aplicaÇÃo do mÉtodo dos gradientes conjugados com...
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OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
Prof. Valério S. Almeida
2015
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» Definição de otimização
» Problemas clássicos de otimização
» Otimização: definição matemática
» Métodos de otimização
» Otimização estrutural topológica
» Exemplos
» Aplicação em modelos de bielas e tirantes
» Exemplos
2
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3Definição de otimização
Otimização. [f. optimise v. + -ation.] the making the
best (of anything); the action or process of rendering
optimal; the state or condition of being optimal
(Oxford University Press, 1989).
Conceito de otimização:
Animais
Plantas
Humanidade
Todos aplicam os princípios de otimização
Consciente ou Inconscientemente
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4Conceito de Otimização
Na natureza, existem muitos exemplos de otimização:
Colmeias das abelhas!
Problema:
Otimizar o volume com menor consumo de cera
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5Otimização natural – Geometria da colmeia
Diferentes formas para dividir
o espaço com
prismas
regulares
A forma do hexágono é o espaço geométrico mais eficiente para a
construção do material
*células com mesma área
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Abelhas escolhem a forma geométrica racional:
Ângulos obtusos são de 10928’16” (usando cálculo)
Abelhas constroem isto com erros de
menos de 1’!
6Otimização natural – Geometria da colmeia
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Abelhas constroem isto com erros de
menos de 1’!
Geométrica racional:
Ângulos obtusos são de 10928’16”
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Formigas fazem galerias dentro de
árvores para expandir suas colônias.
Elas roem a madeira seguindo o
caminho das fibras, destruindo o
mínimo possível sua estrutura
resistente
Destroem 50% do volume inicial!
7Otimização natural – Formigas carpinteiras
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Formas das seções transversais (ST) em plantas são
otimizadas
Momento de inércia (I): Flexão
Compare com perfis laminados
de aço
8Otimização natural - Otimização de forma
ST de plantas
ST em perfis laminados
Área distribuída longe do CG
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Formas das seções transversais
(ST) em plantas são otimizadas
Efeito de torção:
Para as cargas de vento
hastes vegetais com grande
momentos polares de inércia
9Otimização natural - Otimização de forma
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10
“Se ocorrer alguma mudança na natureza, a qte de
ação necessária para essa mudança deve ser tão
pequena quanto possível.“
Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698 – 1759)
O princípio proclama que a natureza sempre escolhe
o “melhor” caminho para atingir seu objetivo.
“Custo metabólico natural”
Otimização: Filosofia
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Mas “Melhor” em matemática significa lidar com
teoria/algoritmos para a busca de extremos
As formigas/plantas cursaram
Resistência dos Materiais?
As abelhas conhecem Cálculo?
Então, isto é teoria de otimização
Em todo o mundo, muitos pesquisadores estão
intensamente trabalhando nisso há muitas décadas!
Mas, a Natureza aplica isso a milhares de anos!
11
Otimização: Filosofia
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12
Natureza tem um algoritmo/programa interno em seu
“’DNA”, que encontrou o valor ótimo usando processos
evolucionários
A convergência para esse ótimo foi atingido depois de
milhares de anos aplicando processos de tentativa e erro!
Processo Evolutivo
O ser humano simula isso (iterativamente) por uso de
computadores!
Otimização: Filosofia
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13
)(
,0)(
,0)( a sujeito
f(x)Maximizar
ou
f(x)Minimizar
factívelregiãox
Iixg
Eixh
n
i
i
=
Otimização: definição
f(x): função objetivo
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14
Para avaliar o problema matemático, você deve
conhecer seu problema, se ele é um problema de
otimização:
• Linear ou Não-Linear
• Continuo x discreto
• Irrestrito x Restrito
• Local x Global
Otimização: definição e considerações gerais
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• Otimização Continua x Discreta
Contínuo: Variáveis podem ser no campo dos reais
Discreto:
Variáveis são valores inteiros
Problema do caixeiro viajante
Otimização: definição
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• Otimização Irrestrita x
Restrita
• Otimização Local x Global
Local
Global
Otimização: definição
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Existem dois tipos de métodos para resolver
problemas de otimização:
• Métodos Determinísticos (métodos clássicos)
Vantagem que usam as propriedades analíticas da
função para encontrar as regiões de extremos
Ex.
Simplex, Newton-Raphson,
Quase-Newton,
Gradiente Conjugados
17Otimização: métodos
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• Métodos Não- Determinísticos
(métodos heurísticos, sem conhecimento de
derivadas):
Busca heuristicamente a solução de um problema
multidimensional. São inclusos no campo da computação natural
• Computação Evolucionária
• Algoritmos Genéticos (AG)
• Simulated Annealing (SA) (recozimento simul.)
• Inteligência de enxames
• Algoritmos de Colônia de formigas, de abelhas
18Otimização: métodos
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19
Certamente que engenheiros usariam a otimização
de modo a encontrar a melhor solução para vários
campos de problemas
Otimização – Pontos de vista da engenharia
“Mundo real“ (engenharia real), problemas:
Não – lineares, Contínuo
Muitos extremos locais
Nao suaves
Sem função objetivo, etc..
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20
Otimização em estruturas:
Forma
Topológica
Paramétrica (dimensão)
Bendsøe and Sigmund, 2002
Otimização – Pontos de vista da engenharia
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21Otimização paramétrica
Dimensão: p.e. otimizar a ST da estrutura. Vigas/treliças.
Encontrar o parametro ótimo para minimizar o volume, ou
maximizar capacidade de carga crítica/volume, etc..
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22
Geometria ótima é procurada m uma classe de
domínios, sem inserção de buracos.
Achar geometria ótima para minimizar volume
Otimização de forma
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23
Forma e conectividade do do dominio são variaveis de
projeto.
A introdução de um novo contorno é permitido via
criação de buracos.
Achar a geometria ótima para minimizar o volume
Otimização topológica
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24Otimização topológica
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25
Otimização topológica – exemplo industrial
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Otimização paramétrica, forma e topológica26
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Alguns métodos de otimização
SIMP (Simple Isotropic Material with Penalization)
Bendsøe and Sigmund (2003)
TSA (Análise de sensibilidade topológica)
Eschenauer and Olhoff (2001)
Algoritmo Genético
Sonmez (2008)
Otimização Estrutural Evolucionária - ESO
Xie and Steven (1993)
27
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Otimização Estrutural Evolucionária - ESO
Heuristica gradual de remoção de regiões do dominio,
Procedimento “Hard – Kill”
NE
e
e 1
,max
minimize W w ( )
subject to - 0
e
vm project
j
t
=
=
Minimization procedure in relation to
their weight
O problema é resolvido via MEF iterativamente
1 i=0,1,2,3,... i iRR RR RE+ = +
Todos elementos que satisfazem a inequação são
removidos
28
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29Otimização Estrutural Evolucionária - ESO
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Remoção não radical (non "hard-kill“):
procedimento “Soft-kill”
SESO apresenta robusteza and eficiência para obter a config. ótima
30
ESO
SESO
Otimização Estrutural Evolucionária Suavizada - SESO
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1) Gancho:
Neches (2007) BEM SESO (2010)
Exemplos – SESO - Análise Linear 31
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2) Peso Próprio - Maça:
33Exemplos – SESO - Análise Linear
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3) Bicicleta
Lin and Hsu (2008)
SESO (2010)
34Exemplos – SESO - Análise Linear
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Estruturas em concreto armado
Idealização simplificada de um mecanismo de
transferência de carga
Modelos de Bielas-Tirantes
Método tradicional: processo de tentativa e erro
Modelo de treliça
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Vigas em CA – Modelo de biela e tirante
Região discontinua: D Hipóteses de Bernoulli: B
Exemplos de regiões D e B
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Algumas regiões clássicas D
Pilares com consolo curto Duas estacas em bloco
38
Modelo de biela e tirante clássicos
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Gerando modelos de biela e tirantes
automaticamente para ajudar no projeto
Para superar essa limitação
Modelo de biela e tirante
usando otimização topológica
Mas, para geometria genérica, não existe modelos
prontos.
Pode-se usar otimização..
39
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Exemplos - Biela e Tirante
1) Viga
structures
Fig. 4. (a) Design domain of a beam structure; (b), (c) and (d) Optimal Topologies of the beam structure obtained by [20].
Kwar and Noh (2006)
Presente trabalho
40
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2) Pilar com consolo
Liang and Steven (2000)
41Exemplos - Biela e Tirante
Presente trabalho
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3) Viga com abertura
42
Liang (2005) Schlaich et al. (1987)
Exemplos - Biela e Tirante
Presente trabalho
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Examples - Considering geometric nonlinearity
4) Long plate fixed in all four sides
43
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4) Long plate fixed in the vertices
Gea and Luo (2001)
Present work
Linear Non Linear
44Examples - Considering geometric nonlinearity
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5) Square plate with a geometric center load
45Examples - Considering geometric nonlinearity
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Present work
Linear Non Linear
Chang et al. (2012)
Examples - Considering geometric nonlinearity 46
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47Comparing computational time
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Vasconcelos, AC. Estruturas da Natureza: um estudo da interface entre biologia
e engenharia. SP. Studio Nobel, 2000.
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University of Arizona Foundation.
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topology optimization in MATLAB using 88 lines of code. Struct Multidisc Optim 2011;
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50
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Figura 16 – Proposta de contraventamento com a presente formulação
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Figura 7 – Ponte com tabuleiro Central
Figura 8 – Ponte com tabuleiro Inferior
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xxxf 10)( 2 +−=
50102)( ' =⎯→⎯=+−= xxxf
)(255.105)5( 2 máximof =+−= f(x) maiores: Indivíduos (x)
mais acima, “mais aptos”!
Geração 1
(aleatória)
Gerações 2, 3, ..n
(gera indiv. aleatórios E mutação/cruzamento
dos mais aptos de gerações 1 a n-1 )
Simula processo evolucionário
Milhares de “indivíduos” (x) são
computados
Computação Pesada
Algoritmo Genético
−=
−=
−=−
−=−
−=−
−=−
=
=
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
=
−=−
−=
=
−=−
=
−=
−=−
−=−
9086)45,100(
64,640)8,30(
25,215)5,10(
191)7,9(
24)2(
25,17)5,1(
75,4)5,0(
19,8)1,9(
76,21)2,3(
76,21)2,3(
191)7,9(
9086)45,100(
75,4)5,0(
25,215)5,10(
19,8)1,9(
64,640)8,30(
24)2(
25,17)5,1(
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
EDECRESCENTORDENA