antwoorden analysei

Download antwoorden analyseI

Post on 07-Aug-2018

216 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    1/23

    Wiskundige Basistechniek

    Oplossingen

    Academiejaar 2013-2014

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    2/23

    Hoofdstuk 1

    Analyse

    Versie 2 van de antwoordenlijst: aanpassingen:

    Oef. 1.29, oef. 1.30: Label van figuur is aangepast naar  x1/4, resp.   x1/5.

    Oef. 1.47, b:nulpunt van de tweede afgeleide in de tabel is nu correct.

    Oef. 1.51 (a):   b = −√  p,Oef. 1.51 (b): HA in −∞:   y = +1.

    1.1 Afgeleide

    1.2 (a)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R

    f (x) =  amxm−1 + b(m + n)xm+n−1.

    (b)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R  en  f (x) =  6ax5√ 

    a2 + b2.

    (c)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R0   en

    f (x) = −2a3x5/3

     +  4b

    3x7/3

    (d)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R \

    5−√ 52   ,

     5+√ 5

    2

     en

    f (x) =  −2x2 − 6x + 25

    (x2 − 5x + 5)2

    (e)   f   is gedefinieerd en afleidbaar in  R \ π2  + k π :  k ∈ Z ∪ {k π :  k ∈ Z}  =  R \ k π2   : k ∈ Zen

    f (x) =  1

    cos2(x) sin2(x)

    (f)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R \ π4  + k π :  k ∈ Z  enf (x) =

      −21 − 2sin(x) cos(x)

    1

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    3/23

    1.1. Afgeleide    2

    (g)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R  en

    f (x) = exp(x) (cos(x) − sin(x))

    (h)   f  is gedefinieerd en afleidbaar in  R+0 \ {1} ≡]0, +∞[\ {1} en

    f (x) =  x (2ln(x) − 1)

    ln2(x)

    (i)   f (x) is gedefinieerd en afleidbaar in ] − 2a, a[. De afgeleide functie van  f (x) is

    f (x) =

    1

    2

    (−2 x)√ 4 a2 − x2   = −

      x√ 4 a2 − x2 ,   −2a < x 0,

    1

    2

    (−2 x)√ a2 − x2   = −

      x√ a2 − x2 ,   0 x < a.

    1.3   α = −π4   of  α  =   3π4  .1.4 In de punten (−2, −12), (0, 20) en (1, 15) de raaklijn evenwijdig met de  x-as.

    1.5 De raaklijn aan de grafiek van  f  in het punt (1, −3) is evenwijdig met de rechte 5x + y − 3 = 0.1.6 De normaal in het punt (0, 1) aan de grafiek van  f  is de horizontale rechte  y  = 0 of m.a.w. de  x-as.

    1.7 De vergelijking van de normaal luidt:   y =   13x +  π2

    1.8 De vergelijking van de raaklijn in (1, 0) is  y  =   12 (x − 1).1.9 De snijpunten zijn (−2, 4) en (3, 34). De beide grafieken raken elkaar enkel in het punt (3 , 34).

    1.10 Op het moment waarop   D(t) = 1m is de ogenblikkelijke toename van de diameter   4π 10−3 m/s ≈

    1, 27.10−3 m/s.

    1.11 Hun onderlinge snelheid op het ogenblik dat ze elkaar ontmoeten is 15.

    1.12 De snelheid van  B  op het ogenblik dat  A  zich op 3 m van de muur bevindt is −1, 5m/s.1.13 De afmetingen van de ingeschreven cilinder met het grootste volume zijn: hoogte   h   =   2

    √ 3

    3   R   en

    straal  r  =√ 63

      R.

    1.14 Het volume van de kegel is dus maximaal bij een openingshoek  α  =   2π√ 6

    3   .

    1.15 De lichtsterkte is maximaal als de hoogte van de lamp boven het middelpunt van de tafel

    √ 2

    2  is.

    1.16 De kracht is maximaal als de magneetpool  M  zich op een afstand gelijk aan   R2  van het vlak van C bevindt.

    1.17 Het draagvermogen van de balk is maximaal als de balk breedte  B  =   2√ 3

    3  R  en hoogte  H  =   2

    √ 6

    3  R

    heeft.

    1.18 De som van de oppervlakten van de twee bolkappen is maximaal als P   op afstand

    x =  h

    1 +R2R1

    32

    van het middelpunt van de eerste bol ligt, waarbij  h  de afstand is tussen de middelpunten van detwee bollen en  R1,  R2  de resp. stralen.

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    4/23

    1.2. Primitieve    3

    1.2 Primitieve

    Geen oefeningen

    1.3 Integraal

    1.19 De kinetische energie van een rechte circulaire kegel met straal grondvlak R, hoogte  H , massa  M ,die roteert om zijn as met hoeksnelheid  ω   is   320 M R

    2 ω2.

    1.20 De kracht, uitgeoefend op een rechthoekige plaat met afmetingen: lengte  a  en hoogte   b, verticaal

    ondergedompeld in water met zijn bovenrand aan het wateroppervlak, is  ρ g   ab2

    2   .

    1.21 De kracht uitgeoefend op een halve schijf met straal R, verticaal ondergedompeld in water met zijndiameter aan het wateroppervlak, is  ρ g   23 R

    3

    1.22 Op ogenblik  t  = 6 bevindt het punt zich op  v0

    ω  sin(6ω). Op tijdstip  T 1 =

      π

    2ω bevindt het punt zich

    voor het eerst op maximale afstand van de oorsprong. Op tijdstip T 2  =  3π

    2ω bevindt het zich voor

    de tweede keer op maximale afstand van de oorsprong.

    1.23 (i) De arbeid die moet worden geleverd om, tegen het zwaarteveld in, een voorwerp met massam  van op het aardoppervlak tot op een hoogte  h  boven het aardoppervlak te brengen is

    W   =  k m M h

    R (R + h)

    (ii) De (hypothetische) arbeid die zou moeten worden geleverd om dit voorwerp van op het aard-oppervlak naar oneindig te brengen is  m g R

    1.4 Twee belangrijke integratietechnieken

    1.24

    π2 

    0

    cos(2n)(t) dt =  π

    2

    nk=1

    2k − 1

    2k

    π2 

    0

    cos(2n+1)(t) dt =

    nk=1

      2 k

    2 k + 1

    π2

     0

    sin(2n)(t) dt =  π

    2

    n

    k=12 k − 1

    2 k

    π2 

    0

    sin(2n+1)(t) dt =

    nk=1

      2 k

    2 k + 1

    1.27 (a)

    a 0

    x2 

    a2 − x2 dx =   π16

     a4

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    5/23

    1.4. Twee belangrijke integratietechnieken   4

    (b)

    1 1

    2

    1√ 1 − x2  dx =

      π

    3

    (c)

    1 √ 2

    2

    √ 1 − x2

    x2  dx = 1 −  π

    4

    (d)

    2 1

    √ x2 − 1

    x  dx =

    √ 3 −  π

    3

    (e)

    ln(5) 0

    exp(x) 

    exp(x) − 1exp(x) + 3

      dx = 4 − π

    (f)

    5 0

    1

    2x +√ 

    3x + 1dx =

     1

    5 ln(7) +

     4

    5 ln(2)

    (g)

    3

     1

    1

    x √ x2 + 5x + 1dx = ln

    √ 21

    3

      + 2

    √ 3

    3− ln

    3√ 

    21

    7 = −2ln

    √ 3

    −ln 7 + 2

    √ 7

    3

    (h)

    1 −1

    1

    (1 + x2)2  dx =

      π

    4 +

     1

    2

    (i)

    a 0

     ax − x2 dx =   π

    8 a2

    (j)

    2π 0

    1

    5 − 3 cos(x)  dx  =  π

    2

    1.28 (a)

    1 0

    x  exp(−x) dx = 1 −  2e

    (b)

    π2 

    0

    x  cos(x) dx =  π

    2 − 1

    (c)

    π 0

    exp(−ax) cos(bx) dx =   a2

    a2 + b2

    1

    a (1 − exp(−aπ)cos(bπ)) +   b

    a2 exp(−aπ)sin(bπ)

    (d)

    e 1

    ln(x) dx = 1

    (e)

    1 0

    x3 exp(2x) dx = exp(2)

    8  +

     3

    8

    (f)

    ∞ 0

    x  exp(−x) dx = 1

    (g)

    ∞ 0

    exp(−a x)sin(b x) dx =   ba2 + b2

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    6/23

    1.5. Elementaire functies    5

    1.5 Elementaire functies

    1.5.1 Machtsfuncties, veeltermfuncties en rationale functies

    1.29

    −2   −1 1 2

    −5

    5

    x

    x5

    x1/5

    1.30

    0.5 1 1.5 2

    2

    4

    6

    8

    x

    x4

    x1/4

    1.31   f −1(x) = −x   12m ,  x ∈ [0, +∞[1.32 (a)   p  even en  q   oneven: domein  R  en beeld  R+, even functie

    (b)   p  oneven en  q  even: domein  R+ en beeld  R+

    (c)   p  oneven en  q   oneven: domein  R  en beeld  R, oneven functie

    1.33 (a)   p  even en  q  oneven: gelijk

    (b)   p  oneven en  q  even: gelijk

    (c)   p  oneven en  q   oneven: gelijk

    (d)   p  even en  q   even: niet noodzakelijk gelijk!

    1.34 De functies  xpq en  x

    qp zijn elkaars inverse functie voor het geval (c) (alsook die gevallen binnen (d)

    die zich tot (c) herleiden).

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    7/23

    1.6. Verloop van functies    6

    1.35 (a)   p  even en  q   oneven: domein  R0  en beeld  R+0 , even functie

    (b)   p  oneven en  q  even: domein  R+0   en beeld  R+0

    (c)   p  oneven en  q   oneven: domein  R0  en beeld  R0, oneven functie

    1.40 Als de graad van de teller van het functievoorschrift één hoger is dan de graad van de noemervan het functievoorschrift zal de grafiek van een rationale functie steeds een schuine asymptoot

    vertonen.1.42 (a)   ∗   VA:  x  = 2

    ∗   HA : y  = 0∗  geen SA

    (b)   ∗   VA:  x  = 1 en  x  = 3∗   HA : y  = 0∗  geen SA

    (c)   ∗   VA:  x  = −2 en  x  = 2∗   HA : y  = 1∗  geen SA

    (d)   ∗   geen VA∗  geen HA∗   SA:  y  =  x

    1.5.2 Exponentiële en logaritmische functies

    1.5.3 Circulaire functies

    1.5.4 Inverse circulaire functies

    Telkens geen oefeningen

    1.5.5 Hyperbolische functies

    1.43 limx→+∞

    (cosh(x) − sinh(x)) = 0

    1.6 Verloop van functies

    1.46

    (a)   –   geen VA

    –  geen HA

    –   SA1 :  y  =  x  voor  x → +∞–   SA2 :  y  = −x  voor  x → −∞

    (b)   –   geen VA

    –   HA1  :  y  = −1 voor  x → −∞–   HA2  :  y  = 1 voor  x → +∞

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    8/23

    1.6. Verloop van functies    7

    –  geen SA

    (c)   –   VA1  :  x  = 1 en VA2  :  x  = −1–  geen HA

    –   SA1 :  y  = −x  voor  x → −∞–   SA2 :  y  =  x  voor  x → +∞

    (d)   –   geen VA

    –  geen HA

    –   SA: y  =  x − 1 voor  x → ±∞(e)   –   geen VA

    –   HA: y  = 2 voor  x → ±∞–  geen SA

    (f)   –   VA: x  = 0

    –   HA1  :  y  = 1 voor  x → −∞–   HA2  :  y  = 0 voor  x → +∞–  geen SA

    (g)   –   VA: x  = 0 voor  x > 0

    –   HA: y  = 1 voor  x → ±∞–  geen SA

    (h)   –   VA1  :  x  = 1 en VA2  :  x  = −1–  geen HA

    –   SA1 :  y  = −x  voor  x → −∞–   SA2 :  y  =  x  voor  x → +∞

    (i)   –   VA: x  = −1 voor  x > −1

    –  geen HA–  geen SA

    (j)   –   VA:  x = 1

    –   HA:  y  = 0 voor  x → −∞–  SA voor  x → +∞:   y = 2 x + 2.

    1.47 Onderzoek het verloop van de volgende functies:

    (a)   f (x) =  x2 − 10x + 16x2 − 16x + 60

    (i) dom(f ) = R \ {6, 10}

    VA1  :  x  = 6 en VA2  :  x  = 10

    HA: y  = 1

    (ii) Nulpunten:   x = 2 of  x  = 8

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R \ {6, 10}:

    f (x) = −2 3x2 − 44x + 172

    (x2 − 16x + 60)2

    Geen nulpunten van  f : geen extrema.

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    9/23

    1.6. Verloop van functies    8

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) = 4

    3x3 − 66x2 + 516x − 1432(x2 − 16x + 60)3

    Nulpunt f (x):   x =  4.2

    2

    3

    3   −  4.2

    1

    3

    3   +

      22

    3  ≈ 7, 77(v) Waardengebied: im(f ) = R

    (vi) Samenvattende tabel:

    x   2 6 7, 77 8 10

    f (x)   − − − | − − − − − | −

    (x)   − − − |   + 0   − − − |   +

    f (x)   1   0     −∞ |+∞     0, 34     0     −∞ |+∞   1

    bol bol hol bgpt bol bol hol

    (b)   f (x) =  x2 − 2xx2 + 2x + 1

    (i) dom(f ) = R \ {−1}VA: x  = −1HA: y  = 1

    (ii) Nulpunten:   x = 0,  x  = 2

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R \ {−1}:

    f (x) =

      2 (2x

    −1)

    (x + 1) (x2 + 2x + 1)

    Nulpunt van  f :   x =   12  (mogelijk lokaal extremum).

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  −2 (4x − 5)(x2 + 2x + 1)

    2

    Nulpunt:   x =   54(v) Waardengebied: im(f ) = [− 13 , +∞[; de minimale waarde is  f ( 12) = −13 .

    (vi) Samenvattende tabel:

    x

      −1 0   12

    54   2

    f (x) +   | − − −   0 + + + + +

    (x) +   |   + + + + + 0   − − −

    f (x)   1    +∞ |+∞     0   −0, 33   −0.19     0   1

    hol hol hol min hol bgpt bol bol

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    10/23

    1.6. Verloop van functies    9

    (c)   f (x) =  x2 − 2x + 2

    x − 1(i) dom(f ) = R \ {1}

    VA: x  = 1

    SA: y  =  x − 1(ii) Geen nulpunten

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R \ {1}

    f (x) = (x − 1)(2x − 2) − 1. x2 − 2x + 2

    (x − 1)2   =  x (x − 2)

    (x − 1)2

    Nulpunten f :   x = 0,  x = 2

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  2

    (x − 1)3Geen nulpunten.

    (v) Waardengebied: im(f ) =] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[

    (vi) Samenvattende tabel:x   0 1 2

    f (x) + 0   − | −   0 +

    (x)   − − − |   + + +

    f (x)   −∞  −2     −∞ |+∞     2   +∞

    bol max bol hol min hol

    (vii) Grafiek:

    x-2 -1 0 1 2 3 4

    -10

    -5

    5

    10

    (d) (i) dom(f ) = R, geen VA, geen HA

    SA1 :  y  = −x +   12   voor  x → −∞SA2 :  y  =  x −   12   voor  x → +∞

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    11/23

    1.6. Verloop van functies    10

    (ii) Geen nulpunten

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R, en

    f (x) =  −1 + 2x2√ 

    4 − x + x2dus  f  is afleidbaar in dom(f ) = R, en Nulpunt  f :   x =   12

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  15

    4 (4 − x + x2) 32

    (v) Waardengebied: im(f ) =√ 

    152   , +∞

    (vi) Samenvattende tabel:x   12

    f (x)   −   0 +

    (x) + + +

    f (x)   +∞    1, 94   +∞

    hol min hol

    (vii) Grafiek:

    x-10 -5 5 10

    -10

    -5

    5

    10

    (e) (i) dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ [0, 1] ∪ ]2, +∞[

    VA1  :  x  = −2 en VA2  :  x  = 2HA: y  = 1

    (ii) Nulpunten:   x = 0,  x  = 1

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ [0, 1] ∪ ]2, +∞[ en

    f (x) = 1

    2

    x2 − 8x + 4 x2−xx2−4  (x

    2 − 4)2

    Nulpunten f :   x = 4 ± 2√ 3

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    12/23

    1.6. Verloop van functies    11

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) = −4x5 − 51x4 + 80x3 − 40x2 + 164 (x2 − x) (x2 − 4)3 

    x2−xx2−4

    Nulpunt:   x ≈ 11, 02

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    13/23

    1.6. Verloop van functies    12

         (   v     )     S

       a   m   e   n   v   a

        t    t   e   n

         d   e

        t   a     b

       e     l   :

         x

      −     2

         0

         0 ,

         5     4

         1

         2

         7 ,

         4     6

         1     1 ,

         0     2

           f           

         (     x     )

        +

         |

                   

        +

        +

         0

      −

      −

                   

         |

      −

         0

        +

        +

        +

           f                      

         (     x     )

        +

         |

                   

      −

      −

      −

      −

      −

                   

         |

        +

        +

        +

         0

      −

           f     (     x     )

         1

        

         +   ∞

         |

                   

         0    

         0 ,

         2     6

        

         0

                   

         |     +   ∞

        

         0 ,

         9     7

        

         0 ,

         9     7

             1

         h   o

         l

         b

       o     l

       m   a   x

         b   o

         l

         h   o

         l

       m     i   n

         h   o

         l

         b   g

        t   p

         b   o

         l

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    14/23

    1.6. Verloop van functies    13

    (f) (i) dom(f ) = R \ {−1, 1}VA1  :  x  = −1 en VA2  :  x  = 1geen HA, geen SA

    (ii) Nulpunt:   x = 0

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R\ {−

    1, 1}

    , en

    f (x) =  x2 − 3

    3 (x2 − 1) 43

    Nulpunten:   x = ±√ 3(iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  −2x3 + 18x

    9 (x2 − 1) 73

    Nulpunten:   x = 0,  x  = −3,  x  = 3(v) Waardenverzameling: im(f ) = R

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    15/23

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    16/23

    1.6. Verloop van functies    15

    (g) (i) dom(f ) = R \ {2}VA: x  = 2

    geen HA, geen SA

    (ii) Nulpunt:   x = 0

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R\ {

    2}

    , en

    f (x) =  x − 6

    3 (x − 2) 53

    Nulpunt:   x = 6

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) = −2x + 249 (x − 2) 83

    Nulpunt:   x = 12

    (v) Waardenverzameling:   R

    (vi) Samenvattende tabel:

    x   0 2 6 12

    f (x) + + +   | −   0 + + +

    (x) + + +   |   + + + 0   −

    f (x)   −∞    0     +∞ |+∞     2, 38     2, 59   +∞

    hol hol hol min hol bgtp bol

    (h) (i) dom(f ) = R

    geen VA, geen HA, geen SA

    (ii) Geen nulpunten

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) \ {2, 4} = R \ {2, 4} en

    f (x) = 2

    3 (x − 2)− 13 + 2

    3 (x − 4)− 13

    Nulpunt:   x = 3 (lokaal extremum)

    Ook lokale extrema optreden in  x  = 2 en  x  = 4.

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) = −29

     (x − 2)− 43 −  29

     (x − 4)− 43

    Geen nulpunten

    (v) Waardenverzameling: im(f ) = [22

    3 , +∞[

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    17/23

    1.6. Verloop van functies    16

    (vi) Samenvattende tabel:

    x   2 3 4

    f (x)   − |   + 0   − |   +

    (x)

      − | − − − | −f (x)   +∞    1, 59     2     1, 59   +∞

    bol krpt bol max bol krtp bol

    (vii) Grafiek:

    −2 2 4 6 8 10−2

    2

    4

    6

    8

    x

    (i) (i) dom(f ) =] − 1, +∞[geen VA, geen HA, geen SA

    (ii) Nulpunten:   x = 0

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = ]−1, +∞[, enf (x) = ln(x + 1) (2 + ln(x + 1))

    Nulpunten:   x = 0,  x  = exp(−2) − 1 ≈ 0, 86 (lokale extrema)(iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  2

    x + 1 (1 + ln(x + 1))

    Nulpunt:   x = exp(−1) − 1 ≈ −0, 63(v) Waardenverzameling: im(f ) = R+

    (vi) Samenvattende tabel:

    x

      −1 exp(

    −2)

    −1 exp(

    −1)

    −1 0

    f (x)   |   + 0   − − −   0 +

    (x)   | − − −   0 + + +

    f (x)   |0     0, 541     0, 368     0   +∞

    bol max bol bgpt hol min hol

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    18/23

    1.6. Verloop van functies    17

    (j) (i) dom(f ) = R+0

    VA: x  = 0

    HA: y  = 0

    (ii) Geen nulpunten

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R+0   en

    f (x) =   1x√ 

    1 + x2

    Geen nulpunten

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =  −1 − 2x2

    x2 (1 + x2)√ 

    1 + x2

    Geen nulpunten

    (v) Waardenverzameling: im(f ) = R−0(vi) Samenvattende tabel:

    x   0

    f (x)   |   +

    (x)   | −

    f (x)   |−∞   0

    bol

    (k) (i) dom(f ) = R \ −π4  + kπ  :  k ∈ Zf  heeft periode 2π; we beperken ons tot het interval [0, 2π[. In dit interval heeft de functie  f 

    twee verticale asymptoten: VA1

    :   x = 3π

    4  , VA

    2:   x =

     7π

    4  .

    (ii) Geen nulpunten.

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R \ −π4  + kπ  :  k ∈ Z, enf (x) =

     sin(x) − cos(x)1 + sin(2 x)

    Nulpunten:   x =   π4 ,  x  =  5π4

    (iv) Tweede afgeleide:

    f (x) = 3 − 2 cos(x)sin(x)(cos(x) + sin(x))

    3

    Geen nulpunten!

    (v) Er zijn in het interval [0, 2π[ twee symmetrie-assen, nl.

    x =  π

    4  en  x  =

     5π

    4

    en twee puntsymmetrieën, nl. t.o.v. de punten3π

    4  , 0

      en

    4  , 0

    (vi) Waardengebied: im(f ) = R \−√ 22

      ,√ 22

    .

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    19/23

    1.6. Verloop van functies    18

         (   v     i     i     )     S

       a   m   e   n   v   a

        t    t   e   n

         d   e

        t   a     b

       e     l   :

         x

         0

        π   4

         3    π     4

         5    π     4

         7    π     4

         2     π

           f           

         (     x     )

      −

      −

         0

        +

         |

        +

         0

      −

         |

      −

      −

           f                      

         (     x     )

        +

        +

        +

        +

         |

      −

      −

      −

         |

        +

        +

           f     (     x     )

        

        

     √      2     2

        

         +   ∞

         |  −   ∞

        

      − √      2     2

        

      −   ∞

         |     +   ∞

        

        

         h   o

         l

         h   o

         l

       m     i   n

         h   o

         l

         b   o

         l

       m   a   x

         b   o

         l

         h   o

         l

         h   o

         l

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    20/23

    1.6. Verloop van functies    19

    (viii) Grafiek:

    2 4 6

    −10

    −5

    5

    10

    3π4

    7 π4

    π4

    5 π4   x

    (l) (i) dom(f ) = R

    geen VA

    f  heeft periode 2π, dus geen HA of SA. We zullen ons wegens deze periodiciteit beperken tot[0, 2π[.

    (ii) Nulpunten: geen

    (iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) = R, en

    f (x) =  esin(x) cos(x)

    Nulpunten:   x =   π2 ,  x  =  3π2

    (iv) Tweede afgeleide:f (x) =  esin(x) cos

    2(x) − sin(x)Nulpunten:   x = arcsin√ 5−1

    2

    ≈ 0, 67,  x  =  π − arcsin√ 5−1

    2

    ≈ 2, 48

    (v) Er zijn in het interval [0, 2π[ twee symmetrie-assen, nl.  x =   π2   en x =  3π2  .

    (vi) Waardengebied: im(f ) =

    e−1, e1

    (vii) Samenvattende tabel:

    x   0√ 5−12

    π2   π −

    √ 5−12

    3π2   2π

    f (x) + + + + 0   − − −   0 + +

    (x) + + 0   − − −   0 + + + +

    f (x)     1, 86     e1   1, 86     e−1

    hol hol bgpt bol max bol bgpt hol min hol

    (m) (i) dom(f ) =  ... ∪ ]−2π, −π[ ∪ ]0, π[ ∪ ]2π, 3π[ ∪ ...f  heeft periode 2π: geen HA of SA. We zullen ons wegens deze periodiciteit beperken tot ]0 , π[.

    VA1  :  x  = 0 en VA2  :  x  =  π

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    21/23

    1.6. Verloop van functies    20

    (ii) Nulpunten:   x =   π2(iii)   f  is afleidbaar in dom(f ) =  ... ∪ ]−2π, −π[ ∪ ]0, π[ ∪ ]2π, 3π[ ∪ ..., en

    f (x) = cot(x)

    Nulpunt:   x =   π2(iv) Tweede afgeleide:

    f (x) =   −1sin2(x)

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    22/23

    1.6. Verloop van functies    21

    1.49 Gegeven de functie  f   met  f (x) =  x2 − α√ 

    x2 − x − 6 ,  x ∈R.

    (a)   ∗   α = 4 en  α = 9: dom(f ) = ]−∞, −2[ ∪ ]3, +∞[∗   α = 4: definitiegebied van f  uitbreiden met  x = 2, m.a.w. dom(f ) = ]−∞, −2] ∪ ]3, +∞[,

    met  f (2) = 0.

    ∗  α  = 9: definitiegebied uitbreiden met   x  = 3, m.a.w. dom(f ) = ]

    −∞,

    −2[

    ∪[3, +

    ∞[, met

    f (3) = 0.(b) Als  α ∈R \ {4, 9}: VA1  :  x  = −2 en VA2  :  x  = 3.(c)   ∗   α = 4: VA: x  = 3

    ∗   α = 9 : VA:  x  = −2(d) SA1 :  y  = −x −   12   voor  x → −∞ en SA2  :  y  =  x +   12   voor  x → +∞.(e) Minima:   x = −2,  x  =   7±

    √ 65

    4

    1.50 In deze opgave zijn  λ en  µ  twee reële parameters, niet noodzakelijk verschillend.

    (a) De primitieve F   is geldig in  R:

    (∗)   λ = ±µ:

    F (x) =

     sin((λ + µ) x)

    2 (λ + µ)   +

     sin((λ

    −µ) x)

    2 (λ − µ)(∗)   λ = ±µ = 0:

    F (x) = sin(2 λ x)

    4 λ  +

     x

    2

    (∗)   λ =  µ  = 0:F (x) =  x

    (b) (∗)   λ = ±µ:2π 0

    f (x)dx =  sin(2(λ + µ) π)

    2 (λ + µ)  +

     sin(2 (λ − µ) π)2 (λ − µ)

    (∗)  λ

     = ±µ = 0: 2π 

    0

    f (x)dx = sin(4 λ π)

    4 λ  + π

    (∗)   λ =  µ  = 0:2 π 0

    f (x)dx = 2 π

    (c)   µ =   k2 ,  k ∈ Z\{−2, 2}

    (d)

    2π 0

    g(x) dx = 0, (de functie is oneven).

    (e)

       2π0

    cos2(x) dx =  π.

    (1.51) (a)

    f (x) = −(x + 2)√ 

    x2 − 4 en

    a = 0b = −√  pc = −2 √  pq  = −4 p

     p > 0 (willekeurig)

    EA16 Wiskundige Basistechniek: oplossingen

  • 8/20/2019 antwoorden analyseI

    23/23

    1.6. Verloop van functies    22

    (b) Teken de grafiek van f . Zo u hiertoe bijkomende informatie bepaalt omtrent het functieverloopvan f , dan dient u deze ook in uw antwoord op te nemen.

    Oplossing:

    (∗) dom(f ) =] − ∞, −2] ∪ ]2, +∞[(

    ∗) HA in

     −∞:   y = 1:

    (∗)

    f (x) =

    √ x + 2√ x − 2 , x  2

    (∗) afgeleide:   f (x) =   2 (x+2)(x2−4)3/2

    (∗) Samenvattende tabel:

    x   −2 2f (x)

      −  0

      |  +

    f (x)   1   0   |−∞   1

    (∗) Grafiek:

    −6   −4   −2 2 4 6

    −4

    −2

    2

    4

    x