annette eickerapmg 1 1 19.01.2014 annette eicker 19.01.2012 kreiselgleichungen...

Annette Eicker APMG 1

1

11.04.23

Annette Eicker19.01.2012

Kreiselgleichungen

(Euler-Liouville-Gleichung)


2

11.04.23

RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung

rp mImpuls:

Träge Masse

Impulsänderung benötigt Kraft:

Kp

Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:

ML

Drehimpuls:

dTL

Trägheitstensor

Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit

Wiederh.: Lineare Bewegung <-> Rotation


3

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Starrer KörperStarrer Körper

Wiederh.: Drehimpulsbilanz

Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:

Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:

z

y

x

z

y

x

dmyxdmyzdmxz

dmyzdmzxdmxy

dmxzdmxydmzy

L

L

L

22

22

22

TdL

Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt

Hauptachsensystem

Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt

Hauptachsensystem

C

B

A

00

00

00

T


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11.04.23

RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung

rp mImpuls:

Träge Masse

Impulsänderung benötigt Kraft:

Kp

Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL):

Kr m

Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:

ML

Drehimpuls:

dTL

Trägheitstensor

Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit

Wiederh.: Lineare Bewegung <-> Rotation

Dies führt auf dieEulerschen Kreiselgleichungen (DGL):

zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(


5

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Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen Einfacher Fall:

- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)

- Rotationsellipsoid

Einfacher Fall:

- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)

- Rotationsellipsoid

Wiederh.: Trägheitsbewegung

zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(

CBA

0M

C

A

A

00

00

00

T

KreiselgleichungenKreiselgleichungen

0

0

0

z

zxy

zyx

A

CAA

AC


6

11.04.23

Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen


zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(

AbkürzungAbkürzung

: z

C Aconst

A

Allgemeine LösungAllgemeine Lösung

0

0

cos ( )

sin ( )x

y

z

k t t

k t t

c const

KreiselgleichungenKreiselgleichungen

0

0

0

z

zxy

zyx

A

CAA

AC

k ist eine beliebige Konstante!


7

11.04.23

Wiederh.: TrägheitsbewegungFigurenachse Drehimpulsachse

Drehachse

Allgemeine LösungAllgemeine Lösung

0

0

cos ( )

sin ( )x

y

z

k t t

k t t

c const

Drehvektor im erdfesten System:


8

11.04.23


BilanzgleichungBilanzgleichung

0L dt

d

Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest

constL


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11.04.23

Rotation der Erde

constA

ACz

:

DrehvektorDrehvektor

0

0

cos ( )

sin ( )

z B

k t t

k t t

d

Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2

• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2

• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2

• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s




• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/sz

ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2

305Sterntagez

C A

A

Frequenz


10

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Rotation der Erde

Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse

~305 Tage

Bewegung der Drehachse im erdfesten System


11

11.04.23

Rotation der Erde









constA

ACz

:

DrehvektorDrehvektor

0

0

cos ( )

sin ( )

z B

k t t

k t t

d

z

Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage

ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2

305Sterntagez

C A

A

Wie kommt dieser Unterschied zustande?

Wie kommt dieser Unterschied zustande?


12

11.04.23

Erklären die Drehmomente von Sonne und Mond die

Chandlerperiode?

Erklären die Drehmomente von Sonne und Mond die

Chandlerperiode?


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11.04.23

Drehmomente von Sonne und Mond

http://www.greier-greiner.at/hc/navi.htm

DrehmomentDrehmoment

Bjj

jj

jj

j

jj

AByx

CAzx

BCzy

r

GMt

)(

)(

)(3

)( 5M

Mit der Postion von Sonne und Mond

Mit der Postion von Sonne und Mond

Bj

j

j

j

z

y

x

t

)(r


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11.04.23

Rotation der Erde


~305 Tage



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11.04.23

Rotation der Erde


~14 Tage

~305 Tage


Mond


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Rotation der Erde


~182 Tage


Sonne


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11.04.23

Drehmomente haben keinen signifikanten Einfluß auf die

Eulerperiode.

Drehmomente haben keinen signifikanten Einfluß auf die

Eulerperiode.


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11.04.23

Rotation der Erde


Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006


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11.04.23

Rotation der Erde


Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006IERS C04 ZeitreiheIERS C04 Zeitreihe


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11.04.23

Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006

Wahre Bewegung des Drehvektors

Tageslänge (August 2002 - Dezember 2006)Tageslänge (August 2002 - Dezember 2006)


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11.04.23

System Erde

Die Erde ist kein starrer Körper

• Atmosphärischer Massentransport

• Massentransporte in Ozean und Kryosphäre

• Hydrologischer Massentransport

• Erdgezeiten

• Plattentektonik

• Nacheiszeitliche Landhebung

• Erdkern

• Erdbeben etc…

Die Erde ist kein starrer Körper

• Atmosphärischer Massentransport

• Massentransporte in Ozean und Kryosphäre

• Hydrologischer Massentransport

• Erdgezeiten

• Plattentektonik

• Nacheiszeitliche Landhebung

• Erdkern

• Erdbeben etc…

©MIT/Haystack


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11.04.23

Drehimpulsbilanz


dmrrL AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

xdxx

Dt

D

dt

d

deformierbarer Körperdeformierbarer Körper

hTdL

dmDt

Dxd

xxL

dmDt

Ddm

xxxdxL

MassentermMassenterm Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)

Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)

Erinnerung: beim starren Körper


0D

Dt

x

und

L Td


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11.04.23

Drehimpuls

Relative Drehimpulse

=> (Euler-Liouville-Gleichung)


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11.04.23

Drehimpulsbilanz


dmrrL AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

xdxx

Dt

D

dt

d

deformierbarer Körperdeformierbarer Körper

hTdL

dmDt

Dxd

xxL

dmDt

Ddm

xxxdxL

MassentermMassenterm Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)

Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)



0D

Dt

x

und

L Td


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11.04.23

BilanzgleichungBilanzgleichung

Kreiselgleichungen

AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

dDt

D

dt

d

ML dt

d

DrehimpulsDrehimpuls

hTdL

Im rotierenden SystemIm rotierenden System

D

Dt

Ld L M

MhTddhTd

Dt

D )(

Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung

MhdTddhd

TdT

Dt

D

Dt

D

Dt

D

Erinnerung: starrer KörperErinnerung: starrer Körper

D

Dt

dT d Td M


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11.04.23

Rotationsdeformation


MhdTddhd

TdT

Dt

D

Dt

D

Dt

D


27

11.04.23



MhdTddhd

TdT

Dt

D

Dt

D

Dt

D


28

11.04.23



MhdTddhd

TdT

Dt

D

Dt

D

Dt

D


29

11.04.23



MhdTddhd

TdT

Dt

D

Dt

D

Dt

D

Die Rotationsdeformation (polar tides) verändert den Trägheitstensor und verlangsamt die Eulerperiode zur Chandlerperiode

Die Rotationsdeformation (polar tides) verändert den Trägheitstensor und verlangsamt die Eulerperiode zur Chandlerperiode


30

11.04.23

Variationen der Atmosphäre

Geoid


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11.04.23

TrägheitstensorTrägheitstensor

Atmosphärenmodell NCEP

A D E

D B F

E F C

T

E

F

C

F. Seitz, 2004F. Seitz, 2004


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11.04.23

Realtive DrehimpulseRealtive Drehimpulse

Atmosphärenmodell NCEP

x

y

z

F. Seitz, 2004F. Seitz, 2004

)(

)(

)(

)(

tz

ty

tx

th


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11.04.23

Modell Nuvel-1AModell Nuvel-1A

Nicht nur Atmosphäre und Ozean erzeugen relative Drehimpulse.

Frage: Wie definiert man ein erdfestes Koordinatensystem?




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11.04.23

Modell Nuvel-1AModell Nuvel-1A





No Net Rotation (NNR) = Tisserand-Bedingung

Das Koordinatensystem wird so gewählt,dass der relative Drehimpuls verschwindet

No Net Rotation (NNR) = Tisserand-Bedingung

Das Koordinatensystem wird so gewählt,dass der relative Drehimpuls verschwindet

0

dmDt

Dxxh


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11.04.23

Realisierung

Raumverfahren: GPS, VLBI, SLR, LLRRaumverfahren: GPS, VLBI, SLR, LLR


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11.04.23

Realisierung

Fundamentalstation WettzellFundamentalstation Wettzell


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11.04.23

Realisierung

Fundamentalstation WettzellFundamentalstation Wettzell

VLBIVLBI

SLRSLR

LAGEOSLAGEOS

GPSGPS


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11.04.23

International Earth rotation and Reference systems Service (IERS)

http://www.iers.org

International Earth rotation and Reference systems Service (IERS)

http://www.iers.org

Gemeinsame Bestimmung von Stationskoordinaten & Geschwindigkeiten (Realisierung des Koordinatensystems) und

Erdrotationsparameter

Gemeinsame Bestimmung von Stationskoordinaten & Geschwindigkeiten (Realisierung des Koordinatensystems) und

Erdrotationsparameter

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