3ª) derivada do produto escalar entre dois vetores:

duRd

QRduQd

duRQd

(1.20)

4ª) derivada do produto vetorial entre dois vetores:

duRd

QRduQd

duRQd

(1.21)

É importante observar que, como o produto vetorial não é comutativo, a ordem das operações indicadas em (1.21) deve ser preservada. Uma outra observação importante a ser feita é que, para manter a consistência das operações vetoriais envolvendo o produto vetorial, convém sempre empregar um sistema tri-ortogonal de eixos dextrógiro, tal como o mostrado na Figura 1.12(a), cujos eixos são orientados de modo a satisfazer as seguintes relações entre os vetores unitários: kji

ikj

jik

jki

ijk

kij

Estas relações podem ser verificadas empregando a regra da mão direita para

o produto vetorial, que é ilustrada na Figura 1.12(b). O diagrama mnemônico para o produto vetorial entre os vetores unitários de sistemas de eixos dextrógiros é mostrado na Figura 1.12(c).

(a) (b) (c)

Figura 1.12

i

j

k

+

y

z

j

k

x i

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

15

5ª) Derivada temporal de um vetor rotativo Consideremos a Figura 1.13 que mostra o vetor Q

que gira no plano x-y com

velocidade angular k

, em torno do eixo z (perpendicular ao plano da figura), mantendo seu módulo constante.

Figura 1.13

Busquemos primeiramente determinar a derivada de Q

em relação ao

ângulo . Para isto, projetamos o vetor Q

nas direções dos eixos x e y: jsenicosQQ

(1.22)

Admitindo que o sistema Oxy seja fixo, os vetores unitários i

e j

são

constantes em módulo e direção e têm, portanto, derivadas nulas. Empregando as propriedades (1.18) e (1.19), a derivação da equação acima em relação a conduz a:

djd

senjcosd

idcosisenQ

dQd

= jcosisenQ

(1.23)

Esta última equação mostra que o vetor dQd

é obtido pela rotação do vetor Q

de 90o no sentido de giro do ângulo , como pode ser visto na Figura 1.13. Para obter a derivada de Q

em relação ao tempo, empregamos a regra da

cadeia da derivação. Levando em conta que dt

d , escrevemos:

d

Qddtd

dQd

dtQd

(1.24)

Introduzindo a relação (1.24) em (1.23), obtemos:

y

dQd

j

x

i

Q

dtQd

O

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

16

dtQd

jcosisenQ

(1.25)

Utilizando a representação vetorial para a velocidade angular, k

, e levando em conta a Equação (1.22), podemos escrever (1.25) sob a forma:

QdtQd

(1.26)

Conforme indicado na Figura 1.13, a direção e o sentido do vetor dtQd

são

obtidos pela rotação do vetor Q

de 90o no sentido de giro do ângulo . 1.5 - Movimento retilíneo da partícula Quando a trajetória desenvolvida pela partícula é uma linha reta, o movimento é denominado movimento retilíneo. Neste tipo de movimento, todas as grandezas cinemáticas (posição, deslocamento, velocidade e aceleração) são vetores que têm, necessariamente, a direção da trajetória. Tem-se, então, um movimento dito unidimensional. Neste caso, pode-se simplificar a análise cinemática, operando exclusivamente com grandezas cinemáticas escalares. Consideremos a partícula P que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, conforme mostrado na Figura 1.14. Por conveniência, escolhemos o eixo de referência Ox com sua direção coincidente com a trajetória, com sua origem e sentido escolhidos arbitrariamente.

Figura 1.14 O vetor posição da partícula, medido em relação à origem O, é dado por: itxtr

[m] (1.27)

Empregando a relação (1.2), e observando que o vetor unitário i

não varia

com o tempo, derivamos a Equação (1.27) para obter a velocidade vetorial instantânea da partícula:

O i

P x

0v 0v

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

17

itxidt

tdxdt

trdtv

[m/s] (1.28)

A velocidade escalar instantânea é dada por:

txdt

tdxtv [m/s] (1.29)

Da análise da Equação (1.29), conclui-se que:

um valor positivo da velocidade escalar indica x(t) é uma função crescente do tempo, o que significa que a partícula movimenta-se no sentido da orientação positiva do eixo x.

um valor negativo da velocidade escalar indica x(t) é uma função decrescente

do tempo, o que significa que a partícula movimenta-se no sentido oposto ao da orientação positiva do eixo x.

Estas duas situações estão indicadas na Figura 1.14.

Empregando a relação (1.7), derivamos a Equação (1.28) para obter a aceleração vetorial instantânea da partícula, considerando, mais uma vez, que o vetor unitário i é constante:

itxidt

txddt

tvdta

2

2

[m/s2] (1.30)

A aceleração escalar instantânea é dada por:

txdt

txd

dt

tdvta

2

2

[m/s2] (1.31)

Da Equação (1.31), podemos concluir que:

um valor positivo da aceleração escalar indica v(t) é uma função crescente do tempo, o que pode ocorrer em duas situações: a partícula se movimenta no sentido positivo do eixo x, com velocidade de módulo crescente (movimento dito acelerado), ou a partícula se movimenta no sentido oposto ao da orientação positiva do eixo x, com velocidade de módulo decrescente (movimento dito retardado).

um valor negativo da aceleração escalar indica v(t) é uma função decrescente

do tempo. Isso pode ocorrer em duas situações: a partícula se movimenta no sentido positivo do eixo x, com velocidade de módulo decrescente (movimento retardado), ou a partícula se movimenta no sentido oposto ao da orientação positiva do eixo x, com velocidade de módulo crescente (movimento acelerado).

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

18

no movimento retilíneo, a aceleração será nula quando o módulo da

velocidade for constante. Neste caso, o movimento é denominado movimento retilíneo uniforme (MRU).

Estas situações estão ilustradas na Figura 1.15.

Figura 1.15

O P(t) x P(t+dt)

v(t) v(t+dt)

O P(t) x P(t+dt)

v(t) v(t+dt)

a(t)>0

a(t)>0

O P(t) x P(t+dt)

v(t) v(t+dt)

O P(t) x P(t+dt)

v(t) v(t+dt)

a(t)<0

a(t)<0

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

19

1.5.1 – Interpretações geométricas no movimento retilíneo

As equações (1.27) a (1.31) estabelecem relações entre as grandezas

cinemáticas no movimento retilíneo através de equações diferenciais, o que nos permite utilizar as interpretações gráficas das operações de derivação e integração para resolver problemas de cinemática do movimento retilíneo.

A Equação (1.29) estabelece a relação entre a posição e a velocidade no movimento retilíneo. A interpretação geométrica da derivada, apresentada na Figura 1.16(a), nos permite afirmar que, dispondo do gráfico da função x(t), a velocidade da partícula, em um instante qualquer, é dada pela inclinação da reta tangente à curva x t. Por outro lado, multiplicando ambos os lados da Equação (1.29) por dt e integrando a equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e

2t , obtemos:

dttvxxxxdxdttvt

t

x

x

t

t 2

1

2

1

2

1

1212 (1.32)

onde: 11 txx , 22 txx Assim, com base em (1.32), concluímos que a variação de posição da partícula entre dois instantes t1 e t2 é dado pela área sob a curva v t, delimitada pelas abscissas correspondentes a t1 e t2, como pode ser visto na Figura 1.16(b).

(a) (b)

Figura 1.16 A Equação (1.31) estabelece a relação entre a velocidade e a aceleração no

movimento retilíneo. Mais uma vez, a interpretação geométrica da derivada, apresentada na Figura 1.17(a), nos permite afirmar que, dispondo do gráfico da função v(t), a aceleração da partícula, em um instante t qualquer, é dada pela inclinação da reta tangente à curva v t.

Multiplicando ambos os lados da Equação (1.31) por dt e integrando a equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e 2t , obtemos:

t

x

t

tvtg

t

v

12 txtxA

t1 t2

A

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

20

12

2

1

2

1

vvdvdttav

v

t

t

(1.33)

onde: 11 tvv , 22 tvv Assim, com base em (1.33), concluímos que a variação da velocidade da partícula entre dois instantes t1 e t2 é dado pela área sob a curva a t, delimitada pelas abscissas correspondentes a t1 e t2, como pode ser visto na Figura 1.17(b).

Figura 1.17

1.5.2 – Casos particulares de movimento retilíneo

a) Aceleração constante e não nula Quando a aceleração da partícula em movimento retilíneo é constante e não

nula, temos o chamado Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Neste caso, a Equação (1.33) pode ser integrada diretamente. Fazendo, por conveniência, 0t1 e tt2 , escrevemos:

atvtvvvtadvdtav

v

t

000 0

(1.34)

Combinando as equações (1.32) e (1.34), temos:

2000

20

x

0x

t

0

at21

tvxtxxxat21

tvdxdttv (1.35)

t

v

t

t

a

t1 t2

A

tatg 12 tvtvA

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

21

Aplicando a regra da cadeia da derivação à Equação (1.31), e levando em conta (1.29), escrevemos:

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva (1.36)

Multiplicando a Equação (1.36) por dx e integrando ambos os lados da

equação resultante, temos:

020

220

20

v

0v

x

0x

xxa2vvvv21

xxavdvadx (1.37)

Os gráficos das curvas representadas pelas equações (1.34) e (1.35) são mostrados na Figura 1.18.

Figura 1.18

t

x

x0

0 00 vtg t

v

v0

atg 0a

t

x

x0

0 00 vtg

t

v

v0

atg

0a

0a

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

22

b) aceleração nula constante

Quando a aceleração da partícula em movimento retilíneo é constante e igual a zero temos o chamado Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Neste caso, as equações (1.34) e (1.35) podem ser particularizadas fazendo a=0, o que resulta em:

0vtv (velocidade constante) (1.38)

tvxtx 00 (1.39)

Os gráficos das curvas representadas pelas equações (1.38) e (1.39) são

mostrados na Figura 1.19.

Figura 1.19

t

v

v0

t

x

v0

t

v

v0

t

x

x0

0vtg

0ov

0ov

0vtg

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

23

1.6 - Movimento retilíneo vinculado de várias partículas

São muito freqüentes na Engenharia situações envolvendo movimentos retilíneos simultâneos de várias partículas, havendo uma dependência entre estes movimentos em virtude da existência de ligações mecânicas entre as partículas. Uma destas situações é ilustrada na Figura 1.20, na qual os movimentos dos corpos A e B são vinculados pela existência de um cabo e um conjunto de polias. Neste tipo de problema, busca-se relacionar as velocidades e acelerações das partículas envolvidas.

Figura 1.20 Desprezando as dimensões das polias e admitindo que o cabo seja

inextensível (de comprimento constante), expressamos seu comprimento em função das coordenadas medidas a partir das referências indicadas na Figura 1.20:

BA2A1 yxx2xx

ou, levando em conta que , 1x e 2x são constantes:

cteyx3yx3x2x BABA21

Derivando a equação acima duas vezes sucessivamente em relação ao tempo, obtemos a seguintes relações entre as velocidades e acelerações das partículas A e B:

ABBA v3v0

dt

dy

dt

dx3 AB2

B2

2A

2

a3a0dt

yd

dt

xd3

A

B

referência

referência

2x

1x

Ax

By

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

24

1.7 - Movimento curvilíneo plano da partícula Quando uma partícula descreve uma trajetória curva localizada sobre um plano fixo, seu movimento é denominado movimento curvilíneo plano. A resolução prática de problemas requer a escolha de um sistema de coordenadas adequado, em relação ao qual serão expressas as grandezas cinemáticas. No caso de movimento curvilíneo plano, estudaremos os seguintes sistemas de coordenadas:

a) coordenadas cartesianas (x-y); b) componentes normal-tangencial (n-t); c) coordenadas polares (r- ). A escolha do sistema de coordenadas mais adequado para o tratamento de um dado problema pode facilitar muito sua resolução. A escolha deve ser feita levando em conta a natureza do movimento e os dados disponíveis.

Serão deduzidas, a seguir, as expressões para as componentes das grandezas cinemáticas - posição, velocidade e aceleração - empregando cada um destes sistemas de coordenadas. 1.7.1 - Coordenadas cartesianas (x-y) As coordenadas cartesianas são aquelas com as quais geralmente temos mais familiaridade, sendo particularmente adequadas ao estudo de movimentos cujas componentes em duas direções mutuamente perpendiculares são independentes. É o caso, por exemplo, do movimento de projéteis no campo gravitacional terrestre (movimento balístico). Consideremos o sistema de referência Oxy, mostrado na Figura 1.21, a partir do qual é observado o movimento de uma partícula, cuja posição instantânea é indicada pelo ponto P. Aos eixos Ox e Oy são associados os vetores unitários

i e

j ,

respectivamente. Admitiremos, por enquanto, que este sistema de eixos seja fixo. Mais adiante, neste capítulo, estaremos utilizando sistemas de referência móveis.

Figura 1.21

O x

y

v

P

r

a

t n

ya

xa

yv

xv

i

j

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

25

A posição P da partícula, em um instante t qualquer, é determinada pelo seu vetor posição

r t , cujas componentes nas direções dos eixos coordenados são dadas pelas duas funções escalares x(t) e y(t). Assim, podemos escrever: jtyitxtr

Levando em conta a equação (1.2) e também as propriedades (1.18) e (1.19), derivando o vetor posição em relação ao tempo, a velocidade da partícula é expressa segundo:

dt

jdtyj

dttdy

dtid

txidt

tdxdt

trdtv

(1.40)

Lembrando que o sistema Oxy é fixo, os vetores unitários

i e

j não variam

com o tempo. Assim, as derivadas que aparecem na segunda e na quarta parcelas no lado direito de (1.40) se anulam, o que resulta em:

j

dttdy

idt

tdxtv

(1.41)

ou: jtvitvtvtvtv yxyx

1.42)

onde:

txdt

tdxtvx e ty

dttdy

tvy

são as componentes do vetor velocidade nas direções dos eixos coordenados Ox e Oy, respectivamente, conforme indicado na Figura 1.21.

Empregando a regra de Pitágoras, o módulo da velocidade é dada pela expressão:

2222 tytxvvtv yx (1.43)

Considerando a definição (1.6) e admitindo mais uma vez a invariabilidade

dos vetores i e

j , por derivação da equação (1.41) em relação ao tempo obtemos a

seguinte expressão para a aceleração instantânea da partícula:

j

dt

tydi

dt

txdta

2

2

2

2 (1.44)

ou:

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

26

jtaitatatata yxyx

, (1.45)

com:

txdt

txdtax

2

2 e ty

dt

tydtay

2

2

O módulo do vetor aceleração é dado pela expressão:

2222 tytxaata yx (1.46)

As duas componentes retangulares da aceleração são ilustradas na

Figura 1.21. As equações (1.41) e (1.44) mostram que, considerando um sistema de referência fixo, as componentes retangulares dos vetores velocidade e aceleração são obtidas simplesmente derivando sucessivamente as componentes do vetor posição em relação ao tempo. Como veremos mais adiante, quando utilizamos sistemas de referência móveis, termos adicionais, associados ao movimento do sistema de referência, são acrescidos a estas equações. Vale observar que as funções txx e tyy , que são as componentes do vetor posição da partícula, constituem as equações paramétricas da trajétoria, tendo o tempo t como parâmetro. Eliminando o tempo nestas duas funções, podemos obter a equação da trajetória na forma cartesiana usual xyy . 1.7.2 - Componentes normal-tangencial (n-t) Com referência à Figura 1.22, seja P a posição, num dado instante t, da partícula que se move em uma trajetória curvilínea plana. Definimos a seguinte base de vetores unitários:

vetor unitário tangente, ti

, que tem a direção da tangente à trajetória, com o sentido do movimento.

vetor unitário normal, ni

, que tem a direção da normal à trajetória, apontando para o centro de curvatura da mesma, indicado pelo ponto C.

vetor unitário k

, perpendicular ao plano do movimento, que satisfaz a relação nt iik

.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

27

Figura 1.22

Lembrando que o vetor velocidade é tangente à trajetória, com o sentido do

movimento, escrevemos: titvtv

(1.47) Derivando a equação (1.47) em relação ao tempo, levando em conta as propriedades (1.18) e (1.19), expressamos o vetor aceleração sob a forma:

dtid

tvidt

tdvdt

tvdta t

t

(1.48)

Podemos observar na Figura 1.22 que embora o vetor ti

conserve seu módulo

unitário invariável, sua direção varia com o tempo. Durante o movimento da partícula entre as posições P e P este vetor gira de um ângulo . Assim, a

derivada dtid t

, que aparece no lado direito da equação (1.48), pode ser calculada

empregando a propriedade da derivada de um vetor rotativo, expressa pela equação (1.26). Assim procedendo, obtemos:

ttt iki

dtid

, (1.49)

onde k

designa a velocidade angular do segmento CP .

Na equação acima, notamos que: nt iik

t

C

n

P

P

ni

ti

s

ti

ni

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

28

Além disso, convém utilizar a regra da cadeia da derivação para expressar , fazendo intervir a coordenada curvilínea ts , definida na Seção 1.2 (ver Figura 1.4). Assim procedendo, obtemos:

nt i

dtds

dsd

dtid

(1.50)

Lembrando que:

dtds

v e

1

dsd

,

onde é o raio de curvatura da trajetória, a equação (1.50) pode ser posta sob a forma:

nt i

vdtid

(1.51)

Introduzindo finalmente (1.51) em (1.48), obtemos:

ntnt aaiv

idtdv

ta

2 (1.52)

e:

222

22

v

dt

dvaatata nt

(1.53)

As componentes da aceleração, presentes na equação (1.52) estão ilustradas na Figura 1.23 e possuem as seguintes características:

tt idtdv

a

é a componente tangencial da aceleração e representa a taxa de

variação do módulo do vetor velocidade. Observe-se que, sendo dtds

v , a

quantidade 2

2

dt

sd

dt

dv será positiva quando a partícula estiver se

movimentando no sentido dos s positivos com velocidade de módulo crescente ou quando estiver se movimentando no sentido dos s negativos com velocidade de módulo decrescente. Neste caso, a componente ta

terá o

mesmo sentido do vetor velocidade v

. Por outro lado, dtdv

será negativa

quando a partícula se movimentar no sentido dos s positivos com velocidade de módulo decrescente ou quando se movimentar no sentido

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

29

dos s negativos com velocidade de módulo crescente. Neste caso, a componente ta

terá sentido oposto ao do vetor velocidade v

.

nn iv

a

2 é a componente normal da aceleração, que está associada à

variação na direção do vetor velocidade. Como a quantidade

2v é sempre

positiva, a componente na

tem sempre o mesmo sentido do vetor ni

, ou seja, ela sempre aponta para o centro de curvatura da trajetória, independentemente do sentido do movimento da partícula ao longo da trajetória.

Em termos da coordenada s(t), as componentes tangencial e normal da aceleração se escrevem:

tt idt

sda

2

2 (1.54)

nn i

dttds

ta 21

(1.55)

Figura 1.23

C

t

P

na

0

dtdv

at

0

dtdv

at

n

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

30

1.7.3 - Coordenadas polares. Componentes radial-transversal (r - ) No sistema de coordenadas polares, ilustrado na Figura 1.24, a posição da partícula P num instante qualquer t é determinada pela quantidade escalar r , que define a distância entre a partícula e a origem O, chamada pólo, e pelo ângulo , medido em radianos, formado entre o segmento OP e uma direção de referência arbitrária. Por convenção, este ângulo será considerado positivo quando medido no sentido anti-horário, a partir da direção de referência. A direção OP é chamada direção radial (ou direção r) e a direção perpendicular a OP é a direção transversal (ou direção ). A estas duas direções associamos uma base de vetores unitários ortogonais ri

e i

, sendo que ri

tem o

sentido de O para P e i

tem o sentido correspondente aos positivos. Conforme podemos ver na Figura 1.24, as direções destes vetores variam à medida que a partícula se movimenta ao longo da trajetória, embora seus módulos permaneçam constantes. Assim, poderemos tratar estes vetores unitários como vetores rotativos.

Figura 1.24

Visando expressar a velocidade e a aceleração da partícula em termos das coordenadas polares, vamos primeiramente obter as derivadas dos vetores unitários

ri

e i

em relação ao tempo. Para tanto, utilizamos a equação (1.26), que nos permite escrever:

rrr iki

dtid

(1.56)

iki

dtid

, (1.57)

dir. radial (r)

O dir. de referência

P

dir. transversal ()

r

ri

i

ri

i

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

31

onde

indica o vetor velocidade angular do segmento OP e k

designa o vetor unitário, perpendicular ao plano do movimento, saindo do plano da Figura 1.24, de modo a satisfazer a relação kiir

. Ainda com auxílio da Figura 1.24, e da regra

da mão direita para o produto vetorial, verificamos as relações: iik r

(1.58)

riik

(1.59) Introduzindo as equações (1.58) e (1.59) em (1.56) e (1.57), obtemos:

idtid r

(1.60)

ridtid

(1.61)

Observando a Figura 1.24, notamos que o vetor posição da partícula, em um

instante qualquer, se escreve: rirtr

(1.62)

Obtemos a velocidade da partícula derivando tr

em relação ao tempo:

dtid

ridtdr

dtrd

tv rr

(1.63)

Introduzindo a equação (1.60) em (1.63), obtemos: irirv r

(1.64.a) ou:

ivivvvv rrr

, (1.64.b)

onde:

• rr irv

é a componente radial da velocidade • irv

é a componente transversal da velocidade

Estas componentes da velocidade são mostradas na Figura 1.25.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

32

Figura 1.25

Como rv

e v

são duas componentes de v

em direções perpendiculares, o módulo da velocidade escalar é dado pela expressão:

22vvv r 222 rr (1.65)

Obtemos o vetor aceleração derivando o vetor velocidade, dado pela equação (1.64.a), em relação ao tempo:

dt

idririr

dt

idrira r

r

Utilizando as equações (1.60) e (1.61), após algumas manipulações algébricas, a equação acima pode ser posta sob a forma: irrirra r

22 (1.66)

ou:

iaiaaaa rrr

,

onde:

• rr irra

2 é a componente radial da aceleração

O

P

r

r

t

rv

v

v

a

ra

a

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

33

• irra 2 é a componente transversal da aceleração.

Estas duas componentes da aceleração estão mostradas na Figura 1.25. É usual expressar as componentes da velocidade e da aceleração da partícula em termos da velocidade angular ( ) e aceleração angular ( ) da linha OP. Assim, podemos escrever:

irirv r

(1.67)

a r r i r r ir

2 2 (1.68)

Um caso particular importante a ser considerado é aquele em que a partícula

descreve uma trajetória circular (movimento circular), como ilustrado na Figura 1.26. Se escolhermos o pólo do sistema de coordenadas polares coincidente com o centro da trajetória, teremos, neste caso, a direção radial coincidente com a direção normal à trajetória e a direção transversal coincidente com a direção tangente à trajetória. Sendo o raio da trajetória constante, temos 0 rr e as equações (1.67) e (1.68) tornam-se:

irv

(1.69)

irira r

2 (1.70)

É muito conveniente, nas duas últimas equações acima, expressar a velocidade angular e a aceleração angular como vetores perpendiculares ao plano do movimento, de acordo com as equações (1.9) e (1.11), repetidas abaixo:

k ,

k

Definindo ainda o vetor posição OPr

, podemos facilmente verificar,

utilizando as propriedades do produto vetorial, que os vetores velocidade e aceleração no movimento circular podem ser expressos sob as formas: rv

(1.71)

rra

(1.72)

onde rar

e ra

são as componentes transversal (tangencial) e

radial (normal) da aceleração, respectivamente.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

34

Figura 1.26 1.8 - Movimento curvilíneo espacial da partícula O movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva reversa é conhecido como movimento curvilíneo espacial. Diferentemente do movimento curvilíneo plano, que envolve apenas duas componentes, o movimento espacial se caracteriza por três componentes de movimento.

Do ponto de vista teórico, o movimento espacial de uma partícula pode ser considerado, em cada instante, como sendo um movimento curvilíneo plano que ocorre em um plano que contém o ponto da trajetória ocupado instantaneamente pela partícula e os pontos imediatamente vizinhos. Este plano é chamado plano osculador. Podemos entender o plano osculador como sendo o plano que mais se ajusta à trajetória, no ponto instantaneamente ocupado pela partícula. A velocidade v

e a aceleração a

da partícula são vetores localizados sobre o plano osculador. Deste modo, podemos estender ao movimento espacial os conceitos de componentes tangencial e normal da aceleração. Para tanto, são definidos os seguintes vetores unitários, que são mostrados na Figura 1.27:

ti

: vetor unitário tangente à trajetória, contido no plano osculador, com o sentido do movimento.

ni

: vetor unitário normal, perpendicular a ti

, contido no plano osculador, e que aponta para o centro de curvatura da trajetória C, que também se encontra sobre este plano. A direção definida por ni

é chamada normal

principal e o raio de curvatura , contido no plano osculador, é denominado raio principal de curvatura.

i

j

k

t r n

v

ra

a

r O

P

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

35

bi

: vetor unitário perpendicular ao plano osculador, que completa o triedro de vetores unitários, sendo definido segundo:

ntb iii

(1.73) A direção perpendicular ao plano osculador, definida por bi

, é chamada

direção bi-normal.

Figura 1.27

Uma vez definidos estes vetores, podemos expressar os vetores velocidade e aceleração em termos de componentes tangencial e normal sob as formas (conforme Seção 1.6.2): tivv

nt iv

idtdv

a

2

É importante observar que v

e a

não têm componentes na direção da

bi-normal. Embora seja importante sob o ponto de vista teórico, a descrição do movimento espacial em termos dos vetores unitários ti

, ni

e bi

não é muito adequada à resolução de problemas práticos, uma vez que as variações destes vetores com o tempo depende da forma da trajetória. Assim, para a descrição da cinemática do movimento espacial são utilizados, com maior freqüência, os sistemas de coordenadas apresentados a seguir.

O

x

z

y t

n

b

P

ti bi

ni

Cplano osculador

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

36

1.8.1 - Coordenadas cartesianas (x-y-z) A extensão das equações já apresentadas para o movimento curvilíneo plano na Seção 1.7.1 para o caso de movimento espacial é imediata, requerendo simplesmente a inclusão da coordenada z e do vetor unitário correspondente k

,

como mostrado na Figura 1.28. Aqui, mais uma vez, o sistema de referência Oxyz é admitido ser fixo, sendo os vetores unitários k,j,i invariantes com o tempo.

y

z

xO

P x,y,z( )

axay

az

vx

vy

vz

j

Figura 1.28 Os vetores posição, velocidade e aceleração de uma partícula que descreve um movimento curvilíneo espacial, em relação ao sistema de eixos fixos Oxyz, são dados por: • vetor posição ktzjtyitxtr

(1.74.a)

222 tztytxtr

(1.74.b)

• vetor velocidade ktzjtyitxtv

(1.75.a)

222 tztytxtv (1.75.b)

• vetor aceleração ktzjtyitxta

(1.76.a)

222 tztytxta (1.76.b)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

37

As componentes destes vetores são ilustradas na Figura 1.28.

1.8.2 - Coordenadas cilíndricas (r--z) O sistema de coordenadas cilíndricas é obtido pelo acréscimo da coordenada z e do vetor unitário correspondente k

ao sistema de coordenadas polares

anteriormente apresentado na Seção 1.6.3. Observemos, na Figura 1.29, que no plano x-y localizam-se as coordenadas r e do sistema de coordenadas polares, sendo considerado positivo quando é observado girando no sentido anti-horário, a partir da extremidade do eixo z. A Figura 1.29 mostra ainda o sistema de vetores unitários ri

, i

e k

, associados às direções radial, transversal e ao eixo z, respectivamente.

Figura 1.29

Considerando as coordenadas e os vetores unitários mostrados na Figura 1.29, podemos escrever o vetor posição da partícula P sob a seguinte forma (notemos que, com o intuito de evitar ambigüidade, o vetor posição, até aqui denotado por r

será, nesta seção, denotado por Pr

):

kzirr rP

(1.77)

Obtemos o vetor velocidade derivando o vetor posição em relação ao tempo:

dtkd

zkzdtid

rirdtrd

v rr

P

Lembrando que idtid r

(conforme a equação (1.60)) e observando que o

vetor unitário k

permanece constante durante o movimento da partícula, tendo derivada temporal nula, obtemos as seguintes expressões para o vetor velocidade e seu módulo:

x

Pr

z

y

P

O k

i

ri

r

r

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

38

zvvrvr kzirirv

(1.78.a)

2z

22r vvvv

(1.78.b)

Derivando a equação (1.78.a) em relação ao tempo e empregando as equações (1.60) e (1.61), obtemos as seguintes expressões para o vetor aceleração e seu módulo:

zr aaa

r kzirrirra

22 (1.79.a)

2z

22r aaaa

(1.79.b)

1.8.3 - Coordenadas esféricas (R-- )

No sistema de coordenadas esféricas, a posição da partícula no espaço fica determinada pela coordenada linear R e pelas coordenadas angulares e , definidas na Figura 1.30, na qual é também representado um sistema auxiliar de eixos cartesianos Oxyz.

A base de vetores unitários é constituída pelos vetores : Ri

: vetor unitário na direção OP com o sentido de O para P.

i

: vetor unitário perpendicular ao plano OPP’, orientado no sentido de crescente (apontando no sentido anti-horário, quando observado da extremidade do eixo z).

i

: vetor unitário perpendicular aos dois primeiros, contido no plano OPP’,

orientado no sentido de crescente (no sentido de elevação do segmento OP em relação ao plano xy).

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

39

Figura 1.30

Com base na Figura 1.30, expressamos o vetor posição da partícula P

segundo:

RiRr

(1.80) Para obter a expressão da velocidade de P derivamos o vetor posição em

relação ao tempo:

dtid

RiRv RR

(1.81)

O problema agora consiste em expressar a derivada do vetor Ri

em relação ao

tempo. Para isso, utilizaremos o sistema auxiliar de coordenadas cartesianas Oxyz, suposto fixo, e sua base de vetores unitários k,j,i

. Podemos então escrever:

kkijjiiiii RRRR

Na equação acima, iiR

, jiR

e kiR

representam as projeções do vetor

unitário Ri

nas direções do eixo x, y e z, respectivamente . Com auxílio da Figura 1.30, podemos verificar facilmente que:

coscosiiR

(1.82.a)

cossenjiR

(1.82.b)

x

r

z

y

P

O

i

Ri

R

i

R

P’

j

k

i

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

40

senkiR

(1.82.c) Introduzindo as relações (1.82) em (1.81), obtemos:

ksenjcossenicoscosiR

(1.83.a)

Por procedimento similar, obtemos as seguintes expressões para os dois

outros vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas em termos dos vetores unitários do sistema de coordenadas cartesianas auxiliar:

jcosiseni

(1.83.b)

kcosjsensenisencosi

(1.83.c)

Podemos agora expressar a derivada indicada em (1.81), computando a

derivada de (1.83.a), levando em conta que os vetores unitários k,j,i

são constantes:

kcosjsensencoscosisencoscossendtid R

Levando em conta novamente as relações (1.83.b) e (1.83.c), escrevemos a

última equação acima sob a forma:

icosidtid R

(1.84)

Introduzindo (1.84) em (1.81), obtemos a seguinte expressão para o vetor

velocidade da partícula em termos de suas componentes esféricas:

vvRv

R iRiRiRv cos (1.85)

222

R vvvv

(1.86)

Visando obter a expressão da aceleração, derivamos o vetor velocidade, dado

por (1.85) em relação ao tempo, obtendo:

dtid

cosRisenRicosRicosRdtid

RiRa RR

dt

idRiRiR

(1.87)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

41

Computamos as derivadas dtid

e dt

id

, que aparecem em (1.87), a partir de

(1.83.b) e (1.83.c):

jsenicosdtid

(1.88.a)

ksenjcossensencosicoscossensendt

id

(1.88.b) Introduzindo as equações (1.88) em (1.87) e fazendo uso das relações (1.83),

obtemos a seguinte expressão para o vetor aceleração da partícula em termos de coordenadas esféricas:

aaaa R

(1.89)

com: RR iRRRa

222 cos (1.90.a) isenRcosRcosRa

22 (1.90.b)

icossenRRRa 22 (1.90.c)

222R aaaa

(1.91)

1.8.4 - Transformações de coordenadas Uma vez apresentados os diversos sistemas de coordenados usualmente

empregados no estudo da cinemática da partícula, é importante conhecer as relações algébricas que permitem obter as componentes de um dado vetor, expressas em um dado sistema de coordenadas, a partir das componentes do mesmo vetor expressas em um outro sistema de coordenadas. Estas relações, chamadas transformações de coordenadas, serão desenvolvidas a seguir sob a forma de operações matriciais, muito adequadas para implementação computacional.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

42

Coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas A Figura 1.31 mostra os sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas

com os seus respectivos vetores unitários, anteriormente definidos nas seções 1.7.1 e 1.7.2.

Figura 1.31

Considerando o vetor Q

(representando uma grandeza vetorial qualquer, que pode ser os vetores posição, velocidade ou aceleração), podemos igualar as expressões deste vetor em termos dos dois sistemas de coordenadas:

kQjQiQQ zyx

= kQiQiQ zrr

(1.92)

Visando obter expressões relacionando as componentes de Q

no sistema de

coordenadas cartesianas, zyx QQQ ,, , com as componentes de Q

no sistema de

coordenadas cilíndricas, zr QQQ ,, , buscaremos expressar os vetores unitários

kiir

,, como funções dos vetores kji

,, . Para tanto, projetamos cada um dos vetores do primeiro grupo nas direções dos eixos z,y,x . Com auxílio da Figura 1.31, obtemos as relações:

kjiir

0sencos (1.93.a)

kjii

0cossen (1.93.b)

kjik

00 (1.93.c)

x

y

z

i

r

i

k

j

k

ri

Q

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

43

Introduzindo as equações (1.93) na equação (1.92) e agrupando os coeficientes dos vetores unitários kji

,, no lado direito da equação resultante, temos:

kQjQQiQQkQjQiQ zrrzyx

cossensencos

Em virtude da independência linear da base de vetores kji

,, podemos

igualar os coeficientes de cada um destes vetores em ambos os lados da equação acima, obtendo:

sencos QQQ rx

cossen QQQ ry

zz QQ

Estas três últimas equações podem ser postas sob a seguinte forma matricial:

z

r

z

y

x

QQQ

QQQ

1000cossen0sencos

, (1.94)

ou ainda, sob a forma compacta:

zrzr

xyzxyz QTQ , (1.95)

onde:

1000cossen0sencos

zrxyzT . (1.96)

Na equação (1.95), a matriz

zrxyzT é a matriz de transformação que permite

transformar as componentes zr QQQ ,, nas componentes zyx QQQ ,, .

Pré-multiplicando (1.95) por 1zrxyzT , obtemos a seguinte expressão para a

transformação inversa, ou seja, das componentes zyx QQQ ,, nas

componentes zr QQQ ,, :

xyzxyz

zrzr QTQ , (1.97)

onde:

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

44

1000cossen0sencos

1

zrxyz

xyzzr TT (1.98)

Comparando as expressões (1.96) e (1.98) constatamos que a matriz de

transformação zrxyzT é uma matriz ortogonal (que satisfaz a relação

1zrxyzT =

TzrxyzT .

As transformações (1.95) e (1.97) podem ser usadas para transformar as componentes dos vetores posição, velocidade e aceleração da partícula de um para outro dos dois sistemas de coordenadas considerados, bastando para isso substituir o vetor Q

pelo vetor correspondente.

Vale também observar que as equações acima aplicam-se facilmente às transformações entre coordenadas polares e cartesianas para o movimento plano, bastando para isso eliminar a coordenada z na formulação.

Coordenadas cartesianas coordenadas esféricas O mesmo procedimento detalhado na seção anterior será utilizado para a

obtenção das relações de transformação entre as componentes de um vetor expressas em coordenadas cartesianas e as componentes do mesmo vetor expressas em coordenadas esféricas.

A Figura 1.32 mostra ambos os sistemas de coordenadas com os seus respectivos vetores unitários, conforme anteriormente detalhado nas seções 1.7.1 e 1.7.3.

Figura 1.32

x

y

z

i

k

j

k

i

Ri

i

R Q

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

45

Igualando as expressões do vetor Q

nos dois sistemas de coordenadas, temos:

kQjQiQQ zyx

iQiQiQ RR

(1.99)

Com base na Figura 1.32, podemos facilmente obter as seguintes expressões

relacionando os vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas i,i,iR

com os vetores unitários do coordenadas cartesianas k,j,i

:

kjiiR

sensencoscoscos (1.100.a)

kjii

0cossen (1.100.b)

kjii

cossensencossen (1.100.c)

Introduzindo as equações (1.100) na equação (1.99) e seguindo o procedimento

detalhado na seção anterior, obtemos as seguintes expressões matriciais para a transformação de coordenadas:

Q

QQ

Q

QQ R

z

y

x

cos0sen

sensencossencoscossensencoscos

, (1.101)

ou:

RRxyzxyz QTQ , (1.102)

com:

cos0sensensencossencoscossensencoscos

RxyzT (1.103)

Para a transformação inversa, obtemos a expressão:

xyzxyzRR QTQ , (1.104)

onde:

cossensencossen

0cossensensencoscoscos

1Rxyz

xyzR TT (1.105)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

46

Coordenadas cilíndricas coordenadas esféricas

Podemos obter as matrizes de transformação entre os sistemas de

coordenadas cilíndricas e esféricas empregando as matrizes de transformação deduzidas nas duas seções precedentes, tomando o sistema de coordenadas cartesianas como sistema intermediário nas transformações. Assim, podemos empregar os esquemas de transformação abaixo:

esféricas cilíndricas =

esféricas cartesianas cilíndricas

cilíndricas esféricas =

cilíndricas cartesianas esféricas Para a primeira transformação, combinamos as equações (1.97) e (1.102),

repetidas abaixo:

xyzxyz

zrzr QTQ

RRxyzxyz QTQ ,

o que resulta em:

RRxyz

xyzzrzr QTTQ . (1.106)

Assim, podemos escrever:

R

Rzrzr QTQ , (1.107)

onde:

Rxyz

xyzzr

Rzr TTT (1.108)

Introduzindo as matrizes de transformação dadas em (1.98) e (1.103) na

equação (1.108), obtemos:

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

47

cossen

sencos

T Rzr

0

010

0

(1.109)

Para a obtenção da matriz da transformação inversa, basta inverter a

equação (1.107):

zrRxyz

xyzzrzr

zrRR QTTQTQ

1 ,

donde:

zrxyz

xyzR

xyzzr

Rxyz

zrR TTTTT

11

(1.110)

Introduzindo as matrizes de transformação dadas em (1.105) e (1.96), na

equação (1.110), temos:

cossen

sencos

T zrR

0

010

0

(1.111)

1.9 - Movimento Relativo Nas seções anteriores deste capítulo os sistemas de referência utilizados

foram considerados fixos e as grandezas cinemáticas observadas a partir deles foram admitidas absolutas. Em grande número de casos, os sistemas de referência empregados estão animados de algum tipo de movimento. Assim, por exemplo, os sistemas de referência que adotamos fixos à Terra são, na verdade, sistemas móveis, uma vez que a Terra está desenvolvendo um movimento complexo no espaço. Na maioria dos problemas de Engenharia, o movimento da Terra pode ser negligenciado (por exemplo, no estudo do movimento dos componentes de uma máquina ou mecanismo). Em outros problemas, contudo, a consideração do movimento do planeta é de fundamental importância. Tal é o caso, por exemplo, de problemas envolvendo o movimento de satélites artificiais e de correntes marítimas e atmosféricas.

No estudo de qualquer tipo de problema, podemos escolher livremente os sistemas de referência a serem empregados - fixos ou móveis. Freqüentemente, soluções mais simples podem ser obtidas com o emprego de sistemas de referência móveis.

O movimento em relação aos sistemas de referência móveis é usualmente chamado movimento relativo. Para facilitar o entendimento, estudaremos primeiramente o movimento relativo plano (em duas dimensões) e, em seguida, o movimento relativo espacial (em três dimensões). Consideraremos também, separadamente, os diversos tipos de movimento que os sistemas de referência

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

48

móveis podem apresentar, em ordem crescente de complexidade: translação, rotação e movimento geral (translação + rotação).

1.9.1 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em translação

Consideremos o movimento curvilíneo plano de duas partículas A e P, cujas posições são mostradas na Figura 1.33. São mostrados dois sistemas de eixos: OXY e Axy, este último com sua origem posicionada sobre a partícula A.

Admitiremos que o sistema OXY seja fixo e que quando a partícula A se desloca, os eixos x e y também se movam, conservando, porém, suas direções constantes em relação ao sistema fixo OXY. Podemos admitir, sem perda de generalidade, que os eixos dos dois sistemas permaneçam sempre paralelos. Dizemos, neste caso, que o sistema móvel Axy está em movimento de translação em relação ao sistema OXY.

Os vetores Ar

e Pr

definem, respectivamente, as posições das partículas A e P em relação ao sistema de eixos fixos OXY e o vetor A/Pr

define a posição da

partícula P em relação ao sistema Axy, ou seja, a posição da partícula P em relação à partícula A.

Figura 1.33

x

y Y

X

P

A

O

A/Pr

Pr

Ar

i

i

j

j

PXAX

AY

PY

A/Px

A/Py

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

49

Buscaremos estabelecer relações entre as posições, velocidades e acelerações

observadas no sistema fixo, consideradas absolutas, e a correspondentes observadas no sistema móvel, consideradas relativas.

Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.33, extraímos a relação:

A/PAP rrr

(1.112) Como os dois sistemas de eixos permanecem paralelos, podemos associar a

ambos uma única base de vetores unitários (i

, j

). Deste modo, os vetores que figuram na equação (1.112) podem ser decompostos da seguinte forma: jYiXr AAA

(1.113.a)

jYiXr PPP

(1.113.b)

jyixr A/PA/PA/P

(1.113.c)

Substituindo as equações acima na equação (1.112) e igualando os coeficientes dos vetores unitários em ambos os lados da equação vetorial resultante, obtemos as seguintes equações escalares: A/PAP xXX (1.114.a)

A/PAP yYY (1.114.b)

Derivando a equação (1.112) em relação ao tempo temos:

A/PAP rrr ou: A/PAP vvv

, (1.115)

onde Pv

e Av

são as velocidades absolutas (em relação ao sistema fixo) das

partículas A e P, respectivamente, e A/Pv

é a velocidade de P em relação a A (ou a velocidade de P em relação ao sistema móvel). Para obter Av

, Pv

e A/Pv

derivamos as equações (1.113), levando em conta

mais uma vez, que os vetores i

e j

são invariáveis: jYiXv AAA

(1.116.a)

jYiXv PPP

(1.116.b)

jyixv A/PA/PA/P

(1.116.c)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

50

Substituindo as equações (1.116) na equação (1.115) e igualando os coeficientes dos vetores unitários de ambos os lados da equação vetorial resultante, temos as seguintes relações entre as componentes das velocidades absolutas de P e A e as componentes da velocidade de P em relação a A:

A/PAP xXX (1.117.a)

A/PPP yYY (1.117.b) Seguindo procedimento análogo, para as acelerações absolutas e relativas,

após derivação de (1.115) em relação ao tempo, escrevemos:

A/PAP aaa

, (1.118)

com: jYiXa AAA

(1.119.a)

jYiXa PPP

(1.119.b)

jyixa A/PA/PA/P

(1.119.c)

Substituindo as equações (1.119) em (1.118), obtemos as seguintes relações entre as componentes das acelerações absolutas das partículas A e P e a aceleração de P em relação a A:

A/PAP xXX (1.120.a)

A/PAP yYY (1.120.b) É importante ressaltar que, embora o desenvolvimento apresentado tenha

sido feito em termos de componentes cartesianas, o conceito de movimento relativo pode ser estendido a qualquer outro tipo de sistema de coordenadas anteriormente estudados neste capítulo.

1.9.2 - Movimento relativo plano - eixos de referência em rotação Com relação à Figura 1.34, consideremos dois sistemas de referência com

origem comum O: o sistema fixo OXY, e o sistema Oxy, que executa um movimento de rotação em torno de O, com velocidade angular instantânea k

, podendo o

módulo de

ser constante ou variável com o tempo. Vale lembrar que, de acordo com o exposto na Seção 1.3, a velocidade angular é tratada como um vetor perpendicular ao plano x-y, sendo seu módulo dado por , onde é o ângulo compreendido entre os eixos dos dois sistemas de referência, como indicado na Figura 1.34. Nesta mesma figura são também mostradas as bases de vetores unitários ( I

,J

), associados aos eixos fixos OXY e ( i

, j

), associados aos eixos Oxy, respectivamente.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

51

Figura 1.34

Considerando uma grandeza vetorial qualquer tQ

, mostrada na Figura 1.34, é fácil perceber que dois observadores, um posicionado no sistema fixo e outro no sistema móvel verão, de maneiras diferentes, a variação da quantidade tQ

com

o tempo. Designando por OXY

Q

a derivada temporal de tQ

em relação ao

sistema fixo OXY e Oxy

Q

a derivada temporal de tQ

em relação ao sistema

rotativo Oxy, pretendemos, inicialmente, obter a relação existente entre estas duas derivadas. Para tanto, expressamos tQ

em termos de suas componentes nas

direções dos eixos rotativos Ox e Oy: jtQitQtQ yx

(1.121)

Um observador posicionado no sistema rotativo observa os vetores i

e j

invariáveis. Assim, derivando a expressão acima em relação ao tempo, considerando

os vetores i

e j

constantes, obtemos a derivada temporal Oxy

Q

em relação ao

sistema rotativo, ou seja:

jQiQQ yxOxy

(1.122)

Por outro lado, um observador no sistema fixo OXY observa variações nas

direções dos vetores i

e j

quando o sistema móvel gira em torno do ponto O. Assim,

para obter a derivada temporal de tQ

em relação ao sistema de referência fixo

OXY, derivamos (1.121) em relação ao tempo considerando os vetores i

e j

variáveis, obtendo:

x

Y

X O

tQ

I

j

y

i

J

tQx tQy

k

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

52

dt

jdQ

dtid

QjQiQQ yxyxOXY

(1.123)

Utilizando a equação (1.122), a última equação acima pode ser escrita sob a forma:

dt

jdQ

dtid

QQQ yxOxyOXY

(1.124)

Levando em conta que os vetores unitários i

e j

estão girando em torno de

O com velocidade angular , as derivadas dtid

e dt

jd

são obtidas empregando a

equação (1.26), que expressa a derivada temporal de um vetor rotativo:

idtid

(1.125)

jdt

jd

(1.126)

Introduzindo as relações (1.125) e (1.126) na equação (1.124), a equação

resultante pode ser posta sob a forma:

jQiQQQ yxOxyOXY

, (1.127)

ou ainda, levando em conta a relação (1.121):

QQQOxyOXY

(1.128)

A equação (1.128) estabelece a relação entre a derivada temporal calculada

em relação ao sistema fixo e a derivada temporal calculada em relação ao sistema rotativo.

Consideremos agora o movimento de uma partícula P observado por dois observadores distintos posicionados nos dois sistemas de referência empregados. Designando por tr

o vetor posição da partícula, temos que OXYr representa a

velocidade de P em relação ao sistema fixo (velocidade absoluta de P), enquanto Oxyr representa a velocidade de P em relação ao sistema rotativo. A equação

(1.128), com Q

substituído por r

, nos dá:

rrrv OxyOXYp

(1.129)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

53

Para melhor entendimento do significado dos vetores presentes na equação (1.129), consideremos, como exemplo, a situação ilustrada na Figura 1.35. Observamos uma placa plana que gira em torno do ponto fixo O, com velocidade angular instantânea k

, a qual varia com aceleração angular instantânea

k

. A placa dispõe de uma ranhura dentro da qual se move uma partícula P. Evidentemente, o movimento absoluto de P é resultante da composição de seu movimento dentro da ranhura com o movimento de rotação da placa.

Consideremos um sistema de referência de orientação fixa, OXY, e um sistema Oxy, solidário à placa. Este último está animado de movimento de rotação em torno do ponto O, com a mesma velocidade e aceleração angulares da placa.

Yy

x

X

trajetória de P'

O

v rP '

v rrel Oxy

Figura 1.35 Para um observador no sistema Oxy, ou seja, posicionado sobre a placa, a

partícula P descreve a trajetória determinada pela ranhura, movendo-se com a velocidade Oxyr , que é um vetor contido no plano da placa, com a direção da

tangente à ranhura na posição ocupada instantaneamente por P. Designaremos esta velocidade em relação a Oxy por relv

(velocidade relativa ao sistema rotativo, ou em

relação à placa). Designando por 'P um ponto que coincide instantaneamente com P e

pertence à placa (ou ao sistema rotativo, solidário a ela), vemos que 'P descreve, em relação ao sistema fixo OXY, um movimento circular com centro em O, sendo este movimento determinado pela rotação da linha OP em torno de O, com velocidade angular . Com base na equação (1.71), que representa a velocidade no movimento circular, concluímos que o vetor rv 'p

representa a velocidade deste ponto 'P ,

em relação ao sistema OXY. Este vetor é tangente à trajetória circular, mostrada em linha tracejada na Figura 1.35, ou seja, ele é perpendicular ao vetor r

.

Com base nestas interpretações, podemos escrever (1.129) sob a forma:

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

54

rel'PP vvv

, (1.130) onde:

OXYP rv é a velocidade de P em relação ao sistema fixo.

Oxyrel rv

é a velocidade de P em relação ao sistema rotativo.

rv 'P

é a velocidade, em relação ao sistema fixo, do ponto 'P , que coincide instantaneamente com P, e pertence ao sistema rotativo.

Passemos agora ao estudo das acelerações. A aceleração absoluta de P é dada pela derivada temporal de Pv

em relação a OXY. Computando a derivada temporal

de (1.129) em relação a OXY, obtemos:

OXYOXYOxyOXYOxyOXYPP rdtd

rdtd

rrdtd

va

OXYOXYOXYOxy rdtd

rdtd

rdtd (1.131)

Utilizamos, em seguida, a equação (1.128) para desenvolver cada uma das

parcelas da equação acima, conforme as equações abaixo:

OxyOxyOXYOxy rrrdtd

OxyOXYdt

d

rrrrrdtd

OxyOxyOXY

.

Substituindo as três últimas equações em (1.131), obtemos, após rearranjo:

OxyOxyP rrrra 2 (1.132)

De forma similar ao que foi feito para as componentes da velocidade, as

componentes de aceleração, figurando na equação acima, podem ser interpretados com o auxílio da Figura 1.36 e da equação (1.132) escrita sob a forma:

c

Pa

nPtPrelP aaaaa

'

'' (1.133)

onde:

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

55

Oxyrel ra é a aceleração de P em relação ao sistema de referência

rotativo Oxy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura. Sendo esta ranhura curvilínea, rela

pode, no caso mais geral, ser

decomposta em duas componentes:

- dtvd

a reltrel

, tangente à ranhura.

-

2rel

nrelv

a

, normal à ranhura, apontando para o seu centro de

curvatura. Aqui, designa o raio de curvatura da ranhura.

ra t'P

é a componente tangencial da aceleração, em relação ao

sistema fixo OXY, do ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao sistema rotativo (ou à placa).

ra n'P

é a componente normal da aceleração do ponto 'P , em

relação a OXY;

relOxyc vra

22 é a chamada aceleração de Coriolis. Esta

componente está associada à variação na direção do vetor velocidade relativa relv

, provocada pela rotação do sistema de referência móvel.

Yy

x

XO

C

arel t arel

aP t'

arel n

aC

aP n'

aP '

Figura 1.36

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

56

A análise apresentada acima mostra que o principal interesse no uso de um

sistema de referência rotativo como sistema de referência auxiliar para o cálculo da velocidade e aceleração absolutas de uma partícula reside no fato de que este procedimento permite decompor o movimento complexo da partícula em termos de dois movimento mais simples: o movimento da partícula em relação ao sistema móvel e o movimento do ponto 'P pertencente ao sistema móvel.

1.9.3 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em movimento plano

geral Consideremos a Figura 1.37 que mostra o movimento plano de duas

partículas A e P, sendo empregados dois sistemas de referência: um sistema fixo OXY e outro sistema móvel, Axy. A origem deste último descreve uma trajetória curvilínea plana e, ao mesmo tempo, seus eixos giram com velocidade angular

instantânea k

e aceleração angular k . Dizemos, neste caso, que o

sistema Axy está animado de movimento plano geral (translação superposta a uma rotação em torno de A).

Figura 1.37

Sendo Ar

, Pr

e APr /

os vetores posição mostrados na figura acima, podemos escrever:

APAP rrr /

(1.134)

Para obter a relação envolvendo velocidades absolutas e relativas das duas

partículas A e P, computamos a derivada temporal dos vetores presentes em (1.134) em relação ao sistema fixo:

OXYA/POXYAOXYPP rrrv

(1.135)

x

y Y

X

P

A

O

APr /

Pr

Ar

k

k

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

57

Usando a equação (1.128), podemos desenvolver o último termo da equação

acima sob a forma: A/PAxyA/POXYA/P rrr

,

e a equação (1.135) fica:

AxyA/PA/PAP rrvv , (1.136)

ou:

relAPAP vvvv

/ , Os vetores presentes na Equação (1.136) podem ser interpretados com o

auxílio da Figura 1.38, que mostra uma placa que se movimenta no plano da figura, dispondo de uma ranhura dentro da qual se move uma partícula P. São utilizados os seguintes sistemas de referência: o sistema fixo OXY, o sistema Axy, com origem no ponto A da placa, e solidário a ela, e o sistema auxiliar 11yAx que tem sua origem no ponto A e conserva sua direção invariável (está em movimento de translação). Nesta situação, tem-se a seguinte interpretação:

OXYAA rv é a velocidade da partícula A (origem do sistema de

referência rotativo) em relação ao sistema fixo. A/PA/'P rv

é a velocidade, em relação ao sistema de referência

auxiliar 11yAx , do ponto P que coincide instantaneamente com P, e pertence ao sistema rotativo (ou à placa).. A trajetória de P em relação a este sistema de referência é a trajetória circular indicada em linha pontilhada na Figura 1.38.

AxyAPrel rv /

é a velocidade de P em relação ao sistema móvel Axy,

sendo associada ao movimento da partícula ao longo da ranhura existente na placa.

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

58

vA

vA

vrel

vrel

vP'

vP

r vP A P A/ '/

vP A'/

Yy

x

X

O

A

rA

rP A/

Figura 1.38

No que diz respeito às acelerações, derivando a equação (1.136) em relação ao

tempo, considerando o sistema de referência fixo, obtemos:

OXYAxyA/POXYA/pA/PAP r

dtd

rraa (1.137)

Usando uma vez mais a relação (1.128), podemos desenvolver da seguinte

forma os dois últimos termos da equação acima:

A/PAxyA/POXYA/P rrr = A/PAxyA/P rr

AxyA/PAxyA/POXYAxyA/P rrrdtd

Introduzindo estes desenvolvimentos em (1.137), escrevemos:

relA/pA/PArelP vrraaa

2 (1.138)

ou:

CnA/PtA/PArelP aaaaaa

, (1.139)

onde, a cada uma das componentes, ilustradas na Figura 1.39, é dada a seguinte interpretação:

1x

1y

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

59

AxyAPrel ra /

é a aceleração de P em relação ao sistema de referência

móvel Axy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura existente na placa. Sendo esta ranhura curvilínea, rela

pode, no caso mais

geral, ser decomposta em duas componentes:

- dtvd

a reltrel

, tangente à ranhura.

-

2rel

nrelv

a

, normal à ranhura, apontando para o seu centro da

curvatura. Aqui, designa o raio de curvatura da ranhura.

A/PtA/'P ra

é a componente tangencial da aceleração, em relação

ao sistema auxiliar 11yAx (que está em movimento de translação), do ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao sistema móvel Axy.

A/PnA/'P ra

é a componente normal da aceleração do ponto

'P , em relação a ao sistema auxiliar 11yAx .

relc va

2 é a aceleração de Coriolis.

Yy

x

X

C

O

A

rA

aA rP A/

aP A n'/arel n

aC

arel t

aP A t'/

vrel

Figura 1.39

1x

1y

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

60

1.9.4 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em translação Os conceitos e a formulação apresentados na Seção 1.8.1 para o movimento

relativo plano podem ser estendidos para o movimento relativo espacial sem dificuldades, bastando introduzir uma terceira coordenada z e o vetor unitário correspondente k

, conforme ilustrado na Figura 1.40.

Figura 1.40

Para a situação ilustrada na Figura 1.40, podemos escrever:

A/PAP rrr

(1.140)

com: kZjYiXr AAAA

(1.141.a)

kZjYiXr PPPP

(1.141.b)

kzjyixr A/PA/PA/PA/P

(1.141.c)

A substituição das equações (1.141) em (1.140) resulta em: A/PAP xXX (1.142.a)

A/PAP yYY (1.142.b)

A/PAP zZZ (1.142.c)

x

y Y

X

P

A

O

APr /

Pr

Ar

Z

z

i

j

k

i

j

k

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

61

Derivando a equação (1.140) em relação ao tempo, obtemos a seguinte relação envolvendo velocidades absolutas de A e P e a velocidade de P em relação a A:

A/PAP vvv

, (1.143)

onde: kZjYiXv AAAA

(1.144.a)

kZjYiXv PPPP

(1.144.b)

kzjyixv A/PA/PA/PA/P

(1.144.c) Introduzindo as equações (1.144) em (1.143), obtemos as seguintes relações

entre as componentes destas velocidades:

A/PAP XXX (1.145.a)

A/PAP yYY (1.145.b)

A/PAP zZZ (1.145.c) De maneira análoga, para as acelerações, escrevemos:

A/PAP aaa

(1.146) com:

kZjYiXa AAAA

(1.147.a)

kZjYiXa PPPP

(1.147.b)

kzjyixa A/PA/PA/PA/P

(1.147.c) As seguintes relações entre as componentes destas acelerações se verificam:

A/PAP xXX (1.148.a)

A/PAP yYY (1.148.b)

A/PAP zZZ (1.148.c)

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

62

1.9.5 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em rotação Consideremos os dois sistemas de referência mostrados na Figura 1.41: o

sistema fixo OXYZ, e o sistema Oxyz, que gira instantaneamente em torno do eixo OA, com velocidade angular

, orientada segundo este eixo.

Pode-se deduzir, seguindo o procedimento empregado na Seção 1.8.2, a seguinte relação entre as derivadas temporais de uma grandeza vetorial tQ

,

expressas nos dois sistemas de referência:

QQQOxyzOXYZ

(1.149)

Figura 1.41

Deve-se observar que, no caso geral em três dimensões, temos

kji zyx

(ao invés de simplesmente kz

, como acontece no caso

plano, considerado na Seção 1.8.2). Com essa ressalva, as demais equações deduzidas na Seção 1.8.2 podem ser diretamente estendidas ao caso tridimensional, sendo re-apresentadas a seguir:

relPOxyzP vvrrv

(1.150)

OxyzOxyzP rrrra 2 relCnPtP aaaa

(1.151)

x

Y

X O

tQ

y

z Z

A

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

63

1.9.6 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em movimento geral Considerando a situação mostrada na Figura 1.42, apresentamos aqui as

equações deduzidas na Seção 1.8.3, já adaptadas para o caso tridimensional.

relA/PAAxyzA/PA/PAP vvvrrvv

(1.152)

AxyzA/PAxyzA/PA/PA/PP rrra 2

relCnA/PtA/PA aaaaa

(1.153)

Figura 1.42

x

y Y

X

P

A

O

APr /

Pr

Ar

,

Z

z

1y

1x

1z

D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

64

1.10 – Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997.

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 2

Cinemática do Corpo Rígido

 

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

65

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.1 - Introdução Neste capítulo nos ocuparemos em descrever as grandezas cinemáticas: posição, velocidade e aceleração em sistemas mecânicos constituídos de um ou mais corpos rígidos. A hipótese de rigidez ideal, que será adotada, implica que a distância entre dois pontos quaisquer do corpo permanece inalterada durante o movimento. Com relação a esta hipótese, vale lembrar que, de acordo com a Resistência dos Materiais, todos os corpos se deformam quando submetidos à ação de esforços. Admitiremos, todavia, que estas deformações sejam suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas quando comparadas às amplitudes dos deslocamentos que surgem durante o movimento. A dinâmica de sólidos levando em conta as deformações é objeto da disciplina Vibrações Mecânicas. Por uma razão didática, convém classificar os movimentos que os corpos rígidos podem desenvolver seguindo a ordem crescente de complexidade. Como poderá ser observado, nas situações práticas, o tipo de movimento que um dado corpo rígido desenvolverá será determinado pela existência de restrições físicas que delimitam os “graus de liberdade” de que o corpo dispõe para se mover. Em geral, é a seguinte a classificação utilizada para os movimentos dos corpos rígidos:

a) movimento de translação b) movimento de rotação em torno de um eixo fixo c) movimento plano geral d) movimento com um ponto fixo e) movimento geral Apresentamos, a seguir, as definições e exemplos de cada um destes tipos de

movimento. Desenvolvemos ainda as expressões para os vetores posição, velocidade e aceleração para pontos genéricos de um corpo rígido, considerando cada um destes tipos de movimento, separadamente.

2.2 – Movimento de translação

O movimento de translação fica caracterizado quando todos os pontos do

corpo rígido descrevem trajetórias paralelas que podem ser retilíneas ou curvilíneas, como mostra a Figura 2.1. No primeiro caso, o movimento é dito de translação retilínea e, no segundo caso, translação curvilínea.

Um outro fato que caracteriza o movimento de translação é que todo e qualquer segmento de reta ligando dois pontos quaisquer do corpo rígido mantém sua orientação inalterada durante o movimento. Em conseqüência, no movimento de translação, a velocidade angular e a aceleração angular do corpo rígido são nulas.

Neste ponto, é importante ressaltar que, coerentemente com as definições de velocidade angular e aceleração angular de uma linha, estabelecidas na Seção 1.3,

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

66

entende-se por aceleração angular e aceleração angular de um corpo rígido a velocidade angular e aceleração angular de todo e qualquer segmento de reta ligando dois pontos quaisquer do corpo rígido. No caso da translação, estas grandezas angulares são nulas.

(a) translação retilínea (b) translação curivilínea

Figura 2.1

A Figura 2.2 mostra um exemplo de sistema mecânico denominado mecanismo de quatro barras em que a barra ACBD desenvolve movimento de translação curvilínea. Observemos que a ocorrência do movimento de translação é imposto pela existência das duas barras rígidas paralelas BE e CF.

Figura 2.2

Consideremos a situação mais geral mostrada na Figura 2.3, em que são observados os movimentos de dois pontos quaisquer A e B de um corpo rígido que descreve movimento de translação. É utilizado um sistema de referência fixo OXYZ .

A

B

A

B

A

B

A

B

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

67

Figura 2.3

Designamos por Ar

e Br

, respectivamente, os vetores posição de A e B em

relação ao sistema de referência OXYZ , e por A/Br

o vetor posição de B em relação a A. Do triângulo de vetores mostrados na Figura 2.3 extraímos a relação: A/BAB rrr

(2.1)

Para obter uma expressão relacionando as velocidades de A e B, derivamos (2.1) em relação ao tempo: A/BAB rrr Na última expressão acima, temos AA vr

, BB vr , que são respectivamente

as velocidades dos pontos A e B em relação ao sistema de referência fixo OXYZ. Além disso, 0A/Br

, pois, devido a hipótese de rigidez do corpo, o módulo de A/Br

não varia e, de acordo com a definição do movimento de translação, a direção deste vetor também permanece constante. Assim temos, para o movimento de translação: AB vv

(2.2)

Derivando (2.2) em relação ao tempo, obtemos a seguinte expressão relacionando as acelerações de A e B: AB aa

(2.3)

Concluímos, pois, que no movimento de translação, todos os pontos do corpo

possuem mesma velocidade e mesma aceleração.

O

X

Y

Z

B

A

Br

A/Br

Ar

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

68

2.3 – Movimento de rotação em torno de um eixo fixo Um exemplo de movimento de rotação em torno de um eixo fixo é ilustrado na Figura 2.4, onde observamos que este tipo de movimento é determinado pela existência de dois mancais em A e B, que restringem o movimento do corpo, permitindo apenas a ocorrência da rotação em torno do eixo que passa pelos pontos A e B.

Figura 2.4

Na Figura 2.5 vemos que, na rotação em torno de um eixo fixo OO , todos os pontos do corpo rígido descrevem trajetórias circulares concêntricas, posicionadas em planos paralelos entre si, perpendiculares ao eixo de rotação. Os centros destas trajetórias localizam-se sobre o eixo de rotação, podendo este eixo interceptar ou não o corpo rígido.

(a) (b) Figura 2.5

Consideremos a situação mais geral de um corpo rígido desenvolvendo

movimento de rotação em torno de um eixo fixo, conforme ilustrado na Figura 2.6. Designando por o ângulo que define a posição angular do corpo rígido em relação

Q

P

O

O

Q

P

O

O

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

69

a uma direção de referência arbitrária, a velocidade angular do corpo rígido é dada por .

De acordo com o exposto na Seção 1.3, o vetor velocidade angular do corpo rígido, , tem módulo , sua direção é a do eixo de rotação, e seu sentido é determinado pelo movimento da mão direita.

O vetor aceleração angular, é obtido pela derivação de em relação ao tempo, ou seja:

dtd

Como no movimento de rotação em torno de um eixo fixo a direção de é

constante, o vetor também tem a direção do eixo de rotação e seu módulo vale . Quanto ao sentido de , dois casos são possíveis:

terá o mesmo sentido de quando o módulo de aumentar com

tempo.

terá o sentido oposto ao de quando o módulo de diminuir com o tempo.

Figura 2.6 Para descrever o movimento de um ponto qualquer do corpo rígido em

movimento de rotação em torno de um eixo fixo, designado por P na Figura 2.6,

i

j

k

X

Y

Z

P

O

dir. referência

P

r

O

O

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

70

escolhemos por conveniência um sistema de referência fixo OXYZ , cujo eixo OZ coincide com o eixo de rotação 'OO .

Desta forma, escrevemos os vetores velocidade angular e aceleração angular do corpo rígido sob a forma:

k k

Para o ponto genérico do corpo rígido, P, cujo vetor posição é indicado por r

, temos que sua trajetória é uma circunferência de raio 'PP , posicionada sobre um plano perpendicular ao eixo de rotação. Com base no estudo já efetuado sobre a cinemática do movimento circular (ver Seção 1.6.3), sobre a velocidade de P podemos afirmar:

seu módulo é dado por senr'PPvP , onde é o ângulo formado

entre os vetores k

e r

. Pv

está contido no plano da trajetória circular, sendo sua direção

perpendicular ao segmento 'PP e seu sentido determinado pelo sentido da rotação do corpo rígido, conforme mostrado na Figura 2.7.

Introduzindo o produto vetorial, podemos facilmente verificar que essas

propriedades do vetor velocidade são satisfeitas se o escrevemos sob a forma: rvP

(2.4)

A aceleração do ponto P é obtida por derivação de (2.4) em relação ao tempo:

rrva PP

Lembrando que: e rvr P

, a última equação acima pode ser escrita sob a forma :

rraP

(2.5)

ou : nPtPP aaa

,

onde:

ra tP

é a componente tangencial da aceleração de P, sendo um vetor

que está contido no plano da trajetória de P, sua direção é perpendicular ao segmento 'PP e seu sentido é determinado pelo sentido de . Seu

módulo é dado por ta

'PP .

ra nP

é a componente normal da aceleração de P. Este vetor

está contido no plano da trajetória de P, sendo a sua direção a do segmento

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

71

'PP e seu sentido de P para 'P . O módulo de nPa

é dado por

'PPa nP2

.

As duas componentes de aceleração estão representadas na Figura 2.7. É importante notar que, em virtude das propriedades do produto vetorial, o

vetor r

, que aparece nas equações (2.4) e (2.5), pode ser substituído por qualquer vetor cuja a origem esteja localizada sobre o eixo de rotação e cuja extremidade coincida com o ponto P, sem que os valores da velocidade e da aceleração de P sejam alterados.

Figura 2.7

P

O

O

tPa

nPa

Pv

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

72

2.4 – Movimento plano geral O que caracteriza o movimento plano geral é o fato de a única restrição cinemática existente é que todos os pontos do corpo rígido devem descrever trajetórias localizadas sobre planos paralelos entre si, sendo que estas trajetórias:

a) não são retas ou curvas paralelas, o que implica que o movimento não é puramente de translação, e;

b) não são círculos concêntricos, de modo que o movimento não é de rotação em torno de um eixo fixo.

Veremos a seguir que, sob o ponto de da vista cinemática, o movimento plano

geral pode ser considerado como sendo resultante da superposição de uma translação e de uma rotação em torno de um eixo fixo. Na Figura 2.8 temos um exemplo prático de um sistema denominado biela-cursor-manivela, em que a barra BC (biela) desenvolve movimento plano geral, enquanto a manivela AB descreve um movimento de rotação em torno do eixo perpendicular ao plano da figura passando pelo ponto O, e o cursor A descreve movimento de translação, determinado pela existência das duas paredes horizontais paralelas que impedem a sua rotação.

Figura 2.8

2.4.1 - Velocidades absolutas e relativas no movimento plano geral Consideremos a Figura 2.9, na qual é ilustrado o movimento plano geral de um corpo rígido. Analisaremos os movimentos de dois pontos quaisquer A e B indicados na figura. Designamos ainda por e , respectivamente, os vetores velocidade angular e aceleração angular instantâneos do corpo rígido, que têm a direção perpendicular ao plano do movimento.

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

73

Figura 2.9

São utilizados dois sistemas de referência: o sistema OXY , suposto fixo, e o sistema móvel Axy , que tem sua origem no ponto A, e as direções de seus eixos invariáveis (admitiremos que os eixos de Axy sejam paralelos aos eixos de OXY , como mostrado na Figura 2.9). Neste caso, Axy estará em movimento de translação. Adaptando a equação (1.136) à situação presente, escrevemos: relBA/BAB vrvv

No caso em questão temos:

0

(a velocidade angular do sistema móvel Axy é nula uma vez que este está animado de movimento de translação)

A/BrelB rv

. Vale lembrar que relBv

representa a velocidade do

ponto B em relação ao sistema móvel Axy . Em relação a este sistema, que foi escolhido de orientação fixa, o ponto B executará a trajetória circular de raio A/Br

, indicada na Figura 2.13 com linha tracejada. Neste movimento,

a velocidade em relação a Axy é dada por A/Br

. Este vetor é perpendicular a A/Br

, e o seu sentido é determinado pelo sentido de ,

como indicado na Figura 2.9.

Podemos então escrever:

A/BAB rvv

(2.6) Da equação vetorial (2.6) podem ser obtidas duas equações escalares,

mediante a decomposição dos vetores em duas direções ortogonais quaisquer. A

A

B

X

Y

y

x

O

Ar

A/Br

Br

A/Br

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

74

resolução destas equações permite determinar até duas incógnitas relativas às velocidades dos pontos do corpo rígido.

Alternativamente, pode-se resolver os problemas construindo o triângulo de vetores representando a equação (2.6), empregando, em seguida, relações trigonométricas para a obtenção das equações que permitirão determinar as incógnitas.

Conforme já havíamos anunciado anteriormente nesta seção, a equação (2.6) conduz à seguinte interpretação:

"Sob o ponto de vista da cinemática, o movimento plano de um corpo rígido

pode ser considerado com o sendo resultante da superposição de uma translação, segundo um ponto de referência, e uma rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano de movimento, passando pelo ponto de referência".

Na parcela de translação, todos os pontos do corpo rígido estarão animados da

mesma velocidade do ponto de referência. Na parcela de rotação, os pontos do corpo rígido estarão executando movimentos circulares, com velocidade angular , em torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento, passando pelo ponto de referência.

A escolha do ponto de referência é arbitrária. Na equação (2.6) o ponto A foi escolhido como ponto de referência. Se o ponto B tivesse sido escolhido teríamos escrito: B/ABA rvv

(2.7)

Tanto (2.6) quanto (2.7) conduzem aos mesmos resultados. As duas situações são ilustradas nas Figuras 2.10 e 2.11.

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

75

A/BAB rvv

Figura 2.10

Av

Bv

A/BrelB rv

=

Av

A

B

Bv

mov. plano geral

+

Av

A

B

Av

translação “segundo A”

A/BrelB rv

A

B

rotação “em torno de A”

+

A/Br

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

76

B/ABA rvv

Figura 2.11

=

+

A

B

translação “segundo B”

mov. plano geral

Av

A

B

Bv

A

B

rotação “em torno de B”

B/Ar

B/ArelA rv

+

Bv

Bv

Av

Bv

B/ArelA rv

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

77

2.4.2 - Centro instantâneo de rotação no movimento plano geral Nesta seção, apresentamos um segundo método destinado à análise de velocidades de corpos rígidos em movimento plano geral. Vamos mostrar que é sempre possível determinar um ponto, chamado Centro Instantâneo de Rotação (C.I.R.), de modo que as velocidades dos pontos do corpo rígido em movimento plano geral são as mesmas que surgiriam se o corpo estivesse executando um movimento de rotação em torno de um eixo fixo, perpendicular ao plano do movimento, passando pelo C.I.R.

Desta forma, uma vez determinada a posição do C.I.R., a velocidade de um ponto P qualquer do corpo rígido pode ser expressa simplesmente segundo: 'rvP

,

onde é a velocidade angular do corpo rígido e 'r

é o vetor cuja origem coincide

com o C.I.R. e cuja a extremidade coincide com a posição do ponto P. A demonstração da existência do C.I.R. é feita a seguir, com o auxílio da Figura 2.12. Escolhendo arbitrariamente um ponto A do corpo rígido, cuja velocidade Av

é conhecida, podemos sempre determinar um ponto C, posicionado

sobre reta perpendicular à direção de Av

, situado a uma distância 'rA do ponto A, dada por:

A

Av

'r

Figura 2.12

Definindo o vetor CA'rA

, perpendicular a Av

, escrevemos: 'rv AA

, (2.8)

Uma vez definida a posição de C, devemos mostrar que, para um outro ponto qualquer B, também poderemos escrever:

'rv BB

(2.9)

C

Av

A

B

Bv

Br

Ar

A/Br

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

78

onde CB'rB

, como indicado na Figura 2.12.

Introduzindo a relação (2.8) em (2.6), temos: A/BAB r'rv

,

ou: A/BAB r'rv

Na Figura 2.12 vemos que A/BAB r'r'r

, de modo que a última equação

acima torna-se: 'rv BB

Este resultado demonstra que a distribuição das velocidades no movimento plano geral é a mesma que surgiria se o corpo rígido estivesse executando um movimento de rotação com velocidade angular , em torno de um eixo fixo perpendicular ao plano do movimento, passando pelo ponto C, que é o C.I.R.. É importante notar que a posição do C.I.R. varia com o tempo. Na resolução de problemas práticos, a determinação da posição do C.I.R., em cada instante, é feita utilizando as regras que apresentamos a seguir. Estas regras são derivadas da definição do C.I.R. e das propriedades decorrentes de sua definição. 1a regra: São conhecidas as direções das velocidades de dois pontos A e B, Av

e Bv

, respectivamente, sendo estas velocidades representadas por vetores não paralelos entre si. Neste caso, o C.I.R. é determinado pela interseção da reta perpendicular a

Av

, passando por A, com a reta perpendicular a Bv

, passando por B, como mostrado na Figura 2.13.

Figura 2.13

A

B

Bv

C

Av

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

79

2a regra: São dadas as velocidades Av

e Bv

de dois pontos A e B, sendo estas

velocidades perpendiculares ao segmento AB . Neste caso, o C.I.R. é determinado pela interseção da reta que passa por A e B com a reta que liga as extremidades dos vetores Av

e Bv

. As três situações possíveis são ilustradas na Figura 2.14. No caso (c) o C.I.R. está no infinito, configurando o caso de translação, sendo a velocidade angular instantaneamente nula.

(a) (b)

(c)

Figura 2.14

3a regra: Quando pudermos identificar o ponto do corpo rígido cuja velocidade é instantaneamente nula, este ponto é o centro instantâneo de rotação. Um exemplo clássico é o caso de um corpo que rola, sem escorregamento, sobre uma superfície fixa, como mostrado na Figura 2.15. Como não há movimento relativo entre a superfície e o ponto C do corpo em contato com ela, este ponto tem velocidade instantânea nula, sendo, portanto, o C.I.R. Nesta mesma figura são mostrados os vetores velocidade de alguns pontos do disco.

A

B

Bv

Av

C.I.R. no , = 0

A

B

Bv

C

Av

A

B

Bv

C

Av

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

80

Figura 2.15 A posição do centro instantâneo de rotação pode também ser determinada

analiticamente a partir dos vetores posição e velocidade de um ponto qualquer do corpo rígido e da velocidade angular.

Considerando o ponto C (que é o C.I.R.) e um ponto qualquer A, ambos ilustrados na Figura 2.16, podemos escrever:

C/ACA rvv

.

Levando em conta que 0Cv

, a equação acima fica reduzida a:

C/AA rv

Computando o produto vetorial de ambos os lados da equação acima pelo

vetor velocidade angular , e utilizando a conhecida igualdade para o produto triplo, escrevemos:

C/AC/AC/AA rrrv

Levando ainda em conta que 0 C/Ar

, obtemos a expressão:

AC/A

vr

e a posição do C.I.R., em relação ao sistema de eixos OXY é finalmente computada segundo:

C/AAA/CAC rrrrr

r2

C

r2

r2

r

r

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

81

ou:

2 A

ACv

rr

(2.10)

Figura 2.16 2.4.3 - Acelerações absolutas e relativas no movimento plano geral Consideremos a situação ilustrada na Figura 2.17, em que são ilustrados dois

sistemas de referência com as mesmas características daqueles anteriormente mostrados na Figura 2.9, ou seja, o sistema OXY é fixo e o sistema Axy tem sua origem no ponto A do corpo rígido, conservando sua orientação invariável (movimento de translação).

Figura 2.17

A

B

X

Y

y

O

A/Br

A/BtrelB ra

x

A/BnrelB ra

C

Av

A C/Ar

Ar

Cr

X

Y

O

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

82

Com base na equação (1.138), adaptada à situação presente, escrevemos:

relBrelBA/BA/BAB avrraa

2 (2.11)

No caso em questão, temos: 0

, uma vez que o sistema de referência móvel Axy está em movimento

de translação. A/BA/B

nrelB

trelBrelB rraaa

Assim, a equação (2.11) fica:

A/BA/BAB rraa

(2.12)

As incógnitas de problemas envolvendo acelerações de corpo rígido em movimento plano podem ser determinadas de duas formas:

a) decompondo os vetores que figuram na equação (2.12) em duas direções

perpendiculares e resolvendo o sistema de duas equações escalares resultantes.

b) construindo o quadrilátero de vetores que representam a equação (2.12) e

empregando relações geométricas, obtemos as equações que, uma vez resolvidas, nos fornecerão os valores das incógnitas do problema. Esta segunda forma de resolução é geralmente mais complicada que a primeira.

Vale notar que o conceito de centro instantâneo de rotação não pode ser usado

para a determinação das acelerações, pois, no caso geral, o C.I.R. não possui aceleração nula. Embora seja possível determinar o Centro de Aceleração Nula, o equivalente do C.I.R. para as acelerações, isto não é tarefa simples, de modo que utilizaremos, em nosso curso, apenas o método das acelerações absolutas e relativas para resolver problemas relativos a acelerações de corpos rígidos em movimento plano.

Similarmente ao que havia sido mostrado no estudo das velocidades absolutas e relativas, a distribuição das acelerações no movimento plano geral dos corpos rígidos pode ser entendida com sendo resultante da superposição de uma translação, segundo um ponto de referência, e de um movimento de rotação em torno de um eixo fixo, perpendicular ao plano de movimento, passando pelo ponto de referência. Seguindo esta interpretação, a situação correspondente à equação (2.11) é ilustrada na Figura 2.18.

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

83

A/BA/BAB rraa

Figura 2.18 2.5 - Movimento com um ponto fixo

No movimento com um ponto fixo, a única restrição imposta ao movimento é a de que um único ponto do corpo rígido deve permanecer imóvel no espaço. A Figura 2.19 mostra o exemplo deste tipo de movimento, no qual o ponto A é mantido fixo.

Aa

A

B

mov. plano geral

Ba

+

A

B Aa

translação “segundo A”

Aa

A/BtrelB ra

A

B

rotação “em torno de A”

A/BnrelB ra

A/Br

Ba

Aa

trelBa

nrelBa

+=

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

84

Figura 2.19

A cinemática do movimento com um ponto O fixo é fundamentada no Teorema de Euler, que pode ser enunciado como segue (omitiremos aqui a demonstração do teorema):

"O movimento de um corpo rígido com um ponto fixo O pode ser considerado, em cada instante, como sendo um movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo ponto O". O eixo a que se refere o Teorema de Euler é denominado eixo instantâneo de rotação. Ao contrário do que ocorre no movimento de rotação em torno de um eixo fixo, estudado na Seção 2.2, a direção do eixo instantâneo de rotação varia continuamente com o tempo. Assim, conforme indicado na Figura 2.20, em cada instante, o vetor velocidade angular do corpo rígido, , tem a direção do eixo instantâneo de rotação. Como esta direção varia, o vetor aceleração angular, , não tem a mesma direção do vetor velocidade angular.

Figura 2.20

O

P O

w

r

A

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

85

Com base no Teorema de Euler, podemos utilizar a expressões relativas ao movimento de rotação em torno de um eixo fixo (ver Seção 2.2) para expressar a velocidade e a aceleração de um ponto genérico P do corpo rígido, cuja a posição é indicada por r

na Figura 2.20.

rvP

(2.13)

rraP

(2.14)

Conforme discutido na Seção 2.2, nas equações (2.13) e (2.14) r

pode ser

qualquer vetor que vai do eixo instantâneo de rotação até o ponto P. Como a orientação instantânea deste eixo é geralmente desconhecida, sabendo-se apenas que ele passa pelo ponto O, toma-se por conveniência OPr

, como mostrado na

Figura 2.20. 2.6 - Movimento geral O movimento geral constitui uma extensão, ao caso tridimensional, do movimento plano geral, já examinado na Seção 2.3.

A Figura 2.21 mostra um exemplo de um mecanismo tridimensional no qual a barra AB descreve movimento geral.

Figura 2.21

A

B

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

86

2.6.1 - Velocidades absolutas e relativas no movimento geral Consideremos a Figura 2.22, na qual é representado um corpo rígido em movimento geral, em três dimensões, sendo analisados os movimentos de dois pontos quaisquer do corpo rígido, A e B.

Figura 2.22

São representados dois sistemas de referência: OXYZ , fixo, e Axyz , móvel, com origem no ponto A do corpo rígido, com orientação invariável (em movimento de translação). Adaptando a equação (1.127) à situação presente, podemos escrever: relBA/BAB vrvv

(2.15)

No caso em questão, temos:

0

, pois o sistema Axyz está em movimento de translação. A/BrelB rv

. Isto porque em relação ao sistema Axyz , o ponto B

estará executando um movimento com o ponto A fixo. De acordo com a equação (2.13), neste movimento, a velocidade em relação a Axyz é dada por A/Br

.

Assim, a equação (2.15) fica:

A

B

X

Y

y

x

O

Ar

A/Br

Br

Z

z

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

87

A/BAB rvv

(2.16) A equação vetorial (2.15) pode ser substituída por três equações escalares

mediante a decomposição dos vetores que nela figuram em termos de suas componentes em três direções mutuamente perpendiculares. O conjunto de equações pode então ser resolvido para as incógnitas do problema.

A equação (2.16) expressa o Teorema de Chasles, que pode ser enunciado da seguinte forma:

"Sob o ponto de vista da cinemática, o movimento geral de um corpo rígido em

três dimensões pode ser considerado como sendo resultado da combinação de uma translação, segundo um ponto de referência, e um movimento com o ponto de referência fixo".

O leitor deve verificar a semelhança desta interpretação com aquela dada à

equação (2.7), referente ao movimento plano geral. Aqui, também, a escolha do ponto de referência é arbitrária. Na ilustração da

Figura 2.23 o ponto A é o escolhido como ponto de referência.

A/BAB rvv

Figura 2.23

=

+

Av

A

B

Av

translação “segundo A”

Av

A

B

Bv

movimento geral

+

A/BrelB rv

A

B

movimento com o ponto A fixo

A/Br

D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

88

Embora o conceito de Centro Instantâneo de Rotação possa ser associado ao

movimento geral, a determinação de sua posição é dificultada pelo fato de se trabalhar em três dimensões. Assim, em nosso curso, utilizaremos apenas o método das velocidades absolutas e relativas para resolver problemas envolvendo velocidades de corpos rígidos em movimento geral. 2.6.2 - Acelerações absolutas e relativas no movimento geral Considerando novamente a Figura 2.22 e adaptando a equação (1.128), podemos escrever:

relBrelBA/BA/BAB avrraa

2 , (2.17)

com:

0

, pois o sistema de referência Axyz está em movimento de translação.

A/BA/BrelB rra

. Isto porque, em relação ao sistema

Axyz , o ponto B executa um movimento com um ponto fixo. Neste movimento, a aceleração de B é dada pela equação (2.13).

Assim, a equação (2.17) fica:

A/BA/BAB rraa

(2.18)

A equação vetorial (2.18) pode ser desmembrada em três equações escalares mediante a decomposição dos vetores que nela figuram em termos de suas componentes em três direções mutuamente perpendiculares. O conjunto de equações pode então ser resolvido para as incógnitas do problema. 2.7 Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997.

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 3

Dinâmica da Partícula

 

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

89

CAPÍTULO 3

DINÂMICA DA PARTÍCULA 3.1 - Introdução Nos capítulos anteriores nos ocupamos em descrever o movimento de uma partícula e dos pontos de um corpo rígido, relacionando sua posição, velocidade e aceleração com o tempo sem levar em conta os efeitos que dão origem ao movimento, que são as forças.

Neste capítulo, dedicado à dinâmica da partícula, buscamos obter as relações entre as forças que atuam sobre a partícula e o movimento resultante. Estas relações são estabelecidas pelas chamadas equações do movimento. Enfocaremos dois métodos destinados à obtenção das equações do movimento:

a) Método baseado na utilização das Leis de Newton, que emprega as grandezas vetoriais força e aceleração (ou, equivalentemente, força e quantidade de movimento).

b) Método baseado no Princípio do Trabalho-Energia Cinética, que utiliza as

grandezas escalares trabalho e energia cinética. 3.2 - As leis de Newton Toda a Mecânica Clássica está alicerçada em um conjunto de três leis fundamentais que são conhecidas como as Leis de Newton, que podem ser enunciadas da seguinte forma: 1a Lei (Lei da Inércia): “Uma partícula permanecerá em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que seja diferente de zero a resultante das forças que atuam sobre ela”. A 1a Lei, enunciada desta forma, conduz à definição newtoniana de força, segundo o qual “força” é qualquer agente capaz de retirar a partícula do estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme. 2a Lei ( amF

): “Se a resultante das forças que atuam sobre uma

partícula não for nula, a partícula desenvolverá uma aceleração que terá a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante, sendo o seu módulo proporcional ao módulo da força resultante”.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

90

3a Lei (Lei da Ação e Reação): “Se uma partícula 1P estiver exercendo

sobre uma partícula 2P uma força designada porf21 , a partícula 2P também

exercerá, sobre a partícula 1P , uma força f12 , sendo estas duas força colineares,, de

módulos iguais e sentidos opostos (ou seja, 2112 ff

). Estas duas forças têm a direção da reta que liga as duas partículas”. As leis de Newton são, na verdade, axiomas e, como tal, não possuem demonstração formal, sendo sua validade comprovada pela observação experimental. A 1a Lei de Newton expressa um importante conceito que se mostra, às vezes, de difícil assimilação. É o conceito de que pode haver movimento sem que haja força resultante atuando sobre a partícula. Com efeito, a 1ª Lei de Newton estabelece que, não havendo força resultante, a partícula poderá estar tanto em repouso quanto em movimento retilíneo uniforme, sendo que estas duas situações caracterizam a condição de equilíbrio da partícula. A única distinção entre as duas situações ocorre quando a partícula estiver sujeita a restrições cinemáticas que impedem o seu movimento. Neste caso, a única situação de equilíbrio possível é a de repouso. Trataremos agora, com maior profundidade, a 2a Lei de Newton, que constitui a base para a obtenção das equações do movimento da partícula as quais, por sua vez, compõem os modelos matemáticos que serão empregados na resolução de problemas de dinâmica da partícula. Imaginemos a seguinte experiência: tomemos uma partícula qualquer, mostrada na Figura 3.1, e apliquemos sobre ela um conjunto de n forças conhecidas F1 ,F2 , ...

Fn , cuja resultante designada por

F F F Fn1 2 , é também

conhecida. Neste ponto, é importante ressaltar que, uma vez adotado o conceito de partícula, que é assimilada a um ponto do espaço, todas as forças aplicadas são consideradas concorrentes neste ponto.

Observando o movimento da partícula com um equipamento experimental adequado, verificamos que ela desenvolve uma aceleração

a , que tem a mesma

direção e o mesmo sentido que F , como mostra a Figura 3.1(a). Observe-se que o

deslocamento ou a velocidade da partícula não terão, necessariamente, a mesma direção e sentido da força resultante.

(a) (b)

Figura 3.1

F1

F2

Fn

F

a

F1

F2

Fn

F

a

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

91

Visando comprovar este resultado e testar a sua generalidade, repetimos a experiência, aplicando à mesma partícula um outro conjunto de forças

F1 ,F2 , ...

Fp , cuja resultante é

F F F Fp1 2 . Assim fazendo, verificamos

novamente que a partícula desenvolve uma aceleração a que tem a mesma

direção e o mesmo sentido de F , como se vê na Figura 3.1(b).

De posse dos valores dos módulos das acelerações a

e a

e dos valores

dos módulos das forças resultantes, F

e F

, verificamos ainda que existe

uma proporcionalidade entre os valores dos módulos das forças resultantes e dos módulos das acelerações , ou seja:

Ca

F

a

F

(constante)

Na equação acima, a constante de proporcionalidade C é uma característica

intrínseca da partícula que indica a sua inércia, isto é, sua capacidade de resistir a variações no seu estado de movimento. Observe-se que quanto maior for o valor de C, maior será o valor do módulo da força resultante necessário para conferir uma dada aceleração à partícula. A massa m, que é uma quantidade escalar positiva, é usualmente empregada como medida quantitativa da inércia da partícula.

Assim, os resultados de nossa experiência poderiam ser representados por uma única equação:

F ma (3.1) onde

F designa, genericamente, a resultante das forças que atuam sobre a

partícula e a é a aceleração desenvolvida pela mesma.

Como foi visto no primeiro capítulo, não há sentido em falar em aceleração sem que seja claramente especificado o sistema de referência em relação ao qual ela está sendo medida. Isso porque, como já sabemos, os valores das grandezas cinemáticas dependem do estado de movimento do sistema de referência empregado na observação do movimento. Assim, para a utilização da equação (3.1), o estabelecimento de um sistema de referência é fundamental.

A importante questão da escolha do sistema de referência será discutida mais adiante. Por enquanto, informamos que, na concepção clássica da Mecânica Newtoniana, a Segunda Lei de Newton, expressa por (3.1), deve ser usada empregando um tipo de sistema de referência chamado sistema de referência inercial, entendido como aquele no qual é válida a Primeira Lei de Newton, ou seja, um sistema de referência em relação ao qual observamos a partícula em repouso ou movimento retilíneo uniforme quando a resultante das forças atuantes sobre ela for nula. Seguindo uma corrente mais moderna de pensamento, mostraremos mais adiante que a Segunda Lei de Newton pode ser utilizada empregando qualquer tipo de sistema de referência, inercial ou não inercial, desde que se considere que não

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

92

apenas a aceleração, mas também as forças aplicadas à partícula, dependem do sistema de referência empregado.

3.3 - Equações do movimento A equação (3.1) pode ser interpretada como a representação simbólica da 2ª Lei de Newton, requerendo ainda esclarecimentos sobre a forma de sua operacionalização na resolução de problemas práticos. Assim, para utilização prática da 2a Lei de Newton, tanto a força resultante quanto a aceleração, que aparecem em ambos os lados da equação (3.1) devem ser expressas em termos de suas componentes nas direções de um sistema de eixos coordenados previamente escolhido. Assim procedendo, a equação vetorial (3.1) pode ser substituída por um conjunto de equações diferenciais escalares, chamadas equações do movimento, as quais poderão então ser resolvidas matematicamente ou numericamente.

Apresentaremos, a seguir, as equações do movimento expressas nos diversos sistemas de coordenadas estudados no Capítulo 1. 3.3.1 - Coordenadas cartesianas (x-y-z) Consideremos um sistema de eixos cartesianos Oxyz, ao qual se associam os vetores unitários

i ,

j e

k , conforme detalhado na Seção 1.6.1. Podemos expressar

tanto a força resultante sobre a partícula quanto sua aceleração em termos de suas componentes nas direções destes eixos:

ktFjtFitFtF zyx

a x i y i z i Substituindo as duas equações acima na equação (3.1), temos:

ktFjtFitF zyx

m x i y i z i

Levando em conta a independência linear dos vetores unitários, da equação

vetorial acima extraímos as três equações escalares seguintes: xmtFx (3.3.a)

ymtFy (3.3.b)

zmtFz (3.3.c)

As equações diferenciais (3.3) são as equações do movimento expressas em coordenadas cartesianas. Observa-se que elas relacionam as componentes da força resultante atuante sobre a partícula e as componentes da aceleração que a partícula desenvolve.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

93

Nos casos em que as componentes da força resultante são constantes ou são funções conhecidas explícitas do tempo, as componentes da aceleração podem ser calculadas diretamente a partir de (3.2). Em seguida, por integrações sucessivas destas componentes de aceleração, dispondo de um conjunto de condições iniciais (em velocidade e posição), determinam-se as componentes da velocidade e do vetor posição instantâneos da partícula em função do tempo, conforme indicam as seguintes equações:

ktajtaitata zyx

com:

tFm

ta xx1

(3.4.a)

tFm

ta yy1

(3.4.b)

tFm

ta zy1

(3.4.c)

ktvjtvitvtv zyx

com:

t

xxx dttFm

vv0

10 (3.5.a)

t

yyy dttFm

vv0

10 (3.5.b)

t

zzz dttFm

vv0

10 (3.5.c)

ktrjtritrtr zyx

com:

t t

xxx dttFm

tvxtxtr0 0

100 (3.6.a)

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

94

t t

yyy dttFm

tvytytr0 0

100 (3.6.b)

t t

zzz dttFm

tvztztr0 0

100 (3.6.c)

Vale observar que, em vários tipos de problemas práticos, as componentes da

força resultante podem ser funções complicadas, envolvendo o tempo, a posição e a velocidade. Nestes casos, a resolução analítica das equações do movimento torna-se difícil, ou mesmo impossível, sendo requeridos métodos numéricos aproximados de resolução, conforme detalhado mais adiante. Como casos particulares das equações do movimento apresentadas acima, temos o movimento retilíneo, no qual apenas a equações relativas à coordenada x devem ser consideradas, e o movimento curvilíneo plano, em que apenas as equações referentes às componentes x e y devem ser consideradas. Por procedimento similar, obtemos as equações do movimento formuladas nos demais sistemas de coordenadas apresentados o Capítulo 1, as quais são apresentadas a seguir: 3.3.2 - Componentes normal-tangencial

dtdv

mtFt (3.7.a)

2vmtFn (3.7.b)

3.3.3 - Coordenadas cilíndricas

2 rrmtFr (3.8.a)

rrmtF 2 (3.8.b)

zmtFz (3.8.c)

Observe-se que as duas primeiras equações (3.8) constituem as equações do movimento expressas nos sistema de coordenadas polares, utilizadas na descrição do movimento plano, conforme apresentado na Seção 1.6.3.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

95

3.3.4 - Coordenadas esféricas 222 cosRRRmtFR

(3.9.a)

tF senRcosRcosRm 22 (3.9.b)

mtF cossenRRR 22 (3.9.c)

Deve ser observado que as equações do movimento em alguns sistemas de coordenadas mostram-se complicadas, ocorrendo freqüentemente o acoplamento entre as diversas coordenadas. Nestes casos, são necessários procedimentos especiais, analíticos ou numéricos, para sua resolução. 3.4 - A 2a Lei de Newton e os sistemas de referência Na seção anterior, havíamos alertado o leitor para o fato de que, quando empregamos a 2a Lei de Newton, expressa pela equação (3.1), é absolutamente necessária a escolha de um sistema de referência em relação ao qual se observa o movimento da partícula. A maioria dos textos de Dinâmica afirmam que a 2a Lei de Newton só pode ser usada se utilizarmos um tipo particular de sistemas de referência, chamados sistemas de referencia inerciais, cuja definição formal será feita um pouco mais adiante. Por outro lado, alguns outros autores optam pela idéia de que a 2a Lei de Newton pode ser utilizada empregando qualquer sistema de referência, inercial ou não inercial, desde que admitamos que não apenas a aceleração da partícula, mas também as forças que sobre ela atuam, dependam do sistema de referência utilizado (ver, por exemplo, o trabalho do Prof. Maia, relacionado na lista de referências ao final deste capítulo). Neste capítulo, exploramos a segunda linha de pensamento e mostraremos a seguir, com um exemplo, a argumentação que justifica esta escolha. Imaginemos que um vagão esteja se movendo sobre trilhos horizontais retilíneos, com uma aceleração constante

a em relação à Terra, como mostrado na

Figura 3.3. Imaginemos ainda que dentro do vagão exista uma mesa horizontal, cujo tampo é perfeitamente liso e, sobre a mesa encontra-se uma esfera, que está ligada à parede do vagão por uma mola.

I N

Figura 3.2

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

96

Consideremos dois observadores: um observador I, que se encontra fora do vagão e que portanto utiliza um sistema de referência fixo (neste exemplo, estaremos desprezando o movimento da Terra), e outro observador N, que se encontra dentro do vagão e que utiliza, portanto, um sistema de referência acelerado, que está animado da mesma aceleração

a do vagão. O observador dentro

do vagão N observa a esfera em repouso sobre a mesa, estando a mola distendida. Por outro lado, o observador I observa a esfera se movendo com a mesma velocidade e aceleração do vagão Se perguntarmos a I e a N quais são as forças que atuam sobre a esfera, com base em suas observações, obteremos as seguintes respostas: O observador I dirá que sobre a esfera atuam seu peso

W , exercido pelo

campo gravitacional terrestre e a força

N exercida pelo tampo da mesa (como veremos mais adiante, na ausência de atrito, esta força é normal à superfície de contato). Além disso, observando que a mola se encontra distendida, ele constatará a existência da força

T , exercida pela mola sobre a esfera.

As forças observadas por I são mostradas na Figura 3.3.

I

Figura 3.3

Como o observador I observa a esfera mover-se com a mesma aceleração do vagão, ele escreverá a 2a Lei de Newton sob a forma:

F W N T ma Como não há movimento na direção vertical,

W N 0 . Da equação acima

resulta, para o observador I:

T ma

Por outro lado, o observador N, estando dentro do vagão, verá a esfera em repouso sobre a mesa e dirá que a resultante das forças que atuam sobre a esfera é nula. As forças que N identifica são o peso

W , a reação normal do tampo da mesa

N e a força da mola

T . Entretanto, estas três forças não podem ter resultante nula, pois

W e

N se anulam na direção vertical mas a força

T , sozinha, não pode

garantir o equilíbrio da esfera na direção horizontal. N concluirá então, com base na sua observação de equilíbrio, que além de

W ,

N e

T existe uma outra força

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

97

que equilibra a força

T , como se vê na Figura 3.4. Assim, N escreverá a 2a Lei de Newton sob forma:

F W N T T 0

N

Figura 3.4

Se fizermos diversos experimentos variando o valor da aceleração do vagão, constataremos que a deformação da mola, e portanto o valor das forças

T e

são

diretamente proporcionais ao valor da aceleração do vagão. Com base neste exemplo, podemos fazer as seguintes observações: O conjunto de forças observadas depende do sistema de referência utilizado ou, mais precisamente, do estado de movimento deste sistema de referência. No nosso exemplo, a força

é observada pelo observador N, mas não pelo observador I.

Todavia, não há motivo para pensarmos que um dos observadores esteja fazendo uma observação mais correta ou mais adequada que o outro. Ambos fazem constatações fisicamente verdadeiras. Assim antes de responder à pergunta “Quais são as forças que atuam sobre uma dada partícula ?”, devemos nos informar, perguntando: “Em relação a que sistema de referência ?”. Considerando ainda a experiência descrita acima, verificamos a existência de dois tipos de forças: o primeiro tipo compreende as forças

W ,

N e

T que são

observadas tanto por I quanto por N. Estas forças têm sua existência atribuída, por ambos observadores, às ações exercidas sobre a esfera por corpos vizinhos que são a Terra, a mesa e a mola, respectivamente. O segundo tipo de força compreende a força

, observada somente por N, que

não pode ser atribuída à ação de nenhum corpo vizinho. A existência destes dois tipos de força sugere a seguinte classificação para as

forças: Forças de interação: são aquelas exercidas entre os corpos e que são

independentes do referencial. No exemplo estudado, as forças

W ,

N e

T são forças de interação.

Forças de inércia: são aquelas que não são causadas pela ação de outros

corpos, sendo geradas pelo estado de movimento do referencial em que se encontra o observador. A este tipo de força não se aplica a 3a Lei de Newton (Ação e Reação). No nosso exemplo,

é uma força de inércia.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

98

Com base na existência destes dois tipos de forças, os sistemas de referência são classificados da seguinte forma:

Referenciais galineanos ou inerciais: são aqueles em relação aos quais observamos exclusivamente forças de interação.

Referenciais não inerciais: são aqueles em relação aos quais observamos

pelo menos uma força de inércia. Com base nas definições acima, concluímos que, se entendermos as forças no sentido newtoniano (apenas forças de interação), nos sistemas de referência inerciais aplica-se a Primeira Lei de Newton, ou seja, quando a resultante da forças de interação for nula, a partícula será observada em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a partir de um observador neste tipo de sistema. Por outro lado, em um sistema de referência não inercial, se a resultante da forças de interação atuantes sobre uma partícula for nula, esta partícula não será necessariamente vista em repouso ou movimento retilíneo uniforme. A caracterização de um dado sistema de referência como inercial ou não inercial só pode ser feita com base na experimentação. A experiência revela que um sistema de referência ligado às estrelas mais distantes do firmamento, bem como qualquer outro sistema que estejam em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a ele, são inerciais. Alguns autores costumam chamar as forças de inércia de “forças fictícias”, para diferenciá-las das “forças verdadeiras”, que seriam as forças de interação. Esta denominação parece levar à conclusão de que as forças de inércia são forças aparentes e que na verdade elas não existem. Pelo contrário, as forças de inércia agem da mesma forma que as de interação, deformando corpos, ferindo as pessoas, realizando trabalho, etc. Em algumas situações é até mesmo impossível dizer se uma dada força é de interação ou de inércia, com base, exclusivamente, nos seus efeitos. As forças de interação existem em grande número, podendo ser classificadas em forças de contato (força de atrito, reações de superfícies, forças exercidas barras, fios, etc.) e forças de campo (forças de origem gravitacional e eletromagnética). Algumas delas serão estudadas em detalhe mais adiante. Por outro lado, as forças de inércia são apenas quatro, como será mostrado a seguir.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

99

3.5 - As quatro forças de inércia Consideremos uma partícula P, de massa m, que se move no espaço, e dois sistemas de referência: o sistema OXYZ, suposto inercial, ao qual associamos o observador I e o sistema Axyz, que descreve um movimento geral (translação + rotação) em relação a OXYZ , estando animado de velocidade angular

instantânea

e aceleração angular instantânea

. A este sistema de referência móvel que, conforme veremos, é não inercial, associamos o observador N, como mostra a Figura 3.5.

y

z

x

O

rP A/

rP

rA

Y

X

Z

Pm

AI

N

Figura 3.5

Na Seção 1.7.6, havíamos obtido a seguinte expressão, relacionando a aceleração de relativa a OXYZ, Pa

, com a aceleração de P relativa a Axyz,

arel :

relrelA/PA/PAP av2rraa

(3.10) Assim, a diferença entre as acelerações observadas a partir dos dois sistemas

de referência é dada pela expressão:

relA/PA/PAPrel v2rraaa

(3.11) A 2a Lei de Newton, escrita pelo observador I, fica:

F maPint (3.12) onde

Fint designa a resultante das forças de interação atuantes sobre P, que são,

como já vimos, as únicas forças observadas pelo observador I. Por outro lado, o observador não inercial N identifica, além das forças de interação, as forças de inércia, e escreve a 2a Lei de Newton sob a forma :

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

100

F F maine relint , (3.13)

onde

Fine designa a resultante das forças de inércia.

Substituindo (3.12) em (3.13), temos :

F m a aine rel P

Introduzindo a equação (3.11) na equação acima, obtemos:

relA/PA/PAine v2mrmrmamF

A equação acima mostra que

Fine é constituída pela adição de quatro

vetores, cada um dos quais corresponde a uma das força de inércia. Utilizando a notação e a terminologia proposta por Cornelius Lanczos,

escrevemos: CCFine

onde:

Aam

é a força de Einstein (3.14.a)

A/prm

é a força de Euler (3.14.b)

A/prmC

é a força Centrífuga (3.14.c)

relv2mC

é a força de Coriolis (3.14.d)

Nas expressões acima, observamos que as forças de inércia dependem essencialmente do estado de movimento do sistema de referência não inercial, ou seja, da aceleração de sua origem, Aa

, de sua velocidade angular,

, e de sua

aceleração angular

, além da posição e da velocidade da partícula em relação ao sistema de referência não inercial, dadas pelos vetores APr /

e relv

,

respectivamente. Como o sistema Axyz foi admitido estar animado do movimento mais geral

possível, podemos concluir que não existem forças de inércia além das quatro descritas acima.

Sob o ponto de vista físico, as forças de inércia são responsáveis pela ocorrência de interessantes fenômenos, dentre os quais aqueles ligados aos efeitos de rotação da Terra.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

101

3.6 - Equilíbrio dinâmico. Princípio de d’Alembert Consideremos uma partícula P, de massa m, cujo movimento é observado a partir dos dois sistemas de referência mostrados na Figura 3.6. O sistema OXYZ é inercial e o sistema Pxyz é preso à partícula P, encontrando-se, portanto, em movimento geral, sendo, então, um sistema de referência não inercial.

y

z

x

O X

Z

Y

Pm

rP

Figura 3.6

Em relação ao sistema inercial, escrevemos a 2a Lei de Newton para a partícula sob forma:

PamF

int

Para um observador no sistema de referência não inercial, P está em repouso e a 2a Lei de Newton é expressa por este observador sob a forma: 0int reline amFF

(3.15)

Das forças de inércia, a única que não se anula é a força de Einstein. Isto pode ser verificado analisando as equações (3.10) e comparando as Figuras 3.5 e 3.6, levando ainda em conta que quando a origem do sistema móvel coincide com a posição da partícula, temos 0A/Pr

e relv

=0. Assim, a Eq. (3.11) fica: 0

F

ou:

0 PamF

(3.16) A última das equações mostra que, para um observador no sistema Pxyz, a partícula encontra-se em equilíbrio sob a ação das forças de interação, cuja a resultante é intF

e da força de Einstein, dada por Pam

. Este estado de

equilíbrio observado pelo observador não inercial é chamado equilíbrio dinâmico. A

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

102

transformação aparente da 2a Lei de Newton em uma equação de equilíbrio é conhecida como Princípio de d’Alembert.

Em alguns textos de Dinâmica, o princípio de d’Alembert é freqüentemente utilizado para a obtenção das equações de movimento. Deve ser observado, entretanto, que a utilização deste princípio não conduz a nenhuma simplificação do problema, sendo estritamente equivalente ao emprego das equações do movimento nas formas apresentadas na Seção 3.3. Por esta razão, o Princípio de d’Alembert não será utilizado subseqüentemente neste texto

3.7 - Diagramas de corpo livre

Para utilizar corretamente a 2a Lei de Newton, devemos ser capazes de realizar dois procedimentos básicos. O primeiro é a análise cinemática do movimento da partícula, na qual os conceitos e métodos apresentados no Capítulo 1 são utilizados para formular a aceleração da partícula, que está representada no lado direito da equação (3.1). O segundo procedimento diz respeito à formulação do termo F

, que aparece no lado esquerdo de (3.1), e representa a resultante de

todas as forças que atuam sobre a partícula. A formulação de F

é feita através

do "isolamento" da partícula do resto do Universo e a representação de todas as forças que sobre ela atuam, incluindo as forças de interação e as forças de inércia (lembramos que estas últimas só intervêm caso um sistema de referência móvel esteja sendo utilizado). O segundo procedimento é denominado elaboração do Diagrama de Corpo Livre (DCL) da partícula.

No processo de elaboração do DCL devemos empregar todas as informações disponíveis sobre cada uma das forças que atuam sobre a partícula, em termos de seu módulo, direção e sentido. Evidentemente, algumas destas características podem ser desconhecidas, devendo ser incluídas entre as incógnitas a serem determinadas no processo de resolução do problema.

Conforme vimos na Seção 3.5, as forças de inércia ocorrem em número máximo de quatro. Por outro lado, as forças de interação são muito numerosas, podendo ser geradas por diferentes tipos de interação.

Com o intuito de auxiliar o estudante na elaboração do DCL, apresentamos a seguir as características de alguns dos principais tipos de forças de interação usualmente encontradas em problemas de Engenharia.

3.7.1 - Força gravitacional Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, as forças gravitacionais

exercidas entre duas partículas de massa 1m e 2m são forças de atração. De acordo com a 3a Lei de Newton, elas formam um par de ação-reação e atuam na direção da reta que liga as duas partículas, como ilustrado na Figura 3.7. Os módulos destas forças são dados pela expressão:

221

R

mmKfG , (3.17)

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

103

onde K é a constante universal da gravitação, cujo valor, no Sistema Internacional de Unidades é K=6,6731011 m3 kg1 s2.

Figura 3.7

No caso de uma partícula de massa m, próxima à superfície da Terra, a equação (3.17) é empregada para definir o peso da partícula, sob a forma:

mgW , (3.18)

com:

2T

T

R

Kmg (3.19)

Na equação acima, Tm =5,9761024 kg é a massa da Terra e TR =6,371106 m

é o raio médio da Terra. Introduzindo tais valores em (3.19), obtém-se g 9,825 m.s-

2. Em aplicações que requerem maior precisão na avaliação da aceleração da

gravidade, fatores de correção devem introduzidos, levando em consideração a rotação da Terra e o achatamento do planeta nos pólos. Assim, a Fórmula Internacional da Gravidade, que leva em conta as correções, é:

200000590005288401780499 22 sen,sen,,g [m/s2]

onde designa a latitude em radianos. O valor padrão, adotado internacionalmente para a aceleração da gravidade

ao nível do mar é aquele correspondente à latitude de 45o, sendo o seu valor g=9,81 m/s3.

Gf

1m

2m

R

Gf

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

104

3.7.2 - Força eletrostática As forças exercidas entre duas partículas com cargas elétricas 1q e 2q podem

ser de atração ou repulsão, dependendo dos sinais das cargas das partículas: se as cargas forem de mesmos sinais, as forças serão de repulsão; se as cargas forem de sinais contrários, haverá forças de atração. De acordo com a 3a Lei de Newton, em ambos os casos, as forças aparecem em pares de ação-reação e atuam na direção da reta que liga as duas partículas, como ilustra a Figura 3.8 para o caso de forças de atração.

Segundo a Lei de Coulomb, os módulos das forças elétricas são dados pela expressão:

221

041

R

qqfE

, (3.20)

onde 0 é a constante de permissividade no vácuo, cujo valor, no Sistema

Internacional de Unidades é 0 =8,854181012 C2 N1 m2.

Figura 3.8

Em uma situação mais geral, uma partícula carregada eletricamente com carga q , posicionada em um campo elétrico E

(que, no S.I. tem unidades de N/C)

fica sujeita a uma força elétrica dada por:

EqFE

, (3.21)

sendo esta força tangente à linha de força do campo elétrico que passa pelo ponto instantaneamente ocupado pela partícula, conforme ilustrado na Figura 3.9.

Figura 3.9

2q

Ef

1q

R

Ef

q

E

EF

t

linha de força

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

105

3.7.3 Força magnética Uma partícula carregada eletricamente com carga q, movimentando-se com velocidade instantânea v

em um campo magnético representado pelo vetor indução

magnética, B , fica sujeita a uma força magnética dada por:

BvqFB

. (3.22)

Conforme podemos ver na Figura 3.10, esta força é perpendicular ao plano

definido pelos vetores v

e B

. Observe que B

tem a direção tangente à linha de indução do campo magnético, ao passo que v

é tangente à trajetória da partícula.

No Sistema Internacional de Unidades, a indução magnética B

tem unidades de N/(C·m/s), que recebe a denominação de weber/m2 ou tesla.

Figura 3.10

v

B

t

t

BF

trajetória

linha de indução

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

106

3.7.4 Forças de contato entre superfícies

Consideremos a situação ilustrada na Figura 3.11 na qual é mostrado um bloco posicionado sobre um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal.

A força de contato exercida pelo plano sobre o bloco é designada por f C ,

tendo sua direção definida pelo ângulo em relação ao plano inclinado.

Figura 3.11

A força de contato Cf

pode ser decomposta em duas componentes, conforme ilustrado na figura acima: • a componente perpendicular à superfície de contato, denotada por N

,

denominada componente normal da força de contato. • a componente tangencial à superfície de contato, denotada por f

,

denominada força de atrito. A força normal surge devido à impossibilidade de interpenetração entre os dois corpos em contato e atua no sentido de “obrigar” o bloco a se posicionar sobre o plano inclinado. Por esta razão, a força normal é também denominada força de restrição. Sempre que o movimento de um corpo for restringido por outro, uma força de restrição estará presente. A força de atrito resulta da existência de imperfeições geométricas nas superfícies em contato. Quando os dois corpos tendem a se mover um em relação ao outro, estas imperfeições interagem, resultando numa resistência ao movimento relativo. Do ponto de vista macroscópico, esta resistência é representada pela força de atrito f

.

No caso em que as duas superfícies em contato são perfeitamente lisas, a força de atrito não existe e a força de contato entre as duas limita-se à força normal.

Cf

N

f

W

n

t

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

107

A modelagem teórica do atrito é muito complexa, sendo que as leis que o regem, e que são utilizadas nas aplicações práticas, foram estabelecidas através de estudos experimentais realizados pelo cientista francês Coulomb. A primeira observação a ser feita é a de que, no estudo das leis do atrito, devemos distinguir dois tipos de regime: estático e dinâmico. O atrito estático ocorre quando não há movimento relativo entre as duas superfícies em contato, havendo, porém, outras forças aplicadas que tendem a promover este movimento. Na Figura 3.11, por exemplo, a componente do peso paralela ao plano inclinado está atuando no sentido de puxar o bloco para baixo. As seguintes leis, verificadas experimentalmente, se aplicam ao atrito estático: 1a) a força de atrito estático só aparece quando há tendência de movimento relativo entre as superfícies em contato. Assim, se na situação ilustrada na Figura 3.11, o plano estivesse posicionado horizontalmente, não haveria nenhuma força na direção horizontal favorecendo o movimento relativo entre o bloco e o plano e a força de atrito não estaria presente. 2a) a força de atrito agindo sobre um dos corpos em contato tem sempre o sentido oposto ao do movimento relativo que este corpo tende a apresentar em relação ao outro corpo. Considerando mais uma vez a Figura 3.11, observamos que, como o bloco tem tendência de se mover para baixo, a força de atrito que o plano exerce sobre ele tem o sentido para cima. Evidentemente, devido à 3a Lei de Newton, aparece também uma força de atrito de reação, atuando sobre o plano inclinado, no sentido de puxá-lo para baixo. 3a) o módulo da força de atrito estático não é pré-determinado, podendo assumir um valor qualquer compreendido entre zero e um valor máximo, a partir do qual o atrito não será suficiente para impedir o movimento relativo entre as superfícies. Este valor máximo é dado por: Nf estmax (3.23) O fator est , denominado coeficiente de atrito estático é uma constante adimensional que depende fundamentalmente do acabamento superficial (rugosidade) das superfícies em contato. Quanto mais lisas forem as superfícies, menor será o valor de est . O valor deste coeficiente pode ser reduzido se aplicarmos algum tipo de lubrificante entre as superfícies em contato, o que se faz freqüentemente em numerosas situações práticas com o objetivo de reduzir o atrito. Vale ressaltar que a Equação (3.23) só pode ser utilizada na situação de iminência de movimento relativo entre as superfícies em contato.

Utilizando mais uma vez a situação ilustrada na Figura 3.11, vamos mostrar como podemos determinar o coeficiente de atrito estático realizando uma experiência simples.

Aumentemos lentamente a inclinação do plano, até que o bloco comece a deslizar para baixo e registremos o valor do ângulo de inclinação correspondente do plano, max . Nesta situação de movimento iminente, aplicando a 2ª Lei de Newton para as componentes das forças nas direções t e n, temos:

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

108

• direção t: 0sen maxmax Wf maxsen mgNest • direção n: levando em conta (3.19) ,temos maxcosmgN Combinando as duas equações acima, obtemos:

maxtan est O atrito dinâmico ou cinético passa a existir a partir do momento em que as

duas superfícies possuem movimento relativo uma em relação à outra. Com base em estudos experimentais, as seguintes leis foram estabelecidas para o atrito dinâmico:

1ª) só existe atrito dinâmico quando duas superfícies deslizam, uma em

relação à outra, pressionadas uma contra a outra. 2ª) o sentido da força de atrito dinâmico exercido sobre um corpo A por um

corpo B tem o sentido oposto ao do movimento de A em relação a B. Ao mesmo tempo, a força de atrito exercida sobre B por A tem o sentido oposto ao do movimento de B em relação a A (ver Figura 3.12).

3ª) o módulo da força de atrito dinâmico é dado por:

Nf dindin (3.24)

onde din é uma constante adimensional denominada coeficiente de atrito dinâmico ou de atrito cinético, que depende fundamentalmente do acabamento superficial das superfícies em contato. Geralmente, o valor do coeficiente de atrito dinâmico é menor que o do coeficiente de atrito estático.

Figura 3.12

A

B Bv

Av

f

f

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

109

3.7.5 – Forças exercidas por fluidos De acordo com o Princípio de Arquimedes, um corpo imerso num fluido estará

sujeito a uma força, denominada empuxo, que atua na direção vertical, com sentido de baixo para cima, sendo seu módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Assim, com relação à Figura 3.13 (a), designando por a densidade do fluido (com unidades de massa por volume) e iV o volume imerso do corpo, o empuxo tem seu módulo dado por:

iVgQ (3.25)

Além disso, quando um corpo se movimenta imerso num fluido, sofre também

a ação de forças que se opõem ao seu avanço (ver Figura 3.13(b)). Estas forças são geradas pela viscosidade do fluido e são denominadas forças de arrasto. Sua resultante, denotada por R

, é um vetor que têm o sentido oposto ao da velocidade

do corpo em relação ao fluido, sendo seu módulo dado por:

nCvR , (3.26)

onde C e n são constantes que dependem fundamentalmente da forma do corpo e da viscosidade do fluido.

(a) (b)

Figura 3.13

iV

Q

v

R

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

110

3.7.6 Forças exercidas por cabos flexíveis e barras rígidas Os cabos flexíveis, como linhas, cordas, fios e cordões tem como característica o fato de não oferecerem resistência à flexão nem ao cisalhamento, sendo capazes apenas de transmitir esforços axiais de tração. Desta forma, quando um cabo flexível é conectado a um outro corpo, seu efeito mecânico resume-se à tendência de puxar este último, com uma força que tem a direção do cabo, conforme mostrado na Figura 3.14 (a).

As barras rígidas, por outro lado, são capazes de transmitir três tipos de esforços: momento fletor ( M

), esforço cisalhante (V

) e esforço normal ( N

), como

ilustrado na Figura 3.14(b). Entretanto, quando se considera uma partícula conectada a uma barra rígida, admite-se que a conexão seja feita através de um único ponto. Neste caso, a transmissão de momento fletor é fisicamente impossível, de modo que apenas os esforços normal e cisalhante devem ser considerados.

(a) (b)

Figura 3.14

3.7.7 Forças exercidas por molas Molas são elementos freqüentemente encontrados em diversos tipos de sistemas mecânicos. Devido à sua característica de elasticidade, quando uma mola é deformada por ações externas, surge uma força elástica eF

que atua no sentido de

restituir a mola ao seu estado indeformado, como mostra a Figura 3.15(a).

(a) (b)

Figura 3.15

N

N

N

N

V

V

M

M

x

eF

mola linear

mola não linear

ktg

x

eF

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

111

Dependendo das propriedades mecânicas do material que constitui a mola e de sua geometria, ela pode apresentar comportamento linear ou não linear. Dizemos que uma mola é linear quando se verifica a proporcionalidade entre o seu alongamento e a força elástica, de acordo com a relação: kxFe , (3.27) onde k é denominado constante elástica ou constante de rigidez da mola. No S.I., esta constante tem unidades de [N/m] e seu valor numérico é dado pela inclinação da reta mostrada no diagrama xFe , conforme mostrado na Figura 3.15(b). Na equação (3.23), x designa o alongamento da mola em relação à sua posição indeformada. As molas não lineares obedecem relações xFe não lineares, conforme podemos ver na Figura 3.15(b), sendo estas relações geralmente do tipo exponencial, dadas por: n

e kxF (3.28) onde n é uma constante adimensional. 3.7.8 Forças exercidas por amortecedores viscosos Amortecedores são dispositivos destinados a atenuar o movimento de componentes de sistemas mecânicos, proporcionando dissipação de energia. A denominação amortecedores viscosos tem origem no fato de que, usualmente, a dissipação é obtida pelo movimento de um pistão dentro de um cilindro preenchido com um fluido de alta viscosidade, como o óleo. O funcionamento de um amortecedor viscoso é ilustrado na Figura 3.16(a). Quando as extremidades do amortecedor são deslocadas, surge uma força de amortecimento que é função da velocidade de deslocamento e que se opõe ao movimento. De modo semelhante ao que ocorre para as molas, apresentadas na seção anterior, os amortecedores viscosos também podem possuir comportamento linear ou não linear. No caso de comportamento linear, existe proporcionalidade entre o módulo da velocidade, x , e o módulo da força de amortecimento, aF

, de acordo com a relação:

xcFa , (3.29) onde c é denominado coeficiente de amortecimento viscoso. Esta constante tem, no S.I., unidades de [N.s/m] e seu valor numérico é dado pela inclinação da reta no diagrama xFa , conforme mostrado na Figura 3.16(b).

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

112

(a) (b)

Figura 3.16

Os amortecedores não lineares obedecem relações xFa não lineares, conforme ilustrado na Figura 3.16(b), sendo estas relações geralmente do tipo exponencial, dadas por: n

a xcF (3.30) onde n é uma constante adimensional.

amortecedor não linear

x

aF

amortecedor linear

ctg

x

aF

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

113

3.8 – Resolução numérica das equações do movimento

Uma vez obtidas as equações diferenciais do movimento de uma partícula, usando um sistema de coordenadas previamente selecionado (ver Seção 3.3)), estas equações devem ser resolvidas (integradas), para a obtenção do movimento resultante da partícula, em termos de componentes de velocidade e do vetor posição. Nas situações mais simples, as equações do movimento se apresentam sob a forma de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja solução analítica pode ser obtida empregando as técnicas bem conhecidas do Cálculo Diferencial e Integral. Contudo, na maioria dos casos, as equações diferenciais do movimento são complicadas (muitas vezes não lineares), requerendo técnicas numéricas aproximadas para a sua resolução.

Existem diversos métodos de integração numérica de equações diferenciais, cujos fundamentos e algoritmos podem ser encontrados em textos sobre Cálculo Numérico. De modo geral, estes métodos são baseados no procedimento de discretização da variável tempo em intervalos uniformes ou não uniformes, seguida do emprego de aproximações numéricas das derivadas presentes na equação diferencial. A solução do problema é obtida apenas naqueles instantes de tempo discretos em que o intervalo de tempo de interesse foi fracionado.

Dentre as numerosas variantes de métodos de integração numérica, os mais utilizados são aqueles da família Runge-Kutta, sendo o método de Runge-Kutta de 4ª ordem um dos mais utilizados. Os fundamentos deste método, que será empregado nos exemplos a serem apresentados, são sumarizados a seguir.

Suponhamos que desejemos resolver um sistema de n equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, lineares ou não lineares, expresso sob a seguinte forma:

t,tXFtX , (3.31)

com as condições iniciais: AX 0 , (3.32)

onde F,X e A são vetores pertencentes ao nR , conforme detalhado abaixo:

tx

txtx

tX

n

2

1

na

aa

A2

1

nn

n

n

x,,x,x,tf

x,,x,x,tfx,,x,x,tf

F

21

212

211

(3.33)

Neste ponto, é importante lembrar que todo sistema de equações diferenciais

de ordem qualquer pode ser reformulado em termos de um sistema de equações de primeira ordem da forma (3.33), mediante uma mudança de variáveis conveniente.

Os métodos da família Runge-Kutta são baseados nas aproximações por séries de Taylor, mas apresentam a vantagem de dispensar as avaliações explícitas das derivadas das funções ni x,,x,x,tf 21 , i=1 a n. A idéia básica é utilizar combinações de valores das funções ni x,,x,x,tf 21 para aproximar as funções

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

114

txi , i=1 a n. Estas combinações são então feitas de modo a coincidir, da melhor maneira possível, com expansões em séries de Taylor das funções txi , i=1 a n. A ordem das séries empregadas é que define a ordem do método de Runge-Kutta. O método de Euler corresponde ao método de Runge-Kutta de 1ª ordem.

À medida que a ordem das aproximações aumenta, geralmente obtém-se melhor precisão na integração. Todavia, o esforço computacional também aumenta significativamente. Um equilíbrio conveniente entre a precisão e o esforço computacional é proporcionado pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem, cujo algoritmo é sumarizado a seguir:

Para obter uma solução aproximada de 4ª ordem do sistema de equações (3.33) no intervalo fT;T0 , este intervalo é dividido em um número p de sub-

intervalos de mesma largura h:

p

TTh f 0

Em seguida, são geradas iterativamente as seqüências:

iiiiii KKKKh

XX 43211 226

(3.34)

htt ii 1 , i = 0,1, ..., p-1 com:

iii X,tFK 1 (3.35.a)

iiii K

hX,

htFK 12 22

(3.35.b)

iiii K

hX,

htFK 23 22

(3.35.c)

iiii KhX,htFK 34 (3.35.d)

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

115

3.9 - Quantidade de movimento linear da partícula. Princípio do impulso quantidade de movimento linear. Conservação do momento linear.

A quantidade de movimento linear, ou momento linear de uma partícula de massa m, é definida como sendo o vetor: vmL

(3.36)

Sendo m uma quantidade escalar positiva, concluímos que L

é um vetor que

possui a mesma direção (tangente à trajetória) e o mesmo sentido que o vetor velocidade, conforme mostra a Figura 3.17. No S.I., o momento linear tem unidades de smkg ou sN .

Figura 3.17

Substituindo, na equação (3.1) a relação dtvd

a

, a 2a Lei de Newton pode ser

expressa sob a forma:

dtvd

mF

Admitindo, por enquanto, que m seja constante, e levando em conta a definição (3.53), a equação acima pode ser escrita segundo:

vmdtd

F

,

ou:

dtLd

F

(3.37)

A equação (3.37) é uma forma alternativa de expressar a 2a Lei de Newton. Ela traduz o Princípio do Momento Linear, ou 1º Princípio de Euler, e nos mostra que:

a) a resultante das forças que atuam sobre uma partícula é igual taxa de variação, no tempo, de sua quantidade de movimento linear.

t

v

L

P

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

116

b) se a resultante das forças que atuam sobre a partícula for nula, seu vetor quantidade de movimento, e portanto, seu vetor velocidade, serão constantes. Neste caso, dizemos que há conservação do momento linear. Isto significa que a partícula permanecerá em repouso ou estará animada de movimento retilíneo uniforme. Este resultado é também estabelecido pela 1a Lei de Newton.

Multiplicando ambos os lados de (3.37) por dt e integrando a equação

resultante entre dois instantes de tempo quaisquer 1t e 2t , temos:

2

1

12

t

t

dtFLL

, (3.38)

ou: LILL 2112

, (3.39)

onde o vetor:

2

1

21

t

t

L dtFI

(3.40)

é o chamado impulso linear da força resultante. A equação (3.38) expressa o Princípio do Impulso–Quantidade de Movimento Linear. Sua utilização é particularmente conveniente na resolução de problemas envolvendo explicitamente o tempo. 3.10 - Quantidade de movimento angular da partícula. Princípio do

impulso-quantidade de movimento angular. Conservação da quantidade de movimento angular.

A quantidade de movimento angular ou momento angular de uma partícula de massa m, em relação a um dado ponto O, designada por OH

, é definida como

sendo o momento do vetor quantidade de movimento linear, L

, em relação ao ponto O. Sendo r

o vetor posição da partícula em relação ao ponto O, indicado na Figura

3.18, OH

é dado pela expressão:

vmrLrHO

(3.41)

No S.I., o momento angular tem unidades de sm.kg 2 .

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

117

Figura 3.18

Derivando a equação (3.41) em relação ao tempo, temos:

amrvmvvmrvmrHO

Levando em conta que a primeira parcela do lado direito da equação acima é nulo (produto vetorial de dois vetores paralelos) e que, de acordo com a 2a Lei de Newton, amF

, a equação acima fica:

FrHO

,

ou:

OO MH , (3.42)

onde FrMO

representa o momento resultante, em relação ao ponto O, das

forças que atuam sobre a partícula. A equação (3.42) mostra que o momento das forças que atuam sobre a

partícula, em relação ao ponto O, se iguala à taxa de variação, no tempo, do momento angular da partícula em relação a O. Este resultado é conhecido como Princípio do Momento Angular ou 2º Princípio de Euler. Quando não houver nenhuma força atuando sobre a partícula ou quando a

resultante das forças tiver a direção OP, teremos 0 OM

e, portanto, 0OH

.

Isto implica ainda que cteHO

. Neste caso, dizemos que há conservação do momento angular.

Multiplicando ambos os lados da equação (3.42) por dt e integrando a equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e 2t , obtemos:

t

v

LP

x y

z

O

r

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

118

2

1

12

t

tOOO dtMHH

, (3.43)

ou:

AOO IHH 2112

, (3.44)

onde o vetor:

dtMIt

tO

A 2

1

21

(3.45)

é o chamado impulso angular da força resultante, em relação ao ponto O. A equação (3.43) expressa o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Angular. 3.11 – Métodos de energia Nas seções anteriores deste capítulo, as equações do movimento de uma partícula foram formuladas a partir da 2ª Lei de Newton, que é expressa em termos das grandezas vetoriais força resultante, F

, e aceleração, a

. Nesta seção e nas

seguintes, estudaremos um outro tipo de métodos destinados à análise dinâmica de uma partícula, que são, em sua essência, equivalentes à 2ª Lei de Newton mas que, ao invés de operarem com grandezas vetoriais, trabalham com grandezas escalares que são o trabalho de uma força e a energia. Estes métodos são usualmente denominados métodos de energia..

3.11.1 - Trabalho de uma força. Com relação à situação ilustrada na Figura 3.19, o trabalho que uma força qualquer, F

, realiza durante um deslocamento elementar rd

de seu ponto de

aplicação é definido pelo seguinte produto escalar:

cosrdFrdFdW F mN. (3.46)

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

119

rdnF

tF

t

X

Y

s

ds

nC

1

2

O'O

Figura 3.19

Observando ainda que cosFFt é a componente da força na direção

tangente à trajetória e que rdds

, a equação (3.46) pode ser escrita sob a forma:

dsFdW t

F (3.47)

Observamos, portanto, que apenas a componente tangencial da força F

realiza trabalho.

De acordo com (3.46), a interpretação de sinais para FdW é a seguinte: FdW > 0 cos > 0. Neste caso, é um ângulo agudo (< 90o). Isto

significa que a componente tangencial de F

tem o mesmo sentido do vetor deslocamento elementar rd

(ou do vetor velocidade).

FdW = 0 = 90o. Neste caso a força F

não tem componente tangencial.

FdW < 0 cos < 0. Nesta situação, é um ângulo obtuso (> 90o) e a

componente tangencial de F

tem sentido oposto ao de rd

ou do vetor velociadade v

.

O trabalho da força F

, realizado durante o movimento de seu ponto de

aplicação entre duas posições 1P e 2P , indicadas na Figura 3.19, é dada pela soma algébrica (com os devidos sinais) dos trabalhos elementares:

2

1

2

1

21

s

st

r

r

F dsFrdFW

(3.48)

Decompondo os vetores F

e rd

em suas componentes cartesianas segundo:

kFjFiFF zyx

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

120

kdzjdyidxrd

,

as equações (3.46) e (3.48) conduzem às seguintes expressões para o trabalho da força F

:

dzFdyFdxFdW zyx

F (3.49.a)

2

121 dzFdyFdxFW zyx

F (3.49.b)

Vale observar que o trabalho de uma força, expresso sob a forma (3.48)

corresponde, matematicamente, a uma integral de linha, ou integral curvilínea, calculada sobre a curva representando a trajetória da partícula.

3.11.2 – Potência de uma força

Em diversas situações práticas de Engenharia, é importante quantificar a rapidez com que uma dada força realiza trabalho. Esta rapidez é caracterizada pela potência instantânea, definida da seguinte forma:

dtdW

PF

F

W

sm

N. (3.50)

Introduzindo (3.46) nesta última equação, temos:

vFdtrd

FP F (3.51)

3.12.3 - Princípio do trabalho-energia cinética Partindo das equações de movimento para uma partícula de massa m, obtida por aplicação da 2ª Lei de Newton para componentes na direção tangente à trajetória (ver equação (3.5.a)), e empregando a regra da cadeia da derivação, podemos escrever:

dsdv

mvdtds

dsdv

mdtdv

mFt

Multiplicando ambos os lados dessa última equação por ds e procedendo à integração na coordenada s , entre duas posições 1 e 2, temos:

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

121

21

22

2

121

21

mvmvdsFs

st (3.52)

Levando em conta a equação (3.48) reconhecemos, no lado esquerdo da equação acima, o trabalho da força resultante que atua sobre a partícula:

2

121

s

st

F dsFW (3.53)

Por outro lado, a grandeza:

,mvT 2

21

(3.54)

é definida como sendo a energia cinética da partícula.

Com estas definições, a equação (2.52) pode ser escrita sob a forma:

1221 TTW F (3.55)

A equação (3.55) expressa o Princípio do Trabalho-Energia Cinética (PTE), que estabelece que “o trabalho da força resultante atuando sobre a partícula iguala-se à variação da energia cinética da partícula”. Em conseqüência, pode-se afirmar que se o trabalho for positivo durante o movimento da partícula entre as posições 1 e 2, a energia cinética da partícula (e, portanto, sua velocidade) será maior na posição 2 que na posição 1. Da mesma forma, se o trabalho entre as posições 1 e 2 for negativo, a energia cinética da partícula será menor na posição 2 que na posição 1. As seguintes observações devem ser destacadas:

De acordo com o desenvolvimento apresentado, nota-se que o PTE foi obtido a partir da 2a Lei de Newton, o que faz com que estes dois princípios sejam equivalentes na sua essência. Entretanto, do ponto de vista da utilização prática, há uma importante diferença entre ambos: a 2a Lei de Newton é expressa em termos de grandeza vetoriais (força e aceleração ou momento linear), ao passo que o PTE é baseado em grandezas escalares (trabalho e energia cinética). O uso do PTE pode conduzir à resolução mais cômoda de problemas, sobretudo aqueles envolvendo conjuntos de partículas, uma vez que este princípio pode ser aplicado globalmente ao conjunto, bastando para isso que se adicionem os trabalhos das forças resultantes sobre cada partícula, o mesmo podendo ser feito com suas energias cinéticas. Este procedimento será abordado no próximo capítulo.

De acordo com a formulação desenvolvida, nota-se que apenas as forças que realizam trabalho são consideradas no PTE. Caso se deseje, por exemplo, determinar uma força que não realiza trabalho (uma força normal à trajetória, por exemplo), o PTE não é suficiente, devendo ser combinado com a 2a Lei de Newton.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

122

3.11.4 - Forças conservativas. Energia Potencial Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho, realizado durante o deslocamento de seu ponto de aplicação entre duas posições quaisquer 1 e 2, for independente do caminho percorrido entre estas duas posições, sendo determinado apenas pelas coordenadas destas duas posições (ver Figura 3.20).

Figura 3.20

Lembrando que o trabalho de uma força é uma integral de linha, do Cálculo Diferencial sabemos que a condição necessária e suficiente para que o trabalho seja independente do caminho percorrido é que a integral de linha computada em um percurso fechado qualquer seja nula, ou seja: 0 dzFdyFdxFrdF zyx

(3.56)

Outro conjunto de condições necessárias e suficientes para que uma força seja conservativa é o seguinte:

x

F

yF yx

(3.57.a)

x

Fz

F zx

(3.57.b)

y

Fz

F zy

(3.57.c)

Além disso, o trabalho de uma força conservativa pode ser expresso como o diferencial total de uma função escalar, que depende apenas das coordenadas espaciais. Assim, o trabalho elementar de uma força conservativa F

pode ser

expresso segundo: z,y,xdVdW F , (3.58)

1

2

P

F

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

123

e o trabalho realizado entre duas posições 1 e 2 é dado por:

222111

2

121

,,,, zyxVzyxVrdFWr

r

F

(3.59)

A função zyxV ,, é chamada função potencial ou energia potencial.

Desenvolvendo a equação (3.58), podemos escrever, em termos de coordenadas cartesianas:

dzzV

dyyV

dxxV

dzFdyFdxF zyx

Sendo os incrementos dx , dy e dz considerados arbitrários e independentes, a última equação acima conduz às relações para as componentes cartesianas de uma força conservativa:

xV

Fx

(3.60.a)

yV

Fy

(3.60.b)

zV

Fz

, (3.60.c)

Desta forma, uma força conservativa pode ser expressa da seguinte forma, em termos da energia potencial:

kzV

jyV

ixV

F

(3.61)

Introduzindo o operador gradiente (operador del), definido segundo:

kz

jy

ix

, (3.62)

a equação (3.61) pode ser escrita sob a forma mais compacta: VF

(3.63)

A equação (3.63) mostra que, uma vez conhecida a função potencial zyxV ,, , as componentes da força conservativa associada a esta função podem ser calculadas

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

124

simplesmente computando as derivadas parciais de zyxV ,, em relação às coordenadas espaciais. Inversamente, dadas as componentes de uma força conservativa, podemos determinar a função potencial a ela associada a partir da equação (3.59):

2

1111222 dzFdyFdxFz,y,xVz,y,xV zyx , (3.64)

onde, geralmente, um valor arbitrário é atribuído a 111 ,, zyxV . Dois exemplos importantes de forças conservativas são a força peso e a força elástica gerada por molas lineares ou não lineares, que examinamos a seguir. • Força peso Consideremos a situação mostrada na Figura 3.21, em que uma partícula de massa m é movimentada de um ponto 1 a um ponto 2, ambos localizados próximos da superfície da Terra, percorrendo uma trajetória arbitrária. Nesta mesma figura, designamos por 1z e 2z , as elevações dos pontos 1 e 2, respectivamente, medidas em relação a um nível horizontal de referência escolhido arbitrariamente.

Figura 3.21

Estamos interessados em computar o trabalho realizado pela força peso durante o percurso da partícula entre os pontos 1 e 3. Para tanto, utilizamos as seguintes representações em coordenadas cartesianas:

kmgW

kdzjdyidxrd

Introduzindo as duas expressões acima na equação (3.49.b), temos:

2

2

1121

mgzmgzdzmgW W (3.65)

x

y

z 2

1

nível de referência 1z 1z

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

125

A expressão acima mostra que o trabalho da força peso independe do caminho percorrido entre as posições 1 e 2 e depende apenas da diferença entre as elevações destes dois pontos. Isto demonstra que a força peso é uma força conservativa. Se definirmos a energia potencial gravitacional como sendo: mgzzVg , (3.66)

o trabalho da força peso pode ser expresso sob a forma: ggg

W VzVzVW 2121 (3.67)

• Força elástica de molas lineares e não lineares Para uma mola de comportamento não linear, mostrada na Figura 3.22(a), a força de restituição elástica é dada pela equação (3.28), repetida abaixo: n

e xkF , onde x é o alongamento, medido em relação à posição indeformada da mola. O trabalho da força elástica, realizado quando a mola é alongada de 1x a 2x é obtido a partir de (3.49.b):

1

11

2 11

112

121

nnx

x

nF xkn

xkn

dxxkW e

(3.68)

A equação acima mostra que o trabalho da força elástica independe do caminho percorrido entre as posições 1 e 2 e depende apenas dos alongamentos da mola nestas duas posições. Isto demonstra que a força de restituição elástica é uma força conservativa. Observe que o trabalho da força elástica é dado pela área sob a curva xFe , conforme indicado na Figura 3.22(b). Se definirmos a energia potencial elástica como sendo:

1

11

n

e xkn

xV , (3.69)

o trabalho da força elástica pode ser expresso sob a forma:

eeeeF VxVxVW 2121

(3.70)

Os resultados apresentados podem ser particularizados para o caso de molas lineares, bastando fazer n=1 nas equações acima.

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

126

(a) (b) Figura 3.22

3.11.5 - Princípio da conservação da energia mecânica

Partindo da equação (3.55), e admitindo que sobre a partícula atuem simultaneamente forças conservativas e não conservativas, escrevemos:

122121 TTWW ncFcF (3.71)

Onde cFW 21 designa o trabalho da resultante das forças conservativas e ncFW 21 designa o trabalho da resultante das forças não conservativas. Associando

às forças conservativas suas respectivas funções potenciais, escrevemos, em conformidade com (3.59):

2121 VVW cF (3.72)

Introduzindo (3.72) em (3.71), obtemos:

12112221 EEVTVTW cnF

, (3.73) onde a quantidade: VTE (3.74) é definida como sendo a energia mecânica da partícula. A equação (3.73) mostra que o trabalho da resultante das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica da partícula, de modo que:

Se 021 FncW , E diminui (energia é dissipada).

Se 021 FncW , E aumenta (energia é introduzida no sistema). Nos casos em que todas as forças que realizam trabalho são conservativas, ou

quando as forças não conservativas têm resultante nula, de (3.73) decorre:

x

eF x

eF

1x 2x

D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA

127

02121 EEW cnF 21 EE (3.75)

Neste caso ocorre a conservação da energia mecânica do sistema. Uma observação importante a ser feita em relação ao uso dos princípios do trabalho-energia cinética e da conservação da energia mecânica diz respeito à possibilidade de utilizar estes princípios tanto em relação a sistemas de referência inerciais quanto a sistemas não inerciais.

Com efeito, na Seção 3.4 verificamos que a 2ª Lei de Newton pode ser utilizada tanto para observadores inerciais quanto não inerciais, bastando, no segundo caso, que se considerem, nos diagramas de corpo livre, além das forças de interação, as forças de inércia. Como os princípios do trabalho-energia cinética e da conservação da energia mecânica são derivados diretamente da 2ª Lei de Newton, podemos concluir que estes princípios valem tanto para sistemas inerciais quanto não inerciais. No caso do uso de sistemas não inerciais, devemos computar os trabalhos ou as energias potenciais das forças de interação e das forças de inércia.

3.12 - Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt

Brace College Publishers, 1998. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, 1977. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999.

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 4

Dinâmica do Sistema de Partículas

 

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

128

CAPÍTULO 4

DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

4.1 - Introdução No Capítulo 3 estudamos a dinâmica de uma única partícula isolada. Neste capítulo estaremos considerando a dinâmica de um conjunto formado por um número qualquer n de partículas que interagem umas com as outras. Diversos problemas práticos podem ser tratados como sendo problemas envolvendo sistemas discretos, ou seja, contendo um número finito de partículas. Podemos citar, por exemplo, os problemas tratando do movimento de corpos celestes e de satélites artificiais. Além disso, os conceitos pertinentes aos sistemas discretos de partículas podem ser estendidos aos sistemas contínuos, que podemos imaginar serem constituídos de um número infinito de partículas. Como exemplos importantes de sistemas contínuos em Engenharia Mecânica, podemos mencionar os fluidos e os corpos rígidos. Estes últimos serão tratados em capítulos subseqüentes de nosso curso. 4.2 - Forças externas e internas. Forças efetivas A Figura 4.1 mostra um sistema contendo n partículas nPPP ...,,, 21 , com massas nmmm ...,,, 21 , respectivamente. As posições das partículas em relação ao sistema de referência Oxyz são determinadas pelos vetores posição nr...,r,r

21 ,

respectivamente. As forças atuantes em cada uma das partículas podem ser divididas em dois grupos:

Forças externas: são aquelas, exercidas sobre as partículas do sistema, por outros corpos que não pertencem ao sistema considerado. Com relação à Figura 4.1, designamos por iF

, i = 1 a n, a resultante das forças externas

que atuam sobre a partícula iP . Forças internas: são aquelas que resultam da interação entre as partículas

que formam o sistema. Designaremos por ijf

a força interna exercida sobre

a partícula iP pela partícula jP e jif

designa a força exercida sobre jP por

iP . Devemos observar que as forças internas e externas podem representar ações

de diversas naturezas físicas (forças elétrostáticas, magnéticas, gravitacionais, de contato, etc.).

No que diz respeito às forças internas, a 3a Lei de Newton (ver Seção 3.2) estabelece que:

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

129

jiij ff

(4.1)

e que estas duas forças têm a direção da reta que liga iP e jP .

Figura 4.1

Para cada uma das n partículas, escrevemos a 2a Lei de Newton sob a forma:

ii

n

ijj

iji rmfF

1

i = 1 a n, (4.2)

onde

n

ijj

ijf1

é a resultante das forças internas atuantes sobre iP .

Adicionando as n equações do tipo (4.2), obtemos:

n

i

n

iii

n

ijj

ij

n

ii rmfF

1 111

(4.3)

A segunda parcela do lado esquerdo de (4.3) representa a resultante de todas as forças internas atuantes em todas as partículas do sistema. Levando em conta a equação (4.1), que estabelece que a soma das forças internas é nula para cada par de ação-reação, concluímos que a resultante de todas as forças internas é nula, ou seja:

Y

X

O

ir

Z

1r

jr

nr

11 mP

ii mP

jj mP

nn mP

ijf

jif

iF

jF

ji rr

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

130

n

i

n

ijj

ijf1 1

0

, (4.4)

de modo que a equação (4.3) fica:

n

iii

n

iii

n

ii amrmF

111

(4.5)

Tomemos agora os momentos, em relação a O, de todos os vetores figurando em ambos os lados de (4.2):

iii

n

jijiii rmrfrFr

1

, i = 1 a n (4.6)

Adicionando as n equações do tipo (4.6), temos a relação:

n

iiii

n

i

n

jiji

n

iii rmrfrFr

11 11

(4.7)

Vamos mostrar que o momento resultante de todas as forças internas em relação ao ponto O, representado pela segunda parcela do lado esquerdo de (4.7) é nulo, ou seja:

01 111

n

i

n

jiji

n

jij

n

ii frfr

. (4.8)

Para tanto, basta mostrar que os momentos resultantes de cada par de forças internas em relação ao ponto O é nulo. Considerando a situação apresentada na Figura 4.2, o momento resultante do par de forças internas jiij f,f

em relação a O é

dado por: jijiji

ijO frfrM

Levando em conta (4.1), temos: jijiijjiji

ijO frrfrfrM

Na Figura 4.2 observamos que os vetores ji rr

e jif

são vetores paralelos,

de modo que 0 jiji frr

.

Como o momento em relação a O é nulo para cada par de forças internas jiij ff

, , podemos concluir que o momento resultante de todas as forças internas, em

relação a O, é nulo. Fica assim demonstrada (4.8), de modo que (4.7) assume a forma:

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

131

n

iiii

n

iiii

n

iii amrrmrFr

111

(4.9)

Figura 4.2

As equações (4.5) e (4.9), em conjunto, estabelecem a equipolência entre dois sistemas de vetores: o sistema constituído pelos vetores das resultantes das forças externas iF

, i = 1 a n e o sistema constituído pelos vetores iiam

. Estes últimos

serão denominados forças efetivas. É importante lembrar que dois sistemas de vetores são ditos equipolentes

quando ambos têm o mesmo vetor resultante e o mesmo momento resultante, em relação a um ponto qualquer O. Além disso, a igualdade dos momentos em relação a um dado ponto O implica a igualdade dos momentos em relação a todo e qualquer outro ponto do espaço. Isto pode ser demonstrado com o auxílio da Figura 4.3, onde mostraremos que se (4.9) é válida para os momentos em relação a O, também será válida para os momentos tomados em relação a um outro ponto qualquer A.

Y

X

O

ir

Z

jr

ii mP

jj mP

ijf

jif

ji rr

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

132

Figura 4.3

Partindo da igualdade dos momentos em relação ao ponto O, expressa através da equação (4.9), e introduzindo a relação: Aii rrr

,

obtemos:

ii

n

iAii

n

iAi amrrFrr

11

n

iiiAii

n

ii

n

iiAi

n

ii amramrFrFr

1111

Levando em conta a relação (4.5), temos:

n

iiiA

n

iiii

n

iiiAi

n

ii amramramrFr

1111

,

donde:

ii

n

iii

n

ii amrFr

11

Y

X

O

ir

Z

Ar

iP iF

ir

A

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

133

Esta última equação, similar a (4.9), mostra que há também a igualdade dos momentos resultantes das forças externas e das forças efetivas, tomados em relação ao ponto A. 4.3 - Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular

do sistema de partículas. A quantidade de movimento linear (ou momento linear) do sistema de partículas é definida como sendo a soma vetorial das quantidades de movimento lineares de cada uma das partículas que compõem o sistema, ou seja:

n

iiivmL

1

sm

kg (4.10)

De forma análoga, a quantidade de movimento angular (ou momento angular) do sistema de partículas em relação a O é definida como sendo a soma dos vetores quantidade de movimento angulares das partículas em relação ao mesmo ponto O:

ii

n

iiO vmrH

1

s

mkg

2

(4.11)

Derivando (4.10) em relação ao tempo, temos:

n

i

n

iiiii amvmL

1 1

Levando em conta a relação (4.5), esta última equação conduz a:

n

iiFL

1

, (4.12.a)

ou, de forma simplificada:

FL , (4.12.b)

onde

n

iiFF

1

designa a resultante de todas as forças externas.

A equação (4.12.b) nos mostra que a resultante das forças externas atuantes sobre as partículas do sistema se iguala à taxa de variação temporal da quantidade de movimento linear do sistema. O leitor deve observar a semelhança entre esta equação e a equação (3.54), que expressa o 1º Princípio de Euler para uma única partícula. Assim, podemos interpretar a equação (4.12.b) como sendo o 1º Princípio de Euler para os sistemas de partículas.

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

134

Caso a resultante das forças externas seja nula, de (4.12.b) decorre:

cteLL

0 (4.13) Neste caso, (4.13) expressa a conservação da quantidade de movimento linear do sistema de partículas. Derivando (4.11) em relação ao tempo, temos:

n

iiii

n

iiii

n

iiii

n

iiiiO amrvmvvmrvmrH

1111

Levando em conta (4.9), esta última equação se escreve:

O

n

iiiO MFrH

1, (4.14)

onde OM

n

iii Fr

1

designa o momento resultante de todas as forças externas,

em relação ao ponto O. A equação (4.14) indica que o momento resultante das forças externas em

relação ao ponto O é igual à taxa de variação, no tempo, da quantidade de movimento angular do sistema em relação ao ponto O. Podemos observar a semelhança entre a equação (4.14) e a equação (3.59), sendo que esta última expressa o 2º Princípio de Euler para uma partícula isolada. Assim, (4.14) pode ser considerada a expressão do 2º Princípio de Euler para o sistema de partículas.

Quando o momento resultante das forças externas em relação a O é nulo, temos:

cteHH OO

0 (4.15) Neste caso, dizemos que há Conservação da Quantidade de Movimento Angular do sistema. 4.4 - Movimento do centro de massa do sistema de partículas Com relação à Figura 4.4, definimos o centro de massa do sistema de partículas como sendo o ponto G do espaço, cuja posição é dada por:

n

iiin

ii

G rm

m

r1

1

1 , (4.16.a)

ou:

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

135

n

iiiG rm

Mr

1,

1 (4.16.b)

onde

n

iimM

1 é a massa total do sistema de partículas.

Figura 4.4

Observamos, nas equações (4.16), que o vetor posição do centro de massa nada mais é que a média ponderada dos vetores posição das partículas do sistema, sendo tomados como pesos as massas das partículas. Devemos notar que a posição do centro de massa não coincide necessariamente, com a posição de uma das partículas do sistema. Vale também observar que, à medida que as partículas do sistema se movimentam, a posição do centro de massa varia, de modo que a G podemos associar um vetor velocidade, Gv

,

e um vetor aceleração, Ga

, que podem ser obtidos em termos das velocidades e acelerações das partículas derivando sucessivamente (4.16.b) em relação ao tempo:

n

iiiG vm

Mv

1

1 (4.17)

n

iiiG am

Ma

1

1 (4.18)

Y

X

O

2r

Z

1r

Gr

nr

11 mP

22 mP

nn mP

G

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

136

Como veremos a seguir, o centro de massa apresenta algumas propriedades que tornam muito conveniente sua introdução no estudo da dinâmica dos sistemas de partículas.

Com base na equação (4.10), podemos escrever (4.17) sob a forma:

LM

vG

1 ,

donde concluímos que o vetor quantidade de movimento linear do sistema de partículas, L

, anteriormente definido através da equação (4.10), pode também ser

expresso segundo: GvML

(4.19)

Derivando (4.19) em relação ao tempo e fazendo uso de (4.12.a), temos:

n

iGi aMF

1

,

ou, de forma simplificada:

GaMF

, (4.20)

onde F

designa a resultante das forças externas.

A equação (4.20) pode ser interpretada como sendo a equação do movimento do centro de massa. Ela indica que o ponto G se movimenta como se ele fosse uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema bem como todas as forças externas atuantes sobre as partículas do sistema. 4.5 - Quantidade de movimento angular do sistema de partículas em

relação ao centro de massa

Na Figura 4.5 são indicados dois sistemas de referência: o sistema OXYZ, suposto fixo, e o sistema móvel ''' zyGx , com origem no centro de massa dos sistema da partículas. O sistema ''' zyGx é denominado sistema de referência baricêntrico. Admitiremos que as direções dos eixos 'Gx , 'Gy e 'Gz permaneçam invariáveis. Assim, o sistema de referência baricêntrico estará animado de movimento de translação e sua origem terá, em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, velocidade e aceleração dadas pelas equações (4.17) e (4.18), respectivamente.

Os vetores ir

e iv

designam, respectivamente, o vetor posição e o vetor velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência baricêntrico.

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

137

Figura 4.5

Definimos a quantidade de movimento angular do sistema de partículas em

relação ao sistema baricêntrico como sendo a soma vetorial dos momentos, em relação ao centro de massa, dos vetores quantidade de movimento linear, relativos a sistema baricêntrico, ou seja:

n

iiiiG vmrH

1

(4.21)

Derivando (3.21) em relação ao tempo, temos:

n

iiii

n

iiiiG vmrvmrH

11

O

ir

Y

X

Z

ii mPy

x

z

ir

Gr

iv

G

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

138

Lembrando que ii vr e 'ii av

, a equação acima torna-se:

n

iiiiG amrH

1

(4.22)

Podemos ainda escrever a seguinte expressão envolvendo a aceleração da

partícula iP em relação ao sistema OXYZ, ia

, e a aceleração desta partícula em relação ao sistema baricêntrico, ia

:

Gii aaa

, donde:

Gii aaa

, (4.23)

Introduzindo (4.23) em (4.22), obtemos:

G

n

iii

n

iiiiG armamrH

11 (4.24)

Desenvolveremos, a seguir, cada um dos termos que se apresentam do lado direito da equação (4.24).

Seguindo o mesmo desenvolvimento que conduziu à equação (4.9), para o primeiro termo, escrevemos:

Gi

n

ii

n

iiii MFramr

11, (4.25)

onde GM

designa o momento resultante das forças externas em relação ao centro

de massa. No que diz respeito ao segundo termo, com base na definição da posição do

centro de massa, dada por (4.16.b), escrevemos:

01

G

n

iii rMrm

, (4.26)

Este resultado decorre do fato que Gr

indica a posição do centro de massa em

relação à origem do sistema ''' zyGx , ou seja, 0 GGrG

.

Assim, levando em conta (4.25) e (4.26), a equação (4.24) torna-se:

GG MH (4.27)

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

139

É importante observar a similaridade entre as relações (4.14) e (4.27). Esta última estabelece que o momento resultante das forças externas em relação ao centro de massa se iguala à taxa de variação, com o tempo, da quantidade de movimento angular em relação em sistema de referência baricêntrico. Concluímos que relações deste tipo podem ser escritas considerando quer um ponto fixo, O, quer o centro de massa, G. Contudo, estas relações não se aplicam se considerarmos os momentos das forças externas e as quantidades de movimento angulares tomadas em relação a um ponto qualquer, movimentando-se arbitrariamente.

Vamos agora demonstrar que a definição adotada para a quantidade de movimento angular, expressa por (4.21), é idêntica à seguinte definição alternativa:

n

iiiiG vmrH

1

(4.28)

Devemos observar que, nesta nova definição, a quantidade de movimento

angular é dada pela soma dos momentos, em relação a G, das quantidades de movimento lineares em relativas ao sistema fixo OXYZ. Em (4.28), iv

representa a

velocidade da partícula iP em relação ao sistema fixo OXYZ, ao passo que, em (4.21), 'iv

é a velocidade de iP em relação ao sistema de referência baricêntrico

''' zyGx . Partindo de (4.28), e introduzindo a seguinte relação entre as velocidades absoluta e relativa da partícula iP : Gii vvv

,

obtemos:

G

n

iiiii

n

iiG vrmvmrH

11

Levando em conta a equação (4.26), a equação acima torna-se:

ii

n

iiG vmrH

1

Fica assim demostrado que a relações (4.28) e (4.21) são idênticas.

Uma vez definidos OH

e GH

, através das equações (4.11) e (4.28), respectivamente, buscaremos, em seguida, obter uma relação entre estas duas quantidades. Partindo da equação (4.11) e empregando a relação iGi rrr

(ver Figura 4.5), escrevemos:

n

iiii

n

iiiG

n

iiiiG

n

iiiiO vmrvmrvmrrvmrH

1111

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

140

Levando em conta as equações (4.17) e (4.28), a última equação acima pode ser escrita sob a forma: GGGO HvMrH

(4.29.a)

Considerando ainda a relação (4.19), a equação (4.29.a) pode ser escrita segundo:

GGO HLrH

(4.29.b) 4.6 - Princípio do impulso-quantidade de movimento linear para o sistema

de partículas. Conservação da quantidade de movimento linear. Integrando a equação (4.12) entre dois instantes de tempo 1t e 2t , obtemos a seguinte relação:

2

1

12

t

t

dtFLL

, (4.30)

ou: LILL 2112

, (4.31)

onde:

LI 21

2

1

t

t

dtF

(4.32)

é o impulso linear das forças externas. As equações (4.30) e (4.31) expressam o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Linear para o sistema de partículas. 4.7 - Princípio do impulso-quantidade de movimento angular para o

sistema de partículas. Conservação da quantidade de movimento angular

Integrando as equações (4.14) e (4.27) entre dois instantes de tempo 1t e 2t , obtemos, respectivamente, as seguintes equações:

2

112

t

tOOO dtMHH

(4.33)

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

141

2

112

t

tGGG dtMHH

(4.34)

ou: O

OO IHH 2112

(4.35)

G

GG IHH 2112

(4.36)

Nestas duas últimas equações, são definidos o impulso angular das forças

externas, em relação ao ponto O:

OI 21

2

1

t

tO dtM

(4.37)

e o impulso angular das forças externas, em relação ao ponto G:

GI 21

2

1

t

tG dtM

(4.38)

As equações (4.35) e (4.36) expressam o Princípio do Impulso-Quantidade de

Movimento Angular para os sistemas de partículas. As equações (4.30.a) e (4.33), em conjunto, podem ser interpretadas com o

auxílio da Figura 4.6, que mostra que o sistema de vetores quantidade de movimento no instante 1t e os vetores impulso linear e angular das forças externas formam um sistema de vetores equipolente ao sistema de vetores quantidade de movimento no instante 2t .

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

142

Figura 4.6

A mesma interpretação pode ser dada ao conjunto das equações (4.30.a) e (4.34), considerando os sistemas de quantidade de movimento e impulsos em relação ao centro de massa do sistema de partículas. 4.8 - Princípio do trabalho-energia cinética para os sistemas de partículas. Definimos a energia cinética do sistema de partículas como sendo a soma das energias cinéticas de todas as partículas que formam o sistema, ou seja:

n

iii

n

iiii vmvvmT

1

2

1 21

21

, (4.39)

onde iv

representa a velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência

fixo. Aqui, é mais uma vez interessante fazer intervir o movimento do centro de massa. Para tanto, introduzimos, em (4.39), a relação Gii vvv

, obtendo:

Y

X

O

Z

111vm

122vm

1nnvm

Y

X

O

Z

211vm

222vm

2nnvm

+

=

Y

X

O

Z

2

1

t

tOdtM

2

1

t

t

dtF

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

143

Gi

n

iGii vvvvmT

1 21

GG

n

iiG

n

iiiii

n

ii vvmvvmvvm

111 21

21

(4.40)

Na equação acima, temos que:

n

iiivm

10

. (4.41)

Esta última relação pode ser verificada derivando a equação (4.26) em relação

ao tempo. Assim, a equação (4.40) pode ser escrita sob a forma:

n

iiiG vmMvT

1

22

21

21

(4.42)

A expressão acima indica que, alternativamente à forma (4.39), a energia

cinética do sistema de partículas pode ser expressa como a soma da “energia cinética

do centro de massa”, dada pelo termo 2

21

GMv e a “energia cinética em relação ao

centro de massa”, dada por

n

iiivm

1

2

21

.

Uma vez definida a energia cinética do sistema de partículas, lembramos que, para cada uma das partículas do sistema, o Princípio do Trabalho-Energia Cinética permite escrever:

2121 i

i vm iW 21 2221 i

i vm i = 1,2,...,n (4.43)

onde iW 21 representa o trabalho da força resultante que atua sobre iP , incluindo as forças externas e as forças internas.. Adicionando as n equações (4.45), obtemos:

22

121

1

21 2

121 i

i

n

i

in

i

ii vmWvm

Utilizando a definição da energia cinética para o sistema de partículas, dada por (4.39), a última equação acima pode ser posta sob a forma: 2211 TWT (4.44)

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

144

onde 21W

n

i

iW1

21 indica o trabalho da resultante de todas as forças atuantes

sobre as partículas do sistema. A equação (4.44) expressa o Princípio do Trabalho-Energia Cinética para o sistema de partículas. É importante notar que, no caso geral, devemos incluir em 21W tanto os trabalhos das forças externas quanto os trabalhos das forças internas. Com efeito, no caso geral, embora as forças internas ocorram em pares de ação-reação, elas podem produzir trabalho resultante não nulo porque seus pontos de aplicação não têm, necessariamente, o mesmo deslocamento. Isto pode ser observado com o auxílio da Figura 4.7. Para o par de forças internas jiij f,f

, o trabalho elementar da resultante

será: jiijjjiiij

ij rdrdfrdfrdfdW

. (4.45)

Observamos que trabalho resultante das forças internas somente será nulo quando houver restrições cinemáticas fazendo com que as componentes dos deslocamentos de duas partículas quaisquer iP e jP na direção da reta que liga as

duas partículas sejam iguais. É o caso dos corpos rígidos, que serão estudados mais adiante no curso.

Figura 4.7

Y

X

O

ir

Z

jr

ii mP

jj mP

ijf

jif

jrd

ird

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

145

4.9 - Princípio da conservação da energia mecânica para os sistemas de partículas.

No caso em que todas as forças externas e internas são conservativas, podemos associar a cada uma delas uma função potencial, de modo que podemos escrever: 2121 VVW (4.46)

Introduzindo (4.46) em (4.44) e simplificando a notação, escrevemos: 2211 VTVT , (4.47)

ou:

21 EE , (4.48)

onde EVT é a energia mecânica do sistema de partículas.

A equação (4.39) expressa o Princípio da Conservação da Energia Mecânica para os sistemas de partículas. 4.10 – Colisões de partículas Uma colisão, choque ou impacto entre duas partículas ocorre quando estas, estando em movimento, entram em contato durante um curto intervalo de tempo, aplicando, uma sobre a outra, forças de amplitude relativamente elevada (forças impulsivas). As colisões podem ser classificadas da seguinte forma:

colisão central: ocorre quando as direções das velocidades das duas partículas coincidem com a linha que liga as duas partículas, como ilustrado na Figura 4.8(a). Esta linha é denominada linha de colisão e o plano perpendicular a esta linha, passando pelo ponto de contato entre os dois corpos é chamado plano de contato.

colisão oblíqua: ocorre quando as direções das velocidades de pelo menos uma ou das duas partículas não coincide com a direção da linha de colisão, conforme mostrado na Figura 4.8(b).

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

146

(a) (b) Figura 4.8

Na seqüência estudaremos primeiramente as colisões centrais e, em seguida,

as colisões oblíquas. 4.10.1 – Colisões centrais

Admitiremos, neste estudo, que as partículas são perfeitamente lisas, de modo que as forças de contato exercidas uma sobre a outra sejam perpendiculares ao plano de contato.

Fase I: antes do impacto as duas partículas têm as quantidades de movimento indicadas na Figura 4.9. Para que ocorra colisão, devemos ter 11 BA vv .

Figura 4.9

Fase II: durante a fase de contato, deve-se considerar que as duas partículas

possam se deformar. Durante o tempo de deformação, elas exercem mutuamente impulsos de deformação de sentidos opostos dados por:

dttFIdt

dd 0

, (4.49)

A B

Bv

Av

A B

Bv

Av

linha de colisão

plano de colisão

A B

1Bv

1Av

x

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

147

onde tFd

designa as forças aplicadas mutuamente pelas partículas na fase de

deformação. No final do período de deformação, as duas partículas terão velocidades instantaneamente idênticas (estarão em repouso relativo). Esta velocidade é designada por *v

na Figura 4.10.

Figura 4.10

Fase III: ocorre período chamado de período de restituição, no qual os corpos retornam total ou parcialmente às suas dimensões originais ou ficam permanentemente deformados. Nesta fase, as partículas exercem mutuamente impulsos de restituição de sentidos opostos dados por

dttFIrt

rr 0

, (4.50)

onde tFr

designa as forças aplicadas mutuamente pelas partículas na fase de

deformação (Figura 4.11).

Figura 4.11

Fase IV: após a separação, os dois corpos continuam se movimentando com as velocidades mostradas na Figura 4.12.

Figura 4.12

A B

*v

dI

dI

x

A B

rI

rI

x

A B 2Bv

2Av

x

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

148

Para análise dinâmica da colisão, admitiremos que o conjunto formado pelas duas partículas seja isolado de forças externas. Podemos então aplicar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento Linear (como todos os vetores envolvidos são colineares, podemos prescindir da representação vetorial, mantendo, contudo, a indicação dos sentidos pelos sinais algébricos):

2BB2AA1BB1AA vmvmvmvm (4.51)

Aplicamos também o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Linear

para cada uma das partículas considerada isoladamente, nas fases de deformação e restituição:

Para a partícula A:

*A

t

0d1AA vmdtFvm

d

(4.52.a)

2AA

t

0r

*A vmdtFvm

d

(4.52.b)

Para a partícula B:

*B

t

0d1BB vmdtFvm

d

(4.52.c)

2BB

t

0r

*B vmdtFvm

d

(4.52.d)

Definimos o chamado coeficiente de restituição da seguinte forma:

d

r

t

0d

t

0r

d

r

dtF

dtF

I

Ie

Combinando (4.53.a) e (4.53.b), obtemos:

*1A

2A*

vv

vve

(4.53.a)

De (4.52.c) e (4.52.d), obtemos:

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

149

1B

*

*2B

vv

vve

(4.53.b)

Eliminando *v nas duas últimas equações acima, temos:

1B1A

2A2B

vv

vve

(4.54)

Em (4.55), observamos que o coeficiente de restituição pode ser expresso como

sendo a razão entre a velocidade relativa de afastamento das partículas após a colisão e a velocidade relativa de aproximação antes da colisão.

O valor de e situa-se no intervalo 1e0 e é geralmente determinado por medições experimentais. Os casos particulares ideais são os seguintes:

a) colisão perfeitamente elástica (e=1). Ocorre quando os corpos não apresentam nenhuma deformação permanente após a colisão. Neste caso, a velocidade relativa de afastamento é igual à velocidade relativa de aproximação.

b) colisão perfeitamente plástica (e=0). Ocorre quando há deformação permanente máxima dos corpos que colidem. Neste caso, a velocidade relativa de afastamento é nula, significando que os dois corpos permanecem acoplados após a colisão.

Deve-se notar que na colisão perfeitamente plástica não há nenhuma perda de energia, uma vez que a energia dispendida para deformar os corpos é totalmente restituída na fase de restituição. Por outro lado, no caso da colisão perfeitamente plástica, a energia utilizada para deformar os corpos não é restituída, sendo geralmente dissipada sob a forma de calor. Nos demais casos, há alguma perda de energia resultante da restituição parcial das deformações dos corpos. 4.10.2 – Colisões oblíquas No caso de colisão oblíqua, após o impacto, os dois corpos partem com velocidade desconhecidas em módulo, direção e sentido. Considerando o caso particular de colisões que ocorrem em um único plano, para a análise dinâmica devemos aplicar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento Linear e do Impulso e Quantidade de Movimento Linear em duas direções perpendiculares, conforme esquematizado abaixo.

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

150

Impulsos e quantidades de movimento para a partícula A:

Impulsos e quantidades de movimento para a partícula B:

Figura 4.13

Aplicando o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento para as componentes nas direções x e y para ambas as partículas, obtemos as equações:

A B

1Av

2Av

1Bv

2Bv

2 2

1 1 x

y

jvivv

jviv2v

jvivv

jvivv

y2Bx2B2B

y2Ax2A1A

y1Bx1B1B

y1Ax1A1A

A x1AA vm

1Bv

rd t

0r

t

0d dtFdtF

+

y1AA vm

A x2AA vm

y2AA vm

=

B x1BB vm

1Bv

rd t

0r

t

0d dtFdtF

+

y1BB vm

B x2BB vm

y2BB vm

=

D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS

151

x2BBx2AAx1BBx1AA vmvmvmvm (conservação da quantidade de

movimento linear do sistema na direção x) (4.55)

x1Bx1A

x2Ax2B

vv

vve

(coeficiente de restituição) (4.56)

y2Ay1A vv (conservação da quantidade de movimento linear de A na

direção y) (4.57)

y2By1B vv (conservação da quantidade de movimento linear de B na

direção y) (4.58)

Deve-se finalmente observar que, em situações reais, os fenômenos envolvidos nas colisões são muito complexos, sendo, em particular, dependentes das características dos materiais que constituem os corpos que colidem. Assim, a teoria apresentada acima inclui várias de simplificações. 4.11 - Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt

Brace College Publishers, 1998. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, 1977. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999.

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 5

Propriedades de Inércia dos Corpos Rígidos

 

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

152

CAPÍTULO 5

PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

5.1 - Introdução A inércia de uma partícula é caracterizada por apenas uma propriedade: sua massa. Por outro lado, para um corpo rígido, cuja massa é distribuída sobre a região do espaço por ele ocupada, as propriedades de inércia relevantes são, além da massa, os momentos de inércia e os produtos de inércia. Como veremos no capítulo seguinte, estas grandezas intervém diretamente nas equações do movimento estabelecidas para os corpos rígidos.

Neste capítulo definiremos as propriedades de inércia dos corpos rígidos e estudaremos os métodos para o cálculo destas propriedades. 5.2 – Posição do centro de massa de um corpo rígido A expressão para a posição do centro de massa de um sistema discreto de n partículas é dada pela equação (4.16.a). Esta expressão pode ser estendida aos corpos rígidos – que têm uma distribuição contínua de massa no espaço – se admitirmos que um corpo rígido é constituído de um número infinito de partículas de massa infinitesimais. Assim, com relação à Figura 5.1, a posição do centro de massa do corpo rígido em relação ao sistema de eixos OXYZ é dada por:

n

ii

n

iii

mn

G

m

rm

limr

i

1

1

0

,

ou:

dmrM

rG 1

, (5.1)

onde M é a massa total do corpo rígido e r

designa o vetor posição de um elemento

de massa arbitrário dm, em relação ao sistema de eixos OXYZ.

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

153

Figura 5.1

Introduzindo a relação: dVdm , onde é a densidade volumétrica do material que constitui o corpo rígido, e dV designa o diferencial de volume, a equação (5.1) pode ser escrita sob a forma:

volume

G dVrM

r

1 (5.2)

No caso em que o material é homogêneo (densidade volumétrica constante) a equação acima conduz à seguinte expressão:

volumevolume

G dVrV

dVrM

r 1

(5.3)

Para determinar as coordenadas do centro de massa do corpo rígido, podemos expressar Gr

e r

em termos de suas componentes cartesianas: kzjyixr GGGG

(5.4)

kzjyixr

(5.5)

Introduzindo (5.4) e (5.5) em (5.3), obtemos as seguintes expressões que

permitem calcular as componentes cartesianas de Gr

:

x

y

O

r

z

dm

G

Gr

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

154

volume

G xdVV

x1

(5.6.a)

volume

G ydVV

y1

(5.6.b)

volume

G zdVV

z1

(5.6.c)

Podemos verificar que, se um corpo constituído de um material homogêneo apresentar um ou mais planos de simetria geométrica, seu centro de massa estará posicionado sobre estes planos. Isso pode ser visto na Figura 5.2, a qual mostra que, sendo o plano y-z um plano de simetria, para cada elemento diferencial de volume de coordenadas (x,y,z), existe um elemento de coordenadas (-x,y,z). Desta forma, a integral

volume

xdV resulta nula e, de acordo com (5.6.a) o centro de massa terá

0Gx , estando posicionado sobre o plano de simetria.

(a) (b) Figura 5.2

A posição do centro de massa de corpos homogêneos de geometria simples pode ser facilmente calculada por integração. Para tanto, visando efetuar as integrações indicadas nas equações (5.6), devemos expressar convenientemente dV em termos das coordenadas espaciais zyx ,, .

A Tabela 5.1 fornece as posições dos centros de massa para alguns sólidos de geometria simples, em relação aos sistemas de eixos indicados.

x

y

z

O

x

y

z

O

(x,y,z) (-x,y,z)

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

155

Tabela 5.1 – Posições do centro de massa de sólidos de geometria simples Cilindro circular

Esfera

Semi-esfera

Cone circular reto

z

L/2

L/2 2R

x

y

z

G

y

z

R

x

3/8 R

y

x

z

R

h

h/4

R

x

y

G

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

156

Placa fina ou cilindro semi-circular

5.2.1 - Posição do centro de massa de corpos de geometria composta Consideramos nesta seção a determinação da posição do centro de massa de

corpos que podem ser decompostos em um certo número n de partes de geometria mais simples. Admitiremos que cada uma destas partes possa ser constituída de um material com densidade diferente daquelas das demais. Tal situação é ilustrada genericamente na Figura 5.3, onde são indicadas as n partes nP,,P,P 21 , de massas nm,,m,m 21 , respectivamente. Nesta mesma figura os vetores

nGGG r,,r,r

21 designam os vetores posição dos centros de massa das n partes e Gr

indica a posição do centro de massa do conjunto em relação ao sistema de referência indicado.

Figura 5.3

x

y

O

z

G

1Gr

1P 2P

nP 1G

2G

nG

2Gr

nGr

Gr

y

x

z

R G

0,424 R x

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

157

De acordo com a definição (5.1), expressamos o vetor posição centro de massa do conjunto sob a forma:

volume

G dmrM

r 1

Introduzindo o particionamento indicado na Figura 5.3, lembrando que a massa total do corpo é dada por nmmmM 21 , escrevemos:

nparteparten

G dmr...dmrm...m

r

11

1 (5.7)

Aplicando a equação (5.1) para cada uma das partes do corpo rígido, temos:

11

1 Gparte

rmdmr

(5.8)

nGnnparte

rmdmr

,

Introduzindo (5.8) em (5.7), chegamos à expressão:

nGnG

nG rm...rm

m...mr

111

1,

ou:

n

iGin

ii

n

iGi

G i

i

rmM

m

rm

r1

1

1 1

(5.9)

Concluímos, pois, que a posição do centro de massa de um corpo composto por um dado número de partes é dado pela média ponderada das posições dos centros de massa das partes, sendo tomados como pesos as massas destas partes. O leitor deverá observar a semelhança entre a equação (5.9) e a equação (4.16.b), que define a posição do centro de massa de um sistema discreto de partículas.

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

158

5.3 - Momento de inércia de massa de um corpo rígido em relação a um eixo. Raio de giração. Consideremos a situação ilustrada na Figura 5.4(a). O momento de inércia de massa do corpo rígido em relação a um eixo qualquer 'OO é definido segundo: dmrJ 'OO

2 , (5.10)

onde r indica a menor distância entre o diferencial de massa dm e o eixo 'OO .

(a) (b)

Figura 5.4

Introduzindo a relação: dVdm , no caso em que o material que constitui o corpo rígido for homogêneo ( constante), a equação (5.10) pode ser escrita sob a forma:

volume'OO dVrJ 2 (5.11)

No S.I., o momento de inércia tem unidades de kg.m2. Vale observar que, segundo a definição (5.10), o momento de inércia é uma grandeza escalar positiva 0OOJ , qualquer que seja o eixo 'OO . O raio de giração de massa do corpo rígido em relação ao eixo 'OO , designado por 'OOK , é definido como sendo:

dm

O

O

r

O

O

OOK M

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

159

M

JK 'OO

'OO , (5.12)

onde M é a massa do corpo rígido. Podemos interpretar o raio de giração 'OOK como sendo a distância do eixo

'OO à qual devemos posicionar toda a massa do corpo rígido para que esta nova distribuição de massa resulte no momento de inércia 'OOJ em relação a 'OO . Esta interpretação pode ser compreendida com auxílio da Figura 5.4(b). De acordo com a equação (5.10), se toda a massa do corpo for disposta numa faixa de largura desprezível a dada distância constante 'OOK do eixo 'OO , o momento de inércia em relação a este eixo é dado por: MKdmKdmKJ OOOOOO'OO

222

Desta última equação resulta a definição do raio de giração, estabelecida através de (5.12).

5.4 - Teorema dos eixos paralelos para os momentos de inércia de massa Consideremos a Figura 5.5, que mostra dois eixos paralelos 'OO e 'AA , afastados entre si de uma distância d, sendo que 'OO passa pelo centro de massa do corpo rígido.

Figura 5.5

Desejamos obter a relação entre o momento de inércia de massa em relação ao eixo AA e o momento de inércia em relação ao eixo OO . Utilizando a definição (5.10), escrevemos as seguintes expressões para os momentos de inércia do corpo rígido em relação aos dois eixos considerados:

dm

O

O

OOr

A

A

d

AAr

G

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

160

dmrJ 'AA'AA2 (5.13)

dmrJ 'OO'OO2 (5.14)

Introduzimos em (5.13) a seguinte relação geométrica ilustrada na Figura 5.5: drr 'OO'AA Assim, temos: MddmrddmrdmdrJ 'OOOO'OO'AA

222 2 (5.15)

Na equação (5.15), temos:

'OOOO' Jdmr 2 (conforme equação (5.14)).

0 dmr 'OO . Isso porque, de acordo com a definição (5.1), a

integral dmr 'OO equivale à massa do corpo rígido multiplicada pela

distância do seu centro de massa ao eixo 'OO . Como o eixo 'OO passa por G, esta distância resulta nula.

Com essas considerações, a equação (5.15) fica:

MdJJ 'OO'AA2 (5.16)

Esta última equação traduz o chamado Teorema dos Eixos Paralelos para os

momentos de inércia de massa. Sendo Md2 uma quantidade positiva, a equação (5.16) nos mostra que, para conjunto qualquer de eixos paralelos, o eixo que passa pelo centro de massa é aquele em relação ao qual o momento de inércia é mínimo. É conveniente expressar o Teorema dos Eixos Paralelos em termos dos raios de giração. Para tanto, introduzimos em (5.16) as seguintes relações, derivadas da equação (5.12): MKJ AA'AA

2

MKJ OO'OO

2

e obtemos: 222 dKK OOAA (5.17)

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

161

5.5 - Momentos de inércia de massa expressos em coordenadas cartesianas Considerando a situação ilustrada na Figura 5.6, desejamos expressar os momentos de inércia do corpo rígido em relação aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz, em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z). Designaremos estes momentos de inércia por xJ , yJ e zJ , respectivamente.

Partindo da definição (5.10), escrevemos: dmrJ xx

2 (5.18)

dmrJ yy

2 (5.19)

dmrJ zz

2 (5.20)

Figura 5.6

Com base na Figura (5.6), estabelecemos as relações: 222 zyrx (5.21) 222 zxry (5.22)

222 yxrz (5.23) Introduzindo as equações (5.21) a (5.23) nas equações (5.18) a (5.20), chegamos às expressões:

x

y

O

z

dm(x,y,z )

xr

zr

yr

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

162

dmzyJx 22 (5.24)

dmzxJ y 22 (5.25)

dmyxJz 22 (5.26)

Para o cálculo dos momentos de inércia devemos primeiramente expressar

dm em função das coordenadas zyx , , a fim de poder resolver as integrais indicadas em (5.24) a (5.26). A Tabela 5.2 fornece os momentos de inércia de alguns sólidos de geometria simples, em relação aos sistemas de eixos indicados. As expressões fornecidas podem ser facilmente obtidas por integração.

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

163

Tabela 5.2 – Momentos de inércia de massa de sólidos de geometria simples Cilindro circular

223121

LRmJx

223121

LRmJ y

2

21

mRJz

Esfera

2

52

mRJx

2

52

mRJ y

2

52

mRJz

Semi-esfera

2

51

mRJx

2

32083

mRJ y

2

32083

mRJz

Cone circular reto

22 4203

hRmJx

22 4203

hRmJ y

2

103

mRJz

L/2

L/2 2R

x

y

z

G

z

R

x

y

G

y

z

R

x

x

y

z

R

h

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

164

Placa fina retangular

22

121

hbmJx

2

121

mbJ y

2

121

mhJz

Placa fina circular

2

21

mRJx

2

41

mRJ y

2

41

mRJz

Prisma retangular

22

121

hbmJx

22

121

LbmJ y

22

121

LhmJz

Barra delgada

12

2mLJx

12

2mLJ y

0zJ

x

y

z

b

h G

x

y

z

R

G

x

y

z

L

h

b

x

y

z

L/2

L/2

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

165

5.6 - Momentos de inércia de massa em relação a um eixo orientado arbitrariamente. Produtos de inércia Considerando a Figura 5.7, desejamos expressar o momento de inércia de massa do corpo rígido em relação ao eixo 'OO , orientado arbitrariamente, em função dos momentos de inércia xJ , yJ e zJ , relativos aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz.

Nesta figura, o vetor kujuiuu zyx

é o vetor unitário na direção do eixo 'OO .

Figura 5.7

Designamos por kzjyixr

o vetor posição do elemento de massa dm e

o ângulo formado entre u

e r

. Do triângulo OPB, indicado na Figura 5.8, extraímos a relação: 222 PBOBOP ou:

222 dcosrr

Esta última equação é equivalente a:

22 durrr

.

Desta última equação acima resulta:

x

y

O

r

z

dm

O

u

d

B

P

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

166

22 urrrd

Desenvolvemos agora esta última equação em termos das componentes

cartesianas dos vetores r

e u

: zyzxyxyxzzxyx uyzuuxzuuxyuuuuuuuzyud 2222222222222 (5.27)

Empregando a definição (5.10), escrevemos: dmdJ 'OO

2 (5.28)

Introduzindo (5.27) em (5.28), temos:

dmyxudmzxudmzyuJ zyx'OO

222222222

dmyzuudmxzuudmxyuu zyzxyx 222 (5.29)

Levando em conta as equações (5.24) a (5.26), reconhecemos nas três

primeiras integrais da equação acima os momentos de inércia xJ , yJ e zJ .

As três últimas integrais definem os produtos de inércia do corpo rígido: dmxyPxy (5.30)

dmxzPxz (5.31)

dmyzPyz (5.32)

Com estas últimas definições, a equação (5.29) fica: zyyzzxxzyxxyzzyyxx'OO uuPuuPuuPuJuJuJJ 222222 (5.33)

Concluímos que uma vez conhecidos os momentos de inércia e os produtos de

inércia do corpo rígido em relação ao sistema de eixos Oxyz, o momento de inércia em relação a um eixo qualquer, identificado por seus cossenos diretores xu , yu e

zu , pode ser calculado através da equação (5.33). A equação (5.33) representa uma forma quadrática em termos dos cossenos diretores xu , yu e zu . Introduzindo a notação matricial, pode-se facilmente

verificar que (5.33) pode ser escrita sob a forma:

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

zyx'OO

u

uu

JPP

PJPPPJ

uuuJ

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

167

ou: uJuJ T

'OO (5.34) onde:

z

y

x

u

u

u

u é o vetor coluna formado pelos cossenos diretores do eixo ´OO ,

e:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

JPPPJP

PPJ

J (5.35)

é o chamado tensor de inércia do corpo rígido.

Observe que J é uma matriz simétrica ( J TJ ). Destacamos a seguir, algumas propriedades dos produtos de inércia: 1a ) ao contrário dos momentos de inércia, que são sempre positivos, os produtos de inércia podem ser positivos, negativos ou nulos. 2a ) se dos dois eixos coordenados estiverem contidos num plano de simetria de massa do corpo rígido (no caso de corpos constituídos de um único material homogêneo, a simetria de massa é equivalente à simetria geométrica), os produtos de inércia envolvendo o 3o eixo coordenado são nulos. No exemplo da Figura 5.9.(a) o plano y-z é de simetria de modo que: 0 xzxy PP

Esta propriedade pode ser verificada com o auxílio da Figura 5.8(b), que ilustra uma seção do corpo rígido mostrado na Figura 5.8(a), definida por um plano perpendicular ao eixo Oz. Devido à simetria, pode-se ver que, para cada elemento diferencial de massa dm, posicionado nas coordenadas zy,,x , existirá um outro posicionado em coordenadas zy,,x , de modo que as integrações indicadas nas equações (5.30) e (5.31) resultam nulas. Neste caso o tensor de inércia torna-se:

zyz

yzy

x

JP

PJJ

J

0

000

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

168

(a) (b)

Figura 5.8 5.7 - Teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia e produtos de inércia expressos em coordenadas cartesianas Deduziremos, a seguir as expressões que traduzem o Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner) para os momentos e produtos de inércia de massa expressos em coordenadas cartesianas. Para tanto, faremos uso da Figura 5.9, que mostra dois sistemas de referência, Oxyz e 'z'y'Gx , sendo este último um sistema de referência baricêntrico, que tem sua origem no centro de massa do corpo, indicado por G. Observe que os eixos dos dois sistemas são paralelos dois a dois, ou seja 'Gx//Ox , 'Gy//Oy e 'Gz//Oz . Estão também indicados na Figura 5.10 os seguintes vetores posição:

kzjyixr

: posição do elemento diferencial de massa dm em relação

ao sistema Oxyz. k'zj'yi'x'r

: posição em relação ao sistema baricêntrico 'z'y'Gx .

kzjyixr GGGG

: posição do centro de massa em relação ao sistema

Oxyz.

Como os dois sistemas de referência paralelos entre si, uma única base de vetores unitários ( k,j,i

) pode ser associada a ambos.

x

y

z

O

x

y

z

O

(x,y,z) (-x,y,z)

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

169

Figura 5.9

Do triângulo de vetores indicados na Figura 5.9, temos: 'rrr G

,

donde: 'xxx G (5.36.a) 'yyy G (5.36.b) 'zzz G (5.36.c) Considerando inicialmente o momento de inércia xJ , introduzimos as relações (5.36.b) e (5.36.c) em (5.24), obtendo:

dm'zzdm'yydm'z'ydm'zz'yyJ GGGGx 222222

dmzy GG22 (5.37)

De acordo com (5.24), o primeiro termo do lado direito de (5.37) representa o

momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo baricêntrico 'Gx : dm'z'yJ 'x

22

x

y

O

r

z

dm

G x

y

z

r

Gr

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

170

Além disso, recordando a definição da posição do centro de massa do corpo rígido, dado por (5.1) e desenvolvida em (5.6), escrevemos: 'yMdm'y G ,

'zMdm'z G ,

onde 'yG e 'zG designam as coordenadas de G em relação ao sistema 'z'y'Gx . É, então, evidente que 0 'z'y GG . Com essas considerações, a equação (5.37) fica: MzyJJ GG'xx

22 (5.38) Por procedimento análogo, chegamos às seguintes expressões referentes aos demais momentos de inércia yJ e zJ :

MzxJJ GG'yy

22 (5.39)

MyxJJ GG'zz

22 (5.40) As equações (5.38) a (5.40) traduzem, em conjunto, o Teorema dos Eixos Paralelos, ou Teorema de Steiner, para os momentos de inércia expressos em coordenadas cartesianas. No que diz respeito aos produtos de inércia, consideremos inicialmente o produto de inércia xyP , definido através de (5.30), e introduzamos nesta equação as

transformações de coordenadas expressas por (5.36.a) e (5.36.b):

dm'y'xdm'zydm'yxdmyxdm'yy'xxP GGGGGGxy (5.41)

Na equação acima temos:

0 dm'zdm'y

GGGG yxMdmyx ;

dm'y'xP 'y'x (produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos)

Assim, a equação (5.41) pode ser posta sob a forma:

GG'y'xxy yxMPP (5.42)

Por procedimento análogo, para os outros dois produtos de inércia xzP e yzP ,

obtemos as relações:

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

171

GG'z'xxz zxMPP (5.43) GG'z'yyz zyMPP (5.44)

As equações (5.42) a (5.44) expressam o Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner para os produtos de inércia em coordenadas cartesianas. 5.8 - Momentos e produtos de inércia de corpos de geometria composta Em diversas ocasiões, devemos calcular os momentos de inércia e os produtos de inércia de sólidos de geometria complexa, formados pela associação de n partes

1P , 2P , ..., nP de geometria mais simples, conforme ilustrado na Figura 5.10. Nestes casos, a aplicação direta das definições (5.24) a (5.26) e (5.30) a (5.32) pode conduzir a integrais complicadas. Mostraremos, contudo, que conhecendo os momentos de inércia e os produtos de inércia de cada uma das partes em relação aos cada um dos eixos coordenados, os momentos de inércia e produtos de inércia do conjunto são dados simplesmente pela soma dos momentos de inércia e produtos de inércia das partes componentes.

Figura 5.10

Consideremos o momento de inércia do corpo composto em relação ao eixo

Ox , definido por (5.24):

n

nPPP

PPPx dmzyJ

21

21

22 ,

Levando em conta o particionamento indicado na Figura 5.11, a integral acima pode ser fracionada da seguinte forma:

1P 2P

nP

dm

x

y

O

z

xr zr

yr

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

172

n

nPPP

PPPx dmzydmzydmzyJ 222222

21

21

Considerando mais uma vez a definição (5.24), a última equação acima pode

ser escrita sob a forma:

nn PxPxPxPPPx JJJJ 2121

Na equação acima,

i

iP

Px dmzyJ 22 , i=1 a n designa, genericamente, o

momento de inércia, em relação ao eixo Ox, da parte iP que compõe o corpo rígido. O mesmo procedimento pode ser aplicado para calcular aos demais momentos de inércia e produtos de inércia do corpo rígido em relação ao sistema de eixos adotado. Expressamos este resultado nas equações abaixo:

nn PyPyPyPPPy JJJJ

2121

nn PzPzPzPPPz JJJJ 2121

nn PxyPxyPxyPPPxy PPPP

2121

nn PxzPxzPxzPPPxz PPPP 2121

nn PyzPyzPyzPPPyz PPPP

2121

5.9 - Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia Vimos na Seção 5.6 que se o corpo rígido possuir um plano de simetria de massa, os produtos de inércia nos quais o eixo perpendicular ao plano de simetria intervêm são nulos. Mesmo nos casos em que o corpo rígido não possui nenhum plano de simetria é sempre possível encontrar um sistema tri-ortogonal de eixos em relação aos quais todos os produtos de inércia são nulos. Neste caso, o tensor de inércia, definido por (5.35), resulta ser uma matriz diagonal. Os eixos em relação aos quais os produtos de inércia são nulos são chamados Eixos Principais de Inércia e os momentos de inércia em relação a estes eixos são denominados Momentos Principais de Inércia. Como veremos mais adiante, a escolha dos eixos principais de inércia como sistema de referência é muito conveniente na análise dinâmica de corpos rígidos porque conduz a equações do movimento mais simples. O problema que abordaremos a seguir é o seguinte: dados os momentos de inércia e os produtos de inércia de um corpo rígido em relação a um sistema de referência arbitrário Oxyz, desejamos determinar os momentos principais de inércia e os cossenos diretores dos eixos principais de inércia, que formam o sistema de

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

173

eixos principais z~y~x~O . Estes dois sistemas de referência estão ilustrados na Figura 5.11.

Figura 5.11

O problema pode ser formulado da seguinte maneira: partindo do sistema Oxyz, em relação aos quais conhecemos o tensor de inércia J , queremos determinar uma transformação linear, representando uma rotação dos sistema Oxyz em torno de um eixo que passa pela origem O, de modo que em relação ao sistema de eixos nesta nova posição, denotado por z~y~x~O , o tensor de inércia, denotado por

J~ , seja uma matriz diagonal. Conforme demonstrado no Apêndice A, este problema é formulado matematicamente como um problema de autovalor, que consiste em determinar os autovalores e os autovetores do tensor de inércia J mediante a resolução do

seguinte sistema de equações lineares homogêneas: 03 ii vIJ , (5.45)

onde 3I designa a matriz identidade de terceira ordem.

As soluções do sistema (5.45) são os três pares:

3

2

1

i

i

i

ii

v

vv

v, , i = 1, 2, 3.

x

y

O

x~

y~

z~ z

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

174

onde os escalares i 3 ,2 ,1i são os autovalores e os vetores 3iv , 3 ,2 ,1i são os autovetores. Os significados dos autovalores e autovetores são os seguintes:

os autovalores i 3 ,2 ,1i fornecem os valores dos três momentos principais de inércia, que designaremos por z~y~x~ J ,J ,J .

os autovetores iv 3 ,2 ,1i fornecem os cossenos diretores dos três eixos

principais de inércia, em relação ao sistema de referência Oxyz. De acordo com esta interpretação, cada um dos autovetores deve ser normalizado de modo que sua norma euclidiana seja unitária, ou seja:

13

1

22

j

ijiiT

i vvvv , 3 ,2 ,1i (5.46)

Embora o estudo de métodos de resolução numérica do problema de autovalor (5.45) não seja objetivo nosso curso, é importante mencionar, relembrando os conceitos da Álgebra Linear, que esta resolução pode ser feita em duas etapas: a) Cálculo dos autovalores. Notando que (5.45) constitui um sistema de três equações lineares homogêneas nas componentes dos autovetores, a existência de soluções não triviais requer que a matriz dos coeficientes seja singular, ou seja: 03 IJdet (5.47) O desenvolvimento de (5.47) conduz a uma equação do tipo: 03 P , (5.48) onde 3P designa um polinômio de 3o grau em , denominado polinômio característico da matriz J . As raízes de 3P , obtidas mediante a resolução numérica de (5.48), fornecem os valores dos momentos principais de inércia z~y~x~ J eJ ,J 321 .

b) Cálculo dos autovetores. Os autovetores 321 e , vvv , associados,

respectivamente aos autovalores 321 e , , são obtidos introduzindo cada um destes autovalores, calculados na primeira etapa, nas equações (5.45) e (5.46). Em seguida, o sistema de equações resultante é resolvido numericamente para determinação das componentes dos autovetores:

3

2

1

i

i

i

i

vvv

v , 3 ,2 ,1i

D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS

175

Nesta etapa deve ser lembrado que, em virtude da condição (5.47), a matriz dos coeficientes em (5.45) é singular, de modo que o sistema (5.47) tem apenas duas equações linearmente independentes e possui infinitas soluções para as componentes dos autovetores iv . Para obter uma solução particular, devemos fazer uso da condição (5.46), que define a norma dos autovetores.

5.10 – Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt

Brace College Publishers, 1998. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, 1977. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999.

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 6

Dinâmica do Corpo Rígido

 

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

176

CAPÍTULO 6

DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS

6.1 - Introdução Este capítulo trata da dinâmica dos corpos rígidos. Estaremos interessados em estabelecer as relações entre as forças e momentos aplicados a um dado corpo rígido e o movimento resultante, expresso em termos da aceleração do centro de massa e da aceleração angular do corpo. Conforme veremos, estas relações são fornecidas pelas chamadas equações de Newton-Euler, que são expressas sob a forma de equações diferenciais de segunda ordem. Integrando estas equações podemos obter a velocidade e posição do centro de massa e a velocidade angular e a posição angular do corpo rígido. De posse destas grandezas, podemos determinar a posição, velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo rígido empregando as relações cinemáticas estudadas no Capítulo 2.

Serão também estudados os métodos de energia destinados à análise dinâmica dos corpos rígidos em duas e três dimensões. 6.2 – Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular

de corpos rígidos No Capítulo 4 havíamos obtido as seguintes expressões para as quantidades de movimento linear e angular para os sistemas discretos de partículas (ver equações (4.19), (4.11) e (4.21): GvML

(6.1)

ii

n

iiO vmrH

1 (6.2)

ii

n

1iiG vmrH

(6.3)

Lembramos que, nas equações acima: • ir

é o vetor posição da partícula genérica iP em relação à origem do sistema de referência fixo OXYZ .

• iv

é a velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência fixo OXYZ .

• Gv

é a velocidade do centro de massa do sistema de partículas em relação ao sistema de referência fixo OXYZ .

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

177

• ir

é o vetor posição da partícula genérica iP em relação ao sistema de referência baricêntrico zyxG .

• iv

é a velocidade de iP em relação ao sistema de referência baricêntrico zyxG .

Obviamente, as equações (6.1) a (6.3) podem ser também aplicadas a corpos rígidos, uma vez que estes podem ser considerados como sendo constituídos de conjuntos com número infinito de partículas, de massas infinitesimais, distribuídas em uma região contínua do espaço. Neste caso, em termos das grandezas ilustradas na Figura 6.1, a quantidade de movimento angular pode ser expressa a partir de (6.2) e (6.3) sob as formas:

volume

O dmvrH

(6.4)

volume

G dmvrH

(6.5)

Figura 6.1

Considerando o movimento em relação ao centro de massa, as equações (6.1) e (6.3), combinadas, estabelecem que o sistema de quantidades de movimento lineares e angulares do corpo rígido é equivalente ao sistema constituído por dois vetores:

O

Y

X

Z

y

x

z

r

v

G

dm

r

v

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

178

a) o vetor quantidade de movimento linear GvML

, aplicado no centro de massa do corpo rígido.

b) o vetor quantidade de movimento angular dado por volume

G dmvrH

.

Esta equivalência é ilustrada na Figura 6.2.

Figura 6.2

Devido à hipótese de rigidez ideal, expressões para OH

e GH

podem ser

obtidas em termos do vetor velocidade angular do corpo rígido e do tensor de inércia, determinado em relação aos eixos OXYZ e zyxG , respectivamente, conforme desenvolvimento que apresentamos a seguir. Consideremos a situação ilustrada na Figura 6.1, onde indica o vetor velocidade angular instantânea do corpo rígido e zyxG é o sistema de referência baricêntrico, admitido de orientação fixa. De acordo com os conceitos da cinemática dos corpos rígidos, estudados no Capítulo 2, o movimento do corpo rígido em relação ao sistema de referência baricêntrico é um movimento com o ponto G fixo (ver seções 2.6 e 2.7.1). Assim, a partir da equação (2.12), podemos escrever: rv

(6.6)

Expressamos os dois vetores que figuram no lado direito da equação acima em termos de suas componentes cartesianas no sistema de referência baricêntrico sob a forma: kzjyixr

(6.7)

1P

G

11vm

2P

22vm

nP

nnvm

GvML

volume

G dmvrH

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

179

kwjwiw zyx

(6.8)

Introduzindo (6.6) a (6.8) em (6.5), temos:

dmkzjyixkwjwiwkzjyixH zyxvolume

G

Desenvolvendo a última equação acima, chegamos à expressão:

idmzxwdmyxwdmzywH

volumez

volume volumeyxG

22

jdmzywdmzxwdmyxw

volumez

volumey

volumex

22

kdmyxwdmzywdmzxwvolume

zvolume

yvolume

x

22

Na última equação acima reconhecemos, nas integrais indicadas, os momentos de inércia e os produtos de inércia do corpo rígido, calculados em relação ao sistema de referência baricêntrico (ver equações (5.24) a (5.26) e (5.30) a (5.32)). Assim, escrevemos: iwPwPwJH zzxyyxxxG

jwPwJwP zzyyyxyx

kwJwPwP zzyzyxzx

(6.9)

com:

volume

x dmzyJ 22 volume

yx dmyxP

volumezx dmzxP

volume

22y dmzxJ

volumezy dmzyP

volume

22z dmyxJ

Relembrando a definição do tensor de inércia, dada pela equação (5.35) e introduzindo a notação matricial, expressamos o resultado acima sob a forma:

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

180

wJH GG , (6.10) onde:

TGGGG zyxHHHH

(6.11)

Tzyx wwww (6.12)

zzyzx

zyyyx

zxyxx

G

JPPPJP

PPJ

J (6.13)

A equação (6.10) nos mostra que as componentes do vetor quantidade de movimento angular do corpo rígido são dadas por combinações lineares das componentes do vetor velocidade angular, sendo os momentos e produtos de inércia os coeficientes destas combinações lineares. O vetor quantidade de movimento angular em relação a OXYZ, denotado por

OH

, pode ser determinado a partir de GH

empregando a equação (4.29.a), repetida abaixo: GGGO vMrHH

(6.14)

6.3 – Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos No Capítulo 4 obtivemos as equações fundamentais da dinâmica dos sistemas discretos de partículas, (4.14), (4.20) e (4.27), denominadas equações de Newton-Euler, que são repetidas a seguir:

OO HM (6.15)

GaMF

(6.16)

GG HM , (6.17)

onde F

designa a resultante das forças externas aplicadas às partículas do

sistema e GM

designa o momento resultante das forças externas em relação ao

centro de massa do sistema de partículas. As equações (6.16) e (6.17), combinadas, estabelecem a equivalência entre

dois conjuntos de esforços:

os esforços externos, compreendendo forças e momentos aplicados por agentes externos ao sistema (incluindo reações de apoio), cuja força

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

181

resultante é designada por F

e cujo momento resultante, em relação a

G, é representado por GM

. Os efeitos dos esforços externos são,

portanto, representados no lado esquerdo das equações (6.16) e (6.17).

os esforços efetivos, representados pelo vetor força efetiva GaM

, aplicada

no centro de massa, e pelo momento efetivo GH

.

A equivalência entre esforços externos e esforços efetivos é ilustrada com o auxílio da Figura 6.2.

Vale lembrar que dois sistemas de forças são equivalentes quando ambos tiverem a mesma força resultante e o mesmo momento resultante em relação a qualquer ponto do espaço arbitrariamente escolhido.

Figura 6.2

Conforme ilustrado na Figura 6.2, os esforços externos atuantes sobre os corpos rígidos podem ser de dois tipos: forças e momentos (ou binários). O conceito de força já foi explorado nos capítulos anteriores. Um momento ou binário, designado genericamente por M, representa o efeito de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos, F

e F

, aplicadas em dois pontos A e B

do corpo rígido, separados por uma distância d, sendo dado por:

FdM No S.I., o momento tem unidades de [N.m].

Na equação (6.17), está subentendido que a derivada temporal indicada é calculada em relação ao sistema de referência baricêntrico, que tem orientação fixa. Contudo, existe uma dificuldade operacional. Quando o corpo rígido se movimenta, seus momentos de inércia e produtos de inércia variam continuamente com o tempo

G G

1F

2F

nF

1M

GH

GaM

Esforços externos Esforços efetivos

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

182

em relação ao sistema de referência baricêntrico. Assim, na derivação da quantidade de movimento angular, dada por (6.10), teríamos que considerar o tensor de inércia variável com o tempo, o que complicaria muito o cálculo da derivada. Para contornar esta dificuldade, podemos adotar um procedimento baseado no emprego de um sistema de referência auxiliar, rigidamente ligado ao corpo rígido, denotado por 111 zyGx , indicado na Figura 6.3. Estando preso ao corpo rígido, este sistema auxiliar tem a mesma velocidade angular do corpo rígido e, em relação a ele, os momentos de inércia e produtos de inércia são invariáveis.

Expressamos inicialmente GH

em termos de suas componentes no sistema auxiliar 111 zyGx , sob a forma:

111 zyGxG JH (6.18)

onde Tzyx 111

e 111 zyGxJ designam o vetor velocidade angular e o

tensor de inércia expressos no sistema auxiliar 111 zyGx . Utilizamos em seguida a equação (1.126), adaptada à situação presente, para calcular a derivada temporal de

GH

em relação ao sistema zyxG , a partir da derivada temporal de GH

em relação ao sistema 111 zyGx , segundo:

GzyGx

GzyxG

G HHH

111

, (6.19)

Sendo o tensor de inércia

111 zyGxJ invariável em relação ao sistema 111 zyGx ,

derivando (6.18) temos:

111

111zyGx

zyGxG JH

,

Substituindo a última equação acima em (6.19) obtemos finalmente a expressão para a derivada temporal da quantidade de movimento angular em relação ao sistema baricêntrico zyxG :

GzyGxzyxG

G HJH

111, (6.20)

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

183

Figura 6.3

Combinando as equações (6.16) a (6.20), obtemos as seguintes expressões para as equações de Newton-Euler:

GaMF

(6.21)

GM

111 zyGxJ GH

(6.22)

Uma vez calculados os esforços efetivos GaM

e GH

, podemos utilizar a equivalência indicada na Figura 6.2 para obter equações independentes que serão resolvidas para as incógnitas do problema.

6.4 – Equações de Euler para o movimento de corpos rígidos

Se os eixos auxiliares 111 zyGx forem escolhidos de modo a coincidirem com os eixos principais de inércia do corpo rígido, a quantidade de movimento angular, dada por (6.18) assume a forma simplificada:

kJjJiJH zzyyxxG

111111

(6.23)

Introduzindo (6.22) em (6.18), obtemos, após manipulações algébricas:

jJJJiJJJH xzxzyyzyzyxx

zyxGG

111111111111

----

O

Y

X

Z

y

x

z

G

1y

1x

1z

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

184

kJJJ yxyxzz

111111

-- (6.24)

Introduzindo (6.23) em (6.17), obtemos as três equações escalares seguintes:

1xGM 111111 zyzyxx JJJ (6.25.a)

1yGM 111111 xzxzyy JJJ (6.25.b)

1zGM 111111 yxyxzz JJJ (6.25.c)

Estas equações são as chamadas equações de Euler do movimento. Expressando ainda a equação (6.21) em termos das componentes cartesianas

dos vetores que nela figuram, obtemos mais três equações escalares:

11 xGx aMF

(6.26.a)

11 yGy aMF

(6.26.b)

11 zGz aMF

(6.26.c)

As equações (6.25) e (6.26) formam um sistema de seis equações diferenciais

que, uma vez integradas, fornecerão as variações temporais da velocidade e da posição do cento de massa do corpo rígido, bem como a velocidade angular e a posição angular do corpo rígido.

Partindo desta situação geral, estudaremos, em seguida, a dinâmica dos corpos rígidos desenvolvendo alguns casos particulares de movimento.

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

185

6.5 – Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de translação Conforme vimos na Seção 2.3, no movimento de translação, um corpo rígido

tem velocidade angular e aceleração angular identicamente nulas: 0;0 .

A equivalência entre os sistemas de esforços externos e esforços efetivos para o caso de corpos rígidos em movimento de translação é ilustrada na Figura 6.4.

Figura 6.4

Neste caso, as equações de Newton-Euler (6.21) e (6.22) ficam reduzidas a:

GamF

(6.27)

0GM

(6.28)

e as equações (6.25) e (6.26), adaptadas para o caso em questão, ficam:

1xGM 0 (6.29.a)

1yGM 0 (6.29.b)

1zGM 0 (6.29.c)

11 xGx aMF

(6.29.a)

11 yGy aMF

(6.30.b)

G G

1F

2F

nF

GaML

Esforços externos Esforços efetivos

1M

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

186

11 zGz aMF

(6.30.c)

6.6 – Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento plano

O movimento plano de um corpo rígido, ilustrado na Figura 6.5, fica caracterizado quando as duas condições seguintes são satisfeitas:

a) o corpo rígido desenvolve um movimento tal que todos os seus pontos descrevem trajetórias contidas em planos paralelos entre si (no caso ilustrado na Figura 6.4, estes planos são paralelos ao plano X-Y. Neste caso, os vetores velocidade angular e aceleração angular têm direção constante, perpendicular ao plano do movimento (na direção do eixo Z).

b) o corpo rígido tem distribuição de massa simétrica em relação ao plano do

movimento (por exemplo, corpos do tipo placa).

Figura 6.5

As conseqüências destas hipóteses são as seguintes: 1a) o vetor velocidade angular tem apenas uma componente, sendo expresso

sob a forma 00 .

O

Y

G

X

Z

z

x

y

1x

1y

1z

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

187

2a) o sistema 111 zyGx de eixos auxiliares presos ao corpo rígido forma um sistema de eixos principais de inércia ( 0

1111 zyzx PP ).

Neste caso, as equações (6.25) e (6.26) assumem as seguintes formas

simplificadas:

1zGM

kJz

1 (6.31.a)

11 xGx aMF

(6.31.b)

11 yGy aMF

(6.31.c)

A equivalência entre os sistemas de esforços externos e esforços efetivos para

o caso de corpos rígidos em movimento plano é ilustrada na Figura 6.5.

Figura 6.5

G G

1F

2F

nF

1M

GaML

Esforços externos Esforços efetivos

kJH zG

1

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

188

6.7 – Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento com um ponto fixo

O movimento de um corpo rígido com um ponto O fixo é ilustrado na Figura 6.6.

Figura 6.6

Neste tipo de movimento, convém utilizar a equação (6.15), que envolve a quantidade de movimento angular OH

, computada em relação ao sistema de

referência OXYZ, de orientação fixa. Com este objetivo, desenvolvemos primeiramente a equação (6.14), repetida abaixo:

GGGO vMrHH

Nesta última equação introduzimos:

kZjYiXr GGGG

GG rv

wJH GG , com:

zzyzx

zyyyx

zxyxx

G

JPPPJP

PPJ

J

O

Y

X

Z

1y

1x

1z

G

Gr

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

189

Assim procedendo, após desenvolvimento das operações vetoriais indicadas, obtemos:

ZO

YO

XO

HH

H

Z

Y

X

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

zzyzx

zyyyx

zxyxx

YXZYZX

ZYZXYX

ZXYXZY

M

JPP

PJP

PPJ

22

22

22

Com base nas equações (5.38) a (5.44), reconhecemos, na soma de matrizes indicada na equação acima, a expressão para o Teorema dos Eixos Paralelos:

22

22

22

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

zzyzx

zyyyx

zxyxx

ZYZXZ

YZYXY

XZXYX

O

YXZYZX

ZYZXYX

ZXYXZY

M

JPP

PJP

PPJ

JPP

PJP

PPJ

J

Assim, a penúltima equação acima fornece a seguinte expressão para a quantidade de movimento angular OH

de corpos rígidos desenvolvendo movimento

com o ponto O fixo: OO JH (6.32) Para utilizar a equação (6.15), devemos computar a derivada temporal de OH

em relação ao sistema de eixos de orientação fixa OXYZ. Para tanto, utilizamos mais uma vez o procedimento detalhado na Seção 6.2, baseado no emprego de um sistema de eixos auxiliares 111 zyOx , rigidamente ligado ao corpo rígido.

Expressamos inicialmente OH

em termos de suas componentes no sistema auxiliar 111 zyGx , sob a forma:

111 zyGxO JH (6.33)

onde Tzyx 111

e 111 zyGxJ designam o vetor velocidade angular e o

tensor de inércia expressos no sistema auxiliar 111 zyGx . Utilizamos em seguida a

equação (1.126) para calcular a derivada temporal de OH

em relação ao sistema

OXYZ, a partir da derivada temporal de OH

em relação ao sistema 111 zyGx , segundo:

OzyOx

OOXYZ

O HHH

111

, (6.34)

Sendo o tensor de inércia

111 zyGxJ invariável em relação ao sistema 111 zyGx ,

derivando (6.33) temos:

111

111zyOx

zyGxO JH

,

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

190

Substituindo a última equação acima em (6.34) obtemos a expressão para a derivada temporal da quantidade de movimento angular em relação ao sistema OXYZ:

OzyOxOXYZ

O HJH

111, (6.35)

Introduzindo a equação (6.35) em (6.15), obtemos a seguinte equação:

OM

111 zyOxJ OH

(6.36)

O uso da equação (6.36) é particularmente adequada em numerosas situações porque as reações de apoio em O, que são desconhecidas, não intervém em OM

.

6.8 – Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de rotação em torno de um eixo fixo. Consideremos a situação ilustrada na Figura 6.7 onde se vê um corpo rígido executando movimento de rotação em torno de um eixo fixo OO , com velocidade angular . Por conveniência, fazemos coincidir o eixo de rotação com o eixo OZ do sistema de referência OXYZ, admitido de orientação fixa. Aqui, mais uma vez, consideramos um sistema de referência auxiliar 111 zyOx , rigidamente ligado ao corpo rígido, com o eixo 1Oz coincidente com o eixo de rotação.

Figura 6.7

Neste caso, o vetor velocidade angular pode ser expresso segundo:

k (6.37)

O

Y

X

Z

1y

1x

1z

G

OH

O

O

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

191

e as componentes do vetor quantidade de movimento angular, nas direções dos eixos auxiliares, obtidas a partir de (6.33), são dadas por: iPH zxOx

111 (6.38.a)

jPH zyOy

111 (6.38.b)

kJH zOz

11 (6.38.c)

Introduzindo as equações (6.37) e (6.38) na equação (6.36), obtemos as seguintes equações escalares: 2

11111 zyzxx PPM (6.39.a)

2

11111 zxzyy PPM (6.39.b)

11 zz JM (6.39.c)

6.9 – Energia cinética de corpos rígidos A energia cinética de um sistema discreto de n de partículas foi definida, no Capítulo 4, pelas equações (4.41) e (4.44), repetidas abaixo:

n

iiivmT

1

2

21

(6.40.a)

ou:

n

iiiG vmMvT

1

22

21

21

, (6.40.b)

onde iv e iv designam as velocidades da partícula genérica iP em relação ao sistema de referência baricêntrico zyxG e em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, respectivamente, e Gv

designa a velocidade do centro de massa.

As duas últimas equações podem ser estendidas aos corpos rígidos fazendo n , dmmi :

dmvT.vol 2

21

(6.41.a)

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

192

dmvMvT.vol

G 22

21

21

(6.41.b)

Desenvolveremos inicialmente a equação (6.41.b). Para tanto, lembramos que,

de acordo com os conceitos da cinemática dos corpos rígidos, estudados no Capítulo 2, o movimento do corpo rígido em relação ao sistema de referência baricêntrico é um movimento com o ponto G fixo (ver seções 2.6 e 2.7.1). Assim, a partir da equação (2.12), podemos então escrever: rv

(6.42) onde os vetores e r

podem ser decompostos em suas componentes nas direções

dos eixos baricêntricos zyxG , segundo:

kzjyixr (6.43)

kwjwiw zyx

ω (6.44)

Introduzindo (6.43) e (6.44) em (6.42) e substituindo em seguida a equação

resultante em (6.40.b), temos:

2

21

GMvT

+ dmkzjyixkjikzjyixkji zyxvolume

zyx

21

Efetuando os produtos vetoriais e o produto escalar indicados e introduzindo a notação matricial, a última equação acima pode ser posta sob a forma:

GT

GT

G JvvMT21

21

(6.45)

A partir desta expressão geral da energia cinética, deduziremos as expressões

aplicáveis a alguns casos particulares de movimento de corpos rígidos:

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

193

6.9.1 - Energia cinética no movimento de translação No caso do movimento de translação, a velocidade angular é identicamente

nula 0 . A energia cinética, neste caso, obtida a partir de (6.44), é dada pela expressão:

2

21

21

GGT

G MvvvMT (6.46)

6.9.2 - Energia cinética para corpos rígidos em movimento plano No caso de movimento plano, anteriormente abordado na Seção 6.5 (ver

Figura 6.5), temos: • k

• 0 zyzx PP

Neste caso, a equação (4.44) conduz a:

22

21

21

zzG JMvT (6.47)

6.9.3 - Energia cinética no movimento com um ponto fixo No caso de movimento com um ponto fixo, O, convém desenvolver a expressão

da energia cinética a partir (6.40.a). Para tanto, recordamos que, neste tipo de movimento, a velocidade de um ponto genérico do corpo rígido é dada por:

rv

(6.48) Expressamos os vetores e r

em termos de suas componentes em relação ao

sistema de referência fixo OXYZ:

kji ZYX

(6.49)

kZjYiXr

(6.50) Introduzindo (6.49) e (6.50) em (6.48) e a equação resultante em (6.41.a),

temos:

dmkZjYiXkjikZjYiXkjiT ZYX.vol

ZYX

21

Efetuando os produtos vetoriais e o produto escalar indicados e introduzindo a notação matricial, a última equação acima pode ser posta sob a forma:

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

194

OT JT

21

(6.51)

onde OJ indica o tensor de inércia do corpo rígido em relação ao sistema de referência fixo OXYZ.

6.9.4 - Energia cinética no movimento de rotação em torno de um eixo fixo Para um corpo rígido que executa um movimento de rotação em torno de um

eixo fixo OO , o equacionamento para a obtenção da expressão da energia cinética é o memso apresentado para o caso de movimento com um ponto fixo (equações (6.48) a (6.51)). Se fizermos o eixo OZ coincidir com o eixo OO , conforme ilustrado na Figura 6.8, a equação (6.51) assume a forma:

2

21

ZZJT (6.52)

Figura 6.8

O

Y

X

Z

G

O

O

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

195

6.10 – Princípio do trabalho-energia cinética para os corpos rígidos

O princípio do trabalho-energia cinética foi estabelecido para um sistema de partículas através da equação (4.46). Este princípio pode ser estendido ao corpo rígido se o imaginarmos como sendo constituído de um número infinito de partículas de massas infinitesimais, como fizemos nas seções anteriores. Assim, podemos expressar da seguinte forma o princípio do trabalho-energia cinética para os corpos rígidos:

2211 TWT (6.53)

onde 1T e 2T são a energias cinéticas do corpo rígido nas posições inicial e final, expressas nas formas apresentadas na Seção 6.8, e 21W representa o trabalho resultante de todas as forças e momentos externos aplicados ao corpo rígido. Neste ponto, uma diferenciação importante dever ser feita em relação aos sistemas discretos de partículas. Na equação (4.46) 21W designa o trabalho

resultante incluindo os trabalhos das forças externas e internas. No caso de corpos rígidos, as forças internas têm trabalho líquido nulo, de modo que em (6.53) devem ser incluídos apenas os trabalhos dos esforços externos. A demonstração de que as forças internas realizam trabalho total nulo durante o movimento de corpos rígidos é feita a seguir, com o auxílio da Figura 6.9. Tomando duas partículas genéricas do corpo rígido, iP e jP , são indicadas as forças

internas exercidas uma sobre a outra, ijf

e jif

. Designando ainda por ird

e jrd

os

deslocamentos elementares arbitrários sofridos pelas duas partículas, o trabalho elementar líquido realizado pelo par de forças internas é dado por: jjjiiiijjjiiij

ij cosrdfcosrdfrdfrdfdW

(6.54)

Notamos agora que:

jiij ff

devido à hipótese de rigidez ideal, o comprimento do segmento jiPP deve

permanecer invariável. Isto significa que as projeções dos deslocamentos ird

e jrd

sobre o segmento jiPP devem anular-se, ou seja:

jjii cosrdcosrd

.

Estas duas considerações levam à conclusão que o trabalho líquido de cada par de forças internas, dado por (6.54) resulta ser nulo. Isto implica que o trabalho líquido realizado por todas as forças internas é igualmente nulo.

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

196

Figura 6.9

Os esforços externos atuantes sobre os corpos rígidos podem ser de dois tipos:

forças e momentos (binários). O trabalho de uma força foi definido na Seção 3.12.1, sendo dado pela equação (3.68), repetida abaixo:

2

1

21

r

r

F rdFW

Conforme mostrado na Figura 6.10, um momento ou binário M representa o

efeito de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos, F

e F

, aplicadas em dois pontos A e B do corpo rígido, separados por uma distância r, sendo dado por:

FrM (6.55)

No S.I., o momento tem unidades de [N.m]. Qualquer deslocamento do corpo

rígido transportando os pontos A e B para as posições finais A e B pode ser dividido em duas partes: uma na qual os dois A e B têm deslocamentos iguais 1rd

,

sendo levados para as posições A e B , e outra na qual o ponto A permanece na posição A , enquanto B se move para a posição B , sofrendo um deslocamento 2rd

,

cujo módulo vale rdds 2 . Na primeira parte do movimento o trabalho líquido do

par de forças vale 011 rdFrdF

. Na segunda parte do movimento apenas a

força F

realiza trabalho que vale FrddsFrdF 22

. Levando em conta (6.55), o trabalho elementar realizado pelo binário M é dado por:

MddW M 21 (6.56)

iP

jP

ird

jrd

ijf

jif

i

j

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

197

O trabalho realizado pelo binário M durante uma rotação finita do corpo do corpo rígido entre duas posições angulares 1 e 2 é obtido por integração de (6.56):

2

121

MdW M

(6.57)

Figura 6.10

6.11 – Princípio da conservação da energia mecânica para os corpos rígidos

De acordo com a Seção 3.12.4, quando todos os esforços externos que atuam

sobre o corpo rígido são conservativos, podemos associar a cada um deles uma função energia potencial, e o trabalho resultante dos esforços externos pode ser expresso segundo:

2121 VVW (6.58)

Introduzindo (6.58) em (6.53), obtemos: 2211 VTVT (6.59.a)

2rd

F

F

1rd

1rd

d

A

A

B

B

B

r

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

198

ou: 21 EE (6.59.b) onde VTE é a energia mecânica do corpo rígido. As equações (6.59) expressam o princípio da conservação da energia mecânica para os corpos rígidos. 6.12 – Princípio do impulso-quantidade de movimento para os corpos

rígidos. Conservação da quantidade de movimento

Nas Seções 4.6 e 4..7 foi estabelecido o princípio do impulso-quantidade de movimento para sistemas discretos de partículas, sumarizado na Figura 4.7. Mais uma vez, este princípio pode ser estendido ao corpos rígidos. Na Figura 6.2 da Seção 6.1 é ilustrada a equipolência para os sistemas de quantidades de movimento do corpo rígido. A combinação destes dois resultados leva à interpretação do princípio do impulso-quantidade de movimento para os corpos rígidos em termos da equipolência entre os sistemas de vetores mostrados na Figura 6.11.

Figura 6.11

G

11 GvML

11 GG JH

G

2

1

t

t

dtF

G

21 GvML

22 GG JH

+

=

D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

199

No caso em que o corpo rígido não sofre ação de nenhuma força externa, o sistema de impulsos externos resulta identicamente nulo e o sistema de quantidades de movimento permanece invariável. Neste caso, dizemos que há conservação da quantidade de movimento do corpo rígido. 6.13 – Bibliografia BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-

Prentice Hall, 2005. KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, 1977. TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 1997. SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição.

Pearson–Prentice Hall, 2003. SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics,

Prentice-Hall, 1999.

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANOTAÇÕES  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

200

CAPÍTULO 7

FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

7.1 - Introdução

A Mecânica baseada nas Leis de Newton e nos Princípios de Euler aplicadas a partículas, sistemas de partículas ou corpos rígidos é também denominada Mecânica Vetorial, uma vez que faz uso de grandezas vetoriais: forças, momentos, acelerações lineares e acelerações angulares. Conforme pudemos ver nos capítulos anteriores, a aplicação dos métodos derivados da Mecânica Vetorial requer a elaboração de diagramas de corpo livre para cada um dos corpos que compõem o sistema mecânico em estudo, e o estabelecimento das relações envolvendo as forças e/ou momentos e as acelerações lineares e angulares.

Embora sejam teoricamente aplicáveis a qualquer tipo de sistema mecânico, os métodos da Mecânica Vetorial podem ter seu uso dificultado no caso de sistemas complexos, formados por significativo número de componentes interconectados, que podem ainda estar sujeitos a diversos tipos de restrições cinemáticas. Nestes casos, uma alternativa que se revela interessante é aquela baseada no uso de métodos que compõem a chamada Mecânica Analítica, que enfocamos neste capítulo.

Diferentemente da Mecânica Vetorial, que faz uso de grandezas vetoriais, a Mecânica Analítica se baseia no uso de quantidades escalares: trabalho de forças e momentos, energia cinética e energia potencial. Tal característica nos permite tratar com maior facilidade sistemas mecânicos complexos sem que seja necessário decompor tais sistemas em seus elementos constituintes.

Podemos afirmar que a Mecânica Analítica constitui uma generalização dos princípios de energia (Princípio do Trabalho-Energia Cinética e Princípio da Conservação da Energia Mecânica) que utilizamos nos capítulos anteriores para estudar a dinâmica de partículas, sistemas de partículas e corpos rígidos, nos capítulos anteriores.

Nas seções seguintes são desenvolvidos e ilustrados, com exemplos, os princípios fundamentais da Mecânica Analítica. Conforme veremos, os procedimentos de obtenção das equações do movimento tornam-se mais abstratos, requerendo o uso de um formalismo matemático adequado.

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

201

7.2 – Princípio do Trabalho Virtual Aplicado a Sistemas de Partículas

A Figura 7.1 ilustra um conjunto de n partículas. Sobre uma partícula genérica iP , de massa im , estão indicadas:

• iF

: a resultante das forças impostas sobre a partícula, representando as ações mecânicas dos corpos a ela vizinhos, incluindo as forças exercidas pelas outras partículas do sistema;

• if

: a força de restrição exercida sobre pela superfície de restrição iS sobre a

qual iP é forçada a se mover. Negligenciaremos, por enquanto, o atrito, de modo que a força de restrição terá sempre a direção normal à superfície de restrição, indicada na Figura 7.1 por in . • ir

: vetor posição da partícula em relação ao sistema de referência, suposto

fixo, OXYZ .

Figura 7.1

Aplicando a Segunda Lei de Newton para cada partícula do sistema, considerada isoladamente, escrevemos: iiii rmfF

i=1, 2, ..., n (7.1)

Y

nP 1r

X

Z

ir

nr

iP

1P

O

1F

iF

nF

nf

if

1f

1r

ir

nr

it

in

1S

iS

nS

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

202

O Princípio de d’Alembert, apresentado na Seção 3.6, nos permite escrever (7.1) sob a forma:

0 iiii rmfF

i=1, 2, ..., n (7.2) com a interpretação de que, para um observador movimentando-se juntamente com a partícula, esta é observada em estado de equilíbrio sob a ação das forças iF

, if

e

da força de inércia ii rm . Esta situação é denominada equilíbrio dinâmico. Introduzimos agora o conceito dos chamados deslocamentos virtuais, que serão denotados por 1r

, ..., ir , ..., nr

. Tais deslocamentos virtuais são concebidos com as seguintes propriedades: • são perturbações imaginárias, infinitesimais e arbitrárias das posições das partículas, que não violam as restrições cinemáticas impostas pelas superfícies de restrição. Esta última condição implica que os deslocamentos virtuais devem ter a direção tangente à superfície de restrição, na posição instantaneamente ocupada pela partícula. Assim, conforme ilustra a Figura 7.1, os vetores if

e ir

são mutuamente perpendiculares. • são admitidos ocorrer instantânea e simultaneamente, de modo que aos deslocamentos virtuais não associamos nenhum lapso de tempo finito. Desta forma, as forças aplicadas às partículas do sistema não variam em decorrência dos deslocamentos virtuais. Em termos de coordenadas cartesianas, os vetores posição das partículas são dados por:

kZjYiXr iiii

, i=1, 2, ..., n

de modo que os deslocamentos virtuais podem ser expressos segundo:

kZjYiXr iiii

, i=1, 2, ..., n onde iii ZYX ,, são entendidos como variações dadas às coordenadas que representam a posição das partículas em relação ao sistema de referência empregado. Em virtude de (7.2), podemos afirmar que, na situação de equilíbrio dinâmico, o trabalho realizado por todas as forças aplicadas sobre a partícula iP , incluindo a força de inércia, associado ao deslocamento virtual ir

é nulo, ou seja: 0 iiiii rrmfF

i=1, 2, ..., n (7.3)

Do fato dos vetores if

e ir

serem mutuamente perpendiculares resulta que

as forças de restrição produzem trabalho virtual nulo ( 0 ii rf

) e (7.3) fica:

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

203

0 iiii rrmF

i=1, 2, ..., n (7.4)

Adicionando as n equações (7.4), obtemos:

01

n

iiiii rrmF

(7.5)

ou ainda: 0 IF WW (7.6) onde:

n

iii

F rFW1

e IW

n

iiii rrm

1

(7.7)

designam o trabalho virtual das forças impostas e o trabalho virtual das forças de inércia, respectivamente. A equação (7.6) expressa o Princípio do Trabalho Virtual, o qual estabelece que para qualquer posição de um sistema de partículas, o trabalho virtual total realizado por todas as forças impostas e todas as forças de inércia resulta nulo para todo e qualquer conjunto arbitrário de deslocamentos virtuais introduzidos a partir daquela posição. 7.3 – Princípio de Hamilton No desenvolvimento que segue, ao operador , que designa uma variação virtual, serão atribuídas as mesmas propriedades do operador diferencial do Cálculo Diferencial. A fim de desenvolver (7.5), introduzimos a identidade:

iiiiiiii

ii rrrrrrrrdt

rrd

2

1

donde:

ii

iiii rr

dt

rrdrr

2

1

(7.8)

Introduzindo (7.8) em (7.5) e desenvolvendo a equação resultante, escrevemos:

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

204

n

iii rF

1

0

2

1

11

n

iiii

n

i

iii rrm

dt

rrdm

(7.9)

Em (7.9), reconhecemos (ver equação (4.41)):

n

iiii rrmT

12

1 (energia cinética do sistema de partículas), (7.10)

de modo que podemos reescrever (7.9) sob a forma:

TW F

n

i

iii dt

rrdm

1

(7.11)

Observamos que, no caso geral, a energia cinética pode ser expressa como uma função de várias variáveis. Em termos das componentes cartesianas dos vetores posição e velocidade das partículas do sistema, tal função assume a forma: nnnnnn zyxzyxzyxzyxzyxzyxTT ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 222111222111 , (7.12) de modo que T designa o diferencial total da função T, expresso segundo:

nn

nn

nn

zz

Ty

y

Tx

x

Tz

z

Ty

y

Tx

x

TT

11

11

11

nn

nn

nn

zz

Ty

y

Tx

x

Tz

z

Ty

y

Tx

x

T

11

11

11

(7.13)

Multiplicando (7.11) por dt e integrando entre dois instantes de tempo 1t e 2t , temos:

dtTWt

t

F2

1

2

1

2

1 11

t

t

n

iiii

t

t

n

i

iii rrmdt

dt

rrdm

(7.14)

Neste ponto, admitiremos que os deslocamentos virtuais, embora arbitrários, sejam nulos nos instantes 1t e 2t ., ou seja, 021 trtr ii

, i=1,2,...,n, de modo que, da equação (7.14), resulta:

02

1 dtTW

t

t

F (7.15)

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

205

Admitindo que as forças impostas sejam todas conservativas, de acordo com a equação (3.78), podemos escrever: VW F (7.16) onde V é a energia potencial associada às forças impostas, que depende exclusivamente das posições ocupadas pelas partículas do sistema. Em coordenadas cartesianas, esta função é expressa segundo: nnn z,y,x,,z,y,x,z,y,xVV 222111 (7.17) de modo que V é interpretado como o diferencial total da função V, dado por:

nn

nn

nn

zz

Vy

y

Vx

x

Vz

z

Vy

y

Vx

x

VV

11

11

11

(7.18)

Assim, introduzindo (7.16) em (7.15), escrevemos:

2

1

0t

t

dtVT

ou ainda:

02

1

t

t

dtL (7.19)

onde: VTL (7.20) é o chamado Lagrangeano do sistema. Levando em conta (7.12) e (7.17), observamos que o Lagrangeano assume a forma de uma função de várias variáveis, em termos das componentes dos vetores posição e velocidade da partículas. Assim, escrevemos: nnnnnn zyxzyxzyxzyxzyxzyxLL ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 222111222111 , (7.21) e:

nn

nn

nn

zz

Ly

y

Lx

x

Lz

z

Ly

y

Lx

x

LL

11

11

11

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

206

nn

nn

nn

zz

Ly

y

Lx

x

Lz

z

Ly

y

Lx

x

L

11

11

11

(7.22)

Podemos permutar os operadores integração e diferenciação, expressando

então (7.19) sob a seguinte forma alternativa:

2

1

0t

t

dtL (7.23)

As equações (7.19) e (7.23) expressam o chamado Princípio de Hamilton, que se aplica aos casos em que todas as forças impostas são conservativas. Este princípio que estabelece que dentre todos os movimentos possíveis de ser realizados pelo sistema mecânico, satisfazendo as restrições cinemáticas impostas, entre dois instantes de tempo subseqüentes quaisquer t1 e t2, o movimento realmente desenvolvido pelo sistema é aquele torna nula a variação total da função de várias variáveis dada por:

2

1

t

t

dtLI (7.24)

Isto significa que as posições e velocidades desenvolvidas pelas partículas

durante o seu movimento correspondem a um ponto crítico da função dada por (7.24). No âmbito do Cálculo Variacional, este tipo de função, representada por uma integral definida, é denominada funcional. 7.4 O Princípio de Hamilton Estendido

Quando, além das forças impostas conservativas, houver forças impostas não conservativas, podemos, em (7.15), separar os trabalhos realizados por estes dois tipos de forças, escrevendo:

F

ncF

cF WWW (7.25)

onde F

ncF

c WW e designam, os trabalhos realizados pelas forças impostas conservativas e não conservativas, respectivamente. Fazendo uso da relação (7.16), para as forças impostas conservativas, escrevemos: VW F

c (7.26) Introduzindo (7.25) em (7.15), levando em conta (7.26), escrevemos:

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

207

02

1

2

1 dtWdtL

t

tF

nct

t (7.27)

A equação (7.27) traduz o chamado Princípio de Hamilton Estendido, aplicável aos casos em que existem forças impostas não conservativas. É importante observar que, no segundo termo do lado esquerdo de (7.27),

FncW representa o trabalho virtual das forças não conservativas, o qual não pode ser

expresso sob a forma de diferencial total de uma função de várias variáveis. Em conseqüência (7.27) não pode ser interpretada como a condição de ocorrência de um ponto crítico de um funcional.

Outra observação a ser feita é que, embora tenham sido desenvolvidos para sistemas de partículas, o Princípio de Hamilton e o Princípio de Hamilton Estendido por ser imediatamente aplicáveis a sistemas mecânicos formados por corpos rígidos, desde que sejam corretamente computadas suas energias cinética e potencial e os trabalhos virtuais das forças e momentos aplicadas a estes corpos, de acordo com a formulação desenvolvida nas seções 6.9 e 6.10. Exemplo 7.1: Sabendo que no sistema ilustrado na Figura 7.2 a mola está indeformada quando r=ro, obteremos as equações diferenciais do movimento. Na figura abaixo, t representa um torque externo, m e mo designam, respectivamente, a massa do cursor e da barra uniforme OA e k é a constante de rigidez da mola. Obtenhamos as equações do movimento do sistema em termos das grandezas r e definidas na figura.

Figura 7.2

mo

m

L

O

A

r

k

r

t Ref.

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

208

Considerando o torque externo t como um esforço não conservativo, utilizaremos o Princípio de Hamilton Estendido, dado pela equação (7.27), repetida abaixo:

02

1

2

1 dtWdtL

t

tF

nct

t (a)

Em termos das coordenadas radial-transversal indicadas na figura, escrevemos as seguintes expressões para a energia cinética e potencial do sistema:

barracursor TTT

onde:

2222

2

1

2

1 rrmvvmT rcursor

222

6

1

2

1 LmJT oobarra (rotação não baricêntrica)

(elást.)(gravit.)(gravit.) molabarracursor VVVV

onde: cosmgrVcursor

cos2

LgmV obarra

22

1omola rrkV

Com base nas equações acima, escrevemos o Lagrangeano sob a forma:

22

2

1 rrmL 22

6

1 Lmo cosmgr cos2

Lgmo 2

2

1orrk (b)

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

209

O trabalho virtual do torque não conservativo é dado por:

FncW (c)

Com o entendimento que o operador funciona como o diferencial total, escrevemos:

LL

rr

Lr

r

LL (d)

A partir de (b), avaliamos as derivadas parciais indicadas na equação acima:

22

2

1 rrmL 22

6

1 Lmo cosmgr cos2

Lgmo 2

2

1orrk (b)

2mrr

L

cosmgrrk o rm

r

L

sen2

senL

gmmgrL

o

22

3

1Lmmr

Lo

Introduzindo estas derivadas em (d), escrevemos:

rrmrmgrrkmrL o cos2

222

3

1sen

2sen Lmmr

Lgmmgr oo (e)

Introduzindo (c) e (e) em (a), obtemos:

rrmrmgrrkmrt

to

2

1

cos2

03

1

2222

dtLmmrsen

Lgmsenmgr oo (f)

Desenvolvemos, em seguida, eliminar os diferenciais das variações temporais das coordenadas que aparecem em (f). Para tanto, efetuamos as seguintes integrações por partes:

• 2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

tt dtrrrrmdtrrm

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

210

2

1

2

1

2222

3

1

3

1t

t

t

too LmmrdtLmmr

dtLmmrrmrt

t o

1

2

22

3

12

Introduzindo as duas últimas equações em (f), após rearranjo, escrevemos:

2

1

2t

to rrmcosmgrrkmr

dtLmmrrmrsen

Lgmmgrsen oo 22

3

12

2

03

1 2

1

22

t

to Lmmrrrm (g)

Relembrando que e r devem ser nulas em t=t1 e t=t2, o último termo do lado esquerdo da equação acima resulta nulo. Além disso, como a equação resultante deve ser satisfeita para quaisquer incrementos arbitrários e r , a equação (g) é satisfeita se forem nulas as funções que multiplicam estes incrementos. Deste fato, resultam as equações diferenciais do movimento do sistema:

0cos2 mgrrkrrm o (h)

tgsenL

mmrrmrLmmr oo

22

3

1 22 (i)

Observemos que as equações do movimento são acopladas e não lineares. A partir de um conjunto de condições iniciais, e dada a função que define o torque externo aplicado t , estas equações podem ser integradas numericamente (ver Seção 3.8) para obtenção das funções que tr e t que definem a configuração do sistema em função do tempo. 7.5 Número de graus de liberdade e coordenadas generalizadas

Considerando o sistema de n partículas mostrado na Figura 7.1, podemos afirmar que, se todas as partículas puderem se mover livre e independentemente uma das outras, a posição de cada uma delas fica determinada por três coordenadas espaciais iii zyx ,, i=1,2,...,n, de modo que, para a completa determinação da configuração espacial do sistema são necessárias 3n coordenadas. Contudo, se houver restrições cinemáticas que limitam o movimento das partículas a uma dada região do espaço ou impedem algum tipo de movimento relativo entre as partículas, algumas destas 3n coordenadas tornam-se dependentes entre si. Neste caso, o

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

211

número de coordenadas independentes necessárias e suficientes para determinar a configuração espacial do sistema é dado por:

N = 3n – p (7.28) onde p é o número de equações de restrição impostas pelas restrições cinemáticas e N é o denominado número de graus de liberdade do sistema. No caso de sistemas formados por corpos rígidos, o número de coordenadas necessárias para definir a posição espacial de cada corpo é 6 (3 coordenadas lineares e 3 coordenadas angulares), de modo que o número de graus de liberdade de um sistema formado por n corpos rígidos é dado por:

N = 6n – p (7.29) A escolha do conjunto de coordenadas independentes é arbitrária, embora seu número permaneça invariável. Qualquer conjunto de N coordenadas independentes constitui um conjunto de coordenadas generalizadas, que serão aqui denotadas por Nqqq ,,, 21 . Ilustramos os conceitos de número de graus de liberdade e coordenadas generalizadas com o auxílio do seguinte exemplo. Exemplo: No sistema ilustrado na Figura 7.3, as partículas P1 e P2 são forçadas a se mover sobre o plano x-y, estando ligadas pela barra rígida de comprimento L. Para este sistema, determinemos o número de graus de liberdade e um conjunto de coordenadas generalizadas.

Figura 7.3 No caso em questão temos um sistema com duas partículas (n=2) e número toal de coordenadas é 3n=6. Em termos das componentes de seus vetores posição em

P1

P2

L

y

x

z

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

212

relação ao sistema de eixos indicados na figura, estas seis coordenadas são denotas por 222111 z,y,x,z,y,x . No entanto, estas seis coordenadas não são todas indepentes, uma vez que as seguintes as equações de restrição devem ser satisfeitas. z1=0 z2=0 22

122

12 Lyyxx Temos então p = 3 (três equações de restrição), de modo que, de acordo com a equação (7.28), o número de graus de liberdade do sistema resulta ser N=323=3. Alguns conjuntos possíveis de coordenadas generalizadas são: ( 11 xq , 12 yq , 23 xq )

( 11 xq , 12 yq , 13 yq ) ( 11 xq , 12 yq , 3q )

7.6 Equações de Lagrange

Nesta seção, desenvolveremos a formulação que, partindo do Princípio de Hamilton Estendido, conduz às chamadas Equações de Lagrange do Movimento, as quais constituem uma forma bastante elegante e expedita para a obtenção das equações do movimento de sistemas dinâmicos.

As equações de Lagrange são formuladas em termos de coordenadas generalizadas, cujo conceito foi introduzido na Seção 7.6.

Para o conjunto de n partículas mostrado na Figura 7.1, podemos sempre expressar os vetores posição das partículas em função de um conjunto previamente escolhido de N coordenadas generalizadas através de relações do tipo:

tqqqrr Nii ,,,, 21

i=1,2, ..., n (7.30) Em termos de coordenadas cartesianas, a transformação (7.30) pode ser detalhada como segue: kzjyixr iiii

(7.31)

com: tqqqxx Nii ,,, 21

tqqqyy Nii ,,, 21 (7.32)

tqqqzz Nii ,,, 21 i=1,2, ..., n

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

213

Buscaremos, em seguida, representar as velocidades das partículas em termos das coordenadas generalizadas. Para tanto, empregando a regra da cadeia da derivação, derivamos (7.30) em relação ao tempo, escrevendo: kzjyixv iiii

(7.33) com:

t

xq

q

x

t

xq

q

xq

q

xq

q

x

dt

dxx i

N

jj

j

iiN

N

iiiii

1

22

11

t

yq

q

yq

q

yq

q

y

dt

dyy i

NN

iiiii

22

11

t

yq

q

y iN

jj

j

i

1

(7.34)

t

zq

q

zq

q

zq

q

z

dt

dzz i

NN

iiiii

22

11

t

zq

q

z iN

jj

j

i

1

i=1,2, ..., n

Levando em conta (7.31), a expressão da energia cinética do sistema de

partículas, dada por (7.10), é desenvolvida da seguinte forma:

n

iiiii

n

iiii zyxmvvmT

1

222

1 2

1

2

1 (7.35)

Introduzindo (7.34) em (7.35), escrevemos:

2

1

2

1

2

112

1

t

zq

q

z

t

yq

q

y

t

xq

q

xmT i

N

jj

j

iiN

jj

j

iiN

jj

j

in

ii

Na equação acima podemos perceber que, de modo geral, a energia cinética será função das coordenadas generalizadas nqqq ,, 21 , de suas derivadas temporais nqqq ,, 21 e do tempo t. Assim, escrevemos: tqqqqqqTT NN ,,,,,, 2121 (7.36) Da mesma forma, a energia potencial, que é função exclusiva dos vetores posição (e, eventualmente, do tempo), sendo expressa sob a forma: tqqqqqqVV NN ,,,,,, 2121 (7.37) Com base em (7.36) e (7.37), podemos expressar o Lagrangeano como uma função das coordenadas generalizadas nqqq ,, 21 , de suas derivadas temporais nqqq ,, 21 e do tempo t:

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

214

tqqqqqqLVTL NN ,,,,,, 2121 (7.38) A partir de (7.38), podemos expressar da seguinte forma a variação do Lagrangeano associada a um conjunto arbitrário de deslocamentos virtuais:

NN

NN

qq

Lq

q

Lq

q

Lq

q

Lq

q

Lq

q

LL

22

11

22

11

ou:

N

jj

jj

j

qq

Lq

q

LL

1

(7.39)

Notemos que, de acordo com as propriedades atribuídas aos deslocamentos

virtuais (ver Seção 7.2), a variação no tempo, representada pelo termo dttL não é incluída no desenvolvimento que conduz a (7.39). No desenvolvimento que segue, buscaremos expressar o trabalho virtual das forças não conservativas em termos das coordenadas generalizadas. Para tanto, escrevemos:

n

ii

nci

Fnc rFW

1

(7.40)

Fazendo uso da equação (7.30), expressamos os deslocamentos virtuais sob a forma:

ir N

N

iii qq

rq

q

rq

q

r

2

21

1

N

jj

j

i qq

r

1

(7.41)

onde os termos jq , j=1,2, ..., N, são entendidos como variações arbitrárias e

independentes introduzidas nas coordenadas generalizadas. Notemos, mais uma vez que, de acordo com as propriedades atribuídas aos

deslocamentos virtuais (ver Seção 7.2), a variação no tempo, representada pelo termo dttri

não é incluída no desenvolvimento (7.41).

Introduzindo (7.39) em (7.38), escrevemos:

FncW

N

jj

n

i j

inci q

q

rF

1 1

(7.42)

ou ainda:

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

215

FncW

N

jjj qQ

1

(7.43)

onde:

n

i j

incij q

rFQ

1

(7.44)

são os denominados esforços generalizados. Voltemos agora ao Princípio de Hamilton Estendido, expresso pela equação (7.27), repetida abaixo:

02

1

2

1 dtWdtL

t

t

Fnc

t

t 7.45)

Introduzindo (7.39) e (7.43) em (7.45), escrevemos:

dtqq

Lq

q

Lt

t

N

jj

jj

j

2

1 1

02

1 1

dtqQ

t

t

N

jjj

Rearrajando:

02

1 1 1

dtqq

LqQ

q

Lt

t

N

j

N

jj

jjj

j

(7.46)

Efetuamos em seguida as seguintes integrações por partes:

dtqq

L

dt

dq

q

Ldtq

q

Lt

t

N

jj

j

t

t

jj

t

t

N

jj

j

2

1

2

1

2

1 11

(7.47)

Considerando a hipótese que os deslocamentos virtuais (e, portanto, as variações correspondentes das coordenadas generalizadas) devem anular-se nos instantes 1t e 2t , ou seja, 021 tqtq jj (ver Seção 7.4), o primeiro termo do

lado direito de (7.47) resulta nulo. Introduzindo então a equação resultante em (7.46), escrevemos, após alguns rearranjos:

02

1 1

dtqQq

L

q

L

dt

dt

t

N

jjj

jj

(7.48)

Uma vez que a equação acima deve ser satisfeita para todo e qualquer conjunto de variações virtuais arbitrárias e independentes, jq , j=1,2, ..., N, resulta

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

216

que as funções que multiplicam cada uma das variações jq em (7.48) devem

anular-se identicamente. Assim, temos:

jjj

Qq

L

q

L

dt

d

j=1,2, ..., N (7.49)

As equações (7.49) são as denominadas Equações de Lagrange do movimento.

Note-se que tais equações apresentam-se sob a forma de equações diferenciais de segunda ordem na variável tempo, que constituem as equações do movimento do sistema mecânico.

Devemos também observar que, embora tenham sido deduzidas para sistemas de partículas, as Equações de Lagrange na forma (7.49) podem ser imediatamente aplicadas a sistemas constituídos de corpos rígidos, bastando que se usem as expressões adequadas para o cálculo das energias cinética e potencial que compõem o Lagrangeano.

O uso das equações de Lagrange para a obtenção das equações do movimento é ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 7.2: Considerando o sistema mecânico apresentado do Exemplo 7.1, obtenhamos as equações diferenciais do movimento utilizando as Equações de Lagrange.

Como as coordenadas ,r são independentes, podemos adotá-las como coordenadas generalizadas e as duas equações de Lagrange do movimento, expressas por (7.49) tomam as formas:

rQr

L

r

L

dt

d

(i)

Q

LL

dt

d

(ii)

Sendo o trabalho virtual do torque não conservativo, dado por:

FncW

e desenvolvendo (7.43) considerando a escolha feita para as coordenadas generalizadas: F

ncW QrQr , constatamos que:

0rQ Q (iii)

D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA

217

Efetuando as derivadas parciais indicadas em (i) e (ii), a partir da expressão

do Lagrangeano dada pela Eq. (a) do Exemplo 7.1, obtemos:

22

2

1 rrmL 22

6

1 Lmo cosmgr cos2

Lgmo 2

2

1orrk (b)

r

L

rm rmr

L

dt

d

r

L orrkmgmr cos2

L 22

3

1Lmmr o

L

dt

d 22

3

12 Lmmrrmr o

L sen

Lgmmgrsen o 2

(iv)

Introduzindo as equações (iii) e (iv) em (i) e (ii), obtemos, as seguintes

equações do movimento, que são idênticas às equações (h) e (i) obtidas no Exemplo 7.1:

0cos2 mgrrkrrm o (h)

tgsenL

mmrrmrLmmr oo

22

3

1 22 (i)

7.7 Bibliografia FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt

Brace College Publishers, 1998. LEMOS, N., Mecânica Analítica, 2ª Edição, Editora Livraria da Física, 2007. LANCZOS, C., The Variational Principles of Mechanics, Fourth Edition,

University of Toronto Press, 1977.

APÊNDICE A

Transformação de coordenadas. Problema de autovalor associado à determinação de momentos principais de inércia e eixos

principais de inércia  

 

D.A. RADE APÊNDICE A

224

APÊNDICE A

Transformação de coordenadas. Problema de autovalor associado à determinação de momentos principais de inércia e

eixos principais de inércia

Apresentamos neste Apêndice o desenvolvimento baseado na Álgebra Linear, que demonstra que a determinação dos momentos principais de inércia e dos cossenos diretores dos eixos principais de inércia pode ser formulada matematicamente como um problema de autovalor, expresso através da equação (5.45), juntamente com a condição de normalização (5.46).

Consideremos inicialmente os dois sistemas de referência Oxyz e 111 zyOx , mostrados na Figura A.1. Admitimos que o sistema 111 zyOx tenha sido obtido mediante uma rotação do sistema Oxyz em torno de um eixo que passa pela origem comum O.

Associamos a estes dois sistemas as bases ortonormais k,j,i

e 111 k,j,i

, indicadas na Figura A.1.

Figura A.1

Consideremos uma quantidade vetorial qualquer Q

, indicada na Figura A.1.

Suas representações em termos de suas componentes expressas nos dois sistemas de referência em questão são as seguintes.

x

y

O

z

1x

1y

1z

i

j

k

1k

1i

1j

O

D.A. RADE APÊNDICE A

225

• Em relação ao sistema Oxyz:

kQjQiQQ zyx

(A.1)

• Em relação ao sistema 111 zyOx :

111 111kQjQiQQ zyx

(A.2)

Buscamos, a seguir, obter as relações entre as componentes de Q

expressas

em termos dos dois sistemas de eixos em questão. Para tanto, partimos da identidade das duas representações (A.1) e (A.2): kQjQiQ zyx

111 111

kQjQiQ zyx

(A.3)

Computando o produto escalar de ambos os lados da equação (A.3) pelo vetor unitário i

, obtemos:

kiQjiQiiQ zyx

111 111

kiQjiQiiQ zyx

(A.4)

Levando em conta que a base vetorial k,j,i

é ortonormal, temos as relações:

1 ii

0 ji

0ki

Além disso, com base na definição do produto escalar entre dois vetores, escrevemos: 1111 i,icosi,icosiiii

1111 j,icosj,icosjiji

1111 k,icosk,icoskiki

,

onde 1i,i

designa o ângulo formado entre as direções dos vetores i

e 1i

, sendo a mesma notação utilizada para designar os ângulos formados entre os demais pares de vetores que aparecem nas equações acima. Assim, a equação (A.4) conduz a: xQ 111 111

k,icosQj,icosQi,icosQ zyx

(A.5)

Repetindo o procedimento, calculando o produto escalar de ambos os lados de (A.3) pelos vetores unitários j

e k

, sucessivamente, obtemos as equações:

D.A. RADE APÊNDICE A

226

yQ 111 111

k,jcosQj,jcosQi,jcosQ zyx

(A.6)

zQ 111 111

k,kcosQj,kcosQi,kcosQ zyx

(A.7)

As equações (A.5) a (A.7) podem ser dispostas na seguinte forma matricial:

1

1

1

111

111

111

z

y

x

z

y

x

QQQ

k,kcosj,kcosi,kcosk,jcosj,jcosi,jcosk,icosj,icosi,icos

QQQ

(A.8)

A equação (A.8) é escrita sob a forma compacta:

111

111zyx

zyxxyzxyz QTQ (A.9)

Vemos, pois, que as componentes do vetor Q

expressas nos dois sistemas de

referência considerados relacionam-se através de uma transformação linear,

expressa por (A.9), onde 111 zyxxyzT é a matriz da transformação linear.

Vamos agora considerar o problema de determinação dos eixos principais de inércia e momentos principais de inércia. Demonstraremos que esta determinação é feita através da resolução do problema de autovalor (5.45), associado à condição (5.46), sendo estas duas equações repetidas abaixo:

03 ii vIJ , (A.10)

1iT

i vv , 3 ,2 ,1i , (A.11)

onde J é o tensor de inércia em relação aos eixos Oxyz. De acordo com equação (5.34), o momento de inércia em relação a um dado

eixo OO é dado pela expressão:

uJuJ T'OO ,

onde:

z

y

x

u

u

u

u

é o vetor unitário na direção do eixo OO e:

D.A. RADE APÊNDICE A

227

zyzxz

yzyxy

xzxyx

JPP

PJPPPJ

J

é o tensor de inércia do corpo rígido em relação ao sistema Oxyz.

Desejamos encontrar um outro sistema de referência 111 zyOx , obtido mediante uma rotação do sistema Oxyz em torno de um eixo que passa pela origem comum O, conforme mostrado na Figura A.1, de modo que, em relação a este sistema, possamos escrever:

u~J~u~J T'OO , (A.12)

onde:

3

2

1

u~u~u~

u~

é o vetor unitário do eixo OO , expresso no sistema 111 zyOx , e:

3

2

1

00

00

00

JJ

JJ~

é o tensor de inércia diagonal, computado em relação ao sistema 111 zyOx . O desenvolvimento de (A.12) leva à expressão: 2

332

222

11 u~Ju~Ju~JJ OO (A.13) A relação entre os vetores unitários u e u~ é estabelecida pela transformação (A.9):

u~Tu zyxxyz

111 (A.14)

Introduzindo (A.14) em (A.12), obtemos:

u~TJTu~J zyxxyz

Tzyxxyz

T'OO

111111 (A.15)

Comparando (A.15) e (A.12), notamos que o problema consiste em determinar

a matriz de transformação 111 zyxxyzT de modo que:

D.A. RADE APÊNDICE A

228

111111 zyxxyz

Tzyxxyz TJTJ~ (A.16)

seja uma matriz diagonal. Vamos mostrar, em seguida, que a matriz de transformação procurada é dada por:

321

111 vvvT zyxxyz , (A.17)

onde iv , i=1 a 3 são os autovetores do problema (A.10). Para tanto, desenvolvamos (A.10) para dois pares distintos de autovalores-autovetores: ii v, , jj v, :

iii vvJ (A.18) jjj vvJ (A.19)

Premultiplicando (A.18) por Tjv e (A.19) por Tiv , obtemos:

iT

jiiT

j vvvJv (A.20)

jT

ijjT

i vvvJv (A.21)

Subtraindo as duas equações acima e levando em conta que J é uma matriz

simétrica, obtemos: 0 i

Tjji vv

Admitindo que os autovalores sejam distintos ij , da equação acima

decorre: 0i

Tj vv (A.22)

Esta última equação revela que autovetores distintos da matriz J são ortogonais entre si. Considerando todas as combinações de valores dos índices i e j, e levando em conta a relação (A.17), combinamos as equações (A.22) e (A.11) na seguinte expressão matricial:

3111111 ITT zyx

xyz

Tzyxxyz (A.23)

Avaliando a equação (A.20) para todas as combinações de índices i e j,

fazendo uso de (A.11) e (A.23), podemos fazer o seguinte desenvolvimento:

D.A. RADE APÊNDICE A

229

3

2

1

3

2

1

321

3

2

1

000000

000000

JJ

JvvvJ

vvv

T

T

T

Fica assim demonstrado que a transformação linear que diagonaliza o tensor

de inércia J é aquela dada pela equação (A.17)