antisymmetry (4 by 4, o's and x's)
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
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Antisymmetry by Adi Cox 5th October 2014
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Antisymmetry is where X matches O under a rotation or a reflection. In this
exercise below we shall just be considering rotations and not reflections.
X O O X
X X X X An example of antisymmetry under a Pi radian rotation.
O O O O
O X X O
The number of possible 4 x 4 antisymmetry patterns = 2^8 = 256.This isbecause half of the positions in the 4 x 4 square have two options,
eitherX or O and the other 8 positions must be an inverse match.
We can divide 256 by 2 because half of the 4 x 4 patterns will be inverted.
This gives 128 patterns to find.
There is also 2^4 = 16 antisymmetry patterns with Pi/2. We can divide 16 by
2 because half of the 4 x 4 patterns will be inverted. This gives 8 more
patterns to find.
For Pi and Pi/2 rotations matching upper and lower case letters are inverse
to each other. so if a=X then A=O and vice a versa.
Pi Rotation
a b c d
e f g h
H G F E
D C B A
Pi/2 Rotation and 3Pi/2 = -Pi/2
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
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a b C A
c d D B
B D d c
A C b a
The 8 patterns and their inverses with Pi/2 rotation are as follows:
[1] X X O O O O X X
X X O O O O X X
O O X X X X O O
O O X X X X O O
[2] O X O X X O X O
X X O O O O X X
O O X X X X O O
X O X O O X O X
[3] X O O O O X X X
X X O X O O X O
X O X X O X O O
O O O X X X X O
[4] X X X O O O O X
O X O O X O X X
O O X O X X O X
O X X X X O O O
[5] O O O X X X X O
X X O X O O X O
X O X X O X O O
X O O O O X X X
[6] O X X X X O O O
O X O O X O X X
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
3/23
O O X O X X O X
X X X O O O O X
[7] X O X O O X O X
O X O X X O X O
X O X O O X O X
O X O X X O X O
[8] O O X X X X O O
O X O X X O X O
X O X O O X O X
X X O O O O X X
We can systemize the 128 patterns that we are looking for by inverting the
top 8 positions in the 4 x 4 square with the bottom 8 positions in the
4 x 4 square under a Pi rotation as follows:
(001) X X X X O O O O
X X X X O O O O
O O O O
X X X X
O O O O X X X X
There will be 8 positions in the 4 x 4 square that has one X in the bottom
half as follows:
(002) O X X X X O O O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O O O X X X X O
(003) X O X X O X O O
X X X X O O O O
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
4/23
O O O O X X X X
O O X O X X O X
(004) X X O X O O X O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O X O O X O X X
(005) X X X O O O O X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X O O O O X X X
(006) X X X X O O O O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O O O O X X X X
(007) X X X X O O O O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O O O O X X X X
(008) X X X X O O O O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O O O O X X X X
(009) X X X X O O O O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O O O O X X X X
There will be 7+6+5+4+3+2+1 = 28 positions in the 4 x 4 square that has
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
5/23
two X's in the bottom half as follows:
(010) O O X XX X O O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O O X X X X O O
(011) O X O X X O X O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O X O X X O X O
(012) O X X O X O O X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X O O X O X X O
(013) O X X X X O O O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O O O X X X X O
(014) O X X X X O O O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O O O X X X X O
(015) O X X X X O O O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O O O X X X X O
(016) O X X X X O O O
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
6/23
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O O O X X X X O
(017) X O O X O X X O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O X X O X O O X
(018) X O X O O X O X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X O X O O X O X
(019) X O X X O X O O
O X X X X O O O
O O O X X X X X
O O X O X X X X
(020) X O X X O X O O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O O X O X X O X
(021) X O X X O X O O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O O X O X X O X
(022) X O X X O X O O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O O X O X X O X
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
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(023) X X O O O O X X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X X O O O O X X
(024) X X O X O O X O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O X O O X O X X
(025) X X O X O O X O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O X O O X O X X
(026) X X O X O O X O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O X O O X O X X
(027) X X O X O O X O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O X O O X O X X
(028) X X X O O O O X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X O O O O X X X
(029) X X X O O O O X
X O X X O X O O
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8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
8/23
O O X O X X O X
X O O O O X X X
(030) X X X O O O O X
X X O X O O X O
O X O O X O X X
X O O O O X X X
(031) X X X O O O O X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X O O O O X X X
(032) X X X X O O O O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O O O O X X X X
(033) X X X X O O O O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O O O O X X X X
(034) X X X X O O O O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
O O O O X X X X
(035) X X X X O O O O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O O O O X X X X
(036) X X X X O O O O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
9/23
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O O O O X X X X
(037) X X X X O O O O
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O O O O X X X X
There will be 6+5+4+3+2+1+5+4+3+2+1+4+3+2+1+3+2+1+2+1+1=56 positions
in the 4 x 4 square that has three X's in the bottom half as follows:
(038) O O O X X X X O
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O X X X X O O O
(039) O O X O X X O X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X O X X O X O O
(040) O O X X X X O O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O O X X X X O O
(041) O O X X X X O O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O O X X X X O O
(042) O O X X X X O O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
10/23
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O O X X X X O O
(043) O O X X X X O O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O O X X X X O O
(044) O X O O X O X X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X X O X O O X O
(045) O X O X X O X O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O X O X X O X O
(046) O X O X X O X O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O X O X X O X O
(047) O X O X X O X O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O X O X X O X O
(048) O X O X X O X O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O X O X X O X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
11/23
(049) O X X O X O O X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X O O X O X X O
(050) O X X O X O O X
X O X X O X O O
O O X O X X O X
X O O X O X X O
(051) O X X O X O O X
X X O X O O X O
O O X O X X O X
X O O X O X X O
(052) O X X O X O O X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X O O X O X X O
(053) O X X X X O O O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O O O X X X X O
(054) O X X X X O O O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O O O X X X X O
(055) O X X X X O O O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
12/23
O O O X X X X O
(056) O X X X X O O O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O O O X X X X O
(057) O X X X X O O O
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O O O X X X X O
(058) O X X X X O O O
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O O O X X X X O
(059) X O O O O X X X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
X X X O O O O X
(060) X O O X O X X O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O X X O X O O X
(061) X O O X O X X O
X O X X O X O O
O O X O X X O X
O X X O X O O X
(062) X O O X O X X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
13/23
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O X X O X O O X
(063) X O O X O X X O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O X X O X O O X
(064) X O X O O X O X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X O X O O X O X
(065) X O X O O X O X
X O X X O X O O
O O X O X X O X
X O X O O X O X
(066) X O X O O X O X
X X O X O O X O
O X O O X O X X
X O X O O X O X
(067) X O X O O X O X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X O X O O X O X
(068) X O X X O X O O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O O X O X X O X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
14/23
(069) X O X X O X O O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O O X O X X O X
(070) X O X X O X O O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
O O X O X X O X
(071) X O X X O X O O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O O X O X X O X
(072) X O X X O X O O
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O O X O X X O X
(073) X O X X O X O O
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O O X O X X O X
(074) X X O O O O X X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X X O O O O X X
(075) X X O O O O X X
X O X X O X O O
O O X O X X O X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
15/23
X X O O O O X X
(076) X X O O O O X X
X X O X O O X O
O X O O X O X X
X X O O O O X X
(077) X X O O O O X X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X X O O O O X X
(078) X X O X O O X O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O X O O X O X X
(079) X X O X O O X O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O X O O X O X X
(080) X X O X O O X O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
O X O O X O X X
(081) X X O X O O X O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O X O O X O X X
(082) X X O X O O X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
16/23
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O X O O X O X X
(083) X X O X O O X O
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O X O O X O X X
(084) X X X O O O O X
O O X X X X O O
X X O O O O X X
X O O O O X X X
(085) X X X O O O O X
O X O X X O X O
O X O X X O X O
X O O O O X X X
(086) X X X O O O O X
O X X O X O O X
X O O X O X X O
X O O O O X X X
(087) X X X O O O O X
X O O X O X X O
O X X O X O O X
X O O O O X X X
(088) X X X O O O O X
X O X O O X O X
X O X O O X O X
X O O O O X X X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
17/23
(089) X X X O O O O X
X X O O O O X X
X X O O O O X X
X O O O O X X X
(090) X X X X O O O O
O O O X X X X O
O X X X X O O O
O O O O X X X X
(091) X X X X O O O O
O O X O X X O X
X O X X O X O O
O O O O X X X X
(092) X X X X O O O O
O X O O X O X X
X X O X O O X O
O O O O X X X X
(093) X X X X O O O O
X O O O O X X X
X X X O O O O X
O O O O X X X X
There will be 5+4+3+2+1+4+3+2+1+3+2+1+2+1+1=35 positions
in the 4 x 4 square that has four X's in the bottom half as follows:
(094) O O O O X X X X
X X X X O O O O
O O O O X X X X
O O O O X X X X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
18/23
(095) O O O X X X X O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
O X X X X O O O
(096) O O O X X X X O
X O X X O O O O
O O X O X X O X
O X X X O O O O
(097) O O O X X X X O
X X O X O O X O
O X O O X O X X
O X X X X O O O
(098) O O O X X X X O
X X X O O O O X
X O O O O X X X
O X X X X O O O
(099) O O X O X X O X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X O X X O X O O
(100) O O X O X X O X
X O X X O X O O
O O X O X X O X
X O X X O X O O
(101) O O X O X X O X
X X O X O O X O
O X O O X O X X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
19/23
X O X X O X O O
(102) O O X O X X O X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X O X X O X O O
(103) O O X X X X O O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
(104) O O X X X X O O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O O X X X X O O
(105) O O X X X X O O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
O O X X X X O O
(106) O O X X X X O O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O O X X X X O O
(107) O O X X X X O O
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O O X X X X O O
(108) O O X X X X O O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
20/23
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O O X X X X O O
(109) O X O OX O X X
O X X X X O O O
O O O X X X X O
X X O X O O X O
(110) O X O O X O X X
X O X X O X O O
O O X O X X O X
X X O X O O X O
(111) O X O O X O X X
X X O X O O X O
O X O O X O X X
X X O X O O X O
(112) O X O O X O X X
X X X O O O O X
X O O O O X X X
X X O X O O X O
(113) O X O X X O X O
O O X X X X O O
O O X X X X O O
O X O X X O X O
(114) O X O X X O X O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
O X O X X O X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
21/23
(115) O X O X X O X O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
O X O X X O X O
(116) O X O X X O X O
X O O X O X X O
O X X O X O O X
O X O X X O X O
(117) O X O X X O X O
X O X O O X O X
X O X O O X O X
O X O X X O X O
(118) O X O X X O X O
X X O O O O X X
X X O O O O X X
O X O X X O X O
(119) O X X O X O O X
O O X X X X O O
O O X X X X O O
X O O X O X X O
(120) O X X O X O O X
O X O X X O X O
O X O X X O X O
X O O X O X X O
(121) O X X O X O O X
O X X O X O O X
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
22/23
X O O X O X X O
X O O X O X X O
(122) O X X O X O O X
X O O X O X X O
O X X O X O O X
X O O X O X X O
(123) O X X O X O O X
X O X O O X O X
X O X O O X O X
X O O X O X X O
(124) O X X O X O O X
X X O O O O X X
X X O O O O X X
X O O X O X X O
(125) O X X X X O O O
O O O X X X X O
O X X X X O O O
O O O X X X X O
(126) O X X X X O O O
O O X OX X O X
X O X X O X O O
O O O X X X X O
(127) O X X X X O O O
O O X O X X O X
X O X X O X O O
O O O X X X X O
-
8/11/2019 Antisymmetry (4 by 4, O's and X's)
23/23
(128) O X X X X O O O
O X O O X O X X
X X O X O O X O
O O O X X X X O
_______________________________________________________________________________
Checking the above using the combination formula we get the following:
Combinations of r from n = (n!)/[(n - r)!r!] = C(n,r)
Combinations of 0 from 8 = (8!)/[(8 - 0)!0!] = 1.
Combinations of 1 from 8 = (8!)/[(8 - 1)!1!] = 8.
Combinations of 2 from 8 = (8!)/[(8 - 2)!2!] = 8.7/2 = 8.7 = 28.
Combinations of 3 from 8 = (8!)/[(8 - 3)!3!] = 8.7.6/3.2 = 8.7 = 56.
The combinations of 4 from 8 is divided by two because half of the results are
inverted.{Combinations of 4 from 8}/2 = {(8!)/[(8 - 4)!4!]}/2
= {8.7.6.5/4.3.2}/2 = 7.5 = 35.
2*[35 + 56 + 28 + 8 + 1] = 256 antisymmetries of 4 x 4 patterns of O's and X's
with a Pi radian rotation. There are also 16 antisymmetries of 4 x 4 patterns
of O's and X's with a Pi/2 radian rotation.