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Gliederung

Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes

Normalverteilung

χ2-Verteilung

t-Verteilung

F-Verteilung

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Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der Frage, wie das Eintreten von Ereignissen, die nur mangelhaft vorausbestimmt sind, möglichst präzise vorhergesagt werden können.

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Zufallsexperiment

Einflüsse, welche die Vorhersage eines Experimentes erschweren, werden unter dem Begriff des Zufalls zusammengefasst.

Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen beliebig oft wiederholbaren Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt, d.h. nicht im Voraus eindeutig bestimmt werden kann (z. B. Münzwurf).

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2 Arten von Wahrscheinlichkeit

Subjektive Wahrscheinlichkeit

Objektive Wahrscheinlichkeit

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Bedingungen für Wahrscheinlichkeit

Für alle Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses gilt: p(E) 0

Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist p(E) = 1

Schließen sich k Ereignisse gegenseitig aus, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eines dieser Ereignisse auftritt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeit.

Sind von n Ereignissen alle gleich wahrscheinlich, so beträgt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses p(E) = 1/n

Fasst ein Ereignis B mehrere (k) Ereignisse zusammen, so beträgt dessen Auftretenswahrscheinlichkeit p(B) = k/n

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Normalverteilung

Die wichtigste Verteilung in den Sozialwissenschaften ist die Normalverteilung.

Eine Normalverteilung entsteht dann, wenn sich eine Vielzahl unabhängiger zufälliger und ungerichteter Effekte summieren.

Beispiele für normalverteilte Werte: IQ-Werte

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Normalverteilung

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Eigenschaften der Normalverteilung

Glockenförmiger Verlauf

(Achsen-)Symmetrisch

Modus (Mo), Median (Md) und Mittelwert ( ) fallen zusammen

Die Kurve nähert sich asymptotisch der x-Achse

Zwischen den Wendenpunkten (= ± 1s) liegt ca. 2/3 der Gesamtfläche.

x

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Parameter einer Normalverteilung

Gleiche Mittelwerte / unterschiedliche Standardabweichungen

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Parameter einer Normalverteilung

Unterschiedliche Mittelwerte / gleiche Standardabweichungen

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Parameter einer Normalverteilung

Unterschiedliche Mittelwerte /

Unterschiedliche Standardabweichungen

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Berechnung der Gauß´schen Normalverteilung

2

2

2*2

1)(

x

exf

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Standardnormalverteilung

Für μ = 0 und σ = 1 heißt die Verteilung Standardnormalverteilung

Mit Hilfe der z-Tranformation lassen sich sämliche Normalverteilungen in eine Standardnormalverteilung überführen.

Vergleichbarkeit von verschiedenen normalverteilten Daten

Das arithmetische Mittel aller z-Werte ist dabei immer 0. Eine Standardabweichung der z-Werte ist genau 1.

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Eigenschaften Normalverteilung

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Chi2-Verteilung

ndfzn

iin

,1

22

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Chi2-Verteilung

Die Chi²-Verteilung ist eine nicht symmetrische Verteilung. Ihr Verlauf ist abhängig von den Freiheitsgraden.

Freiheitsgrad (df) = Anzahl der z-Werte, die frei bzw. unabhängig voneinerander variieren können und in die Berechnung von χ2 eingehen.

Bei Freiheitsgraden >30 geht die χ2 Verteilung in eine Normalverteilung über.

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Chi2-Verteilung

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t-Verteilung

tz

nn

2

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t-Verteilung

Die t-Verteilung ergibt sich, wenn man die Mittelwerte durch ihre geschätzte Streuung teilt.

Die t-Verteilung ähnelt sehr stark der Standardnormalverteilung, nur ist ihre Streuung größer.

Bei df>30 geht die t-Verteilung in eine Standardnormalverteilung über.

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t-Verteilung

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F-Verteilung

1

2

22

12

21 *,n

n

n

nnFn

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F-Verteilung