Paula Estebas Armas

Luz Roncal Gómez

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

Aplicación de las funciones a diferentes ámbitos de lavida real

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones,

publicaciones.unirioja.esE-mail: publicaciones@unirioja.es

Aplicación de las funciones a diferentes ámbitos de la vida real , trabajo fin deestudios

de Paula Estebas Armas, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidad deLa Rioja), se difunde bajo una Licencia

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los

titulares del copyright.

PAULA ESTEBAS ARMAS

APLICACION DE LAS FUNCIONES

A DIFERENTES AMBITOS DE LA

VIDA REAL

TRABAJO FIN DE MASTER

TUTORA: LUZ RONCAL GOMEZ

CURSO 2015-2016

MASTER EN PROFESORADO, ESPECIALIDAD MATEMATICAS

Indice

1. Introduccion 5

2. Marco Teorico 7

2.1. Asignaturas cursadas en el Master . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Adolescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Procesos de ensenanza-aprendizaje . . . . . . . . . . . . . 15

3. Elementos fundamentales de la Memoria de practicas 21

3.1. Analisis del PEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1. Signos de identidad del centro . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2. Organizacion general del centro . . . . . . . . . . . 25

3.1.3. Caracterısticas de la comunidad educativa . . . . . 28

3.1.4. Ensenanzas y materias optativas . . . . . . . . . . . 29

3.1.5. Objetivos curriculares del Centro . . . . . . . . . . . 33

3.1.6. Proyectos desarrollados en el Centro . . . . . . . . 33

3.1.7. Servicios, espacios y recursos educativos del centro 38

3.2. Estudio del grupo-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1. Caracterısticas psicopedagogicas de los alumnos . 39

3.2.2. Caracterısticas psicosociales de los alumnos . . . . 40

3.2.3. Caracterısticas socioculturales de los alumnos . . . 41

3.2.4. Diferencias individuales entre los alumnos . . . . . . 42

3.2.5. Procesos de ensenanza-aprendizaje . . . . . . . . . 43

3.3. Unidad didactica 2o ESO: Propiedades globales de funciones 44

3.3.1. Eje organizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

3.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.3. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.4. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.5. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.6. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.7. Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.8. Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Resumen de otras actividades . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5. Reflexion y conclusiones finales . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Proyecto de Innovacion educativa: Aplicacion de las Funcio-

nes a diferentes ambitos de la vida real 58

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3. Competencias basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5. Descripcion del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6. Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Reflexion final 76

6. Bibliografıa 78

7. Anexos 81

7.1. Anexo 1. Actividad inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2. Anexo 2. Esquema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

7.3. Anexo 3. Funciones, tablas y graficas . . . . . . . . . . . . 84

7.4. Anexo 4. Funciones, dominio y recorrido . . . . . . . . . . . 87

7.5. Anexo 5. Representacion grafica de funciones . . . . . . . 89

7.6. Anexo 6. Explicacion continuidad y discontinuidad . . . . . 91

7.7. Anexo 7. Actividades de atencion a la diversidad . . . . . . 93

7.8. Anexo 8. Prueba final de funciones . . . . . . . . . . . . . . 98

7.9. Anexo 9. P. innovacion educativa: Etapas en el ciclismo . . 101

7.10.Anexo 10. P. innovacion educativa: Parabolas en diferentes

deportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.10.1. Carrera de obstaculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.10.2. Faltas en futbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.10.3. Tiros libres en baloncesto . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.11.Anexo 11. P. innovacion educativa: La musica y las ma-

tematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4

1. Introduccion

El Trabajo fin de Master muestra un compendio de todos los conoci-

mientos, capacidades y habilidades adquiridas durante el desarrollo en el

Master Universitario en Profesorado de Educacion Secundaria Obligato-

ria y Bachillerato, Formacion Profesional y Ensenanzas de Idiomas, en la

especialidad de Matematicas. El Master esta dividido en tres modulos:

Un modulo generico que consta de 13,5 ECTS formado por tres

asignaturas, Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Procesos

y contextos educativos y Sociedad, familia y educacion cada una de

ellas de 4,5 ECTS.

Un modulo especıfico de 27 ECTS formado tambien por tres asigna-

turas, Complementos para la formacion disciplinar (6 ECTS), Apren-

dizaje y Ensenanza de las matematicas (15 ECTS) e Innovacion do-

cente e introduccion a la investigacion educativa (6 ECTS).

El practicum de 19,5 ECTS en el que se incluyen las Practicas en la

especialidad (13 ECTS) y el Trabajo Fin de Master (6,5 ECTS).

Este Trabajo esta formado por tres elementos principales:

Una primera parte donde se encuentra el marco teorico. Hacemos

un breve resumen de las asignaturas cursadas a lo largo del Master,

comentamos las principales caracterısticas psicologicas, fısicas, de

comportamiento... que tienen los adolescentes y explicamos las prin-

cipales teorıas y modelos de desarrollo en contextos de ensenanza-

5

aprendizaje, ası como el metodo que vamos a seguir en nuestro

proyecto de innovacion.

La segunda parte recoge los elementos mas importantes de la me-

moria de practicas.

Por ultimo se encuentra el desarrollo de un proyecto llamado “Apli-

cacion de las Funciones a diferentes ambitos de la vida real” que

es una propuesta de innovacion, entendiendo “innovacion” como lo

explica Marıa Guadalupe Moreno Bayardo, es decir, como una “in-

troduccion de algo nuevo que produce mejora”. Este proyecto tiene

relacion con la unidad didactica presentada en el apartado anterior.

Las tres partes guardan relacion entre ellas y estan interrelacionadas.

6

2. Marco Teorico

2.1. Asignaturas cursadas en el Master

En primer lugar voy a realizar un breve resumen de las asignaturas cur-

sadas a lo largo del Master, hablando tanto de las asignaturas genericas y

comunes a todas las especialidades como las especıficas de la especia-

lidad de Matematicas, centrandome en lo que me han servido y ayudado

de cara a ser una futura docente y como he podido comprobar ciertos

aspectos en la realizacion de las practicas.

Psicologıa (Aprendizaje y desarrollo de la personalidad), asignatu-

ra vital para comprender a los adolescentes. Me ha servido para

desarrollar la empatıa, pero sin que ello me suponga una sumision

o una peligrosa relacion entre iguales, es decir, dejando claro que

rol ejerce cada uno en el aula. Los adolescentes ya han adquirido

el pensamiento formal que les capacita para pensar en abstracto,

y gracias a esto, se puede trabajar muy bien con ellos en la reali-

zacion de diversas tareas. Asimismo, hemos estudiado los diversos

rasgos de los adolescentes, egocentrismo, pseudoestupidez, fabula

personal, audiencia imaginaria... Tambien me ha ayudado en gran

medida a la hora de realizar las practicas, otros temas abordados

en la asignatura como pueden ser la atencion a la diversidad o la

multiculturalidad. Personalmente considero que estos temas son im-

prescindibles para abordar las diferentes realidades que nos pode-

mos encontrar en el aula. Por otro lado, en esta asignatura hemos

estudiado las diferentes teorıas del aprendizaje (conductismo, cogni-

7

tivismo. . . ). Es necesario conocer este abanico de teorıas, pero mas

importante y difıcil es saber escoger cual es la que mas se ajusta a

las necesidades de tus alumnos y al temario, y finalmente ponerlas

en practica en las clases. Finalmente, otro aspecto a destacar so-

bre la asignatura de Psicologıa es todo lo relacionado con los estilos

cognitivos de los alumnos y sus implicaciones educativas, es decir, la

variedad de alumnos con la que te puedes encontrar (dependientes-

independientes, impulsivos-reflexivos...), y como conociendo esto se

puede fomentar actitudes y aptitudes que nos lleven a un mayor exito

personal y academico.

Pedagogıa (Procesos y Contextos Educativos), destacar de esta ma-

teria la confeccion de las unidades didacticas, elemento importan-

te en los procesos de ensenanza-aprendizaje. Tambien abordamos

otros temas (disciplina en las aulas, organizacion de los centros edu-

cativos, legislacion...) que son necesarios conocer pero que quizas

al no ser tan visibles como otros, a veces pecamos en no tratar-

los con el grado de implicacion que tienen en el desarrollo cotidiano

en los centros educativos. Ademas, en las clases practicas de esta

asignatura, nos mostraron diferentes formas de ensenar e innovar

como puede ser hacer una Wiki, Flipped Classroom...

Sociologıa (Sociedad, familia y educacion), de esta asignatura he

aprendido aspectos relacionados con las desigualdades sociales y

educativas (clase social, genero y etnia) ya que la realidad multi-

cultural de las aulas es muy amplia y todos estos aspectos se ven

8

muy bien reflejados en las clases y es muy importante conocerlos

previamente.

Las asignaturas propias del ambito de las Matematicas, en mi opinion,

han sido mas fructıferas debido a diversos aspectos: mas horas lectivas,

mas especificacion en los contenidos, mayor relacion con nuestro depar-

tamento... Y tanto en Aprendizaje y Ensenanza como en Complementos

para la formacion disciplinar como en Innovacion (incluyo estas tres asig-

naturas en un mismo apartado ya que a mi entender se complementan),

he adquirido una serie de conocimientos previos (elaboracion de unidades

didactica, marco legal, metodos de ensenanza...), necesarios para llegar

a una intervencion educativa eficaz. Aspectos que sin el complemento de

las practicas hubieran carecido de sentido.

Aprendizaje y ensenanza de las Matematicas, es la asignatura que

mas creditos y horas lectivas ocupa del Master. En esta asignatura

se nos muestra como ensenar Matematicas a los alumnos, cono-

cer los distintos currıculos, tanto de la ESO como de Bachillerato

y tanto de la LOE como de la LOMCE. En las practicas he apren-

dido diferentes recursos tecnologicos y programas para poder utili-

zar en el aula como Cabri (programa informatico didactico de geo-

metrıa), Geogebra (programa informatico didactico de geometrıa),

LATEX(editor de textos de documentos matematicos) y Xlogo (progra-

ma de geometrıa orientado a la programacion). Por lo tanto, a dife-

rencia de la carrera de Matematicas que son todo demostraciones,

rigor, teorıa y exactitud, esta asignatura esta enfocada a como en-

senar a los adolescentes con unas matematicas mas intuitivas. Un

9

ejemplo de ello, es separar de las actividades por niveles para aten-

der a la diversidad ya que cada alumnos presenta unas capacida-

des cognitivas y ritmos de aprendizaje diferentes, ası cada alumno

llegara hasta el nivel que sea capaz de realizar, ası todos trabajan y

tratan de resolver niveles.

Complementos para la formacion disciplinar en Matematicas, es una

asignatura dividida en dos partes, una que trata la Historia de las

Matematicas mientras que la otra se basa en contextualizar las ma-

tematicas como parte de la cultura. La parte de la historia se centra

en conocer las matematicas y su evolucion desde la antiguedad con

los egipcios, griegos... hasta el siglo XX tanto para conocer el sur-

gimiento de los distintos conceptos que vamos a impartir a nuestros

alumnos como el papel didactico que nos puede aportar la historia

a la hora de introducir un tema. En la otra parte hemos aprendido

numerosos trucos didacticos, maneras de afrontar diversos proble-

mas, como buscar informacion vital sobre oposiciones, buscar ma-

neras diferentes de dar conceptos basicos como la suma, la multi-

plicacion... y numerosas actividades para mostrar a los alumnos de

forma que esten mas motivados y atentos.

Innovacion docente e iniciacion a la investigacion educativa, en esta

asignatura tambien ha habido un desdoble. Por una parte hemos ad-

quirido la idea de como utilizar la Historia como elemento innovador

en nuestras clases y las ventajas que tiene hacerlo. Cabe destacar

el trabajo final de la asignatura, un poster por grupos materializando

10

esta idea. En la segunda parte hemos tratado temas como el con-

cepto de innovacion y sus caracterısticas esenciales y la investiga-

cion educativa en matematicas. Tambien se nos ha dado numerosos

ejemplos para poder realizar el proyecto de innovacion: la prensa

como recurso didactico, el cine, la musica, los deportes, los juegos

matematicos... Para finalizar la asignatura, por grupos aprendimos a

realizar un proyecto de innovacion que en nuestro caso fue un pro-

yecto utilizando juegos como el sudoku o el domino, para el apren-

dizaje de la trigonometrıa.

2.2. Adolescentes

El Master de Profesorado sirve para formar a aquellos universitarios

que desean ser futuros docentes de Educacion Secundaria y Bachille-

rato mayoritariamente. Los alumnos que pertenecen a estos cursos se

encuentran en la etapa de la adolescencia, epoca de transicion de la vi-

da que transcurre entre la infancia y la adultez. Los cambios que ocurren

tanto a nivel fısico y hormonal como en las esferas social, emocional y

cognitiva marcan el inicio de esta etapa. Sin embargo el final se marca

mas por ciertas cuestiones de tipo psicosociales y culturales.

Gracias a las hormonas se producen una serie de cambios fısicos y

madurativos (por ejemplo la testosterona) lo que hace que se alcance la

madurez sexual y la capacidad de reproduccion. En cuanto a los cambios

puede haber una enorme variabilidad, pueden darse entre los 8 y los 14

anos ademas de presentarse una maduracion diferente en funcion del

sexo.

11

En el cerebro de un adolescente aumenta la mielina o sustancia blanca

del cortex prefrontal (mielinizacion), disminuye la densidad de las sinapsis

del lobulo prefrontal (“poda sinaptica”), se reorganizan de manera masi-

va las neuronas de ciertas areas cerebrales produciendose ası una gran

diferenciacion, mejoran las funciones cognitivas superiores, tambien lla-

madas funciones ejecutivas. Por todos estos cambios que se producen

en el cerebro, podemos concluir que el cerebro de un adolescente es un

cerebro “educable”.

Ademas de los cambios corporales se producen tambien cambios in-

telectuales y adquisicion de nuevas habilidades cognitivas, como memo-

ria, atencion, pensamiento y metacognicion. Tambien se desarrollan otras

areas como el pensamiento social, la capacidad de ponerse en el punto

de vista del otro, la consolidacion de la identidad o el juicio moral. Los

cambios que se producen en el pensamiento del adolescente son:

Capacidad de pensar en abstracto, a partir de ahora los alumnos

no tienen que razonar acerca de objetos, pueden despegarse de la

realidad.

Capacidad para formular hipotesis, se conciben las alternativas po-

sibles que no se dan de forma concreta en la realidad.

Capacidad para concebir lo posible, empiezan a concebir lo que

“podrıa ser” ademas de lo que “es”, lo real se convierte en una op-

cion mas entre las posibles.

Uso de la combinatoria, instrumento logico que permite combinar

todos los elementos y organizarlos.

12

Uso de la logica proposicional, logica verbal y en forma de proposi-

ciones ya que para realizar hipotesis utilizamos el lenguaje.

Los rasgos cognitivos que son caracterısticos de los adolescentes son:

Idealismo, capacidad de tomar lo real entre una posibilidad mas en-

tre las concebibles, por lo que el adolescente puede concebir como

podrıan ser las cosas o como le gustarıa que fuesen.

Tendencia a discutir e indecision, buscan constantemente oportuni-

dades de poner a prueba sus capacidades de razonamiento.

Egocentrismo, basado tanto en la audiencia imaginaria, como en en

la fabula personal. En la audiencia imaginaria se siente el centro de

atencion por lo que estan muy preocupados por lo que los demas

piensan y se sienten observados. En la fabula personal, ese ego-

centrismo se refleja en pensar que son seres unicos, excepcionales

e irrepetibles, que nadie mas ha vivido lo que han vivido y nadie les

puede comprender.

Fabula de invencibilidad, piensan que ellos no pueden ser vıctimas

de conductas peligrosas y por eso asumen todo tipo de riesgos sin

tomar precauciones.

En cuanto al desarrollo de la personalidad del adolescente hay que

tener en cuenta tres aspectos muy importantes, el autoconcepto, la au-

toestima y la formacion de la identidad. El autoconcepto es el conjunto

de elementos que una persona utiliza para describirse a sı misma, ası

13

los adolescentes le dan mucha importancia a los aspectos fısicos y so-

ciales. El autoestima es la valoracion que realizamos de nosotros mismos

basada en pensamientos y sentimientos, indica el grado de satisfaccion

personal del individuo consigo mismo. Se considera un factor clave en el

desarrollo de un buen ajuste emocional y cognitivo, buena salud mental y

unas relaciones sociales satisfactorias. Ademas incide en el rendimiento

academico y esfuerzo escolar y afecta a sus expectativas de futuro. Por

ultimo, destacar que la formacion y construccion de la identidad personal

de un adolescente es un aspecto relevante ya que tiene que formar un

sentido de identidad para establecer que tipo de persona es, aquello en lo

que cree y lo que quiere hacer en la vida.

Las relaciones que los adolescentes establecen con sus familiares son

fundamentales en esta epoca, ya que la familia continua siendo un entorno

basico y es importante que haya un clima afectivo para su ajuste (cues-

tionamiento de las normas, vestimenta, horario de llegar a casa...), estilos

educativos parentales democraticos, y no autoritarios o permisivos. Ası,

al establecer unas normas claras adecuadas a su edad, al usar de forma

razonable los premios y castigos, al utilizar el refuerzo verbal positivo, al

estimular la autonomıa, la independencia, el dialogo y la negociacion se

ayudara a que los adolescentes tengan un buen nivel de autoestima, ad-

quieran el sentido de la responsabilidad, aprendan a tomar decisiones, a

socializarse y a obtener un respeto por las normas.

Sin embargo, el principal contexto de desarrollo es la relacion entre

iguales. En este periodo surge la verdadera amistad y la dependencia

emocional pasa de la familia al grupo de iguales. La funcion del grupo es

14

conversar, comprender, empatizar, potenciar el sentido de la pertenencia,

representar un “rol”... Tambien surge la formacion de las primeras parejas

como curiosidad, para satisfacer el deseo sexual o incluso como forma de

conseguir popularidad.

2.3. Procesos de ensenanza-aprendizaje

El aprendizaje consiste en adquirir conocimientos de cualquier ındole

que antes no se poseıan. Hay ciertas capacidades que son innatas, pero

que necesitan desarrollarse por medio de la adquisicion de informacion,

y esta informacion viene del aprendizaje. Actualmente se considera que

el aprendizaje para que sea duradero debe incorporar al alumno como

sujeto activo de su proceso de aprendizaje, aprovechando sus conoci-

mientos previos para anclar en ellos sus nuevas adquisiciones. El profe-

sor debe guiar el aprendizaje que van descubriendo e interiorizando sus

alumnos, relacionandolo con lo que ya conoce. El alumno ası critica, ar-

gumenta, opina y se convierte en el generador de su propio conocimiento.

Lo primordial es aprender a pensar. Este tipo de aprendizaje se denomina

aprendizaje significativo, del que hablaremos mas adelante.

Existen diversas teorıas y modelos del desarrollo en contextos de en-

senanza-aprendizaje:

Teorıas innatistas, tienen una posicion racionalista y afirman que

existe una influencia del ambiente pero simplemente para desen-

cadenar lo innato y explica que el ser humano es un repertorio de

habilidades innatas.

15

Teorıas etologicas, estudian el principio de la evolucion de las es-

pecies y el desarrollo humano se considera dentro del contexto del

desarrollo animal, explicando su conducta en terminos de su valor

para la supervivencia de la especie.

Teorıa ecologica de Bronfenbrenner, tiene un enfoque ambiental so-

bre el desarrollo del individuo de los diferentes ambientes en los que

se desenvuelve y que influyen en el cambio del desarrollo. Bronfen-

brenner nombra cuatro sistemas que envuelven al individuo, micro-

sistema, mesosistema, exosistema y macrosistema.

Dentro de las teorıas del aprendizaje (teorıas conductistas) se presen-

tan las siguientes:

Condicionamiento clasico o pauloviano, descubierto por Paulov y

desarrollado por Watson dice que la asociacion de un estımulo in-

condicionado con un estımulo neutro provoca que posteriormente el

sujeto responda al estımulo neutro con la respuesta que emitıa ante

el estımulo incondicionado. Generalmente las respuestas aprendi-

das son de tipo glandular o de musculos de fibra lisa y el sujeto las

vive como involuntarias.

Condicionamiento instrumental u operante, la conducta recibe el nom-

bre de conducta operante debido a que provoca la aparicion de una

consecuencia, luego las consecuencias de la conducta producen

cambios en la probabilidad de que esta aparezca, es decir, que la

conducta depende de sus consecuencias. En esta teorıa, si la con-

ducta es reforzada por el profesor, entonces el alumno repetira el

16

comportamiento, luego la presentacion de refuerzo o castigo depen-

de de la conducta emitida por el alumno. El profesor debe seleccio-

nar la conducta que quiere incrementar y los reforzadores eficaces

que va a utilizar de forma inmediata a la conducta meta. Estos refor-

zadores hay que administrarlos de manera contingente para evitar

la saciedad, ademas de estimar la cantidad optima segun el progra-

ma fijado. Al final del proceso se producira una retirada gradual del

reforzador favoreciendo ası la generalizacion. Los refuerzos pueden

ser:

• Continuos, siempre que aparece la conducta.

• Intermitentes, distinguiendo diferentes planes, plan de razon fi-

ja, de razon variable, de intervalo fijo y de intervalo variable.

En cuanto al castigo ha de administrarse de forma contingente siem-

pre ante una conducta a extinguir.

Aprendizaje social, vicario o por modelado, es un modelo socio-

cognitivo (Bandura) ya que incorpora la cognicion y este aprendizaje

se produce a traves de la observacion o imitacion de otros modelos.

Tiene la ventaja de que se puede aprender nuevos comportamien-

tos en ausencia de un reforzador y aunque no haya cambio en la

conducta. En este caso el profesor actuarıa como modelo de cara a

los alumnos.

Tambien existen una serie de modelos cognitivos-constructivistas que de-

fienden que los cambios que observamos en las conductas tienen lugar

17

principalmente como resultado de cambios en su conocimiento y en su

capacidad intelectual. El objetivo es especificar lo que los alumnos cono-

cen, como se organiza el conocimiento y como cambia y se desarrolla, ası

el aprendizaje se define como la actividad mental que implica una codifi-

cacion interna y una estructuracion de la mente ya que es un proceso que

consiste en la recepcion y representacion de un contenido, en su retencion

en la memoria y en su recuperacion cuando sea necesario.

Piaget es defensor del constructivismo, dice que una persona (de

forma cognitiva, social o afectiva) no es producto del ambiente ni

resultado de sus disposiciones internas, si no que se forma una

construccion propia resultado de la interaccion y elaboracion de la

informacion que recibe. Piaget afirma que el origen de la inteligencia

se encuentra en la accion y que cualquier organismo debe intentar

adaptarse a un entorno continuamente cambiante, por lo que el ser

es activo en la construccion de su propio conocimiento. Las unidades

psicologicas basicas de funcionamiento son los esquemas. Ası, cla-

sifica de 0-2 anos como la etapa sensoriomotriz, de 2-7 anos como

la etapa preoperacional, de 7-11 anos la etapa operacional concreta

y de los 11 anos hasta la adultez la etapa operacional formal.

Vygotski, defiende un modelo social de conocimiento “la construc-

cion del conocimiento es un producto de la interaccion social”. Afir-

ma que los procesos psicologicos superiores se deben entender en

el marco de la cultura y de la historia y que los procesos cognitivos

son productos de procesos historicos y sociales concretos, no son

universales. Por lo tanto, el conocimiento se construye en la interac-

18

cion de los demas. Por ejemplo, el lenguaje pasa de un plano social

(interpsicologico) a uno individual y personal (intrapsicologico). Vy-

gotski define zona de desarrollo proximo como la distancia que se

produce entre el nivel real de desarrollo y el nivel de desarrollo po-

tencial (solucionar problemas con ayuda de un adulto), por lo que

los profesores debemos centrarnos en ser mediadores en dicha zo-

na de desarrollo proximo de cada alumno. En el ambito educativo

existen varias aplicaciones como el andamiaje (tecnica por la que se

cambia el nivel de ayuda y estructuracion que se da al alumno en

el transcurso de una sesion de ensenanza) y la tutorıa (tecnica por

la que el experto amplıa y apoya la comprension de las habilidades

culturales de un aprendiz).

Ausubel entiende el proceso de ensenanza-aprendizaje de forma ac-

tiva en el que el papel del alumno es aprender a aprender y donde

el debe ser autonomo y autorregulado. En este modelo, el alumno

es consciente de la metacognicion, es decir, es consciente de los

procesos cognitivos y puede controlarlos y puede establecer vıncu-

los y conexiones entre contenidos y conocimientos previos. El papel

del profesor en este caso es el de mediar el aprendizaje donde son

sumamente importantes las variables afectivas y motivacionales.

En definitiva, el docente ha de decidir que teorıa o modelo cree que va a

ser mejor en cada momento para impartir las clases y favorecer la capaci-

dad de adquisicion de informacion por parte de los alumnos. Debe utilizar

diversos metodos y estrategias, ya que la variedad hara que los estudian-

tes tengan mas oportunidades en ese proceso de ensenanza-aprendizaje

19

y debe ser capaz de motivar a sus alumnos para que se produzca un

aprendizaje de calidad.

Por lo tanto, en nuestro proyecto de innovacion nos centraremos en

el modelo cognitivo-constructivista de Ausubel ya que entiende que el

alumno toma un papel activo en el proceso de ensenanza-aprendizaje,

donde el objetivo es aprender a aprender de una forma autonoma y auto-

rregulada. Todo esto es el objetivo del proyecto ya que queremos evitar la

forma tradicional de impartir las clases de forma magistral y hacer que los

alumnos sean los protagonistas de su propio aprendizaje.

20

3. Elementos fundamentales de la Memoria de

practicas

Las Practicas deben ser uno de los ejes vertebradores del Master de

Profesorado, como indica la Guıa de Practicas del mismo. Este valor vie-

ne dado por la importancia de aprender el oficio docente desde la parte

practica, y no solo desde la teorica como venimos haciendo desde el co-

mienzo de curso. El objetivo basico es enlazar los conocimientos adqui-

ridos de forma teorica en todas las asignaturas del Master (pedagogıa,

psicologıa, sociologıa, aprendizaje, complementos e innovacion) y la pro-

pia realidad educativa de las aulas de Educacion Secundaria. Para lograr

dicho fin, es vital que el futuro docente conozca a traves del contacto con

el mundo escolar las diversas realidades a las que tendra que enfren-

tarse, debe reflexionar sobre la teorıa y participar en el desarrollo de las

sesiones para ir adquiriendo las habilidades necesarias para su formacion

laboral.

Quiero manifestar que la duracion de las mismas, a mi entender, ha

sido suficiente, con aproximadamente dos meses podemos conseguir ha-

cernos una idea del panorama actual de las aulas, ası como motivar la

formacion continua en mi labor como futura docente. Estas practicas me

han ayudado a pensar y reflexionar sobre como podrıa cambiar ciertas

cosas y como podrıa mejorar a la hora de ser una buena docente. Ası,

gracias a mi corta estancia en un instituto, se me han ocurrido alguna for-

ma de innovar con relacion a la unidad didactica que presentare en este

apartado. Estas nuevas ideas las plasmare en mi proyecto de innovacion.

21

3.1. Analisis del PEC

En primer lugar se hace un breve analisis sobre el Proyecto Educativo

del Centro de Educacion Secundaria Duques de Najera de Logrono. El

PEC presenta un guion con los distintos temas que se desarrollan en el.

Se tratara de recoger en esta memoria aquella informacion que es de

utilidad a la hora de realizar las practicas y de entender el funcionamiento

del centro.

3.1.1. Signos de identidad del centro

Historia

En 1991 surgio el IES Duques de Najera en el no 100 de la calle Du-

ques de Najera y en pocos anos paso de ser un pequeno centro especıfi-

co de Formacion Profesional a ser un Instituto de Educacion Secundaria.

Es un centro consolidado que implanto en el curso 2014/2015 la nueva

Formacion Profesional Basica y ha pasado a tener Educacion Secundaria

Obligatoria, Bachillerato en las modalidades de Ciencias y Humanidades y

Ciencias Sociales, dos familias profesionales: Imagen Personal y Sanidad

y cuenta con un Programa especial de FPB de Servicios Administrativos.

Caracter y entorno del centro

El centro esta situado en la zona oeste de la ciudad de Logrono, un

area de expansion demografica segun se ha puesto de manifiesto en los

ultimos anos. Esta enclavado en una zona caracterizada por ser en ella

22

mayoritarias las nuevas edificaciones y por estar dotada, desde el punto

de vista urbanıstico, de aquellos elementos que facilitan el desarrollo de

la vida diaria.

El instituto tiene adscritos dos centros de Educacion Primaria, el CEIP

Doctor Castroviejo y el CEIP Velez de Guevara, de los que se nutre en

buena medida la Educacion Secundaria Obligatoria, pues la mayorıa de

sus alumnos acceden al primer curso de dicha etapa. Tambien esta ads-

crito para bachillerato el CPC Paula Montal. La proximidad de los centros

facilita la comunicacion de los equipos educativos y ademas hace que la

mayorıa de los alumnos de Secundaria vivan en el barrio. Sin embargo,

la procedencia de los estudiantes de Formacion Profesional es variada,

pues vienen de toda la ciudad, bastantes de otras localidades de La Rioja

y no son pocos los que llegan de provincias limıtrofes.

Senas de identidad

El Instituto de Educacion Secundaria “Duques de Najera” es un centro

docente publico. Inspiran su quehacer educativo los derechos constitucio-

nales a la educacion, los de libertad de catedra y de participacion en el

control y gestion del centro. Tambien, y en los terminos establecidos por

la normativa vigente, el derecho que, sin perjuicio del caracter aconfesio-

nal del centro, asiste a los padres a que sus hijos reciban la formacion

religiosa que este de acuerdo con sus creencias, o a los propios alum-

nos, cuando estos sean mayores de edad, de optar por tal formacion. Por

su propio caracter de centro publico es un centro de caracter pluralista

cuyas actividades se desarrollaran dentro de una neutralidad ideologica

23

contraria a cualquier tipo de discriminacion.

Las senas de identidad del instituto son estas: neutralidad, pluralismo,

libertad, tolerancia, dignidad, igualdad, paz y solidaridad.

Contexto economico y cultural del centro

En los distintos estudios realizados sobre el contexto socioeconomico

y cultural del centro se ha observado que el perfil medio del alumnado

es de clase media, vive en una familia predominantemente formada por

cuatro miembros, a las que parece que la situacion economica actual ha

influido menos que a otros colectivos, segun la apreciacion de los hijos.

Sin embargo una cuarta parte de los alumnos percibe estar en una situa-

cion ajustada. Tambien se ha notado un progresivo aumento de familias

separadas. En la mayorıa de los casos trabajan ambos progenitores, si

bien el porcentaje de ocupacion de la madre es menor. Mas de la mitad

de los alumnos/as va con las familias de vacaciones y de viaje de fin de

semana (seguramente a pueblos riojanos).

El nivel de estudios de los familiares es medio, si bien hay un por-

centaje significativo con estudios universitarios. La familia posee vivienda

propia en su inmensa mayorıa, que puede rondar el 90% y al menos la

mitad de los alumnos perciben que su situacion economica es desahoga-

da. La mayorıa de las familias dispone en casa de biblioteca y de medios

informaticos suficientes para colaborar en la formacion de sus hijos.

Esta descripcion general del perfil del alumnado es predominante, al

ser mayorıa los alumnos de Secundaria (ESO y Bachillerato), sin embargo

hay diferencias significativas en los ciclos formativos vespertinos, donde

24

predomina el alumnado adulto.

3.1.2. Organizacion general del centro

Horario

El Centro permanecera abierto desde las 8 hasta las 21:30. El hora-

rio diurno sera de jornada continua, entre las 8:20 y las 15:15 horas, el

vespertino desde las 15:15 hasta las 21:00. Los periodos lectivos estaran

distribuidos de la forma siguiente: tres periodos lectivos de cincuenta mi-

nutos, con descanso de cinco minutos entre cada dos periodos lectivos

consecutivos; un recreo de treinta minutos en diurno y de veinticinco mi-

nutos en vespertino, y otros tres periodos lectivos de cincuenta minutos

cada uno, separados por periodos de cinco minutos de descanso. Para

atender a los grupos de 1o de Bachillerato, que cuentan con 32 horas se-

manales, se utilizara un septimo periodo, dos dıas a la semana desde las

14:25 a las 15:15.

Distribucion de grupos

A la hora de distribuir los grupos, el criterio a seguir por el Centro es el

de grupo/aula, es decir, cada grupo de alumnos tendra asignada un aula

determinada, en la que se desarrollaran todas sus actividades docentes,

excepto aquellas que precisan un aula especıfica o cuando sea necesario

utilizar mas de un aula por desdobles del grupo o apoyos.

25

Aulas especıficas

Aula de Tecnologıa, en la que se impartiran las actividades docentes

de las asignaturas de Tecnologıa.

Aula de Musica, en la que se impartiran las actividades docentes de

esa materia.

Aula de Plastica, en la que se impartiran las actividades docentes

correspondientes a la asignatura de Educacion Plastica y Visual y

Dibujo Tecnico.

Aulas de Informatica, en la que se impartiran las actividades docen-

tes de las asignaturas de Informatica y Tecnologıa de ESO, Tecno-

logıas de la Informacion de Bachillerato y aquellos modulos de los

Ciclos Formativos que lo requieran. Estas aulas, debido a sus carac-

terısticas especiales de disponibilidad de material, admitiran grupos

de 30 alumnos como maximo. Existe un “Aula Movil de Informati-

ca” y para utilizarla sera preciso reservar hora con antelacion en el

documento correspondiente que se habilite en la sala de profesores.

Laboratorio de Biologıa y Geologıa, con capacidad maxima para 24

alumnos, en el que se desarrollaran las actividades practicas de las

siguientes asignaturas: Biologıa y Geologıa y Ciencias de la Tierra y

del Medio Ambiente.

Laboratorio de Fısica y Quımica, con capacidad maxima de 24 alum-

nos, en el que se desarrollaran las actividades practicas de las si-

26

guientes asignaturas: Fısica y Quımica e Introduccion a las Practicas

de Laboratorio, materia optativa del 4o curso de la ESO.

Aula de Enfermerıa, donde se desarrollaran las actividades docen-

tes correspondientes al Ciclo Formativo de Grado Medio Cuidados

Auxiliares de Enfermerıa.

Aula Taller de Oficina, donde se desarrollaran las actividades practi-

cas del Programa Especial de Formacion Profesional Basica (PEFPB)

de Servicios Administrativos.

Aula teorica del PEFPB donde se desarrollaran las actividades practi-

cas del Programa Especial de Formacion Profesional Basica de Ser-

vicios Administrativos.

Aula de Integracion, donde se desarrollaran los apoyos de este pro-

grama.

Aula de diversificacion, donde se desarrollaran las actividades do-

centes de 4o de diversificacion.

Aula y Taller de Peluquerıa, donde se desarrollaran las actividades

teoricas y practicas, tanto del Ciclo Formativo de Grado Medio de Pe-

luquerıa y Cosmetica Capilar, como del ciclo de FPB de Peluquerıa

y Estetica.

Laboratorios de Sanitaria: donde se desarrollaran las actividades

practicas de los Ciclos Formativos de Grado Superior Salud Am-

bienta y Dietetica y de los de Grado Medio de Auxiliar de Enfermerıa

y de Farmacia y Parafarmacia.

27

Instalaciones deportivas: las practicas deportivas en el Instituto se

desarrollaran en el polideportivo del Ayuntamiento y en el patio de

deportes del centro. Podran realizarse practicas deportivas en otras

instalaciones si estan recogidas en la programacion del departamen-

to de Educacion Fısica y aprobadas por el Consejo Escolar.

3.1.3. Caracterısticas de la comunidad educativa

El Instituto cuenta unos 850 alumnos matriculados. Se considera que

la cantidad es excesiva para el espacio disponible. El numero de alum-

nos por aula, generalmente, esta en los lımites maximos que senala la

legislacion vigente. Esta masificacion de las aulas suele ser, en algunas

ocasiones, un foco de conflicto, fundamentalmente en los pasillos.

En el centro cursan estudios en el presente curso seis ACNEEs. El

numero de inmigrantes es de 75 (11, 33% del total), principalmente con-

centrados en los primeros cursos de la ESO.

En cuanto al profesorado, actualmente prestan servicio en el centro 81

profesores, 20 de ellos con jornada parcial. El numero de profesores con

destino definitivo es de 49, lo que supone el 60% del total.

Por lo que respecta a los padres de alumnos, existe un AMPA, consoli-

dada desde el inicio de la andadura del Centro. Son frecuentes las visitas

de los padres a los profesores para interesarse por la marcha de sus hijos.

En cuanto al personal de administracion y servicios, la dotacion es de

cuatro personas para la limpieza, dos para las labores administrativas y

tres conserjes. En este ultimo caso el numero es insuficiente, dado que el

28

centro se encuentra abierto manana y tarde.

3.1.4. Ensenanzas y materias optativas

Oferta educativa

La oferta educativa del Centro es la siguiente:

Educacion Secundaria Obligatoria.

1o de Bachillerato de Ciencias (LOMCE).

2o de Bachillerato de Ciencias y Tecnologıa (LOE).

Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales (1o LOMCE y 2o

LOE).

Formacion Profesional Especıfica:

• Ciclo de Formacion Profesional Basica:

◦ Peluquerıa.

◦ Estetica.

• Ciclos Formativos de Grado Medio:

◦ Cuidados Auxiliares de Enfermerıa (diurno y vespertino).

◦ Peluquerıa y Cosmetica Capilar.

◦ Farmacia y Parafarmacia (vespertino).

◦ Emergencias Sanitarias (vespertino).

• Ciclos Formativos de Grado Superior:

29

◦ Salud ambiental.

◦ Dietetica (vespertino).

• Programa Especial de FPB de Servicios Administrativos.

Optatividad

En el Centro se ofertan distintas materias optativas en la Educacion

Secundaria Obligatoria:

1o de ESO: Segunda Lengua Extranjera (Frances), Iniciacion a la

Tecnologıa y Tecnologıas de la Informacion y de la Comunicacion.

2o de ESO: Segunda Lengua Extranjera (Frances), Taller de Lengua

Castellana y Taller de Matematicas.

3o de ESO: Segunda Lengua Extranjera (Frances), Cultura Musical

e Iniciacion a la Actividad Emprendedora y Empresarial.

4o de ESO: Cultura Clasica y dos materias de iniciacion profesio-

nal: Introduccion a las Practicas de laboratorio e Iniciacion a claves

de economıa basica. Ademas, segun la normativa vigente, el centro

ofrece Matematicas A o B, las tres opciones de materias: Fısica y

Quımica y Biologıa y Geologıa, o Musica y Latın, o Plastica y Tecno-

logıa, y por ultimo Frances o Informatica.

Tambien ofrece distintas modalidades de Bachillerato:

Modalidad de Ciencias (LOMCE), 1o curso. Elegir una de las siguien-

tes opciones:

30

• Biologıa y Geologıa o Dibujo Tecnico I.

• Cultura Cientıfica, Religion, Segunda Lengua Extranjera (Frances)

I o Tecnologıas de la Informacion y de la Comunicacion I.

Modalidad de Ciencias y Tecnologıa (LOE), 2o curso. Elegir una de

las siguientes opciones:

• Opcion 1: Quımica, Biologıa y una de estas dos a elegir: Ma-

tematicas II o Ciencias de la Tierra y medioambientales.

• Opcion 2: Matematicas II, Fısica y una de estas dos a elegir:

Quımica o Dibujo Tecnico II.

• Opcion 3: Matematicas II, Fısica, y una de esas dos a elegir:

Tecnologıa Industrial II o Electrotecnia.

Elegir una de las siguientes optativas:

• Segunda Lengua extranjera II (Frances).

• Tecnologıa de la Informacion y de la Comunicacion II y Geo-

logıa.

Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales (LOMCE):

• Itinerario de Humanidades, elegir una asignatura: Cultura Cientıfi-

ca, Religion Catolica, Segunda Lengua Extranjera I (Frances) o

Tecnologıas de la Informacion y de la Comunicacion I.

• Itinerario de Ciencias Sociales: elegir una asignatura entre:

◦ Literatura Universal o Latın I.

31

◦ Cultura Cientıfica, Religion Catolica, Segunda Lengua Ex-

tranjera I (Frances I) o Tecnologıas de la Informacion y de

la Comunicacion I.

Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales (LOE), curso 2o.

Elegir una de las siguientes opciones:

• Opcion 1: Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II,

Geografıa, y una de estas dos a elegir: Economıa de la Em-

presa o Literatura Universal.

• Opcion 2: Latın II, Historia del Arte, y una de estas dos: Griego

II o Literatura Universal.

• Opcion 3: Geografıa o Latın II; Historia del Arte o Matematicas

Aplicadas a las Ciencias Sociales II; y por ultimo Literatura Uni-

versal, Economıa de la Empresa o Griego II.

Elegir una de las siguientes optativas:

• Segunda Lengua extranjera II (Frances).

• Tecnologıa de la Informacion y de la Comunicacion II.

• Fundamentos de Administracion y Gestion.

Departamentos encargados de las materias optativas

Iniciacion al Laboratorio: Departamento de Fısica y Quımica.

Iniciacion a claves de economıa basica: Departamento de Economıa.

El resto de materias optativas seran impartidas por los departamentos

didacticos y en las condiciones que determine la normativa vigente.

32

3.1.5. Objetivos curriculares del Centro

La lınea pedagogica del centro persigue prioritariamente estos fines:

la educacion en la responsabilidad, la ensenanza desde la comunicacion

y la interaccion y el aprendizaje a partir del trabajo.

Los dos principios metodologicos prioritarios en el Centro son los si-

guientes: orientar la metodologıa hacia el aprendizaje significativo y orien-

tar la metodologıa hacia la busqueda de la funcionalidad de los aprendi-

zajes.

El Centro considera a la evaluacion uno de los temas mas delicados

del proceso de aprendizaje, tanto para los alumnos como para los pro-

fesores, pues permite reconocer el grado de evolucion del alumno en el

proceso educativo, con el consecuente analisis de circunstancias que de-

terminan dicho proceso, y la posterior toma de decisiones al respecto, con

el criterio adecuado. Se entiende como un instrumento que permite reco-

ger y analizar sistematicamente la informacion necesaria, de tal forma que

nos permita determinar el valor o merito de la funcion que se esta reali-

zando con el alumno en particular y con el grupo de alumnos en general.

Con todo ello, facilitamos la toma de decisiones pertinente, tendentes a

mejorar los rendimientos en el proceso de aprendizaje del alumno.

3.1.6. Proyectos desarrollados en el Centro

Programas educativos:

Programa de Integracion (ESO).

Programa de Diversificacion Curricular (4o).

33

Programa de Refuerzo Curricular (1o ESO).

Programa de colaboracion con Aulas Externas (1o y 2o ESO).

Proyecto de Inmersion Linguıstica (Ingles).

Programa de acompanamiento escolar (PROA).

Erasmus Plus (Proyectos KA1 de movilidad: KA102-13410 y KA103-

13421).

Experiencias, innovaciones y otros programas:

Proyecto de intercambio escolar (Alumnos de Frances).

Concurso de primavera de matematicas (ESO y Bachillerato).

Detectives en la red Fase I (1o de ESO).

Concurso hispanoamericano de ortografıa (Bachillerato).

Experiencia “Concurso de Bolsa” (1o de Bachillerato de Humanida-

des y Ciencias Sociales).

Jornadas Culturales.

Encuentros con autores literarios (1o ESO).

Blog “Bliques” de la biblioteca escolar.

Promocion de la asistencia al teatro: “Teatro Breton”, a lo largo del

ano (todos).

34

Semana del “Mercadillo solidario: comercio justo”, en colaboracion

con Oxfam Intermon (todos).

Talleres de consumo: Nuevas tecnologıas. Redes sociales (1o de

ESO).

Plan director para la mejor de la convivencia escolar: acoso escolar

y riesgos de internet (1o y 2o de ESO).

Taller de energıas limpias y ahorro energetico (2o de ESO).

Programa de prevencion del consumo de tabaco, alcohol y cannabis

(2o de ESO).

Talleres de ecologıa domestica: agua (3o de ESO).

Talleres de ecologıa domestica: residuos (4o de ESO).

Programa de educacion para la salud: dimensiones de la sexualidad

humana (varios niveles).

Programa de educacion para la salud: drogas de sıntesis, habilida-

des sociales, cocaına.

Programa de prevencion de conductas violentas (3o y 4o de ESO,

FPB).

Programa “Quiereme bien” (Bachillerato).

Plan de reciclaje de residuos (todos).

Plan de recogida de residuos peligrosos (todos).

35

“Estandares de calidad y seguridad alimentaria” (2o Dietetica y 2o

Salud Ambiental).

Plan de atencion a la diversidad

El IES Duques de Najera engloba a un alumnado heterogeneo. Es-

ta diversidad debe orientar la planificacion de las respuestas educativas

que se han de dar a las necesidades, temporales o permanentes, de los

alumnos y alumnas y, muy especialmente, a las de aquellos y aquellas

que precisan una actuacion especıfica debido a factores personales o so-

ciales. En este sentido, el instituto tiene una larga experiencia, pues no

en vano fue el primer centro de Educacion Secundaria Obligatoria de La

Rioja en implantar el Programa de Integracion para alumnos con necesi-

dades educativas especiales en el lejano curso de 1992-1993 y el Progra-

ma de Diversificacion Curricular al ano siguiente. Tambien fue el primero

en implantar un Programa de Garantıa Social Especial para alumnos con

necesidades educativas especiales en el curso 1995-1996. En anos pos-

teriores el centro experimento con el Programa de Prediversificacion, el

programa de Adaptacion Curricular en Grupo y el de Compensatoria.

No obstante, a lo largo de los anos las caracterısticas del alumnado,

ası como su diversidad, han ido variando, por lo que el centro tiene pre-

sente la necesidad de plantearse nuevas medidas y recogerlas en un plan

que amplıe las propuestas del Proyecto Educativo del Centro, el Plan de

Atencion a la Diversidad, donde se recogen y concretan las medidas de

atencion a la diversidad, tanto las generales como las especıficas, ası co-

mo los correspondientes programas.

36

Plan de orientacion academica y profesional

El Centro cuenta con una serie de planes de orientacion academica y

profesional tanto en la ESO como en bachillerato.

El primero de estos planes de orientacion se ofrece en 2o de ESO,

para dar informacion a los alumnos sobre los objetivos y contenidos de

las posibles optativas en 3o de ESO de modo que elijan aquellas areas

mas acordes con sus intereses, valores, historial academico y perspec-

tivas futuras. Otro plan de orientacion academica se desarrolla en 3o de

ESO, para ofrecer al alumno de igual manera que en el plan anterior, in-

formacion sobre los objetivos y contenidos de las posibles optativas en 4o

de ESO. En 4o de ESO existe tambien un plan de orientacion academica,

en este caso, para que los alumnos se sensibilicen sobre la necesidad

de pararse a pensar en sus opciones futuras al terminar su escolaridad

obligatoria.

En 1o de Bachillerato se presenta un plan de orientacion academica

con el objetivo de anticipar al primer curso el analisis de las opciones

al terminar cada modalidad del Bachillerato, de modo que elijan la op-

cion de cada Modalidad mas adecuada en segundo curso: Humanidades,

Geografıa e Historia, Administracion y Gestion, Ciencias e Ingenierıa o

Ciencias de la Salud. Tambien se ofrece otro plan para sensibilizar a los

estudiantes sobre la necesidad de pararse a reflexionar sobre el futuro

inmediato academico y profesional.

Para los alumnos de formacion profesional tambien existe un plan de

orientacion profesional para sensibilizar a los estudiantes sobre la ne-

37

cesidad de pararse a reflexionar sobre el futuro inmediato profesional y

academico, si desean seguir formandose.

3.1.7. Servicios, espacios y recursos educativos del centro

El Centro cuenta con una biblioteca, cuyo horario de uso es de 9:25

y las 13:30 horas, con distintos laboratorios, dos para la familia Sanitaria,

uno de Biologıa y otro de Fısica y Quımica, un aula de Tecnologıa, una

sala de usos multiples, un gimnasio, una cafeterıa, un aparcamiento para

el personal de servicio y servicio de repografıa.

38

3.2. Estudio del grupo-clase

3.2.1. Caracterısticas psicopedagogicas de los alumnos

En esta seccion se analizara un grupo de 2o de la ESO del Instituto

Duques de Najera de 31 alumnos con edades comprendidas entre los

13-15 anos.

La adolescencia es un periodo de cambios, tanto fısicos como psi-

cologicos, donde se afianzan como personas y establecen sus relaciones

con los demas y con su familia. Es un periodo muy crıtico donde el ado-

lescente puede tomar caminos diferentes, en funcion de la educacion que

reciba.

Segun Palacios (1999) las caracterısticas basicas del desarrollo psi-

cologico del adolescente se pueden resumir en: notables cambios cor-

porales, autoafirmacion de la personalidad, deseo de intimidad, descu-

brimiento del yo y del otro sexo, aparicion del espıritu crıtico, cambios

intelectuales, oposicion de los padres y notable emotidad.

Desde el punto de vista cognitivo, se producen grandes cambios in-

telectuales. Segun Piaget a partir de los 12 anos se consolida el pensa-

miento abstracto, que es el que trabaja con operaciones logico-formales

y que permite la resolucion de problemas complejos. Este tipo de pensa-

miento significa capacidad de razonamiento, de formulacion de hipotesis,

de comprobacion sistematica de las mismas, de argumentacion, reflexion,

analisis y exploracion de las variables que intervienen en los fenomenos.

En este periodo, se encuentran en el comienzo de la adolescencia

y coincide con la consolidacion de las operaciones logico-concretas y el

39

comienzo y la apertura a un nuevo tipo de razonamiento proposicional (si

A entonces B).

Con la pubertad se producen numerosas modificaciones fisiologicas

que inciden en los diversos cambios psicologicos que se producen en el

adolescente, los cambios se deben al aumento de las secreciones hor-

monales, a la progesterona en la mujer y a la testosterona en el hombre.

Los adolescentes, en general, se averguenzan de su apariencia corpo-

ral estando muy preocupados por los ideales fısicos humanos, por lo que

el profesor debe tener especial cuidado en valorar esos cambios que se

producen para que las incidencias que puede tener sobre la vida afectiva,

social o escolar no distorsionen la buena marcha del proceso educativo.

3.2.2. Caracterısticas psicosociales de los alumnos

Las relaciones sociales durante la adolescencia estan vinculadas al

desarrollo de la personalidad. En este periodo, los espacios donde son

posibles los intercambios e interacciones sociales se expanden mientras

que por otra parte, se debilita mucho la referencia de la familia en el pro-

ceso de obtener su autonomıa personal (quiere ser un adulto pero todavıa

no lo es).

En los adolescentes tambien se produce una adquisicion de auto-

nomıa etica, que consiste en pasar de la obediencia ciega a las normas

a la posibilidad de poder cuestionarlas y llegar a un juicio moral propio.

Los ninos crecen y van a pasar por etapas sucesivas que les van a llevar

hacia la autonomıa. De la evitacion del castigo surge otra fase en la que la

norma se obedecera para conseguir la aprobacion social, y mas adelante

40

podra pensarse en el bien de la comunidad y ver si las normas (o leyes)

efectivamente lo promueven.

Los alumnos del primer ciclo de la ESO pasan de moverse con soltura

en el colegio a adquirir un nuevo rol de “novatos” al lado de chicos mucho

mayores por lo que puede afectar a su autoestima y a su sensacion de

competencia. Los profesores ya no son acompanantes del proceso edu-

cativo sino partes fragmentadas cada una con sus propias reglas. Por lo

tanto, los habitos de estudio han de reforzarse diariamente y tendremos

que capacitarles para un aprendizaje comprensivo.

3.2.3. Caracterısticas socioculturales de los alumnos

Los alummnos pertenecen a familias de clase media (alguno puede

pertenecer a la clase baja).

La clase cuenta con 31 alumnos de los cuales 4 de ellos son de pro-

cedencia extranjera, un alumno de Guinea Ecuatorial, otro de Paquistan,

otro de Argentina y una alumna de Rumanıa.

Por lo general los alumnos muestran interes en asistir a clase (a excep-

cion de una alumna que presenta numerosas faltas de asistencia) pero a

la hora de realizar actividades propuestas para casa, no se esfuerzan en

realizarlas. Sı que sabemos que muchos de ellos acuden a ayudas exter-

nas a la hora de estudiar las matematicas, por lo que entendemos que el

entorno familiar se preocupa por el progreso de sus hijos.

Segun lo observado en clase, los alumnos se rodean de companeros

de parecido nivel de comportamiento en clase y de interes en las explica-

41

ciones, por lo que para evitar murmullos se les sienta como considera la

tutora que van a atender mejor.

3.2.4. Diferencias individuales entre los alumnos

Del grupo dos van a Compensatoria, por lo que en clase de matemati-

cas se cuenta con 29 alumnos, 5 de los cuales son repetidores, aunque

uno de ellos ha abandonado los estudios durante el curso, por lo que final-

mente hay 28. La clase tambien cuenta con un alumno con discapacidad

auditiva, presenta hipoacusia con grado de perdida media. Se presentan

una serie de pautas de intervencion educativa en el aula ya que se intenta

hablar con frases completas, hablarle dirigiendole la mirada y ponerle su

pupitre en primer fila en el lugar en el que el oiga mejor.

El grupo es heterogeneo en cuanto a esfuerzo y disciplina. Existen

alumnos que muestran interes y se esfuerzan tanto en el aula como en el

trabajo personal en casa y otros que no muestran interes por la asignatura.

Normalmente, son pocos los alumnos que realizan las tareas propues-

tas para casa, al igual que en el aula, que suelen esperar a que realice los

ejercicios la profesora.

Desde el punto de vista academico, el grupo tambien es heterogeneo.

Se podrıa decir que hay 4 tipos de alumnos, los que tienen mas nivel,

habilidad y soltura en la asignatura, aquellos que llegan a alcanzar las

competencias mınimas y logran aprobar la asignatura, otros que aun con

esfuerzo no consiguen esos criterios mınimos y un cuarto grupo reducido

que no muestra interes alguno.

42

3.2.5. Procesos de ensenanza-aprendizaje

Dentro de los modelos cognitivos constructivistas, el teorico Ausubel

define el aprendizaje significativo como un proceso de ensenanza-aprendizaje

activo, donde el papel de los alumnos es aprender a aprender y donde es

autonomo y autorregulado. Los alumnos son conscientes de los procesos

cognitivos, deben establecer vınculos y conexiones entre contenidos y co-

nocimientos previos, por lo que existe una relacion entre lo que ya saben

y los nuevos conocimientos.

El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva informacion se

conecta con un concepto relevante preexistente en la estructura cognitiva,

esto quiere decir que las nuevas ideas y conceptos pueden ser aprendidas

significativamente en la medida en que otras ideas y conceptos relevantes

esten adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del

individuo. En resumen, se basa en conocimientos previos que tiene el

individuo mas los conocimientos nuevos que van adquiriendo formando el

nuevo aprendizaje.

El papel del profesor es mediar en el aprendizaje, dando importancia

a las variables afectivas y motivacionales.

43

3.3. Unidad didactica 2o ESO: Propiedades globa-

les de funciones

3.3.1. Eje organizador

En esta unidad los alumnos estudiaran los conceptos y procedimientos

basicos para el estudio de las funciones. Supondra para ellos un avance

en el aprendizaje para describir fenomenos presentados en forma de ta-

blas o graficamente. El nucleo central de contenidos sera la representa-

cion de los puntos del plano y de funciones dadas por una tabla o formula,

introduccion de dominios y recorridos, la continuidad y discontinuidad, el

crecimiento y decrecimiento y los maximos y mınimos, estudiandose de

forma intuitiva, visual, basica y siempre a traves de la grafica de la fun-

cion.

Las graficas estan presentes en muchas areas de la vida cotidiana y

sirven para representar e interpretar la relacion que existe entre dos mag-

nitudes de forma clara y visual, por lo que trataremos de utilizar ejemplos

extraıdos del mundo que nos rodea, como por ejemplo de los medios de

comunicacion, y que las noticias suelen ir acompanadas de graficos.

Teniendo en cuenta el contexto de la clase y para atender a la diversi-

dad, lo primero que realizaremos al comenzar esta unidad, sera hacerles

un resumen tanto de lo aprendido en 1o de ESO como de lo que vamos

a aprender a lo largo de la unidad y posteriormente plantearemos una ac-

tividad inicial para averiguar sus conocimientos previos (ver Anexo 1). A

partir de los resultados obtenidos, enfocaremos la unidad desde un nivel

u otro, pero de forma practica para que el alumno se motive e implique en

44

el proceso de aprendizaje. Siguiendo esta idea, se iran planteando dife-

rentes ejercicios donde esten presentes las relaciones funcionales en la

vida cotidiana y en otras ciencias.

Para elaborar esta unidad didactica, he tenido en cuenta el Decreto

5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currıculo de la Edu-

cacion Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autonoma de La Rioja

Dec1, con arreglo a la Ley Organica de Educacion (LOE)[15].

Esta unidad didactica es la primera que se imparte dentro del bloque

de Funciones y Graficas al que se le dedicaran 6 semanas, perteneciendo

al tercer trimestre. Este bloque esta compuesto por las siguientes unida-

des: Propiedades globales de funciones y Funciones de proporcionalidad

directa e inversa. Se utilizaran 8 sesiones para desarrollar la primera uni-

dad al completo (2 semanas).

3.3.2. Objetivos

Saber representar y analizar en el plano cartesiano puntos y grafi-

cas.

Comprender y reconocer el concepto de funcion, ası como sus pro-

piedades principales (dominio, recorrido, continuidad, discontinuidad,

crecimiento, decrecimiento, maximo y mınimo local).

Saber interpretar graficas relativas a sucesos cotidianos.

45

3.3.3. Competencias

Utilizar el lenguaje matematico como instrumento de representacion

e interpretacion de la realidad, que es la competencia en comunica-

cion linguıstica y la competencia matematica (C-1, C-2).

Desarrollar el pensamiento cientıfico para interpretar la informacion

que se recibe con las graficas de las funciones, lo que es la compe-

tencia en el conocimiento y la interaccion con el mundo fısico (C-2,

C-3).

Aplicar las tecnicas de trabajo, ası como su responsabilidad, perse-

verancia, creatividad y autocrıtica en el momento de realizarlo llevan

a las competencias para aprender a aprender y para la autonomıa e

iniciativa personal (C-2, C-7, C-8).

3.3.4. Contenidos

Conceptos

Coordenadas cartesianas. Abscisa y ordenada.

Formulas, tablas y graficas.

Variable independiente y variable dependiente.

Concepto de funcion. Dominio. Recorrido.

Representacion grafica de funciones.

Propiedades globales de las funciones.

46

Procedimientos

Representacion de puntos en el plano.

Interpretacion de los datos aportados por una formula, tabla o grafi-

ca.

Comprension del concepto de funcion.

Obtencion de la grafica de una funcion dada por una formula o una

tabla.

Interpretacion de las propiedades globales de una funcion.

Actitudes

Valoracion de las funciones para interpretar situaciones de la vida

cotidiana y de otras ciencias.

Caracter crıtico hacia la representacion grafica y la informacion que

contiene.

Apreciacion por la presentacion clara de los procedimientos y resul-

tados.

Rigor y precision en los calculos.

3.3.5. Actividades

Las actividades que se realizaran a los alumnos seran motivadoras,

variadas, adaptadas a los distintos ritmos de aprendizaje, coherentes con

47

los contenidos y entre ellas y aumentando la complejidad de manera pro-

gresiva a medida que vamos avanzando en la unidad.

Al comenzar la unidad, haremos actividades de iniciacion para cono-

cer lo que sabe el alumno (ver Anexo 1). Mas adelante propondremos

actividades para desarrollar los nuevos conocimientos y finalmente se

realizaran actividades de control y de atencion a la diversidad, es decir,

actividades tanto de refuerzo como de ampliacion (ver Anexo 7).

Temporalizacion

Los contenidos de esta unidad se desarrollaran en 8 sesiones, distri-

buyendo las actividades y contenidos de la siguiente manera:

1o sesion. Realizaremos una actividad inicial para ver sus cono-

cimientos previos y que recuerdan de anos anteriores (ver Anexo

1). Segun los resultados obtenidos, recordaremos aquello que los

alumnos tienen menos claro, ası, haremos un resumen de los co-

nocimientos del curso pasado. Se explicaran la representacion de

los puntos en los ejes de coordenadas, resaltaremos la importancia

de la representacion mediante formulas, tablas y graficas siempre

acompanando las explicaciones con ejemplos claros y visuales, de-

teniendonos mas o menos en los ejemplos, de acuerdo con los re-

sultados de la prueba inicial. Finalmente haremos en la pizarra un

esquema para mostrar los contenidos que vamos a ver a lo largo de

la unidad (ver Anexo 2).

2o sesion. Comenzaremos la unidad como tal. Despues de que los

48

alumnos han recordado los contenidos mas importantes de ano pa-

sado, explicaremos las funciones, tablas y graficas, viendo los con-

ceptos que caracterizan a cada una de ellas. Se propondran una

serie de ejercicios para realizar en clase, pueden ayudarse por pa-

rejas, y los dos ultimos se mandaran para que los realicen en casa,

teniendolos que entregar en la siguiente sesion (ver Anexo 3).

3o sesion. Iniciaremos la clase corrigiendo y resolviendo dudas so-

bre los ejercicios realizados en casa. Una vez resueltas las dudas,

comenzaremos con la explicacion del concepto de funcion, dominio

y recorrido. Pondremos un vıdeo explicativo sobre estos temas, re-

cordando cuando es una funcion, el dominio de una funcion, su reco-

rrido... Por ultimo realizaremos varios ejemplos para que les queden

los conceptos claros (ver Anexo 4).

4o sesion. En primer lugar nos centraremos en la representacion

grafica de funciones y realizaremos varios ejercicios (ver Anexo 5),

los primeros los realizaremos nosotros y despues ellos por su cuen-

ta para posteriormente corregirlos en la pizarra. Al finalizar la cla-

se mandaremos una pequena actividad de investigacion en la que

deberan buscar ejemplos de aplicaciones graficas en distintos as-

pectos de la vida cotidiana y les comentaremos que dentro de 4

sesiones tendran la prueba evaluable de esta unidad.

5o sesion. La primera parte de la clase consistira en poner en comun

los ejemplos de graficas encontrados, ası iran saliendo a la pizarra

los alumnos que nosotros consideremos, para explicarles al resto el

49

tipo de grafica que han encontrado. Lo siguiente que explicaremos

sera el concepto de continuidad y los puntos de discontinuidad sobre

un ejemplo en el proyector utilizando el ordenador y Geogebra, ya

que estan instalada la aplicacion en todos los portatiles de las clases

(ver Anexo 6). Pediremos a los alumnos que nos atiendan, ya que

al finalizar la explicacion visual, haremos un pequeno resumen en la

pizarra para que puedan tomar apuntes.

6o sesion. En esta sesion, acabaremos de explicar el crecimiento y

decrecimiento, maximos y mınimos de las funciones con el ejemplo

de la sesion pasada del ordenador y el canon. De igual forma, inten-

taremos que primero nos atiendan para luego hacer un resumen en

la pizarra donde los alumnos podran anotar la explicacion. El resto

de la clase lo dedicaremos a realizar actividades de atencion a la

diversidad, tanto de refuerzo como de ampliacion para trabajar tanto

en clase, como para casa (ver Anexo 7).

7o sesion. Dedicaremos este tiempo a corregir los ejercicios anterio-

res ası como resolver cualquier otra duda o ejercicio de la unidad.

Por lo tanto, sera una clase de repaso, de cara a la prueba de eva-

luacion de la siguiente sesion.

8o sesion. Prueba final de la unidad de funciones (ver Anexo 8).

3.3.6. Metodologıa

Las diferentes actividades propuestas siguen los siguientes criterios

metodologicos:

50

Favorecer al alumno el aprendizaje significativo, relacionando los

nuevos conocimientos con aquellos que ya poseıamos.

El profesor adquiere un papel mediador en el proceso de construc-

cion del conocimiento del alumno.

Las actividades seran dinamicas para despertar interes y motivacion

en el alumno.

Atender a la diversidad tanto de capacidades como de ritmo de

aprendizajes de los alumnos.

3.3.7. Recursos

Materiales

Libro de texto de Matematicas, Pitagoras 2o ESO, editorial SM.

Pizarra.

Actividad de investigacion en la que deberan buscar ejemplos de

aplicaciones graficas en distintos aspectos de la vida cotidiana.

Ordenador con Geogebra y proyector.

Vıdeo: Introduccion a funciones. Este vıdeo se puede ver a traves de

la pagina <https://www.youtube.com/watch?v=VT0ZLyJ3gxU>. Es un

vıdeo que hemos realizado en el Master y es de introduccion a la uni-

dad de funciones, donde se explica el concepto de funcion, tipos de

variables y la representacion grafica de una funcion.

51

Humanos

Docente.

Alumnos.

3.3.8. Evaluacion

Los criterios de evaluacion que se van a realizar para evaluar las dife-

rentes competencias que han ido adquiriendo los alumnos a lo largo de la

unidad didactica son los siguientes:

Representar puntos del plano dados por sus coordenadas cartesia-

nas.

Construir e interpretar graficas dadas por formulas o tablas.

Identificar las variables dependiente e independiente.

Describir el dominio y el recorrido de una funcion a traves de su

grafica.

Estudiar la continuidad de una funcion a traves de los puntos de

discontinuidad.

Estudiar el crecimiento, decrecimiento y reconocer maximos y mıni-

mos de una funcion a traves de su grafica.

Por ultimo senalaremos los criterios de calificacion que vamos a seguir:

El 25% de la nota final correspondera al trabajo y seguimiento diario de

52

clase, repartiendose en un 10% la actividad de investigacion y un 15% el

trabajo diario.

El 75% restante de la nota final saldra de la prueba final, donde los

alumnos mostraran si han logrado alcanzar los objetivos presentados al

inicio de la unidad.

53

3.4. Resumen de otras actividades

Afortunadamente para mi formacion como docente he podido colabo-

rar y asistir a diversas actividades que a continuacion voy a mencionar:

02/03/2016. Asistı, en horario de tarde, a las pruebas del Concur-

so de Primavera que se realizaron en el propio instituto, siendo la

encargada de corregir dichos examenes.

08/03/2016. Acudı a la junta de evaluacion correspondiente a 2o

Bachillerato. Allı, aparte de observar el mecanismo formal de una

reunion de esta ındole, puede apreciar la realidad sobre un grupo-

aula en su conjunto, es decir, conocer y apreciar el contexto global

que a traves de los comentarios de los otros profesores me hizo te-

ner una vision mas compleja de dicho grupo.

15/03/2016. Presencie otra sesion de evaluacion, en este caso co-

rrespondıa a 2o ESO.

Fui a todas las reuniones del Departamento de Matematicas que

se realizaban cada jueves de 16:00 horas a 17:30 horas aproxima-

damente, que me ha servido para conocer mas el funcionamiento

intrınseco de un Departamento. Allı se trataban temas como la evo-

lucion y preparacion de examenes para alumnos con asignaturas

pendientes, comentar en que unidad didactica se encuentra cada

docente, analizar las evaluaciones, preparar actividades y ejercicios

para el Concurso de Primavera...

54

3.5. Reflexion y conclusiones finales

Para realizar una buena reflexion y me lleve a unas sinceras conclu-

siones, partire de los objetivos planteados en la “Guıa de practicas”.

Comenzar enlazando los dos primeros objetivos: “1. Relacionar la teorıa

con la practica educativa” y “2. Conectar con la realidad profesional po-

niendo en practica los conocimientos adquiridos”. Estas dos primeras pre-

misas hacen referencia a la preparacion previa que hemos adquirido du-

rante el Master, y como nos han servido durante las practicas. Por eso, de-

jar una vez mas constancia de que, personalmente, considero que nues-

tra formacion, a traves de las diferentes asignaturas, ha sido satisfactoria.

Serıa injusto equipararlas, pero en ningun caso despreciarlas. Por eso me

gustarıa destacar la asignatura de Psicologıa, quizas porque era la ma-

teria donde partıa de la nada y por eso el aprendizaje en comparacion a

otras ha sido mayor.

Del siguiente objetivo “3. Conocer la realidad social, cultural y edu-

cativa, en la que se pretende intervenir” podrıa relacionarse con otros,

“7. Intervenir en la actividad docente mediante la aproximacion al centro

escolar, y la actuacion prolongada en el aula” y “4. Identificar, describir

y analizar el P. E. C ”. Considero imprescindible un conocimiento previo

del lugar donde se ha de desarrollar una actividad docente, y por ello el

PEC es una herramienta vital. En mi caso esta condicion previa ha sido

mas que superada ya que he asistido al centro que solicite, que ademas

corresponde al centro en el que estudie y desde el primer momento me

facilitaron toda la informacion y materiales necesarios para superar estos

objetivos.

55

Continuando la reflexion, este objetivo, “5. Desarrollar la capacidad de

observacion sistematica y el dominio de diferentes procedimientos para

enriquecer la observacion crıtica con una actitud abierta y constructiva

contrastando lo observado con los modelos teoricos referenciales”, hace

especial referencia a la fase de observacion, o sea, a la primera parte de

las practicas cuando a traves de la labor de nuestro profesor-tutor en el

instituto podıamos apreciar la plasmacion de diferentes modelos teoricos.

Y de este apartado, subrayar su caracter imprescindible en cuanto que

al tratarse de un periodo relativamente breve, sin esta visualizacion, el

momento de nuestra intervencion serıa mas compleja.

El siguiente objetivo, “6. Planificar, realizar y evaluar (en colaboracion

y con el apoyo del profesor-tutor de Secundaria) actividades educativas

concretas”, creo que queda reflejado unas paginas atras, en el apartado

de las unidades didacticas.

Y con los ultimos puntos “8. Fomentar y favorecer una actitud crıtica

y reflexiva sobre la accion educativa y su propia practica” y “9. Adoptar

actitudes de innovacion y adquirir habitos de investigacion respecto a los

problemas educativos en su practica como futuros profesores” considero

que guardan relacion con estimular el sentido crıtico de los alumnos, y

que mejor forma de hacerlo que a traves de la innovacion, mas aun en los

tiempos actuales en los que vivimos.

Con todo esto, las practicas en el IES Duques de Najera son mas que

satisfactorias. Ha sido una experiencia muy gratificante tanto en lo perso-

nal como en lo academico, por lo que quiero agradecer al instituto y de

forma especial y sincera, a mi tutora Mariel Negueruela Garcıa, sin la cual

56

esto no hubiera sido igual.

57

4. Proyecto de Innovacion educativa: Aplica-

cion de las Funciones a diferentes ambitos

de la vida real

4.1. Introduccion

Se ha demostrado que la forma tradicional de impartir clases, donde el

profesor realizaba sesiones magistrales y tenıa un poder autoritario, don-

de solo participaba el, no es la mejor manera ni la mas eficaz para lograr

un buen aprendizaje por parte de todos los alumnos, ası que no atiende a

la gran diversidad que se presenta de forma clara en todas las aulas. Con

el proyecto que voy a describir pretendo dar al proceso de ensenanza-

aprendizaje, un nuevo enfoque y estrategias a la hora de actuar en el aula

y de realizar las diferentes sesiones dentro de la unidad didactica. La idea

es intentar, como defendıa Ausubel, que el alumno tome un papel activo

en este proceso de ensenanza-aprendizaje, donde le permita aprender a

aprender y a obtener una serie de conocimientos que se conexionen y

se establezcan vınculos con los conocimientos previos. Aquı el papel del

docente es mediar el aprendizaje entre sus alumnos y combinar varias

estrategias para que todo esto se produzca.

El proyecto forma parte tambien de una de las asignaturas del Master

Universitario en Profesorado de Educacion Secundaria Obligatoria y Ba-

chillerato, Formacion Profesional y Ensenanzas de Idiomas, la de Inno-

vacion docente e iniciacion a la investigacion educativa donde se nos ha

aportado ideas y materiales para poder realizar de forma correcta dicho

58

proyecto.

Durante mi estancia en el instituto he podido observar, sobre todo en

los examenes, que uno de los mayores problemas es que muchos alum-

nos no llegan a comprender los conceptos y simplemente memorizan los

problemas de manera mecanica. Por otro lado, otro de los problemas fre-

cuentes es la poca o nula motivacion junto con la falta de interes y de gusto

por la asignatura de matematicas. He podido escuchar en varias ocasio-

nes “esto no se me da bien”, “las mates son muy difıciles”, “no entiendo

las matematicas”... Todo ello hace que se produzca un mal aprendizaje

por parte del alumno.

Con el fin de intentar mejorar y avanzar en todos estos problemas ex-

puestos, mi proyecto consiste en plantear una serie de actividades que

tratan sobre la relacion que existe entre las funciones matematicas con

diferentes ambitos de la vida real. Estas actividades se presentaran en

diferentes momentos de la unidad didactica y se trabajaran distintos con-

ceptos de diferentes formas, se intentara que los alumnos adquieran ac-

titudes positivas frente a a las matematicas en el aula, promoveremos el

trabajo colaborativo y cooperativo, provocar una buena motivacion a los

estudiantes y atender a la diversidad planteando en cada actividad nume-

rosas cuestiones.

La unidad didactica presentada en el apartado anterior esta pensada

para el curso de 2o de la ESO, en el bloque de Funciones y Graficas y

mas concretamente es la primera unidad del bloque, Propiedades globa-

les de funciones. El proyecto, por lo tanto, esta basado en esta misma

unidad didactica, con idea de hacer los cambios e innovaciones necesa-

59

rias para buscar los objetivos que hemos dicho anteriormente. Este pro-

yecto, cambiando algunas preguntas de las actividades, tiene la ventaja

de que lo podrıamos modificar para el curso que quisieramos de la ESO,

simplemente enfocando las distintas actividades al nivel y conocimientos

requeridos.

4.2. Objetivos

El principal objetivo de la innovacion es mejorar la calidad de la educa-

cion para conseguir que el estudiante mejore su aprendizaje y posea una

actitud positiva.

En cuanto a nuestro proyecto de innovacion, los principales objetivos

son los siguientes:

Ampliar la motivacion y curiosidad en la asignatura de matematicas.

Desarrollar su imaginacion gracias a las cuestiones matematicas

planteadas.

Adquirir habilidades para solucionar problemas.

Conocer y comprender problemas reales en donde intervienen las

matematicas.

Orientar la falta de conocimiento y habilidades hacia la busqueda de

la mejora.

Utilizacion de nuevas nuevas tecnologıas como material didactico.

60

Fomentar el trabajo colaborativo como herramienta de aprendizaje.

Aumentar las habilidades sociales y de comunicacion, entre el grupo

y ante toda la clase.

Manejar conceptos teoricos de clase en diferentes ambitos de la

realidad para un mejor entendimiento.

Lograr un aprendizaje significativo y trabajar el aprender a aprender.

4.3. Competencias basicas

Con el proyecto que vamos a presentar a continuacion, los alumnos

desarrollaran las siguientes competencias basicas:

Competencia en comunicacion linguıstica, escribiendo y pensando

las diferentes actividades, debatiendo entre ellos y exponiendo sus

resultados a la clase (C1).

Competencia matematica, el tema que tratamos son las funciones

matematicas (C2).

Competencia en el conocimiento y la interaccion con el mundo fısico,

las actividades tratan cuestiones y casos de la vida real (C3).

Tratamiento de la informacion y competencia digital, en alguna cues-

tion, se pide a los alumnos que busque informacion por internet (C4).

Competencia social y ciudadana, las actividades estan basadas en

hechos reales por lo que se conciencian de lo que ocurre en el mun-

61

do real. Ademas el trabajo en equipo y cooperativo favorece la inter-

acccion y adquisicion de destrezas sociales (C5).

Competencia para aprender a aprender, los alumnos desarrollaran

habilidades para ayudarles a resolver las cuestiones y buscar infor-

macion, por lo que cada vez seran mas autonomos (C7).

Autonomıa e iniciativa personal, hay cuestiones que requieren plani-

ficacion y toma de decisiones (C8).

4.4. Marco teorico

Ante el problema central de la psicologıa de la ensenanza de la ma-

tematica de tener de una teorıa que facilite la intervencion en los procesos

de ensenanza-aprendizaje de la matematica, los investigadores matemati-

cos ven con buenos ojos el constructivismo como una propuesta alterna.

Como hemos ido comentando anteriormente en este proyecto se asu-

mira este modelo de aprendizaje aunque en algunas ocasiones lo combi-

naremos con pequenas pautas conductistas.

El Modelo Constructivista hoy en dıa esta jugando un papel integrador,

tanto de las investigaciones en los diferentes aspectos de la ensenanza-

aprendizaje de la matematica, como de en el campo de la sociologıa, la

epistemologıa y la psicologıa del aprendizaje. De este modo, las propues-

tas constructivistas se han convertido en el eje de una transformacion fun-

damental de la ensenanza de la matematica. Los investigadores toman el

constructivismo como un marco teorico que guıa el desarrollo de las activi-

62

dades instruccionales que facilitan al alumno una construccion progresiva

de conceptos y procedimientos matematicos cada vez mas abstractos.

Las raıces ambiguas del constructivismo se encuentran en la filosofıa,

la sociologıa y en la psicologıa. En cuanto al constructivismo en la en-

senanza de las matematicas, no hay una unificacion de ideas y de lo que

significa.

Ausubel agrega el concepto del aprendizaje significativo cuando el

alumno puede relacionar los nuevos conocimientos con los que ya posee,

es decir, que el contenido del aprendizaje debe estar estructurado no solo

en sı mismo, sino con respecto al conocimiento que ya posee el sujeto

que aprende. Para Ausubel aprender es sinonimo de comprender, lo que

se comprende es lo que se aprende y de este modo se podra recordar

mejor. Los aportes de Ausubel consisten, fundamentalmente en conside-

rar que la organizacion y la secuencia de los contenidos deben tener en

cuenta los conocimientos previos del alumno. Ha tenido el merito de mos-

trar que la transmision de conocimientos por parte del profesor tambien

pueden ser un modo adecuado y eficaz de producir aprendizaje, si se tie-

nen en cuenta los conocimientos previos del alumno y su capacidad de

comprension. Los principios constructivistas de la educacion matematica

exigen un trabajo duro, integral, que involucre a profesores, formadores...

en la tarea comun de modificar nuestras concepciones sobre la ensenan-

za y aprendizaje matematico y de actuar consecuentemente con estas.

Si queremos adoptar un modelo contructivista en la educacion ma-

tematica debemos tener en cuenta las consecuencias que nos pueden

aparecer tanto en el papel del estudiante como en el papel del propio

63

docente.

La aplicacion de la teorıa constructivista, implica para el estudiante una

serie de cambios muy significativos en el desempeno de su papel ya que

pasarıa a ser dinamico, cuestionador, analista, investigador, responsable

y consciente, ya que se convierte en el agente principal y activo que actua

para alcanzar los conocimientos.

Para el docente, llevar una pedagogıa constructivista, le exige mayor

entrega a su profesion, mayor responsabilidad, mayor conocimiento del

estudiante y su entorno. Le exige una gran capacidad de aceptacion y res-

peto por la opinion del otro, para concertar y estructurar los conocimientos

que integran tanto la version de los estudiantes como la suya. Su actitud

requiere ser cuestionadora, problematica, que lleve al estudiante a pensar

y a responder a las situaciones que se presenten. El docente debe po-

seer mucha creatividad, para construir situaciones didacticas, basandose

en la cotidianidad del entorno, para presentarlas a los estudiantes, como

punto de partida para que ellos las resuelvan, es decir, las procesen y las

adicionen coherentemente a ese mundo de experiencia.

El aprendizaje es una actividad interactiva, tanto individual co-

mo construida. En el aprendizaje de la matematica profesores

y estudiantes, construyen matematicamente interpretaciones y

promueven la comprension de su significado matematico.

Confrey (1991)

64

4.5. Descripcion del proyecto

El proyecto “Aplicacion de las Funciones a diferentes ambitos de la vi-

da real” esta destinado a la unidad didactica de Propiedades globales de

funciones para 2o de la ESO. La idea es que los alumnos comprendan

y asimilen mejor los conceptos del tema realizando y resolviendo cues-

tiones de actividades basadas en distintos ambitos de la vida real, como

son el deporte (baloncesto, futbol, ciclismo y atletismo) y la musica. La

musica y sobre todo el deporte, es un tema que esta muy de moda entre

los adolescentes por lo que conseguiremos motivar a los alumnos y desa-

rrollar una actitud crıtica en las situaciones que se presentan a nuestro

alrededor.

Se presentan diferentes actividades que las vamos a trabajar de mane-

ra diferente unas a otras, ya que unas nos van a servir para introducir nue-

vos contenidos y conceptos de la unidad, otras para asentar conocimien-

tos, otras para trabajar de forma cooperativa, otras como actividades de

ampliacion... para intentar conseguir un aprendizaje significativo de nues-

tros alumnos. Al realizar las actividades los alumnos tendran que usar la

imaginacion, las nuevas tecnologıas, extraer conclusiones, intercambiar

opiniones con sus companeros y con la clase, por lo que les ayudara a

comprender, entender e ir descubriendo los conceptos de la unidad.

A continuacion voy a ir explicando en que consiste cada una de las

cuatro actividades propuestas y en que momento de la unidad las introdu-

cirıa.

La primera actividad se llama “Valoraciones en baloncesto”. Esta ac-

65

tividad la utilizaremos como herramienta de motivacion para comenzar

el tema de las funciones. Se trata de una actividad que cuenta con 13

cuestiones diferentes que se realizan a los alumnos para que piensen,

imaginen...

66

P. innovacion educativa: Valoraciones en baloncesto

La valoracion en baloncesto es una variable estadıstica en el que inter-

vienen aspectos del juego que son cuantificables (que se pueden contar)

y nos permite ver el rendimiento y aportacion personal de cada jugador

al equipo, es decir, un ındice de su buena, regular o mala actuacion en el

partido.

Esta variable se calcula siguiendo la siguiente expresion, que es unafuncion con varias variables:

V al = P +RBtot+A+BR+ TF − TC −BP − (T2I − T2A)− (T3I − T3A)− (T1I − T1A)

donde Val: valoracion, P: puntos, RBtot: rebotes totales, A: asistencias,

BR: balones robados, TF: tapones a favor, TC: tapones en contra, BP:

balones perdidos, T2I: tiros de 2 puntos intentados, T2A: tiro de 2 puntos

anotados y lo mismo con 3 y 1 punto.

1o Como puedes observar en la funcion de la valoracion, hay algunas

variables que estan sumando y otras que estan restando, ¿a que

crees que se debe? Justifica tu respuesta.

2o ¿Por que se llaman variables? Identifica las variables dependientes

e independientes. ¿Por que se llaman ası?

3o ¿Que significado tiene (T3I − T3A) y que representa? Razonalo.

Ahora observamos unas estadısticas del partido Real Madrid - FC Bar-

celona Lassa de la jornada 13 de la liga ACB el 27 de diciembre de 2015.

67

4o Calcula la valoracion de este partido de los jugadores Luka Doncic

y Jaycee Carrol del Real Madrid y de Satoransky y de Brad Oleson

del Barcelona Lassa.

5o Teniendo en cuenta que han sido los mas y menos valorados de sus

respectivos equipos, ¿Quien ha sido el jugador mas valorado del

partido?¿Crees que sera el que mejor ha jugado? Justifica lo que

68

pienses.

6o Busca por internet quien ha sido el jugador mas valorado de toda la

ACB. ¿Se le llama de alguna forma?¿Recibe algun premio? Investi-

ga por la red.

Observamos ahora las estadısticas medias de la temporada 15/16 de

Juan Carlos Navarro y de Sergio Rodrıguez:

7o Debate con tus companeros el significado de la valoracion media de

la temporada. ¿Tiene sentido que Navarro haya hecho 1,9 asisten-

69

cias?¿Tu podrıas hacer 1,9 asistencias en un partido?¿Que quieren

decir los decimales?

8o Si fueras Sergio Scariolo, el seleccionador nacional y te quedarıa

una plaza libre de titular, ¿a quien elegirıas a Navarro o a Sergio

Rodrıguez? Razonalo.

9o Si estas al final de un partido y le pitan al equipo contrario una tecni-

ca, ¿a quien mandarıas a la lınea de tiros libres?

10o En defensa, ¿quien ha sido el que ha robado mas balones?

11o ¿Por que crees que Sergio Rodrıguez ha jugado mas partidos que

Navarro si cada equipo juega los mismos partidos en la temporada?

Intenta dar una explicacion razonada.

Una vez analizadas diferentes situaciones reales, vamos a realizar

unas preguntas de caracter general.

12o ¿Quien habra jugado mejor un partido, un jugador con mas valora-

cion o menos?¿Siempre ocurrira esto?¿Crees que la valoracion es

una forma objetiva de valorar a los jugadores? Pon un ejemplo, si

se te ocurre, de dos jugadores que uno tenga menos valoracion que

otro pero que haya jugado mejor.

13o ¿Anadirıas o quitarıas alguna variable a la funcion de valoracion?

¿Es posible encontrar una funcion “justa”?

70

Como ya hemos dicho, esta actividad la utilizaremos como motivacion

al tema de las funciones. Las diferentes cuestiones las vamos a dividir en

dos partes, la primera parte esta compuesta por las cuestiones de la pri-

mera a la sexta y la segunda parte por las cuestiones de la septima al final.

Antes de comenzar la unidad les daremos la actividad para que realicen

en casa la primera parte de las actividades donde los alumnos tendran

el primer contacto con las funciones, variables (dependientes e indepen-

dientes) y formulas y tendran que razonar una serie de cuestiones sobre

un tema que les sera cercano, como es un deporte como el baloncesto.

Tambien tendran que utilizar las nuevas tecnologıas ya que en la pregunta

6 les pedimos que busquen informacion por la red.

La segunda parte de la actividad la realizaremos en clase por grupos

de 4 alumnos, donde deberan trabajar de manera cooperativa y colabo-

rativa, debatir entre ellos las diferentes respuestas y tendran que tomar

decisiones a la hora de escribir una respuesta comun de grupo, que luego

deberan explicar y defender delante de toda la case. Las ultimas dos cues-

tiones (12 y 13) sirven de reflexion y para asentar las ideas que hemos ido

planteando a lo largo de la actividad.

Por lo tanto, la primera clase dedicada a este tema la utilizaremos para

corregir y debatir sobre las cuestiones planteadas para casa, y la segunda

parte de la sesion, para formar los grupos y acabar y presentar el resto de

la actividad.

La segunda actividad se llama “Etapas en el ciclismo” (ver Anexo 9)

y tambien esta centrada en el deporte. En ella los alumnos van a poder

apreciar el concepto de la pendiente de una funcion, pendiente media,

71

interpretar una grafica... pero en la realidad, ya que estamos hablando

del perfil de una etapa de ciclismo. Esta actividad se propondra en clase

de manera individual una vez finalizada la explicacion de la pendiente,

de esta forma lograremos asentar los conocimientos teoricos explicados

y ademas relacionarlo con la vida real, para un mayor entendimiento. Se

corregira y se debatira sobre los resultados obtenidos de cada alumno en

esa misma sesion.

La actividad “Parabolas en diferentes deportes” es la tercera de las

actividades propuestas (ver Anexo 10). En ella los alumnos podran obser-

var que el tiro parabolico esta presente en muchos deportes, en este caso

en el futbol, en el baloncesto y en el atletismo, ası muchos de ellos se

motivaran gracias a un deporte o a otro. Debido a la heterogeneidad de

los alumnos en el aula, esta actividad la haremos por parejas de alumnos

compuestas por uno que tenga mas dominio de la materia con otro al que

le cueste un poco mas, es decir, aplicaremos la tutorıa entre companeros

como estrategia docente y de aprendizaje. La presentaremos una vez ha-

yamos introducido las parabolas en el aula, como actividad de refuerzo

para corregirla cuando los alumnos la finalicen. Los contenidos que estan

presentes en esta actividad son principalmente las parabolas, su amplitud,

el vertice, como debe ser el coeficiente de x2...

En la ultima actividad dejamos los deportes y nos centramos en la

musica, “La musica y las matematicas” (ver Anexo 11). Esta actividad esta

pensada para el final de la unidad didactica, una vez que hayamos aca-

bado el tema y la utilizaremos como una actividad de ampliacion donde la

72

idea es mostrarles que existen muchos tipos de funciones diferentes, no

solo las que han visto en clase. En ella se explica un nuevo tipo de funcion,

la funcion exponencial, que no se encuentra en el temario de 2o de la ESO,

pero motivados por la musica, los alumnos pueden ir contestando de ma-

nera progresiva y de menor a mayor nivel las cuestiones planteadas, para

ası lograr un buen entendimiento de la misma, de forma que ellos mismos

la van descubriendo. Es una actividad en donde se atiende a la diversi-

dad, ya que como hemos dicho las cuestiones van guiadas y ademas hay

de menor a mayor dificultad. Ası los que mas les cueste podran hacer, por

ejemplo, las cuestiones 1, 2, 5 y 6 y aquellos que tengan mas soltura en el

tema podran resolver todas ellas. Ası, todos los alumnos iran descubrien-

do ellos mismos las propiedades de la funcion exponencial y su grafica,

es decir, estaran construyendo su propio conocimiento aunque siempre

guiados por el docente.

4.6. Evaluacion

La forma de evaluar sera la misma que tenıamos en la unidad didactica

inicial teniendo en cuenta en este caso, que el 15% de la nota que corres-

pondıa al trabajo diario, estan incluidas las actividades propuestas en el

Proyecto de Innovacion.

De las actividades del Proyecto se valorara:

Las soluciones correctas.

La actitud, colaboracion y aportacion al grupo.

73

La originalidad en las respuestas.

La participacion en clase.

La breve exposicion oral.

El trabajo hecho en casa.

El esfuerzo diario dedicado.

4.7. Conclusion

Para realizar una buena conclusion, lo ideal hubiera sido que este Pro-

yecto fuera algo mas que un “Proyecto”, es decir, haberlo llevado a cabo

en la realidad y encontrar aquellas ventajas e inconvenientes que pudieran

surgir y perfeccionarlo para poder aplicarlo cuando sea profesora.

En mi humilde opinion, creo que este Proyecto es una buena manera

de motivar a los alumnos a traves de la musica y sobre todo del deporte,

que vean y entiendan que las matematicas sirven para infinidad de cosas

y que por extrano que parezca estan presentes en todo aquello que nos

rodea. De esta manera al estar motivados y tener una actitud positiva fren-

te a la materia, la adquisicion de nuevos conocimientos y el aprendizaje

significativo es mucho mayor. Ademas, es util para la didactica y la divul-

gacion de las Matematicas en la ESO y tiene la ventaja de que podrıamos

adaptarlo a los diferentes cursos cambiando un poco las cuestiones.

Para finalizar, quiero destacar la importancia de tener en cuenta la

atencion a la diversidad, el trabajo colaborativo y cooperativo en grupo, la

74

utilizacion de tutorıas, que hacen que el alumno tenga un papel activo en

el proceso de ensenanza-aprendizaje y, por lo tanto, exista una ensenanza

de calidad.

75

5. Reflexion final

Estaba segura que querıa realizar este Master de Profesorado pues

siempre me ha interesado y gustado la docencia y he podido comprobar

durante este ano y sobre todo durante el periodo de practicas, que es a lo

que me quiero dedicar en un futuro proximo.

Comence el curso con mucha ilusion y motivacion, aprendiendo mu-

chas cosas nuevas de diferentes asignaturas y conociendo a nuevos com-

paneros, aunque algunos eramos ya amigos de la etapa universitaria.

Aproximadamente a mediados del primer cuatrimestre, empece a desear

que llegaran las practicas, ya que es la manera mas visual, clara y real de

lo que va ha ser nuestra futura profesion. Las clases teoricas del primer

cuatrimestre se me hicieron un poco largas, aunque entiendo que son vi-

tales para un mayor conocimiento tanto de los centros, de los alumnos,

sus familias y todo lo relacionado con las leyes y normativas de educa-

cion. Todo esto lo comprendı mejor cuando llegue al Centro de practicas,

el IES Duques de Najera, ya que tuve la suerte de asistir a claustros de

profesores, sesiones de evaluaciones... donde vi la importancia que tenıan

las asignaturas del primer cuatrimestre, proporcionandome una gran ex-

periencia.

Por ultimo quiero agradecer a mi tutora Luz Roncal todo el apoyo que

he recibido tanto en las practicas, como en la realizacion de la memoria de

las mismas y por la ayuda y consejos para hacer el Trabajo fin de Master.

Agradecer tambien a mis amigas, companeros y profesores del Master la

paciencia y dedicacion que han mostrado con nosotros a lo largo de todo

76

el curso. Para finalizar dar las gracias a Hector Busto Sancirian, director

de la Escuela de Master y Doctorado, que me permitio poder compaginar

este Master con mi carrera deportiva y poder realizar ambas con exito.

77

6. Bibliografıa

Referencias

[1] J. M. ALVAREZ JIMENEZ. Caracterısticas del desarrollo psicologico

de los adolescentes. no28, Marzo 2010. Revista digital: Innovacion y

experiencias.

[2] R. CASTELLANO PANIZA, G. HUESTAMENDIA APARICIO y C. TOBOSO

NIETO. Matematicas en el deporte. no81 , marzo 2016. Revista Suma.

[3] J. CASTIELLA, A. SANZ y N. URIZ. La Evaluacion Psicopedagogica

en la Educacion Secundaria Obligatoria. Gobierno de Navarra.

[4] R. CASTRO. Un modelo constructivista para la comunicacion en la

ensenanza de la matematica. no24, enero-febrero-marzo 2004 (119-

127). Educere.

[5] K. J. CHAVEZ VERA. Aprendizaje de matematica bajo un modelo

constructivista. no4, Volumen 2, enero-febrero 2013. Revista Inter-

nacional PEI.

[6] V. LIERN CARRION y T. QUERALT LLOPIS. Musica y matematicas: La

armonıa de los numeros. 12 de mayo de 2008. Servicio de publica-

ciones de la federacion espanola de sociedades de profesores de

matematicas.

78

[7] M. G. MORENO BAYARDO. Investigacion e innovacion educativa. no7,

diciembre 1995. Revista de Educacion y Cultura. Guadalajara, Mexi-

co.

[8] F. X. MORENO I OLIVER. Analisis psicopedagogico de los alumnos de

educacion secundaria obligatoria con problemas de comportamiento

en el contexo escolar. Memoria de tesis doctoral.

[9] Apuntes de Psicologıa. Universidad de La Rioja, Master Profesorado.

[10] Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currıculo

de la Educacion Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autonoma

de La Rioja; BOR no 16, de 4 de febrero de 2011.

[11] Decreto 21/2015, de 26 de junio, por el que se establece el currıculo

de Bachillerato y se regulan determinados aspectos sobre su organi-

zacion, evaluacion, promocion y titulacion del alumnado de la Comu-

nidad Autonoma de La Rioja; BOR no 85, de 3 de julio de 2015.

[12] El Constructivismo y la Ensenanza de la Matematica; no4, Volumen

2, Octubre 2012. Revista electronica REDINE-UCLA.

[13] El modelo constructivista en la ensenanza de la matematica. (https:

//goo.gl/U1ldIR).

[14] Escuelas de la familia moderna; Bloque II, Etapas del desarrollo evo-

lutivo. Navarra.

79

[15] LOE: Ley Organica 2/2006, de 3 de mayo, de Educacion.

[16] Proyecto educativo de centro. I.E.S. Duques de Najera. Logrono.

80

7. Anexos

7.1. Anexo 1. Actividad inicial

El siguiente grafico muestra la capacidad respiratoria de los pulmones

de una persona en funcion del tiempo. Es una prueba que consiste en

inspirar al maximo y despues espirar tan rapido como se pueda en un

aparato llamado espirometro. La siguiente curva indica el volumen de aire

que entra y sale de los pulmones:

a) ¿Cual es el volumen de los pulmones en el momento inicial?

b) ¿Cuanto tiempo duro la observacion?

c) ¿Cual es la capacidad maxima de los pulmones de esta persona?

d) ¿En que momento hay menos aire en los pulmones?

81

e) ¿Cual es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?

f) ¿Durante cuantos segundos la persona inspira?¿Y durante cuanto

tiempo espira?¿Hay alguna relacion con que la funcion crezca o de-

crezca?

g) ¿Cual es la variable dependiente?¿Y la independiente?

h) ¿Esta funcion es continua o discontinua?

82

7.2. Anexo 2. Esquema

83

7.3. Anexo 3. Funciones, tablas y graficas

A continuacion propondremos unos ejercicios para realizar en clase.

Los 2 primeros seran de nivel basico, los 2 siguientes de nivel medio y

el ultimo de nivel alto:

• Ejercicio 1: La grafica representa una etapa ciclista. A cada distancia

al punto de salida le corresponde una determinada altitud.

¿Cual es la variable independiente? ¿Cuando se alcanza la mayor al-

titud? ¿Cuantos kilometros se recorren en la etapa?

• Ejercicio 2: Escribe la formula del perımetro de un triangulo equilate-

ro en funcion de sus lados.

• Ejercicio 3: En la tabla esta el tiempo que se tarda en hacer un trabajo

segun los alumnos que participen.

Si solo se dispone de media hora para preparar el trabajo, ¿cuantos

alumnos deberıan participar?

84

• Ejercicio 4: La siguiente grafica muestra como varıa la longitud de la

sombra de un arbol a distintas horas del dıa.

¿A que hora la sombra fue menor? ¿Cuanto medıa la sombra a las

19:30? ¿A que horas la sombra mide lo mismo?

• Ejercicio 5: La tabla que se muestra a continuacion recoge dimensio-

nes de rectangulos de 28 metros de perımetro.

Copia la tabla en tu cuaderno y completala. ¿Alguno de los rectangulos

es un cuadrado?

Los ejercicios que vienen a continuacion, son los que mandaremos de

deberes para casa y los deberan entregar en la sesion siguiente. El pri-

mero tiene una dificultad media, mientras que el segundo es de dificultad

alta.

• Ejercicio 6: Escribe la formula asociada a la tabla.

85

• Ejercicio 7 : Como se observa en la figura, se construyen triangulos

de lado 1 unidad, 2 unidades, 3 unidades...

Calcula el numero de puntos por los que pasa el contorno de cada

triangulo. Copia y completa la siguiente tabla:

Encuentra la funcion que expresa el numero de puntos por los que

pasa el contorno de cada triangulo, en funcion de las unidades de lado.

86

7.4. Anexo 4. Funciones, dominio y recorrido

Primero pondremos algun ejemplo grafico para que los alumnos dis-

tingan cuando una grafica representa una funcion o no, asimilando el con-

cepto de funcion.

• Ejercicio 1: Di si las siguientes relaciones son funciones:

a) El espacio entre dos ciudades y el tiempo que tarda un tren en ir de

una a otra.

b) La duracion de un partido de futbol y los goles que marcan.

c) La edad de un arbol y el numero de anillos de su tronco.

• Ejercicio 2: Indica razonadamente si las siguientes graficas repre-

sentan funciones:

Los conceptos de dominio y recorrido aparecen por primera vez, ası

haremos varios ejercicios para complementar nuestra explicacion. El or-

den de los ejercicios propuestos esta por nivel de dificultad de mas sencillo

a un nivel mas alto.

• Ejercicio 3: Calcula las imagenes de las siguientes funciones en los

puntos que se indican.

87

a) f(x) = 5x+ 4 en x = 2 b) f(x) = 3x(x− 5) en x = 5

c) f(x) =x+ 3

x2en x = −3 d) f(x) = −x2 en x = −1

• Ejercicio 4: Indica el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

• Ejercicio 5: Da un ejemplo de una relacion entre dos magnitudes que

sea una funcion e indica cual es la variable dependiente y la independien-

te. Para la variable independiente, busca otra magnitud para de forma que

la relacion entre ellas no sea una funcion.

• Ejercicio 6: Con una cuerda de 40 centımetros se construyen triangu-

los isosceles, de modo que si variamos la medida de la base, variara tam-

bien la medida de los lados iguales.

Completa una tabla de valores para distintas medidas de la base del

triangulo. Escribe la formula general de la funcion. Indica el dominio y el

recorrido de la funcion.

88

7.5. Anexo 5. Representacion grafica de funciones

Los siguientes ejercicios estan ordenados por nivel de dificultad.

• Ejercicio 1: Indica las coordenadas de los puntos en los que la fun-

cion corta los ejes.

• Ejercicio 2: Dibuja las graficas de las siguientes funciones con la

ayuda de tablas de valores.

a) y = −6x b) y = 4x+ 1 c) y = 5x d) y = 2− 3x

• Ejercicio 3: Representa los puntos de esta tabla.

Indica razonadamente si hay que unirlos o no. ¿Cuanto pagarıas por 9

fotocopias?

89

• Ejercicio 4: En la tabla se representa la temperatura de una ciudad a

lo largo de una semana.

Haz una representacion grafica de la tabla.

• Ejercicio 5: El producto de dos numeros naturales es 36.

a) Escribe la funcion correspondiente.

b) Forma la tabla de valores y representa graficamente la funcion.

c) ¿Tiene sentido unir los puntos?

d) ¿Que numeros forman parte del dominio? ¿Y del recorrido?

90

7.6. Anexo 6. Explicacion continuidad y discontinuidad

Estos dos archivos de Geogebra nos serviran como base de explica-

cion de la continuidad y discontinuidad.

91

92

7.7. Anexo 7. Actividades de atencion a la diversidad

Actividades de refuerzo

• Ejercicio 1: Indica las coordenadas que determinan los vertices de la

siguiente de la siguiente letra.

• Ejercicio 2: En el punto (−3,−3) hay un hormiguero. Una hormiga

ve comida en el punto (5, 2). Primero avanza horizontalmente hasta (1, 3),

luego en diagonal hasta (3,−2), despues en horizontal hasta (4,−2) y por

ultimo, en diagonal hasta donde esta la comida. Representa en unos ejes

de coordenadas el recorrido de la hormiga.

a) ¿El dibujo que has realizado es de una funcion continua? Justifıcalo.

b) Indica donde es creciente y donde es constante.

93

c) En la misma grafica traza el camino de vuelta de la hormiga al hor-

miguero, sabiendo que vuelve en lınea recta. ¿El resultado es una

funcion? ¿Por que?

• Ejercicio 3: La siguiente grafica describe la evolucion de la tempera-

tura de un paciente a lo largo del tiempo.

a) ¿Cuantos dıas estuvo el paciente enfermo si se considera como nor-

mal una temperatura corporal de 35, 6o?

b) ¿Que ocurre entre el 1o dıa y el 2o? ¿Y entre el 4o y el 5o? ¿Y entre

el 5o y el 6o?

c) ¿Cuando tuvo la temperatura maxima? ¿Y la mınima?

d) ¿Cuando se mantiene constante la temperatura?

• Ejercicio 4: Indica el dominio, el recorrido y los intervalos donde la

siguiente grafica es creciente y decreciente, y senala los maximos y mıni-

mos.

94

Actividades de ampliacion

• Ejercicio 1: De las siguientes graficas, ¿cual es la funcion y = x− x

|x|?

• Ejercicio 2: Se muestran en la siguiente grafica los gastos e ingresos

de 6 familias en un ano.

95

a) ¿Que familias tuvieron los mismos gastos? ¿Y los mismos ingresos?

b) Ordena las familias por orden de menor a mayor gasto, y a continua-

cion, de menores a mayores ingresos.

c) ¿Que familia consiguio ahorrar mas?

• Ejercicio 3: Dibuja una grafica con las siguientes caracterısticas.

+ Dominio de x = −8 hasta x = 7

+ Recorrido de x = 1 hasta x = 5

+ Continua

+ Mınimos en (−4, 1) y en (4, 2)

+ Maximo en (−1, 4)

96

+ Constante desde x = 1 hasta x = 3

• Ejercicio 4: Una funcion muy complicada viene dada por: y = x2010 −

x2009 + x2008− x2007 + ...+ x2− x+5. Es seguro que su grafica no contiene

ningun punto del cuadrante

a) 1o b) 2o c) 3o d) 4o

97

7.8. Anexo 8. Prueba final de funciones

El examen esta previsto para realizarlo en una sesion de 50 minutos.

1) Representa graficamente las siguientes funciones, indicando de

que funcion se trata, dominio y recorrido, crecimiento y decrecimiento y

maximos y mınimos si los tuviese. Haz previamente una tabla de valores.

a) y = 3x

b) y = −x+ 2

c) y = x2 − 3

d) y =−10x

2) Indica el dominio y el recorrido de la funcion representada en la

grafica siguiente. Estudia su crecimiento y su continuidad.

98

3) Halla la ecuacion de la recta r que pasa por los puntos A(1, 2) y

B(−3, 4). Escribe la ecuacion de una recta paralela a r, sabiendo que

pasa por P (0,−2).

4) La siguiente grafica representa la temperatura a lo largo de un dıa

de invierno.

a) Indica el dominio y el recorrido.

b) Estudia el crecimiento de la funcion indicando los maximos y los

mınimos.

c) Indica los cortes con el eje de abscisas ¿Que representan?

99

5) Una companıa telefonica A cobra 0,3 e el establecimiento de llama-

da y 0,25 e el minuto. Otra companıa B cobra 0,4 e el establecimiento de

llamada y 0,15 e el minuto.

a) Escribe la funcion que representa el coste de las llamadas en ambos

casos.

b) Haz la representacion grafica de las dos funciones en los mismos

ejes.

c) Indica cuanto tiempo hay que hablar para que resulte mas barato

hacerlo con la companıa B.

100

7.9. Anexo 9. P. innovacion educativa: Etapas en el ci-

clismo

Unos ciclistas quieren hacer una ruta de 201,5 kilometros de Logrono

a Lomos de Orio para prepararse para la Vuelta Ciclista a Espana y en-

cuentran el perfil de la etapa por internet:

1o Justifica que afirmaciones acerca de la dureza de los puertos de

montana son o no correctas:

• Cuanto mas alto se asciende, mas duro es el puerto.

• Cuanta mas larga es la subida, mas duro es el puerto.

• Cuanto mas inclinada la carretera, mas duro es el puerto.

• Cuanto mas abajo comience la subida, mas duro es el puerto.

101

2o ¿Que calculos y operaciones realizarıas para ver la dureza del puer-

to?¿Que datos necesitas? Justıficalo.

3o ¿Cual es la pendiente media de la etapa completa? Explica que

quiere decir el resultado.

4o En la grafica que vemos, ¿a que corresponde en la realidad cuando

la funcion crece, decrece o es constante?

Supongamos ahora que Jalon de Cameros

se encuentra a 882 metros de altitud,

5o ¿Cual es la pendiente media del puer-

to que va de Jalon de Cameros hasta

el Collado de Sancho Leza? ¿Y la pen-

diente que existe entre Brieva de Came-

ros y Pena Hincada, sabiendo que Brie-

va se encuentra a 973 metros del nivel

del mar?

6o ¿Que relacion encuentras entre las pen-

dientes y las etiquetas 1, 2 y 3 que ob-

servamos en las imagenes? Explıcalo

con tus palabras.

Fijandonos de nuevo en la imagen de la etapa completa,

7o ¿Que tramo de la etapa es la mas suave y la mas dura? Indıcalo

como la distancia en kilometros desde Logrono. ¿Y sus pendientes

102

cuales son en esos tramos? Razona y relaciona los resultados obte-

nidos.

8o La pendiente de un puerto de carre-

tera, ¿se calcula de la misma forma

que las pendientes de una funcion

matematica?

9o Interpreta que quiere decir esta

senal y explıcalo con tus propias pa-

labras.

103

7.10. Anexo 10. P. innovacion educativa: Parabolas en

diferentes deportes

En muchos deportes, los lanzamientos y los saltos tienen muchısima

relacion con los resultados obtenidos. La trayectoria que sigue un balon

de futbol en una falta, la trayectoria que sigue un balon de baloncesto en

un tiro libre, el salto que hace un atleta sobre una valla, el tiempo que

tarda en hacerlo, la altura maxima a la que puede llegar, todo ello esta

relacionado con el tiro parabolico, es decir, las parabolas.

Los saltos (de altura o de longitud) y los lanzamientos (de disco, de un

balon o de jabalina) son proyectiles que el recorrido que realizan tienen

forma de parabola, gracias a la union del movimiento uniforme horizontal

y otro vertical uniformemente acelerado (gravedad terrestre).

Vamos a poner realizar 3 actividades, correspondientes a las parabo-

las y que se centran en diferentes deportes.

7.10.1. Carrera de obstaculos

En las carreras de obstaculos, los corredores deben superar tanto

obstaculos secos como obstaculos de salto de agua. Nos centraremos

en los saltos de agua y tendremos en cuenta que los saltos que realizan

los atletas siguen una trayectoria parabolica. Aproximadamente, la valla

mide 90 centımetros de alto y el foso tiene 350 centımetros de longitud y

el sentido de la carrera en el siguiente dibujo es de derecha a izquierda.

104

1o Si el corredor quiere superar la valla y el foso, ¿a que distancia de la

valla como mınimo tendra que empezar el salto?¿Donde se encon-

trarıa el vertice de la parabola y que significa?

2o ¿Como serıa el coeficiente de x2 en la ecuacion de esta parabola,

positivo o negativo?

3o ¿Que pasara si el atleta salta a una distancia menor de 350 cm de

la valla?¿Sera mejor o peor para la carrera?¿El vertice cambiara?

Razona todo esto e intenta explicarlo con tus palabras.

4o ¿Que ocurrira si salta muy cerca de la valla? Justifica tu respuesta.

7.10.2. Faltas en futbol

Imaginemos que nos encontramos tirando una falta a 18 metros de

la porterıa de futbol (tiene una altura de 2,4 metros aproximadamente) y

debemos tener en cuenta que tenemos una barrera de jugadores situados

a 9 metros de nosotros.

105

5o Si quieres meter gol, ¿a que altura, como mınimo, se encontrara el

vertice de la parabola?

6o ¿Sobre que valores aproximadamente se debe situar el vertice con

respecto a la posicion de balon?¿En que se ve afectado el tiro en el

cambio del vertice? Justifica las respuestas.

7o ¿Podrıamos meter gol si el vertice de la parabola se encontrase a 1

metro del suelo?¿Y a 2 metros? Explıcalo.

8o ¿Tiene que ver la fuerza y la direccion que demos al balon con la tra-

yectoria que realizara? Intenta explicar en que cambiara si variamos

una de estas variables, o las dos a la vez.

7.10.3. Tiros libres en baloncesto

En una cancha de baloncesto, la lınea de tiros libres se encuentra a

4,6 metros del tablero (medida horizontal), y el aro a 3,05 metros del suelo

106

(medida vertical). Imagınate que tu estas tirando el tiro libre y que lanzas

el balon sobre tu cabeza (utiliza tu altura como la distancia desde la que

lanzas el balon).

9o Realiza un dibujo aproximado de los elementos descritos anterior-

mente y de como puede ser la parabola del balon para meter el tiro

libre.

10o En este caso, ¿como sera el coeficiente de x2 en la ecuacion de la

parabola? Exlıcalo.

11o ¿El vertice de la trayectoria podra estar a 2,3 metros

de nosotros (medida horizontal)?

12o ¿Dependera el tipo de parabola descrita por el

balon, del jugador que lance el tiro libre o siempre

que se quiera meter canasta todo el mundo ha de

tirar igual?¿Por que? Justifica la respuesta.

107

7.11. Anexo 11. P. innovacion educativa: La musica y las

matematicas

En clase de musica habeis estudiado la equivalencia entre la duracion

de los distintos tipos de notas que existen; una redonda tiene la misma

duracion que dos blancas, una blanca tiene la misma duracion que dos

negras, y ası sucesivamente.

1o Consideremos la funcion f(x) = 2x. Realiza una tabla de valores

para x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 y x = 5 (siendo 20 = 1). ¿Que

valores has obtenido?¿Encuentras alguna relacion con la imagen

anterior?

2o ¿Para que valor de x obtenemos la equivalencia de las corcheas?¿Para

x = 2 que nota obtenemos?

108

3o Haz una representacion grafica segun la tabla anterior (da valores

negativos para dibujar mejor la grafica). ¿Te recuerda a alguna fun-

cion que conoces?

4o Esta funcion de denomina funcion exponencial, ya que como puedes

observar, la variable x se encuentra en el exponente. La grafica de

esta funcion es la que resulta de unir los puntos que hemos repre-

sentado. Unelos y observa la grafica que queda.

5o Ahora consideremos la funcion f(x) =

(1

2

)x

. Haz una tabla de va-

109

lores para x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 y x = 4 (siendo(1

2

)0

= 1).

¿Que valores has obtenido?¿Se parecen los valores a los que se

encuentran en la imagen anterior?

6o ¿Para que valor de x nos sale la equivalencia del tiempo de una

fusa?¿Para x = 4 a que nota corresponde de duracion obtenida?

7o Realiza una representacion grafica de la tabla anterior y une los pun-

tos obtenidos (da valores negativos para dibujar mejor la grafica) .

¿Que ocurre?¿Te suena esa grafica?¿Se parece a la que hemos

realizado anteriormente?

8o Dibuja ambas funciones en los mismos ejes de coordenandas. ¿Que

observas?¿Como son las funciones entre sı?

Comprueba que tu representacion de ambas graficas es similar a la que

se muestra a continuacion.

110