antwoorden analysei

8/20/2019 antwoorden analyseI

1/23

Wiskundige Basistechniek

Oplossingen

Academiejaar 2013-2014


2/23

Hoofdstuk 1

Analyse

Versie 2 van de antwoordenlijst: aanpassingen:

Oef. 1.29, oef. 1.30: Label van figuur is aangepast naar x1/4, resp. x1/5.

Oef. 1.47, b:nulpunt van de tweede afgeleide in de tabel is nu correct.

Oef. 1.51 (a): b = −√ p,Oef. 1.51 (b): HA in −∞: y = +1.

1.1 Afgeleide

1.2 (a) f is gedefinieerd en afleidbaar in R

f (x) = amxm−1 + b(m + n)xm+n−1.

(b) f is gedefinieerd en afleidbaar in R en f (x) = 6ax5√

a2 + b2.

(c) f is gedefinieerd en afleidbaar in R0 en

f (x) = −2a3x5/3

+ 4b

3x7/3

(d) f is gedefinieerd en afleidbaar in R \

5−√ 52 ,

5+√ 5

2

en

f (x) = −2x2 − 6x + 25

(x2 − 5x + 5)2

(e) f is gedefinieerd en afleidbaar in R \ π2 + k π : k ∈ Z ∪ {k π : k ∈ Z} = R \ k π2 : k ∈ Zen

f (x) = 1

cos2(x) sin2(x)

(f) f is gedefinieerd en afleidbaar in R \ π4 + k π : k ∈ Z enf (x) =

−21 − 2sin(x) cos(x)

1


3/23

1.1. Afgeleide 2

(g) f is gedefinieerd en afleidbaar in R en

f (x) = exp(x) (cos(x) − sin(x))

(h) f is gedefinieerd en afleidbaar in R+0 \ {1} ≡]0, +∞[\ {1} en

f (x) = x (2ln(x) − 1)

ln2(x)

(i) f (x) is gedefinieerd en afleidbaar in ] − 2a, a[. De afgeleide functie van f (x) is

f (x) =

1

2

(−2 x)√ 4 a2 − x2 = −

x√ 4 a2 − x2 , −2a < x 0,

1

2

(−2 x)√ a2 − x2 = −

x√ a2 − x2 , 0 x < a.

1.3 α = −π4 of α = 3π4 .1.4 In de punten (−2, −12), (0, 20) en (1, 15) de raaklijn evenwijdig met de x-as.

1.5 De raaklijn aan de grafiek van f in het punt (1, −3) is evenwijdig met de rechte 5x + y − 3 = 0.1.6 De normaal in het punt (0, 1) aan de grafiek van f is de horizontale rechte y = 0 of m.a.w. de x-as.

1.7 De vergelijking van de normaal luidt: y = 13x + π2

1.8 De vergelijking van de raaklijn in (1, 0) is y = 12 (x − 1).1.9 De snijpunten zijn (−2, 4) en (3, 34). De beide grafieken raken elkaar enkel in het punt (3 , 34).

1.10 Op het moment waarop D(t) = 1m is de ogenblikkelijke toename van de diameter 4π 10−3 m/s ≈

1, 27.10−3 m/s.

1.11 Hun onderlinge snelheid op het ogenblik dat ze elkaar ontmoeten is 15.

1.12 De snelheid van B op het ogenblik dat A zich op 3 m van de muur bevindt is −1, 5m/s.1.13 De afmetingen van de ingeschreven cilinder met het grootste volume zijn: hoogte h = 2

√ 3

3 R en

straal r =√ 63

R.

1.14 Het volume van de kegel is dus maximaal bij een openingshoek α = 2π√ 6

3 .

1.15 De lichtsterkte is maximaal als de hoogte van de lamp boven het middelpunt van de tafel

√ 2

2 is.

1.16 De kracht is maximaal als de magneetpool M zich op een afstand gelijk aan R2 van het vlak van C bevindt.

1.17 Het draagvermogen van de balk is maximaal als de balk breedte B = 2√ 3

3 R en hoogte H = 2

√ 6

3 R

heeft.

1.18 De som van de oppervlakten van de twee bolkappen is maximaal als P op afstand

x = h

1 +R2R1

32

van het middelpunt van de eerste bol ligt, waarbij h de afstand is tussen de middelpunten van detwee bollen en R1, R2 de resp. stralen.

EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen


4/23

1.2. Primitieve 3

1.2 Primitieve

Geen oefeningen

1.3 Integraal

1.19 De kinetische energie van een rechte circulaire kegel met straal grondvlak R, hoogte H , massa M ,die roteert om zijn as met hoeksnelheid ω is 320 M R

2 ω2.

1.20 De kracht, uitgeoefend op een rechthoekige plaat met afmetingen: lengte a en hoogte b, verticaal

ondergedompeld in water met zijn bovenrand aan het wateroppervlak, is ρ g ab2

2 .

1.21 De kracht uitgeoefend op een halve schijf met straal R, verticaal ondergedompeld in water met zijndiameter aan het wateroppervlak, is ρ g 23 R

3

1.22 Op ogenblik t = 6 bevindt het punt zich op v0

ω sin(6ω). Op tijdstip T 1 =

π

2ω bevindt het punt zich

voor het eerst op maximale afstand van de oorsprong. Op tijdstip T 2 = 3π

2ω bevindt het zich voor

de tweede keer op maximale afstand van de oorsprong.

1.23 (i) De arbeid die moet worden geleverd om, tegen het zwaarteveld in, een voorwerp met massam van op het aardoppervlak tot op een hoogte h boven het aardoppervlak te brengen is

W = k m M h

R (R + h)

(ii) De (hypothetische) arbeid die zou moeten worden geleverd om dit voorwerp van op het aard-oppervlak naar oneindig te brengen is m g R

1.4 Twee belangrijke integratietechnieken

1.24

π2

0

cos(2n)(t) dt = π

2

nk=1

2k − 1

2k

π2

0

cos(2n+1)(t) dt =

nk=1

2 k

2 k + 1

π2

0

sin(2n)(t) dt = π

2

n

k=12 k − 1

2 k

π2

0

sin(2n+1)(t) dt =

nk=1

2 k

2 k + 1

1.27 (a)

a 0

x2

a2 − x2 dx = π16

a4



5/23

1.4. Twee belangrijke integratietechnieken 4

(b)

1 1

2

1√ 1 − x2 dx =

π

3

(c)

1 √ 2

2

√ 1 − x2

x2 dx = 1 − π

4

(d)

2 1

√ x2 − 1

x dx =

√ 3 − π

3

(e)

ln(5) 0

exp(x)

exp(x) − 1exp(x) + 3

dx = 4 − π

(f)

5 0

1

2x +√

3x + 1dx =

1

5 ln(7) +

4

5 ln(2)

(g)

3

1

1

x √ x2 + 5x + 1dx = ln

√ 21

3

+ 2

√ 3

3− ln

3√

21

7 = −2ln

√ 3

−ln 7 + 2

√ 7

3

(h)

1 −1

1

(1 + x2)2 dx =

π

4 +

1

2

(i)

a 0

ax − x2 dx = π

8 a2

(j)

2π 0

1

5 − 3 cos(x) dx = π

2

1.28 (a)

1 0

x exp(−x) dx = 1 − 2e

(b)

π2

0

x cos(x) dx = π

2 − 1

(c)

π 0

exp(−ax) cos(bx) dx = a2

a2 + b2

1

a (1 − exp(−aπ)cos(bπ)) + b

a2 exp(−aπ)sin(bπ)

(d)

e 1

ln(x) dx = 1

(e)

1 0

x3 exp(2x) dx = exp(2)

8 +

3

8

(f)

∞ 0

x exp(−x) dx = 1

(g)

∞ 0

exp(−a x)sin(b x) dx = ba2 + b2



6/23

1.5. Elementaire functies 5

1.5 Elementaire functies

1.5.1 Machtsfuncties, veeltermfuncties en rationale functies

1.29

−2 −1 1 2

−5

5

x

x5

x1/5

1.30

0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

x

x4

x1/4

1.31 f −1(x) = −x 12m , x ∈ [0, +∞[1.32 (a) p even en q oneven: domein R en beeld R+, even functie

(b) p oneven en q even: domein R+ en beeld R+

(c) p oneven en q oneven: domein R en beeld R, oneven functie

1.33 (a) p even en q oneven: gelijk

(b) p oneven en q even: gelijk

(c) p oneven en q oneven: gelijk

(d) p even en q even: niet noodzakelijk gelijk!

1.34 De functies xpq en x

qp zijn elkaars inverse functie voor het geval (c) (alsook die gevallen binnen (d)

die zich tot (c) herleiden).



7/23

1.6. Verloop van functies 6

1.35 (a) p even en q oneven: domein R0 en beeld R+0 , even functie

(b) p oneven en q even: domein R+0 en beeld R+0

(c) p oneven en q oneven: domein R0 en beeld R0, oneven functie

1.40 Als de graad van de teller van het functievoorschrift één hoger is dan de graad van de noemervan het functievoorschrift zal de grafiek van een rationale functie steeds een schuine asymptoot

vertonen.1.42 (a) ∗ VA: x = 2

∗ HA : y = 0∗ geen SA

(b) ∗ VA: x = 1 en x = 3∗ HA : y = 0∗ geen SA

(c) ∗ VA: x = −2 en x = 2∗ HA : y = 1∗ geen SA

(d) ∗ geen VA∗ geen HA∗ SA: y = x

1.5.2 Exponentiële en logaritmische functies

1.5.3 Circulaire functies

1.5.4 Inverse circulaire functies

Telkens geen oefeningen

1.5.5 Hyperbolische functies

1.43 limx→+∞

(cosh(x) − sinh(x)) = 0

1.6 Verloop van functies

1.46

(a) – geen VA

– geen HA

– SA1 : y = x voor x → +∞– SA2 : y = −x voor x → −∞

(b) – geen VA

– HA1 : y = −1 voor x → −∞– HA2 : y = 1 voor x → +∞



8/23


– geen SA

(c) – VA1 : x = 1 en VA2 : x = −1– geen HA

– SA1 : y = −x voor x → −∞– SA2 : y = x voor x → +∞

(d) – geen VA

– geen HA

– SA: y = x − 1 voor x → ±∞(e) – geen VA

– HA: y = 2 voor x → ±∞– geen SA

(f) – VA: x = 0

– HA1 : y = 1 voor x → −∞– HA2 : y = 0 voor x → +∞– geen SA

(g) – VA: x = 0 voor x > 0

– HA: y = 1 voor x → ±∞– geen SA

(h) – VA1 : x = 1 en VA2 : x = −1– geen HA

– SA1 : y = −x voor x → −∞– SA2 : y = x voor x → +∞

(i) – VA: x = −1 voor x > −1

– geen HA– geen SA

(j) – VA: x = 1

– HA: y = 0 voor x → −∞– SA voor x → +∞: y = 2 x + 2.

1.47 Onderzoek het verloop van de volgende functies:

(a) f (x) = x2 − 10x + 16x2 − 16x + 60

(i) dom(f ) = R \ {6, 10}

VA1 : x = 6 en VA2 : x = 10

HA: y = 1

(ii) Nulpunten: x = 2 of x = 8

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R \ {6, 10}:

f (x) = −2 3x2 − 44x + 172

(x2 − 16x + 60)2

Geen nulpunten van f : geen extrema.



9/23


(iv) Tweede afgeleide:

f (x) = 4

3x3 − 66x2 + 516x − 1432(x2 − 16x + 60)3

Nulpunt f (x): x = 4.2

2

3

3 − 4.2

1

3

3 +

22

3 ≈ 7, 77(v) Waardengebied: im(f ) = R

(vi) Samenvattende tabel:

x 2 6 7, 77 8 10

f (x) − − − | − − − − − | −

f

(x) − − − | + 0 − − − | +

f (x) 1 0 −∞ |+∞ 0, 34 0 −∞ |+∞ 1

bol bol hol bgpt bol bol hol

(b) f (x) = x2 − 2xx2 + 2x + 1

(i) dom(f ) = R \ {−1}VA: x = −1HA: y = 1

(ii) Nulpunten: x = 0, x = 2

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R \ {−1}:

f (x) =

2 (2x

−1)

(x + 1) (x2 + 2x + 1)

Nulpunt van f : x = 12 (mogelijk lokaal extremum).


f (x) = −2 (4x − 5)(x2 + 2x + 1)

2

Nulpunt: x = 54(v) Waardengebied: im(f ) = [− 13 , +∞[; de minimale waarde is f ( 12) = −13 .


x

−1 0 12

54 2

f (x) + | − − − 0 + + + + +

f

(x) + | + + + + + 0 − − −

f (x) 1 +∞ |+∞ 0 −0, 33 −0.19 0 1

hol hol hol min hol bgpt bol bol



10/23


(c) f (x) = x2 − 2x + 2

x − 1(i) dom(f ) = R \ {1}

VA: x = 1

SA: y = x − 1(ii) Geen nulpunten

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R \ {1}

f (x) = (x − 1)(2x − 2) − 1. x2 − 2x + 2

(x − 1)2 = x (x − 2)

(x − 1)2

Nulpunten f : x = 0, x = 2


f (x) = 2

(x − 1)3Geen nulpunten.

(v) Waardengebied: im(f ) =] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[

(vi) Samenvattende tabel:x 0 1 2

f (x) + 0 − | − 0 +

f

(x) − − − | + + +

f (x) −∞ −2 −∞ |+∞ 2 +∞

bol max bol hol min hol

(vii) Grafiek:

x-2 -1 0 1 2 3 4

-10

-5

5

10

(d) (i) dom(f ) = R, geen VA, geen HA

SA1 : y = −x + 12 voor x → −∞SA2 : y = x − 12 voor x → +∞



11/23


(ii) Geen nulpunten

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R, en

f (x) = −1 + 2x2√

4 − x + x2dus f is afleidbaar in dom(f ) = R, en Nulpunt f : x = 12


f (x) = 15

4 (4 − x + x2) 32

(v) Waardengebied: im(f ) =√

152 , +∞

(vi) Samenvattende tabel:x 12

f (x) − 0 +

f

(x) + + +

f (x) +∞ 1, 94 +∞

hol min hol

(vii) Grafiek:

x-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

(e) (i) dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ [0, 1] ∪ ]2, +∞[

VA1 : x = −2 en VA2 : x = 2HA: y = 1

(ii) Nulpunten: x = 0, x = 1

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ [0, 1] ∪ ]2, +∞[ en

f (x) = 1

2

x2 − 8x + 4 x2−xx2−4 (x

2 − 4)2

Nulpunten f : x = 4 ± 2√ 3



12/23



f (x) = −4x5 − 51x4 + 80x3 − 40x2 + 164 (x2 − x) (x2 − 4)3

x2−xx2−4

Nulpunt: x ≈ 11, 02



13/23


( v ) S

a m e n v a

t t e n

d e

t a b

e l :

x

− 2

0

0 ,

5 4

1

2

7 ,

4 6

1 1 ,

0 2

f

( x )

+

|

+

+

0

−

−

|

−

0

+

+

+

f

( x )

+

|

−

−

−

−

−

|

+

+

+

0

−

f ( x )

1

+ ∞

|

0

0 ,

2 6

0

| + ∞

0 ,

9 7

0 ,

9 7

1

h o

l

b

o l

m a x

b o

l

h o

l

m i n

h o

l

b g

t p

b o

l



14/23


(f) (i) dom(f ) = R \ {−1, 1}VA1 : x = −1 en VA2 : x = 1geen HA, geen SA

(ii) Nulpunt: x = 0

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R\ {−

1, 1}

, en

f (x) = x2 − 3

3 (x2 − 1) 43

Nulpunten: x = ±√ 3(iv) Tweede afgeleide:

f (x) = −2x3 + 18x

9 (x2 − 1) 73

Nulpunten: x = 0, x = −3, x = 3(v) Waardenverzameling: im(f ) = R



15/23


16/23


(g) (i) dom(f ) = R \ {2}VA: x = 2

geen HA, geen SA

(ii) Nulpunt: x = 0

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R\ {

2}

, en

f (x) = x − 6

3 (x − 2) 53

Nulpunt: x = 6


f (x) = −2x + 249 (x − 2) 83

Nulpunt: x = 12

(v) Waardenverzameling: R


x 0 2 6 12

f (x) + + + | − 0 + + +

f

(x) + + + | + + + 0 −

f (x) −∞ 0 +∞ |+∞ 2, 38 2, 59 +∞

hol hol hol min hol bgtp bol

(h) (i) dom(f ) = R

geen VA, geen HA, geen SA

(ii) Geen nulpunten

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) \ {2, 4} = R \ {2, 4} en

f (x) = 2

3 (x − 2)− 13 + 2

3 (x − 4)− 13

Nulpunt: x = 3 (lokaal extremum)

Ook lokale extrema optreden in x = 2 en x = 4.


f (x) = −29

(x − 2)− 43 − 29

(x − 4)− 43

Geen nulpunten

(v) Waardenverzameling: im(f ) = [22

3 , +∞[



17/23



x 2 3 4

f (x) − | + 0 − | +

f

(x)

− | − − − | −f (x) +∞ 1, 59 2 1, 59 +∞

bol krpt bol max bol krtp bol

(vii) Grafiek:

−2 2 4 6 8 10−2

2

4

6

8

x

(i) (i) dom(f ) =] − 1, +∞[geen VA, geen HA, geen SA

(ii) Nulpunten: x = 0

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = ]−1, +∞[, enf (x) = ln(x + 1) (2 + ln(x + 1))

Nulpunten: x = 0, x = exp(−2) − 1 ≈ 0, 86 (lokale extrema)(iv) Tweede afgeleide:

f (x) = 2

x + 1 (1 + ln(x + 1))

Nulpunt: x = exp(−1) − 1 ≈ −0, 63(v) Waardenverzameling: im(f ) = R+


x

−1 exp(

−2)

−1 exp(

−1)

−1 0

f (x) | + 0 − − − 0 +

f

(x) | − − − 0 + + +

f (x) |0 0, 541 0, 368 0 +∞

bol max bol bgpt hol min hol



18/23


(j) (i) dom(f ) = R+0

VA: x = 0

HA: y = 0

(ii) Geen nulpunten

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R+0 en

f (x) = 1x√

1 + x2

Geen nulpunten


f (x) = −1 − 2x2

x2 (1 + x2)√

1 + x2

Geen nulpunten

(v) Waardenverzameling: im(f ) = R−0(vi) Samenvattende tabel:

x 0

f (x) | +

f

(x) | −

f (x) |−∞ 0

bol

(k) (i) dom(f ) = R \ −π4 + kπ : k ∈ Zf heeft periode 2π; we beperken ons tot het interval [0, 2π[. In dit interval heeft de functie f

twee verticale asymptoten: VA1

: x = 3π

4 , VA

2: x =

7π

4 .

(ii) Geen nulpunten.

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R \ −π4 + kπ : k ∈ Z, enf (x) =

sin(x) − cos(x)1 + sin(2 x)

Nulpunten: x = π4 , x = 5π4


f (x) = 3 − 2 cos(x)sin(x)(cos(x) + sin(x))

3

Geen nulpunten!

(v) Er zijn in het interval [0, 2π[ twee symmetrie-assen, nl.

x = π

4 en x =

5π

4

en twee puntsymmetrieën, nl. t.o.v. de punten3π

4 , 0

en

7π

4 , 0

(vi) Waardengebied: im(f ) = R \−√ 22

,√ 22

.



19/23


( v i i ) S

a m e n v a

t t e n

d e

t a b

e l :

x

0

π 4

3 π 4

5 π 4

7 π 4

2 π

f

( x )

−

−

0

+

|

+

0

−

|

−

−

f

( x )

+

+

+

+

|

−

−

−

|

+

+

f ( x )

√ 2 2

+ ∞

| − ∞

− √ 2 2

− ∞

| + ∞

h o

l

h o

l

m i n

h o

l

b o

l

m a x

b o

l

h o

l

h o

l



20/23


(viii) Grafiek:

2 4 6

−10

−5

5

10

3π4

7 π4

π4

5 π4 x

(l) (i) dom(f ) = R

geen VA

f heeft periode 2π, dus geen HA of SA. We zullen ons wegens deze periodiciteit beperken tot[0, 2π[.

(ii) Nulpunten: geen

(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = R, en

f (x) = esin(x) cos(x)

Nulpunten: x = π2 , x = 3π2

(iv) Tweede afgeleide:f (x) = esin(x) cos

2(x) − sin(x)Nulpunten: x = arcsin√ 5−1

2

≈ 0, 67, x = π − arcsin√ 5−1

2

≈ 2, 48

(v) Er zijn in het interval [0, 2π[ twee symmetrie-assen, nl. x = π2 en x = 3π2 .

(vi) Waardengebied: im(f ) =

e−1, e1

(vii) Samenvattende tabel:

x 0√ 5−12

π2 π −

√ 5−12

3π2 2π

f (x) + + + + 0 − − − 0 + +

f

(x) + + 0 − − − 0 + + + +

f (x) 1, 86 e1 1, 86 e−1

hol hol bgpt bol max bol bgpt hol min hol

(m) (i) dom(f ) = ... ∪ ]−2π, −π[ ∪ ]0, π[ ∪ ]2π, 3π[ ∪ ...f heeft periode 2π: geen HA of SA. We zullen ons wegens deze periodiciteit beperken tot ]0 , π[.

VA1 : x = 0 en VA2 : x = π



21/23


(ii) Nulpunten: x = π2(iii) f is afleidbaar in dom(f ) = ... ∪ ]−2π, −π[ ∪ ]0, π[ ∪ ]2π, 3π[ ∪ ..., en

f (x) = cot(x)

Nulpunt: x = π2(iv) Tweede afgeleide:

f (x) = −1sin2(x)


22/23


1.49 Gegeven de functie f met f (x) = x2 − α√

x2 − x − 6 , x ∈R.

(a) ∗ α = 4 en α = 9: dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ ]3, +∞[∗ α = 4: definitiegebied van f uitbreiden met x = 2, m.a.w. dom(f ) = ]−∞, −2] ∪ ]3, +∞[,

met f (2) = 0.

∗ α = 9: definitiegebied uitbreiden met x = 3, m.a.w. dom(f ) = ]

−∞,

−2[

∪[3, +

∞[, met

f (3) = 0.(b) Als α ∈R \ {4, 9}: VA1 : x = −2 en VA2 : x = 3.(c) ∗ α = 4: VA: x = 3

∗ α = 9 : VA: x = −2(d) SA1 : y = −x − 12 voor x → −∞ en SA2 : y = x + 12 voor x → +∞.(e) Minima: x = −2, x = 7±

√ 65

4

1.50 In deze opgave zijn λ en µ twee reële parameters, niet noodzakelijk verschillend.

(a) De primitieve F is geldig in R:

(∗) λ = ±µ:

F (x) =

sin((λ + µ) x)

2 (λ + µ) +

sin((λ

−µ) x)

2 (λ − µ)(∗) λ = ±µ = 0:

F (x) = sin(2 λ x)

4 λ +

x

2

(∗) λ = µ = 0:F (x) = x

(b) (∗) λ = ±µ:2π 0

f (x)dx = sin(2(λ + µ) π)

2 (λ + µ) +

sin(2 (λ − µ) π)2 (λ − µ)

(∗) λ

= ±µ = 0: 2π

0

f (x)dx = sin(4 λ π)

4 λ + π

(∗) λ = µ = 0:2 π 0

f (x)dx = 2 π

(c) µ = k2 , k ∈ Z\{−2, 2}

(d)

2π 0

g(x) dx = 0, (de functie is oneven).

(e)

2π0

cos2(x) dx = π.

(1.51) (a)

f (x) = −(x + 2)√

x2 − 4 en

a = 0b = −√ pc = −2 √ pq = −4 p

p > 0 (willekeurig)



23/23


(b) Teken de grafiek van f . Zo u hiertoe bijkomende informatie bepaalt omtrent het functieverloopvan f , dan dient u deze ook in uw antwoord op te nemen.

Oplossing:

(∗) dom(f ) =] − ∞, −2] ∪ ]2, +∞[(

∗) HA in

−∞: y = 1:

(∗)

f (x) =

√ x + 2√ x − 2 , x 2

(∗) afgeleide: f (x) = 2 (x+2)(x2−4)3/2

(∗) Samenvattende tabel:

x −2 2f (x)

− 0

| +

f (x) 1 0 |−∞ 1

(∗) Grafiek:

−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2

2

4

x

antwoorden analysei

Documents