antwoorden hoofdstuk 4

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport

4 Krachten in de sport4.1 Inleiding

2 Krachten

a Spierkracht, veerkracht, zwaartekracht, wrijvingskracht, elektrische kracht, magnetische kracht, windkracht, opwaartse kracht.Elke kracht heeft een grootte, een richting en een aangrijpingspunt. Van sommige krachten kun je daar meer over zeggen: de zwaartekracht is naar het middelpunt van de aarde gericht en de wrijvingskracht tegengesteld aan de (eventuele) bewegingsrichting.

b Krachten meet je met een veerbalans, veerunster of dynamometer (krachtmeter). Eenheid: N (newton).

c De nettokracht is de resulterende kracht van alle op een voorwerp werkende krachten samen.

d Het moment van een kracht geeft aan ‘hoe goed de kracht in staat is het voorwerp te laten draaien’. Je kunt het moment als volgt berekenen: M = F · r (kracht maal arm). Het moment speelt vooral een rol bij gereedschappen en hefconstructies.

3 Beweging

a Als er een nettokracht op een voorwerp werkt, versnelt of vertraagt het voorwerp. De voorwaartse krachten zijn dan niet gelijk aan de achterwaartse krachten (geen evenwicht).

b De nettokracht is nul. De voorwaartse en achterwaartse krachten heffen elkaar op (zijn in evenwicht).

c Bij een krachtenevenwicht staat een voorwerp stil of beweegt eenparig in een rechte lijn. Bij een momentenevenwicht draait het voorwerp niet of draait het eenparig (met een constante hoeksnelheid) om een ‘vast’ draaipunt of om het zwaartepunt.N.B. Terwijl er een krachtenevenwicht is, kan het voorwerp dus wel een eenparige of versnelde draaibeweging maken (afhankelijk van of er een momentenevenwicht is). Als er momentenevenwicht is kan het voorwerp (terwijl het niet draait of eenparig draait) versneld van plaats veranderen, een cirkelbaan beschrijven, eenparig in een rechte lijn voortbewegen of stilstaan (afhankelijk van of er een krachtenevenwicht is).

4.2 Krachten Oriënteren

5 Vectorgrootheid: Grootheid die een grootte en een richting bezit (aangrijpingspunt hoeft niet).Krachtenpaar: Als een voorwerp een (actie)kracht op een ander voorwerp uitoefent, oefent het

andere voorwerp een even grote (reactie)kracht uit op het eerste voorwerp, maar tegengesteld van richting. Het krachtenpaar bestaat dus uit een actie- en een reactiekracht die even groot zijn, tegengesteld gericht en met verschillende aangrijpingspunten.

Krachten samenstellen: Krachten optellen volgens de regels die voor vectoren gelden.Kracht ontbinden: Van één kracht twee componenten (vectoren in een verschillende richting) maken

die samen dezelfde werking hebben.Zwaartekracht: De aantrekkingskracht van de aarde op een voorwerp.Veerkracht: De kracht die een elastisch (terugverend) voorwerp uitoefent als het van vorm

veranderd wordt.Wrijvingskracht: De kracht tussen een voorwerp en zijn omgeving, die het bewegen van het

voorwerp tegenwerkt.Normaalkracht: De kracht waarmee een ondersteunend vlak een voorwerp ‘tegenhoudt’. Deze

kracht staat altijd loodrecht op het vlak (vandaar: ‘normaalkracht’). Bij een horizontaal vlak is de normaalkracht op het voorwerp even groot als de zwaartekracht op het voorwerp, zodat het voorwerp stil blijft staan. De bijbehorende reactiekracht van het voorwerp op het vlak heet het gewicht.

59


6 a Optellen van twee krachten in dezelfde richting:

Optellen van twee krachten in tegengestelde richting:

Optellen van twee krachten in willekeurige richting m.b.v. parallellogram-methode (of: kop aan staart leggen):

b Voorbeeld van ontbinden van een kracht F in twee onderling loodrechte componenten bijvoorbeeld Fx (x-richting) en Fy (y-richting) d.m.v. de ‘omgekeerdeparallellogram-methode’:

Als je de vectoren nauwkeurig volgens een krachtenschaal hebt getekend, kun je de grootte in de tekening opmeten.

7 a Zie nevenstaande figuur.

b Zie nevenstaande figuur.

Verwerken

9 A Fz = m · g De massa en de zwaarteversnelling, beide recht evenredig met de zwaartekracht.

B Fv = C · u De stugheid en de uitrekking van het materiaal, beide recht evenredig met de veerkracht.

C Schuifwrijving: Fw,r = cs · Fn Hangt af van de ruwheid van het oppervlak en van de normaalkracht (en dus van de massa).

D Rolwrijving: Fw,r = cr · Fn Hangt af van de mate van vervorming van de oppervlakken en van de normaalkracht (en dus van de massa).

E Luchtweerstand: Fw,l = ½ · cw · A · ρ · v2 Hangt af van de stroomlijn, het frontaal oppervlak, de luchtdichtheid en de snelheid. Hoe groter elk van de factoren, hoe groter de wrijving (cw is groter bij een slechtere stroomlijn).

10 a Fz en Fn heffen elkaar op.

b In de figuur wordt naar rechts geduwd (Fd is naar rechts gericht). Als de snelheid constant is, geldt: Fw is even groot als Fd en tegengesteld gericht.

c De tilkrachten kun je het beste als één kracht Ft weergeven (de som van de twee tilkrachten). Als de kist stil hangt in de lucht geldt: Ft is even groot als Fz maar tegengesteld van richting. Elk van de twee tilkrachten is uiteraard de helft van Ft.

60


11 a De trampoline moet bij de zwaardere springer een grotere kracht uitoefenen om de zwaartekracht tegen te werken. Dat gebeurt dus bij een grotere vervorming van de trampoline.

b Zie nevenstaande figuur. Ft is de veerkracht van de trampoline.

12 a Het is het makkelijkste om alle krachten vanuit één punt te tekenen.De motorfiets heeft in verticale richting geen snelheid. De krachten in verticale richting zijn dus in evenwicht. De normaalkracht Fn

(loodrecht op het vlakke wegdek) is dus even groot als de zwaartekracht Fz.In horizontale richting is de snelheid constant en is er dus ook evenwicht. De kracht van de motor Fm is dus even groot als de wrijvingskracht Fw (die nog te splitsen is in rolwrijving en luchtweerstand).

b De luchtweerstand is groter, dus is de kracht van de motor ook evenveel groter.

13 Zie nevenstaande figuur. De gravitatiekracht die de aarde op de satelliet uitoefent (FG,2) is naar het middelpunt van de aarde gericht. De satelliet oefent een even grote gravitatiekracht (FG,1) uit op de aarde (actie/reactiekracht).

14 a Zie nevenstaande figuur.

b De voorwaartse kracht wordt alleen uitgeoefend tijdens de trap.De normaalkracht werkt alleen als de bal nog op de grond is.De wrijvingskracht is tegengesteld aan de snelheid en neemt af als de snelheid kleiner wordt (tengevolge van wrijving) en verandert van richting.De zwaartekracht verandert niet omdat de massa constant is.

15 Zie nevenstaande figuren. N.b. de figuren zijn niet precies op dezelfde schaal getekend als in het verwerkingsboek!

A Optellen van twee krachtenin willekeurige richtingm.b.v. parallellogram-methode: Fr : 2,3 cm Fr = 2,3 25 = 57,5 N

Afgerond: Fr = 58

B Optellen van twee krachtenin dezelfde richting: Fr : 2,0 cm Fr = 2,0 25 = 50 N

Afgerond: Fr = 50 N

C Optellen van twee krachtenin tegengestelde richting: Fr : 0,5 cm Fr = 0,5 25 = 12,5 N

Afgerond: Fr = 1101 N

16 = 168 N (zie nevenstaande figuur)

61

satelliet aarde

FG,2 FG,1


17 De grootte kun je opmeten en omrekenen volgens de krachtenschaal waarop je getekend hebt (in de figuur van het boek is dat 1 cm ≡ 25 N).

18 Zie nevenstaande figuur.

= 433 N = 4,3·102 N

= 250 N = 2,5·102 N

19 Linkerfiguur Rechterfiguur

In de linkerfiguur hoef je alleen de zwaartekracht te ontbinden. De andere krachten (spierkracht Fs, wrijvingskracht Fw en normaalkracht Fn) hebben alleen een component in de getekende x- of y-richting. In de rechterfiguur moet je zowel de normaalkracht, de spierkracht als de wrijvingskracht ontbinden in x- en y-componenten. Je kunt dus het beste de situatie van de linkerfiguur kiezen, want dan hoef je minder krachten te ontbinden.

25 A Op de slee werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn, de spankracht Fs en de wrijvingskracht Fw (zie de figuur hiernaast).

Door een horizontale x-as en verticale y-aste kiezen, hoef je alleen de spankracht te ontbinden.

B Op de wielrenner werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn en de wrijvingskracht Fw (zie de figuur hiernaast). We nemen aan dat de wielrenner bij de afdaling niet nog eens extra trapkracht uitoefent.

In dit geval kun je het beste een x-richting kiezenevenwijdig aan de berghelling en een y-richtingdaar loodrecht op. Je hoeft dan alleen de zwaartekracht Fz te ontbinden in componenten.

62

x

y

Fy

Fx

F

A

y

Fy

Fx

F

B

xy

Fy

Fx

F

C


C Bij het kogelstoten moet je de spierkracht Fs en de zwaartekracht Fz samenstellen tot een resultante Fr

die onder een hoek van 45 moet werken.Bedenk dat Fr de diagonaal moet vormen vaneen parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.De zwaartekracht Fz is verticaal gericht.

Het is het gemakkelijkst om de resultante Fr in een horizontale component Fs,x en een verticale component Fs,y te ontbinden. Voor de verticale component van de spierkracht geldt dan: Fs,y = Fr,y + Fz en voor de horizontale component Fs,x = Fr,x (zie de figuur hiernaast).

Controleren

26 Parasailing

a Zie nevenstaande figuur. De parasailer gaat horizontaal vooruit, dus de luchtwrijvingskracht op het lichaam werkt horizontaal naar achteren. De luchtwrijvingskracht op het lichaam is overigens klein ten opzichte van de overige krachten.

b De parachute oefent een kracht uit op de parasailer: schuin naar boven/achter. Deze kracht wordt uitgeoefend door de gezamenlijke parachutetouwen. De (gemiddelde) richting van de kracht is te vinden door ongeveer het midden te nemen van de parachutetouwen.

27 Skiën

a Zie nevenstaande figuur.

b De luchtwrijvingskracht is te verkleinen door een lage lichaamshouding aan te nemen. De schuifwrijving is te verminderen door een nieuwe, gladde waxlaag aan te brengen onder de ski’s.

c Door de schuifwrijving te vergroten door de ski’s overdwars te zetten of door een minder sterk dalende baan te volgen, meer dwars over de piste.

28 Fietshouding

a De luchtweerstand wordt gegeven door: . Bij de voorovergebogen houding worden

de cw-waarde en het frontaal oppervlak (het oppervlak van voren gezien) kleiner.

b A = 0,51 m2; 15 km/h = = 4,17 m/s; = 5,8 N

c = 2,8 N

= 2,1 keer zo klein

29 Kogelstoten

a Een voorwerp versnelt in de richting van de resulterende kracht (tweede wet van Newton: Fres = m · a). Het voorwerp wordt onder een hoek van 45º weggestoten, dus de resulterende kracht staat ook onder een hoek van 45º met de grond.De spierkracht Fs moet hoger gericht zijn dan de resultante Fr omdat deze laatste de som is van

63


spierkracht Fs en zwaartekracht Fz. Dat betekent dat Fr de diagonaal moet vormen van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.

b Teken de bekende krachten Fr en Fz nauwkeurig op schaal. Verplaats de vector van de zwaartekracht (zonder de richting te veranderen), zodat deze met zijn kop aan de kop van de resulterende kracht komt te liggen. De spierkracht is dan de vector die van de bal naar de staart van de zwaartekracht gaat.(Bedenk dat Fr de diagonaal moet vormen van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.)Je vindt dan: - de spierkracht Fs = 134 N en deze staat onder

- een hoek van 60° met de horizontale richting.

30 Tuibrug

a Kabels (en ook touwen, koorden etc.) kunnen alleen een kracht uitoefenen in de richting van de kabel. De spankracht van de kabel heeft dus een hoek van 45º met het wegdek.

b Zie nevenstaande figuur.

= 1,4·108 N

c = 0,47 m2

De kabel zal dikker moeten zijn, want bij het berekende dwarsdoorsnedeoppervlak wordt de kabel maximaal belast en staat de kabel dus al op knappen.

De dikte (doorsnede) van de kabel is minimaal: = 0,77 m

4.3 Krachten in evenwicht Verwerken

33 Als de som van alle krachten die op het voorwerp werken nul is ( oftwel: Fr = 0). Dat wil zeggen dat de (componenten van) de krachten die naar boven werken samen even groot zijn als de (componenten van) de krachten die naar beneden werken samen: . Hetzelfde geldt voor naar links en

rechts: .Het voorwerp voert dan een eenparige rechtlijnige beweging uit of is in een bijzonder geval in rust. (N.B. Tegelijkertijd kan het voorwerp een roterende beweging maken om een as of om zijn zwaartepunt.)

34 Bijvoorbeeld bij een voorwerp dat op een tafel staat of aan een touw hangt. Andere voorbeelden zijn: een lamp die aan een kabel hangt dat over een straat gehangen is of een auto die met constante snelheid rijdt. Zie figuren hieronder.

35 Zie nevenstaande figuur. In alle gevallen is sprake van een krachtenevenwicht, want de kast staat stil of beweegt eenparig. In het tweede geval is de duwkracht gelijk aan de schuifwrijvingskracht (die kleiner is dan de maximale statische schuifwrijvingskracht). In het derde geval is

64

Ft = 2· Fs,vert

Fs,vert

Fs Fs

evenwijdig met de kabels

Fs,hor

45º 45º


de duwkracht gelijk aan de dynamische schuifwrijvingskracht (die in het algemeen iets kleiner is dan de maximale statische schuifwrijvingskracht).

65


36 A De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.

B De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.

C De voorwaartse kracht op het voorwerp is sterker dan de achterwaartse kracht. De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een versnelde beweging. In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.

D De achterwaartse kracht op het voorwerp is sterker dan de voorwaartse kracht. De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een vertraagde beweging. In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.

37 a Zie nevenstaande figuur. Als je de momenten van de krachten mag verwaarlozen, kun je voor de overzichtelijkheid van de tekening alle krachten op één punt laten aangrijpen, bijvoorbeeld op het zwaartepunt.

b 10 N, zie nevenstaande figuur.

38 a Zie figuur a hieronder.

In dit geval is = 0,08 N.

b Zie bovenstaande figuur b1.Het beste is om hier te kiezen voor een verticale en horizontale asrichting. Ontbind de spankracht Fs in een verticale component Fs,y en een horizontale component Fs,x (zie figuur b2). De verticale component van de spankracht blijft 0,08 N omdat in de verticale richting blijft gelden

dat . Er is nog steeds sprake van evenwicht.

Berekeningen:De rechthoekige driehoek tussen Fs en Fs,y is gelijkvormig met de driehoek die wordt gevormd door het touw en de denkbeeldige lijn vanaf de ballon loodrecht naar de grond.

Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de afstand van de ballon tot de grond = 40 cm is.

De zijden van de driehoek verhouden zich dus als 3 : 4 : 5.

De kracht van de wind: Fw = Fs,x Fw = Fs,x = 0,06 N.

De (totale) spankracht: = 0,10 N

c In verticale richting verandert het evenwicht niet: Fs,y blijft hetzelfde. Fs,x houdt de windkracht in evenwicht en moet dus groter worden. Als Fs,x groter wordt en Fs,y hetzelfde blijft, staat de resultante van die twee, Fs, dus schuiner. Zie bovenstaande figuur c. De hoek wordt dus kleiner.

66


39 Als de som van alle momenten die op het voorwerp werken nul is ( ). Dat wil zeggen dat de krachtmomenten die het voorwerp linksom zouden kunnen doen draaien bij elkaar opgeteld even groot zijn

als de krachtmomenten die het voorwerp rechtsom zouden kunnen doen draaien:

.In veel voorbeelden zal het voorwerp stilstaan en niet draaien, maar het kan ook eenparig roteren (met constante rotatiesnelheid). Het voorwerp (als geheel) kan tegelijkertijd elk soort beweging maken (want er hoeft geen krachtenevenwicht te zijn): het kan in rust zijn, eenparig voortbewegen (al dan niet in een rechte lijn) en het kan versneld bewegen.N.B. Ingeval van een statisch voorwerp (dat in rust is), is er dus zowel een momentenevenwicht als een krachtenevenwicht. De krachten met een moment kun je berekenen met het momentenevenwicht, de kracht die in het draaipunt wordt uitgeoefend, bereken je vervolgens met het krachtenevenwicht.

40 Bijvoorbeeld een wipwap met twee personen (die in balans) is of bij een kruiwagen die opgetild is.Een ander voorbeeld: de momenten op een tandwiel bij het fietsen, waarbij de snelheid constant is.Verder zie voorbeelden uit het boek.

41 Met de kruissleutel kun je met dezelfde kracht een groter moment uitoefenen.

42 a Fz = m · g = 30 · 9,81 = 294 = 2,9·102 N.

b De as van de kruiwagen is het draaipunt. Evenwicht, dus: Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend Fs·rs = Fz·rz

Meet de armen op in de figuur: de lengte van de loodlijntjes van de as naar de werklijnen van de krachten.

= 1,7·102 N

c Het draaipunt (de as van de kruiwagen) levert het resterende deel van de benodigde kracht om het gewicht van de kruiwagen te dragen.

43 Bij het kantelen kan de kist gaan draaien om het punt rechtsonder (zie nevenstaande figuur). Als de kracht net niet groot genoeg is om de kist te laten kantelen, is er momentenevenwicht:Mrechtsdraaiend = Mlinksdraaiend F·r = Fz·rz

(Fz heeft een linksdraaiend moment t.o.v. het draaipunt)

F = = 247 N Afgerond: F = 2,5·102 N

De kist gaat kantelen als de kracht F net iets groter is dan in de situatie van momentenevenwicht.

44 De as van de aanhangwagen vormt het draaipunt. Het zwaartepunt moet links van de as liggen.Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend Fz·rz = Fv·rv

= 0,17 m links van de as

67

werklijn

Fz

z

F

r =

120

cm

rz = 36 cm

draaipunt


45 a De horizontale component van de spankracht in de scheerlijn is gelijk aan F1 (de spankracht van het tentdoek). De spankracht in de scheerlijn is dus groter, want die heeft ook nog een verticale component. (De tentstok houdt deze verticale component in evenwicht.)

b F2,hor = F1 = 200 N. Uit nevenstaande figuur volgt dat de hoek tussen F2,hor en F2 gelijk is aan de hoek tussen de scheerlijn en de grond (z-hoeken).

= 53,1º

= 333 N

Andere manier (gelijkvormige driehoeken): ∆ABC ~ ∆CDE, dus:

F2 =

333 N

c Vergelijk figuur c met figuur b. Hoe schuiner de scheerlijn staat (hoe meer in de richting van de horizontale component), hoe kleiner de verticale component van kracht F2 is (bij gelijkblijvende horizontale component). F2 wordt dus kleiner, want F2 =

.

Controleren

51 Gewichtheffen

a De spierkracht moet even groot zijn als de zwaartekracht:

= 981 N.

Per arm is de spierkracht de helft: 491 N.In de tweede situatie geldt:

= 491 N (zie nevenstaande figuur)

= 5,1·102 N

b In het tweede geval is de kracht groter (de gewichtheffer is namelijk tegelijkertijd de stang aan het ‘uitrekken’). De stang is op deze manier echter dichter langs het lichaam te tillen, waardoor de kracht op de rug van de gewichtheffer kleiner is (blessures!) en de halter beter stabiel is te houden.

52 Plankzeilen

a In de linker situatie geldt: F2 = F1 = 250 N omdat beide krachten tegengesteld gericht zijn.

In de rechtersituatie moet de kacht F2 ontbonden worden in een x-component tegengesteld aan de windkracht F1 eneen y-component.De x-component F2,x moet even groot zijn als F1 .

Uit de figuur hiernaast is af te leiden dat: .

Meting van de hoek levert op: = 15.

Afgerond: F2 = 2,6·102 N

b De tweede houding geeft meer stabiliteit. Veranderingen in de windkracht kunnen gemakkelijker opgevangen worden omdat je je gewicht vanuit die lichaamshouding gemakkelijker kunt verplaatsen en

68


daardoor de kracht F2 beter kunt variëren zowel van grootte als van richting.

69


53 Vliegtuig

a Ja. Als een voorwerp met constante snelheid in een rechte lijn beweegt, is er sprake van een krachtenevenwicht. De resulterende kracht is dan nul.

b Neem de bewegingsrichting van het vliegtuig en de richting daar loodrecht op. Je hoeft dan alleen de zwaartekracht te ontbinden (zie nevenstaande figuren a en b).Evenwicht in de x-richting:

= 5,9·104 N

Evenwicht in de y-richting: = 1,9·105 N

54 Armspieren

a Zie nevenstaande figuur.

b Mbi = Mz

Fbi · rbi = Fz · rz

= 294 N Afgerond: Fbi = 3·102 N

N.B. Fel, de kracht die de bovenarm in het ellebooggewrichtuitoefent op de onderarm heeft geen moment ten opzichte van het draaipunt, want hiervan is de arm r = 0 cm. Deze kracht is uit te rekenen m.b.v. het krachtenevenwicht.

c Onderbeen (knie), bovenarm (schouder), hand (pols).

55 Slagboom

a Zie nevenstaande figuur (links).

b Gevraagd: x, de afstand van links tot het draaipunt (de ‘ligging’ van het draaipunt). Het zwaartepunt van het contragewicht ligt op 20 cm van het linker uiteinde van de slagboom.Momentenevenwicht: Mcontra = Mslagboom Fcontra · rcontra = Fslagboom · rslagboom

= 0,50 m

c Door de slagboom over 45 te kantelen worden de krachtarmen korter.Omdat het zwaartepunt van het contragewicht zich lager bevindtdan dat van de slagboom, neemt de krachtarm rc,nieuw echter meer af dan rs,nieuw van de slagboom. Uit de figuur hiernaast blijkt: rs,nieuw = rs · cos 45. Dit geldt echter niet voor het contragewicht: rc,nieuw < rc · cos 45. Dat betekent dat in deze situatie Mcontra < Mslagboom Conclusie: er is geen evenwicht.

56 MobileDe ophangpunten van de staafjes dienen als draaipunt. Het lange deel van de staafjes is twee keer zo groot als het korte deel, dus op het korte deel moet een twee keer zo grote kracht worden uitgeoefend.Links van B werkt een kracht van 1,5 N, dus in B moet Fz,B half zo groot zijn: Fz,B = 0,75 N.Rechts van C werkt in totaal een kracht van 1,5 + 0,75 = 2,25 N, dus Fz,C moet twee keer zo groot zijn: Fz,C = 4,50 N.Links van A werkt in totaal een kracht van 4,50 + 2,25 = 6,75 N,

70


dus Fz,A moet half zo groot zijn: Fz,A = 3,38 N.

57 Fietsoverbrenging

a Kort: = 4,7 N (de straal van het voortandwiel is een overbodig

gegeven)Uitgebreid: Voor de kracht op het voortandwiel Fv (= de kracht op de ketting = de kracht op het

achtertandwiel) geldt: = 27 N

(Vervolg op de volgende bladzijde.)Het aantal tanden op een tandwiel is recht evenredig met de omtrek en dus met de straal (omtrek = 2r).

Voor de straal van het achtertandwiel geldt dus: = 6,15 cm

Voor de kracht op het achterwiel geldt: = 4,7 N

b Dan wordt rv keer zo groot, dus wordt de kracht: = 5,8 N

4.4 Afsluiting Controleren

61 KabelbaanIn beide plaatjes kun je de krachten het beste ontbinden in de bewegingsrichting (de richting van de trekkabel) en de richting loodrecht daarop, want dan hoef je alleen Fz te ontbinden. Bij een eenparige, rechtlijnige beweging is de resultante nul. Zowel in de x- als in de y-richting is de som van de krachten nul.De trekkracht van de hijskabel is te berekenen met het evenwicht in de x-richting:

= 2,9·103 N

De spankracht in de vaste kabel is te berekenen met het evenwicht in de y-richting. De spankrachten van de kabel in de y-richting leveren namelijk de normaalkracht. Als je de spankracht in de y-richting hebt berekend, kun je de werkelijke spankracht in de kabel berekenen:

= 5,1·103 N

De normaalkracht is in feite de spankracht in de kabel in de y-richting (Fs,y), dus geldt:

De normaalkracht wordt door Fs1,y en door Fs1,y samen geleverd, daarom moet de

normaalkracht door 2 gedeeld worden.

Fs,1 en Fs,2 zijn even groot en worden hier beide even Fs genoemd.

= 3,7·104 N

62 Ongelijkarmige balansOm te bepalen of de schaalverdeling lineair is, kun je berekenen of de verschuiving van het contragewicht twee keer zo groot wordt als je een gewicht en vervolgens een twee keer zo zwaar gewicht op het schaaltje zet. Het is dan wel handig om eerst de massa van het contragewicht bepalen, zodat je die bij de berekeningen kunt gebruiken:

Fz,c rz,c = Fz,g r z,g = 0,45 kg

Als je twee verschillende gewichten op het schaaltje zet, kun je bepalen of de schaalverdeling lineair is:

100 g erbij: = 10,67 cm

De verschuiving: ∆r = 10,67 – 4,0 = 6,67 cm

71


200 g erbij: = 17,33 cm

De verschuiving: ∆r = 17,33 – 4,0 = 13,33 cmAls de massa twee keer zo groot wordt, wordt de verschuiving ook twee keer zo groot. De schaalverdeling is dus lineair.

De schaalwaarde is = 15 g/cm.

63 JetskiTijdens het varen op topsnelheid is de resultante van de voorwaartse kracht en de achterwaartse kracht

gelijk aan nul (er is krachtenevenwicht): .

Als je de gegeven formules invult krijg je de volgende vergelijking:

Deze vergelijking kun je oplossen, door de vergelijkingen voor Fv en Fa in te voeren in je grafische rekenmachine (zie nevenstaande schermafbeeldingen) en het snijpunt te berekenen (want daar is Fv gelijk aan Fa).Doe dit als volgt: Druk op Y=. Y1 is de formule voor de

voorwaartse kracht Fv (X = v). Y2 is de formule voor de achterwaartse kracht Fa. Druk op GRAPH. Het snijpunt van Y1 en Y2 moet zichtbaar zijn in het scherm wil je dat kunnen

berekenen. Dit kun je instellen onder WINDOW (zie het hierboven afgebeelde schermpje). Je kunt ook de ZOOM-functie gebruiken om het snijpunt in beeld te krijgen.

Bereken het snijpunt van Y1 en Y2: toets in 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER. Lees af: de snelheid v = 20 m/s (= 72 km/h) (X). Hierbij zijn Fv en Fa beide gelijk aan 400 N (Y).

Een andere manier is om de vergelijking te herleiden tot nul:

Deze vergelijking kun je oplossen met de vergelijkingsoplosser van je grafische rekenmachine, door te ontbinden of door de abc-formule te gebruiken.

Ontbinden: Oplossing: v = 20 m/s (= 72 km/h)

N.B. De oplossing v = – 40 m/s is natuurkundig gezien geen zinnig antwoord (de formule voor de voorwaartse kracht is voor negatieve, achterwaartse snelheden waarschijnlijk niet eens geldig).

64 Afdaling

OriëntatieGevraagd: vmax van wielrenner zonder te trappenGegeven: helling 15% (15 m dalen op 100 m afgelegde weg)

m = 81 kgFw = Fw,r + Fw,l = cr Fn + 1/2 cw A

v2

Fw = 0,003 Fn + 1/2 0,88 1,2 0,36 v2

PlanningJe wilt de snelheid v weten, dus je gaat uit van de volgende formule:Fw,l = ½ c w A v 2 Nieuwe onbekende: Fw,l

Fw,l + Fw,r = Fz,x (bij constante snelheid is erkrachtenevenwicht in de x-richting)

= – cr · Fn = – cr · Fz,y

Fw,l = – cr · Fz · cos Nieuwe onbekende:

= hellingpercentageUitvoering

= 8,63º

72


= – cr · Fz · cos = – 0,003 · (81 · 9,81) · cos 8,63º

= 117 N

Fw,l = ½ c w A v 2 = 25 m/s (= 89 km/h)

ControleConclusie: De wielrenner behaalt op deze manier een snelheid van 25 m/s (= 89 km/h).

73


65 Catamaran

OriëntatieGevraagd Kan de catamaran met de nieuwe mast slagzij maken tot 50. Gegeven: nieuwe mast m = 600 kg met lengte ℓ = 20 m;

elke romp heeft een massa mromp = 1000 kg; afstand Zl tot Zr is 6,0 m (zie figuur).

Stel dat de catamaran over een hoek van 50 kantelt rond het zwaartepunt Zr. Je krijgt dan de situatie zoals in de figuur hiernaast is weergegeven.

Het zwaartepunt Zm van de mast bevindt zich halverwege op een afstand van 10 m van de lijn Zl -Zr.

De catamaran is nogstabiel als in deze situatiegeldt dat Ml > Mm .of Fz,l · rl > Fz,m · rm .

PlanningMl > Mm Fz,l · rl > Fz,m · rm. Nieuwe onbekenden: Fz,l , rl , Fz,m en rm.

Fz,l = m g = 1000 9,81 = 9,81103 N en Fz,m = 600 9,81 = 5,89103 N

rl is te bereken m.b.v.

rm is moeilijker te bereken. Door de figuur nauwkeurig op schaal te tekenen is echter ook een redelijke schatting voor de arm rm te maken: rm = ca. 5,7 m.

UitvoeringFiguur op schaal: rr = ca. 5,7 m.Ml = Fz,l · rl = 9,81103 · 3,86 = 37,8103 Nm Ml = 38103 NmMr = Fz,m · rm = 5,89103 · 5,7 = 33,6103 Nm Mr = 34103 Nm

ControleConclusie: Het moment Ml is inderdaad groter dan Mm bij een kanteling over 50. De nieuwe mast voldoet aan de gestelde eis van stabiliteit tot 50 slagzij.

N.B. rm is ook te bereken:rm = AC - AB (zie de figuur hiernaast).

rm = 7,66 - 1,93 = 5,73 m

Je kunt ook berekenen tot welke hoek precies de boot nog stabiel is. Als de catamaran op het punt staat om te kantelen

(rond Zr), geldt: , dus:

74

a

bc


Uit nevenstaande driehoek volgt:

= 52,4º Afgerond: = 52º

66 Lier

Kort: = 26250 N = 2,7·103 kg

Uitgebreid: (zie onderstaande figuur)

Nieuwe onbekende: Fgroot = Fklein

= 4,0 cm

(De omtrek = 2r, dus als de omtrek 10 keer zo klein wordt, wordt r ook 10 keer zo klein.)

= 2625 N

waarbij Fgroot = Fklein = 2625 N en waarbij = 4,0 cm

= 26250 N

= 2,7·103 kg

75

Fspier

Fklein

Fgroot

Flast

Flast

rlast

rgrootrklein

rspier

antwoorden hoofdstuk 4

Documents