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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 1

AnkündigungBlockkurs GrundpraktikumWintersemester 2019/2020:

24.02.2020 – 13.03.2020

Anmeldezeitraum:

13.01.2020 – 24.01.2020

online unter www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/bachelor/grundpraktikum/

Termine Modul A:

T17 Montag/Donnerstag 08:30T18 Montag/Donnerstag 14:00

T19 Dienstag/Freitag 08:30T20 Dienstag/Freitag 14:00

Sicherheitseinweisung Modul A am 07.02.2020


AnkündigungVorlesungstermine

16.01.2020: Reguläre Vorlesung

23.01.2020: Besprechung 10. Übung

Falls gewünscht kann uns die Probeklausur bis 24.01.2020

zur Korrektur eingereicht werden

03.02.2020: Ankündigung Klausurzulassung

06.02.2020: Rückgabe Probeklausur / Fragestunde

19.02.2020: 09:00 Uhr KLAUSUR

09.04.2020: 09:00 Uhr ZWEITKLAUSUR


6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben

Erstabgabe Übung 8


Übungsaufgabe

yi


X i Y i

0,20 52,4

1,17 54,6

1,96 57,7

2,98 59,5

4,05 62,7

5,12 65,6

5,93 67,0

7,01 69,0

8,24 72,80,00 2,00 4,00 6,00 8,00

50,0

55,0

60,0

65,0

70,0

75,0

Testmessung zur linearen Regression

Y

X

Wiederholung

Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte

Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passtam besten zu den Messwerten?


Wenn die Messwerte (Xi , Yi) keinerlei Unsicherheit hätten, dann läge jeder Punkt exakt auf der Geraden

Die Fehler in X sind wesentlich kleiner als die Fehler in Y.X ist fehlerfrei und Y ist fehlerbehaftet.

Die Daten sind beschrieben durch den funktionellen Zusammenhang:

Annahmen:

0,00 2,00 4,00 6,00 8,0050,0

55,0

60,0

65,0

70,0

75,0

Testmessung zur linearen Regression

Y

X

.y a bx

Die Abweichung yi (Residuen) jedes Datenpunktes von der

bestangepassten Geraden ist dann:

yi

( ) .i i i i iy y y x y a bx

Wiederholung


Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.

Normalverteilung der Messwerte:

21 1exp

22i i

iii

y y xP

.y a bx

Wiederholung


21 1exp

22i i

iii

y y xP

Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu beobachten ist dann gegeben durch:

0 01 1

11

21 1( , ) exp

22

21 1exp

22

N Ni i

ii i ii

N Ni i

ii ii

y y xP a b P

y y x

Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Dasist der Fall, wenn der Exponent

minimal wird.

2

1 1

2 2N Ni i i i

i ii i

y y x y a bx

Wiederholung


Lineare Regression - BestwerteLineare Regression

oder

Anpassung einer Geraden nach der Methode der kleinsten Quadrate

2

1 1

2 2N Ni i i i

i ii i

y y x y a bx

Für 2 minimal ist die Übereinstimmung am besten.

2

2

0;

0;

a

b


2 2 2

2 2 2 22

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1 ;

11 1 1 ;

i i

i i i i i i i

i i i ii i i

i i

i

i i i i i i

i i i i i i i

i i

y xy x x x ya

x y x

yx y x yb

x x y

22 2 2

2 2 22

2 2

11

i

i i i i

i i ii i

i i

xx x

x x

Lineare Regression - Bestwerte

Falls jeder Datenpunkt den gleichen Fehler aufweist, lässt sich dieses Gleichungssystem vereinfachen.

Das wird häufig, aber bei weitem nicht immer möglich sein.


Nichtlineare graphische Darstellungen


s = 1/2 g t2

Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.

Beispiel 1: Beschleunigte Bewegung

Linearisierung graphischer Darstellung


ln(N) = ln(No) – d

Y = A + B X

0 20 40 600

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 20 40 60 80100000

1000000

10000000

Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.

Beispiel 2: Schwächung von -Strahlen N N do exp

Linearisierung graphischer Darstellung


lg ln1 0,000 0,0002 0,301 0,6933 0,477 1,0994 0,602 1,3865 0,699 1,6096 0,778 1,7927 0,845 1,9468 0,903 2,0799 0,954 2,19710 1,000 2,30320 1,301 2,99630 1,477 3,40140 1,602 3,68950 1,699 3,9120,0

0,20,3

0,4

0,5

0,60,70,8

0,9

1,01,11,2

1,31,4

0,1

1,5

1,6

1

2

3

45

7

10

20

Logarithmisches Papier


Die folgenden Folienseiten zeigen nur die Prinzipien.

Logarithmisches Papier


Beispiel aus Grundpraktikum: Schwächung von -Strahlen

Versuchsaufbau:

Daten:



40,020,0 60,00,0 d / cm

N(d) / Imp

3,67106

1,43105

107

106

105

+

+

+

+

+

+

+

++



40,020,0 60,00,0 d / cm

N(d) / Imp

107

106

105

+

+

+

+

+

+

+

++

Auswertung

ln(N) = ln(No) – dY = A + B X

dμNN o exp

Titel Name

Legende


Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken

0 50 100 150 200 2501

10

100

1000

10000

Impu

lse

Zeit [sec]

/toN N e

0 900015 540030 330045 20060 110075 68090 450105 300120 200135 130150 80165 55180 37195 24210 11225 8240 5

T/sec N/ Impulse/s

No = 8996 Impulse

= (29,61 0,19) s Erstaunlicherweise ist die rote Gerade (a) die beste Anpassung an

die Daten.


Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken

Abweichung der Messpunkte von der Gerade ist nur eine Standardabweichung.

Abweichung der Messpunkte von der Gerade beträgt mehrere Standardabweichungen.

0 50 100 150 200 250

Impu

lse

Zeit / s


Halblogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermitteln

wollen, ob und wie ein exponentieller Zusammenhang

besteht.

0

0

exp[ ];log( ) log( ) ;

;

y y axy y axY A ax


Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz

E T E Toc

T To

, , exp

2 1 1

wobei E(.T) die spektrale Energieverteilung bei der Wellenlänge und der Temperatur T ist.

Umwandlung des Wien´schen Strahlungsgesetzes:Bildung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.

ln (E(,T)) = ln (E(,To)) -c2 / (1/T - 1/To)

ln (E(,T)) = ln (E(,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/TY = A + B X, wobei

Y = ln (E(, T)) A = ln (E( ,To)) + c2 / 1/To

B = c2 /

X = 1/T

Graphische Darstellung – log/reziprok


Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc

T To

, , exp

2 1 1

Alle drei Graphen bilden den gleichen Zusammenhang ab, lediglich wegen der unterschiedlichen Auftragung ergibt sich ein anderer Kurvenverlauf.

Linear – Linear Log – Linear Log – reziprok

Graphische Darstellung – Linearisierung


Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc

T To

, , exp

2 1 1

ln (E (,T1)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T1

ln (E (,T2)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T2

Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden.

1 2

2 2 1

, 1 1ln,

E T cE T T T

1

2 2

2 1

,ln

,

1 1

E TE T c

T T

Wahl von zwei Punkten (T1, E(T1)) und (T2, E(T2))

Graphische Darstellung – log/reziprok


Beispiel 4: Stefan- Boltzmann Gesetz:

Die spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers R ist proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T des schwarzen Strahlers.

Aufgabe ist es, die vierte Potenz ( = 4) nachzuweisen.

R = T

lg (R) = lg () + lg (T)

lg lglg lg

R RT T

2 1

2 1

Berechnung der Steigung bei doppellogarithmischer Darstellung ergibt den Exponenten

Wahl von zwei Punkten (T1, R1) und (T2, R2) .

Doppellogarithmische Darstellung – log/log


Die Durchbiegung von Stäben hängt außer vom Material (Elastizitätsmodul) auch von der Geometrie (Flächenträgheitsmoment) des Körpers ab.

http://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment

Praktikumsversuch:

FG 3

3

14 G

ls Fb h E

Stab der Länge lmit rechteckigem Querschnitt der Breite b und der Höhe h.

Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul



Lineare Auftragung:



Lineare Auftragung: 3 ?s l



Lineare Auftragung: 3 ?s l4 ?s l



Linearisierung: Auftragung gegen l3



Linearisierung: Auftragung gegen l4



Doppellogarithmische Auftragung:


Doppellogarithmische Darstellung – log/log

Doppellogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermittelnwollen, welchem Exponenten („power law“)

ein physikalischer Zusammenhang folgt.

;log( ) log( ) log( );

;

ny axy a xY A X

nn


Viele Physikalische Eigenschaften zeigen eine Richtungsabhängigkeit (Winkelabhängigkeit)

Polarkoordinaten


2oI I cos

Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen

Gesetz von Malus:


/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

90 0

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen

Klassische Auftragung: 2oI I cos


0,0o

90,0o

180,0o

20,0o

40,0o

60,0o80,0o

270,0o

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

90 0

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Winkelskala


0,0o

180,0o

20,0o

40,0o

60,0o80,0o

1,0 0,5 0,0

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

90 0

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Betragskala


/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

90 0

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Betragskala


/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

90 0

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Gesetz von Malus

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gesetz von Mal


Beispiel: Optische Anisotropie von Quantenpunkten


UMTS‐Antenne

Lichtemittierende Diode ‐ LED

Lautsprecher

dB = dezi bel

0

10 IB lgI

Beispiel: I = Io/2

10 0 5 3 01 BB lg , , d

Weitere Beispiele


Polarkoordinaten sind zur Darstellung das Mittel der Wahl, wenn eine Richtungsabhängigkeit

der physikalischen Größen im Zentrum des Interesses steht.

Es ist insbesondere für vektorielle Größen

häufig eine aussagekräftige Darstellung.

Polarkoordinaten

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