análise de fourier - uff
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Análise de Fourier
Imagens no Domínio da Freqüência
Todas as imagens deste trabalho foram obtidas de R. C. Gonzalez and R.E. Woods - Digital Image Processing, Addison Wesley Pub. Co. 1993 -
ISBN 0-201-60078-1 http://www.imageprocessingbook.com
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Transformada de Fourier de uma função contínua.
• Se f(x) é contínua sua transformada de Fourier TFé denotada pelo símbolo:
• ou F(u) e definida como
• onde
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Transformada Inversa de Fourier
• Sendo dada uma F(u) , a função inversa , f(x) podeser obtida de:
• Chama-se par de Fourier ao conjunto
( f(x), F(u) )
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F(u) é geralmente um função complexa
• de modo que, como um número complexo, faz sentido sefalar em uma parte real e outra imaginária:
• E também em descrevê-la na forma polar, comomagnitude e ângulo de fase.
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Como um número complexo a TF também pode serescrita na forma exponecial
• se forem usandas as Identidades de Euler:
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Espectro de Fourier de f(x)
• é o gráfico da magnitude x u (freqüência)
• O quadrado da magnitude é chamado de Espectro dePotência ou Energia de f(x):
• A freqüência , u , corresponde a freqüência na forma desenos e cosenos
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Exemplo:
• supondo f(x) dada por:
• f(x) =A para x<X A
X x
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exemplo cont.
• De modo seu espectro ficará
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em 2D:
• as integrais simples ficarão integrais duplas,
• mas os demais conceitos e formas são iguais:
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exemplo para funções 2D:
• considerando a em função : f(x,y) =A para x<X e y<Y ,teremos:
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Outrosexemplos def(x,y) e seusespectros:
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Para funções discretas:
• Teremos as sequencia: f(0),f(1), f(2),....f(N-1)
• de modo que passaremos a ter um par discreto de Fourier dado por:
• para u=0,1,2,...N-1 e x= 0,1,2,...N-1
• os incrementos em u e x se relacionam por:
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Para o caso de duas variáveis discretas teremos:
• Para par de Fourier com:
u=0,1,2,...M-1 e v= 0,1,2,...N-1
e x=0,1,2,...M-1 e y= 0,1,2,...N-1
• e relação entre as amostras :
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Para funções com “grid” 2D é quadrado:
• M=N e 1/N aparece em f( x , y) e F( u , v )
• Diferente do caso continuo, no caso discreto a transformada de Fourierde uma função sempre existe! ( Gonzalez & Wood p. 90)
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Exemplo se f é a abaixo:
• De modo que o espectro será...
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Algumas características:
• Para melhor visualizar devido ao grande range muitas vezes melhormostra na forma logaritmica:
log (1+ | F(u , v) | )
• No exemplo abaixo iria de [0 a 2500000 ], na forma de log passa a irde [0 a 6.4] sendo depois re-escalada para ir de 0 a 255 tons de cinza
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Separabilidade:
• Os valores podem ser calculados nas variáveis x e depois nas y, comoduas funções 1D, e as inversas em u e v
Translação :• um Shift em f(x,y)
não afeta a magnitude de
F(u,v)
• é melhor interpretada
geralmente se a origem for
movida para o meio do
período (N/2,N/2)
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Rotação: Rotacionando f(x,y) de um ângulo , faz F(u,v) ser rotacionada
do mesmo angulo.
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Operação ( )tf ( )wF
Linearidade ( ) ( )tfatfa 2211 + ( ) ( )wFawFa 2211 +
Escalonamento ( )atf
a
wF
a
1
Deslocamentono espaço
( )0ttf − ( ) 0iwtewF −
Deslocamentono freqüência
( ) tiwetf 0 ( )0wwF −
Diferenciaçãono espaço n
n
dt
fd ( ) ( )wFiw n
Diferenciaçãona freqüência
( ) ( )tfit n−n
n
dw
Fd
Integração noespaço ( )∫
∞−
t
dxxf ( ) ( )wFiw
1
Convolução noespaço
( ) ( )tftf 21 * ( ) ( )wFwF 21
Convolução nafreqüência
( ) ( )tftf 21 ( ) ( )[ ]wFwF 21 *2
1
π
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Teorema da Convolução:
• A convolução de duas funções do espaço se torna amultiplicação de suas transfornadas
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)
• A convolução de duas funções em freqüência se torna amultiplicação de suas transfornadas inversas:
G(u,v)= H(u,v)F(u,v)
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Como Projetar filtros:
• Suponha que h(x,y) seja desconhecida.
• Se for aplicado uma função pulso unitário, suatransformada de Fourier será 1, de modo que:G(u,v) = H(u,v)
• Assim a transformada inversa de G(u,v) será h(x,y)
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Filtragem em freqüência: G(u,v)= H(u,v)F(u,v)
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O filtro passa-baixa ideal é definido por:
Onde Do é um valor específico não negativo e D(u,v) é a distancia do ponto(u,v) a origem do plano de freqüência , isto é:
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Exemplo em imagem de 521x512
• No espectro de Fourier os círculos de raios de 8,18,43,78 e 152 econtém 90 % , 93% , 95% , 99% e 99,5 % da potencia da imagem
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Filtro passa-alta ideal
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Filtro de Butterworth• Não apresenta descontinuidade abrupta na freqüência de corte, tal
como a apresentada pelo filtro passa-baixa ou passa baixa ideal.
• As freqüências indesejáveis serão atenuadas progressivamente em umdeterminado espectro de freqüência.
• Este filtro é muito usado para atenuar contornos duplos e ruídosindesejáveis.
H(u,v) = 1 / (1 + (D/Do)2n )
H(u,v) = 1 / (1 + (Do/D)2n )
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Regeita Banda Ideal
• Suprime todas as freqüência em uma vizinhaça de raio Do em torno deum ponto (uo,vo)
• Devido a simetria da transformada de Fourier se não for em torno daorigem deve ser feita em pares simetricos, para manter o sentido.
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Exemplo: imagem corrompida por um padrão senoidal
• imagem original
• Espectro de Fourier
mostra impulsos senoidais
• Filtragem usando
filro rejeita banda
de raio 1
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Exemplo: imagem corrompida por mais de um padrão
Imagem
Seu espectro deFourier
Padrão devido aospontos fora daorigem
Imagem processada
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Textura global
• Picos de |F(u)| mostram as direções principais da textura
• Localização dos picos nos planos de frequencia dão operíodo espacial fundamental
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Image,seu espectro,e gráficos S(r) eS(0)
Outra textura eseu gráfico S(0)
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Transformada Discreta Rápida de Fourier - FFT
• Diminue a complexidade do cáculo de N x N
para N log 2 N
• Usa a separabilidade
• Usa uma tabela para os termos exponenciais
• Usa o mesmo algoritmo para a transformada direta einversa.
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Referências:
• Foram usados os livros textos da página do curso:
– Alan &Policarpo
– Jain et al.
– Gonzalez & Wood
– (Referencia detalhada desta bibliografia emwww.ic.uff.br/~aconci/AI.html)