apos algebra lineal

8/18/2019 APOS Algebra Lineal

1/14

Revista Latinoamericana de Investigación enMatemática Educativa

ISSN: [email protected]é Latinoamericano de MatemáticaEducativaOrganismo Internacional

Oktaç, Asuman; Trigueros, María¿Cómo se aprenden los conceptos de álgebra lineal?

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 13, núm. 4, 2010, pp. 373-385

Comité Latinoamericano de Matemática EducativaDistrito Federal, Organismo Internacional

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33529137022

Cómo citar el artículo

Número completo

Más información del artículo

Página de la revista en redalyc.org

Sistema de Información CientíficaRed de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal

Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto


2/14

373

¿Cómo se aprenden los conceptos de álgebra lineal?

Relime , Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010


How are Linear Algebra concepts learned?

Asuman Oktaç, María Trigueros

RESUMEN

En este tra a o se presentan os resu ta os e un proyectoe argo a cance en Méx co cuyo propós to cons ste en

pro un zar en a orma en que os estu antes un vers tar os

apren en e á ge ra nea . Para e o se e nen como metas e proyecto proporc onar un aná s s teór co e as construcc onesnvo ucra as en os st ntos conceptos e á ge ra nea

ut zan o a teoría APOE; va ar c o aná s s paca a concepto me ante nvest gac ón empír ca en oca atenc ón en os st ntos conceptos que a componen y nre ac ones entre e os y, con ase en os resu ta os o s,acer sugerenc as áct cas que contr uyan a uun amenta a en a nvest gac ón. En part cu ar

en este estu o os resu ta os o ten os para os ce espac o vector a , trans ormac ón ne ase y s ste

ecuac ones nea es.ABSTRACT

T s paper presents t e res a ong term pro ect eve ope n Me e o stu y ng n

ept stu ents’ constr y L near A ge raat t e un vers ty e pro ect cons st neve op ng t e out t e construct onsnvo ve n erent L near A ge ra

concepts u va at ng t ose ana ys s ymeans o ocus ng on spec c concepts anre at ; an ma ng act c suggest onst a e teac ng o t s su ect. In part cu ar

y t e resu ts o ta ne or t e o ow ngspace, near trans ormat on, as s an

sys ar equat ons.

RESUMO

Neste trabalho se apresentam os resultados de um projeto deonga uração no Méx co cu o propós to cons ste em apro un arna forma em que os estudantes universitários aprendema álgebra linear. Para tanto se definem como metas do projeto proporcionar uma análise teórica das construçõesenvolvidas

Relime (2010) 13 (4-II): 373-385. Recepción: Mayo 26, 2009 / Aceptación: Noviembre 9, 2009 .

can co

e present nnoncepts: vectoce

ems o no

,

ts o ta ne so ara rco w t t e purposc r

ct ons w en t ey sttve . T e goa s oo

ret ca ana yses ae earn ng o t er t

ng APOS t eory;;emp r ca researcse ps etween t ee

tr ute to ttrt s ss s

tenenseñanzae presentan p

onceptos on as

an o n

ss

PALABRAS CLAVE:- Álgebra Lineal - Teoría APOE - Construcciones mentales

KEY WORDS:- Linear Algebra- APOS theory- Mental constructions

PALAVRAS CHAVE:- Álgebra linear - Teoria APOE - Construções mentais


3/14



nos distintos conceitos de álgebra linear utilizando a TeoriaAPOE; validar referida análise para cada conceito mediante

pesquisa empírica focando a atenção nos distintos conceitos que acompõe e nas relações entre eles e, com base nos resultadoso t os, azer sugestões át cas que contr uam a um ens noun amenta o na pesqu sa. Em part cu ar se apresentam neste

estudo os resultados obtidos para os conceitos de espaçovetorial, transformação linear, base e sistemas de equaçõesineares.

ÉSUMÉOn présente ans cet art c e es résu tats ’un pro et e ongerme développé au Mexique. Le propos du projet consiste

en appro on r sur es construct ons es conna ssances ées à’A gè re L néa re par es étu ants un vers ta res. Pouraccomplir cet objectif, les buts particuliers du projet consistenten développer un analyse théorique des différents concepe ’A gè re L néa re en termes e a t éor e APOS; va’ana yse par moyen e a rec erc e emp r que centrée

différents concepts de l’Algèbre Linéaire et ses reut ser es résu tats o tenus pour proposer es

act ques pour es ense gner. En part cu er on pes résultats obtenus pour les concepts d’espace vrans ormat on néa re, ase et systèmes res ’équat .

Introducción

l álgebra de las Matemáticas que se considera importantepr cti as profesiones por sus posibilidades de aplicaci na l diversos problemas. Es por ello que las escuelas de

Admin a, Ciencias Sociales, Ingeniería, Física, de Biología y, porup ría, Estadística y Matemáticas, de todas las universidadesogramas al menos un curso de esta disciplina.

anza del álgebra lineal y, sobre todo, las di cultades de losestu cuando intentan aprender los conceptos abstractos de esta disciplinaan re ido la atenci n de varios investigadores. Existen numerosos trabajos

de investigaci n que tratan los distintos aspectos de su ense anza y aprendizaje(Sierpinska, 2000; Sierpinska et al., 2002; Dorier et al., 1997). La naturalezaepistemológica del álgebra lineal, los problemas con diseños didácticos y el uso

de diferentes tipos de lenguajes son algunas de las fuentes de obstáculos que seidenti can en estas investigaciones.

esttntienene

La enseeiantess

i

néa

ineal es una ramamente en todad

soluci n de mu

tración, Economnlas de Actusus

uations e t

suggest onsgésente cs

ctoriel,to ,on

ser

MOTS CLÉS:- Algèbre Linéaire- Théorie APOS - Constructions mentales


4/14

375



2 La teoría APOE y el álgebra lineal

En 1997 Dubinsky public un art culo donde advert a que las dificultadesque tienen los estudiantes con los conceptos de lgebra lineal no puedeny no deben evitarse concentrándose en los aspectos computacionales deesta materia y eludiendo la abstracción. Esta advertencia venía como una críticahacia la tendencia en Estados Unidos de redise ar los cursos introductorios deálgebra lineal, dejando fuera los temas que no tienen que ver con las triceso las ecuaciones lineales. Dubinsky sostenía que la abstracción y e oson la esencia de las matemáticas y por tanto, se debe encontraci itar a os estu iantes experiencias agra a es cuan o

durante su iniciaci n a la disciplina.ubinsky (1997) afirma que un acercamiento asado

en investigación sobre las construcciones mental sarrollarlos estudiantes para aprender los conceptos mate muy e cazen esta dirección:

… A ntes e que se cons eren estrate a os conceptos part cu ares que causan cu ta r nea neces tananalizarse epistemológicamente. Con e cir que se necesitainvestigación para determinar s constru mentales específicasque un estudiante puede ara com ender estos conceptos.

osteriormente es neces lar estrategias pedagógicas que permitan conducir a l acer estas construcciones y ausarlas para resolve

a teoría APO Dubinsky (1991) de la teoría piagetiana,como un acercam a construcción del conocimiento matemáticoavanzado. La vestigación ligada a este marco teórico constade tres co s teórico, diseño y aplicación de estrategias deense an tos. El an lisis te rico corresponde a la realizaci n

de un de la construcci n de alg n concepto matem ticoen ucciones mentales (Acciones–Procesos–Objetos–Esquemas);conoce comodescomposición genética .

teoría APOE unaacción es una transformación de objetos que elind ede realizar paso a paso, obedeciendo a estímulos externos. Cuandoel in uo re exiona sobre estas acciones las puedeinteriorizar y éstas seconvierten en procesos , en e senti o e que as mismas trans ormaciones pue enrealizarse en la mente del individuo, sin necesidad de est mulos externos. Cuandohay necesidad de aplicar acciones sobre los procesos, éstos seencapsu an para

dar lugar aobjetos . Para conocer más sobre este marco, referimos el lectora Dubinsky (1991) y Asiala et al. (1996).

rmeste mo

Según lúiduo p

vi

acer,rio desarroo

s estudiantes ai problemas. (p. 89 em .

fue adaptada ppento que explicae ic

etodología de ieponentes: análiá

, y an lisis del

modelo viableoos de constlo sel

as pees en á ge

to quiero dtcionec one

m formali

r maneras dos encuentran yt

la ense anzan aque pueden d

áticos, puede se

óg cas,ó s


5/14



Con base en estas consideraciones, RUMEC (Research in UndergraduateMathematics Education Community), un grupo que se dedica a hacer investigaciónusando la teoría APOE, preparó materiales de enseñanza (Weller et al., 2002)ara un curso de álgebra lineal introductorio, donde cada uno de los conceptosestudiados se analizó previamente mediante una descomposición genética.stas descomposiciones genéticas preliminares fueron muy útiles en el diseño de

actividades, sin embargo son un tanto esquem ticas y era necesario re narlas yealizar estudios de investigaci n para profundizar sobre el aprendizaj de losonceptos de álgebra lineal.

Nuestro proyecto

ada la importancia que reviste el estudio del gebra lineal,onsideramos pertinente iniciar un proyecto r n México con eln de profundizar en la forma en que los en esta disciplina,

enfocando la atenci n en los distintos ue la componen y enas relaciones entre ellos. Los objetivos del pr proporcionar un an lisisteórico de las construcciones invo das en lo tintos conceptos de álgebraineal, validar dicho análisis me tigación empírica, y hacer sugerenciasdidácticas tomando en cuent la investigación teórica y empírica.

asta ahora hemos estu s de espacio vectorial (Trigueros yktaç, 2005; Oktaç et z& Oktaç, 2010), transformación lineal

(Roa-Fuentes y Okt et al., 2008), y sistemas de ecuacionesineales (Triguero n en progreso investigaciones que se centranen otros tem , conjuntos generadores y espacios generados.n este art dar a conocer este proyecto y sus resultados.

L estigación que guían este proyecto son:

iones mentales son necesarias para que los estudiantesos construyan los conceptos del álgebra lineal? ¿Cuáles son

ipales obstáculos que enfrentan?

P cuestiones de espacio aquí presentamos algunos análisis teóricosrevemente, y mencionamos algunos de los resultados más importantes.

Referimos el lector a los trabajos mencionados para conocer m s acerca delproyecto y de sus diferentes componentes.

¿Quuniverslos prino r

crante invi v

os resultadossado los concepn

., 2006; Parragu0 rç, 2010), base

et al., 2007). Es.como matriceso

ulo pretendemors preguntas de i

construar

eestudianttconceptoso

ecto soodi

rendizaje delalcance

re


6/14

377



4 Resultados particulares

. . onstrucción e concepto e espacio vectoria

El concepto de espacio vectorial resulta muy difícil para los alumnos debidoprimor ia mente a que es un concepto e natura eza a stracta, con un estatusepistemológico diferente al de la mayoría de los conceptos que se ens en launiversidad y que implica necesariamente la formalización de conce anapren i o anteriormente Dorier, 1995a; Dorier, 1995 ; Dorier y SiMaracci, 2005; Fischer, 2005). En nuestro proyecto hemos enfde espacio vectorial como un elemento básico para la c osconceptos del lgebra lineal.

ara entender la construcción del con os unadescomposición genética preliminar (Triguero de acuerdoa la cual, la construcci n del esquema para l al requiere lacoordinación de cuatro esquemas: el de axi l ión binaria, el defunción y el de conjunto. El resultado de r e bre elementos de unconjunto espec co y de acuerdo a operaci de nidas previamente,permite al estudiante interiorizar s distint mas que de nen a dicho

espacio vectorial concreto. Al ar estas cciones a múltiples espaciosconcretos, stas pueden ser i posteriormente encapsuladas en unobjeto que podemos llam ial” que tiene una estructura dadajustamente por las prop nen.

ara probar la escritas en esta descomposici n se diseuna entrevista s ue se llevó a cabo con seis estudiantes deingeniería que materia de álgebra lineal siguiendo la didácticaestablecida teor a APOE, elegidos por la maestra del curso deacuerdo en el mismo, dos de nivel bajo, dos de nivel medio y

dos d s, 2007). encia se encontró que los alumnos entrevistados construyeron

espacio vectorial como una concepción acción, pero que nolo concepción proceso. Como ejemplo mostramos la respuesta de unalu na de las preguntas que resultaron más difíciles de la entrevista: ¿Esun espa io vectorial sobreQ (con las operaciones usuales)? Una respuesta típicapara argumentar queR no es un espacio vectorial sobreQ fue: “porque, si tomocualquiera dos números reales, su suma no necesariamente resulta un númeroracional” . Esta respuesta muestra que los alumnos confunden los elementosdel conjuntoR con los del conjuntoQ, pues operan con los elementos deR y

n enel conceptoe e

raron unaoo a

neraeriorizadasi s“espacio vectoio

edades que lo duconstruccionesc s

miestructuradatabían cursado l

en el marco de lsu rendimientod o

nivel alto (Vargo rta expert r

de

ma,alizar accili

nes binariaas axia

atos quee

rpins a, 2001;cado el concepton

nstrucción de o

epto desarrollay Oktaç, 2005), )spacio vectos o

e operae rs


7/14



veri can que el resultado se encuentre enQ. Se observa así algo que ocurriócon frecuencia en las entrevistas: aun cuando el alumno conocía las propiedadesque un espacio vectorial concreto debe cumplir, confundía los elementos deos conjuntos que lo de nen, evidenciando una concepción acción respecto aloncepto de espacio vectorial y al concepto de operación binaria de nida enun conjunto.

En este trabajo se encontr que los alumnos eran capaces de relacionaras propie a es in ica as en os axiomas con e concepto e espacio v toria ,ero en general estos alumnos mostraron una concepción acción de deos axiomas y no fueron capaces de coordinar los procesos en unde verificación. La falta de coordinación entre los esqueonjunto y operaciones binarias con el de espacio vector

esquema de espacio vectorial se encuentra en un niv nalde evolución. Aun cuando los distintos alumnos mostraba nas deas construcciones de la descomposici n gen tic idenciae a er coor ina o estas construcciones.

Estos resultados muestran claramente la onstrucción delesquema de espacio vectorial, pero, a dif trabajos, indicanosibles causas concretas de esas di cul e ser abordadas para

que los alumnos aprendan el concepto a ma ad.Los resu ta os e estas i stigacion icieron necesario mirar

el proceso de construcci n del de espacio vectorial desde m s cerca,restando especial atenció problemáticas como la relaciónque existe entre el campo rial, y la evolución del esquema quee observa a partir de l blecidas entre el concepto de espacio

vectorial y otros con lineal. Otro aspecto muy importante quee decidió estudia ón entre los procesos relacionados con cada

una de las oper sobre un espacio vectorial.Partie posici n muy detallada (Parraguez y Oktaç, 2010;

arrague a iza o entrevistas con 10 estu iantes e a carrera eate resultados originales de este trabajo es que los estudiantesr di cultades para coordinar los procesos determinados por

operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En ela habíamos previsto que esta coordinación toma lugar a través deas ributivas que involucran a ambas operaciones. Generalmente en laense a no se hace hincapi en esta coordinaci n y aun los buenos estudiantesueden no darse cuenta de la manera con que est n ligadas estas operaciones.n este trabajo también se hace una caracterización de los niveles de esquema

Intra, Inter y Trans (Piaget y García, 1989) relacionados con el concepto de espacio

vectorial y a través de entrevistas se presentan evidencias para mostrar quétipo de conexiones se logran entre diferentes conceptos del álgebra lineal. Una

entatada unaálisis teóricis

yes dii

vsquemamaen las partt

el espacio vectos conexiones ese

eptos del álgebrefue la coordinac ina

ciones de nidasedo de una desco

, 2009) emos rticas. Uno de lon lan mucha

la

rencirades que pe

r profund r d s

gunosolo proce

as de axioma, al mostró que str e s

el Intra–operaci a evidencia de alge, no mostraronr

ltad en laotros


8/14

379



observación interesante de esta investigación es la no linealidad del aprendizaje.Por ejemplo en los estudiantes pudimos encontrar elementos de la construcciónobjeto sin evidencia de algunas construcciones previas: las propiedades del

espacio vectorial como procesos y coordinación entre los axiomas.

4.2. onstrucción e concepto e trans ormación inea

Weller et al. (2002) de nen la transformaci n lineal de la siguie ra:

Sean U y V espac os vector a es con esca ares en K. Una unces una transformación lineal si:. = + para .

ii. (cu) = T (u) para ∈ U y

Según Dubinsky (1997) las transformaci li eden considerarcomo procesos que transforman los obje o ectores, espacios ysubespacios) del álgebra lineal. Menciona tos objetos estáticos sepueden visualizar (al menos en los espacios sión igual o menor a 3),visualizar un proceso dinámico e sentido mposible y requiere razonarsobre los fen menos est ticos onstrucciones mentales (Piaget, 1966,cita o en Du ins y, 1997).

n nuestro trab oncepto hemos considerado dosdescomposiciones ge inos viables para su construcción: unaque asume la con epto transformación (general) para luegoconstruir el con ación lineal como un caso especí co, y otradonde el esq imila al objeto de espacio vectorial, para que elindividuo la de nici n de cierto tipo de funciones entreespacio o en os cursos casi nunca se estu ia e conceptode tr ral, sería difícil encontrar evidencias del primer camino,y tra investigación no hemos encontrado estudiantes que lo

concentrándonos en la segunda descomposición genética,pode ecir que un individuo puede empezar la construcción del conceptode tra sformaci n lineal realizando acciones que consisten en averiguaras os con iciones e inea i a , toman o vectores particu ares, a a unatransformación lineal especí ca mediante una fórmula.

Re exionar sobre estas acciones puede dar lugar a dos procesos quecorresponden a cada una de las propiedades de linealidad, donde el individuo

e heceiguieran.n

Ahoraros

estaciendoo

o sobre ester téticas como ca

rucción del coepto de transfora

ema de funcióneueda considera

vectoria es. Cosformación gei

o en nue

nesos (talessue aunquee

e dimes

e man

ón :

eales seeo


9/14


10/14

381



4.3. Construcción del concepto de base

Un concepto particularmente difícil del álgebra lineal es el de base de un

espacio vectorial; sin embargo, la investigación en educación matemática le hadedicado poca atención (Chargoy, 2006; Da Silva y Lins, 2002).asados en la hipótesis de que el aprendizaje de este concepto debe comenzar

por a posi i i a e esta ecer as re aciones a ecua as entre conceptos, a oque la noci n de base constituye, por una parte, un elemento fundam ntal dela estructura de un espacio vectorial y, por otra, guarda una relación rdialcon otros conceptos del álgebra lineal decidimos investigar ¿Qué c eshan desarrollado los estudiantes universitarios acerca del concepespacio vectorial después de haber cursado la materia de Álg

ara responder a esta pregunta se diseñó una de ticade este concepto y se observ durante un semestre u linealpara Ingenier a cuya ense anza estuvo guiada por l nse anzade la teoría APOE y se diseñó una entrevista objetivo dela investigación, tomando en consideración l genética y losresultados de la observación de clase.

l análisis que se realizó mostró, e n ales, que los alumnosentrevistados no llegaron a interiorizar e de base de un espaciovectoria . De os 6 estu iantes q se entre n, 4 mostraron evi encia

de estar en camino a la interi n de dic o concepto y dos mostraronuna concepción acción. S e aun cuando estos estudiantesintentan articular las pro cepto de base, no son capaces deveri car cuándo un con un espacio vectorial, ni de coordinar,ni los elementos inv nstrucción descrita en la descomposicióngenética ni los ele es involucrados en su construcción (espaciovectoria , su es enera or e in epen encia inea ).

or o stu iantes mostraron a gunas evi encias einteriori ones necesarias para construir el concepto de base:

por ej ción proceso de independencia lineal, dado que podíandec es o no linealmente independiente, empleando diferentestos e interpretando de manera correcta el resultado de

atrices para decidir la independencia-dependencia lineal de unco vectores, incluso de aquellos que contienen una variable.Sin e go, estos a umnos mostraron i cu ta es para i enti car a pertenenciade los vectores al espacio vectorial dado y en la construcci n del concepto deconjunto generador.

dirrpos de ae

educción ponuntoo

a

e

rizaciobservó qqiedades del coi

unto es base deaucrados en la cu s

entos conceptueacios, conjuntos u

ra parte, ossción de las acce c

mplo una concenun conjungumee

términos géconceptoc o

istar

rimnstruccion

o de base de unsra Lineal?

omposición genecurso de lgebrlmetodolog a de

con base en ellscomposiciós o i


11/14



Esta investigación permitió constatar que el averiguar si un conjunto devectores forma una base para un espacio vectorial dado resulta más fácil paraos estudiantes que hallar una base para un espacio vectorial dado. De acuerdo

on la descomposición genética propuesta esto tiene sentido, ya que averiguar siun conjunto dado es base, requiere comprobar ciertas condiciones, lo cual puedeacerse, utilizando únicamente acciones, por ejemplo, siguiendo un algoritmo,ero hallar una base para un espacio vectorial requiere la coordinaci n deos procesos involucrados en la comprensi n de la independencia lineal y

el conjunto generador. La investigación reveló también que resulta ifícilalcanzar una concepción objeto del concepto de base y que la c ndel concepto base requiere de la posibilidad de trabajarvectoriales diferentes al espacio vectorialR para posibilitde un esquema alrededor de este concepto.

.4. onstrucción e concepto e so ución uacionesinea es

a soluci n de sistemas de ecuaciones line a l muy importanteo sólo en el estudio del lgebra Lineal é n el de otras áreas

de las matemáticas que se estudian en la u ay investigaciones queuestran que los estudiantes tien di culta ara entender el concepto

de solución a un sistema de ecuac on la rep sentación e interpretación deas grá cas de las ecuaciones ión al sistema (Cutz, 2005; Ramírez,et al., 2005); pero, en reali co acerca de la naturaleza de estasdi cultades y su relaci la que los estudiantes construyen eloncepto de soluci n.

En nuestro dio de estos problemas se llevó a cabo através del segu so de álgebra lineal en el que los sistemas deecuaciones n un papel central en relación con todos los demásoncepto . En este trabajo se diseñó y se puso a prueba una

desco que modela la posible construcción de estos conceptos yque r e interpretar por una parte las posibles di cultades quee u iantes cuan o os apren en y por otra os patrones

o que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemase con los sistemas de ecuaciones (Manzanero, 2007).

L resultados del análisis de las entrevistas permitieron clasi car aos estudiantes en dos grupos. En uno de ellos, tres estudiantes fueron capacesde interpretar las variables que aparecen en las expresiones y mostraronomprensi n del significado de la soluci n de una ecuaci n como objeto.

De entre los estudiantes de este grupo, dos fueron capaces además de generalizaresta noción al conjunto solución de un sistema de ecuaciones mediante la

errentan

e razonamieacionadosa o

s

nes yde la soluad, se conoce po

con la forma efo

royecto, el est, esmiento de un ct

su solución juegede esta disciplia

posición genéticniti identii dos ess

es jueesino tambsiiversidad.i .

ess

ynstrucc cc

con espacios s c la construcción u

sistemas e e

n pap


12/14

383



coordinación de los esquemas de solución y de conjunto. Además mostraronque habían construido el proceso de reducción de un sistema para encontrarsu solución y que eran capaces de coordinar la representación geométrica

del conjunto solución con la algebraica.os otros tres estudiantes no mostraron comprensión del signi cado del

concepto de soluci n o conjunto soluci n. Mostraron adem s di cultades parai erenciar e signi ca o e a varia e en as istintas expresiones con as

que tra ajaron y muc as i icu ta es para ap icar, e orma mem iza a,las acciones necesarias para resolver los problemas y para inte r larelación entre la representación geométrica y algebraica de las ec lconjunto solución.

os resultados de este estudio mostraron con claridad q eun esquema para la variable que incluye la interpretac ciónentre sus distintos usos, as como la construcci n de i n deuna ecuaci n como objeto son prerrequisitos in acer lasconstrucciones necesarias en la construcción de u sistemas deecuaciones. Los resultados mostraron también e ones predichaspor la descomposición genética se pueden ir se sigue un cursobasado en la teoría APOE y en un modelo i n genética.

Re exiones

Todos los estudios d de mani esto que el aprendizaje delálgebra lineal req sfuerzo, así como la necesidad de llevar acabo estudios q de la identi cación de las di cultades de losestu iantes.

A tr os trabajos del proyecto se puede constatar que eluso de n genética constituye una herramienta potente parades rucciones mentales involucradas en la construcción del ptos del álgebra lineal. En todos los estudios se encontró

construcciones predichas y ello permitió establecer posiblesca s dificultades de los alumnos y resultados que no se habíanenco o en investigaciones previas.

a información obtenida a partir de estos estudios permitirá, en unfuturo cercano, diseñar actividades didácticas que permitan a los alumnosuna construcción más sólida del álgebra lineal. Una construcción en la quelos conceptos tengan sentido y estén fuertemente articulados unos con otros.

ttdistint

evidencia dev asas de l

tra

proyecto ponee oere de un gran

e vayan más all

vés de los distiea descomposiciñar las cona

s concsl

constre descomp

pretaciones y

e la construcciónrn y la diferencia ca noci n de sols

spensables paraesquema para llas construcl

cuandocii


13/14



Reconocimiento

os trabajos presentados en este artículo han sido parcialmentenanciados por los proyectos Conacyt 41726S, 60763-H y 62375, y por la

Asociación Mexicana de Cultura A.C.

Referencias bibliográ cas

Asiala, M., Brown, A., DeVries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., &

Framewor or Researc an Curr cu um Deve opment n Un t csE ucat on. Researc in Co egiate Mat ematics E uc ues nMat emat cs E ucat on, 6, 1-32.

C argoy, R. M. 2006 . Di icu ta es asocia as a concept cio vectoria.Tes s octora , C nvestav-IPN.

Cutz, B. (2005).Un estudio acerca de las concepciones st enciatura sobre los sistemas de ecuaciones y su solución. Tesis de in N.

a Silva, A., & Lins, R. (2002). An Analysis of o eaning for the notion ofBasis in Linear Algebra. Proceedings of the 2n conference on the teachingo mat ematics at t e un ergra uate ve . p. 106 OM .

or er, J. L. 1995a . A genera out t e genes o vector space t eory. Historiaat ematica, 22 3 , 227-261.

or er, J. L. 1995 . Meta eve un y ng an genera z ng concepts nmathematics. Educationa tics, 29 (2), 175-197.

orier J. L., Robert, A., R i, M. (1997). L’Algèbre Linéaire : L’obstacledu Formalisme à erches de 1987 à 1995. En J.-L. Dorier (ed.), L’Enseignement re en Question, (pp.105-147). La Pensée Sauvageé t ons, Gre

or er; L, & S . esearc nto t e teac ng an earn ng o near a ge ra.En Der teac ing an Learning o Mat ematics at University Leve : An I 73 . Dor rec t: K uwer Aca em c Pu s ers. Países Ba os.

ubin e Thoughts on a First Linear Algebra Course. En D. Carlson, C.R., R.D. Porter, A. Watkins, & W. Watkins (eds), Resources For Teaching

, (pp.85-106), MAA Notes, 42. 1). Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. En D. Tall,

ance Mat ematica T in ing , pp. 95-123 . Dor rec t: K uwer.sc er, 2005 . Menta mo e s o t e concept o vector space. Procee ings o t e 4th CERME

Con erence, San Fe u e Gu xo s, España, 1830-1833.ú, D., Tr gueros, M., & O taç, A. 2008 . Comprens ón e concepto e ase e un espac o

vectorial desde el punto de vista de la teoría APOE. Educación Matemática, 20 (2), 65-89.Manzanero, L. (2007).Sistemas de Ecuaciones: una perspectiva desde la teoría APOE . Tesis de

Maestría, Cinvestav-IPN.

ohnson

Linear Aa binsky, E. (1ns

E . , A AA.

ne o

n t e teac ng ote oStudies in Mathemu t

inet , R., & Rogal,avers diverses recv e

de l’Algèbre Linéaè ino e.

erp ns a; A. 2001. 0Ho ton E . ,t T

MI Stu y . pp. 255, E. (1997). So. 7

, D.C. La, aebrae r

dedaestría,a

he productioninternationi

n CD n D

omas, K. (1996).s . .

ergra uate Mat emtion II , CBMS Is,

e ase e un espa s es

diantes de li s ivestav- ve


14/14

385



Maracci, M. (2005). On some difficulties in vector space theory, Proceedings of the 4th CERMEConference, San Feliu de Guixols, España, 1778-1787.

Oktaç, A., Trigueros, M., & Vargas, X. N. (2006). Understanding of vector spaces – a viewpointfrom APOS theory. Proceedings of the 3rd International Conference on the Teaching of

at ematics, En CD-ROM Istan u , Tur ey.Parraguez, M. & O taç, A. 2010 . Construct on o t e vector space concept rom t e v ewpo nt

o APOS t eory. Linear A ge ra an its App ications, 432, 2112-2124.Parraguez, M. 2009 . Evo ución cognitiva e concepto espacio vectoria. Tes s e octora o,

C cata-IPN.Piaget J. & García R. (1983). Psicogénesis e historia de la ciencia. Editorial: Siglo xico.Ramírez, C., Oktaç, A., & García, C. (2005). Dificultades que presentan los es os

modos geométrico y analítico de sistemas de ecuaciones lineales. Acta Latemática E ucativa, 19, 413-418.

Roa-Fuentes, S. & O taç, A. 2010 . Construcc ón e una escompo s steór co e concepto trans ormac ón nea . Revista Latinoame ón en

atemática E ucativa, 13 1 , 89-112.Roa, D. 2008 .Construcciones y mecanismos mentales asoc sformación

ineal . Tesis de Maestría, CINVESTAV –IPN. MéxicoSierpinska, A. (2000). On some aspects of students thi i a. En J-L. Dorier

(Ed.), On the Teaching of Linear Algebra (pp. 4 t: Kluwer Academicublishers.

S erp ns a, A., Nna oz e, A., & O taç, A. 2002 . t ons ps etween t eoret cat n ng an g ac evement n L near A cor a Un vers ty: Montrea .

spon e en: ttp: www.annas er a.w r .co S erp ns a-TT-Report.p

Tr gueros, M., & O taç, A. 2005 . L POS et ’ nse gnement e ’A gè re L néa re. Annales de Didactique et de S es, vol. 10, 157-176.Trigueros, M., Oktaç, A., & M nderstanding of Systems of Equations in

inear Algebra, Procee ME (Congress of the European Society for Research in Mathem naca, Chipre, 2359 -2368.

Vargas, X. N. 2007 . cios vectoria es es e e punto e vista e a teoría APOE . Tes s -IPN.

We er, K., Mo ., Cottr , J., Tr gueros, M., Arnon, I., & Du ns y, E.2002 . ge ra w t ISETL. D spon e en: ttp: omepages.

ohiod j/datastore/linear-alg/LLAWI-P3.pdf

Asum ktaç.Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, Mé[email protected]

Mar a Trigueros.Instituto Tecnológico Autónomo de México, Departamento de Matemáticas, Mé[email protected]

utoras: :

n

ns

éor eeciences Cognit t zanero, L. (2007)..

ings of the 5th CEo etics Education) u , La,

estu io e os espMaestría, C nvesta C

gomery, A., C arr .,earn ng L nearr

minican.edu/~cottr .e r

209-2

Stu y o ReSe ra. Coe o

p

I,diantes ens n

tinoamericana der n

c ón genét ca: Anáe aricana e Investigacc

ados al concepto traep. .

in linear algeba e. Dordrec. dr c

apos algebra lineal

Documents