APLICACIÓN DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1. ANGULOS VERTICALESSon todos aquellos ángulos contenidos en planos verticales. Tenemos:

a) ANGULO DE ELEVACIÓN.- Es el ángulo vertical agudo que forma la horizontal y la visual que pasa por el punto de observación, cuando el punto observado se encuentra por encima de la horizontal.

b) ANGULO DE DEPRESIÓN.- Es en ángulo vertical agudo que forma la horizontal y la visual que pasa por el punto de observación, cuando el punto observado se encuentra por debajo de la horizontal.

c) VISUAL.- Es la línea recta imaginaria que une el punto de observación con el punto observado.

d) HORIZONTE.- E s la línea recta imaginaria que partiendo del punto de observación se proyecta en forma horizontal. En topografía se le denomina la línea de ceros. (000

00’ 00’’)

Construcción de un aparato medidor de ángulos

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos. Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos. Existen dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuación.

Marta, que vive en primera línea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un ángulo de depresión de 10º. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m y que la distancia del portal a las olas es de 15 m.

1. OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN LADO, CONOCIDOS UN ÁNGULO Y UN LADO

Ejemplo: Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso. Procedimiento: a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.

e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m f) Dar solución al problema. c = longitud de la escalera Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

2. OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO, CONOCIDOS DOS LADOS DEL TRIÁNGULO

Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo.

PROCEDIMIENTO: a) Trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos. b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.

c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.

d) Efectuar la división indicada. cos = 0.5454 e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.

f) Dar respuesta al problema.

El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57' Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometría, es conveniente conocer lo que es un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

ÁNGULO DE ELEVACIÓN El ángulo O, formado por la horizontal y la visual situadas en el mismo plano vertical es el ángulo de elevación del punto N, que es, a su vez, el punto más elevado del objeto.

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

El ángulo B, formado por la horizontal BD y la visual situadas en el mismo plano vertical, es el ángulo de depresión del punto A.

Nótese que:

a) son congruentes por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

b) son complementarios porque sus medidas suman 90°. c) Triángulo ABC es congruente con el triángulo ABD. En el siguiente cuadro se resumen los dos procedimientos para la resolución de triángulos rectángulos.

PROCEDIMIENTOS:a) Para obtener un lado, conocido un ángulo y un lado.

- Trazar el triángulo rectángulo- Seleccionar la razón trigonométrica- Despejar algebraicamente- Sustituir literales- Obtener el valor natural del ángulo en las calculadoras y efectuar las operaciones.- Dar respuesta al problema.

b) Para obtener un ángulo, conocidos dos lados.

- Trazar el triángulo rectángulo- Seleccionar la razón trigonométrica- Sustituir literales- Efectuar la división.- Obtener el valor natural del ángulo en las calculadoras.- Dar respuesta al problema.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿A qué distancia del pie de un poste de 18m de altura debe colocarse un observador para ver su extremo superior bajo un ángulo de 60°?a) 2 m b) 3 m c) 4 m d) 6 m

2. Una torre de 30 metros de altura arroja una sombra de 40m sobre un terreno a nivel. Calcular el ángulo de elevación del sol.a) 15° b) 30° c) 37° d) 53°

3. Un hombre observa una torre con un ángulo de elevación de 60°. ¿cuánto debe retroceder para que observe la misma torre con un ángulo de 30°. La altura de la torre es 5 m y la altura del hombre es m?a) 12m b) 6m c) 8m d) 5m

4. Desde el puesto de vigía de un barco que tiene 48m de altura se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30°. Calcular la distancia a la que está el barco.a) 48 b) 48 c) 12 d) 24

5. La cumbre de un cerro se ve desde un punto P del llano bajo un ángulo de elevación de 35º. Al acercarse horizontalmente 2700 m, el ángulo de elevación es 58º. Entonces la altura del cerro es:

A) 3360 m B) 821,7 m C) 2100 m D) 210 m E) 336 m6. Desde la cima de una colina de 70m sobre el nivel del mar se observa simultáneamente un avión con un

ángulo de elevación de 45° y un barco exactamente por debajo del avión con un ángulo de depresión de 16°. ¿Qué altura tiene el avión respecto del nivel del mar?a) 250m b) 270m c) 310m d) 350m

7. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45°, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37°. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120m.a) 20m b) 10m c) 40m d) 50m

8. Al este, oeste, norte y sur del Colegio Estatal “Túpac Amaru” se encuentran: Pedro, Daniel, Leider y Nelly, quienes observan la parte superior del Colegio con ángulos de elevación 30°; 37°; 45° y 53°, respectivamente. ¿Quién esta más cerca del Colegio?a) Pedro b) Daniel c) Leider d) Nelly e) Faltan datos.

9. Rosa observa la cúspide de una torre, desde 80m de su base con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuánto será el ángulo de elevación para el punto anterior si Rosa se aleja 160m?a) Arctg 1/3 b) Arctg 2/3 c) Arctg 4/3 d) NA

10. Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50° con el suelo.

11. Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared?

12. Un paracaídas en un momento de su descenso ve un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 60° y luego de cierto tiempo, cuando esta a una altura de 30 m., vuelve a ver el punto anterior con un ángulo de depresión de 30°, calcular la altura a la que fue realizada la primera observación (considere vertical la caída del paracaídas a partir de los 100 m sobre la tierra) (en metros)

a) 70 b) 100 c) 80 d) 90 e) 8513. Una alumna de 1.73 m de estatura observa la parte mas alta de un edificio con un ángulo de elevación

de 60°, luego se aleja 20 m y vuelve a observar el mismo punto esta vez con un ángulo de elevación de 30°. Calcular la altura del edificio. (en metros)

a) 10 b) 18 c) 17.02 d)4 e) 1614. Un árbol esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15°. Una

persona se encuentra en la colina a 24 m de la base del árbol y observa su parte mas alta con un ángulo de elevación de 45° ¿Cuál es la altura del árbol? (en metros)

a) 212 b) 612 c) 318 d)24 e) 216

15. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil con un ángulo de depresión de 37° dicho automóvil se desplaza con velocidad constante, luego que avanza 28 m acercándose al edificio es observado con un ángulos de depresión de 53°, si desde esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos. Calcular la velocidad del automóvil. (en m/s)a)3 b)6 c)7 d)12 e)4

16. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido, en la primera observación desde el barco se ve al avión adelante con un ángulo de elevación de 53°, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observación lo ve con un ángulo de 37°, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya.

a)17/12 b)15/11 c)11/17 d)3/4 e)5/717. Un avión desciende hacia la isla B, a 1 km de altura de la isla A, es visto desde B con un ángulo de

elevación luego de cierto tiempo (faltando 3 km para llegar a B) es visto desde A con un ángulo de elevación 90°- . Calcular: E=2Sen +3

a) b) c) d) e)18. Una persona y un árbol de altura h y H respectivamente se encuentran sobre una colina de inclinación

. El árbol se encuentra en el pie de dicha colina, en un primer momento la persona observa su parte mas alta con un ángulo de elevación , luego retrocede una distancia H y observa que el punto anterior se encuentra a su mismo nivel. Hallar Sen

a)(H-h)/H b) (2H-h)/H c) (H-h)/2 d) (2h-H)/H e) (H-h)/2h19. Una persona observa un edificio con un ángulo de elevación , en la dirección NE, luego camina hacia

el este hasta ubicarse al sur del edificio, nuevamente observa el edificio con un ángulo de elevación (90°- ). Hallar Csc2

a) 22 b) c) d) 3 e) 21

20. Tres barcos M, N y P están sobre un mismo nivel, M y N están separados 50 km., N esta situado con respecto de M 58° al este del sur; el barco P se ve desde M en la dirección 28° al este del sur y desde el barco N en la dirección 62° al oeste del sur . Calcular la distancia entre los barcos N y P en km.

a) 250 b)50 c)25 d)20 e)3021. Un alumno camina directamente hacia el este y observa dos árboles, ambos en la dirección NE,

después de caminar 0.25km observa que uno de los árboles esta exactamente al norte y el otro al NO. ¿Que distancia hay entre los árboles en km?

a) /2 b) /4 c) /8 d) /16 e) 22. Un ciclista corre en línea recta 20 m hacia el este, luego 20 m hacia el norte, 30 m al NE, 10 m hacia el

este, 10 m al norte y 15 m al NE. ¿A que distancia del punto de origen esta .En metros? a) 80 b) 80.3 c) 87.3 d) 90.7 e) 70.5

23. Un alumno camina directamente hacia el Oeste y observa dos árboles, ambos en la dirección NO, después de caminar 0.20 km observa que uno de los árboles esta exactamente al norte y el otro al NE. ¿Que distancia hay entre los árboles en km?

a) /3 b) /4 c) /5 d) /8 e) N.A.24. Desde un cierto punto en el suelo se observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación

“” y desde el punto medio entre la base del muro y el punto anterior la elevación angular es el complemento de “”. Calcular “Tg”.a) Sen /6 b) Sen /4 c) sen /3 d) Sec /4 e) Sec /3

25. Un avión se encuentra a una altura de 150m sobre un objeto y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión “”. Luego de correr 150m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26° 30’. Calcular a que altura se encuentra el avión en dicha observación. a) 50m b) 60m c) 75m d) 80m e) 90m

26. Un cazador se encuentra a 10 m de un ave, ésta al percatarse de la presencia del cazador emprende vuelo en línea recta con un ángulo cuya tangente es 6/13 pero el cazador da un tiro certero con un ángulo de inclinación de 18° 30’ y cae el ave. Calcular a qué distancia del cazador cae el ave.a) 20 m b) 28 m c) 36 m d) 40 m e) 45 m

27. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación “”. Si avanza 12 m la torre el nuevo ángulo de elevación es de 45° y acercándose 4 m más la elevación angular es el complemento de . Calcular la altura de la torre.

a) 4m b) 6 m c) 8 m d) 9 m e) 10 m 28. Desde las bases de dos edificios de alturas h y H(H > b) se observa las partes superiores de los mismos

con ángulos de elevación “” y “”. Luego desde el punto medio entre las bases se vuelven a observar las partes superiores de los edificios con ángulos de elevación que son complementarios, calcular el valor de: M = CTg Ctga) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4

29. El ángulo de elevación de la parte superior de un muro es 68° 11’ sobre dicho muro se encuentra verticalmente el asta de una bandera de 7, 2 m e longitud la cual forma un ángulo de 2° 10’ a la vista del observador.Calcular la altura del muro sabiendo que Tg70° 21’ = 2, 8 y Ctg 68°11’ = 0, 4.a) 40 m b) 50 m c) 60 m d) 70 m e) 80 m

30. Una persona de estatura “h” observa la parte superior y la base de una pared con ángulos de elevación y depresión iguales a respectivamente. Al otro lado de la pared se encuentra apoyada una escalera, de tal manera que su extremo coincide con la parte superior de la pared y además dicha escalera forma un ángulo recto con la visual dirigida a dicho extremo. Calcular la longitud de la escalera. a) hSeb b) hCsc c) 2h d) 2hSec e) 2hCsc

31. Una persona se desplaza por un camino que hace un ángulo “” con la horizontal observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación igual a 3/2, luego de subir “d” hacia la torre, por el camino, el nuevo ángulo de elevación es “2 “. Hallar la altura de la torre.a) dSen2 b) dCos2 c) dCtg d) dTg e) dSec

32. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro edificio con ángulos de elevación , y respectivamente si: Tg - Tg = 0, 1 y Tg = 2, 7.

¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?.a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

33. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 18°, después de caminar 1 km en dirección hacia la torre la elevación angular es ahora de 54°. ¿A qué distancia en kilómetros se encuentra del pie de la torre?.a) Sen 18° b) Cos 18° c) Tg 18° d) Ctg 18° e) Sec 18°

34. Una persona de 2m de estatura observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación “”. Luego camina hacia el muro una distancia igual al doble de su altura disminuido en 4 m y el nuevo ángulo de elevación es el complemento de . Calcular “Tg ”. a) 2 - 1 b) 2/2 c) 2 d) 2 + 1 e) 22

35. Subiendo por un camino inclinado un ángulo respecto a la horizontal, se observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación 2 luego de subir una distancia “a” el nuevo ángulo de elevación es 3. Hallar la altura de la torre en función de “a” y “”.a) 2aSen b) 2a Cos c) 2aTg d) 2aCtg e) 2aSec

36. Un hombre que está al sur de un faro observa que su sombra proyectada por la luz del faro tiene 4m de longitud caminando 60 m hacia el oeste, observa que su sombra es de 5 m de longitud, si la persona mide 1 m, hallar la altura del faro.a) 18 m b) 19 m c) 20 m d) 21 m e) 22 m

37. Un observador ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37° y luego se acerca 8 m hacia el poste y el nuevo ángulo de elevación es ahora 45°. Determinar la altura del poste. a) 8 m b) 16 c) 18 d) 24 e) 32

38. Desde las partes superiores del 1er. , 2do. y 3er. Piso de un edificio se observa lo alto de otro edificio con ángulos de elevación , y respectivamente. Si: Tg - Tg = 0, 1 y Tg = 2, 7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?.a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

39. Se observa lo alto de una antena de 20 m de altura que está en la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 53°, luego la azotea del edificio con un ángulo de elevación de 45°. Si el punto de observación se encuentra en el piso. Hallar la distancia del punto de observación al edificio.a) 20 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80

40. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación “”, cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado ¿Cuál es el valor del ángulo “”?.a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 37°

41. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura se observa con ángulos de depresión de 30° y 60° la parte superior e inferior de otro edificio. ¿Calcular la altura de dicho edificio?.a) 20 m b) 10 c) 15 d) 50 e) 40

42. Un faro situado a 1800 m sobre el nivel del mar observa un barco con un ángulo de depresión “”, 6 minutos más tarde en la misma dirección al barco, ahora observa con un ángulo de depresión “” . ¿Calcular la velocidad del barco en km/h, sabiendo que: Cot = 3 – 1 y Cot = 3 + 1 a) 9 km/n b) 36 c) 24 d) 12 e) 180

43. Un estudiante observa una piedra, que está en movimiento de caída libre y a 40 mt de altura, con un ángulo de elevación de 53°. Luego de cierto tiempo la observa con un ángulo de elevación de 45°. Calcular la diferencia entre los cuadrados de las velocidades que tuvo la piedra en cada una de las observaciones, considerar la aceleración de la gravedad igual a 9, 8 m/s2.a) 196 b) 98 c) 200 d) 186 e) 198

44. Un avión se encuentra a una altura de 50m sobre un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión “”.Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26°30’. Calcular a qué altura se encuentra el avión en dicha observación. a) 50 m b) 60 m c) 75 m d) 80 m e) 90 m

45. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación “”. Si avanza 12 m hacia la torre el nuevo ángulo de elevación es de 45° y acercándose 4 más la elevación angular es el complemento de . Calcular la altura de la torre. a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 9 m e) 10 m

46. En un instante dado un tren que viaja en línea recta tiene un extremo al NO y el otro extremo a 15° al norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo miraba el campesino al tren completo?.a) 60° b) 75° c) 90° d) 105° e) 120°

47. El ángulo de elevación de laparte superior de un muro es 68°11’ sobre dicho muro se encuentra verticalmente al asta de una bandera de 7,2 m de longitud la cual forma un ángulo de 2° 10’ ala vista del observador. Calcular la altura del muro sabiendo que Tg70° 21’ = 2,8 y Ctg68° 11’ = 0,4a) 40 m b) 50 m c) 60 m d) 70 m e) 80 m

48. Se tiene un edificio de 6 pisos cada uno de 2 m de altura. Desde la parte superior del edificio se observa un objeto en el suelo con ángulo de depresión “” de modo que tg = 3/2 ¿con qué ángulo de depresión se observaría el mismo objeto desde el quinto piso del edificio?.a) 37° b) 45° c) 53° d) 74° e) N.A.

49. Un mono observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación “”. Si el mono camina 18 m hacia el árbol el nuevo ángulo de elevación es de 45° y acercándose 6m más el ángulo de elevación es el complemento de “”. Calcular la altura del árbol. a) 4 m b) 6 m c) 5 m d) 9 m e) 10 m

50. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación “”, cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado ¿Cuál es el valor del ángulo “”?.a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 37°

51. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura se observa con ángulos de depresión de 30° y 60° la parte superior e inferior de otro edificio. ¿Calcular la altura de dicho edificio?.a) 20 m b) 10 c) 15 d) 50 e) 40

52. MedicionesSe desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?Resolución:

Sen20º = h = 5,85cm

tg20º = x = 5,49cm

La baranda es de unos 21 m y 70 cm.La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.

53. Cálculo de alturas

Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Resolución:Con los datos de la figura tenemos que:

Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:

(10 + x) · 0,839 = 1,96 · x; 8,39 + 0,839·x=1,96 · x; 8,39 = 1,121·x; x = 7,484m. aproximadamente.h = 7,484·1,96=14'668La torre mide unos 14m y medio de alto.Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17m de largo.

54. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?

55. Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x.

56. Una cinta transportadora de 8 m de longitud y una inclinación de 50º arroja material sobre un depósito cilíndrico de 4 m de diámetro. Se desea que la cinta se introduzca 2 m dentro del depósito. ¿A qué distancia del mismo habrá que situar su base?

57. Cierto día de escasa visibilidad un vigía observa la presencia de la flota enemiga bajo un ángulo de depresión de 1º. El observador, cuya atalaya costera alcanza una altura de 20 m sobre el nivel del mar, desea estimar el tiempo que tardará en alcanzar la costa. Por el tipo de embarcación que emplean y por las condiciones del día se supone que las naves avanzan a 7 Km/h ¿sabrías darle la solución? ¿Bajo qué ángulo de depresión se observaría la flota si estuviese situada a 13 Km de la costa?¿A que distancia de la costa se encuentra la línea del horizonte que observa nuestro vigía?

58. Un tobogán tiene una altura máxima de 3 y una longitud de 5 ¿cual es su inclinación? 59. Estima el valor del ángulo que forma la arista con la diagonal.

60. Una paparatzzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad?. Calcula el ángulo de tiro.

61. En un edificio se desean instalar sobre sus cuatro esquinas y en las paredes una serie de cámaras de seguridad que controlen toda la valla exterior. Si cada cámara barre un ángulo de 140º. ¿Cuántas serán necesario instalar? 

Dimensiones del edificio: 90 m de ancho por 50 de largo. Separación de la valla: 6 m.62. Consideramos el ángulo de la figura sobre la circunferencia unidad: Demuestra que los triángulos OAB

y OAH son semejantes. Basándote en lo anterior, demuestra que la tangente del ángulo es la longitud del segmento AB.

63. Calcular la altura de ambos edificios.

64. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º, y Rafael lo hace con un ángulo de 60º. Halla su altura.

65. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º, y Rafael lo hace con un ángulo de 60º. Halla su altura.

66. Un helicóptero de tráfico está sobre un tramo recto de carretera. En un instante detecta a un vehículo bajo un ángulo de depresión de 25º, quince segundos más tarde lo contempla bajo un ángulo de 80º. Si el helicóptero se encuentra a 300 m de altura, ¿resultará multado el conductor, sabiendo que la velocidad está limitada a 130 Km/h?

67. Un árbol tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación de 50º. ¿Bajo que ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior?

68. Desde un llano, junto al pie de una pared vertical, se observa un alpinista bajo un ángulo de elevación de 26º, y la cima de la pared se observa bajo 34º. Si estamos situados a 70 m de la base de la roca, ¿cuántos metros le quedan por escalar hasta alcanzar la cumbre?

69. Dos ciudades con la misma longitud están a una distancia de 450 Km. ¿cuál es la diferencia entre sus latitudes?

ROSA NAUTICA

1. Una gotita con intensión de adelgazar decide hacer una caminata recorriendo inicialmente 40 m hacia el Oeste, después camina 20 m en la dirección N30°E, luego sigue por el NE, pero lamentablemente, cuando sufre un desmayo. ¿Qué distancia recorrió en el último tramo?.a) 152 b) 32 c) 303 d) 153 e) 60

2. Desde una isla, un submarino toma el rumbo S °E y luego de recorrer una distancia de 1 km. desciende 200 m. Un helicóptero situado en el rumbo N°O con respecto a la isla y a una altura de 300m, es visto desde la isla con el mismo ángulo de elevación que si se viera desde le submarino del helicóptero?.a) 5005 b) 50026 c) 5002 d) 5006 e) 5003

3. Un móvil se encuentra a “d” m y en la dirección O °S respecto a una estación si se dirige al Este la estación esta a “d1”m. y el dirección: (45 - /2)O, respecto al móvil y finalmente el móvil recorre “d2” m hacia el Este, entonces esta a “d3” m. y en el rumbo E(45 – t/2)S. Calcular: Sen / Sen

a) b) c) d) e)

4. Desde la parte superior de una torre de altura “H” se observa con un ángulo de depresión de 45° a un punto, que está al SE de la torre. En ese instante una persona de altura “h” se encuentra al NE y a una distancia “d” con respecto al punto. Calcular la distancia que parte de la cabeza de la persona al plano formado por el punto, la parte superior de la torre y la dirección Norte del punto. (El punto se encuentra en la superficie), se sabe que: h = 2 d y H > d.

a) 2 d b) 3 d c) 5 d (2 – r2) d) 3/3 d(2 - 2) e) N.A.5. Luis se encuentra a 16m de Manuel en la dirección S 60°O y Sara se encuentra a 12 m de Manuel en la

dirección N30°O. Hallar la distancia entre Luis y Sara. a) 20 b) 15 c) 10 d) 13 e) N.A.

6. si desde un punto se observan dos árboles “A” y “B” en los rumbos O 37°N y E53°B respectivamente: ¿Cuál debe ser la distancia entre los dos árboles, si desde “A” se vuelve a observar “B” a 16° al Norte del Este y la distancia del punto de observación inicial al árbol “B” es de 20 m?.a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) N.A

7. Dos móviles parten desde un mismo punto, el primero con dirección N ° E y el segundo con rumbo S 2° E, cuando el primero recorre 20 m y el segundo 21 m, la distancia que los separa es de 29 m. Calcular “”.a) 15° b) 18° c) 30° d) 37° e) 45°

8. Roberto camina directamente hacia el este y observa dos casas, ambas en direcciones NE. Después de caminar 1 km más observa que una de las casas está directamente al norte y la otra al NO. ¿Qué distancia hay entre las casas?.a) 1/2 km b) 2/2 km c) 3/2 km d) 2 km e) 3 km

9. En un instante dado un tren que viaja en línea recta tiene un extremo al NO y el otro extremo a 15° al norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo miraba el campesino al tren completo?.a) 60° b) 75° c) 90° d) 105° e) 120°a) 15° b) 18° c) 30° d) 37° e) 45°

10. Dos barcos A y B están separados 20 millas uno del otro. N está situado con respecto de A al S 80° O, un submarino C se observa desde A en la dirección S 20° y 0 y desde B, en la dirección S 40°E. Calcular la distancia del barco A al submarino C. a) 20 millas b) 30 millas c) 40 millas d) 15 millas e) 10 millas

11. Una persona caminando hacia el NE observa una casa en la dirección N15°E. Cuando han transcurrido 15 minutos la persona es observada desde la casa en dirección S75°E y a 250 m de distancia. Calcular la velocidad de la persona. a) 2 km/h b) 2,5 km/h c) 3 km/h d) 4 km/h e) 5 km/h

12. Un avión que viaja a una altura constante de 1203 m, es visto desde un punto A de su trayectoria con un ángulo de elevación de 37° y después de 3 seg, lo ven al norte con ángulo de elevación de 53°, desde un punto B. Situado en la dirección O30°S de A. Calcular la velocidad del avión en m/s, sabiendo además que viaja de este a oeste. a) 80 b) 150 c) 200 d) 180 e) N.A.

13. A las 8 a.m. un barco que navega en la dirección 53° al este del sur con una velocidad constante de 50 km/h, observa un faro en la dirección 53° al norte del este. A las 10 a.m. el faro se observa en el rumbo N20°O. Calcular la distancia en km del faro al barco en la primera observación (Tan 33°=0.649)a) 64.9 b) 69.4 c) 94.5 d) 96.4 e) 46.9