aplicaciones histogramas 00 solución

Histogramas

S C

G. Edgar Mata Ortiz

Aplicaciones de histogramas y tablas de distribución de

frecuencias.

Mayo 2012

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Aplicaciones de los histogramas y tablas de distribución de frecuencias.

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

Un histograma es una excelente herramienta para la descripción de conjuntos de datos

y, si se emplea adecuadamente, para la comparación de dichos conjuntos de datos.

En el siguiente ejercicio, elabora las tablas de distribución de frecuencias, los

histogramas y gráficos de cajas para cada conjunto de datos y contesta las preguntas

explicando detalladamente los argumentos para tus respuestas.

Importante: Utiliza las medias, medianas, modas y desviaciones estándar obtenidas en la tabla para

justificar tu elección, luego utiliza el histograma para confirmar o matizar tu decisión y finalmente

emplea la gráfica de cajas para argumentar tu posición. Elabora las conclusiones.

Ejercicio 1.

La fábrica de microscopios “Carolin” necesita elegir entre tres proveedores de

rodamientos de alta precisión. Se presentan 10 proveedores a la licitación, pero sólo

tres de ellos venden el material con las especificaciones indicadas (Las fábricas;

“Carlos Gardel”, “El Vítor” y “Elodio”) y al mismo costo. Se solicita a los tres

proveedores que envíen una muestra de 150 piezas con un diámetro de 7.5 ± 0.075

mm. Las medidas de los rodamientos de las tres empresas se encuentran en las

siguientes tablas. ¿Cuál empresa seleccionarías? ¿Por qué?

Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “Carlos Gardel S. A. de C. V.”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.427 7.518 7.536 7.436 7.556 7.545 7.459 7.504 7.490 7.468 7.512 7.528 7.479 7.499 7.477

2 7.426 7.526 7.468 7.497 7.538 7.481 7.521 7.502 7.426 7.505 7.491 7.443 7.509 7.525 7.508

3 7.479 7.497 7.464 7.447 7.524 7.504 7.574 7.485 7.529 7.469 7.513 7.548 7.473 7.511 7.466

4 7.426 7.480 7.487 7.513 7.428 7.427 7.427 7.483 7.487 7.540 7.487 7.463 7.575 7.570 7.533

5 7.535 7.497 7.511 7.522 7.427 7.532 7.530 7.474 7.520 7.493 7.518 7.501 7.475 7.543 7.574

6 7.569 7.464 7.532 7.469 7.571 7.570 7.574 7.509 7.534 7.506 7.427 7.447 7.487 7.431 7.487

7 7.428 7.493 7.477 7.554 7.502 7.520 7.499 7.570 7.486 7.487 7.517 7.475 7.568 7.535 7.477

8 7.492 7.544 7.448 7.485 7.507 7.570 7.502 7.458 7.473 7.488 7.473 7.459 7.528 7.523 7.574

9 7.463 7.525 7.446 7.500 7.469 7.574 7.515 7.568 7.431 7.504 7.444 7.574 7.479 7.547 7.516

10 7.559 7.544 7.467 7.428 7.456 7.560 7.525 7.498 7.475 7.426 7.528 7.506 7.481 7.478 7.520

Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “El Vítor Incorporated”

Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “Elodio S. de R. L.”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.445 7.431 7.467 7.491 7.458 7.491 7.470 7.433 7.460 7.467 7.466 7.444 7.480 7.491 7.495

2 7.494 7.432 7.465 7.494 7.433 7.478 7.426 7.462 7.479 7.494 7.493 7.483 7.485 7.489 7.444

3 7.469 7.470 7.468 7.484 7.497 7.436 7.461 7.426 7.473 7.465 7.476 7.494 7.478 7.480 7.480

4 7.439 7.488 7.497 7.424 7.459 7.490 7.463 7.466 7.464 7.467 7.475 7.442 7.488 7.485 7.469

5 7.441 7.483 7.471 7.424 7.434 7.492 7.461 7.463 7.490 7.496 7.437 7.445 7.493 7.497 7.475

6 7.496 7.441 7.490 7.459 7.432 7.468 7.469 7.489 7.487 7.466 7.441 7.442 7.464 7.443 7.480

7 7.467 7.442 7.455 7.459 7.484 7.462 7.484 7.485 7.465 7.476 7.491 7.443 7.435 7.495 7.445

8 7.442 7.445 7.487 7.475 7.435 7.486 7.470 7.436 7.491 7.479 7.474 7.489 7.449 7.497 7.494

9 7.443 7.444 7.468 7.456 7.430 7.438 7.493 7.477 7.494 7.480 7.450 7.491 7.494 7.498 7.497

10 7.460 7.479 7.469 7.457 7.483 7.498 7.469 7.494 7.476 7.467 7.487 7.477 7.475 7.446 7.485

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.497 7.503 7.512 7.487 7.491 7.529 7.495 7.480 7.503 7.516 7.541 7.504 7.477 7.542 7.498

2 7.505 7.508 7.522 7.480 7.517 7.492 7.514 7.513 7.522 7.502 7.500 7.528 7.501 7.511 7.505

3 7.510 7.518 7.523 7.526 7.496 7.531 7.493 7.517 7.501 7.484 7.497 7.520 7.516 7.518 7.485

4 7.495 7.520 7.532 7.483 7.516 7.505 7.538 7.496 7.503 7.518 7.518 7.485 7.499 7.494 7.537

5 7.512 7.549 7.503 7.488 7.526 7.524 7.508 7.515 7.487 7.495 7.496 7.512 7.517 7.496 7.514

6 7.491 7.483 7.512 7.518 7.517 7.506 7.508 7.508 7.500 7.522 7.504 7.503 7.509 7.498 7.488

7 7.524 7.501 7.518 7.509 7.516 7.506 7.521 7.522 7.523 7.533 7.509 7.546 7.519 7.531 7.505

8 7.529 7.520 7.528 7.494 7.488 7.513 7.509 7.497 7.509 7.517 7.513 7.499 7.534 7.507 7.510

9 7.505 7.514 7.506 7.517 7.496 7.516 7.529 7.504 7.513 7.511 7.505 7.516 7.494 7.517 7.528

10 7.500 7.520 7.504 7.496 7.510 7.507 7.491 7.490 7.534 7.493 7.526 7.494 7.503 7.537 7.532

Para resolver el problema vamos a elaborar la tabla de distribución de frecuencias y el

histograma de cada uno de los proveedores.

Proveedor 1. Carlos Gardel.

Los datos proporcionados son:

Se agrupan en diez intervalos y se obtiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.427 7.518 7.536 7.436 7.556 7.545 7.459 7.504 7.490 7.468 7.512 7.528 7.479 7.499 7.477

2 7.426 7.526 7.468 7.497 7.538 7.481 7.521 7.502 7.426 7.505 7.491 7.443 7.509 7.525 7.508

3 7.479 7.497 7.464 7.447 7.524 7.504 7.574 7.485 7.529 7.469 7.513 7.548 7.473 7.511 7.466

4 7.426 7.480 7.487 7.513 7.428 7.427 7.427 7.483 7.487 7.540 7.487 7.463 7.575 7.570 7.533

5 7.535 7.497 7.511 7.522 7.427 7.532 7.530 7.474 7.520 7.493 7.518 7.501 7.475 7.543 7.574

6 7.569 7.464 7.532 7.469 7.571 7.570 7.574 7.509 7.534 7.506 7.427 7.447 7.487 7.431 7.487

7 7.428 7.493 7.477 7.554 7.502 7.520 7.499 7.570 7.486 7.487 7.517 7.475 7.568 7.535 7.477

8 7.492 7.544 7.448 7.485 7.507 7.570 7.502 7.458 7.473 7.488 7.473 7.459 7.528 7.523 7.574

9 7.463 7.525 7.446 7.500 7.469 7.574 7.515 7.568 7.431 7.504 7.444 7.574 7.479 7.547 7.516

10 7.559 7.544 7.467 7.428 7.456 7.560 7.525 7.498 7.475 7.426 7.528 7.506 7.481 7.478 7.520

Lím. Inferior Lím. Superior

1 7.4255 7.4405 7.433 15 15 10.00% 10.00% 111.50 1.00500 0.06733

2 7.4405 7.4555 7.448 6 21 4.00% 14.00% 44.69 0.31200 0.01622

3 7.4555 7.4705 7.463 15 36 10.00% 24.00% 111.95 0.55500 0.02053

4 7.4705 7.4855 7.478 20 56 13.33% 37.33% 149.56 0.44000 0.00968

5 7.4855 7.5005 7.493 20 76 13.33% 50.67% 149.86 0.14000 0.00098

6 7.5005 7.5155 7.508 20 96 13.33% 64.00% 150.16 0.16000 0.00128

7 7.5155 7.5305 7.523 20 116 13.33% 77.33% 150.46 0.46000 0.01058

8 7.5305 7.5455 7.538 13 129 8.67% 86.00% 97.99 0.49400 0.01877

9 7.5455 7.5605 7.553 6 135 4.00% 90.00% 45.32 0.31800 0.01685

10 7.5605 7.5755 7.568 15 150 10.00% 100.00% 113.52 1.02000 0.06936

11 0 0.00% 100.00%

12 #N/A #N/A

13 #N/A #N/A #N/A #N/A

14 #N/A #N/A #N/A #N/A

15 #N/A #N/A #N/A #N/A

16 #N/A #N/A #N/A #N/A

Totales 1125 4.90 0.23

Media a = 7.50000

0.03269

0.0015440

0.0392938

Desviación media =

Varianza =

Desviación estándar=

Clases o categorías Marcas

de

Medidas de tendencia central

y dispersiónIntervalos

En esta tabla se observan lo siguiente:

1. Con los datos sin organizar es difícil extraer alguna conclusión, es preferible ordenarlos

en una tabla de distribución de frecuencias y calcular algunas medidas de tendencia

central y dispersión.

2. Las frecuencias absolutas son más altas en los extremos, por lo que podemos

considerar que no están distribuidos en forma normal.

3. La media aritmética del proceso es igual al valor deseado, lo cuál puede considerarse

una buena indicación en cuanto a cumplir las especificaciones del cliente.

4. La desviación estándar es difícil de evaluar, indica la dispersión de los datos pero

necesitamos compararla con algún otro número para evaluarla.

5. El valor mínimo (7.426) es mayor que el LSL = Lower Specification Limit (7.425) y el

valor máximo (7.575) es igual al USL = Upper Specification Limit (7.575) por lo que

ningún valor se sale de los límites de especificación.

Es conveniente revisar el histograma para afinar nuestra interpretación.

1. Las observaciones que se hicieron a partir de la tabla de distribución de frecuencias se

visualizan mejor en el histograma: se observa que los datos no se distribuyen en forma

normal y que la media coincide con el TV = Target Value o valor deseado y que ningún

valor está fuera de los límites de especificación.

2. La desviación estándar es grande, esto se nota porque sólo caben poco menos de dos

desviaciones estándar hacia cada lado de la media dentro de los límites de

especificación, aunque ningún valor se encuentra fuera de estos límites, existen valores

demasiado cerca de estos extremos con el consiguiente riesgo de que, cualquier

variación del proceso pueda hacer que algunos valores queden fuera de especificación

y sean inadecuados para nuestro proceso.

3. La forma en que se distribuyen los datos, con valores altos en los extremos (primer y

último intervalo tiene frecuencias más grandes que el segundo y penúltimo), suele

indicar que algunos productos no cumplían con las especificaciones y fueron re-

trabajados para que cumplieran con los requerimientos.

En las siguientes páginas vamos a realizar el mismo análisis con los datos de los otros dos

proveedores.

Proveedor 2. El Vítor.


Nuevamente, es conveniente elaborar la tabla de distribución de frecuencias y calcular

medidas de tendencia central y dispersión. Se tomarán los mismos intervalos para facilitar la

comparación entre los tres proveedores.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.445 7.431 7.467 7.491 7.458 7.491 7.470 7.433 7.460 7.467 7.466 7.444 7.480 7.491 7.495

2 7.494 7.432 7.465 7.494 7.433 7.478 7.426 7.462 7.479 7.494 7.493 7.483 7.485 7.489 7.444

3 7.469 7.470 7.468 7.484 7.497 7.436 7.461 7.426 7.473 7.465 7.476 7.494 7.478 7.480 7.480

4 7.439 7.488 7.497 7.424 7.459 7.490 7.463 7.466 7.464 7.467 7.475 7.442 7.488 7.485 7.469

5 7.441 7.483 7.471 7.424 7.434 7.492 7.461 7.463 7.490 7.496 7.437 7.445 7.493 7.497 7.475

6 7.496 7.441 7.490 7.459 7.432 7.468 7.469 7.489 7.487 7.466 7.441 7.442 7.464 7.443 7.480

7 7.467 7.442 7.455 7.459 7.484 7.462 7.484 7.485 7.465 7.476 7.491 7.443 7.435 7.495 7.445

8 7.442 7.445 7.487 7.475 7.435 7.486 7.470 7.436 7.491 7.479 7.474 7.489 7.449 7.497 7.494

9 7.443 7.444 7.468 7.456 7.430 7.438 7.493 7.477 7.494 7.480 7.450 7.491 7.494 7.498 7.497

10 7.460 7.479 7.469 7.457 7.483 7.498 7.469 7.494 7.476 7.467 7.487 7.477 7.475 7.446 7.485


1 7.4255 7.4405 7.433 18 18 12.00% 12.00% 133.79 0.64260 0.02294

2 7.4405 7.4555 7.448 21 39 14.00% 26.00% 156.41 0.43470 0.00900

3 7.4555 7.4705 7.463 38 77 25.33% 51.33% 283.59 0.21660 0.00123

4 7.4705 7.4855 7.478 32 109 21.33% 72.67% 239.30 0.29760 0.00277

5 7.4855 7.5005 7.493 41 150 27.33% 100.00% 307.21 0.99630 0.02421

6 7.5005 7.5155 7.508 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

7 7.5155 7.5305 7.523 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

8 7.5305 7.5455 7.538 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

9 7.5455 7.5605 7.553 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

10 7.5605 7.5755 7.568 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

11 0 0.00% 100.00%

12 #N/A #N/A

13 #N/A #N/A #N/A #N/A

14 #N/A #N/A #N/A #N/A

15 #N/A #N/A #N/A #N/A

16 #N/A #N/A #N/A #N/A

Totales 1120.305 2.59 0.06

Media a = 7.46870

0.01725

0.0004010

0.0200252

Clases o categorías Marcas

de clase


y dispersiónIntervalosFrecuencias

Desviación media =

Varianza =



1. Los últimos intervalos tienen frecuencia cero, esto indica que el proceso no está

centrado, lo cuál se confirma con la media aritmética (7.4687) que es menor al TV = 7.5

2. La desviación estándar de este proveedor, El Vítor, (s = 0.02002) es menor que la del

proveedor anterior, Carlos Gardel (s = 0.03929) lo cuál indica una menor variabilidad

del proceso.

3. El valor mínimo (7.424) es menor que el LSL = Lower Specification Limit (7.425) y el

valor máximo (7.498) es mucho menor al USL = Upper Specification Limit (7.575); un

valor se sale del límite inferior de especificación, lo cuál no es adecuado para nuestras

necesidades.

1. En el histograma se observa que las últimas barras no están, es porque los últimos

intervalos tienen frecuencia cero, efectivamente el proceso no está centrado, lo cuál se

confirma con la media aritmética (7.4687 en color azul) que es menor al TV = 7.5

2. En el histograma confirmamos que la desviación estándar de este proveedor, El Vítor,

(s = 0.02002) es menor que la del proveedor anterior, Carlos Gardel (s = 0.03929) lo

cuál indica una menor variabilidad del proceso y permite que puedan acomodarse más

de 3 desviaciones estándar de cada lado de la media si estuviera centrado.

3. Es difícil apreciar, pero un valor se sale del límite inferior de especificación, lo cuál no

es adecuado para nuestras necesidades.

4. Es notable como, a pesar de que este proveedor mantiene una menor dispersión (lo

cuál es mejor en general), resulta menos adecuado porque, al no estar centrado, se

presentan valores que no cumplen con las especificaciones del cliente (nosotros).

Proveedor 3. Elodio.


Construimos la tabla de distribución de frecuencias y calculamos medidas de tendencia

central y dispersión tomando los mismos intervalos para facilitar la comparación entre los tres

proveedores.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7.497 7.503 7.512 7.487 7.491 7.529 7.495 7.480 7.503 7.516 7.541 7.504 7.477 7.542 7.498

2 7.505 7.508 7.522 7.480 7.517 7.492 7.514 7.513 7.522 7.502 7.500 7.528 7.501 7.511 7.505

3 7.510 7.518 7.523 7.526 7.496 7.531 7.493 7.517 7.501 7.484 7.497 7.520 7.516 7.518 7.485

4 7.495 7.520 7.532 7.483 7.516 7.505 7.538 7.496 7.503 7.518 7.518 7.485 7.499 7.494 7.537

5 7.512 7.549 7.503 7.488 7.526 7.524 7.508 7.515 7.487 7.495 7.496 7.512 7.517 7.496 7.514

6 7.491 7.483 7.512 7.518 7.517 7.506 7.508 7.508 7.500 7.522 7.504 7.503 7.509 7.498 7.488

7 7.524 7.501 7.518 7.509 7.516 7.506 7.521 7.522 7.523 7.533 7.509 7.546 7.519 7.531 7.505

8 7.529 7.520 7.528 7.494 7.488 7.513 7.509 7.497 7.509 7.517 7.513 7.499 7.534 7.507 7.510

9 7.505 7.514 7.506 7.517 7.496 7.516 7.529 7.504 7.513 7.511 7.505 7.516 7.494 7.517 7.528

10 7.500 7.520 7.504 7.496 7.510 7.507 7.491 7.490 7.534 7.493 7.526 7.494 7.503 7.537 7.532


1 7.4255 7.4405 7.433 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000

2 7.4405 7.4555 7.448 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000

3 7.4555 7.4705 7.463 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000

4 7.4705 7.4855 7.478 8 8 5.33% 5.33% 59.82 0.25680 0.00824

5 7.4855 7.5005 7.493 35 43 23.33% 28.67% 262.26 0.59850 0.01023

6 7.5005 7.5155 7.508 51 94 34.00% 62.67% 382.91 0.10710 0.00022

7 7.5155 7.5305 7.523 42 136 28.00% 90.67% 315.97 0.54180 0.00699

8 7.5305 7.5455 7.538 12 148 8.00% 98.67% 90.46 0.33480 0.00934

9 7.5455 7.5605 7.553 2 150 1.33% 100.00% 15.11 0.08580 0.00368

10 7.5605 7.5755 7.568 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000

11 0 0.00% 100.00%

12 #N/A #N/A

13 #N/A #N/A #N/A #N/A

14 #N/A #N/A #N/A #N/A

15 #N/A #N/A #N/A #N/A

16 #N/A #N/A #N/A #N/A

Totales 1126.515 1.92 0.04

Media a = 7.51010

0.01283

0.0002581

0.0160652

Desviación media =

Varianza =


Clases o categoríasMarcas

de

clase


y dispersiónIntervalosFrecuencias


1. Los primeros tres y el último intervalo tienen frecuencia cero, esto indica que el

proceso no está centrado, lo cuál se confirma con la media aritmética (7.5101) que es

mayor al TV = 7.5. Sin embargo, en este caso, ningún valor está fuera de los límites de

especificación.

2. La desviación estándar de este proveedor; Elodio (s = 0.01606), es menor que la del

proveedor uno; Carlos Gardel (s = 0.03929) y del proveedor dos; el Vítor (s = 0.02002),

lo cuál indica que tiene el mejor control de proceso de los tres proveedores.

3. El valor mínimo (7.477) es notablemente mayor que el LSL = Lower Specification Limit

(7.425) y el valor máximo (7.549) es menor al USL = Upper Specification Limit (7.575);

todos los valores están dentro de los límite de especificación, lo cuál indica que

cumplen, con holgura, con nuestros límites de especificación.

El histograma simplemente confirma nuestras primeras observaciones; es un proceso

aceptablemente centrado y que, sobre todo, presenta muy poca variabilidad, permitiendo

que puedan acomodarse 4 desviaciones estándar de cada lado de la media dentro de nuestros

límites de especificación.

Con esta información podemos recomendar que se elija al proveedor número 3. Elodio para

adquirir los rodamientos de alta precisión que necesitamos para nuestra fábrica.

Referencias bibliográficas.

Statistical Process Control Leonard A. Doty. Industrial Press Inc.

Business Statistics: For Contemporary Decision Making Ken Black Wiley & Sons

Control estadístico de los procesos. José Francisco Vilar Barrio y Teresa Delgado Tejada FC Editorial

Contenidos relacionados con la profesionalidad. María Aránzazu García Cortázar Ideaspropias Editorial.

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