aplikovaná matematika i, nmaf071
TRANSCRIPT
![Page 1: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/1.jpg)
1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnostiAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, KMA MFF UK
ZS 2010/11
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 2: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/2.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 3: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/3.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 4: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/4.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 5: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/5.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultace
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 6: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/6.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 7: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/7.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, KMA
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 8: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/8.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected],
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 9: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/9.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 10: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/10.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269, 603 342735
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 11: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/11.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269, 603 342735
Podmínky
udelení zápoctu ze cvicení: požadavky stanoví cvicící
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 12: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/12.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)
Co je
prednáška
cvicení
konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269, 603 342735
Podmínky
udelení zápoctu ze cvicení: požadavky stanoví cvicící
složení zkoušky: mít zápocet z cvicení, požadavky kezkoušce stanoví prednášející
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 13: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/13.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 14: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/14.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 15: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/15.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 16: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/16.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 17: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/17.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 18: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/18.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce5 Aplikace diferenciálního a integrálního poctu v 1
dimenzi
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 19: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/19.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce5 Aplikace diferenciálního a integrálního poctu v 1
dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 20: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/20.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce5 Aplikace diferenciálního a integrálního poctu v 1
dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace7 Lineární vektorové prostory
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 21: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/21.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Sylabus = obsah (plán) p rednášky
1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce5 Aplikace diferenciálního a integrálního poctu v 1
dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace7 Lineární vektorové prostory
- viz web prednášejícíhohttp://www.karlin.mff.cuni.cz/ ˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 22: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/22.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 23: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/23.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 24: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/24.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 25: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/25.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.
4 I. Cerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia,Praha, 2002.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 26: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/26.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.
4 I. Cerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia,Praha, 2002.
5 B. P. Demidovic: Sbírka úloh a cvicení z matematickéanalýzy. Fragment, Praha, 2003.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 27: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/27.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.
4 I. Cerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia,Praha, 2002.
5 B. P. Demidovic: Sbírka úloh a cvicení z matematickéanalýzy. Fragment, Praha, 2003.
6 J. Becvár: Lineární algebra. Skripta MFF UK,Matfyzpress, 2002.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 28: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/28.jpg)
1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)
Literatura
1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.
2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.
3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.
4 I. Cerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia,Praha, 2002.
5 B. P. Demidovic: Sbírka úloh a cvicení z matematickéanalýzy. Fragment, Praha, 2003.
6 J. Becvár: Lineární algebra. Skripta MFF UK,Matfyzpress, 2002.
7 ... web p rednášejícího
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 29: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/29.jpg)
1.1 Výroky a množiny
Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nemž má smyslríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebože neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 30: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/30.jpg)
1.1 Výroky a množiny
Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nemž má smyslríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebože neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0).
DefiniceNegací ¬A výroku A rozumíme výrok:
Není pravda, že platí A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 31: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/31.jpg)
1.1 Výroky a množiny
Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nemž má smyslríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebože neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0).
DefiniceNegací ¬A výroku A rozumíme výrok:
Není pravda, že platí A.
A ¬A0 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 32: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/32.jpg)
1.1 Výroky a množiny
Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nemž má smyslríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebože neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0).
DefiniceNegací ¬A výroku A rozumíme výrok:
Není pravda, že platí A.
A ¬A0 11 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 33: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/33.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A i B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 34: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/34.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A i B.
A B A & B0 0 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 35: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/35.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A i B.
A B A & B0 0 00 1 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 36: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/36.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A i B.
A B A & B0 0 00 1 01 0 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 37: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/37.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A i B.
A B A & B0 0 00 1 01 0 01 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 38: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/38.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A nebo B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 39: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/39.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A nebo B.
A B A ∨ B0 0 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 40: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/40.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A nebo B.
A B A ∨ B0 0 00 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 41: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/41.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A nebo B.
A B A ∨ B0 0 00 1 11 0 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 42: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/42.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:
Platí A nebo B.
A B A ∨ B0 0 00 1 11 0 11 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 43: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/43.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:
Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 44: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/44.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:
Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
A B A ⇒ B0 0 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 45: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/45.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:
Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
A B A ⇒ B0 0 10 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 46: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/46.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:
Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
A B A ⇒ B0 0 10 1 11 0 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 47: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/47.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:
Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
A B A ⇒ B0 0 10 1 11 0 01 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 48: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/48.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Výroku A v implikaci se ríká premisa , výrok B se nazývázáver.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 49: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/49.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Výroku A v implikaci se ríká premisa , výrok B se nazývázáver.
Pokud je výrok A ⇒ B pravdivý, pak ríkáme, že "A jeposta cující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnoupodmínkou pro platnost A".
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 50: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/50.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 51: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/51.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
A B A ⇔ B0 0 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 52: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/52.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
A B A ⇔ B0 0 10 1 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 53: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/53.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 54: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/54.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 01 1 1
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 55: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/55.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:
Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 01 1 1
(Platnost výroku) A je nutnou a posta cující podmínkou(platnosti výroku) B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 56: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/56.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 57: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/57.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 58: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/58.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a nebýt prvkemmnožiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x /∈ M).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 59: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/59.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a nebýt prvkemmnožiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x /∈ M).
PoznámkaSymboly N, Z, Q, R, C budou vyhrazeny pro množiny (porade) prirozených, celých, racionálních, reálných akomplexních císel.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 60: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/60.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Výrokovou formou budeme nazývat výraz
A(x1, x2, . . .xm),
z nehož vznikne výrok dosazením prvkux1 ∈ M1, . . . , xm ∈ Mm z daných množin M1, . . . , Mm.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 61: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/61.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok
Pro všechna x ∈ M platí A(x).
zapisujeme ve tvaru:
∀x ∈ M : A(x).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 62: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/62.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok
Pro všechna x ∈ M platí A(x).
zapisujeme ve tvaru:
∀x ∈ M : A(x).
Symbol ∀ nazýváme obecným (velkým )kvantifikátorem .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 63: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/63.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok
Existuje x ∈ M, pro které platí A(x).
zapisujeme ve tvaru:
∃x ∈ M : A(x).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 64: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/64.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok
Existuje x ∈ M, pro které platí A(x).
zapisujeme ve tvaru:
∃x ∈ M : A(x).
Symbol ∃ nazýváme existen cním (malým )kvantifikátorem .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 65: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/65.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok
Existuje x ∈ M, pro které platí A(x).
zapisujeme ve tvaru:
∃x ∈ M : A(x).
Symbol ∃ nazýváme existen cním (malým )kvantifikátorem .
Pro obrat"Existuje práve jeden . . . " casto používáme symbol ∃!
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 66: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/66.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je cástí množiny B (nebo Aje podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny Aje rovnež prvkem množiny B. Tomuto vztahu ríkámeinkluze a znacíme A ⊂ B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 67: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/67.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je cástí množiny B (nebo Aje podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny Aje rovnež prvkem množiny B. Tomuto vztahu ríkámeinkluze a znacíme A ⊂ B.
Dve množiny jsou si rovny (A = B), jestliže majístejné prvky.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 68: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/68.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je cástí množiny B (nebo Aje podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny Aje rovnež prvkem množiny B. Tomuto vztahu ríkámeinkluze a znacíme A ⊂ B.
Dve množiny jsou si rovny (A = B), jestliže majístejné prvky.
Prázdnou množinou nazveme množinu, kteráneobsahuje žádný prvek. Oznacíme ji symbolem ∅.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 69: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/69.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice (množinové operace)
Necht’ I je neprázdná množina a Aα je množina pro každéα ∈ I.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 70: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/70.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice (množinové operace)
Necht’ I je neprázdná množina a Aα je množina pro každéα ∈ I.
Definujeme sjednocení⋃
α∈I Aα jako množinu všechprvku, které patrí alespon do jedné z množin Aα.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 71: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/71.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Definice (množinové operace)
Necht’ I je neprázdná množina a Aα je množina pro každéα ∈ I.
Definujeme sjednocení⋃
α∈I Aα jako množinu všechprvku, které patrí alespon do jedné z množin Aα.
Definujeme prunik⋂
α∈I Aα jako množinu prvku, kterénáleží do každé z množin Aα.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 72: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/72.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceMají-li dve množiny prázdný prunik, rekneme o nich,že jsou disjunktní .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 73: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/73.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceMají-li dve množiny prázdný prunik, rekneme o nich,že jsou disjunktní .
Rozdílem množin A a B (znacíme A \ B) nazvememnožinu prvku, které patrí do množiny A a nepatrí domnožiny B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 74: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/74.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
DefiniceMají-li dve množiny prázdný prunik, rekneme o nich,že jsou disjunktní .
Rozdílem množin A a B (znacíme A \ B) nazvememnožinu prvku, které patrí do množiny A a nepatrí domnožiny B.
Kartézským sou cinem množin A1, . . . , An nazvememnožinu všech usporádaných n-tic
A1 × A2 × · · · × An
= {[a1, a2, . . . , an]; a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 75: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/75.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Veta 1.1 (de Morganova pravidla)
Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 76: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/76.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Veta 1.1 (de Morganova pravidla)
Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny. Pak platí
X \⋃
α∈I
Aα =⋂
α∈I
(X \ Aα),
![Page 77: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/77.jpg)
1.1 Výroky a množiny (pokrac.)
Veta 1.1 (de Morganova pravidla)
Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny. Pak platí
X \⋃
α∈I
Aα =⋂
α∈I
(X \ Aα),
X \⋂
α∈I
Aα =⋃
α∈I
(X \ Aα).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 78: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/78.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 79: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/79.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y ,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 80: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/80.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 81: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/81.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 82: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/82.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y ,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 83: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/83.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y , prípadne f : x 7→ y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 84: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/84.jpg)
1.2 Zobrazení
DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y , prípadne f : x 7→ y . MnožinuD(f ) := {x ∈ X , ∃y ∈ Y , f (x) = y} nazýváme defini cnímoborem zobrazení f .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 85: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/85.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 86: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/86.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y .
Obrazem množiny A ⊂ X pri zobrazení f se nazývámnožina
f (A) = {f (x); x ∈ A}.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 87: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/87.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y .
Obrazem množiny A ⊂ X pri zobrazení f se nazývámnožina
f (A) = {f (x); x ∈ A}.
Je-li A = D(f ) definicním oborem zobrazeníf : X → Y , nazýváme množinu f (A) oborem hodnotzobrazení f . (Znacíme R(f ) nebo H(f ).)
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 88: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/88.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y .
Obrazem množiny A ⊂ X pri zobrazení f se nazývámnožina
f (A) = {f (x); x ∈ A}.
Je-li A = D(f ) definicním oborem zobrazeníf : X → Y , nazýváme množinu f (A) oborem hodnotzobrazení f . (Znacíme R(f ) nebo H(f ).)
Vzorem množiny B ⊂ Y pri zobrazení f nazvememnožinu
f−1(B) = {x ∈ X ; f (x) ∈ B}.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 89: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/89.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou množiny a f : X → Y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 90: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/90.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou množiny a f : X → Y .
Zobrazení f je prosté (injektivní) na A ⊂ X , jestliže
∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 91: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/91.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou množiny a f : X → Y .
Zobrazení f je prosté (injektivní) na A ⊂ X , jestliže
∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Zobrazení f je zobrazením množiny A ⊂ X "na"množinu Y (f je surjektivní) , jestliže f (A) = Y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 92: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/92.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ X , Y jsou množiny a f : X → Y .
Zobrazení f je prosté (injektivní) na A ⊂ X , jestliže
∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Zobrazení f je zobrazením množiny A ⊂ X "na"množinu Y (f je surjektivní) , jestliže f (A) = Y .
Rekneme, že f je bijekce A na Y , jestliže f je prosté ana Y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 93: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/93.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 94: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/94.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y ,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 95: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/95.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y , nazýváme inverzním zobrazením kzobrazení f .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 96: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/96.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y , nazýváme inverzním zobrazením kzobrazení f .
DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 97: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/97.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y , nazýváme inverzním zobrazením kzobrazení f .
DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že f |A (x) = f (x) ∀x ∈ A
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 98: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/98.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y , nazýváme inverzním zobrazením kzobrazení f .
DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že f |A (x) = f (x) ∀x ∈ A nazývámezúžením zobrazení f na množinu A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 99: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/99.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 100: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/100.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.Symbolem g ◦ f oznacíme zobrazení z množiny X domnožiny Z definované predpisem
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 101: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/101.jpg)
1.2 Zobrazení (pokrac.)
DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.Symbolem g ◦ f oznacíme zobrazení z množiny X domnožiny Z definované predpisem
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Takto definované zobrazení se nazývá složenýmzobrazením zobrazení f a g, pricemž f je vnit rnízobrazení a g je vnejší zobrazení.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 102: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/102.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 103: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/103.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin)
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 104: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/104.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 105: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/105.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 106: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/106.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 107: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/107.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky)
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 108: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/108.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 109: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/109.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N −→ Z
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 110: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/110.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 111: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/111.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q
Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 112: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/112.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q
Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)Ad II: Krok R −→ N napr. pomocí pojmu tzv. induktivnímnožiny.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 113: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/113.jpg)
1.3 Reálná císla
Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:
N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R
Možnost II:
R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q
Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)Ad II: Krok R −→ N napr. pomocí pojmu tzv. induktivnímnožiny.V obou možnostech na záver následuje krok R −→ C.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 114: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/114.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Ad II: Množinu reálných císel R lze definovat jakomnožinu, na níž jsou definovány operace scítání anásobení , které budeme znacit obvyklým zpusobem, arelace uspo rádání (≤), pricemž jsou splneny následujícítri skupiny vlastností.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 115: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/115.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Ad II: Množinu reálných císel R lze definovat jakomnožinu, na níž jsou definovány operace scítání anásobení , které budeme znacit obvyklým zpusobem, arelace uspo rádání (≤), pricemž jsou splneny následujícítri skupiny vlastností.
I. Vlastnosti scítání a násobení a jejich vzájemný vztah
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 116: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/116.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Ad II: Množinu reálných císel R lze definovat jakomnožinu, na níž jsou definovány operace scítání anásobení , které budeme znacit obvyklým zpusobem, arelace uspo rádání (≤), pricemž jsou splneny následujícítri skupiny vlastností.
I. Vlastnosti scítání a násobení a jejich vzájemný vztah
II. Vztah usporádání a operací scítání a násobení
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 117: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/117.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Ad II: Množinu reálných císel R lze definovat jakomnožinu, na níž jsou definovány operace scítání anásobení , které budeme znacit obvyklým zpusobem, arelace uspo rádání (≤), pricemž jsou splneny následujícítri skupiny vlastností.
I. Vlastnosti scítání a násobení a jejich vzájemný vztah
II. Vztah usporádání a operací scítání a násobení
III. Axiom o supremu
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 118: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/118.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
I. Vlastnosti s cítání a násobení a jejich vzájemnývztah
∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitascítání ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 119: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/119.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
I. Vlastnosti s cítání a násobení a jejich vzájemnývztah
∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitascítání ),
∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita s cítání ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 120: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/120.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
I. Vlastnosti s cítání a násobení a jejich vzájemnývztah
∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitascítání ),
∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita s cítání ),
∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je urcenjednoznacne, znacíme ho 0 a ríkáme mu nulovýprvek ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 121: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/121.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
I. Vlastnosti s cítání a násobení a jejich vzájemnývztah
∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitascítání ),
∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita s cítání ),
∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je urcenjednoznacne, znacíme ho 0 a ríkáme mu nulovýprvek ),
∀x ∈ R ∃z ∈ R : x + z = 0 (z je tzv. opacné císlo kcíslu x , je urceno jednoznacne a znacíme ho −x),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 122: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/122.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 123: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/123.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),
∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 124: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/124.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),
∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení ),
∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je urcenjednoznacne, znacíme ho 1 a ríkáme mu jednotkovýprvek ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 125: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/125.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),
∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení ),
∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je urcenjednoznacne, znacíme ho 1 a ríkáme mu jednotkovýprvek ),
∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je urcenjednoznacne a znacíme ho x−1 nebo 1
x ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 126: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/126.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),
∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení ),
∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je urcenjednoznacne, znacíme ho 1 a ríkáme mu jednotkovýprvek ),
∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je urcenjednoznacne a znacíme ho x−1 nebo 1
x ),
∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita ).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 127: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/127.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení
∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 128: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/128.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení
∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),
∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabáantisymetrie ),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 129: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/129.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení
∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),
∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabáantisymetrie ),
∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 130: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/130.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení
∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),
∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabáantisymetrie ),
∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,
∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 131: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/131.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení
∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),
∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabáantisymetrie ),
∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,
∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,
∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ x · y .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 132: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/132.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 133: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/133.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x . Symbolemx < y budeme znacit situaci, kdy x ≤ y , ale x 6= y(tzv. ostrá nerovnost ).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 134: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/134.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x . Symbolemx < y budeme znacit situaci, kdy x ≤ y , ale x 6= y(tzv. ostrá nerovnost ).
Reálná císla, pro než x > 0 (resp. x < 0), budemenazývat kladnými (resp. zápornými ).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 135: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/135.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x . Symbolemx < y budeme znacit situaci, kdy x ≤ y , ale x 6= y(tzv. ostrá nerovnost ).
Reálná císla, pro než x > 0 (resp. x < 0), budemenazývat kladnými (resp. zápornými ).
Reálná císla, pro než x ≥ 0 (resp. x ≤ 0), budemenazývat nezápornými (resp. nekladnými ).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 136: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/136.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 137: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/137.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.Takové císlo a se nazývá dolní závorou množiny M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 138: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/138.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.Takové císlo a se nazývá dolní závorou množiny M.
Analogicky definujeme pojmy množina omezenáshora a horní závora .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 139: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/139.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.Takové císlo a se nazývá dolní závorou množiny M.
Analogicky definujeme pojmy množina omezenáshora a horní závora .
Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená , je-liomezená shora i zdola.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 140: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/140.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 141: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/141.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 142: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/142.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M. Maximum a minimumjsou urceny jednoznacne (pokud existují) a znacíme jemax M a min M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 143: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/143.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M. Maximum a minimumjsou urceny jednoznacne (pokud existují) a znacíme jemax M a min M.
Minimum a maximum dané množiny reálných císelnemusí existovat:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 144: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/144.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M. Maximum a minimumjsou urceny jednoznacne (pokud existují) a znacíme jemax M a min M.
Minimum a maximum dané množiny reálných císelnemusí existovat: (0, 1).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 145: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/145.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Císlo G ∈ R splnující
∀x ∈ M : x ≤ G,
∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,
nazýváme supremem množiny M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 146: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/146.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Císlo G ∈ R splnující
∀x ∈ M : x ≤ G,
∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,
nazýváme supremem množiny M.
PoznámkaNecht’ M ⊂ R. Má-li množina M supremum, je toto urcenojednoznacne a znacíme jej sup M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 147: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/147.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
III. Axiom suprema
Každá neprázdná shora omezená podmnožina R másupremum.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 148: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/148.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Císlo g ∈ R splnující
∀x ∈ M : x ≥ g,
∀g′ ∈ R, g′ > g ∃x ∈ M : x < g′,
nazýváme infimem množiny M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 149: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/149.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Definice
Necht’ M ⊂ R. Císlo g ∈ R splnující
∀x ∈ M : x ≥ g,
∀g′ ∈ R, g′ > g ∃x ∈ M : x < g′,
nazýváme infimem množiny M.
PoznámkaNecht’ M ⊂ R. Má-li množina M infimum, je toto urcenojednoznacne a znacíme jej inf M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 150: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/150.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Veta 1.2Necht’ M ⊂ R je neprázdná zdola omezená množina. Pakexistuje infimum množiny M.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 151: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/151.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Z axiomu o supremu plynou nekteré duležité vlastnosti R:
Veta 1.31 Pro každé r ∈ R existuje práve jedno císlo k ∈ Z
takové, že k ≤ r < k + 1.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 152: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/152.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Z axiomu o supremu plynou nekteré duležité vlastnosti R:
Veta 1.31 Pro každé r ∈ R existuje práve jedno císlo k ∈ Z
takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 153: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/153.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Z axiomu o supremu plynou nekteré duležité vlastnosti R:
Veta 1.31 Pro každé r ∈ R existuje práve jedno císlo k ∈ Z
takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.3 Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že
a < q < b.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 154: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/154.jpg)
1.3 Reálná císla (pokrac.)
Z axiomu o supremu plynou nekteré duležité vlastnosti R:
Veta 1.31 Pro každé r ∈ R existuje práve jedno císlo k ∈ Z
takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.3 Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že
a < q < b.4 Pro každé n ∈ N a x ∈ R, x ≥ 0, existuje práve jedno
y ∈ R, y ≥ 0, splnující yn = x.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 155: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/155.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 156: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/156.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 157: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/157.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 158: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/158.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1).
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 159: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/159.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1). Potom
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 160: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/160.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1). Potom
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, tj. i2 = −1,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 161: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/161.jpg)
1.4 Komplexní císla
Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto
x + y = (a + c, b + d),
x · y = (ac − bd , ad + bc).
Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1). Potom
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, tj. i2 = −1,
a tedyC = {a + bi ; a, b ∈ R} kde i2 = −1 .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 162: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/162.jpg)
1.4 Komplexní císla (pokrac.)
Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 163: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/163.jpg)
1.4 Komplexní císla (pokrac.)
Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .Absolutní hodnotou komplexního císla x rozumíme|x | =
√a2 + b2.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 164: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/164.jpg)
1.4 Komplexní císla (pokrac.)
Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .Absolutní hodnotou komplexního císla x rozumíme|x | =
√a2 + b2.
Komplexn e sdruženým císlem k x rozumíme císlox = a − bi ; symbol −x znací císlo −a − bi a symbol 1/xznací pro x 6= 0 (jednoznacne urcené) císlo splnujícíx · 1
x = 1.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 165: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/165.jpg)
1.5 Mohutnost množin
Definice
Ríkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost apíšeme A ≈ B, jestliže existuje bijekce A na B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 166: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/166.jpg)
1.5 Mohutnost množin
Definice
Ríkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost apíšeme A ≈ B, jestliže existuje bijekce A na B.
Ríkáme, že množina A má mohutnost menší neborovnou mohutnosti množiny B a píšeme A � B,jestliže existuje prosté zobrazení A do B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 167: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/167.jpg)
1.5 Mohutnost množin
Definice
Ríkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost apíšeme A ≈ B, jestliže existuje bijekce A na B.
Ríkáme, že množina A má mohutnost menší neborovnou mohutnosti množiny B a píšeme A � B,jestliže existuje prosté zobrazení A do B.
Symbol A ≺ B znací situaci, kdy A � B a neplatíA ≈ B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 168: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/168.jpg)
1.5 Mohutnost množin (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 169: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/169.jpg)
1.5 Mohutnost množin (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 170: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/170.jpg)
1.5 Mohutnost množin (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.Rekneme, že množina A je nespo cetná , jestliže A neníani konecná ani spocetná.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 171: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/171.jpg)
1.5 Mohutnost množin (pokrac.)
Definice
Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.Rekneme, že množina A je nespo cetná , jestliže A neníani konecná ani spocetná.
Tvrzení 1.4Množiny N, Z, Q jsou spocetné, množiny R, C jsounespocetné.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 172: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/172.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity
DefiniceNecht’ A je neprázdná množina. Zobrazení prirazujícíkaždému prirozenému císlu n prvek an z množiny Anazýváme posloupnost prvku množiny A. Prvek an
nazveme n-tým clenem této posloupnosti. Znacíme{an}∞n=1.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 173: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/173.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
PoznámkaPosloupností budeme nadále rozumet (do odvolání)posloupnost reálných císel.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 174: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/174.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
PoznámkaPosloupností budeme nadále rozumet (do odvolání)posloupnost reálných císel.
Definice
Rekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 175: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/175.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
PoznámkaPosloupností budeme nadále rozumet (do odvolání)posloupnost reálných císel.
Definice
Rekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 176: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/176.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
PoznámkaPosloupností budeme nadále rozumet (do odvolání)posloupnost reálných císel.
Definice
Rekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,
omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je omezená.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 177: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/177.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 178: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/178.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 179: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/179.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 180: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/180.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 181: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/181.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 182: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/182.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek. Posloupnost {an} je ryzemonotónní , pokud je rostoucí ci klesající.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 183: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/183.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost (reálných císel) {an} má limiturovnou reálnému císlu A,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 184: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/184.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost (reálných císel) {an} má limiturovnou reálnému císlu A, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 185: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/185.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
1=35 10 15
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 186: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/186.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
1=3 + "1=3� "
n0M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 187: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/187.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
1=3 + "01=3� "0n00
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 188: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/188.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
PoznámkaNecht’ K ∈ R, K > 0, A ∈ R. Jestliže posloupnost {an}splnuje podmínku
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < Kε,
potom lim an = A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 189: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/189.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞ ≡ ∞ ,jestliže
∀L ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 190: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/190.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Definice
Rekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞ ≡ ∞ ,jestliže
∀L ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.
Rekneme, že posloupnost {an} má limitu −∞, jestliže
∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ K .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 191: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/191.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.5 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 192: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/192.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.5 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞an = A nebo jenom lim an = A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 193: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/193.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.5 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞an = A nebo jenom lim an = A.Podobne
píšeme limn→∞
an = lim an = ∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 194: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/194.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.5 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞an = A nebo jenom lim an = A.Podobne
píšeme limn→∞
an = lim an = ∞, resp. limn→∞
an = lim an = −∞.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 195: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/195.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.5 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞an = A nebo jenom lim an = A.Podobne
píšeme limn→∞
an = lim an = ∞, resp. limn→∞
an = lim an = −∞.
Rekneme, že posloupnost {an} je konvergentní , pokudexistuje A ∈ R takové, že lim an = A. Není-li posloupnostkonvergentní, ríkáme, že je divergentní .
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 196: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/196.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.6Každá konvergentní posloupnost je omezená.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 197: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/197.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.6Každá konvergentní posloupnost je omezená.
DefiniceNecht’ {an}∞n=1 je posloupnost reálných císel. Jestliže{nk}∞k=1 je rostoucí posloupnost prirozených císel, pak{ank}∞k=1 se nazývá vybranou posloupností z {an}∞n=1.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 198: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/198.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.7Necht’ {ank}∞k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}∞n=1. Jestliže platí lim
n→∞an = A ∈ R ∪ {∞}∪ {−∞}, pak
také limk→∞
ank = A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 199: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/199.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.7Necht’ {ank}∞k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}∞n=1. Jestliže platí lim
n→∞an = A ∈ R ∪ {∞}∪ {−∞}, pak
také limk→∞
ank = A.
DefiniceNecht’ {an}∞n=1 je posloupnost reálných císel. PakA ∈ R ∪ {∞} ∪ {−∞} nazýváme hromadnou hodnotouposloupnosti {an}∞n=1, jestliže existuje vybranáposloupnost {ank}∞k=1 taková, že lim
k→∞
ank = A.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 200: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/200.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 201: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/201.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 202: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/202.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 203: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/203.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 204: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/204.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 205: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/205.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 206: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/206.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 207: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/207.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 208: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/208.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 209: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/209.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,
∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 210: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/210.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,
∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,
∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 211: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/211.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,
∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,
∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,
(−∞) + (−∞) = −∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 212: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/212.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:
∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,
∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:
| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:
−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,
∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,
∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,
(−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) + (+∞) = +∞
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 213: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/213.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 214: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/214.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 215: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/215.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 216: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/216.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1
+∞= 1
−∞= 0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 217: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/217.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1
+∞= 1
−∞= 0
NEDEFINUJEME:
(−∞) + (+∞),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 218: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/218.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1
+∞= 1
−∞= 0
NEDEFINUJEME:
(−∞) + (+∞),
0 · (±∞),
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 219: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/219.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1
+∞= 1
−∞= 0
NEDEFINUJEME:
(−∞) + (+∞),
0 · (±∞),±∞
±∞,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 220: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/220.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Násobení a delení:
∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,
∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1
+∞= 1
−∞= 0
NEDEFINUJEME:
(−∞) + (+∞),
0 · (±∞),±∞
±∞,
cokoli0
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 221: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/221.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.8 (aritmetika limit)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 222: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/222.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.8 (aritmetika limit)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an ± bn) = A ± B, pokud je pravá stranadefinována,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 223: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/223.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.8 (aritmetika limit)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an ± bn) = A ± B, pokud je pravá stranadefinována,
(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 224: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/224.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.8 (aritmetika limit)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an ± bn) = A ± B, pokud je pravá stranadefinována,
(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,
(iii) lim an/bn = A/B, pokud je pravá strana definována.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 225: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/225.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.9Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn} je omezená.Potom lim anbn = 0.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 226: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/226.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.9Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn} je omezená.Potom lim anbn = 0.
Veta 1.10Necht’ lim an = A ∈ R⋆. Potom lim |an| = |A|.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 227: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/227.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.11 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 228: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/228.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.11 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
(ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že prokaždé prirozené n ≥ n0 je an < bn.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 229: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/229.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.12 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:
(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 230: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/230.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.12 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:
(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) existují lim an, lim bn, a navíc lim an = lim bn.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 231: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/231.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.12 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:
(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) existují lim an, lim bn, a navíc lim an = lim bn.
Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 232: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/232.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.12 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:
(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) existují lim an, lim bn, a navíc lim an = lim bn.
Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an.
PoznámkaPokud existuje lim an = ∞, není nutné uvažovat žádnouposloupnost {bn} a tvrzení vety zustává v platnosti.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 233: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/233.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.12 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:
(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) existují lim an, lim bn, a navíc lim an = lim bn.
Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an.
PoznámkaPokud existuje lim an = ∞, není nutné uvažovat žádnouposloupnost {bn} a tvrzení vety zustává v platnosti.Podobne je tomu v prípade lim bn = −∞, kdy"nepotrebujeme" posloupnost {an}.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 234: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/234.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.13Necht’ lim an = A ∈ R⋆, A > 0, lim bn = 0 a existuje n0 ∈ N,že pro každé n ∈ N, n ≥ n0, platí bn > 0. Paklim an/bn = ∞.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 235: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/235.jpg)
1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)
Veta 1.14 (Limita monotónní posloupnosti)
Každá monotónní posloupnost má limitu.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 236: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/236.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností
Poznámka (Komplexní prípad)
Zobrazení prirazující každému prirozenému císlu nprvek an ∈ C nazveme komplexní posloupností.Evidentne {an} je komplexní posloupnost právetehdy, když existují reálné posloupnosti {xn}, {yn}takové, že an = xn + iyn pro všechna prirozená n.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 237: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/237.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností
Poznámka (Komplexní prípad)
Zobrazení prirazující každému prirozenému císlu nprvek an ∈ C nazveme komplexní posloupností.Evidentne {an} je komplexní posloupnost právetehdy, když existují reálné posloupnosti {xn}, {yn}takové, že an = xn + iyn pro všechna prirozená n.
Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemajísmysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., aletaké pojem "shora resp. zdola omezená"posloupnost.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 238: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/238.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností
Poznámka (Komplexní prípad)
Zobrazení prirazující každému prirozenému císlu nprvek an ∈ C nazveme komplexní posloupností.Evidentne {an} je komplexní posloupnost právetehdy, když existují reálné posloupnosti {xn}, {yn}takové, že an = xn + iyn pro všechna prirozená n.
Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemajísmysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., aletaké pojem "shora resp. zdola omezená"posloupnost. Rekneme, že komplexní posloupnost{an} je omezená , pokud existuje K > 0 taková, že|an| ≤ K pro všechna prirozená n.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 239: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/239.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností (pokrac.)
Poznámka (Komplexní limita)
Je-li an = xn + iyn komplexní posloupnost, a existujílim xn, lim yn vlastní , klademelim an = lim xn + i lim yn.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 240: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/240.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností (pokrac.)
Poznámka (Komplexní limita)
Je-li an = xn + iyn komplexní posloupnost, a existujílim xn, lim yn vlastní , klademelim an = lim xn + i lim yn. Výrazy tvaru "a ± i∞","±∞± ib", resp. "±∞± i∞" nedefinujeme.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 241: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/241.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností (pokrac.)
Veta 1.15 (Bolzano-Weierstrassova veta)
Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentnípodposloupnost.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti
![Page 242: Aplikovaná matematika I, NMAF071](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/629f49bd0f1b65004515bf6d/html5/thumbnails/242.jpg)
1.7 Hlubší vlastnosti posloupností (pokrac.)
Veta 1.16Posloupnost {an}∞n=1 má vlastní limitu práve tehdy, kdyžsplnuje Bolzano-Cauchyovu podmínku , tj.
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0
∀m ∈ N, m ≥ n0 : |an − am| < ε.
M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti