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  • Anwendungen der Optimalsteuerung in ökologischen Systemen

    Inauguraldissertation

    zur

    Erlangung des akademischen Grades eines

    Doktors der Naturwissenschaften

    der

    Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät

    der

    Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

    vorgelegt von Dmitriy Stukalin

    geboren am 04.06.1985 in Kaliningrad

    Greifswald, den 27. Juni 2013

  • von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Ernst-Moritz-Arndt-Universität als Dissertation angenommen

    Dekan: Prof. Dr. Klaus Fesser

    1.Gutachter : Prof. Dr. Werner Schmidt Institut für Mathematik und Informatik Universität Greifswald

    2.Gutachter : Prof. Dr. Christian Möllmann Institut für Hydrobiologie und Fischereiwissenschaft Universität Hamburg

    Datum der Disputation: 15. November 2013

  • »Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist. . . . «

    Albert Einstein (1879-1955)

  • 4

  • Inhaltsverzeichnis

    1. Einleitung 13

    2. Biologische, ökologische und wirtschaftliche Aspekte der Ostseefischerei 19 2.1. Allgemeine Beschreibung des Fischereisektors, Ziele und Aufgaben . 19 2.2. Einzelne Fischpopulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2.1. Dorsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Hering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3. Sprotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3. Fangmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Ökonomische Probleme der Ostseefischerei . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Ostseefischerei aus der Sicht einzelner Länder . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.1. Deutschland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.2. Dänemark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.3. Schweden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.4. Finnland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.5. Russland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.6. Estland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.7. Lettland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.8. Litauen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.9. Polen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6. Theoretische Ansätze der Modellierung der Ostseefischerei . . . . . . 32 2.7. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3. Mathematische Modelle in der Biologie 37 3.1. Modellierung von Wachstumsprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Erweiterte Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.1. Lotka-Volterra-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2. Altersgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.3. Saisonabhängige Fischfang-Modelle . . . . . . . . . . . . . . 48

    5

  • Inhaltsverzeichnis

    4. Grundlagen der Optimalsteuerung 49 4.1. Das Maximumprinzip von Pontrjagin . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.1.1. Stückweise stetige Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2. Stückweise konstante Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.2. Existenz der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3. Hinreichende Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4.3.1. Hinreichende Bedingungen nach Mangasarian . . . . . . . . 53 4.3.2. Hinreichende Bedingungen nach Krotov . . . . . . . . . . . . 53 4.3.3. Hinreichende Bedingungen nach K.Arrow . . . . . . . . . . . 54

    4.4. Untersuchung eines konkreten Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5. Bellman-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4.5.1. Eine notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung für die Aufgaben mit stückweise stetigen Steuerungen . . . . . . 67

    4.5.2. Optimalitätsbedingungen für die Aufgaben mit stückweise konstanten Steuerungen (closed-loop) . . . . . . . . . . . . . 71

    4.5.3. Optimalitätsbedingungen für die Aufgaben mit stückweise konstanten Steuerungen (open-loop) . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.6. Berechnung optimaler Fangraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.6.1. Vorbetrachtung für den eindimensionalen Fall . . . . . . . . . 76 4.6.2. Vorbetrachtung für einen mehrdimensionalen Fall . . . . . . . 81

    5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung 83 5.1. Numerische Lösung des Steuerungsproblems . . . . . . . . . . . . . 83 5.2. Direkte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5.2.1. Direkte Kollokation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.2. Direktes Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.3. Indirekte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3.1. Einfach-Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3.2. Mehrfach-Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5.4. Lineare Beispiele nachhaltiger Fischerei . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4.1. Berechnung optimaler Fangraten . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4.2. Berechnung optimaler Fangzeiten . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.3. Berechnung optimaler Fangraten mit zeitabhängigen

    Wachstumsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung . . . . . 102

    5.5.1. Modelle mit stückweise stetigen Steuerungen . . . . . . . . . 102 5.5.2. Modelle mit stückweise konstanten Steuerungen . . . . . . . 107

    6. Zusammenfassung und Ausblick 115

    Literaturverzeichnis 119

    6

  • Inhaltsverzeichnis

    A. DIRCOL 125 A.1. Programm 1. Hauptprogramm user.f (wesentliche Teile) . . . . . . . . 125 A.2. Programm 2. Programm DATDIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 A.3. Programm 3. Programm DATLIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    B. OC-ODE 137 B.1. Programm 1. Berechnung mit stückweise konstanten Steuerungen . . 137

    C. MATLAB-Programme 145 C.1. Programm 1. Berechnung stationärer Zustände. . . . . . . . . . . . . 145 C.2. Programm 2. Berechnung der Adjungierten. . . . . . . . . . . . . . . 146 C.3. Programm 3. Berechnung bei quadratischen Modellen (optimaler Fang). 148 C.4. Programm 4. Das Integral-Maximumprinzip. . . . . . . . . . . . . . 149 C.5. Programm 5. Logarithmisches Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 C.6. Programm 6. Newton-Methode für ein nichtlineares Gleichungssystem. 150

    7

  • Inhaltsverzeichnis

    8

  • Abbildungsverzeichnis

    1.1. Entwicklung der Dorsch- und Heringpopulation in der Ostsee, vgl. Abb. 2.6. Quelle: [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1. Managementgebiete (Hering). Quelle: [51] . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Stellnetz. (Quelle: [52]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Treibnetz (Heringsfleet). 1. Wasseroberfläche 2. Fleetreep 3. Brails

    4. Jonas (entspr. ca. 15 Netzen) 5. Brailtau 6. Zeisinge 7. Korken 8. Unterwant 9. Netz. (Quelle: [68]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4. Pelagisches Schleppnetz 1. Kurrleinen 2. Scherbretter 3. Grundleine (Ketten) 4. Jager 5. Gewichte 6. Kopftau mit Auftriebskugeln 7. Vornetz 8. Tunnel 9. Steert Bei der Gespannfischerei mit zwei Schiffen entfallen die Scherbretter (Quelle: [68]) . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.5. Langleine (links), Reuse (rechts) (Quelle: [52]) . . . . . . . . . . . . 26 2.6. Unterteilung des Ostseeraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.1. Klassisches Lotka-Volterra-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Logistisches Lotka-Volterra-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3. Startverteilung n(x, 0) = n0(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4. Altersklassen-Modell mit rd = 0.5, rb = 0.8, x1 = 2, x2 = 4. . . . 46

    4.1. 3-Populationen-System: Dorsch. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.2. 3-Populationen-System: Hering. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.3. 3-Populationen-System: Sprotte. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.4. Optimale Entwicklung der Population (links), optimale Steuerung (rechts), Fall x1(0) < x

    sing 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.5. Optimale Entwicklung der Population (links), optimale Steuerung (rechts), Fall x1(0) > x

    sing 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.1. Numerische Lösung des Steuerungsproblems . . . . . . . . . . . . . 83

    9

  • Abbildungsverzeichnis

    5.2. Stückweise lineare Approximation der Steuerung (oben) und stückweise kubische Approximation der Trajektorie (unten) . . . . . 86

    5.3. DIRCOL: Ein Gewinn von der Fischerei eines 3-Populationen- Systems in Mio. Euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.4. DIRCOL: 3-Populationen-System: Dorsch. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) . . . . . . . 93

    5.5. DIRCOL: 3-Populationen-System: Hering. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) . . . . . . . 94

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