antologia cd lmap

5/22/2018 Antologia CD LMAP

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Control DigitalLuis Miguel Aguilar ParraZacapoaxtla, Pue - Mayo 2014

#1ANTOLOGA - LUIS MIGUEL AGUILAR PARRA


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IntroduccinLa presente antologa fue elaborada como soporte de estudio a aquellos alumnos o

personas que esten interesadas en adentrarse en el mundo del Control o el Control Digital.

En ella se encontraran temas y ejemplos relacionados con el programa establecido dela materia, as como ejemplos e ilustraciones para facilitar el aprendizaje de quienes esten

dando aun sus primeros pasos dentro de la temtica.

Para su elaboracion fueron consultadas multiples fuentes de informacion, como:

* Libros

* Paginas Web

* Blogs

Esperando que resulte til y del agrado de todos los que la consulten, encontrando

en este trabajo una herramienta de estudio adecuada y que solucione las dudas por lascuales sea consultada.



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Unidad IMatemticas De

Los SistemasDiscretos


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1.1 Diferencia entre seal discreta, seal analgica y seal digital.SEALES CONTINUAS

Por una seal continua entenderemos una funcin continua de una o varias

dimensiones. Ejemplos de distintos tipos de seales podemos encontrar en los muy

diversos aparatos de medida asociados al estudio de la fsica, qumica, biologa, medicina,

etc. As por ejemplo, los distintos tipos de electro gramas que son usados en medicina son

seales unidimensionales, ya que se representan por una o varias curvas en funcin del

tiempo. Sin embargo, los distintos tipos de radiografas son seales bidimensionales y los

resultados de la tomografa axial computerizada y la resonancia nuclear magntica son

seales tridimensionales.

Haciendo uso del lenguaje matemtico podemos decir que toda seal es una funcinmatemtica que toma un valor en cada punto del espacio en el que esta definida. Los

resultados matemticos sobre la aproximacin de funciones, nos permiten expresar que

cualquier funcin continua y peridica definida sobre una regin finita del espacio puede

ser aproximada por una suma infinita de trminos, en donde cada trmino tiene una

contribucin a la formacin de la seal que es independiente y ortogonal a cualquier otro

trmino del desarrollo.

SEALES DISCRETAS

Las seales discretas se caracterizan por estar definidas solamente para un conjunto

numerable de valores de la variable independiente. Se representan matemticamente por

secuencias numricas. En la prctica suelen provenir de un muestreo peridico de una

seal analgica.

SEALES ANALGICAS Y DIGITALES

Si una seal continua puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo,

entonces esa seal recibe el nombre de seal analgica. Si una seal discreta x[n] puede

tomar nicamente un nmero finito de valores distintos, recibe el nombre de seal digital.

El procesado de seales (tambin llamado tratamiento o procesamiento de seales)

es la disciplina que desarrolla y estudia las tcnicas de tratamiento (filtrado,



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amplificacin,...), el anlisis y la clasificacin de las seales. Se basa en los resultados de la

teora de la informacin, de la estadstica y la matemtica aplicada.

Una seal es un flujo de informacin proveniente de una fuente, la cual puede tener

una naturaleza diversa: mecnica, ptica, magntica, elctrica, acstica,... Por lo general,

para poder ser procesadas, las seales se transforman en seales elctricas mediante

transductores.

Para su anlisis, las seales habitualmente son modeladas como funciones

matemticas.

La clasificacin ms bsica de las seales se produce segn su representacin

respecto a las variables de las que dependen (tiempo, espacio,...):

* Seal analgica es aquella que representa una magnitud de manera continua.

Pueden provenir de captadores (o captadores + transductores) como, por ejemplo, un

micrfono (para captar sonidos y trasladarlos a seales elctricas), un termmetro

(temperaturas), una sonda baromtrica (capta presiones), un velocmetro...

* Seal digital es aquella que toma valores slo para una cantidad discreta de

puntos, y adems sus valores son nicamente discretos. Se pueden considerar ejemplos de

seales digitales a un programa de ordenador, el contenido de un CD, aunque tambinpodra ser la informacin recibida de un semforo, el cdigo Morse, etc.

* De manera parecida a la seal digital, una seal discreta slo tiene valores en una

cantidad discreta de puntos. La diferencia est en que estos valores pueden tomar

cualquier valor, es decir, no estn cuantificados. Estas seales provienen normalmente de

conversores analgico-digitales, o lo que es lo mismo, de la discretizacin de seales

continuas. Cuando una seal discreta es cuantificada mediante un cuantificador se

transforma en una seal digital.

Un parmetro importante de seales digitales y discretas es la frecuencia de

muestreo.

Las seales analgicas se pueden tratar mediante circuitos electrnicos analgicos.

Sin embargo la tendencia actual es la de digitalizarlas y procesarlas de forma discreta

mediante ordenadores o con un procesador digital de seal (DSP, Digital Signal

Processor), que es un microprocesador especialmente diseado para realizar tareas de

procesado digital.



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1.2 Estructura de los sistemas de control muestreados, tcnicas de anlisis y

problemas de estudio.Un sistema de control es aquel sistema, o subsistema, que est constituido por un

conjunto de componentes que regulan el comportamiento de un sistema (o de s mismos)

para lograr un objetivo. Para ello se apoyan en el controlador, el cual es un dispositivo

electrnico, o algoritmo computacional, que tiende a hacer el error nulo.

Un sistema es muestreado cuando alguna de las seales asociadas al controlador

sufre el proceso de muestreo.

El elemento que normalmente exige un muestreo de seales es el captador, por

ejemplo, la temperatura de un sistema fsico o la velocidad angular de un motor. stasseales sern transformadas de seal analgica a una secuencia de valores discretos

(muestreados en el tiempo y codificados en cdigo binario).

Existen dos tipos de sistemas de control, los de bucle abierto y los de bucle cerrado.

En los sistemas en bucle abierto el sistema de control no recibe informacin sobre el efecto

de su seal de control, mientras que en bucle cerrado la salida se compara con la entrada,

y se obtiene una seal de error. El objetivo del controlador ser hacer mnima la seal de

error.

En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques tpico que representa la

estructura de un sistema de control digital en bucle cerrado:

Fig. 1 Sistema de Control en Bucle Cerrado



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Es importante insistir en el hecho de que en los sistemas de control digital son

necesarios la utilizacin de convertidores analgicos digitales (CAD), y digitales

analgicos (CDA), ya que por un lado el ordenador trabaja con seales digitales mientras

que por otro la planta, o proceso a controlar, normalmente lo hace con seales analgicas.

Ambos convertidores trabajan con las seales cada T segundos, y dicho parmetro

es uno de los ms importantes a considerar en el diseo de los sistemas muestreados.

En casos prcticos en la industria se ha comprobado que, en general, los muestreos

de alrededor de 1 segundo son adecuados para procesos de flujo, presin, nivel y

temperatura; por otro lado, los sistemas electromecnicos requieren de sistemas de control

con tiempos de muestreo en el orden de los milisegundos.

Si nos centramos en el regulador en s mismo, lo que se hace es implementarlo como

un programa mediante un lenguaje de programacin, ya sea de alto o bajo nivel. La rutina

se suele ejecutar sobre procesadores especficos, DSP, o como en el caso de la prctica,

sobre la propia CPU del ordenador.

Cuando se disea un regulador digital, el intervalo de muestreo que se escoja es de

mucha importancia, pues una frecuencia de muestreo demasiado baja puede degradar la

estabilidad del sistema, adems, se puede perder informacin debido a que la seales quese utilizan cambian rpidamente, por lo que no se estar trabajando sobre los datos

actuales. Por otro lado, ante una frecuencia es elevada, los CAD deben ser ms rpidos y

el volumen de informacin aumenta, por lo que se debe poner procesadores de mayores

prestaciones.

Por tanto, a fin de poder reconstruir una seal muestreada sin prdida de

informacin, habr que respetar el teorema de Nyquist.

Existen bsicamente dos enfoques para el diseo de reguladores digitales:

Diseo del regulador con las tcnicas de control continuo, R(s), y discretizacin de

R(s) a R(z).

Diseo digital directo. Se discretiza el modelo de planta y se realiza el diseo del

regulador mediante tcnicas discretas.



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En primer caso se aborda mediante las tecnicas de discretizacion del regulador

continuo R(s). Con este proposito se deber calcular la funcin de transferencia del

regulador continuo, bien sea por metodos basados en el Lugar de las Raices o por

metodos frecuenciales. Seguidamente se precedera a la discretizacion , convirtiendo R(s)

en R(z).

En el segundo caso, el diseo digital se realiza de forma directa, utilizando para ello

tcnicas vistas en asignaturas como electrnica bsica (diagramas de estados, mapas de

Karnaugh, autmatas de Mealy, autmatas de Moore, etc.), por lo que este caso no est

dentro de la asignatura y lo dejaremos abierto.

Si bien hay varios mtodos de discretizacin, la mayora de ellos tienen problemas

de solapamiento en frecuencias, por realizar una relacin entre el plano sz de variasregiones del dominio s a una sola z. Sin embargo, la transformacin bilineal realiza una

transformacin unvoca entre el dominio s a z. Esta transformacin se define como:

donde T es el periodo de muestreo y su relacin inversa es del tipo:

De estas dos ecuaciones, se desprende que esta transformacin es no lineal. Dehecho, si se sustituye s por jwa y z por e jwdT queda:



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Siendo wa la frecuencia angular analgica y wd la frecuencia angular discreta. Por

tanto si se requiere un regulador digital cuyas caractersticas en frecuencia estn definidas

por wd1, wd2,, wdk , deber usarse un regulador analgico.

Para la obtencin de un regulador discreto seguiremos los siguientes pasos:

Obtener los polos y ceros de la funcin de transferencia del regulador continuo, R(s),

ya sea por medio de las tcnicas basadas en el LDR o bien por mtodos basados en la

respuesta frecuencial.

Reemplazar s en el filtro analgico por la expresin dada en primer lugar.

Para realizar las transformaciones de s a z, hay cuadros con las relaciones existentes

de los filtros comunes de primer y segundo orden mediante la transformada bilineal. He

aqu uno de ellos:

Fig.2



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1.3 Transformada ZLa transformada de Laplace puede utilizarse para el anlisis de seales y sistemas en

tiempo continuo. Un mtodo operacional equivalente para el estudio de sistemas de

ecuaciones deferenciales de tipo lineal discreto, es el mtodo de la transformada Z (TZ). Es

decir que la TZ est basada en la serie de Laurent y tiene como objetivo, resolver

problemas de seales y sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo (LIT). A modo

de explicacin se citaran aplicaciones de la transformada Z en el mbito de las

telecomunicaciones, se describir brevemente la transformada en tiempo discreto

equivalente a la TZ y se explicara la regin de convergencia (Region Of Convergence,

ROC) correspondiente a la TZ.

En las matemticas y procesamiento de seales, la Transformada Z convierte una

seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representacin enel dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se

podra llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre ms adecuado

para la TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en la serie de

Laurent. La TZ es a las seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de

tiempo continuo.



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1.4 Propiedades y teoremas de la transformada Z

Fig. 3 Propiedades de la Transformada Z



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Fig. 3.1 Propiedades de la Transformada Z



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Fig. 4 Tabla con los pares ms habituales de la transformada Z

1.5 Diagramas de bloques de sistemas discretosUn sistema en tiempo discreto es un operador matemtico que transforma una seal

en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notacin T[.] es usado para

representar un sistema general, tal como se muestra en la Figura 1. en el cual, una seal de

entrada x(n) es transformada en una seal de salida y(n) a travs de la transformacin T[.].

Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algn

nmero de formas diferentes.

Fig. 5 Sistema Discreto en tiempo como una transformacin T[.] que

mapea una seal de entrada x(n) en una seal de salida y(n)



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Es de importancia introducir los conceptos de la representacin de los sistemas en

tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que puede de alguna forma

simplificar la tarea de implementacin de dichos sistemas en esquemas computacionales.

Con este fin se definirn algunos bloques bsicos que pueden ser interconectados para

formar sistemas complejos.

Fig. 6 Se muestra como una seal x(n) puede ser derivada en dos lneas diferentes a

travs del nodo derivador.

Sumador: La Fig. 7 muestra un sistema que realiza la suma de dos seales x1(n) y

x2(n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por y(n). Obsrvese que no es

necesario almacenar ninguna de las secuencias para realizar la suma. En otras palabras, es

una operacin sin memoria.

Fig.7 Sumador de Seal.

Escalado: Esta operacin se muestra en la Fig. 8; consiste simplemente en aplicar un

factor de escala a la entrada x(n). Obsrvese que se trata tambin de una operacin sin

memoria.

Fig. 8 Multiplicador por



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una Constante

Multiplicador: La Fig. 9 muestra la multiplicacin de dos seales, x1(n) y x2(n) para

formar otra secuencia (en producto), que se denota en la figura por y(n). Como en los

casos previos, la operacin de multiplicacin de seales es una operacin sin memoria.

Fig. 9 Multiplicador de

seal.

Retardador de Seal. El retardador de seal es un sistema especial que retraza una

posicin la seal que pasa por l. La Fig. 10 muestra este sistema. Si la seal de entrada es

x(n), la salida es x(n 1). De hecho, la muestra x(n 1) se almacena en memoria en el

instante n 1 y se extrae de la memoria en el instante n para formar y(n) = x(n 1), por

tanto, el bloque bsico si tiene memoria. El uso del smbolo z1 para denotar el retardador

de una muestra de la seal se entender al estudiar la transformada z.

Fig. 10 Retardador de Seal

Adelantador de Seal. Al contrario que el retardador de seal, el adelantador de

seal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para producir x(n + 1).

La Fig. 11 muestra esta operacin, el operador z se usa para denotar el avance de

una muestra en el tiempo. Debe observarse que dicho avance es imposible en tiempo real,

dado que, de hecho, implica conocer el futuro de la seal. Por otra parte, si almacenamos

la seal en un ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En

aplicaciones de estas caractersticas, que no se desarrolla en tiempo real, es factible

adelantar la seal x(n) en el tiempo.



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Fig. 11 Adelantador de seal

En la Fig. 12 se presentan la implementacin en bloques de algunos sistemas en

tiempo discreto que son ampliamente utilizados en el procesamiento, las cuales son:

Fig. 12 Implementacin en bloques.

1.6 Transformada Z inversaLa transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel

que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la

transformada Z sea til, se debe estar familiarizado con los mtodos para hallar la

transformada Z inversa.

La notacin para la transformada Z inversa ser Z-1. La transformada Z inversa de

X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n].



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Existen cuatro mtodos para obtener la transformada Z inversa y sern:

1. Mtodo de la Divisin Directa.

2. Mtodo Computacional.

3. Mtodo de expansin en fracciones parciales.

4. Mtodo de la Integral de inversin.

El mtodo de la divisin directa proviene del hecho de que si X[Z]en la Fig. 13 est

expandida en una serie de potencias de Z-1, esto es s

Fig. 13

La Transformada Z inversa se define en la Fig. 14:

Fig. 14 Transformada Z Inversa

donde C \ es un crculo cerrado que envuelve el origen y la regin de convergencia

(ROC). El contorno, C \ , debe contener todos los polos de X(z) \ .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C \ es el crculo

unidad (que tambin puede usarse cuando la ROC incluye el crculo unidad), obtenemos

la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

Fig. 15

La TZ con un rango finito de n y un nmero finito de z separadas de forma uniforme

puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada



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discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que

coincida con el crculo unidad.

1.7 Mtodo de Transformada Z para la solucin de ecuaciones en diferenciasDada una ecuacin en diferencias de orden n, utilizamos las propiedades de la

transformada Z, en especial las de linealidad y desplazamiento, para transformarla en una

ecuacin algebraica.

La tabla de la Fig.15 muestra la transformada Z de algunas secuencias, usando la

propiedad de desplazamiento.

Fig. 15



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Unidad II:Anlisis Clsico

de Sistemas

Discretos


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2.1 Teorema del muestreo y el problema del enmascaramiento de seales

(aliasing)

La unin entre una seal analgica y su versin muestreada est dada por lo que es

conocido por el proceso de muestreo. Este proceso puede ser implementado de muchas

maneras, el ms usado es el llamado muestreo y retencin. En este, un switch y un

mecanismo de almacenamiento (tal como un transistor y un capacitor, entre otros) forman

unasecuencia de muestras de la seal continua de entrada. La salida del proceso de

muestreo es llamada amplitud de pulso modulada (PAM, pulse amplitude modulation)

porque los intervalos sucesivos de la salida pueden ser descritos como una secuencia de

pulsos cuya amplitud deriva de las muestras de la seal de entrada. La seal analgica

puede ser aproximadamente recuperada de una onda PAM por un filtro pasa baja simple.

La pregunta importante: Cuan cerca se puede filtrar la seal PAM para aproximarla aalseal original? Esta pregunta puede ser respondida por el TEOREMA DE MUESTREO, el

cual dice lo siguiente:

* Una seal con ancho de banda limitado que no tenga componentes espectrales por

encima de fm Hertz puede ser determinada nicamente por los valores muestreados en

los intervalos uniformes de

Ts"12fm sec

Este enunciado es tambin conocido como el teorema de muestreo uniforme.Enunciado de otra manera, el lmite superior en Ts puede ser expresado en trminos de la

frecuencia demuestreo denotado como fs = 1/Ts . La restriccin enunciada en trminos de

la frecuencia de muestreo, es conocida como el Criterio de Nyquist. Que enuncia lo

siguiente

fs#2fm

La frecuencia de muestreo fs = 2fm es tambin conocido como la tasa de Nyquist. El

criterio de Nyquist es una condicin tericamente suficiente para permitir que una seal

analgica sea reconstruida completamente a partir de la unin de muestras discretas

espaciadas de manera uniforme.

Para digitalizar un sonido hace falta muestrearlo cada cierto tiempo, pero cada qu

intervalo de tiempo hemos de tomar muestras?



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Segn el Teorema de Nyquist o de Muestreo, para poder replicar con exactitud la

forma de una onda es necesario que la frecuencia de muestreo sea superior al doble de la

mxima frecuencia a muestrear.

Si tengo un sonido de 10.000 Hz, la frecuencia de muestreo segun Niquist ser 20.000

Hz y el proceso ser reversible, o sea, la onda no ha perdido ninguna informacin, se ha

generado de forma clnica a la original. Da igual que utilicemos una frecuencia de

muestreo de 40.000 Hz o 50.000 Hz, la calidad ser la misma que con 20.000 Hz. Pasa lo

mismo con una fotografa, sabemos que resolucin de pantalla es 72 ppp, por tanto la

fotografa no va a necesitar ms resolucin que esa, podemos ponerle 300 1.000 ppp que

se ver igual que a 72 ppp.

El aliasing se produce cuando la frecuencia de muestreo es inferior a la frecuenciaNyquist y por lo tanto insuficiente para hacer el muestreo correctamente con lo cual

inventa frecuencias fantasmas que no tiene nada que ver con la original. Afecta ms a las

frecuencias altas, que se pierden antes, por lo tanto los tonos agudos se vern ms

afectados por el aliasing.

Fig. 16

La onda original es la azul, hice un remuestreo a 20.000Hz, como se puede apreciaren la lnea roja se ha perdido algo de informacin pero no ha variado demasiado pues la

frecuencia mxima era 22.050 Hz. Para la lnea verde eleg un valor claramente inferior,

hice un muestreo a 5.000 Hz para que se pudiera apreciar fcilmente como se ha

deformando la onda. Aparecen frecuencias que nada tienen que ver con la onda original.

En estadstica, procesamiento de seales, computacin grfica y disciplinas

relacionadas, el aliasing es el efecto que causa que seales continuas distintas se tornen

indistinguibles cuando se muestrean digitalmente. Cuando esto sucede, la seal original

no puede ser reconstruida de forma unvoca a partir de la seal digital. Una imagen



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limitada en banda y muestreada por debajo de su frecuencia de Nyquist en las direcciones

"x" e "y", resulta en una superposicin de las replicaciones peridicas del espectro G(fx,

fy). Este fenmeno de superposicin peridica sucesiva es lo que se conoce como aliasing

o Efecto Nyquist.

El aliasing es un motivo de preocupacin mayor en lo que concierne a la conversin

analgica-digital de seales de audio y vdeo: el muestreo incorrecto de seales analgicas

puede provocar que seales de alta frecuencia presenten dicho aliasing con respecto a

seales de baja frecuencia. El aliasing es tambin una preocupacin en el rea de la

computacin grfica e infografa, donde puede dar origen a patrones de moir (en las

imgenes con muchos detalles finos) y tambin a bordes dentados.

Aliasing en fenmenos peridicos

El Sol tiene un movimiento aparente de este a oeste en la bveda celeste, con 24horas entre cada amanecer. Si tomsemos una fotografa del cielo cada 23 horas, el sol

parecera moverse de oeste a este, con 2423=552 horas entre cada amanecer. El mismo

fenmeno causa que las aspas de un ventilador parezcan a veces girar en el sentido

inverso del que en realidad lo hacen, cuando se les filma o cuando son iluminadas por una

fuente de luz parpadeante, tal como una lmpara estroboscpica, un tubo de rayos

catdicos o una lmpara fluorescente, o simplemente, cuando el ventilador es iluminado

por la parpadeante luz de la televisin, o con otra fuente de luz, etc.

Muestreo de una seal senoidal

Cuando se obtienen muestras peridicas de una seal senoidal, puede ocurrir que se

obtengan las mismas muestras que se obtendran de una seal sinusoidal igualmente pero

con frecuencia ms baja. Especficamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es

muestreada s veces por segundo, y s "2f, entonces las muestras resultantes tambin sern

compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de

muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de seales, cada una de las sinusoides se

convierte en un "alias" para la otra.

2.2 Mapeo entre el plano S y el plano Z.En este apartado trataremos de relacionar las variables s y z de forma que conocidos

los efectos de la colocacin de polos en el plano s, sea posible determinar los

correspondientes efectos de la colocacin de polos en el plano z.



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La transformada de Laplace de una seal muestreada se puede escribir como:

Si la sustitucin siguiente se hace en la Transformada de Laplace:

Obtenemos en la variable z la siguiente expresin:

De forma que la relacin entre las variables ser:

y concretamente esta relacin ser en la que nos apoyemos para realizar el mapeo

del plano s al plano z.

As un polo arbitrario en el plano s, quedar en el plano z de la siguiente forma:

Polo en s:



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Polo en z:

En la Fig. 17 las lneas de cada color corresponden a polos que ocupen esa posicin

en el plano z o en.

Fig. 17

2.3 Diagramas de Bode en tiempo discretoUn Diagrama de Bode es una representacin grfica que sirve para caracterizar la

respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas,



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una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y otra que corresponde con la fase.

Recibe su nombre del cientfico senegals que lo desarroll, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el anlisis de circuitos en electrnica, siendo

fundamental para el diseo y anlisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el mdulo de la funcin de transferencia

(ganancia) en decibelios en funcin de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala

logartmica. Se suele emplear en procesado de seal para mostrar la respuesta en

frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de transferencia en

funcin de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logartmica. Se puede dar en

grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una seal a la salida

del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos

una seal Asin($t) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atena por unfactor x y desplaza en fase %&. En este caso, la salida del sistema ser (A/x) sin($t %&).

Generalmente, este desfase es funcin de la frecuencia (&= &(f)); esta dependencia es lo

que nos muestra el Bode. En sistemas elctricos esta fase deber estar acotada entre -90 y

90.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo

general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar tambin

desfase y viceversa. En sistemas de fase mnima (aquellos que tanto su sistema inverso

como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otromediante la transformada de Hilbert.

Si la funcin de transferencia es una funcin racional, entonces el diagrama de Bode

se puede aproximar con segmentos rectilneos. Estas representaciones asintticas son

tiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en

algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la grfica).

Esta aproximacin se puede hacer ms precisa corrigiendo el valor de las frecuencias

de corte (diagrama de Bode corregido).



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Fig. 18 Diagrama de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con

un polo).

El uso de clculo logartmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo:

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

Supongamos que la funcin de transferencia del sistema objeto de estudio viene

dada por la siguiente transformada de Laplace:



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Aplicaciones

Los diagramas de Bode son de amplia aplicacin en la Ingeniera de Control, pues

permiten representar la magnitud y la fase de la funcin de transferencia de un sistema,

sea ste elctrico, mecnico,... Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten,

atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el

empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de

ganancia, estrechamente ligados stos ltimos a los llamados diagramas de Nyquist), y

porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias.

En la teora de control, ni la fase ni el argumento estn acotadas salvo por caractersticas

propias del sistema. En este sentido, slo cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0,

por ejemplo, que la fase est acotada entre 0 y -180.

As pues, datos importantes a obtener tras la realizacin del diagrama de Bode para

en anlisis de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes:Margen de fase: Es el ngulo que le falta a la fase para llegar a los -180 cuando la

ganancia es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito.

Margen de ganancia: Es el valor por el que habra que multiplicar (en decimal), o

sumar (en dB) a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180.

El sistema representado ser estable si el margen de ganancia y el margen de fase

son positivos.

2.4 Diagramas de Nyquist en tiempo discretoEl diagrama de Nyquist es una representacin paramtrica de una funcin de

transferencia, se utiliza en control automtico y procesamiento de seales. El uso ms

comn de los diagramas de Nyquist es para la evaluacin de la estabilidad de un sistema

con realimentacin. La representacin en los ejes cardinales es, la parte real de la funcin

de transferencia se representa en el eje X, la parte imaginaria se traza en el eje Y. La

frecuencia se recorre como un parmetro, por lo que a cada frecuencia le corresponde un

punto de la grfica. Alternativamente, en coordenadas polares, la ganancia de la funcin

de transferencia se representa en la coordenada radial, mientras que la fase de la funcin

de transferencia se representa en la coordenada angular. El diagrama de Nyquist se debe a

Harry Nyquist, un exingeniero de los Laboratorios Bell.



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Fig. 19 Diagrama de Nyquist

A continuacin se estudia un criterio que tiene el mismo objetivo que el de Routh-

Hurwitz, es decir, la estabilidad del sistema que se estudia. El criterio de Routh-Hurwitz

se relacionaba directamente con las races de la ecuacin caracterstica del sistema. En el

criterio de Nyquist se emplea un planteamiento distinto al utilizar los conceptos del

estado permanente ceno en tal correspondientes a este estudio. Originalmente lo formul

en 1932 Harry Nyquist de los Bell Telephone Laboratories. Es importante observar que su

utilidad en la prctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar a travs de

mediciones senoidales de rutina que es posible efectuar en el laboratorio.

La operacin bsica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al

plano F(s). Este documento presenta el criterio de estabilidad de Nyquist y sus

fundamentos matemticos. Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. 20. La

funcin transferencia de lazo cerrado es :

Fig. 20



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2.5 Estabilidad de sistemas muestreados

Se tendr estabilidad cuando todas las races de la ecuacin caracterstica

1 + G(S)H(S) = 0

estn en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la

respuesta de frecuencia de lazo abierto G(j$) H(j$) a la cantidad de ceros y polos de 1 +

G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es 'til en

ingeniera de control porque se puede determinar grficamente de las curvas de respuesta

de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de

determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el anlisis de estabilidad las

curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analticamente o

experimentalmente. Esto es muy conveniente porque al disear un sistema de controlfrecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresin

matemtica y solo se dispone de datos de su caracterstica de respuesta de frecuencia.

El criterio de estabilidad de Nyquist esta basado en un teorema de la teora de las

variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los con tornos de

transformacin en el plano complejo.

Se supone que la funcin transferencia de lazo abierto G(s) H(s) es representablecomo una relacin de polinomios en s. Para un sistema fsicamente realizable, el grado del

polinomio denominador de la funcin transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o

igual al del polinomio numerador. Esto significa que el limite de G(s) H(s) es cero o una

constante para cualquier sistema fsicamente construible, al tender s hacia infinito.

La ecuacin caracterstica del sistema que se ve en la Fig. 20 es

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0

Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no

pasa por ningn punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s).

La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F(s) por una

curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues mas adelante se ha de

relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.



30/52

Sea, por ejemplo, la siguiente funcin transferencia de lazo abierto:

La ecuacin caracteristica es:

La funcin F(s) es analtica en cualquier parte del plano s, excepto en sus puntossingulares. Para cada punto de analiticidad en el plano s, corresponde un punto en el

plano F(s). Por ejemplo, Si s = 1 + 2j, entoces F(s) es :

Entonces el punto s = 1 + 2j

en el plano s se transforma en el punto 1.1 2 5,77j en el plano F(s).

Teorema de la representacin

Sea F(s) la relacin entre dos polinomios en s. Sea P el nmero de polos y Z el

nmero de ceros de F(s) que quedan dentro de un contorno determinado del plano s,

considerando inclusive la multiplicidad de polos y ceros. Sea este contorno tal que no pasa

por ningn polo ni cero de F(s). Este contorno cerrado en el plano s se transforma en una

curva cerrada en el plano F(s). A medida que un punto representativo recorre el contornocompleto en el plano s en sentido horario, se producen un total de N rodeos en torno del

origen en el plano F(s), y ese numero N es igual a Z - P. (Ntese que con este teorema de la

representacin no se puede hallar la cantidad de polos y ceros, sino su diferencia.)

Un nmero N positivo indica un exceso de ceros respecto a los polos en la funcin

F(s), mientras N negativo muestra mayor cantidad de polos que de ceros. En aplicacin de

sistemas de control, se determine fcilmente P para F(s) = 1 + G(s)H(s) de la funcin

G(s)H(s). Por tanto, si se halla N del diagrama de F(s), se determina fcilmente la cantidad



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de ceros en el contorno cerrado en el plano s. Se remarca que no tienen importancia ni la

forma exacta del contorno en el plano s ni el lugar de F(s) en lo que respecta a giros por el

origen, ya que los mismos slo dependen de los polos y/o ceros de F(s) contenidos en el

contorno del plano s.

Aplicacin del teorema de la representacin al anlisis de estabilidad de sistemas de

lazo cerrado

Para analizar la estabilidad de sistemas de control lineal, se hace que el contorno

cerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho s. El contorno consiste en todo el

eje $ desde ($ = - ( hasta $ = +() , y un paso semicircular de radio infinito en el

semiplano s derecho. Este contorno recibe el nombre de recorrido de Nyquist. (El sentido

del mismo es horario.) El recorrido de Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s ycontiene todos los ceros y polos de 1 + G(s)H(s) con partes reales positivas. (Si no hay

ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s, no hay polos de lazo cerrado alli y el

sistema es estable.) Es necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquist no pase

por ningn polo o cero de 1 + G(s)H(s). Si G(s) tiene un polo o polos en el origen del plano

s, se hace indeterminada la representacin del punto s = 0. En esos casos se evita el origen

efectuando un desvio alrededor de l. (Ms adelante se efecta una discusin detallada

sobre este caso especial.) Si se aplica el teorema de la representacin al caso especial en

que F(s) es igual a 1 + G(s)H(s) se puede afirmar lo siguiente: si el contorno cerrado en elplano s contiene todo el semiplano s derecho, como se muestra en la Fig. 21, la cantidad de

ceros en el semiplano derecho de la funcin F(s) = 1 + G(s)H(s) es igual a la cantidad de

polos de la funcin F(s) = 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s mas la cantidad de

rodeos completos horarios al origen del plano 1 + G(s)H(s) de la curva cerrada

correspondiente en este ltimo plano. Debido a la condicin supuesta de que

lim [1 + G(s)H(s)] =

la funcin 1 + G(s)H(s) permanece constante mientras s recorre el semicrculo de

radio infinito. Debido a esto, se puede determinar si el lugar de 1 + G(s)H(s) Fig. 21.



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Fig. 21 Contorno cerrado en el plano S

2.6 Criterio de estabilidad de JuryLa prueba de estabilidad de Jury es un algoritmo que se aplica directamente sobre

los coeficientes de un polinomio, sin tener que resolver las races. Dicho polinomioser la

ecuacin caracterstica P(z) = 0. Esta prueba revela la existencia de cualquier raz inestable

(races en el plano z que se presentan fuera del crculo unitario). Sin embargo, no da

lalocalizacin de las races inestables. Se limita a comprobar si las races de la ecuacin

caracterstica P(z) = 0 estn dentro del crculo unidad.

2.7 Criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz modificadoEl teorema de RouthHrwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas

dinmicos.

Bsicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cul

semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo estn localizadas las races del

denominador de la funcin de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si

dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los

polos estn en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mnimo de un

polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

El criterio se refiere a la funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para

aplicar el criterio a un sistema descrito por su funcin de transferencia en lazo abierto, hay

que incluir la realimentacin haciendo:



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El criterio de Routh-Hurwitz tambin se utiliza para el trazado del lugar de las

races. En este caso, dicho procedimiento de anlisis estudia la funcin de transferencia

del sistema en bucle abierto 1+KGba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su

objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntos

marcan el lmite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el lmite

en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y

por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es evidente, tras la aplicacin del criterio

de Routh-Hurwitz, los resultados obtenidos quedarn en funcin de la ganancia K, lo cual

nos indicar a partir de qu valores de K el sistema pasar de estable a inestable (gananciaK lmite).

Dado el sistema:

donde G (s) es la ecuacin caracterstica de un sistema.

Degeneraciones

Hay dos casos de degeneraciones:

* En la primera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneracin se

salva sustituyendo el 0 por )

(nmero infinitesimalmente positivo), y se continua



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calculando. Luego a la hora de comprobar los cambios de signo se deja el 0 que

sustituimos y donde nos aparezca ) calculamos el lmite cuando )tiende a 0.

* En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneracin se salva montando

al polinomio auxiliar de la fila inmediatamente superior a la que nos apareci la fila de

ceros. A esta ecuacin se le hace la derivada y lo que nos de se sustituye en la fila de ceros,

pudiendo as continuar calculando. Al igual que en la anterior degeneracin, para

comprobar los cambios de signo se deja el 0 que nos apareci.

Si en el denominador de la funcin de transferencia del sistema tenemos una

incgnita, se calcula de igual forma todo el criterio de Routh Hrwitz y en las filas de la

primera columna en la que nos aparezca la incgnita deber ser su resultado mayor a 0,

resolvemos las inecuaciones y cogemos los resultados ms restrictivos, siendo estos los

que nos determinen que el sistema sea estable.

Finalmente se puede comprobar haciendo Ruffini, y observaremos que en los quenos dio un 0 nos saldr una par de polos complejos conjugados, si la parte real es negativa

el par de polos complejos es estable, sino no se sabe si lo es.

SYS en el lmite de la estabilidad

En el lmite de la estabilidad, a travs del teorema de Routh podemos saber si el

sistema se encuentra en otro estado que no sea estable o inestable, y este es si se

encuentras en el lmite de la estabilidad, es decir se produce una oscilacin mantenida,

incluso en estado estacionario esta oscilacin se mantendr. Esto se produce cuando ennuestra tabla de Routh alguna lnea se puede hacer 0 y no haya ningn cambio de signo

en nuestra primera columna. En este caso el sistema se encuentra en el lmite de la

estabilidad, esto representa en el plano complejo dos polos conjugados en el eje

imaginarios (sin parte real). Un polo doble en el origen (doble integrador) no seria nuestro

caso, ya que un polo en el origen genera inestabilidad. Podemos hallar el lugar de estos

polos a travs del polinomio auxiliar que obtenemos de la fila superior a la de ceros.



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Routh (1874) propuso un criterio legendario para saber si un polinomio como:

Tiene todas sus races en el semiplano izquierdo, o no. El criterio resulta de plantear

un arreglo de coeficientes, con forma triangular, y de observar si la primera columna tiene

Todos sus coeficientes con signos iguales, o no.

El arreglo se construye de la manera mostrada en la Fig. 22

Fig. 22

Las dos filas superiores se construyen de modo obvio, con los coeficientes del

polinomio; las otras filas se construyen paulatinamente mediante el procedimiento

insinuado enseguida:



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El problema ms importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la

estabilidad. Un sistema de control es estable si y slo si todos los polos en lazo

cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.

Consideremos la siguiente funcin de transferencia de lazo cerrado.

En donde las a y las b son constantes y n m ".

Criterio de estabilidad de Routh:El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo

cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (races positivas) sin tener

que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad slo se aplica a los polinomios con

una cantidad finita de trminos.

Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:

1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 0 *n a ; es decir, se

elimina cualquier raz cero.

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un

coeficiente positivo, hay una raz, o races imaginarias o que tiene partes reales positivas.

En tal caso, el sistema no es estable. La condicin necesaria, pero no suficiente, para la

estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuacin estn presentes y tengan signo

positivo.



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3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en

renglones y columnas de acuerdo con el patrn o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1,b2,b3,,c1,c2,c3,.,d1,d2,, etc., se evalan del modo

siguiente:

La evaluacin contina hasta que todas las restantes son cero. El criterio de

estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el nmero de races de la ecuacin con partes

reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes de la primera

columna del arreglo. La condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la

ecuacin se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los

coeficientes de la ecuacin sean positivos y que todos los trminos de la primera columna

del arreglo tengan signo positivo.



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Unidad III:Diseo de

ControladoresDigitales


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3.1 Controlador PID discretoUn controlador (regulador) es un dispositivo cuyo objetivo fundamental es el de

controlar que la variable (objeto de control) cumpla con lo estimado en los parmetros

de diseo del sistema.

Para cumplir con la funcin de control, el controlador utiliza la diferencia entre el

valor de consigna (seal de control, seal de entrada) y la seal medida (que proviene de

los sensores).

La capacidad y precisin del valor de consigna y de la seal medida, determinan la

habilidad del controlador para realizar correctamente el control.

En la industria se emplean al menos cinco tipos de controladores:* On/off

* Proporcional

* Integral

* Derivativo

* Combinaciones P. I. D

Los controladores PID probablemente sean el diseo de control ms empleado, por

ser el ms sencillo, pero no se aplican en sistemas complejos como los MIMO.

PID son las siglas de proporcional-integral-derivativo, y, se refieren a los tres

trminos que operan sobre la seal de error para producir la seal a la salida del

controlador.

Considerando que u(t) es la seal de consigna que se enva al sistema, y(t) es la seal

medida, r(t) es la salida deseada, y, e(t) = r(t) %y(t), el error existente; un controlador PID

se define matemticamente como:



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* El primer sumando aplica una seal proporcional al error.

* El segundo evala la evolucin del error, y, se vuelve ms significativo cuando el

error es pequeo pero constante.

* El tercer trmino considera la tendencia en el error, y, se nota ms cuando el error

se produce por instantes.

La dinmica deseada en lazo cerrado se obtiene ajustando los tres parmetros KP, KI

y KD. Este ajuste a menudo se hace iterando de manera emprica y sin conocimiento

previo del modelo del sistema.

A menudo se puede asegurar la estabilidad usando nicamente el trmino

proporcional.

Fig. 23

Disear controladores en el dominio del tiempo, implica emplear una metodologa

de tres pasos:

* Definir las especificaciones de diseo. Determinar qu debe hacer el sistema y

cmo debe hacerlo.

* Determinar la estructura del sistema de control y el tipo de controlador.

* Determinar los parmetros del controlador para cumplir con las especificaciones

del diseo.

Las especificaciones de diseo de controladores incluyen:

*Precisin requerida en el rgimen establecido de trabajo



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* Las exigencias al proceso transitivo (respuesta transitiva)

* Requerimientos sobre el control de perturbaciones (interferencias)

3.2 Mtodos y criterios para sintonizar controladores PID discretosSintonizar un controlador PID significa establecer el valor que deben tener los

parmetros de Ganancia (Banda Proporcional), Tiempo Integral (Reset) y Tiempo

derivativo (Rate), para que el sistema responda en una forma adecuada. La primera etapa

de todo procedimiento de sintonizacin consiste en obtener la informacin esttica y

dinmica del lazo. Existen diversos mtodos para ajustar los parmetros de controladores

PID, pero todos caen dentro de dos tipos:

* Mtodos en Lazo Cerrado Fig. 24: la informacin de las caractersticas del lazo seobtienen a partir de un test realizado en lazo cerrado, usualmente con un consolador con

accin proporcional pura.

Fig. 24

* Mtodos en Lazo Abierto Fig. 25: la caractersticas estticas y dinmicas de la

planta (Elemento Final de Control + Proceso + Transmisor) se obtienen de un ensayo en

lazo abierto, generalmente la respuesta a un escaln (Curva de Respuesta).

Fig. 25



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Mtodo de Ziegler y Nichols en Lazo Cerrado o de la Oscilaciones sostenidas.

El Mtodo consiste en obtener la respuesta de la seal medida a una perturbacin

(por ejemplo un pulso en el set point) con controlador proporcional. Se observa la

respuesta y si es amortiguada, se incrementa la ganancia hasta lograr Oscilaciones

Sostenidas (oscilacin con amplitud constante). La ganancia del controlador

(proporcional) en este caso se denomina Ganancia ltima y se nota Kcu y el perodo de

la oscilacin se llama Perodo ltimo Tu Fig. 26.

Fig. 26

Los valores recomendados de sintonizacin son los mostrados en la Fig. 27:

Fig. 27

Mtodo de Tyreus y Luyben en Lazo Cerrado.

Este mtodo, como el anterior, evala los parmetros del controlador a partir de la

Ganancia ltima Kcu y el Perodo ltimo !u. Propone ajustes ms relajados que el de

Ziegler y Nichols y se aplica fundamentalmente a plantas que poseen un integrador. Los

valores recomendados de sintonizacin son:

Fig. 28



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Mtodo de Ziegler y Nichols en Lazo Abierto o de la Curva de respuesta.

Por ser un mtodo en lazo abierto, primero se realiza un ensayo en lazo abierto,

introduciendo un escaln en la seal de control (salida del controlador que acta sobre el

elemento final de control) y se registra el transitorio de la variable medida o controlada

(Curva de Respuesta).

Fig. 29

Aplicando el Mtodo del Punto de inflexin, se obtiene una caracterizacinsimplificada de la planta a controlar como una capacidad de primer orden ms un tiempo

muerto:

Fig. 30

El ajuste del controlador se hace segn la Fig. 31:

Fig. 31 Esto es vlido para relaciones L/t menores que 1.



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Mtodo en Lazo Abierto de Cohen y Coon.

Se emplea el mismo test que el mtodo anterior. La sugerencia para los parmetros

tiene en cuenta el grado de autorregulacin de la planta, mensurado por la relacin R:

Fig. 32

3.3 Variantes del controlador PID discretoControlador PID 'paralelo'

Los controladores PID ideales estn caracterizados por tener una funcin temporal

que liga la seal de control u(t) con el error de la forma:

dando origen a l a f u n c i n d e

transferencia:

Este tipo de controlador se conoce como controlador PID ideal, ya que corresponde a

una funcin de transferencia de un sistema no-causal, y por lo consiguiente, no puede ser

construido con elementos de la vida real (fsicamente irrealizable). Empleando diagrama

en bloques, la relacin entre error y seal de control se puede describir como en la Fig. 33:



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Fig. 33

quedando en evidencia que los efectos proporcional, integral y derivativos se

aplican en forma paralela. Es por esta razn que a este tipo de controladores se los

denomina PID tipo paralelo o PID no interactivo (ya que las acciones no interactan entre

s).

Los controladores PID-Paralelo que ofrecen las firmas comerciales habitualmente

tienen la funcin de transferencia:

que corresponden a sistemas causales. Los fabricantes asignan al coeficiente !

valores entre 0.05 y 0.1 (y generalmente fijo).

Con todo, debe tenerse presente que este algoritmo es el que se usa casi siempre en

los textos de control automtico para explicar las combinacin de las tres acciones de

control, aunque muchos de los controladores comerciales tienen algoritmos PID

interactivo que se presenta a continuacin.

Controlador PID 'serie'

En los controladores PID 'serie' o 'interactivos', la accin derivativa se aplica primero

y luego las acciones proporcional e integral siguiendo el esquema del diagrama en

bloques de la Fig. 34.



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Fig. 34

que conduce a una funcin de transferencia:

Se us el signo # para denotar que corresponden a ganancia, tiempo integral y

tiempo derivativo, pero no en el sentido tradicional (algoritmo paralelo), sino de esta

particular configuracin. Como en el caso anterior,!es una constante que vara segn el

fabricante, pero que est comprendida entre 0.05 y 0.1.

Debe aclararse que la respuesta con ambos tipos de controladores dan respuestassimilares.



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Unidad IV:

Teora deControl Difuso


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4.1 Introduccin a la lgica difusaHacemos una presentacin elemental de la lgica difusa. Introducimos la nocin de

conjuntos difusos para luego presentar diversos clculos proposicionales de tipo difuso.

Las lgicas difusas se han desarrollado rpidamente debido a sus potencialidades de

aplicacin, entre otras muchas reas, en el diseo de controladores electrnicos. En este

texto presentamos los conceptos bsicos e invitaremos al lector a introducirse con mayor

profundidad en estos temas a travs de lecturas suplementarias.

La lgica difusa (tambin llamada lgica borrosa o lgica heurstica) se basa en lo

relativo de lo observado como posicin diferencial. Este tipo de lgica toma dos valores

aleatorios, pero contextualizados y referidos entre s. As, por ejemplo, una persona que

mida 2 metros es claramente una persona alta, si previamente se ha tomado el valor de

persona baja y se ha establecido en 1 metro. Ambos valores estn contextualizados apersonas y referidos a una medida mtrica lineal.

Fue formulada en 1965 por el ingeniero y matemtico Lofti Zadeh.

La lgica difusa ("fuzzy logic" en ingls) se adapta mejor al mundo real en el que

vivimos, e incluso puede comprender y funcionar con nuestras expresiones, del tipo "hace

mucho calor", "no es muy alto", "el ritmo del corazn est un poco acelerado", etc.

La clave de esta adaptacin al lenguaje, se basa en comprender los cuantificadores

de cualidad para nuestras inferencias (en los ejemplos de arriba "mucho", "muy" y "unpoco").

En la teora de conjuntos difusos se definen tambin las operaciones de unin,

interseccin, diferencia, negacin o complemento, y otras operaciones sobre conjuntos (ver

tambin subconjunto difuso), en los que se basa esta lgica.

Para cada conjunto difuso, existe asociada una funcin de pertenencia para sus

elementos, que indican en qu medida el elemento forma parte de ese conjunto difuso. Las

formas de las funciones de pertenencia ms tpicas son trapezoidal, lineal y curva.

Se basa en reglas heursticas de la forma SI (antecedente) ENTONCES (consecuente),

donde el antecedente y el consecuente son tambin conjuntos difusos, ya sea puros o

resultado de operar con ellos. Sirvan como ejemplos de regla heurstica para esta lgica

(ntese la importancia de las palabras "muchsimo", "drsticamente", "un poco" y

"levemente" para la lgica difusa):

SI hace muchsimo fro ENTONCES aumento drsticamente la temperatura.

SI voy a llegar un poco tarde ENTONCES aumento levemente la velocidad.



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Los mtodos de inferencia para esta base de reglas deben ser sencillos, verstiles y

eficientes. Los resultados de dichos mtodos son un rea final, fruto de un conjunto de

reas solapadas entre s (cada rea es resultado de una regla de inferencia). Para escoger

una salida concreta a partir de tanta premisa difusa, el mtodo ms usado es el del

centroide, en el que la salida final ser el centro de gravedad del rea total resultante.

Las reglas de las que dispone el motor de inferencia de un sistema difuso pueden ser

formuladas por expertos, o bien aprendidas por el propio sistema, haciendo uso en este

caso de redes neuronales para fortalecer las futuras tomas de decisiones.

Los datos de entrada suelen ser recogidos por sensores, que miden las variables de

entrada de un sistema. El motor de inferencias se basa en chips difusos, que estn

aumentando exponencialmente su capacidad de procesamiento de reglas ao a ao.

Un esquema de funcionamiento tpico para un sistema difuso podra ser de lasiguiente manera:

Fig. 35

En la Fig. 35 el sistema de control hace los clculos con base en sus reglas heursticas,

comentadas anteriormente. La salida final actuara sobre el entorno fsico, y los valores

sobre el entorno fsico de las nuevas entradas (modificado por la salida del sistema de

control) seran tomadas por sensores del sistema.

Por ejemplo, imaginando que nuestro sistema difuso fuese el climatizador de un

coche que se autorregula segn las necesidades: Los chips difusos del climatizador

recogen los datos de entrada, que en este caso bien podran ser la temperatura y humedad

simplemente. Estos datos se someten a las reglas del motor de inferencia (como se ha

comentado antes, de la forma SI... ENTONCES... ), resultando un rea de resultados. De

esa rea se escoger el centro de gravedad, proporcionndola como salida. Dependiendo



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del resultado, el climatizador podra aumentar la temperatura o disminuirla dependiendo

del grado de la salida.

4.2 AplicacionesAplicaciones generales

La lgica difusa se utiliza cuando la complejidad del proceso en cuestin es muy alta

y no existen modelos matemticos precisos, para procesos altamente no lineales y cuando

se envuelven definiciones y conocimiento no estrictamente definido (impreciso o

subjetivo).

En cambio, no es una buena idea usarla cuando algn modelo matemtico ya

soluciona eficientemente el problema, cuando los problemas son lineales o cuando no

tienen solucin.

Esta tcnica se ha empleado con bastante xito en la industria, principalmente en

Japn, extendindose sus aplicaciones a multitud de campos. La primera vez que se usde forma importante fue en el metro japons, con excelentes resultados. Posteriormente se

generaliz segn la teora de la incertidumbre desarrollada por el matemtico y

economista espaol Jaume Gil Aluja.

A continuacin se citan algunos ejemplos de su aplicacin:

* Sistemas de control de acondicionadores de aire

* Sistemas de foco automtico en cmaras fotogrficas

* Electrodomsticos familiares (frigorficos, lavadoras...)* Optimizacin de sistemas de control industriales

* Sistemas de escritura

* Mejora en la eficiencia del uso de combustible en motores

* Sistemas expertos del conocimiento (simular el comportamiento de un experto

humano)

* Tecnologa informtica

* Bases de datos difusas: Almacenar y consultar informacin imprecisa. Para este

punto, por ejemplo, existe el lenguaje FSQL.

...y, en general, en la gran mayora de los sistemas de control que no dependen de un

S/No.

Lgica difusa en inteligencia artificial

En Inteligencia artificial, la lgica difusa, o lgica borrosa se utiliza para la

resolucin de una variedad de problemas, principalmente los relacionados con control de

procesos industriales complejos y sistemas de decisin en general, la resolucin y la



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compresin de datos. Los sistemas de lgica difusa estn tambin muy extendidos en la

tecnologa cotidiana, por ejemplo en cmaras digitales, sistemas de aire acondicionado,

lavarropas, etc. Los sistemas basados en lgica difusa imitan la forma en que toman

decisiones los humanos, con la ventaja de ser mucho ms rpidos. Estos sistemas son

generalmente robustos y tolerantes a imprecisiones y ruidos en los datos de entrada.

Algunos lenguajes de programacin lgica que han incorporado la lgica difusa seran

por ejemplo las diversas implementaciones de Fuzzy PROLOG o el lenguaje Fril.

Consiste en la aplicacin de la lgica difusa con la intencin de imitar el

razonamiento humano en la programacin de computadoras. Con la lgica convencional,

las computadoras pueden manipular valores estrictamente duales, como verdadero/falso,

s/no o ligado/desligado. En la lgica difusa, se usan modelos matemticos para

representar nociones subjetivas, como caliente/tibio/fro, para valores concretos que

puedan ser manipuladas por los ordenadores.En este paradigma, tambin tiene un especial valor la variable del tiempo, ya que los

sistemas de control pueden necesitar retroalimentarse en un espacio concreto de tiempo,

pueden necesitarse datos anteriores para hacer una evaluacin media de la situacin en

un perodo anterior...

Ventajas e inconvenientes

Como principal ventaja, cabe destacar los excelentes resultados que brinda un

sistema de control basado en lgica difusa: ofrece salidas de una forma veloz y precisa,disminuyendo as las transiciones de estados fundamentales en el entorno fsico que

controle. Por ejemplo, si el aire acondicionado se encendiese al llegar a la temperatura de

30, y la temperatura actual oscilase entre los 29-30, nuestro sistema de aire

acondicionado estara encendindose y apagndose continuamente, con el gasto

energtico que ello conllevara. Si estuviese regulado por lgica difusa, esos 30 no seran

ningn umbral, y el sistema de control aprendera a mantener una temperatura estable sin

continuos apagados y encendidos.

Tambin est la indecisin de decantarse bien por los expertos o bien por la

tecnologa (principalmente mediante redes neuronales) para reforzar las reglas heursticas

iniciales de cualquier sistema de control basado en este tipo de lgica.



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Fuentes De Informacin


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