aplicação da teoria monotônica de operadores em sistemas ... · no caso particular de sistemas...
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* Bolsista do Programa de Mestrado da Universidade Federal de Uberlândia
Aplicação da Teoria Monotônica de Operadores
em Sistemas de Prospecção de Petróleo
Grégory Duran Cunha* Rafaela Neves Bonfim* Valdair Bonfim
Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia
CEP: 38.408-100, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected]
RESUMO
Neste trabalho consideramos a questão da existência de soluções fracas para a seguinte
equação diferencial parcial de evolução
(1) 0,,2
3
2
2
2
2
t
uxtq
xt
u
x
u
t
u, [,0] Tt , [,0] lx .
A equação (1) serve de modelo, por exemplo, para a deformação longitudinal, a partir
da posição de equilíbrio, de uma barra de comprimento l em determinados sistemas mecânicos.
O termo ),,( tuxtq incorpora atritos do sistema, e as hipóteses que fizemos em q engloba casos
encontrados nas aplicações (veja Barreto, [2]). No caso particular de sistemas de prospecção de
petróleo a função ),( xtu deve satisfazer a equação (1) juntamente com condições de contorno
que são não-lineares e descontínuas. Essa condição de contorno descontínua deve-se a um
mecanismo de válvulas que imprime mudanças repentinas na tensão aplicada numa das
extremidades da barra. Precisamente, denotando por H a função de Heaviside, consideramos em
lx a condição de contorno ),(1.),(),( ltuHmltultu ttxx . Num sistema de
referência apropriado isto significa que quando a velocidade ),( ltut é positiva então a tensão
na extremidade lx da barra é nula, ao passo que quando ),( ltut é negativa a tensão
corresponde ao peso da coluna de óleo em elevação. Na extremidade 0x pedimos que
)()0,( ttu , onde )(t provém do movimento imposto ao sistema por um motor na
superfície. Mediante uma mudança de variável adequada podemos supor, sem perder
generalidade, que é identicamente nula. Ou seja, associada à equação (1) consideramos as
seguintes condições de contorno:
(2) 0)0,( tu , ),(1.),(),( ltuHmltultu ttxx , 0t .
Para demonstrar a existência de solução fraca para o problema (1)-(2) utilizamos a
Teoria dos Operadores Maximais Monótonos em Espaços de Hilbert (Brézis, [1]). Mais
precisamente, chamando tuv , ficamos com:
(3) 0,0),.,(,0)(,, vtqvuvvu xxtt
(4) 0)0,( tu , ),(1.),( ltvHmltvu x
Colocando ),( vuw obtemos a equação de evolução
(5) 0)(,)( twtBtwAdt
dw
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no espaço de Hilbert H = ),0(H 21,0 lL , com o produto interno
(6) l l
dxvvdxuuvuvu0 0 21212211 ,,, , onde
(7) ],0[: TB H H é dado por
),.,(,0),(, vtqvutB
(8) )(: ADA H H é definido por
)(,, vuvvuA ,
sendo
)()(,)(),0(),()( 20,10,1 lvulvelHvuHHvuAD ,
0)0(),0(10,1 ulHuH , e ℝ2
é o gráfico abaixo:
O principal resultado deste trabalho consiste em provar que, em relação ao produto
interno (6), o operador A é monótono maximal no espaço H , o que rende, devido à teoria
abstrata de Brézis [1], a existência de solução fraca para (1)-(2) no caso 0q . Com um
argumento análogo ao de Picard conseguimos provar, sob condições razoáveis, que o problema
(1)-(2) também tem solução fraca quando q não é identicamente nula. O próximo passo
consiste investigar que tipo de regularidade essas soluções possuem.
Palavras-chave: Operadores monotônicos; prospecção de petróleo.
Os autores agradecem à FAPEMIG pelo apoio financeiro.
Referências
[1] Brézis, H., Operateurs maximaus monotones et semi-groupes de contractions dans lês
espaces de Hilbert. North-Holland, Amsterdam (1973).
[2] Barreto, M. A. F., Geração de carta dinamométrica de fundo para diagnóstico do bombeio
mecânico em poços de petróleo. Faculdade de Engenharia Mecânica – Depto de Engenharia
de Petróleo – Unicamp (1973).
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)(lv
)()( lvu
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