apost 03 lajes

5/26/2018 Apost 03 Lajes

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Lajes macias de concreto armado

Prof. Joo Dirceu N. Carvalho

Maring, 2007


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Sumrio

1 LAJES...........................................................................................................................1

1.1 Introduo .............................................................................................................1

1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) .............................1

1.3 Aes usuais em lajes de edifcios. .......................................................................2

1.4 Classificao .........................................................................................................3

1.5 Lajes Armadas em Duas Direes ........................................................................4

1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das Grelhas...............................................4

1.5.2 Determinao dos Momentos Fletores..........................................................6

1.5.3 Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10

1.6 Lajes Armadas em Uma Direo ........................................................................16

1.6.1 Determinao dos esforos..........................................................................16

1.7 A altura til e a altura mnima ............................................................................18

1.7.1 Altura til mnima .......................................................................................21

1.8 Determinao das flechas em lajes e seus valores limites..................................24

1.8.1 Flecha imediata (elstica)............................................................................26

1.8.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................29

1.8.3 Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30

1.9 Extenso e qualidade dos apoios. .......................................................................31

1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 .....................................32

2 Organizao dos clculos e detalhamento da armadura. ............................................34

2.1 Dispositivos auxiliares de clculo.......................................................................34

2.2 Determinao dos esforos. ................................................................................35

2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados)..........................39

2.2.2 Compensao dos momentos fletores .........................................................39

2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................41

2.3.1 Armaduras mnimas ....................................................................................42

2.4 Detalhes de Formas e armao de lajes ..............................................................47

2.5 Cisalhamento em lajes ........................................................................................50

3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito........................................................51


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Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado

Prof. Joo Dirceu1

1LAJES1.1IntroduoAs placas de concreto, usualmente denominadas lajes, so elementos de superfcie plana (uma

das dimenses muito menor que as outras duas) sujeitos principalmente a aes normais ao

seu plano.

Neste curso sero consideradas as lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente

distribudas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno.

Posteriormente, em Estruturas em Concreto 2, sero estudadas lajes com outras formas

(circular, triangular, em L, etc.), com uma ou duas bordas no vinculadas (caso das lajes de

cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.).

As lajes podero ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e ser adotada

a conveno abaixo, para representar cada uma destas vinculaes.

lado simplesmente apoiado

lado perfeitamente engastado

lado perfeitamente engastado

borda livre, ou sem apoio

1.2Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.)Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rgidos quanto translao

vertical, o vo efetivo deve ser calculado pela seguinte expresso:ef= 0+ a1+ a2

1 21 2

0,5. 0,5.

0,3. 0,3.

t ta a

h h

sendo 0o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios).

Obs:. Para as lajes usual se tomar a distncia de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez

que a diferena, normalmente pequena (a exceo seria o caso das vigas de maior largura, as

vigas de transio por exemplo).

0t1 t2

h


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DEC - CTC - UEM 2

1.3Aes usuais em lajes de edifcios.As cargas atuantes nas lajes so as previstas na NBR 6120 (1980). Essas cargas so aplicadas

por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou acidentais conforme classificao

dada por essa norma.

As cargas acidentais ou de utilizao so obtidas atravs da Tabela 2 da NBR 6120 - Valores

mnimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de edifcios normalmente so

constitudas pelo peso prprio da laje de concreto e pelo revestimento, alm do peso de

paredes e outros elementos quando apoiados diretamente na laje.

Peso prprio da laje (por m2): 1,0 x 1,0 x hlajex c Revestimeto (por m2): 0,6 a 1,0 kN/m2(normalmente usa-se 0,75 0,80 kN/m2) Paredes: Lajes armadas em cruz peso total da parede dividido pela rea da laje

Exemplo: Sala de uma residncia com laje de 9,0 cm.

pp = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m2

revest. = 0,8 kN/m2

ac. = 1,5 kN/m2 Total = 4,55 kN/m2

Exemplo: Parede de tijolo furado com 15 cm de espessura e 2,6 m de altura.

Ppar. = 0,15 x 2,6 x 1,0 x 13 = 5,07 kN/m

se tivermos 2,5 m de parede sobre uma laje macia armada em cruz com 3,5 x 4,0 m:

ppar= 5,07 x 2,5 / (3,5 x 4,0) = 12,675 / 14,0 = 0,9 kN/m2.

1,0 m

1,0m

Cargas acidentais oude utilizao

Revest. superiorConcreto

Revest. inferior

1,0 m1,0 m


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Prof. Joo Dirceu3

1.4ClassificaoDe acordo com a relao entre os vos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em

Uma Direo, quando a relao entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em DuasDirees (Armada em Cruz), quando a relao entre os lados for menor ou igual a 2.

Vamos entender melhor esta classificao e porque o 2 como divisor, analisemos como se

realiza a transferncia de cargas para os apoios, em uma grelha.

A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vos 1=2e a

outra com 3=22, ambas submetidas a uma carga concentrada P aplicada no cruzamento

das vigas (n, cruzamento da longarina com a transversina).

Figura 1.1 Grelhas submetidas ao de uma carga concentrada.

Na grelha da esquerda todas as reaes so iguais a 1/4 da carga P enquanto na grelha da

direita o clculo nos fornece 1/18 P para as reaes do lado maior e 8/18 P para as reaes do

lado menor, ou seja, para os vo iguais h uma transferncia da carga na razo de 50% em

cada direo e, para 3= 22 aproximadamente 11% da carga transferida na direo do vo

maior e 89% na direo do vo menor.

medida que a relao entre os vos aumenta (3>> 2) maior ser a transferncia de carga

para os apoios do vo menor, ou seja, para uma relao de vos entre 1 e 2 tem-se umatransferncia bidirecional de cargas e para relao de vos maior do que 2 tende-se para uma

transferncia unidirecional das cargas

A transferncia bidirecional de cargas tpica dos elementos bidimensionais (as lajes)

enquanto a transferncia unidirecional das cargas tpica dos elementos unidimensionais (as

vigas). Sendo "r", a relao entre os vos, vamos convencionar:

r > 2 Laje armada em uma direo r 2 Lajes armada em duas direes (em Cruz)

P P

2

1 31= 2 3= 2 2


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DEC - CTC - UEM 4

1.5Lajes Armadas em Duas Direes1.5.1Distribuio das Cargas - Teoria das GrelhasO clculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma srie de faixas de 1,0 m de

largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente

distribuda.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que

parte desta carga "p" atua em uma direo e, a outra parte, na outra direo.

x yp p p= + 1.1

A determinao dos quinhes (pxe py) feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir dahiptese de que a laje composta por vigas fictcias, independentes entre si, de 1,0 m de

largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados,

conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direo:

Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente ser

adotada uma conveno prpria para adot-los.

45.

384x x

x

p lf

EI= 1.2

45

.384

y y

y

p lf

EI= 1.3

como se trata de uma grelha

x yf f= 1.4

4 4

. .x x y yp l p l= 1.5

Figura 1.2 Vigas fictcias em uma laje armada em cruz.

e dessa forma obtm-se os quinhes de carga para as direes x e y:

4

4 4y

x

x y

lp p

l l=

+

4

4 4x

y

x y

lp p

l l=

+ 1.6

px

py

x

y

fx

fy

y

x


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Prof. Joo Dirceu5

No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o clculo dos quinhes de carga recai no caso

das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento

perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples.

Mas preciso ter cuidado com esta explicao acima. Ela muito boa para em uma planta deforma determinar de imediato o tipo de laje, mas, preciso entender que a laje no est

engastada na viga. Um painel de laje normalmente engastado em outro painel de laje, ou

seja, a continuidade, o engastamento, se d entre lajes. Nada impede o engastamento de uma

laje em uma viga, alias, esta uma situao caracterstica das lajes de marquize, mas nesse

caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ao de momento toror e precisa ser dimensionada e

armada para esta solicitao.

O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contnua, a continuidade, oengastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participao dos apoios que nesse caso

seriam os pilares. Tambm para as vigas, nada impede que sejam engastadas nos pilares, mas

se assim o fizssemos, teramos um prtico.

Alterando-se a vinculao de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total

de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz:

Laje "Tipo 1" com todas as bordas simplesmente apoiadas,

Laje "Tipo 2" com uma borda engastada,

Laje "Tipo 3" com duas bordas, adjacentes, engastadas,

Laje "Tipo 4" com duas bordas, opostas, engastadas,

Laje "Tipo 5" com trs bordas engastadas,

Laje "Tipo 6" com todas as bordas engastadas.

Observe que os quinhes de carga determinados anteriormente correspondem laje Tipo 1.

Para a determinao dos quinhes de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as

flechas correspondentes vinculao das vigas fictcias. A seguir so apresentadas as

equaes das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribudas,

considerando os trs tipos de vinculaes: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e

engastadas na outra e bi-engastadas.

6

4

5

1

2

3


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DEC - CTC - UEM 6

45

384

pf

EI=

1.7

42

384

pf

EI=

1.8

41

384

pf

EI=

1.9

1.5.2Determinao dos Momentos FletoresO clculo das placas por processos exatos extremamente complexo, uma vez que envolve a

soluo de uma equao diferencial de quarta ordem. A expresso abaixo mostra a equao

geral de placas.

4 4 4

4 2 2 42.

.

w w w p

Dx x y y

+ + =

1.10

( )

3

2

.

12. 1

E hD

=

1.11

sendo: w o deslocamento vertical

x e y coordenadas de um ponto qualquer

p carga uniformemente distribuda

D Rigidez flexo

E mdulo de deformao longitudinal do concreto

coeficiente de Poisson

Calculadas segundo a teoria das placas, os mtodos de clculo so divididos em dois grupos:o Mtodo Clssico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime

elstico linear e, o Mtodo da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais

trabalhando em regime rgido-plstico (Teoria das charneiras plsticas). Pelo mtodo clssico,

o clculo das lajes pelos mtodos das Diferenas Finitas ou dos Elementos Finitos, levam a

resultados quase que exatos, porm, estes mtodos, pela sua complexidade, demandam

conhecimentos no dominados pela grande maioria dos profissionais da rea de engenharia. A

necessidade de se ter um clculo rpido, com um nvel de preciso coerente com a atividadeda engenharia, e acessvel aos profissionais, leva-nos aos processos de clculo simplificados.


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1.5.2.1Processo de MarcusO processo de Marcus um processo de clculo simplificado, oriundo do Mtodo Clssico,

que assimila a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu

coeficientes de correo xe ynas expresses dos momentos fletores positivos, de tal forma

que seus resultados se aproximassem aos obtidos atravs da Teoria da Elasticidade.

Pelo Processo de Marcus convenciona-se que os lados da laje sero denominados "x" e "y":

x est na direo mais vinculada e, caso ambas as direes sejam

igualmente vinculadas xestar na direo com o menor vo.

e a relao entre os lados ser definida como:

y

x

=

1.12

Os momentos fletores positivos em uma laje so determinados supondo-se uma faixa da laje,

de 1,0 m de largura carregada pelo quinho de carga atuante na direo da mesma. O efeito da

grelha introduzido no clculo destas vigas fictcias atravs dos coeficientes x e y,

propostos por Marcus.22 ..

. .y yx xx x y yx y

ppM M

i i = =

1.13

ixe iypodem assumir os valores 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculao, apoio-apoio,

engaste-apoio ou engaste-engaste.

da equao 13, fazendo-se:

4

4 4 .y

x

x y

p p=+

e

4

4 4 .x

y

x y

p p=+

tem-se: . . 1x x y y y xp k p p k p com k k= = =

22 . .. .. .y yx xx x y y

x y

p kp kM M

i i = =

1.14

rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expresso 2. xp ,

independente da direo ser a x ou a y, obtm-se:


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DEC - CTC - UEM 8

2.

.

xx

x

x x

pM

i

k

=

2. xx

x

pM

m=

1.15

2 2 2

. . . .x x x xx xx xx

x

p k p pX Xj nj

k

= = =

1.16

2 2 2 2

2

2 2

. . . .

.. . . .

y y x xy y

yy y yx

y y y y x y y

p p p pM M

mi i i

k k k

= = = =

1.17

2 2 2 2

2

2

. . . ..

.

y y x x xy y

y x yy

y

p k p pX Xj nj

k

= = =

1.18

onde: jx e jyassumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculao, engaste-apoio ou

engaste-engaste.

Os coeficientes de Marcus (xe y) so dados pelas expresses abaixo:

2

2

20. .20.1 1 3.3. .

yxx y

yx

kk

ii

= = 1.19

Obs.: Apenas os momentos fletores positivos so corrigidos pelos coeficientes x e

y. Os momentos fletores negativos NO!!!

Em resumo:2 2 2 2. . . .x x x x

x y x y

x y x y

p p p pM M X X

m m n n= = = =

sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em funo de .


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TABELA DE MARCUS

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny

0,50 141 45 59 137 50 50 146 71 108 360,52 126 43 52 124 48 45 216 68 94 340,54 113 42 46 112 47 40 192 65 83 320,56 102 40 41 103 46 36 171 62 73 310,58 93 39 36 96 45 33 153 59 65 290,60 85 38 33 88 45 31 139 57 58 280,62 79 37 30 82 44 28 126 56 53 270,64 73 37 27 76 44 26 115 54 48 260,66 68 36 25 71 44 25 106 53 44 250,68 63 35 23 67 44 23 98 52 40 250,70 59 35 21 64 44 22 91 51 37 240,72 56 35 20 60 44 21 84 50 34 240,74 52 35 19 58 45 20 79 49 32 230,76 50 34 18 55 45 19 74 49 30 230,78 47 34 17 53 46 18 70 49 28 230,80 45 34 16 50 46 18 66 48 27 230,82 43 34 15 49 47 17 63 48 25 230,84 41 34 14 47 48 17 60 48 24 230,86 39 35 14 45 48 16 57 48 23 230,88 37 35 13 44 49 16 55 48 22 230,90 36 35 13 42 50 16 53 49 21 230,92 34 35 12 41 51 15 51 49 20 230,94 33 36 12 40 52 15 49 49 20 230,96 32 36 12 39 53 15 47 50 19 230,98 31 36 11 38 55 15 46 50 19 241,00 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 241,02 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 241,04 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 241,06 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 241,08 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 241,10 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 241,12 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 251,14 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 251,16 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 251,18 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 251,20 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26

1,22 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 261,24 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 261,26 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 271,28 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 271,30 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 271,32 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 281,34 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 281,36 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 291,38 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 291,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30


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DEC - CTC - UEM 10

TABELA DE MARCUS - continuao

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny

1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 301,42 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 301,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 311,46 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 311,48 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 321,50 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 321,52 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 331,54 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 341,56 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 341,58 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 351,60 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35

1,62 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 361,64 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 371,66 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 371,68 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 381,70 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 391,72 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 401,74 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 401,76 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 411,78 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 421,80 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 431,82 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 431,84 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 441,86 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 451,88 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 461,90 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 471,92 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 471,94 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 481,96 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 491,98 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 502,0 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51

1.5.3Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em CruzA NBR 6118, item 14.7.6, permite o clculo das reaes de apoio de lajes macias

retangulares com cargas uniformemente distribudas, considerando-se para cada apoio carga

correspondente aos tringulos e trapzios obtidos, traando-se a partir dos vrtices, na planta

da laje, retas inclinadas de:

45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.


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Uma laje Tipo 2 tem as reas de influncia dos apoios conforme apresentado na figura

abaixo, onde S1 a rea de influncia da Viga V101, S2 a rea de influncia da Viga V102, e

S3e S4das vigas V103e V104respectivamente.

a expresso de cada uma das reas e determinada a seguir:

rea S1 = S2

( )1

1,366.

2 2yx x x

S+

=

( )21

2 1,366 1.

2 4

x y yS

=

como a carga por metro quadrado de laje p, a carga por metro linear a ser

descarregada na V101ser a carga total aplicada na rea S1 distribuda no vo da Viga 101.

( )11..

1 0,6832

y

y

x

pp Sp V = = =

1 2

y

y y

pp V K= =

sendo ( )1 0, 683.yK =

rea S3

23

. .0,866. 1.0,866.

2 2 2y y y

y

hS = = =

( )' ' '33 3. . .

0,866. .2 2

x xx x x

y

p S p pp V p V K= = = = =

onde ( )' 0,866.xK =

45 60 90

V101

S1

45

S4 V104

45

x

60

V103 S3

60

yS2

V101

0,866 a 0,5

x

0,5 y

60

60y


14/53

DEC - CTC - UEM 12

rea S4

24

. 1 1. . .

2 2 2 4y y

y y

hS = = =

( )44

..0,5.

2x

y

pp Sp = =

4

..

2x

x x

pp V K= =

sendo: ( )0,5.xK =

onde:

p a carga (por metro quadrado) que solicita a laje,

p1 a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido laje



Ky o coeficiente de carga na direo y

Kx o coeficiente de carga na direo x, para o lado apoiado.

Kx o coeficiente de carga na direo x, para o lado engastado.

A seguir so tabelados os coeficientes ' ', ,x y x yk k k e k em funo de , para os diferentes

tipos de lajes.

..

2

xx x

pV k=

1.20

..

2y

y y

pV k=

1.21

' ' ..2

xx x

pV k=

1.22

' ' ..2

y

y y

pV k=

1.23

y45

45


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CLCULO DAS REAES DE APOIO

NBR 6118 - item 14.7.6

Tipo de Laje kx kx ky ky

1 1,001,000

0,500

0,500

2A 0,73 0 500, 0 865, 1,000 0682

2B 0,730 730

0 267,

,

12700 463

,,

0,365

3 1,000 730

0 365,

,

12700 635

,,

0 365,

0 635,

4A 0,58 0 865, 1 000 0865,

4B 0,581000

0 290,

,

0 290,

5A 0,791000

0 395,

,

0 290,

0 500,

5B 0,79 0 635, 0 730 0463,

1 270 0807,

6 1,001000

0 500,

,

0 500,

' ' ' '. .. .. . . .2 2 2 2

y yx xx x y y x x y y

p pp pV k V k V k V k = = = =

KyKx Kx

Ky

KyKx Kx

Ky

KyKx KxKy

x

KxKy Ky

Kx

KyKx Kx

Ky

x

KxKy Ky

Kx

x

KxKy Ky

Kx

x

KxKy Ky

Kx

x

KxKy Ky

Kx


16/53

DEC - CTC - UEM 14

REAES DE APOIO

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6

kx ky kx kx ky kx kx ky ky kx ky kx ky ky kx ky

0,50 0,25 0,43 0,66 0,43 0,57 0,32 0,50 0,870,52 0,26 0,45 0,65 0,45 0,55 0,33 0,49 0,850,54 0,27 0,47 0,63 0,47 0,53 0,34 0,48 0,830,56 0,28 0,48 0,62 0,48 0,52 0,36 0,47 0,820,58 0,29 0,50 0,60 0,50 0,50 0,37 0,46 0,800,60 0,30 0,52 0,59 0,52 0,48 0,38 0,45 0,790,62 0,31 0,54 0,58 0,53 0,47 0,39 0,44 0,770,64 0,32 0,55 0,56 0,55 0,45 0,41 0,43 0,750,66 0,33 0,57 0,55 0,56 0,44 0,42 0,42 0,740,68 0,34 0,59 0,54 0,57 0,43 0,43 0,42 0,72

0,70 0,35 0,61 0,52 0,59 0,41 0,44 0,41 0,710,72 0,36 0,62 0,51 0,60 0,40 0,46 0,40 0,690,74 0,37 0,64 0,49 0,61 0,39 0,47 0,39 0,670,76 0,38 0,66 0,48 0,62 0,68 0,48 0,38 0,660,78 0,39 0,68 0,47 0,63 0,37 0,50 0,37 0,640,80 0,40 0,69 0,46 0,64 0,36 0,51 0,36 0,630,82 0,40 0,71 0,45 0,65 0,35 0,52 0,35 0,610,84 0,41 0,72 0,43 0,65 0,35 0,53 0,35 0,600,86 0,42 0,73 0,42 0,66 0,34 0,54 0,34 0,580,88 0,43 0,74 0,41 0,67 0,33 0,55 0,33 0,570,90 0,43 0,76 0,41 0,68 0,32 0,56 0,32 0,600,92 0,44 0,77 0,40 0,68 0,32 0,57 0,32 0,54

0,94 0,45 0,78 0,39 0,69 0,31 0,58 0,31 0,530,96 0,45 0,79 0,38 0,70 0,30 0,59 0,30 0,520,98 0,46 0,80 0,37 0,70 0,30 0,60 0,30 0,511,00 0,50 0,50 0,46 0,81 0,37 0,36 0,63 0,37 0,64 0,71 0,29 0,60 0,29 0,50 0,50 0,501,02 0,51 0,49 0,47 0,82 0,36 0,37 0,65, 0,36 0,63 0,72 0,28 0,61 0,28 0,49 0,51 0,491,04 0,52 0,48 0,47 0,82 0,35 0,38 0,66 0,35 0,62 0,72 0,28 0,62 0,28 0,48 0,52 0,481,06 0,53 0,47 0,48 0,83 0,34 0,39 0,67 0,34 0,61 0,73 0,27 0,63 0,27 0,47 0,53 0,471,08 0,54 0,46 0,48 0,84 0,34 0,39 0,68 0,34 0,59 0,73 0,27 0,63 0,27 0,46 0,54 0,461,10 0,55 0,45 0,49 0,85 0,33 0,40 0,69 0,33 0,58 0,74 0,26 0,64 0,26 0,45 0,55 0,451,12 0,55 0,45 0,49 0,86 0,33 0,40 0,70 0,33 0,57 0,74 0,26 0,65 0,26 0,45 0,55 0,451,14 0,56 0,44 0,50 0,86 0,32 0,41 0,71 0,32 0,56 0,75 0,25 0,65 0,25 0,44 0,56 0,441,16 0,57 0,43 0,50 0,87 0,31 0,42 0,72 0,31 0,55 0,75 0,25 0,66 0,25 0,43 0,57 0,43

1,18 0,58 0,42 0,50 0,88 0,31 0,42 0,73 0,31 0,54 0,75 0,25 0,67 0,25 0,42 0,58 0,421,20 0,58 0,42 0,51 0,88 0,30 0,43 0,74 0,30 0,53 0,76 0,24 0,67 0,24 0,42 0,58 0,421,22 0,59 0,41 0,51 0,89 0,30 0,43 0,75 0,30 0,52 0,76 0,24 0,68 0,24 0,41 0,59 0,411,24 0,60 0,40 0,51 0,90 0,29 0,44 0,76 0,29 0,51 0,77 0,23 0,68 0,23 0,40 0,60 0,401,26 0,60 0,40 0,52 0,90 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,40 0,60 0,401,28 0,61 0,39 0,52 0,91 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,39 0,61 0,391,30 0.62 0,38 0,52 0,91 0,28 0,45 0,78 0,28 0,49 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,32 0,62 0,38 0,53 0,92 0,28 0,45 0,79 0,28 0,48 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,34 0,63 0,37 0,53 0,92 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,78 0,22 0,71 0,22 0,37 0,63 0,371,36 0,63 0,37 0,53 0,93 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,79 0,21 0,71 0,21 0,37 0,63 0,371,38 0,64 0,36 0,54 0,93 0,26 0,47 0,81 0,26 0,46 0,79 0,21 0,71 0,21 0,36 0,64 0,361,40 0,64 0,36 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,79 0,21 0,72 0,21 0,36 0,64 0,36


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Prof. Joo Dirceu15

REAES DE APOIO - CONTINUAO

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6kx ky kx kx ky kx kx ky ky kx ky kx ky ky kx ky

1,42 0,65 0,35 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,80 0,20 0,72 0,20 0,35 0,65 0,351,44 0,65 0,35 0,54 0,95 0,25 0,48 0,83 0,25 0,44 0,80 0,20 0,73 0,20 0,35 0,65 0,351,46 0,66 0,34 0,55 0,95 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,48 0,66 0,34 0,55 0,96 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,50 0,67 0,33 0,55 0,96 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,52 0,67 0,33 0,55 0,97 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,54 0,68 0,32 0,56 0,97 0,24 0,49 0,86 0,24 0,.41 0,81 0,19 0,74 0,19 0,32 0,68 0,321,56 0,68 0,32 0,56 0,97 0,23 0,50 0,86 0,23 0,41 0,81 0,19 0,75 0,19 0,32 0,68 0,32

1,58 0,68 0,32 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,32 0,68 0,321,60 0,69 0,31 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,31 0,69 0,311,62 0,69 0,31 0,57 0,98 0,23 0,50 0,88 0,23 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,31 0,69 0,311,64 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,88 0,22 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,30 0,70 0,301,66 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,68 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,70 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,72 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,74 0,71 0,29 0,58 1,00 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,76 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,78 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,80 0,72 0,28 0,58 1,01 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28

1,82 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,27 0,73 0,271,84 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,86 0,73 0,27 0,59 1,02 0,20 0,53 0,93 0,20 0,34 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,88 0,73 0,27 0,59 1,02 0,19 0,54 0,93 0,19 0,34 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,73 0,271,90 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,92 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,94 0,74 0,26 0,59 1,,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,96 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,95 0,19 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,98 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,252,00 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25

' ' ' '. .. .. . . .2 2 2 2

y yx xx x y y x x y y

p pp pV k V k V k V k = = = =


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DEC - CTC - UEM 16

1.6Lajes Armadas em Uma DireoConforme visto anteriormente, para uma relao entre os lados maior ou igual a 2 a

transferncia de cargas na direo do lado maior torna-se desprezvel. Estas lajes sero

calculadas apenas na direo do menor lado, ou seja, em apenas uma direo

importante observar que na realidade estas lajes tambm so armadas nas duas direes.

Como na direo de maior vo as solicitaes so muito pequenas despreza-se o clculo nessa

direo, adotando-se uma armadura mnima conforme recomendaes da NBR 6118 item

19.3.3.2: uma armadura de distribuio com seo transversal de rea igual ou superior a 1/5

da rea da armadura principal, com um mnimo de 0,9 cm2, composta de pelo menos trs

barras.

Figura 1.3 Disposio das armaduras nas lajes armadas em uma direo

1.6.1Determinao dos esforosOs esforos nas lajes armadas em uma direo sero determinados atravs do clculo de uma

viga fictcia de 1,0 m de largura. Esta viga fictcia, de acordo com as vinculaes da laje,

poder ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada.

A determinao dos esforos nessas vigas bastante simples. A primeira delas, a bi-apoiada, uma estrutura isosttica e como j foi visto em Mecnica dos Slidos, no h necessidade

de maiores comentrios. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, so

hiperestticas, e como o assunto ainda no foi abordado em Mecnica das Estruturas, vamos

rapidamente abordar a determinao dos seus esforos, com a ajuda da Tabela dos

Momentos de Engastamento Perfeito.

Estas vigas de apenas um tramo, o se chama de estrutura elementar e j foram calculadas,

submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados individualmente. Porexemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuda, carga uniformemente

Armadura principal (a ser calculada)

Armadura de distribuio(estipulada por Norma)


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Prof. Joo Dirceu17

distribuda parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes clculos

foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equao. Estas equaes esto

dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito.

Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equaes podero vir

com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para

estruturas de barras em geral, vigas contnuas, prticos etc., e seguirem uma conveno

denominada Conveno de Grinter.

Este assunto ser visto em detalhes em Mecnica das Estruturas. Por enquanto, como

estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios sero sempre negativos.

A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incgnita hiperesttica Mf,ou seja a viga direita pode ser facilmente calculada como uma viga isosttica (o fato de no

haver cargas horizontais torna nula a incgnita horizontal do apoio do segundo gnero

esquerda).

Nesse exemplo: da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito:2

'8f

PM m= =

Reaes nos apoios A e B:

RA= 5/8.p.

RB= 3/8.p.

O momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo cortante ser nulo.

3 3. . . .

8 8p x p x= =

( )2

2 2max

. 3 8.3 3 9 9. . . . . . . .

8 8 2 64 128

pMf p p p+= =

2

2max 9 .. .128 14,22pMf p+= =

HA

RA RBA B

p Mf p

3

8p

p

x

2

8

p

p

Fy = 0

Mf(A)= 0 e MF(B)= 0

A B

2

8

p

p


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DEC - CTC - UEM 18

Para cargas uniformemente distribudas:

2

max.

8

pM =

1

2x= do apoio A

1.

2A BR R p= =

2.

8Ap

M =

2

max 14,22

pM +=

5.

8x= do apoio A

5 3. .

8 8A BR p R p= =

2.

12A Bp

M M= =

2

max.

24

pM +=

1

2x= do apoio A

1. .

2A BR R p= =

Se esta viga estivesse submetida a uma cominao de cargas, como o exemplo abaixo, o

Princpio da Superposio do Efeitos nos permite fazer:1

n

i

i

Mf MEP=

= .

Ou seja, a somatria dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que

carregam a viga e o momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo

cortante ser nulo.

1.7A altura til e a altura mnima

importante que se diferencie o conceito de altura e altura til. A altura a espessura

total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura til e a

distncia do centro de gravidade da armadura at a borda comprida do elemento.

A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com

armadura disposta em duas camadas) a diferena entre estas duas alturas, ou seja:

h = d + ycg Equao 24onde ycg a distncia do centro de gravidade da armadura at a borda tracionada.

P

A B

p2

p1Mf P

HA RA RB

p2

p1

A B A B A B


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Prof. Joo Dirceu19

Figura 1.4 Altura e altura til de lajes.

A armadura usada em lajes de edifcios normalmente tem dimetros de 5,0 ou 6,3 mm.

Excepcionalmente (lajes de grandes vos e carregamentos) usa-se em edificaes o 8,0 mm.

Para melhor entendimento desta varivel ycg, a figura abaixo detalha a seo da viga acima.

O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1 da norma) classifica o risco de deteriorao da estrutura

em funo da agressividade do ambiente. Observa-se que as lajes de edifcios normalmente

so protegidas, ou seja, so elementos internos da edificao e revestidas, sendo permitida por

norma a adoo de uma classe de agressividade mais branda (um nvel acima), possibilitando,

dessa forma seu enquadramento na Classe de Agressividade Ambiental I e, portanto,

agressividade fraca (ficam excludas dessa considerao as edificaes industriais e as

situadas em regies litorneas).

O cobrimento nominal da armadura (cnom) e tratado pela NBR 6118 nos itens 7.4.7.1 a 7.4.7.7.

O cobrimento nominal definido como o cobrimento mnimo (cmin) acrescido da tolerncia de

execuo (c maior ou igual a 10 mm).

A proteo da armadura visa principalmente evitar o processo de corroso dos aos, que

ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida til da estrutura. Esta proteo

normalmente feita atravs de uma camada de concreto com uma espessura mnima em

funo do revestimento (ou no) do elemento e das condies ambientais (agressividade do

meio ambiente).Para lajes de concreto armado, a Tabela 7.2 da NBR 6118 estabelece para a classe de

agressividade ambiental Ium cobrimento nominal de 20 mm (c = 10 mm) admitindo-se sua

reduo para 15 mm (c = 5 mm) quando houver um adequado controle de qualidade e

rgidos limites de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo.

Observa-se que o cobrimento da armadura fundamental para a qualidade e durabilidade do

concreto armado e, dessa forma, considera-se de extrema importncia que se conste no projeto

o controle de qualidade e tolerncia do cobrimento.

Lajed h

ycg

h = d + ycg

ycg= /2 + c


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DEC - CTC - UEM 20

Como a armao das lajes disposta em duas malhas ortogonais superpostas, deve-se atentar

para o centro de massa das armaduras, conforme mostrado na figura abaixo, onde se mostra

que uma das malhas tem um ycg= cnom+ 0,5 e a outra malha um ycg= cnom+ 1,5 .

Como no se sabe qual das amaduras estar na malha inferior ou na superior considera-se y cg

referente malha superior e, dessa forma, para o caso de classe de agressividade ambiental I

e c = 5 mm, pode-se adotar para ycgos valores dados abaixo:

5,0 ou 6,3 mm ycg= 2,5 cm

8,0 ou 10 mm ycg= 3,0 cm

O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e

vibrao do concreto, as barras permaneam em suas posies, conservando o cobrimento de

concreto especificado em projeto, feito atravs do uso de distanciadores, que podem ser

feitos na obra ou industrializados

Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena

placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto,

com trao superior ao do elemento a ser concretado, com um pedao de arame recozido,

tranado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 1.5 Distanciadores de armadura executados na obra

Os distanciadores industrializados, normalmente so de plstico, de alta resistncia,

apresentando forma e dimenses variadas. Como exemplo, na figura a seguir so apresentados

alguns dos distanciadores. No Brasil existem vrios fabricantes destes distanciadores,

podendo ser citados a COPLAS, JERUELPLAST e a HOMERPLAST.

..cnom

.cnom


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Prof. Joo Dirceu21

Figura 1.6 Distanciadores de armadura industrializados

Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas o caranguejo, feito na

obra com sobras de ferros 5,0 mm. Veja o detalhe da fixao na figura abaixo, o distanciador

amarrado na malha da armadura positiva, no encostando nas formas.

Figura 1.7 Distanciadores de armadura industrializados

1.7.1Altura til mnimaNo dimensionamento das lajes deve-se ter um cuidado especial com a determinao de suas

alturas. O seu dimensionamento ruptura (ELU) como vigas fictcias de 100 cm de largura e,

sujeitas a carregamentos relativamente pequenos, possibilita a obteno de pequenas

espessuras para as lajes, mas, uma caracterstica das placas e sua grande deformabilidade, ou

seja flechas excessivas. Dessa forma, para o dimensionamento das lajes, suas alturas devem

ser obtidas em funo do estado limite de utilizao e no o de servio, ou seja, as alturas

devem ser determinadas de forma a limitar flechas excessivas e, uma vez determinadas,

calcula-se a armadura necessria.


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DEC - CTC - UEM 22

A NBR 6118 (2003) em seu item 13.3 prescreve os deslocamentos limites e em sua Tabela

13.2 apresenta os limites para os deslocamentos, porm, omite os critrios para a

determinao da altura til mnima e, portanto recomenda-se a utilizao do disposto na NBR

6118 (1980), item 4.2.3.1.C. Em vigas de seo retangular ou T e lajes macias retangulares

de edifcios sero consideradas atendidas as condies a e b e dispensar-se- o clculo das

flechas quando a altura til d no for inferior ao valor ( )2 3. . Essa expresso era

conservadora, pois no considerava a carga aplicada e, normalmente fornecia alturas de

lajes muito superiores s determinadas em funo das flechas mximas e, dessa forma,

recomenda-se como estimativa para a altura das lajes o uso da expresso dada pela equao

1.24, usando-se h e arredondando-se para baixo o valor obtido para lajes de edifcios.

2 3.h

1.24

Sendo: o menor lado

2 coeficiente dependente das vinculaes e dimenses da laje

3 coeficiente dependente do tipo do ao

VALORES DE 3

3AoVigas e lajes nervuradas Lajes macias

CA 25 25 35CA 50 17 25CA 60 15 20

Valores de 2 Vigas e lajes armadas em uma direo

A seguir apresenta-se a tabela dos coeficientes 2para lajes armadas em duas direes. Nessa

tabela adaptou-se as recomendao da Norma para a conveno de Marcus, ou seja, o mesmo

usado para as tabelas de Marcus, utilizado para a determinao do coeficiente 2.

.2= 1,0 2= 1,2 2= 1,7 2= 0,5


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VALORES DE 2- LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES

(Conveno de Marcus)

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T1 T2 T3 T4 T5 T6

0,50 1,10 1,20 1,40 1,00 1,50 1,70 1,80 1,90 2,00 2,200,51 1,12 1,23 1,42 1,02 1,49 1,69 1,79 1,90 1,99 2,190,52 1,15 1,25 1,45 1,04 1,48 1,69 1,78 1,89 1,99 2,180,53 1,17 1,28 1,47 1,06 1,48 1,68 1,78 1,89 1,98 2,170,54 1,19 1,30 1,49 1,08 1,47 1,68 1,77 1,88 1,98 2,160,55 1,21 1,33 1,51 1,10 1,46 1,67 1,76 1,88 1,97 2,150,56 1,23 1,35 1,53 1,12 1,45 1,66 1,75 1,88 1,96 2,140,57 1,25 1,37 1,55 1,14 1,44 1,66 1,74 1,87 1,96 2,130,58 1,27 1,39 1,57 1,16 1,44 1,65 1,74 1,87 1,95 2,120,59 1,28 1,41 1,58 1,18 1,43 1,65 1,73 1,86 1,95 2,11

0,60 1,30 1,43 1,60 1,20 1,42 1,64 1,72 1,86 1,94 2,100,61 1,32 1,45 1,62 1,22 1,41 1,63 1,71 1,86 1,93 2,090,62 1,33 1,47 1,63 1,24 1,40 1,63 1,70 1,85 1,93 2,080,63 1,35 1,49 1,65 1,26 1,40 1,62 1,70 1,85 1,92 2,070,64 1,36 1,51 1,66 1,28 1,39 1,62 1,69 1,84 1,92 2,060,65 1,38 1,52 1,68 1,30 1,38 1,61 1,68 1,84 1,91 2,050,66 1,39 1,54 1,69 1,32 1,37 1,60 1,67 1,84 1,90 2,040,67 1,40 1,56 1,70 1,34 1,36 1,60 1,66 1,83 1,90 2,030,68 1,42 1,57 1,72 1,36 1,36 1,59 1,66 1,83 1,89 2,020,69 1,43 1,58 1,73 1,38 1,35 1,59 1,65 1,82 1,89 2,010,70 1,44 1,60 1,74 1,40 1,34 1,58 1,64 1,82 1,88 2,000,71 1,45 1,61 1,75 1,42 1,33 1,57 1,63 1,82 1,87 1,990,72 1,47 1,63 1,77 1,44 1,32 1,57 1,62 1,81 1,87 1,980,73 1,48 1,64 1,78 1,46 1,32 1,56 1,62 1,81 1,86 1,970,74 1,49 1,65 1,79 1,48 1,31 1,56 1,61 1,80 1,86 1,960,75 1,50 1,67 1,80 1,50 1,30 1,55 1,60 1,80 1,85 1,950,76 1,51 1,68 1,81 1,52 1,29 1,54 1,59 1,80 1,84 1,940,77 1,52 1,69 1,82 1,54 1,28 1,54 1,58 1,79 1,84 1,930,78 1,53 1,70 1,83 1,56 1,28 1,53 1,58 1,79 1,83 1,920,79 1,54 1,71 1,84 1,58 1,27 1,53 1,57 1,78 1,83 1,910,80 1,55 1,73 1,85 1,60 1,26 1,52 1,56 1,78 1,82 1,900,81 1,56 1,74 1,86 1,62 1,25 1,51 1,55 1,78 1,81 1,890,82 1,57 1,75 1,87 1,64 1,24 1,51 1,54 1,77 1,81 1,880,83 1,58 1,76 1,88 1,66 1,24 1,50 1,54 1,77 1,80 1,870,84 1,59 1,77 1,89 1,68 1,23 1,50 1,53 1,76 1,80 1,86

0,85 1,59 1,78 1,89 1,70 1,22 1,49 1,52 1,76 1,79 1,850,86 1,60 1,79 1,90 1,72 1,21 1,48 1,51 1,76 1,78 1,840,87 1,61 1,80 1,91 1,74 1,20 1,48 1,50 1,75 1,78 1,830,88 1,62 1,80 1,92 1,76 1,20 1,47 1,50 1,75 1,77 1,820,89 1,63 1,81 1,93 1,78 1,19 1,47 1,49 1,74 1,77 1,810,90 1,63 1,82 1,93 1,80 1,18 1,46 1,48 1,74 1,76 1,800,91 1,64 1,83 1,94 1,82 1,17 1,45 1,47 1,74 1,75 1,790,92 1,65 1,84 1,95 1,84 1,16 1,45 1,46 1,73 1,75 1,780,93 1,65 1,85 1,95 1,86 1,16 1,44 1,46 1,73 1,74 1,770,94 1,66 1,86 1,96 1,88 1,15 1,44 1,45 1,72 1,74 1,760,95 1,67 1,86 1,97 1,90 1,14 1,43 1,44 1,72 1,73 1,750,96 1,68 1,87 1,98 1,92 1,13 1,42 1,43 1,72 1,72 1,74

0,97 1,68 1,88 1,98 1,94 1,12 1,42 1,42 1,71 1,72 1,730,98 1,69 1,89 1,99 1,96 1,12 1,41 1,42 1,71 1,71 1,720,99 1,69 1,89 1,99 1,98 1,11 1,41 1,41 1,70 1,71 1,71

2,00 1,10 1,40 1,40 1,70 1,70 1,70


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DEC - CTC - UEM 24

A NBR 6118 (2003), no item 13.2 estabelece as dimenses limites para lajes macias de

concreto armado, ou seja, determinada a altura em funo da deformabilidade da laje essa

altura dever respeitar os limites mnimos para a espessura da laje:

a) 5 cm para lajes de cobertura no em balano;

b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balano;

c) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total menor ou igual a 30 kN;

d) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total maior que 30 kN;

f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

1.8Determinao das flechas em lajes e seus valores limitesO item 13.3 da NBR 6118 define e estabelece os limites para os deslocamentos.

Deslocamentos limites so valores prticos utilizados para verificao em servio do estado

limite de deformaes excessivas da estrutura, , e so classificados em quatro grupos bsicos:

a) aceitabilidade sensorial: o limite caracterizado por vibraes indesejveis ou efeitovisual desagradvel. A limitao da flecha para prevenir essas vibraes, em situaes

especiais de utilizao, deve ser realizada como estabelecido na seo 23 da NBR

6118 e, apresentadas na Tabela 2.3;

b) efeitos especficos: os deslocamentos podem impedir a utilizao adequada daconstruo (Tabela 2.4);

c) efeitos em elementos no estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar omau funcionamento de elementos que, apesar que no fazerem parte da estrutura,

esto a ela ligados;

d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamentodo elemento estrutural, provocando afastamento em relao s hipteses de clculo

adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus

efeitos sobre as tenses ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados,

incorporando-as ao modelo estrutural adotado.


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Os limites para deslocamentos dados pela Tabela 13.2 da NBR 6118. Os valores dessa tabela

so apresentados, parcialmente, nas Tabelas 2.3 e 2.4.

Tabela 1.1 Limites para deslocamentos - Aceitabilidade sensorial

(NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)

Razo da limitao ExemploDeslocamento aconsiderar

Deslocamento limite

VisualDeslocamentos visveisem elementos estruturais

Total /250

OutroVibraes sentidas nopiso

Devido a cargasacidentais

/350

Tabela 1.2 Limites para deslocamentos - Efeitos estruturais em servio

(NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)

Superfcies que devemdrenar gua

Coberturas e varandas Total /2501)

Total/350+contraflecha2)Pavimentos que devem

permanecer planosGinsios e pistas deboliche Ocorrido aps a

construo do piso/600

Elementos que suportamequipamentos sensveis

LaboratriosOcorrido apsnivelamento doequipamento

De acordo comrecomendao dofabricante doequipamento

1) As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensadopor contraflechas, de modo a no se ter acmulo de gua.

2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificao de contraflechas.Entretanto, a atuao isolada da contraflecha no pode ocasionar um desvio do plano maior que

/350.3) O vo l deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria se desenvolve.

NOTAS1. Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos de vo suportados em ambas as

extremidades por apoios que no se movem. Quando se tratar de balanos, o vo equivalente aser considerado deve ser o dobro do comprimento do balano.

2. Para o caso de elementos de superfcie, os limites prescritos consideram que o valor o menorvo, exceto em casos de verificao de paredes e divisrias, onde interessa a direo na qual aparede ou divisria se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vo menor.

3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinao das aes caractersticasponderadas pelos coeficientes definidos na seo 11.

4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.


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DEC - CTC - UEM 26

1.8.1Flecha imediata (elstica)As flechas elsticas em lajes so determinadas atravs da expresso:

4

3

..

. 100xpf

E h

=

1.25

O coeficiente dado em funo da vinculao das lajes, conforme esquemas fornecidos na

Figura 1.8 e do coeficiente k. Observa-se que x sempre o menor lado e disposto na

horizontal e k igual a y/x(sempre maior ou igual a um).

Figura 1.8 Esquema de vinculao das lajes para determinao das flechas imediatas.

Para cada caso de vinculao o coeficiente pode ser obtidos pelas equaes abaixo ou pelos

bacos apresentados a seguir:

22,83 15,48 7,97A k k = +

21,97 13, 48 8,40B k k = +

21,84 7,86 2,78C k k = +

21,94 8,73 4,35D k k = +

20,72 9,87 7,07E k k = +

21,08 3,86 0,54F k k = +

21,67 8,39 4,93G k k = + 21,25 4,81 1,73H k k = + 21,34 5,40 2,59I k k = +

p = carga uniformemente distribuda

x.= menor lado

E = mdulo de elasticidade (servio) do concreto. Ecs= 0,85 Eci= 0,85.5600fck. (NBR 8.2.8)

h = altura da placa;

k = y/x. (k sempre 1)

A D

G

C

F

E

IH

B

y

x

x


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Coeficientes "alfa"

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Valores de K

Valoresdealfa

Alfa 1

Alfa 2

Alfa 5

Coeficientes "alfa"

1

2

3

4

5

6

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Valores de K

V

aloresdealfa

Alfa 3

Alfa 4

Alfa 7

Coeficientes "alfa"

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Valores de K

Valoresdealfa

Alfa 6

Alfa 8

Alfa 9


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DEC - CTC - UEM

Coeficientes "alfa"

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Valores de K

V

aloresdealfa


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Prof. Joo Dirceu29

1.8.2Flecha diferida no tempoA flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) decorrente das cargas de longa

durao em funo da fluncia e pode ser calculada de maneira aproximada pela

multiplicao da flecha imediata pelo fator fdado pela expresso:

'1 50.f

=

+

onde:'

'

.sA

b d =

um coeficiente funo do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser

calculado pelas expresses seguintes:

( ) ( )0t t =

( ) ( )

0,320, 68. 0, 996 .tt t = para t 70 meses

( ) 2t = para t > 70 meses

Tabela 1.3 Valores do coeficiente em funo do tempo NBR 6118 - Tabela 17.1.

Tempo (t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70

Coeficiente (t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

sendo:

t o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

t0 a idade, em meses, relativa data de aplicao da carga de longa durao.

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + f).


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DEC - CTC - UEM 30

1.8.3Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo.

1y

x

l

l= = 2= 1,58 3= 25

2 3

12,6 cm.

h

=

Adotado h = 12,5 cm

Determinao das flechas elsticas (cuidado com as unidades)

Laje Tipo B. k = 6/5=1,2 B= 4,94

g1= 0,125.25 = 3,125 kN/m2. g2= 0,75 kN/m

2. g = g1+ g2= 3,875 kN/m2.

q (sala de aula) = 3 kN/m2.

P = g + q = 6,875 kN/m2.

5600 0,85 =ci ck cs ciE f E E= = 21287,4 MPa = 2128,74 kN/cm2

= 2128,74. 104

kN/m2

4 4

3 4 3

. 3.5 4,94. . 0,00223 m 2, 23 mm

. 100 2128,74.10 .0,125 100x

ac

qf

E h

= = = =

4 4

3 4 3

. 6,875.5 4,94. . 0,00511 m 5,11 mm

. 100 2128,74.10 .0,125 100x

p

pf

E h

= = = =

Determinao das flechas diferidas

'1 50.f

=

+ ' 0 =

1 0f

= = +

Adotando-se t 70 meses e o carregamento aplicado aos 2 meses (t0= 2 meses):

( )70 2t =

( ) ( ) 0,320, 68. 0, 996 .tt t = ( ) ( )2 0,322 0, 68. 0,996 .2 0, 68.0,992.1, 24833 0,8421t = = = =

( ) ( )0t t = 2 0,8421 1,158 = =

Laje Tipo 2C20 e CA-50

x = 6,0 m

y=5,0m

6,0m

5,0 m


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Prof. Joo Dirceu31

Determinao da flecha total

Flecha total = flecha imediata + flecha diferida

( )1t otal imediata diferida i f f f f f = + = + ( )5,11. 1 1,158 11,03 mmtotalf = + =

Flecha limite para apenas a carga acidental 14,3 mm350

=

Flecha limite para a carga total aplicada 20 mm

250

=

As flechas mximas, por norma, seriam /350 para a carga acidental e /250 para a total.

Observe que a altura da laje pode ser reduzida

( )4

3

.. . 1

. 100 350x

total f

pf

E h

= + =

( )

43 . 350. . 1 .

. 100x

f

ph

E

= +

( ) ( )3 3

3 3,5. . . 3,5.4,94.6,875.5. 1 . 1 1,158 0,00150621287400

xf

ph

E

= + = + =

0,11463 m 11,5 cmh=

1.9Extenso e qualidade dos apoios.Em projetos comum a ocorrncia de vinculaes parciais de lajes, conforme mostrado na

figura abaixo para as lajes L01e L02. Veja que a laje 02 tem um lado totalmente engastado e os

outros trs apoiados, ou seja, uma laje do Tipo 2, mas, o mesmo no acontece com a laje

01, pois ela tem trs lados apoiados e um lado com vinculao indefinida (apoio ou engaste?).

Figura 1.9 Predominncia de uma vinculao sobre a outra

L01

a b

c

d

L02


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DEC - CTC - UEM 32

Vamos adotar o seguinte critrio da predominncia de uma vinculao sobre a outra, ou seja,

uma vinculao predominante quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento do lado.

se em um lado qualquer da laje houver predominncia de uma vinculao sobre outraqualquer, esta vinculao prevalece e ser a nica considerada.

No havendo a predominncia de uma vinculao sobre outra, deve-se calcular a lajesupondo cada uma das vinculaes isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou

tomar os mais crticos de cada caso).

No esquema apresentado na figura acima, o lado da laje 02 vinculado laje 01 no apresenta

uma vinculao predominante (engaste ou apoio) e, dessa forma, a laje 02 dever ser

calculada como Tipo 1 e como Tipo 2 e adotados os resultados mais crticos de cada caso.

CUIDADO!!!. Veja que a L02como Tipo 1 tem o xadotado como o menor lado, portanto

na direo vertical e, como Tipo 2 tem o x adotado como a direo mais vinculada,

portanto na direo horizontal. Dessa forma deve-se comparar o My,(Tipo 1)com o Mx,(Tipo 2)e o

Mx,(Tipo 1) com o My,(Tipo 2), ou seja comparar os momentos na horizontal e os momentos navertical.

1.10Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2Os furos distinguem-se das aberturas por terem dimenses pequenas em relao ao elemento

estrutural, observando-se que um conjunto de furos muito prximos deve ser tratado como

uma abertura.

Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na resistncia e

na deformao deve ser verificado e as condies seguintes devem ser respeitadas em

qualquer situao:

a) a seo do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve sercapaz de equilibrar os esforos no estado limite ltimo, correspondentes a essa seo

sem aberturas;

b) as sees das armaduras interrompidas devem ser substitudas por sees equivalentesde reforo, devidamente ancoradas;


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Prof. Joo Dirceu33

c) no caso de aberturas em regies prximas a pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, omodelo de clculo deve prever o equilbrio das foras cortantes atuantes nessas

regies.

As aberturas que atravessam lajes macias comuns, na direo de sua espessura devem ser

armadas em duas direes e verificadas, simultaneamente, as seguintes condies:

a) as dimenses da abertura devem corresponder no mximo a 1/10 do vo menor (lx).

Figura 1.10 Dimenses limites para aberturas de lajes com dispensa de verificao

b) a distncia entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual oumaior que 1/4 do vo, na direo considerada; e

c) a distncia entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menorvo.

Considerando o disposto no item 13.2.6 da NBR-6118 deve-se prever cuidados especiais no

caso de canalizaes atravessando a laje de fora a fora, na direo da espessura. Ascanalizaes destinadas passagem de fluidos com temperatura que se afaste de mais de 15C

da temperatura ambiente devero ser adequadamente isoladas e, as canalizaes destinadas a

suportar presses internas maiores que 0,3 MPa devero passar por furos (maiores que o

dimetro da tubulao) ou aberturas previamente feitos na laje.

x

y

ax

ay

x

y

xyax< 0,1 x

ay< 0,1 x


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DEC - CTC - UEM 34

2Organizao dos clculos e detalhamento da armadura.2.1Dispositivos auxiliares de clculoO projeto de uma estrutura, compreendendo a memria de clculo, os desenhos de forma, de

armao, assim como todas as anotaes sobre consideraes feitas no projeto, devem ser

guardadas para sempre. Vinte, trinta anos aps a execuo de uma obra, esta pode ser objeto

de uma reforma que implique em alteraes no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a

necessidade de se ter memrias de clculo de fcil entendimento, com todas as informaes

envolvidas na elaborao do projeto e da forma mais concisa possvel.

A seguir prope-se como exemplo, rotinas de clculo atravs de tabelas, que permitem asistematizao do clculo e uma melhor visualizao das informaes. Esta sistematizao

importante para o uso de planilhas eletrnicas. O modelo abaixo pode ser extendido at a

determinao dos momentos fletores e esforos cortantes

Laje Tipo y x 2 3 d h pp rev alv out. S.T. Acd TT

1 2 4,25 3,15 1,352 33-a --- 3,03-b --- 3,0

obs.:

Laje 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direo

pp peso prprio da laje pr metro quadrado.rev peso prprio do revestimentoalv peso prprio da alvenaria, quando houver carga de paredesout outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga

proveniente de base de mquinas, etc.S.T. subtotal - ou soma das cargas permanentesacd sobrecarga ou carga acidentalTT carga total por metro quadrado atuante na laje

Este tipo de tabela pode ser adaptado s convenincias do calculista e ampliado para a

determinao dos esforos solicitantes (momentos fletores e reaes de apoio). O uso de

planilhas de cculo facilita bastante este trabalho.


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Prof. Joo Dirceu35

2.2Determinao dos esforos.A partir da planta de forma, as lajes so destacadas uma a uma, conservando as suas

vinculaes originais. O clculo ento realizado como se as lajes fossem todas isoladas.

A seguir exemplificado o procedimento de clculo, a partir do esboo de planta de forma

apresentado. Os traos mais escuros representam o nvel do pavimento. Neste esquema

apresentado, as lajes L1, L2e L4esto niveladas e a laje L3est rebaixada.

Os pilares P5, P6, ..., P12e as vigas V102, V103, ..., V109sero desenhados de forma anloga aos

pilares P1a P4e viga V101 respectivamente, observando que a numerao dos pilares da

esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas da esquerda para a direita, de cima

para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as

verticais).

Figura 2.1 Esboo da planta de forma do pavimento de uma edificao.

Deve-se observar que:

a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e lyesto colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que

deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3.

a laje 3 est rebaixada, conforme a representao na planta de forma, sendo portantouma laje Tipo 1.

A partir da planta de forma feita a discretizao das lajes, destacando-se uma a uma, para a

obteno das lajes isoladas e suas vinculaes. A figura a seguir ilustra este processo

L1 L2 L3 L4H=8cm H=9,5cm H=8cm H=8,0cm

a b c d

e

f g

L5 L6 L7H=8cm H=8,0cm H=9,5cm

P1(12x30) P2(12x30) P3(12x40) V101(12x35) P4(12x25)


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DEC - CTC - UEM 36

Figura 2.2 Destaque das lajes constituintes da planta de forma.

Aps a determinao dos esforos em cada uma das lajes (momentos fletores e reaes de

apoio), calculados como se fossem isoladas (a laje 02 dever ser calculada como tipo 3 e

como tipo 5), torna-se necessrio o reagrupamento destas lajes, conforme a situao

original, pois, necessrio que se considere o efeito de cada uma das lajes sobre as que a

cercam. o que chamamos de compensao dos momentos fletores.

Acabamos de ver uma situao de laje rebaixada. A laje 03 est abaixo do nvel do

pavimento. Em relao s lajes, as vigas podem ser Normais, invertidas ou intermedirias.

Veja os esquemas:

Figura 2.3 Posicionamentos entre lajes e vigas

Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham melhor o

processo de execuo.

y

L1

x

y

L2

x

x

L3y

x

L4

y

y

L5

x

y

L6

x

x

L7

y

Laje normal Laje rebaixada Laje rebaixada

Viga normal Viga invertida Viga intermediria


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Prof. Joo Dirceu37

Figura 2.4 Formas para Viga Normal. A laje est sobre a viga.

Figura 2.5 Formas para Viga Invertida. A laje est sob a viga.

A situao tpica de lajes rebaixadas so as lajes de banheiro onde se tem a tubulao de

esgoto da bacia sanitria de 10 cm fazendo uma curva de 90, e ralos sifonados. Esta soluo

atualmente est em desuso, com a utilizao dos forros falsos. Os rebaixos de banheiros

devem ser de no mnimo 25 cm.

Figura 2.6 Forma para Viga Intermediria. A laje est a meia altura da viga.


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DEC - CTC - UEM 38

A situao tpica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 1,5 a 4 cm, so as lajes de

terrao. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de gua no outro

ambiente.

Figura 2.7 Viga Normal. Forma para laje laje em balano (beiral)

Figura 2.8 Estrado de uma laje visto por baixo.


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Prof. Joo Dirceu39

2.2.1Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados)A representao esquemtica dos momentos fletores nas lajes feita conforme a figura abaixo

Planta dos Momentos Fletores no Compensados. A partir destes momentos fletores feita a compensao.

Figura 2.9 Momentos fletores no compensados.

2.2.2Compensao dos momentos fletoresA compensao dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, um processo

bastante simplificado, rpido e que fornece resultados razoavelmente prximos dos reais,

desde que se observe algumas restries:

a carga permanente deve ser maior que a acidental, carregamento das lajes deve ser simultneo e com carga total, as lajes devem ter rigidez e vos que no difiram muito entre si, os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza (Mfmaior2 x Mfmenor)

Ao contrario das vigas contnuas, onde ocorre a propagao dos momentos ao longo dos

tramos, nas lajes esta propagao no ser considerada. A compensao ser feita uma a uma,

independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6e L7, a compensao das

lajes L5e L6poder alterar o momento fletor Mx(o momento na direo horizontal), mas ao

se fazer a compensao das lajes L6e L7, devem ser tomados todos os valores originais, comose a compensao L5e L6no tivesse sido realizada.

Mx

My

MxMy

My

Mx

Mx

My

Mx

My

Xx

XyXy

XyXy

Mx

Mx

XxXx

MyXx

Xx XxMy

Xx

Xy


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DEC - CTC - UEM 40

Atravs da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensao. Tomando como

exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o n a ser compensado e os esforos

envolvidos na compensao. Pela laje L1tem-se o momento positivo Mx1e o negativo Xx1e

pela laje L2os momentos Mx1e Xx1positivo e negativo respectivamente. Em tracejado est o

diagrama de momentos compensado com os esforos Mx1*, X*e Mx2

*

Figura 2.10 Compensao dos momentos fletores

O processo de compensao, bastante simplificado, ser:

1 2*

1

20,8

x x

x

X X

X

X

+

*1 0,5.xX X = = 2.1

Com estas correes altera-se os valores dos momentos positivos, que tambm sero

corrigidos, somando-se =/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez

que o diagrama de momento fletor da laje L1 desceu, reduzindo o momento negativo e

aumentando o momento positivo. Ao contrario, o diagrama de momento fletor da laje L 2

subiu, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo

neste caso, a reduo desprezada, a favor a segurana, ou seja, sendo Xx1o maior momento

fletor, somente a laje que o contm ter seu momento fletor positivo majorado.

Se os momentos no forem da mesma ordem de grandeza (Mfmaior> 2 x Mfmenor) o lado da

laje do momento maior considerado apoiado e o da laje de momento menor considerado

engastado.

1

2

Mx1Mx1

*

Mx2*

Mx2

Xx1X*

Xx2

= Xx1- X*1= / 2


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Prof. Joo Dirceu41

Figura 2.11 Momentos fletores compensados

Como j foi dito anteriormente, estas compensaes sero feitas caso a caso, (n a n), como

se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando for feita a

compensao das lajes L2 e L7, sero utilizados os momentos Mx2, Xx2, Xx7 e Mx7,

independente de o momento Mx2ter sido alterado ou no na compensao das lajes L1e L2.

Dessa forma pode acontecer de a laje L2apresentar dois momentos Mx2*, tomando-se neste

caso o maior dos dois.

2.3Dimensionamento e detalhamento da armaduraA partir dos momentos fletores compensados, as lajes sero dimensionadas flexo, como

vigas fictcias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha

das bitolas, alm daqueles prescritos em norma, so utilizar apenas uma bitola para a armao

dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armao dos momentos fletores

negativos, que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou no.

Desta forma, esforos diferentes implicaro na utilizao da mesma bitola com espaamentos

diferentes. Isto importante para a fiscalizao, antes da concretagem, pois bitolas de 5,0 mm

podem induzir a erros quando utilizadas juntamente com a de 6,3 mm.

Para a armadura das lajes usa-se uma tabela de ferros feita especificamente para esse tipo de

armao, onde adotado o dimetro da armadura, na coluna correspondente a esse dimetro

busca-se o momento fletor maior ou igual ao calculado, obtendo-se o espaamento

correspondente da armadura.

Mx

Mx

My

My

Mx

My

Mx

My*

Mx

My

X56

X26X15

Mx

MxX67

My

X47

X12My

X27


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DEC - CTC - UEM 42

Tabela 2.1 - Tabela de ferros para lajes

espaamento As (cm2)cm 5,0 mm 6,3 mm 8,0 mm 10,0 mm

5,0 3,64 5,60 8,62 13,335,5 3,33 5,14 7,94 12,316,0 3,08 4,75 7,35 11,436,5 2,86 4,42 6,85 10,677,0 2,67 4,13 6,41 10,007,5 2,50 3,87 6,02 9,418,0 2,35 3,65 5,68 8,898,5 2,22 3,45 5,38 8,429,0 2,11 3,27 5,10 8,009,5 2,00 3,11 4,85 7,62

10,0 1,90 2,96 4,63 7,2710,5 1,82 2,83 4,42 6,9611,0 1,74 2,71 4,24 6,6711,5 1,67 2,60 4,07 6,4012,0 1,60 2,49 3,91 6,1512,5 1,54 2,40 3,76 5,9313,0 1,48 2,31 3,62 5,7113,5 1,43 2,23 3,50 5,5214,0 1,38 2,15 3,38 5,3314,5 1,33 2,08 3,27 5,16

15,0 1,29 2,02 3,16 5,0015,5 1,25 1,95 3,07 4,8516,0 1,21 1,89 2,98 4,7116,5 1,18 1,84 2,89 4,5717,0 1,14 1,79 2,81 4,4417,5 1,11 1,74 2,73 4,3218,0 1,08 1,69 2,66 4,2118,5 1,05 1,65 2,59 4,1019,0 1,03 1,60 2,53 4,0019,5 1,00 1,56 2,46 3,9020,0 0,98 1,53 2,40 3,81

2.3.1Armaduras mnimasPara melhorar o desempenho e a dutilidade flexo e puno (assim como controle da

fissurao) so estabelecidos valores mnimos para a armadura passiva. Essa armadura deve

ser constituda preferencialmente por barras com alta aderncia ou por telas soldadas.


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Tabela 2.2 Valores mnimos para armaduras passivas aderentes

NBR 6118 item 19.3.3.2 Tabela 19.1

Armadura de lajes Concreto armado

Armaduras negativas smin

Armaduras positivas (lajes armadas em cruz) s0,67.min

Armadura positiva (principal, lajes em uma direo) smin

Armadura positiva (secundria, lajes armadas em

uma direo (armadura de distribuio).

As/s 20 % da armadura principal

As/s 0,9 cm2/m

s0,5 min

Onde:.s

s

A

bw h =

min dado na Tabela 2.2, e

s o espaamento das barras

Os valores de minso apresentados na Tabela 2.2 (Tabela 17.3 da NBR 6118).

Tabela 2.3 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas de seo retangular.

NBR 6118 item 17.3.5 Tabela 17.3

Valores de min= As,min/Ac(%)

fckmn

20 25 30 35 40 45 50

0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

Valores de minestabelecidos para ao CA-50, c= 1,4 e s= 1,15.

min= taxa mecnica mnima de armadura longitudinal

para valores diferentes de fck, fyk, c, e s min min . cdyd

ff

=


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DEC - CTC - UEM 44

2.3.1.1Disposies gerais de detalhamento (NBR 6118 item 20).O dimetro no mximo das barras da armadura de flexo deve ser h/8.

O espaamento mximo (s) das barras da armadura principal de flexo na regio dos maiores

momentos fletores deve ser a 2h ou 20 cm.

Nas lajes armadas em uma direo a armadura secundria de flexo deve ser 20% da

armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaamento entre barras de, no mximo, 33 cm

(mnimo de trs barras por metro).

Em bordas livres e junto s aberturas devem ser respeitadas as prescries mnimas conforme

disposto na Figura 2.12.

Figura 2.12 - Bordas livres e abertura (Figura 20.1 da NBR 6118)

As armaduras positivas devem ser distribudas de modo a cobrir a superfcie de momentos

fletores, o que impraticvel pois as tabelas geralmente s fornecem valores correspondentes

s faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os

casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuio.

A prtica tem consagrado uma simplificao, onde os comprimentos das barras (que j inclui

os comprimentos de ancoragem) so dados em funo do vo em ser disposta a armadura.


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importante observar que, com tais esquemas de distribuio das armaduras, a zona central

fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As, indicando que o critrio

satisfatrio.

Figura 2.13 - Disposio da armadura positiva e comprimento das barras em lajes.

Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifcios submetidas a cargas

uniformemente distribudas e cargas acidentais (q) inferiores s permanentes (g), as barras da

armadura principal sobre os apoios devero estender-se de acordo com o diagrama triangular

de momentos (considerado j deslocado) de base igual ao valor adiante indicado:

a) Em Lajes atuando em duas direes ortogonais:

Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras trs bordas livremente apoiadaou engastada, 0,25 do menor vo.

Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vos menores das lajescontnuas.

b) Em lajes atuando em uma s direo.

Em uma borda engastada, 0,25 do vo.

A prtica tem consagrado como simplificao, o detalhamento da armadura apresentado na

Figura 2.14, onde o comprimento reto da barra 3/4 do intervalo (0,5 2), intercalando-se as

armaduras, esquerda e direita. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona

central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critrio

satisfatrio.

c = 0,85

c = 0,80

c = 0,75

c=

0,8

5

y

c = 0,80

x


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DEC - CTC - UEM 46

Figura 2.14 - Disposio da armadura negativa e comprimento das barras em lajes.

Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas devem-se dispor armaduras

negativas com a finalidade de limitar a fissurao. Recomenda-se o detalhamento da armadura

positiva, conforme proposto na Figura 2.15, observando-se que o esquema proposto no

detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas

Figura 2.15 - Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas.

Observaes:

Em uma planta de armao, sempre que um ferro for idntico a outro (mesmageometria, comprimentos etc.) tero o mesmo nmero. por este motivo que os ferros

verticais de ambas as lajes recebem a denominao N1.

Cada um dos ferros horizontais est recebendo um nmero diferente, uma vez que, oudiferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos.

Os ferros so sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar como seprocede o intercalamento.

Observe que se todas as barras fossem espaadas a 15 cm, para N1 no desenho seriacolocado Q1N1c/15, Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, est sendo indicado que o

par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros conjuntos so formados pelabarras N2/N3 e N4/N5 intercaladas.

1/8 2

1 2

3

1> 2> 30,25 2 0,25 2

1 2

30,5 2

N1 N1

N2 N4

N3 N5

Detalhe A20 % do vo

Ganchoh 3 cm

Barras N1Barras N2Barras N5

Barras N3Barras N4


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Importante:

Quando se tratar de lajes contnuas com diferentes condies de apoio no lado comum, (lajes

com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje considerada deve

prolongar-se na laje vizinha, pelo menos at o ponto onde se possa prever que o momento

fletor negativo, na direo considerada, mude o sinal.

2.4Detalhes de Formas e armao de lajes


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errado certo

certoerrado

Desta forma maiseconmico

Mas tambm pode serfeito assim

h

2h

2h


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2.5Cisalhamento em lajesAs placas (lajes) tm uma boa resistncia ao esforo cortante e, as lajes comuns de edifcios,

salvo situaes extraordinrias de carregamento, no so armadas ao cisalhamento. A NBR6118 item 9.4 estabelece que quando a fora cortante de clculo for menor ou igual fora

resistente ao cisalhamento de projeto, as lajes macias ou nervuradas podem prescindir dessa

armadura transversal.

1Sd Rd V V

A resistncia de projeto ao cisalhamento dada por:

( )1 1. . 1, 2 40. 0,15. . .Rd Rd cp wV k b d = + +

Obs.: Sdcpc

NA

= , NSd a fora longitudinal na seo (protenso ou carregamento).

( )1 1. . 1, 2 40. . .Rd Rd wV k b d = + concreto armado (sem foras longitudinais)

onde: Rd= 0,25 fctd

2 3,inf 2 30,7. 0,7.0,3. 0,21

.ctk ctm ck

ctd ctd ck c c c c

f f f

f f f = = = =

k = |1| quando 50 % da armadura inferior no chega at o apoio:

k = |1,6 d| |1| com d em metros; para os demais casos.

11 0,02.

s

w

A

b d =

fctd a resistncia de clculo do concreto ao cisalhamento;

As1 a rea da armadura de trao

bw a largura mnima da seo ao longo da altura til d;

Quando da verificao de elementos sem armadura de cisalhamento a resistncia de clculo

VRd2 dada por:

2 10,5. . . .0,9.Rd v cd wV f b d = onde: v1= (0,7 fck/200) 0,5.


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3Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito

2

1 2

Pabm = +

2

2 2

Pa bm =

( )2 21 2 12 312ps

m ab s b = + +

( )2 22 2 12 312ps

m a b s a = +

( )

22

1 2 2 3 4 312

psm s s = + + ( )

3

2 2 4 312

psm s=

2

1 12

pm = +

2

2 12

pm =

( )/22bPab

m +=

( )/ 22 48Pbs

m a b s = +

( )2

2/2

2

8

Psm s=

( )2

/ 2 22

28

Psm s=

2/

8

Pm =

a bP

s/2 s/2

a b

p

s p

p

ps

s/2 s/2

a b

p

s p

sp

a b

P

apost 03 lajes

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